Apostila de CA II - JBC

8/19/2019 Apostila de CA II - JBC

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

ESTRUTURAS DE CONCRETO

ARMADO II

Autor

Prof. João Bosco da Costa, M.Sc.


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MATERIAIS I-1

___________________________________________________________________ ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Eng

o João Bosco da Costa, M.Sc.

CAPÍTULO I - DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DOS MATERIAIS

1.1 – Aços (Item 8.3.6):

O módulo de elasticidade dos aços Es é admitido constante e igual a 210 Gpa.O diagrama tensão-deformação do aço, resistência ao escoamento e à tração, os

valores característicos da resistência ao escoamento yk f , da resistência à tração stk f e

da deformação na rupturauk

ε devem ser obtidos de ensaios de tração realizados

segundo a NBR 6152. O valor de yk f para os aços sem patamar de escoamento é o

valor da tensão correspondente à deformação permanente de 2 o/oo.Para cálculo nos estados-limite de serviço e último pode-se utilizar o diagrama

simplificado mostrado na figura 1.1, para os aços com ou sem patamar de escoamento.

Figura 1.1 - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas

Este diagrama é válido para intervalos de temperatura entre -20ºC e 150ºC e podeser aplicado para tração e compressão.

1.2 – Concreto:

a)- Módulo de Elasticidade (Item 8.2.8):

O módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial, deve serobtido segundo ensaio descrito na NBR 8522. Quando não forem feitos ensaios e nãoexistirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 dias, pode-seestimar o valor do módulo de elasticidade usando a expressão :

ck ci f E ⋅= 5600

onde Eci e f ck são dados em megapascal (MPa).


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MATERIAIS I-2



O módulo de elasticidade numa idade 7≥ j dias pode também ser avaliadoatravés dessa expressão, substituindo-se

ck f por ckj f .

Quando for o caso, é esse o módulo de elasticidade a ser especificado em projetoe controlado na obra.

O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto,especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estadoslimites de serviço, deve ser calculado pela expressão :

cics E E ⋅= 85,0

Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversalpode ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao

módulo de elasticidade secante ( cs E ).

Na avaliação do comportamento global da estrutura, pode ser utilizado em projeto

o módulo de deformação tangente inicial (ci

E ).

b)- Resistência de Cálculo do Concreto (Item 12.3.3):

No caso específico da resistência de cálculo do concreto ( cd f ), alguns detalhes

adicionais são necessários, conforme a seguir descrito:

b1)- quando a verificação se faz em data j igual ou superior a 28 dias, adota-se aexpressão:

c

ck

cd

f f

γ

=

Nesse caso, o controle da resistência à compressão do concreto deve ser feitoaos 28 dias, de forma a confirmar o valor de f ck adotado no projeto;

b2)- quando a verificação se faz em data j inferior a 28 dias, adota-se a expressão:

c

ck

c

ckj

cd

f f f

γ β

γ ⋅≅= 1

sendo β1 a relação ck ckj f f dada por:

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −⋅=

t

s28

1exp1 β

onde:s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV;s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II;s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI.t é a idade efetiva na análise dos esforços resistentes do concreto, em dias.

Essa verificação deve ser feita aos t dias, para as cargas aplicadas até essa data. Ainda deve ser feita a verificação para a totalidade das cargas aplicadas aos 28

dias.


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MATERIAIS I-3



Nesse caso, o controle da resistência à compressão do concreto deve ser feito em

duas datas: aos t dias e aos 28 dias, de forma a confirmar os valores de ckj f e ck f

adotados no projeto.

c)- Diagrama Tensão-Deformação (Item 8.2.9):

Para tensões de compressão menores quec f ⋅5,0 , pode-se admitir uma relação

linear entre tensões e deformações, adotando-se para módulo de elasticidade o valorsecante dado pela expressão constante do item anterior.

Para análises no estado limite último, pode ser empregado o diagrama tensão-deformação idealizado mostrado na figura 1.2.

Como o concreto é um material cuja resistência depende de inúmeros fatoresque variam como o tempo, Hubert Rüsch, após ensaios realizados com os corpos de

prova carregados com diferentes velocidades de carregamento, concluiu que o concretopode, para fins de dimensionamento, ser admitido com uma resistência de pico igual a

)2(*85,0 fc , sondo 85,0 o produto de três fatores: 3mod 2mod 1mod ** k k k .

1mod k - correspondendo ao efeito de ganho de resistência após 28 dias, conhecido

como amadurecimento do concreto ( )23,11mod =k .

2mod k - que corresponde a perda de resistência do concreto no ensaio de carga

mantida ( )72,02mod =k .

3mod k - coeficiente que procura corrigir o erro associado ao ensaio de corpos de

prova cilíndricos e a real resistência da estrutura 96,03mod k .

Portanto, como se sabe, este coeficiente, chamado de coeficiente Rüsch, é

utilizado multiplicado à tensão de pico do concreto, ou seja,cd f *85,0 . Desta forma, está

considerado nos modelos de cálculo o crescimento por amadurecimento e a perda porcarga mantida que ocorrerão após o marco dos 28 dias, então, a resistência do concretopara fins de verificação de segurança, deve ser tomada na idade de referência de 28dias, não cabendo a consideração de ganhos de resistência após esta data, senãoaqueles que superem as próprias expectativas da teoria que admite 23% de ganho emaproximadamente dois anos e meio.

Figura 1.2 – Diagrama tensão – deformação idealizado do concreto


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MATERIAIS I-4



1.3 – Bibl iografia:

[ 1 ] – ABNT, Associação de Normas e Técnicas. Norma Brasileira NBR-6118.Projeto de estruturas de concreto – Procedimentos. Rio de Janeiro,2004.


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HIPÓTESES BÁSICAS II-1

ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Eng o João Bosco da Costa, M.Sc.

CAPÍTULO II - HIPÓTESES BÁSICAS (Item 17.2.2):

2.1 - Domínios:

Na análise dos esforços resistentes de uma seção de viga ou pilar, devem serconsideradas as seguintes hipóteses básicas:

a) as seções transversais se mantêm planas após deformação;

b) a deformação das barras aderentes em tração ou compressão, deve ser amesma do concreto em seu entorno;

c) as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem serdesprezadas;

d) a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama

parábola retângulo definido no item 1.2.c com tensão de pico igual a 0,85 cd f , com cd f

definido conforme item 1.2.b. Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo dealtura x⋅8,0 (onde x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte tensão:

- 0,85 cd f no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não

diminuir a partir desta para a borda comprimida;

- 0,80 cd f no caso contrário;

Figura 2.1 – Distribuição das Tensões no Concreto.

As diferenças de resultados obtidos com esses dois diagramas são pequenas eaceitáveis, sem necessidade de coeficiente de correção adicional.

e) a tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-

deformação, com valores de cálculo, definidos nos item1.1.


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f) o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações naseção transversal pertencer a um dos domínios definidos na figura 2.2.

Figura 2.2 – Domínios de Estado Limite Último de uma seção transversal

• Deformação plástica excessiva:

Reta a: Tração uniforme; Domínio 1: Tração não uniforme, sem compressão; Domínio 2: Flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do

concreto (00

05,3=cε ) e com máximo alongamento ( 00

010 ) permitido na

armadura.

• Ruptura:

Domínio 3: Flexão simples (seção normalmente armada) ou composta,com simultaneidade de escoamento do aço tracionado e com tensão deruptura no concreto da região comprimida;

Domínio 4: Flexão simples (seção super-armada) ou composta, sendoque o concreto atinge a tensão de ruptura antes que aço entre em

escoamento ( yd sd ε ε = );

Domínio 4a: Flexão composta com armaduras comprimidas; Domínio 5: Compressão não uniforme, sem tensões de tração; Reta b: Compressão uniforme.


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[ 2 ] – Santos, Lauro Modesto. Cálculo de Concreto Armado, Vol 1. Editora LMSLtda. São Paulo, 1983.


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DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 1


3- PRESCRIÇÕES DA NBR-6118:2007 PARA DIMENSIONAMENTO

E DETALHAMENTO DE PILARES:

3.1 – Dimensões Mínimas de Pilares e Pilares-Parede (Item 13.2.3):

A seção transversal de pilares não deve apresentar dimensão menor que 19 cm.

Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12cm, desde que se multiplique as ações a serem consideradas no dimensionamento porum coeficiente adicional γn, de acordo com o indicado na tabela 3.1.

Tabela 3.1 – Valores do coeficiente adicional n

Menor dimensão da seção do pilar (b)a ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12

n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nospilares, quando de seu dimensionamento.

3.2 – Ancoragem ou Comprimento de Transpasse (Item 9.4):

a)- Resistência à Tração:

A resistência à tração direta pode ser avaliada por meio das seguintes equações:

f ctm = 0,33 2

ck f

f ctk,inf = 0,7 f ctm

f ctk,sup = 1,3 f ctm onde:

f ctm e f ck são expressos em megapascais.

Sendo f ckj ≥ 7MPa, estas expressões podem também ser usadas para idadesdiferentes de 28 dias.

b)- Verificação da Aderência (posições da barra durante a concretagem) :

Considera-se em boa situação quanto à aderência os trechos das barras queestejam em uma das posições seguintes:


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- Com inclinação maior que 45° sobre a horizontal;

- As barras horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, paraelementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da faceinferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima ou para elementos

estruturais com h ≥ 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face superior doelemento ou da junta de concretagem mais próxima.

Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas deslizantesdevem ser considerados em má situação quanto à aderência.

c)- Valores das Resistências de Aderência:

A resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto na ancoragem dearmaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão:

f bd = η1 η2 η3 f ctd

sendo:

f ctd = f ctk,inf / γc

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

)50(25,2

)60(4,1

)6025(0,1

1

CAnervuradasbarras para

dentadoCAdentadasbarras para

CAouCAlisasbarras para

η

⎩⎨⎧

=aderênciamádesituações para

aderênciaboadesituações para

7,0

0,12η

⎩⎨⎧

>)/100

<=

mm para

mm para

32,-(132

320,13

φ φ

φ η

d)- Comprimento de Ancoragem Longitudinal:

Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de umabarra de armadura passiva necessário para ancorar a força limite Asf yd nessa barra,admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a f bd.

O comprimento de ancoragem básico é dado por:

bd

yd

b f

f l *

4

φ =


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O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:

min,

,

,

1, ** bef s

calcs

bnecb l A

All ≥= α

sendo:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

=

.3ganchodo

aonormal planonocobrimentocomgancho,comastracionad barras para0,7

gancho,sem barras para1,0

1

φ

α

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

cm

l

l

b

b

10

10

3,0

min, φ

Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores docomprimento de ancoragem necessário. Na tabela D.1 do apêndice D, apresenta-se osvalores do comprimento de ancoragem básico ( lb ), variando-se a resistência doconcreto ( f ck ).

e)- Ancoragem de estr ibos:

Os ganchos dos estribos podem ser :

- semi circulares ou em ângulo de 45º (interno), com ponta reta de comprimento

igual a 5φt, porém não inferior a 5 cm;- em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10φt, porém não

inferior a 7 cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos).

O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser, no mínimo, igual ao índicedado na tabela 3.2.

Tabela 3.2 - Diâmetro dos pinos de dobramento para estr ibos

Bitola

mm

Tipo de aço

CA-25 CA-50 CA-60≤ 10 3 φt 3 φt 3 φt 10


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3.3 – Armaduras Longitudinais (Item 18.4.2):

a) – Armadura Mínima:

A taxa de armadura deve ter o valor mínimo, expresso a seguir:

%4.0**15.0min ≥== ν ρ yd

cd

c

s

f

f

A

A

sendo:

cd c

d

f A

N

*=ν ,onde ν é o valor da força normal em termos adimensionais.

b) – Armadura Máxima:

A maior armadura possível em pilares deve ser 8% da seção real, considerando-se inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda, ou seja:

%0.8max ≤=c

s

A

A ρ

c) – Diâmetro Mínimo e Máximo:

10.0 mm ≤ φl ≤ menor dimensão / 8

d) – Número Mínimo de Barras:

- Seções poligonais = 1 barra em cada vértice;- Seções circulares = 6 barras distribuídas ao longo do perímetro.

e) – Espaçamentos Entre Barras:

O espaçamento livre entre armaduras, medido no plano da seção transversal,fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos valores:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

)(*2.1

*22

min

emendasnasinclusive

cme

agregado

l

φ

φ

O espaçamento máximo entre eixos das barras deve ser:

⎩⎨⎧ ∗

≤cm

Dimensão Menor e

40

2max


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3.4 – Armaduras Transversais – Estr ibos (Item 18.4.3):

A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso,por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo

obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes.

a) – Bitola Mínima:

⎩⎨⎧

≥4/

0.5

l

t

mm

φ φ

b) – Espaçamento entre Estr ibos:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−≤

)50(*12

)25(*24

;

;20

CAPara

CAPara

Seçãoda Dimensão Menor

cm

S

l

l

φ

φ

Pode ser adotado o valor φt < φl /4 desde que as armaduras sejam constituídas domesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação:

yk l

t

f s

19000

2

max ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

φ

φ onde f yk é dado em MPa

Quando houver necessidade de armaduras transversais para cortantes e torção,esses valores devem ser comparados com os mínimos especificados para vigas.

c) – Proteção Contra Flambagem das Barras:

Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinaissituadas em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de20 Фt do canto, se nesse trecho de comprimento 20 Фt não houver mais de duasbarras, não contando a de canto. Quando houver mais de duas barras nesse trecho

ou barra fora dele, deve haver estribos suplementares.Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta, terminada emganchos, ele deve atravessar a seção do elemento estrutural e os seus ganchosdevem envolver a barra longitudinal. Se houver mais de uma barra longitudinal a serprotegida junto à mesma extremidade do estribo suplementar, seu gancho deveenvolver um estribo principal em ponto junto a uma das barras, o que deve serindicado no projeto de modo bem destacado.


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Figura 3.1 – Proteção contra a flambagem das Barras

3.5 – Cobrimento (Item 7.4.7)

a)- Agressividade do Ambiente:

Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental pode serclassificada de acordo com o apresentado na tabela 3.3.

Tabela 3.3 - Classes d e agressivi dade ambiental

Classe deagressividade

ambiental (CAA)

AgressividadeRisco de deterioraçãoda estrutura

I Fraca insignificanteII Moderada pequenoIII forte grandeIV muito forte elevado

A agressividade do meio ambiente às estruturas de concreto armado eprotendido pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condições de exposiçãoda estrutura ou de suas partes, conforme estabelece a tabela 3.4.


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Tabela 3.4- Classes de agressividade ambiental em função das condiçõesde expos ição

Micro-clima

Macro-clima Ambientes internos Ambientes externos eobras em geralSeco1) UR≤65%

Úmido ouciclos2) demolhageme secagem

Seco3) UR ≤ 65%

Úmido ouciclos4) demolhageme secagem

Rural I I I II

Urbana I II I II

Marinha II III ----- III

Industrial II III II III

Especial 5) II III ou IV III III ou IV

Respingos de maré ----- ----- ----- IV

Submersa ≥ 3m ----- ----- ----- I

Solo ----- ----- agressivo I Úmido eagressivoII, III ou IV

1) Salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço deapartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes comconcreto revestido com argamassa e pintura.2) Vestiários, banheiros, cozinhas, lavanderias industriais e garagens.3) Obras em regiões de clima seco, e partes da estrutura protegidas dechuva em ambientes predominantemente secos.

4) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia,branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns defertilizantes, indústrias químicas. 5) Macro clima especial significa ambiente com agressividade bemconhecida, que permite definir a classe de agressividade III ou IV nosambientes úmidos. Se o ambiente for seco, deve ser considerada classe deagressividade II nos ambientes internos e classe de agressividade III nosexternos.


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b)- Qualidade do concreto e cobrimento:

A durabilidade das estruturas é altamente dependente das características doconcreto e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura.

Ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao

tipo e nível de agressividade previsto em projeto devem estabelecer os parâmetrosmínimos a serem atendidos. Na falta destes e devido à existência de uma fortecorrespondência entre a relação água/cimento ou água/aglomerante, a resistência àcompressão do concreto e sua durabilidade, permite-se adotar os requisitos mínimosexpressos na tabela 3.5.

Tabela 3.5 - Correspondência entre classe de agressividade e qualidade doconcreto

Concreto Tipo Classe de agressivid ade (tab 3.3)I II III IV

Relaçãoágua/aglomerante

em massaCA ≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45

Classe de concreto(NBR 8953)

CA ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40

NOTAS : CA Componentes e elementos estruturais de concreto armado

Para garantir um cobrimento mínimo (cmin) o projeto e a execução devemconsiderar o cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido datolerância de execução (Δc). Assim as dimensões das armaduras e os espaçadores

devem respeitar os cobrimentos nominais.

Nos casos de haver um adequado controle de qualidade e rígidos limites detolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode-se adotar o valorΔc=5 mm. Em caso contrário, nas obras correntes, seu valor mínimo é de Δc=10 mm.

Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície daarmadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de umadeterminada barra deve sempre ser:

cnom ≥ φ barracnom ≥ φ feixe = φn = φ n

A dimensão máxima característica do agregado graúdo, utilizado no concretonão pode superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja:

dmax ≤ 1.2 c nom


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Tabela 3.6- Correspondência entre classe de agressividade ambiental ecobrimento nominal para c=10mm



Componente

ou elemento

Classe de agressividade ambiental (tab 3.3)I II III IV

Cobrimento nominal (mm)Concretoarmado

Pilares 25 30 40 50


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DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 1


CAPÍTULO IV – DIMENSIONAMENTO DE PILARES:

4.1- Definição (Item 14.4.1.2)Os pilares são elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical,

em que as forças normais de compressão geralmente são preponderantes.

4.2- Efeitos de 2a Ordem:

Os efeitos de 2ª ordem são aqueles que se somam aos obtidos numa análise deprimeira ordem (em que o equilíbrio da estrutura é estudado na configuração geométricainicial), quando a análise do equilíbrio passa a ser efetuada considerando aconfiguração deformada.

Os efeitos de 2a Ordempodem ser desprezados sempreque não representarem acréscimosuperior a 10% nas reações e nassolicitações relevantes daestrutura. Na figura 4.1, o efeitode 2a ordem (Nd * e2) poderá serdesconsiderado se M2d ≤ 0,10 M1d

4.3- Momento Mínimo de 1a Ordem (Item 11.3.3.4.c)

O momento total M1d,min de primeira ordem, isto é, o momento de primeira ordemacrescido dos efeitos das imperfeições locais, deve respeitar o valor mínimo dado por:

M1d,mín = Nd (0,015 + 0,03h)

onde: h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros.

Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locaisesteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. No caso depilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser respeitado emcada uma das direções principais, separadamente.

Md = M1d Md = M1d + M2d Md = Hd * L Md = (Hd * L) + (Nd * e2)

Figura 4.1 – Efeitos de 1a e 2a Ordem


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4.4- Comprimento de Flambagem (Item 15.6):

Nas estruturas de nós fixos, o cálculo pode ser realizado considerando cadaelemento comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aosdemais elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos

pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de 1ª ordem.A análise dos efeitos locais de 2ª ordem deve ser realizada de acordo com o

estabelecido a seguir.O comprimento equivalente le do elemento comprimido (pilar), deve ser o menor

dos valores da figura 4.2:

Figura 4.2 – Comprimento de Flambagem

onde:l0 é a distância entre as faces internas dos elementosestruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar;

h é a altura da seção transversal do pilar, medida na direçãoconsiderada; L distância de eixo a eixo do pilar ;

No caso de pilar engastado na base e livre no topo, o valor de le = 2L.

4.5 - Raio de Giração:

Da resistência dos materiais, o cálculo do raio de giração é dado por:

S

I

i =

a)- Para seções retangulares:

Figura 4.3 – Raio de giração para seções retangulares

Onde : I = Inércia da seção transversal;

S = Área da seção transversal.

1212

3

x

x

x y

x

hi

hh I =∴=

1212

3

y

y

y x

y

hi

hh I =∴=

⎩⎨⎧ +

≤ L

hlle

0


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b)- Para seções circulares:

Figura 4.4 – Raio de giração para seções circulares

4.6 – Índice de Esbeltez λ

e Classificação (Item 15.8.2):

O índice de esbeltez é calculado pela expressão que relaciona o comprimento deflambagem com o raio de giração da peça, ou seja :

Os pilares se classificam em função do índice de esbeltez:

a)- pilares curtos (λ ≤ λ1):Desprezam-se os efeitos de 2a Ordem

b)- pilares médios (λ ≤ 90):Os efeitos de 2a Ordem podem ser avaliados por métodos aproximados.

c)- pilares esbeltos (λ > 90):Deve-se considerar obrigatoriamente a fluência que deve ser acrescentada

aos efeitos de 1a Ordem.Segunda a NBR-6118, “a deformação por fluência do concreto compõe-se de

duas partes, uma rápida e outra lenta. A deformação rápida é irreversível e ocorredurante as primeiras 24 horas após a aplicação da carga que a originou. A deformaçãolenta é por sua vez composta por duas outras parcelas: a deformação lenta irreversívele a deformação lenta reversível”.

4.7 – Coeficiente b (Item 15.8.2):

O momento máximo em um pilar depende dos valores dos momentos de topo e de

base, além da carga axial e da flambagem, Assim, o momento máximo pode nãoocorrer nas extremidades.Nestes casos, corrige-se o valor do momento máximo através do coeficiente de

uniformidade αb que é calculado para um dos 4 casos abaixo:

a)- Para pilares biapoiados sem cargas transversais:

Os momentos Mtopo e Mbase são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar.Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA (momentos em sentido contrário), enegativo no outro caso (momentos em mesmo sentido).

464

4 D

i D

I =∴= π

i

el=λ


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Momentos Curvatura CurvaturaExtremos Simples (MB posi tivo) Dupla (MB negativo)

Figura 4.5 – Momentos e Curvaturas

b)- Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas, ao longo daaltura:

Figura 4.6 – b para pilares com cargas transversais

c)- Para pilares em balanço:

O momento MA é o momento de 1ª ordem no engaste e MC é o momento de 1ªordem no meio do pilar em balanço.

Figura 4.7 – b para pilares em balançod)- Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o

momento mínimo estabelecido no item 4.3:

MA ≤ M1d,min ⇒

αb = 1,0

40,040,060,0 ≥+= A

B

b M

M α

85,020,080,0 ≥+= A

C

b M

M α

αb = 1,0


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4.8 – Dispensa da Análise dos Efeitos Locais de 2a Ordem (Item 15.8.2):

Os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezadosquando o índice de esbeltez λ for menor que o valor limite λ1 estabelecido neste item.

O valor de λ1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são:- a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h;- a vinculação dos extremos da coluna isolada;- a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem.

λ1 pode ser calculado pela expressão:

/5,1225 11

b

he

α λ

+=

sendo:

9035

1b

≤λ≤α

4.9 – Efeitos Locais de 2a Ordem (Item 15.8.3.3.1):

O cálculo do momento de 2a ordem pode ser feito por métodos aproximadose ser empregado apenas para pilares com λ ≤ 90, seção constante e armadurasimétrica e constante ao longo de seu eixo.

O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão:

A1d,2dA1d, btot, Me NM ≥+= α d M e e2 avaliada pela expressão aproximada:

sendo:- ν = Nd / (Acf cd)- M1d,A ≥ M1d,min - h é a altura da seção na direção considerada;

4.10 – Dimensionamento à Compressão Centrada:

No dimensionamento à compressão centrada admite-se que o encurtamento daruptura do concreto e do aço seja εc = εs = 2

o/oo.

hhe ee

005,0*

10)5,0(

005,0*

10

22

2

ll≤

+=

ν

- αb calculado conforme item anterior;- e1 / h é a excentricidade relativa de 1

a ordem;

- e1 = M A / Nd ;- h = altura da seção transversal na direção considerada.


23/130



a)- Equações de Equilíbrio:

Figura 4.8 - Seção Comprimida

b)- Pré-Dimensionamento:

Uma outra equação pode ser escrita em função da taxa de armadura ρ e da áreade concreto da seção, podendo ser utilizada para pré-dimensionar a seção de concretoAc , ou seja:

Nd = (ρ * σ

sd-0,002 + 0.85 f

cd) * A

C

c)- Valores de σsd-0,002:

Os valores das tensões nos aços são determinadas segundo os diagramastensão-deformação apresentados no capítulo I, para uma deformação εs = 2

o/oo e γf =1,15.

Para o aço CA-25, σsd-0,002 = 217,4 Mpa = 2174 Kgf/cm2.Para o aço CA-50, σsd-0,002 = 420 Mpa = 4200 Kgf/cm

2.

ΣFv = 0Nd = Rs1 + Rs2 + Rcc e

Rs1 = As1 * σsd-0,002Rs2 = As2 * σsd-0,002Rcc = Ac * 0.85 f cd

Logo ;

Nd = As1*σsd-0,002 + As2*σsd-0,002 + Ac*0.85 f cd

Nd = (As1 + As2) * σsd-0,002 + Ac * 0.85 f cd

002,0

,

85,0

−

−=sd

ccd d

TOTALs

A f N A

σ

002,085,0 −+=

sd

d c

fcd

N A

σ ρ


24/130



4.11 – Processos aproximados para o dimensionamento à flexãocomposta (Item 17.2.5):

4.11.1- Flexão Normal Composta:

O cálculo para o dimensionamento de seções retangulares ou circulares comarmadura simétrica, sujeitas à flexão normal composta, em que a força normal reduzida(ν) seja maior ou igual a 0,7, pode ser realizado como um caso de compressão centradaequivalente, onde:

sendo:

Sendo αs a relação:

Valores de α em função αs :

•α = -1/αs se αs < 1 em seções retangulares;•α = αs se 1 ≤ αs ≤ 6 em seções retangulares;•α = 6 se αs > 6 em seções retangulares;•α = - 4 em seções circulares.

O arranjo de armadura adotado para detalhamento, a armadura superior e inferiorsão perpendiculares à direção do momento Msd (ver figura 4.9), deve ser fiel aos valoresde αS e d’/h pressupostos.

Supondo todas as barras iguais, αs é dado por:

N N d eqd

.*

,γ =

Md,eq = 0

h

d ′−+

=8,0)01,039,0(

1

α

β

cd c

d

f A

N =ν

h N

M

h

e

d

d =

⎟ ⎞

⎜⎝

⎛ +=h

e β γ 1*


25/130



Figura 4.9 - Arranjo de armadura caracterizado pelo parâmetro s.

4.11.1.1- Exemplo 1: Pré-Dimensionar a seção do pilar. Supor os momentos de 1a ordem em torno do eixo Y:

Figura 4.10 – Seção e Esquema estático

a)-Cálculo dos Momentos de 1a Ordem:

Nd = γ n * γ f * Nk = 1,05 * 1,4 * 600 = 882 KNM1d,min = Nd (0,015 + 0,03h) = 882 (0,015 + 0,03 * 18 / 100) = 18 KN*m

M A = Maior valor absoluto = γ n * γ f * Mbase = 1,05 * 1,4 * 20 = 29,4 KN*m MB = Menor valor absoluto = γ n * γ f * Mtopo = 1,05 * 1,4 * 15 = 22 KN*m

M A ≥ M1d,min ⇒ OK.

b)-Normal Equivalente:

Supondo-se α = 6 (maior valor α) e d´= 3,8 cm vem:

e1 = M A / Nd = 29,4 / 882 = 0,033 m = 3,33 cm

56,3

18

8,3

*8,0)6*01,039,0(

1

8,0)01,039,0(

1=

−+

=′

−+

=

h

d

α

β

( )( )1

1

−

−=

v

h

sn

nα

Dados:f ck = 20 Mpa, Aço CA-50Cobrimento = 2,5 cmNk = 600 KN = 60 tfhx = 18 cmle = 300 cm

Mtopo = 15 KN*m = 1,5 tf*mMbase = 20 KN*m = 2,0 tf*m


26/130



A Força normal equivalente para pré-dimensionamento, supondo apenas aexcentricidade de 1a ordem, será:

659,118

33,356,311 1

* =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

h

e β γ

KN N N d eqd

2,1463882*659,1**

,=== γ

c)-Seção Necessária:

Adotando-se ρ = 2% - valor intermediário.

