Apostila de algebra linear

Fortaleza, Fevereiro/2010

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL

APOSTILA DE Álgebra Linear

Realização:

II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear

Página 2 de 40

Sumário

1. Matrizes .......................................................................................................................................................... 3

1.1. Operações com matrizes ............................................................................................................................. 4

1.2. Operações elementares com linhas de uma matriz ...................................................................................... 5

1.3. Questões ..................................................................................................................................................... 6

2. Determinantes ................................................................................................................................................ 7

2.1. Regra de Chió .............................................................................................................................................. 8

2.2. Teorema de Laplace .................................................................................................................................... 9

2.3. Questões .................................................................................................................................................... 10

3. Sistemas Lineares ........................................................................................................................................... 11

3.1. Método do escalonamento ......................................................................................................................... 11

3.2. Regra de Cramer ........................................................................................................................................ 13

3.3. Questões .................................................................................................................................................... 13

4. Vetores ........................................................................................................................................................... 14

4.1. Adição de Vetores ...................................................................................................................................... 15

4.2. Multiplicação por escalar ........................................................................................................................... 15

4.3. Questões .................................................................................................................................................... 16

5. Operações com vetores .................................................................................................................................. 16

5.1. Módulo ....................................................................................................................................................... 16

5.2. Produto escalar (ou produto interno) ......................................................................................................... 16

5.3. Produto vetorial (ou produto externo)........................................................................................................ 17

5.4. Questões .................................................................................................................................................... 19

6. Espaços vetoriais ............................................................................................................................................ 19

6.1. Questões .................................................................................................................................................... 21

7. Subespaços vetoriais ...................................................................................................................................... 22

7.1. Questões .................................................................................................................................................... 24

8. Interseção, união e soma de subespaços ........................................................................................................ 25

8.1. Interseção .................................................................................................................................................. 25

8.2. Soma .......................................................................................................................................................... 26

8.3. União ......................................................................................................................................................... 27

8.4. Questões .................................................................................................................................................... 27

9. Combinação linear .......................................................................................................................................... 27

9.1. Questões .................................................................................................................................................... 28

10. Subespaços gerados ................................................................................................................................... 29

10.1. Questões .................................................................................................................................................... 30

11. Dependência e Independência Linear ......................................................................................................... 31

11.1. Questões .................................................................................................................................................... 32

12. Base de um espaço vetorial ........................................................................................................................ 33

12.1. Questões .................................................................................................................................................... 36

13. Dimensão ................................................................................................................................................... 36

13.1. Questões .................................................................................................................................................... 37

14. Mudança de base ....................................................................................................................................... 38

14.1. A inversa da matriz de mudança de base ................................................................................................... 39

14.2. Questões .................................................................................................................................................... 40


Página 3 de 40

1. Matrizes

Sejam m e n inteiros positivos. Chama-se matriz m × n (sobre R) qualquer lista ordenada de m-n

números reais, dispostos em m linhas e n colunas. Os números que constituem uma matriz são chamados

de termos da matriz.

Uma matriz A, m × n, pode ser denotada como se segue:

A =

a11 ⋯ a1n

⋮ ⋱ ⋮am1 ⋯ amn

Ou, simplesmente, A = (aij ), onde 1 < 𝑖 < 𝑚 e 1 < 𝑗 < 𝑛. Notamos que os índices i e j indicam a

posição que o termo ocupa na matriz. O termo aij está na i-ésima linha e na j-ésima coluna.

Seja A = (aij ) uma matriz n × n. Chama-se diagonal principal, ou simplesmente diagonal da matriz A,

a lista ordenada (a11 , a22 , . . . , ann ). Chama-se diagonal secundária da matriz A, a lista ordenada

(a1n , a2(n−1), an1). A soma dos índices dos termos da diagonal secundária é sempre igual a n+1.

Igualdade de Matrizes:

Sendo A = (aij ), e B = (bij ), matrizes, A e B são iguais, se e somente se, aij = bij para quaisquer

valores de i e de j.

Tipos de Matrizes:

o Chama-se matriz linha toda matriz 1 × 𝑛, ou seja, toda matriz constituída de uma só linha.

o Chama-se matriz coluna toda matriz 𝑚 × 1, ou seja, toda matriz constituída de uma só

coluna.

o Chama-se matriz nula aquela cujos termos são todos nulos.

o Uma matriz 𝑚 × 𝑛 chama-se quadrada se 𝑚 = 𝑛.

o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se triangular superior se todos os termos que ficam

abaixo da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 0 sempre que 𝑖 > 𝑗.

o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se triangular inferior se todos os termos que ficam

acima da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 0 sempre que 𝑖 < 𝑗.

o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se diagonal se todos os termos fora da diagonal

principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 0 sempre que 𝑖 ≠ 𝑗.

o Chama-se matriz identidade 𝑛 × 𝑛 a matriz diagonal 𝑛 × 𝑛 cujos termos da diagonal principal

são todos iguais a 1. Ela é denotada por 𝐼𝑛 ou simplesmente por I.

o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se simétrica se 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 para quaisquer que sejam i

e j, isto é, se os termos simetricamente situados em relação à diagonal principal são iguais.

o Exemplos: 2 −1

−1 0 ,

5 1 31 0 23 2 1

, 𝐼𝑛 , toda matriz diagonal.

o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se anti-simétrica se 𝑎𝑖𝑗 = −𝑎𝑗𝑖 para quaisquer que

sejam i e j, ou seja, se os termos simetricamente situados em relação à diagonal principal são

números reais simétricos e os termos da diagonal são todos nulos.


Página 4 de 40

o Exemplos: 0 1

−1 0 ,

0 4 84 0 −1

−8 1 0 , matriz quadrada nula.

1.1. Operações com matrizes

Adição de Matrizes:

Sejam A = (aij ), e B = (bij ) matrizes m × n. Definimos a soma das matrizes A e B como sendo a

matriz A + B = (cij ), em que cij = aij + bij . Ou seja, somar A com B consiste em somar termos

correspondentes.

Propriedades (1): Para quaisquer matrizes m × n, A = (aij ), B = (bij ) e C = (cij ), as seguintes

propriedades são válidas:

o Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C;

o Comutatividade: A + B = B + A;

o Elemento neutro: A + O = A, onde O é a matriz m × n nula;

o Matriz oposta: A + (-A) = O, onde −A = (aij ). Chamamos (–A) de matriz oposta de A;

o Multiplicação de um escalar por uma matriz: Sejam x ∈ R e A = (aij ) uma matriz

m × n. Definimos o produto da matriz A pelo escalar x como x. A = (x. aij ). Isto é,

multiplicar x por A consiste em multiplicar x por todos os termos de A.

Propriedades (2): Para quaisquer que sejam as matrizes m × n, A = (aij ) e B = (bij ) e os números

reais x e y, valem as seguintes propriedades:

o x.(A + B) = x.A + x.B (Distributiva para escalar)

o (x + y).A = x.A + y.A (Distributiva para matrizes)

o x.(y.A) = (xy).A (Associativa)

o 1.A = A (1 é o escalar que representa o elemento neutro dessa operação)

Multiplicação de Matrizes:

Seja A = (aij ) uma matriz m × n. Denotaremos por Ai a i-ésima linha de A e Aj a j-ésima coluna de A.

Isto é:

𝐴𝑖 = 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑛 e 𝐴𝑗 =

𝑎1𝑗

𝑎2𝑗

⋮𝑎𝑚𝑗

Sejam A = (aij ) uma matriz m × n e B = (bjk ) uma matriz n × p. Definimos o produto da matriz A pela

matriz B como A. B = C = (cij ) = aij bjknj=1 .

Observação 1: O produto A.B é uma matriz m × p;

Observação 2: O termo de A.B que se situa na i-ésima linha e na j-ésima coluna é Ai . Bk.

Observação 3: Quando existe uma matriz A−1 tal que A. A−1 = I, dizemos que A é uma matriz

invertível, e chamamos A−1 de matriz inversa de A.


Página 5 de 40

Propriedades:

o Se A é uma matriz m × n, então A. In = Im . A. Isso indica que a matriz identidade é o

elemento neutro para a multiplicação de matrizes.

o Se A é uma matriz m × n e B e C são matrizes n × p, então A(B + C) = AB + AC, ou

seja, a multiplicação se distribui à esquerda em relação à soma de matrizes.

o Para as mesmas matrizes A, B e C, temos (A + B) = BA + CA, ou seja, a multiplicação

se distribui à direita em relação à soma de matrizes.

o Seja A uma matriz m × n, B uma matriz n × p e x ∈ ℝ, então x. (AB) = A(x. B).

o Se A, B e C são, respectivamente, matrizes m × n, n × p e p × q, então A(BC) =

(AB)C (comutatividade).

Transposição de Matrizes:

Seja A uma matriz m × n, definimos a transposta de A como sendo a matriz n × m At = (bji ), em que

bji = aij .

Exemplo:

2 3 4 5

−1 0 2 1 𝑡

=

2 −13 04 25 1

Propriedades: Sejam x um número real, A e B matrizes m × n e C uma matriz n × p. Então valem as

seguintes propriedades:

o At t = A

o (A + B)t = At + Bt

o (xA)t = x(A)t

o (BC)t = CtBt

1.2. Operações elementares com linhas de uma matriz

Seja A uma matriz m × n. Chama-se operação elementar com linhas de A qualquer uma das

operações descritas a seguir:

Permutação de duas linhas de A;

Multiplicação de uma linha de A por um número real não nulo;

Substituição de Ai por Ai + xAj, em que j ≠ i e x é um número real qualquer.

Exemplo:

3 0 3 122 1 −1 3

1

3𝐴1

1 0 1 42 1 −1 3

𝐴2−2𝐴1

1 0 1 40 1 −3 −5

A primeira operação acima consistiu em multiplicar a primeira linha por 1/3 e a segunda operação em

substituir a segunda linha por ela mais (-2) vezes a primeira (A2 − 2A1).


Página 6 de 40

Sejam A e B matrizes m × n. Dizemos que A é linha-equivalente a B se B pode ser obtida a partir de A

através de operações elementares com linhas. (No exemplo anterior, notamos que a primeira matriz é

linha-equivalente à terceira)

Matriz na forma escada:

Seja A uma matriz m × n. Dizemos que A é uma matriz na forma escada, se as seguintes condições

são satisfeitas:

As possíveis linhas nulas ficam abaixo das possíveis linhas não nulas.

O primeiro termo não nulo de cada linha não nula é igual a 1.

Os demais termos da coluna à qual pertence o primeiro termo não nulo de uma linha não nula são

todos nulos.

A coluna à qual pertence primeiro termo não nulo de uma linha não nula fica à direita do primeiro

termo não nulo da linha anterior, isto é, se p é o número de linhas não nulas e se o primeiro termo não

nulo da i-ésima linha não nula ocorre na ki-ésima coluna, então k1 < k2 < ⋯ < kp .

