Apostila de Eletrônica Digital I

COLÉGIO DO INSTITUTO BATISTA AMERICANO PROF. ABIMAILTON PRATTI DA SILVA

Rua Mariana N.º 70 Retiro Volta Redonda – Telefone: (24) 33381279

Colégio do Instituto Batista Americano Apostila de Eletrônica Digital I

2

SOLICITAÇÃO

Não temos direito autoral reservado para o presente trabalho. Portanto em caso de utilização de qualquer parte desta apostila, o que solicitamos é a divulgação desta como fonte.

Eng.o Abimailton Pratti da Silva

MENSAGEMMENSAGEMMENSAGEMMENSAGEM

" O saber só é valorizado, quando nos orgulhamos " O saber só é valorizado, quando nos orgulhamos " O saber só é valorizado, quando nos orgulhamos " O saber só é valorizado, quando nos orgulhamos dos esforços feitos para alcança−lo."dos esforços feitos para alcança−lo."dos esforços feitos para alcança−lo."dos esforços feitos para alcança−lo."

Patrícia MontinePatrícia MontinePatrícia MontinePatrícia Montine


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INDICE GERAL

1.0 INTRODUÇÃO A ELETRÔNICA DIGITAL 7 1.1 SISTEMA BINÁRIO DE NUMERAÇÃO 7 1.2 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL 7 1.2.1 TABELA DA POTÊNCIA DE DOIS 8 1.2.2 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO 8 1.2.3 CONVERSÃO DE BINÁRIO FRACIONÁRIO PARA DECIMAL 8 1.2.4 CONVERSÃO DE DECIMAL FRACIONÁRIO PARA BINÁRIO 9 1.2.5 SISTEMA OCTAL DE NUMERAÇÃO 9 1.2.6 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA DECIMAL 9 1.2.7 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA BINÁRIO 9

1.2.8 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O OCTAL 10 1.2.9 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O OCTAL 10 1.3 SISTEMA HEXADECIMAL DE NUMERAÇÃO 10 1.3.1 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA OCTAL 10 1.3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA BINÁRIO 11 1.3.3 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA HEXADECIMAL 11 1.3.4 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA HEXADECIMAL 11 2.0 OPERAÇÕES ARITMÉTICAS NO SISTEMA BINÁRIO 12 2.1 ADIÇÃO NO SISTEMA BINÁRIO 12 2.2 SUBTRAÇÃO NO SISTEMA BINÁRIO 12 2.3 MULTIPLICAÇÃO NO SISTEMA BINÁRIO 13 2.4 DIVISÃO NO SISTEMA BINÁRIO 13 3.0 PORTAS LÓGICAS E FUNÇÕES LÓGICAS 13 3.1 ÁLGEBRA DE BOOLE 14 3.2 VARIÁVEIS LÓGICAS 14


4

3.3 LÓGICA POSITIVA E LÓGICA NEGATIVA 14 3.4 PORTA E (AND) 14 3.5 PORTA OU (OR) 15

3.6 INVERSOR 16 3.7 PORTA NÃO E (NAND ou NE) 17

3.8 PORTA NÃO OU (NOU ou NOR) 17 4.0 EXPRESSÕES, TABELAS VERDADES E INTERLIGAÇÕES ENTRE

CIRCUITOS 17 4.1 EXPRESSÕES BOOLEANAS GERADAS POR CIRCUITOS LÓGICOS 17 4.2 CIRCUITOS OBTIDOS DE EXPRESSÕES BOOLEANAS 19 4.3 TABELAS VERDADES DE EXPRESSÕES BOOLEANAS OU CIRCUITOS 20 4.3.1 TABELAS VERDADES DE UMA EXPRESSÃO 20 4.3.2 TABELAS VERDADES OBTIDAS DE UM CIRCUITO 21 4.4 OUTRAS UTILIZAÇÕES DA TABELA VERDADE 21 4.5 EQUIVALÊNCIA DE BLOCOS LÓGICOS 22 4.5.1 OBTENÇÃO DE INVERSORES A PARTIR DE UMA PORTA NAND 22 4.5.2 OBTENÇÃO DE INVERSORES A PARTIR DE UMA PORTA NAND 22 5.0 CIRCUITOS COMBINACIONAIS 22 5.1 CIRCUITO OU EXCLUSIVO 24

5.1.1 CIRCUITO OU EXCLUSIVO COMO BLOCO LÓGICO 24 5.2 CIRCUITO COINCIDÊNCIA 25

5.2.1 CIRCUITO COINCIDÊNCIA COMO BLOCO LÓGICO 25 5.3 INTERLIGAÇÃO DE BLOCOS OU EXCLUSIVO, CONCIDÊNCIA COM MAIS

DE DUAS VARIÁVEIS 25 6.0 SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS LÓGICOS E ÁLGEBRA BOOLEANA 26 6.1 POSTULADOS 26


5

6.1.1 POSTULADOS DA COMPLEMENTAÇÃO 27 6.1.2 POSTULADOS DA ADIÇÃO 27

6.1.3 POSTULADOS DA MULTIPLICAÇÃO 27 6.2 PROPRIEDADES 27 6.2.1 PROPRIEDADE COMUTATIVA NA ADIÇÃO 27 6.2.2 PROPRIEDADE COMUTATIVA NA MULTIPLIÇÃO 27 6.2.3 PROPRIEDADE ASSOCIATIVA NA ADIÇÃO 27 6.2.4 PROPRIEDADE ASSOCIATIVA NA MULTIPLIÇÃO 27 6.2.5 PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA 27 6.3 TEOREMAS DE “DE MORGAN” 28 6.3.1 PRIMEIRO TEOREMA DE “DE MORGAN” 28 6.3.2 SEGUNDO TEOREMA DE “DE MORGAN” 28 6.4 IDENTIDADES AUXILIARES 28 6.5 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANA 29 7.0 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES E CIRCUITOS PELO DIAGRAMA DE

