Apostila de Calculo I

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UNIMAR – UNIVERSIDADE DE MARÍLIA FACULDADE DE ENGENHARIA ARQUITETURA E TECNOLOGIA NOTAS DE AULA PARA ACOMPANHAR A DISCIPLINA CÁLCULO I PROFª. Drª. FÁTIMA AHMAD RABAH ABIDO

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Apostila de Calculo I

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UNIMAR UNIVERSIDADE DE MARLIA

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UNIMAR UNIVERSIDADE DE MARLIA

FACULDADE DE ENGENHARIA

ARQUITETURA E TECNOLOGIA

NOTAS DE AULA PARA ACOMPANHAR A

DISCIPLINA CLCULO I

PROF. Dr. FTIMA AHMAD RABAH ABIDOMarlia - SP

1 Semestre / 2011EMENTA

Matemtica Elementar

Limite e Continuidade

Derivada

OBJETIVO

Raciocinar lgica e organizadamente;

Aplicar com clareza e segurana os conhecimentos adquiridos;

O aluno dever ser capaz de construir grficos de funes reais de uma varivel real, calcular limites e derivadas;

Utilizar estes conhecimentos em outras situaes que surgiro a longo de sua atividade acadmica.

BIBLIOGRAFIA

BOULOS, Paulo. Pr-Clculo. Makron Books - SP 1999.

COELHO, Flvio. Curso bsico de Clculo. So Paulo: Saraiva, 2005.

EDWARDS, Jr.,C. & Penney,D. Clculo com Geometria Analtica. Vol. 1 Rio de Janeiro LTC Editora, 1999.

FLEMMING, Diva Marlia - Clculo A - Makron Books - SP 1999.

HOFFMANN, Laurence. Clculo - Vol. 1 LTC, 1990.LEITHOLD. Louis - O Clculo com Geometria Analtica Vol.1 Ed. Harper & Row do Brasil Ltda-SP

SILVA, Sebastio Medeiros. Matemtica bsica para cursos superiores. So Paulo: Atlas, 2001.

SIMMONS, George. Clculo com Geometria Analtica. Vol.1 So Paulo Mcgraw-Hill 1987.

SWOKOWSHI. Clculo com geometria analtica. So Paulo: Editora Makron Books.

REVISO

1. Conjuntos Numricos

1.1 Nmeros Naturais

1.2 Nmeros Inteiros1.3 Nmeros Racionais1.4 Nmeros Irracionais1.5 Nmeros Reais2. Nmeros reais resumo operacional2.1 Clculo do valor de expresses numricas

2.2 Potenciao

2.2.1 Potncia de expoente inteiro

2.2.2 Potncia de expoente racional

2.3 Racionalizao

3. Valor numrico de expresses algbricas

4. Operaes com expresses algbricas

4.1 Adio, Subtrao, Multiplicao e Diviso de expresses Literais

4.2 Produtos Notveis4.3 Fatorao

4.4 Simplificao

4.5 Identidades envolvendo Diviso de Polinmio por Polinmio

5. Equaes do 1 grau

6. Inequaes do 1 grau

7. Equaes do 2 grau

7.1 Equaes incompletas

7.2 Equaes completas

8. Sinal do trinmio do 2 grau

9. Inequaes do 2 grau

10. Funes

10.1 Definio

10.2 Domnio, Imagem e Contradomnio

10.3 Tipos de Funes

10.3.1 Funo Constante

10.3.1.1 Grfico de uma Funo Constante

10.3.2 Funo do 1 Grau

10.3.2.1 Grfico de uma Funo do 1 Grau

10.3.3 Funo do 2 Grau

10.3.3.1 Grfico de uma Funo do 2 Grau

10.3.3.2 Zeros da Funo do 2 Grau

10.3.3.3 Vrtice da Parbola

10.3.3.4 Coordenadas do Vrtice

10.3.4 Funo Modular

10.3.5 Funo Exponencial

10.3.6 Funo Logartmica

10.3.7 Funes Trigonomtricas

10.3.8 Funes Trigonomtricas Inversa

1. Conjuntos Numricos

1.1 Nmeros Naturais

Os nmeros naturais surgiram de uma necessidade do ser humano em fiscalizar os seus bens. Os smbolos que representam os nmeros naturais so chamados de algarismos.

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Nmeros Inteiros

Os nmeros inteiros so todos os nmeros naturais e tambm os seus opostos.

Z = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

1.2 Nmeros Racionais

Os nmeros racionais so aqueles que podem ser obtidos como quociente de dois nmeros inteiros.

Q = {p/q , onde p, q ( Z e q ( 0}

1.3 Nmeros Irracionais

Os nmeros irracionais so aqueles que no podem ser obtidos como o quociente de dois nmeros inteiros.

Exemplo: So nmeros irracionais:

( ( 3,1415929...

( 1,4142135...

( 1,7320508...

e ( 2,7182818...

1.4 Nmeros Reais

O conjunto dos nmeros reais definido como a unio entre os conjuntos dos nmeros irracionais e racionais.

OBSERVAO - Mdulo de um Nmero

O mdulo, ou valor absoluto, de um nmero real qualquer a distncia deste nmero origem (zero). O mdulo de um nmero real x pode ser definido tambm por:

Exemplos

(a) (b)

2. Nmeros Reais Resumo Operacional

2.1 Clculo do valor de expresses numricas

2.1.1 Ordem de operao

(1) Potenciao e Radiciao;

(2) Multiplicao e Diviso; e

(3) Adio e Subtrao

Seguindo a ordem de operao da esquerda para direita, e sempre eliminando primeiro parnteses ( ); depois colchetes [ ] e finalmente as chaves { }.

OBS (Nmeros Racionais):

- Adio e Subtrao: Achar o mmc (divide o mmc encontrado pelo denominador e o resultado, multiplicar pelo numerador);

Ex:

- Multiplicao: multiplicar numerador com numerador, e denominador com denominador;Ex:

- Diviso: mantm a primeira frao e multiplica pelo inverso da segunda.

Ex:

Exerccios

Calcular o valor das seguintes expresses numricas dando a resposta na forma de frao e decimal.

Respostas

1) 12) 33) 14) 4145) 0,23

2.2 Potenciao

2.2.1 Potncia de expoente inteiro

Seja a um nmero real e m e n inteiros positivos. Ento:

1) a n = a. a. a. .a ( n vezes) 5) a m ( a n = a m - n

2) a 0 = 1 6) (a m ) n = a m.n

3) a - n = 1/ a n, a ( 0 7) (a / b) m = a m / b m, b ( 0

4) a m . a n = a m + n8) (a . b) n = a m . b m, b ( 0

Exerccios

Calcular o valor das expresses:

1) 5 2 2) (-3) 3 3) (-3) 2 4) -3 2 5) 5 0

6) (2 3) 2 7) ((-1) 3) 2 8) - (-1) 4 9) 10) 11) 12) 13)

14) 15)

RESPOSTAS

1) 252) - 273) 94) - 95) 16) 647) 18) -19) 27/64

10) 4/911) 812) 3213) 114) 1069/152115) 3/5

2.2.2 Potncia de expoente racional

Se a um nmero real qualquer e m e n so inteiros positivos, definimos:

a) quando existe; b) se a ( 0,

OBSERVAES IMPORTANTES:

- = p ( p n = a, onde

- Se n par e a negativo: an positiva, no real (ex: ( no existe raiz real)- Se n mpar e a negativo: an negativo, negativa (ex: )

Exemplos

Exerccios

4) 5)

6)

Respostas

1) 62) - 43) 94) 5/25) 26) 1

2.3 Racionalizao

Racionalizar uma frao consiste em eliminar, atravs de operaes algbricas, o radical ou os radicais do denominador.

