Universidade Federal de Alagoas UFAL Centro de Tecnologia CTEC Departamento de Engenharia Civil

FENMENOS DE TRANSPORTE I Apostila de exerccios

Professor Roberaldo Carvalho de Souza, P.h.D Monitoras: Manuella Suellen Vieira Galindo Marianna Luna Sousa Rivetti

Macei-AL 2009

Parte I: Esttica dos fluidos1. Propriedades dos fluidos1.1 Exerccios resolvidos 1- Um lquido tem viscosidade 0,005 kg/m.s e massa especfica de 850 kg/m. Calcule: a) A viscosidade cinemtica em unidades S.I. b) A viscosidade dinmica em unidades CGS.

Soluo: a)b) 2- A viscosidade cinemtica de um leo 0,028 m/s e o seu peso especfico relativo 0,85. Determinar a viscosidade dinmica em unidades dos sistemas MK*S, CGS e SI.

Soluo:

2

No MK*S:

No SI:

No CGS:

3 A viscosidade dinmica de um leo 5x10-4 kgf.s/m e o peso especfico relativo 0,82. Determinar a viscosidade cinemtica nos sistemas MK*S, SI e CGS (g=10m/s; H2O=1000 kgf/m).

Soluo:

No MK*S e no SI:

No CGS:

3

4 O peso de 3 dm de uma substncia 23,5 N. A viscosidade cinemtica 10-5 m/s. Se g=10m/s, qual ser a viscosidade dinmica nos sistemas MK*S e SI.

Soluo:

No SI:

No MK*S:

5 So dadas duas placas planas paralelas distncia de 2mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior fixa. Se o espao entre as placas for preenchido com leo (=0,1 St; =830 kg/m), qual ser a tenso de cisalhamento que agir no leo?

Soluo:Obs: =0,1 St= 10-5 m/s

4

6 Uma placa quadrada de 1,0m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30, sobre uma fina pelcula de leo. A velocidade da placa de 2 m/s constante. Qual a viscosidade dinmica do leo se a espessura da pelcula 2 mm?

Soluo:De acordo com a 2 Lei de Newton: Fr=m.a . Onde a= Assim: Px = m. = 0, pois a velocidade constante, ou seja, =0

20.sen 30 -

= 10 N/m Sabemos que:

7 Assumindo o diagrama de velocidades indicado na figura, em que a parbola tem seu vrtice a 10cm do fundo, calcular o gradiente de velocidade e a tenso de cisalhamento para y= 10cm. Adotar centepoises.

5

Soluo:Obs.: 400 centepoises= 4 poises= 4 dina.s/cm Como o perfil de velocidade parablico: V(y)= a1+ a2y + a3 y Condies de contorno: 1 V 2 V 3y=yo

=Vmx = 2,5 m/s =0 =0 a1=0

a1+ a2y0 + a3 y0=2,5

y=0

y=yo

a2 + 2y0 a3=0 0,1 a2 + 0,01 a3=2,5 a2 + 0,2 a3=0

Assim: a2y0 + a3 y0=2,5 Para y0= 10 cm= 0,1m a2 + 2y0 a3=0 a3= -250; a2=50

Perfil parablico obtido: V(y)= 50 y 250 y Gradiente de velocidade, para y= 10cm= 0,1m: = 50-250y= 25

Tenso de cisalhamento:6

8 Uma pequena esfera slida com 4,02 mm de dimetro e uma densidade relativa de 0,91 colocada em repouso num recipiente contendo um lquido cuja densidade relativa de 0,8. Sabendo que a esfera est submetida fora gravitacional (calculada atravs do produto da massa pela acelerao da gravidade), ao empuxo (que representado pelo peso do volume deslocado = fluido Volume da esfera) e a fora de arrasto (representada pelo produto do coeficiente de arrasto vezes a rea frontal de contato entre o slido e o fluido vezes a metade do produto do peso especfico do fluido e o quadrado da velocidade, no caso de uma esfera: Afrontal= Fa = Cd. Afrontal.fluido.

e

,

). Calcule o tempo mnimo decorrido para a esfera

atingir a velocidade terminal.

Soluo:Figura ilustrativa: Diagrama de Corpo Livre:

w = m.g w= esfera. Volume. g w= *. H2O .Volume. g

Volume E=

E=fluido.

fluido.

fluido.

Fa=

Cd.

Afrontal

Fa=

.

.

fluido.

Fa=

Sabemos que: Fr=m.a w- Fa- E =esfera.

Volume.

7

esfera.

.g-

-

fluido.

=

esfera.

.

=g-

Sendo a= g -

, e b=

teremos:

= a bV

V = Vmx (1- e-bt)

Adotando V=99%Vmx: s 9- Um bloco de massa M e aresta a cm, partindo do repouso, desliza numa fina pelcula de leo de espessura h mm em um plano inclinado de um ngulo . Determine uma expresso para o comprimento do plano em funo da velocidade mxima e do tempo? Dados: Perfil de velocidade no leo = c y1/3, onde c uma constante determinada pela condio de contorno da velocidade mxima no leo ser igual velocidade do bloco e y a distncia do plano no leo, 0 y h.

8

Soluo: Note que temos dois problemas distintos: um que envolve um perfil de velocidade e outro associado ao bloco. Diagrama de corpo livre:

Sabemos que: Fr= w.sen - Fa a=

Logo: Fr=m.a - Fa = (m)

Condio de contorno: Se y=h: V(y) = Vbloco= = c y1/3 V(y) =

9

Note que: Voltando para a expresso obtida ao analisar a fora resultante teremos: Seja

e

, teremos:

integrando teremos:

Seja

:

2. Equao Geral da Esttica dos Fluidos (1-D)2.1 Exerccios resolvidos 1 Dada a figura abaixo, onde h1=25 cm, h2=10 cm, h3=25 cm e h4=25 cm, calcule:

10

a) A presso efetiva do Gs 2; b) A presso efetiva do Gs 1, sabendo que o manmetro indica uma presso de 15000 N/m3 ; c) A presso absoluta do Gs 1, considerando a presso atmosfrica local igual a 730 mmHg. Dados: leo =

8000 N/m3 ,

Hg

= 133280 N/m3 ,

gua =

9800 N/m3

Soluo:a) P1 = Pleo + Pgs e P2 = PHg + Pgua P1 = P2 leo . ( h1 + h2 ) + Pgs = Hg . h4 + gua . h3 8000 . (35 . 10-2) + Pgs = 133280 . 25 . 10-2 + 9800 . 25 . 10-2 Pgs = 32970 N/m3 b) Pgs 1 = Pgs 2 Pmanmetro Pgs 1 = 17970 N/m3 c) P2 = PHg + Pgua + Patm e P1 = Pgs 2 + Pleo + Pgs 1 PHg + Pgua + Patm Pgs 2 Pleo = Pgs 1 133280 . 25 . 10-2 + 9800 . 25 . 10-2 + 0,73 . 133280 32970 8000 . 35 . 10-2 = Pgs 1 Pgs 1 = 97294,4 N/m3 P abs gs 1 = 115265 N/m3

3. Forcas em superfcies planas3.1 Exerccios resolvidos

11

1 O tanque mostrado no esquema da figura contm um leo com massa especfica . Determine o mdulo da forca resultante exercida pelo leo sobre a janela retangular localizada na parede vertical do tanque.

Soluo:

2)

2 A figura mostra um esquema de uma janela circular de dimetro D=2 m, localizada na parede vertical de um tanque com gua e aberto para a atmosfera. Determine: a) a forca resultante exercida pela gua sobre a janela b) a profundidade do ponto de aplicao desta forca (zf)

12

Soluo:a) Em coordenadas polares: dA=r.d.dr e, considerando D=a temos: z=a/2-r.sen

b)

Substituindo, Temos ,

3 A figura mostra um esquema de uma janela triangular de base B=2m e altura H=2m, localizada na parede vertical de um tanque com gua e aberto para a atmosfera. Determine: a) a forca resultante exercida pela gua sobre a janela b) a profundidade do ponto de aplicao desta forca (zf)

13

Soluo:a) Temos e

Substituindo,

b)

14

Substituindo,

Temos,

4 A figura mostra um esquema de um reservatrio com gua. A comporta retangular de altura L e largura B est articulada no eixo O, na base, e o bloco de volume V, constitudo de um material com massa especfica B, est imerso em gua. O cabo possui massa desprezvel. Estando a comporta na posio vertical, determine: a) b) A forca resultante exercida pela gua sobre a comporta; O momento de forca, em relao ao ponto O, devido distribuio de presses exercida pela gua; O volume mnimo V do bloco necessrio para manter a comporta na c) posio vertical.

Soluo:a)

15

b)

Deve-se achar zf:

Temos,

Substituindo ,

Temos,

Em relao ao ponto O temos a distncia D, que igual a : D=H-zf Calculando o momento,

c)

Temos em relao ao ponto O,

16

Pelo D.C.L:

Sendo,

Ento fica assim,

Isolando V,

4. Equao Geral da Esttica dos fluidos em 2-D4.1 Exerccios resolvidos 4.1.1 Movimento Relativo Linear17

1 Deve-se transportar um aqurio que mede 60cm X 60cm de base e 40 cm de altura. Quanto em volume de gua voc pode deixar no aqurio de modo a ficar razoavelmente certo de que no transbordar no transporte?

Soluo: Equao da superfcie livre: dP=0

Se no houver transbordamento:

No h transbordamento:

Vi=Vf

18

Achando a altura da gua h: (1) = (2)

sabe-se que Substituindo os valores,

Calculando o volume:

4.1.2 Movimento Relativo Circular 1 Um vaso cilndrico de raio (R=1,0m) e de altura (H=2,2m), parcialmente cheio com lquido a uma altura h=1,2 m, e girando a uma velocidade angular constante () em torno do seu eixo central. Aps um curto perodo, no h movimento relativo (o lquido gira com o cilindro como se o sistema fosse um corpo rgido). Qual o valor de (rpm) para no haver transbordamento?

19

Soluo: Equao da superfcie livre: dP=0

Se no houver transbordamento:

Substituindo os valores, No h transbordamento: Vi=Vf

(1)

Substituindo valores,

.20

Achando o valor de :

(1) = (2)

Parte II: Cinemtica e Dinmica dos Fluidos5. Equao da continuidade e escoamentos5.1 Exerccios resolvidos

1- Considere um campo de escoamento incompressvel bidimensional dado pela funo corrente (x,y) = ax-ay, com a=3s-1 e x e y em metros. a) Mostre que o escoamento irrotacional. b) Determine o potencial de velocidade para este escoamento. c) Qual a vazo que passa entre uma assntota e a linha de corrente dada por =cte=2?

Soluo: a) Um escoamento irrotacional quando xV=021

Sabemos que:

xV =

x

=0

-2a+2a=0 0=0 b) O escoamento irrotacional.

Logo: c) Sabemos que a vazo dada pela diferena entre dois psis, ou seja, Q=12.

Se

1=

assntota e

2=2,

teremos: Q= 2m/s.

2- Demonstre a Equao da Continuidade a partir de um elemento infinitesimal de controle com a forma cilndrica plana.

Soluo:

22

Sabemos que: Taxa que entra Taxa que sai = Variao interna

+ +

-

-

= -

+ -

-

=

-

-

-

Desprezvel

==-

-

-

Obs.: De acordo com a Regra do produto: = = +

Logo:

23

+

+

+

=0

+

+

=0

Equao da continuidade em coordenadas polares

Desta forma, provamos que:

+

=0

3- Demonstre a Equao da Continuidade e a Equao da Irrotacionalidade em coordenadas polares para duas dimenses.

Soluo:Devemos lembrar que: r=cos = -sen r. r=1 . =1 + sen j + cos j ; r . =0 ; r x = k = -sen + cos j=

= - cos - sen j=

De acordo com a Equao da Continuidade:

= 0, ou seja:

.+

=0 =0 =0 =0 =0

=0

+

=0

De acordo com a Equao da Irrotacionalidade:

= 0, ou seja:24

x+

=0 =0

+

=0

=0 , ou seja,

-

=0

4- Qual o valor da acelerao de um escoamento cujo campo de velocidade dado por ? Esse escoamento real?

Soluo: Por no depender do tempo podemos definir tal escoamento como permanente. No d para dizer se o fluido compressvel ou no, pois no temos informaes suficientes. Temos apenas um escoamento plano em duas dimenses. a local= =0

a convectiva= a convectiva= a convectiva= Componentes da acelerao: ax= ay= O escoamento s existir se a equao da Continuidade for obedecida. Desta forma, deveremos provar que:Tende a zero, pois o escoamento no depende do tempo.

+

= 0.

+

=0

25

O escoamento no real.

5- Seja . Veja se o escoamento desse fluido real. Em caso afirmativo, defina a equao de sua trajetria.

Soluo: O escoamento s existir se a equao da Continuidade for obedecida. Desta forma, deveremos provar que:Tende a zero, pois o escoamento no depende do tempo.

+

= 0.

+

=0

O escoamento real.

Encontrando a Equao da trajetria:

Equao da trajetria.

26

6- A superfcie matemtica do slido chamada de semi-corpo de Rankine no plano, pode ser representada por linhas de corrente geradas pela superposio de um escoamento uniforme horizontal e uma fonte. Um pequeno monte, de altura h=100m, tem a forma geomtrica que pode ser representada como a parte superior do semi-corpo de Rankine. Para um vento de 20km/h em direo ao monte, pergunta-se:

a) Qual a velocidade do vento na superfcie do monte em um ponto verticalmente acima da origem? b) Qual o valor da vazo do escoamento do vento entre duas superfcies que passam pelos pontos de estagnao e (x=50; y=90)?

Soluo:a) Sabemos que o semi-corpo de Rankine formado pela superposio de um escoamento uniforme e um escoamento tipo fonte. Como tais escoamentos satisfazem a Equao de Laplace podemos dizer que: U/F = U + F = Para =0:

Para =:

Logo:27

0=

Para =/2: Para =0:

Logo: V= 3,54 r + 5,56 e V = 6,59 m/s b) Sabemos que: x= r cos=50 y= r sen=120 Na linha de corrente o =0 quando =0 e r=h=100: 0= r=130m tg= =1,18 rad

Sabemos que a vazo pode ser calculada atravs da diferena entre dois psis, Q= o - a, sendo o o ponto de estagnao teremos o =0.1112 m/s 1112 m/s

Q= o - a= Q= 319 m/s

28

6. Equao da continuidade e escoamentos (continuao)1 O escoamento sobre uma cabana pode ser aproximado pelo escoamento permanente, sem atrito, incompreensvel e da esquerda para direita sobre um cilindro circular estacionrio, de raio a, que pode ser representado pelo campo velocidade. Com Durante uma tempestade, a velocidade do vento (*=10-3) atinge 180 km/h; a temperatura externa 7,00C. Um barmetro dentro da cabana d uma leitura de 720mm de mercrio; a presso atmosfrica fora tambm de 720 mmHg. A cabana tem um dimetro de 6,0m e um comprimento de 24m. Determine a fora que tende a levantar a cabana das suas fundaes. Sabendo que

Soluo:

cilindro: r=a

Sendo, D=6m L=24m a=3m29

h=720mm=720.10-3m Achar P1: P=.g.h P1= *Hg.gua.g.h Substituindo os valores, P1=9,6 Pa

V1=180 km/h=50m/s e U0=50m/s Achar V2: Vr=0 V=-2.U0.sen |V|=2.U0.sen *=10-3 ento, =1 kg/m3 Achar : = .g =9,8 N/m3 Aplicando Bernoulli: H1=H2 z1=0 V1=U0 P1=9,6 z2=a.sen V2=2.U0.sen P2

Pa

Teremos ento,

Fica assim,

30

Achar Fa:

calculando,

obtm-se,

Achar Fs:

calculando,

obtm-se,

substituindo os valores,

2

Dado o perfil de velocidade

e sabendo que foi

medido com tubo de pitot uma velocidade V=0,3 m/s no ponto r=0,3a, calcule a vazo, sendo a=0,1m e 0ra.

Soluo:

31

r=0,3

Teremos,

Ento,

3 Dado um reservatrio com uma sada lateral,achar a vazo que sai quando o nvel do reservatrio no muda.(vazo ideal)

Soluo: Aplicando Bernoulli: H1=H2 z1=z V1=0 P1=Patm Videal= Pela continuidade: z2=0 V2 P2=Patm

32

4 Um grande reservatrio, com 4,0m de altura de gua, em forma cilndrica com dimetro de 3,2m, possui um pequeno orifcio lateralmente na sua base com dimetro de 6,0 cm. O reservatrio encontra-se a 1,8m do solo e quando o orifcio est aberto jorra gua a 2,0m de distncia do orifcio. O coeficiente de contrao do jato medido foi de 0,90. Pergunta-se: a) Qual o coeficiente de descarga do reservatrio, assumindo que o nvel do reservatrio no varia por um tempo de 1,5 horas? b)Quanto tempo leva para o nvel do reservatrio diminua de 1,0m? c) Para o caso do item (b) a idealizao do item (a) vlida?

Soluo:H=4m D=3,2m Cc=0,9 t=1,5 horas=5,4 seg d=6cm r=3cm=3.10-2m Ab=rea do bocal AR=rea do reservatrio -considera-se o reservatrio cheio

a) Cd=Cv.Cc Cd=Cv.0,9

33

achar Cv: temos que e que

substituindo os valores,temos

-ento, achar Cd: Cd=Cv.0,9

achar Ab:

achar AR:

- t>1,5 horas: o nvel do reservatrio varia, vamos considerar Q0=0

34

Taxa que entra - taxa que sai = taxa de variao interna 0Desenvolvendo, . . = =

Ento, (1) achar a:

achar zeq: -cosiderar t=1,01.(1,5horas) e z=0,99zeq t=1,01.5,4 t=5,45 ento, utilizando a equao (1) seg s

teremos,

Substituindo os valores ,

35

b)Utilizando a equao,

obtemos,

5 Para o escoamento de um fluido com propriedades fsicas constantes entre duas placas paralelas fixas, na horizontal, distantes 2 uma da outra, responda o que se segue assumindo que o escoamento devido a um gradiente de presso constante na direo X (dP/dX). a) Para y*=y/a e u=v/Ua, mostre que a equao de Navier-Stokes para o problema, depois de assumidas as idealizaes de COUETTE,pode ser escrita como: onde B uma constante que depende do gradiente de presso,a,Uo e da viscosidade. b) Ache uma expresso adimensional u, levando-se em conta as condies de contorno impostas ao problema. c) Um tubo de Pitot, colocado no centro das placas, indica uma leitura manomtrica de 20mmHg (*=13,6) para o fluido do problema anterior escoando entre as placas. Qual a vazo desse escoamento, sabendo-se que a=10 cm e U0 a velocidade medida no tubo de Pitot.

Soluo:- Condies:

36

- Analisando equao de NAVIER-STOKES:

como, substituindo temos,

ento,

a) Adimensionando: temos,

substituindo,

37

derivando,

derivando novamente,

b) Condies de contorno: 1) U|y*=1=0

2) V|y*=-1=038

ento,

c)-achar U0: manometria:

achar

:

Aplicando Bernoulli: H1=H2 z1=0 U0 P1 z2=0 V2=0 P2

substituindo os valores,

39

Para y=0 a velocidade mxima -dimensionando: y*=y/a e u=v/Ua substituindo em

temos,

-achar Vmx: como j foi dito Vmx ocorre quando y=0, ento

-achar Q:

substituindo valores,40

6 Usando o princpio da conservao de energia, determine o sentido do escoamento no interior do tubo mostrado na figura abaixo para o qual =8500 N/m3 e =0,05 kg/m.s e ache a vazo deste escoamento em litros por segundos. Dado: PA=20 kPa PB=30 kPa L=40 m D=10 cm Inclinao da tubulao:30

Soluo: Para analisar o sentido do escoamento preciso verificar em qual seo h maior energia, ento aplicaremos Bernoulli :

-pela equao da continuidade : e

41

ento,

consideramos ,

-analisando a energia no ponto A:

-analisando a energia no ponto B:

A energia em A maior que em B, o fludo escoa de A para B. Calculando a vazo: -condies:

-analisando equao de NAVIER-STOKES:

como, substituindo temos,

42

ento,

-condies de contorno: 3) V|r=0=Vmx c1=0 4) V|r=a=0

ento ,

-achar Q:

-achar K:

43

-achar Vmx:

substituindo os valores,

7- Uma correia larga se movimenta num tanque que contm um lquido viscoso do modo indicado na Figura. O movimento da correia vertical e ascendente e a velocidade da correia Vo. As foras viscosas provocam o arrastamento de um filme de lquido que apresenta espessura h. Note que a acelerao da gravidade fora o lquido a escoar, para baixo, no filme. Obtenha uma equao para a velocidade mdia do filme de lquido a partir das equaes de Navier Stokes. Admita que o escoamento laminar, unidimensional e que o regime de escoamento seja o permanete.

Soluo:

44

Ns s consideraremos o componente na direo y do vetor velocidade porque a formulao do problema estabelece que o escoamento unidimensional (assim, u=w=0). A equao da continuidade indica que permanente e ento direo z resulta em:

. O regime do escoamento o . Nestas condies ns encontramos quee

v= v(x). A aplicao da equao de Navier Stokes na direo x e na

.

Este resultado indica que a presso no varia em qualquer plano horizontal. Ainda possvel concluir que a presso no filme constante e igual a presso atmosfrica porque a presso na superfcie do filme (x=h) a atmosfrica. Nestas condies, a equao do movimento na direo y fica reduzida a:

Integrando a equao acima chegaremos a: Condies de contorno:

1

x=h=0:

A segunda integrao da equao,

, fornece:

2 V

x=0=V0:

Desta forma:

45

A vazo em volume na correia pode ser calculada com este perfil de velocidade:

A velocidade mdia do filme pode ser definida como

. Assim:

8- A gua escoa em um canal aberto, conforme indicado na figura abaixo. Dois tubos de Pitot esto em um manmetro diferencial contendo um lquido com *=0,82. Achar uA e uB. Dados: A=3 ft; B=2 ft; g=32,17 ft/s.

46