VEITCH-KARNAUGH 30 7.1 DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA DUAS VARIÁVEIS 30

7.2 DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA TRÊS VARIÁVEIS 31

7.3 DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA QUATRO VARIÁVEIS 33 7.3.2 7.3.1 CASOS CONSIDERADOS PARES NO DIAGRAMA DE KARNAUGH

PARA QUATRO VARIÁVEIS. 34 7.3.3 CASOS CONSIDERADOS QUADRAS NO DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA

QUATRO VARIÁVEIS. 34 7.3.4 CASOS CONSIDERADOS OITAVAS NO DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA

QUATRO VARIÁVEIS. 35 7.4 DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA CINCO VARIÁVEIS. 35 8.0 CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇÃO. 36 8.1 CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇÃO PARA DUAS VARIÁVEIS 36


6

8.2 CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇÃO PARA TRÊS VARIÁVEIS 36 8.3 CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇÃO P/ QUATRO VARIÁVEIS 37 8.4.1 CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇÃO PARA CINCO VARIÁVEIS 38 9.0 CÓDIGOS 38

9.1 CÓDIGO BCD 8421 38 9.2 CÓDIGO EXCESSO 3 39 9.3 CÓDIGO BCD DE QUATRO BITS 39 9.4 CÓDIGO 2 ENTRE 5 39 9.6 CÓDIGO GRAY 40 9.7 CÓDIFICADORES E DECODIFICADORES 41 9.7.1 DECODIFICADOR BCD 8421 PARA EXCESSO 3 41 9.7.2 DECODIFICADOR EXCESSO 3 PARA BCD 8421 42 9.7.3 DECODIFICADOR PARA DISPLAY DE 7 SEGMENTOS 43


7

1.0 INTRODUÇÃO A ELETRÔNICA DIGITAL

O homem através dos tempos sentiu a necessidade da utilização de sistemas de numeração, dentre os quais se destacam: o decimal, o binário, o octal e o hexadecimal.

O sistema decimal é utilizado no dia a dia e é sem dúvida, o mais importante dos sistemas numéricos. Os sistemas o binário, o octal e o hexadecimal são muito importantes na área de técnicas digitais, que ao decorrer desta apostila vamos perceber a ligação existente entre eles. 1.1 SISTEMA BINÁRIO DE NUMERAÇÃO

O sistema binário de numeração é um sistema no qual existem apenas os algarismos 0(zero) e 1 (um). Para representarmos uma quantidade no sistema binário, devemos utilizar o mesmo princípio de formação usado no sistema decimal.

DECIMAL BINÁRIO0 0011 0102 0113 1004 1015 110... ...

1.2 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL

Utilizamos um número decimal como exemplo : 479 4 X 100 + 7 X 10 + 9 X 1 = 479centena dezena unidade 4 X 102 + 7 X 101 + 9 X 100 = 479

Vemos que cada algarismo possui um valor absoluto e outro relativo, que decorre de sua posição. Cada posição corresponde a uma potência de 10, que é o sistema decimal comumente usado. A base do sistema é o número 2 (dois). Tomemos como exemplo o número binário 101, eutilizando o conceito de formação de números:

22 21 20

1 0 1

1 x 22 + 0 X 21 + 1 X 20 = 1 X 4 + 0 X 2 + 1 X 1 = 5

Logo o número 101 na base 2 é igual ao número 5 na base 10. Então 510 = 1012


8

1.2.1 TABELA DA POTÊNCIA DE DOIS

20 121 222 423 824 16 25 32 26 64 27 128 28 256 29 512 210 1024211 2048212 4096213 8192214 16384

1.2.2 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO

Tomemos o exemplo o número 3710 :

3710 = 1001012

1.2.3 CONVERSÃO DE BINÁRIO FRACIONÁRIO PARA DECIMAL

Tomemos como exemplo o número binário fracionário 101,101

22 21 20 2-1 2-2 2-3

1 0 1 1 0 1

1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3 = 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 + 1 x 0,5 + 0 x 0,25 + 1 x 0,125 = 5,625


9

1.2.4 CONVERSÃO DE DECIMAL FRACIONÁRIO PARA BINÁRIO

Tomemos como exemplo o número 8,875

Primeiramente transformamos a parte inteira:

280 4 2

2 200 1

Aplicando a regra para os números fracionários: 0,875 x 2 = 1,7500,750 x 2 = 1,5000,500 x 2 = 1,000

1.2.5 SISTEMA OCTAL DE NUMERAÇÃO

O sistema octal de numeração é um sistema no qual existem 8 (oito) algarismos, que são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 . DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ΚOCTAL 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 Κ

1.2.6 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA DECIMAL

Como exemplo vamos converter o número 100 8 para decimal.

82 81 80

1 0 0

1 x 82 + 0 x 81 + 0 x 80 = 64 10

1.2.7 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA BINÁRIO

Usemos como exemplo o número 348, vamos separa-lo a partir da direita indicando abaixo destes os seus valores em binário.

3 4

011 100


1.2.8 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O OCTAL

Utilizaremos como exemplo o número 1100102 . Para transformarmos esse número em octal, vamos separa-lo em grupo de três algarismos a partir da direita:

110 010 6 2

Esta conversão irá resultar no número 62 8 .

1.2.9 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O OCTAL

Existem 2 métodos para efetuarmos esta conversão.