2

002

,712

42*100

2

4,1

2

*85,0

2,1463

**85,0cm

fcd

N A

sd

eqd

c =

+

=+

=−σ ρ

hx * hy = 712 cm2 = (18x40) ou (18x45) ⇒ esta seção é apenas indicativa, podendo não

ser suficiente no dimensionamento.

4.11.1.2- Exemplo 2: Dimensionar e detalhar o pilar. Supor os momentos de 1a ordemem torno do eixo Y:


a)- Índices de Esbeltez :

73,5718

1230012===

x

e

xh

lλ e 09,23

45

1230012===

y

e

yh

lλ

b)-Cálculo dos Momentos de 1a Ordem:

Nd = γ n * γ f * Nk = 1,05 * 1,4 * 600 = 882 KN

M1d,min = Nd (0,015 + 0,03h) = 882 (0,015 + 0,03 * 18 / 100) = 18 KN*m M A = Maior valor absoluto = γ n * γ f * Mbase = 1,05 * 1,4 * 20 = 29,4 KN*m

MB = Menor valor (positivo, curvatura simples) = γ n * γ f * Mtopo = 1,05 * 1,4 * 15 = 22KN*m

M A ≥ M1d,min ⇒ OK.

Dados:f ck = 20 Mpa, Aço CA-50Cobrimento = 2,5 cmNk = 600 KN = 60 tfhx = 18 cmhy = 45 cmle = 300 cmMtopo = 15 KN*m = 1,5 tf*mMbase = 20 KN*m = 2,0 tf*m


27/130



c)-Parâmetro α b :

40,040,060,0 ≥+= A

Bb

M

M α

α b = 0,90 ≥ 0.4 ⇒ OK.

c)-Cálculo de λ 1:

e1 = M A / Nd = 29,4 / 882 = 0,033 m = 3,33 cm

35,3090,0

185,0*5,1225

/5,1225 11 =

+=

+=

b

he

α λ

9035

1b

≤λ≤α

⇒ λ 1 = 38,9

λx = 57,73 > λ 1 ⇒ Pilar médio. Considerar efeito de 2a Ordem.

d)-Efeito de 2a Ordem:

ν = Nd / (Acf cd) = 882 / (18*45*2/1,4) = 0,762 ≥ 0,7 ⇒ OK.

e2 = 1,98 cm ≤ 2,5 cm ⇒ OK.

A1d,2dA1d, btot, Me NM ≥+= α d M

Md,tot = 0,90 * 29,4 + 882 * 0,0198 = 43,9 KN*m ≥ 29,4 KN*m ⇒ OK.

e)-Esforços Equivalentes:

Adotando-se a distribuição de armaduras da figura 4.12, vem:

Figura 4.12 – Cálculo de s

∴≤+

=hh

e ee005,0

*10)5,0(

005,0*

10

22

2

ll

ν

18

005,0*

10

300

)5,0762,0(18

005,0*

10

300 22

2 ≤

+

=e

10 φ

d´ = 3,8 cm

( )( )

( )( )

4412

15

1

1==⇒=

−−

=−

−= α α α s

v

h

sn

n

d´ / hx = 3,8 / 18 = 0,211


28/130



83,3211,0*8,0)4*01,039,0(

1

8,0)01,039,0(

1=

−+=

′−+

=

h

d α

β

277,018*882

100*9,43==

h N

M

h

e

d

d

A Força normal equivalente para dimensionamento a compressão centrada será:

( ) 061,2277,0*83,311* =+=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=h

e β γ

KN N N d eqd

1818061,2*882*

*,

=== γ

f)-Dimensionamento à compressão centrada:

42

45*18*4,1/2*85,0181885,0

002,0

−=

−=

−sd

ccd d

s

A f N A

σ

As = 19,87 cm2 ⇒ 10 φ 16,0 mm = 20,0 cm2 ⇒ Coerente com a distribuição adotada.

ρ efetivo = As,efetivo / Ac = 20,0 / ( 18 * 45 ) = 2,47%

g)-Disposições construtivas:

-Bitola Longitudinal: 10,0 mm ≤ φ l ≤ 18 / 8 * 1010,0 mm ≤ φ l ≤ 22,5 mm ⇒ OK.

- Armadura Mínima: %4,0**15,0min,min ≥== ν ρ yd

cd

c

s

f

f

A

A

%376,0762,0*15,1/50

4,1/2*15,0

min,

min ===c

s

A

A ρ

ρ min = 0,4%

-Armadura Máxima: ρ max ≤ 8% (Inclusive no trespasse) ⇒ OK.

-Bitola do Estribo:⎩⎨⎧

==≥

mm

mm

l

t 0,44/0,164/

0,5

φ φ ⇒ φ t = 5,0 mm

-Espaçamentos dos Estribos:⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=≤

cm

cm Dimensão Menor

cm

s

l 2,1910/0,16*12*12

18

20

φ

⇒ s = 18,0 cm

-Espaçamento Mínimo entre Barras:⎪⎩

⎪⎨

⎧

==⇐==≥

cm

cm

cm

e

agregado

l

8,15,1*2,12,1

2,36,1*22

0,2

min

φ

φ


29/130



-Espaçamento Máximo entre Barras:⎩⎨⎧ ==

≤cm

cm Dimensão Menor e

40

3618*2*2max

-Ancoragem:

Da tabela D.1 : lb = 44φ = 70,4cm e α 1 = 1,0

min,

,

,

1, ** bef s

calcs

bnecb l A

All ≥=α

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥===

cm

cml

b

necb

10

10

3,0

642,640,20

24,18*4,70*0,1, φ

l

-Grampos: 20φ t = 20 * 5,0 / 10 = 10,0 cm ⇒ Usar um grampo.

h)-Detalhamento:

Figura 4.13 – Detalhamento do Pilar.


30/130



4.12 – Dimensionamento à flexão normal composta com o uso dosábacos de iteração:

4.12.1 – Equações de Equilíbrio:

Seja a seção da figura 4.14 solicitada pela ação conjunta dos esforços Md e Nd,resistidos pela área comprimida de concreto e pelas áreas comprimida e tracionada deaço. O equilíbrio de forças será dado por:

Figura 4.14 – Seção e Forças

Em geral, no dimensionamento, a geometria da seção é previamente estabelecida,ficando como incógnitas as variáveis As1, As2 e y , havendo somente duas equações deequilíbrio. Assim, o problema tem infinitas soluções. Para se ter a solução do problemauma dessas variáveis deve ser necessariamente arbitrada.

O assunto foi estudado por diversos autores, dos quais sugere-se Lauro Modestodos Santos e ou Péricles Brasiliense Fusco.

Para o curso em questão, serão adotados os ábacos de interação ou tabelas dedimensionamento, largamente utilizadas.

4.12.2 – Ábacos de Interação:

Uma maneira simplificada de se dimensionar seções solicitadas à flexão normalcomposta e flexão composta oblíqua, é através dos “ábacos de interação força normal –momento fletor”. Os ábacos são as linhas que unem os pares N, M que levam uma peçaa um Estado Limite Último para uma dada armadura e seção de concreto.

Eles dependem da distribuição da armadura na seção e são traçados, geralmente,em função dos adimensionais:

a)- Fv = 0

Nd = Rs1 + Rs2 + Rcc

onde: Rs1 = As1 * σsd1

Rs2 = As2 * σsd2Rcc = bw * y * 0.85 f cd

Nd = As1 * σsd1 + As2 * σsd2 +0.85 f cd * bw * y

b)- M A = 0

Nd * h/2 – Md = Rs1 * d´ + Rs2 * d +Rcc * y/2

Nd * h/2 – Md = As1 * σsd1 * d´ +As2 * σsd2 * d + 0,85 * f cd * bw * y * y/2

cd c

d

f A

N

*=ν

cd c

d

f h A

e N

**

*=μ

cd c

yd s

f A

f A

*

*=ϖ


31/130



Figura 4.15 – Ábacos de Interação ν x μ

No apêndice B são apresentados ábacos para diversas distribuições dearmaduras, como se verá.

