Apostila de Controle Linear I

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CONTROLE LINEAR I Parte A – Sistemas Contínuos no Tempo PROF. DR. EDVALDO ASSUNÇÃO PROF. DR. MARCELO C. M. TEIXEIRA -2010-

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CONTROLE LINEAR I

Parte A – Sistemas Contínuos no Tempo

PROF. DR. EDVALDO ASSUNÇÃO PROF. DR. MARCELO C. M. TEIXEIRA

-2010-

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1

AGRADECIMENTOS

Os autores desejam agradecer ao aluno Pierre Goebel, que em uma tarde de verão decidiu digitar toda apostila de forma voluntária e com o prazer de proporcionar uma leitura agradável aos demais alunos.

Muito obrigado Pierre!

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2

Índice

1- Introdução 5.

2- Classificação e linearização de Sistemas 10.

2.1- Sistemas Lineares 10.

2.2- Linearização 17.

2.3- Linearização Envolvendo Equações Diferenciais 24.

2.4- Linearização Exata por Realimentação 26.

3-Transformada de Laplace (revisão) 28.

3.1- Definição 28.

Tabela de Transformadas de Laplace 30.

3.2- Propriedades das Transformadas de Laplace 31.

3.3- Transformada Inversa 36.

3.4- Resolução de Equações Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo 44.

4- Função de Transferência 48.

4.1 - Definição 48.

4.2- Função de Transferência de Circuitos com A.O 56.

4.2.1- Função de Transferência do A.O. Integrador 57.

4.3- Simulação com o MATLAB 59.

4.4- Função de Transferência de um Sistema Rotacional Mecânico 63.

4.5- Função de Transferência de um Motor de Corrente Contínua (CC) 64.

5- Diagrama de Blocos 66.

5.1- O Detector de Erros 66.

5.2- Função de Transferência de Malha Fechada 66.

5.3- Manipulação no Diagrama de Blocos 67.

5.4- Algumas Regras Úteis 69.

Tabela das Principais Regras para Redução de Diagrama de Blocos 71.

5.5- Simplificação de Diagrama de Blocos com o MATLAB 77.

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3

6- Modelo em Diagrama de Fluxo de Sinal 79.

7- Estabilidade de Sistemas Dinâmicos 85.

7.1- O Conceito de Estabilidade 85.

7.2- O Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 95.

7.3- Estabilidade Relativa 103.

7.4- Exemplos Completos de Projeto 105.

8- Resposta Transitória de Sistemas de 1a e 2a ordem 113.

8.1- Introdução 113.

8.2- Resposta Transitória de Sistema de 1a ordem (devido a entrada degrau) 113.

8.2.1- Exemplo 113.

8.2.2- Caso Genérico 115.

8.3- Resposta Transitória de sistemas de 2a ordem (devido a uma entrada degrau)

. 117.

8.3.1- Exemplo 117.

8.3.2- Caso Genérico 119.

Variação de P.O. em função de 124.

8.3.3- Resposta Transitória X Localização dos Pólos no Plano s 126.

8.3.4- Resposta ao Degrau de Sistemas de Ordem Superior 131.

8.4- Resposta Transitório Usando o MATLAB 134.

8.5- Índices de Desempenho ITA, ISE, IAE 136.

9- Erros de Regime (regime permanente) 139.

9.1- Introdução 139.

9.2- Exemplos de Erro de Regime 139.

9.3- Erros de Regime 141.

Tabela de Erros de Regime 146.

10- Sensibilidade de Sistemas de Controle a Variação de Parâmetros 150.

10.1- Introdução 150.

10.2- Generalização 152.

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4

11- Sinais de Perturbação (ou ruído) em Sistemas de Controle 155.

12-Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) 162.

APÊNDICE A – Laboratório 1 – Curso e Lista de Exercícios do MATLAB 206. APÊNDICE B – Laboratório 2 – Introdução à Robótica 222. APÊNDICE C – Laboratório 3 – Controle de Motor CC 226.

APÊNDICE D – Laboratório 4 – Resposta Transitória de Sistemas

Dinâmicos e Erros de Regime Permanente 230. APÊNDICE E – Bibliografia Básica e Critério de Avaliação 238. APÊNDICE F – Alguns Artigos Científicos Publicados pelos Professores Marcelo C. M. Teixeira e Edvaldo Assunção 239.

Page 6: Apostila de Controle Linear I

5

1-Introdução A engenharia diz respeito ao conhecimento e ao controle de materiais e forças da

natureza para o benefício da humanidade. Dizem respeito aos engenheiros de sistemas de

controle o conhecimento e controle de segmentos à sua volta, chamados de sistemas, com a

finalidade de dotar a sociedade de produtos úteis e econômicos. Os objetivos duplos de

conhecimento e controle são complementares, uma vez que o controle efetivo de sistemas

requer que os sistemas sejam compreendidos e modelados. Além disso, a engenharia de

controle deve considerar muitas vezes o controle de sistemas mal conhecidos, como sistemas

de processos químicos. O presente desafio ao engenheiro de controle é a modelagem e o

controle de sistemas modernos, complexos e interligados, como sistemas de controle de

tráfego, processos químicos, sistemas robóticos e automação industrial e controla-los em

benefício da sociedade.

Um sistema de controle é uma interconexão de componentes formando uma

configuração de sistemas que produzirá uma resposta desejada do sistema. A base para

análise de um sistema é formada pelos fundamentos fornecidos pela teoria dos sistemas

lineares, que supõe uma relação de causa e efeito para os componentes de um sistema.

Apresentamos a seguir uma definição de sistema.

Sistema: é qualquer coisa que interage com o meio ambiente, recebendo deste

informações ou ações chamadas entradas ou excitações e reagindo sobre ele dando uma

resposta ou saída. Isto está sintetizado na figura abaixo:

Geralmente, u(t) e y(t) são relacionados matematicamente através de uma equação

diferencial.

Exemplos de sistemas: i) um avião cuja entrada é o combustível e a saída é seu

Page 7: Apostila de Controle Linear I

6

deslocamento, ii)uma caldeira cujas entradas são ar e combustível e a saída é a temperatura

da água, iii) um automóvel cuja entrada é o ângulo do acelerador e a saída é a velocidade do

automóvel, iv) o rastreador solar cuja entrada é a posição relativa do sol e a saída é a posição

angular das placas conversoras de energia solar.

O modelo matemático de um sistema é muito importante (fundamental) para o projeto de

controle automático. O modelo de um sistema é a relação entre a entrada u(t) e a saída y(t) do

sistema. O modelo pode ser obtido usando-se leis físicas, por exemplo, leis de Newton, leis de

Kirchoff, etc. Ou então usando-se metodologias experimentais, com por exemplo respostas

transitórias, respostas em freqüência etc.

Controle de um sistema significa como agir sobre um sistema de modo a obter um

resultado arbitrariamente especificado.

Um fundamento básico da teoria de controle é o uso da realimentação. Através de

exemplos, iremos introduzir o conceito de realimentação.

1o Exemplo: Considere o seguinte problema no qual o homem deseja aquecer o interior de

um prédio, tendo em vista que a temperatura externa é 0ºC. Para isto ele dispõe de um

aquecedor e um termômetro para leitura da temperatura interna da sala. O objetivo de

controle é manter a temperatura da sala em Ts=22ºC, mesmo na ocorrência de alguns

eventos: abrir a porta, desligar o fogão etc. E que ele possa dormir.

1a estratégia: o homem fecha a chave e então vai dormir. O sistema de controle pode ser

esquematizado no seguinte diagrama:

Page 8: Apostila de Controle Linear I

7

Neste caso temos que o sistema de controle é uma conexão série de três outros

sistemas: HOMEM-CHAVE-AQUECEDOR. Esta configuração é chamada de sistema de

malha aberta.

O resultado é que a temperatura da sala irá crescer indefinidamente se o aquecedor

estiver super dimensionado e Ts>>22ºC. Essa estratégia falhou. Neste caso:

2a estratégia: o homem lê o termômetro e usa a seguinte tática:

Se Ts22ºC ele liga a chave

Se Ts>22ºC ele desliga a chave

Neste caso teremos:

Neste caso o homem não terá altas temperaturas, esta estratégia é melhor que a 1º

porém, o homem não dormirá. O diagrama de blocos deste sistema de controle é:

Page 9: Apostila de Controle Linear I

8

3a estratégia: controle automático usando um bimetal.

O bimetal é composto de dois metais com coeficientes de dilatação térmica diferentes.

O diagrama de blocos deste sistema de controle é:

Note que este é um sistema de malha fechada.

Esta é a melhor tática pois o homem poderá dormir e a temperatura da sala será

mantida em Ts22ºC.

Fator de sucesso: a decisão é tomada após a comparação entre o que queremos e o

realmente temos, ou seja, existe realimentação. Neste caso foi usado um sistema de malha

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9

fechada.

O esquema genérico de um sistema de malha fechada é:

2oExemplo: sistema de controle biológico, consistindo de um ser humano que tenta apanhar

um objeto.

O sistema de malha aberta tem as seguintes vantagens:

i.) Simples construção;

ii.) Mais barato que a malha fechada;

iii.) Conveniente quando a saída é de difícil acesso ou economicamente não disponível.

E ter as seguintes desvantagens:

i.) Distúrbios e variações na calibração acarretam erros e a saída pode ser diferente da

desejada;

ii.) Para manter a qualidade na saída é necessária uma recalibração periódica;

iii.) Inviável para sistemas instáveis

Page 11: Apostila de Controle Linear I

10

2-Classificação e Linearização de Sistemas

As equações diferenciais dos movimentos dos principais processos utilizados em

sistemas de controle são não-lineares. Tanto análise quanto projeto de sistemas de controle

são mais simples para sistemas lineares do que para sistemas não-lineares. Linearização é o

processo de encontrar um modelo linear que seja uma boa aproximação do sistema não-linear

em questão. A mais de 100 anos, Lyapunov provou que se o modelo linear, obtido através de

processo de linearização de um modelo não-linear, é válido em uma região em torno do ponto

de operação e se é estável, então existe uma região contendo o ponto de operação na qual o

sistema não-linear é estável. Então, para projetar um sistema de controle para um sistema

não-linear, pode-se seguramente obter uma aproximação linear deste modelo, em torno do

ponto de operação, e então projetar um controlador usando a teoria de controle linear, e usá-

lo para controlar o sistema não-linear que se obterá um sistema estável nas vizinhanças do

ponto de equilíbrio (ou ponto de operação). Técnicas modernas de projeto de controladores

Fuzzy usando LMIs para sistemas não-lineares permitem que o sistema trabalhe em torno de

vários pontos de operação e ainda garante-se não apenas a estabilidade do sistema não-

linear controlado mas também o seu desempenho temporal.

Antes de apresentar o processo de linearização, se faz necessário estudar o princípio da

superposição útil na classificação de um sistema, verifica-se se um sistema é ou não sistema

linear.

2.1-Sistemas Lineares

Seja o sistema abaixo, com condições iniciais nulas, I.C.=0, em um sistema físico isto

equivale a dizer que o sistema não possui energia armazenada em t=0 ( o sistema estará em

repouso).

Suponha que a entrada u(t)= u1(t) gera a saída y(t)=y1(t) e que a entrada u(t)=u2(t) gera

a saída y(t)=y2(t), ou seja:

Page 12: Apostila de Controle Linear I

11

Definição: um sistema é dito linear em termos da sua excitação u(t) (entrada) e sua resposta

(saída) se o princípio de superposição for “respeitado” pelo sistema.

Princípio de Superposição

Se a entrada u(t)= u1(t) gera a saída y(t)=y1(t), se a entrada u(t)=u2(t) gera a saída

y(t)=y2(t) e se aplicarmos no sistema uma combinação linear das entradas u1(t) e u2(t), ou

seja, u(t)=u1(t)+u2(t) a saída y(t) será a mesma combinação linear das saídas y1(t) e y2(t),

ou seja, y(t)=y1(t)+y2(t), e .

Desta forma, para verificar se um sistema é linear aplica-se o Princípio da Superposição.

Exemplo 1: Verifique se o sistema y(t)=au(t) é linear ou não.

Uma interpretação gráfica deste sistema é:

Sol: Para verificar se o sistema é linear, utilizaremos o princípio da superposição, supondo a

existência de duas entradas distintas, u(t)= u1(t) e u(t)=u2(t), e em seguida aplicando a

Page 13: Apostila de Controle Linear I

12

seguinte combinação linear:

u(t)= u1(t)+u2(t), no sistema y(t)=au(t):

Para u1(t) tem-se y1(t)=a u1(t) (1)

Para u2(t) tem-se y2(t)=a u2(t) (2)

Para u(t)= u1(t)+u2(t) tem-se y(t)=a[u1(t)+u2(t)]

Ainda, y(t)= au1(t)+au2(t) (3)

Substituindo (1) e (2) em (3) tem-se:

y(t)= y1(t)+ y2(t)

Portanto o princípio da superposição foi respeitado, logo o sistema em questão é linear.

Exemplo 2: verifique se o sistema dado por y(t)= a u(t)+b é linear ou não.

Graficamente:

Sol.:

, a0 e b0

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13

u1(t) y1(t)= a u1(t)+b então a

btytu

1

1 (1)

u2(t) y2(t)= a u2(t)+b então a

btytu

2

2 (2)

se

u (t)= u1(t)+u2(t) y(t)=a[u1(t)+u2(t)]+b (3)

Substituindo (1) e (2) em (3) tem-se:

b

a

bty

a

btyaty

)()(

)( 21

ainda,

y(t)= y1(t)+ y2(t)+b(1--) (4)

(4) será igual a y(t)= y1(t)+ y2(t) se e somente se

b=0 ou (1--)=0 =1-

Mas no enunciado foi suposto que b0.

A expressão =1- restringe os valores de e e para que seja linear é necessário que

y(t)= y1(t)+ y2(t), e , portanto não é linear.

Resumo: dos exemplos 1 e 2 conclui-se que:

Exemplo 3: Mostre que o sistema chamado integrador eletrônico é linear.

Obs.: O circuito eletrônico que implementa o integrador utiliza um amplificador operacional

(A.O.) é dado abaixo:

(a saída é igual à integral da entrada)

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14

Sol.: u (t)= u1(t) dttuyft

0 11 )( (1)

u(t)= u2(t) dttuyft

0 22 )( (2)

u(t)= u1(t)+u2(t) dttututy )]()([)( 21 ou ainda, devido as propriedades lineares

da integral:

ff ttdttudttuty

0 20 1 )()()(

Substituindo (1) e (2) em (3) tem-se

y(t)= y1(t)+ y2(t)

logo, o sistema é linear.

Exercícios:

1. O sistema y(t)= u2(t) é linear?

2. O sistema )()( tudt

dty , que é um derivador, é linear?

3. O sistema ))(cos()( tuty é linear?

4. O sistema )(

1)(

tuty , u(t)0 é linear?

5. O sistema )()( tuty é linear?

6. O sistema dt

tdudttuty

ft )(2)(5)(

0 é linear?

7. O sistema )()( tuty é linear?

8. O sistema )(

1)(

2 tuty é linear?

9. O sistema que é um controlador industrial conhecido como controlador PID é o seguinte:

Page 16: Apostila de Controle Linear I

15

ftdttu

dt

tdututy

0)(3

)(22)(10)(

Ele é linear?

Exemplo 4: Os sistemas dinâmicos de interesse neste curso, podem ser expressos por

equações diferenciais da forma:

)1()()()()(0 0

n

i

jm

jj

ii tutbtyta

Demonstrar para integrador: 1

( ) ( ).y t u t

RC

sendo que: yi(t) denota a i-éssima derivada de y(t)

uj(t) denota a j-éssima derivada de u(t)

Demonstre que este sistema é linear.

Sol.: Suponha que para a entrada u(t)= u1(t) a solução de (1) proporciona y(t)=y1(t) e que para

u(t)= u2(t) y(t)= y2(t), assim tem-se:

u1(t)

n

i

m

j

jj

ii tutbtyta

0 011 )()()()(

u2(t)

n

i

m

j

jj

ii tutbtyta

0 022 )()()()(

Para u(t)= u1(t)+u2(t), como e são constantes então uj(t)= u1j(t)+u2

j(t), então:

)]()()[()()( 20 0

1 tututbtyta jn

i

m

j

jj

ii

ou ainda,

)()()()()()( 200 0

1 tutbtutbtyta jm

jj

n

i

m

j

jj

ii

n

i

ii tyta

02 )()(

n

i

ii tyta

01 )()(

Page 17: Apostila de Controle Linear I

16

logo

)()()()()()( 200 0

1 tytatytatyta jm

ji

n

i

m

j

ji

ii

ou

)]()()[()()( 20 0

1 tytytatyta jn

i

m

j

ji

ii

de onde conclui-se que yi(t)= y1i(t)+ y2

i(t) logo o sistema é linear.

Obs.: Se ai(t) e bj(t), em (1), são constantes, para i=1, 2, ..., n e j=1, 2, ..., m; então o sistema

é dito linear e invariante no tempo (SLIT).

Se ai(t) e bj(t), em (1), variam com o tempo, i=1, 2, ..., m; então o sistema é dito linear

variante no tempo (SLVT).

Exemplos:

1. SLIT: considere a esfera de um levitador magnético, cuja ação da força da gravidade tenha

sido quase compensada pela força magnética oriunda de uma bobina principal. Neste caso tem-

se:

Sendo F a força resultante: força magnética menos força da gravidade.

Adotando u(t)=F(t), de (1) tem-se

n

i

l

j

jj

ii tutbtyta

0 0

)()()()(

para n=2 e l=0 temos

Portanto este é um SLIT.

)(1

)( tum

ty

Page 18: Apostila de Controle Linear I

17

2. SLVT: considere o exemplo do foguete lançador de nave espacial. O combustível é

consumido durante o percurso e, portanto a massa total do sistema varia ao longo do

tempo.

Seja ur(t) a força resultante, ou seja:

)3()()()()( tftftftu agr

Substituindo (2) e (3) em (1) temos:

)().()().())().(()( tvdt

dtmtvtm

dt

dtvtm

dt

dtur

ou ainda,

Exercício: Descreva 5 sistema que sejam SLIT e 5 que sejam SLVT. Não se esqueça de

mostrar qual é a entrada do sistema e qual é a saída.

Exercício: Suponha que o sistema de deslocamento de um trem de metrô seja linear.

Sabendo-se que o trem se move utilizando energia elétrica, entre uma estação e a próxima

ele é SLIT ou SLVT? E entre as duas estações extremas da linha?

2.2-Linearização

Na engenharia de controle, uma operação normal do sistema pode ser em torno do

Page 19: Apostila de Controle Linear I

18

ponto de equilíbrio, e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno do

equilíbrio. Entretanto, se o sistema operar em torno de um ponto de equilíbrio e se os sinais

envolvidos forem pequenos, então é possível aproximar o sistema não-linear por um sistema

linear. Este sistema linear é equivalente ao sistema não-linear considerado dentro de um

conjunto limitado de operações.

O processo de linearização apresentado a seguir tem como base o desenvolvimento da

função não-linear em uma série de Taylor em torno de um ponto de operação e a retenção

somente do termo linear.

A linearização de um sistema não-linear supõe que o sistema operará próximo de um

ponto de operação (P.O.), também chamado de ponto de equilíbrio.

Considere que o sistema:

opera próximo ao ponto de operação (P.O.):

Expandindo y=f(x) em uma série de Taylor em torno deste ponto, teremos:

)1()(!2

)()(

)()()( 2

..

2

2

....

o

OP

oOP

OPxx

x

xfxx

x

xfxfxfy

sendo: P.O.=(xo,yo), que é o ponto de operação do sistema.

A suposição de que o sistema não-linear irá operar em torno do P.O., implica que x

ficará próximo de xo, logo (x-xo) será pequeno e quando elevado a 2, 3, ... será menor ainda,

portanto:

)2(,0!3

)(,0

!2

)( 32

oo xxxx

Substituindo (2) em (1) tem-se:

Page 20: Apostila de Controle Linear I

19

)()(

)(..

.. oOP

OPxx

x

xfxfy

ou

Interpretação geométrica

Se tivermos uma função de várias variáveis:

),,,,(..),,()( 2010,21 onon yxxxOPexxxfty

a expansão em série de Taylor desprezando-se potências maiores que 1 é dada por:

ou ainda,

nn xmxmxmy 2211

que é um sistema linear (vide exemplo 1)

que é um

sistema linear

Page 21: Apostila de Controle Linear I

20

Obs.: Se o cálculo de yo, m1, m2, ... , mn não for possível de ser realizado devido à ocorrência

de divisão por zero, diz-se que o sistema não é linearizável em torno do P.O. em questão.

Exemplo: Linearize a função que corresponde ao momento (torque) que a massa m faz com

relação ao ponto “P” do pêndulo simples abaixo. Linearizar em torno do ponto de operação

= 0.

então g()=mglsen()

Neste caso, o ponto de operação é =0.

Expandindo na série de Taylor, temos:

)1()0()(

)()(0

0

ggg

mas,

)2(0)0()(0

mglseng

e

Note que g() é não-linear, pois =1 sen(1) =2 sen(2) se =1+2 sen(1+2) sen1+sen2 é não-linear

O momento é: I=F.r, sendo r=lsen() e F=mg Logo I=mglsen ()

Page 22: Apostila de Controle Linear I

21

)3()0cos()(

)cos()(

0

mglmglg

emglg

logo, substituindo (2) e (3) em (1) tem-se:

g()=mgl

que é um modelo linear.

A figura a seguir mostra que para 44

o sistema linearizado é uma boa

aproximação do sistema não-linear. Este gráfico for feito com a utilização do MATLAB.

PROGRAMA EM MATLAB teta=[-pi:0.03:pi*1.01]; teta2=[-0.96:0.1:0.98]; gteta=sin(teta); linear=teta2; %axes plot(teta,gteta,'k',teta2,linear,'k',... [-4 4],[0 0],'k',[0 0],[-1 1],'k',... [-pi/4 -pi/4],[-0.63 -1],'-.',[pi/4 pi/4],[0.88 -1],'-.') grid

Page 23: Apostila de Controle Linear I

22

Exercício: Repita o exemplo anterior para que g()=0,1cos(), e 2

o . Use o MATLAB para

desenhar os gráficos da função não-linear e a linearizada.

Exemplo: Linearize a função P(i)=ri2 em torno do P.O. : io=1A.

Page 24: Apostila de Controle Linear I

23

R=100

P i

Faça o gráfico (interpretação geométrica)

Sol.:

)(1

1 oi

iii

i

PPP

o

o

mas,

1.21

2

ri

Pe

i

ri

i

P

oi

logo

P=r+2r(i-1) ou P-r=2r(i-1)

ou

P=2ri mas r=100 P=200i

Interpretação geométrica:

Exercício: Uma área tecnológica de grande importância atualmente são as pesquisas para o

desenvolvimento de micro e macro sistemas. A teoria de controle é fundamental para o seu

avanço tecnológico. Considere o micro levitador dado na figura abaixo. O atuador é construído

de PZT com um imã permanente na ponta. A bola é de material ferromagnético e tem

rrPoi

2

11.

Page 25: Apostila de Controle Linear I

24

distância de 2mm.

Na figura a força de atração é dada por:

2)(

x

kxf

sendo k=4,98x10-8N/m2.

Linearize o sistema no ponto de operação xo=1mm, considere como saída de interesse

y(x)=f(x).

É possível linearizar este sistema em torno do ponto xo=0mm?

Exercício: Linearize as funções abaixo em torno P.O :xo=1.

a)y(x)=5x+2

b) 13)( xxy

c)y(x)=2x3

2.3-Linearização Envolvendo Equações Diferenciais.

No método de linearização mostrado, as funções não envolvem funções diferenciais

neste caso, é necessário calcular o ponto de operação do sistema que é um ponto de

equilíbrio (P.E.), que é obtido supondo que o sistema esteja em equilíbrio e, portanto não está

variando ao longo do tempo, ou seja, todas as derivadas são nulas. Depois, expande-se o

sistema em função das variáveis e suas derivadas:

)()(),(..

..

.. PEEP

PE

EP

EPxx

x

gxx

x

ggxxg

Page 26: Apostila de Controle Linear I

25

Exemplo: supondo o seguinte sistema não-linear:

sendo )()(2 2 txtxy

(que é não-linear).

Linearize em torno do ponto de equilíbrio (P.E.).

Sol.: É necessário primeiramente determinar o P.E., para isso supõe-se todas derivadas

nulas: 0)(

ty tem-se:

0=2xE(t)-xE2(t)

0(t)Y e 0(t)X

ou

0(t)Y e 2(t)X

EE

EE

Neste caso,

0)()(2)(),( 2

txtxtyyxg

O modelo linear é:

)()(),(..

..

.. PEEP

PE

EP

EPxx

x

gyy

y

ggyxg

ou seja, adotando-se P.E.: XE=2 teremos:

0),(22),(

yxgpoisxyxyyxg

Page 27: Apostila de Controle Linear I

26

ImglTC )sen(

sendo I momento de inércia em torno do eixo, neste caso: I=ml2.

OBS. No ponto de equilíbrio, o sistema permanece nele se colocado nele (derivadas nulas) e

todas as variáveis são constantes.

2.4-Linearização Exata por Realimentação

Linearização por realimentação é obtida subtraindo-se os termos não-lineares das

equações do sistema e adicionando-o ao controle.

Exemplo: Considere o pêndulo que possui o torque de entrada Tc (controle) agindo no eixo de

rotação

Suponha que o ângulo possa ser medido, projete Tc() tal que o sistema tenha linearização

exata.

Sol.: A equação diferencial é:

ml2

+mglsen()=Tc() (1)

Se escolher o torque Tc() como,

Tc()=mglsen()+u (2)

e substituindo (2) em (1)tem-se:

ml2

=u (3)

que é um sistema linear

O esquema é:

Page 28: Apostila de Controle Linear I

27

A equação (3) é linear, não importando quão grande o ângulo o seja. A realimentação

proporciona um torque Tc baseado na medida de tal que o sistema realimentado seja linear.

Exercício: Linearize o seguinte sistema na forma exata

Page 29: Apostila de Controle Linear I

28

3-Transformada de Laplace (revisão)

A capacidade de obter aproximações lineares de sistemas físicos permite ao projetista

de sistemas de controle o uso de Transforma de Laplace. O método da transformada de

Laplace substitui a solução mais difícil de equações diferenciais pela solução mais fácil de

equações algébricas

Como os sistemas de controle são altamente complexos e largamente interconectados,

o uso da Transformada de Laplace permite a manipulação de equações algébricas ao invéz

de equações diferenciais. Então os sistemas dinâmicos são modelados por equações

diferenciais, primeiramente aplica-se a Transformada de Laplace, depois projeta-se o

controlador no domínio ’s’ e finalmente implanta-se o controlador e analisa-se o resultado

obtido no domínio do tempo.

OBS.:Nesse curso a maioria das transformadas L. e L-1. serão utilizadas diretamente

das tabelas.

3.1-Definição: a transformada de Laplace da Função f(t) é dada por:

L

0)()()( sFdtetftf st

sendo que o ‘s’ é uma variável complexa que não depende de t, s=+jw.

Exemplo: Uma função que será muito utilizada neste curso é a função degrau. Iremos calcular

sua Transformada de Laplace. Um exemplo da função degrau é o fechamento da chave “S” no

circuito abaixo:

Page 30: Apostila de Controle Linear I

29

OBS.: É suposto que os capacitores estão descarregados e os indutores tem corrente nula no

instante inicial t=0s.

