APOSTILA

DE

NIVELAMENTO

2013 Profª Maria Aparecida

Se você precisa de uma mãozinha, lembre-se ela sempre esta no final de seu braço!

OPERAÇÕES NUMERICAS E ALGEBRICAS

1) Verifique se a igualdade é verdadeira:

3+4.2=14

2) Efetue as operações:

3) Na equação , determinar x para a=8,b=3 e c=2. (9)

4) Da relação

, calcular x para a=8, b=7,c=1 e d=4.

5) Calcular o valor de x para a=2, b=3 e c=4 se

.

6) Na igualdade

, calcular x se a=15, b=6 e c+2.

7) Para a=1, b=2 e c=3, dar o valor numérico de

.

FRAÇÕES

Dividimos um retângulo em 11 partes iguais e pintamos 8 dessas partes, Que fração do

retângulo foi pintado?

Pintamos

.

A seguir retiramos a cor de 5 das partes pintadas. Que fração do retângulo foi descolorida?

Foi descolorido

.

Que fração do retângulo permaneceu pintada? Permaneceu pintado:

.

Podemos dizer então que fração é um numero que representa partes de um inteiro.

Temos que em

: onde a é o numerador, ou seja, quantas partes do todo foram tomadas; e b

é o denominador e indica em quantas partes iguais à unidade foi dividida.

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES:

Soma ou subtração:

a) A soma ou subtração de duas frações de mesmo denominador é uma fração cujo

denominador é igual ao das frações dadas e cujo numerador é a soma ou diferença

entre os numeradores.

Exemplo:

b) Para somar ou subtrair frações que tem denominadores diferentes, devemos primeiro

reduzi-los a um mesmo denominador.

Exemplo:

m.m.c. (3,2)=6

Exercícios: Efetue as operações:

Multiplicação:

O produto de duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo

denominador é o produto dos denominadores.

Exemplo:

Exercícios: efetue as operações:

DIVISÃO OU QUOCIENTE

O quociente de uma fração por outra é igual ao produto da primeira fração pelo inverso da

segunda.

Exemplo:

Exercícios: Efetue as operações:

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

Efetue as operações:

Resolva estas operações com muito carinho:

MÍNIMO MULTIPLO COMUM

Definição: O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o menor numero, excluindo

o zero, que é múltiplo desses números.

Exemplo: O numero 100 é o primeiro numero múltiplo exceto o zero que é múltiplo ao mesmo

tempo de 20 e 25.

Calculando o m.m.c.

Exemplo: Qual o m.m.c. de 18, 25 e 30?

1º) Escrevemos os números, separados por virgulas, lado a lado e colocamos um traço após o

ultimo numero e colocamos o menor numero fator comum a todos os números ou não.

2º) Sob cada numero colocamos o resultado da divisão, os números não divisíveis repetimos.

lembrando que 25 não é dividido por dois

3º) Prosseguimos com esse processo ate chegar ao quociente 1.

Também podemos encontrar o m.m.c. por fatoração.

1º) Fatoramos separadamente os números dados:

Assim: da fatoração temos:

2º) O m.m.c. é o produto dos fatores comuns e não comuns, cada um com o maior expoente

que apresenta na fatoração.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

POTENCIAÇÃO

Definição: Dados um numero real a e um numero natural n,n 2, chama-se potencia de base a

e expoente n ao numero que é o produto de n fatores iguais a a.

Desta definição ocorre que:

Temos dois casos especiais:

- para n=1, definimos (tendo um único fator não se defini produto)

-para n=0 e supondo ,definimos .

Exemplo:

PROPRIEDADES: Sendo a e b reais e m e n naturais, valem as seguintes propriedades:

Exemplo: Supondo , simplifique a expressão

Potencia de expoente inteiro negativo

Definição: Dados um numero real a, não nulo, e um numero n natural, chama-se potencia de

base a e expoente –n o numero , que é inverso de .

Exemplos:

OBS: a, deve ser diferente de zero, pois,

que não existe, pois, não dividiras por

zero.

Exemplo: Qual o valor de ?

AVISO: O expoente negativo é muito importante no Calculo Diferencial, relembre com carinho.

A Física trabalha com notação cientifica, coisas como: amassa do próton é de

não abordaremos o assunto nesta apostila a Física tratara deste assunto.

Potencia de expoente racional

Chama-se raiz enésima aritmética de a o numero real e não negativo b tal que .