Existem trs casos:

(1)

(2)

(3)

Exerccios

1. Racionalize:

(a) (b) (c) (d)

2. Efetue o produto: .

3. Simplifique: .

Respostas

1 . (a)

(c)

(b)

(d)

2.

3. 4

3. Valor numrico de expresses algbricas

Exerccios

Em cada uma das expresses seguintes, substituir x pelo valor dado e calcular o valor da correspondente expresso numrica.

1) y = x 2 2x + 2; x = - 2 ; x = 2

2) y = x 2 2x + 2; x = 3/5 ; a = 2/3 e b = 4/5Respostas

1) y = 102) y = 29/253) y = - 624) y = 22/7

4. Operaes com expresses algbricas

4.1 Adio, Subtrao, Multiplicao e Diviso de expresses literais.

Exerccios

1) Efetuar as operaes indicadas em cada um dos casos seguintes:

a) (3a - 2b + c ) - (- 6a b 2c) + (2a + 3b - c ) d)

b) a b.(2a + ab b)

c) f) 2x3y4 : (4xy3)-2

2) Efetue as operaes indicadas, em que a.b.x.y ( 0:

Respostas

1 a) 11a + 2b + 2c c) e) 3xy2)

b) 2a4b + ab -ab d) f) 32x7y10

4.2 Produtos Notveis

So produtos que aparecem com muita freqncia na resoluo de equaes ou no desenvolvimento de expresses.

Vejam alguns casos:(1) (a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + 2ab + b2 ( Trinmio do Quadrado Perfeito de uma Soma

(2) (a - b)2 = (a - b).(a - b) a2 - 2ab + b2 ( Trinmio do Quadrado Perfeito de uma Diferena

(3) (a + b).(a - b) = a2 - b2 ( Diferena de dois Quadrados

Exerccios

1) (x + 2)2 3) (x 1/2)2 5) (3 + x) (3 x) 7)

2) (7x - 1)2 4) 6) (2x2 3) (2x2 + 3) 8)

Respostas

1) x2 + 4x + 4 3) x2 - x + 1/4 5) 9 x27) x 25

2) 49x2 - 14x + 1 4) 6) 4x4 98) 1

4.3 Fatorao (Expresses Algbricas)

(1) ax + bx = x. (a + b) ( Fator Comum

(2) ax + bx + ay + by = x.(a + b) + y.(a + b) = (a + b). (x + y) ( Agrupamento

(3) x + Sx + P = (x + a).(x + b) ( Trinmio do 2 Grau onde S e P representam, respectivamente a soma e o produto de nmeros a e b, ou seja S = a + b e P = a.b

Exerccios : Fatore.1) 2x + 4y 5) 27x4 3y2 9) 4x2 - 4xy + y2

2) 6x + 12xz 10x4a 6) x2 + 2x + 1 10) x2 + 7x + 12 3) ax a 3x + 3 7) x2 - 8x + 16 11) x2 - 6x + 8 4) 125x2 5 8) 9x4 30x2 + 25 12) x2 + 2x - 8 Respostas

1) 2(x + 2y)

4) 5 (5x 1) (5x + 1) 7) (x - 4)210) (x + 3) (x + 4)

2) 2x.(3 + 6xz 5xa) 5) 3 (3x2 y) (3x2 + y) 8) (3x2 5)2 11) (x 2) (x - 4)

3) (x 1).(a - 3) 6) (x + 1)2 9) (2x y)2 12) (x 2) (x + 4)

4.4 Simplificao

Exerccios : Simplifique. 1) 4) 7)

2) 5) 8)

3) 6) 9)

RESPOSTAS

1)

4)

7)

2)

5) 8) - 2

3)

6) 9)

EXERCCIO EXTRA - Encontre o valor de x, onde A, B, C, E, M, O, e T so constantes:

4.5 Identidades envolvendo Diviso de Polinmio por Polinmio

Antes de iniciarmos a diviso de um polinmio por outro polinmio, daremos algumas dicas importantes:

1) O polinmio dividendo deve ser colocado na forma geral e em ordem decrescente em relao varivel, antes de iniciar a diviso.

2) O grau do polinmio dividendo dever ser maior ou igual ao grau do divisor.

3) A diviso termina quando o resto for zero (diviso exata), ou quando o resto apresentar grau menor que o grau do divisor.

LEMBRETE:

Relao fundamental da diviso

Dividendo (divisor ( Dividendo = quociente x divisor + resto

resto quociente

Exemplo: 13 ( 4 ( 13 = (3 x 4) + 1

1 3

Vamos mostrar, com exemplos, como se determina o quociente de um polinmio por outro.

Observe a seqncia utilizada para dividir o polinmio (34x 5 + 6x 3 - 24x2) pelo polinmio (2x 4).

1 Passo Escrevemos o polinmio dividendo na ordem decrescente dos graus da varivel:6x 3 - 24x 2 + 34x 5 ( 2x 4

2 Passo Dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor, obtendo, assim, o primeiro termo do quociente:

6x 3 - 24x 2 + 34x 5 ( 2x 4 6x 3 : 2x = 3x2 3x23 Passo Multiplicamos o primeiro termo do quociente (3x2) pelo divisor (2x 4 ) e subtramos esse produto do dividendo, obtendo, assim, o primeiro resto: 6x 3 - 24x 2 + 34x 5 ( 2x 4 3x2. (2x 4) = 6x 3 - 12x2 - 6x 3 + 12x 2 3x2 - 12x 2 + 34x 5

4 Passo Dividimos, agora, o primeiro termo do resto (- 12x 2 ) pelo primeiro termo do divisor (2x), obtendo, com isso, o segundo termo do quociente:

6x 3 - 24x 2 + 34x 5 ( 2x 4 (12x 2 ): (2x) = - 6x - 6x 3 + 12x 2 3x2 6x

- 12x 2 + 34x 5

5 Passo Multiplicamos o segundo termo do quociente (- 6x) pelo polinmio divisor (2x 4 ) e subtramos esse produto do primeiro resto, obtendo, dessa forma, o segundo resto: 6x 3 - 24x 2 + 34x 5 ( 2x 4 (- 6x) . (2x 4) = - 12x 2 - 24x - 6x 3 + 12x 2 3x2 6x

- 12x 2 + 34x 5

12x 2 - 24x .

10x 5

6 Passo Dividimos, agora, o segundo resto pelo divisor, procedendo da mesma maneira utilizada no 4 e 5 passos: 6x 3 - 24x 2 + 34x 5 ( 2x 4 (10x) : (2x) = 5 - 6x 3 + 12x 2 3x2 6x + 5

- 12x 2 + 34x 5

12x 2 - 24x .

10x - 5

- 10x + 20

15

O processo vai se repetindo at que o grau do resto seja menor do divisor, ou esse resto seja zero, e a a diviso exata.

No caso do nosso exemplo, o resto 15 ( grau zero (15x0), como o divisor 2x 4 tem grau um (2x1 4), temos grau do resto < grau de divisor e, com isso, encerramos a diviso:

Resposta: Quociente (q) = 3x2 6x + 5 e Resto (r) = 15

A relao fundamental da diviso utilizada para verificar se a diviso est correta.

