APOSTILA DE ESTATÍSTICA - AEC - 2011-2

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EXCELNCIA EM EDUCAO

CMG - COLGIO MINAS GERAIS

APOSTILA DE ESTATSTICACURSO: TCNICO EM CONTABILIDADE

PROFESSOR: EDVALDO FERREIRA DE OLIVEIRA

CMG COLGIO MINAS GERAIS

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NDICE

1. A Natureza da Estatstica ............................................................................................... 1.1. A Estatstica............................................................................................................ 1.2. Por qu estudar Estatstica? .................................................................................... 1.3. O Profissional das Cincias Administrativas e a Estatstica................................... 2. Tabelas Estatsticas ......................................................................................................... 3. Distribuio de Freqncias............................................................................................. 3.1. Elementos de uma distribuio de freqncias....................................................... 3.2. Tipos de Freqncias .............................................................................................

3 3 3 3 5 6 8 9

4. Medidas de Posio ......................................................................................................... 17 4.1. Mdia Aritmtica.................................................................................................... 17 4.2. Moda....................................................................................................................... 22 4.3. Mediana.................................................................................................................. 24

4.4. Quartil..................................................................................................................... 28 4.5. Decil........................................................................................................................ 28 4.6. Percentil.................................................................................................................. 28

5. Medidas de Disperso...................................................................................................... 35 5.1. Desvio padro......................................................................................................... 37

ESTATSTICA

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CAPTULO 1

A NATUREZA DA ESTATSTICA 1 A Estatstica um conjunto de mtodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os fenmenos coletivos. uma parte da Matemtica Aplicada que fornece mtodos para a coleta, organizao, descrio, anlise e interpretao de dados e para a utilizao dos mesmos na tomada de decises. A coleta, a organizao e a descrio dos dados esto a cargo da Estatstica Descritiva, enquanto a anlise e a interpretao desses dados ficam a cargo da Estatstica Indutiva ou Inferencial.

2 - Por que estudar estatstica? 1) 2) O raciocnio estatstico largamente utilizado no governo e na administrao; Os gestores necessitam do conhecimento da estatstica para bem tomar suas decises e para evitar serem iludidos por certas apresentaes viciosas; 3) Cursos subsequentes utilizam a anlise estatstica; 4) A maioria das revistas profissionais e outras contem referncias freqentes a estudos estatsticos; 5) A imprensa, tanto quanto muitas experincias cotidianas, oferece amplas oportunidades para a interpretao estatstica.

3 - O Profissional das Cincias Administrativas e a Estatstica

Aos profissionais das cincias administrativas interessam dados sobre: 1) Departamento de vendas: - Histrico (comparaes); - Produtos com lucratividade; Relacionamento de vendas x perfil dos clientes x qualidade de produtos e servios x concorrncia .ESTATSTICA

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- Pesquisa de mercado; (lanamento de novos produtos); - Saber a opinio dos clientes sobre os seus servios e atendimento; - Melhor elaborao dos projetos de Marketing; 2) Departamento de recursos humanos: - Definio de poltica salarial; 3) Departamento de contabilidade: - Auditoria (amostragem) 4) Departamento de produo: Controle de qualidade; - Produo x vendas Produo x custo matria prima

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CAPTULO 2 TABELAS ESTATSTICAS 1 Tabelas Um dos objetivos da Estatstica sintetizar os valores que uma ou mais variveis podem assumir, para que tenhamos uma viso global da variao dessa ou dessas variveis. E isto ela consegue, inicialmente, apresentando esses valores em tabelas e grficos, que iro nos fornecer rpidas e seguras informaes a respeito das variveis em estudo.

Tabela o resumo de um conjunto de observaes.

Uma tabela compe-se de: a) Corpo: conjunto de linhas e colunas que contem informaes sobre a varivel em estudo; b) Cabealho: parte superior da tabela que especifica o contedo das colunas; c) Coluna Indicadora: parte da tabela que especifica o contedo das linhas; d) Ttulo: conjunto de informaes, as mais completas possveis, respondendo s perguntas: O qu ?, Onde?, Quando?, localizado no topo da tabela.

Alm de ttulo, corpo, cabealho e coluna indicadora, as tabelas ainda podem conter o seguintes elementos: fonte, notas e chamadas, que so colocadas no rodap da tabela. Rendimento real anual (descontada a inflao) da caderneta de poupana Brasil 2003 - 2006 Perodo 2003 2004 2005 2006 Fonte: Banco Central e Economtica. Nota: Inflao medida pelo IGP-DIESTATSTICA

Rendimento (%) 0,7 1,9 3,9 5,2

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CAPTULO 3 DISTRIBUIO DE FREQUNCIAS

Aps a coleta de dados, surge a necessidade de sumarizar ou sintetizar o fenmeno com a finalidade de se obter as suas caractersticas quantitativas, visando a descrio numrica do fenmeno. A idia fundamental para sumarizar um conjunto de observaes constitui a criao de grupos, classes ou nveis, com intervalos, geralmente regulares, contendo todas as observaes relativas ao fenmeno estudado. Podemos definir a distribuio de frequncias como um arranjo tabular do conjunto em grupos, classes ou nveis com as suas respectivas frequncias que representam o nmero de observaes pertencentes a cada classe. a forma pela qual podemos descrever os dados estatsticos resultantes de variveis quantitativas , como por exemplo, as notas obtidas pelos alunos de uma classe, estaturas de um conjunto de pessoas, salrios recebidos pelos operrios de uma fbrica, etc. Na distribuio de frequncias, os dados estatsticos esto dispostos ordenadamente em linhas e colunas, permitindo-se assim sua leitura no sentido horizontal e vertical. Na tabela das distribuies de frequncias so fixos a poca, o local e a espcie do fenmeno, estando os dados agrupados, de acordo com a intensidade ou variao quantitativa do fenmeno. Exemplo: Um teste de estatstica, contendo 100 perguntas do tipo certo-errado, foi aplicado em uma turma de 20 estudantes. A distribuio abaixo apresenta os resultados do teste. Notas 0 20 20 40 40 60 60 80 Nmero de alunos (fi) 2 8 4 4 2 20

