Apostila de Cálculo II - EcivilUFES · Apostila de Cálculo II 3 Assim, a função f ( x ) = x2 +...

Apostila de Cálculo I I

1


2

Antiderivada e Integral Indefinida

Uma antiderivada ou primitiva da função f no intervalo [ ]b,a , é uma função F, tal

que:

( ) ( )xfxdxdF = para todo x [ ]ba,∈

Notação de Leibniz:

Outra notação empregada para designar a operação de primitivação de uma

função f , no intervalo [ ]ba, é ∫ , notação de Leibniz .

O símbolo ∫ ( esse alongado de soma ), é o sinal da integral .

( ) ( )xfdxf(x)dxd =∫

Exemplo:

Se a derivada em relação a x da função f (x) = x 2+4 é

xxxfDxxfdxdf

202)()(' =+=== ,

então: Uma primitiva de x2dxdf = é f(x) = x2 + 0 = x2 ;

outra primitiva é f(x) = x2 – 2 , outra primitiva é f(x) = x2 + 3 ,


3

Assim, a função f ( x ) = x 2 + C é primitiva de f (x) = x 2 + 4, onde C é

uma constante arbitrária, chamada constante de integração. Variando o valor de C,

obtém-se uma infinidade de primitivas.

A integral ∫ += C)x(fdx)x('f , é chamada integral indefinida e representa uma

família de primitivas. No caso, f(x) = x 2 + C é uma família de parábolas.

Numa família de curvas, os seus gráficos diferem entre si apenas por uma

translação vertical .

Significado geométrico da constante de integração “C “ :

Geometricamente: a constante de integração “C”, representa a ordenada do ponto

onde a curva corta o eixo 0y.

x

y y = f (x ) + C1

y = f (x ) + C2

C1

y = f (x ) + C3

y = f ( x ) + C4

C3

C2

C4


4

Propriedades da integral indefinida:

∫ ∫ ℜ∈= Condedx,f(x)Cf(x)dxC ;

[ ] ∫ ∫±=∫ ± dxg(x)dxf(x)dxg(x)f(x)

Tabela das integrais indefinidas fundamentais:

Definição: Seja I ⊂ R; a função G é uma primitiva de ƒƒƒƒ em I , se e somente se:

( ) ( ) IxparaxfdxGxd ∈∀=

1. 1nparaC1n

uduu

1nn −≠∫ +

+=

+

2 ∫ +==∫ − Culnudu

duu 1

3 ∫ += Cadualna uu

∫ += Cedue uu

4 Csenuduucos +=∫

5 ∫ +−= Cucosdusenu

6 Cutgduusec 2 +=∫

7 ∫ +−= Cugcotduueccos 2

8 Cusecduutg.usec +=∫

9 ∫ +−= Cuseccosduugcot.useccos

10 CucosarcCusenarcu1

du2

+−=∫ +=−

ou

CucosCusenu1

du 11

2+−=∫ +=

−−−

11 CugcotarcCutgarcu1

du2

+−=+=∫ + ou

CugcotCutgu1

du 11

2+−=+=∫ +

−−


5

Obs: f -1 (x) indica função inversa de f (x).

MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO :

1) Integração por Mudança de Diferencial

As fórmulas para integrais indefinidas tem objetivo limitado, pois não se pode

usá-las diretamente para calcular integrais como por exemplo dx 1x∫ + .

Pode-se usar o seguinte artifício para resolvê-la: Seja u= x+1. Logo du=dx e com a

mudança de variável fica-se com C

23

u u

23

2

1

+=∫ . Voltando a variável inicial

( ) C 1x 32

dx 1x 2

3

++=∫ + .

Após fazer a substituição u = g (x) pode ser necessário inserir um fator

constante k no integrando para se obter uma forma adequada ∫ du f(u) . Deve-se

multiplicar por k1

para manter a igualdade.

