Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
-
Upload
richard-stone -
Category
Documents
-
view
251 -
download
1
Transcript of Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 1/28
Circuitos Elétricos I
1 – Teoremas de análise de circuitos
1.1 – Teorema da superposição
“A corrente que atravessa ou a tensão entre os terminais de um elemento de um circuito
linear é igual à soma algébrica das correntes ou das tensões produzidas independentemente por cada
uma das fontes.”
Praticamente, as fontes de tensão serão curto circuitadas e as fontes de corrente
transformadas em circuitos abertos, uma de cada vez, resultando na soma de cada uma das
influncias destas fontes na vari!vel que se dese"a calcular.
#$emplos%&' (tilizando o teorema da superposi)ão, determine a corrente no resistor de * + do circuito abai$o
e verifique que o teorema da superposi)ão não pode ser usado para calcular a potncia total
dissipada no circuito.
olu)ão% -onsiderando apenas o efeito da fonte de * /%
012 3 # 4 5 6 3 # 4 75 & 8 5 2' 3 * 4 7&2 8 *' 3 2 A.
-onsiderando o efeito da fonte de 9 A%
0112 3 5 & 0 4 75 & 8 5 2' 3 7&2 . 9' 4 7&2 8 *' 3 * A 02 3 012 8 0112 3 2 8 *
02 3 : A; P* 3 702'2 5 2 P* 3 7:'2. * P* 3 :< =; fazendo
P1* 3 7012'2.5 2 3 72'2. * 3 2< =; P11* 3 7*'2. * 3 2&* = P1* 8 P11* 3
3 2< 8 2&* 3 2<> = ? :< =.
2' (tilizando o teorema da superposi)ão, determine a corrente 02 que atravessa o resistor de &2 @
da figura abai$o.
olu)ão% Bevando em considera)ão apenas o efeito da fonte de
corrente de * mA%
012 3 5 & 0 4 75 & 8 5 2' 3 7* @' 7* m' 4 7* 8 &2' 3 2 mA.
&
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 2/28
Bevando em conta somente a fonte de tensão de 9 /%
0112 3 # 4 75 & 8 5 2' 3 9 4 7* @ 8 &2 @' 3 >,C mA.
02 3 012 8 0112 3 2,C mA.
1.2 – Teorema de Thevenin
Dualquer circuito de corrente contEnua linear de 2 terminais pode ser substituEdo por um
circuito equivalente constituEdo por uma fonte de tensão e um resistor em série. Por e$emplo%
5 6F 3 5 & 8 5 2 3 * 8 < 3 &> ;
#6F 3 &2 G < 3 : /.
#$emplos%
&' Heterminar o circuito equivalente de 6Ievenin para a parte sombreada do circuito abai$o.
olu)ão%
5 6F 3 < 8 2 3 * ;
#6F 3 /& 3 5 & . 0 3 < .&2 3 <: /
2' Hetermine o circuito equivalente 6Ievenin para a parte sombreada do circuito abai$o.
olu)ão%
#6F 3 5 &#& 4 75 & 8 5 2' 3 7*.:' 4 7* 8 <' 3
2
5 6F 3 5 &445 2 3 7*.<'47* 8 <' 3 2<4&>
5 6F 3 2,< ;
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 3/28
3 <: 4 &> #6F 3 <,: /.
1.3 – Teorema de Norton
Dualquer circuito de corrente contEnua linear de 2 terminais pode ser substituEdo por um
circuito equivalente formado por uma fonte de corrente e um resistor em paralelo.
#$emplos%
&' #ncontre o circuito equivalente de Jorton para a parte sombreada do circuito abai$o.
olu)ão%
5 J 3 5 &445 2 3 44* 5 J 3 2 ;
0 J 3 # 4 5 & 3 9 4
0 J 3 A.
2' #ncontre o circuito equivalente de Jorton para a parte do circuito à esquerda dos pontos a e b.
olu)ão%
5 J 3 5 &445 2 3 <44* 5 J 3 2,< . (tilizando o teorema da superposi)ão%
0 J 3 011 J G 01 J 3 : G &,KC
0 J 3 *,2C A.
01 J 3 #&45 & 3 K4< 3 &,KC A ; 011 J 3 0 3 : A ;
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 4/28
#$ercEcios%
&' #ncontre a corrente no resistor de 2 do circuito abai$o.
2' Hetermine o circuito equivalente da 6Ievenin para a parte sombreada do circuito abai$o.
' #ncontre o circuito equivalente Jorton para o circuito abai$o.
<' #ncontre a corrente que passa pelo resistor 5 utilizando os teoremas de solu)ão, isto é,
uperposi)ão, 6Ievenin e Jorton.