92 92 10 = 1011100 2 = 134 8

1.3 SI IMAL DE NUMERAÇÃO

É 16 algarismos.

DECIHEXADE

1.3.3 CO

Us

Primeiro:

892 4 11 8

13

10 = 134 8

STEMA HEXADEC

o sistema que possui

MAL 0 1 2 3 CIMAL 0 1 2 3

NVERSÃO DO SISTEMA

emos como exemplo o númer

161 160

3 F3 x 16

Segundo:

22

92 0 46

0 23

2211

1 5 22

1

1 20 1

10

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ...4 5 6 7 8 9 A B C D E F ...

HEXADECIMAL PARA OCTAL

o 3F16.

1 + 15 x 160 = 63 10


1.3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA BINÁRIO

Tomemos como exemplo o número C1316

1.3.

exe

1.3.

C13 16 = 110000010011 2
C 1 31100 0001 0011
3 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA HEXADECIMAL

Neste caso agrupamos o número binário de quatro em quatro algarismo, e usaremos como mplo o número 1100011 2 .

4

1100011 2 = 63 16
0110 0011 6 3
CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA HEXADECIMAL

Existem dois métodos para fazer esta conversão:

Como 1410 = E 1000 10 = 3E8 16

Primeiro:

16 1000 8 62 16

14 3

Segundo:

1000 20 500 2

0 250 20 125 2

1 62 2 0 31 2

1 15 21 7 2

1 3 2
1 1
100010 = 3E816
0011 1110 1000
3 E 8

11


2.0 OPERAÇÕES ARITMÉTICAS NO SISTEMA BINÁRIO

2.1 ADIÇÃO NO SISTEMA BINÁRIO

Ao efetuarmos a adição no sistema binário, devemos observar que temos apenas dois algarismos.

a) 0 + 0 = 0 b) 1 + 0 = 1 c) 0 + 1 = 1 d) 1 + 1 = 10

1 + 1 + 1 = 11

Regra do transporte : 1 + 1 = 0 e “ vai um ” para próxima coluna.

“ vai um ” 1 1

1 1 0+ 1 1 11 1 0 1

2.2 SUBTRAÇÃO NO SISTEMA BINÁRIO

a) 0 - 0 = 0 b) 1 - 1 = 0 c) 1 - 0 = 1 d) 0 - 1 = 1 e “ empresta um ”

2.

1 - “ empresta um ”
1 0 0 01 11 11 10 0 0 1
_

3 MULTIPLICAÇÃO NO SISTEMA BINÁRIO

a) 0 x 0 = 0 b) 0 x 1 = 0 c) 1 x 0 = 0 d) 1 x 1 = 1

1 1 0 1 0

X 1 00 0 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 0 1 0 0

12


13

2.4 DIVISÃO NO SISTEMA BINÁRIO

Como a multiplicação, a divisão binária é mais simples. No exemplo, como divisor tem três dígitos, perguntamos se o divisor “cabe” nos três primeiros dígitos do dividendo. Verificando que isto não ocorre, usamos os quatro primeiros dígitos do dividendo. Não é necessário estimar qual o dígito do quociente. Como não é 0 deve ser 1. A continuação da divisão segue exatamente os passos da divisão decimal.

1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 11 0 1 1 1 1 0 11 0 0 0

1 0 11 1 01 0 10 0 1 1 1

1 0 11 0

(r e s t o)

3.0 PORTAS LÓGICAS E FUNÇÕES LÓGICAS

3.1 ÁLGEBRA DE BOOLE

Em eletrônica trabalhamos com grandezas que assumem apenas dois valore, isto é, grandezas binárias. A ferramenta matemática utilizada no tratamento deste tipo de grandeza, é a Álgebra Booleana, desenvolvida pelo matemático George Boole. 3.2 VARIÁVEIS LÓGICAS

Variáveis lógicas são aquelas que somente assumem dois estados distintos: 0 (zero) ou 1(um). Devemos enfatizar que o 0 e 1 usados aqui, não são números, mas estados lógicos. Utilizaremos o circuito da figura 1 para conceituar variável lógica.


3.3 LÓGICA POSITIVA E LÓGICA NEGATIVA

No circuito da figura 1, verificamos que a tensão pode ser igual a 5V ou a 0V, conforme a posição da chave. Podemos escolher qual dos valores de tensão chamaremos de “1” ou de “0” , o que definira se a lógica é positiva ou negativa.

5 Volts – estado lógico “1” } Lógica positiva 0 Volts – estado lógico “0” }

5 Volts – estado lógico “0” } Lógica negativa 0 Volts – estado lógico “1” }

3.4 PORTA E (AND)

A porta E é um circuito que executa a função E. A função E é aquela que a multiplicação deduas ou mais variáveis binárias.

S = A.B onde se lê S = A e B Tabela Verdade da função E:

Podemos estender este conceito para qualde N entradas e somente uma saída.

A B S0 0 00 1 01 0 01 1 1

quer número de entradas. Neste caso uma porta E

A B C S0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 01 1 1 1

14


3.5 PORTA OU (OR)

A porta OU é um circuito que executa a função OU. A função Ou é aquela que assume valor “1”, quando uma ou mais variáveis da entrada forem iguais a “1”, e assume valor “0”, somente se todas as variáveis de entrada forem iguais a “0”. S = A + B onde se lê S = A ou B .

Tabela Verdade da função OU:

entra

3.6

é aqua “0”

S = A

A B S0 0 00 1 11 0 11 1 1

Dá mesma forma que na porta E podemos estender este conceito para qualquer número de das. Neste caso uma porta OU de N entradas e somente uma saída.