4.12.3.1 – Exemplo1: Refazer o pilar do exemplo anterior, onde os valores dos esforçosfinais eram:

Nd = 882 KNMd,tot = 0,90 * 29,4 + 882 * 0,0198 = 43,9 KN*m

762,045*18*4,1/2

882*

===ccd

d

A f N ν

211,018*45*18*4,1/2

100*9,43

**===

h A f

M

ccd

d μ

15,0211,018

8.3´≅==

h

d (adotado)

Do ábaco B-2 (armaduras perpendiculares à direção do momento), obtêm-se:

ω = 0,55264,14

15,1/50

4,1/2*45*18*55,0

** cm

f

f A A

yd

cd c

s ===ω ⇒ 8φ 16.0mm = 16,0 cm2

Valor bem menor que o encontrado no exemplo anterior, quando comparado aovalor encontrado pelo processo simplificado da NBR-6118, onde se encontrou:

As,ef = 10φ16.0mm = 20,0 cm²


32/130



4.12.3.2 – Exemplo2 : Dimensionar e detalhar o pilar.


b) – Índices de esbeltez:

64,3425

12*25012*73,57

60

122*50012* 11 ======

y

ye

y

x

xe xh

Le

h

Lλ λ

c) – Parâmetro α b:

!85,09,02

1*2,08,0;85,0*2,08,0 OK

M

M bx

A

C

bx ⇒>=+=≥+= α α

d) – Cálculo de λ 1:

médio pilar

h

e

cmm N

M

e

x x

x

b

b

x

d

A

x

⇒>

=⇒≤≤=

=+

=+

=

====

1

11

1

1

1

9,38909,3835

5,299.0

60

40,7*5,1225*5,1225

4,7074,01890

140

λ λ

λ λ α

α λ

Dados:fck = 25 Mpa

Aço CA-50Cobrimento = 2,5 cm

a)– Esforços:

( )

( )

( )

( )

mKN M

M

h N M

mKN M

l H M

KN N

N N

xd

xd

d xd

xd

u f xd

d

k u f d

.37,62

6,0*03,0015,0*1890

*03,0015,0*

.1405*20*0,1*4,1

***

18901350*0,1*4,1

**

min,,1

min,,1

min,,1

,

,

=

+=

+=

==

=

==

=

γ γ

γ γ


33/130



e) – Efeitos de 2ª ordem:

( )

( )( )

( )

OK mKN mKN M

M

M e N M M

OK cmcme

cme

h

l

h

le

r simplifica pode A f

N

tot d

tot d

Ad d Ad btot d

x

x

ee

x

ccd

d

⇒≥=

+=

≥+=

⇒≤=

≤=+

=

≤+

=

⇒>===

.140.6,256

0691,0*1890140*9,0

**

!33,892,6

60

005,0*

10

500*292,6

60*5,0706,0

005,0*

10

500*2

005,0*

10*5,0

005,0*

10

)(7,0706,0

60*25*4,1

5,2

1890

*

,

,

,12,1,

2

22

2

22

2

α

ν

ν

f) – Ábacos:

705,0=ϑ

16,0

60*60*25*4,1

5,2

100*6,256

**===

h A f

Md

ccd

tot μ

( )!10,00633,060

8,3' Adotado

h

d ≅==

Do ábaco tem-se: 32,0≅

22 24161271,1915,1/50

4,1/5.2*60*25*32,0

** cmcm

f

f A A

yd

cd c

tot s =⇒=== φ ω

ρ efetivo = As,efetivo / Ac = 24 / ( 25 * 60 ) = 1,6%

g) – Para efeito comparativo, resolvendo o exemplo pelo processo simplificado doitem anterior, vem:

– Esforços Equivalentes:

Figura 4.18 – Cálculo de s

226,060*1890

100*60,256

*===

h N

M

h

e

sd

sd

( )( )

( )( )

( )

( )86,2

354,0

1

0633,0*8,01*01,039,0

1

'*8,0*01,039,0

1

114

14

1

1

==−+

=

−+=

=−−

=−

−=

x

x

s

x

v

h

s

h

d

n

n

β

α

β

α

Armadura simétrica nas quatro faces.

Figura 4.17 – Interação no Ábaco


34/130



mm A f N

A

KN h

e N N

sd

ccd eqsd

s

sd eqd

161289,1942

60*25*4,1

5,2*85,03112

**85,0

3112)226,0*86,21(*1890*1*

,

,

φ σ

β

≅=−

=−

=

=+=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

Valor muito próximo do obtido no item f)

h) –Disposições construtivas:

-Bitola Longitudinal: 10,0 mm ≤ φ l ≤ 25 / 8 * 1010,0 mm ≤ φ l ≤ 31,25 mm ⇒ OK.

- Armadura Mínima: %4,0**15,0min,min ≥== ν ρ yd

cd

c

s

f

f

A

A

%120,0706,0*15,1/50

4,1/5,2*

min,

min ==c

s

A

A

ρ ∴ ρ min = 0,4% ⇒ OK.

-Armadura Máxima: ρ max ≤ 8% (Inclusive no trespasse) ⇒ OK.


==≥

mm

mm

l

t 0,44/0,164/

0,5

φ φ ⇒ φ t = 5,0 mm

-Espaçamentos dos Estribos:⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=≤

cm

cm Dimensão Menor

cm

s

l 2,1910/16*12*12

25

20

φ

⇒ s = 19,20 cm

-Espaçamento Mínimo entre Barras:⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==≥

cm

cm

cm

e

agregado

l

8,15,1*2,12,1

2,36,1*42

0,2

min

φ

φ

-Espaçamento Máximo entre Barras:⎩⎨⎧ ==

≤cm

cm Dimensão Menor e

40

5025*2*2max

-Ancoragem: Da tabela D.1 do apêndice D: φ 38=bl e α 1 = 1,0

cmlb 8,606,1*38 ==

min,

,

,

1, ** bef s

calcs

bnecb l A

All ≥=α

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥≅==

cm

cml

b

necb

10

10

3,0

5093,490,24

71,19*8,60*0,1, φ

l

-Grampos: 20φ t = 20 * 5,0 / 10 = 10,0 cm ⇒ Usar grampos.


35/130



i)-Detalhamento:

Figura 4.19 – Detalhamento do Pilar

Obs: Adotou-se o arranque (ancoragem) do pilar com mesma quantidade emesma bitola que o pavimento dimensionado.

4.13 – Dimensionamento à flexão composta oblíqua:

4.13.1 – Equações de Equilíbrio:

Na flexão composta oblíqüa tem-se momentos nos 2 eixos principais, além daforça normal axial, conforme figura abaixo.

Figura 4.20 – Seção e excentricidades

d

xd x

N M e =

d

yd

y N

M e =


36/130



Neste caso, a linha neutra não é paralela aos eixos principais x e y, mas inclinada,ou seja:

Figura 4.21 – Flexão Composta Oblíqüa

As condições de equilíbrio podem ser escritas:

∫∫ ∑+= Accn

sid sicd d AdXdY N 1

σ σ

∫∫ ∑+== Accn

isid sicd xd xd X AdXdY X eF M

1

*** σ σ

∫∫ ∑+== Accn

isid sicd yd yd Y AdXdY Y eF M 1

*** σ σ

onde:

σsid = tensão em cada barra i que deve ser menor que f yd ;Xi, Yi = coordenadas de cada barra em relação ao centro de gravidade ;

Com essas equações pode-se construir ábacos de maneira semelhante aosábacos de Flexão normal composta. Eles dependem da distribuição da armadura na

seção e são traçados, geralmente, em função dos admensionais υ, μx, μy e ω. Para υ constante, traça-se várias curvas de ω.

Figura 4.22 – Ábacos υ x μx x μy

cd yc

yd

y f h A

e N

**

*=μ

cd c

yd s

f A

f A

*

*=ϖ

cd c

d

f A

N

*=ν

cd xc

xd x

f h A

e N

**

*=μ


37/130



4.13.2.1 – Exemplo 1: Dimensionar o pilar abaixo:

Figura 4.23 – Seção e Esforços

a)- Excentricidades:

cmm N

M e

d

dx

x 909,01000

90==== e cmm

N

M e

d

dy

y5,5055,0

1000

55====

b)- Parâmetros de entrada ábaco B.10 – Armadura igual nas 4 faces:

Figura 4.24 – Seção e Esforços do ábacoNo ábaco, se μa > μb ⇒ μ1 = μa = 0,15

μ2 = μb = 0,10

Para ν = 0,4 ⇒ ω = 0,35 e para ν = 0,6 ⇒ ω = 0,45

Interpolando-se para ν = 0,45 ⇒ ω = 0,375

A área de aço será :42

4,1/5,2*50*20*375,0

***

002

==−sd

cd

s

f ba A

σ ω

As = 15,94 cm2 ⇒ 8 φ 16,0 mm

c)-Para armadura perpendicular a altura a, ábaco B.12, vem:

Para ν = 0,4 ⇒ ω = 0,35 e para ν = 0,6 ⇒ ω = 0,45

Interpolando-se para ν = 0,45 ⇒ ω = 0,375

A área de aço será :42

4,1/5,2*50*20*375,0

***

002

==−sd

cd

s

f ba A

σ

ω

As = 15,94 cm2 ⇒ 8 φ 16,0 mm (mesma quantidade do item b)

f ck = 25 Mpa, Aço CA-50Cobrimento = 2,5 cm, d´/h = 0,10Nd = 800 KN = 80 tf

hx = 50 cmhy = 20 cmMdx = 90 KN*m = 9,0 tf*mMdy = 55 KN*m = 5,5 tf*m

45,04,1/5,2*50*20

800

**

10,04,1/5,2*20*50

100*90

**

15,04,1/5,2*50*20

100*55

**

22

22

===

===

===

cd

d

cd

b

b

cd

a

a

f ba

N

f ab

M

f ba

M

ν

μ

μ


38/130



4.13.2.2 – Exemplo 2: Dimensionar e detalhar o pilar P1 para uma carga normal correspondente a 20 andares mais 7% por conta do peso próprio do pilar.

