1

APOSTILA DE GEOMETRIA

� Tópicos de Geometria Plana

� Noções de Geometria Espacial

Professor: Paulo Soares Batista

Nome:_______________________________________________ 1- ÂNGULOS.............................................................................................................................................01 2- POLÍGONOS.........................................................................................................................................03 3- TRIÂNGULOS E TEMAS RELACIONADOS..................................................................................04 4- QUADRILÁTEROS..............................................................................................................................09 5- CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA.....................................................................................................10 6- ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS.......................................................................................................11 7- NOÇÕES BÁSICAS DE GEOMETRIA ESPACIAL........................................................................13 8- QUESTÕES OBJETIVAS....................................................................................................................17 9- QUESTÕES DISCURSIVAS................................................................................................................24 10- RESPOSTAS DAS QUESTÕES........................................................................................................29 1- ÂNGULOS Um conjunto de pontos, isto é, uma figura ou uma região, é convexo se, para todos os pares de pontos do conjunto, os segmentos formados estiverem inteiramente contidos no conjunto. Se uma região não é convexa ela é uma região côncava. Chama-se ângulo à reunião de duas semi-retas de mesma origem, não contidas numa mesma reta (não colineares).

Dois ângulos são consecutivos se um lado de um deles é também lado do outro(um lado de um deles coincide com um lado do outro). Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não têm pontos internos comuns.

2

Dois ângulos são opostos pelo vértice(o.p.v.) se os lados de um são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro.

AÔB e CÔD são opostos pelo vértice.

AÔB e CÔD são também congruentes.

EXEMPLOS 1- Vamos determinar o valor de a na figura seguinte:

2- Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n.

Bissetriz de um ângulo A bissetriz de um ângulo é uma semi-reta interna ao ângulo, com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.

EXEMPLOS 1- Calcule a medida do ângulo indicado por a: 2- Encontre o valor de x na figura abaixo: Ângulo reto Ângulo reto é todo ângulo congruente com seu suplementar adjacente. Ele mede 90º. Ângulo nulo Ângulo que tem os lados coincidentes. Ele mede 0º. Ângulo raso Ângulo cujos lados são semi-retas opostas. Ele mede 180º.

3

Ângulo agudo Ângulo maior que o ângulo nulo e menor que o ângulo reto. Sua medida varia entre 0º e 90º. Ângulo obtuso Ângulo maior que o ângulo reto e menor que o ângulo raso. Sua medida varia entre 90º e 180º. Ângulo de uma volta Um ângulo de 360 graus ou ângulo de uma volta é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa, este ângulo coincide com o ângulo de zero grau, mas possui a grandeza de 360º. 2- POLÍGONOS Polígono é a reunião de uma linha fechada simples formada apenas por segmentos de reta com a sua região interna.

� A palavra polígono é formada por dois termos gregos: poli = vários, muitos e gonos = ângulos.

� Os polígonos podem ser convexos e não-

convexos, de acordo com a sua região interna.

Nomenclatura De acordo com o número n de lados, alguns polígonos convexos recebem nomes especiais. Isto é: n = 3→ triângulo n = 4→ quadrilátero n = 5→ pentágono n = 6→ hexágono n = 7→ heptágono n = 8→ octógono n = 9→ eneágono n = 10→ decágono n = 11→ undecágono n = 12→ dodecágono n = 13→ tridecágono n = 14→ tetradecágono n = 15→ pentadecágono ...... n = 20→ icoságono Observação: O número de vértices de um polígono é igual ao número de lados. Ângulos em polígonos convexos Soma dos ângulos internos A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada pela expressão a seguir: Si = (n - 2).180º

EXEMPLOS

1-Calcule a soma das medidas dos ângulos internos do: a) pentadecágono b) octógono c) icoságono 2- Qual é o polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a 1260o? 3- Determine o valor de x nos polígonos abaixo: a)

4

b) 3- TRIÂNGULOS Dados três pontos A, B e C não de uma mesma reta (não alinhados ou não colineares), a união dos

segmentos chamamos triângulo ABC e indicamos por ∆ABC . Elementos de um triângulo VÉRTICES : são os pontos A, B e C.

LADOS: são os segmentos ÂNGULOS INTERNOS: são os ângulos

Classificação dos Triângulos Quanto aos lados Triângulo Equilátero: Possui todos os lados congruentes. Triângulo Isósceles: Possui dois lados congruentes. Triângulo Escaleno: Possui todos os lados diferentes.

Quanto aos ângulos Triângulo Acutângulo: Todos os seus ângulos são agudos. Triângulo Retângulo: Um de seus ângulos é reto. Triângulo Obtusângulo: Um de seus ângulos é obtuso. Soma dos ângulos internos de um triângulo “A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º”.

a + b + c = 180º

EXEMPLOS Encontre x nos triângulos a seguir: a) b)

5

c) d)

Ângulos de duas paralelas cortadas por uma transversal Dadas duas retas r e s paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos determinados por elas são assim determinados: ALTERNOS INTERNOS: (a e f) e (d e e)→ esses pares de ângulos são congruentes. ALTERNOS EXTERNOS: (b e g) e (c e h)→ esses pares de ângulos são congruentes. COLATERAIS INTERNOS: (a e e) e (d e f)→ esses pares de ângulos são suplementares. COLATERAIS EXTERNOS: (b e h) e (c e g)→ esses pares de ângulos são suplementares.

CORRESPONDENTES: (b e e) , (d e g) , (a e h) e (c e f)→ esses pares de ângulos são congruentes.

EXEMPLOS

1- Determine o valor de x nas figuras a seguir: a) b) c) a // b d)

6

2- Na figura, temos r // s. Calcule a medida do ângulo b. Semelhança de triângulos Definições

� Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (correspondentes) proporcionais.

� Dois lados homólogos são tais que cada um

deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes.

Razão de semelhança

Casos ou critérios de semelhança 1º CASO (AA) Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes. 2º CASO (LAL) Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes. 3º CASO (LLL) Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes. Algumas consequências dos casos de semelhança:

• A razão entre lados homólogos é k; • A razão entre os perímetros é k; • A razão entre as alturas homólogas é k; • E os ângulos homólogos são congruentes.

EXEMPLOS

1- Determine x e y, sabendo que os triângulos são semelhantes. 2- Se os ângulos com “marcas iguais” são congruentes, determine x.

7

3- Um edifício projeta uma sombra de 10 m ao mesmo tempo que um poste de 12 m projeta uma sombra de 4 m. Qual a altura do edifício, sabendo que o edifício e o poste são perpendiculares ao solo? O Teorema de Tales e aplicações Definições · Feixe de Paralelas: É um conjunto de retas pertencentes a um mesmo plano (coplanares) paralelas entre si. · Transversal do feixe de retas paralelas: É uma reta do plano do feixe que concorre com todas as retas do feixe. · Pontos correspondentes de duas transversais: São pontos destas transversais que estão numa mesma reta do feixe. · Segmentos correspondentes de duas transversais: São segmentos cujas extremidades são os respectivos pontos correspondentes. A e A’, B e B’, C e C’, D e D’ são pontos correspondentes.

AB e A’B’, CD e C’D’ são segmentos correspondentes. Teorema de Tales Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. No caso da figura acima, podemos dizer que:

Os segmentos correspondentes formam uma proporção.

EXEMPLOS 1- Um terreno foi dividido em lotes com frentes para a rua 1 e para a rua 2, como você vê na ilustração ao lado. As laterais dos terrenos são paralelas. 2- Ache o valor de x e y, sabendo que r, s e t são paralelas. a)

8

b) Relações métricas no triângulo retângulo Elementos Considerando um triângulo ABC, retângulo em A, e conduzindo AD perpendicular a BC, com D em BC, vamos caracterizar os elementos seguintes:

EXEMPLOS 1- Calcule o valor de x nos triângulos retângulos: a)

b) c) d) 2- Aplique as relações métricas nos triângulos retângulos a seguir e encontre a medida x indicada:

9

Aplicações importantes do Teorema de Pitágoras

Diagonal do quadrado: Seja d a diagonal de um quadrado de lado . Altura do Triângulo Equilátero: Seja h a altura de um triângulo equilátero de lado .

EXEMPLOS 1- Qual o comprimento da diagonal do quadrado de perímetro 24cm ?

2- Encontre a medida do lado l de um quadrado

cuja diagonal mede 3

28 cm.

3- Determine x nos triângulos equiláteros: a) b)

4- QUADRILÁTEROS Definição Considere quatro pontos A, B, C e D coplanares distintos, três a três não colineares (não alinhados),

de modo que os segmentos interceptam-se apenas nas extremidades. A reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero. TRAPÉZIO Um quadrilátero é um trapézio se, e somente se, tem dois lados paralelos. Os lados paralelos são chamados de bases. Classificação do trapézio Trapézio isósceles: É o trapézio cujos lados que não são bases são congruentes. Trapézio escaleno: É o trapézio cujos lados que não são bases, não são congruentes. Trapézio retângulo: É o trapézio que tem um lado não base perpendicular às bases e o outro oblíquo às bases. PARALELOGRAMO Um quadrilátero que possui os lados opostos respectivamente paralelos.

10

Recordando: “A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 360º”. 5- CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios. Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas. Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.

Comprimento de uma circunferência Quando somamos todos os lados de uma figura plana iremos obter o seu perímetro, no caso específico do círculo, o cálculo do seu perímetro é dado pelo comprimento da circunferência (contorno do círculo), pois um círculo é contornado por uma circunferência que é formada pela união das extremidades de uma linha aberta. O cálculo do comprimento da circunferência (perímetro) foi obtido da seguinte forma: como todas as circunferências são semelhantes entre si, ou seja, todas pertencem ao mesmo centro, foi concluído que a razão entre o comprimento (C) de qualquer circunferência pelo seu respectivo diâmetro (D) será sempre uma mesma constante. O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega π (lê-se "pi"). Costuma-se considerar π = 3,14.

11

2. lllS ==

EXEMPLOS 1- Determinar o comprimento de uma circunferência que tem 9 cm de raio. 2- Qual é o comprimento r do raio de uma circunferência que tem 18,84 cm de comprimento? 3- A roda de um automóvel tem 0,6 m de diâmetro. Nessas condições, responda: a) Qual será, aproximadamente, o comprimento da circunferência da roda? b) Se essa roda der 5000 voltas completas, de quantos metros será a distância percorrida pelo automóvel? 6- ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS Área é uma função que associa a cada figura um número positivo que representa a medida de sua superfície. Mais importante do que saber as “fórmulas” de área é entender o que represente a área de uma região plana. Admitindo a superfície de um quadrado de lado unitário como uma unidade quadrada, a área de uma região plana é o número que expressa a relação entre sua superfície e a superfície desse quadrado. Seja “u” a unidade de área:

Fácil compreender, portanto, que a área do retângulo seja o produto de suas duas dimensões. Um retângulo de dimensão 4cm por 3cm, por exemplo, tem 12cm² de área. Isto é, sua superfície equivale à superfície de 12 quadrados de lado 1cm.

S = 4.3

S = 12 cm2

PRINCIPAIS ÁREAS:

QUADRADO RETÂNGULO

PARALELOGRAMO

TRIÂNGULO

12

2RS π=

2

.dDS =

LOSANGO

TRAPÉZIO

CÍRCULO

COROA CIRCULAR

S = π( R2 – r2 )

EXEMPLOS 1- Determine a área dos polígonos nos casos abaixo, sendo o metro a unidade das medidas indicadas: a) Quadrado 6 6

13

2- Encontre o valor das áreas nos seguintes casos: (Obs.: Considere as medidas em m).

c) (Coroa Circular) 3- Calcule a área hachurada. O quadrado tem lados iguais a 6 cm.

7- NOÇÕES BÁSICAS DE GEOMETRIA ESPACIAL Sólidos geométricos Denominam-se sólidos geométricos as figuras geométricas do espaço. Entre os sólidos geométricos, destacamos, pelo seu interesse, os poliedros e os corpos redondos. Classificação dos sólidos geométricas A partir das características dos sólidos geométricos podemos fazer uma classificação: Poliedros: apresentam somente faces planas. Eles não rolam. Corpos redondos: apresentam partes não-planas (“arredondadas”);por isso rolam. Outros sólidos geométricos: Possuem partes não planas, mas não rolam. POLIEDRO Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro. Poliedros convexos e côncavos Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos. Isso não acontece no poliedro abaixo, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.

14

Classificação Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:

• tetraedro: quatro faces • pentaedro: cinco faces • hexaedro: seis faces • heptaedro: sete faces • octaedro: oito faces • icosaedro: vinte faces

Poliedros regulares

Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas. Existem cinco poliedros regulares: Tetraedro 4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas Hexaedro 6 faces quadrangulares 8 vértices 12 arestas Octaedro

8 faces triangulares 6 vértices

12 arestas Dodecaedro 12 faces pentagonais 20 vértices 30 arestas Icosaedro

20 faces triangulares 12 vértices 30arestas

Relação de Euler Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:

V - A + F = 2

em que: V é o número de vértices A é o número de arestas F, o número de faces. Observe os exemplos: V = 8 A = 12 F= 6 8 - 12 + 6 = 2

V = 12 A = 18 F = 8 12 - 18 + 8 = 2

EXEMPLOS

Lembre-se: Nos poliedros convexos é válida a seguinte relação: 1- Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12. Calcular o número de arestas. 2- Determinar o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com seis faces quadrangulares e quatro faces triangulares.

V - A + F = 2

15

PRISMA Elementos do prisma Dado o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:

• bases:as regiões poligonais R e S.

• altura:a distância h entre os planos • arestas das bases:os lados ( dos polígonos)

• arestas laterais:os segmentos

• faces laterais: os paralelogramos AA'BB',

BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A

Classificação

Um prisma pode ser:

• reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;

• oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Veja: prisma reto prisma oblíquo Paralelepípedo Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:

a) paralelepípedo oblíquo b) paralelepípedo reto Paralelepípedo retângulo Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas. Área total Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:

ST = 2( ab + ac + bc) Volume Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1: Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:

V = abc

16

Cubo Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes (a = b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados. Área total A área total ST é dada pela área dos seis quadrados de lado a:

ST = 6a2

Volume De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:

V= a . a . a = a3

EXEMPLOS 1- Considerando o cubo abaixo, determine: a) o seu volume, em cm3.

b) sua área total. 2- Um aquário possui o formato de um paralelepípedo com as seguintes dimensões:

Determine quantos litros de água são necessários para encher o aquário. 3- Um determinado bloco utilizado em construções tem a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões são 25cm, 15cm e 10cm. Pretende- se transportar blocos desse tipo num caminhão cuja carroceria tem, internamente, 4m de comprimento por 2,5m de largura e 0,6m de profundidade. No máximo, quantos blocos podem ser transportados numa viagem, de modo que a carga não ultrapasse a altura da carroceria?

4- Um reservatório em formato de paralelepípedo retângulo tem 10 m de largura e 12 m de comprimento. Sabendo que sua área total vale 416 m2, qual é o valor da altura deste reservatório? “Lembre-se:

ST = 2( ab + ac + bc)

17

8- QUESTÕES OBJETIVAS 1- Na figura, o valor de x é: a) ( ) 50º

b) ( ) 25 º c) ( ) 11 º d) ( ) 8 º

2- No triângulo ABC, o ângulo B mede o triplo do ângulo C e o ângulo A mede o dobro do ângulo B. Qual é a medida do ângulo B? a) ( ) 18º b) ( ) 36º c) ( ) 48º d) ( ) 54º e) ( ) 90º 3- (SARESP) O encosto da última poltrona de um ônibus, quando totalmente reclinado, forma um ângulo de 30º com a parede do ônibus (veja a figura). O ângulo a na figura mostra o maior valor que o encosto pode reclinar. O valor de a é: a) ( ) 50º b) ( ) 90º c) ( ) 100º d) ( ) 120º 4- – Se o triângulo ACD é retângulo e isósceles,

então o ângulo DCB ˆ mede: a) ( ) 100º b) ( ) 105º c) ( ) 110º d) ( ) 115º e) ( ) 120º 5- Se um polígono é regular e tem dez lados, então cada um dos seus ângulos internos mede: a) ( ) 144º b) ( ) 140º c) ( ) 135º d) ( ) 130º e) ( ) 120º

6- Qual polígono tem a soma de seus ângulos internos valendo 1800º? a) ( ) pentágono b) ( ) hexágono c) ( ) octógono d) ( ) decágono e) ( ) dodecágono 7- (OBMEP) Falta um ângulo – Na figura dada,

TU = SV. Quanto vale o ângulo UVS , em graus? a) ( ) 30 b) ( ) 50 c) ( ) 55 d) ( ) 65 e) ( ) 70 8- (ESPCAR) Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo x é igual a: a) ( ) 230º b) ( ) 225º c) ( ) 220º d) ( ) 210º 9- (SARESP) Na figura, o triângulo BDC é eqüilátero e o triângulo ABD é isósceles (AB =

BD). A medida do ângulo interno A é igual a: a) ( ) 20º b) ( ) 30º c) ( ) 45º d) ( ) 60º

18

10- (ESPCAR) Sabendo-se que os ângulos internos de um triângulo são diretamente proporcionais aos números 2, 3e 4, tem-se que suas medidas valem: a) ( ) 40º, 60º e 80º b) ( ) 30º, 50º e 100º c) ( ) 20º, 40º e 120º d) ( ) 50º, 60º e 70º 11- (Cesgranrio) Na figura, as retas r e r’ são paralelas, e a reta s é perpendicular à reta t. A medida, em graus, do ângulo a é: a) ( ) 36º b) ( ) 32º c) ( ) 24º d) ( ) 20º e) ( ) 18º 12- (UFGO) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é: a) ( ) 20º b) ( ) 80º c) ( ) 100º d) ( ) 120º e) ( ) 130º 13- (UEBA) Na figura abaixo AB = 8, MN = 2 e MC = 3. Se MN é paralelo a AB , o segmento AM mede: a) ( ) 8 b) ( ) 10 c) ( ) 12 d) ( ) 9 e) ( ) 6 14- (UNAMA-PA) A incidência dos raios solares faz com que os extremos das sombras do homem e da árvore coincidam. O homem tem 1,80m de altura e sua sombra mede 2 m. Se a sombra da árvore mede 5m, a altura mede:

a) ( ) 6.3 m b) ( ) 4, 5 m c) ( ) 7,8 m d) ( ) 3,6 m e) ( ) 2,7 m 15- (COVEST-PE) A figura a seguir ilustra dois terrenos planos. Suponha que os lados AB e BC são paralelos, respectivamente, a DE e EF e que A, D, F, C são pontos colineares. Qual a distância AC, em metros? a) ( ) 75 b) ( ) 76 c) ( ) 78 d) ( ) 79 e) ( ) 80 16- (UFRS) Para estimar a profundidade de um poço com 1,10m de largura, uma pessoa cujos olhos estão a 1,60m do chão posiciona-se a 0,50m de sua borda. Desta forma, a borda do poço esconde exatamente seu fundo, como mostra a figura.

19

Com os dados acima, a pessoa conclui que a profundidade do poço é: a) ( ) 2,82 m b) ( ) 3,00 m c) ( ) 3,30 m d) ( ) 3,52 m e) ( ) 3,85 m 17- Na figura, os segmentos BC e DE são paralelos, AB = 30 m, AD = 10 m e AE = 12 m. A medida do segmento CE é, em metros: a) ( ) 20 b) ( ) 24 c) ( ) 28 d) ( ) 32 18- Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são paralelas, AB = 6 cm, BC = x, DE = 4 cm e DF = x + 3. A medida de x, em centímetros é: a) ( ) 2 b) ( ) 3 c) ( ) 4 d) ( ) 6 e) ( ) 9 19- Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são paralelas, AD = 5 cm, BC = 4 cm e DF= 6 cm. A medida do segmento BE, em centímetros, é: a) ( ) 4,8 b) ( ) 6 c) ( ) 7,2 d) ( ) 8,8 e) ( ) 9,6

20- Qual é o valor, em cm, da medida x indicada no triângulo a seguir?

a) ( ) 13 b) ( ) 12 c) ( ) 11 d) ( ) 10 21- (UMC-SP) Uma escada medindo 4 metros tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4 m da base do muro. A altura desse muro é: a) ( ) 2,3 b) ( ) 3,0 c) ( ) 3,2 d) ( ) 3,8 22- (OBM) No triângulo PQR, a altura PF divide o lado QR em dois segmentos de medidas QF = 9 e RF = 5. Se PR = 13, qual é a medida de PQ? a) ( ) 5 b) ( ) 10 c) ( ) 15 d) ( ) 20 e) ( ) 25

20

23- (Ceeteps – SP) A medida da diagonal da tela de uma televisão determina as polegadas da TV. Uma televisão cuja tela mede 30 cm por 40 cm possui: a) ( ) 29 polegadas b) ( ) 20 polegadas c) ( ) 18 polegadas d) ( ) 16 polegadas Lembrete: 1 polegada = 2,5 cm 24- (SENAI) A figura abaixo representa uma praça: Um ciclista gosta de percorrer o trecho AB, BC e CA. A cada volta completa ele percorre: a) ( ) 130 m. b) ( ) 120 m. c) ( ) 110 m. d) ( ) 100 m. e) ( ) 90 m. 25- (SENAI) Uma fábrica de cerâmica fabrica lajotas na forma de um triângulo eqüilátero como mostra a figura.

Para que a área de cada lajota seja igual a 349 cm2, o lado do triângulo deverá medir: a) ( ) 35 cm b) ( ) 28 cm c) ( ) 21 cm d) ( ) 14 cm e) ( ) 7 cm

26- (SENAI) O sistema UTM, utilizado pelos pilotos de corrida de rali, faz com que qualquer ponto da Terra possa ser identificado por um sistema cartesiano de coordenadas (x, y). Suponha que o ponto inicial de um rali seja dado pelas coordenadas A (4, 6). Ao visualizar as coordenadas B (10, 14), o piloto percorreu a distância AB, em unidades de comprimento igual a:

a) ( ) 10 b) ( ) 30 c) ( ) 50 d) ( ) 60 e) ( ) 80 27- (SENAI) Imagine um sistema cartesiano de coordenadas (x, y) colocado sobre uma mesa de bilhar, conforme indica a figura. Nesse sistema, a bola que será lançada se encontra no ponto A, de coordenadas (20, 12). As coordenadas do ponto onde a bola lançada deverá bater é B (36, 0). A distância AB percorrida pela bola, em unidades de comprimento, corresponde a: a) ( ) 20 b) ( ) 28 c) ( ) 56 d) ( ) 72 e) ( ) 86

21

28- (SENAI) Deverá ser construído um muro, em volta de uma pista de patins no gelo, como indica a figura. Se o metro linear construído do muro, custa R$ 300,00, o total a ser pago pela construção será: a) ( ) R$ 15900,00 b) ( ) R$ 19500,00 c) ( ) R$ 20600,00 d) ( ) R$ 22500,00 e) ( ) R$ 35400,00 29- (ANRESC) No centro de uma cidade é construída uma praça circular com uma passarela central de 50 m de comprimento, como mostra a figura. a) ( ) 25 m. b) ( ) 50 m. c) ( ) 100 m. d) ( ) 200 m. 30- (SARESP) Medi o comprimento da roda de minha bicicleta e, a seguir, calculei a razão entre esta medida e o diâmetro da roda, encontrando um número entre: a) ( ) 2 e 2,5 b) ( ) 2,5 e 3 c) ( ) 3 e 3,5 d) ( ) 3,5 e 4 31- (SENAI)Tenho uma cartolina retangular de dimensões 50 cm x 40 cm. Com essa cartolina quero construir um losango, como indica a figura abaixo.

A área desse losango, em cm2, será: a) ( ) 500 b) ( ) 1000 c) ( ) 1200 d) ( ) 1500 e) ( ) 2000 32- (SENAI) Um terreno quadrado com lado medindo 20 m será dividido em três lotes, conforme mostra a figura:

A área do lote II deverá medir:

a) ( ) 100 m2. b) ( ) 150 m2. c) ( ) 200 m2. d) ( ) 250 m2. e) ( ) 300 m2. 33- (SENAI) Uma estufa para mudas, quando vista de cima, conforme a figura abaixo, será dividida em quadrados com 50 cm de lado, em cada quadrado da divisão serão cultivadas 18 mudas. Então, o total de mudas cultivadas nessa estufa será:

22

a) ( ) 1.440 b) ( ) 1.320 c) ( ) 1.280 d) ( ) 1.200 e) ( ) 1.180 34- (SENAI) Uma sala em forma de L, conforme a figura abaixo, será revestida com lajotas quadradas de 40 cm de lado. Se o preço de cada lajota é R$ 1,65, o valor gasto nesse revestimento será de: a) ( ) R$ 105,60. b) ( ) R$ 247,50. c) ( ) R$ 353,10. d) ( ) R$ 393,60. e) ( ) R$ 495,20. 35- (OBMEP) Placa decorativa – Uma placa decorativa consiste num quadrado branco de quatro metros de lado, pintado de forma simétrica com partes em cinza, conforme a figura. Qual é a fração da área da placa que foi pintada? 36- (CPFO-SP) Se a base de um retângulo mede 7 cm e o perímetro mede 19 cm, então, a sua área vale: a) ( ) 9,5 cm2 b) ( ) 17,5 cm2 c) ( ) 35 cm2 d) ( ) 84 cm2

37- A área da figura hachurada, no diagrama, vale: a) ( ) 4,0 b) ( ) 3,5 c) ( ) 3,0 d) ( ) 4,5 e) ( ) 5,0 38- (ANRESC) Quantos quilogramas de semente são necessários para semear uma área de 10 m x 24 m, observando a recomendação de aplicar 1 kg de semente por 16 m2 de terreno?

a) ( ) 15

1

b) ( ) 1,5 c) ( ) 2,125 d) ( ) 15 39- (CEFET-MG) No retângulo ABCD os lados AB e BC medem, respectivamente, 16 cm e 10 cm e E e F são pontos médios dos segmentos. A área do triângulo CEF, em cm2, é a) ( ) 20 b) ( ) 40 c) ( ) 60 d) ( ) 80 40- (CEFET-MG) Sabendo-se que os polígonos ABCD, EFGH e IJLM são quadrados, a área hachurada na figura abaixo, em cm2, é igual a:

23

a) ( ) 1 b) ( ) 2 c) ( ) 3 d) ( ) 4 41- Quanto medem as arestas de um cubo cuja área total é de 600 cm2?

a) ( ) 6 cm

b) ( ) 10 cm c) ( ) 6 cm d) ( ) 10 cm 42- Uma face de um cubo tem área 81cm2. Seu volume é: a) ( ) 9cm3. b) ( ) 81cm3. c) ( ) 180cm3. d) ( ) 243cm3. e) ( ) 729cm3. 43- (FAFI-MG) As dimensões de uma piscina olímpica são: 50m de comprimento, 25m de largura e 3m de profundidade. O seu volume, em litros, é: a) ( ) 3750. b) ( ) 37500. c) ( ) 375000. d) ( ) 3750000. e) ( ) 37500000. 44- (CESCEA-SP) Se a soma das arestas de um cubo é igual a 72 cm, então o volume do cubo é igual a: a) ( ) 100 cm3. b) ( ) 40 cm3. c) ( ) 144 cm3. d) ( ) 16 cm3. e) ( ) 216 cm3.

45- (FUVEST-SP) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10cm e 6cm, são levados juntos à fusão e, em seguida, o alumínio é moldado como um paralelepípedo reto-retângulo de arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de x é: a) ( ) 20 b) ( ) 19 c) ( ) 18. d) ( ) 17 e) ( ) 16 46- (SENAI) Na entrada da cidade de Fluidópolis, foi construído um obelisco composto de um pedestal de concreto e cubos metálicos maciços, formando a inicial da cidade, conforme a figura a seguir. Se cada cubo tem aresta de 50 cm, o volume de metal usado nos cubos que compõem esse obelisco foi de: a) ( ) 3,000 m3. b) ( ) 2,725 m3. c) ( ) 2,000 m3. d) ( ) 1,575 m3. e) ( ) 1,000 m3. 47- (SENAI) Na praça central de uma cidade foi construído um obelisco, em forma de cruz, conforme a figura. A cruz é compacta e construída com cubos de alumínio de arestas iguais a 80 cm. O volume de alumínio usado para construir somente a cruz foi de: a) ( ) 5,12 m3. b) ( ) 4,80 m3. c) ( ) 4,48 m3. d) ( ) 4,16 m3. e) ( ) 3,84 m3.

24

9- QUESTÕES DISCURSIVAS Ângulos 1- As figuras mostram um quadrado ABCD e um hexágono regular CDEFGH.

Determine, em graus, a medida do ângulo EDA ˆ . 2- Na figura, as retas r e s são paralelas. Determinar os valores de a, b, c e d.

Semelhança de triângulos 3- (UNICAMP) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto, em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após ter caminhado 12,3 metros sobre a rampa, está a 1,5 metro de altura em relação ao solo. Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.

4- Em um terreno de forma triangular deve-se construir uma quadra retangular, de acordo com a ilustração. Se a e b representam, em metros, as dimensões da quadra, determine-os. Teorema de Pitágoras 5- (FUVEST-SP) Uma escada de 25 dm de comprimento se apóia num muro do qual seu pé dista 7 dm. Se o pé da escada se afastar mais 8 dm do muro, qual o deslocamento verificado pela extremidade superior da escada?

25

6- (CEFET-PR) Em um acampamento escoteiro, num certo momento, a atividade que se desenvolvia em um terreno plano visava o treinamento do uso da bússola. A escoteira Rosa Dosven Tussin partiu de um ponto A e andou no sentido Norte, 137 passos até o ponto B. Em seguida caminhou 21 passos, no sentido Oeste, até o ponto C e, depois, 165 passos, no sentido Sul, até o ponto final D. Lá chegando, encontrou um tesouro: uma caixa de chocolate “Tris”. A que distância do ponto A, de partida, estava escondido o tesouro? Círculo e Circunferência 7- (UFMA) No relógio da torre de uma igreja, o ponteiro maior mede 2 m. Em quanto tempo a ponta desse ponteiro percorre 5π metros? Áreas das figuras planas 8- As dimensões de um terreno retangular são: 80 m de comprimento por 12 m de largura. Em um

outro terreno, a medida do comprimento é 80% da medida do comprimento do primeiro. Se ambos têm a mesma área, qual a largura do segundo terreno? 9- (CPFO) Qual a área da região colorida? Use π = 3,14. Paralelepípedo 10- A superfície lateral de um prisma de base quadrada é feita com uma folha de cartolina de 30 cm por 40 cm. Sabendo-se que a altura do sólido é 30 cm, pergunta-se: a) Quantos centímetros tem o lado do quadrado da base do prisma? b) Quantos centímetros quadrados de cartolina no total foram gastos na construção desse sólido?

26

QUESTÕES DISCURSIVAS – OBMEP

As questões a seguir foram obtidas de materiais

das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas.

Encare as questões como desafios e persista na busca por soluções!

11- Triângulo isósceles – Na figura, o triângulo

ABC∆ é isósceles, com º20=BÂC . Sabendo que BC = BD = BE, determine a medida do

ângulo EDB ˆ . 12- Ângulos e perímetro – Calcule os ângulos que não estão indicados e o perímetro da figura, sabendo

que BD = BC e CBD ˆ = DCB ˆ . 13- Área – Um lote retangular foi divido em quatro terrenos, todos retangulares. As áreas de três deles estão dadas na figura, em km2. Qual é a área do lote?

14- Ângulos em função de x – Na figura estão indicadas, em graus, as medidas de alguns ângulos em função de x. Quanto vale x? 15- Região sombreada - A figura mostra um retângulo formado por 18 quadrados iguais com algumas partes sombreadas. Qual é a fração da área do retângulo que está sombreada? 16- A casa da Rosa – A figura mostra a planta da casa da Rosa. O quarto e o quintal são quadrados. Qual é a área da cozinha?

27

17- A figura mostra um dodecágono regular decomposto em seis triângulos equiláteros, seis quadrados e um hexágono regular, todos com lados de mesma medida. a) Se cada triângulo da figura tem área igual a 1 cm2, qual é a área do hexágono? b) A figura abaixo foi obtida retirando doze triângulos eqüiláteros de um dodecágono regular cujo lado mede 1 cm. Qual é a área dessa figura? c) A figura abaixo foi obtida retirando dois hexágonos regulares de um dodecágono regular cujo lado mede 1 cm. Qual é a área dessa figura?

18- Triângulos e ângulos. . . – Determine os ângulos α e β dados na figura. 19- Poste elétrico – Uma companhia de eletricidade instalou um poste num terreno plano. Para fixar bem o poste, foram presos cabos no poste, a uma altura de 1,4 metros do solo e a 2 metros de distância do poste, sendo que um dos cabos mede 2,5 metros, conforme a figura. Um professor de Matemática, após analisar estas medidas, afirmou que o poste não está perpendicular ao solo. Você acha que o professor está certo? Justifique sua resposta. 20- Discos de papelão – Para fabricar nove discos de papelão circulares para o Carnaval usam-se folhas quadradas de 10 cm de lado, como indicado na figura. Qual é a área (em cm2) do papel não aproveitado? (Use π = 3,1)

28

21- Triângulos impossíveis – Quais dessas figuras estão erradas? 22- Dividindo o paralelepípedo – Um bloco de madeira na forma de um paralelepípedo retângulo tem 320 cm de comprimento, 60 cm de largura e 75 cm de altura. O bloco é cortado várias vezes, com cortes paralelos às suas faces, de modo a subdividi-lo em blocos menores, todos na forma de paralelepípedos retângulo de 80 cm de comprimento por 30 cm de largura por 15 cm de altura.

� Figura Questão 22 a) Quantas peças foram obtidas? b) Um metro cúbico dessa madeira pesa aproximadamente 900 kg. Qual é o peso de cada uma dessas peças? 23- Pedro gasta 1 mL de tinta cinza para pintar 100 cm² de superfície. a) O sólido da figura foi feito colando uma face de um cubo de aresta 10 cm em uma face de um cubo de aresta 20 cm. Quantos mL de tinta Pedro precisa para pintar esse sólido?

29

b) Pedro gastou 54 mL de tinta para pintar um cubo e depois dividiu esse cubo pintado em dois blocos retangulares iguais, como na figura. Quantos mL a mais de tinta ele gastará para acabar de pintar esses dois blocos? 24- Quadrado, Pentágono e Icoságono. A figura mostra parte de um polígono regular de 20 lados (icoságono) ABCDEF..., um quadrado BCYZ e um pentágono regular DEVWX.

Determine a medida do ângulo CDY ˆ .

10- RESPOSTAS DAS QUESTÕES

QUESTÕES DISCURSIVAS

1) 150º 2) a = 70º, b = 30º, c = 80º, d = 70º

3) 20,5 m 4) a = 54 m e b = 4 m 5) 4 dm 6) 35 passos 7) 1 hora 15 min 8) 15 m 9) 21,5 cm2 10) a) 10 cm b) 1400 cm2 11) 60º 12) Perímetro: 696 m Ângulos não indicados: 128º, 80º, 60º, 60º, 60º 13) 225 Km2 14) 18º

15) 9

4 16) 16 m2

17) a) 6 cm2 b) 6 cm2 c) 6 cm2 18) º85º120 == βα e

19) Correto.(Apresente sua justificativa !) 20) 22,5 cm2 21) Todas.(Apresente sua justificativa !) 22) a) 40 peças b) 32,4 Kg 23) a) 28 mL b) 18 mL 24) 54º

QUESTÕES OBJETIVAS 1 C 17 B 33 A 2 D 18 B 34 C 3 D 19 D 35 C 4 B 20 A 36 B 5 A 21 C 37 D 6 E 22 C 38 D 7 D 23 B 39 C 8 C 24 B 40 A 9 B 25 D 41 D 10 A 26 A 42 E 11 E 27 A 43 D 12 C 28 B 44 E 13 D 29 A 45 B 14 B 30 C 46 C 15 C 31 B 47 A 16 D 32 C