Apostila de-algebra-linear-1235013869657841-2

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Á Á l l g g e e b b r r a a L L i i n n e e a a r r Prof.: Denilson Paulo

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Prof.: Denilson Paulo

Álgebra Linear - Profa Ana Paula

AULA1Data: ____/_____/____

MATRIZESDefinição: Conjunto de números dispostos numa forma retangular (ou quadrada).Exemplo:

A =

1 4−4 0−3 2

3x2

B =

8−21

3x1

C =

7 0 1−34 2 0,6−2,7 1 0

D = 3 E = 5 1

A matriz A é retangular 3x2, ou seja, possui 3 linhas e 2 colunas.A matriz B é uma matriz-coluna 3x1, ou seja, possui 3 linhas e 1 coluna.A matriz C é uma matriz quadrada ___x___, ou seja, possui ___ linhas e ___ colunas.A matriz D é uma matriz quadrada ___x___, ou seja, possui ___ linha e ___ coluna.A matriz E é uma matriz-linha ___x___, ou seja, possui ___ linha e ___ colunas.

De uma forma geral, uma matriz Amxn tem m linhas e n colunas, sendo m e n as suasdimensões e sua representação genérica é a seguinte:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

mxn

Usamos as palavras "tamanho" ou "dimensão" ou "ordem" para dizer quantas linhas e colunasuma matriz possui. Use-se letra maiúscula para representá-la:

A = aij mxn ou aij .

Cada elemento da matriz A é representada pela mesma letra em minúsculo e é seguido de doisnúmeros subscritos, sendo o primeiro deles o número da linha onde o elemento se encontra e osegundo o número da coluna, ou seja, o elemento a23 encontra-se na segunda linha e terceiracoluna.

Exercício 1: Dadas as matrizes:

A =

−1 5 8 0−2 3 1 42 6 −4 −2

B =

5 4 −5 20 5 −3 −12 7 0 −2

C =

2 3 −1 4 −5 2 11 2 6 5 −1 9 20 3 −3 5 4 0 43 4 −3 6 9 1 6

D =

4 −2 1 3 46 7 −8 9 102 5 −1 3 53 1 0 1 64 −3 8 4 2

a) Determine a ordem de cada matriz acima.b) Determine os elementos c45,c16,c37,d51,d45,a34,a12,b32 e b23.

Aula 1

Matrizes EspeciaisMatriz nula: é a matriz de qualquer tamanho com todos os seus elementos iguais a zero.

Exemplo:A =

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

3x5Um elemento qualquer de uma matriz nula é dado por aij = 0 para todos i e j.Obs: Usa-se a notação A = 0 para matriz nula. Não confundir com o número zero!!!

Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Nestecaso, diz-se que a matriz é de ordem n, onde n é o número de linhas e colunas da matriz.

Exemplo: A =

7 0 1−34 2 0,6−2,7 1 0

3x3

.Neste exemplo a matriz A é de ordem 3.

Matriz diagonal: é uma matriz quadrada que possui todos os elementos fora da diagonalprincipal nulos.

Exemplo:A =

7 0 00 2 00 0 3

3x3

Um elemento qualquer de uma matriz diagonal é dado por: aij =0 se i ≠ jd se i = j

onde d ∈ R.

Obs:1. Os elementos a11,a22,a33, . . . ,ann constituem a diagonal principal de uma matriz quadrada.

Exemplo: Marque os elementos da diagonal principal: A =

7 −4 1−9 3 65 1 0

3x3

.

2. Os elementos da diagonal principal podem ser quaisquer números, inclusive zero. Porém, sea diagonal principal for constituída toda de zeros, matriz passará ser uma matriz nula.

3. Se A é uma matriz quadrada, então Traço é soma dos elementos da diagonal principal, istoé, a11 + a22 + a33 +. . .+ann. O traço não está definido se a matriz A não for quadrada.

Notação: trA = a11 + a22 + a33 +. . .+ann =

k=1

n∑ akk

Exemplo: Do exemplo acima: trA = 7 + 2 + 3 = 12.

Exercício 2: Encontre o traço da matriz B =

1 2 3−5 6 80 1 −3

.

2

Aula 1

Matriz identidade: é uma matriz diagonal que possui todos os seus elementos não-nulos iguaisa 1. É geralmente denotada pela letra I.

Exemplo: Matriz identidade de ordem 3: I3 =

1 0 00 1 00 0 1

3x3

Um elemento qualquer de uma matriz identidade é dado por: aij =0 se i ≠ j1 se i = j

para i=1,..., n

e j = 1, ...,n.

Exercício 3: Escreva as matrizes identidade de ordem 2 , 4 e 5.

I2 = I4 = I5 =

Matriz transposta: a matriz transposta relativa a matriz Amxn é definida através da seguinterelação:

aijT= aji, para todo i e todo j.

Exemplo.: Seja a matriz A =

−1 5 8 0−2 3 1 42 6 −4 −2

, então sua transposta será

AT=

−1 −2 25 3 68 1 −40 4 −2

.

Exercício 4: Usando as matrizes do exercício 1, determine:a) Os elementos da diagonal principal da matriz D.b) O traço da matriz de D.c) BT

d) CT

3

Aula 1

Matriz simétrica: é uma matriz quadrada cujos elementos obedecem a seguinte relação:

aijT= aji, isto é, AT

= A.

Exemplo: A matriz A =

7 −1 4−1 2 54 5 3

3x3

é simétrica, pois A = AT.Verifique encontrando a

matriz transposta de A, AT= .

Matriz anti-simétrica: a matriz anti-simétrica relativa a matriz Anxn é definida através daseguinte relação:

aji = −aijT, isto é, A = −AT.

Exemplo: Seja a matriz A =

0 −1 41 0 −5−4 5 0

3x3

é uma matriz anti-simétrica.

Observe que os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica devem ser todosnulos. Por quê???

Vetores: é um caso especial de matrizes, onde uma das dimensões é unitária (igual a 1).

Exemplo: Neste caso, B =

8−21

3x1

é um vetor coluna e E = 5 11x2

é um vetor linha.

Matriz triangular Inferior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos acima da diagonalprincipal são zeros é chamada de matriz triangular inferior.

Exemplo: A =

7 0 05 2 0−8 7 4

3x3

Um elemento qualquer de uma matriz triangular inferior é dado por: aij =0 se i < jd se i ≥ j

onde d

∈ R.

Matriz triangular Superior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo dadiagonal principal são zeros é chamada de matriz triangular superior.

4

Aula 1

Exemplo: B =

7 4 30 2 −60 0 4

3x3

Um elemento qualquer de uma matriz superior é dado por: bij =0 se i > jd se i ≤ j

onde d ∈ R.

Propriedades:1. A transposta de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular superior.2. A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior.

Exercícios 5: Quais das matrizes são simétricas e quais são anti-simétricas?

A =

3 −44 1

B =

3 44 0

C =

4 −3 0−3 5 20 2 1

D =

0 0 10 0 21 2 3

E =

0 −3 63 0 7−6 −7 0

Operações com Matrizes

Igualdade de matrizesDuas matrizes A e B são iguais, se e somente se aij = bij, elemento por elemento.

Exemplo: Se A = B e A =

3 x5 2

e B =

3 −45 2

, então x = −4.

Exercício 6: Dadas as matrizes A =

2 13 x

e B =

2 13 5

. Qual o valor de x para que

A = B?

Exercício 7: Calcule os valores de x ,y e z para que as matrizes A e B sejam iguais.

A =

x2− 5x 7 82 y2

−1e B =

6 −z 82 9 −1

5

Aula 1

É possível a matriz C =

x2− 5x 72 y2

se igual a A para algum valor de x e de y? Justique a

sua resposta.

Soma e Subtração de MatrizesA soma de duas matrizes A e B só será possível se as duas matrizes tiverem a mesma

dimensão e é definida como cij = aij + bij, onde C é matriz obtida da soma das matrizes A e B. Asubtração de duas matrizes A e B é definida de modo análogo, onde cij = aij − bij.

Exemplo: Considere as matrizes A =

2 1 0 3−1 0 2 45 −2 7 6

e B =

−4 3 5 12 2 0 −13 2 −4 5

.Calcule

A + B e A − B.

A + B =

2 1 0 3−1 0 2 45 −2 7 6

+

−4 3 5 12 2 0 −13 2 −4 5

=

−2 4 5 41 2 2 38 0 3 11

A − B =

2 1 0 3−1 0 2 45 −2 7 6

−4 3 5 12 2 0 −13 2 −4 5

=

6 −2 −5 2−3 −2 2 52 −4 11 1

Obs: Matrizes de dimensões diferentes não podem ser somadas ou subtraídas.Propriedades:

a) (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)b) A + B = B + A (comutativa)c) A + 0 = 0 + A = A (0 é a matriz nula e elemento neutro da adição)

Exercício 8: Dadas as matrizes A =

2 3−3 50 1

e B =

4 61 89 3

. Calcule A + B e A − B.

6

Aula 1

Multiplicação por uma constanteMultiplicar uma matriz por uma constante (k), implica em multiplicar todos os elementos da

matriz pela constante, isto é, um elemento qualquer da matriz C = k ⋅ A será cij = k ⋅ aij para todo ie j.

Exemplo: Seja a matriz A =

2 1 0 3−1 0 2 45 −2 7 6

.Calcule 2A, 12 A e −A.

2A = 2 ⋅

2 1 0 3−1 0 2 45 −2 7 6

=

4 2 0 6−2 0 4 810 −4 14 12

12 A =

12 ⋅

2 1 0 3−1 0 2 45 −2 7 6

=

1 12 0 3

2

−12 0 1 2

52 −1 7

2 3

−A = −

2 1 0 3−1 0 2 45 −2 7 6

=

−2 −1 0 −31 0 −2 −4−5 2 −7 −6

Exercício 9: Dadas as matrizes A =

2 3−3 50 1

e B =

4 61 89 3

. Calcule 2A + 3B e 13 A − 2B.

Multiplicação de matrizesPara multiplicar duas matrizes é sempre necessário que o número de colunas da primeira

matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz resultante do produto de duasmatrizes terá sempre o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunasda segunda matriz, ou seja, a multiplicação Amxn.Bnxp terá como resultado uma matriz Cmxp. A

7

Aula 1multiplicação de matrizes é definida como sendo:

Amxn ⋅ Bnxp = Cmxp

Um elemento qualquer da matriz resultante C é dado por: cij =

k=1

n∑ aik ⋅ bkj, para i = 1, . . . ,m e

j = 1, . . . ,p.

Exemplo: Dadas as matrizes A =

1 65 08 7

e B =

1 3 5 89 7 6 5

.

Qual é a dimensão da matriz C, onde C = A ⋅ B?

Qual é a dimensão da matriz D, onde D = B ⋅ A?

Então, só será possível encontrar a matriz C, que será:

C = A ⋅ B =

1 65 08 7

⋅1 3 5 89 7 6 5

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

=

Obs: A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A ⋅ B ≠ B ⋅ A, em geral.

Multiplicação de matriz por vetorEsta operação segue a mesma regra da multiplicação de matrizes, uma vez que um vetor é um

caso particular de uma matriz e dá como resultado uma matriz.

Multiplicação de vetoresÉ feita de maneira análoga a multiplicação de matrizes. No caso da multiplicação de um vetor

linha por um vetor coluna, o resultado será um número.

Propriedades:Sejam α e β dois números reais e A, B, C matrizes ( ou vetores) de ordem que permitam

realizar as operações.1) A ⋅ B ⋅ C = A ⋅ B ⋅ C (associativa)2) A ⋅ B + C = A ⋅ B + A ⋅ C (distributiva à esquerda)3) A + B ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C (distributiva à direita)4) I ⋅ A = A ⋅ I = A (Ié matriz identidade e elemento neutro)5) α ⋅ β ⋅ A = α ⋅ β ⋅ A6) A ⋅ α ⋅ B = α ⋅ A ⋅ B7) α ⋅ A + B = α ⋅ A + α ⋅ B8) α + β ⋅ A = α ⋅ A + β ⋅ A8

Aula 19) A ⋅ B = 0 para A ≠ 0 e B ≠ 0 (0 é a matriz nula)10) A − A = 011) A ⋅ 0 = 0 ⋅ A = 0

Das matrizes triangulares:12) O produto de matrizes triangulares inferiores é superior.13) O produto de matrizes triangulares superiores é inferior.

Da matriz transposta:14) ATT

= A15) A + BT

= AT+ BT

16) k ⋅ AT= k ⋅ AT, para k uma constante real.

17) A ⋅ BT= BT ⋅ AT

18) Se AB = AC com A ≠ 0, não implica que B = C, isto é, não vale a lei do cancelamento.

Das matrizes simétricas:Se A e B são matrizes simétricas de mesma ordem e se k é um constante real qualquer, então:19) AT é simétrica;20) A + B é simétrica;21) k ⋅ A é simétrica.22) Não é verdade, em geral, que o produto de matrizes simétricas é uma matriz simétrica.23) O produto de uma matriz e sua transposta é uma matriz simétrica, isto é, AT ⋅ A e A ⋅ AT são

simétricas.

Do traço:24) trA + B = trA + trB25) trk ⋅ A = k ⋅ trA

PotenciaçãoSe A é uma matriz quadrada, definimos:

A0= I

A1= A

A2= A ⋅ A⋮

An=

n vezes

A ⋅ A ⋅ A⋯ ⋅ A, com n > 0

PropriedadesSeja A uma matriz quadrada de ordem n e r e s números inteiros, então:a) Ar ⋅ As

= Ar+s

b) Ars= Ars

Exercício 10: Sejam as matrizes A =

1 2 32 1 −1

, B =

−2 0 13 0 1

, C =

−124

e

9

Aula 1D = 2 −1

Encontre:a) A + B

b) A ⋅ C

c) B ⋅ C

d) C ⋅ D

e) D ⋅ A

f) D ⋅ B

g) −A

h) −D

i) 2A − 3B

10

Aula 1j)CT ⋅ AT

Exercício 11: Seja A =

−2 13 2

. Calcule A2.

Exercício 12: Se A =

3 −2−4 3

, ache B, de modo que B2= A.

Exercício 13: Sejam as matrizes A =

2 −1−1 0

e B =

0 −22 0

.