80 100

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NOTAS: Ao agruparmos os valores da varivel em classes, ganhamos em simplicidade mas perdemos em pormenores. Quando os dados esto organizados em uma distribuio de frequncias, so comumente denominados dados agrupados em classes. Os intervalos de classe devem ser escritos, de acordo com a Resoluo 886/66 do IBGE, em termos de desta quantidade at menos aquela, empregando para isso o smbolo (incluso do limite inferior e excluso do limite superior). Classificao das casas decimais: 1 casa decimal dcimos 4 casas decimais dcimos de milsimos 5 casas decimais centsimos de milsimos 6 casas decimais milionsimos 2 casas decimais centsimos 3 casas decimais milsimos

Inteiro So todos os algarismos que antecedem a vrgula de um nmero decimal. Regras do arredondamento matemtico: 1) Se o primeiro algarismo a ser abandonado for 0,1,2,3 ou 4 fica inalterado o ltimo algarismo a permanecer. Exs.: a) 12,345 arredondando para o dcimo mais prximo, teremos: 12,3 b) 0,345201 arredondando para o milsimo mais prximo, teremos: 0,345 2) Se o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de uma unidade o ltimo algarismo a permanecer. Exs.: a) 12,4587 arredondando para o centsimo mais prximo, teremos: 12,46 b) 134,879 arredondando para o inteiro mais prximo, teremos: 135

Para a construo de uma distribuio de frequncias, devemos conceituar: a) Dados Brutos: so aqueles que no foram numericamente arranjados, isto , so aqueles que ainda no foram colocados em uma ordem de grandeza. Exemplo: 7, 6, 3, 4, 2 , 0 b) Rol: o arranjo dos dados brutos em uma ordem de grandeza crescente ou decrescente. Exemplo: 0, 2, 3, 4, 6, 7

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Elementos de uma Distribuio de Frequncias 1) Classes: so os intervalos de variao de uma varivel. As classes so representadas simbolicamente por i, sendo i = 1,2,3,..., k (onde k o nmero total de classes da distribuio). Para a determinao do nmero total de classes de uma distribuio podemos lanar mo da regra de Edmund Preston Sturges (1898 1959), que nos d o nmero de classes em funo do nmero de valores da varivel. K= 1 + 3,3 . log n onde: k o nmero total de classes; n o nmero total de dados (nmero de elementos do rol). Essa regra nos permite obter a seguinte tabela:

n 3 5 6 11 12 22 23 46 47 90 91 181 182 362 ...

k 3 4 5 6 7 8 9 ...

onde: n o nmero total de dados; k o nmero total de classes.

2) Limites de classe: os valores extremos de uma classe so denominados de limites de classe. Estes valores so denominados de limites inferior e superior da classe, sendo simbolizados por limite inferior (li) e limite superior (Li).ESTATSTICA

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3) Amplitude Total (AT): a diferena entre o valor mximo e o valor mnimo do rol.

4) Intervalo de classe (h): a medida do intervalo que define a classe. obtido atravs da seguinte frmula:

h = AT

k onde: AT = amplitude total; k = nmero total de classes

5) Ponto mdio de uma classe (xi): o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. Para obtermos o ponto mdio de uma classe, calculamos a mdia aritmtica simples entre os limites de uma classe:

xi

= li + Li 2

onde: li = limite inferior de uma classe; Li = limite superior de uma classe.

Tipos de Frequncias

1) Frequncias simples ou absolutas (fi): o nmero de observaes correspondentes a uma classe ou a um valor. A soma das frequncias simples igual ao nmero total dos dados:

fi = n

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2) Frequncias relativas simples (fri): so os valores das razes entre as frequncias simples e a frequncia total:

fri

= fi fi

A soma das frequncias relativas simples de todas as classes igual a 1 ou 100%. O propsito das frequncias relativas o de permitir a anlise ou facilitar as comparaes.

3) Frequncia acumulada: a frequncia acumulada de uma classe o somatrio das frequncias anteriores ou posteriores, inclusive a frequncia da respectiva classe. As frequncias acumuladas podero ser obtidas atravs das expresses abaixo de ou acima de , isto , as frequncias acumuladas podero ser crescente (fac) ou decrescente (fad). A frequncia acumulada crescente (fac) obtida repetindo a frequncia simples da 1 classe, e somando-se sucessivamente as demais frequncias, obtendo-se assim as frequncias acumuladas de cada classe. Exprimi-se a frequncia acumulada crescente (abaixo de) atravs do limite superior de uma classe. A frequncia acumulada decrescente (fad) obtida repetindo a frequncia simples da ltima classe e somando-se sucessivamente as demais frequncias, obtendo-se, assim, as frequncias acumuladas de cada classe. Verifica-se que a frequncia acumulada decrescente (acima de) expressa atravs dos limites inferiores da respectiva classe.

Exemplo: Os valores abaixo so referentes emprstimos solicitados por 40 empresas uma instituio financeira: 2000 2000 2000 2100 2150 2150 2200 2200 2400 2400 2500 2500 2550 2600 2700 2700 2800 2830 2900 3000 3200 3251 3300 3400 3500 3500 3600 3640 3650 3700 3700 3750 4000 4200 4400 4500 4600 4650 4700 - 4801ESTATSTICA

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1) Com relao aos dados acima, iremos elaborar uma distribuio de frequncia, sabendo-se que k = 6 e arredondando o valor de h para o inteiro mais prximo.

2) Calcularemos: a) O ponto mdio de cada classe. b) A frequncia relativa simples de cada classe. c) A frequncia acumulada crescente de cada classe (fac). d) A frequncia acumulada decrescente de cada classe (fad).

Passos fundamentais para a confeco de uma tabela de frequncias:

Elaborar o rol; Determinar o nmero total de classes (k); Calcular a amplitude total (AT); Calcular o intervalo de classe (h).