Exemplos:

1 0 1 40 1 −3 5

, 1 0 0 −10 0 1 50 0 0 0

, 1 −2 0 00 0 1 30 0 0 0

, O, I.

Teorema: Toda matriz m × n é linha-equivalente a uma matriz na forma escada.

Exemplo:

2 3 −1

−4 0 21 1 3

1

2A1

1 3/2 −1/2

−4 0 21 1 3

A2+4A1A3−A1

1 3/2 −1/20 6 00 −1/2 7/2

1

6A2

1 3/2 −1/20 1 00 −1/2 7/2

A1−3

2A2

A3+1

2A2

1 0 −1/20 1 00 0 7/2

1

7A3

1 0 −1/20 1 00 0 1

A1+

1

2A3

1 0 00 1 00 0 1

1.3. Questões

1) Se A = 1 −23 −6

e B = 4 22 1

, calcule AB e BA.


Página 7 de 40

2) Se A= 3 −2

−4 3 , ache B, de modo que B2 = A.

3) Suponha que A≠0 e AB=AC onde A,B,C são matrizes tais que a multiplicação esteja definida.

a) B=C? b) Se existir uma matriz Y, tal que YA=I, onde I é a matriz identidade, então B=C?

4) Diz-se que as matrizes A e B são comutativas se AB = BA. Encontre todas as matrizes x yz w

que

sejam comutativas com 1 10 1

5) Seja A = 2 23 −1

.

a) Encontre A2 e A3 . b) Se f x = x3 − 3x2 − 2x + 4 , encontre f A c) Se g x = x2 − x − 8, encontre g(A)

6) Para cada uma das matrizes a seguir, encontra uma matriz na forma escada, à qual a matriz dada

é linha equivalente.

a) 2 1 56 3 15

b) 2 0 −2 00 2 −1 0

c) 2 1 51 −3 6

d) 1 2 1 0

−1 0 3 51 −2 1 1

e)

2 −1 31 4 21 −5 14 16 8

f)

0 2 0 21 1 0 33 −4 0 22 −3 0 1

7) Sejam A e B matrizes quadradas do mesmo tamanho, em que A é invertível. Mostre, por indução,

que (𝐴𝐵𝐴−1)𝑛 = 𝐴𝐵𝑛𝐴−1 para todo inteiro positivo n.

2. Determinantes

Determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um escalar. Seu cálculo é feito

somando os termos ligados pelas diagonais paralelas à diagonal principal, e subtraindo deste valor a soma

dos produtos dos termos ligados pelas setas paralelas à diagonal secundária:


Página 8 de 40

Temos que:

det A = (a11 ∙ a22 ∙ a33 + a12 ∙ a23 ∙ a31 + a21 ∙ a32 ∙ a13) − (a13 ∙ a22 ∙ a31 + a12 ∙ a21 ∙ a33 + a23 ∙ a32

∙ a11)

Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n, e x um escalar qualquer, essas são algumas das

propriedades dos seus determinantes:

o det(x ∙ A) = xn ∙ det A

o det A = det(At)

o Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante

desta matriz será zero.

o Se A tem duas filas iguais, então detA = 0

o Se permutarmos duas linhas ou colunas de A, então o determinante muda de sinal.

o Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det AB = detA. detB

Observação 1: O determinante de uma matriz triangular ou diagonal é o produto dos termos de sua

diagonal principal.

Observação 2: O determinante permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são

precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

A. A−1 = I, aplicando determinante dos dois lados, temos:

det A. A−1 = detI

detA. det A−1 = 1

det A−1 =1

det A

Assim, se o determinante da matriz A for nulo, a matriz inversa não pode existir.

2.1. Regra de Chió

Através dessa regra é possível diminuir de n para (n − 1) a ordem de uma matriz quadrada A sem

alterar o valor do seu determinante.

A regra prática de Chió consiste em:

1) Escolher um elemento aij = 1 (caso não exista, aplicar as propriedades para que apareça o

elemento 1).

2) Suprimir a linha i e a coluna j do elemento aij = 1, obtendo-se o menor complementar do

referido elemento.


Página 9 de 40

3) Subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam

nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas suprimidas.

4) Multiplicar o determinante obtido no item anterior por (−1)i+j onde i e j designam as ordens da

linha e da coluna às quais pertence o elemento aij = 1 do primeiro item.

Exemplo:

det 𝐴 = 1 5 72 4 33 2 4

= 4 − 5.2 3 − 2.72 − 3.5 4 − 3.7

. (−1)1+1 = −6 −11−13 −17

= 6.17 − 13.11 = −41

2.2. Teorema de Laplace

Chama-se de menor complementar (Dij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A o determinante

que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.

Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem a seguir:

A = 2 0 35 7 93 5 1

, podemos escrever:

D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A. Pela definição, D23 será igual ao

determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:

D23 = 2 03 5

= 2.5 − 3.0 = 10

Chama-se de cofator de um elemento aij de uma matriz o seguinte produto:

cof aij = (−1)i+j . Dij

Assim, por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior é igual a:

cof a23 = (−1)2+3. D23 = (−1)5 . 10 = −10

Observações sobre o teorema:

o O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma

fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.

o Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já

conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só

recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. Seu uso

possibilita diminuir a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de

4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem.

o Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha

ou coluna) que contenha mais zeros, para que seu produto seja nulo.


Página 10 de 40

2.3. Questões

1) Dadas as matrizes A = 1 21 0

e B = 3 −10 1

, calcule

a) det 𝐴 + det 𝐵 b) det(A + B)

2) Sejam A e B matrizes do tipo n × n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas:

a) det(AB) = det(BA) b) det A’ = det A c) det(2A) = 2 det A d) det(A²) = (det A)²

3) Calcule o det A, onde:

a) A =

3 −1 5 00 2 0 12 0 −1 31 1 2 0

b) A =

i 3 2 −i3 −i 1 i2 1 −1 0−i i 0 1

4) Prove que

𝑎1 0 0 0𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4

𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4

𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝑑4

= 𝑎1

𝑏2 𝑏3 𝑏4

𝑐2 𝑐3 𝑐4

𝑑2 𝑑3 𝑑4

5) Mostre que det 1 1 1a b ca² b² c²

= a − b b − c (c − a).

6) Verdadeiro ou falso?

a) Se det A = 1, então A-1 = A. b) Se A é uma matriz triangular superior e A-1 existe, então também A-1 será uma

matriz triangular superior. c) Se A é uma matriz escalar n × n da forma kIn , então det A = kn . d) Se A é uma matriz triangular, então det A = a11+. . . +ann .

7) Calcule

a2 (a + 2)2 (a + 4)2

(a + 2)2 (a + 4)2 (a + 6)2

(a + 4)2 (a + 6)2 (a + 8)2

.


Página 11 de 40

8) Mostre que cos2a cos2a sen2acos2b cos2b sen2bcos2c cos2c sen2c

= 0.

3. Sistemas Lineares

Definição 1: Seja 𝑛 um inteiro positivo. Chama-se equação linear a 𝑛 incógnitas toda equação

do tipo 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 em que 𝑎1, 𝑎2, ..., 𝑎𝑛 , 𝑏 são constantes reais e 𝑥1, 𝑥2, ...,

𝑥𝑛 são incógnitas. Chamamos cada 𝑎𝑖 de coeficiente de 𝑥𝑖 e 𝑏 de termo independente da

equação.

Definição 2: Sejam 𝑚 e 𝑛 inteiros positivos. Chama-se sistema linear a 𝑚 equações e 𝑛

incógnitas todo sistema com m equações lineares, todas às mesmas n incógnitas.

Denotaremos o sistema citado como se segue:

a11x1 + a12x2 + ⋯ + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ⋯ + a2nxn = b2

⋮a31x1 + a32x2 + ⋯ + a3nxn = b3

Chama-se solução do sistema toda lista ordenada (x1 , x2 , … , xn) de números reais que satisfaz a

todas as equações do sistema linear e chama-se conjunto solução do sistema o conjunto constituído de

todas as soluções.

Dizemos que o sistema linear é, respectivamente, impossível, possível determinado ou possível

indeterminado conforme seu conjunto solução seja vazio, unitário ou tenha pelo menos dois elementos.

3.1. Método do escalonamento

O método do escalonamento consiste em transformar uma matriz qualquer em uma matriz na

forma escada através de operações elementares com linhas. O objetivo disso é resolver sistemas lineares.

Para tanto, devemos saber que cada sistema linear tem duas matrizes correspondentes: uma chamada

matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema e outra chamada matriz completa do sistema.

Listemos a seguir as matrizes referentes a um sistema genérico:

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1 am2 … amn

Matriz incompleta

Matriz completa


Página 12 de 40

Se A é a matriz dos coeficientes, X =

x1

x2

⋮xn

e B =

b1

b2

⋮bm

, então o sistema pode ser representado

(matricialmente) pelas seguintes equações:

A1 . X = b1

A2 . X = b2

⋮Am . X = bm

O método do escalonamento para resolver um sistema linear cuja matriz completa é C consiste

em encontrar uma matriz C’, tal que C’ seja linha-equivalente a C e o sistema cuja matriz é C’ já explicite o

seu conjunto solução. Para tanto, essa matriz deverá estar na forma escada.

Exemplo: Resolvamos o sistema 2x + 3y − z = 6−4x + 2z = −1x + y + 3z = 0

, que tem a seguinte matriz completa:

2 3 −1 6

−4 0 2 −11 1 3 0

Devemos operar essa matriz com linhas, de maneira a deixar a matriz dos coeficientes na forma

escada.

2 3 −1 6

−4 0 2 −11 1 3 0

→ 1 3/2 −1/2 3

−4 0 2 −11 1 3 0

→

→ 1 3/2 −1/2 30 6 0 110 −1/2 7/2 3

→ 1 3/2 −1/2 30 1 0 110 −1/2 7/2 3

/6 →

→

1 0 −1/2 1/40 1 0 11/60 0 7/2 −25/12

→

1 0 −1/2 1/40 1 0 11/60 0 1 −25/42

→

1 0 0 −1/210 1 0 11/60 0 1 −25/42

Assim, o sistema inicial é equivalente a

x = −1/21y = 11/6

z = −25/42

. Portanto, está resolvido.

Observações:

o Um sistema linear AX = B chama-se homogêneo se B = O. Isto é, se todos os termos

independentes são nulos. Neste caso, uma solução óbvia é a trivial, composta apenas de

zeros. (Por exemplo, para n = 3, a solução trivial é (0,0,0).)

o Se, num sistema linear homogêneo, o número de incógnitas é maior do que o número de

equações, ele admite solução não trivial.

o Se m = n, então o sistema linear AX = B tem uma única solução, então A é linha-

equivalente a In .


Página 13 de 40

3.2. Regra de Cramer

A regra de Cramer é utilizada para a resolução de um sistema linear a partir do cálculo de

determinantes. Vamos considerar aqui um sistema linear Ax = B, sendo x uma matriz de incógnitas.