A B C S0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 1

INVERSOR

È o bloco lógico que executa a função NÃOela que inverte o estado lógico da variável, s.

ou S = A’ onde se lê : A barra ou NÃO A

15

. A função NÃO ou função COMPLEMENTO e estiver em “0” vai a “1” e se estiver em “1” vai


Tabela da verdade da função COMPLEMENTO

3.7 P

E S

Ta

Podemode N ent

A000011

A A0 11 0

ORTA NÃO E (NAND ou

ssa porta é a composição da = BA. , este traço indica que

bela Verdade da função NE

s estender este conceito pararadas e somente uma saída.

A B S0 0 10 1 11 0 11 1 0

B C S0 0 10 1 11 0 11 1 10 0 10 1 1

NE)

porta E com o inversor, ou seja teremos a função E invertida. teremos a inversão do produto A.B

ou NAND:

qualquer n

16

úmero de entradas. Neste caso uma porta NAND

1 1 0 11 1 1 0


3.8 PORTA NÃO OU (NOU ou NOR)

Essa porta é a composição da porta OU com o inversor, ou seja teremos a função OU invertida. S = BA + , este traço indica que teremos a inversão do produto A + B

Tabela Verdade da função NOR ou NOU:

Podemos estender este conceito para qualquer número de entradas. Neste caso uma porta NOR de N entradas e somente uma saída.

4. S VE ES ENTRE

4. S GERADAS POR CIRCUITOS LÓGICOSBooleana que é executada por qualquer circuito lógico.

•

A B S0 0 10 1 01 0 01 1 0

A B C S0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 0

0 EXPRESSÕES, TABELACIRCUITOS

1 EXPRESSÕES BOOLEANAPodemos escrever a expressão

Exemplo 1 :

1 1 0 01 1 1 0

RDADES E INTERLIGAÇÕ

17


18

• Exemplo 2 :

• Exemplo 3 :

• Exemplo 4 :


19

4.2 CIRCUITOS OBTIDOS DE EXPRESSÕES BOOLEANAS

Podemos desenhar um circuito lógico que execute uma expressão qualquer. • Exemplo 1:

S = (A + B) . C . (B + D)

Iniciamos pelos parênteses, fazendo primeiro as somas dentro destes para depois fazermos as multiplicações.

O circuito completo será:


20

4.3 TABELAS VERDADES DE EXPRESSÕES BOOLEANAS OU CIRCUITOS

4.3.1 TABELAS VERDADES DE UMA EXPRESSÃO

Utilizamos a tabela verdade para representar o comportamento tanto do circuito como de sua expressão característica.

• Exemplo 1:

S = A + B + A .B .C

A B C A C A .B .C S

0 0 0 1 0 0 10 0 1 1 0 0 10 1 0 1 1 0 10 1 1 1 1 0 11 0 0 0 0 0 01 0 1 0 0 0 01 1 0 0 1 1 11 1 1 0 1 0 1

• Exemplo 2:

S = A . B . C + A . D + A . B . D

A B C D A . B .C A .D A . B. D S0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 00 1 1 0 0 0 0 00 1 1 1 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 01 0 0 1 0 1 0 11 0 1 0 0 0 0 01 0 1 1 0 1 0 11 1 0 0 0 0 0 01 1 0 1 0 1 1 11 1 1 0 1 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1


21

4.3.2 TABELAS VERDADES OBTIDAS DE UM CIRCUITO

Podemos estudar o comportamento de um circuito através de uma tabela verdade.

• Exemplo 1:

A B C A + B B . C CB. S0 0 0 0 0 1 00 0 1 0 0 1 00 1 0 1 0 1 10 1 1 1 1 0 01 0 0 1 0 1 11 0 1 1 0 1 11 1 0 1 0 1 11 1 1 1 1 0 0

• Exemplo 2: 4.4 OUTRAS UTILIZAÇÕES DA TABELA VERDADE

Podemos utilizar a tabela verdade para provar sentenças, conforme no exemplo abaixo:

1. (A . B ) ≠ ( BA. )2. ( A + B ) ≠ ( BA + )3. ( A . B ) = ( BA + )4. ( A + B ) = ( BA. )

A B A B A . B A + B A.B BA. A + B BA +0 0 1 1 1 1 0 1 0 10 1 1 0 0 1 0 1 1 01 0 0 1 0 1 0 1 1 01 1 0 0 0 0 1 0 1 0


4.5 EQUIVALÊNCIA DE BLOCOS LÓGICOS

4.5.1 OBTENÇÃO DE INVERSORES A PARTIR DE UMA PORTA NAND

Analisando a tabela verdade de uma porta NAND, podemos observar que quando A = 0 e B = 0, a saída assume valor 1 e no caso A = 1 e B = 1 a saída assume valor zero. Logo interligamos os terminais de entrada teremos A = B e teremos construído um inversor a partir de uma porta NAND.

4.

in

5.

pr

nepe

•

A B S0 0 10 1 11 0 11 1 0

5.2 OBTENÇÃO DE INVERSO

Dá mesma forma que no casoversor .

0 CIRCUITOS COMBINAC

Os circuitos combinacionaisesente das entradas: São constituíd

Podemos utilizar um circuitcessitamos de uma resposta quandlas variáveis de entrada, mostrado

Exemplo: Desejamos utilizar uDeck e um rádio. Deveremosaparelhos nas seguintes priorid

Ve

A A0 11 0

RES A PARTIR DE

anterior, se interligar

IONAIS

são aqueles nos quaas fundamentalmente do lógico combinaciono acontecerem determesquematicamente aba

m amplificador para elaborar um circuitades:

rdade

UMA PORTA NAND

mos A e B a porta NOR se tornará um

A B S0 0 10 1 01 0 01 1 0

X X0 11 0

is a saída depende apenas do estado e portas lógicas. al para solucionar problemas em que inadas situações, que são representadas ixo:

Situação
Tabela
Expressão

ligar 3 (três) apao lógico que nos

Circuito

22

relhos: Um CD, um permita ligar estes


23

Prioridade 1: CD Prioridade 2: Deck Prioridade 3: Rádio

Para preenchermos a tabela verdade, deveremos analisar todas as oito situações possíveis.