Figura 4.25 – Seção e diagrama de Momento Fletor

KN76 pavimento1denormalCarga = 76*0,0776*20 N k +=

KN1626,4 Nk =

a)- Índices de esbeltez:

Direção “x” Direção “y”

8,3825

12*28012===

x

e

xh

lλ 4,19

50

12*28012===

y

e

yh

lλ

b)-Esforços:

4,1626*4,1*0,1 N*γ*γ N k f nd ==

KN2277 Nd =


KNm13,589,7*1,4M xA,1d, == KNm11,488,2*1,4M yA,1d, ==

KNm13,589,7*1,4M xB,1d, == KNm11,488,2*1,4M yB,1d, ==

)h*0,03(0,015*M xxmin,1d, += d N )h*0,03(0,015*M yymin,1d, += d N

)25,003,0*015,0(*2277M xmin,1d, += )5,003,0*015,0(*2277M ymin,1d, +=

KNm51,23M xmin,1d, = KNm68,31M ymin,1d, =

Dados:

f ck = 30 Mpa,Aço CA-50;

Mkx = 9,7 KNm;

Mky = 8,2 KNm;

Cob. = 2,5 cm;

Lex = Ley = 2,8 m.

a) - Seção b) – Diagrama de Momento Fletor


39/130



Logo:KN2277 Nd =

xmin,1d,xA,1d,xmin,1d,xA,1d, MMMMSe =⇔< ymin,1d,yA,1d,ymin,1d,yA,1d, MMMMSe =⇔<

KNm51,23MM xmin,1d,xA,1d, == KNm68,31MM ymin,1d,yA,1d, ==

c)-Cálculo de bα :

Para pilares bi-apoiados com momentos menores que o mínimo:

1,0αadotarMM bxxmin,1d,xA,1d, =⇒≤ 1,0αadotarMM byymin,1d,yA,1d, =⇒≤

1,0α bx = 1,0α by =

d)-Cálculo de 1λ :


2277

100*23,51

N

Me

d

xA,1d,

1x == 2277

100*31,68

N

Me

d

yA,1d,

1y ==

cm2,25e1x = cm3,0e1y =

cm25,0h x = cm50,0h y =

1,0

25

25,2*12,525

α

*12,525

λ bx

1

1x

+=

+

= x

x

h

e

1

50

0,3*12,525

α

*12,525

λ by

1

1y

+=

+

= y

y

h

e

26,12λ 1x = 75,25λ 1y =

9012,261

3590λ

α

351x

bx

≤≤⇔≤≤ 9075,251

3590λ

α

351y

by

≤≤⇔≤≤

35λ 1x = 35λ 1y =

ordem!2deEfeitos λ 1x °⇒> xλ ordem!2deefeitosDesprezarλ 1y °⇒≥ yλ

e)-Efeitos de 2º ordem (apenas na direção “x”):

85,050*25*4,1/0,3

2277

A*f

N

ccd

d ===ϑ

cm1,160,5)(0,85*25

0,005*

10

280

0,5)(*h

0,005*

10

Lexe

2

x

2

2x =+=

+=

ϑ

A1d,2dxA,1d, b,totald,Me* NM*αM ≥+=

x x

23,510116,0*227723,51*0,1M,totald,

>+= x

51,2377,64M,totald,

>= x

∴ KNm77,64M,totald, = x


40/130



f)-Parâmetros para entrada de dados no ábaco:

4,1/0,3*25*)50*25(

100*64,77

**x ==

cd xc

dx

f h A

M μ

( ) 4,1/0,3*50*50*25100*31,68

**y ==

cd yc

dy

f h A

M μ

116,0ax == μ 05,0 by ==

1ª Solução – Armaduras iguais nas 4 faces (Ábaco B.10, Apêndice B):

2ª Solução – Armaduras nas 2 faces maiores (Ábaco B.12, Apêndice B):

0,1625

4

b

d'δa === e 0,08

50

4

a

d'δ b ===

85,050*25*4,1/0,3

2277A*f

N

ccd

d ===ϑ

35,05,0

85,000,1

3,05,0

8,00,1

5,00,1

3,08,0

21

=⇒−−

=−−

⇒⎭⎬⎫

=⇒=

=⇒===⇒>

ω ω ω ϑ

ω ϑ

μ μ μ μ μ μ baba e

40,055,0

85,000,1

35,055,0

8,00,1

55,00,1

35,08,0

21

=⇒−

−=

−−

⇒⎭⎬⎫

=⇒=

=⇒=

==⇒>

ω ω ω ϑ

ω ϑ

μ baba e

Figura 4.26 - Geometria Figura 4.27 - Detalhamento


⎪⎩

⎪⎨⎧

=

←==

==

2

2

2

,

002,0

,

2,250.208

240.16123,22

42

4,13*50*25*35,0

*

cm

cmcm A

f A A

tot s

sd

cd c

tot s

φ

φ

σ ω

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==

==

2

2

2

,

002,0,

2,250.208

280.16145,25

42

4,13*50*25*40,0

*

cm

cmcm A

f A A

tot s

sd

cd c

tot s

φ

φ

σ ω


41/130



3ª Solução – Armaduras 3 vezes maior nas faces maiores (Ábaco B.14, Apêndice B):

Obs: O detalhamento adotado foi o referente ao ábaco B.10, com 0.1612φ .

g)-Disposições construtivas:

-Bitola Longitudinal:8

dimensãoMenormm10,0 l ≤≤ φ

OK. 8

250mm10,0 l ⇒≤≤ φ

-Armadura Mínima: 0,4%*f

f *0,15ρ

yd

cdmin ≥= ϑ

OK ⇒≥== 0,4%%63,085,0*15,1/504,1/0,3*0,15ρmin

-Armadura Máxima: OK. )!trespasseno(Inclusive%8ρmax ⇒≤

-Armadura efetiva:( )25*50

00,24ρ

,

ef ==c

ef s

A

A

OK. %84,392,1*2ρ :arranque No %92,1ρ ef ef ⇒==→=


==

⇐≥

mm4,04/16,04/

mm5,0

l

t φ φ

-Espaçamento dos estribos: cm19,0s

cm19,21,6*12*12

cm25DimensãoMenor

cm20

s

l

=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=≤

φ

-Espaçamento mínimo entre barras: ⇐⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

==≥

cm1,81,5*1,2*1,2

cm3,21,6*2*2

cm2,0

e

agregado

lmin

φ

φ

-Espaçamento Máximo entre barras:⎩⎨⎧

⇐

==≤

cm40

cm5025*2DimensãoMenor *2emax

-Grampos: cm100,5*2020t

==φ


40,055,0

85,000,1

35,055,0

8,00,1

55,00,1

35,08,0

21

=⇒−

−=

−

−⇒

⎭⎬⎫

=⇒=

=⇒=

==⇒>

ω ω ω ϑ

ω ϑ

μ baba e

{ 22,002,0

,

54,245.112205,25

42

4,13*50*25*40,0

*

cmcm A

f A A

tot s

sd

cd ctot s

==

==

φ

σ ω


42/130



-Ancoragem:

Da tabela D.1 : lb = 34 φ = 54,4 cm e α 1 = 1,0

min b,

ef s,

calcs,

b1nec b, lA

A*l*αl ≥=

cm5059,0524,00

22,32*54,4*1,0l nec b, ===

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

==

≥

cm10

cm16,01,6*10*10

cm16,3254,4*0,3l*0,3 b

φ

h)-Detalhamento final:

Figura 4.32 – Detalhamento do Pilar.


43/130



4.14 – Bibliografia:


[ 2 ] – Guimarães, Gilson Natal. Aposti la de Estruturas de Concreto Armado.Universidade Federal de Goiás, 2003.

[ 3 ] – SANTOS, Lauro Modesto dos. Cálculo de Concreto Armado. Vol. 2, EditoraLMS Ltda. São Paulo,1981.

[ 4 ] – FUSCO, Péricles Brasiliense. Estruturas de Concreto; sol icitações normais;estados limites últimos. Editora Guanabara Dois. Rio de Janeiro, 1986.

[ 5 ] – Exemplo de um Projeto Completo de um Edifício de Concreto Armado .USP. São Paulo, 2001.

1N = 0,1 kgf 1 MPa = 1 MN/m² = 10 kgf/cm²1 kN = 100 kgf = 0,1 tf 1 kN/m = 100 kgf/m = 0,1 tf/m1 kN.m = 100 kgf.m = 0,1 tf.m 1 kN/m² = 100 kgf/m² = 0,1 tf/m²1 kN.cm = 100 kgf.cm = 0,1 tf.cm 1 kN/m³ = 100 kgf/m³ = 0,1 tf/m³

1 MPa = 0,1 kN/cm² = 100 N/cm²


44/130

TORÇÃO _ ______ V - 1


5 - TORÇÃO

5.1 – Torção Pura (Item 17.5.1):

As condições fixadas pela NBR-6118-2004 pressupõem um modelo resistenteconstituído por treliça espacial, definida a partir de um elemento estrutural de seçãovazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar.

As diagonais de compressão dessa treliça, formada por elementos de concreto,

têm inclinação que pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo 30° ≤ θ ≤ 45°.