Emprstimos solicitados por 40 empresas uma instituio financeira

Emprstimos (R$)

No. de empresas (fi)

xi

fri

Fac

fad

-

-

-

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EXERCCIOS PROPOSTOS

1) Todas as sries abaixo constituem ris, exceto: a) b) c) d) 5, -4, 0, 1, 2 10, 9, 8, 7 , 5 3, -1, 1, 2, 0 1/5, 2/3, 4/5, 8/10

2) Quais das sries abaixo constituem dados brutos: a) b) c) d) 0, 3, 4, 7, 6, 4 5, -4, 0, 2, 1 1, -2, 3, 4, 5 8, 7, 6, 5, 0

3) Os dados abaixo representam os valores dos depsitos efetuados por alguns clientes no Banco Delta (em R$): 5200 5255 5300 5360 5370 5375 5400 5450 5450 5490 5500 5550 5560 5570 5570 5580 5600 5600 5600 5650 5650 5680 5690 5690 5695 5695 5695 5697 5698 5699 5740 5750 5760 5760 5770 5780 5780 5789 5799 5799 Com relao aos dados acima, forme uma distribuio de frequncia, sabendose que k = 6 e arredondando o valor de h para o inteiro mais prximo.

Depsitos (R$)

Nmero de depositantes (fi)

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4) Os dados abaixo figuram os valores de crdito para capital de giro solicitados por 30 empresas : 15.000 18.000 19.000 21.000 22.000 23.000 23.000 24.000 25.000 25.000 25.000 25.000 26.000 26.000 26.000 28.000 28.000 28.000 29.000 29.000 - 31.000 32.000 33.000 33.000 36.000 38.000 38.000 38.000 39.000 40.001 4.1) Construa uma tabela de frequncias, sabendo-se que K = 6 e arredondando o valor de h para o inteiro mais prximo.

Crdito (R$)

No. de Empresas (fi)

4.2)

Complete:

a) f2 = b) l1 = c) L3 = d) fac5 = e) x2 = f) fr2 =

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5) A distribuio abaixo representa a venda de livros didticos em uma editora na ltima semana de janeiro/2011:

Preo Unitrio (US$) 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60

No. de livros comercializados (fi) 4.000 13.500 25.600 43.240 26.800 1.750 114.890

Pergunta-se:

a) Qual o ponto mdio da terceira classe?

b) Qual o intervalo de classe utilizado na distribuio acima?

c) Qual o percentual de livros comercializados abaixo de US$20,00 (exclusive)? (Arredonde para o centsimo)

d) Qual a quantidade de livros comercializados acima de US$10,00 (inclusive)?

e) Qual a frequncia relativa simples da segunda classe? (Arredonde para o centsimo)

f) Qual a frequncia acumulada crescente da quinta classe?

g) Qual a quantidade de livros comercializados entre US$20,00 (inclusive) a US$50,00 (exclusive)?

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6) A distribuio abaixo representa as vendas semanais dos vendedores de gneros alimentcios: Vendas Semanais (R$) 15.000 16.000 16.000 17.000 17.000 18.000 18.000 19.000 19.000 20.000 20.000 21.000 21.000 22.000 No. de vendedores (fi) 10 9 7 8 3 9 4 50

Com relao aos dados acima, pergunta-se:

a) Qual o intervalo de classe utilizado na distribuio acima? b) Qual o ponto mdio da 3 classe? c) Qual a frequncia relativa simples da 7 classe? d) Qual a frequncia acumulada crescente da 4 classe? e) Qual o limite inferior da 1 classe? f) Qual a frequncia acumulada decrescente da 2 classe? g) Qual o limite superior da 5 classe?

h) Qual a amplitude total da distribuio?

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7) Uma distribuio de frequncias composta de 6 classes. Sabe-se que os pontos mdios da quinta e sexta classes so, respectivamente: 187 e 190. Quais so os pontos mdios das classes anteriores?

8) Dadas as frequncias acumuladas crescentes de uma distribuio: 12, 22, 25, 27, 30, 33, determine as freqncias absolutas desta distribuio.

9) Os pontos mdios de uma distribuio de frequncias so: 4,350 ; 5,475 ; 6,600 e 7,725. Qual o intervalo de classe desta distribuio?

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CAPTULO 4 MEDIDAS DE POSIO

So estatsticas que representam uma srie de dados orientando-nos quanto posio da distribuio em relao ao eixo horizontal (eixo das abscissas). As medidas de posio mais importantes so as medidas de tendncia central, que recebem tal denominao pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. Dentre as medidas de tendncia central, destacamos: a) a mdia aritmtica; b) a mediana; c) a moda. As outras medidas de posio, so as separatrizes, que englobam: a) a prpria mediana; b) os quartis; c) os decis; d) os percentis .

MDIA ARITMTICA ( X )

uma das principais medidas de posio, cuja aplicao seguramente a mais usada. Em um conjunto de dados, podemos definir vrios tipos de mdias. Porm, em nossos estudos iremos nos limitar mais importante: a mdia aritmtica. 1) MDIA ARITMTICA SIMPLES: o quociente da diviso da soma dos valores da varivel pelo nmero deles:X =x n

onde:X = mdia aritmtica;

x = os valores da varivel; n = nmero de elementos.ESTATSTICA

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Exemplos:

a) O quadro abaixo demonstra o rendimento da poupana no perodo de 16.07.2009 a 25.07.2009. Dia 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Rendimento (%) 0,7728 0,7568 0,7171 0,6869 0,7230 0,7555 0,7535 0,7357 0,7544 0,6964

Qual foi o rendimento mdio no perodo acima citado?

b) A mdia mnima para aprovao em determinada disciplina 5,0 pontos. Se um aluno obtm as notas 7,5; 8,0; 6,0; 2,5; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina em questo, pergunta-se: 1) Qual a mdia deste aluno? (Arredonde para o centsimo mais prximo) 2) Se ele foi ou no aprovado.