Seja A uma matriz invertível n × n e seja B ∈ ℝn . Seja Ai a matriz obtida substituindo a i-ésima

coluna de A por B. Se x for a única solução de Ax = B, então

xi =det(Ai)

det(A) para i = 1,2, … , n

Com i variando até n, é possível encontrar as matrizes-solução do sistema, e descobrir se ele é

possível determinado (quando há somente uma matriz-solução), possível indeterminado (infinitas

matrizes-solução) ou impossível (nenhuma solução).

Exemplo: Considerando o sistema de equações:

x1 + 2x2 + x3 = 5

2x1 + 2x2 + x3 = 6

x1 + 2x2 + 3x3 = 9

Solução:

det A = 1 2 12 2 11 2 3

= −4

det A1 = 5 2 16 2 19 2 3

= −4 det A2 = 1 5 12 6 11 9 3

= −4 det A3 = 1 2 52 2 61 2 9

= −8

Portanto:

x1 =−4

−4= 1 x2 =

−4

−4= 1 x3 =

−8

−4= 2

Então temos como solução a matriz x = 112 e o sistema é possível determinado.

3.3. Questões

1) Determine os valores de k tais que o sistema nas incógnitas x, y e z tenha: (i) única solução, (ii)

nenhuma solução, (iii) mais de uma solução.

a)

𝑘𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑧 = 1𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 1

b)

𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 23𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑘2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1

2) Ache as soluções dos problemas dados ou prove que não existem soluções


Página 14 de 40

c)

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12𝑥 − 3𝑦 + 7𝑧 = 03𝑥 − 2𝑦 + 8𝑧 = 4

d)

x − y + 2z = 43x + y + 4z = 6

x + y + z = 1

e)

2x − y + 5y = 19x + 5y − 3z = 4

3x + 2y + 4z = 25

f)

x + 3y + z = 02x + 7y + 4z = 0

x + y − 4z = 0

3) Dado o sistema:

1 21 0

0 −12 −1

1 23 4

2 −14 −3

𝑥𝑦𝑧𝑤

=

2248

a) Encontre uma solução dele sem resolvê-lo (atribua valores para x, y, z e w). b) Resolva efetivamente o sistema, isto é, encontre sua matriz-solução. c) Resolva também o sistema homogêneo associado. d) Verifique que toda matriz-solução obtida em (b) é a soma de uma matriz-solução

encontrada em (c) com a solução particular que você encontrou em (a).

4) Dado o sistema linear:

3𝑥 + 5𝑦 + 12𝑧 − 𝑤 = −3𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 − 𝑤 = −6

2𝑦 + 2𝑧 + 𝑤 = 5

a) Discuta a solução do sistema. b) Acrescente a equação 2z + kw = 9 a este sistema, encontre um valor de k que

torne o sistema impossível.

5) Dê o conjunto solução do seguinte sistema linear:

𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 − 8𝑥4 = 1𝑥1 + 4𝑥2 + 13𝑥3 − 3𝑥4 = 1

−2𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 + 21𝑥4 = −23𝑥2 + 8𝑥3 + 5𝑥4 = 0

4. Vetores

Um vetor é definido por três características: intensidade, direção e sentido. Força, deslocamento

e velocidade são representados por vetores, mas um vetor pode ser bem mais do que isso. Ao longo do

curso de Álgebra Linear, o seu conceito será desenvolvido de forma bem mais ampla. Soluções de

sistemas lineares poderão, por exemplo, ser representadas por vetores.


Página 15 de 40

Desenhando um vetor no plano cartesiano, ele deve apresentar uma origem e uma extremidade.

Os segmentos orientados cuja origem é o ponto (0,0) são chamados de vetores no plano, e são muito

mais fáceis de trabalhar. Para representá-lo, basta indicar o par ordenado que corresponda à sua

extremidade, pois já conhecemos seu ponto inicial. A definição segue para vetores no espaço, caso em

que a origem dos vetores é o ponto (0,0,0), e assim por diante.

De tal forma, para representar um vetor V = OP com ponto inicial na origem, usa-se usualmente

a notação de coordenadas V = (a, b, c), mas também existe a notação de matriz coluna V = abc e matriz

linha V = a b c .

Com essas notações, a soma de vetores e a multiplicação do vetor por um escalar são operações

que ficam bem mais simples.

4.1. Adição de Vetores

Propriedades:

o Associatividade: A + B + C = A + B + C, ∀ A, B, C ∈ ℝn

o Comutatividade: A + B = B + A, ∀ A, B ∈ ℝn .

o Elemento neutro:

o Seja O o vetor nulo. Então A + O = A, para qualquer A ∈ ℝn. Assim, O é o elemento neutro

em relação à operação de adição, o qual chamaremos de elemento nulo de ℝn .

o Elemento oposto:

o Dado A = a1 , a2 , … , an , denotaremos por – A o vetor (−a1, −a2, … , −an). Então

A + (−A) = O. Chamaremos (−A) de elemento oposto a A.

o Considerando que: A − B = A + −B e as quatro propriedades anteriores, teremos três

propriedades conseqüentes:

1. 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + 𝐶 ⟹ 𝐵 = 𝐶 2. 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 ⟹ 𝐴 = 𝐶 − 𝐵 3. 𝐴 + 𝐴 = 𝐴 ⟹ 𝐴 = 𝑂

Exemplo:

Sendo v = 1,2 e w = (3,5), temos:

v + w = 1,2 + 3,5

v + w = (4,7)

Do mesmo modo, 2v = (2,4).

4.2. Multiplicação por escalar

Sejam A = (a1 , a2 , … , an) ∈ ℝn e λ ∈ ℝ. Definimos a multiplicação de A por λ como sendo:

λ ∙ A = (λa1 , λa2 , … , λan)


Página 16 de 40

A seguir as propriedades de vetores:

1. Associativa na adição:

2. Comutativa: 3. Existência de elemento neutro na adição:

4. Existência de elemento oposto:

5. Distributiva por vetor:

6. Distributiva por escalar:

7. Associativa na multiplicação:

8. Existência de elemento neutro na multiplicação:

4.3. Questões

1) Determine o vetor X, tal que , para vetores V e U dados.

2) Determine os vetores X e Y, tal que e para vetores V e U

dados.

5. Operações com vetores

5.1. Módulo

Seja , definimos o módulo ou a norma de um vetor como sendo:

Observação: para , note que o módulo de um vetor é o seu comprimento. Chamaremos de

vetor unitário todo vetor cuja norma é 1.

5.2. Produto escalar (ou produto interno)

Sejam e dois vetores não nulos nos reais. Considere os vetores

A+B e A - B.

Temos que se, e somente se , pois as diagonais de um paralelogramo só são

iguais se o paralelogramo é um retângulo. Como consequência dessa condição podemos observar que:


Página 17 de 40

𝐴 ⊥ 𝐵 ⟺ 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + … + 𝑎𝑛𝑏𝑛 = 0

Esta condição é necessária para que dois vetores sejam perpendiculares.

Sejam 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛) e 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛) dois vetores quaisquer em ℝ𝑛 . O produto escalar é

definido como a multiplicação termo a termo e a soma dos produtos:

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + … + 𝑎𝑛𝑏𝑛

Assim, dois vetores não nulos 𝐴 e 𝐵 em ℝ𝑛 são perpendiculares apenas se 𝐴 ∙ 𝐵 = 0.

Propriedades do produto escalar:

i. 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴, para quaisquer 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑛 ii. 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶, para quaisquer 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ𝑛 iii. 𝐴 ∙ 𝜆𝐵 = 𝜆 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝜆𝐴 ∙ 𝐵, para quaisquer 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑛 e qualquer 𝜆 ∈ ℝ iv. 𝐴 ∙ 𝐴 ≥ 0, para qualquer 𝐴 ∈ ℝ𝑛 e 𝐴 ∙ 𝐴 = 0 ⟺ 𝐴 = 𝑂

A norma (ou módulo) de um vetor pode ser caracterizada pelo produto escalar: 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴, como é

provado a seguir:

𝐴 ∙ 𝐴 = 𝑎1𝑎1 + 𝑎2𝑎2 + … + 𝑎𝑛𝑎𝑛

𝐴 ∙ 𝐴 = 𝑎12 + 𝑎2

2 + … + 𝑎𝑛2

𝐴 ∙ 𝐴 = 𝐴

5.3. Produto vetorial (ou produto externo)

Consideremos dois vetores em 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3) e 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3). Queremos encontrar um vetor 𝐶, em

ℝ3, de preferência não nulo, de tal forma que C seja simultaneamente perpendicular a A e a B.

Devemos ter 𝐶. 𝐴 = 0 e 𝐶. 𝐵 = 0. Se 𝐶 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), então:

𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3𝑧 = 0𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑏3𝑧 = 0

Tentaremos resolver este sistema. Para isso, começaremos multiplicando a primeira equação por 𝑏2, a

segunda por −𝑎2 e, em seguida, somaremos as duas equações.

A seguinte equação é obtida:

𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 . 𝑥 = 𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2 . 𝑧

Depois, multiplicando a primeira equação do sistema acima por −𝑏1, a segunda por 𝑎1 e, em seguida,

somando as duas equações, chegamos a:


Página 18 de 40

Enfim, temos as seguintes equações:

Agora fica fácil visualizar os valores das variáveis. Se x assumir o valor do coeficiente de z na primeira

equação, y assumi o valor do coeficiente de z na segunda equação, basta que z assuma o valor dos

coeficientes de x e de y (que são iguais) para as equações serem verdadeiras. O conjunto-solução é:

Há mais soluções do sistema. Contudo, esta é especialmente chamada de produto vetorial de A por B e

será denotado por 𝐴 × 𝐵.

Note que 𝐴 × 𝐵 é o determinante formal:

em que

Observe ainda que: , visto que cada gerador (pois temos os

três vetores que formam a base de ) está num eixo diferente, x, y ou z.

Nós o chamamos de determinante formal uma vez que não é um determinante formado só por números.

A primeira linha é constituída de vetores.


Página 19 de 40

Como vimos, o produto vetorial de dois vetores já surgiu com uma propriedade importante: é um vetor

simultaneamente perpendicular aos dois vetores. Vejamos a seguir mais propriedades do produto

vetorial:

i. 𝐴 × 𝐵 = −(𝐵 × 𝐴) ∈ ℝ3 ii. 𝐴 × (𝜆𝐵) = 𝜆(𝐴 × 𝐵) = (𝜆𝐴) × 𝐵, para quaisquer 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ3 e qualquer 𝜆 ∈ ℝ iii. 𝐴 × 𝜆𝐴 = 0, para qualquer 𝐴 ∈ ℝ3 e qualquer 𝜆 ∈ ℝ iv. 𝐴 × 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 + (𝐴 × 𝐶) e

(𝐵 + 𝐶) × 𝐴 = (𝐵 × 𝐴) + (𝐶 × 𝐴), para quaisquer 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ3

v. (𝐴 × 𝐵) × 𝐶 = (𝐴. 𝐶)𝐵 − (𝐵. 𝐶)𝐴, para quaisquer 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ3 vi. (𝐴 × 𝐵). (𝐴 × 𝐵) = (𝐴. 𝐴)(𝐵. 𝐵) − (𝐴. 𝐵)2 vii. Se A e B são dois vetores não nulos de ℝ3 e θ é a medida do ângulo formado por A e B, então:

𝐴 × 𝐵 = 𝐴 . 𝐵 . 𝑠𝑒𝑛θ

viii. (Produto misto) 𝐴. 𝐵 × 𝐶 =

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

𝑐1 𝑐2 𝑐3

, em que 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3), 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3), e

𝐶 = (𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3)

5.4. Questões

1) Ache dois vetores mutuamente ortogonais e ortogonais ao vetor (5, 2, -1).