5.1.1 – Torção de Equilíbrio e Torção de Compatibilidade (Item 17.5.1.1):

Figura 5.1 – Torção de Equilíbrio

Já para a grelha duplamente simétrica da figura 5.2, apresentam-se osdiagramas solicitantes (fletor e torçor) traçados para duas situações de inércia(elevada e tão pequena que se admite nula) à torção das barras biengastadas, e umarigidez a flexão constante.

Figura 5.2 – Torção de Compatibil idade

5.1.2 – Armadura Mínima (Item 17.5.1.1):

Sempre que a torção for necessária ao equilíbrio do elemento estrutural, deveexistir armadura destinada a resistir aos esforços de tração oriundos da torção. Essa

armadura deve ser constituída por estribos verticais normais ao eixo do elementoestrutural e barras longitudinais distribuídas ao longo do perímetro da seção resistente,

Para a grelha da figura 5.1, isostática,seja quais forem as inércias à flexão etorção de suas barras, atuará o momentotorçor Td = Pd * a, sendo obrigatória a suaconsideração no dimensionamento. Trata-se, portanto, de torção de equilíbrio.


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TORÇÃO _ ______ V - 2


calculada de acordo com as prescrições desta seção e com taxa geométrica mínimadada pela expressão:

Quando a torção não for necessária ao equilíbrio, caso da torção de

compatibilidade é possível desprezá-la, desde que o elemento estrutural tenha aadequada capacidade de adaptação plástica e que todos os outros esforços sejamcalculados sem considerar os efeitos por ela provocados. Para garantir um nívelrazoável de capacidade de adaptação plástica deve-se respeitar a armadura mínima detorção e a força cortante limitada, tal que: Vd ≤ 0,7 VRd2.

5.1.3 – Seção Vazada Equivalente (Item 17.5.1.3.1):

No caso de torção, trabalha-se com seções como se fossem vazadas,desprezando-se a função resistente de seu núcleo. Isto se deve ao fato teórico de omaior percentual da torção ser combatido e absorvido na periferia da seção e além

disto, a armação de combate à torção ser disposta na periferia da seção. A seção vazada equivalente se define a partir da seção cheia com espessura da

parede equivalente he dada por:

he ≤ A/μ

he ≥ 2 c1 onde: A é a área da seção cheia;

é o perímetro da seção cheia;

c1 é a distância entre o eixo da armadura longitudinal do canto e a face lateral doelemento estrutural.

A figura 5.3 ilustra a seção vazada de área Ae e de perímetro u.

Figura 5.3 – Seção Ideal Equivalente

ywk

ctm

w

sw

sws f

f

sb

A2,0≥== ρ ρ

l


46/130

TORÇÃO _ ______ V - 3


5.1.4 – Verificação da Compressão Diagonal do Concreto (Item 17.5.1.4):

A resistência decorrente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtidapor:

Td ≤ TRd2

TRd2 = 0,50 av f cd Ae he sen 2 θ sendo:

v = 1 - f ck / 250, com f ck em megapascal.

onde:

θ é o ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo30° ≤ θ ≤ 45°;

Ae é a área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ouequivalente, incluindo a parte vazada;

he é a espessura equivalente da parede da seção vazada, real ouequivalente, no ponto considerado.

5.1.5 – Dimensionamento das armaduras (Item 17.5.1.5):

Devem ser consideradas efetivas as armaduras contidas na área correspondenteà parede equivalente, quando:

a)- a resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento estrutural atendeà expressão:

θ g f A

Td

s

A

ywd e

s

cot***2

90, =

onde:f ywd é a resistência de cálculo do aço, limitada a 435 MPa.

b)- a resistência decorrente das armaduras longitudinais atende à expressão:

θ tg f A

Td

u

A

ywd e

sl

***2=

onde:

Asl é a soma das áreas das seções das barras longitudinais;u é o perímetro de Ae.

A armadura longitudinal de torção de área total Asl pode ter arranjo distribuído ou

concentrado, mantendo-se obrigatoriamente constante a relação ∆ Asl /∆u, onde ∆u é o

trecho de perímetro, da seção efetiva, correspondente a cada barra ou feixe de barras

de área ∆ Asl.

Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção, deve ser colocadapelo menos uma barra longitudinal.

5.1.6 – Disposições Construt ivas das Armaduras de Torção (Item 18.3.4):

Consideram-se efetivos na resistência os ramos dos estribos e as armaduras

longitudinais contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente.


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TORÇÃO _ ______ V - 4


5.1.6.1 – Estribos:

Os estribos para torção devem ser fechados em todo o seu contorno, envolvendoas barras das armaduras longitudinais de tração, e com as extremidadesadequadamente ancoradas por meio de ganchos em ângulo de 45º.

a)- Bitolas dos Estribos:

φt ≥ 5,0 mmφt ≥ 4,2 mm ( para tela soldada )

φt ≤ bw / 10φt ≤ 12 mm ( barra lisa )

b)- Espaçamento Mínimo entre Estribos:

smin ≥ passagem do vibrador

c)- Espaçamento Máximo entre Estribos:

Se 267,0 Rd d V V ≤ , então cmd smáx 306,0 ≤= ;

Se 267,0 Rd d V V > , então cmd smáx 203,0 ≤= .

entre ramos sucessivos da armadura constituída por estribos:

Se2

20,0 Rd d

V V ≤ , então cmd smáxt

80,

≤= ;

Se 220,0 Rd d V V > , então cmd s máxt 356,0, ≤= .

5.1.6.1 – Armadura Longitudinal:

a)- Bitola Mínima: φl ≥ φt.

b)- Número Mínimo de Barras: As seções poligonais devem conter, em cada vértice dosestribos de torção, pelo menos uma barra.

c)- Espaçamentos entre Barras Longitudinais:

As barras longitudinais da armadura de torção podem ter arranjo distribuído ouconcentrado ao longo do perímetro interno dos estribos, espaçadas no máximo de35cm.

d)- Armadura de Pele:

A mínima armadura lateral deve ser almac A ,%10,0 em cada face da alma da viga e

composta por barras de alta aderência ( )25,21 ≥η com espaçamento não maior que d/3e 20 cm.

Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm pode ser dispensada a utilização da

armadura de pele.


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TORÇÃO _ ______ V - 5


5.1.7 – Exemplo: Dimensionar e detalhar a armação de combate ao momento torçorcujo valor de cálculo é de Td = 170 KN * m, para uma seção retangular de bw = 60 cm eh = 80 cm, com concreto f ck = 25 MPa, Aço CA 50 e CA 60 e cobrimento lateral de 2,5cm.

a)- Seção Ideal Equivalente:

A área e o perímetro da seção cheia será: A = bw * h = 60 * 80 = 4800 cm

2

= 2 * ( bw + h ) = 2 * ( 60 + 80 ) = 280 cm

Adotando-se, inicialmente, l = 10,0 mm e t = 8,0 mm, vem:

c 1 = cobrimento + l / 2 + t = 2,5 + 0,8 + 0,5 = 3,8 cm

A espessura fictícia da parede é adotada igual a:

he = A / ≤ 4800 / 280 = 17,14 cm

he ≥ 2 * c 1 ⇒ OK.

A área e o perímetro da seção equivalente:bs = bw – he = 60 – 17,14 = 42,86 cmhs = h – he = 80 – 17,14 = 62,86 cm

Ae = bs * hs = 42,86 * 62,86 = 2694,18 cm2

u = 2 * ( bs + hs ) = 2 * ( 42,86 + 62,86 ) = 211,44 cm

b)- Verificação do Concreto:

Adotando-se θ = 45˚, vem:

αv = 1 - f ck / 250 = 1 – 25 / 250 = 0,9

T Rd2 = 0,50 v f cd Ae he sen 2 θ = 0,50 * 0,9 * 2,5 / 1,4 * 2694,18 * 17,14 * sen 90 ̊

T Rd2 = 371 KN * m

T Rd2 ≥ T d ⇒ OK.

c)- Dimensionamento dos Estribos:

o45cot15,1/50*18,2694*2

100*170cot***2

90,

gg f A

Td

s

A

ywd e

s ==θ

=== mcmcmcms

As

/25,7/0725,0 2290,

φ 10,0 c/11 = 7,27 cm2 /m

d)- Dimensionamento da Armadura Longitudinal:

o

45*15,1/50*18,2694*2

100*170

***2 tgtg f A

Td

u

A

ywd e

sl ==θ


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TORÇÃO _ ______ V - 6


cmcmu

Asl /0725,0 2=

Asl = 0,0725 * 211,44 = 15,34 cm2 ⇒ 14 φ 12,5 = 17,5 cm2

e)- Disposições Construtivas:

φt ≥ 5,0 mmφt ≤ bw / 10 = 60 /10 = 60,0 mm

φl ≥ φt.Número Mínimo de Barras: 4 barras.Espaçamentos entre Barras Longitudinais ≤ 35 cm. Armadura de Pele:

As,Face = 0,10% Ac,Alma para face > 60 cm.

As,Face = 0,10 / 100 * 60 * 80 = 4,8 cm2

⎩⎨⎧ ==

≤cm

cmd e

long20

3,253/763/

f)- Detalhamento da Seção:

Figura 5.4 – Detalhamento da Seção


50/130

TORÇÃO _ ______ V - 7


5.2 – Torção Combinada com Flexão (Item 17.7):

5.2.1- Dimensionamento:

Nos elementos estruturais submetidos a torção e a flexão simples ou composta, asverificações podem ser efetuadas separadamente para a torção e para as solicitações

normais, somando-se os resultados.