D = q . d + r

No exemplo estudado, temos:

6x 3 - 24x 2 + 34x 5 = (3x2 6x + 5) . (2x 4) + 15.

O processo de diviso exposto fica mais simples quando o divisor da forma (x a). Nesse caso, usa-se um dispositivo prtico, conhecido como dispositivo de Briot-Ruffini, que apresentamos atravs de um exemplo. Para dividir (x + 2x4 3x2 3) por (x 3), dispomos o dividendo em soma de parcelas de potncias decrescentes de x, e dispomos as expresses como

na diviso de nmeros, s que agora s escrevemos os coeficientes (os nmeros que multiplicam as potncias de x). No caso, o dividendo se escreve (2x4 + 0x3 3x2 + x 3), os coeficientes sendo 2, 0, - 3, 1 e 3. Dispomos os nmeros como segue:

2 0 - 3 1 - 3 ( 3

A seguir, baixamos o primeiro coeficiente, 2, isto , escrevemos 2 abaixo do 2. Da multiplicamos esse nmero pelo nmero na chave da diviso, isto , 3: 2.3 = 6. O nmero obtido somado ao segundo coeficiente do dividendo: 6 + 0 = 0, e o resultado escrito abaixo desse segundo coeficiente.

( 2.3 + 0 = 6 ____________________ ( (2 0 - 3 1 - 3 ( 3 2 6 ( ( __________________( 2.3 (

Agora, repetimos o procedimento, comeando pelo 6. Multiplicamos 6 pelo nmero da chave 3, e somamos com 3, obtendo 15, o qual colocamos abaixo do prximo coeficiente do dividendo, isto , abaixo do 3:

( 6.3 + (-3) = 15

_______________ ( (2 0 - 3 1 - 3 ( 3 2 6 15 ( (_______________( 6.3 (

De novo: multiplicamos 15 por 3 e somamos com o coeficiente seguinte 1, para obter 46, que colocamos abaixo desse coeficiente. ( 15.3 + 1 = 46

___________ ( (2 0 - 3 1 - 3 ( 3 2 6 15 46 ( (____________( 15.3 (

Finalmente, a ltima etapa: multiplicamos 46 por 3 e somamos com 3, obtendo 135, que deve ser colocado abaixo do 3. O nmero 135 o resto. Veja como fica o dispositivo:

2 0 - 3 1 - 3 ( 3 2 6 15 46 135

( ( ( ( ( quociente: 2x 3 + 6x 2 + 15x + 46 resto

O quociente obtido atravs dos nmeros da segunda linha, exceto o ltimo, 135, que o resto. Deve-se comear com uma potncia a menos que a do dividendo. Ento o quociente , conforme indicado acima, 2x 3 + 6x 2 + 15x + 46. Portanto,

2x4 3x2 + x 3 = (x 3).(2x 3 + 6x 2 + 15x + 46) + 135

ou, se x ( 3,

2x4 3x2 + x 3 = (2x 3 + 6x 2 + 15x + 46) + 135

x 3 x - 3

Exerccios

Usando o dispositivo prtico, descubra o quociente e o resto de cada diviso:

a) (x 5 1) por (x 1) e) (x 5 - 5x 3 + 5x + 1) por (x2 + 3x + 1)

b) (2x 3 + 3x 2 - 3x 2) por (x 1) f) (x 3 - x 2 + 5x + 6) por (x + 3)c) (x 4 + x 2 + 1) por (x 1) g) (2 x 4 - 3x 3 + 16x 2 + 6x - 40) por (4x - 8)d) (2x 3 - 9x2 - 3x + 1) por (x - 5x + 1) h) (x 3 - x 2 + 4x - 6) por (x - x + 3)Respostas

a) q = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1e r = 0e) q = x 3 - 3x 2 + 3x - 1e r = 2

b) q = 2x2 + 5x + 2 e r = 0f) q = x2 - 4x + 17 e r = - 45

c) q = x2 + 2 e r = 3g) q = x 2 - x + 5 e r = 0

d) q = 2x + 1 e r = 0

h) q = x e r = x - 6

5. Equaes do 1 grau

toda equao do tipo ax + b = 0, com a ( IR* e b ( IR. Para determinar o conjunto soluo (S) de uma equao do 1 grau, procedemos assim:Forma Geral: ax = - b, onde a ( 0

Soluo: x = - b / a , ou seja, S =

Exemplos: Resolva as equaes.1) (x + 1).(x - 1) 2.(x 1) = (x 1) - 3.(x + 1), para U = IR.Soluo:(x + 1).(x - 1) 2.(x 1) = (x 1) - 3.(x + 1) ( x - 1 2x + 2 = x - 2x + 1 3x - 3 ( 3x = 1 3 + 1 - 2 3x = 3

x = 3/3 ou seja, x = - 1 Como -1( IR, ento S = { - 1}.2) , para U = IR.

Soluo:

( mmc(4,3,12) = 12

( 3.(x - 1) 4.(2x 1) = x

( 3x - 3 8x + 4 = x ( 3x 8x - x = 3 4

( - 6x = 1 ( x = 1/- 6 ou seja, x = 1/6 Como 1/6 ( IR, ento S = { 1/6}.

3) , para U = IR - {- 3, 3}.

Soluo:

Determinando o mmc dos denominadores, temos,

x - 9 = (x + 3).(x 3)

x - 6x + 9 = (x 3)2x - 18 = 2.(x 9) = 2. (x + 3).(x 3)

mmc(x - 9, x - 6x + 9, 2x - 18)

Assim:

( 10.(x - 3) 8.(x + 3) = 3.(x-3)

( 10x - 30 8x - 24 = 3x - 9 ( 10x 8x 3x = 24 9 + 30 ( - x = 45 ou seja, x = - 45 Como -45 ( IR - {- 3, 3}, ento S = { - 45}.Exerccios

1) Resolver cada uma das equaes seguintes:

a) 5(3x 1) 4.(2 4x) = 2.(x 4) b) 2x + x.(x + 2) (x + 3).(x 3) = 2.(x + 1)

c) d) , (x ( - 1 e x ( 0)2) Um txi inicia uma corrida marcando R$ 4,00 no taxmetro. Sabendo que cada quilmetro rodado custa R$ 3,00 e que o total da corrida ficou em R$ 52,00, calcule quantos quilmetros foram percorridos.

3) Determine o nmero cujo dobro subtrado de 20 unidades igual sua metade adicionada de 10 unidades.4) Determine as dimenses de um retngulo, sabendo que seu permetro mede 90 m e que a medida de um lado o dobro da medida do outro.Respostas

1) a) 5/29b) 7/2c) 1/16d) 6/52) 16km 3) 20

4) 15 e 30

6. Inequao do 1 grau

Chama-se de inequao do 1 grau a toda sentena aberta do tipo ax + b > 0 ou ax + b ( 0 ou ax + b < 0 ou ax + b ( 0, onde a ( IR* e b( IR.

Exemplos

1) 2x 4 > 0 ( 2x > 4 ( x > 4/2 ( x > 2, ou seja, S = {x( IR (x > 2}2) - 5x - 10 ( 0 ( - 5x ( 10 ( 5x ( - 10 ( x ( - 2, ou seja, S = {x( IR ( x ( - 2}Exerccios

Resolver as inequaes seguintes:

1) 3x 6 < 0 3)

2) x + 3 ( x + 3 4)

Respostas

1) {x( IR (x < 2}2) {x( IR (x ( 0}3) {x( IR (x > 2}4) {x( IR (x < 1}

7. Equaes do 2 grau

toda equao do tipo ax2 + bx + c = 0, com a ( IR*, b( IR e c ( IR.As razes (solues) desta equao so obtidas a partir da frmula

, com ( =

Conforme o valor do , tm-se as seguintes possibilidades quanto natureza das razes da equao ax2 + bx + c = 0:

( > 0 ( Existem duas razes reais e que so distintas.