2) Calcule 𝑢. 𝑣, onde:

a) 𝑢 = (2, −3, 6) e 𝑣 = (8,2, −3) b) 𝑢 = (1, −8,0,5) e 𝑣 = (3,6,4) c) 𝑢 = (3, −5,2,1) e 𝑣 = (4,1, −2,5)

3) Sejam 𝑢 = (1, −2,5), 𝑣 = (3, 1, −2). Encontre:

a) 𝑢 + 𝑣 b) −6𝑢

c) 2𝑢– 5𝑣 d) 𝑢. 𝑣

4) Ache dois vetores mutuamente ortogonais de comprimento unitário, e ambos ortogonais ao vetor (2,-

1,3).

5) Determine o número real positivo c de maneira que os pontos (−1,1, 𝑐) e (−1,1, −𝑐) e a origem sejam

vértices de um triângulo retângulo em (0,0,0).

6) Sabendo que o ângulo entre os vetores (2, 1,-1) e (1,-1,m+2) é 60°, determine 𝑚.

7) Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são (-1,-2,4), (-4,-2,0) e (3,-2,1).

6. Espaços vetoriais

Um espaço vetorial é um conjunto de vetores. As oito propriedades citadas acima devem ser satisfeitas, além de duas operações: soma e multiplicação por escalar. Considerando dois vetores quaisquer de um


Página 20 de 40

espaço vetorial V, a soma deles deve ser um terceiro vetor que ainda faz parte de V. Se multiplicarmos um vetor de V por um escalar, o resultante também deve ser elemento de V. Em resumo, um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações:

Soma: 𝑉 𝑥 𝑉 → 𝑉 Se 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑉, então 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉;

Produto por escalar: ℝ 𝑥 𝑉 → 𝑉 Se 𝛼 é escalar e 𝑥 ∈ 𝑉, então 𝛼𝑥 ∈ 𝑉. Se uma dessas duas operações não for válida para um conjunto W, então é porque o conjunto não é um espaço vetorial. Dizemos que um espaço vetorial é fechado em relação às duas operações (soma e multiplicação por escalar). Para saber se um conjunto é um espaço vetorial, verifica-se se as duas operações são válidas e depois se as oito propriedades dos vetores também são válidas. Observação: O conjunto de todas as matrizes de ordem 2 é um espaço vetorial. Deste modo, os vetores desse espaço são matrizes 2x2.Tal conjunto é designado assim: 𝑉 = 𝑀 2,2 . Exemplo: Seja o conjunto W = { 𝑎, 1 /𝑎 ∈ ℝ}. Com as duas operações de soma e multiplicação por escalar definidas, verifique se W é um espaço vetorial. Solução: Considere os elementos 3,1 e (5,1) ∈ 𝑊. Assim, i) Soma: 3,1 + 5,1 = (8,2) ∉ 𝑊 ii) Produto: 𝛼 3,1 = 3𝛼, 𝛼 ∉ 𝑊 𝑠𝑒 𝛼 ≠ 1, assim não é válido para todo 𝛼 Logo, W não é um conjunto fechado em relação a essas duas operações e, portanto, não é um espaço vetorial. Exemplo: Verifique se o conjunto ℝ3 é um espaço vetorial. Solução: Sejam 𝑢 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , 𝑣 = 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 e 𝑤 = (𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3) vetores de ℝ3 e 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ. i) Soma: 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2) ∈ ℝ3 Multiplicação por escalar: 𝛼𝑢 = (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1) ∈ ℝ3 ii) 1. 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2

= 𝑥2 + 𝑥1 , 𝑦2 + 𝑦1 , 𝑧2 + 𝑧1 = 𝑣 + 𝑢 2. 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3

= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 , 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 , 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 𝑥1 + (𝑥2 + 𝑥3 , 𝑦1 + (𝑦2 + 𝑦3), 𝑧1 + (𝑧2 + 𝑧3)] = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤 )

3. ∃0 = 0,0,0 ∈ ℝ3 / 𝑢 + 0 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 + 0,0,0 = 𝑥1 + 0, 𝑦1 + 0, 𝑧1 + 0 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1

4. ∃ −𝑢 = −𝑥1 , −𝑦1 , −𝑧1 ∈ ℝ3 / 𝑢 + −𝑢 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 + −𝑥1 , −𝑦1 , −𝑧1 = 𝑥1 − 𝑥1 , 𝑦1 − 𝑦1 , 𝑧1 − 𝑧1

= 0,0,0 = 0 5. 𝛼 𝑢 + 𝑣 = 𝛼 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2

= 𝛼 𝑥1 + 𝑥2 , 𝛼 𝑦1 + 𝑦2 , 𝛼 𝑧1 + 𝑧2 = (𝛼𝑥1 + 𝛼𝑥2 , 𝛼𝑦1 + 𝛼𝑦2 , 𝛼𝑧1 + 𝛼𝑧2) = (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1) + (𝛼𝑥2 , 𝛼𝑦2 , 𝛼𝑧2) = 𝛼 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 + 𝛼 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 = 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣

6. 𝛼 + 𝛽 𝑢 = 𝛼 + 𝛽 𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1 = [ 𝛼 + 𝛽 𝑥1, 𝛼 + 𝛽 𝑦1 , 𝛼 + 𝛽 𝑧1] = [𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥1 , 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦1 , 𝛼𝑧1 + 𝛽𝑧1] = 𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1 + (𝛽𝑥1 , 𝛽𝑦1 , 𝛽𝑧1) = 𝛼 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 + 𝛽 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑢

7. 𝛼𝛽 𝑢 = 𝛼𝛽 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 = 𝛼𝛽𝑥1 , 𝛼𝛽𝑦1 , 𝛼𝛽𝑧1 = [𝛼 𝛽𝑥1 , 𝛼 𝛽𝑦1 , 𝛼 𝛽𝑧1 ] = 𝛼[(𝛽𝑥1), (𝛽𝑦1), (𝛽𝑧1)] = 𝛼[𝛽 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ]


Página 21 de 40

= 𝛼(𝛽𝑢 ) 8. 1𝑢 = 1 𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1 = 1𝑥1 , 1𝑦1 , 1𝑧1 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 = 𝑢 Exemplo: Considere em V = ℝ2 o produto por escalar usual, mas com a adição, a operação definida por: 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 2𝑦2). Determine se V, com essas operações, é um espaço vetorial. Solução: i) 1. Soma: 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 2𝑦2) ∈ 𝑉 2. Produto por escalar: 𝛼 𝑥1 , 𝑦1 = (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1) ∈ 𝑉 Logo, V é um espaço fechado em relação a essas duas operações. Portanto, temos que verificar as oito propriedades. ii) 1. Associativa na adição: 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 2𝑦2)

𝑣 + 𝑢 = 𝑥2 , 𝑦2 + 𝑥1 , 𝑦1 = (𝑥2 + 𝑥1 , 𝑦2 + 2𝑦1) Como 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 já não é satisfeita, não precisamos mais testar as outras propriedades. V não é espaço vetorial. Exemplo: O conjunto que contém um único objeto, com as operações definidas por:

𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 + 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 = 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜

𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 = 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜, com 𝛼 ∈ ℝ

Solução: i) Da própria definição no enunciado, o conjunto é fechado em relação às operações de soma e multiplicação por escalar e, portanto, não precisamos verificá-las; ii) Substituindo 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 por 𝑥 :

1. 𝑢 + 𝑣 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 𝑣 + 𝑢 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥

⇒ 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢

2. 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥

𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⇒ 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤

3. Seja 𝑛 o vetor nulo. Logo, 𝑢 + 𝑛 = 𝑢 ⇒ 𝑥 + 𝑛 = 𝑥 ⇒ 𝑛 = 𝑥 . Assim, existe vetor nulo, que equivale ao próprio 𝑥 . 4. Seja 𝑝 o vetor oposto. Logo, 𝑢 + 𝑝 = 𝑛 ⇒ 𝑥 + 𝑝 = 𝑥 ⇒ 𝑝 = 𝑥 . Assim, existe vetor oposto, que também equivale ao próprio 𝑥 . O vetor oposto de 𝑢 é 𝑢 .

5. 𝛼 𝑢 + 𝑣 = 𝛼 𝑥 + 𝑥 = 𝛼𝑥 = 𝑥

𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⇒ 𝑢 + 𝑣 = 𝑢 + 𝑣

6. + 𝛽 𝑢 = + 𝛽 𝑥 = 𝑥

𝑢 + 𝛽𝑢 = 𝑥 + 𝛽𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⇒ ( + 𝛽)𝑥 = 𝑎𝑢 + 𝛽𝑣

7. 𝛽𝑢 = 𝛽𝑥 = 𝑥 = 𝑥

𝛼𝛽 𝑢 = 𝛼𝛽 𝑥 = 𝑥 ⇒ 𝛽𝑢 = β 𝑢

8. 1𝑢 = 1𝑥 = 𝑥 = 𝑢

6.1. Questões

1) Verifique que 𝑀 2,2 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 ∈ ℝ é um espaço vetorial com as operações.

2) Seja 𝐹 o conjunto de todas as funções reais, de variável real, ou seja 𝐹 = {𝑓: ℝ → ℝ}. O vetor soma

𝑓 + 𝑔, para quaisquer funções 𝑓 e 𝑔 em 𝐹 é definido por:

𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥

e para qualquer escalar 𝑟 ∈ ℝ e qualquer 𝑓 ∈ 𝐹 o produto 𝑟𝑓 é tal que:


Página 22 de 40

𝑟𝑓 𝑥 = 𝑟. 𝑓 𝑥

Mostre que 𝐹, com essas operações, é um espaço vetorial.