Encontre:a) AT ⋅ BT

b) BT ⋅ AT

c) A + B2

d) A2

11

Aula 1

e) B2

Exercícios de Revisão1. Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes das seguintes ordens:

A4x5 B4x5 C5x2 D4x2 E5x4

Determine qual das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estãodefinidas, dê a ordem da matriz resultante.

a) B ⋅ A b) A ⋅ C + D c) A ⋅ E + Bd) A ⋅ B + B e) E ⋅ A + B f) E ⋅ A ⋅ Cg) ET ⋅ A h) AT

+ E ⋅ DResp:não é possível fazer: a, c, d, g, b) 4x2 e) 5x5 f) 5x2 h) 5x2

2. Considere as matrizes:

A =

3 0−1 21 1

, B =

4 −10 2

, C =

1 4 23 1 5

, D =

1 5 2−1 0 13 2 4

, E =

6 1 3−1 1 24 1 3

Calcule (quando possível)a) D + E b) D − E c) 5 ⋅ A d)−7Ce) 2 ⋅ B − C f) 4 ⋅ E − 2 ⋅ D g) −3 ⋅ D + 2 ⋅ E h) A − Ai) trD j) trD − 3 ⋅ E k) 4 ⋅ tr7 ⋅ B l) trAm) 2AT

+ C n) 12 CT

−14 A o) DTET

− EDT p) BTCCT− ATA

q) B2

Resp: . não é possível fazer: e, L

Resp: a)7 6 5−2 1 37 3 7

, b)−5 4 −10 −1 −1−1 1 1

c)15 0−5 105 5

d)−7 −28 −14−21 −7 −35

f)48 104 8424 −4 2024 88 52

g)−39 −21 −24

9 −6 −15−33 −12 −30

h) matriz nula i) 5 j) 25 k) 168

m)7 2 43 5 7

n)

54

32

74 034

94

o) matriz nula p)40 7226 42

q)16 −60 4

Exercícios Aplicados

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Aula 11. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e

colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo

Moderno 5 20 16 7 17Mediterrâneo 7 18 12 9 21

Colonial 6 25 8 5 13a) Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial,

respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam,

respectivamente, 15, 8,5,1 e 10 reais. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?c) Qual o custo total do material empregado?2. Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissores de potências distintas.

Estabelecemos que aij = 1, na matriz abaixo, significa que a estação i pode transmitir diretamente àestação j, aij = 0 significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j. Observe que adiagonal principal é nula significando que uma estação não transmite diretamente para si mesma.

A =

0 1 1 1 11 0 1 1 00 1 0 1 00 0 1 0 10 0 0 1 0

Qual seria o significado da matriz A2= A ⋅ A?

Seja A2= cij . Calculemos o elemento c42 =

k=1

5∑ a4k ⋅ ak2 = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1.

Note que a única parcela não nula veio de a43 ⋅ a32 = 1 ⋅ 1. Isto significa que a estação 4transmite para a estação 2 através de uma retransmissão pela estação 3, embora não exista umatransmissão direta de 4 para 2.

a) Calcule A2. Resp:

0 1 1 1 11 0 1 1 00 1 0 1 00 0 1 0 10 0 0 1 0

2

=

1 1 2 3 10 2 2 2 21 0 2 1 10 1 0 2 00 0 1 0 1

b) Qual o significado de c13 = 2?c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a

afirmação: "A matriz A2 representa o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação aoutra como uma única retransmissão".

d) Qual o significado das matrizes A + A2,A3 e A + A2+ A3?

e) Se A fosse simétrica, o que significaria?3. Existem três marcas de automóveis disponíveis no mercado: A, B,e C. O termo aij da matriz

A abaixo é a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o carro da coluna j,quando comprar um carro novo.

13

Aula 1

DeABC

Para

A. . . B. . . C. .

0, 7 0,2 0,10,3 0,5 0,20,4 0,4 0,2

Os termos da diagonal dão a probabilidade aii de se comprar um carro novo de mesma marca.A2 representa as probabilidades de se mudar de uma marca para outra depois de duas

compras. Calcule A2 e interprete.

Resp:0.7 0.2 0.10.3 0.5 0.20.4 0.4 0.2

2

=

0.59 0.28 0.130.44 0.39 0.170.48 0.36 0.16

Gabarito10.

a)−1 2 45 1 0

b)15−4

c)61

d)−2 14 −28 −4

e) 0 3 7 f)

−7 0 1

g)−1 −2 −3−2 −1 1

h) −2 1 i)8 4 3−5 2 −5

j) 15 −4

11. :7 00 7

13: a)2 40 −2

b)−2 0−4 2

c)1 −62 −3

d)5 −2−2 1

e)−4 00 −4

14

Álgebra Linear - Profa Ana Paula

AULA 2Data: ____/_____/____

DETERMINANTESO determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n, onde:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

nxné denotado por detA ou |A|, e é definido como sendo o número obtido pela soma algébrica dos

n! (n fatorial) produtos possíveis constituídos por um elemento de cada linha e de cada coluna de Amultiplicado por 1 ou por -1, de acordo com a seguinte regra :

“Seja o produto escrito na seguinte forma: a1i ⋅ a2j ⋅ a3k ⋅. . . (n termos).Se a seqüência dos índices i , j, k é um permutação par em relação a 1,2,3, . . . . ,n, então o

produto deve ser multiplicado por 1; do contrário, o produto deverá ser multiplicado por -1”.

Entenda-se por permutação, o número de trocas necessárias para se ordenar uma seqüênciai, j,k. . .n.

Dessa forma, o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2:

A =

a11 a12

a21 a222x2

será definido pelo produto:

detA =

a11 a12

a21 a22= a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21

E o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3:

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a333x3

será definido pelo produto:

detA =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a23a12 − a13a22a31 + a23a32a11 + a33a21a12

Quando |A|= 0, a matriz A é dita singular.

Exercício 1: Calcule os determinates:

15

Aula 2

1.3 4−1 3

= 2.5 10 3

=

3.3 −1 24 5 60 1 0

=

4.1 0 −12 5 01 2 2

=

PropriedadesAs seguintes propriedades permitem facilitar o problema do cálculo de determinantes:

1. O determinante é nulo, se todos os elementos de uma linha ou coluna da matriz são nulos;

Exemplo:2 −6 70 0 05 4 8

=

4 3 05 9 0−1 10 0

=

2. O determinante não se altera se todas as linhas i são permutadas com todas as colunas i,isto é,

detA = detAT.

Exemplo: Seja a matriz A =

1 3 2−1 0 34 3 2

com detA =1 3 2−1 0 34 3 2

=

Trocando a linha 1 pela coluna 1, linha 2 pela coluna 2 e linha 3 pela coluna 3, isto é,calculando a matriz transposta de A:

AT=

1 −1 43 0 32 3 2

. Então, o determinante de AT=

1 −1 43 0 32 3 2

=

3. O determinante muda de sinal se uma linha da matriz é permutada com outra linha, ou seuma coluna é permutada com outra coluna;

Exemplo: Seja a matriz A =

1 3 2−1 0 34 3 2

. Trocando a linha 2 com a linha 3, temos

16

Aula 2

B =

1 3 24 3 2−1 0 3

. Então,

o determinante de B =

1 3 24 3 2−1 0 3

=

4.Se os elementos de uma linha ou coluna são multiplicados por um número, o determinantefica também multiplicado por este número;

Exemplo: Seja a matriz A =

1 3 2−1 0 34 3 2

.

Multiplicando a linha 2 da matriz A por -2, temos B =

1 3 22 0 −64 3 2

e

1 3 22 0 −64 3 2

= −2 ⋅ detA =

Multiplicando a coluna 3 da matriz A por 3, temos C =

1 3 6−1 0 94 3 6

e

1 3 6−1 0 94 3 6

= 3 ⋅ detA =

Multiplicando a matriz A por 2, isto é, cada linha ou coluna será multiplicada por 2, temos:

D =

2 6 4−2 0 68 6 4

, então o detD = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ detA =

De uma forma geral, detk ⋅ A = kn ⋅ detA, onde k é uma constante real.

5. O determinante é nulo se os elementos de duas linhas ou duas colunas são iguais ouproporcionais entre si;

17

Aula 2

Exemplo:2 3 23 0 32 3 2

=

1 2 33 2 7−2 −4 −6

=

Duas colunas iguais Duas linhas proporcionais

6. O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha ou coluna osrespectivos elementos de outra linha ou coluna multiplicados por um número.

Exemplo: Seja a matriz A =

1 3 2−1 0 34 3 2

.Substituindo a linha 2 pela soma da linha 2 mais o

três vezes a linha 1, isto é, L2 = L2 + 3 ⋅ L1, temos:1 3 22 9 94 3 2

. Então,1 3 22 9 94 3 2

=

7.Se A é uma matriz triangular (triangular superior ou inferior ou diagonal) de ordem n, entãodetA é o produto dos elementos da diagonal principal da matriz, ou seja, detA = a11 ⋅ a22 ⋅. . . ⋅ann.

Exemplo:2 3 50 −2 70 0 1

=

3 0 0−5 2 0−8 −9 4

=

8. O determinante da matriz identidade é 1 seja qual for a sua ordem, isto é, detIn = 1.

Exemplo:

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

=

9.detA + B ≠ detA + detB, em geral.

Exemplo: Sejam as matrizes A =

3 −24 5

e B =

0 13 5

Calcule

detA =

3 −24 5

= detB =

0 13 5

=

18

Aula 2

A + B =

3 −24 5

+

0 13 5

= detA + B =

10. detA ⋅ B = detA ⋅ detB

Exemplo: Sejam as matrizes A =

3 −24 5

e B =

0 13 5

, as matrizes do exemplo

anterior.Calcule

A ⋅ B =

3 −24 5

⋅0 13 5

=

detA ⋅ B =

Exercício 2: Calcule os determinantes, procurando usar as propriedades. Especifique apropriedade utilizada.

1.1 1 13 0 −22 2 2

=

2.3 1 00 −2 50 0 4

=

3.0 0 10 5 −23 −1 4

=

4.2 −3 −41 −3 −2−1 5 2

=

5.1 2 30 4 11 6 4

=

6.4 1 3−2 0 −25 4 1

=

19

Aula 2

7.

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

=

8.

0 2 0 0−3 0 0 00 0 0 40 0 1 0

=

9.

1 0 1 00 1 0 11 1 0 00 0 1 1

=

Calculando Determinantes ao longo de linhas ou colunas

Menores: O menor de um elemento aij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo odeterminante da submatriz Mij gerada pela retirada de i-ésima linha e da j-ésima coluna destamatriz.

Notação: |Mij |.

Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3: A =

4 −1 23 0 56 1 7

. O menor do elemento a21 é o

determinante da submatriz M21 gerada pela retirada da linha 2 e coluna 1, isto é,

|M21 | =−1 21 7

= − 9.

Uma matriz de ordem n possui nxn menores, cada um associado a um elemento desta matriz.

Cofatores: O cofator de um elemento aij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o"menor com sinal" de aij e é dado pela seguinte relação:

Cofaij = −1i+j ⋅ |Mij|Exemplo: Em relação ao exemplo anterior: Cofa21 = −12+1 ⋅ |M21|= −1−9 = 9.

Matriz de Cofatores: é definida como sendo a matriz cujos elementos são os cofatores doselementos da matriz original, ou seja:

Se A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

nxn

, então a matriz dos cofatores é dada por:

20

Aula 2

CofA =

cofa11 cofa12 . . . cofa1n

cofa21 cofa22 . . . cofa2n

. . . . . . . . . . . .cofan1 cofan2 . . . cofann

nxn

Matriz Adjunta: é definida como sendo a matriz de cofatores transposta, ou seja,AdjA = CofAT.

Exemplo: A matriz dos cofatores de A =

4 −1 23 0 56 1 7

.

Exemplo: E a matriz adjunta de A =

4 −1 23 0 56 1 7

é:

Expansão de Determinantes por Co-fatores

O determinante de uma matriz quadrada de ordem n pode ser expandido em função decofatores, mediante uma das seguintes expressões:

|A| =k=1

n∑ aikcofaik, desenvolvendo através da linha i, ou

|A| =k=1

n∑ akjcofakj, desenvolvendo através da coluna j.

21

Aula 2

Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3: A =

2 3 56 7 51 10 11

.

O determinante calculado ao longo da primeira coluna é dado por:

detA = 2 ⋅ −11+1 ⋅7 5

10 11+ 6 ⋅ −12+1 ⋅

3 510 11

+ 1 ⋅ −13+1 ⋅3 57 5

=

O determinante calculado ao longo da segunda linha é dado por:

detA = 6 ⋅ −12+1 ⋅3 5

10 11+ 7 ⋅ −12+2 ⋅

2 51 11

+ 5 ⋅ −12+3 ⋅2 31 10

=

Seja qual for a linha ou coluna utilizada para calcular o determinante, o resultado será omesmo:

det2 3 56 7 51 10 11

= 136

DICA: Calcular o determinante ao longo da linha ou coluna que tenha o maior número de zeros.

Exercício 3: Usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareçaconveniente.

1.5 2 2−1 1 23 0 0

=

2.1 1 −12 0 13 −2 1

=

3.−4 1 32 −2 41 −1 0

=

4.cosθ senθ tgθ

0 cosθ −senθ0 senθ cosθ

=

5.

1 −1 0 32 5 2 60 1 0 01 4 2 1

=

22

Aula 2

6.

2 0 3 −11 0 2 20 −1 1 42 0 1 −3

=

Resp: 2) 7 3) -12 5) 4 6) 8

Curiosidade: O produto de uma matriz pela sua matriz adjunta dará uma matriz diagonal, cujadiagonal é o valor do determinante da matriz original.

Exemplo: A =

a bc d

e AdjA =

d −b−c a

.Então,

a bc d

d −b−c a

=

ad − bc 00 ad − bc

.

Exercício 4: Multiplique a matriz A =3 5−1 4

pela sua matriz adjunta e calcule o

determinante de A. Compare os resultados.

Exercícios de revisão1. Calcule os determinantes:

a)a b 00 a ba 0 b

= ab2+ a2b b)

0 a 0b c d0 e 0

= 0

c)

0 0 0 a0 0 b c0 d e fg h i j

= abdg d)1 0 00 cosθ −senθ0 senθ cosθ

= 1

23

Aula 2

2. Resolva a equaçãox 5 70 x + 1 60 0 2x − 1

= 0. Resp; x = 0 ou x = −1 ou x = ½.