A tensão v(t) é do tipo degrau de amplitude A, pois

v(t)=

0tA,

0t 0,

sendo que a chave é fechada no instante t=0, graficamente:

Aplicando-se a Transformada de Laplace v(t) tem-se

V(s)=Lv(t)= )2()(0 dtetv st

Substituindo-se (1) em (2) tem-se

0

00

lim)(

sst

t

stst ee

s

A

s

eAdteAsV

s

AsV )(

A tabela a seguir mostra na linha 2 a transformada de Laplace de degrau unitário

(A=1):L1(t)=1/s

(1)

Page 31: Apostila de Controle Linear I

30

Pares de Transformadas de Laplace

( )f t

( )F s

1

Impulso unitário ( )t

1

2

Degrau unitário ( )l t

1

s

3

t 2

1

s

4

1

1,2,3,...1 !

ntn

n

1

ns

5

1, 2,3,...nt n 1

!n

n

s

6

ate 1

s a

7

atte 2

1

( )s a

8 11

1, 2,3,...1 !

n att e nn

1

( )ns a

9

1, 2,3,...n att e n 1

!

( )n

n

s a

10

sen t 2 2( )s

11

cos t 2 2( )

s

s

12

senh t 2 2( )s

13

cosh t 2 2( )

s

s

14 1

1 atea

1

( )s s a

15 1 at bte e

b a

1

( )s a s b

16 1 bt atbe ae

b a

( )

s

s a s b

17 1 1

1 at btbe aeab a b

1

( )s s a s b

Page 32: Apostila de Controle Linear I

31

18 2

11 at ate ate

a

2

1

( )s s a

19 2

11 atat e

a

2

1

( )s s a

20

senate t

2 2s a

21

cosate t

2 2

( )s a

s a

22

2

2sen 1

1ntn

ne t

2

2 22n

n ns s

23

tente n

n

nn

tn 2

2

2 11

1cos1

s

2

2 2

1

2n

n ns s s

As regras 22 e 23 são válidas para 0< <1.

Esta tabela reúne as principais transformadas utilizadas neste curso. Note que

genericamente F(s) é a razão entre dois polinômios:

11

11

...

...

)(

)()(

asas

bsbs

sd

snsF

nn

n

mm

m

3.2. Propriedades das Transformadas de Laplace

Suponha que Lf(t)=F(s)

1. Lf1(t)+f2(t)=F1(s)+F2(s) (Linearidade)

Prova:

Lf1(t)+f2(t)=

dtetftf st)]()([ 20 1

)()()()( 210 20 1 sFsFdtetfdtetf stst

2. L )0()()( fssFtfdt

d

Prova:

L

00)()()( tdfedtetf

dt

dtf

dt

d stst

Page 33: Apostila de Controle Linear I

32

Integrando por partes,temos:

)()( tfutdfdu

dtsedvev stst

logo

000))(()()( dtsetfetftdfe ststst

00)()()( dtetfsetfetf ststst

)()0( ssFf

3. L0

22

2

)()0()()(

t

tfdt

dsfsFstf

dt

d

Prova:

L

)(2

2

tfdt

dL

)(tfdt

d

dt

ds

PROP 2.

L0

)()(

t

tfdt

dtf

dt

d=

0

2

0

2.

)()0()()()0()(

tt

PROP

tfdt

dsfsFstf

dt

dfssFs

4. L01

1

1

)()()(

t

n

kk

kknn

n

n

tfdt

dssFstf

dt

d

Obs.: foi visto na tabela das transformadas de Laplace que genericamente F(s) é composto

pela divisão de dois polinômios em ‘s’, ou seja:

)(

)()(

sd

snsF

Exemplo: 2)(

1)(

2

1)(

ssd

ssn

s

ssF

As raízes do numerador são chamadas de ”zeros” e as raízes do denominador são

chamadas de pólos.

Lembrete: b

a

b

a

b

audvvuvdu

Page 34: Apostila de Controle Linear I

33

Neste exemplo temos: 2

1

1

1

P

z

5. Teorema do valor final (t+∞) – T.V.F.

Se os pólos de sF(s) possuem parte real negativa,ou seja Repi<0,então:

)(lim)(lim0

sFstfst

Obs.: mais adiante neste curso,veremos que um sistema que tem todos os pólos com parte

real negativa,é dito estável.

Exemplo: Sabendo que Lf(t)=F(s)=)1(

1

ss, determine o valor de

ttf )( (também chamado

de valor de regime permanente).

Sol.: Neste caso, 1

1

)1(

1)(

ssssssF

que possui apenas um pólo:P1=-1. Como P1<0, pode-se aplicar o T.V.F. :

11

1lim)(lim)(lim

00

ssFstf

sst

1)( f

Para simples verificação, segundo a tabela na pg. 30, linha 14, tem-se:

)(tf L-1te

ss

1

)1(

1

logo 1)1()(

t

t

tetf que é o mesmo resultado obtido aplicando-se o T.V.F.

Obs.: o T.V.F. permite obter o valor de regime de um sistema tendo-se apenas a sua

transformada de Laplace (F(s)), sem a necessidade do conhecimento da função temporal

(f(t)). Ou seja, o T.V.F. é útil para determinar o valor de regime de f(t), conhecendo-se apenas

F(s).

Exemplo: f(t)=sen(t)

Page 35: Apostila de Controle Linear I

34

0 5 10 15 20 25 30 35 40-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

f(t)

t

Note que t+∞ f(t) não tem um único valor.

Segundo a tabela: Lf(t)=1

12 s

, linha 10

Para s.F(s)=1

12

s

s , os pólos são P1,2=±j

Logo ReP1, P2=0 e não pode-se aplicar o T.V.F.

Se erroneamente aplicarmos o T.V.F. teremos:

01

lim)(lim)(lim200

s

ssFstf

sst, porém, a senóide não tende a zero quando t+∞.

O erro foi aplicar o T.V.F. sendo que os pólos não são negativos (parte real).

Exemplo: Determinar a transformada de Laplace da função impulso, (t). Uma idéia de

entrada impulsiva é o choque do taco de “baseball” com a bola, o choque tem uma grande

intensidade e curtíssima duração.

A função (t) é dada por:

0/

0/0)(

tp

tpt e 1)(

dtt

Graficamente

Page 36: Apostila de Controle Linear I

35

A função impulso é o caso limite da função pulso de área unitária:

Neste caso a área é A= 11

aa

e )()(lim0

tta

Sol.:

L(t)=

0

00

0

00)(0)()( dtetdtdtetdtet ststst , para 0- <t<0+ tem-se que

e-st neste intervalo é 1.

logo

L(t)= 1)(0

0

dtt (Vide linha 1 da tabela, p.30)

Exercício: Calcule a transformada de Laplace de um sinal u(t) de controle típico de um

sistema automático digital, ou seja controle por computador.

Exercício: Seja )2)(1(

1)(

ssssF , qual é o valor de

ttf )( ?

Exercício: Seja )44(

1)(

22

ssssF , é possível aplicar o teorema do valor final?

Page 37: Apostila de Controle Linear I

36

3.3-Transformada Inversa

A idéia é encontrar

utilizando a expansão de funções em frações parciais e então utilizar a tabela para encontrar

f(t).

Seja: )(

)()(

sQ

sPsF

sendo que P(s) e Q(s) são polinômios e grau (Q(s))≥grau(P(s)).

Polinômio Q(s) é da forma:

nnn asassQ ...)( 1

1 , sendo ai , i=1, 2, ..., n que pode ser expresso na forma:

))()...()(()( 121 nn sssssssssQ

sendo:

si, i=1, 2, ..., n as raízes de Q(s).

1ºCaso: Se o polinômio do denominador:

))()...()(()( 121 nn sssssssssQ

possuir somente raízes distintas ou seja,

sisj, i,j=1, 2, ...,n , ij

então fazemos a expansão:

n

n

ss

k

ss

k

ss

k

sQ

sPsF

...

)(

)()(

2

2

1

1

sendo:

ki=(s+si).iss

sF

)( , i=1, 2, ..., n

Page 38: Apostila de Controle Linear I

37

Exemplo: )3)(2)(1(

35)(

sss

ssF , determine f(t).

Sol.: Neste caso, P(s)=5s+3 e Q(s)=(s+1)(s+2)(s+3)

temos:

321)(

)()( 321

s

k

s

k

s

k

sQ

sPsF

e ki=(s+si)iss

sF

)(

logo

12

2

)3)(2)(1(

)35()1(

1

1

ssss

ssk

7)3)(2)(1(

)35()2(

2

2

ssss

ssk

6)3)(2)(1(

)35()3(

3

3

ssss

ssk

então

3

6

2

7

1

1)(

ssssF

Finalmente, usando a linha 6 da tabela, tem-se:

L-1F(s)=-e-t+7e-2t-6e-3t , t≥0

2ºCaso: Se o polinômio do denominador:

))()...()(()( 121 nn sssssssssQ

possuir raízes não distintas, ou seja, se a raiz si tiver multiplicidade ‘r’, teremos:

n

n

i

ir

i

r

ii

i

ss

k

ss

k

ss

A

ss

A

ss

A

ss

k

ss

k

sQ

sNsF

...)(

...)()(

...)(

)()(

1

12

1

21

1

1

1

1 sendo:

Page 39: Apostila de Controle Linear I

38

iss

rir sFssA

)()(

iss

rir sFss

ds

dA )()(1

iss

rir

r

sFssds

d

rA

)()()!1(

11

1

1

Exemplo: Se )2()1(

1)(

3

ssssF , determine f(t).

Sol.: a raiz s=-1 tem multiplicidade r=3, logo,

33

22121

)1()1()1()2()(

s

A

s

A

s

A

s

k

s

ksF

neste caso:

2

1

)2()1(

1)(

0301

ss sss

ssFsk

2

1

)2()1(

1)2()()2(

2302

ss sss

ssFsk

Façamos: )2(

1

)2()1(

1)1()()1()(

333

sssssssFssG

então,

1)(13 s

sGA

;)(1

2

s

sGds

dA

mas

)1()2(

)2()2()(

2211

ss

ssss

ds

dsG

ds

d

Page 40: Apostila de Controle Linear I

39

logo

0)2(

)2(

1222

s

ss

ssA

1

2

2

3 )()!13(

1

s

sGds

dA que é obtida derivando-se (1)

então

1)2(

22

2

1

1

223

s

ss

s

ds

dA

finalmente:

3)1(

1

1

1

22

12

1)(

sssssF

Segundo as linhas 2, 6 e 8 da tabela (P.26) tem-se:

ttt eteettf 22*

2

1

2

1)(1

2

1)( , t≥0

*função degrau unitário

Exercício: Dado 2)2)(1(

1)(

sssF , calcule f(t).

3ºCaso: Se o polinômio do denominador tem raízes complexas distintas.

Vamos ilustrar o método através de um exemplo.

Exemplo: Determine a L-1. de F(s)=)1(

12 sss

Sol.: Neste caso, as raízes do denominador são:

01 s

2

3

2

13,2 js (raízes complexas conjugadas)

Neste caso é mais interessante usar a componente relativo ás raízes complexas, na

forma polinomial, ou seja:

)1(1)1(

1)(

2321

2

ss

CsC

s

C

ssssF

Page 41: Apostila de Controle Linear I

40

Já sabemos calcular C1:

1)1(

1

021

sssssC

Para que (1) seja satisfeita é necessário que:

1

1

)1(

12

322

ss

CsC

ssss

ou ainda:

)1(

1

)1(

12

32

22

2

sss

sCsCss

sss, logo

01011)1()1(1 3232

2 CeCCsC

então C2=-1 e C3=-1

Assim:

1

11

1

)1(1)(

22

ss

s

sss

s

ssF

ou

4

3

2

12

1

2

11

)(2

s

s

ssF

Que das linhas 20 e 21 da tabela (P. 27) temos:

tsenetettf

tt

4

3

3

1

4

3cos)(1)( 22

Importante:

Se em algum dos casos anteriores, com )(

)()(

sQ

sPsF , com grau (Q(s))=grau (P(s)) então

faça primeiro a divisão:

e depois proceda a expansão em frações parciais de )(

)(

sQ

sR.

Page 42: Apostila de Controle Linear I

41

Exemplo: Determine f(t) se F(s)=1s

s

Sol.: Neste caso, P(s)=s e Q(s)=s+1 e logo grau (P(s)=1 e grau (Q(s))=1, então é necessário

fazer:

1

)1(1)(

ssF LF(s)=(t)-e-t

Obs.: se grau (Q(s))=grau(P(s)) então aparecerá (sempre) uma componente impulsiva ((t))

em f(t).

O gráfico de f(t) do exemplo anterior é:

Page 43: Apostila de Controle Linear I

42

Expansão em Frações parciais usando o MATLAB

O exemplo abaixo foi retirado do Ogata (4ºed.):

Considere a seguinte função

6116

6352

)(

)(23

23

sss

sss

sA

sB

Para essa função

num = [2 5 3 6]

den = [1 6 11 6]

O comando

[r,p,k] = residue(num,den)

apresenta o seguinte resultado:

Essa é a representação em MATLAB da seguinte expansão em parciais de B(s)/A(s):

6116

6352

)(

)(23

23

sss

sss

sA

sB

21

3

2

4

3

6

sss

Para encontrar L-1. basta usar a tabela.

Para sistemas que tenham pólos com multiplicidade, deve-se observar a seqüência de r

e p no MATLAB.

[r,p,k]=residue(num,den)

r=

-6,0000

-4,0000

3,0000

p=

-3,0000

-20000

-1,0000

k=

2

Page 44: Apostila de Controle Linear I

43

num = [0 1 2 3];

den = [1 3 3 1];

[r,p,k] =

residue(num,den)

r =

1,0000

0,0000

2,0000

p =

-1,0000

-1,0000

-1,0000

k =

0

num,den = residue(r,p,k);

printsys(num,den,s)

Expanda a seguinte B(s)/A(s) em frações parciais com MATLAB:

133

32

)1(

32

)(

)(23

2

3

2

sss

ss

s

ss

sA

sB

Para essa função, temos:

num = [0 1 2 3]

den = [1 3 3 1]

O comando

[r,p,k]=residue(num,den)

apresenta o resultado mostrado adiante. É a respresentação em MATLAB da seguinte expressão em frações

parciais de B(s)/A(s):

32 )1(

2

)1(

0

1

1

)(

)(

ssssA

sB

Note que o termo direito k é zero.Para obter a função original B(s)/A(s) a partir de r, p e k, insira o seguinte

programa no computador:

Page 45: Apostila de Controle Linear I

44

Assim, o computador apresentará o num/den, como se segue:

num/den=132^33^

322^

sss

ss.

Exemplo para sistemas com pólos complexos.

Seja:

)1(

1)(

2

ssssF , pólos complexos

>>num=[1];

>>den=[1 1 1 0];

>>[r,p,k]=residue(num,den)

r=

-0.5000+0.2887i

-0.5000-0.2887i

p=

-0.5000+0.8660i

-0.5000-0.8660i

k=

>>[num,den]=residue(r,p,k)

>>

>>pritsys(num,den,’s’)

num/den=

ssssss

sese

12^3^

1

12^3^

10162204.22^0162204.2

sis

i

is

isF

1

8660,05,0

288,05,0

8660,05,0

288,05,0)(

sss

ssF

1

1

1)(

2

3.4-Resolução de Equações Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo

Considere o circuito abaixo

resíduos complexos

Page 46: Apostila de Controle Linear I

45

A tensão sobre o capacitor é vc(t). Suponha que o capacitor esteja descarregado

inicialmente, ou seja:

0)0(0)(0

ctc voutv

Suponha que a chave seja fechada em t=0, ou seja

que é a função degrau e Lv(t)=s

A.

Determine o comportamento da tensão no capacitor, vc(t), ao fechar a chave.

Sol.: para o capacitor tem-se: q=Cvc(t) ou dt

tdvCti

dt

tdvC

dt

dq cc )()(

)(

Segundo as tensões na malha tem-se:

v(t)=Ri(t)+vc(t)

ou

Assim:

Page 47: Apostila de Controle Linear I

46

Lv(t)=RCL

dt

tdvc )(+Lvc(t)

então

)()0()( sVvssVRCs

ACcC

)1(

)()(1

RCss

AsVsVRCs

s

ACC

ou ainda:

RCs

k

s

k

RCss

RC

A

sVC 11)( 21

AsVsksC 01 )(

AsVRC

skRC

sC

12 )(

1

RCs

A

s

AsVC 1)(

, segundo as linhas 1 e 6 da tabela, (pg. 30)

L-1

RC

t

RC

t

eAAeA

RCs

A

s

A1

1

Graficamente

Exercício: Determine a evolução temporal de vc(t) e i(t) no circuito:

Page 48: Apostila de Controle Linear I

47

A chave é fechada em t=0s e vc(t)=0v

Exercício: Determine a evolução temporal de vc(t) e i(t) no circuito:

Suponha que não tenha energia armazenada no circuito antes da chave se fechar, ou

seja, vc(t)=0 e i(t)=0. Aplique o T.V.F. para determinar os valores de regime.

Exercício: Resolva a seguinte equação diferencial:

)()(2)(3)( tutxtxtx

sendo: (0) (0) (0) 0x x x

e u(t)=

01

00

t

t

R1=R2=1Ω C=10-3F

R=1Ω C=10-3F L=0,2H

Page 49: Apostila de Controle Linear I

48

4-Função de Transferência

4.1–Definição

A função de transferência de um sistema de equações diferenciais lineares invariante no

tempo é definida como a relação da Transformada de Laplace da saída (função resposta)

para a transformada de Laplace da entrada (função excitação) sob a hipótese de que todas as

condições iniciais são nulas.

tem-se: Y(s)=G(s).U(s)

Exemplo: Considere o controle do satélite da figura a seguir, sendo que a entrada

controladora é o torque T(t) da turbina. A saída que deseja-se controlar é a posição angular

(t) do satélite.

Admita que a velocidade de rotação )(t

e a posição angular (t) são nulas em t=0, ou

seja: )0(

=0 rad/s e (0)=0 rad (C.I. nulas).

Page 50: Apostila de Controle Linear I

49

Neste caso, o torque é: T(t)=L.F(t). Aplicando a segunda lei de Newton ao presente

sistema e observando que não há nenhum atrito no ambiente dos satélites temos:

Angular

Aceleração

Inércia

de

Momento

torques

ou

)1()(

)(2

2

dt

tdJtT

sendo que J é o momento de inércia do satélite. Nosso objetivo é encontrar a função de

transferência que relaciona a entrada T(t) com a saída (t). Para isso, aplicamos a

transformada de Laplace em (1):

LT(t)=JL

2

2 )(

dt

td

T(s)=

0

0

2 )()()(t

tttsssJ

)()(

)(1

)(

)()()(

22 sG

sT

s

JssT

ssJssT

Esquematicamente tem-se:

logo, G(s)=2

1

Js que é a função de transferência do satélite.

Genericamente a função de transferência é definida como a relação entre a saída e a

entrada do sistema, ou seja:

Page 51: Apostila de Controle Linear I

50

2

1

)(

)()(

JssT

ssG

esquematicamente,

Obs.: Note que a entrada utilizada foi T(t) e é qualquer (genérico). Desta forma G(s) não

depende da entrada.

O conceito de função de transferência será muito útil neste curso, com ela analisaremos

e projetaremos sistemas de controle automático.

Exercício: Determine a função de transferência do circuito:

sendo ve(t) a entrada e vc(t) a saída. Não se esqueça: C.I. nulas.

Generalização

Mostraremos, a seguir, uma generalização do conceito de função de transferência.

Considere um sistema linear invariante no tempo (SLIT):

0)()( dtetysY st

Suponha que u(t)=0 para t<0 e que as condições iniciais são nulas:

y(0)= 0)0(...)0()1(

n

yy e 0)0(...)0()0()(

m

uuu

O sistema é descrito pela equação diferencial:

)1()(...)()()(...)()()(

1

)()1(

11 tubtubtubytyatyatyam

mo

nn

no

Obs.: Já provamos no capitulo 2 (exemplo 4) que este sistema dinâmico é linear. Se ai e bi

são constantes, então é SLIT.

Aplicando a Transformada de Laplace em (1) temos:

Page 52: Apostila de Controle Linear I

51

)2(

...)0()(...)0()(

)(...)0()(...)0()()()1(1

1

)1(11

no

nmm

onnn

o

uussUsbussUb

sUbyyssYsyssYasYa

Como: 0)0(...)0()0()1(

n

yyy e u(t)=0 para t<0 (logo todas as derivadas de u(t)

são nulas para t<0), a equação (2) torna-se

)(...)()()(...)()( 11 sUsbssUbsUbsYsssYasYa mmo

no

ainda:

)3(...)(...)( 11m

mon

o sbsbbsUssaasY

Porém a função de transferência é a relação entre a saída e a entrada do sistema, para

determiná-la isolamos )(

)(

sU

sY em (3):

)(...

...

)(

)(

1

1 sGssaa

sbsbb

sU

sYn

o

mmo

(função de transferência genérica)

Esquematicamente temos:

tem-se: Y(s)=G(s).U(s)

Observe que a F.T. genérica é uma razão entre dois polinômios genéricos.

Obs.:

1. G(s) independe do valor da entrada, é uma característica do sistema.

2. Se u(t)=(t) (impulso unitário), temos U(s)=1 logo

)()(

1).()().()(

sGsY

sGsUsGsY

Portanto, a resposta Y(s) ao impulso de um sistema é matematicamente igual à função

de transferência G(s) do sistema.

3. A F.T. relaciona a entrada e a saída do sistema de uma forma geral.

Como obter a Função de transferência

Page 53: Apostila de Controle Linear I

52

A- Experimentalmente- a metodologia experimental será abordada no laboratório.

B- Teoricamente- deve-se seguir os seguintes passos:

1- Escreva a equação diferencial do sistema, utilizando as leis físicas, mecânicas,

circuitos elétricos, etc.

2- Aplique a transformada de Laplace na equação encontrada, considerando

todas as C.I. nulas.

3- Isole a saída da entrada fazendo:

)()(

)(sG

sU

sY

Exemplo: Recentes pesquisas em controle automático estão desenvolvendo o piloto

automático para automóveis.

O diagrama abaixo mostra o sentido das ações das forças: força do motor (u(t)) e força

de atrito (fa(t)).

A entrada do sistema é a força u(t) realizada pelo motor e a saída é a posição x(t) do

carro. A saída de interesse pode também ser a velocidade v(t)= )(tx

do carro. Suponha que o

carro esteja parado em t≤0, logo, x(0)= 0)0()0(

xx e que o motor esteja em ponto morto, ou

seja : u(t)=0 para t≤0.

Por simplicidade, nós assumiremos que o momento de inércia das rodas são

desprezíveis; neste caso, podemos aplicar:

)(.. txmamFx

A força de atrito se à força de opõe à força de impulsão u(t), logo:

Page 54: Apostila de Controle Linear I

53

)()()( txmtxbtu

(1)

1º) Suponha que a saída de interesse é a posição x(t) do carro e que desejamos obter a

função de transferência entre a força do motor e a posição:

?)(

)(

sU

sX

Aplicando transformada de Laplace em (1) com C.I. nulas:

L.U(s)-bsX(s)=ms2X(s)

ou ainda,

.2

2

)(1

)(

)()()(

POSsG

bsmssU

sXsUbsmssX

Gpos(s)

2º) Suponha que a saída de interesse é velocidade v(t)= )(tx

do carro:

?)(

)(

sU

sV

substituindo-se v(t)=

x (t) em (1) tem-se

)()()()( tvmtvmtbvtu

pois )()( txtv

L. U(s)-bV(s)=msV(s)

V(s)[ms+b]=U(s)

.)(

1

)(

)(

VELsG

bmssU

sV

Gvel(s)

bsms 2

1

U(s) X(s)

bsms 1

U(s) X(s)

Page 55: Apostila de Controle Linear I

54

.)(

VELsG - Função de Transferência que relaciona a velocidade v(t) do carro com a força u(t) do

motor.

Exemplo: O sistema de suspensão do automóvel está ilustrado a seguir:

Este é um modelo que 4

1 de automóvel.

O cilindro do amortecedor contém ar que passa de um lado para o outro, quando ocorre

um movimento relativo. Ele aplica sempre uma força de reação, ou seja contrária ao

movimento de suas extremidades.

O amortecedor viscoso proporciona fricção viscosa, ou seja, ele se opõe a qualquer

movimento relativo das duas extremidades, dissipando energia na forma de calor.

Page 56: Apostila de Controle Linear I

55

Modelo matemático

( ) d( )aF t f t

As forças sobre a massa m são:

sendo: força da mola; Fm=k(y-x)

força do amortecedor:Fa=f(

xy )

Sabemos que:

amFy .

logo:

mg-f(

xy )-mg-k(y-x)=m

y

Aplicando: Laplace com C.I. nulas

)()()()()( 2 sYmssXsYkssXssYf

)()( 2 sXksfkfsmssY

)()(

)(2

sGkfsms

ksf

sX

sY

Page 57: Apostila de Controle Linear I

56

Note que a irregularidade x(t) da pista é a entrada do sistema (excitação) do sistema e o

deslocamento y(t) da carroceria do carro é a saída (resposta)

4.2-Função de Transferência de Circuitos com Amplificador Operacional (A.O.)

O A.O. tem a característica de alta impedância de entrada e baixa de saída. Idealmente,

a impedância de entrada é infinita, logo a corrente de entrada é nula. A figura abaixo mostra o

circuito do A.O. na configuração inversora.

Como Re+, tem-se que a corrente i10A, logo a tensão no nó P é igual a 0v, esse nó

P é chamado de terra virtual.

Podemos fazer a seguinte equivalência:

tem-se:

11

)()()(

R

teitiRte

0=R2i+v(t) v(t)= )(1

2 teR

R

Aplicando L., temos:

Re+

1

Page 58: Apostila de Controle Linear I

57

)()(1

2 sER

RsV

logo

)()(

)(

1

2 sGR

R

sE

sV

4.2.1-Função de Transferência do A.O. Integrador

O circuito pode então ser colocado na forma de impedâncias no domínio ‘s’ (ver curso

de Circuitos Elétricos):

temos:

R

sEsIsIRsE

)()(0)(.)(

)()(1

0 sVsIsC

)(1

)(

)()(

1)( sG

RCssE

sVsE

RCssV

Esta é a função de transferência do integrador, ou seja, a saída é igual à integral da

entrada, genericamente:

Page 59: Apostila de Controle Linear I

58

Verificação

Obs.: note que a função de transferência do integrador possui no denominador um polinômio

de 1ª. ordem com apenas ‘s’, o que proporciona o pólo s1=0. Neste curso será muito útil o

conceito de que a função de transferência do integrador é do tipo:

Exercício: Determine as funções de transferência dos circuitos abaixo:

linha 3 da tabela da pg. 30.

linha 3 da tabela da pg. 30.

Page 60: Apostila de Controle Linear I

59

4.3-Simulação com o MATLAB

O MATLAB é utilizado para simular sistemas de controle. Os alunos do Grêmio de

Engenharia Elétrica (Giovani e Clarice) prepararam um material introduzindo o uso do

MATLAB em controle linear. Na próxima página está este material.

No Apêndice A consta um curso introdutório da utilização do MATLAB.

R

Page 61: Apostila de Controle Linear I

60

MATLAB EM CONTROLE LINEAR

O MATLAB possui um “toolbox” com uma grande diversidade de funções apropriadas

para a análise de sistemas de controle. Estas funções estão disponíveis através do comando:

help control.