SITUAÇÕES A B C SA SB SC 0 0 0 0 ¯ ¯ ¯1 0 0 1 0 0 12 0 1 0 0 1 03 0 1 1 0 1 04 1 0 0 1 0 05 1 0 1 1 0 06 1 1 0 1 0 07 1 1 1 1 0 0

Escrevendo as expressões teremos:

_ Para SC : .A B .C _ Para SB : .A B.C + .A .B.C _ Para SA : A. B .C + A. B .C + A. B.C + A. B .C E desenhando os circuitos que executam as expressões acima teremos:


24

5.1 CIRCUITO OU EXCLUSIVO

O circuito consiste em fornecer “1” à saída quando as variáveis de entrada forem diferentes entre si, conforme a tabela verdade.

Dessa expressão podemos esquematizar o circuito OU EXCLUSIVO:

5.1.1 CIRCUITO OU EXCLUSIVO COMO BLOCO LÓGICO

A anotação que representa a função é : S = A⊕ B = .A B + A. B onde se lê A OU EXCLUSIVO B.

A B S0 0 00 1 11 0 11 1 0

Dessa tabela verdade podemos escrever a expressão: S = .A B + A. B


25

5.2 CIRCUITO COINCIDÊNCIA

O circuito consiste em fornecer “1” à saída quando houver uma coincidência nas variáveis de entrada , conforme a tabela verdade.

Dessa expressão podemos esquematizar o circuito COINCIDÊNCIA:

5.2.1 CIRCUITO COINCIDÊNCIA COMO BLOCO LÓGICO

A anotação que representa a função é : S = A� B = .A B + A. B onde se lê A COINCIDÊNCIA B.

5.3 INTERLIGAÇÃO DE BLOCOS OU EXCLUSIVO, CONCIDÊNCIA COM MAIS

DE DUAS VARIÁVEIS

S = (A⊕ B)⊕C = A⊕ (B⊕ C) = (A ⊕C)⊕B

A B S0 0 10 1 01 0 01 1 1

Dessa tabela verdade podemos escrever a expressão: S = .A B + A. B


26

S = (A � B) � C = A� (B� C) = (A� C) �B

6.0 SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS LÓGICOS E ÁLGEBRA BOOLEANA

As variáveis Boolenas, que são representadas através de letras, só podem assumir dois valores 0 e 1. Expressão Booleana é uma expressão matemática cujas variáveis são Booleanas. Seu resultado assumirá apenas dois valores: 0 e 1. 6.1 POSTULADOS

6.1.1 POSTULADOS DA COMPLEMENTAÇÃO

Chamaremos de .A o complemento de A.

_ Se A = 0 ⇒ .A = 1

_ Se A = 1 ⇒ .A = 0

Podemos ainda usar outra notação :

.A = A’ E através do postulado da complementação poderemos estabelecer a seguinte identidade:

A = A

6.1.2 POSTULADOS DA ADIÇÃO

Esse postulado nos mostra as regras da adição na álgebra de Boole. a) 0 + 0 = 0 b) 0 + 1 = 1 c) 1 + 0 = 1 d) 1 + 1 = 1


27

Através desse postulado poderemos estabelecer as seguintes identidades: a) A + 0 = A b) A + 1 = 1 c) A + A = A d) A + .A = 1

6.1.3 POSTULADOS DA MULTIPLICAÇÃO

Esse postulado nos mostra as regras da multiplicação na álgebra de Boole. a) 0 . 0 = 0 b) 0 . 1 = 0 c) 1 . 0 = 0 d) 1 . 1 = 1 Através desse postulado poderemos estabelecer as seguintes identidades: a) A . 0 = 0 b) A . 1 = A c) A . A = A d) A . .A = 0

6.2 PROPRIEDADES

6.2.1 PROPRIEDADE COMUTATIVA NA ADIÇÃO

A + B = B + A

6.2.2 PROPRIEDADE COMUTATIVA NA MULTIPLIÇÃO

A . B = B . A

6.2.3 PROPRIEDADE ASSOCIATIVA NA ADIÇÃO

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C 6.2.4 PROPRIEDADE ASSOCIATIVA NA MULTIPLIÇÃO

A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C 6.2.5 PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA

A + (B + C) = A.B +A.C


28

6.3 TEOREMAS DE “DE MORGAN”

6.3.1 PRIMEIRO TEOREMA DE “DE MORGAN”

O complemento do produto é igual à soma dos complementos.

BA. = A + B

Esse teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis:

6.3.2 SEGUNDO TEOREMA DE “DE MORGAN”

O complemento da soma é igual ao produto dos complementos.

