Apostila de Cálculo Numérico (parte Um)

Cap. 1 Equações Não Lineares

1.1 Definições

São equações da forma,

( ) 0f x

Sendo que ( )f x pode ser um polinômio em x ou uma função transcendente (isso é,

função com termos com ,cos ,sinxe x x ). A partir disso, temos que os métodos

iterativos fornecem aproximação razoáveis (conforme o número de iterações ou o erro

desejado) para essas equações.

Como as funções transcendentais ocorrem em menor número em relação as funções

polinomiais, essas adquirem maior importância nessa área. Veremos como resolver

essas equações.

1.2 Métodos de Resolução

1.2.1 Método da Bissecção

O método consiste no cálculo sucessivo do ponto médio em intervalos definidos,

conforme os valores que a função assume nesse ponto médio, gerando os termos

iterados.

De modo mais simples: o método consiste em a partir do ponto médio, ir diminuindo o

intervalo em torno da raiz, representada aqui por x ¨, aproximando conforme o

intervalo o valor do ponto médio para a raiz da equação.

Seja uma função ( )f x , conforme mostrado. Se considerarmos a função em intervalo

[ , ]a b , temos que o ponto médio, 1x , é 1

2

a bx . Quanto ao valor que a função

assume nesse ponto, temos três possibilidades:

1( ) 0f x : Isso é, o ponto médio 1x é a raiz da equação ( x )

1( ) 0f x : Devemos diminuir o intervalo (pela direita, ou mais rigorosamente,

por números maiores que b , porque temos que 1( ). ( ) 0f a f x , então para o

intervalo convergir devemos fazer 1x b

1( ) 0f x : Como a função assume um valor maior do que 0, devemos diminuir

o intervalo pela direita (por números menores que a raiz e maiores que a ),

porque como 1( ). ( ) 0f a f x , devemos fazer que 1x a

Para cálculos iterativos do ponto médio, temos que,

2k

a bx

Com duas possibilidades (se o ponto médio não for raiz),

Se 1( ). ( ) 0f a f x , temos que, devemos ter, kx b

Se 1( ). ( ) 0f a f x , temos que, devemos ter, kx a

Exemplo 1.1

Aplicar o método da bissecção para determinar a raiz positiva de 2 7 0x ,

considerando um erro ( ), tal que, 21.10 , usando como intervalo inicial [2.0,3.0]

Respostas

O erro é dado 1k kx x , de tal forma que, como não foi especificado um número

limite de iterações, o critério de parada será quando tivermos o critério de erro

desejado.

Para, simplificarmos as contas, é possível montarmos uma tabela,

k a b

0 2 3 2,5 2,25 0

1 2,5 3 2,75 -0,421875 0,25

2 2,5 2,75 2,625 0,08203125 0,125

3 2,625 2,75 2,6875 -0,024353027 0,0625

4 2,625 2,6875 2,65625 -0,006088257 0,03125

5 2,625 2,65625 2,64063 0,00296402 0,015625

6 2,64063 2,65625 2,64844 -0,000385372 0,007815

Como na sexta iteração o erro ficou menor do que 21.10 , então,

o critério de parada foi alcançado, tal que, para essa iteração, o

valor do ponto médio é de 2,64844 , devendo ser assumido

como solução da equação.

Tal valor, obtido com o método da bissecção é razoável, visto

que o valor 7 , é 7 2,645751 . De tal modo que a

aproximação pelo ponto médio fornece um bom valor para a raiz.

kx1( ). ( )f a f x

1.2.2 Método Iterativo Linear

O método da iteração linear faz uso de uma aproximação por equações auxiliares

lineares, isso é, equações de reta.

Para tanto, seja a equação,

( ) 0f x

Tal que ( )f x seja contínua em um intervalo que contém a raiz. Se considerarmos x

em termos de uma função, isso é, se,

( )x x

Sendo que a solução das duas equações sejam as mesmas. A partir disso, temos que

qualquer que seja a função , a solução será um ponto fixo, porque valerá para ( )f x

e para ( )x . Para termos uma equação de reta como função de ( )x , podemos

considerar a forma linear,

( ) ( ). ( )x x A x f x

Isso é, as duas funções ( )f x e ( )x tem equivalência de soluções, então, para

termos um processo iterativo devemos ter uma sequência convergente de

aproximações para a raiz da função, usando a função auxiliar (ponto fixo), tal que,

1 ( )k kx x

Sendo que, para a função de ponto convergir devemos ter,

1 *lim , 1,k

pk

k

L p L

Tal que p é a ordem de convergência (que mede a velocidade com que a equação

converge para a raiz).