3. Encontre os determinantes, assumindo quea b cd e fg h i

= 4.

a)2a 2b 2cd e fg h i

b)3a −b 2c3d −e 2f3g −h 2i

c)d e fa b cg h i

d)a + g b + h c + i

d e fg h i

e)2c b a2f e d2i h g

Resp: a) 8 b) -24 c) -4 d) 4 e) -8

Exercícios de aplicação1. Calcule a área do paralelogramo determinado pelos pontos:a) (-2,-2), (0,3), (4,-1) e (6,4)b) (0,0), (5,2), (6,4), (11,6)c) (0,0), (-1,3), (4,-5), (3,-2)

2. Calcule a área do triângulo de vértices:a) (0,0), (3,4), (-2,3)b) (2,-1), (3,3), (-2,5)c) (-3,-1), (1,4), (3,-2)

3. Determine o volume do paralelepípedo que tem os seguintes vértices:a) (0,0,0), (1,0,-2), (1,2,4) e (7,1,0)b) (0,0,0), (1,4,0), (-2,-5,2) e (-1,2, -1)

24

Álgebra Linear - Profa Ana Paula

AULA 3Data: ____/_____/____

MATRIZ INVERSA

Matriz Inversa: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se detA ≠ 0, então existe umamatriz B, tal que a seguinte relação seja satisfeita :

A ⋅ B = B ⋅ A = I (I é a matriz identidade)

A matriz B é chamada de matriz inversa de A e representada por B = A−1.Logo, temos:

A ⋅ A−1= A−1 ⋅ A = I

Observe que a operação de multiplicação com a matriz inversa é comutativa.Se detA = 0, dizemos que a matriz A é não-inversível ou singular.

Cálculo da Matriz Inversa

A matriz inversa é calculada pela seguinte relação:

A−1=

1detA AdjA.

Exemplo: Calculando a matriz inversa de A =

2 3 56 7 51 10 11

Calculando-se o determinante da matriz A:2 3 56 7 51 10 11

= 136

A matriz de cofatores é calculada como sendo: CofA =

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

.

A matriz adjunta é ,a matriz dos cofatores A transposta:

AdjA = CofAT=

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .Com isso temos:25

Aula 3

A−1=

1detA AdjA =

1136

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

=

27136

18 −

534

−61

13618

534

53136 −

18 −

134

.

Obs: Uma matriz triangular é inversível, se e somente se seus elementos na diagonal principalsão todos não-nulos.

Exercício 1: Calcule a matriz inversa de A, se possível:

a) A =

3 −11 1

b)6 32 1

26

Aula 3

Propriedades1) A inversa de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior.2) A inversa de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior.3) Se A ⋅ B é inversível, então A ⋅ B−1

= B−1 ⋅ A−1.4) A é inversível, então A−1−1

= A.5) A−n

= A−1n=

n fatores

A−1 ⋅ A−1 ⋅… ⋅A−1.

5) An é inversível e An−1= A−1n para n = 0,1,2, . . .

6) Para qualquer k constante real, a matriz k.A é inversível e.k ⋅ A−1=

1k A−1.

7) Se A é uma matriz inversível, então AT também é inversível eAT−1= A−1T.

8) Se A é uma matriz simétrica inversível, então A−1 é simétrica.9) Se A é uma matriz inversível, então A ⋅ AT e AT ⋅ A são também inversível.

Exercício 2: Seja A =

4 71 2

. Calcule:

a) A3

b) A−3

c) A2− 2 ⋅ A + I, onde I é a matriz identidade

27

Aula 3

Exercício de revisão1. Encontre a matriz inversa de cada matriz dada, se possível:

a) A =

34

35

56

23

Resp:não é possível

b)22 − 2

2 2 2Resp:

15 2 1

5 2

−25 2 1

10 2

c)cosθ −senθsenθ cosθ

Resp:cosθ −senθsenθ cosθ

2. Mostre que a matriz1 0 00 cosθ −senθ0 senθ cosθ

é inversível para todos os valores de θ. Em

seguida, encontre a sua inversa. Resp:1 0 00 cosθ senθ0 −senθ cosθ

.

3. Dada A =

2 11 1

. Calcule:a) A2 b) A−2 c) A2− 3 ⋅ A + I

Resp: a)5 33 2

b)2 −3−3 5

c)9 88 1

4. Dadas as matrizes A =

−2 −31 1

e B =

2 04 1

. Calcule:

a) A ⋅ B−1 b) A ⋅ BT c) A ⋅ A−1− I d) 2 ⋅ B−1

Resp: a)12

32

−3 −8b)

−16 6−3 1

c) 0 d)14 0

−1 12

Exercício de aplicação

28

Aula 3Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes. Vamos

associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo:A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Suponhamos que a nossa mensagem seja "PUXA VIDA". Podemos formar uma matriz 3x3assim:

P U XA − VI D A

, que usando a correspondência numérica fica .15 20 231 0 219 4 1

= M

Agora seja C uma matriz qualquer 3x3 inversível, por exemplo: C =

1 0 1−1 3 10 1 1

.

Multiplicamos nossa matriz da mensagem por C, obtendo

M ⋅ C =

15 20 231 0 219 4 1

1 0 1−1 3 10 1 1

=

−5 83 581 21 225 13 14

Transmitimos esta nova matriz (na prática, envia-se a cadeia de números -5 83 58 1 21 22 5 1314). Quem recebe a mensagem decodifica-a através da multiplicação pela inversa MC.C−1

= M)e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada a matriz chave para o código.

a) Você recebeu a mensagem: -12 48 23 -2 42 26 1 42 29. Utilizando a mesma chave, traduzaa mensagem.

b) Aconteceu que o inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda você substituir a

matriz chave por C =

1 1 −11 1 00 0 2

. Você transmite a mensagem "CRETINO" a ele (codificada,

naturalmente!). Por que não será possível a ele decodificar sua mensagem?c) Escolha uma outra matriz-chave que dê para codificar palavras até 9 letras. Codifique e

descodifique à vontade!

29

Álgebra Linear - Profa Ana Paula

AULA 4Data: ____/_____/____

Equações matriciais

Exercício 1: Ache X, dadas A =

1 23 4

e B =

−1 01 1

.

1. X − 2A + 3B = 0

2. 2X = A − B

3. 2A + 2B = 3X

4. 2A − B + X = 3X − A

30

Aula 4

Exercício 2: Resolva a seguinte equação matricial em X (assuma que as matrizes são tais queas operações indicadas estão definidas)

1. ABX = C

2. CAXT= C

3. AX2C = AXBC

4. ADX = ABC

31

Aula 45. DXT

= DC

6. ABCX2D2= ABCXD

7. D−1XD = AC

8. CX + 2B = 3B

Exercício de revisão

Resolva a seguinte equação matricial em X (assuma que as matrizes são tais que as operaçõesindicadas estão definidas)

1. A−1BX−1= A−1B32

2. XA2= A−1

3. AXB = BA2

4. A−1X−1= AB−2A−1

5. ABXA−1B−1= I + A

32

g

AULA 5Data: ____/_____/____

Sistemas de Equações LinearesE quação Linear

Qualquer linha reta no plano xy pode ser representada algebricamente por uma equação daforma:

a1 ⋅ x + a2 ⋅ y = bonde a1, a2 e b são constantes reais e a1 e a2 não são ambas nulas. Uma equação desta forma

é chamada de equação linear nas variáveis x e y. De forma geral, uma equação linear nas nvariáveis x1, x2, ..., xm como uma equação que pode ser expressa na forma:

a1 ⋅ x1 + a2 ⋅ x2 + ⋯ + am ⋅ xm = bonde a1, a2, ..., am e b são constantes reais. As variáveis de uma equação linear são, muitas

vezes, chamadas incógnitas.Exemplo: São equações lineares:

x + 3y = 7y =

12 x + 3z + 1

x1 − 2x2 − 3x3 + 2 x4 = −33

Não são equações lineares:x + 3 y = 5

3x + 2y − z + xz = 4y = senx

Exercício 1:Quais das seguintes equações são lineares:

1. x1 − 5x2 − 2 x4 = 12. x1 + 3x2 + x2x3 = 23. x1 = −7x2 − 3x3

4. x1−2− 2x2 − 3x3 = 5

5. x135− 2x2 + x3 = 4

6. πx1 − 2 x2 −34 x3 = 0

Exercício 2: Sabendo que k é uma constante, quais das seguintes equações são lineares?

1. x1 − 2x2 − 3x3 = senk2. kx1 −

2k x2 = 9

3. 2kx1 + 7x2 − x3 = 0

32

Sistemas de equações lineares

Um sistema de n equações lineares e m incógnitas tem a seguinte representação algébrica:a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 + ⋯ + a1m ⋅ xm = b1

a21 ⋅ x1 + a22 ⋅ x2 + ⋯ + a2m ⋅ xm = b2

an1 ⋅ x1 + an2 ⋅ x2 + ⋯ + anm ⋅ xm = bn

onde aij são coeficientes conhecidos, bi são constantes dadas e xj são as incógnitas dosistema.

Uma equação genérica i do sistema poderia ser representada usando a notação ∑ (somatório)da seguinte maneira:

∑=

=n

jijij bxa

1

Para se representar todas as equações do sistema, basta fazer:

∑=

==n

jijij miparabxa

1

,,2,1 h

Deseja-se agora, representar o sistema usando notação matricial. Pode-se reescrevê-lo daseguinte maneira:

=

+++

n

m

nm

m

m

nn b

bb

x

a

aa

x

a

aa

x

a

aa

�����

2

1

2

1

2

2

22

12

1

1

21

11

Definindo-se os vetores:

=

=

=

=

nnm

m

m

m

nn b

bb

b

a

aa

A

a

aa

A

a

aa

Allll

2

1

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1

podemos reescrever o sistema de equações da seguinte forma:A1 ⋅ x1 + A2 ⋅ x2 +. . . .+Am ⋅ xm = b.

Finalmente se definirmos a matriz A e o vetor x na forma:

33

=

=

mnmnn

m

m

x

xx

x

aaa

aaaaaa

A�

����

2

1

21

22221

11211

podemos representar o sistema matricialmente como:A ⋅ x = B

ou seja,

� �

B

n

x

m

A

nmnn

m

m

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

=

ll

MMM LMMM KIh

llll

h

h

2

1

2

1

21

22221

11211

Nesta notação matricial. A é denominada matriz de coeficientes, x é denominado matriz dasvariáveis e B é denominado matriz dos termos independentes.

Exemplo: Seja o sistema de equações lineares

3 ⋅ x1 − 4 ⋅ x2 + 2 ⋅ x3 = 04 ⋅ x1 + 2 ⋅ x2 = −1−2 ⋅ x2 + x3 = 3

−2 ⋅ x1 + 3 ⋅ x3 = 2

. Este sistema tem

4 equações e 3 incógnitas.

Na forma matricial, tem-se:

A

3 −4 24 2 00 −2 1−2 0 3

4x3 X

x1

x2

x3

3x1

=

B

0−132

Matriz Aumentada: A matriz aumentada é obtida pela adjunção de b a A como a última coluna.

[ ]

=

nnmnn

m

m

baaa

baaabaaa

bA

��

������

��

��

21

222221

111211

34

Exemplo: Usando o último exemplo, a matriz aumentada deste sistema fica:3 −4 2 04 2 0 −10 −2 1 3−2 0 3 2

4x4

Exercício 3: Encontre a matriz aumentada de cada um dos seguintes sistemas de equaçõeslineares:

a)3x − 2y = −14x + 5y = 37x + 3y = 2

b)2x + 4z = 1

3x − y + 4z = 76x + y − z = 0

c)x1 + 2x 2 − x4 + x5 = 1

3x2 + x3 − x5 = 2x3 + 7x4 = 1

d)x1 = 1x2 = 2x3 = 3

Exercício 4: Encontre o sistema de equaçõe lineares correspondendo à matriz aumentada:

a)2 0 03 −4 00 1 1

b)3 0 −2 57 1 4 −30 −2 1 7

c)7 2 1 −3 51 2 4 0 1

d)

1 0 0 0 70 1 0 0 −20 0 1 0 30 0 0 1 4

35

Tipo de sistemas

Um sistema de equações lineares (SEL) tem solução quando existem valores para x1,x2, . . . ,xn

que sastifazem, simultaneamente, todas as equações do sistema.

Quanto a existência de soluções:Sistema Impossível (SI): Um sistema de equações que não possui soluçãoSistema Possível (SP): Se existir pelo menos uma solução do sistema, dizemos que ele é

possível.

Obs: Todo sistema de equações lineares tem ou nenhuma solução, ou exatamente uma, ouentão uma infinidade de soluções.

Quanto ao número de soluções:Um sistem possível pode ter um única solução ou infinitas soluções. Quando possui uma única

solução, dizemos que o sistema é possível e determinado(SPD). E quando possuir infinitassoluções, dizemos que o sistema é possível e indeterminado (SPI).

Pode ser classificado de acordo com a matriz B:Sistema Homogêneo: Um sistema linear é dito homogêneo, se a matriz B do sistema é nula,

isto é, bj = 0 para qualquer j.a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 + ⋯ + a1m ⋅ xm = 0a21 ⋅ x1 + a22 ⋅ x2 + ⋯ + a2m ⋅ xm = 0

an1 ⋅ x1 + an2 ⋅ x2 + ⋯ + anm ⋅ xm = 0

Se pelo ao menos um bj ≠ 0, então o sistema é dito não-homogêneo.

O sistema homogêneo sempre tem solução, pois têm x1 = 0,x2 = 0, . . . ,xn = 0 sempre comouma solução. Esta solução é chamada de solução trivial ou solução nula; se há outras soluçõesestas soluções são chamadas não-triviais.

Como um sistema linear homogêneo sempre tem solução trivial, só existem duas possibilidadespara suas soluções:

- O sistema tem somente a solução trivial;- O sistema tem infinitas soluções além da solução trivial.O sistema homogêneo tem infinitas soluções sempre que o sistema tiver mais incógnitas que

equações.

36

Exercício 5: Classifique os sistemas abaixo em relação a matriz B:

a)3x − 2y = −14x + 5y = 37x + 3y = 2

b)2x + 4z = 0

3x − y + 4z = 06x + y − z = 0

c)x1 + 2x 2 − x4 + x5 = 0

3x2 + x3 − x5 = 0x3 + 7x4 = 1

d)x1 + x2 = 0x1 + x2 = 0

x1 + x2 − x3 = 0

Resolver um SEL

Resolver um SEL é encontrar a solução deste sistema, isto é, encontrar os valores dasincógnitas que sastifaçam, simultaneamente, todas as equaçõe do sistema. Lembrando que nemtodo sistema tem solução.

A partir de agora, veremos alguns métodos que nos permitirá resolver o SEL. Mas antes disto,veremos as operações que podemos realizar para encontrar uma solução.