Para ilustrar a utilidade do MATLAB nesta análise, suponha que um automóvel em

movimento passe por diferentes obstáculos (elevações) na pista. Abaixo temos apresentado

um esquema representativo de um modelo para o automóvel com um amortecedor (f) e uma

mola (k):

a) Suponha que o automóvel passe pela elevação representada a seguir:

d = 25 cm

Neste exemplo: m=1000, f=500 e k=200

Esta elevação corresponde à entrada do sistema e é chamada de entrada degrau. Para

observar a resposta do sistema (movimento do sistema massa-mola, amortecedor, ou seja, o

suposto automóvel) executemos o seguinte programa:

( )x s ( )y t2

sf k

s m sf k

( )G s

%Parâmetros do sistema m=1000; f=500; k=200; %Numerador num=[f,k]; %Denominador den=[m,f,k];

%Tempo de simulação tempo=0:0.1:30; %Função degrau y=0.25*step(num,den,tempo); %Gráfico plot(tempo,y,'b') xlabel('Tempo[s]'); ylabel('y(t)[m]');

Page 62: Apostila de Controle Linear I

61

Assim, podemos visualizar a seguinte resposta:

b) Supondo agora que o automóvel encontre o seguinte obstáculo (conhecido como função rampa):

d t o

Pode-se verificar a saída do sistema [y(t)] (posição da massa) executando o seguinte programa:

%Parâmetros do sistema num=[500,200]; den=[1000,500,200]; %Função rampa (vetor coluna) u=0:.025:.225; u=u'; a=0.25*ones(1,30); a=a'; u=[u;a];

%Tempo de simulação t=0:1:39; [y,x]=lsim(num,den,u,t); %Gráfico plot(t,y,'b',t,u,'r') xlabel('Tempo[s]'); ylabel('y(t)[m]'); text(18,0.28,'y(t)'); text(13,0.24,'u(t)');

Page 63: Apostila de Controle Linear I

62

Assim como resultados temos:

Page 64: Apostila de Controle Linear I

63

4.4-Função de Transferência de um Sistema Rotacional Mecânico

Este sistema representa a carga que um motor elétrico tem em seu eixo. O sistema é

Sabemos que: angularaceleraçãoinérciademomentotorques

logo,

)()()( tJtftT

Aplicando a transformada de Laplace, sendo C.I. nulas, temos: )()()( 2 sJssfssT

ou ainda,

)(1

)(

)(2

sGfsJssT

s

Exercício:Prove que se a saída de interesse fosse a velocidade de rotação (t)= )(t

a F.T.

será:

fJssT

ssG

1

)(

)()(

2

Page 65: Apostila de Controle Linear I

64

4.5-Função de Transferência de um Motor de Corrente Contínua (Motor CC)

O motor CC converte energia elétrica de corrente contínua em energia mecânica de

movimento rotativo, vide Dorf 8ºed, pg. 40. Devido a recursos tais como torque elevado,

possibilidade de controle de velocidade ou posição angular sobre uma ampla faixa de valores,

portabilidade, característica velocidade-torque bem comportada e adaptabilidade a vários tipos

de métodos de controle, os motores são usados largamente em numerosas aplicações de

controle, incluindo manipuladores robóticos, mecanismos de transporte e fitas, acionadores de

disco, máquinas-ferramentas e atuadores de sensoválvulas.

A função de transferência do motor CC será deduzida por meio de uma aproximação

linear do motor real, e os efeitos de histerese e queda de tensões nas escovas, serão

desprezados. A tensão de controle é aplicada no campo, vf(t).

Então neste sistema a entrada é vf(t) e a saída a posição angular (t) do eixo.

O fluxo no entreferro do motor é proporcional à corrente de campo:

)()( tikt ff

O torque desenvolvido pelo motor é admitido como sendo proporcional a )(t e a

corrente de armadura:

)().()()()( 11 titikktitktT affam

Como o motor é controlado pelo campo, ia(t) é uma constante: ia(t)=Ia logo:

Page 66: Apostila de Controle Linear I

65

)1()()()()( sIksTtiIkktT fmmfafim

km

A corrente de campo se relaciona com a tensão de campo através de

)2()()( sIsLRsV ffff

O torque de atrito dos rolamentos é:

)3()()( tbtTa

Sabemos que:

)(

)4(

tJTT

Angular

Aceleração

Inérciade

Momentotorques

am

Substituindo (1) e (3) em (4):

)()()( tJtbtik fm

Aplicando Laplace com C.I. nulas:

)5()()()( 2 sJsssbsIk fm

Isolando-se If(s) em (2) e substituindo em (5):

)()()( 2 sJsbssVsLR

kf

ff

m

ou ainda,

))(())(()(

)(2 JsbsLRs

k

JsbssLR

k

sV

s

ff

m

ff

m

f

Normalmente, Lf é muito pequeno, ,0fL

então,

)()()(

)(sG

Jsbs

Rk

sV

s f

m

f

Exercício: Como seria a F.T. do motor CC se a saída de interesse fosse (t)=

(t) ou seja a

velocidade de rotação do eixo?

Page 67: Apostila de Controle Linear I

66

5-Diagrama de Blocos

Os sistemas dinâmicos que abrangem os sistemas de controle automático são

representados matematicamente por um conjunto de equações diferenciais simultâneas. O

uso da transformada de Laplace reduz o problema à solução de um conjunto de equações

algébricas lineares. Como os sistemas de controle dizem respeito ao controle de variáveis

específicas, isto requer a inter-relação entre as variáveis controladas e as variáveis de

controle. Esta relação é representada pela função de transferência do subsistema que

relaciona as variáveis de entrada e de saída (vide Dorf, 8º ed.). Ver exemplos da pág. 111

desta apostila.

A importância da relação causa e efeito da função de transferência é evidenciada pela

facilidade de representar a relação entre as variáveis do sistema através de diagramas. A

representação das relações de sistemas em diagrama de blocos é predominante na

engenharia de sistemas de controle.

O diagrama de blocos de um sistema é a representação das partes que o constituem e

suas conexões. O elemento básico de um diagrama de blocos é a função de transferência:

5.1-O Detector de Erros

A realimentação utiliza o detector de erros:

5.2-Função de Transferência de Malha Fechada

A representação em diagrama de blocos permite que sistemas complexos sejam

simplificados, facilitando sua análise.

Page 68: Apostila de Controle Linear I

67

Configuração básica:

O objetivo é determinar uma função de transferência que relaciona Y(s) com U(s).

Temos:

Y(s)=G(s).E(s) (3)

e

E(s)=U(s)-Y(s) (4)

Substituindo (3) em (4) temos:

Y(s)=G(s).[U(s)-Y(s)]

ou ainda,

Y(s)+G(s)Y(s)=G(s).U(s)

ainda:

Y(s)[1+G(s)]=G(s).U(s)

logo,

Y(s)= )()(1

)(sU

sG

sG

A entrada U(s) é relacionada com a saída Y(s) através da função:

)()()()(1

)()( sUsHsY

sG

sGsH

ou seja:

Page 69: Apostila de Controle Linear I

68

5.3-Manipulação no Diagrama de Blocos

Um diagrama de blocos muito comum em sistemas de controle automático é:

Verifique que este diagrama representa o diagrama de controle de temperatura

mostrado no Capítulo 1 deste curso.

Do diagrama acima temos:

E(s)=U(s)-H(s)Y(s) (a)

e

Y(s)=G(s)E(s) (b)

Substituindo (a) em (b):

Y(s)=G(s)[U(s)-H(s)Y(s)]

ou

Y(s)=G(s)U(s)-G(s)H(s)Y(s)

ainda:

Y(s)+G(s)H(s)Y(s)= G(s)U(s)

logo,

Y(s)[1+G(s)H(s)]=G(s)U(s)

finalmente:

)()()(1

)()( sU

sHsG

sGsY

Exercício: Mostre que a F.T.M.F. do sistema abaixo é:

Page 70: Apostila de Controle Linear I

69

)()(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sU

sY

5.4-Algumas Regras Úteis

Verificação: de (I) tem-se

)(U(s)(s)Y

G(s)U(s)(s)Y

2

1 a

de (II) tem-se

)()()()(

1)()(

)()()(

2

1

bsUsUsG

sGsY

sUsGsY

como (a) é equivalente a (b),

então (I) é equivalente a (II).

Page 71: Apostila de Controle Linear I

70

Verificação: (I) Y1(s)=G(s)U(s)

Y2(s)=G(s)U(s)

(II) Y1(s)=G(s)U(s)

Y2(s)=G(s)U(s)

temos:

Y(s)=U1(s)G(s)-U2(s) Y(s)=U1G(s)-U2(s)

Page 72: Apostila de Controle Linear I

71

Em Ogata pode-se encontrar as principais regras para redução de diagrama de blocos:

A

B C

A-B A-B+C

A

B

C

A-B+C

BC

A+C A-B+CA

A

B

C

A-B A-B+C

G1A

G2

A G1A G1G2 G 2

AG 1

A G 2 A G 1G 2

G1A

G2

A G1A G1G2

G 1A

G 2

A G 1G 2

G1A

G2

A G1 AG1

A G2

+AG2

G 1A

+G2

A G 1 +AG 2

GA AG AG-B

B

GAG-B

1/G

A-B/G

B/G

A

B

GA A-B

B

AG-BG GA

G

AG

BG

AG-BG

B

GA

AG

AG GA

AG

AG

G

GA

A

AG GA

A

AG

1/GAG

B

A

A-B

A-B B

A A-B

A-B

B

G 1A

G 2

A G 1 A G 1

A G 2

+AG 2G

A

G /G

AG

11

12

G 1 +AG 2

G 1

A

G 2

B

1/GA

B

2 G 2 G 1

B

G 1

A

G 2

B

A / (1+G1G1 G )2

Diagrama de blocos originais Diagrama de blocos equivalentes

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13B

Obs.: Já foi demonstrada a regra 13 nas páginas anteriores.

Page 73: Apostila de Controle Linear I

72

Exercício: Demonstre todas as regras da tabela anterior, menos aquelas já demonstradas

neste texto.

Exemplo: Determine a F.T.M.F. de:

Sol.:

Usando a regra 9 da tabela temos:

Agrupando os blocos que estão em série (regra 4 da tabela) tem-se:

Usando a regra 13 tem-se:

Page 74: Apostila de Controle Linear I

73

Usando a regra 4:

Usando a regra 13:

ou ainda,

Aplicando novamente a regra 13 temos:

Page 75: Apostila de Controle Linear I

74

Exercício: Determine a função de transferência de malha fechada de:

Resposta:

Exemplo: Determine a F.T.M.F. do circuito abaixo. Suponha R=103Ω e C=10-6F, com o

MATLAB, simule e sistema sendo ve(t) uma entrada degrau unitário, obtendo vs(t).

Sol.:

1. É necessário introduzir o equacionamento do A.O. na configuração somador:

Page 76: Apostila de Controle Linear I

75

tem-se:

R

tvti

R

tvti

R

tvti e )(

)(;)(

)(;)(

)( 43

321

e

i(t)=i1(t)+i2(t)+i3(t)

)()()()(0 11 tRitvtvRti

logo

))()()(()()()(

)( 3434

1 tvtvtvR

tv

R

tv

R

tvRtv e

e

Aplicando a transformada de Laplace:

))()()(()( 341 sVsVsVsV e

Logo o modelo em diagrama de blocos do A.O. somador é :

2.

Page 77: Apostila de Controle Linear I

76

3.

Então o diagrama de blocos do circuito completo é:

Fazendo associações série e depois usando a regra 13:

ou ainda:

O resultado da simulação está mostrado na figura abaixo, bem como o programa

utilizado.

Page 78: Apostila de Controle Linear I

77

5.5-Simplificação de Diagrama de Blocos com o MATLAB

O MATLAB tem algumas funções para simplificação de diagrama de blocos (vide

Ogata).

Suponha

1 2

num1 num2( ) , ( )

den1 den2G s G s

As associações são:

num,den series num1,den1,num2,den2

num,den parallel num1,den1,num2,den2

num,den feedback num1,den1,num2,den2

(a)

(b)

1( )G s( )C s

2 ( )G s( )R s

1( )G s( )C s

2 ( )G s

( )R s

Page 79: Apostila de Controle Linear I

78

(c)

(a) sistema em cascata; (b) sistema em paralelo; (c) sistema com realimentação (de

malha fechada).

Por exemplo, considere:

1 22

10 num1 5 num2( ) ,

2 10 den1 5 den2G s G

s s s

Um programa que realiza todas as associações acima é dado a seguir:

num1=[0 0 10]; den1=[1 2 10]; num2=[0 5]; den2=[1 5]; [num,den]=series(num1,den1,num2,den2); printsys(num,den) num/den = 50 ----------------------- s^3 + 7 s^2 + 20 s + 50 [num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2); printsys(num,den) num/den = 5 s^2 + 20 s + 100 ----------------------- s^3 + 7 s^2 + 20 s + 50 [num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2); printsys(num,den) num/den = 10 s + 50 ------------------------ s^3 + 7 s^2 + 20 s + 100

Para maiores detalhes digite no MATLAB: help feedback

1( )G s( )C s

2 ( )G s

( )R s

Page 80: Apostila de Controle Linear I

79

6-Modelo em Diagramas de Fluxo de Sinal

Os diagramas de blocos são adequados para a representação das inter-relações entre

variáveis controladas e de entrada. Contudo, para um sistema com inter-relações

razoavelmente complexas, o procedimento de redução do diagrama de blocos é trabalhoso,

vide Dorf 8º ed. Um método alternativo para se determinar a relação entre variáveis de um

sistema foi desenvolvido por Mason e é baseado em uma representação do sistema por meio

de segmentos de arcos. Este método é chamado de diagrama de fluxo de sinal e sua

vantagem é a disponibilidade de uma fórmula geral para determinar a função de transferência

equivalente do sistema.

Consideremos:

)1()()()( sXsGsX jiji

sendo Xi(s) e Xj(s) sinais e Gij(s) função de transferência.

O diagrama de fluxo de sinal de (1) é :

Toda variável num diagrama de fluxo de sinal é designada por um nó, e cada função de

transferência por um ramo.

Regra da adição

Regra de Multiplicação

Page 81: Apostila de Controle Linear I

80

Percurso: é um ramo ou seqüência contínua de ramos que podem ser atravessados de

um sinal (nó) a outro sinal (nó).

Laço: é um percurso fechado que se origina e termina em um mesmo nó de modo que

ao longo do percurso nenhum nó seja encontrado duas vezes.

Laços disjuntos: dois laços são ditos disjuntos quando não possuem um nó comum.

Dois laços que se tocam são não-disjuntos e compartilham um ou mais nós comuns.

Exemplo de construção de diagrama e fluxo a partir do diagrama de blocos.

Considere o diagrama de blocos abaixo, o diagrama de fluxo equivalente é dado ao

lado.

Neste caso, entre a entrada R(s) e a saída C(s) temos um único percurso:

Também temos um único laço:

Como temos apenas um laço, não existem laços disjuntos.

Ganho do Laço: é o produto dos ganhos dos ramos do laço.

No exemplo acima, o ganho do laço é:

Page 82: Apostila de Controle Linear I

81

)()(1 sHsGL

Ganho de Percurso: é o produto dos ganhos dos ramos encontrados atravessando-se o

percurso.

No exemplo acima, o ganho do percurso entre a entrada e a saída é:

)(1 sGP

Fórmula de Mason

A função de transferência Tij(s) entre a variável Xi(s) e Xj(s) de um diagrama de fluxos é

dada pela fórmula de Mason:

t

kijkijk

ij

PsT 1)(

sendo Pijk=k-éssimo percurso entre a variável Xi(s) e a variável Xj(s).

t = número total de percursos entre Xi(s) Xj(s)

=determinante do diagrama

ijk=co-fator do percurso Pijk

O somatório é feito para todos os k percursos possíveis entre Xi(s) e Xj(s). O co-fator ijk

é o determinante com todos os laços que tocam o percurso k removidos (Dorf 8ºed.). O

determinante é:

,

1 11

1 ... ,M QN

n m q r s tn m

q

L L L L L L

sendo Lq é igual ao valor da transmitância do q-éssimo laço. Portanto, a regra para calcular

em termos dos laços L1, L2, L3, ..., LN, é (Dorf 8º ed.)

=1-(soma de todos os ganhos de laços distintos)

+(soma dos produtos de ganhos de todas as combinações de laços disjuntos 2 à 2)

-(soma dos produtos de ganhos de todos as combinações de laços disjuntos 3 à 3)

+...

Page 83: Apostila de Controle Linear I

82

A função de transferência entre a entrada R(s) e a saída Y(s) é dada sob a forma um

tanto simplificada:

kkkP

sT )(

sendo )(

)()(

sR

sYsT

Exemplo (Dorf 8ºed.):

Um diagrama do fluxo de sinal com dois percursos está mostrado a seguir. Um exemplo

de sistema de controle com múltiplos percursos de sinal é o de um robô com diversas pernas.

Os dois percursos conectando a entrada R(s) e a saída Y(s) são:

os ganhos são: P1=G1G2G3G4 e P2=G5G6G7G8. (1)

Há quatro laços independentes (distintos):

Page 84: Apostila de Controle Linear I

83

os ganhos dos laços são:

L1=G2H2, L2=G3H3, L3=G6H6 e L4=G7H7. (2)

Os laços L1 e L2 não tocam L3 e L4, logo o determinante é:

=1-(L1+L2+L3+L4) + (L1L3+L1L4+L2L3+L2L4)

pois não há combinações de laços disjuntos 3 a 3, ou maiores.

O co-fator do determinante ao longo do percurso 1 (P1) é calculado, a partir de ,

removendo-se os laços que tocam o percurso 1, assim

)(10 43121 LLeLL

De modo semelhante, o co-fator para o percurso 2 é fazendo-se L3=L4=0 em , obtendo-

se:

)(1 212 LL

Portanto a função de transferência do sistema é

423241314321

2124312211

1

)1()1()(

)(

)(

LLLLLLLLLLLL

LLPLLPPPsT

sR

sY

Substituindo-se (1) e (2) em (3):

773366337722662277663322

3322876577664321

)(1

)](1[)](1[)(

HGHGHGHGHGHGHGHGHGHGHGHG

HGHGGGGGGHGHGGGGsT

Exercício: Mostre que a função de transferência entre Y(s) e R(s) do diagrama abaixo é dada

por:

Page 85: Apostila de Controle Linear I

84

24312421141

3241

1

)(

)(

)()(

HGGGHGGGHGG

GGGG

sR

sYsT

Exercício: Determine a função de transferência de malha fechada )(

)()(

sR

sYsT para o sistema

abaixo, sendo: k1=3; k2=2; k3=5:

Exercício: Para o sistema em diagrama de blocos abaixo, encontre o diagrama de fluxo

equivalente e utilize a regra de Mason para determinar a F.T. entre Y(s) e R(s): )(

)()(

sR

sYsT

Diagrama de Blocos

Nota: um trabalho interessante desenvolvido pelo aluno Henrique F. Marchesi, elétrica,

foi um programa em MATLAB que realiza a redução do diagrama de fluxo genericamente. No

Apêndice F está uma cópia do artigo que foi publicada na revista americana IEEE Transaction

on Education. O aluno trabalhou numa iniciação científica sob a orientação do Professor

Marcelo. No mesmo apêndice tem uma versão em português.

Page 86: Apostila de Controle Linear I

85

7-Estabilidade de Sistemas Dinâmicos

7.1-O Conceito de Estabilidade

Um requisito fundamental de um sistema de controle é a sua estabilidade. Uma

definição, sem rigor, de estabilidade é: um sistema é dito estável, se sua resposta a qualquer

excitação “razoável”, não sair do controle. Um exemplo de estabilidade é mostrado na figura

abaixo.

sendo h(t) a altitude do avião ao longo do tempo.

Neste exemplo, o avião possui um sistema de controle automático de altitude. Este

sistema é dito estável, se após ocorrer uma perturbação do vento, o avião continuar em uma

altitude constante (h1). Se ele for instável, sua altitude diminuirá indeterminadamente,

podendo colidir com a terra.

Um outro exemplo está mostrado abaixo.

Se movermos lentamente os cones, o cone “a” voltará à posição original e o cone “b” não vai

retornar à posição original. Desta forma, o cone “a” está na posição estável e o cone “b” na

posição instável.

A realimentação de sistemas é uma técnica que permite estabilizar sistemas instáveis,

se utilizada corretamente. O exemplo abaixo ilustra a utilização da realimentação para

estabilizar um sistema instável.

Page 87: Apostila de Controle Linear I

86

Exemplo: Considere o circuito abaixo com A.O.:

logo, 1

( ) ( )s eV s V sRCs

.

Se ve(t) for um degrau unitário, então: Ve(s) =s

1 e

1 1( )sV s

RCs s .

Para obter vs(t) aplicando-se transformada inversa de Laplace :

L-1Vs(s)= L-1

2

1

RCs RC

t

Logo:

Então o sistema é instável pois a saída crescerá indeterminadamente. Mas o A.O. irá se

saturar.

Realimentando, teremos:

Page 88: Apostila de Controle Linear I

87

O diagrama de blocos é:

Usando as regras de redução de diagramas de blocos temos:

1( ) 1

1( ) 11

s

e

V s RCsV s RCs

RCs

Aplicando a mesma entrada degrau anterior temos:

1 1 1 1 1( ) ( )

11 1s eV s V sRCs RCs s RC

s sRC

logo,

L-1Vs(s)=L-1

TABELADaLINHA

sRC

sRC

14

111

.

RC

t

RC

t

ee

RCRC

11111

Logo:

Page 89: Apostila de Controle Linear I

88

Conclusão 1: provavelmente este sistema é estável.

Conclusão 2: a realimentação pode estabilizar sistemas instáveis desde que seja feita

convenientemente.

Exercício: Verifique se o sistema abaixo é estável ou instável.

Note que este sistema é semelhante ao anterior, a única diferença é que a

realimentação não foi feita pela saída do último A.O. e sim na saída do integrador.

Obs.: Como ainda não foi estabelecido um critério matemático para estabilidade de

sistemas, nos exemplos anteriores aplicou-se um degrau e se a saída for crescente

indeterminadamente (sempre), o sistema é dito instável.

Precisamos de um critério sistemático para determinar a estabilidade (ou instabilidade)

de sistemas lineares.

Definição: “Um sistema qualquer é estável se e somente se para qualquer entrada

limitada a saída correspondente é limitada.”

Exemplo: Considere o sistema tipo integrador (visto anteriormente) abaixo:

Page 90: Apostila de Controle Linear I

89

Para testar sua estabilidade, coloquemos uma entrada degrau, que é limitada, e

verificaremos se a saída é limitada.

Como para uma entrada limitada, a saída foi ilimitada então esta sistema é instável.

Observações:

1 Este critério é chamado BIBO (Bounded Input, Bounded Output) e é válido para

qualquer sistema linear ou não.

2 Para verificar se o sistema é estável, devemos aplicar todas as entradas

limitadas e verificar se todas as saídas correspondentes são limitadas.

Um exemplo de sistema que aparentemente era estável para algumas entradas, e

achava-se que era para todas as entradas limitadas é a ponte mostrada abaixo. Ela recebe

um vento com tal intensidade que começou a oscilar e então se rompeu. Para esta entrada

limitada a saída foi ilimitada (rompimento).

i

Page 91: Apostila de Controle Linear I

90

Ponte de Tacoma – No estado de Washington, no dia 7 de Novembro de 1940, a ponte suspensa sobre o estreito

de Tacoma, apenas 4 meses depois de ter sido aberta ao tráfego, foi destruída durante um vendaval. A ponte

apresentava um comprimento total de 1530 m, com um vão central de 850 m.

O critério de BIBO – estabilidade exige a análise da saída para todo tipo de entrada

limitada. Para evitar este trabalho, pode-se utilizar o teorema dado a seguir.

Teorema: ”Um SLIT é estável se e somente se o módulo da sua resposta ao impulso for

integrável em um intervalo infinito”, ou seja:

0

)( dttg

A seguir será demonstrada apenas a suficiência deste teorema.

Prova: se o sistema tem entrada u(t), saída y(t), e resposta impulsiva g(t), então

dtugty )()()(

supondo que y(t)=0 e u(t)=0 para t<0.

Se u(t) é limitada, então existe uma constante M tal que |u| ≤ M <+, logo a saída será

limitada por

dgMdMgdugdtugy ||||||||)()(||

então, a saída será limitada se dttg |)(| for limitada.

Page 92: Apostila de Controle Linear I

91

Exemplo: utilizando o teorema anterior, prove que o integrador é um sistema instável.

Sol.: Temos )(1

)( sUs

sY

Como U(s) é um impulso: U(s)=1, tem-se

Pelo teorema temos:

000011)( tdtdtdtty

o integrador é instável.

Este procedimento para determinar se um sistema é estável ou instável ainda é trabalhoso. O

corolário mostrado a seguir simplifica em muito as coisas. Antes, vamos representar, os pólos

e os zeros de uma função de transferência, no plano-s.

Exemplo: )3)(3(

)4)(1()(

jsjs

sssG

Corolário: “Um SLIT é estável se e somente se todos os pólos da função de

transferência do sistema tiverem parte real negativa”.

Page 93: Apostila de Controle Linear I

92

Ilustração: para ilustrar o corolário, consideremos o exemplo das páginas 87 à 89, sendo que

a função de transferência do sistema sem realimentação (instável) é RCs

sG1

)(1 e do sistema

com realimentação(estável) é G2(s)=1

1

RCs. No exercício da página 88, a função de

transferência é G3(s)=1

1

RCs (e é instável). Os pólos dessas funções de transferência estão

colocados no plano-s:

Obs.: a resposta ao impulso de G2(s) e G3(s) são:

)(2 tg L-1 )(2 sG L-1 RC

tLINHA

TABELADAe

RCRCs

1

1

1 6

que é limitada: Mdttg

0 2 |)(| .

g3(t)=L-1G3(s)=L-1 RC

tLINHA

TABELADAe

RCRCS

1

1

1 6

Page 94: Apostila de Controle Linear I

93

que tende a - quando t tende a +, portanto ilimitada. Note que g2(t)=t

RCeRC

11 sendo

RC

1

o pólo de G2(s), e g3=-RC

sendoeRC

tRC 11 1

o pólo de G3(s). Então, para um sistema que tenha

pólos reais, o coeficiente da exponencial está diretamente ligado ao valor do pólo, se pólo<0

exponencialmente limitada, sistema estável ainda, se pólo>0 exponencial ilimitada

(sistema instável).

Exemplo: Determine se o sistema abaixo é estável ou instável.

16,1

1)(

2

sssG

Sol.: Os pólos são obtidos através de: s2+1,6s+1=0

logo: =1,62-4=-1,44

Ilustração: Vamos verificar a resposta impulsiva de G(s):

L-1G(s)= tsene t

)8,011(8,01

1 28,0

2

linha 22 da tabela com n=1 e ξ=0,8

então,

g(t)= )6,0(6,0

1 8,0 tsene t

logo:

a

Page 95: Apostila de Controle Linear I

94

g(t)

e-0,8t

Senóide (sen0,6t) atenuado ao e-0,8tlongo do tempo por

t

Como g(t)0 quando t+ , temos que a integral de |g(t)| é limitada, ou seja,

0

|)(| dtty sistema estável.

Deste gráfico, percebe-se que a parte real dos pólos (-0,8) proporciona o conteúdo

exponencial (e-0,8t) da resposta e portanto é a parte real dos pólos é quem faz a resposta g(t)

decrescer.

Exemplos:

Obs.: Esse estudo abordou apenas pólos reais e complexos conjugados, sem multiplicidade

de pólos. Por motivos de simplicidade, os casos de pólos múltiplos foram omitidos neste texto.

x

Page 96: Apostila de Controle Linear I

95

O problema deste estudo é determinar as raízes de polinômio de ordem maior que 2.

Um critério simples e prático para estudo de estabilidade de Routh (Routh-Hurwitz).

7.2-O critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz

A. Hurwitz e E.J. Routh publicaram independentemente um método de investigar a

estabilidade de um sistema linear (vide Ogata).