Exemplo 1.2

Escolher uma função de ponto fixo, ( )x , para a função 3( ) 3 1f x x x

Respostas

Como queremos a raiz de ( )f x , isso é, fazer que, ( ) 0f x , temos,

3 3 1 0x x

Devemos definir x (em função de outra função auxiliar), tal que,

3

3

3

3 1 0

3 1

1

3

x x

x x

xx

ou

3

3

3

3 1 0

3 1

3 1

x x

x x

x x

Então, podemos ter,

3 1( )

3

xx ou 3( ) 3 1x x

Exemplo 1.3

Seja a equação 2( ) 3xf x e x , sendo que a equação tem três raízes. Um método

iterativo pode ser reparado se usarmos 13

kx

k

ex , verifique que começando com

0 0x , haverá convergência na raiz próxima a - 0,5.

Respostas

Considerando o método iterativo, montamos a tabela,

k

p

0 -0,57735026919 0,077350269190

1 -0,43258290681 0,067417093188 -0,22570475

2 -0,46505593154 0,034944068457 0,36973691

3 -0,45756601477 0,042433985234 -0,10227620

4 -0,45928279308 0,040717206924 0,02211887

5 -0,45888871887 0,041111281134 -0,00513934

6 -0,45897914588 0,041020854120 0,00117596

7 -0,45895839429 0,041041605708 -0,00027004

8 -0,45896315637 0,041036843626 0,00006196

1kx

9 -0,45896206357 0,041037936434 -0,00001422

10 -0,45896231434 0,041037685655 0,00000326

11 -0,45896225680 0,041037743205 -0,00000075

12 -0,45896227000 0,041037729998 0,00000017

13 -0,45896226697 0,041037733029 -0,00000004

14 -0,45896226767 0,041037732333 0,00000001

15 -0,45896226751 0,041037732493 0,00000000

16 -0,45896226754 0,041037732456 0,00000000

17 -0,45896226754 0,041037732465 0,00000000

18 -0,45896226754 0,041037732463 0,00000000

19 -0,45896226754 0,041037732463 0,00000000

20 -0,45896226754 0,041037732463 0,00000000

21 -0,45896226754 0,041037732463 0,00000000

22 -0,45896226754 0,041037732463 0,00000000

23 -0,45896226754 0,041037732463 0,00000000

24 -0,45896226754 0,041037732463 0,00000000

25 -0,45896226754 0,041037732463 0,00000000

26 -0,45896226754 0,041037732463 0,00000000

27 -0,45896226754 0,041037732463 0,00000000

28 -0,45896226754 0,041037732463 0,00000000

29 -0,45896226754 0,041037732463 0,00000000

30 -0,45896226754 0,041037732463

Notamos que conforme aumenta o número de iterações, mais próximo o valor iterado

(ponto fixo) fica da raiz próxima a - 0,5.

1.2.3 Método de Newton (Método de Newton – Raphson)

É um método muito usado para a determinação de raízes de equações não lineares,

para a

dedução da fórmula, usaremos o argumento geométrico que, a derivada da curva em

um ponto é a tangente da reta com o eixo x, isso é,

1

1

1

1

(́ ) ( )

( )( )

( )(́ )

( )

(́ )

( )

(́ )

k

k

k k

kk

k k

kk k

k

kk k

k

f x tg

f xtg

x x

f xf x

x x

f xx x

f x

f xx x

f x

Temos, o valor iterado,

1

( )

(́ )

kk k

k

f xx x

f x

Para que esse valor seja convergente, temos que,considerando um intervalo [ , ]a b ,

devemos ter,

( ). ( ) 0f a f b

, ,́ ´́f f f contínuas no intervalo [ , ]a b

( )

( , )(́ )

f aa b

f a

( )

( , )(́ )

f ba b

f b

Se tivermos isso, teremos que para qualquer 0 [ , ]x a b , o método de Newton irá

convergir para a raiz no intervalo [ , ]a b .

Exemplo 1.4

Determinar a raiz positiva de 2 7 0x , usando o método de Newton, considerando o

erro , 21.10 no intervalo [2.0,3.0]

Respostas

Começando com o valor de 2, montando a tabela, temos que,

k

0 2,75 0,75

1 2,647727273 0,102272727

2 2,645752048 0,001975224

3 2,645751311 0,000000737

Como na terceira iteração atingimos o critério de parada, visto que o erro é o

desejado, temos que o valor é de 2,645751.

1.2.4 Sistemas de resolução em equações polinomiais

1.2.4.1 Definições

Polinômios aparecem muito frequentemente quando trabalhamos com equações, de

tal forma que acabam tendo tratamento especial. Quanto as raízes, as equações

polinomiais apresentam raízes nos reais e nos complexos.