<
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 5/28
Lbs.% Ls circuitos podem ter C elementos b!sicos% fonte de tensão, fonte de corrente, resistor,
capacitor e indutor. /amos definir os tipos de fontes de um circuito%
a' Monte ideal de tensão é um elemento que mantém uma tensão especificada entre os seus
terminais qualquer que se"a a corrente que a atravessa;
b' Monte ideal de corrente consiste de um elemento que é atravessado por uma corrente
especificada qualquer que se"a a tensão entre seus terminais;
c' Monte independente é aquela que estabelece uma tensão ou corrente em um circuito
independentemente dos valores de tensão ou corrente em outros pontos do circuito;
d' Monte dependente ou controlada é aquela que estabelece uma tensão ou corrente em um
circuito cu"o valor depende do valor da tensão ou da corrente em outro ponto do circuito.
ua representa)ão é a seguinte%
1. – !étodo das correntes de malha
• Associe uma corrente a cada malIa fecIada independente do circuito;
• 0ndique as polaridades de tensão de cada resistor dentro de cada malIa, de acordo com o
sentido da corrente escolIido para esta malIa;
• Aplique a Bei de NircIIoff para tensões a todas as malIas;
• 5esolva as equa)ões lineares simultOneas resultantes para obter as correntes de malIa.
#$emplos%
&' Dual deve ser o valor de 5 o no circuito abai$o se io 3 < A
olu)ão%
2' -alcule o valor de vo no circuito abai$o%
olu)ão%
' Para o circuito abai$o, calcule /o.
olu)ão%
C
8
G
vs 3 Q v$ ou vs 3 R i$ is 3 S v$ ou is 3 T i$
8
G < i
o8
G *< /
5 o
* +
io G < io G 5 o io 8 *< G * io 3 >
G &* G < 5 o G *< G 2< 3 >
< 5 o 3 2< 5 o 3 * +.
8
G C>> /
C +
iU
vo
2> + C iU
io
&
ValIa &%
C>> 3 C iU 8 2> io ; io 3 iU 8 C iU 3 * iU
C>> 3 C iU 8 72>'7* iU' 3 &2C iU
iU 3 < A io 3 2< A vo 3 2> io 3
3 72>'72<' vo 3 <:> /.
2 /a
& @+
2 @+/
a
8
G
&2 /
/o
8
G
io
8
G
8 G
& @+ G 2 /a 8 & @ io 8 &2 8 & @ io 8 2 @ io 3 >
G 2 /a 8 < @ io 3 G &2; /a 3 @ io
7G 2'7 @ io' 8 < @ io 3 G &2
G 2 @ io 3 G &2 io 3 * mA
/o 3 2 @ io 3 72 @'7* m' /o 3 &2 /.
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 6/28
<' Hetermine /o no circuito abai$o.
olu)ão%
C' #quacionar o circuito abai$o pelo método das malIas. #m seguida, escrever o sistema sob a
forma matricial e calcular as correntes das malIas utilizando a regra de Nramer.
1." – !étodo das tens#es de n$
• Hetermine o nWmero de nXs no circuito;
• #scolIa um nX de referncia e rotule cada nX restante com um valor de tensão;
• Aplique a Bei de NircIIoff para correntes a todos os nXs, e$ceto o de referncia;
• 5esolva as equa)ões resultantes para obter as tensões dos nXs.
#$emplos%
&' Para o circuito abai$o, calcule /o.
olu)ão% Pela Bei dos nXs%
*
8
G 2< /
2 +
+
G 8
/a
8
G & +
2 /a
/o
8
G io
G 2< 8 2 io G 2 /a 8 io 8 io 3 >
* io G 2 /a 3 2< io G /a 3 &2;
G /a G 2 /a 8 io 3 > /a 3 io
/a 3 io io G io 3 &2
2 io 3 &2 io 3 * A /o 3 io 3
3 7'7*' /o 3 &: /.
&2 A2 io
< +
io
&2 + * +
/o
2 io 8 &2 3 /o4&2 8
/o4* 8 /o4<; io 3 /o4*;
2 /o4* 8 &2 3 /o4&2 8
8 /o4* 8 /o4<
/o 7&4&2 8 &4* 8 &4< G &4' 3 &2 /o 724&2' 3 &2 2 /o 3 &<< /o 3 K2 /.
> /2 + < +
C + +
&> /
& +
8
G
8
G
8
G
* +
2> /
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 7/28
2' Hetermine o valor da tensão /o para o circuito abai$o.
olu)ão% -Iamando de v a tensão em cada ramo,
pela Bei dos nXs%
' (se o método das tensões de nX para determinar a potncia dissipada pelo resistor de C do
circuito abai$o.
olu)ão%
#$ercEcios
&' -alcule a corrente i e as tensões vc e vd do circuito abai$o, utilizando o método das tensões de
nX.
2' Hetermine, no circuito abai$o% i , v e id.