Exemplo:

Vamos observar os seguintes exemplos:

Com as propriedades de potencia vale a seguinte propriedade:

Acompanhe os seguintes cálculos:

Com estas considerações temos a seguinte definição:

Dados um numero real positivo a, um numero inteiro m e um numero natural n ( ),

chama-se potencia de base a e expoente

a raiz enésima aritmética de ;

Exemplos:

EXERCICIOS PROPOSTOS:

1) Calcule o valor de cada expressão:

2) Sendo , simplifique as expressões:

3) Calcule o valor de:

4) Qual o valor de:

5) Qual é o valor de , sendo:

6) Calcule o valor de:

7) Mostre que as afirmações abaixo não são verdadeiras:

EXPRESSÕES ALGEBRICAS

São formadas por letras números e sinais das operações. As letras que aparecem numa

expressão algébrica são denominadas variáveis.

São exemplos:

1) O triplo de um numero: 3ª, 3x, 3z, 3t, 3y,...

2) A soma de seu numero com seu quadrado:

3) Três quartos de um numero adicionados a cinco:

.

Valor numérico de uma expressão algébrica é um numero que se obtém após substituir as

variáveis por números e efetuar as operações indicadas ( importante para a construção de

gráficos).

Exemplos: Calcule para os seguintes valores de x:

POLINOMIOS

Um polinômio na variável real x é uma expressão composta da soma de produtos de

constantes por potencias inteiras e positivas de x,

,

onde são os coeficientes e os termos do polinômio.

Exemplos:

OBS: não são polinômios:

OPERAÇÕES:

Igualdade: Dois polinômios P(x) e Q(x) são iguais ou idênticos, P(x)=Q(x) quando todos os

seus coeficientes são ordenadamente iguais.

Exemplo:

Soma e subtração: soma-se ou subtraem-se os coeficientes dos termos de mesmo grau.

Exemplo:

1)

2)

3)

4)

Multiplicação: para multiplicar dois polinômios, multiplicamos cada termo de um deles por

todos os outros termos do outro e adicionamos o resultado.

Exemplo:

1)

2)

3)

4)

Divisão: não iremos abordar.

FATORAÇÃO

Fatorar um polinômio significa escreve-lo na forma de um produto, é o mesmo que

decompor em fatores. Quando os termos de um polinômio apresenta um fator comum,

podemos coloca-lo em evidencia, obtendo uma forma fatorada do polinômio.

Exemplo:

EXERCICIOS PROPOSTOS

1) Fatore o numerador e o denominador e simplifique:

2) Simplifique as expressões:

3) Calcule e simplifique:

OBS: Não podemos esquecer os produtos notáveis:

FUNÇÕES

Definição: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação ( ou correspondência) que

associa a cada elemento um único elemento recebe o nome de função de A em B.

Notação: De um modo geral, se f é um conjunto de pares ordenados (x,y) que caracteriza uma

função de A em B indicamos . Se nesta função é a imagem de ,

indicaremos: .

OBS: No Calculo Diferencial, os conjuntos A e B é o conjunto dos reais, .

Exemplos:

1) Seja definida por

, calcular:

d) Determinar x, tal que .

(verifique calculando

)

2) Seja definida por f(x)=4x+m. Calcular m sabendo que f(-2)=5.

Domínio de função

Seja uma função. O conjunto A é chamado domínio da função. Quando não é dado

explicitamente o domínio D de f, deve-se subentender que D é formado por todos os números

que podem ser colocados no lugar de x na lei de correspondência , de modo que,

efetuados os cálculos, resulte um y.

Exemplo:

1) Seja definida por y=3x+4 qualquer valor de x, resulta um valor real em y, assim

D=R.

2) definida por

, o valor de x não pode ser 1, ( não dividirás por zero)

para todos os outros x existe um y, assim .

3) Para a função se x for menor que 2 dentro da raiz, terei um numero

negativo ( o que não pode acontecer), assim .

GRAFICOS DE FUNÇÃO

Noções básicas de plano cartesiano

Usaremos, agora, a notação (a,b) para indicar o par ordenado em que a é o primeiro elemento

e b é o segundo elemento. Temos:

- (1,3) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 1 e o segundo elemento é 3.

- (3,1) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 3 e o segundo elemento é 1.

Notemos que o par ordenado (1,3) é diferente do par ordenado (3, 1).

Para representarmos o par ordenado (a,b) geometricamente:

1º passo: desenhamos dois eixos perpendiculares e usamos a intersecção O como origem para

cada um deles.

2º passo: marcamos no eixo horizontal o ponto P1, correspondente ao valor de a.