BA .+ = A . B

Esse teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis:

6.4 IDENTIDADES AUXILIARES

Exemplo 1: A + A.B = A

A + A.B = A colocando A em evidência temos A(1 + B) =A Usando o postulado da soma: 1 + B = 1 A . 1 = A


29

Exemplo 2: A + A .B = A + B

A + A .B = A + B

A+ AB = .BAA + onde A = A

)] .BA.(A[ → aplicamos o 2º teorema de DE MORGAN

)] B.(A[ +A → aplicamos o 1º teorema de DE MORGAN

)] B.A(.AA[ + → pela propriedade distributiva

A . A = 0 ⇒ BA. = BA + aplicamos o 2º teorema de DE MORGAN

BA + = A + B

6.5 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANA

Exemplo 1: S =A. B. C + A . C + A . B

S =A. B. C + A.C + A . B = A.[B. C + (C + B ) ]= A.[B. C + CB. ] Aplicando o teorema de DE MORGAN

Fazendo B.C = Y e CB. = Y

S = A [ Y + Y ] como Y + Y = 1 logo S = A . 1 = A

Exemplo 2: S = A . B .C + A .B.C + A .B .C

S = A . B .C + A .B.C + A .B .C

Evidenciando A .C teremos:

S = A .C .(B + B) + A .B .C como (B + B) = 1

S = A .C .(1) + A .B .C

S = A .C + A .B .C

Exemplo 3: S = A . B + A .B

S = A . B + A .B S = A . (B + B )

S = A . 1 = A


Exemplo 4: S = (A + B + C ) . ( A + B + C )

S = (A + B + C ).( A + B + C )

S = A. A + A. B + A. C + B. A + B. B + B.C + C. A + C. B + C.C

S = A. C + B.C + A .C + B .C + C + A. B + A .B

S = C (A + B + A + B + 1 ) + A. B + A .B

S = A. B + A .B + C 7.0 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES E CIRCUITOS PELO DIAGRAMA DE

VEITCH-KARNAUGH

7.1 DAIGRAMA DE KARNAUGH PARA DUAS VARIÁVEIS

As possibilidades neste diagrama estarão distribuídas na forma abaixo :

• Exemplo: A tabela ver qual resulta a expressão dada.

B B

AA

REGIÃO A =1

B B

AA

REGIÃO B =1

B B

AA

REGIÃO B =1

B B

A CASO 0

A B0 0

CASO 1

AB0 1

A CASO 2

A B1 0

CASO 3 AB 1 1

. B

dade abaixo mostra o estudo, da

S = A .B + A .B + A

A B S0 0 00 1 11 0 11 1 1

30


Ao diagrama de KARNAUGH, aplicamos a expressão:

Tentaremos agrupar as regiões onde S é igual ao menor número possível de pares. Identificamos o PAR 1 como região A e o PAR 2 como região B, uma vez que nenhum par ficou de fora, somamos e obtemos a expressão simplificada, S = A + B. Fazemos então um comparativo entre o circuito obtido da tabela verdade e o simplificado pelo diagrama de KARNAUGH.

7.2 DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA TRÊS VARIÁVEIS

B B

A 0 1A 1 1

B B

A 0 1

A 1 1

PAR2

PAR 1

B B B B B B

A A AA A A

C C C C C C C C C

REGIÃO A = 1 REGIÃO C = 1 REGIÃO B = 1

31


As possibilidades neste diagrama estarão distribuídas na forma abaixo :

• Ee

A

B B

A

CASO 0 000 A B C

CASO 1 001

A B C

CASO 3 011 A B C

CASO 2 010

A BC

A CASO 4 100

A B C

CASO 5 101

A B C

CASO 7 111

A B C

CASO 6 110

A B C

C C C

xemplo: A tabela verdade abaixo mostra o estudo de uma função, da qual resulta a xpressão dada.

g

S = A B C + A BC + A B C + A B C + A B C
A B C S0 0 0 10 0 1 00 1 0 10 1 1 11 0 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 0
rupando as regiões onde S é igual ao menor número possível de quadras e pares teremos:

B BA 1 1 1A 1 1

C C C

Após a simplificação a expressão será: S = A B + C

32


33

7.3 DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA QUATRO VARIÁVEIS

As possibilidades estarão distribuídas neste diagrama na forma abaixo:

• Exemplo a qual resulta a expressão

dada.

S = A B C +A.B C .D +A.B C.D + A.B.C

C C C C C C

B B BA A AA B A A B

B B BD D D D D D D D DREGIÃO A = 1 REGIÃO C = 1 REGIÃO B = 1

C CCaso 0 0000 A B C D

Caso 1 0001 A B CD

Caso 3 0011 A B CD

Caso 2 0010 A B CD

B

A Caso 4 0100 ABC D

Caso 5 0101 ABCD

Caso 7 0111 ABCD

Caso 6 0110 A.B.CD

A

Caso 12 1100

ABC D

Caso 13 1101

ABCD

Caso 15 1111

ABCD

Caso 14 1110 A B CD

B

Caso 8 1000

AB C D

Caso 9 1001

AB CD

Caso 11 1011

AB CD

Caso 10 1010

AB CD

B

D D D

: A tabela verdade mostra o estudo de uma função, d

D+ A B CD + A B C.D + A.BC .D+ A.B.C.D +A.B C DD +A.BCD + A.B.C.D

C C1 1 1 B1 1

1 1 1 B1 1 1 B

D D

Tentaremos agrupar em regmenor número possível dpares. A expressão simplifi S= D + AC + A B C

AA

D

iões onde S é igual ao e oitavas, quadras e cada é :


A B C D S0 0 0 0 00 0 0 1 10 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 11 0 0 0 11 0 0 1 11 0 1 0 01 0 1 1 11 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 01 1 1 1 1

7.3.1 CASOS CONSIDERADOS PARES NO DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA QUATRO VARIÁVEIS

Os lados opostos em além de formar pares, formarem quadras e oitavas. 7.3.2 CASOS CONSID AGRAMA DE KARNAUGH PARA

QUATRO VARIS = B D

C C1 B

A 1 1A B

1 BD D D

C C1 1

A 1A 1

1 1

D D

S1 = B D S2 =

B C D

se “comunicam”, ou seja pod

ERADOS QUADRAS NO DIÁVEIS

B11 B

BD

BD

C C1 1 B

AA B

1 1 BD D D

ABD

34


7.3.3 CASOS CONSIDERADOS OITAVAS NO DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA QUATRO VARIÁVEIS

7.4 DI

In• Exem

C C1 1 B

A 1 1A 1 1 B

1 1 BD D D

S = D

C C1 1 1 1 B

AA B

1 1 1 1 BD D D

AGRAMA DE KARNAUGH PARA CINCO VARIÁVEIS

lo o B =1, dentr saída que ir

S = B

D D

CBB C

CE D E

D D

CBB C

CE E E

A A

ominada como hexa.emos simplificar.