Definimos como polinômio P(x),

1 2

1 2 0( ) ...n n n

n n nP x a x a x a x a

Podemos usar a notação de somatório (notação sigma) para descrever u polinômio

genérico,

0

( )n

k

k

k

P x a x

Dizemos que um polinômio tem grau n, quando o maior expoente de x é n, sendo que

para um polinômio de grau n temos n raízes, de tal forma que cada raiz tem

multiplicidade k, se aparece k vezes .

Em equações de grau superior ao quarto grau, não conseguimos determinar raízes

exatas para o polinômio, sendo que, são usadas aproximações para esse cálculo.

1.2.4.2 Determinação e Localização de Raízes Reais

Antes da determinação das raízes de um polinômio, é importante sabermos da

localização de raízes reais e como determinar seus coeficientes reais.

Considerando um polinômio com raízes e coeficientes reais, temos que, o valor do

polinômio em um ponto qualquer, pode ser determinado se usarmos um dos métodos

vistos anteriormente, como o método de Newton, tal que,

1

( )

(́ )

kk k

k

f xx x

f x

1kx

Desse método, decorre o algoritmo de Briot Ruffini Horner, que consiste em um

algoritmo em que a determinação de raízes é rápida.

Se escrevermos um polinômio na forma,

1 2

1 2 0

1 2 3 1 0

( ) ...

( ) ((((( ) ) ) ...) )

n n n

n n n

n n n n

P x a x a x a x a

P x a x a x a x a x a x a

Então, se conhecidos os coeficientes do polinômio, 1 2 0, , ,...,n n na a a a , podemos

determinar 1 2 0, , ,...,n n nb b b b , considerando que,

n nb a , 1n k n k n kb xb a

Temos que 0 ( )b P x .

Exemplo 1.5

Determinar todas as raízes de 3 2( ) 2 0.85 1.7P x x x x com precisão de

21.10 ,

usando o algoritmo de Briot Ruffini Horner

Respostas

Plotando os dois gráficos temos,

Devemos, procurar no intervalo que de 0.5 a 1, sendo que a raiz está nas

proximidades de 0.9, portanto tomaremos como 0x = 0.9. Montando a tabela,

k c3 c2 c1 c0 xk Erro

a 0 1 2 -0,85 -1,7 0,9 0

b 1 1 2,9 1,760 -0,116 0,92239 0,0224

c 2 1 3,8 5,18 4,546

Como o erro, 0,0224, deu maior do que o desejado, 0,01, devemos fazer uma nova

iteração, usando 0x =0,92239. Montando a tabela, temos,

k c3 c2 c1 c0 xk Erro

a 0 1 2 -0,85 -1,7 0,9224 0

b 0 1 2,922394 1,8456 0,002368 0,9224 0

c 1 1 3,844787645 5,39201 4,9759 0,9220 0,0004

Como o erro está dentro do especificado, então, 0,9220 é raiz de P(x).

Tendo calculado uma das raízes, devemos determinar o quociente da divisão entre

P(x) e a raiz, tal que,

c3 c2 c1 c0 xk

1 2 -0,85 -1,7 0,922

1 2,922 1,8441 0,0002

Então, 2( ) 2,992 1,8441Q x x x . Então as raízes (de segundo grau), são -0,9235 e

-1,9985, sendo que todas as raízes tem a precisão desejada.

1.2.4.3 Determinação de Raízes Complexas

Um método prático e simples, para determinarmos a quantidade de raízes reais e

complexas em um polinômio é a utilização do Teorema de Huat. Devemos lembrar

que, as raízes complexas ocorrem aos pares (o conjugado da raiz complexa é raiz do

polinômio).

O teorema de Huat, nos fornece a quantidade de raízes, usando análise dos sinais

que o polinômio tem, sendo p(x) e p(-x), isso é, o que ocorre com os sinais do

polinômio considerando números negativos e positivos. Para exemplificar, tomemos o

polinômio 5 4 3 2( ) 2 3 2 5 2P x x x x x x . Sabemos que como seu grau é cinco,

devemos ter cinco raízes (nada sabemos sobre a natureza dessas raízes).

Temos,

c5 c4 c3 c2 c1 c0

P(x) pos pos pos pos neg pos

P(-x) neg pos neg pos pos pos

Analisando as trocas de sinais em P(x), temos que houve troca duas vezes, portanto

há duas raízes positivas e analisando P(-x) temos que ocorreram três trocas de sinal,

havendo três raízes negativas.

Para sabermos o número de raízes complexas, o Teorema de Huat diz que, o

polinômio terá raízes se,

2

1 1. ,0k k ka a a k n

Como 2 3 42, 1, 3a a a , temos que,

2

3 2 4.

1 6

a a a

Então o polinômio tem raízes complexas.