Exercício Resolvido:

Calcular dx 75x∫ +

Seja u= 5x + 7 e du= 5 dx . Como du contém o fator 5, a integral a

resolver não está na forma ∫ du f(u) . Pode-se fazer então

dx 5 . 7 x 5. 51

dx . .5 51

7 x 5 dx 7 x 5 ∫ +

=

∫ +=∫ + . Agora tem –se

23

u

51

du u51 2

3

2

1

=∫ . Voltando a variável original ( ) C75x 152

dx 75x 3 ++=∫ +


6

Exercícios: Calcular as integrais:

1) ∫ dx4x cos

2) ( ) dx 1x273∫ +

3) ( ) dx 1x3

1x63

2

∫+−

−

x

4) dx x6 - 7 .x 3 2∫

5) dx x

x cos∫

6) dx5x sen x.5cos 3∫

7) dx x1

x1

12

3

∫

+

−

8) ∫ + dx 6x) (1 sen

9) dx 2x cos4x sen

∫

10) dx 4x sen .4x tg

1∫

2) Integração por Substituição Algébrica

Este método consiste em substituir uma expressão por uma variável, com a

finalidade de eliminar um radical, eliminar adições e subtrações do denominador, etc.

O problema é resolvido na nova variável.

Exercício Resolvido :


7

Calcular a integral I = dx23x

9x∫ −

Fazendo 3dt

dx3

2txt2x3 =⇒+=∴=−

ctln2tt

dt2dt

tt

3dt

t3

2t9

I ++=∫+∫=∫

+

=∴

Voltando para a variável x:

I = dx2x3

x9∫ −

= 3x – 2 + 2 ln (3x – 2 ) + c

1) Método da Integração por Partes

Sejam u e v duas funções de x. Da fórmula da derivada do produto, tem-se que:

∫ ∫ ∫=

=

+=

du v - (u.v) d dv u

du v - u.v) ( d dv u

du v dv u d(u.v)

Esta técnica de integração consiste em substituir a integral que se deseja calcular

por outra integral, de preferência mais simples do que a integral original. A primeira

coisa a ser feita na aplicação desta fórmula é a escolha para os termos u e dv , que

deve seguir os seguintes critérios.

a) Você deve ser capaz de calcular a integral ∫ dv para encontrar a expressão de v.

Se não conseguir calcular esta integral, faça outra escolha para u e dv .


8

b) Você deverá obter uma integral ∫ du v que seja mais simples ou pelo menos

semelhante à integral original; afinal de contas, esta é a integral que você

efetivamente calculará. Em geral, a integral ∫ du v será mais simples quando a

expressão u é simplificada pela diferenciação.

Exemplos:

1) Calcular a integral ∫ dx ex x .

Não use as expressões u=ex e dv=xdx, pois a nova integral torna-se mais complexa

do que a original; use as expressões u=x e dv=ex dx e o problema se resolve

facilmente. Então:

xx

x

e dx e vdx du

dx e dv x u

=∫==

==

( ) C1e C x.edx e-e x.dx e . x xxxxxx +−=+−=∫∫ = xe

2) Calcular a integral ∫ dx x sen x

Basta usar as expressões u=x e dv = sen x dx

xcos vdx du

dx x sen dv x u

−==

==

Csen xx.cos- dx x cos- xcos x.- dx x sen . x +−=∫∫ = x

3) Calcular a integral ∫ dx e x 3x2


9

Use as expressões dx e dv e x u 3x2 == ; neste caso a integral subsequente deverá

ser calculada aplicando-se novamente a fórmula de integração por partes.

3x3x

3x2

e31

dx e vdx 2x du

dx e dv x u

=∫==

==

dxex 32

e 31

. xdx 2x e 31

e 31

. xdx e.x 3x3x23x3x23x2 ∫−=∫−=∫

Reaplica-se o método na integral do último termo dxex 3x∫ :

3x3x

3x

e31

dx e vdx du

dx e dv x u

=∫==

==

3x3x3x3x3x e 91

e 31

. xdx e 31

e 31

. xdx e.x −=∫−=∫ .