A B C D E1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0

dicamos acima, como exempplo: A tabela verdade mos

B C D E0 0 0 00 0 0 10 0 1 0

a regiãa uma

DEC A S DEC S0 0 1 16 01 0 0 17 02 0 0 18 03 0 0 0 1 1 1 19 04 0 0 1 0 0 1 20 05 0 0 1 0 1 1 21 1 0 1 0 1 16 0 0 1 1 0 0 22 1 0 1 1 0 17 0 0 1 1 1 1 23 1 0 1 1 1 08 0 1 0 0 0 1 24 1 1 0 0 0 09 0 1 0 0 1 1 25 1 1 0 0 1 010 0 1 0 1 0 1 26 1 1 0 1 0 011 0 1 0 1 1 0 27 1 1 0 1 1 012 0 1 1 0 0 0 28 1 1 1 0 0 113 0 1 1 0 1 1 29 1 1 1 0 1 114 0 1 1 1 0 1 30 1 1 1 1 0 115 0 1 1 1 1 0 31 1 1 1 1 1 1

35


S = CDE + ABC + A B D E + ABCD + ABDE+ A

8.0 CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇ


Verificamos que temos a expressão do circuito OUe do circuito COINCIDÊNCIA, S = AB + A B = A � B =


Analisamos os casos dos circuitos OU EXCLUSIVS1 = A � B � C e S2 = A⊕ B ⊕C

A

B B

A 1A 1

S = AB + A B

D D

CB 1 1B 1 1 1 1 C

CE D E

D D1 1 C

B 1 1 1B 1 1 C

1 1 1 CE E E

A

BDE + ACDE

ÃO

ÃO PARA DUAS VARIÁVEIS

EXA⊕

ÃO

O e

B B

A 1A 1

S = AB + A B

CLUSIVO, S = AB+A B = A⊕ BB

PARA TRÊS VARIÁVEIS

COINCIDÊNCIA para 3 variáveis:

A B C S1 S2 0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 1 10 1 1 0 01 0 0 1 11 0 1 0 01 1 0 0 01 1 1 1 1

36


Notamos que S1 e S2 são iguais e não admitem simplificação :

8. EIS

eguido e o

B B B B

A 1 1 A 1 1A 1 1 A 1 1

C C C C C C

S1 = A � B � C = S2 = A⊕ B ⊕C

S1 S2

3 CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇÃO PARA QUATRO VARIÁV

Na tabela fazemos a distribuição S1 = A � B � C � D e S2 = A⊕ B ⊕C⊕D e sbservamos que S1 é o complemento de S2.

A B C D S1 S2

37

0 0 0 0 1 00 0 0 1 0 10 0 1 0 0 10 0 1 1 1 00 1 0 0 0 10 1 0 1 1 00 1 1 0 1 00 1 1 1 0 11 0 0 0 0 11 0 0 1 1 01 0 1 0 1 01 0 1 1 0 11 1 0 0 1 01 1 0 1 0 11 1 1 0 0 11 1 1 1 1 0

Efetuamos o mesmo procedimento, podemos mostrar que para quatro variáveis teremos:

S2 C C1 1 B

A 1 1A 1 1 B

1 1 BD D D

S = B

S1 C C1 1 B

A 1 1A 1 1 B

1 1 BD D D

S = B


38

S1 = A � B � C � D = S2 = DCBA ⊕⊕⊕

8.4 CASOS QUE NÃO ADIMITEM SIMPLIFICAÇÃO PARA CINCO VARIÁVEIS

Efetuamos para cinco variáveis o mesmo procedimento dos casos anteriores e teremos: S= A � B � C � D � E = A⊕ B ⊕C⊕D⊕ E .

Observamos que para um número par de variáveis, temos a função OU EXCLUSIVO como sendo o complemento da função COINCIDÊNCIA e para um número impar, temos a igualdade das duas funções. 9.0 CÓDIGOS

No campo da eletrônica digital temos vários códigos e existem condições em que a utilização de um código é vantajosa em relação a outro.

9.1 CÓDIGO BCD 8421

B.C.D significa “ Binary-Coded Decimal” e os termos 8421 significam os valores dos algarismos em um dado número binário, que representam respectivamente : 23, 22 , 21 e 20.

DECIMAL A B C D0 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1 03 0 0 1 14 0 1 0 05 0 1 0 16 0 1 1 07 0 1 1 18 1 0 0 09 1 0 0 110 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1


39

9.2 CÓDIGO EXCESSO 3

DECIMAL EXCESSO 3 A B C D

0 0 0 1 11 0 1 0 02 0 1 0 13 0 1 1 04 0 1 1 15 1 0 0 06 1 0 0 17 1 0 1 08 1 0 1 19 1 1 0 0

9.3 CÓDIGO BCD DE QUATRO BITS

DECIMAL BCD 7421 BCD 5211 BCD 2421 A B C D A B C D A B C D

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 12 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 03 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 14 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 05 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 16 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 07 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 18 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 09 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

9.4 CÓDIGO 2 ENTRE 5

DECIMAL 2 ENTRE 5 A B C D E

0 0 0 0 1 11 0 0 1 0 12 0 0 1 1 03 0 1 0 0 14 0 1 0 1 05 0 1 1 0 06 1 0 0 0 17 1 0 0 1 08 1 0 1 0 09 1 1 0 0 0


40

9.5 CÓDIGO JOHNSON

DECIMAL JOHNSON A B C D E

0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 12 0 0 0 1 13 0 0 1 1 14 0 1 1 1 15 1 1 1 1 16 1 1 1 1 07 1 1 1 0 08 1 1 0 0 09 1 0 0 0 0

9.6 CÓDIGO GRAY

Sua principal característica é que de um número a outro apenas um bit varia.

