Fortaleza, Fevereiro/2010 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAO TUTORIAL APOSTILA DE lgebra Linear Realizao: II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 2 de 40 Sumrio 1.Matrizes .......................................................................................................................................................... 3 1.1.Operaes com matrizes ............................................................................................................................. 4 1.2.Operaes elementares com linhas de uma matriz ...................................................................................... 5 1.3.Questes ..................................................................................................................................................... 6 2.Determinantes ................................................................................................................................................ 7 2.1.Regra de Chi .............................................................................................................................................. 8 2.2.Teorema de Laplace .................................................................................................................................... 9 2.3.Questes .................................................................................................................................................... 10 3.Sistemas Lineares ........................................................................................................................................... 11 3.1.Mtodo do escalonamento ......................................................................................................................... 11 3.2.Regra de Cramer ........................................................................................................................................ 13 3.3.Questes .................................................................................................................................................... 13 4.Vetores ........................................................................................................................................................... 14 4.1.Adio de Vetores ...................................................................................................................................... 15 4.2.Multiplicao por escalar ........................................................................................................................... 15 4.3.Questes .................................................................................................................................................... 16 5.Operaes com vetores .................................................................................................................................. 16 5.1.Mdulo ....................................................................................................................................................... 16 5.2.Produto escalar (ou produto interno) ......................................................................................................... 16 5.3.Produto vetorial (ou produto externo)........................................................................................................ 17 5.4.Questes .................................................................................................................................................... 19 6.Espaos vetoriais ............................................................................................................................................ 19 6.1.Questes .................................................................................................................................................... 21 7.Subespaos vetoriais ...................................................................................................................................... 22 7.1.Questes .................................................................................................................................................... 24 8.Interseo, unio e soma de subespaos ........................................................................................................ 25 8.1.Interseo .................................................................................................................................................. 25 8.2.Soma .......................................................................................................................................................... 26 8.3.Unio ......................................................................................................................................................... 27 8.4.Questes .................................................................................................................................................... 27 9.Combinao linear .......................................................................................................................................... 27 9.1.Questes .................................................................................................................................................... 28 10.Subespaos gerados ................................................................................................................................... 29 10.1.Questes .................................................................................................................................................... 30 11.Dependncia e Independncia Linear ......................................................................................................... 31 11.1.Questes .................................................................................................................................................... 32 12.Base de um espao vetorial ........................................................................................................................ 33 12.1.Questes .................................................................................................................................................... 36 13.Dimenso ................................................................................................................................................... 36 13.1.Questes .................................................................................................................................................... 37 14.Mudana de base ....................................................................................................................................... 38 14.1.A inversa da matriz de mudana de base ................................................................................................... 39 14.2.Questes .................................................................................................................................................... 40 II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 3 de 40 1. Matrizes Sejameinteirospositivos.Chama-sematriz (sobreR)qualquerlistaordenadadem-n nmeros reais, dispostos emlinhas ecolunas. Os nmeros que constituem uma matriz so chamados de termos da matriz. Uma matriz A,, pode ser denotada como se segue:

Ou,simplesmente,

,ondee.Notamosqueosndicesiejindicama posio que o termo ocupa na matriz. O termo

est na i-sima linha e na j-sima coluna. Seja

uma matriz . Chama-se diagonal principal, ou simplesmente diagonal da matriz A, alistaordenada

.Chama-sediagonalsecundriadamatrizA,alistaordenada

. A soma dos ndices dos termos da diagonal secundria sempre igual a n+1. -Igualdade de Matrizes: Sendo

,e

,matrizes,AeBsoiguais,seesomentese,

paraquaisquer valores de i e de j. -Tipos de Matrizes: oChama-se matriz linha toda matriz , ou seja, toda matriz constituda de uma s linha. oChama-sematrizcolunatodamatriz,ouseja,todamatrizconstitudadeumas coluna. oChama-se matriz nula aquela cujos termos so todos nulos. oUma matriz chama-se quadrada se . oUmamatrizquadrada

chama-setriangularsuperiorsetodosostermosqueficam abaixo da diagonal principal so iguais a zero, ou seja,

sempre que . oUmamatrizquadrada

chama-setriangularinferiorsetodosostermosqueficam acima da diagonal principal so iguais a zero,ou seja,

sempre que . oUmamatrizquadrada

chama-sediagonalsetodosostermosforadadiagonal principal so iguais a zero, ou seja,

sempre que . oChama-se matriz identidadea matriz diagonalcujos termos da diagonal principal so todos iguais a 1. Ela denotada por

ou simplesmente por I. oUma matriz quadrada

chama-se simtrica se

para quaisquer que sejam i e j, isto , se os termos simetricamente situados em relao diagonal principal so iguais. oExemplos: ,

,

, toda matriz diagonal. oUmamatrizquadrada

chama-seanti-simtricase

paraquaisquerque sejam i e j, ou seja, se os termos simetricamente situados em relao diagonal principal so nmeros reais simtricos e os termos da diagonal so todos nulos. II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 4 de 40 oExemplos: ,

, matriz quadrada nula. 1.1. Operaes com matrizes -Adio de Matrizes: Sejam

,e

matrizes .DefinimosasomadasmatrizesAeBcomosendoa matriz

,emque

.Ouseja,somarAcomBconsisteemsomartermos correspondentes. Propriedades(1):Paraquaisquermatrizes,

,

e

,asseguintes propriedades so vlidas: oAssociatividade: A + (B + C) = (A + B) + C; oComutatividade: A + B = B + A; oElemento neutro: A + O = A, onde O a matriz nula; oMatriz oposta: A + (-A) = O, onde

. Chamamos (A) de matriz oposta de A; oMultiplicaodeumescalarporumamatriz:SejamxRe

umamatriz .DefinimosoprodutodamatrizApeloescalarxcomo

.Isto, multiplicar x por A consiste em multiplicar x por todos os termos de A. Propriedades(2):Paraquaisquerquesejamasmatrizes ,

e

eosnmeros reais x e y, valem as seguintes propriedades: ox.(A + B) = x.A + x.B (Distributiva para escalar) o(x + y).A = x.A + y.A (Distributiva para matrizes) ox.(y.A) = (xy).A (Associativa) o1.A = A (1 o escalar que representa o elemento neutro dessa operao) -Multiplicao de Matrizes: Seja

uma matriz. Denotaremos por

a i-sima linha de A e

a j-sima coluna de A. Isto :