A integral inicial fica:

C e 272

e x 92

e 31

. xdx e.x 3x3x3x23x2 ++−=∫

Exercícios:

Calcular as integrais:

1) ∫ dx x cos x.

2) ∫ dx e .x 2x


10

3) ∫ dx x ln

4) ∫ dxx sec .x 2

5) ∫ dx e . x -x

6) ∫ dx e . x -3x

7) ∫ dx x sen . e x

2) Método da Integração por Substituições Trigonométri cas

Se o integrando contém expressões das formas

( ) ( ) ( )n22n22n22 xa ou ax xa +−− , tente fazer substituições imediatas (do tipo

u=a2-x2, u=x2-a2 ou u=a2+x2), que serão úteis desde que hajam outros termos no

integrando que simplifiquem a nova integral. Se não for este o caso, proceda da

seguinte forma para realizar uma substituição trigonométrica:

a) Desenhe um triângulo retângulo.

b) Identifique a hipotenusa e os dois catetos do triângulo retângulo; lembre-

se de que um dos lados do triângulo deverá representar uma das expressões

( ) ( ) ( )222222 xa ou ax ,xa +−− que aparecem na sua integral.

c) Use as definições das funções trigonométricas e obtenha a substituição

correspondente.

Temos os seguintes tipos de substituições:


11

(a) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 xa − , use a substituição:

dθ θ c adx , θ sen a x os== e ( ) θ cos axa 22 =− .

Substituição trigonométrica: dθ θ c adx , θ sen a x os== e ( ) θ cos axa 22 =− .

(b) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 ax − , use a substituição

dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e ( ) θ tg a ax 22 =− .

Substituição trigonométrica: dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e ( ) θ tg a ax 22 =−

(c) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 xa + , use a substituição

dθ θ sec adx , θ tg a x 2== e ( ) θsec a xa 22 =+ .

Substituição trigonométrica: dθ θ sec adx , θ tg a x 2== e ( ) θsec a xa 22 =+


12

Não há necessidade de memorizar todas estas substituições; basta desenhar o

triângulo apropriado e ler as expressões correspondentes na figura.

Resolvidos

1) Calcular a integral ( ) dx x16x

122

∫−

Faz-se a substituição cosθ 4 x-16 e dθ θ cos 4 dx com , θ sen 4 x 2 ===

( ) ( )

θ cotg161

-

θcossec 161

dθ θsen

1161

dθ θ cos 4.θ cos 4 . θsen 16.

1 dx

x16x

1 2

2222

=

∫=∫=∫=∫−

Voltando a variável original ( )( )

C x

x16

161

- dx x16x

1 2

22+

−=∫

−

2) Calcular a integral dx x4

12

∫+

Faz- se a substituição θsec 2 x4 e dθ θ sec 2 dx com , θ tg 2 x 22 =+== .

C tgθ secθ ln dθ θsec dθ θ sec 2θsec 2

1 dx

x4

1 2

2++=∫=∫=∫

+.

Voltando a variável original C 2x

2x4

ln dx x4

1 2

2+++=∫

+

3) Calcular a integral dx x

9x2

∫−

Faz-se a substituição θ tg 3 9x e dθ θ tg θsec 3 dx com , θsec 3 x 2 =+== .