7. Subespaços vetoriais

Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços vetoriais, só que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não-vazio, será um subespaço vetorial de V se forem válidas as mesmas duas operações de antes:

Soma: 𝑉 𝑥 𝑉 → 𝑉 Se 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑉, então 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉;

Produto por escalar: ℝ 𝑥 𝑉 → 𝑉 Se 𝛼 é escalar e 𝑥 ∈ 𝑉, então 𝛼𝑥 ∈ 𝑉. Se ambas as operações forem válidas em W, não é necessário verificar as oito propriedades dos vetores para dizer que W é espaço vetorial, pois elas já são válidas em V, que contém W. Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (que são chamados triviais): 1. O conjunto formado somente pelo vetor nulo (a origem). 2. O próprio espaço vetorial: V é subconjunto de si mesmo. Todo subespaço vetorial tem como elemento o vetor nulo, pois ele é necessário à condição de

multiplicação por escalar: quando 𝛼 = 0 ⇒ 𝛼𝑢 = 0 . Para conferirmos se um subconjunto W é subespaço, basta verificar que 𝑣 + 𝛼𝑢 ∈ 𝑊, para quaisquer 𝑣 𝑒 𝑢 ∈ 𝑉 e qualquer 𝛼 ∈ ℝ, em vez de checar as duas operações separadamente. Exemplo: Em ℝ3, os únicos subespaços são a origem, as retas e os planos que passam pela origem e o próprio ℝ3. Exemplo: Seja 𝑉 = 𝑀(3,3), ou seja, o conjunto das matrizes de ordem 3, e W o subconjunto das matrizes triangulares superiores. W é subespaço de V? Solução: Está implícito que V é um espaço vetorial. Assim, verificamos as duas operações para W:

i) 𝑎 𝑏 𝑐0 𝑑 𝑒0 0 𝑓

+ 𝑔 𝑕 𝑖0 𝑗 𝑘0 0 𝑙

=

𝑎 + 𝑔 𝑏 + 𝑕 𝑐 + 𝑖0 𝑑 + 𝑗 𝑒 + 𝑘0 0 𝑓 + 𝑙

∈ 𝑊

ii) 𝛼 𝑎 𝑏 𝑐0 𝑑 𝑒0 0 𝑓

= 𝛼𝑎 𝛼𝑏 𝛼𝑐0 𝛼𝑑 𝛼𝑒0 0 𝛼𝑓

∈ 𝑊

Logo, W é subespaço de V. Observação: as matrizes triangulares inferiores formam um conjunto que também é subespaço, o que também é o caso das matrizes diagonais e das simétricas. Exemplo: Verifique se o conjunto-solução do sistema linear homogêneo abaixo é um subespaço de 𝑉 = 𝑀(3,1).

2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 0𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0

Solução: Temos o seguinte sistema: 2 4 11 1 21 3 −1

𝑥𝑦𝑧 =

000


Página 23 de 40

Desta forma, estamos procurando, dentro do espaço vetorial 𝑀(3,1), os vetores que satisfazem o sistema, isto é, o conjunto dos vetores-solução. Depois precisamos saber se esse conjunto é subespaço de 𝑀(3,1).

Assim, considere os vetores-solução:

𝑥1

𝑦1

𝑧1

e

𝑥2

𝑦2

𝑧2

i) 2 4 11 1 21 3 −1

𝑥1

𝑦1

𝑧1

+

𝑥2

𝑦2

𝑧2

= 2 4 11 1 21 3 −1

𝑥1

𝑦1

𝑧1

+ 2 4 11 1 21 3 −1

𝑥2

𝑦2

𝑧2

= 000 +

000 =

000

ii) 2 4 11 1 21 3 −1

𝛼

𝑥1

𝑦1

𝑧1

= 𝛼 2 4 11 1 21 3 −1

𝑥1

𝑦1

𝑧1

= 𝛼 000 =

000

O resultado de (i) e (ii) ainda pertence ao conjunto dos vetores-solução e, portanto, ele é subespaço de 𝑀(3,1). Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ2 e 𝑊 = { 𝑥, 𝑥2 / 𝑥 ∈ ℝ}. Verifique se W é subespaço de V. Solução: Se escolhermos 𝑢 = 1,1 e 𝑣 = (2,4), temos 𝑢 + 𝑣 = (3,5) ∉ 𝑊. Logo, W não é subespaço. Exemplo: Seja 𝑉 = 𝑀(𝑛, 𝑛) e W o subconjunto de todas as matrizes em que 𝑎11 < 0. Verifique se W é subespaço de V. Solução: i) A condição de soma é satisfeita, pois ainda gera uma matriz em que 𝑎11 < 0. ii) Se fizermos 𝛼𝑀, com 𝛼 < 0, temos que 𝑎11 da nova matriz será maior que zero. Assim, W não é subespaço. Exemplo: Verifique se o conjunto solução do sistema linear não-homogêneo abaixo é um subespaço.

2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 1𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0

Solução:

Temos o seguinte sistema: 2 4 11 1 21 3 −1

𝑥𝑦𝑧 =

110 e os seguintes vetores-solução:

𝑥1

𝑦1

𝑧1

e

𝑥2

𝑦2

𝑧2

.

Assim,

i) 2 4 11 1 21 3 −1

.

𝑥1

𝑦1

𝑧1

+

𝑥2

𝑦2

𝑧2

= 2 4 11 1 21 3 −1

.

𝑥1

𝑦1

𝑧1

+ 2 4 11 1 21 3 −1

.

𝑥2

𝑦2

𝑧2

= 110 +

110 =

220

O vetor dos termos independentes resultante 220 é diferente do vetor do sistema linear

110 .

Logo, o conjunto dos vetores-solução não é um subespaço de M(3,1). Exemplo: Seja 𝑆 = 𝑥1 , 𝑥2 / 𝑥2 = 2𝑥1 . Sendo S subconjunto de ℝ2, verifique se S é subespaço de ℝ2. Solução: i) 𝑐1 , 2𝑐1 + 𝑐2 , 2𝑐2 = 𝑐1 + 𝑐2 , 2𝑐1 + 2𝑐2 = 𝑐1 + 𝑐2 , 2(𝑐1 + 𝑐2) ∈ 𝑆 ii) 𝑐1 , 2𝑐1 = 𝑐1 , 2𝑐1 ∈ 𝑆 Exemplo: Verifique se 𝑊 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 / 𝑦 = −2𝑥 + 1 é subespaço de ℝ2. Solução: i) 𝑊 = 𝑥, −2𝑥 + 1 / 𝑥 𝜖 ℝ . Como (0,0) ∉ 𝑊, pode-se concluir que o subconjunto 𝑊não é um subespaço vetorial de ℝ2. Exemplo: Verifique se 𝑊 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3 / 𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = 6 é subespaço de ℝ3. Solução:


Página 24 de 40

i) 𝑊 = 6 + 2𝑦 + 4𝑧, 𝑦, 𝑧 ; 𝑦, 𝑧 𝜖 ℝ . Tomando 𝑦 = 0 e 𝑧 = 0 temos (6,0,0). Como (0,0,0) ∉ 𝑊, então 𝑊não é um subespaço vetorial de ℝ3.

7.1. Questões

1) Mostre que os seguintes subconjuntos de ℝ4 são subespaços

a) W = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4 / x + y = 0 e z – t = 0} b) U = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4 / 2x + y – t = 0 e z = 0}

2) Considere o subespaço S = [(1, 1, -2, 4), (1, 1, -1, 2), (1, 4, -4, 8)] de ℝ4.

a) O vetor ( 2

3, 1, -1, 2) pertence a S?

b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?

3) Nos problemas que seguem, determine se W é ou não um subespaço do espaço vetorial:

a) 𝑉 = ℝ3, 𝑊1 = 𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥0𝑦, 𝑊2 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 ; 𝑥 = 𝑦 = 𝑧} e 𝑊3 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 ; 𝑥 = 𝑦}

b) 𝑉 = ℝ2; 𝑊 = {(𝑥, 𝑦); 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1};

4) Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de ℝ3?

a) (x,y,z), tais que z = x3

b) (x,y,z), tais que z = x + y;

c) (x,y,z), tais que z >= 0;

d) (x,y,z), tais que z = 0 e xy >= 0;

e) (x,y,z), tais que x = z = 0;

f) (x,y,z), tais que x = -z;

g) (x,y,z), tais que y = 2x + 1;

h) (x,y,z), tais que z2 = x2 + y2.

5) Determine se W é subespaço de ℝ3 ou não, onde W consiste nos vetores (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ ℝ3 para os quais:

a) a = 2b

b)a ≤ b ≤ c

c)ab = 0

d)a = b = c


Página 25 de 40

6) Seja W o conjunto de todos os vetores em ℝ4 de forma (x, x+y, y, 2x + 3y), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.

W é um subespaço de ℝ4?

7) Seja W o conjunto de todos os vetores do ℝ3 da forma (x, y, x2 + y2), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.


8) Seja W o conjunto de todos os vetores ℝ4 da forma (x, y, x+1, 2x + y – 3), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.


9) Dados os conjuntos W em cada espaço vetorial V indicado proceda assim: i) Reescreva W apresentando seu vetor genérico; ii) Verifique se W é subespaço vetorial de V.

a) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4; 𝑥 = 𝑦 e 𝑧 = 2𝑡} sendo 𝑉 = ℝ4; b) W é o conjunto de todas as matrizes identidade de ordem 𝑛 × 𝑛, sendo 𝑉 = 𝑀(𝑛, 𝑛); c) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2; 𝑦 ≤ 0} sendo 𝑉 = ℝ2; d 𝑊 = {(𝑎, 2𝑎, 3𝑎); 𝑎 ∈ ℝ} sendo 𝑉 = ℝ3. 10) Considere o subespaço de ℝ3 gerado pelos vetores v1=(1,1,0), v2=(1,-1,1) e v3=(1,1,1). O espaço gerado por esses vetores é igual ao ℝ3? Por quê?

8. Interseção, união e soma de subespaços

8.1. Interseção

Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção 𝑊1 ∩ 𝑊2 sempre será subespaço de V. Prova: Inicialmente observamos que 𝑊1 ∩ 𝑊2 nunca é vazio, pois ambos contêm o vetor nulo de V. Assim, basta verificar as condições de soma e produto por escalar apresentadas anteriormente para os subespaços. Suponha então 𝑤 𝑒 𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2

W1 é subespaço ↔ 𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1

𝛼𝑣 ∈ 𝑊1

W2 é subespaço ↔ 𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊2

𝛼𝑣 ∈ 𝑊2

, deste modo → 𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2

𝛼𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2

Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ3, 𝑊1 ∩ 𝑊2 é a reta de interseção dos planos 𝑊1 e 𝑊2.


Página 26 de 40

Exemplo:

Seja 𝑉 = 𝑀(𝑛, 𝑛) e 𝑊1 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠

𝑊2 = {𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠} , então

𝑊1 ∩ 𝑊2 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 .