O critério de estabilidade de Routh-Hurwiitz verifica se todos os pólos de uma função de

transferência pertence ao semi-plano esquerdo do plano-s.

Suponha que a função de transferência é da forma:

0,...

...)(

11

1

11

1

onn

nno

mmmm

o aasasasa

bsbsbsbsG

1ºpasso: identifique apenas o denominador de G(s):

)1(...)( 11

1 nnnn

o asasasasD

2ºpasso: verifique se qualquer destas constantes (ai) é igual a zero ou, negativa na presença

de pela menos uma constante positiva. Se isto ocorrer, conclua que o sistema é instável e não

é necessário executar os próximos passos. Do contrário, nada pode-se concluir, vá para o 3º

passo.

3ºpasso: construa a seguinte tabela:

Os elementos ao, a1, ...,an são os coeficientes do denominador D(s) da equação (1).

Page 97: Apostila de Controle Linear I

96

Os elementos b1, b2, b3, ..., c1, c2, ... e todos os demais são calculados com as seguintes

expressões:

4ºpasso: aplique o seguinte critério de estabilidade de Routh-Hurwitz:

“O número de raízes de D(s) (pólos de G(s)) com parte real maior que zero (positivo) é

igual ao número de mudanças de sinal dos coeficientes da primeira coluna da tabela

construída no 3ºpasso.”

Obs.: se pelo menos um elemento da 1ª. coluna for nulo ou se uma linha toda for nula, deve-

se observar o caso especial que mostraremos mais adiante.

Exemplo: Seja G(s)=5432

12234

ssss

s estude sua estabilidade.

Sol.:

1º passo: D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5

2ºpasso: todos coeficientes de D(s) são positivos portanto nada pode-se concluir.

Page 98: Apostila de Controle Linear I

97

3ºpasso:

Neste caso, os elementos da 1ºcoluna são:

Exemplo: Determine se o sistema é estável ou instável:

53

1)(

23

2

sss

sssG

Sol.: 1º passo: D(s)=s3+3s2 - s+5

2ºpasso: existe um coeficiente negativo na presença de outro positivo, logo o

sistema é instável e não precisa ir ao passo seguinte

Exercício: O piloto automático de um avião tem a seguinte F.T.M.F.:

9244,16676,13035,24015

900165900150

)(

)(2345

23

sssss

sss

s

s

r

verifique se o sistema é estável ou instável.

O cálculo dos pólos de um sistema (raízes de um polinômio) são fáceis para os usuários

do MATLAB ou das calculadoras científicas atuais. Por exemplo, os pólos do exemplo acima

Page 99: Apostila de Controle Linear I

98

são calculados pelo MATLAB com o comando:

>>den=[1 3 -1 5];

>>roots(den)

Aparentemente o método de Routh-Hurwitz seria desnecessário, porém ele é

extramente útil para projetar controladores, o exemplo a seguir ilustra este fato.

Exemplo: Determine o intervalo de k, ganho do controlador, para o qual o sistema

realimentado seja estável.

sol.: A F.T.M.F. é dada por:

)1()6)(1(

)1(

)6)(1(

)1(1

)6)(1(

)1(

)(

sksss

sk

sss

sk

sss

sk

sH

Note que não é possível obter os pólos de H(s) usando a calculadora. Usemos o método

de Routh-Hurwitz:

1ºpasso: D(s)=s3+5s2+(k-6)s+k

2ºpasso: Para que todos os coeficientes sejam positivos:

k-6>0 k>6

e

k>0

k>6 satisfaz (I)

3ºpasso:

Page 100: Apostila de Controle Linear I

99

Para que elementos da 1ª. coluna sejam todos positivos, é necessário que:

)(5,74

30030403050

5

)6(5IIkkkkk

kk

e

k>0 (III)

Logo, para k>7,5 o sistema será estável.

Como já foi dito, se tiver um zero (0) na primeira coluna de tabela ou se uma linha for

nula, então deve-se usar o caso especial abaixo.

CASO ESPECIAL

Se o primeiro elemento de uma linha é zero, e pelo menos um elemento na mesma linha

é diferente de zero, então substituiu-se o primeiro elemento de linha, que é zero, por um

pequeno número , que poderá ser negativo ou positivo, e continua-se o cálculo das próximas

linhas da tabela. O exemplo abaixo ilustra este caso.

Exemplo: Estude a estabilidade de

1011422

5)(

2345

ssssssG

1ºpasso: D(s)=s5+2s4+2s3+4s2+11s+10

2ºpasso: todos os coeficientes são positivos, nada pode-se concluir.

Page 101: Apostila de Controle Linear I

100

3ºpasso: construção da tabela:

2

neste caso aparece um 0 na 1 coluna e outros elementos

desta linha são diferentes de 0. Mostre que não é possível

calcular os elementos da linha s pois seria necessário

dividir por 0. Substitua o 0 por

°

e continue:

5

4

3

2

1

0

s 1 2 11

s 2 4 10

2 2 1 4 2 11 1 10s 0 6 0

2 2s

s

s

para pequeno, 0, tem-se a seguinte tabela:

5

4

3

2

1

0

s 1 2 11

s 2 4 10

s 6 0

4 2 6s 10 0

s

s

se 0 temos 6

5

4

3

2

1

0

s 1 2 11

s 2 4 10

s 6 0

12s 10

126 10

s12

s

Page 102: Apostila de Controle Linear I

101

5

4

3

2

1

0

s 1 2 11

s 2 4 10

s 6 0

12s 10

s 6

s 10

Se 0 pela esquerda, ou seja <0, temos 2 trocas de sinais na primeira coluna.

Se 0 pela direita, ou seja >0, temos também 2 trocas de sinais na primeira coluna.

Assim, o sistema é instável.

Exercício: Estude a estabilidade de:

96623

7)(

2345

ssssssG

Exercício: Encontre a faixa de k tal que o sistema abaixo seja estável:

Estabilidade de sistema com projeto de controlador dependente de dois parâmetros

Um controlador industrial muito utilizado é o controlador P.I. (proporcional e integral).

Neste caso a estabilidade fica dependente de dois parâmetros. Um exemplo de projeto ilustra

o uso do critério de estabilidade de Routh-Hurwitz para este caso, e está mostrado a seguir.

Exemplo: Para o sistema controlado por um controlador P.I. dado abaixo, encontre as faixas

de kp e ki do controlador tal que o sistema abaixo seja estável:

Page 103: Apostila de Controle Linear I

102

Sol.: A F.T.M.F. é

IP

IP

IP

IP

ksksss

ksk

sss

ksksss

ksk

sR

sY

)2)(1(

)2)(1(

1)(1

)2)(1(

1

)(

)(

IP

IP

kskss

ksk

sR

sY

)2(3)(

)(23

1ºpasso: D(s)=s3+3s2+(2+kp)s+ki

2ºpasso: para estabilidade é necessário que:

Ki>0

e 2+kp>0 kp>-2 (I)

3ºpasso:

3

2

1

0

s 1 2

s 3

3(2 )s 0

3s

p

i

p i

i

k

k

k k

k

1 coluna: 3(2 ) 0p ik k °

23

ip

kk

e 0ik

De (I), (II) e (III) tem-se a região:

23

ip

kk

Exercício: Encontre a faixa de kp e ki do controlador abaixo tal que o sistema seja estável.

Page 104: Apostila de Controle Linear I

103

7.3-Estabilidade Relativa

A estabilidade estudada até agora neste curso é conhecida como estabilidade absoluta

pois tem-se como referência o lado esquerdo do plano-s. Um outro conceito é o conceito de

estabilidade relativa.

Pode-se determinar a margem de segurança que um sistema apresenta no tocante à

sua estabilidade. Por exemplo, no plano-s abaixo, pode-se dizer que os pólos z1 e z1’ tem

menor margem de estabilidade que os pólos z2 e z3 :

Pode-se usar o critério de Routh para estudar a margem de estabilidade relativa de um

sistema, neste caso é necessário usar uma translação de eixo imaginário.

Os eixos acima são relacionados através da seguinte

equação de translação de eixos:

ou ainda

'

'

ss

ss

Exemplo: Verifique se o sistema abaixo tem todos os pólos à esquerda de s=-1:

24269

1)(

23

ssssG

Page 105: Apostila de Controle Linear I

104

Sol.: Neste caso, deve-se realizar a translação de eixos abaixo:

logo, s=s’-1 em G(s):

A translação do eixo imaginário é feita substituindo

s=s’-1 em G(s):

24)1'(26)1'(9)1'(

1)'(

23

ssssG

então,

2426'26)1'2'(9)1'2')(1'(

1)'(

22

sssssssG

6'11'6'

1)'(

23

ssssG

logo,

3

2

1

0

s' 1 11

s' 6 6

66 6 60s' 10 0

6 6s' 6

este sistema é estável, sua estabilidade relativa engloba o eixo s=-1. Portanto sua margem

de estabilidade é >1.

Obs.: Para determinar a margem de estabilidade (total) de um sistema é necessário ir

transladando o eixo s (imaginário) até o surgimento de um zero na 1º coluna da tabela de

Routh-Hurwitz, indicando que existe pólo sobre o eixo imaginário s’. Este trabalho pode ser

evitado, utilizando-se as calculadoras científicas para obter todos os pólos do sistema (ou o

MATLAB), a margem de estabilidade será igual ao módulo da parte real do pólo mais próximo

ao eixo imaginário, supondo-se que todos os pólos são de sistema estável.

Exercício: Use o MATLAB ou a calculadora para determinar a margem de estabilidade do

Page 106: Apostila de Controle Linear I

105

sistema : 464

)(23

sss

ssG

Exercício: Verifique, usando o critério de Routh-Hurwitz se o sistema abaixo tem todos seus

pólos à esquerda de s=-2.

423

1,0)(

234

ssss

ssG

Exercício: Projete k tal que o sistema abaixo tenha margem de estabilidade maior que 4.

7.4-Exemplos Completos de Projeto

Exemplo: Dado o levitador magnético abaixo

O diagrama de blocos é:

Os pólos de G(s) são: s2-10 P1,2= 10 , logo

Page 107: Apostila de Controle Linear I

106

portanto o sistema é instável.

i) Verifique se é possível estabilizar o levitador usando realimentação com um dos

controladores abaixo:

a)C(s)=k (proporcional)

b))2(

)1()(

s

sksC

o sistema realimentado tem a forma abaixo:

ii) Projete o circuito com A.O. que implemente o controlador C(s) obtido no item i).

Sol.:

iA F.T.M.F. é:

ks

k

s

ks

k

sH210

2

10

21

10

2

)(2

2

2

1ºpasso: D(s)=s2-10+2k

2ºpasso: Um dos coeficientes do polinômio é igual a zero, ou seja 0.s, portanto o sistema é

instável pois k não modifica o valor deste coeficiente.

não é possível estabilizar o levitador com um controlador do tipo C(s)=k.

b) Sendo )2(

)1()(

s

sksC tem-se a F.T.M.F.:

Page 108: Apostila de Controle Linear I

107

kksss

kks

ss

skss

sk

sH22)10)(2(

22

)10(

2

)2(

)1(1

)10(

2

)2(

1

)(2

2

2

202)102(2

22)(

23

kskss

kkssH

1ºpasso: D(s)=s3+2s2+(2k-10)s+2k-20

2ºpasso: é necessário que

2k-10>0 k>5

e

2k-20>0k>10

)(10 IK

3ºpasso:

é necessário que

)(100202

)(002

)202()102(2

IIIKk

e

IIkkk

De (I), (II) e (III), este controlador estabiliza o levitador com k>10. Pode-se escolher

k=20, logo

)2(

)1(20)(

s

ssC

ii) Para implementar o controlador façamos:

Page 109: Apostila de Controle Linear I

108

)2(

)1(20)(

s

ssC

logo, 2

2020)(

ssC , que equivale a :

O diagrama completo fica

O circuito do controlador é implementado utilizando A.O:

V ( )x s

Page 110: Apostila de Controle Linear I

109

escolhe-se: RC=20

2

20

1ae

Finalmente:

Os sinais xd(t), vx(t) e i(t) serão conectados com o levitador mostrado na figura das

páginas anteriores. Como a corrente de saída do A.O é pequena, o sinal i(t) de saída do

controlador deverá ter um amplificador de corrente antes de ser conectado na bobina. Outra

alternativa é usar o A.O. sendo amplificador LH0101 em (A) da figura acima. Ele é de 60w,

com pico de corrente de saída de 5A, Vcc= 15v e necessita de dissipador de calor. Pode

utilizar também o A.O. de potência LM 675.

Exercício: Considere o rastreador solar mostrado abaixo:

ou LM675

Page 111: Apostila de Controle Linear I

110

D

Amplificador depotência

Motor cc

sensor

Verro

(t)

u(t)

LDR

θ (t)s

Luzsolar

Este sistema possui o seguinte diagrama de blocos:

Note que este sistema é instável pois P1=0 e P2=-2.

Realimente o sistema conforme o diagrama abaixo e determine a faixa de k para que o

sistema seja estável. Projete o circuito do controlador usando A.O.

Exercício: No sistema abaixo, qual a faixa de k que resulta em estabilidade?

Page 112: Apostila de Controle Linear I

111

Exemplo: O veículo explorador de Marte, Sojaumer, 1997, alimentado com energia solar está

mostrado na figura, vide Dorf 8ª. edição. O veículo pode ser controlado da Terra enviando-lhe

comandos r(t). O diagrama de blocos do sistema é (vide Dorf):

Encontre a faixa de k tal que o sistema seja estável. Este diagrama de blocos não inclui

a presença de ruídos.

Exercício: Um projeto de uma estação espacial orbital está mostrado na figura abaixo. É

crítico o problema de manter a estação com uma orientação aproximada na direção do sol e

da Terra para gerar energia e comunicações. O diagrama de blocos do sistema de controle é

dado abaixo:

Page 113: Apostila de Controle Linear I

112

Determine a faixa de k tal que o sistema seja estável.

Nota: No Apêndice F encontra-se um artigo de Edvaldo e Marcelo sobre estabilidade de

um micro motor levitador.

Page 114: Apostila de Controle Linear I

113

8-Resposta Transitória de Sistemas de 1a e 2a ordem

8.1-Introdução

As indústrias modernas estão exigindo, cada vez mais, sistemas de controle automático

com alto desempenho. Por exemplo, no caso de robôs utilizados para soldagem em uma

fábrica de automóveis, o processo da fabricação exige que o robô solde vários pontos em um

certo período de tempo relativamente curto,especificado previamente. Para solucionar estes

problemas de controle automático foram adotados alguns índices de desempenho, que

permitem a especificação do comportamento desejado do sistema controlado, para a

elaboração de um projeto. Neste capítulo, apresentaremos alguns índices de resposta

transitória de sistemas dinâmicos em função de parâmetros de sua função de transferência.

Os índices de desempenho dos sistemas de controle são estudados em função da

resposta transitória do sistema devido a uma entrada degrau. Exemplos de entrada degrau:

8.2-Resposta Transitória de Sistema de 1a ordem (devido a entrada degrau)

8.2.1-Exemplo

Um exemplo de sistema de 1a ordem é um tanque d’agua controlado por uma bóia:

Page 115: Apostila de Controle Linear I

114

A taxa de variação de altura é proporcional a A(t)-h(t)

)()()( thtAkthdt

d

Neste caso, A(t) é a entrada e h(t) e saída, a função de transferência será:

)()()( skHskAssH ,C.I. nulas (sem água)

logo:

ks

k

sA

sH

)(

)(

Que é um sistema de 1a ordem, pois o polinômio do denominador é de primeira ordem

(tem apenas1 pólo).

Como a base da bóia é constante, A(t) é constante, logo,

s

AsA )(

temos:

s

A

ks

ksH

)(

Assim, a resposta do sistema a essa entrada é obtida usando-se a transformada inversa

de Laplace:

)(th L-1 )(sH L-1

s

A

ks

k

)(

)1()( kteAth

Logo,

Page 116: Apostila de Controle Linear I

115

Segundo o gráfico, se desejar que o reservatório se encha mais rapidamente, devemos

aumentar o valor k. Note que o pólo deste sistema é: (s+k)=0 s1=-k, logo para variar a

velocidade de enchimento varia-se o valor do pólo de sistema.

8.2.2-Caso Genérico

O sistema de 1a ordem pode ser representado pelo sistema genérico abaixo:

Suponha que este sistema seja estável, ou seja, a>0 pois pólo=-a<0.

Suponha que u(t)=A, t ≥ 0 ou seja uma entrada degrau:

logo, s

AsU )(

Temos, s

A

as

aksYsUsGsY

)()()()()(

sabe-se que (veja tabela pg 30, linha 4):

y(t)=L-1Y(s)=k.A(1-e-at)

logo:

Page 117: Apostila de Controle Linear I

116

Em termos práticos, considera-se t≥a

4, o sistema já está em regime permanente.

O tempo t=a

1 é chamado de constante de tempo do sistema, simbolizado por : =

a

1.

Logo, para t=4 é chamado de tempo de estabelecimento.

Note que o pólo de G(s) é P1=-a ou seja P1=1

, e ainda se é pequeno, o sistema

entra em regime mais rapidamente que outro com maior, o diagrama ilustra este fato:

Maisrápido

Maislento

Im(s)

Re(s)

11

1P

2

2

1P

1 2

O exemplo abaixo ilustra uma metodologia de se medir uma função de transferência

G(s) a partir de sua resposta transitória a uma entrada degrau.

Exemplo: Um motor de corrente contínua (C.C) possui a seguinte função de transferência,

tendo como saída de interesse a velocidade de rotação do eixo (W(s)):

as

aksG

sV

sW

.)(

)(

)(

Page 118: Apostila de Controle Linear I

117

sendo V(s) a tensão de alimentação do motor C.C. Deseja-se medir experimentalmente a sua

função de transferência (a e k).

Para isto, aplica-se uma entrada degrau de amplitude A=2volts, a saída foi registrada

pelo osciloscópio digital:

Comparando-se esta curva experimental com a teórica dada na página anterior,tem-se

1000 Ak

mas, A=2 logo, k=500rpm/v

ainda, ][5,021 1 sasa

Finalmente:

5,0

250

5,0

5,0500)(

ss

sG (Função de transferência do Motor c.c.)

8.3-Resposta Transitória de sistemas de 2a ordem (devido a uma entrada degrau)

8.3.1-Exemplo

Um exemplo de sistema de 2a ordem (sistema com 2 pólos) é o sistema de suspensão

do automóvel (modelo ¼):

Note que este sistema é de 2a ordem pois G(s) possui 2 pólos.

Na simulação realizada com o MATLAB,a resposta a entrada degrau foi:

Page 119: Apostila de Controle Linear I

118

0 1 2 3 4 5 60

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Tempo

y(t)

[m

]

Percebe-se que esta resposta é diferente da resposta do sistema de 1a ordem.

Simulou-se novamente, com valor menor do coeficiente f (amortecedor), o resultado foi:

0 1 2 3 4 5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Tempo

y(t)

[m

]

note que o sistema “oscilou” mais.

Para f maior que todos anteriores, o resultado da simulação foi:

Page 120: Apostila de Controle Linear I

119

0 1 2 3 4 5 60

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Tempo

y(t)

[m

]

Portanto, aumentando-se f, o sistema ficou mais amortecido.

Na prática, especifica-se como deve ser grande a “oscilação” ou o “amortecimento” e

então o projeto do controlador deverá atender a essas especificações.

8.3.2-Caso genérico

O sistema de 2a ordem genérico pode ser representado por:

sendo: n= freqüência natural não-amortecida,n>0

= coeficiente de amortecimento, >0

O caso de interesse é o caso de sub-amortecimento, sendo 0< <1. Os pólos de G(s)

são encontrados fazendo:

s2+2 ns+ 2n =0

logo

=b2-4ac=4 2n ( 2-1)

12

)1(42 222

2,1

nnnnP

ou ainda,

Page 121: Apostila de Controle Linear I

120

)1)(1( 22,1 nnP

como 0< <1 2<1, logo, (1- 2)>0,portanto

)1()1( 22,1 nnP

finalmente

)1( 22,1 nn jP

No plano-s:

Sistema Sub-Amortecido

segundo o diagrama temos:

arccoscos

)1( 22

22

n

nn

nnn

r

rr

Nota: i) Para o caso ξ=1 (sistema criticamente amortecido) os pólos são: P1,2 = n, no plano-s :

Sistema Criticamente Amortecido

ii) Para o caso >1 (o sistema superamortecido),os pólos são: )1( 22,1 nnP ,

que não tem componente imaginário:

j

Page 122: Apostila de Controle Linear I

121

Sistema superamortecido

que corresponde a dois pólos de dois sistemas de primeira ordem. Neste caso a resposta

transitória será a composição das respostas de cada sistema de primeira ordem calculadas

separadamente.

iii) se ξ=0 (sistema não-amortecido): P1,2 = jn

Lembre-se: n é a freqüência natural não-amortecida.

As deduções mostradas a seguir referem-se apenas ao caso 0< <1 (sistema sub-

amortecido).

A resposta de (1) a uma entrada degrau unitário, s

sU1

)( ,é:

sss

ksUsGsY

nn

n 1

2)()()(

22

2

segundo Ogata (ver tabela da pg. 30), temos

tentekt n

n

nn

tn 2

2

2 11

1cos1)(

sy

sendo 0< <1.

Por simplicidade, definimos:

nnd e 21

logo,

tsentekty d

dd

t cos1)(

que tem a forma:

Page 123: Apostila de Controle Linear I

122

A resposta y(t) acima indica que podemos definir os seguintes índices de desempenho:

ts tempo de subida

tptempo de pico ou instante de pico

tetempo de estabelecimento (ou de estabilização ou de acomodação ou de

assentamento).

MSmáximo sobre sinal ou “overshoot”

Os cálculos desses índices são mostrados abaixo:

a) Tempo de pico ou instante de pico (tp)

Para determinar o instante de pico devemos determinar o instante em que y(t) é

máximo, para isto achamos 0)( tydt

d:

0coscos)(

ttsenetsentekty

dt

dddd

td

dd

t

ou ainda:

0coscos2

tetsenetsene

te dt

dt

ddd

t

dt

portanto

02

tsentsene ddd

d

t

como te 0 para t < + ∞,temos:

tsentsen dddd

2

=0

Page 124: Apostila de Controle Linear I

123

ou ainda,

02

tsen dd

d

portanto

sendt=0 dt=0 ou ou 2 ou 3 ...

temos, se t=0 ponto de mínimo (não serve)

se t= d

é o primeiro instante de derivada nula, logo este é o instante de pico.

mas, d=n21

logo

21

n

pt

b) Porcentagem de Overshoot(P.O.)

A porcentagem de overshoot é definida como a porcentagem do máximo sobresinal

(MS) em relação ao valor de regime de y(t):

(%)100.(%). k

MSOP

lembre-se :

como

MS= ktyPtt

)( , teremos:

MS=

dd

ddd senekk d

cos1

-1 0

Page 125: Apostila de Controle Linear I

124

dkeMS

logo, (%)100(%)100.(%).

d

d

ek

keOP

mas, d=n ne 21

então, (%)100.(%).21

n

n

eOP

100..21

eOP , para 0< <1

Note que P.O. só depende de e que quanto menor maior o valor de P.O. A figura

abaixo mostra o gráfico de P.O. x e também a resposta ao degrau de G(s) para diversos

valores de .

Note que P.O.diminui com o aumento de , ou seja, quanto maior o coeficiente de

amortecimento, , menor é a oscilação da resposta.

c) Tempo de estabelecimento (te)

A função

tsentekty d

dd

t cos1)( pode ser interpretada como um sinal

oscilatório com a amplitude que decresce ao longo do tempo:

2

2 22

MS: sobre-sinal máximo

n

n n

C s

R s s s

Page 126: Apostila de Controle Linear I

125

1 tK e

1 tK e

Prova: vimos em a)tempo de pico, que os pontos de derivada nula :

0)( tydt

d ocorrem para

d

ii

k

t , ki=0, 1, 2 , 3, ... e assim,

( ) 1 costd i d i

d

y t k e t sen t

Note que (1

cos )1

id i d i

id

se k é part sen t

se k é impar

logo,

tekty 1)(

ou

tekty 1)(

que são as envoltórias exponenciais.

Para determinar te, basta fazer:

01,011 kek t

logo,

01,0ln

01,0ln01,0

e

et

t

te e

caso utilize a envoltória inferior:

Page 127: Apostila de Controle Linear I

126

ou

01,0ln

01,0ln

01,0

)01,01()1(

e

e

t

t

t

t

e

keke

e

Porém, n

Logo, te= nn

6,401,0ln

Se desejar 2%, tem-se

te= nn

9,30,0ln

2

Se desejar 5%, tem-se

te= nn

305,0ln

Note que aumentando o amortecimento ( ), o tempo de estabelecimento diminui (te).

d) Tempo de subida (ts)

O tempo de subida é dado por:

ns

8,1t

que é uma aproximação considerando = 0,5, vide Ogata.

Exercício: Se 12,1

1)(

2 sssG , qual é o valor de: P.O.%, te,tp e ts ?

Exercício: Repita o exercício anterior para:

a)10010

100)(

2

sssG b)

48,0

8)(

2

sssG

8.3.3- Resposta Transitória x Localização dos Pólos no Plano s

Como já foi visto, o sistema de 2a ordem genérico tem a seguinte função de

transferência

22

2

2)(

nn

n

ss

ksG

Page 128: Apostila de Controle Linear I

127

com os pólos:

22,1 1 nn jP , 0< <1

que são os pólos de G(s) para o caso sub-amortecido.No plano s os pólos são representados

por:

Como a localização dos pólos no plano s depende de e n, e as especificações P.O.,

ts, te dependem também de e n, podemos relacionar essas especificações com a

localização dos pólos.

a) Tempo de subida: n

s 8,1

t

Por exemplo, ts=1,8 segundos n=1 e , logo:

Para ts=1,8s os pólos deverão estar sobre o semicírculo.

Re(s)

1n

-1

1Im(s)

Se ts1,8 n1, então para ts1,8s os pólos deverão estar dentro desta região:

Im(s)

Re(s)

21n

21n n

cos

ou

arccos

n

Page 129: Apostila de Controle Linear I

128

Re(s)

1n

-1

-1

1Im(s)

região para

1n

1,8st s

b) P.O.=10021

e

Por exemplo,P.O.=16% =0,5 e n ,logo: arccos =arccos0,5=60º

que no plano-s é representado por semi-retas.

Para P.O.=16%,os pólos deverão estar sobre as semi-retas

60

60

arccos cte

Se P.O.16% 0,5,neste caso: arccos( )60ºpois cos cresce se decresce.

Para P.O.16%,os pólos deverão estar dentro desta região.

região para

0,5

16%PO

Page 130: Apostila de Controle Linear I

129

Re(s)

60

-2

-2

2

Im(s)

-1,5

PO=16%

3et

0,9st s

1P

2P

-1

c) Tempo de estabelecimento: te=n6,4

(1%)

Por exemplo,te=2,6s n=1,8,sendo n e também .

Para te=2,6 os pólos deverão estar sobre a reta vertical:

2,6

1,8e

n

t s

Se te2,6 n 1,8

Para te2,6 os pólos deverão estar sobre a região

região para

1,8n

2,6et s

Exemplo: Desenhe a região do plano s na qual os pólos do sistema de 2º ordem deverão estar

para atender às seguintes especificações: ts0,9s, P.O.≤16% e te≤3s.

Sol.: teremos:

ts≤0,9s n≥2

P.O.≤16% ≥0,5

te≤3s n≥1,5

A região satisfaz todos esses requisitos está

mostrada ao lado. Como os pólos P1 e P2 estão

dentro da região então G(s) atende às

especificações.