( = 0 ( Existem duas razes reais e que so iguais.

( < 0 ( Existem duas razes que so imaginrias.

Observaes:

As equaes incompletas que so da forma

ax2 + bx = 0podem ser resolvidas por fatorao.

As equaes incompletas que so da forma

ax2 + c = 0podem ser resolvidas isolando-se o x.

Propriedades das Razes

Soma das Razes (

Produto das Razes (

Equao a partir das Razes (

Teorema da Decomposio (

Exemplos

1) 4x2 - 10x = 0 ( x.(4x 10) = 0 ( ( (

2) 4x2 - 16 = 0 ( 4x2 = 16 ( x2 = 16 / 4 ( x2 = 4 ( x = ( x = ( 2

3) x2 - 7x + 12 = 0

( ( = (

4) (

(

x 4 = x + 3 (x - 9) ( x 4 = x + 3 x + 9 x = 3 + 9 + 4

x = 16, ou seja, x = ( 4.

Como esses valores pertencem ao conjunto dos nmeros reais e no anulam o denominador, S = { - 4, 4}.Exerccios: 1) Resolva as seguintes equaes do 2 grau:

a) x2 + 2x - 3 = 0 c) 5x2 + 4x + 1 = 0 e)

b) (x + 1)2 = 2.(x + 1) d) 8x2 x =0 f)

2) A rea de um tringulo igual a 24 cm. Sabendo que as medidas da base e da altura desse tringulo so respectivamente nmeros pares consecutivos, determine seus valores.Respostas

1) a. {-3, 1} c. { } = (e. { } = (

2) base = 6 cm

altura = 8 cm

b. {-1, 1}d. {0, 1/8}f. x = 1/2; x = 6/5

8. Sinal do trinmio do 2 grau

y = ax2 + bx + c Se ( > 0, a equao tem duas razes reais distintas.

Se ( = 0, a equao tem duas razes reais e iguais.

Se ( < 0, a equao no tem razes reais.

Exemplos

1) y = x2 - 7x + 12

( = 1 ( x = (

Como a > 0 temos:

+ ( ( ( +

3 4 x

2) y = - x2 + 7x - 10

( = 9 ( x = (

Como a < 0 temos:

- ( + ( -

2 5 x

3) y = 4x2

( = 0 ( sinal (y) = sinal (a) para todo x ( 0.

Como a > 0 temos:

+ ( +

0 x

4) y = x2 + x + 1

( = - 3 ( sinal (y) = sinal (A)

Como a > 0 temos:

+ + + + + + + + + +

x

Exerccios

Estude o sinal das seguintes equaes:

1) y = x2 5x + 6 3) y = 9x2

2) y = - x2 + 6x - 9 4) y = 5 x2 + 1

9. Inequaes do 2 grau

Chama-se inequao do 2 grau a toda sentena aberta do tipo ax2 + bx + c > 0 ou ax2 + bx + c ( 0, ou ax2 + bx + c < 0 ou ax2 + bx + c ( 0, com a ( IR* e b( IR e c( IR.

Resolver, em IR, uma inequao do 2 grau do tipo ax2 + bx + c > 0 (a ( 0) determinar o conjunto de todos os valores da varivel x para os quais o grfico de f(x) = ax2 + bx + c se encontra acima do eixo x.

Resolva as seguintes inequaes do 2 grau:

1) x2 5x + 6 ( 0 3) x2 16 > 0

2) x2 - 2x - 15 ( 0 4) x2 < 2x 1

Respostas

1. S = { x ( IR / 2 ( x ( 3} 2. S = { x ( IR / x ( - 3 ou x ( 5}

3. S = { x ( IR / x < - 4 ou x > 4} 4. S = { } = vazio

10. Funes

10.1 Definio

Dados dois conjuntos A e B, chama-se funo f: A ( B a toda relao na qual, para todo elemento de A, existe um nico correspondente em B.

f : A ( B

x ( y = f (x)

10.2 Domnio, Imagem e Contradomnio

Sendo a funo f: A ( B, o conjunto B chamado de contradomnio da funo f, e o conjunto formado pelos elementos de B, que esto relacionados atravs de f com elementos do conjunto A, chamado conjunto imagem.

Exemplos f

A ( B

f: A ( B

Domnio: D(f) = A = {-1, -2, 1, 2, 3}

Imagem: Im(f) = {0, -1, -2, 3, 4}

Contradomnio: CD(f) = B = {0, -1, -2, 3, 4, 5, 8}

Exemplo: Seja D(f) = IR. A correspondncia x ( x2 + 4 define em IR a funo f tal que f(x) = x2 + 4. Assim,

f (- 1) = (- 1)2 + 4 = 5; f(0) = (0)2 + 4 = 4; f(2) = (2)2 + 4 = 8.

Exerccios

1) Sendo f(x) = - x2 + 3x 2 definida de IR em IR determine:

a) f(0) b) f(2) c) f(-1) d) f(2/3) e) f()

2) Dada a funo f de IR em IR definida por f(x) = x3 x, determine f(2) + f(-2).

Respostas

1) a) - 2 b) 0 c) - 6 d) - 4/9 e) - 4 + 3

2) 0

10.3 Tipos de Funes

10.3.1 Funo ConstanteUma funo f: IR ( IR denominada de funo constante quando definida por uma sentena do tipo y = f(x) = k, onde k um nmero real.

Exemplo : f(x) = 3

10.3.1.1 Grfico de uma Funo ConstanteO grfico de uma funo constante, y = f(x) = k, ser uma reta paralela ao eixo das abscissas, ou seja,

y

k f(x) = k

x

10.3.2 Funo do 1 GrauFuno do 1 grau, ou funo afim, aquela que associa a todo nmero real x, um outro real y, tal que y = f(x) = ax + b, onde a, b ( IR (a ( 0).Exemplo : f(x) = 2x 5

10.3.2.1 Grfico de uma Funo do 1 Grau

O grfico de uma funo do 1 grau uma reta no paralela ao eixo das abscissas.

Graficamente, existem duas situaes a considerar:

1 Caso: Funo Crescente (a > 0) y

f(x) = ax + b

x

2 Caso: Funo Decrescente (a < 0) y

f(x) = ax + b

x

Exemplo:

f(x) = 2x 7 (a = 2 > 0: crescente)

f(x) = - 4x + 1 (a = - 4 < 0: decrescente)10.3.3 Funo do 2 GrauUma funo f: IR ( IR denominada de funo do 2 grau ou funo quadrtica, quando associada a todo nmero real x, um outro nmero real y, tal que y = f(x) = ax2 + bx + c onde a, b e c ( IR (a ( 0).Exemplo : f(x) = 7x2 4x 1

10.3.3.1 Grfico de uma Funo do 2 Grau

O grfico de uma funo do 2 grau uma parbola no plano cartesiano.