Operações Elementares

O método básico de resolver um sistema de equações lineares é substituir o sistema dado porum sistema novo que tem o mesmo conjunto-solução, mas que é mais simples de resolver. Estesistema novo é geralmente obtido numa sucessão de passos aplicando a matriz aumentada osseguintes três tipos de operações para eliminar sistematicamente as incógnitas:

- Multiplicar uma linha inteira por uma constante. (Li = k ⋅ Li, onde ké um constante real ≠ 0);Exemplo:

−−⇒↔⇒

−−8200

1743110422

174318200

10422

32 LL

- Trocar duas linhas entre si.(Li Lj);

Exemplo:

37

Aula 5Exemplo:

2 2 4 100 4 4 240 0 2 8

4

2

2 2 4 100 1 1 60 0 1 4

22

33

− − −− −

⇒=

−=

LL

LL

- Somar um múltiplo de uma linha a uma outra linha (Lj = Lj + k ⋅ Li, onde ké um constante real≠ 0);

Exemplo:

−−⇒−=⇒

174318200

104222

174319311

10422

212 LLL

Estas três operações são chamadas operações elementares sobre linhas.

Matriz escalonada: Uma matriz está na forma escalonada reduzida por linhas, ousimplesmente, forma escalonada reduzida, se:

1. Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro número não –nulo da linha é um 1,chamado de pivô.

2. Se existirem linhas constituídas somente de zeros, elas estão agrupadas juntas nas linhasinferiores da matriz.

3. Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem somente de zeros, o pivô da linhainferior ocorre mais à direita que o pivô da linha superior.

4. Cada coluna que contém um pivô tem zeros nos demais elementos.

Dizemos que uma matriz que tem as 3 primeiras propriedades está na forma escalonada porlinhas, ou simplesmente, em forma escalonada.Assim, uma matriz em forma escalonada reduzidapor linhas necessariamente está em forma escalonada, mas não reciprocamente.

Observe que uma matriz na forma escalonada tem zeros abaixo do pivô, enquanto que umamatriz em forma escalonada reduzida por linhas tem zeros abaixo e acima do pivô.

Exemplo: Matrizes estão na forma escalonada as matrizes A, C, D e na forma escalonadareduzida as matrizes B, C, D.

A =

1 2 0 40 1 0 70 0 1 −1

B =

0 00 0

C =

0 1 −2 0 10 0 0 1 30 0 0 0 00 0 0 0 0

D =

1 0 00 1 00 0 1

Exemplo: Matrizes que não estão na forma escalonada:

A =

1 0 0 40 0 0 70 0 1 −1

B =

1 00 2

C =

0 1 −2 0 10 0 0 1 30 0 0 2 00 0 0 0 0

D =

1 0 00 0 00 0 1

38

Aula 5

Exercício 6: Determine se a matriz está na forma escalonada, escalonada reduzida, ambas ounenhuma das duas. Justifique sua resposta.

A =

1 0 0 50 0 1 30 1 0 4

B =

0 00 00 0

C =

1 2 0 3 00 0 1 1 00 0 0 0 10 0 0 0 0

D =

1 0 00 0 00 0 1

E =

1 3 0 2 01 0 2 2 00 0 0 0 10 0 0 0 0

F =

1 0 3 10 1 2 4

G =

1 −7 5 50 1 3 2

Métodos para encontrar a solução de sistemas de equações lineares

Método de Eliminação

Seja o sistema linear Ax = B, onde A tem todas as submatrizes principais não singulares Ométodo de Eliminação de consiste em transformar a matriz aumentada do sistema dado num naforma escalonada por linhas pela aplicação repetidamente as operações elementares. Claro que taloperação não altera a solução do sistema, isto é, obtém-se com ela outro sistema equivalente aooriginal.

Descrição do algoritmoConsideremos o sistema:

a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 + ⋯ + a1m ⋅ xm = b1

a21 ⋅ x1 + a22 ⋅ x2 + ⋯ + a2m ⋅ xm = b2

an1 ⋅ x1 + an2 ⋅ x2 + ⋯ + anm ⋅ xm = bn

cuja matriz aumentada chamaremos A1. Montamos a tabela:

)1()1()1(2

)1(1

)1(2

)1(2

)1(22

)1(21

)1(1

)1(1

)1(12

)1(11

nnnnn

n

n

baaa

baaabaaa

�����

onde aij1

= aij e bij1

= bij p/ i, , j = 1,2. . . ,n.Por hipótese temos que a11

1≠ 0, pois detA ≠ 0.

Passo 1: Localize a coluna mais à esquerda que não seja constituída inteiramente de zeros.

39

Aula 5Passo 2: Permute a primeira linha com uma outra linha, se necessário, para obter um elemento

não-nulo ao topo da coluna encontrada no Passo1.

Passo 3: Se o elemento, que agora está no topo da coluna encontrada no Passo 2, é a,multiplique a primeira linha inteira por 1/a para introduzir um pivô.

Passo 4: Some múltiplos convenientes da primeira linha às linhas inferiores para obter zerosem todos os elementos abaixo do pivô. Para isso:

Subtraímos da 2a equação a 1a equação multiplicada por a211

a111 .

Subtraímos da 3a equação a 1a equação multiplicada por a311

a111 .

Subtraímos da na equação a 1a equação multiplicada por an11

a111 .

Passamos então da tabela inicial a tabela:

)2()2()2(2

)2(2

)2(2

)2(22

)1(1

)1(1

)1(12

)1(11

0

0

nnnn

n

n

baa

baabaaa

�����

onde

)1(11

)1(1)1(

1)1()2(

)1(11

)1(1)1(

1)1()2(

aabbb

aaaaa

iii

ijijij

−=

−=

p/ i, j = 1,2, . . .n.

Por hipótese temos que a222

≠ 0, pois detA ≠ 0.

Passo 5: Agora esconda a primeira linha da matriz e recomece aplicando o Passo 1 asubmatriz resultante. Continue desta maneira até que toda a matriz esteja na forma escalonada.Para isso:

Subtraímos da 3a equação a 1a equação multiplicada por a322

a222 .

Subtraímos da 4a equação a 1a equação multiplicada por a422

a222 .

Subtraímos da na equação a 1a equação multiplicada por an22

a222 .

40

Aula 5Obtemos então a tabela:

)3()3(

)2(2

)2(2

)2(22

)1(1

)1(1

)1(12

)1(11

000

0

nnn

n

n

ba

baabaaa

����

onde

)2(22

)2(2)2(

2)2()3(

)2(22

)2(2)2(

2)2()3(

aabbb

aaaaa

iii

ijijij

−=

−=

p/ i, j = 1,2, . . .n.

Por hipótese temos que a333

≠ 0, pois detA ≠ 0.

E assim sucessivamente até chegarmos ao:

Temos por hipótese que an−1,n−1n−1

≠ 0, pois detA ≠ 0.

Subtraímos da na equação, a n − 1a equação multiplicada por . an,n−1n−1

an−1,n−1n−1 .

E assim, obtemos a tabela:

−−

−−

−−−

)()(

)1(1

)1(,1

)1(1,1

)3(3

)3(3

)3(1,3

)3(33

)2(2

)2(2

)2(1,2

)2(23

)2(22

)1(1

)1(1

)1(1,1

)1(13

)1(12

)1(11

0000000000

000

nn

nnn

nn

nnn

nnn

nn

nn

nn

babaa

baaabaaaabaaaaa

h

h

hhhh

h

h

h

onde

)1(1,1

)1(1,)1(

1)1()(

)1(1,1

)1(1,)1(

,1)1()(

−−−

−−−

−−

−−−

−−−

−−

−=

−=

nnn

nnin

nn

in

i

nnn

nnin

jnn

ijn

ij

aa

bbb

aa

aaa

p/ i=n, j = n-1,n.

41

Aula 5

Assim o sistema triangular obtido

==+

=+++=+++=+++++

−−

−−−

−−−

−−

−−

−−

)()(

)1(1

)1(,11

)1(1,1

)3(3

)3(31

)3(1,33

)3(33

)2(2

)2(21

)2(1,23

)2(232

)2(22

)1(1

)1(11

)1(1,13

)1(132

)1(121

)1(11

nnn

nnn

nnn

nnnn

nnn

nnnn

nnnn

nnnn

bxabxaxa

bxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxaxa

����

é equivalente ao original.

Passo 6: Começando com a última linha não-nula e trabalhando para cima, some múltiplosconvenientes de cada linha às linhas superiores para introduzir zeros acima dos pivôs.

E assim, obtemos a tabela:

−−

−−−

)()(

)1(1

)1(1,1

)3(3

)3(33

)2(2

)2(22

)1(1

)1(11

00000000

000000000000000

nn

nnn

nn

nnn

baba

bababa

����

Assim o sistema triangular obtido

==+

=+++=++++=+++++

−−−

−−−

)()(

)1(11

)1(1,1

)3(33

)3(33

)2(22

)2(22

)1(11

)1(11

0

000000000

nnn

nnn

nnn

nnn

bxabxa

bxabxabxa

����

Até o Passo 5, isto é, até obter a matriz aumentada a forma escalonada, o método tem o nomede Eliminação Gaussiana. E para encontrar a solução do sistema, usa-se a substituição inversa.Desenvolvendo até o Passo 6, isto é, até obter a matriz aumentada a forma escalonada reduzidapor linhas, o método tem o nome de Eliminação de Gauss-Jordan.

42

Aula 5

Obs: Toda matriz tem uma única forma escalonada reduzida por linhas. Porém, uma formaescalonada de uma dada matriz não é única.

Exemplo: Resolver o sistema usando o método de eliminação de Gauss.

6 2 12 4 13 2 8

77

13

1

2

3

=

xxx

Temos a matriz aumentada:

6 2 1 72 4 1 73 2 8 13

Passo 3:

138237142

6/76/13/11

Passo 4:

2/193/17103/143/43/1006/76/13/11

Passo 5:

=

10/813/146/7

10/81003/43/1006/121

3/1

3

2

1

xxx

Assim obtemos:

1726

13

1434

310

11081

1081

1321

232

33

=⇒=−+

=⇒=+

=⇒=∴

xxxx

xxx

xx

43

Aula 5

Portanto, a solução é x =

111

.

A seguir serão mostrados os passos usados num exemplo prático, onde as operaçõesindicadas são operações elementares, feitas com as equações lineares que compõe o sistema deequações.

Exemplo: Seja o sistema

=++=++=++

17439310422

321

321

321

xxxxxxxxx

matricialmente teremos:

=

179

10

431311422

3

2

1

xxx

Usando operações elementares, podemos executar os seguintes passos:Passo 1: Substituir a segunda linha pela soma da segunda linha, multiplicada por (-2), com a

primeira linha L2 = L1 − 2L2

−−⇒−=⇒

174318200

104222

174319311

10422

212 LLL

Passo 2: Trocar a segunda linha pela terceira;

−−⇒

==

−−8200

1743110422

174318200

10422

23

32

LLLL

Passo 3: Substituir a segunda linha pela soma da segunda linha, vezes (-2) com a primeiralinha;

−−−−−⇒−=⇒

−− 820024440

104222

82001743110422

212 LLL

Passo 4: Dividir a segunda linha por (-4) e a terceira linha por (-2);

44

Aula 5

−=

−=

−−−−−

41006110

10422

2

4

820024440

10422

33

22

LL

LL

Passo 5: Substituir a segunda linha pela diferença entre a segunda e terceira linhas;

⇒−=⇒

41002010

10422

41006110

10422

422 LLL

Passo 6: Substituir a primeira linha pela diferença entre a primeira linha e (-4) vezes a terceiralinha;

−⇒−=⇒

410020106022

441002010

10422

311 LLL

Passo 7: Finalmente, substituir a primeira linha pela diferença entre a primeira linha e (-4) vezesa terceira linha;

−⇒−=⇒

410020105001

2410020106022

21

1 LLL

Com isso obtemos para solução do sistema:

==−=

425

3

2

1

xxx

Obs: Em sistemas grandes, o método de eliminação de Gauss-Jordan requer cerca de 50%mais operações que a eliminação gaussiana.

Exercício 7: Resolva os sistemas e classifique-os quanto ao número de soluções.

1.2x + 3y = 183x + 4y = 25

45

Aula 5

2.4x + 2y = 1008x + 4y = 200

3.3x + 9y = 123x + 9y = 15

4.2x + 4y − 6z = 104x + 2y + 2z = 162x + 8y − 4z = 24

46

Aula 5

5.2x + y + 3z = 84x + 2y + 2z = 4

2x + 5y + 3z = −12

6.2x + 4y = 165x − 2y = 410x − 4y = 3

47

Aula 5

7.

2x + 4y = 165x − 2y = 4

4x − 5x = −73x + 2y = 9

Característica de uma matriz

Característica da matriz aumentada (Ca): é o número de linhas com elementos não todosnulos de sua forma escalonada equivalente.

Característica da matriz dos coeficientes (Cv): é o número de linhas com elementos nãotodos nulos de sua forma escalonada equivalente.

Se Ca >Cv , o sistema é impossível (SI).

Se Ca = Cv = número de variáveis do sistema, o sistema é possível e determinado (SPD).

Se Ca = Cv < número de variáveis do sistema, o sistema é possível e indeterminado (SPI).Então o grau de liberdade é g = número de variáveis - número de equações não nulos na formaescalonada.

Exercício 8: Reveja os sistemas do exercício anterior, analisando a Ca e Cv.

Exercício 9. Resolva os sistemas e classifique-os quanto ao número de soluções.

1.2x − 8y + 24z + 18w = 84

4x − 14y + 52x + 42w = 190

48

Aula 5

2.3x + 6y − 9z = 02x + 4y − 6z = 0

3.2x + 4y = 016 − 8x = 012x − 2y = 0

49

Aula 5

4.x − 3y − 4z = 0x − y − z = 0x − y + z = 0

5.3x + 2y − 5z = 8

2x − 4y − 2z = −4x − 2y − 3z = −4

50

Aula 5

6.2x + 4y + 6z = −63x − 2y − 4z = −38

x + y + 3z = −3

Regra de Cramer

Seja o sistema Ax = B onde detA é o determinante da matriz A. Seja detAi o determinante damatriz formada pela substituição da coluna i da matriz A pelo vetor de coeficientes constantes B.Cramer demonstrou que a solução deste sistema é dada por

nipA

Ax i

i �,2,1/)det()det(

==

Exemplo: Resolver o sistema linear através da regra de Cramer:3x + 2y − 5z = 8

2x − 4y − 2z = −4x − 2y − 3z = −4

51

Aula 5

Obs: Só pode ser usado se detA ≠ 0.

Para resolver um sistema de n equações lineares com n incógnitas pela Regra de Cramer, énecessário calcularn + 1 determinantes de matrizes nxn. Para sistema com mais de 3 equações, aeliminação de Gauss é muito mais eficiente, pois somente requer a redução de uma matrizaumentada nx(n+1).