K
< io
@
@
@
8
Y
/o
&> mA
io
v
< io 3 &>m 8 v4*@ 8 v4@; io 3 v4@
< v4 @ G v4* @ G v4 @ 3 &> m
: v G v G 2v 3 *> C v 3 *>
v 3 &2 / /o 3 v42 3 &242
/o 3 * /.2 > / 2> + : io
&> +
v&
v2
2 +
io
C +2 +
8
G
8
G
Para o nX &% 7v& G 2>'42 8 v&42> 8 7v& G v2'4C 3 > &> v& G 2>> 8 v& 8 < v& G < v2 3 > &C
v& G < v2 3 2>>. Para o nX 2% 7v& G v2'4C 3 v24&> 8 7v2 G : io'42
7v2 G v&'4C 8 v24&> 8 7v2 G : io'42 3 > 2 v2 G 2 v& 8 v2 8 C v2 G <> io 3 >
: v2 G 2 v& G <> io 3 > < v2 G v& G 2> io 3 > < v2 G v& G 2>7v& G v2'4C 3 > < v2
G v& G v& 8 < v2 3 > G C v& 8 : v2 3 >; resolvendo o sistema% v2 3 &> / e v& 3 &* /;
io 3 &* G &> 4C 3 & 2 A PC + 3 * & 2 PC + 3 K 2 =.
7&4&C' vc
< + * +
a b
8
G
&,C /
8
G
vd
2 +
8 vc G
&> +
&2 /
& +
8
G
i
&> /
& +
8
G
8 G
2 +
i 42
2 + 8
< /
G
+8
v
G
i
id
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 8/28
' Hetermine vo para o circuito abai$o e verifique se a potncia fornecida ao circuito é igual à
potncia consumida.
<' -alcule, para o circuito abai$o% i2 , i& e io.
C' abendoYse que vo 3 2C> m/, determine% v&, vg e vo4vg.
*' Para o circuito abai$o, determine vg e demonstre que Pf 3 Pr .
:
&> / 8
G * +
is
+ is
8
G
2 +
8
vo
G
2< / 8
G &> +
i2
C +>,: vg
2 +
8
vg
G
2> +
i&
io
vg 8
G <> +
&> +
&>> +2> i&
8v
&
G
2C + &2,C +C> i2
8v
o
G
C> +
i&
i2
&2,* /
C> @+
8
G
&,C @ +
8 vg G
&> /
2C> +i b
8
G
9 i b>,* /
8 G
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 9/28
K' Jo circuito abai$o, para io 3 C A, calcule% &' /s; 2' A potncia recebida pela fonte de tensão
independente; ' A potncia fornecida pela fonte de corrente independente; <' A potncia
fornecida pela fonte de corrente dependente e C' A potncia total dissipada nos 2 resistores.
:' L circuito abai$o é uma configura)ão freqZentemente encontrada no pro"eto e an!lise de
circuitos transistorizados. uponIa que os valores de T, 5 &, 5 2, 5 e, /cc e /o se"am conIecidos. A'
Heduza, primeiramente, uma fXrmula para calcular ib a partir dos valores conIecidos; b'
Heduza, a partir do valor de ib e dos valores conIecidos, as equa)ões para a obten)ão das
demais correntes 7ic, ie, i& e i2' e das tensões /c, / b e /e.
2 – Capacitores
2.1 – IntroduçãoLs capacitores são formados por 2 condutores elétricos 7placas' separados por um material
isolante 7dielétrico'. 0sto significa que as cargas elétricas não podem atravessar o capacitor. Duando
9
/s
G
8
C +
* io
&> +
C A
io
5 2
/cc
ie
5 e
5 &
8
/ b
G
5 c
T i b
i&
i2
ic
/c
8
/e
G
8 G
/o
i b
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 10/28
uma tensão é aplicada aos seus terminais, as cargas do dielétrico são deslocadas em rela)ão à sua
posi)ão de equilEbrio. Duando a tensão varia com o tempo, esta posi)ão também varia, dando
origem à cIamada corrente de deslocamento, que é proporcional à ta$a de varia)ão da tensão
aplicada.
( ) ( )
( ) ( ) ( )>
t
t -c
-
c tvdi
-
&tvou
dt
tdv-ti
>
+ττ== ∫
2.2 – %ssociação de capacitores
n2&eq
n2&eq
-...---%Paralelo;-
&...
-
&
-
&
-
&%érie +++=+++=
2.3 – &ormas de onda no capacitor
#$emplos%
&' e"a um capacitor de & [M no qual é aplicada uma tensão de * cos 2>>>t /. -alcule a
corrente no capacitor.
olu)ão% ( ) ( ) ( ) ( ) .mAt2>>>sen&2tit2>>>sen&2>>>&>dttdv-ti c
*c −=∴−== −
2' A forma de onda abai$o corresponde a corrente em um capacitor de & M. #sboce a forma de
onda da tensão neste capacitor, sabendo que ele est! descarregado em t 3 >.
olu)ão%
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) %a&t4 p;at>da>vda
&&tv
%a
&t>4 p;>v>d>
&
&tv
>i%>t4 p;vdi-
&tv
t
>
t
>
t
t
>=+τ=+τ=
<<=∴+τ=⇒
⇒=<∞−+ττ=
∫ ∫
∫
∫
∞−
∞−
( ) ( ) &&d>a&vd>
&
&tv
t
a&
t
a&
=+τ=+τ= ∫ ∫ .