Graficamente, existem duas situaes a considerar:

1 Caso: a > 0 (Concavidade voltada para cima)

y

f(x) = ax2 + bx + c

x

Exemplo: f(x) = 2x2 + 7x 6

2 Caso: a < 0 (Concavidade voltada para baixo) y

f(x) = ax2 + bx + c

x

Exemplo: f(x) = - x2 + 7x 5

10.3.3.2 Zeros da Funo do 2 Grau

So os valores da varivel x para os quais a funo se anula, ou seja, f(x) = ax2 + bx + c = 0.

Graficamente so os pontos de interseco da parbola com o eixo das abscissas.

Observao: A interseco da parbola de equao y = ax2 + bx + c com o eixo das ordenadas o ponto de coordenadas (0, c).

10.3.3.3 Vrtice da Parbola

o ponto externo de uma funo do 2 grau da forma y = f(x) = ax2 + bx + c.

Se a concavidade voltada para cima, o vrtice representa um ponto de mnimo da funo.

Se a concavidade voltada para baixo, o vrtice representa um ponto de mximo da funo.

10.3.3.4 Coordenadas do Vrtice

As coordenadas do vrtice da parbola obtidas atravs da funo do 2 grau y = ax2 + bx + c (xv , yv ), ondexv = - b / 2a e yv = - ( / 4a (

Exemplo: y = f(x) = - 2x2 + 6x 1xv = - b / 2a ( xv = - 6 / 2.(- 2) ( xv = - 6 / - 4 ( xv = 3 / 2

e

yv = - ( / 4a ( yv = - (b2 4ac) / 4a ( yv = - [62 4.(- 2). (- 1)]/ 4. (- 2) ( yv = 7 /2 (

Observao:

O yv pode ser calculado a partir do valor do xv , ou seja, yv = f (xv ).

10.3.4 Funo Modular

A funo f definida em IR e dada por y = recebe o nome de funo valor absoluto ou funo mdulo. Considerando que

resulta que o grfico de y = formado por duas semi-retas que partem da origem, conforme a figura seguinte.

y

x

Exerccios

Representar graficamente as seguintes funes:

a) y = 3 b) y = 3x + 1 c) y = - 3x + 2

d) y = e) y = f) y = x2 - 2x + 1

g) y = - x2 + 6x 8 h) y = - 2x3 + 4, x ( [0,2] i) y = (x - 1(j) y = k) y =

10.3.5 Funo Exponencial

A toda funo do tipo f(x) = ax ( a > 0, a ( 1) chamamos de funo exponencial.Observao:

O grfico de uma funo exponencial crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.

y y

1 1

x x

a > 1 0 < a < 1.

10.3.6 Funo Logartmica

A toda funo logartmica, definida de IR*+ em IR dada por:

f(x) = log a x, a > 0 e a ( 1 ( af (x) = x.

Observaes:

1) A funo logartmica , portanto, a inversa da funo exponencial.

2) Listemos as propriedades bsicas do logaritmo:

Sendo a > 0, b > 0 e b ( 1, c > 0 e ((IR, ento:

P1) log b (a . c) = log b a + log b c P4) log b a = log c a / log c b (c ( 1)

P2) log b (a / c) = log b a - log b c P5) b logba = aP3) log b (a() = (.log b a

3) O grfico crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.

y y

1 1

x x

a > 1 0 < a < 1.

10.3.7 Funes Trigonomtricas

Definio 1: Denominamos de circunferncia trigonomtrica a circunferncia de centro na origem do plano cartesiano, de raio unitrio e cujos arcos tm origem no ponto A(1, 0), com sentido anti-horrio positivo.

y

A(1,0)

x

Definio 2: Considere na circunferncia trigonomtrica um arco de medida x, com origem em A e extremamente em P. Ento, por definio:

a) seno de x a ordenada do ponto P

b) cosseno de x a abscissa do ponto P

c) tangente de x a ordenada do ponto T, interseco da reta OP com o eixo tangente circunferncia pelo ponto A.

y

T

P

A

x

Definio 3: Definimos as principais funes trigonomtricas da seguinte forma:

a) Funo seno: f : IR ( IR, f(x) = senx

b) Funo cosseno: f : IR ( IR, f(x) = cosx

c) Funo tangente: f : IR {(/2 + h(, h ( Z} ( IR, f(x) = tgx

As outras funes trigonomtricas so definidas pelas relaes

, ,

Exerccio Usando a calculadora cientfica, calcule:

a) sen 90 d) cos 90 e) tg 45

b) sen 0e) cos 60f) tg 0

c) sen 270f) cos 120g) tg 60

Respostas

a) 1d) 0g) 1

b) 0e) 0,5 h) 0

10.3.8 Funes Trigonomtricas Inversas

Definio: Define-se:

a) Funo Arco-seno: f : [-1,1] ( [- (/2, (/2 ], f(x) = arc senx

b) Funo Arco-cosseno: f : [-1,1] ( [ 0, ( ], f(x) = arc cosx

c) Funo Arco-tangente: f : IR( [- (/2, (/2 ], f(x) = arctgx

Exerccio

Usando a calculadora cientfica, calcule:

a) arc sen 1 d) arc cos 0 h) arc tg 1

b) arc sen 0e) arc cos (1/2)i) arc tg 0

c) arc sen ( - 1)f) arc cos ( - 1/2)j) arc tg (3

Respostas

a) x = 90d) x = 90g) x = 45

b) x = 0e) x = 60h) x = 0

c) x = - 90 ou x = 270f) x = 120 ou x = 240 i) x = 60

FINAL DA REVISO!

11. Introduo Diferenciao

11.1 Introduo

Enquanto os tpicos de lgebra, trigonometria e geometria so de importncia fundamental para o matemtico e o tcnico, uma grande variedade de problemas tcnicos no pode ser resolvida utilizando apenas estes conceitos de matemtica. Muitos problemas podem ser resolvidos utilizando apenas mtodos do clculo. A partir do sculo dezessete, os cientistas sentiram a necessidade de novas tcnicas matemticas. Queriam estudar o movimento de projteis, o movimento da lua e dos planetas e o movimento da luz. Cientistas, como Isaac Newton, comearam a desenvolver um novo ramo da Matemtica para resolver os problemas que envolviam movimento. Este novo ramo da Matemtica tornou-se conhecido como o clculo. Atualmente, o clculo originou um grande desenvolvimento da Matemtica. Enquanto o clculo comeou com o estudo do movimento, a sua utilidade pode atualmente ser observada em muitas variedades de reas tcnicas.

11.2 O Problema do Movimento

Resumidamente, o problema do movimento pode ser encarado como o problema da determinao da velocidade e direo de um objeto mvel no espao, num dado instante. Voc est familiarizado com a determinao da velocidade mdia de um objeto em movimento. Por exemplo, se numa viagem voc dirigir 150km em 3 horas (h), ento, dividindo 150km por 3 h determina que dirigiu em mdia 50km/h. Isto no lhe indica exatamente distncia percorrida 1 h e 32 minutos (min) aps ter comeado a viagem. Voc pode ter parado num sinal de trnsito ou pode ter viajado a 55km/h.