8.2. Soma

Podemos construir um conjunto que contenha 𝑊1 e 𝑊2 e ainda é subespaço de V. Este conjunto será formado por todos os vetores de V que forem a soma de vetores de W1 com vetores de W2. 𝑊1 + 𝑊2 = 𝑢 ∈ 𝑉 / 𝑢 = 𝑣 + 𝑤 𝑐𝑜𝑚 𝑣 ∈ 𝑊1𝑒 𝑤 ∈ 𝑊2 Prova:

Dados: 𝑢 = 𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1 + 𝑊2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣 ∈ 𝑊1 𝑒 𝑤 ∈ 𝑊2

𝑢′ = 𝑤′ + 𝑣′ ∈ 𝑊1 + 𝑊2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣′ ∈ 𝑊1 𝑒 𝑤′ ∈ 𝑊2

Temos que:

𝑢 + 𝑢′ = 𝑤 + 𝑣 + 𝑤 ′ + 𝑣 ′ = 𝑣 + 𝑣′ + 𝑤 + 𝑤 ′ ∈ 𝑊1 + 𝑊2

𝛼𝑢 = 𝛼 𝑤 + 𝑣 = 𝛼𝑤 + 𝛼𝑣 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛼𝑤 ∈ 𝑊1 𝑒 𝛼𝑣 ∈ 𝑊2 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝛼𝑢 ∈ 𝑊1 + 𝑊2 Caso os dois subespaços sejam retas não-colineares, a soma deles equivale ao plano formado por elas.

Se as parcelas 𝑊1 e 𝑊2 têm interseção 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 0 , a soma 𝑊1 + 𝑊2 é dita soma direta e é denotada

por 𝑊1⨁𝑊2.


Página 27 de 40

Exemplo: Seja 𝑊1 = 𝑎 𝑏0 0

e 𝑊2 = 0 0𝑐 𝑑

, onde a, b, c, d ∈ ℝ, então 𝑊1 + 𝑊2 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

= 𝑀(2,2).

Esta é uma soma direta, pois 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 0 00 0

= 0 .

8.3. União

A união de dois subespaços 𝑊1 e 𝑊2, diferente da soma, é um conjunto que contém exatamente todos os elementos de 𝑊1 e de 𝑊2. Deste modo, nem sempre a união de subespaços é um subespaço. Exemplo:

𝑊1 = (𝑥, 0) / 𝑥 ∈ ℝ = 𝑥(1,0) / 𝑥 ∈ ℝ 𝑊2 = (0, 𝑦) / 𝑦 ∈ ℝ = 𝑦(0,1) / 𝑦 ∈ ℝ

W1 e W2 são retas que passam pela origem. Assim, 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 0 e 𝑊1 ∪ 𝑊2 é o feixe formado pelas

duas retas, que não é subespaço vetorial de ℝ3. De fato, se somarmos os dois vetores 𝑣 𝑒 𝑤 , vemos que

𝑣 + 𝑤 está no plano que contém 𝑊1 e 𝑊2, mas 𝑣 + 𝑤 ∉ 𝑊1 ∪ 𝑊2.

8.4. Questões

1) Sejam 𝑊1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4|𝑥 + 𝑦 = 0 e 𝑧 − 𝑡 = 0} e 𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4|𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 0}

subespaços de ℝ4.

a) Determine 𝑊1 ∩ 𝑊2

b) Exiba uma base para 𝑊1 ∩ 𝑊2

c) Determine 𝑊1 + 𝑊2

d) 𝑊1 + 𝑊2 é soma direta? Justifique.

e) 𝑊1 + 𝑊2 = ℝ4?

9. Combinação linear

Considere um conjunto de vetores qualquer, pertencente a um espaço vetorial V. Já foi mostrado que somar estes vetores entre si em qualquer combinação resultará em um vetor pertencente a V. Também


Página 28 de 40

foi mostrado que multiplicar cada vetor por um escalar também gera um resultado pertencente a V, caso contrário V não seria um espaço vetorial. De fato, sejam 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉 e sejam os escalares 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ∈ ℝ. Então qualquer vetor 𝑣 da forma

𝑣 = 𝑎1𝑣 1 + 𝑎2𝑣 2 + … + 𝑎𝑛𝑣 𝑛 é um elemento do mesmo espaço vetorial V. Por ter sido gerado pelos vetores primitivos 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 , o vetor 𝑣 é denominado o resultado de uma combinação linear de 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 . O conjunto de escalares {𝑎1 , … , 𝑎𝑛} é arbitrário, mas sendo um conjunto de números reais, o vetor 𝑣 sempre pertencerá a V. O vetor 𝑣 não é único, pois para cada combinação de escalares pode gerar um vetor 𝑣 diferente.

Exemplo: O vetor 𝑣 = (−4, −18,7) é combinação linear dos vetores 𝑣 1 = 1, −3,2 e 𝑣 2 = (2,4, −1), já

que 𝑣 pode ser escrito como 𝑣 = 2𝑣 1 − 3𝑣 2.

9.1. Questões

1) Quais dos seguintes vetores são combinação linear de 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3?

𝑥1 = 4,2, −3 , 𝑥2 = (2,1, −2) e 𝑥3 = (−2, −1,0)

a) (1,1,1)

b) 4,2, −6

c) −2, −1,1

d) (−1,2,3)

2) Escreva 𝐸 como combinação linear de 𝐴 = 1 10 −1

, 𝐵 = 1 1

−1 0 , 𝐶 =

1 −10 0

, onde:

a) 𝐸 = 3 −11 −2

b) 𝐸 = 2 1

−1 −2

3) Considere os vetores 𝑢 = (1, −3,2) e 𝑣 = (2, −1,1) em ℝ3.

a) Escreva (1,7, −4) como combinação linear de 𝑢 e 𝑣.

b) Escreva (2, −5,4) como combinação linear de 𝑢 e 𝑣.

c) Para que valor de 𝑘 o vetor (1, 𝑘, 5) é uma combinação linear de 𝑢 e 𝑣?

d) Procure uma condição para 𝑎, 𝑏 e 𝑐 de modo que (𝑎, 𝑏, 𝑐) seja combinação linear de 𝑢 e 𝑣.

4) Determinar o valor de 𝑘 para que o vetor 𝑢 = (−1, 𝑘, −7) seja combinação linear de 𝑣1 = (1,3,2) e

𝑣2 = (2,4,1).


Página 29 de 40

10. Subespaços gerados

Um conjunto de vetores {𝑣 1, 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛} pode construir vetores 𝑣 por meio de combinação linear. Fazendo todas as combinações possíveis (isto é, fazendo cada escalar ter todos os valores reais possíveis), o conjunto constrói uma infinidade de vetores que compõem um conjunto expandido. Esse conjunto é um subespaço vetorial. O conjunto 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 é chamado de conjunto de vetores de base, pois, em termos formais, ele gerou o subespaço W, definido abaixo. Definição: Um subespaço gerado por um conjunto de vetores 𝐵 = 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 é o conjunto de todos os vetores V que são combinações lineares dos vetores 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉.

𝑊 = 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 = {𝑣 ∈ 𝑉 / 𝑣 = 𝑎1𝑣 1+. . . +𝑎𝑖𝑣 𝑖+. . . + 𝑎𝑛𝑣 𝑛 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} Obs.: A notação de colchetes informa que o conjunto W é o conjunto gerado por 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 . Não confundir com o próprio conjunto gerador 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 . Ou seja, 𝑣 1 , 𝑣 2 é um conjunto com infinitos vetores formados da combinação destes dois e {𝑣 1, 𝑣 2} é um conjunto com apenas dois vetores.

Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ3 e 𝑣 ∈ 𝑉 (sendo 𝑣 ≠ 0 ), então 𝑣 = {𝑎𝑣 , 𝑎 ∈ ℝ} é a reta que contém o vetor 𝑣 , pois é o conjunto de todos os vetores com a mesma direção de 𝑣 que tem origem em (0,0).

Exemplo: Se 𝑣 1 , 𝑣 2 ∈ ℝ3 são tais que 𝛼𝑣 1 ≠ 𝑣 2 qualquer que seja 𝛼 ∈ ℝ, então 𝑣 1 , 𝑣 2 será o plano que passa pela origem e contém 𝑣 1 e 𝑣 2:

A condição 𝛼𝑣 1 ≠ 𝑣 2 é importante para garantir que os dois vetores gerem um plano. Caso ela não seja satisfeita, os vetores 𝑣 1 e 𝑣 2 seriam colineares, e não existira nenhuma combinação deles que pudesse gerar um vetor que não pertencesse à reta que eles geram.


Página 30 de 40

Nota-se que um conjunto gerador de dois elementos que um é combinação linear do outro equivale a um conjunto gerador com apenas um desses dois elementos. Assim, se 𝑣 3 ∈ 𝑣 1 , 𝑣 2 , então 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 = 𝑣 1 , 𝑣 2 , pois todo vetor que pode ser escrito como combinação linear de 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 é uma combinação linear apenas de 𝑣 1 e 𝑣 2, já que 𝑣 3 é combinação linear de 𝑣 1 e 𝑣 2. Exemplificando: Seja 𝐵 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3} tal que 𝑣 3 = 𝑝𝑣 1 + 𝑞𝑣 2. Um elemento qualquer do conjunto gerado por B é da forma:

𝑣 = 𝑎1𝑣 1 + 𝑎2𝑣 2 + 𝑎3𝑣 3 = 𝑎1𝑣 1 + 𝑎2𝑣 2 + 𝑎3(𝑝𝑣 1 + 𝑞𝑣 2) = 𝑎1 + 𝑝𝑎3 𝑣 1 + 𝑎2 + 𝑞𝑎3 𝑣 2 = 𝑏1𝑣 1 + 𝑏2𝑣 2

Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ2, 𝑣 1 = (1,0) e 𝑣 2 = (0,1). Assim, 𝑉 = 𝑣 1 , 𝑣 2 , pois dado 𝑣 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑉, temos 𝑥, 𝑦 = 𝑥 1,0 + 𝑦(0,1), ou seja, 𝑣 = 𝑥𝑣 1 + 𝑦𝑣 2.

Exemplo: Seja 𝑣 1 = 1 00 0

e 𝑣 2 = 0 10 0

, então 𝑣 1 , 𝑣 2 = 𝑎 𝑏0 0

, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑒 𝑏 ∈ ℝ

Observa-se que se em um conjunto gerador existir algum vetor que é combinação linear de outros elementos do próprio conjunto gerador, esse elemento é inútil. Eliminá-lo do conjunto gerador não modifica o conjunto gerado. Tal propriedade pode ser verificada lembrando que a combinação linear é uma soma de vetores, e que a parcela da soma do vetor que é gerado por outros pode ser substituída pelos próprios vetores que o geram. Assim, qualquer elemento do conjunto gerado por B pode ser escrito como combinação linear de apenas 𝑣 1 e 𝑣 2. Surge então a necessidade de verificar quando um vetor é combinação linear de outros.

10.1. Questões

1) Quais dos seguintes conjuntos de vetores é um conjunto gerador de ℝ4?

a) {(1,0,0,1); (0,1,0,0); (1,1,1,1); (0,1,1,1)}

b) {(1, −1,0,2); (3, −1,2,1); (1,0,0,1)}

c) {(0,0,1,1); (−1,1,1,2); (1,1,0,0); (2,1,2,1)}

2) Resolva o seguinte sistema, usando a Regra de Cramer:

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 12𝑥 + 𝑦 = 3𝑦 − 5𝑧 = 4


Página 31 de 40

11. Dependência e Independência Linear

Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (freqüentemente indicado por LI) quando

nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros (lembrar o conceito de

combinação linear apresentado anteriormente). Naturalmente, um conjunto de vetores é dito

linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros.