13

( )

θ 3tgθ 3

dθ3 dθ θsec 3 dθ 1θsec 3 dθ θtg 3 dθ tgθ secθ 3 θsec 3θ tg 3

dx x

9x 2222

−=

=∫ ∫−=∫ −=∫=∫=∫−

Voltando a variável original C 3x

arcsen39x dx x

9x 22

+−−=∫−

Exercícios:


1) ∫2x-16

dx

2) ∫− 25x

dx2

3) ( )

∫− 2

32x6

dx

4) dx 81

12∫ + x

5) dx 36

12

∫−x

6) ∫+ 2x1x

dx


14

4) Método de Integração: Decomposição em Frações Pa rciais

Apresenta-se uma seqüência de passos que se usam para calcular integrais de

funções racionais da forma p(x)/q(x) onde p e q são polinômios em x e o grau de p

é estritamente menor do que o grau de q (funções racionais próprias). A técnica de

integração de funções racionais por fatoração em frações parciais é dividida em dois

casos: linear e quadrático.

Caso linear Trata-se do caso em que o denominador é fatorável em diferentes fatores lineares

(repetidos ou não).

Consideremos a integral dx x8 - x2 - x

16 - x 68 - x6 - x523

23

∫ .

1) Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão. Por

exemplo, a função racional x8 - x2 - x

16 - x 68 - x6 - x523

23

é imprópria, pois o grau do

numerador é igual ao grau do denominador. Fazemos então a divisão e obtemos

x8 - x2 - x

16 - x 28 - x4 5

x8 - x2 - x

16 - x 68 - x6 - x523

2

23

23

+= . A integral transforma-se em

dx x8 - x2 - x

16 - x 68 - x6 - x523

23

=∫ dx x8 - x2 - x

16 - x 28 - x4 5

23

2

+∫ , cuja primeira parcela é trivial.

Concentramo-nos agora na fração própria, que está preparada para ser fatorada em

frações parciais.

2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador fatora-se como x3-2x2-

8x=x(x-4)(x+2).

3) Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas

através de frações parciais. No caso da função racional x8 - x2 - x16 - x 28 - x4

23

2

basta

escrever 2x

C4-x

B

xA

x8 - x2 - x16 - x 28 - x4

23

2

+++= . Usando algum método para resolver

esta equação (por exemplo, calculando a soma das parcelas do lado direito e


15

resolvendo o sistema de equações lineares que se obtém igualando termos de

mesmo grau), obtemos A=2, B=-8/3 e C=14/3.

4) Se o denominador de uma função racional básica é da forma (ax+b), use a

substituição u=(ax+b). Neste exemplo, temos

dx 2x314

4-x38

x2

dx 5 dx x8 - x2 - x

16 - x 28 - x4 5

23

2

∫ ∫

++−+=

+∫ e esta última integral se

resolve facilmente usando as substituições indicadas para cada parcela.

5) Se o denominador possui fatores lineares repetidos da forma (ax+b)k, use k

frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral

( )dx

1xx

2 x 4 x32

2

∫+

++ usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma

( ) ( )221

2

2

1x

B

1xB

xA

1xx

2 x 4 x3

++

++=

+++

. Resolvendo esta equação, obtemos A=2, B1=1,

B2=-1. Portanto, temos ( )

dx 1xx

2 x 4 x32

2

=∫+

++( )

dx 1x

1

1x1

x2

2

+−

++∫ e esta última

integral se resolve facilmente através de substituições indicadas (u=ax+b) para cada

parcela.

Caso quadrático

Trata-se do caso em que o denominador não é fatorável apenas em fatores lineares;

o denominador apresentará, portanto, termos quadráticos (repetidos ou não).

Consideremos a integral

.

1) Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão.

Neste exemplo, já partimos de uma função própria e esta etapa já está feita.


16

2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador se fatora como

x3+x2+4x+4=x2(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x2+4). Observe que o fator x2+4 é irredutível (isto

é, não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de grau 1 com

coeficientes reais).

3) Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas.

Devemos escrever a função racional dada na forma

1xC

4x

B A x

4 x 4 x

20 x 3 x8223

2

++

++=

+++++

x. Resolvendo esta equação, encontramos A=3, B=0

e C=5. Dessa forma 1x

5

4x

3x

4 x 4 x

20 x 3 x8223

2

++

+=

+++++

x

4) Finalmente podemos calcular a integral dx 1x

5

4x

3x dx

4 x 4 x

20 x 3 x8223

2

∫

++

+=∫

+++++

x

fazendo substituições imediatas.