Na tentativa de resolver matematicamente este problema, suponhamos que podemos descrever a distncia percorrida por um objeto como uma funo do tempo. Isto , em cada ponto no tempo t podemos associar um nmero s representando a distncia percorrida pelo objeto. Por exemplo, s = 2t + 1 uma funo que descreve o movimento de um objeto que se move ao longo de uma reta em termos do tempo t. Se t for medido em segundos (seg) e s em metros (m), ento aps 2 seg, o objeto est em s = 2. 2 + 1 = 5 m ao longo da linha de movimento. Trs segundos mais tarde, t = 2 + 3, o objeto moveu-se de s = 2 (2 + 3) + 1 = 2.5 + 1 = 11 m ao longo da linha de movimento.

t = 2 t = 5 0 5 11 x

A velocidade mdia vmd de um objeto em movimento a razo entre a distncia percorrida por um objeto e o tempo gasto para percorrer essa distncia. No exemplo anterior, a distncia percorrida pelo objeto 11m - 5m = 6m. Percorreu esta distncia em 3 seg. A velocidade mdia ao longo deste perodo de tempo , ento,

.

Neste ponto vantajoso introduzir um novo smbolo matemtico. Quando quisermos indicar uma variao entre dois valores de uma varivel utilizaremos a letra grega (. Nesta seo (t (ler delta t) representa a variao em tempo t e (s (leia delta s) representa a variao em distncia s. No exemplo anterior, (t = 3 seg. Est a variao em tempo necessrio para o objeto ir de 5m a 11m ao longo da linha de movimento. A variao em distncia para este intervalo de tempo (t = 3 seg (s = 11m 5m = 6m. Utilizando esta notao podemos escrever agora

.

Relembrar da lgebra que uma funo um conjunto de pares ordenados, dois dos quais no tem o mesmo primeiro elemento. Isto agora til para introduzir uma notao especial, chamada notao funcional, para representar uma relao funcional. Por exemplo, a funo y = x2 + 3 escrita f(x) = x2 + 3 usando a notao funcional. O smbolo f(x), ler f de x, utilizado para representar o nmero y que corresponde a um nmero x na relao funcional dada. Isto , f(x) = y ou, como neste caso, f(x) = x2 + 3. A tabela embaixo apresenta f(x) para vrios valores de x.

xf(x) = x2 + 3

- 3f (- 3) = (-3)2 + 3 = 12

0f (0) = (0)2 + 3 = 3

1f (1) = (1)2 + 3 = 4

2f (2) = (2)2 + 3 = 7

hf (h) = (h)2 + 3 = h2 + 3

3tf (3t) = (3t)2 + 3 = 9t2 + 3

1 + (xf (1 + (x) = (1 + (x)2 + 3 = 1 + 2(x + ((x)2 + 3 = 4 + 2(x + ((x)2

A utilizao do smbolo f(x) til j que podemos utilizar f(x) para representar o nmero correspondente a x na relao funcional sem ter de determinar exatamente o nmero, como foi feito na tabela anterior. Por exemplo, f(3) representa o nmero correspondente a x = 3 sem nenhuma relao funcional dada. Por esta razo, f(x) muitas vezes chamado o valor da funo em x.

Exemplo 1. Escrever em notao funcional que relaciona cada nmero x com seu cubo menos 2.

A relao y = x3 2. Utilizando o smbolo f para representar esta funo, escrevemos:

f (x) = x3 2.Exemplo 2. Determinar o valor da funo f(x) = x3 2 para x = - 2 e para x = 2 + (x.

f(- 2) = (- 2)3 2 = - 8 2 = - 10

e

f(2 + (x.) = (2 + (x)3 2 = (2)3 + 3. (2)2.(x + 3.2. ((x )2 + ((x )3 - 2

= 8 + 12.(x + 6. ((x )2 + ((x )3 - 2

= 6 + 12.(x + 6. ((x )2 + ((x )3

Exemplo 3. Calcular a funo g(x) =para x =3.

g(3) =.

Exemplo 4. Calcular a funo f(x) = x2 5 para x = h + 2.

f(h + 2) = (h + 2)2 5

= (h)2 + 2. h.2 + (2)2 5

= h2 + 4.h + 4 5

= h2 + 4h 1

No primeiro exemplo consideramos um objeto movendo-se ao longo de uma linha reta de acordo com a funo s = 2t + 1. Podemos agora escrever isto em notao funcional: s(t) = 2t + 1.

Relembramos que (s a variao na distncia s e (t a variao no tempo t. Ento, utilizando nossa notao funcional,

(s = s(2 + (t) s(2)

= s(2 + 3) s(2)

= s(5) s(2)

= [ 2.5 + 1] [ 2.2 + 1]

= 11 5

= 6m.

Portanto, a velocidade mdia durante este perodo de tempo

como determinamos anteriormente.

Em geral, a distncia percorrida por um objeto do tempo t ao tempo t + (t dada em notao funcional por

(s = s(t + (t) s(t).

A velocidade mdia deste objeto ao longo da variao em tempo (t ento

.

Exemplo 5. Dado que s = t 2 1 descreve o movimento de um objeto movendo-se ao longo de uma reta, onde s medido em ps; (a) determinar (s e vmd ; (b) determinar v md aps 3 seg de viagem; e (c) determinar v md de 4 seg de viagem at 7 seg de viagem.

(a)

(s = s(t + (t) s(t)

= [(t + (t)2 1] - (t2 1)

= [t2 + 2.t.((t) + ((t)2 1] - t2 + 1

= t2 + 2.t.((t) + ((t)2 1 - t2 + 1

= 2.t.((t) + ((t)2

(b) (t = 3 seg, assim de (a) temos:

(c) O tempo no qual comeamos a medir a distncia percorrida (s t = 4s. Portanto,

(t = 7 4 = 3 seg.

De (a) temos

Voc deve agora verificar que este o mesmo nmero que obteramos calculando:

Do exemplo 5 vemos que para calcular v md = ((s/(t) precisamos saber o tempo t no qual comeamos a medir a velocidade v md assim como a variao em tempo (t. Notar que ambos, t e (t, podem tomar valores negativos. Se considerarmos (t = -1, ento s(t + (-1)) representa a posio do objeto 1 segundo antes de alcanar a posio s(t).

Notar tambm que a utilizao da notao funcional, como a do prprio conceito de funo, sero largamente, enfatizadas na matria em questo. O desenvolvimento do clculo depende amplamente deste conceito.

11.3 Velocidade Instantnea

Podemos agora comear a resolver o problema da determinao das velocidades instantneas. Considerar o movimento de um objeto movendo-se ao longo de uma linha reta e descrita por s(t) = 3t2 + 1, com s medido em ps. Tentaremos agora determinar a velocidade instantnea exatamente aps 2 seg de percurso.

Portanto, por exemplo, com uma variao em tempo = 4 seg, a velocidade mdia 12 + 3. (4) = 24 ps/ seg. Faamos agora uma tabela de vmd para diferentes valores de :

v md

4,024,0

2,018,0

1,015,0

0,513,5

0,112,3

0,00112,003

- 0,00111,997

- 0,510,5

- 2,06,0

Por esta tabela podemos observar que, quanto mais (t se aproxima de 0, mais perto v md est de 12 ps/seg. medida que diminuirmos o intervalo de tempo deveremos esperar que a velocidade mdia se aproxime mais da velocidade instantnea do objeto em 2 seg. Isto , v md = 12,3 ps/seg aps 0,1 seg de percurso (aps a referncia de 2 seg) uma melhor aproximao, ento v md = 24,0 ps/seg aps 4 seg de percurso (aps a referncia de 2 seg). Observando esta tabela somos ento levados a acreditar que a velocidade instantnea no tempo t = 2 seg deve ser 12 ps/seg. Este o processo que usaremos para resolver o problema do movimento.

Para determinar a velocidade instantnea de um objeto em movimento num dado tempo t:

1. Determinar

onde s(t) descreve o movimento do objeto como uma funo do tempo.