' (ma corrente constante de &> mA est! carregando um capacitor de < [M. abendoYse que o
capacitor est! inicialmente descarregado, calcule a tensão neste capacitor apXs 2> ms.
<' (m capacitor de &[M tem uma tensão de &> sen 2>>>t /. AcIe a corrente que passa neste
capacitor.
C' Por um capacitor de >, [M passa uma corrente de &2 e G <>>>t mA. AcIe a tensão v7t' no
capacitor, para t \ >, se v7>' 3 G &> /.
*' (m capacitor de >,< [M possui uma forma de onda de tensão mostrada abai$o. AcIe a
corrente para t 3 G <, G &, 2, C e 9 ms.
&>
i 7t'
a
&4a t
v7t'
&
&4a t
vc7t' 7/'
&>
Y2
YC
Y&> < : &> t 7ms'
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 11/28
K' (m capacitor inicialmente descarregado de >,2 [M é submetido a um pulso de corrente de
forma triangular, descrito pelas seguintes equa)ões% i7t' 3 > p4 t ] >; i7t' 3 C>>>t A p4 > ^ t ]
2> [s; i7t' 3 >,2 G C>>>t A p4 2> [s ^ t ] <> [s; i7t' 3 > p4 t \ <> [s.
a' Hetermine as e$pressões da tensão, potncia e energia do capacitor para os < intervalos
definidos acima;
b' Por que continua a e$istir uma tensão finita entre os terminais do capacitor mesmo quando a
corrente volta a zero
3 – Indutores
3.1 – Introdução
L comportamento dos indutores se baseia em fen_menos associados a campos magnéticos,
campos estes produzidos por corrente elétrica. Duando uma corrente elétrica varia com o tempo, o
campo magnético produzido por esta corrente também varia e então, um campo magnético variante
com o tempo induz uma tensão num condutor imerso neste campo. A tensão induzida est!
relacionada à corrente por um parOmetro denominado de indutOncia 7B'.
( ) ( )
( ) ( ) ( )>B
t
t BBB
B tidvB
&tiou
dt
tdiBtv
>
+ττ== ∫
3.2 – %ssociação de indutores
n2&eq
n2&eqB
&...B
&
B
&
B
&%Paralelo;B...BBB%érie +++=+++=
3.3 – &ormas de onda no indutor
#$emplos%
&' Hetermine, para o circuito abai$o, as correntes i7t' e i*7t'.
olu)ão%
( ) ( ) ( )
∫
∫
∴+ττ=
=∞−+ττ=
=+=+
+=+=
∞−
t
>
t
eq
eq
>d&>>cos*<
&
idvB
&ti
;F<22*
.*244*2B
( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ] ( ) .mAt&>>senCti&>>sen&>>&C,>d&>>cos
*
>id&>>cos*
&ti/t&>>costvt&>>cost&>>cos*
&>>.t&>>cos&>.>t&>>cos*dt
t&>>sen&>.&Cd2t&>>cos*tvtv
tv>tvtvtv;mAt&>>sen&Cti&>>sen&>>
&
<
*ti
*t>
t
>
*
t
>**
2
**2
t
>
=∴τ
=ττ=
=+ττ=⇒=∴−=
=−=−=−=
=∴=++−=∴τ
=∴
∫
∫
−−
&&
2 F
8
Y
* cos &>> t /
i*7t'
* F
i7t'
F
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 12/28
2' A forma de onda da corrente em um indutor de &> mF é a da figura que se segue. Hetermine
a correspondente forma de onda de tensão.
olu)ão%
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ./>tvdt
>d&>.&>tvmA>ti%ms<t4 p;m/&>>tv
dt
&>.<>t&>d&>.&>tvA&>.<>t&>ti
%ms<tms24 p;m/&>>tv&>.&>>dt
t&>d&>.&>tv
At&>t&>.2
&>.2>ti%ms2t>4 p;/>tvmA>ti%>t4 p
=∴=⇒=>−=∴
∴+−=⇒+−=
<<=∴==
⇒==<<=⇒=<
−
−−−
−−
−
−
' -alcular a tensão em um indutor, de indutOncia B, percorrido por uma corrente dada pela
e$pressão% i7t' 3 0m sen `t.
olu)ão%
( ) ( )
( ) .tcos0mBtvdt
tsen0mdBtv ωω=∴
ω=
Lbs.% a' A freqZncia angular 7`' é a mesma logo, a freqZncia também ser! a mesma; b' A
amplitude da tensão é proporcional à freqZncia angular; c' 6ensão e corrente estão defasadas.
<' A corrente em um indutor de 2 mF é i7t' 3 2 cos KK t. Hetermine a tensão que se
desenvolve no indutor.