Page 131: Apostila de Controle Linear I

130

Obs.: Nos próximos capítulos estudaremos uma maneira de modificar a posição P1 e P2 dos

pólos utilizando a realimentação. Isto será visto no lugar das raízes (root locus) que é uma

técnica de projeto.

Exercício: Desenhe a região do plano s na qual os pólos do sistema de segunda ordem

deverão estar para atender as seguintes especificações:

a) ts≤1,2, P.O.≤10% e te≤4s.

b) ts≤1,1, P.O.≤20% e 1s≤te≤6s.

c) ts≤4, P.O.≤15% e 1≤te≤4s.

d) ts≤0,9, 10%≤P.O.≤20% e 1s≤te≤4s.

Como um resumo geral, o plano todo pode ser esquematizado na seguinte forma:

y(t)

t

y(t)

t

y(t)

t

y(t)

t

y(t)

t

y(t)

t

y(t)

t

y(t)

t

y(t)

t

y(t)

t

Obs.: Estas são repostas à entrada impulso.

Exemplo: Um braço mecânico deve sair de x=0 em t=0,estar nas proximidades de x=50cm em

t=2s, parar (critério 1%) em x=50cm em t=3s e não esbarrar no parafuso. O sistema

controlado deverá ter a seguinte estrutura:

Page 132: Apostila de Controle Linear I

131

Solução: a resposta transitória do sistema deverá ter o formato acima.

Neste caso, as especificações de projeto deverão ser:

P.O.< 6,0%10100.50

5

ts≤ 2 s sradnn

/9,028,1

te≤3s 5,1%)1(36,4

nn

Exercício: Desenhe no plano-s a região que satisfaz a todas as restrições de

desempenho dados no exemplo acima.

8.3.4-Resposta ao Degrau de Sistemas de Ordem Superior

Os pólos de uma G(s) ou são reais ou pares complexos conjugados,então,uma função

de transferência com número de pólos maior que 2 é:

r

kksk

q

jj

m

ii

ssPs

ksksG

sU

sY

1

22

1

1

)2()(

)()(

)(

)(

Page 133: Apostila de Controle Linear I

132

se os pólos forem distintos e a entrada tipo degrau unitário, a resposta será: Y(s)=G(s).s

1 que

expandida em funções parciais:

r

k kkk

kkkkkkq

jk j

j

ss

Csb

Ps

a

s

asY

122

2

2

1)()(

Percebe-se que a resposta Y(s) é composta de respostas de 1a ordem e 2a ordem. A

curva de resposta de um sistema estável de ordem superior é a soma de certo número de

curvas exponenciais (1a ordem) e curvas senoidais amortecidas (2a ordem). Assim, pequenas

oscilações são superpostas em oscilações maiores ou sobre as curvas exponenciais:

Percebe-se que às vezes a resposta exponencial prevalece sobre a oscilatória ou vice-

versa. Isto indica que a resposta de alguns pólos podem ser mais significativas que outros, a

este fato damos o nome de dominância de pólos.

A dominância de pólos é determinada pela relação das partes reais dos pólos e dos

valores dos resíduos que dependem dos zeros e pólos. Se as relações das partes reais

excedem cinco, e não há zeros na vizinhança, então os pólos de malha fechada mais perto do

eixo j dominarão no desempenho da resposta transitória porque estes pólos correspondem a

termos de resposta transitória que decaem lentamente.

1a ordem 2a ordem

Page 134: Apostila de Controle Linear I

133

Exemplo: )5)(1(

5)(

sssG , entrada degrau:

s

1

temos:

)5(4

1

)1(4

51

)5)(1(

51)()(

ssssssssGsy

logo:

tt eety 5

4

1

4

51)( , t≥0

graficamente:

referente ao pólo -5

referente ao pólo -1

Page 135: Apostila de Controle Linear I

134

Note que os pólos são:

Obs.: Como os projetos dos controladores sempre terão as especificações P.O., ts, te,

retiradas da resposta de 2a ordem, deverá sempre ser observado a existência de dominância

de pólos.

8.4-Resposta Transitória Usando o MATLAB

O programa abaixo mostra como a resposta ao degrau usando o MATLAB (vide Ogata):

Seja 254

25)(

)(

)(2

ss

sGsU

sY

O programa abaixo aplica uma entrada degrau unitário no sistema:

%------------------Resposta ao degrau unitário----------------------------

%*****Digite o numerador e o denominador da função de transferência********

num=[0 0 25];

den[1 4 25];

%****Digite o seguinte comando de resposta ao degrau******

step(num,den)

%*****Digite os comandos para inserir a grade e o título do gráfico*******

grid

title (‘Resposta ao Degrau de G(s)=25/(s^2+4s+25)’)

Na tela gráfica teremos:

Page 136: Apostila de Controle Linear I

135

Para uma entrada tipo rampa usa-se o comando lsim. Por exemplo, para obter a

resposta do sistema para uma entrada rampa,cuja função de transferência do sistema e:

1

1)(

)(

)(2

ss

sGsU

sY

utiliza-se o seguinte programa (vide Ogata):

%------------------Resposta à Rampa-------------

num=[0 0 1];

den=[1 1 1];

t=0:0.1:8;

r=t;

y=lsim(num,den,r,t);

plot(t r,’-‘,t,y,’o’)

grid

title(‘Resposta à Rampa Unitária Obtida com o Uso do Comando “Isim” ’)

xlabel(‘t(s)’)

ylabel(‘Entrada e Saída do Sistema’)

text(2.1,4.65,’Entrada em Rampa Unitária’)

text(4.5,2.0,’Saída’)

Page 137: Apostila de Controle Linear I

136

8.5- Índices de Desempenho ITAE, ISE, IAE

Além dos índices de especificações P.O., te, ts e tp, tem-se outros índices baseados na

integral da variável em questão.

U índice de desempenho é uma medida quantitativa do desempenho de um sistema e

escolhido de modo que a ênfase seja dada às especificações (Dorf 8ª. ed.)

Um índice de desempenho adequado é a integral do quadrado de erro, ISE (Integral of

the Square of the Error):

T

dtteISE0

2 )(

sendo:

Segundo Dorf, este critério discrimina sistemas excessivamente superamortecidos de

Page 138: Apostila de Controle Linear I

137

sistemas excessivamente sub-amortecidos.

De um modo genérico, o cálculo desta integral é ilustrado na figura seguinte, extraída do

livro do Dorf.

Outro critério de desempenho é o IAE (Integral of the Absolute magnitude of the Error):

dtteIAET

0)(

Para reduzir a contribuição de grandes erros iniciais no valor da integral e aumentar a

contribuição para tempos maiores, tem-se:

T

dttetITAE0

)(

O peso temporal para o ISE é:

T

dttteITSE0

2 )(

Em Dorf, 8ª. ed., é mostrado um exemplo de uso destes índices de desempenho,

repetido a seguir.

Exemplo: Considere o sistema abaixo:

Vide Dorf, 8ª edição

Page 139: Apostila de Controle Linear I

138

cuja função de transferência de malha fechada é:

12

1)(

2

sssG

Em Dorf, foram calculados todos os índices de desempenho, em função do valor de ξ e

está reproduzido a seguir (calculadas para uma entrada degrau):

Mostra que o valor ótimo de ξ que miminiza o ITAE é ξ=0,6.

Para maiores detalhes, vide Dorf, 8ª. ed.

Page 140: Apostila de Controle Linear I

139

9- Erros de Regime (regime permanente)

9.1-Introdução

O objetivo deste capítulo é estudar a relação da precisão de sistemas de controle com

os parâmetros do sistema. Será analisado o erro entre a entrada do sistema e a saída,

verificando como diminuí-lo ou torná-lo nulo. A seguir mostraremos dois exemplos de entrada

muito utilizadas em controle e o erro da saída em relação a elas. Estes erros são sempre

tomados após ter ocorrido todos os transitórios, ou seja, são erros de regime (regime

permanente).

9.2-Exemplos de Erro de Regime Permanente

O braço mecânico abaixo tem a função de colocar C.I.’s sobre a placa de circuito

impresso e não deve ter erro no posicionamento.

0t t

e t u t x t

O diagrama de blocos será:

Note que u(t) é uma entrada tipo degrau. Este é um exemplo de sistema que deve ter

pequeno erro de regime permanente para uma entrada tipo degrau.

Page 141: Apostila de Controle Linear I

140

A antena rastreadora de satélite tem o objetivo de se posicionar tornando muito pequeno

o erro entre seu ângulo e o ângulo do satélite.

O satélite realiza um movimento com velocidade constante, por exemplo: (t)=0,01rad/s.

Desta forma, o ângulo s(t) varia em função do tempo:

01,0)(01,0)()()(

tdt

dttt sss

ttttdttd sss

tt

s 01,0)(01,0)0()(01,0)(00

logo:

De onde percebe-se que s(t) é uma rampa. O diagrama de blocos do sistema

posicionador é:

O rastreamento pode ser ilustrado no gráfico abaixo, onde a saída a(t) tenta ser igual a

s(t), ou seja: e(t)=s(t)-a(t)=0 quando t+∞.

0

Page 142: Apostila de Controle Linear I

141

Este é um exemplo de sistema que deve ter pequeno erro de regime permanente para

uma entrada tipo rampa.

A seguir mostraremos algumas condições necessárias de D(s) e G(s) para que essas

especificações de erros de regime permanente sejam atendidas.

9.3-Erros de Regime Permanente

Nos dois exemplos anteriores, o sistema de controle é do tipo:

Para determinar o erro de regime permanente para uma determinada entrada,

descreveremos o erro E(s) em função de U(s) utilizando as regras de diagrama de blocos:

)()()( sYsUsE

mas,

)().().()( sEsGsDsY

logo,

E(s)=U(s) - D(s)G(s)E(s)

ou

E(s)+D(s)G(s)E(s)=U(s)

E(s)[1+D(s)G(s)]=U(s)

)()()(1

1)( sU

sGsDsE

Para determinar o erro no regime permanente (t+∞),aplica-se o teorema do valor final

(T.V.F.) na expressão acima:

e(+∞)= )(lim0

sEss

Page 143: Apostila de Controle Linear I

142

Porém, os pólos de sE(s) deverão ter parte real menor que zero. Observe que a

F.T.M.F. do diagrama é:

)()(1

)()(

)(

)(

sGsD

sGsD

sU

sY

que possui os mesmos pólos de )(

)(

sU

sE, portanto pode-se aplicar o T.V.F. se for verificado que

o sistema realimentado é estável e a entrada do tipo degrau. Neste caso:

)1(1

)()()()(1

1lim)(lim)(

00 ssUesU

sGsDssEse

ss

Vamos analisar e(+∞) para três tipos de entrada: degrau, rampa e parábola.

a)Entrada degrau

Neste caso, )2()(s

AsU

Substituindo (2) em (1), tem-se

s

A

sGsDse

s

)()(1

1lim)(

0

então,

)3()()(lim1)()(1

lim)(0

0 sGsD

A

sGsD

Ae

ss

Sabemos que, genericamente, D(s)G(s) é uma razão entre dois polinômios de variável

s, ou seja:

)4()(

)()()(

1

1

n

j

m

ii

Pjs

zssGsD

a1) Se D(s)G(s) não possuir pólos na origem, ou seja, Pj0, j=1, 2, ..., n, então:

)5()()(lim0

Ps

ksGsD

Substituindo (5) em (3) temos:

)6(01

)(

Pk

Ae Portanto o erro de regime permanente não será nulo

Page 144: Apostila de Controle Linear I

143

Interpretação:

0

1

lim

p

ps

Ae

k

sendo

k D s G s

a2) Se D(s)G(s) possuir um pólo na origem, ou seja P1=0, então

n

j

m

ii

Pjss

zssGsD

2

1

)(.

)()()( , zi e Pj0 (7)

Obs.: é suposto que também não exista nenhum zero na origem do plano s.

Neste caso, temos:

)8()()(lim0

sGsDs

substituindo (8) em (3) temos

)9(01

)(

A

e portanto, o erro de regime será nulo.

Interpretação:

0e

t

u(t) e y(t)

Exercício: Mostre que se D(s)G(s) tiver dois ou mais pólos na origem, o erro de regime

também será nulo. Suponha que não tem zeros na origem e que a entrada é do tipo degrau.

Page 145: Apostila de Controle Linear I

144

b) Entrada rampa

Neste caso,

)10()(2s

AsU

Substituindo (10) em (1), tem-se

)11()()(1

1lim)(

20 s

A

sGsDse

s

Para todas as deduções mostradas a seguir,supõe-se que D(s)G(s) não tenha zeros na

origem do plano-s, ou seja, zi0 em (4).

b1) Se D(s)G(s) não possuir pólos na origem, ou seja Pj0, j=1, 2, ..., n em (4) então o

denominador de D(s)G(s) não cancelará o ‘s’ que restou no denominador de (11). Assim não

pode-se aplicar o T.V.F. pois

s

A

sGsDs

A

sGsDssEs

)()(1

1

)()(1

1)(

2

que possui um pólo instável: s=0.

Para encontrar e(+∞) expande-se E(s) em frações parciais:

)()()(1

1)( 2

21

2sH

s

A

s

A

s

A

sGsDsE

Neste caso L-1 tAs

A12

1

, que é uma rampa logo, e(t)+∞ para t+∞. Interpretação:

Para estudar os casos seguintes,vamos simplificar (11):

)()(lim

)()(1

1lim)(

00 sGssDs

A

s

A

sGsDe

ss

Page 146: Apostila de Controle Linear I

145

)12()()(lim

)(0

sGssD

Ae

s

b2) Se D(s)G(s) possuir um pólo na origem, ou seja: P1=0, então

n

j

m

ii

Pjss

zssGsD

2

1

)(.

)()()( , zi e Pj0

Neste caso temos:

)13()()(lim0

Vs

ksGssD

Substituindo (13) em (12):

0)(Vk

Ae

Interpretação:

v

Ae

k u(t) e y(t)

t

u(t)

y(t)

0limvs

sendo

k sD s G s

b3) Se D(s)G(s) possuir dois pólos na origem, ou seja:

P1=0 e P2=0, então:

n

j

m

ii

Pjss

zssGsD

3

2

1

)(

)()()( , zi e Pj0

Neste caso temos;

)15()()(lim0

sGssDs

Substituindo (15) em (12):

o erro de regime permanente não será nulo e nem infinito.

Page 147: Apostila de Controle Linear I

146

0)(

A

e

Interpretação:

0e u(t) e y(t)

t

u(t)

y(t)

Exercício: Mostre que se D(s).G(s) tiver 3 ou mais pólos na origem do plano-s, o erro de

regime também será nulo para uma entrada rampa.

c) Entrada tipo parábola: Deduzir em casa ...

Esses resultados podem ser resumidos na tabela abaixo:

sendo: kp=0

lims

D(s)G(s), kv=0

lims

sD(s)G(s) e ka=0

lims

s2D(s)G(s) .

Obs1.: Foi suposto que D(s)G(s) não possui zeros na origem do plano-s. Caso D(s)G(s) tenha

zero na origem, então efetuar primeiramente o possível cancelamento com os pólos de

o erro de regime permanente será nulo.

Page 148: Apostila de Controle Linear I

147

D(s)G(s) na origem e então depois aplicar a tabela acima.

Obs2.: Inicialmente, foi suposto que o sistema

fosse estável para que se pudesse aplicar o T.V.F., portanto esta tabela só é válida se o

sistema de malha fechada for estável.

Obs3.: Foi suposto que o sistema realimentado tivesse realimentação unitária, sensor com

ganho unitário. Se isto não ocorrer, a tabela acima não é válida.

Exemplo: O sistema de controle da antena rastreadora de satélite é:

sendo: BsJs

sG

2

1)( ,quantos pólos na origem o controlador D(s) deverá possuir para que o

erro de regime permanente entre a(t) e s(t) seja nulo para uma entrada tipo rampa?

Sol.: Segundo a tabela anterior, o erro de regime será nulo para uma entrada tipo rampa se o

número de pólos de D(s)G(s) na origem for igual a 2, no mínimo.

Temos:

Percebe-se que D(s) deverá ter um pólo na origem para que o erro de regime seja nulo.

Exercício: O sistema de controle do braço mecânico da linha de montagem de circuito

impresso é:

Page 149: Apostila de Controle Linear I

148

a)Determine a faixa de k para que seja estável.

b) Este sistema tem erro de regime permanente nulo para entrada degrau?

c) Calcule o valor de k para que o erro em regime permanente para entrada rampa seja menor

que 1mm, suponha:

Obs.: não há necessidade que o erro seja nulo para entrada rampa.

d) Utilize o MATLAB para verificar os resultados dos itens a, b,c, simulando o sistema.

Exercício: Para o sistema abaixo calcule o erro de regime permanente para entrada degrau

unitário e para entrada rampa de inclinação unitária (A=1).

Exercício: Para o sistema abaixo, determine o erro de regime permanente para uma entrada

degrau unitário e para rampa unitária (A=1).

Exercício: Projete D(s) tal que o sistema abaixo tenha erro de regime permanente nulo para

entrada degrau e seja estável:

Page 150: Apostila de Controle Linear I

149

Este é o controle de posição do veículo explorador de Marte (Pág. 112).

Page 151: Apostila de Controle Linear I

150

10-Sensibilidade de Sistemas de Controle a Variação de Parâmetros

10.1-Introdução

Uma vantagem de usar realimentação em sistemas de controle é reduzir a sensibilidade

do sistema em relação a variações de parâmetros e distúrbios indesejáveis. Essas variações

podem ser resultantes da alteração da temperatura, umidade pressão, cargas,

envelhecimento, etc.

Vamos analisar a variação do valor de regime quando ocorrer uma variação no

parâmetro do sistema. Primeiramente analisaremos o valor de regime da saída de um sistema

sem realimentação.

Suponha que o sistema seja o seguinte:

sendo U(s) uma entrada degrau unitário: U(s)=s

1. Como G(s) é estável, podemos aplicar o

T.V.F. para encontrar o valor de regime permanente:

ssssysy

ss

1

1

1lim)(lim)(

00

11)( y

Suponha que ocorreu uma variação de 10% no valor do pólo, devido à variação de uma

resistência elétrica, por exemplo:

Como ainda é estável, temos:

9091,01,1

11

1,1

1lim)(lim)(

002

ssssysy

ss

A variação percentual de )(y é:

Page 152: Apostila de Controle Linear I

151

%09,9%1001

9091,01%100

)(

)()()%( 2

y

yyy

Portanto, uma variação de 10% no valor do pólo, causou uma variação de 9,09% em

y(+∞).

Supondo agora que este mesmo sistema tenha sido realimentado:

A F.T.M.F. é:

11

10

1

101

1

10

)(

)(

s

s

ssU

sY

Como o sistema é estável, teremos:

9091,011

101

11

10lim)(

0

sssy

s

Se ocorrer uma variação de 10% no pólo:

A F.T.M.F. é

1,11

10

1,1

101

1,1

10

)(

)(

s

s

ssU

sY

Que é estável, logo

9009,01,11

101

1,11

10lim)(

02

sssy

s

A variação percentual de y(+∞) é:

Page 153: Apostila de Controle Linear I

152

%9,0%1009091,0

9009,09091,0%100

)(

)()()%( 2

y

yyy

Portanto, no sistema realimentado, uma variação de 10% no valor do pólo causou uma

variação de 0,9% no valor de regime da saída (y(+∞)), enquanto para esta mesma variação do

pólo causou uma variação de 9,09% em y(+∞) para o sistema sem a realimentação.

Desta forma, conclui-se que a realimentação diminui a sensibilidade de sistemas de

controle.

Obs.: Note que se este sistema tivesse um pólo na origem, não teria variação de y(+∞)

(regime permanente) se ocorresse variação no valor do pólo, no sistema realimentado, dado

que a entrada é um degrau.

Exercício: Considere o sistema abaixo:

Suponha uma entrada degrau, determine a variação percentual de y(+∞) se o pólo variar

de -2 para -2,5 (25%) e o zero de -10 para -15 (50%).

10.2-Generalização

Considere o sistema de controle abaixo:

neste caso, a F.T.M.F. é:

)()(1

)(

)(

)()(

sHsG

sG

sR

sYsT

Definição: A sensibilidade do sistema é definida pela relação entre a variação percentual na

função de transferência do sistema (T(s)) pela relação percentual da função de transferência

Page 154: Apostila de Controle Linear I

153

do processo central da função de transferência do processo (G(s)), ou seja, a sensibilidade é

definida como:

No limite para pequenas variações (), a equação acima torna-se:

T

G

G

TSou

sT

sG

sG

sTS

)(

)(

)(

)(

(vide Dorf., 8ºed.).

Note que a sensibilidade do sistema é a relação de malha fechada entre a mudança na

função de transferência do processo (ou parâmetro) para uma pequena mudança incremental

(vide Dorf., 8ºed.).

Exemplo: Considere o sistema dado na figura anterior. Obtenha a expressão genérica de

sensibilidade da F.T.M.F. (T(s)) em relação à variação de parâmetros no processo G(s).

sol.: Neste caso teremos:

T

G

G

TS T

G

mas, )1(1

1

1)1(

12 GH

GH

GG

GHS T

G

Nota: Para ter pequena sensibilidade, faz-se G(s)H(s) grande.

Exemplo: Repita o exemplo anterior considerando que a variação de parâmetro se deu no

sensor (H(s)) e não na planta de processo (G(s)).

sol.: Neste caso temos: T

H

H

TS T

H

mas, 2

2

)1(1 GH

G

GH

G

HH

T

logo, GH

GH

GH

GH

GH

GS T

H

1

)1()1( 2

2

Page 155: Apostila de Controle Linear I

154

Nota:

Quando G(s)H(s) é grande, a sensibilidade ( THS ) se aproxima da unidade (100%), então

variações em H(s) (sensor) afetam diretamente a resposta da saída. Portanto, é importante

utilizar sensores de realimentação que não irão variar com mudanças ambientais.

Um sistema que tem pequena variação na saída devido a seus parâmetros (da planta) é

dito ser um sistema robusto.

Exercício: Dado o sistema abaixo, calcule a sensibilidade da função de transferência de malha

fechada, devido a variação nos parâmetros da planta, ou seja calcule TGS .

Responda, k deve ser grande ou pequeno para se ter robustez, ou seja baixo

valor de TGS ?

Page 156: Apostila de Controle Linear I

155

11-Sinais de Perturbação (ou ruído) em Sistemas de Controle

Um sinal de perturbação é um sinal de entrada indesejável que afeta a saída do sistema

(Dorf. 8ºEd.). Muitos sistemas de controle são submetidos a sinais de perturbação externos

que fazem com que o sistema forneça uma saída inexata. Por exemplo, os A.O.s possuem

ruído inerente gerado no interior dos circuitos integrados ou dos transistores; as antenas de

radar são submetidas às rajadas de ventos etc. Os sistemas de controle com realimentação

podem reduzir os efeitos de perturbação ou ruídos indesejáveis.

Exemplo: Considere a antena rastreadora de satélite abaixo:

( )t

mT ( )t

aT ( )tvT ( )t

Neste caso, tem-se presente na antena o torque do motor (Tm(t)) que aciona o giro da

antena, o torque de atrito (Ta(t)) do eixo da antena e o torque devido à ação do vento Tv(t) na

parte superior da antena. Seja J o momento de inércia da antena em torno ao eixo e B o

coeficiente de atrito temos:

)(tJtorque

Neste caso:

)()()()( tJtTtTtT vam

mas, )()( tBtTa

, logo

)()()()( tJtTtBtT vm

Aplicando-se a Transformada de Laplace, supondo C.I. nulas, tem-se:

)()()()( 2 sJssTssBsT vm

Page 157: Apostila de Controle Linear I

156

ainda,

)()()()( 2 ssBJssTsT vm

ou

)]()([)(

1)( sTsT

BJsss vm

O diagrama de blocos que representa este sistema é:

Neste caso, o torque do vento é chamado de distúrbio, pois ele atrapalha o controle da

posição angular ((s)) da antena realizada pelo torque do motor (Tm(s)).

O sistema de controle com realimentação é:

Note que agora o sistema tem duas entradas, s(s) que é a referência (desejado) e Tv(s)

que é o distúrbio provindo do vento (indesejável). A função de transferência entre a saída

((s)) e as duas entradas s(s) e Tv(s) é:

)1()()(1

)( sTsTBJss

s vm

mas,

Tm(s)=k(s(s)-(s)) (2)

substituindo (2) em (1) tem-se:

Page 158: Apostila de Controle Linear I

157

)())()((1

)( sTsskBJss

s vs

ou

s[Js+B](s)+k(s)=ks(s)-Tv(s), então:

)(1

)()( sTkBJss

skBJss

ks vs

Então, este sistema tem duas funções de transferência,uma de s(s) para (s) e outra de

Tv(s) para (s) ou seja:

(s)=G1(s)s(s)+G2(s)Tv(s)

sendo

kBJss

ksG

)(1

kBJsssG

1

)(2

No projeto do controlador k,para que a perturbação Tv(s) influencie o mínimo possível na

saída (s), faz k suficientemente grande e ainda,deve garantir a estabilidade do sistema.

Para que (s) rastreie s(s), sendo s(s) uma entrada rampa, deseja-se que o erro de

regime seja o menor possível. Usando-se a tabela do capítulo 9 (Pg. 147), tem-se:

vK

Ae )(

, pois o sistema de malha aberta tem apenas um pólo na origem, sendo

B

k

BJsssksGssDk

ssv

1lim)()(lim

00

logo:

k

BAe

)(

Assim, para que o erro de regime seja pequeno, k tem que ser suficientemente grande.

Logo, k com valor grande é adequado neste sistema para rejeitar o distúrbio e ter erro

de regime pequeno.

Vamos analisar robustez (sensibilidade). A relação entre s(s) e (s) pode ser obtida

Page 159: Apostila de Controle Linear I

158

fazendo Tv(s)=0, no diagrama de blocos anterior:

A sensibilidade 1TGS neste caso é dada pela equação 1 do capítulo 10:

GHS T

G

1

11

sendo BJss

kG

e H=1,logo

kBJss

BJss

BJss

kS T

G

1

12

Para Tv(s) e (s) a sensibilidade S 2TG é calculada fazendo s(s)=0 no diagrama de blocos:

Assim, GH

S TG

1

11

sendo

kHeBJss

G

1

temos,

kBJss

BJss

BJss

kS T

G

11

12

Assim, quanto maior for k menor serão as sensibilidades 21 TG

TG SeS logo melhor será a

robustez do sistema devido às variações paramétricas da planta (antena) G(s).

Então, grande valor de k diminuirá erro de regime permanente, irá rejeitar a influência do

distúrbio e melhorar a robustez do sistema realimentado. Basta verificar se o sistema é

Page 160: Apostila de Controle Linear I

159

estável: neste caso analisamos o denominador de G1(s) e G2(s) que é

kBsJskBJsssD 2)(

1ºpasso: D(s)=Js2+Bs+k

2ºpasso: como J e B são positivos então é necessário que: k>0

3ºpasso: s2 J K

s1 B 0

s0 k k>0

Logo, basta que k seja positivo para a estabilidade.

O projeto do controlador para rejeição do ruído (ou perturbação) pode ser feito supondo

que o distúrbio seja do tipo degrau e então analisa-se o valor de regime permanente de saída,

y(+∞).

Suponha que o vento seja uma entrada tipo degrau:

sTv

1

Então, s

sGsTsGs v

1)()()()( 22

No regime permanente:

skBTssst

st

1

)(

)1(lim)(

0

kt

t

1)(

, logo k deve ser grande.