5) Se o denominador possui fatores quadráticos repetidos da forma (ax2+bx+c)k, use

k frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral

dx 1)(xx

2xx22

3

∫+

++ usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma

( )22

222

1122

3

1x

CxB

1x

CxB

xA

1)(xx

2xx

+

++

++

+=+

++. Resolvendo esta equação, obtemos A=2,

B1=-2, C1=1, B2=-2 e C2=0. Portanto, temos dx 1)(xx

2xx22

3

∫ +++

=

( ) dx 1x

2x

1x2x-1

x2

222∫

+−

++ . Observe que a primeira e terceira parcelas podem

ser feitas por substituições óbvias; porém a segunda parcela parece diferente.

Reescrevendo tudo desta forma: ( ) dx 1x

2x

1x1

1x

2x

x2

2222∫

+−

++

+− +, o

problema se resolve facilmente.

Exercícios:


17


1) dx 1x

22∫ −

2) dx 3x2xx913x4x

23

2

∫ −+−+

3) ( )( )

dx 2x1x

4 - x 29 x18 - x33

23

∫−++

4) dx 48x- x2

21 -x - x23

2

∫ −+ x

5) dx 4xx

163x x6 x3

23

∫ ++++

A Integral Definida

Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e tal que 0 (x) f ≥ para todo

[ ]ba, x ∈ .


18

Vamos calcular a área da região compreendida entre o gráfico de f e o eixo x, para x

variando em [ a, b].

Para tanto, vamos considerar uma partição do intervalo [a,b], constituída pelo

conjunto de pontos { }bx,.....,xx,xaP n21,0 === .

Dessa maneira, ficam determinados n sub-intervalos, cada um deles da forma

[ ]i1-i x,x , sendo que o índice i varia de 1 até n, isto é, ni1 ≤≤ . No caso de tomarmos

as n divisões de [a,b] todas do mesmo tamanho, temos que cada um dos sub-

intervalos terá comprimento 1-ii xxx −=∆ , para ni1 ≤≤ .

Vamos considerar um ponto xi* em cada um dos sub-intervalos [ ]i1-i x,x , obtendo um

valor aproximado para a área da região, que é dado por:

Qualquer uma das somas i

n

1i

*i x).(x f ∆∑

=é denominada soma de Riemann para a função

f, relativa à partição P e aos números xi, para -

Quando fazemos crescer indefinidamente o número de pontos da partição, isto é,

fazemos ∞→n , obtemos:

i

n

1i

*i

nx).(x flim ∆∑

=∞→ = [ ] A f)(P, s lim

n=

∞→


19

Definição: a integral definida da função f , sendo 0 (x) f ≥ no intervalo [a,b], é

igual ao limite da soma das áreas dos n retângulos, quando o número desses

retângulos tende a infinito.

Nesse caso a integral fornece a área da região compreendida entre o eixo horizontal

e o gráfico da função f, para x percorrendo o intervalo [a,b].

A integral definida verifica algumas propriedades:

Propriedade 1: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então a função

g f ± é integrável em [a,b] e:

[ ] ∫∫ ±=∫ ±bb

aa

b

adx (x) g dx (x) fdx (x) g (x) f .

Propriedade 2: Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo [a,b],

então a função k.f é integrável em [a,b] e :

.

Propriedade 3: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e 0 (x) f ≥ em [a,b]

então .

Propriedade 4: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c é um ponto

qualquer do intervalo [a,b], então :

.


20

Teorema Fundamental do Cálculo Integral

O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a importante conexão entre o

Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se

determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a

partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana

Teorema : Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]. A função F, dada por

∫=x

adt (t) f (x) F , é derivável em todos os pontos interiores ao intervalo ]a,b[ e sua

derivada é dada por F'(x)=f (x).