3º passo: marcamos no eixo vertical o ponto P2, correspondente ao valor de b.

4º passo: traçamos por P1 uma reta paralela ao eixo vertical.

5º passo: traçamos por P2 uma reta paralela ao eixo horizontal.

6º passo: a intersecção destas duas retas é o ponto P que representa graficamente o par

cartesiano (a, b).

Assim temos:

- o eixo horizontal ou Ox é o eixo das abscissas.

-o eixo vertical ou Oy é o eixo das ordenadas.

-O ponto O é a origem; à direita de O os valores são positivos; à esquerda de O os valores são

negativos; abaixo de O os valores são negativos e acima de O os valores são positivos.

- O plano que contem Ox e Oy é o plano cartesiano.

Exercícios:

1) Distribua no plano cartesiano os seguintes pontos: A=(3,1), B=(-4,2), C=(5,-3), D=(-1,-1),

E=(2,0), F=(0,-2), G=(0,0),H=(-4,0) e I=(0,4).

2) Forneça as coordenadas de cada ponto assinalado:

3) Encontre x e y que determinam, em cada caso, a igualdade:

a) (x,y)=(2,-5) b) (x+y,x-3y)=(3,7) (4,-1) c) (x+4,y-1)=(5,3) (1,4)

4) Determine m para que . (m=-4)

5) O ponto P=(m-3,4) pertence ao eixo y, qual o valor de m? (m=3)

6) O ponto Q=(-2, ) pertence ao eixo das abscissas. Qual o valor de m?

Construção de gráficos

Podemos construir o gráfico de uma função conhecendo a sua lei de correspondência y=f(x) e

seu domínio. Assim:

1º passo: construímos uma tabela na qual aparecem os valores de x e os valores

correspondentes y, calculados por meio de uma lei y=f(x).

2º passo: representar cada par ordenado (a,b) da tabela, o conjunto dos pontos obtidos

constitui o gráfico da função.

Exemplo: 1) y=2x

X -3 -2 -1 0 1 2 3 Y=2x -6 -4 -2 0 2 4 6

3)

x -3 -2 -1 0 1 2 3

5 0 -3 4 -3 0 5

4)

X -3 -2 -1 0 1 2 3

-4 -6 -12 12 6 4

Exercícios: Construir o gráfico das seguintes funções:

FUNÇÃO DE 1º GRAU

Definição: chama-se função polinomial de 1º grau, ou função afim, qualquer função f de R em

R dada por uma lei da forma f(x)=ax+b, em que a e b são números reais dados e .

OBS: Na lei f(x)=ax+b, o numero a é chamado coeficiente de x e o numero b é chamado termo

independente.

Exemplo:

Um caso particular de função afim é aquele em que b=0. Neste caso temos a função f de R em

R dada pela lei f(x)=ax com a real e , recebe a denominação de função linear.

Exemplos:

O gráfico de uma função polinomial de 1º grau, dada por , é uma reta.

Exemplo: construir o gráfico de:

a) y=3x-1

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y=3x-1 -10 -7 -4 -1 2 5 8

b) y=-2x+3 x -3 -2 -1 0 1 2 3

y=-2x+3 9 7 5 3 1 -1 -3

c) Obter a equação da reta que passa pelos pontos P=(-1, 3) e Q=(1, 1).

Solução: a equação da reta é dada por y=ax+b

Assim a equação as reta é: y=-x+2

d) Obtenha a lei da função cujo gráfico é dado por:

Temos: P=(-1, 3), Q=(0, 0) e y=ax+b

3x

Função Constante: é quando na equação y=ax+b, temos a=0, assim y=b. Vamos construir o

gráfico da função f de R em R dada por y=3, para todo x real.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y=3 3 3 3 3 3 3 3

OBS: o gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas.

RAIZ

O gráfico da função y=ax+b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado de coeficiente

angular da reta e esta ligado a sua inclinação em relação ao eixo Ox, e também esta ligado ao

fato de a reta ser crescente ou decrescente. O termo constante b é chamado de coeficiente

linear de reta. Chama-se raiz da função polinomial de 1º grau dada por ,

o numero real x tal que f(x)=0. Assim:

Crescimento e decrescimento

Consideremos a função do 1º grau, definida por y=2x+1. Vamos atribuir valores para x:

x -2 -1 0 1 2 3 4

y -3 -1 1 3 5 7 9

Notemos que, quando aumenta o x, o y também aumenta. Dizemos que a função é crescente.