2. Observar a que nmero se houver algum, se aproxima v md em valor quando os valores de (t se aproximam de 0 (zero). Se voc for capaz de determinar tal nmero, poder chamar-lhe a velocidade instantnea v.

Exemplo 1. Determinar a velocidade instantnea de um objeto que se move de acordo com

s(t) = 5t2 4 com t = 3 seg.Passo 1.

Passo 2. Vemos que medida que (t se aproxima (fica perto) de 0, v md se aproxima de 30.

Conclumos que

v = 30 ps/ seg.

Nota: Tenta-se, para simplificar, substituir (t = 0 por v md. Isto seria uma tentativa para calcular uma velocidade mdia durante uma variao de tempo de 0 seg. Isto nos d o intervalo de tempo nulo durante o qual podemos fazer a mdia! Seramos tentados a dividir por zero, o que indefinido.

Como no Exemplo 1, devemos encontrar uma maneira para simplificar a expresso de vmd para que (t no permanea no denominador. S ento podemos comear a ver a qual nmero v md tende quando (t tende para 0.

Exemplo 2. Determinar v em t = 2 quando s(t) = 1/ t.Passo 1.

Passo 2. medida que (t tende para 0, v md tende para 1/ 4. Assim v = - 1/ 4.

11.4 Limite

O processo que desenvolvemos para resolver o problema do movimento foi considerado como sendo de grande utilidade em outras aplicaes. tcnica utilizada foi dado o nome de o processo limite.Dada qualquer funo, podemos observar se os valores funcionais tendem para algum nmero quando o valor da varivel tende para um nmero especfico.

Exemplo 1. Consideremos f (x) = x2 3x + 2. Para que nmero se houver algum, tende f (x) quando x tende para 1?

Como x2 tende para (-1)2 = 1 quando x tende para 1 e 3x tende para (- 3) . (- 1) = 3 quando x tende para 1, conclumos que f (x) = x2 3x + 2 tende para 1 + 3 + 2 = 6 quando x tende para 1.

Os matemticos utilizam smbolos para descrever este processo limite mais resumidamente. O smbolo ( significa tender; portanto, x tende para 1. Dever escrever-se x ( - 1.

Se f(x) ( L quando x ( a, ento L chamado o limite da funo quando x ( a. Este processo escrito como

e l-se o limite de f de x quando x tende para a igual a L. A expresso no Exemplo 1 deveria ser escrita .

O limite descreve o comportamento de uma funo perto de um ponto, no no ponto.

Exemplo 2. Determinar

Quando x ( 3, o denominador tende para 0. No podemos dividir por zero. No entanto,

No processo limite no estamos preocupados com o que acontece quando x = 3, mas apenas o que acontece quando x ( 3. Quando x ( 3, x + 3 ( 6. Portanto

Notar que no Exemplo 2 podemos ainda perguntar qual o limite de f(x) = quando x ( 3 mesmo que a funo no seja definida para x = 3. No entanto, veremos agora que nem sempre existem limites.

Exemplo 3. Determinar

Como no podemos obter um nmero real quando calculamos a raiz quadrada de um nmero negativo, a funo no pode ser calculada para x inferior a 5. impossvel ento observar os valores de quando x toma valores perto de 0 (porque a quantidade x 5 ser negativa).

Conclumos que no existe.

Algumas vezes uma funo tende para um limitado nmero L quando x ( (; isto , a funo tende para L quando x no tem limite.

Exemplo 4. Determinar

Como o denominador x ( (, a funo (1/x) tende para 0. Portanto,

Exemplo 5. Determinar

Como x ( (, tanto o numerador como o denominador tende separadamente para (. No entanto, se dividirmos o numerador e o denominador pela maior potncia de x no denominador, x2, teremos

Nota:

.

OBS: A determinao da velocidade instantnea uma aplicao do processo limite.

Exemplo 6. Determinar a velocidade instantnea v para t = 3 quando s(t) = t - 7.

Podemos considerar a velocidade mdia vmd como funo de (t:

Portanto,

= 6.

NOTA:

1. ) Avalie o comportamento da funo nas proximidades de trs.

Note que esta funo tem um comportamento diferente em torno do ponto x = 3. Para descobrir o que acontece neste ponto, consideramos valores para x cada vez mais prximos de trs, mas, menores que trs ou a sua esquerda e tambm valores de x cada vez mais prximos de trs, mas maiores que trs ou a sua direita, como exibido na tabela abaixo.

Valores menores que 3 ou a esquerda de 3 Valores maiores que 3 ou a direita de 3

Valores

de x0122,92,992,9993,0013,013,1456

Valores

de f(x)1233,93,993,9996,0016,016,1789

A tabela mostra que quando x se aproxima de trs pela esquerda, mas no assume o valor trs, a funo se aproxima de 4. Afirmamos, ento, que se x tende a trs pela esquerda a funo tende para 4. Ou ainda, que o limite da funo 4 quando x tende a trs pela esquerda.

Quando x se aproxima de trs pela direta, mas no assume o valor trs, a funo se aproxima de 6. Afirmamos, ento, que se x tende a trs pela direita a funo tende para 6. Ou ainda, que o limite da funo 6 quando x tende a trs pela direita.

Como o limite esquerda diferente do limite direita, dizemos que esta funo no tem limite no ponto trs. Possui apenas limites laterais.

Usando a linguagem matemtica escrevemos:

Concluso: Uma funo s ter limite no ponto c se os limites laterais em torno deste ponto forem iguais.

2. ) Avalie o comportamento da funo nas proximidades de trs.

Consideramos valores de x cada vez mais prximos de trs pela esquerda e tambm pela direita. Em ambos os casos notamos que o valor que a funo assume tem uma ordem de grandeza muito elevada, como mostra a tabela abaixo. Quando isto ocorre dizemos que a funo tende para o infinito.

Valores menores que 3 Valores maiores que 3

ou a esquerda de 3 ou a direita de 3

X22,92,992,9993,0013,013,14

Y110010.0001.000.0001.000.00010.0001001

Neste caso o limite da funo infinito quando x tende para trs.

Usando a linguagem matemtica, escrevemos:

Concluso: Uma funo tem um limite infinito quando a sua imagem assume valores cuja ordem de grandeza elevada, quando x tende para c.

Nessa mesma funo fcil perceber que se os valores de x aumentam, assumindo valores maiores que trs, o valor da funo se aproxima de zero. Deste modo, os valores de x assumem valores que possuem ordem de grandeza elevada e, portanto, tende para infinito. Tem-se, ento, um limite no infinito.

Usando a linguagem matemtica, escrevemos:

Concluso: Uma funo tem limite no infinito quando a varivel do seu domnio tende para infinito enquanto a imagem da funo tende para L.

OBSERVAES:

(i) Nessa teoria devemos entender, sempre, que a varivel x tende para um valor c, mas nuca igual a c e a imagem da funo tende para L, mas nunca igual a L.

(ii) H tambm os casos de limites infinitos no infinito.

(iii) O limite de uma funo num ponto c do seu domnio nico.

11.5 Frmulas do Limite

Pode ser demonstrado que o processo limite obedece s seguintes regras:

A.

Exemplo 1. .

B.

Exemplo 2.

C.

Exemplo 3. = 8.

Nota No importa qual a tendncia de x em f(x) = 8; portanto, f(x) no s tende para 8 como, neste caso, mesmo 8.

D.