C' -onsidere o gr!fico da corrente aplicada a um indutor de C F, mostrado abai$o. #sboce a
correspondente forma de onda da tensão.
&2
i7t'7mA'
2>
&>
2 < t7ms'
v7t'7m/'
&>>
Y&>>
2 < t7ms'
&>
i7t'7A'
Y&>
& 2 < C t7s'
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 13/28
*' Para o circuito abai$o, determine v&, v2 e v.
K' Para o circuito e a forma de onda v7t' abai$o, determine i7t'.
:' L pulso de tensão aplicado ao indutor de &>> mF do circuito abai$o é nulo para t ^ >, sendo
dado pela e$pressão v7t' 3 2> t eY&>t para t \ >. Hetermine o gr!fico da corrente no indutor.
9' Jo circuito abai$o, a corrente através do indutor é igual a zero para Y ^ t ^ > e para t \ >,
i7t' 3 & G eY2t A. Hetermine, para t \ >% a' vB7t'; b' v5 7t'; c' v7t'; d' a potncia absorvida pelo
indutor; e' a potncia absorvida pelo resistor; f' a potncia fornecida pela fonte e g' a energia
B7t'.
&>' Para o circuito abai$o, e$citado pela forma de onda de corrente apresentada, determine as
formas de onda da tensão no indutor, da potncia absorvida pelo indutor e da energia
armazenada no indutor.
Circuitos 'C e '(%
&
>,2 F
8
Y /
8 v2 Y
C F
>,: F
C +
8 v&
Y
& +
+
Y >,: A
2,C F
< + 9 +
8
v
Y
i7t'
8
v7t'
Y F
v7t'7/'
2
Y&
& 2 t7s'
i7t'
8
vs7t'
Y
& F
8 v5 7t'
Y
2 + 8
vB7t'
Y
i7t' 8
vB7t'
Y
2 F
& 2
i7t'7A'
t7s'
&
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 14/28
0ntrodu)ão%
-omo sabemos, os indutores e os capacitores são elementos capazes de armazenar energia.
endo assim, um circuito 5B ou um circuito 5-, tem a presen)a de uma fonte, mas, carregados
previamente, produzem correntes e tensões que correspondem à 5esposta Jatural do circuito.
A coloca)ão de uma fonte e$terna no circuito 7de tensão ou de corrente contEnua' produzir! a
cIamada 5esposta a um Hegrau ou 5esposta Mor)ada das correntes e tensões do circuito. Jeste
caso, o circuito dever! ser reduzido a uma das quatro configura)ões abai$o, a fim de se obter um
circuito de primeira ordem.
-ircuito 5B%
-ircuito 5-%
5esposta Jatural de um circuito 5-%
upondo que a cIave permaneceu na posi)ão a por um longo tempo, o circuito 7&' atingiu
seu regime estacion!rio, isto é, a corrente no capacitor é zero e a tensão em seus terminais é )* . #mt 3 >, a cIave ir! para a posi)ão +, produzindo o circuito 72'.
7&' 72'
&<
0oB
eq5
eq
8
/o
Y
-eq
5 eq
iB7t' 8
vB7t'
YB
eq
5 6I
/6I
5 6I
iB7t' 8
vB7t'
YB
eq
5 6I
/6I
8Y
i-7t' 8
v-7t'
Y
-eq
5 6I
/6I
8Y
i-7t' 8
v-7t'
Y
-eq
5 6I
/6I
5 6I
-5
a b
/>
5 &
8
G
t 3 >
- 5 />
v7t'8
G
i7t'
8
Y
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 15/28
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) .2
&&>
222
;.
;;tan
;>%>4;
ln&&
&>>>
2
>
2
>>2
>
>
22
>
>
22
>
>
22
>>
>>
>&
>
&>&
ln
J CV W CV
eeCV
e RC
R
V dt e
R
V
dt t pW W e R
V t pe
R
V eV t pt it vt p
Ae R
V t i
R
t vt iV eV t vtempodetecons
RC comoeV t vk ek V vt pek t v
eek RC
t t vdt
RC t v
t dvdt
RC t v
t dv
t v RC dt
t dv
RC
t v
dt
t dv
R
t v
dt
t dvC t it i
R
t t
R R
t
R
t g
t
R R
t t
RC
t
RC RC
t
k RC
t
t v
RC
=∴−−=−−=
−==
==∞=∴=∴=
=⇒==⇒⇒⇒==⇒=====∴
∴=∴+−=∴−=∴−=∴
∴−=∴=+∴=+∴=+
∞−
∞−∞ −
∞−−−
−−
−−−
+−
∫
∫
∫ ∫
τ τ
τ τ τ
τ τ
τ
Lbs.% Duando o instante a ser analisado iniciarYse em um tempo t* , então a fXrmula para tensão
ser!%
( )( )
>5-
tt
> tt4 pe/tv>
≥=−
−
#$emplos%
&' -alcule a tensão v para t \ > no circuito em regime estacion!rio abai$o.