5.2.2- Verificação do Concreto:

Na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de

inclinação das bielas de concreto θ coincidentes para os dois esforços.

A resistência à compressão diagonal do concreto deve ser satisfeita atendendo àexpressão:

122

≤+ Rd

d

Rd

d

T

T

V

V

onde :Vd e Td são os esforços de cálculo que agem concomitantemente na seção;TRd2 é calculado conforme item 5.1.4;

VRd2 = 0,27 αv f cd bw d ( para θ = 45° )sendo: αv = 1 - f ck/250 e f ck em megapascal.

5.2.3- Exemplo: Refazer o exemplo anterior, supondo-se que, além da atuação de Td =170 KN * m, ocorra um esforço cortante Vd = 580 KN (valor máximo) e do momento

fletor Md = 660 KN * m, comprimindo as fibras superiores.

Adotando-se d = 80 – 4 = 76 cm, vem:

a)- Verificação do Concreto:

α v = 1 - f ck /250 = 1 – 25/250 = 0,9

V Rd2 = 0,27 αv f cd bw d = 0,27 * 0,9 * 2,5/1,4 * 60 * 76 = 1978,7 KN

1

22

≤+ Rd

d

Rd

d

T

T

V

V ⇒ 175,0

371

170

7,1978

580≤=+ ⇒ OK

b)- Dimensionamento da armadura de flexão:

25,566000

76*60* 22

===d

w

c M

d bK ⇒ tabela A.3 ⇒ Ks= 0,025

27,2176

66000*025,0* cm

d

M K A d

ss===

A armadura mínima longitudinal para vigas retangulares é dada por:

Da tabela A.4, tem-se ρmin = 0,15% e,


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TORÇÃO _ ______ V - 8


AS,Min = ρmin * Ac = 0,0015 * 60 * 80 = 7,2 cm2 ⇒ OK.

Para vigas com h ≥ 60 cm a armadura de pele deve ser no mínimo igual a 0,10% Ac,Alma em cada face, ou seja :

As,Alma = 0,0010*60*80 = 4,8cm2, satisfeita para menor face com 4φ12,5 = 5,0 cm2.

c)- Dimensionamento dos estribos de flexão:

MPa fck f ctm 56,225*3,0*3,03 23 2 ===

f ctk,inf = 0,7 * f ctm = 1,79 Mpa

f ctd = f ctk,inf / γ c = 1,79 / 1,4 = 1,28 Mpa

Adotando-se °= 90α (estribo vertical)

Vc = Vc0 = 0,6 * f ctd * bw * d = 0,6 * 0,128 * 60 * 76 = 350,21 KN

cmcmsen f d

V V

s

A

ywd

cd sw /0773,015,1/50*76*9,0

)21,350580(

)cos(***9,0

)( 2=−

=+

−=

α α

com MPa f ywd 435≤

mcms

Asw /73,7 2=

A armadura mínima devida a força cortante é dada por:

ywk

wctmsw

f

b f

s

A **2,0min, ≥

mcmcmcms

Asw/14,6/0614,0

500

60*56,2*2,0 22min, === ⇒ OK


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TORÇÃO _ ______ V - 9


d)- Armaduras Longitudinais Finais:

Somam-se as armaduras correspondentes, ou seja:

Torção = 4 φ 12,5 = 5,0 cm2 (na região da tração da flexão)Flexão = 21,7 cm2

Total = 26,5 cm2 ⇒ Tabela A.1 ⇒ 9 φ 20,0 mm = 28,35 cm2

Figura 5.5 – Armação para combate de Torção + Flexão

e)- Armaduras Transversais Finais (estribos):

Armadura devida à Torção que deve ser resistida por cada perna de estribo.

mcmcmcms

As/25,7/0725,0 22

90, ==

Armadura devido ao cortante que deve ser dividida pelo número de pernas dosestribos:

mcms

Asw /73,7 2=

Adotando-se um estribo interno de combate ao cortante - φ 8,0 c/15, obtém-separa as duas pernas, área de 2 x 3,33 cm

2/m = 6,66 cm

2/m. Resta ainda uma área de

(7,73 – 6,66 ) / 2 = 0,535 cm2/m a ser acrescido a um estribo externo. Assim, a área do estribo externo será 7,25 cm

2/m (devido a torção) + 0,535 cm

2/m

(restante do cortante), ou seja, 7,8 cm2/m que resulta no estribo - φ 10,0 c/ 10 = 8

cm2/m.

O espaçamento máximo admitido para Vd > 0,67 VRd2 é de 0,3 * d = 0,3 * 76 = 22,8cm e menor que 20cm, plenamente satisfeito.


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TORÇÃO _ ______ V - 10


Figura 5.6 – Armação para combate de Torção + Cortante

f)- Detalhamento Final:

Figura 5.7 – Detalhamento Final


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TORÇÃO _ ______ V - 11




[ 2 ] – Süssekind, José Carlos. Curso de Concreto, Vol. II. Editora Globo. Rio deJaneiro, 1984.

1N = 0,1 kgf 1 MPa = 1 MN/m² = 10 kgf/cm²

1 kN = 100 kgf = 0,1 tf 1 kN/m = 100 kgf/m = 0,1 tf/m

1 kN.m = 100 kgf.m = 0,1 tf.m 1 kN/m² = 100 kgf/m² = 0,1 tf/m²

1 kN.cm = 100 kgf.cm = 0,1 tf.cm 1 kN/m³ = 100 kgf/m³ = 0,1 tf/m³

1 MPa = 0,1 kN/cm² = 100 N/cm²


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ESCADAS _ VI - 1



6 - ESCADAS

6.1 – Limitações Geométricas:

A figura 6.1 indica o corte e a planta genéricos de uma escada composta de doispatamares e um lance de escada. São feitas algumas observações para a boafuncionalidade das escadas, que são:

Figura 6.1 – Limitações Geométricas

- A altura ae dos espelhos deve variar de 16 a 19 cm;

- O comprimento ad dos degraus deve variar de 29 a 30 cm; - A relação entre os espelhos e os degraus deve ser: 2*ae + ad = 61 a 65 cm;

- O ângulo de inclinação α do lance deve variar de 30° a 33°;- Quando n > 19, é conveniente criar um patamar intermediário com comprimento

maior ou igual a 80 cm; - A largura da escada deve ser, geralmente, de 80 cm e 120 cm em edifícios de

apartamentos, de hotéis e escritórios.


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ESCADAS _ VI - 2



6.2 – Carregamento das Escadas:

Os principais carregamentos a serem considerados no cálculo das escadas são:

a)- Peso Próprio;b)- Peso de Revestimentos;c)- Cargas Acidentais ou Sobrecargas ( NBR 6120:1980 );d)- Cargas de Peitoril;e)- Cargas Localizadas.

6.2.1- Peso Próprio:

O peso próprio inclui a laje inclinada e os degraus que são considerados comoum enchimento de altura variável. Adota-se, então, uma altura média, ou seja:

Figura 6.2 – Altura Média

6.2.2- Revestimento:

Os revestimentos mais utilizados são as cerâmicas, as pedras, madeiras e etc. Opeso desses revestimentos varia conforme sua espessura e seu peso específico. Paraas cerâmicas pode-se adotar uma carga de 1,0 KN/m2 e para as pedras uma carga de

1,5 KN/m2.

6.2.3- Carga Acidental:

A carga acidental é determinada segundo a NBR – 6120 e deve ser tomada comodistribuída na área de projeção horizontal da escada, podendo-se adotar os seguintesvalores:

- Escadas secundárias ................................................... 2,0 a 2,5 KN/m2- Escadas de edifícios residenciais................................. 2,5 a 3,0 KN/m

2

- Escadas de edifícios públicos....................................... 4,0 a 5,0 KN/m2

hm = h1 + ae/2

2

22

e

d

d e

m

a

a

aahh +

+=

qpp = hm * γc

γc = 25 KN/m3

qpp é uma carga distribuída na áreada escada.


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ESCADAS _ VI - 3



6.2.4- Carga de Peitoril :

Segundo a NBR-6120, ao longo dos parapeitos e balcões, devem serconsideradas uma carga horizontal de 0,8 KN/m e uma carga vertical mínima de 2,0KN/m. Este carregamento pode ser exagerado para escadas com corrimão leve, por

exemplo, metálico, sem parede.

6.2.5- Cargas Localizadas:

Quando uma escada for constituída por degraus isolados, estes devem sercalculados para suportarem uma carga concentrada de 2,5 KN, aplicada na posiçãomais desfavorável. Este carregamento não deve ser considerado na composição decargas das vigas que suportam os degraus.

6.3 – Classificação das Escadas:

As escadas podem ser divididas em quatro grupos principais que são:

a)-Escadas em laje armada longitudinalmente;b)-Escadas em laje armada transversalmente;c)-Escadas em laje armada em cruz;d)-Escadas com degraus isolados.

6.3.1- Escadas em laje armadas longitudinalmente:

O cálculo estático é feito como se a laje fosse uma viga inclinada de largura igualà largura da escada, e de vão (L) na horizontal igual à distância horizontal entre oseixos dos apoios. Na figura 6.3 são ap

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