O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite facilmente calcular áreas pois, a

partir dele, podemos mostrar que:

Se f é uma função contínua no intervalo [a,b], então ∫ =b

a(a) G - (b) G dt t) ( f , onde G é

uma qualquer primitiva de f , isto é, tal que G'=f.

Resolvidos

Calcular as integrais definidas:

1) ∫2

0

2 dx x

38

30

32

3x

dx x33

2

0

32

0

2 =−==∫

2) ∫π

0dx x sen

2(-1)--(-1)) 0 cos (- - cos - x cos dx x sen 0

0===−=∫ πππ


21

3) ( ) dx1x 21

0

2∫ +

( ) ( )1528

132

51

x3 x2

5x

dx 1x2x dx1x 1

0

351

0

2421

0

2 =++=

++=∫ ++=∫ +

4) dx x32

x 2 - x 5 4

13∫

+

6259

2-x

32

23 x2

25x

dx x23 x2 - x 5 dx x32

x 2 - x 5 4

1

2-2

324

1

3-2

14

13

=

+−=∫

+=∫

+

Exercícios:

Calcular as integrais definidas:

1) ( )dx 3 x 4 - x4

1

2∫ +

2) ( )dz 1 - z3z 83

2

3∫ +

3) ∫12

7dz

4) dt t

3- t

9

4∫

5) ( )ds 2s 8

0

3 2∫ +

6) ( ) dx3 x 2 21

0∫ +−

7) dx 9x

x

4

0 2∫

+


22

a b

y = f (x)

a b

f (x)

g (x)

8) dx 2x

sen 3 3

0∫

π

9) ( )∫ +4

0

3 dx2x cos .2x sen1

π

10) dx x7

x

1

0 3 5

4

∫+

Aplicações da Integral Definida

Cálculo de Áreas

Se f (x) é contínua e positiva no intervalo [a,b], então a área limitada por f (x),

o eixo x e as retas x=a e x=b é dada por:

∫=b

adx (x) f A

Se f (x) e g(x ) são contínuas em [a,b] com [ ]ba, x , (x) g (x) f ∈∀≥ , então a área

limitada por f (x) , g (x) , retas x=a e x=b é dada por:

( )∫=b

adx (x) g - (x) f A


23

a b

f (x)

g (x)

c

No caso de no intervalo [a,b] a função f (x) nem sempre for maior que g(x), então:

( ) ( )∫+∫=b

c

c

adx (x) f - (x) g dx (x) g - (x) f A

Podemos ainda isolar x em cada uma das funções obtendo x = f (y) e x = g (y). Se

(y) g (y) f ≥ no intervalo [ c,d ], então a área entre os gráficos de f (y), g (y) e as retas

y = c e y = d será:

[ ]∫=d

c

dy (y) g - (y) f A

Resolvidos

1) Obter a área limitada pelas curvas x ye xy 2 == .

a) esboçar a região, designando por y = f (x) a fronteira superior e por y = g

(x) a fronteira inferior. Achar o valor x = a e o valor x = b dos pontos de intersecção

das regiões. Nessa caso a=0 e b=1.

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y


24

b) esboçar um retângulo vertical típico e designar por dx a largura.

1) Expressar a área do retângulo como [ f (x)- g (x)]. dx . Nesse caso a área

vale ( )2xx − .dx

2) Obter o valor da área através do cálculo da integral:

( )31

3x

23

xdx xx dx xx A 1

0

323

1

0

221

1

0

2 =

−=∫

−=∫ −=

2) Achar a área limitada pelas curvas 0 3- x 2 y e 6 xy 2 =+=+

-1 1 2 3x

-2

2

4

6

y

pontos de intersecção

==−==

−=+3bx

1ax x236x-

2

12

( ) ( )[ ] ( )332

x3x3x

dx 3x2x- dx 3x26x- A 31

233

1-

23

1-

2 =

++−=∫ ++=∫ +−−+= −

3) Obter a área limitada pelas curvas x ye 4x y2 2 2 =+= .

pontos de intersecção

====

=−2 d y

-2cy y4 y2

2

122


25

-4 -2 2 4x

-2

-1

1

2

y

.

( )[ ] [ ] [ ]332

y43y

-dy 4 y dy 4 y2y dy 4 y2y A2

2

32

2

22

2

222

2

22 =

+=+−=+−=−−=

−−−−∫∫∫

Exercícios:

1) Calcular a área limitada pelos gráficos das funções 2y- xe 1 xy 2 =+= e as retas

x=-2 e x=2.

2) Calcular a área limitada pelo gráfico das funções x4-2x )(x g e 2xf(x) 22 =−= .

3) Encontre a área da região limitada pela curva 6 x 5 x2 xy 23 +−−= , o eixo x e as

retas x = -1 e x = 2.

Cálculo de Volumes de Rotação

Uma área ao girar em torno de um eixo gera um sólido de revolução de volume V. a) Giro em torno do eixo x Seja f (x) contínua em [ a,b ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela

rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de x= a, de x=b e do eixo dos x é

dado por:


26

[ ] dx (x) f V b

a

2∫= π

b) Giro em torno do eixo y Seja f (y) contínua em [ c,d ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela

rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de y= c, de y=d e do eixo dos y é

dado por

[ ] dy (y) f V d

c

2∫= π

c) Giro em torno do eixo x, com a área não apoiada no eixo x.

Seja uma região limitada pelos gráficos de x=a, x=b e pelos gráficos de duas

funções contínuas f e g , com 0 (x) g (x) f ≥≥ para todo x em [ a,b ]. Fazendo-se essa

área girar em torno do eixo x, obtém-se um sólido cujo volume é dado por:

[ ] [ ] dx (x) g -dx (x) f V b

a

2b

a

2 ∫∫= ππ = { [ ] [ ] }dx (x) g - (x) f 2b

a

2∫ π

d) Giro em torno do eixo y, com a área não apoiada no eixo y.

Seja uma região limitada pelos gráficos de y=c, y=d e pelos gráficos de duas

funções contínuas f e g , com 0 (y) g (y) f ≥≥ para todo y em [ c,d ]. Fazendo-se essa

área girar em torno do eixo y, obtém-se um sólido cujo volume é dado por:

[ ] [ ] dy (y) g -dy (y) f V d

c

2d

c

2 ∫∫= ππ = { [ ] [ ] }dy (y) g - (y) f 2d

c

2∫ π

Exemplos:

1) A área limitada pelo gráfico de 1 xy 2 += , retas x = -1 e x = 1 e o eixo x, gera um

volume V. Determinar o valor de V.


27

( ) ( )15

56x

3

x2

5x

dx 1x2x dx 1x V 1

13

51

1-

241

1-

22 ππππ =

++=++=+=

−∫∫

2) A região limitada pelo eixo y e os gráficos de 3 xy = , y = 1 e y = 8 gira em torno do

eixo y. determine o volume do sólido resultante.

( )5

93

35y

dy dy y V 8

1

3

58

1

3

21

1

23 2 ππππ =

=== ∫∫ y

Exercícios:

1) A área limitada pelos gráficos de 1x21

y, 2xy 2 +=+= , x = 0 e x = 1 gira em

torno do eixo x. Determinar o volume do sólido resultante.

2) A área do exercício anterior gira em torno da reta y = 3. Determine o volume

gerado.

3) Esboce a região R e determine o volume do sólido gerado pela rotação de R em

torno do eixo indicado para:

a) x4 xy 2 −= , y = 0 ; em torno do eixo dos x.

b) xy = , x + y =4 , x = 0 ; em torno do eixo dos x.

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