Exemplo: Foi construído um túnel sob o Canal da Macha, ligando a Inglaterra à França (Dorf,

2ºed.). Duas máquinas perfuratrizes foram usadas, saindo ambas das extremidades do canal,

indo em direção ao centro, um total de 23,5 milhas. Para obter a precisão necessária para o

encontro delas no meio do túnel foi montado um sistema de orientação a laser, um modelo do

controle das máquinas é dado a seguir:

Page 161: Apostila de Controle Linear I

160

sendo D(s) o efeito de carga sobre a máquina,que é um distúrbio.

Neste caso tem-se

)1()(12

1)(

12

11)(

22sD

ksssR

kss

sksY

Para projetar k tal que ocorra rejeição do distúrbio D(s) fez-se R(s)=0 em (1) e D(s) uma

entrada tipo degrau: skss

sY1

12

1)(

2

Assim, o valor de regime permanente da saída é:

skssssYsy

ss

1

12

1lim)(lim)(

200

ky

1)(

então é necessário que k seja grande para que a saída y(+∞) seja pequeno, rejeitando a

perturbação.

É necessário também que o sistema s2+12s+k tenha raízes do lado esquerdo do plano-

s:

1ºpasso: D(s)=s2+12s+k

2ºpasso: k>0

3ºpasso: s2 1 k

s1 12 0

s0 k k>0

Portanto é necessário que k>0.

Em Dorf. (2ºed.), seleciona-se k=20 para uma boa rejeição de ruído D(s) (Perturbação).

Exercícios: Considere o veículo explorador de Marte dado no capítulo 8. O modelo do sistema

considerando-se perturbações no seu deslocamento, tais como pedras, é

Page 162: Apostila de Controle Linear I

161

Projete k tal que o sistema seja estável e tenha uma boa rejeição do distúrbio D(s).

Exercício: O telescópio Hubble tem um sistema de posicionamento preciso pois pode focalizar

uma moeda e uma distância de 400 milhas (vide Dorf. 8ºed.). O diagrama do sistema de

controle é

Projete o amplificador k tal que sejam atendidos todos os itens baixo:

a) Seja estável;

b) PO%10%, sendo R(s) um degrau;

c) Erro de regime permanente, para R(s) uma entrada rampa,menor possível;

d) O efeito de uma perturbação D(s) do tipo degrau seja reduzida.

Exercício: Suponha que o sistema de controle abaixo sofre ação de distúrbio D(s). Projete k tal

que o sistema tenha a menor influência do distúrbio, em relação à saída Y(s). E ainda tenha

erro de regime permanente nulo para entrada degrau em R(s).

Page 163: Apostila de Controle Linear I

162

12-Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) 12.1 - Introdução O método do lugar das Raízes foi criado por R. Evans em 1953. Permite estudar a evolução das raízes de uma equação, quando um parâmetro é variado continuamente. Possibilitando a determinação deste parâmetro de tal forma que o sistema atinja o comportamento dinâmico desejado. Ambas as funções de transferência de sistemas contínuos e discretos são funções complexas, ou seja, funções que possuem variáveis complexas: s ou z, respectivamente. Desta forma, as regras do método do lugar das raízes são as mesmas para os dois sistemas, será mostrada aqui uma introdução deste tópico. O princípio do método está baseado na realimentação mostrada a seguir:

Figura 1 – Diagrama de Blocos do Sistema Realimentado

Sendo que deseja-se determinar a influência do ganho k (0<k<+∞) sobre os pólos do sistema em malha fechada. A função de transferência de malha fechada do sistema da figura acima é:

)()(1

)(

)(

)(

sHsGk

sGk

sU

sY

O objetivo do método é estabelecer regras simples para traçar o lugar geométrico formado pelas raízes de 1+G(s)H(s) quando k variar de 0 a +∞, sem o conhecimento explícito das raízes de malha fechada. Deseja-se estudar a seguinte equação:

1+kG(s)H(s)=0, para 0<k<+∞

cuja soluções são os pólos de malha fechada do sistema da Figura 1, acima.

Exemplo de Sistema de Controle Considere um acionador de disco rígido mostrado na figura abaixo, retirado do Dorf (8ª. Ed.). O objetivo do dispositivo leitor do acionador de disco é posicionar o cabeçote de leitura das trilhas de dados armazenados (ver Dorf). Deve-se controlar com precisão a posição angular do cabeçote. Segundo Dorf, o disco gira com uma velocidade entre 1.800 e 7.200 rpm, e a cabeça “voa” acima do disco a uma distância menor que 100nm. A especificação de projeto é que o cabeçote vá da trilha a para a trilha b em 50ms.

+

-

Page 164: Apostila de Controle Linear I

163

Figura 2 – Sistema de um acionador de disco rígido. O sistema de malha fechada deste sistema posicionador do cabeçote ( dado em Dorf) é dado na figura abaixo:

Figura 3 – Diagrama de blocos do modelo do sistema de controle. Em Dorf, é admitido que o sensor possui função de transferência H(s)=1 e a função de transferência do motor e cabeçote é:

))(()(

RLsbJss

ksG m

sendo: J momento de inércia, b coeficiente de atrito viscoso, L indutância do motor, R resistência elétrica e mk constante de torque do motor.

Em Dorf, constante elétrica do motor é desprezada (L≈0) e substituindo os valores de J, B, R e mk , tem-se:

)20(

5)(

sssG

Ka G(s)

H(s)

Controle Proporcional

Motor e cabeçote

sensor

Posição desejada

Posição real do cabeçote

-

Page 165: Apostila de Controle Linear I

164

Podemos verificar que a posição dos pólos de malha fechada do sistema realimentado depende do valor de ka. Desejamos estudar os pólos de malha fechada quando ka assume os valores ka=0 até ka→+∞. Vamos desenhar o root locus do sistema calculando-se as raízes do denominador da função de transferência de malha fechada (FT.M.F.), para cada valor de ka .

temos

a

a

a

a

kss

k

ss

kss

k

sU

sY

520

5

)20(

51

)20(

5

)(

)(2

Os pólos de malha fechada são dados por:

aa k

ks

510010

2

542020 2

2,1

Monta-se a tabela:

ka s1 s2

0 -20 0 1 -19,75 -0,25 5 -18,66 -1,34

10 -17,07 -2,93 20 -10 -10 30 -10+j7,07 -10-j7,0760 -10+j14,14 -10-j14,14→∞ -10+j∞ -10-j∞

Podemos então traçar o root locus:

Page 166: Apostila de Controle Linear I

165

O lugar geométrico acima é o lugar geométrico das raízes da F.T.M.F., chamado de root locus. Com esse estudo pode-se determinar o lugar geométrico que ocupam os pólos de malha fechada do sistema realimentado, quando k variar de 0 a +∞ . Evans propôs um método genérico para levantar estes lugares geométricos, baseado em algumas regras simples para montagem do root-locus.

As regras do Root-Locus Regra 1 – Os ramos do “root-locus” começam nos pólos de G(s)H(s), nos quais k=0. Os ramos terminam nos zeros de G(s)H(s), inclusive zeros no infinito. O número de “zeros no infinito” é igual a:

Nz∞=Np-Nz (5.1) onde Np – nº de pólos de G(s)H(s) Nz – nº de zeros de G(s)H(s) Exemplo: Suponha que no sistema da Figura 1, G(s) e H(s) são:

)4(

)5()(

)2()(

2

s

ssHe

s

ssG (5.2)

As raízes de 1+kG(s)H(s) serão determinadas por:

0)4(

)5)(2(1

2

ss

ssk (5.3)

ou ainda:

60

60

Page 167: Apostila de Controle Linear I

166

s2(s+4)+k(s+2)(s+5)=0 (5.4)

i – se k=0, a equação acima ficará:

s2(s+4)=0 logo: s1=s2=0 e s3=-4 Note que esses são os pólos de G(s)H(s). ii – Se k→+∞, para analisar este intervalo, vamos reescrever a equação (5.4):

)5)(2(

)4(2

ss

ssk (5.5)

Se k→+∞, o lado direito da equação (5.5) se iguala a +∞ se e somente se s→ -2 (pela esquerda) s→ -5 (pela esquerda) ou s→ -∞ sendo que s1=-2 e s2=-5 são os zeros de G(s)H(s) e s→-∞ é um “zero no infinito”. Neste caso,

Np=3 e Nz=2 logo Nz∞=3-2=1 Regra 2 – As regiões do eixo real à esquerda de um número ímpar de pólos mais zeros de kG(s)H(s) pertencem ao “root-locus”. Exemplo: para os valores do exemplo anterior teremos

)4(

)5)(2()()(

2

ss

ssksHskG

Os zeros são: z1=-2 e z2=-5 Os pólos são: P1=P2=0 e P3=-4 No plano imaginário os pólos são representados por “X” e os zeros por “O”. A aplicação da regra 2 neste caso será:

Page 168: Apostila de Controle Linear I

167

Esta regra é facilmente obtida verificando-se a condição de ângulo da equação 1+kG(s)H(s)=0, que pode ser reescrita na forma:

0,1)()( ksHskG Para que esta equação seja verdadeira, o ângulo deverá ser:

Nota: A condição de módulo da equação característica do root locus é

1)()(1)()( sHskGsHskG

Nota: Na figura acima, G(s)H(s) é avaliada em um ponto s=so através do uso de vetores que unem cada pólo e cada zero ao ponto so em H(s) G(s). Vamos ilustrar com um exemplo numérico:

Seja )8(

)3()()(

s

ssGsH e queremos avaliar

ossH(s)G(s) :

Neste caso:

mas (so+3) e (so+8) são os vetores x e y, respectivamente, mostrados abaixo:

so

o

Page 169: Apostila de Controle Linear I

168

Logo,

. Se transladarmos x horizontalmente de -3 e y de -8 teremos:

O que não muda os ângulos α e β e resulta nos vetores ,, yex que ligam o zero e pólo de G(s)H(s) ao ponto so. Note que os módulos de x e y não mudam com a translação ou seja: ,, yyexx .

Regra 3 – Quando k se aproxima de +∞, os ramos do “root-locus” que tendem a infinito e assintotam retas com inclinação

1...,,2,1,0,18012

zpo

zp

NNinn

i

sendo np – número de pólos de G(s)H(s) nz – número de zeros de G(s)H(s)

Verificação: Considere )4)(1(

)()(

sss

ksHskG , temos: np=3 e nz=0. no plano complexo

teremos:

8

Page 170: Apostila de Controle Linear I

169

Fazendo o ponto P crescer infinitamente, e para verificar se pertence ao root-locus, vamos reescrever a figura acima:

O ponto P pertencerá ao “root-locus”, se

Sendo que p→∞, 321 , logo:

Logo, 3

180)12(

3

)180)(12( oo ii

Porém, np-nz=3 então:

...,1,0,180)12(

inn

i

zp

o

Retornando ao exemplo, os ângulos das assíntotas serão:

...,1,0,60)12(03

180)12( 0

iii o

Page 171: Apostila de Controle Linear I

170

Para ooo ieii 30021801;600

ooo ieii 30031802;601 Porém, das relações trigonométricas temos as seguintes equivalências:

oooooo 30060,30060,180180

Logo: ooo e 18060,60 321 .

Regra 4 – O ponto de partida das assíntotas é o centro de gravidade (C.G.) da configuração de pólos e zeros de G(s)H(s), ou seja:

zp nn

zerospólosCG

Exemplo: Para o sistema do exemplo anterior, onde )4)(1(

1)()(

ssssHsG , teremos :

- np=3 e nz=0; - os pólos são: p1=0, p2=-1 e p3=-4; - os zeros são: nenhum.

Logo, 3

5

03

0)410(

CG

Então:

Regra 5 – Os pontos nos quais os ramos do “root-locus” deixam (ou entram) o eixo real são determinados utilizando-se a seguinte relação

0))()(( 1 sHsGds

d

No exemplo descrito anteriormente, teremos:

Page 172: Apostila de Controle Linear I

171

)1)(4(

1)()(

ssssHsG

Então, sssssssHsG 45)1)(4()()( 231 Logo,

04103)45()()( 2231 sssssds

dsHsG

ds

d

As soluções são: s1=-0,4648 e s2=-2,8685 (desprezado pois não pertence ao root-locus) O root-locus será:

Regra 6 – Duas raízes deixam ou entram no eixo real com ângulos o90 . Regra 7 – O “root-locus” é simétrico em relação ao eixo real. Isto decorre do fato de que as raízes de um polinômio de coeficientes reais ou são reais ou pares complexos conjugados. Regra 8 – para se determinar o ganho k associado a um ponto p do “root-locus”, deve-se utilizar a condição de módulo da equação:

0)()(1 sHskG Que pode ser colocada numa forma mais direta reescrevendo-se a equação acima:

-

Page 173: Apostila de Controle Linear I

172

1)()( sHskG

Pela condição de módulo temos:

1)()(1 sHsGk

como 0<k<+∞ temos:

1)()(1 sHsGk

Para s=p teremos:

ps

ps sHsGksHsGk

)()(

11)()( 11

Exemplo: Suponha que no sistema da fig.1, as funções de transferência são:

ssHe

ssG

1)(

1

1)(

.

Calcule o máximo valor de k de tal forma que os pólos de malha fechada do sistema fiquem dentro do círculo. Trace o “root-locus” do sistema para ajudar.

Neste caso, teremos: )1(

)()(

ss

ksHskG .

Temos: pólos: p1=0 e p2=1 zeros: nenhum np=2 Nz∞=2-0=2 nz=0 - Ângulo das assíntotas:

o

zp nn

i90

180)12(

- CG das assíntotas:

2

1

02

010

zp nn

zerospólosCG

- Ponto de partida:

2

1012)(0)()( 21 ssss

ds

dsHsG

ds

d

O “root-locus”

Page 174: Apostila de Controle Linear I

173

Veremos mais adiante que um sistema discreto será estável se as raízes da F.T.M.F. ficar dentro do círculo unitário. Isto é respeitado se e somente se 0<k<ko. Para determinar ko, iremos utilizar a regra 8, sendo que o ponto de cruzamento do “root-locus” com o círculo unitário é:

Pela regra 8, a condição de módulo é:

112

3

2

1.0

2

3

2

1

1

1

jjzp

pp

km

ii

n

jj

o

Logo, para que o sistema discreto seja estável, é necessário que: 0<k<1. Obs: Este não é o critério de estabilidade para sistemas contínuos no tempo. Regra 9: Os ângulos de saída (chegada) de pólos (aos zeros) são determinados a partir do condição geral de ângulo.

ko

Page 175: Apostila de Controle Linear I

174

Exemplo: Seja )41)(41(

)2()()(

jsjss

sksHskG

Neste caso: Nz∞=3-1=2, portanto teremos 2 assíntotas. O esboço inicial do “root-locus” é:

Precisa-se determinar o ângulo com o qual o “root-locus” deixa os pólos complexos. Para isto, verificamos qual é o ângulo de um ponto P próximo a esse pólo, fazendo:

Pela condição de ângulo, teremos:

Se a distância entre p e o pólo for nula, ou seja r→0, os ângulos serão:

Logo, substituindo esses valores na equação de ângulo, teremos: 75,96º - ө - 104,04 - 90º=(2i+1).180º Para º08,2980 i , que é ângulo de partida dos pólos.

Page 176: Apostila de Controle Linear I

175

O “root-locus” será:

Exemplo: Suponha que no sistema da Fig. 1, tenhamos: )1(

)5,0()()(

ss

sksHskG . Trace o “root-

locus”. Este sistema tem dois pólos e um zero, é conhecido que neste caso, o “root-locus” é um círculo centrado no zero. Para determinar o raio basta calcular o ponto de partida com a relação:

0))()(( 1 sHsGds

d (regra 5)

Neste caso,

0)5,0(

)1(

s

ss

ds

d

05,00)5,0(

)()5,0)(12( 22

2

ss

s

ssss

Então: s1=0,366 S2=-1,366 O “root-locus” será:

o

Page 177: Apostila de Controle Linear I

176

Este sistema tem os mesmo pólos que o do exemplo dado na regra 8, mais um zero em -0,5. Comparando os dois “root-locus” dos exemplos, percebe-se que a presença do zero ‘atrai’ o “root-locus”. No próximo capítulo, serão apresentadas as especificações de um sistema de controle e os principais métodos de projeto de controladores. Exercício: Trace o root locus de cada um dos três sistema:

)1(

1)()() 11

sssHsGi

)1(

)4()()() 22

ss

ssHsGii

)4)(1(

1)()() 33

ssssHsGiii

Conclua que zeros atraem o R-L e pólos repelem o R-L. Regra 10 – O ponto onde o root locus cruza o eixo imaginário é obtido fazendo-se s=jω na equação característica.

Exemplo: Na Figura 1, suponha que 3 2

( )3 2

kkG s

s s s

e ( ) 1H s .

A equação característica é: 1+kG(s)H(s)=0 Então:

023023

1 2323

kssssss

k

Fazendo s=j (j )3+3(j )2+2j +k=0 -j 3-3 2+2j +k=0 j(2 - 3)+(k-3 2)=0 2 - 3=0 (i) e

Page 178: Apostila de Controle Linear I

177

k-3 2=0 (ii)

de (i) temos (2- 2)=0 =0 ou = 2 de (ii) temos k-3 2=0k=3 2 (iii)

=0 não é aceito pois ocorre quando k=0

2 é a solução. Para 2 , o valor de k é obtido através da expressão (iii) 6)2(3 2 kk .

Vamos traçar o R-L completo: sss

k

sss

ksHskG

)2)(1(23)()(

23

Pólos: P1=-1; P2=-2; P3=0 Zeros: nenhum Np=3; Nz=0 Nz∞=3-0=3

Ângulos das assíntotas: º180,º60,º60º60)12(º180)12(

inn

i

zp

.

Ponto de ramificação (de partida): 023

11

23

sssds

d

02630)23( 223 sssssds

d

42,0

58,1

6

126;122436

2

12,1 s

ss

CG das assíntotas: 103

0)021(

zp nn

zerospóloCG

Temos:

Page 179: Apostila de Controle Linear I

178

Pode-se concluir pelo root locus que o sistema é estável para 0<k<6. O cruzamento do R-L com o eixo imaginário também pode ser determinado usando o critério de estabilidade de Routh, dado nos capítulos anteriores. Vide exemplo abaixo. Exemplo: Para o mesmo exemplo anterior, determine o valor de k quando o R-L cruze o eixo imaginário usando o critério de Routh. Sol.: F.T.M.F será:

3 2

3 2

3 2

( ) ( ) 3 21 ( ) ( ) 3 21

3 2

kkG s H s ks s s

kkG s H s s s s ks s s

Logo o polinômio característico é: s3+3s2+2s+k 1º) k>0 2º) s3+3s2+2s+k 3º) Montar tabela:

603

60

3

233

21

0

1

2

3

kk

ks

ks

ks

s

Portanto o sistema será estável se 0<k<6, e quando k=6, a raiz da F.T.M.F estará sobre o eixo imaginário, quando o R-L cruza o eixo imaginário.

k>0

Page 180: Apostila de Controle Linear I

179

Regra 11 – Se pelo menos dois ramos do Root Locus vão para o infinito (ou seja se tem pelo menos 2 assíntotas), então a soma dos pólos de malha fechada correspondentes a um mesmo k é uma constante independente de k. Exemplo: No exemplo anterior, calcule todos os pólos do sistema de malha fechada quando k=6. Deseja-se determinar a 3ª raiz do R-L, quando k=6 pois as outras duas já sabemos:

2 .

Neste caso temos 3 assíntotas, portanto podemos aplicar a regra 11:

60 kk

pólospólos

*322012 jj

Exercícios: Um sistema de controle está mostrado abaixo:

Esboçar o root locus para cada um dos sistemas que tenham: a) ksC )( b) )1()( sksC

c))10(

)1()(

s

sksC

Page 181: Apostila de Controle Linear I

180

d)10

)3)(1()(

s

ssksC

Obs.: o controlador não deverá ter mais pólos que zeros, devido a dificuldade de implementação prática. Exercícios: trace o root locus do seguinte sistema de controle

Técnicas de Projeto de Controladores usando o Root-Locus Uma propriedade importante do Root-Locus, dada como exercício na pg. 176, é que zeros atraem a Root-Locus e pólos repelem o Root-Locus. Então, utiliza-se esta propriedade para projetar controladores que estabilizem a planta (sistema de malha fechada) a ainda atendam as especificações de desempenho: PO%, te e erro de regime permanente. Exemplo: Projete um controlador C(s), tal que o sistema abaixo seja estável:

1º tentativa: propõem-se o controlador C(s) o mais simples possível, ou seja C(s)=K, apenas um ganho k. Será que existe k, tal que, o sistema de malha fechada seja estável? Usemos o Root-Locus para verificar:

)4)(2()()(

ss

KsGsC ;

Np=2 Nz=0 Nz=2-0=2

º901802

)12(sin

itas

32

0)42(

CG

362)86( 2 ssssds

ddePontoPartida

Page 182: Apostila de Controle Linear I

181

Não é possível estabilizar o sistema com C(s) igual a apenas um ganho.

2º tentativa: atrair o Root-Locus para a região de estabilidade colocando zeros no lado esquerdo do plano s, zeros do controlador. Como o controlador deve ser implementado, o número de zeros não pode ser maior que o número de pólos. Então, sugerimos:

)200)(100(

)4)(2()(

ss

ssKsC

Então:

)4)(2(

1

)200)(100(

)4)(2()()(

ssss

ssKsCsG

Pólos: p1= -100, p2=-200, p3=2, p4=4, Np=4 Zeros: z1=-2, z2=-4; Nz=2 Nz=4-2=2 assint= º90

1442

288

24

4242200100

zp NN

zpCG

É necessário determinar o valor de k tal que o sistema seja estável: Usando a regra 10:

1 ( 2)( 4)1 0

( 2)( 4)( 100)( 200)s j

K s s

s s s s

0)86()20000300)(86( 222

jsssKssss

K=20.015 e =2,9

Então, K>20.015 soluciona o problema, por exemplo, use K=20.040. Não é apenas a estabilidade uma necessidade de projeto de sistemas de controle, mas também, os índices de desempenho estudados no Capítulo 8, PO% e te. Relembrados abaixo, segundo localização no plano-s

o R-L foi atraído para a região de estabilidade

Page 183: Apostila de Controle Linear I

182

22

2

2)(

nn

n

sssG

Raízes: 1012

442 2222

2,1

parajs nnnnn

)(cos%

cos

cos

arcPO

nn

Índices de desempenho: para entrada degrau

Exemplo: Deseja-se PO%5% e te2s. Especifique a região na qual os pólos do sistema devem estar no plano-s. Use o critério de 2% para o tempo de estabelecimento. Sol:

2224

nnn

et

logo

%)2(,4

net

21100%

ePO

Page 184: Apostila de Controle Linear I

183

º457,0%5% PO logo

As duas especificações são satisfatórias na intersecção das regiões acima, ou seja:

Assim, os pólos de malha fechada do sistema de controle, para o qual necessita-se de PO%5% e Te<2s, deverão estar dentro da região acima. os pólos do Root-Locus deverão passar dentro desta região e então escolher um valor de K tal que os pólos fiquem dentro. Tempo de Subida (ts)

Como visto nos capítulos anteriores, o tempo de subida é dado por: n

st 8,1

,

que é uma aproximação considerando =0,5. Exemplo: Se 18,1 ns st logo, a região que satisfaz é:

Page 185: Apostila de Controle Linear I

184

Exemplo: Deseja-se 0,9s ts1,8s logo:

18,18,1

nn

29,08,1

nn

temos:

Exemplo: Projete o controlador C(s) abaixo tal que o sistema tenha PO%5% e Te4s, tempo de estabelecimento para critério de 2%.

sol: Primeiramente desenha-se a região do plano-s que satisfaz todas as especificações:

PO%<5 >0,7 <45º

1144

4te nnn

a região que satisfaz todas especificações está mostrada na página seguinte. Primeira tentativa: suponhamos C(s)=K, temos

s

Page 186: Apostila de Controle Linear I

185

202

040

º90

20

2)4(

)()(

sin

CG

NN

Nss

KsCsG

tas

zz

p

Temos

É necessário determinar o valor de K tal que , para valores menores de K os pólos de malha fechada estejam dentro da região especificada, ou seja, K=Kmáx. Pela figura anterior, para K= Kmáx, tem-se s=-2+j2, pois =45º. Então:

0)()(1 sCsG , condição de módulo:

1)4(

1

22

js

máx ssK

88842222 máxmáx KjjK

41)4(

1min

2

min

Kss

Ks

84 K

Logo pode usar K=6, por exemplo. Então: C(s)=6 Obs: Não use o K=Kmin pois o sistema está no caso sub amortecido. É necessário que K>Kmin.

O Kmin é necessário para que o sistema tenha pólos complexos conjugados, >0 0<<1

Note que o sistema de malha fechada será sempre estável.

Page 187: Apostila de Controle Linear I

186

Uma outra técnica de projeto de controladores é a técnica de cancelamento de pólos e zeros (todos do lado esquerdo do plano s), de tal forma que o R-L passe dentro da região das especificações. Isto é ilustrado seguir: Exemplo: O rastreador solar, dado nos capítulos anteriores, tem a seguinte estrutura de controle:

Projete o controlador C(s) tal que o sistema de malha fechada tenha, PO%<5% e te<4s (critério 2%). sol: Note que a região das especificações são as mesmas do exemplo anterior. primeira tentativa: C(s)=Kc, temos:

10.,)8,0()8,0(

10)()( cc Kk

ss

k

ssKsCsKG

O root-locus será:

Segunda tentativa: iremos cancelar o pólo -0,8 da planta com um zero do controlador C(s) e colocar um pólo do controlador tal que o novo R-L passe dentro

da região das especificações: )4(

)8,0()(

s

sKsC c , temos:

)8,0()4(

)8,0(

)8,0(

10

)4(

)8,0()()(

sss

sk

sss

sKsCsKG c , k=Kc.10

Neste caso o root-locus será

Note que o root-locus não passa dentro da região das especificações, logo não existe K tal que as especificações sejam atendidas.

Page 188: Apostila de Controle Linear I

187

Neste caso kmáx=8, mas k=Kc.10 Kcmáx=0,8 kmin=4 Kcmin=0,4

Temos: )4(

)8,0(7,0)(

s

ssC

Exercício: Projete um circuito com A.O. (Amplificador Operacional) que implemente o controlador projetado acima. Dica, use os capítulos anteriores desta apostila. Nota Importante: o cancelamento de pólos e zeros mostrado anteriormente não pode ocorrer no lado direito do plano-s ou no eixo imaginário. Isto se deve ao fato de que o controlador C(s) projetado nunca poderá ser implementado na prática com um erro nulo. Na prática a implementação de C(s) não será ideal. Por exemplo, poderíamos propor o cancelamento de pólos e zeros para o exemplo da pg. 181, onde

Assim, para atrair o R-L para o lado esquerdo do plano-s e colocá-lo dentro da região de estabilidade e especificações, podem propor o simples controlador, cancelando o pólo em p1=2:

10)(s

2)-K(s)(

sC

O pólo p1=0,8 da planta foi cancelado pelo zero z1=-0,8 do controlador

Page 189: Apostila de Controle Linear I

188

Nota: Ao projetar um controlador, deve-se observar a dominância dos pólos que ficam dentro das região das especificações. A dominância de pólos já foi estudada nesta apostila. No exemplo da página 182, os pólos do controlador foram colocados em -100 e -200, para que os pólos mais próximos da origem, de malha fechada, fossem dominantes. Exercício: Os lasers podem ser usados para perfurar o colo do fêmur na bacia visando a inserção apropriada de uma prótese. O uso de laser na cirurgia requer alta precisão na resposta de posição e de velocidade. O sistema de controle que usa um manipulador com motor CC é dada abaixo:

O ganho K do amplificador deve ser projetado de modo que o erro estacionário para uma entrada rampa u(t)=At, A=1mm/s, seja menor ou igual a

cancelamento de um pólo instável da planta com um zero do controlador

ampliação do cancelamento de pólo e zero: como não será possível implementar z1=2 exatamente, o root-locus prático será:

supondo que ocorreu um erro de 1% na implementação do zero: z1=2; prático z1=1,98

Esta parte do root-locus não irá para o lado esquerdo do plano-s então, terá um pólo do sistema de malha fechada no lado direito do plano-s

Page 190: Apostila de Controle Linear I

189

0,3mm, ainda, ser estável, ter PO%<20% e te<8s (para 2% de regime). Use o root-

locus e o conceito de pólos dominantes. Lembre-se que )()(lim

)(0

sGssD

A

s

(para

D(s)G(s) com 1 pólo na origem) Exercício: O sistema de controle de posição angular de um satélite é dado abaixo.