2) MDIA

ARITMTICA PONDERADA:

no caso de os valores estarem afetados por pesos,

que so nmeros indicadores da intensidade do valor no conjunto, a mdia aritmtica se diz ponderada. A mdia aritmtica ponderada igual ao quociente da diviso cujo dividendo formado pela soma dos produtos dos valores pelos respectivos pesos e cujo divisor a soma dos pesos.ESTATSTICA

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X p = a1p1 + a2p2 + ... + anpn

p1 + p2 + ... + pn

Exemplos:

a) O gerente administrativo do setor de atendimento da Empresa X resolveu promover um dos seus trs assistentes administrativos. Para tanto foi aplicado um teste que continha questes de matemtica, portugus, informtica e conhecimentos gerais, nesta ordem. Cada teste era composto de 10 questes. Sabe-se que os pesos atribudos para cada teste foi, respectivamente: 3, 3, 2 e 1. Foram os seguintes resultados obtidos:

Notas Candidato A Candidato B Candidato C

Matemtica 10,0 9,5 8,5

Portugus 8,5 9,5 9,5

Informtica 9,5 7,5 10,0

C.Gerais 5,5 8,5 9,5

Pergunta-se: dos trs candidatos submetidos aos teste, quem obteve o melhor resultado? Obs.: o resultado final dever ser arredondado para o centsimo mais prximo.

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b) Uma loja vende cinco produtos bsicos A, B, C, D, E. O lucro por unidade comercializada destes produtos vale respectivamente R$200,00; R$300,00; R$500,00; R$1.000,00; R$5.000,00. A loja vendeu em determinado ms: 20; 30; 20; 10; 5 unidades respectivamente. Qual foi o lucro mdio por unidade comercializada por esta loja? (Arredonde para o centsimo mais prximo).

c) Uma carteira composta por 3 ativos: Ativo A B C Rentabilidade Anual (%) 12 15 13 Valor (R$) 25.000,00 20.000,00 35.000,00

Calcule a rentabilidade anual ponderada da carteira, arredondando para o centsimo mais prximo.

3) MDIA ARITMTICA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES: definida como sendo o quociente entre a soma dos produtos das frequncias simples (fi), pelos pontos mdios de cada classe, e a soma de todas as frequncias. Assim, temos:

X = (fi . xi)

fionde:X = mdia aritmtica;

fi = frequncia simples ou absoluta; xi = ponto mdio por classe;ESTATSTICA

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Exemplos: 1) Distribuio das exportaes de 58 empresas fabricantes de componentes eletrnicos 2 semestre/2010: Volume Exportado (R$) 50.000 60.000 70.000 80.000 60.000 70.000 80.000 90.000 No. de empresas (fi) 12 8 13 10 15 58

90.000 100.000

Calcule o volume mdio de exportao, arredondando-o para o inteiro mais prximo.

2) A distribuio abaixo figura o consumo de energia eltrica de 80 apartamentos de um condomnio de luxo da regio centro-sul de Belo Horizonte, no ms de fevereiro/2011: Consumo (Kwh) 1000 1200 1200 1400 1400 1600 1600 1800 1800 2000 2000 2200 2200 2400 fi 8 10 14 14 12 7 15 80 xi fi . xi

Calcule o consumo mdio de energia eltrica deste condomnio, arredondando-o para o inteiro mais prximo.

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MODA (Mo)

Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequncia em uma srie de valores. A moda o valor preponderante, o valor dominante de um conjunto. O termo moda foi utilizado primeiramente por Karl Pearson (1851 1936) em 1895, talvez como uma associao a sua concepo na linguagem comum. Deste modo, o salrio modal dos funcionrios de uma indstria qumica o salrio mais comum, isto , o salrio recebido pelo maior nmero de empregados dessa indstria.

1) MODA

PARA DADOS NO AGRUPADOS EM CLASSES:

para a identificao da moda em

um conjunto ordenado de valores no agrupados em classes, basta verificar, no conjunto, aquele valor que aparece com maior frequncia.

Exemplos: X1 = {1,2,3,4,5,6} (Conjunto amodal) X2 = {10,10,12,13,18} Mo = 10 (Conjunto unimodal) X3 = { 100,100,200,200,300,600} Mo = 100 e 200 (Conjunto bimodal) X4 = {2,2,5,5,8,8} observe que todos os elementos do conjunto apresentam a mesma frequncia. Nesta situao, no h um elemento que se destaque pela maior frequncia, e diremos que o conjunto amodal.

Obs.: Poderemos encontrar sequncias trimodais, tetramodais e assim sucessivamente. Estas sequncias sero chamadas de forma genrica por sequncias polimodais. Determine a moda dos conjuntos abaixo, classificando-a: A = { 10, 12, 4, 3, 7, 7, 3, 7 } Mo = B = { 0, 2, 5, 4, 3, 6 } Mo = C = { 30, 40, 50, 30, 60, 40 } Mo =ESTATSTICA

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2) MODA

PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES:

para dados agrupados a moda

calculada pela frmula de Emanuel Czuber (1851 1925):

Mo = li

+

1 1

x h

+ 2

onde:

Mo = moda; li = limite inferior da classe modal;1 2

= fm fa ( fi da classe modal fi anterior classe modal); = fm fp ( fi da classe modal fi posterior classe modal);

h = intervalo de classe

Para calcular a moda de uma distribuio de frequncia devemos:

a) Localizar a classe modal, isto , a classe que contm a maior frequncia simples ou absoluta. b) Identificar o valores relativos classe e aplicar a frmula.

Exemplos: 1) A distribuio abaixo representa a folha de pagamento dos funcionrios da empresa CriARTE Ltda referente ao ms de maro/2011. Salrios (R$) 300 500 700 900 1100 500 700 900 1100 1300 No. de funcionrios (fi) 8 7 6 10 3 34ESTATSTICA

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Calcule o salrio dominante desta empresa, arredondando-o para o inteiro mais prximo.

2) Considere a distribuio abaixo referente a uma amostra de 30 taxas anuais de CDB praticadas no mercado financeiro, nos ltimos 6 meses de 2010. Taxas (%) 20 21 22 23 24 25 21 22 23 24 25 26 Instituio financeira (fi) 2 6 8 7 4 3 30

Calcule taxa modal, arredondando-a para o inteiro mais prximo.

MEDIANA (Md)

A mediana um valor central de um rol, ou seja, a mediana de um conjunto de valores ordenados (crescente ou decrescente) a medida que divide este conjunto em duas partes iguais, cujo valor est sucedido de 50% e antecedido de 50% desse conjunto de observaes. Nota: Md = Q2 = D5 = P50 = 50%.ESTATSTICA

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1) MEDIANA PARA DADOS NO AGRUPADOS EM CLASSES: dado um conjunto qualquer de valores, o primeiro passo ordenar estes valores. Isto poder ser feito tanto em ordem crescente quanto decrescente. E, como segundo passo, verificar se o nmero de elementos que compe este conjunto par ou mpar. Vamos analisar cada passo em separado: a) Se o nmero de elementos for mpar, a mediana ser o valor central do conjunto.

Exemplo 1: A rentabilidade de um determinado fundo de investimento durante os meses de janeiro a julho de 2008 foi, respectivamente (em %): 1,13; 0,99; 1,26; 1,17; 1,24; 1,32; 1,25 Ordenando as taxas, temos: 0,99; 1,13; 1,17; 1,24; 1,25; 1,26; 1,32 logo a mediana ser o valor central do conjunto ordenado: Md = 1,24%, ou seja, 50% das taxas de rentabilidade esto abaixo ou igual a 1,24% e os outros 50% acima ou igual a 1,24%. b) Se o nmero de elementos for par, a mediana ser dada pela mdia aritmtica simples dos dois valores centrais. Exemplo 2: Uma pesquisa de mercado foi especialmente direcionada aos preos de uma determinada marca de sabo em p em 8 hipermercados brasileiros, chegando aos seguintes resultados (em R$): 5,50; 5,75; 6,25; 4,50; 6,15; 5,95; 6,05; 7,67. Ordenando os valores, temos: 4,50; 5,50; 5,75; 5,95; 6,05; 6,15; 6,25; 7,67, logo a mediana ser a mdia aritmtica simples entre os dois valores centrais do conjunto ordenado: Md = 5,95 + 6,05 = R$6,00. 2 Interpretao: 50% dos valores pesquisados esto abaixo ou igual a R$6,00 e os outros 50% restantes acima ou igual a R$6,00. Exemplo 3: Um levantamento levado a efeito em uma determinada empresa revelou que os salrios brutos mensais de 6 funcionrios administrativos so: R$1.500,00; R$2.300,00; R$850,00; R$3.000,00; R$870,00 e R$2.150,00. Qual o salrio mediano desses funcionrios? Exemplo 4: O lucro mensal de uma empresa de mdio porte no segundo semestre de 2007 foi respectivamente (em R$): 450.000,00; 355.000,00; 560.000,00; 780.900,00; 867.345,00; 1.235.000,00. Qual foi o lucro mediano neste perodo?ESTATSTICA

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2) Mediana para dados agrupados em classes: se os dados se agrupam em uma distribuio de frequncia, o clculo da mediana se processa atravs da determinao prvia das frequncias acumuladas. Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se acha a mediana classe mediana, atravs da seguinte frmula: fi 2 Tal valor ser localizado na coluna da fac (Frequncia Acumulada Crescente). Na prtica, executamos os seguintes passos:

a) Determinamos as frequncias acumuladas crescentes (fac). b) Calculamos fi / 2. c) Marcamos a classe correspondente fi / 2 classe mediana e, em seguida, empregamos a frmula:

Md = li + ( fi / 2) faca fi da classe

. h

onde: Md = mediana; faca = frequncia acumulada crescente anterior classe mediana; h = intervalo de classe. Comentrio: Devido s condies impostas na obteno da frmula da mediana, fica evidente que o valor obtido pela frmula um valor aproximado do verdadeiro valor da mediana da srie.

Exemplo 1: O departamento de recursos humanos da Empresa X tendo em vista o aumento de produtividade de seus funcionrios, resolveu, premiar com um aumento de 5% no salrio, a metade de seus vendedores mais eficientes. Para isto, fez um levantamento de vendas mensais, por vendedor, obtendo os seguintes valores:ESTATSTICA

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Vendas (R$) 0 10.000 20.000 30.000 40.000 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000

No. De funcionrios (fi) 1 12 27 31 10 81

fac

-

A partir de qual volume de vendas o vendedor ser premiado? centsimo mais prximo).

(Arredonde para o

Exemplo 2: O Departamento pessoal de uma certa empresa fez um levantamento dos salrios de 25 funcionrios do setor de telemarketing, obtendo os seguintes resultados:

Salrios (R$) 500 700 900 1100 1300 1500 1700 700 900 1100 1300 1500 1700 1900

No. de funcionrios (fi) 9 3 7 2 2 1 1 25

fac

-

Calcule o salrio mediano desses funcionrios arredondando para o inteiro mais prximo.

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QUARTIL (Q)

Divide a distribuio em quatro partes iguais em um conjunto ordenado de valores. H trs quartis correspondentes, respectivamente: a) Primeiro quartil (Q1): valor situado de tal modo na srie que uma quarta parte (25%) dos dados menor que ele e as trs quartas partes restantes (75%) so maiores. Q1 = P25 b) Segundo quartil (Q2): igual ao valor mediano. Q2 = Md = D5 = P50 c) Terceiro quartil (Q3): valor situado de tal modo que as trs quartas partes (75%) dos termos so menores que ele e uma quarta parte (25%) maior. Q3 = P75 Resumindo, temos: a) Q1 = 25% b) Q2 = 50% c) Q3 = 75%

DECIL (D)

Divide a distribuio em dez partes iguais em um conjunto ordenado de valores. Assim, poderemos ter: D1, D2, D3, ..., D9 Em cada uma das partes determinadas pelos decis temos 10% dos dados. Assim: D1 = 10%, D2 = 20%, D3 = 30%, ..., D9 = 90%.

PERCENTIL (P)

a diviso de um conjunto ordenado em cem partes iguais. Assim, poderemos ter: P1, P2, P3, ..., P99. Em cada uma das partes determinadas pelos percentis temos 1% dos dados. Assim: P1 = 1%, P2 = 2%, P3 = 3%, ..., P99 = 99%. Percentil para dados agrupados em classes: quando os dados so agrupados em classes, para determinar a classe percentiana, usamos a seguinte frmula:ESTATSTICA

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i (fi) 100onde:

i = percentil que deseja encontrar (1,2,3,4,5,6, ..., 99); Tal valor ser localizado na coluna da fac (Frequncia Acumulada Crescente).

Na prtica, executamos os seguintes passos: a) Determinamos as frequncias acumuladas crescentes (fac). b) Calculamos i ( fi) / 100. c) Marcamos a classe correspondente a i ( fi) / 100 classe percentiana e, em seguida, empregamos a frmula: onde: P = li + i (fi)/100 faca fi da classe P = percentil ; faca = frequncia acumulada crescente anterior classe percentiana; h = intervalo de classe. Exemplo: O gerente administrativo de uma empresa coletou o nmero de faltas anuais (absentesmo) de seus funcionrios em 2010, obtendo a seguinte distribuio: No. de faltas 5 8 8 11 11 14 14 17 17 20 20 23 23 26 26 29 (No. de funcionrios) fi 17 5 6 7 8 5 2 1 51 fac x h

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a) Calcularemos o octogsimo sexto percentil, interpretando-o e arredondando-o para o inteiro mais prximo. b) Calcularemos o quadragsimo percentil, interpretando-o e arredondando-o para o inteiro mais prximo. c) Calcularemos o quinquagsimo quinto percentil, interpretando-o e arredondando-o para o inteiro mais prximo.

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EXERCCIOS PROPOSTOS

1) So medidas separatrizes, exceto: a) B) C) D) Quartil Decil Mdia Aritmtica Percentil

2) So medidas de posio, exceto: A) Mediana B) Amplitude Total C) Moda D) Percentil _________________________________________________________________________ 3) No departamento de Marketing de uma empresa, h 3 nveis salariais com 3, 5 e 2 funcionrios respectivamente. O departamento concebeu reajuste nos salrios de 5,5 %, 4% e 5% a cada nvel, respectivamente. Qual o reajuste mdio dado pela empresa? (Arredonde o valor final para o centsimo mais prximo)

4) Para determinar o tempo mdio de chamadas locais em um escritrio, 20 chamadas foram escolhidas ao acaso. A durao de cada uma mostrada a seguir ( em minutos): 2, 12, 10, 3, 5, 6, 3, 8, 4, 5, 5,4, 5, 4, 9 , 2, 10, 20, 7, 7. Calcule a durao mdia das chamadas.

5) Um caminho cujo peso vazio 3000 Kg ser carregado com 480 caixas de 10 Kg cada, 350 caixas de 8 Kg cada, 500 caixas de 4 Kg cada e 800 caixas de 5 kg cada. O motorista do caminho pesa 80 Kg e a lona de cobertura da carga pesa 50 Kg. Perguntase:

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a) Qual o peso mdio das caixas carregadas no caminho? (Arredonde para o centsimo mais prximo) b) Se este caminho tem que passar por uma balana que s permite passagens a caminhes com peso mximo de 15 toneladas, este caminho passar pela balana?

6) Uma empresa comprou barris de leo de vrios fornecedores. O preo de compra por barril e o nmero de barris comprados so mostrados abaixo: Fornecedor A B C D Preo por Barril (US$) 17 19 18 16 Nmero de Barris 4.000 3.000 9.000 20.000

Calcule o preo mdio do barril, arredondando para o centsimo mais prximo.

7) Dados os conjuntos de valores abaixo: A = { 6, 8, 9, 10, 10, 12, 11, 12, 17 } B = { 4, 7, 10, 13, 10, 15 } C = { - 2, 0, 3, - 1, 7 } Podemos afirmar que: a) O conjunto A bimodal e mdia aritmtica do conjunto B 9,83. b) A mediana do conjunto B 13 e a mdia aritmtica do conjunto B 6,5. c) A amplitude total do conjunto C 9 e o conjunto A amodal. d) A amplitude total do conjunto C 5 e o conjunto B plurimodal.ESTATSTICA

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8) A idade mdia dos candidatos a um determinado curso de aperfeioamento sempre foi baixa, da ordem de 22 anos. Como esse curso foi planejado para atender todas as idades, decidiu-se fazer uma campanha de divulgao. Para verificar se a campanha foi ou no eficiente, fez-se um levantamento da idade dos candidatos ltima promoo, e os resultados esto no quadro a seguir: Idades 18 20 20 22 22 24 24 26 26 28 28 30 Nmero de candidatos (fi) 18 12 10 8 1 1 50 xi fi . xi

Baseando-se nesses resultados, voc diria que a campanha produziu algum efeito, isto , aumentou a idade mdia?

9) A distribuio baixo figura a renda mensal gerada pelo aluguel de 200 residncias administradas por uma imobiliria: Aluguel (R$) 400 450 450 500 500 550 550 600 600 650 650 700 700 750 No. de casas (fi) 40 35 40 10 35 20 20 200 ESTATSTICA

xi

fac

fi . xi

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Com relao aos dados acima, calcule: a) O valor mdio desses aluguis, arredondando-a para o inteiro mais prximo. b) O valor modal propiciado por esses aluguis, arredondando-a para o inteiro mais prximo. c) O valor mediano propiciado por esses aluguis, arredondando-a para o inteiro mais prximo. d) O quinto percentil, interpretando-o e arredondando-o para o inteiro mais prximo. e) O octogsimo nono percentil, interpretando-o e arredondando-o para o inteiro mais prximo.

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CAPITULO 5

MEDIDAS DE DISPERSO OU DE VARIABILIDADE

Muitas so as situaes nas quais a questo da variabilidade interna de um conjunto de valores to (ou mais) importante que a tendncia central dos valores deste conjunto. A um investidor, por exemplo, no interessa apenas o preo mdio de uma ao, mas tambm a volatilidade deste preo que, ao fim e ao cabo, tem a ver com a idia de risco. Na rea da engenharia, a variabilidade dos resultados gerados por um processo produtivo pode ser importante para avaliar a qualidade do processo. Na rea de recursos humanos, avalia-se o desempenho de um funcionrio no apenas prestando ateno no valor mdio gasto pelo funcionrio na execuo de uma tarefa, mas tambm a constncia, uniformidade ou homogeneidade dos tempos por ele gastos. As medidas de variabilidade foram criadas exatamente para captar este importante aspecto em relao ao qual as medidas de tendncia central nada tm a dizer. importante ressaltar que a anlise completa dos dados requer no apenas sua apresentao, atravs de grficos e tabelas, ou o clculos de mdias ou outras medidas de posio. Caracterizar um conjunto de valores apenas atravs de uma mdia, por exemplo, descrev-lo inadequadamente, uma vez que os dados diferem entre si, em maior ou menor grau. Assim, suponhamos que se deseja comparar a perfomance de dois empregados , com base na seguinte produo dirias de determinada pea: EMPREGADO A: 70, 71, 69, 70, 70 EMPREGADO B: 60, 80, 70, 62, 83 De acordo com os resultados da produo diria em cinco dias, verificamos que a perfomance mdia do empregado A de 70 peas produzidas diariamente, enquanto que a do empregado B de 71 peas. Por conseguinte, baseados nestes nicos resultados ( X A = 70 e X B = 71), diramos que a perfomance de B melhor do que a de A. Se nos fixarmos mais detidamente nos dados, entretanto, perceberemos que a produo de A varia apenas de 69 a 71 peas, ao passo que a de B varia de 60 a 83 peas, o que revela que a perfomance de A bem mais uniforme do que a de B. Ocorre, por outro lado, que um alto grau deESTATSTICA

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uniformidade ou pequena disperso costuma ser considerado como algo de qualidade desejvel em um processo produtivo. Qualquer produo em srie seria antieconmica se houvesse muita variabilidade nos materiais ou peas fabricadas. Para avaliar o grau de variabilidade ou disperso dos valores de um conjunto de nmeros, lanaremos mo das estatsticas denominadas medidas de disperso ou variabilidade. Essas nos proporcionaro um conhecimento mais completo do fenmeno a ser analisado, permitindo estabelecer comparaes entre fenmenos de mesma natureza e mostrando at que ponto os valores se distribuem acima ou abaixo da tendncia central. medida que o valor da disperso vai diminuindo, o conjunto numrico vai se tornando mais denso, ou seja, quanto menor a medida de disperso teremos um grupo mais homogneo ou uniforme e quanto maior a medida de disperso teremos um grupo mais heterogneo ou mais disperso.

Iremos tratar de dois tipos de medidas de disperso:

Medidas de Disperso Absoluta: a) Amplitude total; b) Desvio Quartlico ou Amplitude semi-interquartlica; c) Desvio mdio; d) Varincia; e) Desvio-padro.

Medidas de Disperso Relativa: a) Desvio Quartil Reduzido; b) Coeficiente de Variao de Karl Pearson (Londres, 1857-1936); c) Coeficiente de Variao de Edward Lee Thorndike (EUA, 1874-1949); d) Coeficiente de Intervalo Quartil.

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DESVIO PADRO

1) DESVIO PADRO PARA DADOS NO AGRUPADOS EM CLASSES:

Para o clculo do desvio padro de dados no agrupados em classes, devemos aplicar as seguintes frmulas: Desvio Padro Amostral S= x2 - ( x) 2 n n-1 Desvio Padro Populacional =

x2 n

- x 2 n

onde: S = desvio padro amostral; x = valores da varivel; (sgima)= desvio padro populacional; n = nmero de elementos do conjunto.

Vejamos os exemplos abaixo:

a) Os dados fornecidos pela Fundao Joo Pinheiro. CEI. Pesquisa de Emprego e Desemprego RMBH so referentes s taxas de desemprego em Belo Horizonte no primeiro semestre de 2008 e no primeiro semestre de 2009. Taxas (%)/1 semestre de2008 (x) Janeiro Fevereiro Maro Abril Maio Junho ESTATSTICA

Meses

x2

Taxas (%)/1 semestre de 2009 (x) 16,10 16,40 16,20 16,70 17,10 17,70

x2

15,80 16,10 17,00 17,10 17,90 18,10

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Com relao aos dados anteriores, pergunta-se: em que ano podemos verificar a ocorrncia da uniformidade das taxas de desemprego em Belo Horizonte? (Analise pelo desvio padro amostral). Critrio de Arredondamento: S milsimo

b) Os dados abaixo mostram os preos unitrios de dois tipos de aes (A e B) observados durante 5 meses. Ao Tipo A 10 x2 Ao Tipo B 5 x2 6 10 14 15 8 12 9 11

Calcule o desvio-padro amostral dos preos dos dois tipos de aes (A e B)

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interessante observar que apenas com o conjunto de medidas de tendncia central (mdia, mediana e moda) teria sido impossvel captar diferenas entre os comportamentos dos preos dos dois tipos de aes, pois os dois conjuntos apresentam o mesmo valor para estas medidas. De fato: a) ambos so amodais; b) mdia de A = mdia de B = R$10,00; c) mediana de A = mediana de B = R$10,00. No entanto, basta observar os dois conjuntos de preos para concluir-se sobre a existncia de uma diferena de comportamento entre os dois, a saber, disperso dos valores em torno da mdia que, neste caso, poderia ser associado volatilidade maior ou menor destes preos. Como se explicou, para captar este aspecto do fenmeno foi necessrio proceder anlise com um grupo de medidas que consigam retratar variabilidade, disperso e homogeneidade uma vez que o grupo de medidas de tendncia central no consegue retratar estas caractersticas do fenmeno estudado.

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EXERCCIOS PROPOSTOS

1) O desvio padro amostral do conjunto de nmeros: A = {1,7,3,6,11} : a) 0,34 b) 3,85 c) 34,4 d) 11,84

2) Dois grupos diferentes de uma turma de estatstica fazem o mesmo teste-surpresa, com as notas relacionadas a seguir. Ache a amplitude e o desvio padro amostral para cada grupo. Que concluses sobre a variao nos dois grupos os valores da amplitude sugerem? Por que razo a amplitude enganosa neste caso? Que concluses sobre a variao nos dois grupos o desvio padro sugere? Grupo A: 1, 10, 10, 20, 20 Grupo B: 12, 13, 14, 15, 16

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3) O desvio padro amostral do conjunto A = {10,10,11,11} : a) 1 b) 1/3 c) 0,577 d) 1,73

4) a) b) c) d)

O desvio-padro populacional do conjunto A = {3,3,3,3,3} : 1 0 2 4

2) DESVIO

PADRO PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES:

como, neste caso, temos a

presena de frequncias, devemos lev-las em considerao, resultando a frmula: Desvio padro amostral S= (fi . xi2) - ( fi . xi) 2 fi fi - 1

Desvio padro populacional = (fi . xi2) fi 2 fi . xi fi

onde: S = desvio padro amostral (sigma) = desvio padro populacional fi = frequncia simples ou absoluta xi = ponto mdio por classe

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Exemplo: Seja a distribuio dos salrios dos funcionrios de duas empresas: Salrios Mnimos Empresa A 23 34 45 56 67 78 fi xi fi . xi fi . xi2 Salrios Mnimos Empresa B 3 4 4 5 56 67 78 89 fi xi fi . xi fi . xi2

3 1 2 1 2 1 10

1 2 1 2 1 3 10 -

Analisando pelo desvio padro populacional, pergunta-se: qual a empresa cujos salrios esto distribudos de forma heterognea? Critrio de Arredondamento: Milsimo

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EXERCCIOS PROPOSTOS

1) O quadro abaixo figura a distribuio de valores de 50 notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma empresa: Consumo por nota (R$) 0 50 50 100 100 150 150 200 200 250 250 300 No. de Notas (fi) 10 24 12 2 1 1 50 xi 25 75 125 175 225 275 fi. xi 250 2100 1500 350 225 275 fi. xi 2

Calcule o desvio padro amostral, arredondando-o para o centsimo mais prximo.

2) A distribuio abaixo figura o volume de vendas realizadas por corretores de seguros durante o ms de abril/2011: Vendas (em R$1.000) No. de Vendedores (fi) 10 12 14 11 3 50 ESTATSTICA

xi

fi . xi

fi.xi2

20 26 26 32 32 38 38 44 44 50

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Com relao aos dados anteriores, calcule o desvio padro populacional, arredondando-o para o centsimo mais prximo.

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REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

BRUNI, Adriano Leal. Estatstica Aplicada Gesto Empresarial. 1. ed. So Paulo: Ed.Atlas, 2007. 377 p.

CRESPO, Antnio Arnot. Estatstica Fcil. 14 ed. So Paulo: Ed. Saraiva, 1996. 224 p.

LARSON, Ron e FARBER, Betsy. Estatistica Aplicada. 2 ed. So Paulo: Ed. Pearson, 2006. 476 p.

MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatstica Geral e Aplicada. 3 ed. So Paulo: Ed. Atlas, 2005. 417 p. PEREIRA, Wilson e TANAKA, Oswaldo K. Estatstica Conceitos Bsicos, 2 ed. So Paulo: Ed. Afiliada, 1990. 341 p.

SILVA, Elio Medeiros; GONALVES, Valter; SILVA, Ermes Medeiros; MUROLO, Antnio Carlos. Estatstica. 1 ed. So Paulo: Ed. Atlas, 1995. 188 p.

SMAILES, Joanne e MCGRANE, ngela. Estatstica Aplicada Administrao. 1 ed. So Paulo: Atlas, 2005. 400 p. TOLEDO, Geraldo Luciano, OVALLE, Ivo Izidoro. Estatstica Bsica., 2 ed.So Paulo: Ed. Atlas, 1987. 459 p.

VIEIRA, Snia. Elementos de Estatstica . 4 ed. So Paulo: Ed. Atlas, 2003. 162 p.

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Siga tranquilamente o seu caminho, por entre rumores e agitaes, lembrando-se de que sempre h paz no silncio. Sem capitular, v to longe quanto possvel e viva na melhor harmonia com todas as pessoas. Fale a verdade, calma e claramente e oua a todos, mesmo que ingnuos, pois eles tambm tm a sua histria. Evite pessoas espalhafatosas e agressivas, que trazem inquietao ao nosso esprito. Se voc se compara com outras pessoas, poder tornar-se presunoso e amargo, pois sempre encontrar algum superior ou inferior a voc. Regosije-se com suas realizaes e exulte-se com seus planos. Guarde interesse pela sua profisso, mas, a despeito disto, seja humilde, mantendo um perfeito domnio em todas as mudanas da vida. Seja cauteloso em seus negcios, porque o mundo est cheio de espertezas. Mas no se deixe cegar por isto, porque a virtude existir sempre; inmeras pessoas lutam por elevados ideais e, em toda a parte, a vida cheia de herosmo. Seja autntico, seja voc mesmo. Jamais finja amizade. No seja descrente do amor, pois apesar de todas as asperezas e desencantos, ele to perene quanto a relva. Aceite magnanimamente o conselho dos velhos, mas saiba tambm ceder, compreensivo, s inovaes da juventude. Cultive a fortaleza dalma, que o ajudar a triunfar de alguma desventura repentina, mas no se angustie por meras suposies. Muitos temores nascem do cansao e da solido. Por isto, a par de uma sadia disciplina, conserve uma como que afvel solidariedade consigo mesmo. Voc uma criatura do Universo, no menos que as rvores e as estrelas. Com muita razo, voc estar sempre entre essas coisas. E ainda que isto no lhe parea claro, no o duvide, pois o mundo prossegue em sua marcha, como devia. Afinal, esteja em paz com DEUS, seja qual a concepo que dEle voc tiver, quaisquer que sejam seus trabalhos e preocupaes. Em meio s confuses das vida, mantenha a paz em sua alma. Apesar de todas as simulaes, enfados e sonhos desfeitos, o mundo ainda maravilhoso. Esteja alerta e procure viver feliz... (Escrito annimo, encontrado na Velha Igreja de So Paulo em 1692).

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