( )
( ) ( ) ./e*tve*tv
;s&>&>.&>.&>>5-
;e/tv%olu)ão
t&>>>
:
5-
t
>
&>
t
−
−−
−
=∴=
==
=
−−
2' A cIave do circuito abai$o ficou na posi)ão , por um longo tempo antes de ser deslocada em
t 3 > para a posi)ão -. Hetermine, para t \ >, vc7t', v>7t' e i>7t' e a energia total dissipada no
resistor de *> @.
&C
v7t'
/>
t
>,>& QM&>> @
t 3 >8
v
Y
* /
/
&@
8
G
>,C QM2<> @
&>> /
&> @
8
G
$2 @
8
v-7t'
Y
i>7t'
8
v>7t'
Y*> @
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 16/28
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) .m2,&=eeC>
&&>.*>dt&>.e*>dtt p=
;m=e*>t p&>.e.e*>ti.tvt p;mAeti@ *>
e*>
@ *>
tvti;/e*>tve&>>.*,>tv
@ <:@ 2
@ <:tv
;/e&>>tve&>>e/tv;ms<>C,>.@ :>5-;/&>>/
;@ :>@ 2@ <:5 @ 2@ *>@ 2<>
@ *>.@ 2<>@ 2@ *>44@ 2<>5 %olu)ão
@ *>
>
>
tC>
> @ *>@ *>
tC>
@ *>
t2Ct2C
>>@ *>
t2C
>
t2C
>
>
t2C
>
t2C
->
t2C
-&>.<>
t
5-
t
>->
eqeq
=∴−
−===
=∴===∴
∴===∴=
+
=
=∴===µ==
Ω=+=∴++
=+=
∞−−∞ −−∞
−−−−−
−−−
−−−
∫ ∫
−
5esposta for)ada em um circuito 5-%
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) .Ae0tie5-
&50-
dt
e5050d
-dt
tdv-ti
;/e&50tv&ee50tv&e5--0tv.e
dte-
0tv.ede
-
0
dt
tv.ed
eet
-
0tv
5-
&
dt
tdv
dt
tdv-
5
tv0titi0%>t4 p
5-
t
>-5-
t
>
5-
t
>>
--
5-
t
>-5-
t
5-
t
>-5-
t
>-
5-
t
t
>
5-
t
>-
5-
t
5-
t
>
-5-
t
5-
t
5-
dt
>-
--->-5 >
−−
−
−−
=∴
−−=
−
==
−=∴
−=∴
−=∴
∴=
∴=
⇒=∫ =µ⇒
⇒=+∴+=∴+=>
∫ ∫
olu)ão geral de um circuito 5-%
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ./e50/50tv
e5050e/tve&50e/tvvvtv
5-
t
>>>-
5-
t
>>5-
t
>-5-
t
>5-
t
>-f n-
−
−−−−
−+=∴
∴−+=∴
−+=∴+=
P4 /> \ 50>% P4 /> ^ 50>%
#$emplos%
&' AcIe v7t' para t \ > se v7>Y' 3 * /.
&*
vc7t'
/>
50>
t
vc7t'
50>
/>
t
t 3 >
i-7t'
- v-7t'5
i5
0>
8
v7t'
Y2 QM
&> @t 3 >
&> /
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 17/28
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ./e<&>tve&>*&>tv
;ms2>&>.2.&>.&>5-;/&>50
;e50/50tv%olu)ão
tC>tC>
*
>
5-
t
>>>
−−
−
−
−=∴−+=
===
−+=
2' A cIave do circuito abai$o foi mantida por um longo tempo na posi)ão 1. #m t 3 >, a
cIave é colocada na posi)ão 2. Hetermine v>7t' e i>7t' p4 t \ >.