Exercício 10: Resolver o sistema linear através da regra de Cramer, se possível:

1.7x − 2y = 33x + y = 5

2.4x + 5y = 2

11x + y + 2z = 3x = 5y + 2z = 1

52

Aula 5

3.x − 4y + z = 6

4x − y + 2z = −12x + 2y − 3z = −20

4.3x − y + z = 4

−x + 7y − 2z = 12x + 6y − z = 5

53

Aula 5

Método por inversão de matriz

Dado um sistema de equações lineares na forma Ax = B, podemos multiplicá-lo a esquerda porA−1, e obtermos:

A−1Ax = A−1BSimplificando a equação anterior, usando A−1A = I obtemos a igualdade:

x = A−1Bque é a solução do sistema de equações.

Obs: É vantajoso utilizar este método quando a matriz dos coefiecientes é fixa e a matriz Bvaria.

Exemplo: Resolver o SEL. fazendo a inversão da matriz de coeficientes:

=++=++

=++

84353

8422

321

321

321

xxxxxx

xxx

Colocando o sistema em notação matricial, temos:

=

858

431311422

3

2

1

xxx

Como visto anteriormente

−−

−−=−

012/12/114/12/114/5

1A

ou sejas a solução do sistema será dada por :

=⇒

−−

−−=

111

858

1012/12/114/12/114/5

x

bA

x

MMM LMMM KI

Exemplo: Resolva o sistema por inversão de matrizes:x + y = 2

5x + 6y = 9

A inversa da matriz A =

1 15 6

é6 −1−5 1

. Então a solução do SEL será:

54

Aula 5xy

=

6 −1−5 1

29

=

3−1

.

Exemplo: Resolva o sistema por inversão de matrizes:x + y = 3

5x + 6y = 5Como já foi calculada a matriz inversa no exemplo anterior, temos a solução dada por:

xy

=

6 −1−5 1

35

.=13−10

Exercício 11: Resolva o seguinte sistema geral por inversão de matrizes.x + 2y + z = b1

x − y + z = b2

x + y = b3

para

a) b1 = −1,b2 = 3,b3 = 4b) b1 = 5,b2 = 0,b3 = 0c) b1 = −1,b2 = −1,b3 = 3

55

Aula 5

Geometricamente

O conjunto-solução de um sistema linear de duas equações com duas incógnitas é equivalentea determinar a interseção de duas retas:

ax + by = cdx + ey = f

com a e b não são simultaneamente nulos e nem o são d e e.Este sistema admite umainterpretação geométrica, e suas propriedades motivam o caso geral.

Há três casos, que podem ser descritos geometricamente.Caso 1: O sistema tem exatamente uma solução (SPD). Os gráficos das equações lineares se

interceptam em um ponto, isto é, as retas são concorrentes.

X

Y

Caso 2: O sistema não admite soluções (SI). Os gráficos das equações lineares são paralelos,isto é, as retas são paralelas.

X

Y

Caso 3: O sistema tem um número infinito de soluções (SPI). Aqui o gráfico das equaçõeslineares coincidem, isto é, as retas são coincidentes.

X

Y

56

Aula 5

Exercício 12: Determinar a interseção entre as duas retas e esboce o gráfico.

1.2x + 3y = 15x + 7y = 3

2.2x + 4y = 103x + 6y = 15

3.4x − 2y = 5−6x + 3y = 1

57

Aula 5

Exemplo: Encontre a reta interseção dos planos x + 2y − z = 3 e 2x + 3y + z = 1.

Exercício 13: Encontre a reta interseção dos planosa) 3x + 2y + z =-1 e 2x − y + 4z = 5

b) 4x + y − z = 0 e 2x − y − 3z = 4

58

Aula 5

Método para inverter matrizes usando operações elementares

Para encontrar a inversa de uma matriz inversível A, nós devemos encontrar uma seqüência deoperações elementares sobre linhas que reduz A à identidade e depois efetuar esta mesmaseqüência de operações na matriz identidade I para obter A−1.

[ ]

[ ]1−

AI

IA

l

MLMKIl

Exemplo: Encontre a Inversa de

=431311422

A

Montar a matriz:

��� ���� ���

I

100010001

431311422

A

Efetuar operações elementares na matriz acima até que:

������ ������� ���

-1A

012/12/114/12/114/5

100010001

I

−−

−−

Exercício 14: Calcule a matriz inversa das matrizes abaixo. Use o método com operaçõeselementares:

1)−3 0 72 5 1−1 0 5

59

Aula 5

2)2 0 30 3 2−2 0 −4

Obs: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então as seguintes afirmações sãoequivalentes:

a) A é inversívelb) detA ≠ 0c) Ax = 0 só tem a solução triviald) Ax = B é possível e tem exatamente uma única solução.

Resumo

Tipo de sistema no. de eq. no. de var. determinante Escalonada Classificação Método

AX = B

AX = 0

60

Aula 5

Exercícios de revisão:1. Encontre o conjunto-solução de cada uma das seguintes equaçõe lineares:a) 7x − 5y = 3b) 3x1 − 5x2 + x3 = 7c) −8x1 + 2x2 − 5x3 + 6x4 = 1d) 3v − 8w + 2x − y + 4z = 0

2. Em cada parte, suponha que a matriz aumentada de um SEL foi reduzida à formaescalonada dada. Resolva o sistema:

a)1 −3 4 70 1 2 20 0 1 5

b)1 0 8 −5 60 1 4 −9 30 0 1 1 2

c)

1 7 −2 0 −8 −30 0 1 1 6 50 0 0 1 3 90 0 0 0 0 0

d)1 −3 7 10 1 4 00 0 0 1

3. Resolva cada um dos seguintes sistemas:

a)x + y + 2z = 8

−x − 2y + 3z = 13x + 7y + 4z = 20

Resp: x=3, y=1 e z=2

b)−2b + 3c = 1

3a + 6b − 3c = −26a + b + 3c = 5

Resp: SI

c)4x − 8y = 123x − 6y = 9

−2x + 4y = −6

Resp: x=3+2y

d)5x − 3y + 6z = 0−2x + y + 3z = 1

Resp: x=-3+15z e y = -5+27z

61

Aula 5

e)

v + 3w − 2x = 02u + v − 4w + 3x = 02u + 3v + 2w − x = 0

−4u − 3v + 5w − 4x = 0

Resp: u =−52 x +

72 w e v=2x-3w

f)2x − y − 3z = 0

x + 2y = 0x + y + 4z = 0

Resp: trivial

g)x − 3y + z = 42x − y = −24x − 3z = 0

Resp: x =−3011 , y =

−3811 , z =

−4011

4. Use o método de inversão de matrizes para resolver o SEL:

a)x − 5y = b1

3x + 2y = b2para b1 = 1,b2 = 4 e b1 = −2,b2 = 5 Resp:x =

2217 e y =

117 ; x =

2117 e

y =1117

b)x + 3y + 5z = b1

−x − 2y = b2

2x + 5y + 4z = b3

parab1 = 1,b2 = 0,b3 = −1b1 = 0,b2 = 1,b3 = 1

b1 = −1,b2 = −1,b3 = 0

. Resp:x = 18,y = −9, z = 2x = 23,y = 11, z = −2x = 5,y = −2, z = 0

5. Calcule a matriz inversa das matrizes abaixo. Use o método com operações elementares:

a)2 −3 50 1 −30 0 2

Resp:

12

32 1

0 1 32

0 0 12

b)2 0 08 1 0−5 3 6

Resp:

12 0 0

−4 1 02912 −

12

16

6.O sistema seguinte não tem soluções para quais valores de a? Exatamente uma solução?Infinitas soluções?

x + 2y − 3z = 43x − y + 5z = 2

4x + y + a2− 14z = a + 2

Resp: a = −4, nenhuma; a ≠ ±4, exatamente uma; a = 4, infinitas.

7.Determine o valor de m para que o sistema seja

62

Aula 5

2m − 1x + my = mm + 4y = 9m

a) Possível determinado Resp; m ≠ 1/2, m≠ 4b) Possível indeterminado Resp: m=1/2c) Impossível Resp: m = -4

8. Dê um exemplo de três planos:a) cuja interseção seja uma reta.b) não tenham nenhum ponto em comum, mas se interceptam dois a dois.c) de modo que exatamente dois deles sejam paralelos.d) que se interceptam em um único ponto.

Exercícios de aplicação1 Uma florista oferece três tamanhos de arranjos de flores com rosas, margaridas e

crisântemos. Cada arranjo pequeno contém uma rosa, três margaridas e três crisântemos. Cadaarranjo médio contém duas rosas, quatro margaridas e seis crisântemos. Cada arranjo grandecontém quatro rosas, oito margaridas e seis crisântemos. Um dia, a florista notou que havia usadoum total de 24 rosas, 50 margaridas e 48 crisântemos ao preparar as encomendas desses trêstipos de arranjos.

a) Monte um sistema de equações lineares que represente o problema acima.b) Quantos arranjos de cada tipo ela fez? Use somente uns dos métodos apresentados em sala

de aula para resolver o problema.Resp: 2,3,4

2. O seguinte problema faz parte do texto chinês Jiuzhang suanshu (Nove capítulos em artematemática), escrito durante a Dinastia de Han, cerca de 200 anos a.C.:

Há três tipos de milhos. Três feixes do primeiro tipo, dois do segundo e um do terceiro fazem 39medidas. Dois feixes do primeiro tipo, três do segundo e um do terceiro fazem 34 medidas. Umfeixe do primeiro tipo, dois do segundo e três do terceiro fazem 26 medidas.

a) Monte um sistema de equações lineares que represente o problema acima.b) Quantas medidas de milho há em um feixe de cada tipo? Use somente uns dos métodos

apresentados em sala de aula para resolver o problema.Resp: 9,25, 4,25 e 2,75

3. A adição de funções racionais (quociente de polinomiais) obtida através de uma escolha deum denominador comum, é feita de modo análogo à adição de números racionais. O processoreverso, de separar uma função racional escrevendo-a como uma soma de funções racionaissimples, é útil em muitas áreas da matemática; por exemplo, aparece em cálculo diferencial eintegral quando precisamos integrar uma função racional, e em matemática discreta, quandousamos funções geradoras para resolver relações de recorrência. A decomposição de uma funçãoracional como soma de frações parciais leva a uma sistema de equações lineares.

Encontre os valores de A, B e C que tornem a equação uma identidade.a) x2

+x−23x−1x2

+1=

A3x−1 +

Bx+Cx2+1

Resp: A = -7/5, B = 4/5, C = 3/5

Sugestão: Multiplique ambos os lados por (3x-1)(x2+1) e iguale os coeficientes correspondentesdos polinômios obtidos em ambos os lados da equação resultante.

63

Aula 5b) 3x+1

x2+2x−3

=A

x−1 +B

x+3 Resp: A= 1 e B=2.c) x2

−3x+3x3+2x2

+x=

Ax +

Bx−1 +

Cx−12 Resp:

4. Sabemos, da geometria elementar, que existe uma única reta que passa por dois pontosdistintos de um plano. É menos conhecido o fato de que existe uma única parábola que passa porquaisquer três pontos não colineares de um plano. Para cada conjunto de pontos a seguir,encontre a parábola com a equação da forma y = ax2

+ x + c que passe pelos pontos dados.(Esboce a parábola resultante para conferir a validade da resposta).

a) (0,1,(-1,4) e (2,1) Resp: y = x2− 2x + 1

b) (-3,1), (-2,2) e (-1,5) Resp: y = x2+ 6x + 10

5.Um biólogo colocou 3 espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio,onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia serãocolocadas no tubo de ensaio 2300 unidades de A, 800 unidades de B e 1500 unidades de C. Cadabactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, de acordo com a tabelaabaixo.

Bactéria da espécie I Bactéria da espécie II Bactéria da espécie IIIAlimento A 2 2 4Alimento B 1 2 0Alimento C 1 3 1

a) Encontre o sistema que equacione a tabela abaixo.b) Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a

consumir todo o alimento? (Use somente Eliminação Gaussiana ou Regra de Cramer para resolvero problema)

Resp: x = 100, y = 350 e z = 350

6. Um biólogo colocou 3 espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio,onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia serãocolocadas no tubo de ensaio 1500 unidades de A, 3000 unidades de B e 4500 unidades de C.Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, de acordo com atabela abaixo.

Bactéria da espécie I Bactéria da espécie II Bactéria da espécie IIIAlimento A 1 1 1Alimento B 1 2 3Alimento C 1 3 5

a) Encontre o sistema que equacione o problema.b) Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a

consumir todo o alimento? (Use somente Eliminação Gaussiana ou Regra de Cramer para resolvero problema)

c) Existe alguma solução que satisfaça a equação 2x+ y + z = 1000? (onde x = bactéria I, y =

bactéria II e z = bactéria III)Resp: x= z , y = 1500 -2z e 0 ≤ z ≤ 750.

64

Aula 57.Três proprietários de casas – um pedreiro, um eletricista e um hidráulico –pretendem fazer

consertos em suas três casas. Eles concordam trabalhar um total de 10 dias cada de acordo com aseguinte tabela:

Dias Dias de trabalho na casa do Trabalho executado peloPedreiro Eletricista Hidráulico

Pedreiro 2 1 6Eletricista 4 5 1Hidráulico 4 4 3

Para efeitos de impostos, eles devem declarar e pagar um ao outro um salário diário razoável,mesmo para o trabalho que cada um faz em sua própria casa. Seus salários diários normais sãocerca de R$100,00, mas eles concordam em ajustar seus respectivos salários diários de tal modoque saiam empatados, ou seja, de tal modo que o total pago por cada um é igual ao total recebido.Para satisfazer a condição de “equilíbrio” de que saiam empatados, nós exigimos que total dosgastos = total recebido para cada um dos proprietários pelo período de 10 dias.

Resp: pedreiro: R$93,00, Eletricista: R$96,00 e Hidráulico: R$108,00.

65

Álgebra - Profa Ana Paula

AULA 6Data: ____/_____/____

ESPAÇOS VETORIAIS

Com doze andares de altura e pesando 75 toneladas, o US Columbia partiu majestosamente desua plataforma de lançamento numa manhã fresca num domingo de abril de 1981, em Palm.Produto de dez anos de intensa pesquisa e desenvolvimento, o primeiro ônibus espacial dos EUAfoi uma vitória da engenharia de controle de sistemas, envolvendo muitas áreas da engenharia -aeronáutica, química, elétrica, hidráulica e mecânica.

Os sistemas de controle do ônibus espacial são absolutamente críticos para o vôo. Como oônibus espacial é uma aeronave instável, ele requer um constante monitoramento por computadordurante o vôo atmosférico. O sistema de controle de vôo envia uma seqüência de comandos paraas superfícies de controle aerodinâmico e 44 jatos de propulsão.

Matematicamente, os sinais de entrada e saída de um sistema de engenharia são funções. Éimportante para as aplicações que essas funções possam ser somadas e multiplicadas porescalares. Essas operações em funções têm propriedades algébricas que são completamenteanálogas às operações de soma de vetor e multiplicação de vetor por escalar no ℝn. Por estemotivo, o conjunto de todas as entradas possíveis (funções) é chamado de um espaçovetorial.(Texto extraído e adaptado de Livro “Álgebra Linear e suas aplicações”, David C. Lay, 2ªedição. LTC.).

Definição: Um espaço vetorial real (abreviado por e.v.) é um conjunto V, não vazio, com duasoperações:

soma:V × V ⊕

→ Vv,v′ → v ⊕ v′

e multiplicação por escalarK × V ⊗

→ Va,v′ → a ⊗ v′

satisfazendo a propriedades operatórias análogas às listadas para matrizes e vetores, sendo:da soma:A1) u ⊕ v = v ⊕ u, com u,v ∈ V.A2) u ⊕ v ⊕ w = u ⊕ v ⊕ w.A3) Existe um elemento nulo 0 em V tal que u ⊕ 0 = 0 ⊕ u = u.A4) Para cada u em V, existe um elemento oposto −u em V tal que u ⊕ −u = 0.da multiplicação por escalar:M1) α ⊗ u ⊕ v = α ⊗ u ⊕ α ⊗ v.M2) α + β ⊗ u = α ⊗ u ⊕ β ⊗ u.M3) α ⊗ β ⊗ u = αβ ⊗ u.M4)1 ⊗ u = u, para todo elemento u de V.

66

Portanto, dizer que V é um espaço vetorial real significa que V é fechado para soma e para amultiplicação por escalar. Isto é, se u e v são elementos quaisquer de V, então u ⊕ v está em V. Ese u é um elemento qualquer de V e α qualquer número real, então α ⊗ u está em V.

Obs:1. Os elementos de V são chamados de vetores.2. O vetor nulo (0) de V é único.3. O vetor oposto de v em V, isto é, −v = −1v, é único.3. Em geral se escreve α ⊗ v = αv e u ⊕ v = u + v, por simplicidade.

Exemplo: Se V é o conjunto das matrizes de ordem 2, chamaremos mesmo assim as matrizesde vetores.

Exemplos: São espaços vetoriais com as operações usuais (a soma e multiplicação porescalar conhecidas):

ℝ = conjunto dos números reais.ℝ2

= x,y/x,y ∈ ℝ = conjunto dos vetores no plano bi-dimensional.ℝ3

= x,y, z/x,y, z ∈ ℝ = conjunto dos vetores no plano tri-dimensional.ℝn

= x1,x2,… ,xn/xi ∈ ℝ = conjunto dos vetores n-uplas de números reais.Mmxn = conjunto das matrizes mxn cujos elementos são reais.Mn = conjunto das matrizes de ordem n cujos elementos são reais.fx = conjunto das funções reais de variável real.Pnx = a0 + a1x + a2x² +…+anxn =conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n de

coeficientes reais.

Exercício 1: Descreva o vetor nulo e vetor oposto de cada espaço vetorial citado acima.

67

SUBESPAÇOS VETORIAIS

Ás vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos S que sejameles próprios espaços vetoriais "menores". Tais conjuntos serão chamandos subespaços vetoriaisde V.

Exemplo: O conjunto nulo S={0} e o próprio espaço vetorial V são subespaços (triviais) de V.

Definição: Seja V um espaço vetorial real. Um subconjunto S ⊂ V (um conjunto não vazio) éum subespaço vetorial de V se:

a) 0∈S .b) Se v,w ∈ S, então v ⊕ w ∈ S.c) Se k ∈ ℝ e v ∈ S, então k ⊗ v ∈ S.

Seja V um espaço vetorial real e S um subconjunto não vazio de V. S é um subespaço vetorialde V se S for um espaço vetorial, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidaspara V.

Observação: Muitas vezes usamos a palavra subespaço no lugar de subespaço vetorial eespaço ao invés de espaço vetorial quando não existe possibilidade de dúvida.

Exemplo: São subespaços de ℝ2 com as operações usuais:

0,0a origem

x

y

uma reta que passa pela origem

x

y

próprio ℝ2

x

y

Exemplo: São subespaços de ℝ3 com as operações usuais:- 0,0,0 a origem- uma reta que passa pela origem- um plano que passa pela origem.- e o próprio ℝ3

Exemplo: Não é subespaço vetorial de ℝ2 com as operações usuais:S = x,y ∈ ℝ2/x ≥ 0 e y ≥ 0

68

OBS: ℝ2 ⊈ ℝ3, isto é, 1,3 ≠ 1,3,0!!!!!!!!!!

Exemplo: São subespaços vetoriais de V dado:a) Snxn = Sn ∈ Mn/S = ST

= conjunto das matrizes simétricas de V = Mn (conjunto dasmatrizes quadradas de ordem n).

b) Se AX = B é um sistema linear homogêneo de m equações em n incógnitas, então oconjunto dos vetores-soluções é um subespaço do V = ℝn.

Exemplo:1 −2 32 −4 63 −6 9

xyz

=

000

. Encontre a solução deste sistema homogêneo.

Verifique que o vetor-solução pode ser escrito como x − 2y + 3z = 0 que é a equação de umplano que passa pela origem, isto é, S = x,y, z ∈ ℝ3/x − 2y + 3z = 0 é subespaço vetorial de ℝ3

com as operações usuais.Isto significa que se somarmos duas soluções, a soma de soluçõe também será uma solução

do sistema. Faça o teste: encontre duas soluções e some-as!

O produto de uma constante real por uma solução também será solução do sistema. Faça oteste: multiplique uma solução por uma constante real qualquer!

69

E a solução trivial é solução do SEL, o que prova que o vetor-solução é um subespaço vetorialdo ℝ3 com as operações usuais.

E o SEL for não-homogêneo, o conjunto dos vetores-soluções será um subespaço do V =

ℝn? Por quê?

Exemplo: O conjunto S = x,y, z ∈ ℝ3/2x + 3y − 6z = 0 (plano contendo a origem) é umsubespaço de ℝ3.

Exemplo: O conjunto S = x,y, z ∈ ℝ3/2x + 3y − 6z = 12 (plano não contendo a origem) não éum subespaço de ℝ3.

Exemplo: Sejam S1 e S2 subespaços do espaço V. A interseção de subespaços S1 ∩ S2 é um

subespaço de V, mas a união S1 ∪ S2 não é um subespaço de V.

70

Exercício 2: Quais dos seguintes conjuntos S são subespaços vetoriais de V? Justifique1) V = ℝ3 e S = a, 0, 0 ∈ ℝ3/a ∈ ℝ Resp: sim

2) V = ℝ3 e S = a, 1, 1 ∈ ℝ3/a ∈ ℝ Resp: não

3) V = ℝ3 e S = a,b,c ∈ ℝ3/b = a + c + 1,onde a,b,c ∈ ℝ Resp: não

4) V = M2 e S = A =a bc d

∈ M2/a + b + c + d = 0,onde a,b,c ∈ ℝ Resp: sim

5) V = M2 e S = A =a bc d

∈ M2/ detA = 0 Resp: não

6) V = Mn e S = A ∈ Mn/AT= −A Resp: sim

71

Exercícios de Revisão1) Considere o conjunto cujo único elemento é a Lua. Será este conjunto um espaço vetorial

com as operações Lua⊕Lua = Lua e k ⊗Lua = Lua para cada número real k? Explique o seuraciocínio. Resp: sim.

2) Você considera possível existir um espaço vetorial formado por exatamente dois vetoresdistintos? Explique o seu raciocínio. Resp: não.

3) Determine se o conjunto-solução do sistema AX = 0 é uma reta pela origem, um plano pelaorigem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha uma equação para este plano; se for umareta, obtenha as equações paramétricas desta reta.

a) A =

−1 1 13 −1 02 −4 −5

b) A =

1 −2 3−3 6 9−2 4 −6

c) A =

1 2 32 5 31 0 8

d) A =

1 2 −61 4 43 10 6

e) A =

1 −1 12 −1 43 1 11

f) A =

1 −3 12 −6 23 −9 3

Resp: a) reta;x = −1/2t,y = −3/2t, z = t b) reta; x = 2t,y = t, z = 0 c) origemd) origem e) reta; x = −3t,y = −2t, z = t f) plano; x − 3y + z = 0

4) Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua respostadando um argumento lógico ou um contra-exemplo.

a) Se AX = B é qualquer sistema linear possível de m equações em n incógnitas, então oconjunto-solução é um subespaço de ℝn. Resp:falsa

b) Se W é um conjunto de um ou mais vetores de um espaço vetorial V tal que ku + v sempre éum vetor em W para quaisquer vetores u e v em W e qualquer escalar k, então W é um subespaçode V. Resp: verdadeira

5) Considere o sistema linear2x + 4y − 6z = ax − y + 4z = b6y − 14z = c

Seja W = x,y, z ∈ ℝ3/x,y, z é solução do sistema. Isto é, W é o conjunto-solução dosistema;

Que condições devemos impor a a,b,e c para que W seja subespaço vetorial de ℝ3?Resp:a=b=c=0

72

Álgebra Linear - Profa Ana Paula

AULA 7Data: ____/_____/____

Combinações Lineares

Definição: Seja V um espaço vetorial real e S = v1,v2,… ,vn uma conjunto de vetores em V.Dizemos que um vetor qualquer v ∈ V é combinação linear dos elementos de S, se existemescalares k1,k2,… ,kn ∈ ℝ tal que

v = k1v1 + k2v2 +…+knvn

OBS:1) Se n = 1, então a equação desta definição reduz a v = k1v1; ou seja, v é uma combinação

linear de um único vetor v1 se for um múltiplo escalar de v1.2) Se o sistema obtido for impossível (SI), então não existem escalares de modo que v possa

ser escrito como combinação linear dos vetores v1,v2,… ,vn.Portanto, v não é combinação lineardos vetores v1,v2,… ,vn.

3) Se o sistema tiver solução, isto é, for possível (SP), então v pode ser escrito comocombinação linear dos vetores v1,v2,… ,vn. Se o sistema for SPD, os escalares são únicos, isto é,v pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores v1,v2,… ,vn.

Exemplo: O vetor v = 3,−2,1 ∈ R³ pode ser escrito como uma combinação linear dos vetoresde S = 1,0,0, 1,1,0, 1,1,1.

Exemplo: O vetor v = 4,3,−6 ∈ R³ não é combinação linear dos vetores deS = 1,−3,2, 2,4,−1.

73

Exemplo: . O vetor v = −4,−18,7 ∈ R³ é combinação linear dos vetores deS = 1,−3,2, 2,4,−1. Resp:v = 2v1 − 3v2

Exercício 1: Determinar escalares p,q, r ∈ ℝ tal que 1,2,3 = p1,0,0 + q1,1,0 + r1,1,1.Resp: p = −1,q = −1 e r = 3

Exercício 2: Determine o valor de k para que o vetor u = −1,k,−7 seja combinação linear dosvetores de S = 1,−3,2, 2,4,−1. Resp: k = 13

74

Exercício 3: Determine a condição para que x,y, z de modo que x,y, z seja combinação lineardos vetores de S = 1,−3,2, 2,4,−1. Interprete geometricamente. Resp:x − 2y − 2z = 0

Exercício 4: Mostrar que o vetor v=(3,4)∈ ℝ2 pode ser escrito de infinitas maneiras comocombinação linear dos vetores de S={(1,0), (0,1), (2,-1)}.

75

Cada vetor a,b,c em ℝ3 pode escrito como uma combinação linear dos vetores:

i = 1,0,0 j = 0,1,0 k = 0,0,1

pois v = a,b,c = a1,0,0 + b0,1,0 + c0,0,1 = ai + bj + ck.

Exercício 5: Escreva os vetores como uma combinação de i, j e k.a) (-3,4,5)b) (0,3,0)c) (-1,0,0)d) (0,0,3)e) (0,3,7)f) (2,0,-4)g) (3,5,0)h) (-1,-1,-1)i) (1,1,1)k) (10, 9, 4)

Exercícios de Revisão

1) Quais dos seguintes são combinações lineares de u = 0,−2,2 e v = 1,3,−1?a) (2,2,2) b) (3,1,5) c) (0,4,5) d) (0,0,0)Resp: a, b, d

2) Expresse os seguintes como combinações lineares de u = 2,1,4, v = 1,−1,3 ew = 3,2,5.

a) (-9,-7,-15) b) (6,11,6) c) (0,0,0) d) (7,8,9)Resp: a) −2u + v − 2w b) 4u − 5v + w c) 0u + 0v + 0w d) 0u − 2v + 3w

3) Quais das seguintes matrizes são combinações lineares de A=4 0−2 −2

, B=1 −12 3

,

C=

0 21 4

?

a)6 −8−1 8

b)0 00 0

c)6 03 8

d−1 57 1

Resp: a, b, c

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Álgebra Linear - Profa Ana Paula

AULA 8Data: ____/_____/____

ESPAÇOS FINITAMENTE GERADOS

Definição: Seja V uma espaço vetorial. Consideremos um subconjunto A = v1,v2,… ,vn ⊂ V,A ≠ . O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A éum subespaço vetorial de V. O subespaço S diz-se espaço gerado pelos vetores v1,v2,… ,vn ougerado pelo conjunto A e é representado por:

S = v1,v2,… ,vn

onde v1,v2,… ,vn são chamados geradores do subespaço S, enquanto A é o conjunto geradorde S.

OBS: A = , então = 0, por convenção.

Exemplo:1) ℝ2

= 1,0, 0,12) S = x,y, 0/x,y ∈ ℝ = 1,0,0, 0,1,03) ℝ3

= 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1

4) 1,2 = x, 2x/x ∈ ℝ

5) 1,2,3 = x, 2x, 3x/x ∈ ℝ

OBS: O subespaço gerado por um vetor do ℝ2 ou ℝ3, v ≠ 0, é uma reta que passa pelaorigem.

6) 1,−2,1, , 2, 1, 1 = x,y, z ∈ ℝ3/x + 3y − 5z = 07) 3,1, 5,2 = ℝ2

OBS: O subespaço gerado por dois vetores do ℝ2 ou ℝ3, não-colineares, é um plano que passapela origem.

No caso do ℝ2, é o próprio ℝ2.

8) 1,1,1, 1,1,0, 1,0,0 = ℝ3.OBS: O subespaço gerado por 3 vetores não-coplanares é o próprio ℝ3.

9) V = M2x2

−1 2−2 3

,3 −11 1

=

−2y + t y−y t

/y, t ∈ ℝ

77

OBS: O conjunto gerador não é único.

Definição: Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um conjunto finito A, A ⊂ V, talque V = A.

Exemplo: São espaços vetoriais finitamente gerados:ℝ2,ℝ3,…ℝn, Mnxm.