Projete C(s) tal que o sistema seja estável, tendo-se PO%<5% e te<0,1s. Exercício: Nos últimos anos vêm sendo utilizados nas fábricas muitos sistemas de controle automáticos para veículos autoguiados. O sistema de controle de um deles é dado abaixo:

Monte o root-locus e determine um valor adequado para o ganho K de modo que =0,707 das raízes complexas conjugadas dominantes. Exercício: Um avião a jato de elevado desempenho tem sistema de controle dado abaixo:

Monte o lugar das raízes e determine o ganho K de modo que dos pólos complexos conjugados próximos ao eixo j (pólos dominantes) seja o maior possível. Calcular as raízes para este valor de K e prever a resposta ao degrau do sistema (qual serão PO% e te?). Use o MATLAB para obter y(t) para u(t) degrau e compare com o esperado. Existe dominância? Exercício: O diagrama de blocos do sistema de controle da velocidade de um automóvel autônomo é mostrado abaixo:

Centro de Massa

F(t)tubeira

t

Page 191: Apostila de Controle Linear I

190

Para melhorar a resposta do veículo, é necessário projetar o controlador tal que o sistema de malha fechada não tenha overshoot , ou seja, 9,0 ; e que o

tempo de subida esteja entre: sts 0,60,3 .

Exercício: O sistema de controle de um elevador de cargas automático é mostrado abaixo:

Projete o controlador tal que o sistema tenha PO%10%, tempo de subida aproximadamente 0,5s e erro de regime nulo para entrada degrau. Exercício: Para o sistema posicionador do cabeçote do disco rígido (Winchester) dos computadores, dado na figura abaixo, projete o controlador tal que o sistema tenha tempo de subida de msts 2218 e 20%overshoot .

O MATLAB traça o root-locus facilmente. Por exemplo para traçar o root-locus de

Page 192: Apostila de Controle Linear I

191

Basta definir o numerador e o denominador de G(s)H(s):

sss

s

sss

ssHsG

65

1

)3)(2(

1)()(

23

e usar a função ‘rlocus( )’:

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Caso deseja-se obter o valor k para um ponto sobre a root-locus, use a função. rlocfind(num, den) e então posicione o cursor sobre o root-locus e pressione ‘enter’, na tela irá aparecer ponto selecionado=-2,0509+4,3228i ans= 20,5775 (este é o valor de k quando o pólo for -2,0509+4,3228i)

A região que atende “as especificações podem ser colocadas no root-locus do MATLAB usando-se a função ‘sgrid. Digite: Help sgrid para maiores detalhes.

Após ter projetado o controlador usando MATLAB, o aluno pode simular em seguida o sistema para uma entrada degrau ( ou outras) usando a função ‘step’ vista nos capítulos anteriores desta apostila.

Exercício: Use o MATLAB para traçar o root-locus do sistema abaixo, e

selecione k tal que a resposta ao degrau tenha PO%<20% e tempo de estabelecimento menor que 5s.

>> num=[1 1]; >> den=[1 5 6 0]; >> rlocus(num,den)

Page 193: Apostila de Controle Linear I

192

Simule o sistema com k projetado e verifique se realmente ocorreu a dominância, modifique os pólos ou zeros do controlador de tal forma a ocorrer a dominância.

O MATLAB tem ainda uma facilidade para projetar e traçar o root-locus chamado ‘rltool’, que abre uma janela que traça o root-locus, resposta degrau, Bode, Nyquist, etc. Digite no MATLAB: ‘rltool. Veja o exemplo na página seguinte.

Exemplo: Para

sss

s

sss

ssHsG

65

1

)3)(2(

1)()(

23

digite no MATLAB: num=[1 1]; den=[1 5 6 0]; sys=tf(num,den); rltool(sys)

Irá abrir a janela do rltool, como mostrado abaixo:

Na figura acima, a resposta ao degrau foi obtida usando a ferramenta “analysis”, através de uma janela do “rltool”.

Page 194: Apostila de Controle Linear I

193

Controlador tipo Avanço (Lead) A figura abaixo mostra um circuito com A.O. cuja função de transferência é dada abaixo:

Ts

Ts

K

CRs

CRs

CR

CR

sE

sEC

i

o

1

1

1

1

)(

)(

22

11

23

14

Sendo

23

142211 ,

CR

CRKeCRTCRT C

Se α<1Circuito com avanço de fase (lead) e as raízes no plano-s são:

Se α>1Circuito com atraso de fase (lag) e as raízes no plano-s são:

Característica Melhora a resposta transitória Pouca influência na resposta em regime

permanente Melhora estabilidade

Page 195: Apostila de Controle Linear I

194

Demonstração do cálculo da função de transferência do circuito da página anterior. O circuito anterior está repedido abaixo:

Como este é um circuito com A.O., a função de transferência de Eo(s) para Ei(s) é:

)()()(

)(21 sGsG

sE

sE

i

o

Claramente que 3

42 R

RG

Da mesma forma, 1

21 Z

ZG

Neste caso,

sCR

RZ

sCRZ 11

11

1

11 11111

Da mesma forma, sCR

RZ

22

22 1

logo,

Característica Melhora a resposta em regime permanente Pouca influência na resposta transitória Piora a estabilidade

o x

Page 196: Apostila de Controle Linear I

195

sCR

sCR

R

R

sCR

RsCR

R

G22

11

1

2

11

1

22

2

1 1

1

1

1

ou ainda,

s

CRCR

sCR

CR

R

RG

2222

1111

1

21

1

1

22

11

2

11

1

1

CRs

CRs

C

CG

22

11

23

1421

1

1

)()()(

)(

CRs

CRs

CR

CRsGsG

sE

sE

i

o

Então a função de transferência deste controlador é:

23

142211 ;;

1

1

)(CR

CRKeCRTCRT

Ts

Ts

KsC CC

A seguir será mostrada uma técnica de projeto de controlador em avanço (lead). Nota: O controlador é dito em avanço devido ao fato de ӨZ> ӨP:

c.q.d

o

ӨZӨP

Page 197: Apostila de Controle Linear I

196

Sendo C(s) a função de transferência do controlador em avanço (lead) dada anteriormente.

Técnica de projeto de Controlador em Avanço (lead)

1- Partindo das especificações de desempenho (PO%, te) determine as localizações desejadas dos pólos dominantes no plano-s.

2- Verifique se, usando apenas um ganho na malha aberta, é possível satisfazer as especificações de projeto, para isto use o root-locus

3- Se for possível, o projeto está terminado, do contrário vá para o passo 4. 4- Fixe um ponto no plano-s (s=so) tal que todas as especificações sejam

obedecidas (PO% e te). Encontre um compensador C(s) na configuração:

C(s)→controlador em avanço de tal forma que s=so pertença ao root-locus deste sistema. Para isto, deve-se ter

1)()(0)()(1 ooss

sGsCsGsCo

ou

hsGsCesG

sCsG

sC ooo

oo

o 2)()()(

1)(

)(

1)(

ou

...,2,1,0,)()12( hsGh o , β=contribuição angular do controlador

Obs.: Dependendo do valor de β, será necessário usar várias redes em avanço em série, sendo que a defasagem de cada rede é <90º (na prática, <56º, α=0,1). O problema agora é determinar α e T de modo que C(so)= β, sendo β a defasagem necessária do controlador lead, para que o root-locus passe por s=so. Existem muitos valores de α e T que solucionam este problema. O procedimento mostrado a seguir obtém o maior valor possível de α de modo que o ganho adicional exigido pelo amplificador k seja o menor possível.

Page 198: Apostila de Controle Linear I

197

a) Seja s=so o ponto desejado que o root-locus passe:

Trace uma reta horizontal ao eixo real passando por s=so .

b) Una o ponto so com a origem e trace a bissetriz do ângulo A so 0, determine o ponto B no eixo real negativo.

c) Desenhe duas retas so C e so D que fazem ângulos 2

com a bissetriz so

B

As intersecções de so C e so D com o eixo real negativo determinam

Te

T 11

desejados, ou seja, o pólo e o zero desejado do controlador.

5- Coloque este controlador C(s) projetado na malha do sistema e simule usando o MATLAB. Se o desempenho não estiver como desejado, deve-se tentar outro controlador, do contrário pare.

Exemplo: Projete o sistema de controle abaixo de modo que o sistema de malha fechada tenha PO%17% e tempo de estabelecimento de 2s (2%), para os pólos dominantes.

A

Page 199: Apostila de Controle Linear I

198

1- As especificações no plano-s são:

PO%=17% ξ=0,5θ=60º

te(2%)=2sTe= 24

n

ξωn=2

2- Verifique se C(s)=k soluciona: )2(

)()(

ss

ksGskC , o root-locus é:

Portanto o R-L não passa por so, logo k que soluciona o problema. Ir para passo 3.

3- Usar compensador lead:

Ts

Ts

ksC

1

1

)(

.

Neste caso a defasagem necessária do controlador será:

...,2,1,0,)(º180)12( hsGh o

mas

º210)2322()322(

1)(

jjsG o

logo β=-180º+210, com h=-1, β=30º, β>0 sempre

so

n-2

Page 200: Apostila de Controle Linear I

199

Determinação do ganho )(

1)(:

oo sG

sCk

mas:

js

o

js

o s

sksCe

sssG

322322)4,5(

)9,2()(

)2(

1)(

logo

7,18

)4,5(

)9,2(

)2(

1

1

322

jsss

s

ss

k

Então o controlador será: )4,5(

)9,2(7,18)(

s

ssC

O root-locus do sistema compensado será: num=18.7*[1 2.9]; den=conv([1 2 0 ], [1 5.4]) rlocus(num,den) E a resposta ao degrau está mostrada na figura seguinte, sendo que a F.T.M.F. foi obtida usando os comandos “series” e “feedback” do MATLAB, o programa está mostrado abaixo. num=18.7*[1 2.9]; den=[1 5.4]; num1=[1]; den1=[1 2 0]; [n,d]=series(num,den,num1,den1); [n1,d1]=feedback(n,d,[1],[1]); step(n1,d1)

Assim,

Ts

Ts

ksC

1

1

)(

4,5

9,2)(

s

sksC

-2,9

R(s)

Page 201: Apostila de Controle Linear I

200

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4From: U(1)

To:

Y(1

)

A PO% medida no gráfico é PO% %20 , e o tempo de estabilização é te=2s. Neste caso apenas a PO% ficou um pouco maior a especificada no enunciado do problema. Isto deve ao fato que os pólos complexos conjugados dominantes não apresentarem dominância plena, pois o pólo do controlador está relativamente próximo aos pólos complexos conjugados, trace o root-locus para verificar isto.

Técnica de projeto de controlador em Atraso (Lag) Já foi dado na pg. 194, o circuito do controlador em atraso e sabe-se que sua função de transferência é:

Ts

Ts

KsG CC

1

1

)(

, β > 1

com

Pólos do sistema de malha fechada: -1,999 3,421j -3,4122

Page 202: Apostila de Controle Linear I

201

e kc será igual a 1, Kc=1, pois assim o controlador irá influenciar pouco na estabilidade e transitório do sistema. Este controlador melhora a resposta em regime permanente, diminuindo o erro de regime, mantendo as características da resposta transitória. Inicialmente é suposto que o sistema realimentado tem boa resposta transitória porém erro de regime permanente ruim.

Fig. 1 – Sistema realimentado com boa resposta transitória e erro de regime ruim.

Então, insere-se um controlador Gc(s) na malha, como mostrado a seguir, e deseja-se melhorar o regime permanente sem modificar muito o transitório.

Fig. 2 – Sistema com o lag.

temos

)()()()(

)()()(

sEsGsGsY

sYsUsE

C

logo )1()()()(1

1)( sU

sGsGsE

c

O erro de regime permanente é calculado fazendo-se s→0 em (1) e Gc(s) irá diminuir esse erro de regime se

0Gc(s)

sfor suficientemente grande. Se apenas

aumentar kc, poderá tirar o root-locus da dominância. O objetivo de projetar o controlador em atraso é aumentar o ganho de malha aberta, sem modificar muito a posição dos pólos dominantes, que são responsáveis pela resposta transitória. Técnica de Projeto

1- No sistema não compensado, vide fig. 1, determine os pólos dominantes s1 e o coeficiente de erro (constante de erro) em regime permanente para a entrada desejada (por exemplo rampa ou degrau). Vide capítulos anteriores.

2- Comparando o coeficiente de erro especificado no enunciado do problema (desejado) e o obtido em 1, determine aumento necessário ao coeficiente de erro do sistema de malha aberta:

atrasoemr controladoosemsistemado erro de coef.

desejado erro do coef.

Page 203: Apostila de Controle Linear I

202

1p

zzp r

rrr

3- Escolha um controlador Gc(s) em atraso, com pólo e zero bem próximo do eixo jω, de modo que para s=s1=pólo dominante tenha-se:

1

1

1

)(

1

1

1

Ts

Ts

sGc

Interpretação

º0)( 1 sGc (poucos graus)

Interpretação: º0)( 1 pzc sG pois pz

Assim teremos: º01)( 1 sGc , e no regime permanente:

T

TsGsc 1

1

)(0

4- Verifique se os pólos dominantes do sistema compensado, de malha

fechada, permanecem próximos aos anteriores. Use o MATLAB para simular o sistema.

Exemplo: Projete um controlador para o sistema abaixo de modo que o coeficiente

de erro de velocidade ( ) seja 5s-1, entrada rampa, sem modificar sensivelmente o seu desempenho transitório.

Sol.

1- Determinação dos pólos dominantes de F.T.M.F.:

O compensador comporta-se como um ganho unitário em s=s1 e portanto não modificará muito o transitório do sistema de malha fechada

correção necessária

Page 204: Apostila de Controle Linear I

203

)33,2)(58,033,0)(58,033,0(

06,1

)2)(1(

06,11

)2)(1(

06,1

)(

)(

sjsjs

sss

ssssU

sY

Assim os pólos dominantes são: 58,033,02,1 js

O root-locus e a resposta ao degrau são dados abaixo: A constante de erro de regime permanente para entrada rampa é calculada por:

1

053,0

2

06,1)(lim

ssGsk

sv

Vide tabela da pg. 147. Note que o sistema de malha aberta tem um pólo na origem.

2- kv do sistema sem controlador=0,53s-1

do sistema com o controlador (desejado)=5s-1

1053,0

5^

v

v

k

k vezes

3- Escolhemos β=10. Para que o pólo e o zero do controlador fiquem próximo à origem, escolhemos T=10, então pólo em -0,01 e zero em

-0,1, logo:

)01,0(

)1,0(

1

1

)(

s

s

Ts

Ts

sGc

Page 205: Apostila de Controle Linear I

204

Note que º801,0)58,033,0(

1,0)58,033,0()(

58,033,0

j

jsG

jsC

e

O root-locus do sistema com este compensador inserido segundo a fig. 2 e a resposta ao degrau é:

4- A simulação do sistema para entrada degrau está mostrada acima, usou-se o MATALAB. Note que PO%=37%. Sendo que o sistema original tinha PO%=17%. Assim, o projeto modificou a resposta transitória. Uma solução é levar o pólo e o zero do controlador mais próximo da origem. Para isto adotamos T=100, logo:

001,0

01,0

1000

1100

1

)(

s

s

s

ssGC ; logo:

199,0)(

0º7,0)(

oC

oC

sG

sG

A resposta ao degrau com este controlador na fig. 2 é:

(que não é 0º)

93,05,13

5,12

)58,0()32,0(

)58,0()23,0()(

21

22

22

58,033,0

jsC sG que não é 1

Page 206: Apostila de Controle Linear I

205

Que satisfaz o enunciado do problema. Neste caso

3,5)2)(1(

06,1

)001,0(

)01,0(lim)()(lim

00

ssss

sssGssGk

sC

sv

O sistema controlado é dado a seguir:

Neste exemplo, usou-se o software MATLAB para traçar o root-locus e a resposta ao degrau do sistema. Utilizou-se o ‘rltool’. Pode se projetar um controlador misto avanço-atraso (lead-lag) para compensar resposta transitória e regime permanente, adequadamente. Vide Ogata para maiores detalhes.

Page 207: Apostila de Controle Linear I

206

APÊNDICE A – Laboratório 1 –

Curso e Lista de Exercícios do MATLAB

Se utilizar o osciloscópio grande (Tektronix 320) use o programa curva320.m .

Importante:

Trazer pendriver e disquete em todas aulas de laboratório!

Importante: Na etapa prática deste laboratório, o aluno

deverá começar, a parte que utiliza o osciloscópio, 1h antes do término da aula.

Page 208: Apostila de Controle Linear I

207

CURSO INTRODUTÓRIO

SOBRE O MATLAB

Uma apostila mais detalhada sobre o MATLAB pode ser encontrada na home page do Laboratório de Pesquisa em Controle do DEE:

http://www.dee.feis.unesp.br/projetos/lpc/pagina7.htm

1. INTRODUÇÃO +MATrix LABoratory +Inicialmente escrito em FORTRAN +Novo MATLAB escrito em C +Várias plataformas + Win, Unix, Linux, Macintosh

+ Características:

+ Álgebra matricial + Versatilidade: O usuário cria novas ferramentas + Programação com macro funções + ToolBoxes específicos + Vários livros baseados em Matlab

Page 209: Apostila de Controle Linear I

208

+ Atualmente na versão 7.14 + www.mathworks.com 2. EXECUÇÃO DO MATLAB + No Windows, selecione o ícone “MATLAB with

SIMULINK” 3. COMANDOS E VARIÁVEIS = Comando de atribuição

[ ] Delimita elementos de matrizes e vetores

% Comentário

Help Tópicos de ajuda DEFINIÇÃO DE UM ESCALAR

>> a=2500/20 >> a=2500/20; >> a=1/0 >> 0/0

DEFINIÇÃO DE UM VETOR >> b1=[1 2 3 4 5 6 7 8 9] >> b2=[1; 2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7 ;8 ;9]

DEFINIÇÃO DE UMA MATRIZ >> c=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] >> c=[c;[10 11 12]] >> c(2,2)=0

CRIAÇÃO DE VETORES COM INCREMENTO >> x=1:2:9 >> x=0:pi/3:pi; >> y=sin(x)

MATRIZES COM EXPRESSÕES >> x=[-1.5 cos(pi/4) 2^3]

Page 210: Apostila de Controle Linear I

209

OPERADOR : >> A=[4 6 8;2 4 0;3 4 9]; >> A(1,:) = [1 1 1] >> A(2:3,1:2)=[10 10;10 10]

COMANDO format >> format short % 4 casas >> a=4/3 >> format long e % 14 casas >> a=(4/3)*1000 Internamente: 53 bits mantissa 11 bits expoente

4. OPERAÇÕES COM MATRIZES E VETORES TRANSPOSTA, ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

>> a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; >> b=a’ >> c=a+b >> c=a-b

MULTIPLICAÇÃO E ADIÇÃO COM ESCALAR >> x=[-1 0 2]; >> y=[-2 -1 1]’; >> x*y >> c=x+2

INVERSÃO E DIVISÃO >> a=[1 0 2;0 3 4;5 6 0]; >> b=inv(a)*a >> c=b/a % c=b*inv(a) >> c=b\a % c=inv(b)*a

RESOLVENDO SISTEMAS LINEARES

324

035

502

321

321

321

xxx

xxx

xxx

3

0

5

x

x

x

124

351

021

3

2

1

Page 211: Apostila de Controle Linear I

210

A . X = B Solução : X = A-1. B

RESOLVENDO COM O MATLAB >> A=[1 2 0;-1 5 -3;4 -2 1]; >> B=[5 0 3]’; >> X=A\B >> X=inv(A)*B OPERAÇÃO ELEMENTO A ELEMENTO - MATRIZ E VETOR

.* Multiplicação ./ Divisão à direita .\ Divisão à esquerda .^ Exponenciação

>> x=[1 -2 3]; >> y=[4 3 2]; >> z=x.*y >> z=x.^y >> y.^2

5. OPERAÇÃO COM NÚMEROS COMPLEXOS >> z=3+4*i % i=sqrt(-1) >> a=[1 2;3 4]+i*[5 6;7 8] >> Mz=abs(z) >> Az=angle(z)

6. UTILITÁRIOS PARA MATRIZES >> a=eye(3) % Matriz identidade >> a=zeros(4) % Matriz nula >> a=ones(3) % Matriz unitária

Page 212: Apostila de Controle Linear I

211

>> a=rand(2,3) % Matriz com n. aleatórios >> a=[2 0 0;0 3 0;0 0 -1]; >> d=det(a) % Determinante da matriz a

AUTOVALORES E AUTOVETORES A.xi =λi .xi

>> a=[1 0 0;0 -2 0;0 0 3]; >> l=eig(a) >> a=[1 0 2;0 -2 0;0 1 3]; >> [x,l]=eig(a)

7. TRAÇANDO GRÁFICOS +Gráfico do tipo y(t) x t

>> t=0:0.07:6*pi; >> y=sin(t); >> plot(t,y,’k’) >> xlabel(‘tempo [s]’) >> ylabel(‘sen(t)’)

+Duas ou mais curvas do tipo y(t) x t

>> z=cos(t); >> plot(t,y,’b’,t,z,’r-.’) >> title(‘Funções Trigonométricas’) >> xlabel(‘Tempo [s]’) >> ylabel(‘Sen(t) e Cos(t)’) >> text(3,0.6,’Seno’) >> text(2.2,-0.5,’Cosseno’)

+ Desenhando uma superfície 3D

>> x=-8:0.5:8; >> y=x’; >> X=ones(size(y))*x; >> Y=y*ones(size(x)); >> R=sqrt(X.^2+Y.^2)+eps;

Page 213: Apostila de Controle Linear I

212

>> Z=sin(R)./R; >> surf(X,Y,Z); >> xlabel(‘eixo X’); ylabel(‘eixo Y’); >> zlabel(‘eixo Z’) >> title(‘Chapéu Mexicano’); grid;

Aquisição de Dados com Osciloscópios Tektronix + Obtendo dados do canal 1

>> [t,v]=curva(1); %Autoria do Prof. Tokio >> tmin=min(t); >> figure(1); plot(t-tmin,v) >> xlabel(‘t (s)’) >> ylabel(‘volts’) >> title(‘Curva - Canal 1’) >> grid on

+ Salvando os dados >> save DadosCanal1 >> clear

+ Obtendo dados do canal 1 e 2 >> [t,v]=curva([1,2]); %Autoria do Prof. Tokio >> tmin=min(t); >> figure(2); plot(t-tmin,v) >> xlabel(‘t (s)’) >> ylabel(‘volts’) >> title(‘Curva - Canal 1 e 2’) >> grid on >> save DadosCanal12

+ Carregando dados salvos

>> load DadosCanal1 >> tmin=min(t); >> figure(1); plot(t-tmin,v) >> xlabel(‘t (s)’) >> ylabel(‘volts’) >> title(‘Curva - Canal 1’) >> grid on % ver (Figura 1)

% Para o osciloscópio 320 (grande) usar: curva320(1)

Page 214: Apostila de Controle Linear I

213

Usando Filtragem Digital >>load DadosCanal1 >>tmin=min(t); >>vfiltrado=filtdeg(v,60) ; % Autoria do Prof. Tokio >>figure(3); >>plot(t-tmin,v,'y',t-tmin,vfiltrado,'b'); >>xlabel('t (s)') >>ylabel('volts') 8. IMPORTANDO GRÁFICOS DO MATLAB PARA O WORD

+ Após criar o gráfico, digite: >> print -dmeta

+ O MATLAB envia o gráfico para a área de transferência;

+ Dentro do WORD, basta colar (CTRL+V) + Outra opção - comandos da janela gráfica (File-Save,

File-Export, Edit-Copy Figure) 9. PROGRAMANDO COM O MATLAB + Um programa consiste de uma sequência de

comandos do MATLAB + O arquivo deverá ser gravado no diretório de

trabalho do MATLAB +Deve-se criar um arquivo com extensão .m + Exemplo: teste.m 9.1. COMANDOS DE CONTROLE DE FLUXO + O comando “for”

–Formato:

for i=expressão comandos; end

+ Exemplo: digite o seguinte arquivo teste1.m

(File >> New >> M-File) n=3;m=3; for i=1:m for j=1:n

Page 215: Apostila de Controle Linear I

214

a(i,j)=i+j; end end s=sprintf(‘\nMatriz A:a(i,j)=i+j\n’);disp(s);disp(a) (File >> Save) >> teste1 % execução do programa

+ Exemplo: digite o seguinte arquivo teste2.m

(File >> New >> M-File) n=1; while n<=23 n=n+1; end disp(sprintf(‘\n n final: %d’,n)); (File >> Save)

+ No MATLAB digite >> teste2

+ Exemplo: digite o seguinte arquivo teste3.m

%Este programa determina se o num. n é par ou ímpar for n=1:4 resto=rem(n,2); if resto==0 disp(sprintf(‘\n %d é par\n’,n)); else disp(sprintf(‘\n %d é ímpar\n’,n)); end end

+ No MATLAB digite >> teste3

9.2. CRIANDO SUBROTINAS

Page 216: Apostila de Controle Linear I

215

+Digite o seguinte arquivo com a função media.m function x=media(u) % Esta função calcula a média dos elementos de u x=sum(u)/length(u);

+Digite o seguinte arquivo teste4.m v=1:1:10; m=media(v); disp(sprintf(‘\n A média de 1 a 10 é: %4.2f’, m)); No MATLAB digite >> teste4

10. SAINDO DO MATLAB >> quit ou >> exit

Page 217: Apostila de Controle Linear I

216

O RELATÓRIO DEVERÁ CONTER: 1. Descrever no relatório 4 comandos (ou conjuntos) que achou mais interessantes; 2. Medir e desenhar usando o Tektronix e o MATLAB:

2.1. Senóide de 2v de pico e 500Hz; 2.2. No canal 1 onda quadrada do osciloscópio e no canal 2 senóide de 3v de pico e 1kHz. 2.3 Filtrar essas curvas usando o “ filtdeg “. Plotar todas curvas em seu relatório.