Sejam V um espaço vetorial e 𝑣 1, … , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉.

Dizemos que o conjunto 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 ou que os vetores 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 são linearmente independentes (LI) se a

equação

𝑎1𝑣 1+. . . + 𝑎𝑛𝑣 𝑛 = 0

admitir apenas a solução trivial, isto é: 𝑎1 = . . . = 𝑎𝑛 = 0

Se existir algum 𝑎𝑗 ≠ 0, dizemos que 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 ou que os vetores 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 são linearmente

dependentes (LD).

Em outras palavras, o conjunto 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 é LD se, e somente se um destes vetores for combinação linear

dos outros.

Prova:

Sejam 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 LD e 𝑎1𝑣 1+. . . +𝑎𝑗𝑣 𝑗 +. . . + 𝑎𝑛𝑣 𝑛 = 0. Suponha que 𝑎𝑗 ≠ 0 (para ser LD).

Então 𝑣 𝑗 =−1

𝑎𝑗 𝑎1𝑣 1+. . . +𝑎𝑗−1𝑣 𝑗−1 + 𝑎𝑗 +1𝑣 𝑗+1+. . . + 𝑎𝑛𝑣 𝑛 .

Portanto, 𝑣 𝑗 é combinação linear.

Por outro lado, se tivermos 𝑣 1, … , 𝑣 𝑗 , … , 𝑣 𝑛 tal que para algum 𝑗

𝑣𝑗 = 𝑏1 ∙ 𝑣1 + ⋯ + 𝑏𝑗−1 ∙ 𝑣𝑗−1 + 𝑏𝑗+1 ∙ 𝑣𝑗+1 + ⋯ + 𝑏𝑛 ∙ 𝑣𝑛

Então, 𝑏1 ∙ 𝑣1 + ⋯− 𝑣𝑗 + ⋯ + 𝑏𝑛 ∙ 𝑣𝑛 = 0

Logo, 𝑏𝑗 = −1 e, portanto, V é LD.

A Independência Linear tem uma interpretação geométrica útil:

i) Seja 𝑉 = 𝑅2 e 𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉. 𝑣1 , 𝑣2 é LD se e somente se 𝑣1 e 𝑣2 estiverem na mesma reta quando colocados com seus pontos iniciais na origem 𝑣1 = 𝜆 ∙ 𝑣2 *são pararlelos:


Página 32 de 40

ii) Seja 𝑉 = 𝑅3 e 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 e 𝑉. 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 é LD se estes 3 vetores estiverem no mesmo plano quando colocados com seus pontos iniciais na origem:

Exemplo: Os vetores 1 (2,2,0)v

, 2 (0,5, 3)v

e 3 (0,0,4)v

são LI ou LD?

Solução: Verificando a expressão 1 2 3(2,2,0) (0,5, 3) (0,0,4) (0,0,0)a a a

1 1

1 2 2

2 3 3

2 0 0

2 5 0 0

3 4 0 0

a a

a a a

a a a

Logo, como o sistema admite somente a solução trivial, os vetores são LI.

11.1. Questões

1) Considere dois vetores (𝑎, 𝑏) e (𝑐, 𝑑) no plano. Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0, mostre que eles são LD. Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠

0, mostre que eles são LI.

2) Para quais valores de 𝑎 o conjunto de vetores {(3,1,0); (𝑎2 + 2,2,0)} é LD?

3) Verifique se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes.

a) 𝑡2 − 2𝑡 + 3, 2𝑡2 + 𝑡 + 8 e 𝑡2 + 8𝑡 + 7


Página 33 de 40

b) 𝑡2 − 1, 𝑡 + 1 e 𝑡 + 2

4) Ache as relações lineares não triviais satisfeitas pelos seguintes conjuntos de vetores.

a) (2,1,1), 3, −4,6 e (4, −9,11) ∈ ℝ3

b) (2,1), (−1,3) e (4,2) ∈ ℝ2

c) (1,0,2,4), 0,1,9,2 e (−5,2,8, −16) ∈ ℝ4 R4

d) (1,4), 3, −1 e (2,5) ∈ ℝ2

5) Verifique se o conjunto a seguir é LD ou LI: {(1,2𝑥, −𝑥2), (2, −𝑥, 3𝑥2), (3, −4𝑥, 7𝑥2)}.

12. Base de um espaço vetorial

Considere um espaço vetorial V. Admita a existência de um subconjunto B desse espaço (não

necessariamente um subespaço) tal que B gere V por combinação linear. Notar que para um espaço

particular V, B não é único, vários conjuntos B distintos podem gerar V. De fato, o próprio V pode gerar

ele mesmo. Porém, é mais simples trabalhar com conjuntos menores, e é de interesse resumir um grande

conjunto V em um pequeno conjunto B. Foi verificado acima que dentro de B quaisquer elementos

formados por combinações lineares dos outros são “inúteis”. Ou seja, se B for um conjunto LD, existe pelo

menos um vetor “inútil”, que pode ser eliminado para tornar B menor e mais simples. O processo pode

continuar até que B se torne LI. Se B é LI, e ainda consegue gerar V (Lembre-se que a eliminação de

elementos LD de um conjunto gerador não modifica o conjunto gerado) é denominado base.

Uma base de um espaço vetorial é um conjunto LI gerador deste espaço. É também a maneira mais

simples de “resumir” o espaço.

Condições:

i) {𝑣1 , … , 𝑣𝑛 } é LI

ii) 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 = 𝑉 (O conjunto gera V) Atenção! Todo conjunto LI de um vetorial V é base de um

subespaço gerado por ele.

Exemplo: Prove que {(1,1),( 1,0)}B é base de 2R

Solução:

i) (1,1) ( 1,0) (0,0)a b ( , ) (0,0) 0a b a a b B é LI

ii) (1,1) ( 1,0) ( , )a b x y


Página 34 de 40

2( , ) ( , ) gera a b x b y x

a b a x y B Ra y

Exemplo: Prove que {(0,1),(0,2)} Não é base de 2

R

Solução:

i) (0,1) (0,2) (0,0)

(0, 2 ) (0,0) 2

a b

a b a b

Mas como 𝑎 e 𝑏 não são necessariamente zero, o conjunto é LD.

Exemplo: 1,0,0 , 0,1,0 não é base de ℝ3. É LI, mas não gera todo ℝ3, isto é, 1,0,0 , 0,1,0 ≠ ℝ3

𝑎 ∙ 1,0,0 + 𝑏 ∙ 0,1,0 = 𝑥, 𝑦, 𝑧

𝑎, 𝑏, 0 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ⟹ 𝑧 = 0

Como o ℝ3 não é composto apenas de pontos com a coordenada z nula, os dois vetores não podem ser

base.

Exemplo: 𝑉 = 𝑀 2,2 . 1 00 0

; 0 10 0

; 0 01 0

; 0 00 1

é uma base de 𝑉.

Observação: Existem espaços que não tem base finita, principalmente quando trabalhamos com espaços

de funções. Então, precisaremos de um conjunto infinito de vetores para gerar o espaço. Isto não implica

que estamos trabalhando com combinações lineares infinitas, mas sim, que cada vetor do espaço é uma

combinação linear finita daquela “base infinita”. Ou seja, para cada vetor dado, podemos escolher uma

quantidade finita de vetores da base para escrevê-lo. Por exemplo, o conjunto de todos polinômios de

coeficientes reais formam um espaço vetorial. Uma base naturalmente definida é {1, 𝑥, 𝑥2 , 𝑥3 , . . . }, que é

infinita, pois não há restrição para o grau do polinômio. Porém, para formar um polinômio particular é

possível utilizar um número finito de elementos da base.

Teorema: Sejam 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 vetores não nulos que geram um espaço vetorial 𝑉. Dentre estes vetores

podemos extrair uma base de 𝑉.

Prova:

i) Se 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 são LI, eles cumprem as condições para uma base e não temos mais nada a fazer.


Página 35 de 40

ii) Se 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 são LD, então existe uma combinação linear deles com algum coeficiente diferente de zero,

dando o vetor nulo: 𝑥1 ∙ 𝑣1 + … + 𝑥𝑛 ∙ 𝑣𝑛 = 0

Por exemplo, seja 𝑥𝑢 ≠ 0, então:

𝑣𝑛 = −𝑥1

𝑥𝑛∙ 𝑣1 −

𝑥2

𝑥𝑛∙ 𝑣2 − ⋯− −

𝑥𝑛−1

𝑥𝑛∙ 𝑣𝑛−1 .

Ou seja, 𝑣𝑛 é uma combinação linear de 𝑣1 , … , 𝑣𝑛−1 e, portanto 𝑣1 , … , 𝑣𝑛−1 ainda geram 𝑉.

Se 𝑣1 , … , 𝑣𝑛−1 ainda for LD, podemos prosseguir da mesma forma até chegar a um subconjunto

𝑣1 , … , 𝑣𝑟 com 𝑟 ≤ 𝑛 que ainda geram 𝑉, ou seja, formaremos uma base.

Isto é, de um espaço gerador qualquer é possível retirar elementos “inúteis” até que ele se torne uma

base. Veremos agora uma propriedade curiosa dos espaços vetoriais: o número de elementos de

qualquer base de um espaço vetorial particular é constante, independe da base escolhida. Este número é

uma propriedade inerente à natureza do espaço.

Teorema: Seja um espaço vetorial 𝑉 gerado por um conjunto de vetores 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 . Então, qualquer

conjunto LI tem no máximo "𝑛" vetores.

Prova: Como 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 = 𝑉, então podemos extrair uma base para 𝑉. Seja {𝑣1 , … , 𝑣𝑟 } com 𝑟 ≤ 𝑛, esta

base. Considere agora 𝑤1 , 𝑤2 , … , 𝑤𝑚 , 𝑚 vetores de 𝑉, com 𝑚 > 𝑛.