( )
( ) ( )
;mAC,&0@ <>
*>
5
/0
;@ <>5 @ 2>>
@ &*>.@ <>@ :@ &*>44@ <>@ :5 ;/*>/KC
@ 2>>
@ &*>
KC@ <>@ &*>
@ &*>/;/>/<>
@ :>
@ *><>
@ 2>@ *>
@ *>/%>t4 p%olu)ão
J
J
ab J
J Jab
ab>>
−=∴−==
Ω=∴+=+=−=∴−=
=−+
==∴=+
=<
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) .mAe2C,2ti
e&>>9>.&>.2C,>tidt
tdv-ti;/e9>*>tv
e*>>*>tvemC,&@ <>>mC,&@ <>tv
t&>>>
t&>>*
>>
>
t&>>
>
t&>>>
2C,>.@ <>
t
>
−
−−−
−µ−
−=∴
∴−=∴=+−=∴
∴++−=∴−−+−=
5esposta natural de um circuito 5B%
&K
vc7t'7/'
>
Y 2K
Y *>
&> C>t7ms'
>,2C QM*> @
& 2
<> /
2> @
8
G
t 3 >
&*> @ KC /8
v>7t'
Y
: @
G
8
<> @
i>7t'
a
b
> /8
G
>,2C QM
<> @ &,C mA
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 18/28
upondo que a cIave permaneceu fecIada por um longo tempo, o circuito abai$o atingiu seu
regime estacion!rio, isto é, o indutor se comporta como um curto circuito. A tensão entre seus
terminais é zero e as correntes um 5 > e 5 são nulas.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
5
B%tempodetetancons
;e&B02
&t=ee
B5 2
&50de50
d pt=;=e50t p;/e50tvt5itv
;Ae0tie>itie>i
ti
eetB
5
>i
ti
ln
>tB
5 >ilntiln$
B
5 lnd$
B
5 d
dtB
5
ti
tditi
B
5
dt
tdi>ti
B
5
dt
tdi>t5i
dt
tdiB%>t4 p
tB
5 2
2
>
>t
B
5 2
2
>
t
>
B
5 2
2
>
t
> 5
tB
5 2
2
>5
tB
5
>
tB
5
>
tB
5 t
B
5 t
B
5
>i
tiln
t
>
ti
>i
t
>
ti
>i
=τ
−=∴
−
−=τ=
=ττ===∴=
=∴=∴=∴=∴−=∴
∴−−=−∴−=τ∴−=ττ
∴
∴−=∴−=∴=+∴=+>
−−τ−
−−
−−−−
∫
∫
∫ ∫
#$emplos%
&' Para o circuito abai$o, determine i7t' e v7t' em regime estacion!rio.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ./e&>>tve&>>e2>>e2C>
dt
e2d&>tiC>
dt
tdi&>tv
;Ae2tiA2>i0;s&,>&>>
&>
5
B;&>>5
&C>KC
&C>.KCC>
&C>44KCC>5 %>t4 p;A2C>&>>>i>i%>t4 p%olu)ão
t&>t&>t&>t&>t&>
t&>
>
eq
eq
eq
−−−−−
−+
+−
−=∴+−=+=+=
=⇒=====τΩ=∴+
+=
=+=>===<
2' A cIave do circuito abai$o ficou fecIada por um longo tempo antes de ser aberta em t 3 >.
Hetermine, para t \ >% a' iB7t'; b' i>7t' e c' v>7t'. Dual é a energia dissipada no resistor de &>
&:
t 3 >
0> 5
>
B 5
i7t'
8v7t'
Y
t 3 >
&>> /&C>
&> F
C>
i7t'
KC 8
v7t'
Y
2> A>,&
t 3 >
iB7t'
2 F
2
&>
i>7t'
<>
8
v>7t'
Y
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 19/28
) ( ( ( )
( ) ( ) ) ( ) ( )
( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )
( )
( ) ( ) .2C*t=ee2C*e&>
&2C*>
dte2C*>t==e2C*>&>
e&*>
&>
tvt p
;/e&*>tve<<>ti<>tvc;Ae<tie2>C
&
ti<>&>
&>ti b;Ae2>tiA2>>i0;s2,>
&>
2
5
B
;&><>44&>25 %>t4 p;A2>>i>i%>t4 pa%olu)ão
&>
>
>
t&>
>
t&>
&>
t&>
2tC2
>&>
tC
>
tC
>>
tC
>
tC
B>
tC
B>
eq
eqBB
=∴−−=
−=
==⇒=−
==
−=∴−==−=∴−=
=+
−==⇒=====τ
Ω=+=>==<
Ω
∞−∞
−
∞ −Ω
−−
Ω
−−−−
−+
+−
∫
5esposta for)ada de um circuito 5B%
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
.geralolu)ão
Ae5
/0
5
/tie
5
/0
5
/ti
tB
5
5
/0
5
/ti
ln
B
5
5
/lnd
B
5
5
/
ddt
B
5
5
/ti
tdi
5
/ti
B
5
dt
tdi
B
/ti
B
5
dt
tdi
dt
tdiBt5i/
tB
5
>
>
s>
st
B
5
s
>
s
s
>
s
t
>
ti
0
st
>
ti
0ss
sss
⇒
⇒
−+=∴=
−
−∴−=
−
−∴
τ−=
−∴τ−=
−∴−=
−∴
∴
−−=∴+−=∴+=
−−
∫ ∫
) ( )
) ( ) ( ) .A5
/*2&,>ie
5
/
5
/i%t4 p b
;e5
/
5
/tizeroé0,zeroéindutor doinicialenergiaaDuandoa%.Lbs
s&ss
tB
5
ss>
≅τ∴−=ττ=
−=⇒
−
−
&9
5
/s
t 3 >
i7t'
B8
v7t'
Y
i7t'
/s45
>,*2& /s45
C t
v7t'
/s
>,*K /s
C t
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 20/28
#$emplo%
A cIave do circuito abai$o foi mantida na posi)ão a por um longo tempo. #m t 3 >, a cIave
é deslocada da posi)ão a para a +. #sta cIave é do tipo que faz a liga)ão com + antes de abrir em a
para que a corrente no indutor não se"a interrompida.
a) Hetermine a e$pressão de i7t' para t \ >;
b) Dual é a tensão entre os terminais do indutor logo depois que a cIave é colocada na posi)ão
+
c) #sta tensão inicial faz sentido em termos de comportamento do circuito
d) Duantos ms depois que a cIave é colocada na posi)ão + a tensão entre os terminais do
indutor atinge 2< /
e) Plote i7t' e v7t' em fun)ão de t.