Exemplo 4.

E.

Exemplo 5.

EXERCCIO: Determinar cada limite.

Respostas

1) 66) 611) no existe16) 7 / 421) - 1226) 2 /1531) 15236) 3

2) 37) 012) no existe17) 622) 927) 1432) 1537) 3 / 10

3) 18) 013) 018) 3623) 1128) 433) 1 38) 1

4) 29) 114) 019) 10224) 12029) 1034) 139) 1 / 3

5) 010) 315) 20) 10 25) 12 / 530) 835) 2 / 940) 1 / 2

Nos exerccios de 41 a 44, trace um esboo do grfico e encontre o limite indicado se ele existir; se o limite no existir, d a razo.

41)

42)

43)

44)

Respostas

41) no existe42) 743) 444) 3

11.6 A Inclinao de uma Tangente a uma Curva

O processo limite no apenas aplicado ao problema do movimento. Veremos agora a sua aplicao num problema geomtrico.

Como na figura embaixo, consideraremos que a curva o grfico de uma dada funo y = f(x). Pretendemos determinar a inclinao da tangente mtan no ponto P com coordenadas (x, f(x)).

Como na figura acima, podemos determinar a inclinao de uma reta passando por P e qualquer outro ponto Q da curva (a reta secante). Podemos observar as inclinaes destas retas secantes quando escolhemos pontos Q cada vez mais prximos do ponto P. medida que Q se aproxima de P, os valores das inclinaes destas retas secantes ficaro cada vez mais prximos daquele da inclinao da reta tangente mtan. Podemos explicar este processo em termos das coordenadas de P e Q como na figura a seguir.

Nesta figura (y = f (x + (x) f(x).

medida que escolhemos valores de (x mais prximos de 0, o ponto Q aproxima-se de P ao longo da curva. Deste modo, a inclinao da reta secante aproxima-se de mtan, que a inclinao da reta tangente. A inclinao da reta secante que passa por P e Q dada por:

portanto,

Exemplo 01. Determinar a inclinao da reta tangente curva y = x + 3 em (1,4).

Podemos ver agora que o processo usado para resolver o problema geomtrico o mesmo que o usado para o problema do movimento. Este processo, o limite, o fundamento do clculo.

Exemplo 02. Determinar a equao da tangente curva y = 2x - 5 em (2,3).

Passo 1 : Determinar mtan:

Passo 2 : Determinar a equao da reta:

Usando a frmula do ponto-inclinao temos:

y y1 = m.(x x1)

y 3 = 8.(x 2)

y = 8x 13.

RESUMO: Definimos o coeficiente angular ou inclinao de uma curva como o limite dos coeficientes angulares das secantes. Esse limite, chamado derivada, mede a taxa de variao de uma funo e um dos conceitos mais importantes de clculo. As derivadas so muito usadas em engenharia, cincia, economia, medicina e cincia da computao para calcular a velocidade e a acelerao, para explicar o funcionamento de mquinas, para estimar a diminuio do nvel da gua quando ela bombeada para fora de um tanque e para prever as conseqncias de erros cometidos durante medies. Obter derivadas calculando limites pode ser demorado e difcil. Assim sendo, desenvolveremos tcnicas para calcular derivadas mais facilmente.

Definies:

O coeficiente angular da curva y = f(x) em um ponto P(x0, f(x0)) o nmero

. (desde que o limite exista)

A reta tangente ao grfico de f em P a reta que passa por P e tem esse coeficiente angular. Assim sendo ela dada por:

y = y0 + m(x x0)

Como achar a Tangente Curva y = f(x) em (x0, y0).

1. Calcule f(x0) e f(x0 + (x).

2. Calcule o coeficiente angular: .3. Se o limite existe, ento determine a reta tangente quando: y = y0 + m(x x0).

EXERCCIOS

(1.) Determinar a equao da tangente curva dada no ponto dado.

a) y = 2x - 3; (-2, 5) (Resp.: y = - 8x 11)b) y = 5x - 3x + 2; (-1, 10) (Resp.: y = - 13x 3)

c) y = 4x - 7x + 5; (3, 20) (Resp.: y = 17x - 31) d) y = 2x + 4x 7; (-2, -7) (Resp.: y = - 4x 15)

(2) Determine uma equao para a tangente curva nos pontos dados. Esboce a curva e a tangente juntas.

a.) y = 4 x2, P(-1, 3) (Resp.: y = 2x + 5)

b.) y = 2(x, P(1, 2) (Resp.: y = x + 1)

c.) y = x3, P(-2, -8) (Resp.: y = 12x + 16)

d.) y = 2x2 + 3, P(2, f(2)) (Resp.: y = 8x 5)

Se duas retas so paralelas, seja (1) ambas perpendiculares ao eixo x ou (2) ambas com a mesma inclinao, ou seja, m1 = m2.

Por outro lado, se duas retas so perpendiculares, ento, seja (1) uma reta vertical com equao x = a e a outra horizontal com equao y = b ou (2) nenhuma sendo vertical e a inclinao da reta sendo a recproca negativa da outra; isto , se as equaes das retas forem:

L1: y = m1x + b1 e L2: y = m2x + b2ento m1= (-1/m2)

Exerccios:

1.) Determinar a equao da reta que satisfaz cada uma das seguintes condies.

a.) Passa por (-1, 5) e paralela a 2x + y + 13 = 0. (Resp.: y = 2x + 7)

b.) Passa por (2, -2) e perpendicular a 3x 2y - 14 = 0. (Resp.: y = -2x/3 2/3)

c.) Passa por (-7, 4) e perpendicular a 5y = x. (Resp.: y = - 5x 31)

d.) Passa por (2, -10) e paralela a 2x + 3y 7 = 0. (Resp.: y = -2x/3 26/3)

2.) Encontrar a equao da reta tangente curva y = , que seja paralela reta 8x 4y + 1 = 0.

(Resp.: y = 2x + 1/8)

3.) Encontrar a equao da reta normal (ou perpendicular) curva y = x2 no ponto P(2, 4)

(Resp.: y = -1x/4 + 9/2)

A derivada de uma funo f(x) em relao varivel x a funo f cujo valor em x

desde que o limite exista.

A derivada de uma funo f(x) no ponto x0, denotado por f (x0), definida pelo limite:

(desde que o limite exista)

OBS: Como vimos anteriormente, este limite nos d a inclinao da reta tangente curva y = f(x) no ponto (x0, f(x0)). Portanto a derivada da funo y = f(x) no ponto x0 representa a inclinao da curva neste ponto.

Exerccios:

(1.) Calcule f(x) para a funo dada usando diretamente a definio.

a) f(x) = 2x2 + 3x + 1 b) f(x) = c) f(x) =

(Resp.: f(x) = 4x + 3) (Resp.: f(x) = 2 / (1 x) ) (Resp.: f(x) = )

(2.) Determinar f(x0) para cada funo, usando a definio.

a) f(x) = 5x2 + 6x 1, x0 = 2. b) f(x) = x2 + 1, x0 = 1.

(Resp.: f(2) = 26) (Resp.: f(1) = 2)

c) f(x) =, x0 = x. d) f(x) = , x0 = 9.

(Resp.: f(x) = 5 / (x + 3) ) (Resp.: f(9) = 1 /6)

THE END!

(y

( x

( 0

( - 1

( - 2 ( 5

( 3

( 4 ( 8

-1 (

- 2 (

1 (

2 (

3 (

0

0

Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah Abido

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