Agora, consideremos a função y=2-2x. Vamos atribuir valores:

x -2 -1 0 1 2 3 4

y 6 4 2 0 -2 -4 -6

Notemos que quando aumentamos o valor de x, y diminui. Dizemos que a função f é

decrescente.

OBS: nas funções y=2x+1 e y=2-2x, qual a diferença entre as duas equações? Observando a

equação da função de 1º grau temos que na primeira função a que é crescente a=2 e na

segunda função que é decrescente a=-2.

CONCLUSÃO: a equação de 1º grau y=ax+b

-para , a função é crescente.

--para , a função é decrescente.

SINAL

Estudar o sinal da função f qualquer, definida por y=f(x), é determinar os valores de x para os

quais y é positivo ou y é negativo. Uma função dada por y=f(x)=ax+b, há dois casos possíveis

de sinal

-- , a função é crescente, então

-- ,a função é decrescente, então .

Exemplo: Estude o sinal da função:

a) y=2x-1

Primeiro determine a raiz, como? Igualando a zero.

Temos,

b) y=-2x+5

COEFICIENTE ANGULAR

Vamos retornar ao gráfico da função de 1º grau para tratar de algo que mais tarde será muito

importante tanto para o Calculo Diferencial como para a Física.

- Considere a função y=f(x)=2x-1, vamos construir o gráfico desta função, para isto vamos

tomar valores aleatórios para x e determinar os valores de y correspondentes.

x -2 -1 0 1 2

y -5 -3 -1 1 3

Neste caso vamos definir cinco pontos do gráfico da função: (-2, -5), (-1, -3), (0, -1), (1, 1) e

(2, 3).

Construindo o gráfico:

Temos:

- Todos os pontos encontrados na função estão alinhados formando uma reta.

- Quando passamos de um ponto para outro – do ponto (1, 1) para o ponto (2, 3) vemos que o

x desloca uma unidade na horizontal (paralelamente ao eixo x) e duas unidades na vertical

(paralelamente ao eixo y), ou seja, .

- Essa relação é valida para quaisquer pontos da reta.

- Considere a função y=f(x)=-3x+4. Montando a tabela temos:

x -2 -1 0 1 2

y 10 7 4 1 -2

- Em coordenadas temos: (-2, 10), (-1,7), (0, 4), (1, 1) e (2, -2)

- Quando passamos de um ponto da reta, por exemplo, do ponto (1, 1) para o ponto (2, -2),

andamos uma unidade para a direita (eixo x) e três unidades para baixo no sentido vertical

(eixo y), ou seja, . Essa relação é valida para quaisquer pontos da reta.

Coeficiente angular da reta: nas funções dos dois exemplos anteriores o coeficiente a é

exatamente a razão da variação de y e de x.

O coeficiente a tem a ver com a inclinação da reta. Por isso é chamado de coeficiente angular

da reta. Para definir o coeficiente angular de uma reta, precisamos de apenas dois pontos,

EXERCICIOS PROPOSTOS

1) Em uma cidade, a empresa de telefonia esta promovendo a linha econômica. Sua

assinatura é R$20,00 incluindo 100 minutos a serem gastos em ligações locais para

telefone fixo. O tempo de ligação excedente é tarifado em R$0,10 por minuto.

a) Calcule o valor da conta mensal de três clientes que gastaram, respectivamente, 80,

120 e 200 minutos em ligações locais.

b) Se x é o numero de minutos excedentes, qual a lei da função que representa o

valor(v) mensal da conta?

(R$20,00, R$22,00, R$30,00 e v(x)=20+0,1x)

2) Construir o gráfico de cada uma das funções dadas:

3) Uma reta passa pelos pontos (-1, 5) e (2, -4). Qual a lei da função representada por essa

reta? (y=-3x+2)

4) Qual equação da reta que passa pelos pontos (-4, 2) e (2, 5)?

5) Obtenha, em cada caso, a lei da função cujo gráfico é mostrado a seguir:

6) Determine os valores dos coeficientes angulares das retas seguintes:

7) Determine a raiz de cada uma das funções de em dadas pelas seguintes leis:

8) Resolva, em , as seguintes equações de 1º grau:

9) Carlos é 4 anos mais velho que seu irmão André. Há cinco anos, a soma de suas idades

era 34 anos. Qual a idade atual de cada um? (20 e 24)

10) Classifique cada uma das funções seguintes em crescente e decrescente:

a) b)

a) b)

11) Para que valores reais de m a função de em definido por

12) Em cada caso estude o sinal da função:

FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2º GRAU

Definição: Chama-se função quadratica ou função polinomial de 2º grau, qualquer função f

de em definida por uma lei da forma em que a, b, e c são

numeros reais e .

Exemplos:

f) g)

g)

OBS: Por que é colocada a restrição ?

Simples, se a=0 temos uma equação de 1º grau

Grafico

O grafico de uma função polinomial de 2º grau dada por , é uma

curva que chamamos de parabola. Desta vez vamos construir o grafico das funções:

.

x -2 -1 0 1 2 4 1 0 1 4

5 2 1 2 5

.

3 0 -1 0 3

Agora, vamos construir o grafico das funções:

x -2 -1 0 1 2

-4 -1 0 -1 -4

-3 0 1 0 -3

-5 -2 -1 -3 -5

Observação: Ao construirno grafico de uma função quadratica dada por ,

notamos que;

-- Nos primeiros tres graficos: , temos a=1 nos tres, ou

seja, e os tres graficos tem concavidade voltada para cima.

-- Nos segundos tres graficos: temos a=-1 nos

tres, ou seja, e os tres graficos tem concavidade voltada para baixo.

Raiz da equação de 2º grau

LEMBRANDO: chama-se raiz ou zero de uma função os numeros reais x tais que f(x)=0.

As raizes da função polinomial de 2º grau são dadas pela formula de Bhaskara:

( a dedução desta formula faz parte dos livros de ensino médio)

Exemplo Vamos obter os zeros da fun o de em , definida pela lei:

1)

.(verifique se f(2)=f(3)=0)

2)

3)

Esta função não possui raizes reais.

Voltando aos graficos de exemplos anteriores observamos que: e tocam o

eixo x uma única vez, ou seja, as duas raizes são iguais; e tocam o

eixo em dois lugares no x=1 e no x=-1, ou seja, estas funções possuem duas raizes distintas;os

graficos de e não tocam o eixo x,ou seja, não possuem raizes reais.

OBS: A quantidade de raizes de uma função quadratica depende do valor obtido para o

radicando :

-- quando ,há duas raizes reais e distintas.

-- quando , há duas raizes reais e iguais.

-- quando , não há raiz deal.

SINAL

Conforme o sinal de , podem ocorrer os seguintes casos:

y>0 y>0

Y<0

a>0

y>0

Y<0 Y<0

a<0

y>0 y>0

a>0

y<0 Y<0

a<0

y>0

a>0

y<0

a<0

Exemplo: Estude o sinal da função .

1º passo:

Vamos verificar:

-- Escolher um numero menor que -3, por exemplo, x=-4

--Escolher um numero entre -3 e 1, por exemplo, x=0

--Escolher um numero maior que 1 por exemplo x=2

Como pudemos observar substituindo valores dentro das condições fica verificado os sinais.

EXERCICIOS PROPOSTOS

1) Construa o gráfico das seguintes funções:

2) Determine as raízes reais de cada uma das seguintes funções:

Encontrada as raízes reais substitua o resultado na função verificando se f(r)=0.

3) Resolva em , as seguintes equações:

4) Dada a função determine:

a) O valor de f(-1) e f(0). (0, 1)

b) As soluções de f(x)=9. (2)

c) As soluções de f(x)=0. (-1)

5) Determine os valores de p a fim de que a função quadrática f dada por

admita duas raízes reais e iguais. (1)

6) Faça o estudo de sinal de cada uma das funções de em definida pelas seguintes

leis:

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Definição: Chama-se função exponencial qualquer f de em dada por uma lei da

forma , em que a é um numero real dado, a>0 e .

OBS:

-- Se a < 0, nem sempre o numero é real, por exemplo,

.

-- Se a = 0, temos:

-- Se a = 1 e , função constante.

GRAFICO

Vamos construir o gráfico da função

x -2 -1 0 1 2 3 y

1 2 4 8

Vamos, agora, construir o gráfico da função

x -2 -1 0 1 2 3 y 4 2 1

As curvas acima são chamadas de curvas exponenciais.

Propriedades:

-- Na função exponencial cuja lei é , temos: , ou seja, o par ordenado

(0, 1) satisfaz a lei para todo a (a > 0 e ). Isso quer dizer que o gráfico da função

corta o eixo dos y no ponto de ordenada 1.

-- Se a > 1, a função definida por é crescente e seu gráfico será representado por:

São exemplos de funções crescentes:

-- Se 0 < a < 1, a função definida por é decrescente e seu gráfico é o seguinte

São exemplos de funções decrescentes:

-- Para todo a > 0 e , temos:

quaisquer que sejam os números reais .

-- Já vimos que para todo a > 0 e todo x real, temos > 0; portanto o gráfico da função

definida por esta sempre acima do eixo dos x.

--- Se a > 1 então aproxima-se de zero quando x assume valores negativos cada vez

menores.

--- Se 0 < a < 1, então aproxima-se de zero quando x assume valores positivos cada vez

maiores.

A função é definida de em exatamente por isto.

O numero e

Um importante numero irracional em matemática é o numero e = 2,718281828459...

Para introduzi-lo, vamos considerar a expressão

, definida em e verificar os

valores que ela assume quando x se aproxima de zero

x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 y 2,594 2,705 2,717 2,7182 2,7183

Podemos notar que quando x se aproxima de zero a expressão

fica mais próxima

do numero e = 2,7183...

Se considerarmos os valores negativos de x, porem cada vez mais próximos de zero ( por

exemplo: x = -0,1, x = -0,01, x = - 0,001,etc.), a expressão também fica cada vez mais

próxima de e = 2,7183.

A descoberta do numero e è atribuída a John Napier, datada de 1614. Um século depois,

com o desenvolvimento do calculo infinitesimal o numero e teve a sua importância

reconhecida. O símbolo e foi introduzido por Euler, em 1739. Toda calculadora cientifica

possui a tecla . A função f de em definida por , é a função de base e, cujo

gráfico é dado por:

Valem todas as propriedades descritas até agora e esta função tem grande utilização em

engenharia.

EXERCICIOS PROPOSTOS

1) Construa os gráficos das funções exponenciais:

2) Represente em um mesmo sistema cartesiano os gráficos das funções f e g definidas

de em

FUNÇÃO LOGARITMICA

Definição: Sendo a e b números reais e positivos chama-se logaritmo de b na base a

o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que a potencia seja igual a b.

log

Logaritmo é uma operação matemática que guarda estreita relação com a operação de

potenciação.

-- a e b são maiores que zero

--a é diferente de 1

-- na potenciação o que buscamos é o resultado (b) de um numero (a) elevado a x, ou seja,

o resultado de multiplicar x vezes o mesmo fator a.

-- já no logaritmo, o que buscamos é o expoente x, ou seja, quantas vezes deve se

multiplicar o mesmo fator a para obter b.

Observe:

--Tanto na potencia como no logaritmo, a é a base.

-- x que é o expoente na operação de potencia, é o próprio resultado da operação de

logaritmo.

-- b que é o resultado da operação de potenciação é o logaritmando na operação de

logaritmo.

Então, quando você calcula um logaritmo, o que encontra é o expoente de uma potencia.

Compreendendo a relação entre potencia e logaritmo é que, se você, estiver trabalhando

com vários valores de mesma base, pode deixar a base de lado e operar com os expoentes.

Exemplo:

100.10000.0,00001.1000000000000.0,01=

Basta somar as potencias.

E se resolvermos dividir esses números:

Neste caso bastou subtrair os expoentes.

Propriedades de logaritmo

As propriedades de logaritmos são diretamente obtidas das propriedades de potencia.

Vamos tomar as potencias de base 2:

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tomando estas bases vamos calcular alguns logaritmos:

log log

b log

log

Logaritmo do produto

Qual o logaritmo em base 2 do produto de 16por 64?

Então: log log log

Mas, log log log

Generalizando: log log log

Logaritmo do quociente

Na divisão de potencias de mesma base o que fazemos com os expoentes é subtraí-los:

log

log log

Temos:

Generalizando: log

log log

Logaritmo de potencia

Vamos partir de: log . Se quisermos saber o valor de log ?

Usaremos as propriedades de potencias:

log log log log log

=n.c

log log log

log

Mudança de base

Se você observar a sua calculadora ela só possui a tecla log, ou seja, logaritmo na base 10,

então como calcular log na calculadora?

Pela calculadora:

log log

log

Generalizando: log

Vamos aqui abrir um pequeno parênteses para falar em função inversa.

Conceitos: Quando x e y são variáveis que se inter-relacionam de modo que cada valor

atribuído a x esta associado um único valor de y, dizemos que y é função de x, y=f(x).

Se também, do mesmo modo, a cada valor atribuído a y esta associado um único valor de x,

dizemos que x também é função de y. Essa função recebe o nome de função inversa de f e é

representada por

Neste caso, a função é inversivel. Para a construção de gráficos é importante notarmos

que se f é inversivel e um par (a, b) pertence a função f, então o par (b, a) pertence a .

Consequentemente, cada ponto (b, a) do gráfico de é simétrico de um ponto (a, b) do

gráfico de f em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrante do plano cartesiano. E, portanto, o

gráfico de f é simétrico do gráfico de em relação a mesma bissetriz.

Vamos tomar a função y = 3x+4 e construir seu gráfico:

x 0 -1 -2

y 4 1 -2

Procure medir as distancias dos pontos até a bissetriz.

Vamos a outro exemplo:

x 0 1 2 3 y 0 1 4 9

y=3x+4 Y=x

Agora o exemplo principal, ou o mais importante:

x -2 -1 0 1 2 y

1 2 4

Y=x

log

Tudo isto para reforçar a ideia de que conhecendo a função exponencial conhecemos a

função logarítmica. Deixamos por ultimo o logaritmo mais importante o logaritmo

neperiano ou natural, em homenagem a Napier, matemático escocês considerado o pai

dos logaritmos. O logaritmo neperiano é aquele de base e que indicaremos por ln (eleene).

Assim log , valem todas as propriedades de logaritmo.

TRIGONOMETRIA

Triangulo retângulo

Todo triangulo retângulo, alem do ângulo reto, possui dois ângulos agudos (menor de

noventa graus) complementares. O maior dos três lados do triangulo é o oposto ao ângulo

reto e chama-se hipotenusa; os outros dois lados são os catetos.

Em qualquer triangulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual

ao quadrado da medida da hipotenusa.

Essa relação é conhecida como o teorema de Pitágoras.

Exemplo: No triangulo, calcule x, y, z e t.

Temos:

Relações trigonométricas

Teorema: Em todo triangulo retângulo um cateto é igual ao produto da hipotenusa pelo

cosseno do ângulo adjacente.

Projetando o segmento BC sobre o eixo x temos:

Projetando o segmento BC sobre o eixo y temos:

Teorema: Em todo triangulo retângulo, cada cateto é igual ao produto da hipotenusa pelo

seno do ângulo oposto.

Destes teoremas tiramos as relações trigonométricas:

A tangente que é a razão entre os segmentos AB e AC, em relação ao ângulo :

Vamos resumir:

Dado o triangulo retângulo

Exemplo: 1) Determine o valor de x na figura:

2)Uma mulher, cujos olhos estão a 1,5m do solo, avista em um ângulo de 12°, um

edifício que se encontra a 200m dela,qual a altura aproximada do edifício?

Altura do edifício=x+1,5=42+1,5=43,5m

( usei duas casas decimais se usar mais fica mais preciso)

Leis do seno e do cosseno

Para triângulos que não são retângulos (chamados acutangulos ou obtusângulo)duas

outras relações são muito importantes. São as leis dos senos e dos cossenos. Observe o

triangulo obtusângulo abaixo:

A lei dos senos estabelece que:

.

A lei dos cossenos:

Relações fundamentais:

Graus e radianos

Qualquer ângulo pode ser medido em graus ou em radianos (rad). Os 360° de uma

circunferência equivale a radianos. Os 180° equivale a radianos. Com esta

informação calculamos qualquer ângulo.

Exemplo:

a) 45° em radianos

b)

em graus

Circunferência Trigonométrica

Observe: A circunferência é desenhada sobre um plano cartesiano (eixos x e y),

respeitando a sua orientação.

-- O centro da circunferência esta sobre o ponto O de coordenadas (0, 0).

-- O eixo x corresponde à medida dos cossenos.

-- O eixo y corresponde à medida dos senos.

A explicação disto é que quando posicionamos o triangulo retângulo dentro da

circunferência, o cateto adjacente ao ângulo é o eixo x e o cateto oposto ao ângulo é o

correspondente ao eixo y.

-- O raio da circunferência é uma unidade.

-- A circunferência é dividida em quatro quadrantes.

-- Os graus da circunferência são lidos a partir da direita, no sentido anti-horário 0°, 90°,

180°, 270° e 360°. Dentro da circunferência podemos desenhar ângulos de 0° a360° e

obter o valor das razões trigonométricas.

-- O segmento AO é a hipotenusa de um triangulo retângulo formado pelos pontos OAP.

-- Já havia sido definido que o raio da circunferência tem medida 1. Então a medida do

segmento AO (hipotenusa) é 1.

-- Essa hipotenusa forma com o lado positivo do eixo x um ângulo .

-- O ponto A tem coordenadas A = (x, y).

-- Comona circunferência o eixo x é o eixo dos cossenos e o eixo y é o eixo dos senos, então

as coordenadas de A são .

Os Quadrantes

Quando o ponto A esta no quadrante I, o ângulo terá valor entre 0° e 90°. E os valores de

seno, cosseno e da tangente serão positivos.

Se o ponto A estiver no quadrante II o ângulo terá um valor entre 90° e 180°. Neste caso o

seno será positivo, mas o cosseno, negativo; a tangente também será negativa.

Para um ponto A que esteja no quadrante III o valor de ficara entre 180° e 270°. O seno

e o cosseno serão negativos. A tangente será positiva.

Finalmente, para um ponto A que esteja no quadrante IV, entre 270° e 360°. Neste

caso, o cosseno é positivo e o seno e a tangente serão negativos.

Veremos o que acontece em alguns ângulos específicos:

0°-- corresponde a medida AO, ou seja, 1 unidade. Como o ponto A tem coordenadas

A = (x, 0). Neste caso, , o cosseno vale 1 e o seno vale zero.

90°--corresponde a medida AO, ou seja, 1 unidade, como o ponto A tem coordenadas (0, y)

neste caso , cosseno vale zero e seno vale 1.

180°--corresponde a medida AO, do lado negativo do eixo x. Como A tem coordenadas

(x, 0), neste caso , cosseno vale -1 e seno vale zero.

270°--corresponde a medida AO,do lado negativo do eixo y. Como A tem coordenadas

(0, y), neste caso , cosseno vale zero e o seno vale -1.

360°-- voltamos às mesmas condições de 0°, mas sabendo que completamos uma volta.

Simetria da circunferência trigonométrica

Podemos calcular o valor para um ângulo de qualquer quadrante trabalhando apenas

com os ângulos do quadrante I. É que qualquer ponto da circunferência tem três pontos

simétricos em relação aos eixos cartesianos nos outros três quadrantes. Veja:

Os pontos A A’ A’’ A’’’ s o sim tricos em rela o aos eixos cartesianos Traduzindo: as

coordenadas desses pontos têm os mesmos valores absolutos. A única diferença são os

sinais que variam conforme o quadrante.

Como exemplo vamos trabalhar os ângulos de: 45°, 135°, 225° e 315°ou

.

Como o triangulo tem o lado x e y iguais podem calcular por Pitágoras.

Portanto: o seno e o cosseno têm medidas iguais a

, usando a simetria na circunferência

trigonométrica temos as coordenadas dos pontos:

Funções trigonométricas inversas

Quando se resolve uma equação e chegamos ao resultado

, por exemplo, busca-se

um arco (ou ângulo) x cujo seno valha

, sabemos que existem infinitos arcos nessas

condições: são eles todos os arcos côngruos a

.

Precisamos restringir o conjunto universo da equação. Para o caso do seno, uma restrição

capaz de fazer com que haja sempre um arco nas condições estabelecidas é considerar

como conjunto universo o intervalo

.

Com esta restrição temos:

-- Para cada valor de senx existe em correspondência um arco de x.

-- Para cada arco x do intervalo

, existe um valor exclusivo de senx.

Assim, a função passa a ser inversivel.

0

Y=senx

Y=arcsenx

Y=x

A função cujo gráfico obtido pelo rebatimento do gráfico de f(x)=senx em terno da

primeira bissetriz é a função f(x)=arcsenx, lê-se arco-seno de x e entendê-se arco cujo

seno é x. Assim:

.

No caso da função f(x)=cosx, para que não haja multiplicidade de arcos com o mesmo

valor de cosseno é simplesmente considerar o intervelo , pois neste intervalo a

função decresce de 1 a -1.

Assim:

EXERCICIOS PROPOSTOS

1) Sabendo que , determine x e y:

0

1 -1 0

)

2) Determine x e y:

3) Determine o valorde x em cada caso:

4) Na figura

. Qual o valor de x?

5) Determine o seno do ângulo assinalado em cada caso:

6) Na figura AB = 6cm e senC = 0,2. Determine

a) A medida da hipotenusa

b) O senA

7) De o valor de:

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos cos cos cos cos

8) Sendo cos

e x do 4º quadrante, calcule senx.

9) Encontre o seno, a secante e a cotangente do arco x do 2º quadrante cujo cosseno

vale -0,6.

10)Simplifique a expressão:

11)Sabendo que cos a = 2 sen a. Calcule tg a e sen a.

12)Verifique as identidades abaixo:

13)Monte a circunferencia trigonometrica e calcule o seno de todos os angulos, a partir

daí construa o grafico da função f(x)=senx. Usando a mesma tecnica faça o grafico da

função f(x)=cosx.