Exemplo: Determine se u = 1,1,2, v = 1,0,1 e w = 2,1,3 geram o espaço vetorial ℝ3.

OBS: O problema reduz a determinar se o sistema obtido é possível para quaisquer valores dex,y e z. Isto é, será SP se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes for não-nulo.Se o determinante for nulo, então os vetores não geram o espaço.

78

Exercício de FixaçãoDetermine se os vetores dados geram ℝ3.1) u=(2,2,2), v=(0,0,3), w=(0,1,1)2) u=(2,-1,3), v=(4,1,2), w=(8,-1,8)3) u=(3,1,4), v=(2,-3,5), w=(5,-2,9), t=(1,4,-1)4) u=(1,2,6), v=(3,4,1), w=(4,3,1), t=(3,3,1)Resp: a, d

5) Sejam f = cos2x e g = sen2x. Quais dos seguintes estão no espaço gerado por f e g?a) cos2x b) 3 + x2 c) 1 d) senx e) 0Resp: a, c, e

6) Encontre uma equação para o plano gerado pelos vetores u = −1,1,1 e v = 3,4,4.Resp: y = z

7) Encontre equações paramétricas para a reta gerada pelo vetor u = 3,−2,5.Resp: x = 3t,y = −2t, z = 5t onde t ∈ ℝ

8) Mostre que v1 = 1,6,4 e v2 = 2,4,−1 e v3 = −1,2,5 geram o mesmo subespaço vetorialde ℝ3 que os vetores w1 = 1,−2,−5 e w2 = 0,8,9.

9) Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua respostadando um argumento lógico ou um contra-exemplo.

a) Se S é um conjunto finito de vetores de um espaço vetorial V, então S é fechado paraadição e multiplicação por escalar. Resp: Verdadeira.

b) A interseção de dois subespaços de um espaço vetorial V também é um subespaço de V.Resp: verdadeira.c) Se S1 = S2, então S1 = S2. Resp: falsa.

10) Sob quais condições dois vetores de ℝ3 geram um plano? E uma reta?

11) Sob quais condições vale u = v? Explique.

79

Álgebra Linear - Profa Ana Paula

AULA 9Data: ____/_____/____

DEPENDÊNCIA LINEAR

Definição: Sejam V um espaço vetorial e v1,v2,… ,vn ⊂ V um conjunto não-vazio. Dizemosque o conjunto v1,v2,… ,vn é linearmente independente (LI), ou que os vetores v1,v2,… ,vnsão LI, se a equação

k1v1 + k2v2 +…+knvn = 0implica que k1 = k2 =…= kn = 0. No caso em que exista algum ki ≠ 0 dizemos que

v1,v2,… ,vn é linearmente dependente (LD), ou que v1,v2,… ,vn são LD.

v1,v2,… ,vn é LD, se e somente se um destes vetores for uma combinação linear dos outros.Isto é, um conjunto de vetores é LI se, e somente se nenhum deles for uma combinação linear dosoutros.

Dica:Sistema Determinante LD ou LISPD ≠ 0 LISPI =0 LD

Exemplo:1) 1,0, 0,1 do ℝ2 é um conjunto ___________.

2) 2,3, 3,5 do ℝ2 é um conjunto ___________.

3) 2,3, 4,6 do ℝ2 é um conjunto ___________.

4) 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1 do ℝ3 é um conjunto ___________.

5) 2,−1,3, −1,0,−2, 2,−3,1 do ℝ3 é um conjunto ___________.

6) 1,3,2, 0,1,1 do ℝ3 é um conjunto ___________.

7) 0,0,0, 0,1,1, 2,4,5 do ℝ3 é um conjunto ___________.

80

8) 0,1,0, 1,0,2, −1,2,1, 1,1,1 do ℝ3 é um conjunto ___________.

9)−1 2−3 1

,2 −33 0

,3 −43 1

do M2x2 é um conjunto __________.

10)1 00 0

,0 10 0

,0 00 1

,0 00 1

do M2x2 é um conjunto __________.

11) 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1, 2,3,1 do ℝ3 é um conjunto ___________.

12) 2,1, 3,−1, 1,2 do ℝ2 é um conjunto ___________.

13) 1,2do ℝ2 é um conjunto ___________.

14) 1,3,−5do ℝ3 é um conjunto ___________.

15)1 2−4 −3

,3 6

−12 −9do M2x2 é um conjunto __________.

16) 0,0 do ℝ2 é um conjunto ___________.

17)1 00 0

,0 10 0

,0 00 0

,0 00 1

do M2x2 é um conjunto __________.

18)1 2−4 −3

,3 6

−12 −9,

1 00 0

do M2x2 é um conjunto __________.

OBS: Dois vetores formam um conjunto LD se, e somente se, um vetor é múltiplo escalar dooutro. Veja o exemplo__________.

81

Propriedades:Seja V um espaço vetorial real.1) v ⊂ V e v ≠ 0, então v é LI. Veja os exemplos _________.

2) Se um conjunto A ⊂ V contém o vetor nulo, então A é LD. Veja os exemplos ________.

3) Se uma parte de um conjunto A ⊂ V é LD, então A é também LD. Veja osexemplos___________.

4) Se um conjunto A ⊂ V é LI, qualquer parte de A é também LI. Veja osexemplos___________.

Geometricamente:No ℝ2 ou ℝ3, um conjunto de dois vetores é LI, se e somente se, os vetores não estão numa

mesma reta.No ℝ3, um conjunto de três vetores é LI, se e somente se, os vetores não estão num mesmo

plano.

Exercício 1: Verifique quais conjuntos são LI ou LD, no ℝ2 ou ℝ3 :a) O conjunto é __________

x

y

b) O conjunto é __________

x

y

82

c) O conjunto é __________

x

y

d) O conjunto é __________

x

y

e)O conjunto é __________

f) O conjunto é __________

g) O conjunto é __________

83

Exercício 2: Quais dos seguintes conjuntos de vetores do ℝ3 são LD? Justifique a suaresposta.

a) 4,−1,2, −4,10,2 Resp: não

b) −2,0,1, 3,2,5, 6,−1,1, 7,0,−2 Resp: sim

Exercício 3: a) Mostre que os vetores v1= 0,3,1,−1,v2= 6,0,5,1 e v3= 4,−7,1,3 formamum conjunto LD do ℝ4.

b) Expresse cada vetor como combinação linear dos outros dois.Resp: v1 =

27 v2 −

37 v3 v2 =

72 v1 +

32 v3 v3 =

−73 v1 +

23 v2

84

Exercícios de Revisão:Suponha que v1,v2,v3 são vetores em ℝ3 com pontos iniciais na origem. Em cada parte,

determine se os vetores estão num plano;1) v1 = 2,−2,0,v2 = 6,1,4,v3 = 2,0,−4 Resp: não2) v1 = −6,7,2,v2 = 3,2,4,v3 = 4,−1,2 Resp: sim

Suponha que v1,v2,v3 são vetores em ℝ3 com pontos iniciais na origem. Em cada parte,determine se os vetores estão num reta;

3) v1 = −1,2,3,v2 = 2,−4,−6,v3 = −3,6,0 Resp: não4) v1 = 4,6,8,v2 = 2,3,4,v3 = −2,−3,−4 Resp: sim

5) Classificar os seguintes subconjuntos do ℝ2 em LI ou LD. Justifique a sua resposta.a) 1,3 b) 1,32,6 c) 2,−1, 3,5d)1,0, −1,1, 3,5Resp: b, d são LD e a,c são LI

6) Classificar os seguintes subconjuntos do ℝ3 em LI ou LD. Justifique a sua resposta.a) 1,3,4 b) 1,−1,1, −1,1,1c) 2,−1,0, −1,3,0, 3,5,0 d) 2,1,3, 0,0,0, 1,5,2e)1,2,−1, 2,4,−2, 1,3,0 f) 1,−1,−2, 2,1,1, −1,0,3g) 1,2,−1, 1,0,0, 0,1,2, 3,−1,2Resp: a,b,f são LI e c,d,e,g são LD.

7) Determine o valor de k para seja LI o conjunto −1,0,2, 1,1,1, k,−2,0.Resp:k ≠ −3

8) Determinar o valor de k para que1 01 0

,1 10 0

,2 −1k 0

seja LD

Resp: k = 3.

85

Álgebra Linear - Profa Ana Paula

AULA 10Data: ____/_____/____

BASE E DIMENSÃOUm espaço vetorial pode ser gerado por n vetores, ou mais.

Exemplo: O espaço vetorial ℝ3 pode ser gerado por três vetores, ou também por quatro, ou porcinco, etc.

Assim, três vetores constituem o número mínimo necessário para gerar o ℝ3. No entanto,quatro, cinco ou mais vetores podem gerar o ℝ3. Porém, nesse caso, sobram vetores no conjuntogerador. E nós temos interessados no conjunto gerador que seja o menor possível.

Definição: Sejam V um espaço vetorial real e S = v1,v2,… ,vn ⊂ V. O conjunto S é uma basede V se, e somente se,:

a) S é LIb) S gera V, isto é, S = V.

OBS: Se S = v1,v2,… ,vn é uma base de um espaço vetorial V real, então cada vetor em Vpode ser expresso da forma v = k1v1 + k2v2 +…+knvn de maneira única, isto é, os ki são únicos.

Exemplo:Complete com ou não com a palavra "não":1) 1,0, 0,1 ________é uma base do ℝ2.2) 2,3, 3,5 ________é uma base do ℝ2.3) 2,3, 4,6 ________é uma base do ℝ2.4) 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1 ________é uma base do ℝ3.5) 2,−1,3, −1,0,−2, 2,−3,1 ________é uma base do ℝ3.6) 1,3,2, 0,1,1________é uma base do ℝ3.7) 0,0,0, 0,1,1, 2,4,5 ________é uma base do ℝ3.8) 0,1,0, 1,0,2, −1,2,1, 1,1,1 ________é uma base do ℝ3.

9)−1 2−3 1

,2 −33 0

,3 −43 1

________é uma base do M2x2..

10)1 00 0

,0 10 0

,0 00 1

,0 00 1

________é uma base do M2x2...

86

11) 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1, 2,3,1 ________é uma base do ℝ3.12) 2,1, 3,−1, 1,2 ________é uma base do ℝ2.13) 1,2 ________é uma base do ℝ2.14) 1,3,−5 ________é uma base do ℝ3.

15)1 2−4 −3

,3 6

−12 −9________é uma base do M2x2.

16) 0,0 ________é uma base do ℝ2.

17)1 00 0

,0 10 0

,0 00 0

,0 00 1

________é uma base do M2x2.

18)1 2−4 −3

,3 6

−12 −9,

1 00 0

________é uma base do M2x2.

OBS: No ℝ2 , um conjunto de dois vetores LI irão gerar o próprio ℝ2, isto é, este conjunto formauma base do ℝ2.

No ℝ3, um conjunto de três vetores LI irão gerar o próprio ℝ3, isto é, este conjunto forma umabase do ℝ3.

Exemplo: As seguintes bases são chamadas de base canônica do espaço vetorial dado.1) 1 do ℝ

2) 1,0, 0,1 do ℝ2.3) 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1 do ℝ3.4) 1,0,0,0, 0,1,0,0, 0,0,1,0, 0,0,0,1 do ℝ4.

5)1 00 0

,0 10 0

,0 01 0

,0 00 1

do M2x2.

OBS: Sejam V um espaço vetorial e S = v1,v2,… ,vn ⊂ V uma base qualquer de V com nelementos:

a) Um conjunto com mais de n vetores é LD. Veja os exemplos _________.b) Um conjunto com menos do que n vetores não gera V, logo não é base. Veja os

exemplos_________.c) Qualquer conjunto LI com n vetores é base. Veja os exemplos______________.

Todas as bases de um espaço vetorial têm o mesmo número de vetores.

87

DIMENSÃO

Definição: O número de vetores de uma base de V é definido como sendo a dimensão de V.Notação:dimv = n.

Exemplos:V= então dimV = 0 (por convenção).dimℝ = 1 dimM2x2 = 2x2 = 4dimℝ2

= 2 dimMnxm = nxmdimℝ3

= 3 dim0 = 0dimℝ4

= 4dimℝn

= n

Sejam V um espaço vetorial real tal que dimV = n e S é um subespaço de V, então dimS ≤ n. SedimS = n, então S = V.

Exemplo: V= ℝ3 e dimℝ3= 3. Qualquer subespaço do ℝ3 só poderá ter 0,1,2 ou 3 como

dimensão, isto é,dimS = 0, então S =0,0,0dimS = 1, então S é uma reta que passa pela origem.dimS = 2, então S é um plano que passa pela origem.dimS = 3, então S = V = ℝ3.

Exercício 1: Analise para V = ℝ2.

Reescrevendo: Sejam V um espaço vetorial de dimV = n e S = v1,v2,… ,vn ⊂ V uma basequalquer de V

a) Um conjunto com mais de n vetores é LD.b) Um conjunto com menos do que n vetores não gera V, logo não é base.c) Qualquer conjunto LI com n vetores é base.

88

Exercício 2: Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorialS = x,y, z ∈ ℝ3/2x + y + z = 0.

Resp: dimS = 2

Dica: Uma forma prática para determinar a dimensão de um espaço vetorial é verificar onúmero de variáveis livres de seu vetor genérico. Esse número é a dimensão do espaço.

Definição: Seja B = v1,v2,… ,vn uma base de V. Tomemos v ∈ V, sendo v =

k1v1 + k2v2 +…+knvn . Os números k1,k2,…kn são chamados de componentes ou coordenadasde v em relação à base B e se representa por: vB = k1,k2,…kn.

A n-upla k1,k2,…kn. é chamada vetor-coordenada de v em relação à base B.

Exercício 3: Seja B = 1,2,3, 0,1,2, 0,0,1.a) Mostre que é uma base do ℝ3.

b) Determine o vetor-coordenada de v = 5,4,2 em relação a base BResp:x = 5,y = −6, z = −11

89

c) Determine o vetor v ∈ ℝ3 cujo vetor-coordenada em relação à base B é vB = 2,−3,4.Resp: (2,1,4)

Exercício 4: Determine uma base e a dimensão do espaço-solução do sistema homogêneo.x + 2y − 4z + 3t = 0x + 2y − 2z + 2t = 0

2x + 4y − 2z + 3t = 0Resp: dimensão 1 e um exemplo de base: {(-2,0,1,2),(-2,1,0,0)}

90

Exercício de Revisão:1. O conjunto B = 2,−1, −3,2 é uma base do ℝ2. Escrever o vetor genérico do ℝ2 como

combinação linear de B. Resp: x,y = 2x + 3y2,−1 + x + 2y−3,2.

2. Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do ℝ3? Justifique a suaresposta.

a) 1,1,−1, 2,−1,0, 3,2,0b) 1,0,1, 0,−1,2, −2,1,−4c) 2,1,−1, −1,0,1, 0,0,1d) 1,2,3, 4,1,2e) 0,−1,2, 2,1,3, −1,0,1, 4,−1,−2Resp: a, c

3. Mostrar que o conjunto2 3−1 0

,1 −10 −2

,−3 −21 −1

,3 −7−2 5

é uma

base de M2x2.

4. Mostrar que os vetores v1 = 1,1,1,v2 = 1,2,3,v3 = 3,0,2 e v4 = 2,−1,1 geram o ℝ3

e encontrar uma base dentre destes vetores. Resp: uma das soluções possíveis v1,v2,v3.

5. Determinar o vetor coordenada de v = 6,2 em relação às seguintes bases:a) B1 = 3,0, 0,2 Resp: (2,1)b) B2 = 1,0, 0,1 Resp: (6,2)c) B3 = 1,2, 2,1 Resp:( -2/3, 10/3)d) B4 = 0,1, 1,0 Resp: (2,6)

6. No espaço vetorial ℝ3, consideremos a seguinte base: B = 1,0,0, 0,1,0, 1,−1,1.Determinar o vetor coordenada de v ∈ ℝ3 em relação à base B se:

a) v = 2,−3,4 b) v = 3,5,6 c) v = 1,−1,1Resp: a) (-2,1,4) b) (-3,11,6) c) (0,0,1)

7. Sejam os vetores v1 = 1,0,−1,v2 = 1,2,1,v3 = 0,−1,0 do ℝ3.a) Mostrar que B = v1,v2,v3 é uma base do ℝ3.b) Escrever e1 = 1,0,0,e2 = 0,1,0,e3 = 0,0,1 como combinação linear dos vetores da base

B.Resp: (½, ½, 1), (0,0,-1) , (-½, ½, 1).

8. Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:a) x,y, z ∈ ℝ3/y = 3xb) x,y, z ∈ ℝ3/y = 5xez = 0c) x,y, z ∈ ℝ3/x + y = 0d) x,y, z ∈ ℝ3/x = 3yez = −ye) x,y, z ∈ ℝ3/2x − y + 3z = 091

f) x,y, z ∈ ℝ3/z = 0Resp: a) dim: 2 b) dim: 1 c) dim: 2 d) dim: 1 e) dim: 2 f) dim: 2As bases ficarão a cargo de cada aluno.

92

Álgebra Linear - Profa Ana Paula

AULA 11Data: ____/_____/____

ESPAÇO VETORIAL EUCLIDIANO

Definição: Produto escalar ou produto interno de um espaço vetorial V é uma função V×Vem ℝ que todo para de vetores (u,v)∈V×V associa um número real, indicado por u.v ou <u,v> talque:

1) u ⋅ v = v ⋅ u2) u ⋅ v + w = u ⋅ v + u ⋅ w3) αu ⋅ v = αu ⋅ v4) u ⋅.u ≥ 0 e u ⋅ u = 0 ⇔ u = 0 (elemento neutro)

Exemplo: São chamados de produto interno usuais:1) Para u = x1,y1 e v = x2,y2temos u ⋅ v = x1x2 + y1y2 no ℝ2.

2) Para u = x1,y1, z1 e v = x2,y2, z2 temos u ⋅ v = x1x2 + y1y2 + z1z2 no ℝ3.

Exercício 1: Calcular u ⋅ v, usando o produto interno usual do ℝ2.1) u = −3,4 e v = 5,−2

2) u = 6,−1 e v = 12 ,−4

3) u = 2,3 e v = 0,0

Resp: 1) − 23 2 7 3 0

Exercício2: Considere o ℝ3 munido do produto interno usual. Sendo v1 = 1,2,3,v2 = 3,−1,−1 e v3 = 2,−2,0. Determine u ∈ ℝ3 tal que u ⋅ v1 = 4, u ⋅ v2 = 6 e u ⋅ v3 = 2.

Resp: u = 3,2,1

93

Definição: Um espaço vetorial, de dimensão finita, no qual está definido um produto interno, éum espaço vetorial euclidiano.

Definição: Sejam V um espaço vetorial euclidiano e v ∈V. A norma ou comprimento de umvetor é dado por:

‖v‖ = v ⋅ v = < v,v >

Exemplo: São normas com produto interno usual:

1) V = ℝ2 ⇒ ‖v‖ = ‖x,y‖ = x2 + y2

2) V = ℝ3 ⇒ ‖v‖ = ‖x,y, z‖ = x2 + y2 + z2

Exercício 3: Calcule a norma dos vetores dados, usando produto interno usual:1) u = −3,4

2) v = 5,−2

3) w = 6,−1

4) t = 12 ,−4

5) s = 2,3

6) r = 0,0

Exercício 4: No ℝ3. Determine o componente k do vetor v = 6,−3,k tal que ‖v‖ = 7.

OBS: Se ‖v‖ = 1, isto é, v ⋅ v = 1, o vetor é chamado de unitário. Diz-se que v é normalizado.Todo vetor não-nulo pode ser normalizado fazendo:

v = v‖v‖

94

Exercício 5: Normalizar os vetores se eles não forem unitários.1) u = −3,4

2) v = 22 ,− 2

2

3) w = 1,−1

4) t = 12 ,−4

5) r = −2,1,2

6) s = 1,−1,0

Definição: Distância entre dois vetores de um espaço vetorial euclidiano é dada por:du,v = ‖u − v‖

Exemplo: Distância entre dois vetores, usando o produto interno usual:1) V = ℝ2 ⇒ du,v = ‖x1,y1 − x2,y2‖ = x1 − x2

2 + y1 − y22

2) V = ℝ3 ⇒ du,v = ‖x1,y1, z1 − x2,y2, z2‖ = x1 − x22 + y1 − y2

2 + z1 − z22

Exercício 6: Calcule a distância entre os dois vetores:1) u = −3,4 e v = 5,−2

2) u = 6,−1 e v = 12 ,−4

3) u = 2,3 e v = 0,0

4) u = 2,1,5 e v = 5,0,−2

5) u = 0,1,0 e v = 1,0,0

95

Propriedades:Sejam V um espaço vetorial euclidiano, u,v ∈ V e α ∈ ℝ.1) ‖v‖ ≥ 0 para qualquer v ∈ V e ‖v‖ = 0 ⇔ v = 0.2) ‖αu‖ = |α|.‖v‖ para qualquer v ∈ V.3) ‖u ⋅ v‖ ≤ ‖u‖.‖v‖ para quaisquer u,v ∈ V. ( Desigualdade de Schwarz).4) ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖ (Desigualdade triangular).5) ‖u + v‖ = ‖u‖ + ‖v‖ ⇔ u e v são colineares.

Definição. Sejam u e v vetores não-nulos de V. A desigualdade de Schwarz pode ser escritaassim:

‖u ⋅ v‖‖u‖.‖v‖ ≤ 1 ⇔ u ⋅ v

‖u‖.‖v‖ ≤ 1 ⇔ −1 ≤u ⋅ v

‖u‖.‖v‖ ≤ 1

Por este motivo, o ângulo entre dois vetores é dado por:cosθ = u ⋅ v

‖u‖.‖v‖onde 0≤ cosθ ≤ π.

Exemplo: Seja o produto interno usual no ℝ3. Determinar o ângulo entre os seguintes vetores:

1) u = −3,4 e v = 5,−2

2) u = 6,−1 e v = 12 ,−4

3) u = 2,3 e v = 0,0

4) u = 2,1,5 e v = 5,0,−2

5) u = 0,1,0 e v = 1,0,0

Definição: Seja V um espaço vetorial euclidiano. Diz-se que dois vetores u e v de V sãoortogonais e são representados por

u ⊥ v ⇔ u ⋅ v = 0

Exemplo: Seja V = ℝ2 com produto interno usual. Verifique se os vetores são ortogonais:

1) u = 3,−1 e v = 13 ,1

2) u = 3,−1,2 e v = 1,1,−1

96

3) u = 2,3 e v = 0,0

4) u = 2,1,5 e v = 5,0,−2

Exercícios de revisão:1) Consideremos, no ℝ3, o produto interno usual. Para que valores de m os vetores u e v são

ortogonais?a) u = 3m, 2,−m e v = −4,1,5b) u = 0,m − 1,4 e v = 5,m − 1,−1Resp; a) 2/17 b) 3 ou -1

2) Seja V = ℝ3 com o produto interno usual. Determinar um vetor u∈ ℝ3 ortogonal aos vetoresv1 = 1,1,2, v2 = 5,1,3, v3 = 2,−2,−3. Resp: u = α1,7,−4 , α ∈ ℝ.

3) Seja v = −1,2,5. Encontre todos os escalares k tais que ‖kv‖ = 4. Resp: k=± 430

4) Encontre um vetor unitário do ℝ3 que é ortogonal a ambos u = 1,0,1 e v = 0,1,1.

Resp:± 13

, 13

, 13

(esta reposta não é única, existem outras)

5) Se u =a1 b1c1 d1

e v =a2 b2c2 d2

são matrizes quaisquer de M2x2, a seguinte fórmula

define um produto interno nesse espaço:

21212121 ddccbbaavu +++=⋅

.Dados os vetores: u =1 2−1 1

e v =0 21 1

. Determinar:

a) ‖u + v‖b) ângulo entre u e v.Resp:a) 21 b) θ = arcos 4

42.

6) Determinar o valor de m para que os vetores u = 2,m,−3 e v = m − 1,2,4 sejam ortogonaisem relação ao produto interno usual do ℝ3.

97

Álgebra Linear - Profa Ana Paula

AULA 12Data: ____/_____/____

BASES ORTONORMAIS

Definição:Seja V um espaço vetorial euclidiano. Diz-se que um conjunto de vetores com maisdo que dois vetores v1,v2,… ,vn ⊂ V é conjunto ortogonal se dois vetores quaisquer distintossão ortogonais, isto é,

vi ⋅ vj = 0 para quaisquer i ≠ j

OBS: Um conjunto ortogonal de vetores não-nulos é LI. A recíproca não é verdadeira, isto é,nem todo conjunto LI é um conjunto ortogonal.

Exemplo: No ℝ3 com produto interno usual, o conjunto 1,2 − 3, 3,0,1, 1,−5,−3 é umconjunto ortogonal.

Exercício 1: Verifique se os conjuntos dos ℝ2 e ℝ3 com produto interno usual são conjuntosortogonais:

a) 1,32,6

b) 2,−1, 3,5

c)1,0, −1,1, 3,5

d) 1,−1,1, −1,1,1

e) 2,−1,0, −1,3,0, 3,5,0

f) 2,1,3, 0,0,0, 1,5,2

g)1,2,−1, 2,4,−2, 1,3,0

h) 1,−1,−2, 2,1,1, −1,0,3

i) 1,2,−1, 1,0,0, 0,1,2, 3,−1,2

98

Definição: Diz-se que uma base v1,v2,… ,vn de V é uma base ortogonal se os seus vetoressão 2 a 2 ortogonais entre si.

Exemplo: O conjunto 1,2 − 3, 3,0,1, 1,−5,−3 é uma base do ℝ3

Exercício 2: Verifique quais dos seguintes conjuntos do ℝ2 e ℝ3 são bases ortogonais.1) 1,0, 0,1

2) 2,3, 3,5

3) 12

,− 12

, 12

, 12

4) 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1

5) 2,−1,3, −1,0,−2, 2,−3,1

6) 2,1,−1, −1,0,1, 0,0,1

7) 32 , 1

2 , −12 , 3

2

Definição: Uma base B = v1,v2,… ,vn de um espaço vetorial eucliadiano V é uma baseortonormal se B é uma base ortogonal e todos os seus vetores são unitário, isto é,

vi ⋅ vj =0 para i ≠ j1 para i = j

Exemplo: Verifique que , em relação ao produto interno usual:1) 1,0, 0,1 é uma base ortonormal do ℝ2.

2) 32 , 1

2 , −12 , 3

2 é uma base ortonormal do ℝ2.

3) 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1 é uma base ortonormal do ℝ3

4) 35 , 4

5 , −45 , 3

5 é uma base ortonormal do ℝ2.

99

Definição: Seja V um espaço vetorial euclidiano e B = v1,v2,… ,vn uma base ortogonal de V.Para um vetor w ∈ V, tem-se:

w = a1v1 + a2v2 +…+anvn

onde

ai =w ⋅ vivi ⋅ vi

Exemplo: Sejam V = ℝ2 com produto interno usual e B = 2,−1, −1,2 uma base ortogonal.Encontrar as coordenadas de (4,7) em relação à B.

Resp: (3,2)

Exercício 3: Sejam V = ℝ2 com produto interno usual . Encontrar as coordenadas do vetor uem relação à B.

1) u = 1,2 em relação à B = 1,0, 0,1.

2) u = 1,2 em relação à B = 2,−1, −1,2.

3) u = −1,4 em relação à B = 1,0, 0,1.

4) u = −1,4 em relação à B = 2,−1, −1,2.

OBS: No caso da base ser ortonormal, os coeficientes são dados por:ai = w ⋅ vi

pois vi ⋅ vi = 1.

Exemplo: Seja B= 35 , 4

5 , −45 , 3

5 uma base ortonormal do ℝ2 com produto interno usual.Encontrar as coordenadas de (5,2) em relação à base B. Resp: 23

5 ,− 145

100

Exercício 4: Encontrar as coordenadas de u em relação à base B.

1) u = 1,2 em relação à 32 , 1

2 , −12 , 3

2

2) u = −1,4 em relação à 32 , 1

2 , −12 , 3

2

Exercícios de revisão

1) Dado conjunto B =12

,− 12

, 12

, 12

.

a) Verifique que é uma base ortonormal do ℝ2 com o produto interno usual.b) Determinar o vetor coordenada de v = 2,4 em relação à base B. Resp: . 3 2 , 2

2) Dado conjunto B = 0,1,0, −45 ,0, −3

5 , 35 ,0, 4

5 . O conjunto B é uma base ortonormal doℝ3 com produto interno usual? Justifique a sua resposta.

3) Dado o vetor v = 1,−1,2 do ℝ3 com produto interno usual. Encontre o vetor coordenada dev em relação as seguintes bases:

a) A base canônica do ℝ3.b) B = 1,0,0, 0, 1

2, 1

2, 0,− 1

2, 1

2 ]

4) Dado o vetor v = 3,5. Encontre o vetor coordenada de v em relação as seguintes bases:a) A base canônica do ℝ2

b) B = 2,3, −1,1

c) C =25

,− 15

, −15

,− 35

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