Então, existem constantes tais que:

(𝑖)

𝑤1 = 𝑎11 ∙ 𝑣1 + 𝑎12 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎1𝑟 ∙ 𝑣𝑟

𝑤2 = 𝑎21 ∙ 𝑣1 + 𝑎22 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎2𝑟 ∙ 𝑣𝑟 ⋮

𝑤𝑚 = 𝑎𝑚1 ∙ 𝑣1 + 𝑎𝑚2 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎𝑚𝑟 ∙ 𝑣𝑟

Consideremos agora uma função linear de 𝑤1 , … , 𝑤𝑛 dando zero:

(𝑖𝑖)0 = 𝑥1 ∙ 𝑤1 + 𝑥2 ∙ 𝑤2 +. . . +𝑥𝑚 ∙ 𝑤𝑚

Substituindo (𝑖) em (𝑖𝑖), temos:

0 = 𝑥1 ∙ 𝑎11 ∙ 𝑣1 + 𝑎12 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎1𝑟 ∙ 𝑣𝑟 +. . . +𝑥𝑚 ∙ 𝑎𝑚1 ∙ 𝑣1 + 𝑎𝑚2 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎𝑚𝑟 ∙ 𝑣𝑟

0 = 𝑎11 ∙ 𝑥1 + 𝑎21 ∙ 𝑥2+. . . +𝑎𝑚1 ∙ 𝑥𝑚 ∙ 𝑣1 + ⋯ + 𝑎1𝑟 ∙ 𝑥1 + 𝑎2𝑟 ∙ 𝑥𝑟+. . . +𝑎𝑚𝑟 ∙ 𝑥𝑚 ∙ 𝑣𝑟

Como 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 são LI, então os coeficientes dessa equação devem ser nulos:


Página 36 de 40

𝑎11 ∙ 𝑥1+. . . 𝑎𝑚1 ∙ 𝑥𝑚 = 0

⋮𝑎1𝑟 ∙ 𝑥1+. . . 𝑎𝑚𝑟 ∙ 𝑥𝑚 = 0

Temos então um sistema linear homogêneo com 𝑟 equações e 𝑚 incógnitas 𝑥1 , … , 𝑥𝑚 e, como

𝑟 ≤ 𝑛 < 𝑚, ele admite uma solução não trivial, ou seja, existe uma solução com algum 𝑥𝑖 não nulo.

Portanto 𝑤1 , … , 𝑤𝑚 são LD.

12.1. Questões

1) Quais são as coordenadas de x = (1,0,0) em relação à base β = {(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)}?

13. Dimensão

A dimensão de um espaço vetorial 𝑉 é definida como o número de vetores de uma base de 𝑉 e é

denotada por 𝑑𝑖𝑚 𝑉. Se 𝑉 não possui base, 𝑑𝑖𝑚 𝑉 = 0.

Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos e o número de bases

para cada espaço vetorial é infinito.

Exemplo: 𝑑𝑖𝑚ℝ2 = 2, pois toda base do ℝ2 tem dois vetores, como { 1,0 ; 0,1 } ou { 1,1 ; 0,1 }.

Exemplo: 𝑑𝑖𝑚ℝ𝑛 = 𝑛.

Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑀 2,2 = 4.

Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑀 𝑚, 𝑛 = 𝑚𝑥𝑛.

Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑃𝑛 = 𝑛 + 1 (polinômios de grau n).

Exemplo: dim 0 = 0, pois a origem é apenas um ponto.

Observação: Quando um espaço vetorial V admite uma base finita, dizemos que V é um espaço vetorial de

dimensão finita.

Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser

completado de modo a formar uma base de V.

Prova: Seja 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 e 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 vetores LI, com 𝑖 ≤ 𝑛.

i) Se 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 = 𝑉, então 𝑖 = 𝑛 e o conjunto forma uma base. ii) Se existe 𝑣 𝑖+1 ∈ 𝑉

tal que 𝑣 𝑖+1 ∉ 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 , isto é, 𝑣 𝑖+1 não é uma combinação linear de 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 ,

então {𝑣 1, … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1} é LI. Se 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1 = 𝑉, então {𝑣 1, … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1} é a base procurada. Caso contrário, existe 𝑣 𝑖+2 ∉ 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1 e {𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1, 𝑣 𝑖+2} é LI. Se 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1 , 𝑣 𝑖+2 = 𝑉,


Página 37 de 40

nossa prova está concluída. Se não, prosseguimos analogamente. Como não poderemos ter mais do que n vetores LI em V, então após um número finito de passos teremos obtido uma base de V.

Teorema: Se 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V.

Prova: Se não formasse uma base, poderíamos completar o conjunto até formá-la e dessa forma teríamos

uma base com mais do que n vetores em V, o que é um absurdo.

Teorema: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então 𝑑𝑖𝑚𝑈 ≤

𝑑𝑖𝑚𝑉 e 𝑑𝑖𝑚𝑊 ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑉. Além disso:

dim 𝑈 + 𝑊 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 + 𝑑𝑖𝑚𝑊 − dim(𝑈 ∩ 𝑊)

Para permitir uma interpretação geométrica, consideramos o espaço tridimensional ℝ3. A dimensão de

qualquer subespaço S de ℝ3 só poderá ser 0,1,2 ou 3. Portanto, temos os seguintes casos:

i) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 0, então 𝑆 = {0 }. Ou seja, o subespaço é a origem (apenas um ponto); ii) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 1, então S é uma reta que passa pela origem; iii) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 2, então S é um plano que passa pela origem; iv) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 3, então S é o próprio ℝ3.

13.1. Questões

1) Ilustre com um exemplo a proposição: “se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem

dimensão finita então dim 𝑈 + 𝑊 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 + 𝑑𝑖𝑚𝑊 − dim(𝑈 ∩ 𝑊)”.

2) Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes 2 × 2. Qual a dimensão desse espaço?

3) Resolva a questão anterior considerando o espaço das matrizes 3 × 3. E qual seria a dimensão de um

espaço de matrizes 𝑛 × 𝑛?

4) Seja V o espaço das matrizes 2 × 2, e seja W o subespaços gerado por

1 −5

−4 2 ,

1 1−1 5

, 2 −4

−5 7 ,

1 −7−5 1

Encontre uma base e a dimensão de W.

5) Considere o subespaço de ℝ4 gerado pelos vetores 𝑣1 = (1, −1,0,0), 𝑣2 = (0,0,1,1),

𝑣3 = −2,2,1,1 e 𝑣4 = (1,0,0,0).

a) O vetor (2, −3,2,2) pertence a [𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4]? Justifique.

b) Exiba uma base para [𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4]. Qual a dimensão?

c) 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4 = ℝ4? Por quê?


Página 38 de 40

14. Mudança de base

Sejam 𝛽 = {𝑢 𝑖 , … , 𝑢 𝑛} e 𝛽′ = {𝑤 𝑖 , … , 𝑤 𝑛} duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial V de

dimensão 𝑛. Dado 𝑣 ∈ 𝑉, podemos escrevê-lo como:

(i)1 1

1 1

...

...

n n

n n

v x u x u

v y w y w

Devemos relacionar 𝑣 𝛽 =

𝑥1

…𝑥𝑛

com 𝑣 𝛽′ =

𝑦1

…𝑦𝑛

.

Já que {𝑢 1 , …𝑢 𝑛} é base de V, podemos escrever os vetores 𝑤 𝑖 como combinação linear dos vetores 𝑢 𝑖 :

(ii)

1 11 1 21 2 1

2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

...

...

...

...

n n

n n

n n n nn n

w a u a u a u

w a u a u a u

w a u a u a u

Substituindo (ii) na segunda equação de (i), temos:

1 1 ... n nv y w y w

= 1y ( 11 1 21 2 1... n na u a u a u

) + ... + ny ( 1 1 2 2 ...n n nn na u a u a u

)

11 1 1 1 1 1( ... ) ... ( ... )n n n nn n na y a y u a y a y u

Mas 1 1 ... n nv x u x u

, e, como as coordenadas em relação a uma base são únicas, temos:

1 11 1 1

1 1

...

...

...

n n

n n nn n

x a y a y

x a y a y

↔

𝑥1

…𝑥𝑛

=

𝑎11 … 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 … 𝑎𝑛𝑛

𝑦1

…𝑦𝑛

A matriz dos coeficientes está atuando como uma matriz de mudança de base, pois transforma o vetor

𝑣 𝛽′ =

𝑦1

…𝑦𝑛

em outro 𝑣 𝛽 =

𝑥1

…𝑥𝑛

, numa segunda base. Assim:

𝑎11 … 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 … 𝑎𝑛𝑛

= 𝐼 𝛽𝛽 ′

Esta é a matriz de mudança de base da base 𝛽′para a base 𝛽.

Uma vez obtida 𝐼 𝛽𝛽 ′

, podemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor 𝑣 em relação à base 𝛽

multiplicando a matriz pelas coordenadas de 𝑣 em relação à base 𝛽′ (ambas as bases supostamente

conhecidas).


Página 39 de 40

𝑣 𝛽 = 𝐼 𝛽𝛽 ′

𝑣 𝛽′

Observação: Note que a matriz 𝐼 𝛽𝛽 ′

é obtida de (ii) transpondo a matriz dos coeficientes.

Questão: Calcule 𝑣 𝛽de 𝑣 = (5, −8) para 𝛽 = { 2, −1 ; 3,4 } e 𝛽′ = { 1,0 ; 0,1 }.

Solução 1:

i) Inicialmente, procurando 𝐼 𝛽𝛽 ′

, então colocamos 𝛽′em função de 𝛽:

w1 = 1, 0 = a11 2, −1 + a21 3, 4 = 2a11 + 3a21 , −a11 + 4a21

w2 = 0, 1 = a12 2, −1 + a22 3, 4 = 2a12 + 3a22 , −a12 + 4a22

𝑎11 =4

11 ; 𝑎12 =

−3

11 ; 𝑎21 =

1

11 ; 𝑎22 =

2

11

Dessa forma,

11 12

21 22

4 3

11 11

1 2

11 11

a aI

a a

ii)

4 3

5 411 115, 8 5, 8

1 2 3 1

11 11

I

Isto é, (5, 8) 4(2, 1) 1(3,4) ;

Solução 2: Basta resolver o sistema: (5, 8) (2, 1) (3,4)a b

2 3 5

4 8

a b

a b

4

1

a

b

Observação: O cálculo feito da matriz de mudança de base só é vantajoso quando se trabalha com vários

vetores, para não ter que resolver um sistema de equações a cada vetor.

14.1. A inversa da matriz de mudança de base


Página 40 de 40

Um fato importante é que a matriz 𝐼 𝛽𝛽′

é invertível e 𝐼 𝛽𝛽′

−1

= 𝐼 𝛽′𝛽

. Dessa forma, podemos usá-la

para encontrar 𝑣 𝛽′ pois 𝑣 𝛽′ = 𝐼 𝛽′𝛽 𝑣 𝛽 .

14.2. Questões

1) Se [𝐼]𝛼𝑎′ =

1 1 00 −1 11 0 −1

, ache [𝑣]𝑎′ onde [𝑣]𝛼 = −123

.

2) Se α é base de um espaço vetorial, qual é a matriz de mudança de base [𝐼]𝛼𝛼?

3) Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 × 2 triangulares superiores. Sejam 𝛽 e 𝛽′ duas bases de V tais

que 𝛽 = 1 00 0

, 0 10 0

, 0 00 1

e 𝛽′ = 1 00 0

, 1 10 0

, 1 10 1

.

a) Ache [𝐼]𝛽𝛽′

.

b) Mostre que 𝐼 𝛽𝛽′

−1

= 𝐼 𝛽′𝛽

.

4) Uma elipse em uma base cartesiana está rotacionada em um ângulo de 45° e sua base é formada pelos

vetores {(1,0); (0,1)}. Ache a matriz de mudança de base para uma nova base onde os vetores sejam

respectivamente (−1,1) e (2,2).

Apostila de algebra linear

Education

Transcript of Apostila de algebra linear