DECIMAL GRAY A B C D

0 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1 13 0 0 1 04 0 1 1 05 0 1 1 16 0 1 0 17 0 1 0 08 1 1 0 09 1 1 0 110 1 1 1 1 11 1 1 1 0 12 1 0 1 0 13 1 0 1 1 14 1 0 0 1 15 1 0 0 0

9.7 CÓDIFICADORES E DECODIFICADORES

Estudaremos um codificador e seu decodificador, lembrando que poderemos ter N situações.


41

9.7.1 DECODIFICADOR BCD 8421 PARA EXCESSO 3

Notamos que o código EXCESSO 3 é utilizado aqui para representar até o algarismo 9. As outras possibilidades do código BCD 8421 não irão ocorrer para representação de algarismo de 10 até 15 e aparecerão como condição irrelevante.

BCD 8421 EXCESSO 3 T.A A B C D S3 S2 S1 S0

0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 1 0 1 0 00 0 1 0 0 1 0 10 0 1 1 0 1 1 00 1 0 0 0 1 1 10 1 0 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 0 10 1 1 1 1 0 1 01 0 0 0 1 0 1 11 0 0 1 1 1 0 01 0 1 0 ¯ ¯ ¯ ¯1 0 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯1 1 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯1 1 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯1 1 1 0 ¯ ¯ ¯ ¯1 1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯

Para simplificarmos as expressões vamos utilizar o diagrama de Karnaugh.


42

9.7.2 DECODIFICADOR EXCESSO 3 PARA BCD 8421

Notamos que o código EXCESSO 3 os números: 1101, 1110, 1111, 0000, 0001 e 0010, não representam algarismos de 0 a 9, porém são possibilidades de que as quatro entradas podem assumir. Nesses casos podemos notar que a saída para essas possibilidades é irrelevante (¯), visto que, essas não constam no código.

EXCESSO 3 BCD 8421 T.A A B C D S3 S2 S1 S0

0 0 0 1 1 0 0 0 01 0 1 0 0 0 0 0 12 0 1 0 1 0 0 1 03 0 1 1 0 0 0 1 14 0 1 1 1 0 1 0 05 1 0 0 0 0 1 0 16 1 0 0 1 0 1 1 07 1 0 1 0 0 1 1 18 1 0 1 1 1 0 0 09 1 1 0 0 1 0 0 110 1 1 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯11 1 1 1 0 ¯ ¯ ¯ ¯12 1 1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯13 0 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯14 0 0 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯15 0 0 1 0 ¯ ¯ ¯ ¯


43

Para simplificarmos as expressões vamos utilizar o diagrama de Karnaugh.

9.7.3 DECODIFICADOR PARA DISPLAY DE 7 SEGMENTOS

DEC. BCD 8421 CÓDIGO PARA 7 SEGMENTOS A B C D a b c d e f g

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 01 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 02 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 13 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 14 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 15 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 16 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 17 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 08 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 19 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1

1 0 1 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯1 0 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯1 1 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯1 1 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯1 1 1 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯1 1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

S3 C C¯ ¯ ¯ B

AA 1 ¯ ¯ ¯ B

1 BD D D

S3= AB +ACD

S2 C C¯ ¯ ¯ B

A 1A ¯ ¯ ¯ B

1 1 1 BD D D

S2= B D +C D +B.C.D

S1 C C¯ ¯ ¯ B

A 1 1A ¯ ¯ ¯ B

1 1 BD D D

S1= CD +CD

S0 C C¯ ¯ ¯ B

A 1 1A 1 ¯ ¯ ¯ B

1 1 BD D D

S0= D


A figura abaixo representa um display de 7 segmentos, e nos possibilita escrever números decimais de 0 a 9 e alguns outros símbolos, que podem ser letras ou sinais.

a C C1 1 1 B

A 1 1 1A ¯ ¯ ¯ ¯ B

1 1 ¯ ¯ BD D D

a = A + C + BD + B D

44

b C C1 1 1 1 B

A 1 1A ¯ ¯ ¯ ¯ B

1 1 ¯ ¯ BD D D

b = B + C D + CD

c C C1 1 1 B

A 1 1 1 1A ¯ ¯ ¯ ¯ B

1 1 ¯ ¯ BD D D

c = C + B +D

e C C1 1 B

A 1A ¯ ¯ ¯ ¯ B

1 ¯ ¯ BD D D

e = B D + CD

d C C1 1 1 B

A 1 1A ¯ ¯ ¯ ¯ B

1 1 ¯ ¯ BD D D

d =A +B D + C B + CD + BCD


45

g C C1 1 B

A 1 1 1A ¯ ¯ ¯ ¯ B

1 1 ¯ ¯ BD D D

g =A + B C+ CD + BC

f C C1 B

A 1 1 1A ¯ ¯ ¯ ¯ B

1 1 ¯ ¯ BD D D

f =A +B D + C D + C B

Apostila de Eletrônica Digital I

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