LISTA DE EXERCÍCIOS - COMANDOS BÁSICOS DO MATLAB

Execute os seguintes comandos e interprete os resultados. As linhas que começam com um ‘%’ não precisam ser digitadas – são apenas comentários para o aluno seguir % Inicialmente mude para o seu diretório de trabalho, selecionando seu diretório de % trabalho modificando o campo do MATLAB (V7): “current diretory”. a= 2500/20 a=2500/20; b=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] c=[1 2 3 ; 4 5 6; 7 8 9] c=[c ; [10 11 12]] c(2,2)=0 d=c(1:2,1:3) l=length(b) [m,n]=size(b) [m,n]=size(c) who whos clear who x=1:2:9 x=(0:pi/10:2*pi); y=sin(x) help sin dir a=2^3 a=4/3 format long a=4/3 format short clear a=[1 2 3; 4 5 6 ; 7 8 9]; b=a' c=a+b

Page 218: Apostila de Controle Linear I

217

c=a-b a(1,:)=[-1 -2 -3] c=a(:,2) c=a(2:3,2:3) x=[-1 0 2]; y=[-2 -1 1]; x.*y x*y' c=x+2 a=[1 0 2; 0 3 4; 5 6 0]; size(a) b=inv(a); c=b*a c=b/a c=b\a clear a b c x y whos % Trabalhando com números complexos i=sqrt(-1) z=3+4*i a=[1 2; 3 4]+i*[5 6 ; 7 8] realz=real(z) imagz=imag(z) modz=abs(z) fasez=angle(z) % Multiplicação de polinômios % x3 = (x^2 + 3x + 2).(x^2 - 2x +1) x3=conv([1 3 2],[1 -2 1]) % Como ele faz isto? % Determinação das raízes de um polinômio roots([1 3 2]) roots([1 -2 1]) roots(x3) % Utilitários para matrizes a=eye(4) a=rand(5) help rand b=[2 0 0; 0 3 0; 0 0 -1]; d= det(b) l=eig(b) help det help eig

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clear % RECURSOS DE GRAVAÇÃO (ARMAZENAGEM) DE DADOS help save help load a=[1 2 3 4 5 6 7 8]; b=a*2; c=a-1; save arquivo1 a b c dir clear whos load arquivo1 whos % Em que arquivo estão gravados os vetores a, b e c? clear % RECURSOS GRÁFICOS y=[0 2 5 4 1 0]; plot(y) help pi t=0:pi/10:4*pi y=sin(t) z=cos(t); plot(t,y,'--',t,z,'-.') title('Funções') xlabel('t') ylabel('Seno e Cosseno') text(3,0.5,'Seno') % Após o próximo comando, selecione a posição que deseja %colocar o texto ‘Cosseno’ com o mouse gtext('Cosseno') % AJUSTE DE CURVAS DE DADOS EXPERIMENTAIS t=(-1:.1:1); x=t.^2; xr=x+0.2*(rand(size(x))-.5); figure(1);plot(t,xr,'g*') p=polyfit(t,xr,2) xa=polyval(p,t); figure(1);plot(t,xr,'g*',t,xa)

Page 220: Apostila de Controle Linear I

219

% Após a próxima instrução, clique em dois pontos do gráfico, %e os valores das coordenadas serão retornados em [x,y] [x,y]=ginput(2) % PROGRAMANDO COM O MATLAB % Abra um arquivo a partir do Matlab (File, New, M-File) % e você estará trabalhando no editor de texto do matlab. % Digite os seguintes comandos e grave o arquivo com o nome % teste1.m, no diretório de usuários, ou seu diretório %particular. n=3; m=3; for i=1:m for j=1:n a(i,j)=i+j; end; end disp('Matriz A') disp(a) %final do programa teste1.m % Para executar o programa acima, certifique-se que o Matlab %está trabalhando com o % diretório no qual foi gravado o seu programa. % Para verificar qual o diretório o Matlab está trabalhando, %digite pwd % Para modificar o seu diretório de trabalho, selecione seu %diretório de % trabalho modificando o campo do MATLAB: “current %diretory”. % Para executar o programa teste1.m, digite: teste1 % CRIANDO UMA SUBROTINA % Abra outro arquivo, savando-o com nome de teste2.m % Digite os seguintes comandos neste arquivo v=1:1:10; m=media(v); s=sprintf('\n A média é: %4.2f',m); disp(s); %final do programa teste2.m

Page 221: Apostila de Controle Linear I

220

Agora crie o seguinte arquivo, com o nome de media.m function x = media(u) %function x=media(u) calcula a média do vetor u, colocando o %resultado em x x=sum(u)/length(u); %final da subrotina media.m %Na linha de comando do Matlab, digite: teste2 echo on teste2 echo off % CRIANDO UM PROGRAMA EXEMPLO DE GRÁFICO 3D % Abra outro arquivo, gravando-o com nome de teste3.m % Digite os seguintes comandos neste arquivo clear n=30; m=30; for i=1:m for j=1:n a(i,j)=sqrt(i+j); end end b=[a+0.5 a'-0.5; (a.^2)/5 ((a'-0.1).^2)/2]; mesh(b) % CRIANDO UM PROGRAMA EXEMPLO DE GRÁFICO 3D % Abra outro arquivo, gravando-o com nome de teste3.m % Digite os seguintes comandos neste arquivo clear n=30; m=30; for i=1:m

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221

for j=1:n a(i,j)=sqrt(i+j); end end b=[a+0.5 a'-0.5; (a.^2)/5 ((a'-0.1).^2)/2]; figure(1) mesh(b) figure(2) surf(b)

Page 223: Apostila de Controle Linear I

222

APÊNDICE B – Laboratório 2 –

Introdução à Robótica

Page 224: Apostila de Controle Linear I

223

Controle Linear I

2ª Experiência: Introdução à Robótica 1 - Objetivos Esta experiência tem o objetivo de introduzir conceitos de robótica industrial. Serão montados robôs acionados por computador. O elemento básico do robô é o servomotor. 2 – Introdução O servomotor é um motor de corrente contínua que possui internamente ao invólucro um sensor de posição angular. Não há nenhuma realimentação do servomotor para o microcomputador que o aciona. Há um sistema de realimentação que usa um potenciômetro como sensor de posição angular do eixo, dentro do próprio servomotor, que permite manter a posição que o microcomputador determinou. O alcance da rotação do eixo do servomotor é 1800. Para maiores detalhes sobre o funcionamento interno do servomotor vide pg. 30 e 31 do Manual do RCS-6. O servomotor também é conhecido como “servo”. 3 – Segurança Pessoal Os robôs podem mover-se repentinamente e sem aviso, mantenha sua face, ombro, perna etc fora do limite do alcance do braço do robô. Nunca faça o robô atirar algo pesado, use apenas bola de tênis de mesa ou objeto leve e macio. Não use pedras, bolas de vidro ou ferro. 4 – Segurança do Equipamento Não deixe os servomotores em posição que os force muito, pois poderá superaquecê-lo. Se o braço do robô ficar esticado por muito tempo irá superaquecer o servomotor. Não aperte demais os parafusos ou roscas. Não bata as partes metálicas. Não retire os cabos segurando nos fios, mas sim puxando o conector suavemente. Não prenda inicialmente os fios ao robô e sim apenas no final da montagem. Note que os servomotores tem cabos com diferente tamanhos. Não deixe equipamentos próximos ao robô nos quais ele poderá colidir. 5 – Conectando os Motores na Placa de Interface do Microcomputador Escolha um robô (dentre os 11 tipos possíveis), cujo projeto está nas páginas 48 a 75 do Manual do RCS-6. Note que alguns robôs necessitam de “partes providas pelo usuários”, o aluno deve conversar com o professor sobre a disponibilidade. Por enquanto, deve-se apenas conectar os servomotores na placa de interface. Antes de conectar os servomotores, leia atentamente os parágrafos seguintes. Os plugues dos servomotores encaixam nos conectores de três pinos marcados como

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224

“servos” no adaptador da placa de interface. Não os conecte ao conjunto de pinos duplos. Importante: o fio preto (ou marron ) do servo deve ficar para o lado de fora do adaptador ( placa de interface) enquanto que o fio amarelo (ou laranja) do servo deve ficar para o lado de dentro. Selecione a quantidade de servomotores que irá usar na sua montagem, bem como se deverão ter cabos longos ou curtos. Conecte-os adequadamente no adaptador (placa de interface). 6- Inicializando o Programa Gerenciador: Teste os Servomotores Na tela do Windows, execute o programa: “RASCAL”. Leia as precauções de segurança e clique em “OK”. Aparece o ambiente do programa ROBIX RASCAL CONFIGURATION. A configuração já está adequada. Selecione “CONTROL” e em seguida “OPEN ROBOT CONSOLE”. Aparece o ambiente ROBIX RASCAL CONSOLE. Selecione “VIEW” e em seguida “OPEN TEACH WINDOW”. Aparece o ambiente ROBOT1 – TEACH. Você encontra uma barra vertical para cada um dos servomotores. Com o mouse deslize-o para cima ou para baixo verificando que o servomotor selecionado gira seu eixo. Se o servomotor não responder ao seu comando, alguma coisa está errada. Teste todos os servomotores que conectou no adaptador. Volte à tela ROBIX RASCAL CONSOLE, selecione “CONTROL” e em seguida “RESTART ROBOT”. Com esta operação você colocou todos os eixos dos motores na posição de 00 . O eixo poderá se mover para + 900 ou para - 900, totalizando 1800. Importante, o seu robô será montado inicialmente com os motores na posição angular dos eixos em 00 . 7 – Montando um Robô Importante: antes de começar a montagem, tome cuidado com a segurança do equipamento, leia antes o item 4 (segurança do equipamento) deste roteiro. Depois de montado os robôs, lei o item 3 ( segurança pessoal) deste roteiro e então use o acionamento manual dos servomotores descrito no item 6 deste roteiro 8- Treine Manualmente o Robô para ele Repetir uma Trajetória Na indústria, Uma forma que os técnicos e engenheiros fazem os robôs operarem é o uso do treinamento manual. Primeiro eles manualmente acionam os servomotores e gravam a operação realizada em um programa. Depois executa-se o programa gravado e o robô repete as operações realizadas pelo treinador. Retorne novamente à tela ROBIX RASCAL CONSOLE, selecione “VIEW” e em seguida “OPEN TEACH WINDOW”. Acione os servomotores para a próxima posição que deseja para cada servomotor, dando assim o primeiro “passo” da trajetória que o robô deverá executar, grave este “passo” clicando ( na janela ROBOT1 – TEACH) em “ADD TO SCRIPT”. Note que na tela ROBIX RASCAL CONSOLE foi colocada uma linha de programa que executa a operação que você treinou seu robô. Faça outro “passo” do robô e grave o comando. Ensine quantos passos desejar. Para que ele repita todos os passos já gravados no programa, entre na tela ROBIX RASCAL CONSOLE, selecione “CONTROL” e

Page 226: Apostila de Controle Linear I

225

então “RUN FROM TOP”. 9- Faça seu Programa Acionador do Robô Diferente do treinamento manual visto no item anterior, o engenheiro pode montar um programa mais abrangente usando os comandos: initpos, invert, move, pause, restart, accel, macro, end, maxspd, maxpos etc. Esses comandos permitem programar o robô para executar a tarefa com grande ou pequena velocidade, com limite máximo ou mínimo de velocidade ou posição angular, implementar subrotina (macro) etc. Todos esses comandos estão descritos no Manual do RCS-6, início na página 18 e término na página 25. Digite o seu programa na tela ROBIX RASCAL CONSOLE e depois execute-o selecionando “CONTROL” e então “RUN FROM TOP”. Note que na janela “CONTROL” o aluno tem opções para parar os servomotores, verificar erros de programação, executar o programa passo-a–passo etc.

Page 227: Apostila de Controle Linear I

226

APÊNDICE C – Laboratório 3 –

Controle de Motor CC

Se utilizar o osciloscópio grande (Tektronix 320) use o programa curva320.m .

Page 228: Apostila de Controle Linear I

227

Controle Linear I

3a Experiência - Controle de Velocidade de um Motor CC.

I - Objetivo Este laboratório tem o objetivo de apresentar um sistema de controle analógico, determinar a função de transferência do motor cc e projetar e implementar um controlador proporcional analógico. II - Determinação da Função de Transferência do Motor CC. II.1 - Fundamentos Teóricos. Como foi visto no curso teórico, o motor cc é um sistema dinâmico de 1a ordem, cuja função de transferência é dada por

Fig. 1 - Função de Transferência do Motor C. C.

sendo V - tensão aplicada no motor, - velocidade angular do motor, - constante de tempo do motor, K - ganho do motor em regime, KT - ganho do tacômetro, m - velocidade medida. Para a determinação da função de transferência do motor c.c., será aplicada uma tensão v(t) do tipo degrau e então, a partir de medidas da saída m(t), serão calculados os parâmetros e KKT e

Fig. 2 - Montagem para a obtenção experimental da função de transferência.

A Fig. 2 mostra o gráfico da função m (t) x t, quando a chave CH é fechada em t =0. Os parâmetros e KKT da função de transferência do motor podem ser calculados pelas

Page 229: Apostila de Controle Linear I

228

seguintes expressões:

t t2 1

3ln( ) e KK

AT

max

Sabendo que m t exp(-t/deduza as equações acima. II.2 - Procedimento Experimental. 1. Fazer as seguintes conexões: - Comprovar que o interruptor S1 está na posição NORMAL. - Conectar a saída do potenciômetro do nível de referência P2 à entrada da interface do motor.

- Conectar a saída do gerador tacométrico (VT) à entrada positiva IN2 do detector de erro.

- Conectar a saída da tensão de offset à entrada negativa IN1 do detector de erro. - Conectar a saída do detector de erro ao osciloscópio digital.

2. Colocar o interruptor de tensão da unidade de controle em ON. 3. Comprovar que o interruptor de perturbação do nível de referência está em OFF. 4. Fixar a velocidade do motor em 800 rpm, em sentido horário, por meio do potenciômetro do nível de referência. 5. Ajustar as escalas do osciloscópio digital. Ajustar a tensão de offset de tal forma a proporcionar a maior amplitude do sinal na tela do osciloscópio.

6. Aplicar um degrau de tensão ao motor, passando a ON o interruptor de perturbação do nível de referência. Registre a resposta transitória no osciloscópio. Use o MATLAB para armazenar a resposta transitória. Não salve a figura, mas sim os dados com “save”.

7. Voltar a posição OFF o interruptor de tensão da unidade de controle. Desligue o módulo. 8. Use o filtro digital filtdeg.m (Prof. Tokio) para retirar o ruído do sinal armazenado no MATLAB. Digite help filtdeg para aprender a usar o filtro digital. Use N=60 (ordem do filtro). 9. Usando os resultados acima, faça um programa MATLAB para identificar a função de transferência do motor-tacômetro. Use o comando “find”, por exemplo: índice=find(v>=0.25*Wmax). Para truncar os pontos da curva indesejáveis use o operador “:”. 10. No relatório, plotar no mesmo gráfico a resposta ao degrau experimental filtrada e a resposta ao degrau da função de transferência obtida com seu programa. Discutir os resultados obtidos. III- Controle Proporcional de um Motor C. C. III.1 - Projeto. Projete um sistema de controle proporcional, especificando o ganho Kr na configuração abaixo, de modo que o sistema atinja a velocidade de regime mais

Page 230: Apostila de Controle Linear I

229

KKT

s + 1

Kr

- +

m s)

rapidamente, em menos de 1 segundo.

Fig. 3 Controle Proporcional de um motor c.c. Lembre-se que o tempo de estabelecimento para sistemas de 1a ordem é: Te=4r, sendo r a constante de tempo do sistema realimentado acima. Desconecte todos os cabos da montagem anterior. III.2 - Implementação Implemente no amplificador somador o ganho Kr projetado. 1. Conectar os seguintes elementos na unidade central: - Verificar se o interruptor S1 está na posição NORMAL. - Conectar a saída do potenciômetro do nível de referência P2 a entrada positiva (IN2) do detector de erro. - Conectar a saída do gerador tacométrico a entrada negativa (IN1) do detector de erro. - Conectar a saída do detector de erro a entrada IN1 do amplificador somador. - Conectar a saída do amplificador somador à entrada da interface do motor - Conectar a saída do gerador tacométrico a entrada do osciloscópio digital. - Certifique-se que esta montagem implementa o sistema realimentado da figura 3. 2. Verificar se o interruptor de perturbação do nível de referência S3 está em OFF. 3. Colocar na posição ON o interruptor de tensão da unidade de controle. 4. Ajustar a velocidade do motor em 800 rpm (giro no sentido horário) mediante o ajuste do potenciômetro do nível de referência P2. 5. Aplicar um degrau passando o interruptor S3 para posição ON. Ajustar as escalas do osciloscópio digital e registrar a resposta ao degrau com o MATLAB. 6. Passar para OFF o interruptor de tensão da unidade de controle. 7. Usar seu programa para identificar a função de transferência do sistema realimentado. 8. Determinar as constantes de tempo para cada um dos casos analisados e compará-los com os valores teóricos esperados.

V(s)

Motor CC e tacômetroControlador

Page 231: Apostila de Controle Linear I

230

APÊNDICE D – Laboratório 4 –

Resposta Transitória de Sistemas Dinâmicos e

Erros de Regime Permanente

Se utilizar o osciloscópio grande (Tektronix 320) use o programa curva320.m .

Page 232: Apostila de Controle Linear I

231

Controle Linear I 4ª Experiência - Resposta Transitória de Sistemas Dinâmicos e Erros de Regime

Permanente I - Objetivos Este laboratório tem o objetivo de estudar a resposta transitória de sistemas de 1ª e 2ª ordem e aplicar os resultados teóricos na identificação de funções de transferência implementadas em um computador analógico. Obs.: Antes de cada montagem, o aluno deverá obter teoricamente todas as respostas transitórias. II - Introdução à Simulação Analógica A função de transferência de um motor de corrente contínua (C.C) é representada abaixo:

CH

i

V (t)

V (s)

s

(s)

SaídaEntrada

K

Função deTransferência

A

)1( / teAk = (t)

Fig. 1 –Função de transferência de um motor C.C.

Outra representação matemática deste motor, adequada para simulações em computadores analógicos é dada a seguir:

. (t)

-v(t)k

= dt

(t)d(t)-kv(t) =

dt

(t)d

(1)

Como no computador analógico o elemento básico é o integrador, é conveniente representar a

equação (1): dt)(t)

-v(t) k

( = dtdt

(t)d

t

o

t

o

(2)

Integral e a derivada são funções inversas e considerando-se que a velocidade inicial do motor seja ω(0)=0, tem-se de (2) que

Page 233: Apostila de Controle Linear I

232

. )dt(t)

-v(t)k

( =(t)=(0)-(t)=(t)dt

0

t

o

(3)

A equação (3) pode ser representada através do seguinte diagrama de blocos:

t

tdt

td

tV

t 1

Fig. 2 - Representação Analógica de um Sistema de Primeira Ordem. O Computador Analógico possui vários elementos eletrônicos que implementam os blocos acima, tais como integradores, somadores, subtratores, amplificadores e fontes de tensão. Desta forma, com o Computador Analógico é possível estudar o comportamento de sistemas dinâmicos mecânicos, elétricos, hidráulicos, térmicos, etc, implementando eletricamente os seus modelos matemáticos. III- Parte Experimental III.1 - Sistemas de 1ª Ordem 1 - Conecte os sinais C1 e C2 (control output) da placa 7/1 com os respectivos terminais C1 e C2 (control input) da placa 7/2. 2 - Coloque as chaves nas seguintes posições:

Chave Placa Posição TRIGGER 7/1 int. S1 7/2 x100 S2 7/2 x100

3 - A seguir será obtida experimentalmente a resposta transitória do sistema de primeira ordem

Page 234: Apostila de Controle Linear I

233

1+ s0,25

0,25=

v(s)

(s) (4)

para uma entrada degrau V(t) com amplitude V(t)=10 volts. Comparando-se a equação (4) com a Fig.1, identifica-se τ=0,25 e K=0,25. Implemente este sistema dinâmico, montando o esquema eletrônico abaixo, que corresponde ao diagrama da Fig.2, já estudado, com τ=k=0,25.

Fig. 3 –implementação de (4) no computador analógico. 4 - Coloque a chave TIME da placa 7/1 na posição 0,1s. Ligue o osciloscópio. Ligue o módulo e ajuste a chave TIME-FINE até obter uma boa figura no osciloscópio. Assegure que o modo de operação do módulo esteja em REPETIÇÃO (REP). 5 - Copie o sinal (t) x t ligado no osciloscópio, utilizando o MATLAB. Anote aqui o nome do arquivo que gravou os dados: _______________________ . Observação: Se as chaves S1 e S2 estiverem na posição x100, os intervalos de tempo lidos no osciloscópio deverão ser multiplicados por 100. 6 - Compare a curva levantada experimentalmente com a curva teórica, mostrando no relatório a curva experimental e a teórica, plotando-as em um mesmo gráfico. 7 - Desligue o módulo e retire todas as ligações, excetuando-se C1 e C2. III.2 - Sistema de Segunda Ordem III.2.1 - Introdução

V(t) = + 10 Volts

K1 = 0,4

1 -Σ

I.C Para o osciloscópio

1

10

(t)

Page 235: Apostila de Controle Linear I

234

Nesta experiência será estudada a resposta transitória de sistemas de 2ª ordem, dados pela função de transferência abaixo

,+s2+s

k=

v(s)

y(s)2nn

2

2n

(5)

para entradas V(t) do tipo degrau. Para a simulação no computador analógico é necessária a representação de (5) em termos de uma equação diferencial. Tem-se de (5):

V(s) k=)y(s)+s2+s( 2n

2nn

2 (6)

e assim,

. V(t) k=y(t) +dt

dy(t)2+

dt

y(t)d 2n

2nn2

2

(7)

III.2.2 - Simulação Analógica A seguir serão obtidas experimentalmente as respostas transitórias do sistema

,0t ,V(t)=100y(t)+dt

dy(t) k100+

dt

y(t)d12

2

(8)

. volts 10=V(t) e 0= | 0=tdt

dy(t)=y(0) (9)

Comparando-se estas equações com a equação (7), obtêm-se:

,rad/s 10= 100= n2n (10)

,k5= k 100=2 11n (11) . 0,01=k 1=k 2

n (12)

O sistema dado em (8) e (9) pode ser implementado no computador analógico da seguinte forma:

Page 236: Apostila de Controle Linear I

235

V(t) = 10v

S1= x1 I.C

Para oosciloscópio

I.C

1 2

10

1 10 10

10 1

S2= x100

1

S1 = x100

10y(t)

dt

dyPara o

osciloscópioPara o

osciloscópio

1 2

Fig. 3 - Implementação do Sistema (8) e (9) no Computador Analógico. 1 - Monte o circuito da Fig.3 no computador analógico. 2 - Ligue o osciloscópio, assegure que o módulo esteja no modo REP, coloque a chave TIME na posição 0,1 segundos e atue no potenciômetro k1 e na chave TIME-FINE de modo que apareça na tela um sinal com overshoot.

3 - Varie k1 de modo a obter as porcentagens de overshoot dadas na tabela abaixo e anote os outros valores solicitados na tabela. Grave os dados de cada curva obtida utilizando o MATLAB.

Observação: Se as chaves S1 e S2 estão na posição x100, então os intervalos de tempo lidos no osciloscópio deverão ser multiplicados por 100.

P.O.=10% P.O.=50% P.O.=70% Nome do arquivo Nome do arquivo Nome do arquivo

K1(medido)= K1(medido)= K1(medido)=

Tempo de Pico (medido) =

Tempo de Pico (medido) =

Tempo de Pico (medido) =

Page 237: Apostila de Controle Linear I

236

Tempo de Pico

P.O

Teórico

(Tabela) exp=5K1 Erro % Tempo de Pico

Teórico(Tabela) Tempo de Pico Exp.

Erro %

10%

50%

70%

4 – Usando o MATLAB, plote os três gráficos y(t) x t em um mesmo gráfico. 5 - Plote com o MATLAB as curvas teóricas e experimentais, em um mesmo gráfico, porém um gráfico para cada porcentagem de overshoot. 6 - Qual a influência do coeficiente de amortecimento na porcentagem de overshoot? 7 - Desligue o módulo, o osciloscópio e retire todas as ligações. III.3 – Erro de regime permanente. III.3.1 – Sistema sem distúrbio. Projete um controlador D(s) tal que o motor C.C. dado, tenha erro de regime permanente nulo para entrada degrau. A função de transferência do motor C.C. foi dada pela equação (4). Projete o circuito do computador analógico que implementa o controlador D(s) projetado. Implemente todo o sistema realimentado e meça a resposta transitória, o nome do arquivo de dados é: ___________________. No módulo, coloque as chaves S1 e S2 na posição x1. Utilize os botões “I.C.” e “Compute” da placa 7/1 para realizar a simulação. Ajuste a escala temporal do osciloscópio digital tal que todo transitório e parte do regime permanente apareçam na tela. Plote no mesmo gráfico a curva teórica e a experimental, para entrada degrau unitário. Mostre no relatório o circuito completo. III.3.2 – Sistema com distúrbio. Com o controlador anterior, suponha a presença de um distúrbio na entrada do motor:

Page 238: Apostila de Controle Linear I

237

Projete K tal que se tenha boa rejeição do distúrbio m(t) sobre w(t). Tome cuidado

para não especificar K muito grande, pois poderá causar saturação dos A. O. . No módulo,

coloque as chaves S1 e S2 na posição x1. Utilize os botões “I.C.” e “Compute” da placa 7/1

para realizar a simulação. Ajuste a escala temporal do osciloscópio digital tal que todo

transitório e parte do regime permanente apareçam na tela.

Aplique um degrau unitário em u(t) e faça m(t) uma senóide de amplitude 5volts,

sem nível DC e com 100Hz. Meça w(t), o nome do arquivo de dados é ________________.

IV – Resposta Transitória e Erro de Regime Permanente.

Projete um controlador que atenda a todos os requisitos de projeto dados nos itens

III.3.1 e III.3.2 e ainda, apresente PÓ% 20% e Te4s. Implemente no computador

analógico o sistema completo e registre a resposta transitória no MatLab. Não se esqueça de

aplicar o degrau ( )U s e a senóide do distúrbio ( )M s . O nome do arquivo de dados é

___________________. Use o Root-Locus para realizar seu projeto (MatLab).

sK

125,025,0s

U(s)

M(s) (distúrbio)

W(s)

Controlador Motor C.C.

-

+

+

+

Page 239: Apostila de Controle Linear I

238

APÊNDICE E – Bibliografia Básica e Critério de

Avaliação Bibliografia OGATA, K. – Engenharia de Controle Moderno, 4a ed., Prentice Hall, 2003. DORF, R. C.; BISHOP, R. H. – Sistemas de Controle Modernos, 8a ed., LTC, Rio

de Janeiro, 1998.

KUO, B. C. – Sistemas de Controle Automático, 4a ed ., PHB, Rio de Janeiro, 1985.

FRANKLIN, G. F.; POWELL, J. D.; EMAMI-NAEINI, A. – Feedback Control of Dynamic Systems, 3a ed., Addilson Wesley, New York,1994.

CHEN, C. T. – Analog and Digital Control System Design Transfer-function, State-space, and Algebraic Methods, Saunders College Publishing, New York , 1993. CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM: O critério de avaliação desta disciplina consta de notas de provas e relatórios de laboratório. A média final (MF) será calculada por: MF = 0,8P + 0,2L se P , L 5 ou P , L 5 , MF = 0,9P + 0,1L se P < 5 e L 5 , MF = 0,1P + 0,9L se P 5 e L < 5 . sendo: P = média das provas; L = média das notas de relatório, lista de exercícios e projetos; P = (2P1 + 3P2) / 5 . A avaliação final é a seguinte: - Aprovado, quando MF 5 ; - Reprovado, quando MF < 5 . Haverá uma prova substitutiva opcional que será relativa a toda a matéria ministrada no final do semestre. Sua nota substituirá a nota P1 ou P2 , que resulte na maior média final. Não haverá período de recuperação. -Trazer pendriver e disquete em todas as aulas de laboratório!!!

Page 240: Apostila de Controle Linear I

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APÊNDICE F

Alguns Artigos Científicos Publicados pelos Professores Marcelo C. M. Teixeira

e Edvaldo Assunção