Sejam A = (

) uma matriz e

uma matriz . Definimos o produto da matriz A pela matriz B como

=

. Observao 1: O produto A.B uma matriz; Observao 2: O termo de A.B que se situa na i-sima linha e na j-sima coluna

. Observao3:Quandoexisteumamatriz

talque

,dizemosqueAumamatriz invertvel, e chamamos

de matriz inversa de A. II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 5 de 40 -Propriedades: oSe A uma matriz, ento

=

. Isso indica que a matriz identidade o elemento neutro para a multiplicao de matrizes. oSe A uma matriz e B e C so matrizes , ento , ou seja, a multiplicao se distribui esquerda em relao soma de matrizes. oPara as mesmas matrizes A, B e C, temos , ou seja, a multiplicao se distribui direita em relao soma de matrizes. oSeja A uma matriz, B uma matriz e , ento . oSeA,BeCso,respectivamente,matrizes ,e,ento (comutatividade). -Transposio de Matrizes: Seja A uma matriz, definimos a transposta de A como sendo a matriz

, em que

. Exemplo:

Propriedades: Sejam xum nmero real, A eB matrizes eC uma matriz . Ento valem as seguintes propriedades: o

o

o

o

1.2. Operaes elementares com linhas de uma matriz SejaAumamatriz .Chama-seoperaoelementarcomlinhasdeAqualquerumadas operaes descritas a seguir: Permutao de duas linhas de A; Multiplicao de uma linha de A por um nmero real no nulo; Substituio de

por

, em quee x um nmero real qualquer. Exemplo:

A primeira operao acima consistiu em multiplicar a primeira linha por 1/3 e a segunda operao em substituir a segunda linha por ela mais (-2) vezes a primeira (

). II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 6 de 40 Sejam A e B matrizes. Dizemos que A linha-equivalente a B se B pode ser obtida a partir de A atravsdeoperaeselementarescomlinhas.(Noexemploanterior,notamosqueaprimeiramatriz linha-equivalente terceira) Matriz na forma escada: SejaAumamatriz .DizemosqueAumamatriznaformaescada,seasseguintescondies so satisfeitas: As possveis linhas nulas ficam abaixo das possveis linhas no nulas. O primeiro termo no nulo de cada linha no nula igual a 1. Osdemaistermosdacolunaqualpertenceoprimeirotermononulodeumalinhanonulaso todos nulos. Acolunaqualpertence primeirotermononulodeumalinhanonulafica direitadoprimeiro termo no nulo da linha anterior, isto , se p o nmero de linhas no nulas e se o primeiro termo no nulo da i-sima linha no nula ocorre na

-sima coluna, ento

. Exemplos:

Teorema: Toda matriz linha-equivalente a uma matriz na forma escada. Exemplo:

1.3. Questes 1)Se A = e B = , calcule AB e BA. II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 7 de 40 2)Se A= , ache B, de modo que

3)Suponha que A0 e AB=AC onde A,B,C so matrizes tais que a multiplicao esteja definida. a)B=C? b)Se existir uma matriz Y, tal que YA=I, onde I a matriz identidade, ento B=C? 4)Diz-se que as matrizes A e B so comutativas se AB = BA. Encontre todas as matrizes que sejam comutativas com 5)Seja A = a)Encontre A2 e A3 . b)Se

,encontrec)Se

, encontre 6)Para cada uma das matrizes a seguir, encontra uma matriz na forma escada, qual a matriz dada linha equivalente. a)

b) c)

d) e)

f) 7)Sejam A e B matrizes quadradas do mesmo tamanho, em que A invertvel. Mostre, por induo, que

para todo inteiro positivo n. 2.Determinantes Determinanteumafunoqueassociaacadamatrizquadradaumescalar.Seuclculofeito somando os termos ligados pelas diagonais paralelas diagonal principal, e subtraindo deste valor a soma dos produtos dos termos ligados pelas setas paralelas diagonal secundria: II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 8 de 40 Temos que:

Sejam matrizesquadradasdeordem,eumescalarqualquer,essassoalgumasdas propriedades dos seus determinantes: o

o

oSeumafila(linhaoucoluna)damatrizcompostadezeros,entoodeterminante desta matriz ser zero. oSe A tem duas filas iguais, entooSe permutarmos duas linhas ou colunas de A, ento o determinante muda de sinal. oSe A e B so matriz quadradas da mesma ordem, entoObservao 1: O determinante de uma matriz triangular ou diagonal o produto dos termos de sua diagonal principal. Observao 2: O determinante permite saber se a matriz tem ou no inversa, pois as que no tm so precisamente aquelas cujo determinante igual a 0.

, aplicando determinante dos dois lados, temos:

Assim, se o determinante da matriz A for nulo, a matriz inversa no pode existir. 2.1. Regra de Chi Atravs dessa regra possvel diminuir depara a ordem de uma matriz quadrada A sem alterar o valor do seu determinante. A regra prtica de Chi consiste em:1)Escolher um elemento

(caso no exista, aplicar as propriedades para que aparea o elemento 1). 2)Suprimir a linha i e a coluna j do elemento

, obtendo-se o menor complementar do referido elemento. II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 9 de 40 3)Subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam nos ps das perpendiculares traadas do elemento considerado s filas suprimidas. 4)Multiplicar o determinante obtido no item anterior por

onde i e j designam as ordens da linha e da coluna s quais pertence o elemento

do primeiro item. Exemplo:

2.2. Teorema de Laplace Chama-se de menor complementar (

) de um elemento

de uma matriz quadrada A o determinante que se obtm eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz. Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem a seguir:

, podemos escrever:

= menor complementar do elemento

da matriz A. Pela definio,

ser igual ao determinante que se obtm de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:

Chama-se de cofator de um elemento

de uma matriz o seguinte produto:

Assim, por exemplo, o cofator do elemento

da matriz do exemplo anterior igual a:

Observaes sobre o teorema: oO determinante de uma matriz quadrada igual soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. oEste teorema permite o clculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como j conhecemos as regras prticas para o clculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, s recorremos este teorema para o clculo de determinantes de 4 ordem em diante. Seu uso possibilita diminuir a ordem do determinante. Assim, para o clculo deum determinantede 4 ordem, a sua aplicao resultar no clculo de quatro determinantes de 3 ordem.oPara expandir um determinante pelo teorema de Laplace, mais prtico escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, para que seu produto seja nulo. II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 10 de 40 2.3. Questes 1)Dadas as matrizes A = e B = , calcule a)b) 2)Sejam A e B matrizes do tipo . Verifique se as colocaes abaixo so verdadeiras ou falsas: a)det(AB) = det(BA) b)c)det(2A) = 2 det A d)det(A) = (det A) 3)Calcule o, onde: a)A = b)A = 4)Prove que

5)Mostre que det

=. 6)Verdadeiro ou falso? a)Se det A = 1, ento A-1 = A. b)Se A uma matriz triangular superior e A-1 existe, ento tambm A-1 ser uma matriz triangular superior. c)Se A uma matriz escalarda forma

, ento

. d)Se A uma matriz triangular, ento

. 7)Calcule

. II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 11 de 40 8)Mostre que

. 3.Sistemas Lineares -Definio 1: Sejaum inteiro positivo. Chama-se equao linear aincgnitas toda equao do tipo

em que

,

, ...,

,so constantes reais e

,

, ...,

so incgnitas. Chamamos cada

de coeficiente de

ede termo independente da equao. -Definio 2: Sejameinteiros positivos. Chama-se sistema linear aequaes eincgnitas todo sistema com m equaes lineares, todas s mesmas n incgnitas. Denotaremos o sistema citado como se segue:

Chama-se soluo do sistema toda lista ordenada

de nmeros reais que satisfaz a todas as equaes do sistema linear e chama-se conjunto soluo do sistema o conjunto constitudo de todas as solues. Dizemos que o sistema linear , respectivamente, impossvel, possvel determinado ou possvel indeterminado conforme seu conjunto soluo seja vazio, unitrio ou tenha pelo menos dois elementos. 3.1. Mtodo do escalonamento O mtodo do escalonamento consiste em transformar uma matriz qualquer em uma matriz na forma escada atravs de operaes elementares com linhas. O objetivo disso resolver sistemas lineares. Para tanto, devemos saber que cada sistema linear tem duas matrizes correspondentes: uma chamada matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema e outra chamada matriz completa do sistema. Listemos a seguir as matrizes referentes a um sistema genrico:

Matriz incompleta Matriz completa II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 12 de 40 Se A a matriz dos coeficientes,

e

, ento o sistema pode ser representado (matricialmente) pelas seguintes equaes:

O mtodo do escalonamento para resolver um sistema linear cuja matriz completa C consiste em encontrar uma matriz C, tal que C seja linha-equivalente a C e o sistema cuja matriz C j explicite o seu conjunto soluo. Para tanto, essa matriz dever estar na forma escada. Exemplo: Resolvamos o sistema

, que tem a seguinte matriz completa:

Devemos operar essa matriz com linhas, de maneira a deixar a matriz dos coeficientes na forma escada.

Assim, o sistema inicial equivalente a

. Portanto, est resolvido. Observaes: oUmsistemalinearchama-sehomogneose.Isto,setodosostermos independentessonulos.Nestecaso,umasoluobviaatrivial,compostaapenasde zeros. (Por exemplo, para , a soluo trivial .) oSe,numsistemalinearhomogneo,onmerodeincgnitasmaiordoqueonmerode equaes, ele admite soluo no trivial. oSe,entoosistemalineartemumanicasoluo,entoAlinha-equivalente a

. II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 13 de 40 3.2. Regra de Cramer A regra de Cramer utilizada para a resoluo de um sistema linear a partir do clculo de determinantes. Vamos considerar aqui um sistema linear , sendouma matriz de incgnitas. Seja A uma matriz invertvele seja

. Seja

a matriz obtida substituindo a i-sima coluna de A por B. Sefor a nica soluo de , ento

Comvariando at , possvel encontrar as matrizes-soluo do sistema, e descobrir se ele possvel determinado (quando h somente uma matriz-soluo), possvel indeterminado (infinitas matrizes-soluo) ou impossvel (nenhuma soluo). Exemplo: Considerando o sistema de equaes:

Soluo:

Portanto:

Ento temos como soluo a matriz

e o sistema possvel determinado. 3.3. Questes 1)Determine os valores de k tais que o sistema nas incgnitas x, y e z tenha: (i) nica soluo, (ii) nenhuma soluo, (iii) mais de uma soluo. a)

b)

2)Ache as solues dos problemas dados ou prove que no existem solues II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 14 de 40 c)

d)

e)

f)

3)Dado o sistema:

a)Encontre uma soluo dele sem resolv-lo (atribua valores para x, y, z e w). b)Resolva efetivamente o sistema, isto , encontre sua matriz-soluo. c)Resolva tambm o sistema homogneo associado. d)Verifique que toda matriz-soluo obtida em (b) a soma de uma matriz-soluo encontrada em (c) com a soluo particular que voc encontrou em (a). 4)Dado o sistema linear:

a)Discuta a soluo do sistema. b)Acrescente a equao a este sistema, encontre um valor deque torne o sistema impossvel. 5)D o conjunto soluo do seguinte sistema linear:

4.Vetores Um vetor definido por trs caractersticas: intensidade, direo e sentido. Fora, deslocamento e velocidade so representados por vetores, mas um vetor pode ser bem mais do que isso. Ao longo do curso de lgebra Linear, o seu conceito ser desenvolvido de forma bem mais ampla. Solues de sistemas lineares podero, por exemplo, ser representadas por vetores. II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 15 de 40 Desenhando um vetor no plano cartesiano, ele deve apresentar uma origem e uma extremidade. Os segmentos orientados cuja origem o ponto (0,0) so chamados de vetores no plano, e so muito mais fceis de trabalhar. Para represent-lo, basta indicar o par ordenado que corresponda sua extremidade, pois j conhecemos seu ponto inicial. A definio segue para vetores no espao, caso em que a origem dos vetores o ponto (0,0,0), e assim por diante. De tal forma, para representar um vetor

com ponto inicial na origem, usa-se usualmente a notao de coordenadas , mas tambm existe a notao de matriz coluna

e matriz linha

. Com essas notaes, a soma de vetores e a multiplicao do vetor por um escalar so operaes que ficam bem mais simples. 4.1. Adio de Vetores Propriedades: oAssociatividade:

oComutatividade:

. oElemento neutro: oSeja O o vetor nulo.Entopara qualquer

. Assim, O o elemento neutro em relao operao de adio, o qual chamaremos de elemento nulo de

. oElemento oposto: oDado

,denotaremospor ovetor

.Ento . Chamaremosde elemento oposto a . oConsiderandoque:easquatropropriedadesanteriores,teremostrs propriedades conseqentes: 1.2.3. Exemplo: Sendo , temos:

Do mesmo modo, . 4.2. Multiplicao por escalar Sejam

e . Definimos a multiplicao deporcomo sendo:

II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 16 de 40 A seguir as propriedades de vetores: 1.Associativa na adio:2.Comutativa: 3.Existncia de elemento neutro na adio:4.Existncia de elemento oposto: 5.Distributiva por vetor:6.Distributiva por escalar: 7.Associativa na multiplicao: 8.Existncia de elemento neutro na multiplicao: 4.3. Questes 1)Determine o vetor X, tal que, para vetores V e U dados. 2)DetermineosvetoresXeY,talqueeparavetoresVeU dados. 5.Operaes com vetores 5.1. Mdulo Seja, definimos o mdulo ou a norma de um vetor como sendo: Observao: para, note que o mdulo de um vetor o seu comprimento. Chamaremos de vetor unitrio todo vetor cuja norma 1. 5.2. Produto escalar (ou produto interno) Sejam e dois vetores no nulos nos reais. Considere os vetoresA+B e A - B. Temos que se, e somente se, pois as diagonais de um paralelogramo s so iguais se o paralelogramo um retngulo. Como consequncia dessa condio podemos observar que: II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 17 de 40

Esta condio necessria para que dois vetores sejam perpendiculares. Sejam

e

dois vetores quaisquer em

.O produto escalar definido como a multiplicao termo a termo e a soma dos produtos:

Assim, dois vetores no nuloseem

so perpendiculares apenas se . Propriedades do produto escalar: i.para quaisquer

ii. , para quaisquer

iii. para quaisquer

e qualqueriv.para qualquer

e A norma (ou mdulo) de um vetor pode ser caracterizada pelo produto escalar: , como provado a seguir:

5.3. Produto vetorial (ou produto externo) Consideremos dois vetores em

e

. Queremos encontrar um vetor , em

, de preferncia no nulo, de tal forma que C seja simultaneamente perpendicular a A e a B. Devemos ter e. Se , ento:

Tentaremos resolver este sistema. Para isso, comearemos multiplicando a primeira equao por

, a segunda por

e, em seguida, somaremos as duas equaes.A seguinte equao obtida:

Depois, multiplicando a primeira equao do sistema acima por

, a segunda por

e, em seguida, somando as duas equaes, chegamos a: II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 18 de 40 Enfim, temos as seguintes equaes: Agora fica fcil visualizar os valores das variveis. Se x assumir o valor do coeficiente de z na primeira equao, y assumi o valor do coeficiente de z na segunda equao, basta que z assuma o valor dos coeficientes de x e de y (que so iguais) para as equaes serem verdadeiras. O conjunto-soluo : H mais solues do sistema. Contudo, esta especialmente chamada de produto vetorial de A por B e ser denotado por . Note que o determinante formal: em queObserve ainda que:,visto que cada gerador (pois temos os trs vetores que formam a base de ) est num eixo diferente, x, y ou z. Ns o chamamos de determinante formal uma vez que no um determinante formado s por nmeros. A primeira linha constituda de vetores. II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 19 de 40 Como vimos, o produto vetorial de dois vetores j surgiu com uma propriedade importante: um vetor simultaneamente perpendicular aos dois vetores. Vejamos a seguir mais propriedades do produto vetorial: i.

ii.para quaisquer

e qualqueriii. para qualquer

e qualqueriv.e para quaisquer

v. para quaisquer

vi.

vii.Se A e B so dois vetores no nulos de

e a medida do ngulo formado por A e B, ento: viii.(Produto misto)

, em que

,

, e

5.4. Questes 1) Ache dois vetores mutuamente ortogonais e ortogonais ao vetor (5, 2, -1). 2) Calcule, onde: a) eb)e c)e 3) Sejam, . Encontre: a)b) c) d) 4) Ache dois vetores mutuamente ortogonais de comprimento unitrio, e ambos ortogonais ao vetor (2,-1,3). 5) Determine o nmero real positivo c de maneira que os pontos e e a origem sejam vrtices de um tringulo retngulo em . 6) Sabendo que o ngulo entre os vetores (2, 1,-1) e (1,-1,m+2) 60, determine . 7) Determine os ngulos do tringulo cujos vrtices so (-1,-2,4), (-4,-2,0) e (3,-2,1). 6.Espaos vetoriais Um espao vetorial um conjunto de vetores. As oito propriedades citadas acima devem ser satisfeitas, alm de duas operaes: soma e multiplicao por escalar. Considerando dois vetores quaisquer de um II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 20 de 40 espao vetorial V, a soma deles deve ser um terceiro vetor que ainda faz parte de V. Se multiplicarmos um vetor de V por um escalar, o resultante tambm deve ser elemento de V.Em resumo, um espao vetorial real um conjunto V, no vazio, com duas operaes: -Soma: Se ento -Produto por escalar: Se escalar eentoSe uma dessas duas operaes no for vlida para um conjunto W, ento porque o conjunto no um espao vetorial. Dizemos que um espao vetorial fechado em relao s duas operaes (soma e multiplicao por escalar). Para saber se um conjunto um espao vetorial, verifica-se se as duas operaes so vlidas e depois se as oito propriedades dos vetores tambm so vlidas. Observao: O conjunto de todas as matrizes de ordem 2 um espao vetorial. Deste modo, os vetores desse espao so matrizes 2x2.Tal conjunto designado assim: Exemplo: Seja o conjunto W =. Com as duas operaes de soma e multiplicao por escalar definidas, verifique se W um espao vetorial. Soluo: Considere os elementose . Assim, i) Soma: ii) Produto:, assim no vlido para todoLogo, W no um conjunto fechado em relao a essas duas operaes e, portanto, no um espao vetorial. Exemplo: Verifique se o conjunto

um espao vetorial. Soluo: Sejam

e

vetores de

e. i) Soma:

Multiplicao por escalar:

ii) 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 21 de 40

8.

Exemplo: Considere em

o produto por escalar usual, mas com a adio, a operao definida por:

. Determine se V, com essas operaes, um espao vetorial. Soluo:i) 1.Soma:

2.Produto por escalar:

Logo, V um espao fechado em relao a essas duas operaes. Portanto, temos que verificar as oito propriedades. ii)1.Associativa na adio:

Comoj no satisfeita, no precisamos mais testar as outras propriedades. V no espao vetorial. Exemplo: O conjunto que contm um nico objeto, com as operaes definidas por:

o com

Soluo:i) Da prpria definio no enunciado, o conjunto fechado em relao s operaes de soma e multiplicao por escalar e, portanto, no precisamos verific-las; ii) Substituindopor : 1.

= 2.

3.Sejao vetor nulo. Logo,Assim, existe vetor nulo, que equivale ao prprio . 4.Sejao vetor oposto. Logo,Assim, existe vetor oposto, que tambm equivale ao prprioO vetor oposto de . 5.

o o o 6.ooo o

o7.ooo

oo 8. 6.1. Questes 1) Verifique que um espao vetorial com as operaes. 2) Sejao conjunto de todas as funes reais, de varivel real, ou seja. O vetor soma , para quaisquer funeseem definido por: e para qualquer escalare qualquer o produto tal que: II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 22 de 40

Mostre que , com essas operaes, um espao vetorial. 7.Subespaos vetoriais Dado um espao vetorial V, h subconjuntos de V tais que eles prprios tambm so espaos vetoriais, s que menores. Esses subconjuntos so chamados de subespaos de V. Dado um espao vetorial V, um subconjunto W, no-vazio, ser um subespao vetorial de V se forem vlidas as mesmas duas operaes de antes: -Soma: Se ento -Produto por escalar: Se escalar eentoSe ambas as operaes forem vlidas em W, no necessrio verificar as oito propriedades dos vetores para dizer que W espao vetorial, pois elas j so vlidas em V, que contm W. Todo espao vetorial admite pelo menos dois subespaos (que so chamados triviais): 1. O conjunto formado somente pelo vetor nulo (a origem). 2. O prprio espao vetorial: V subconjunto de si mesmo. Todo subespao vetorial tem como elemento o vetor nulo, pois ele necessrio condio de multiplicao por escalar: quando

Para conferirmos se um subconjunto W subespao, basta verificar que para quaisquer e qualquer , em vez de checar as duas operaes separadamente. Exemplo: Em

, os nicos subespaos so a origem, as retas e os planos que passam pela origem e o prprio

. Exemplo: Seja , ou seja, o conjunto das matrizes de ordem 3, e W o subconjunto das matrizes triangulares superiores. W subespao de V? Soluo: Est implcito que V um espao vetorial. Assim, verificamos as duas operaes para W: i)

ii)

Logo, W subespao de V. Observao: as matrizes triangulares inferiores formam um conjunto que tambm subespao, o que tambm o caso das matrizes diagonais e das simtricas. Exemplo: Verifique se o conjunto-soluo do sistema linear homogneo abaixo um subespao de .

Soluo: Temos o seguinte sistema:

II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 23 de 40 Desta forma, estamos procurando, dentro do espao vetorial , os vetores que satisfazem o sistema, isto , o conjunto dos vetores-soluo. Depois precisamos saber se esse conjunto subespao de . Assim, considere os vetores-soluo:

e

i)

ii)

O resultado de (i) e (ii) ainda pertence ao conjunto dos vetores-soluo e, portanto, ele subespao de . Exemplo: Seja

e

. Verifique se W subespao de V. Soluo: Se escolhermose , temos. Logo, W no subespao. Exemplo: Seja e W o subconjunto de todas as matrizes em que

. Verifique se W subespao de V. Soluo: i) A condio de soma satisfeita, pois ainda gera uma matriz em que

. ii) Se fizermos , com , temos que

da nova matriz ser maior que zero. Assim, W no subespao. Exemplo: Verifique se o conjunto soluo do sistema linear no-homogneo abaixo um subespao.

Soluo: Temos o seguinte sistema:

e os seguintes vetores-soluo:

e

. Assim, i)

O vetor dos termos independentes resultante

diferente do vetor do sistema linear

. Logo, o conjunto dos vetores-soluo no um subespao de M(3,1). Exemplo: Seja

. Sendo S subconjunto de

, verifique se S subespao de

. Soluo: i)

ii) o

o

o

Exemplo: Verifique se

subespao de

. Soluo: i). Como (0,0), pode-se concluir que o subconjunto no um subespao vetorial de

. Exemplo: Verifique se

subespao de

. Soluo: II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 24 de 40 i) . Tomandoetemos (6,0,0). Como (0,0,0), ento no um subespao vetorial de

. 7.1.Questes 1) Mostre que os seguintes subconjuntos de

so subespaos a)W = {(x, y, z, t)

/ x + y = 0 e z t = 0} b)U = {(x, y, z, t)

/ 2x + y t = 0 e z = 0} 2) Considere o subespao S = [(1, 1, -2, 4), (1, 1, -1, 2), (1, 4, -4, 8)] de

. a)O vetor (

, 1, -1, 2) pertence a S? b)O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S? 3) Nos problemas que seguem, determine se W ou no um subespao do espao vetorial: a)

,

,

e

b)

;

; 4) Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles so subespaos de

? a) (x,y,z), tais que z = x3 b) (x,y,z), tais que z = x + y; c) (x,y,z), tais que z >= 0; d) (x,y,z), tais que z = 0 e xy >= 0; e) (x,y,z), tais que x = z = 0; f) (x,y,z), tais que x = -z; g) (x,y,z), tais que y = 2x + 1; h) (x,y,z), tais que z2 = x2 + y2. 5) Determine se W subespao de

ou no, onde W consiste nos vetores para os quais: a) a = 2b b)a b c c)ab = 0 d)a = b = c II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 25 de 40 6) Seja W o conjunto de todos os vetores em de forma (x, x+y, y, 2x + 3y), onde. W um subespao de

? 7) Seja W o conjunto de todos os vetores do

da forma (x, y, x2 + y2), onde. W um subespao de

? 8) Seja W o conjunto de todos os vetores

da forma (x, y, x+1, 2x + y 3), onde. W um subespao de

? 9) Dados os conjuntos W em cada espao vetorial V indicado proceda assim: i)Reescreva W apresentando seu vetor genrico; ii)Verifique se W subespao vetorial de V. a)

sendo

; b) W o conjunto de todas as matrizes identidade de ordem , sendo; c)

sendo

; d sendo

. 10) Considere o subespao de

gerado pelos vetores v1=(1,1,0), v2=(1,-1,1) e v3=(1,1,1). O espao gerado por esses vetores igual ao

? Por qu? 8.Interseo, unio e soma de subespaos 8.1. Interseo Dados W1 e W2 subespaos de um espao vetorial V, a interseo

sempre ser subespao de V. Prova: Inicialmente observamos que

nunca vazio, pois ambos contm o vetor nulo de V. Assim, basta verificar as condies de soma e produto por escalar apresentadas anteriormente para os subespaos. Suponha ento

W1 subespao

W2 subespao

, deste modo

Exemplo: Seja

,

a reta de interseo dos planos

. II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 26 de 40 Exemplo: Seja e

, ento

8.2. Soma Podemos construir um conjunto que contenha

e ainda subespao de V. Este conjunto ser formado por todos os vetores de V que forem a soma de vetores de W1 com vetores de W2.

Prova: Dados:

Temos que:

Caso os dois subespaos sejam retas no-colineares, a soma deles equivale ao plano formado por elas. Se as parcelas

tm interseo

, a soma

dita soma direta e denotada por

. II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 27 de 40 Exemplo: Seja

e

, onde a, b, c, d, ento

. Esta uma soma direta, pois

. 8.3. Unio A unio de dois subespaos

, diferente da soma, um conjunto que contm exatamente todos os elementos de

. Deste modo, nem sempre a unio de subespaos um subespao. Exemplo:

W1 e W2 so retas que passam pela origem. Assim,

e

o feixe formado pelas duas retas, que no subespao vetorial de

. De fato, se somarmos os dois vetores , vemos que est no plano que contm

, mas

. 8.4. Questes 1) Sejam

e

subespaos de

. a) Determine

b) Exiba uma base para

c) Determine

d)

soma direta? Justifique. e)

? 9.Combinao linear Considere um conjunto de vetores qualquer, pertencente a um espao vetorial V. J foi mostrado que somar estes vetores entre si em qualquer combinao resultar em um vetor pertencente a V. Tambm II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 28 de 40 foi mostrado que multiplicar cada vetor por um escalar tambm gera um resultado pertencente a V, caso contrrio V no seria um espao vetorial. De fato, sejam

e sejam os escalares

. Ento qualquer vetorda forma

um elemento do mesmo espao vetorial V. Por ter sido gerado pelos vetores primitivos

, o vetor denominado o resultado de uma combinao linear de

. O conjunto de escalares

arbitrrio, mas sendo um conjunto de nmeros reais, o vetorsempre pertencer a V. O vetorno nico, pois para cada combinao de escalares pode gerar um vetordiferente. Exemplo: O vetor combinao linear dos vetores

, j quepode ser escrito como

. 9.1. Questes 1) Quais dos seguintes vetores so combinao linear de

,

e

?

e

a)b) c) d)2) Escrevacomo combinao linear de , , , onde: a) b) 3) Considere os vetores e em

. a) Escreva como combinao linear dee . b) Escreva como combinao linear dee . c) Para que valor deo vetor uma combinao linear dee ? d) Procure uma condio para ,ede modo queseja combinao linear dee . 4) Determinar o valor depara que o vetorseja combinao linear de

e

. II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 29 de 40 10. Subespaos gerados Um conjunto de vetores

pode construir vetorespor meio de combinao linear. Fazendo todas as combinaes possveis (isto , fazendo cada escalar ter todos os valores reais possveis), o conjunto constri uma infinidade de vetores que compem um conjunto expandido. Esse conjunto um subespao vetorial. O conjunto

chamado de conjunto de vetores de base, pois, em termos formais, ele gerou o subespao W, definido abaixo. Definio: Um subespao gerado por um conjunto de vetores

o conjunto de todos os vetores V que so combinaes lineares dos vetores

.

Obs.: A notao de colchetes informa que o conjunto W o conjunto gerado por

. No confundir com o prprio conjunto gerador

. Ou seja,

um conjunto com infinitos vetores formados da combinao destes dois e

um conjunto com apenas dois vetores. Exemplo: Seja

e

, ento a reta que contm o vetor , pois o conjunto de todos os vetores com a mesma direo deque tem origem em (0,0). Exemplo: Se

so tais que

qualquer que seja , ento

ser o plano que passa pela origem e contm

: A condio

importante para garantir que os dois vetores gerem um plano. Caso ela no seja satisfeita, os vetores

seriam colineares, e no existira nenhuma combinao deles que pudesse gerar um vetor que no pertencesse reta que eles geram. II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 30 de 40 Nota-se que um conjunto gerador de dois elementos que um combinao linear do outro equivale a um conjunto gerador com apenas um desses dois elementos. Assim, se

, ento

, pois todo vetor que pode ser escrito como combinao linear de

uma combinao linear apenas de

, j que

combinao linear de

. Exemplificando: Seja

tal que

. Um elemento qualquer do conjunto gerado por B da forma:

Exemplo: Seja

,

e

. Assim,

, pois dado, temos , ou seja,

. Exemplo: Seja

e

, ento

Observa-se que se em um conjunto gerador existir algum vetor que combinao linear de outros elementos do prprio conjunto gerador, esse elemento intil. Elimin-lo do conjunto gerador no modifica o conjunto gerado. Tal propriedade pode ser verificada lembrando que a combinao linear uma soma de vetores, e que a parcela da soma do vetor que gerado por outros pode ser substituda pelos prprios vetores que o geram.Assim, qualquer elemento do conjunto gerado por B pode ser escrito como combinao linear de apenas

. Surge ento a necessidade de verificar quando um vetor combinao linear de outros. 10.1.Questes1) Quais dos seguintes conjuntos de vetores um conjunto gerador de

? a) b)c)2) Resolva o seguinte sistema, usando a Regra de Cramer:

II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 31 de 40 11.Dependncia e Independncia Linear Um conjunto de vetores dito linearmente independente (freqentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele gerado por uma combinao linear dos outros (lembrar o conceito de combinao linear apresentado anteriormente). Naturalmente, um conjunto de vetores dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos combinao linear dos outros. Sejam V um espao vetorial e

. Dizemos que o conjunto

ou que os vetores

so linearmente independentes (LI) se a equao

admitir apenas a soluo trivial, isto :

Se existir algum

, dizemos que

ou que os vetores

so linearmente dependentes (LD). Em outras palavras, o conjunto

LD se, e somente se um destes vetores for combinao linear dos outros. Prova: Sejam

LD e

. Suponha que

(para ser LD). Ento

. Portanto,

combinao linear. Por outro lado, se tivermos

tal que para algum

Ento,

Logo,

e, portanto, V LD. A Independncia Linear tem uma interpretao geomtrica til: i)Seja

e

.

LD se e somente se

e

estiverem na mesma reta quando colocados com seus pontos iniciais na origem

*so pararlelos: II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 32 de 40 ii)Seja

e

e .

LD se estes 3 vetores estiverem no mesmo plano quando colocados com seus pontos iniciais na origem: Exemplo: Os vetores 1(2, 2, 0) v = , 2(0, 5, 3) v = e 3(0, 0, 4) v =so LI ou LD? Soluo: Verificando a expresso 1 2 3(2, 2, 0) (0, 5, 3) (0, 0, 4) (0, 0, 0) a a a + + = 1 11 2 22 3 32 0 02 5 0 03 4 0 0a aa a aa a a= = + = = ` + = = )Logo, como o sistema admite somente a soluo trivial, os vetores so LI. 11.1.Questes 1) Considere dois vetores e no plano. Se, mostre que eles so LD. Se , mostre que eles so LI. 2) Para quais valores deo conjunto de vetores

LD? 3) Verifique se os polinmios seguintes so linearmente dependentes ou independentes. a)

,

e

II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 33 de 40 b)

, e 4) Ache as relaes lineares no triviais satisfeitas pelos seguintes conjuntos de vetores. a) , e

b) ,e

c) ,e

R4 d) , e

5) Verifique se o conjunto a seguir LD ou LI:

. 12.Base de um espao vetorial ConsidereumespaovetorialV.AdmitaaexistnciadeumsubconjuntoBdesseespao(no necessariamenteumsubespao)talqueBgereVporcombinaolinear.Notarqueparaumespao particularV, Bno nico,vriosconjuntosBdistintospodemgerarV.Defato,oprprioVpodegerar ele mesmo. Porm, mais simples trabalhar com conjuntos menores, e de interesse resumir um grande conjuntoVemumpequenoconjuntoB.FoiverificadoacimaquedentrodeBquaisquerelementos formados por combinaes lineares dos outros so inteis. Ou seja, se B for um conjunto LD, existe pelo menosumvetor intil,quepodesereliminadoparatornar Bmenoremaissimples.Oprocessopode continuaratqueBsetorneLI.SeBLI,eaindaconseguegerarV(Lembre-sequeaeliminaode elementos LD de um conjunto gerador no modifica o conjunto gerado) denominado base. UmabasedeumespaovetorialumconjuntoLIgeradordesteespao.tambmamaneiramais simples de resumir o espao.Condies: i)

LI ii)

(O conjunto gera V)Ateno!TodoconjuntoLIdeumvetorialVbasedeum subespao gerado por ele. Exemplo: Prove que{(1,1), ( 1, 0)} B = base de 2RSoluo: i)(1,1) ( 1, 0) (0, 0) a b + = ( , ) (0, 0) 0 a b a a b B = = = LI ii)(1,1) ( 1, 0) ( , ) a b xy + =II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 34 de 40 2( , ) ( , )gera a b x b y xa b a xy B Ra y = = = `= ) Exemplo: Prove que {(0,1), (0, 2)} No base de 2RSoluo: i) (0,1) (0, 2) (0, 0)(0, 2 ) (0, 0) 2a ba b a b + = + = = Mas comoeno so necessariamente zero, o conjunto LD. Exemplo: no base de

. LI, mas no gera todo

, isto ,

Como o

no composto apenas de pontos com a coordenada z nula, os dois vetores no podem ser base. Exemplo:

uma base de . Observao: Existem espaos que no tem base finita, principalmente quando trabalhamos com espaos de funes. Ento, precisaremos de um conjunto infinito de vetores para gerar o espao. Isto no implica que estamos trabalhando com combinaes lineares infinitas, mas sim, que cada vetor do espao uma combinaolinearfinitadaquelabaseinfinita.Ouseja,paracadavetordado,podemosescolheruma quantidadefinitadevetoresdabaseparaescrev-lo.Porexemplo,oconjuntodetodospolinmiosde coeficientes reais formam um espao vetorial. Uma base naturalmente definida

, que infinita,poisnohrestrioparaograudopolinmio.Porm,paraformarumpolinmioparticular possvel utilizar um nmero finito de elementos da base. Teorema:Sejam

vetoresnonulosquegeramumespaovetorial.Dentreestesvetores podemos extrair uma base de . Prova: i) Se

so LI, eles cumprem as condies para uma base e no temos mais nada a fazer. II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 35 de 40 ii) Se

so LD, ento existe uma combinao linear deles com algum coeficiente diferente de zero, dando o vetor nulo:

Por exemplo, seja

, ento:

. Ou seja,

uma combinao linear de

e, portanto

ainda geram . Se

aindaforLD,podemosprosseguirdamesmaformaatchegaraumsubconjunto

comque ainda geram , ou seja, formaremos uma base. Isto,deumespaogeradorqualquerpossvelretirarelementosinteisatqueelesetorneuma base.Veremosagoraumapropriedadecuriosadosespaosvetoriais:onmerodeelementosde qualquer base de um espao vetorial particular constante, independe da base escolhida. Este nmero uma propriedade inerente natureza do espao. Teorema:Sejaumespaovetorialgeradoporumconjuntodevetores

.Ento,qualquer conjunto LI tem no mximovetores. Prova:Como

,entopodemosextrairumabasepara.Seja

com,esta base. Considere agora

,vetores de , com . Ento, existem constantes tais que:

Consideremos agora uma funo linear de

dando zero:

Substituindoem , temos:

Como

so LI, ento os coeficientes dessa equao devem ser nulos: II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 36 de 40

Temosentoumsistemalinearhomogneocomequaeseincgnitas

e,como ,eleadmiteumasoluonotrivial,ouseja,existeumasoluocomalgum

nonulo.Portanto

so LD. 12.1.Questes 1) Quais so as coordenadas de x = (1,0,0) em relao base = {(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)}? 13.Dimenso Adimensodeumespaovetorialdefinidacomoonmerodevetoresdeumabasedee denotada por . Seno possui base, . Qualquer base de um espao vetorial tem sempre o mesmo nmero de elementos e o nmero de bases para cada espao vetorial infinito. Exemplo:

, pois toda base do

tem dois vetores, como ou. Exemplo:

. Exemplo: . Exemplo:. Exemplo:

(polinmios de grau n). Exemplo:

, pois a origem apenas um ponto. Observao: Quando um espao vetorial V admite uma base finita, dizemos que V um espao vetorial de dimenso finita. Teorema:QualquerconjuntodevetoresLIdeumespaovetorialVdedimensofinitapodeser completado de modo a formar uma base de V. Prova: Sejae

vetores LI, com . i)Se

, entoe o conjunto forma uma base. ii)Se existe

tal que

, isto ,

no uma combinao linear de

, ento

LI. Se

, ento

a base procurada. Caso contrrio, existe

e

LI. Se

, II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 37 de 40 nossa prova est concluda. Se no, prosseguimos analogamente. Como no poderemos ter mais do que n vetores LI em V, ento aps um nmero finito de passos teremos obtido uma base de V. Teorema: Se , qualquer conjunto de n vetores LI formar uma base de V. Prova: Se no formasse uma base, poderamos completar o conjunto at form-la e dessa forma teramos uma base com mais do que n vetores em V, o que um absurdo. Teorema:SeUeWsosubespaosdeumespaovetorialVquetemdimensofinita,ento Alm disso:

Parapermitirumainterpretaogeomtrica,consideramosoespaotridimensional

.Adimensode qualquer subespao S de

s poder ser 0,1,2 ou 3. Portanto, temos os seguintes casos: i), ento

. Ou seja, o subespao a origem (apenas um ponto); ii), ento S uma reta que passa pela origem; iii), ento S um plano que passa pela origem; iv), ento S o prprio

. 13.1.Questes 1) Ilustre com um exemplo a proposio: se U e W so subespaos de um espao vetorialque tem dimenso finita ento. 2) Escreva uma base para o espao vetorial das matrizes . Qual a dimenso desse espao? 3) Resolva a questo anterior considerando o espao das matrizes . E qual seria a dimenso de um espao de matrizes? 4) Seja V o espao das matrizes , e seja W o subespaos gerado por

Encontre uma base e a dimenso de W. 5) Considere o subespao de

gerado pelos vetores

,

,

e

. a) O vetor pertence a

? Justifique. b) Exiba uma base para

. Qual a dimenso? c)

? Por qu? II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 38 de 40 14.Mudana de base Sejam

e

duasbasesordenadasdeummesmoespaovetorialVde dimenso . Dado , podemos escrev-lo como:(i)1 11 1......n nn nv x u x uv y w y w= + + = + + Devemos relacionar

com

. J que

base de V, podemos escrever os vetores

como combinao linear dos vetores

: (ii)1 11 1 21 2 12 12 1 22 2 21 1 2 2............n nn nn n n nn nw au a u a uw au a u a uw a u a u a u= + + + = + + += + + +

Substituindo (ii) na segunda equao de (i), temos:1 1...n nv y w y w = + + 1y (11 1 21 2 1...n nau au au + + + ) + ... + ny (1 1 2 2...n n nn nau a u a u + + + ) 11 1 1 1 1 1( ... ) ... ( ... )n n n nn n na y a y u a y a y u = + + + + + +Mas 1 1...n nv x u x u = + + , e, como as coordenadas em relao a uma base so nicas, temos: 1 11 1 11 1.........n nn n nn nx a y a yx a y a y= + + = + +

Amatrizdoscoeficientesestatuandocomoumamatrizdemudanadebase,poistransformaovetor

em outro

, numa segunda base. Assim:

Esta a matriz de mudana de base da base para a base . Umavezobtida

,podemosencontrarascoordenadasdequalquervetoremrelaobase multiplicandoamatrizpelascoordenadasdeemrelaobase (ambasasbasessupostamente conhecidas). II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 39 de 40

Observao: Note que a matriz

obtida de (ii) transpondo a matriz dos coeficientes.

Questo: Calcule

de parae

. Soluo 1:i) Inicialmente, procurando

, ento colocamos em funo de :

;

;

;

Dessa forma, | |11 1221 224 311 111 211 11a aIa a||' ( ( (= =( ( ( ( ii)( ) | | ( )4 35 411 115, 8 5, 81 2 3 111 11I||| |'' ( ( (( (( = = =( (( ( ( Isto ,(5, 8) 4(2, 1) 1(3, 4) = ; Soluo 2: Basta resolver o sistema:(5, 8) (2, 1) (3, 4) a b = + 2 3 54 8a ba b+ = + = 41ab= = Observao: O clculo feito da matriz de mudana de base s vantajoso quando se trabalha com vrios vetores, para no ter que resolver um sistema de equaes a cada vetor. 14.1.A inversa da matriz de mudana de base II Curso Pr-Engenharia Apostila de lgebra Linear Pgina 40 de 40 Umfatoimportantequeamatriz

invertvele

.Dessaforma,podemosus-la para encontrar

pois

. 14.2.Questes 1) Se

, ache

onde

. 2) Se base de um espao vetorial, qual a matriz de mudana de base

? 3) Seja V o espao vetorial de matrizestriangulares superiores. Sejameduas bases de V tais que

e

. a) Ache

. b) Mostre que

. 4) Uma elipse em uma base cartesiana est rotacionada em um ngulo de 45 e sua base formada pelos vetores. Ache a matriz de mudana de base para uma nova base onde os vetores sejam respectivamentee .