)
( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ) ( ) ( )) ( )
.ms>:,C&t&>
C
ln
t
C
lnt&>
C
lneln
<>
2<ee<>2</2<tv4 pd
;/<>&*2<>v/&*:2v%imc;/<>>v>t4 p
;/e<>tve2>>2,>dt
e2>&2d2,>
dt
tdiBtv b
;>t4 pAe2>&2tie&2:&2tims&>>2
2>>
5
B
;A&22
2<i%éidefinalvalor o, b posi)ãona;A:0%a posi)ão Jaa
t&>t&>t&>
2
t&>t&>t&>
t&>&,>
t
>
=∴−
=∴
∴=−∴=∴=∴=⇒==+=⇒−=−==⇒=
=∴=−
==
>−=∴−−+=⇒===τ
==−=
−−−
+
Ω
++
−−−
−−
e'
Circuito '(C aralelo – 'esposta Natural
2>
2< /
2 b a
t 3 >
2>> mF
8
v7t'
Yi7t' &>
: A
v7t'7/'
<>
C>> t7ms'
i7t'7A'
&2
Y :
C&,>: C>> t7ms'
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 21/28
• FipXteses%
1)
2)
3)
2&
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 22/28
#$emplo% Para o circuito 5B- paralelo com 5 3 2>>, B 3 C>mF e - 3 >,2[M. Hetermine%
a' os valores de ;
b' tipo de resposta;
c' repetir a e b para 5 3 &2,C;d' o valor de 5 para se obter uma resposta criticamente amortecida.
olu)ão%
-omo 5esposta uperamortecida.
-omo 5esposta ubamortecida.
Para resposta criticamente amortecida%
-onsidera)ões sobre as formas de resposta natural do circuito 5B- paralelo%
&' 5esposta uperamortecida% quando , as raEzes são reais e distintas e a
resposta é denominada de superamortecida. #ntão, onde são
determinados partir de . Para t 3 >%
22
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 23/28
#$emplo% Para o circuito 5B- paralelo anterior com 5 3 2>>, B 3 C>mF e - 3 >,2[M, temos as
condi)ões iniciais de 3 &2/ e 3 >mA. Hetermine%
a' as correntes ;
b' o valor incial de ;
c' a e$pressão de ; e
d' esboce um gr!fico de para
olu)ão%
Pelos resultados do e$emplo anterior%
2
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 24/28
2' 5esposta -riticamente Amortecida% quando , as raEzes são reais e iguais e a
resposta é denominada de criticamente amortecida 7valor final atingido o mais rapidamente,
sem oscila)ão do sistema' Jesse caso, a resposta é da forma%
Para determinar empregaYse %
#$emplo% e"a o circuito 5B- paralelo abai$o onde . Hetermine%
a' L valor de 5 que resulta em uma resposta criticamente amortecida;
b' -alcule
c' Ma)a um gr!fico de em fun)ão de t para .
2<
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 25/28
olu)ão%
Para resposta criticamente amortecida%
p4 t 3 > 3\ ; p4 t 3\ ;
2C
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 26/28
' 5esposta ubamortecida% quando S2 ^ `>2, as raEzes são comple$as con"ugadas,
sendo a resposta denominada de subamortecida%
2*
& & & >
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 27/28
L.% &' As fun)ões trigonométricas mostram que a resposta é
oscilatXria, cu"a frequncia depende de ;
2' A amplitude dos senos e cossenos diminuem e$ponencialmente e o parOmetro
determina a velocidade desse amortecimento e, por isso, é denominado “coeficiente deamortecimento” ou “fator de amortecimento”;
' Ja ausncia de , . Duando 5 ? > 3\ ? > e ;
<' L comportamento oscilatXrio é devido a e$istncia de dois elementos armazenadores de energia
no circuito 7capacitor e indutor'.
#$emplo% Para o circuito do e$ercEcio anterior com 5 3 2> N%
a' -alcule as raEzes da equa)ão caracterEstica;
b' -alcule em t 3 ;
c' -alcule a tensão para t >; e
d' Ma)a um gr!fico de em fun)ão de t para o intervalo de tempo de > ] t ] &&ms.
olu)ão%
2K
7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc
http://slidepdf.com/reader/full/apostila-de-circuitos-eletricos-idoc 28/28
5esposta do -ircuito 5B- Paralelo ao Hegrau
A diferen)a é que passamos a ter uma #HB de 2h ordem a coeficientes constantes, nãoYIomognea e
a incXgnita é a corrente e não a tensão.
2: