2a. Apostila de Gravitação A Gravitação Universal

Da época de Kepler até Newton

houve um grande avanço no pensamento científico. As indagações dos cientistas ingleses giravam em torno da questão: Que espécie de força o Sol exerce sobre os planetas, obrigando-os a moverem-se de acordo com as leis de Kepler? .

Newton começou seus estudos aplicando ao movimento da Lua a Lei da Inércia, a Lei Fundamental e a Lei da Ação e Reação (3 leis de Newton).

Em seguida, baseado nas 3 leis de Kepler, Newton responde à questão do movimento dos planetas. Foi assim que ele chegou à lei da Gravitação Universal:

Um corpo qualquer atrai outro exercendo sobre ele uma força gravitacional, dirigida ao longo da linha reta imaginária que une os dois corpos. O valor da força é diretamente proporcional às massas dos dois corpos e é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os corpos.

As forças aparecem aos pares: se um corpo atrai outro, é também atraído pelo outro.

A Matemática ajuda a descrever a lei de gravitação universal. A linguagem matemática é a maneira mais adequada para exprimir as leis da Física porque é resumida, clara e elegante. Em linguagem matemática, o valor da força gravitacional é:

2d

MmGF

Em que G é uma constante, M é a massa do primeiro corpo, m é a massa do segundo corpo e d é a distância entre os centros dos dois corpos. A constante G é a mesma em todo o universo e em todas as ocasiões, chamando-se por isso

constante de gravitação universal e tem o valor de 2

211107,6

Kg

Nmx

.

Note que a constante possui um valor extremamente pequeno. Para que a intensidade da força gravitacional seja considerável, é preciso que uma das massas seja muito grande.

Assim, a Terra atrai uma pedra e a pedra atrai a Terra com uma força de mesma intensidade, mesma direção e sentido contrário. Por que é a pedra que se movimenta em direção à Terra e não o contrário?

Isso se dá porque a força de atração entre a Terra e a pedra (peso) é suficiente para arrastar a pedra, mas é insuficiente pra arrastar a Terra visto que a massa desta é muito maior.

Como matéria atrai matéria, a Terra atrai a Lua que possui um terço da massa da Terra.

Por que é que a Lua não cai para a Terra tal qual uma pedra? Por que é que a Terra não cai para o Sol? E por que é que o Sol não cai para o centro da Galáxia?

A Órbita

Imagine que estamos no alto de uma torre muito elevada e atiramos uma pedra horizontalmente no espaço. A trajetória da pedra será encurvada para baixo por causa da gravidade e a pedra atingirá o solo a uma certa distância da torre. Quanto maior for o impulso com o qual atiramos a pedra, menos encurvada será sua trajetória. Podemos imaginar que a pedra seja atirada com tanta violência que o encurvamento da trajetória seja exatamente igual à curvatura da superfície da Terra, que é esférica.

Nesse caso, a pedra nunca atingiria a superfície porque à medida que sua trajetória se encurvasse, a superfície da Terra se encurvaria da mesma maneira. Seria como se tivéssemos atirado a pedra além do horizonte. Se o ar não a retardasse, a pedra percorreria uma órbita em torno da Terra como um satélite. Esse é e princípio em que se baseia o lançamento de satélites. Num lançamento típico, o primeiro estágio do foguete eleva o satélite acima da atmosfera e uma segunda explosão o coloca em movimento horizontal. Vemos, assim, como o movimento de queda de um objeto pode transformar-se em um movimento orbital em volta da Terra desde que o objeto receba um forte empurrão horizontal.

A Lua está na verdade em queda constante, com a mesma curvatura da Terra, ou seja, a Lua está em órbita.

Qualquer corpo se move no sentido do vetor velocidade e não no sentido da força de atração gravitacional (peso).

Repare numa pedra que é atirada ao ar. A pedra começa por subir, apesar da força gravitacional ser vertical e para baixo.

Se ignorarmos a força de resistência do ar, a única força atuante é a força gravitacional (peso), praticamente constante para uma pedra arremessada na superfície, sempre a apontar para o centro da Terra. A pedra sobe em virtude das condições com que foi lançada.

A certa altura, a pedra inverte o sentido da sua velocidade e começa a descer, caindo cada vez mais depressa devido à força estar voltada no mesmo sentido do vetor velocidade.

Agora imagine uma pedra enviada obliquamente para o ar: a pedra segue uma linha curva, apesar da força gravitacional ser sempre para o centro da Terra.

Para o caso de órbitas, a força gravitacional (peso) atua como resultante centrípeta, não alterando o valor da velocidade em módulo e garantindo o Movimento Curvilíneo.

Campo Gravitacional

O Campo Gravitacional é uma perturbação no espaço causada pela presença de um copo de massa M.

Pode-se evidenciar a existência de um campo gravitacional através da força que surge sobre outro corpo colocado na região do campo.

A Terra cria no espaço à sua volta um campo gravitacional, pois

qualquer corpo em suas proximidades é atraído por ela através da força dada

por 2d

MmGF .

No ponto em que se encontra o corpo atraído pela Terra há um vetor campo

gravitacional g , cuja intensidade é dada pelo quociente entre a Força gravitacional e a massa do corpo:

F = mg

então,

m

Fg

2d

MGg

md

MGF

2

então: gmF que é a definição da força gravitacional P = mg.

EXERCÍCIOS DE GRAVITAÇÃO

1 (FEI) A força de atração entre dois corpos de massas M e m, separados

pela distância d, tem, segundo Newton, a intensidade md

MGF

2 . O valor

de G para um corpo na superfície da Terra, no SI, vale 2

211107,6

Kg

Nmx . Qual o

valor de G para um corpo na superfície da Lua?

2 Um planeta imaginário X, tem a metade da massa da Terra e move-se em torno do Sol em uma órbita igual à da Terra. A intensidade da força gravitacional entre o Sol e X é, em comparação à intensidade dessa força entre o Sol e a Terra:

a) o quádruplo b) o dobro c) a metade d) um quarto e) a mesma

3 (UFMA) Seja F a força de atração do Sol sobre um planeta. Se a massa do Sol se tornasse 3 vezes maior, a do planeta, cinco vezes maior, e a distância entre eles fosse reduzida à metade, a força de atração entre o Sol e o planeta passaria a ser:

a)3F b)15F c)7,5F d)60F

4 Um corpo de 6 kg encontra-se a uma altura igual ao dobro do raio terrestre. Considerando que na superfície terrestre a aceleração de gravidade é

210

s

m, o peso desse corpo na altura citada é, aproximadamente de:

5 Determine a intensidade do campo gravitacional a uma altura igual a 3 raios terrestres. (g na superfície = 10N/kg)

6 A intensidade da força gravitacional entre duas esferas idênticas de massa m é F = 16N. Substituindo uma das esferas por outra de massa 2m e reduzindo a distância entre elas pela metade, determine a intensidade da força gravitacional.

Gabarito

1 resposta na teoria do início da apostila. 2 a metade 3 60F 4 6,6N 5 0,625 2/ sm 6

128N

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