Apostila de Introdu o L Gica

8/4/2019 Apostila de Introdu o L Gica

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SUMRIO

PREFCIO 02

UNIDADE I 03CAPTULO I A Lgica e o cotidiano 03O TRUQUE DAS CARTAS 03O PROBLEMA DO LEITE 03O PARADOXO DO QUEIJO 03A LGICA DO DIA-A-DIA 04

CAPTULO II A Lgica e sua histria 05A RAZO E A LGICA 05A LGICA 12A LGICA MATEMTICA 13A HISTRIA DA LGICA 13

SITEOGRAFIA 16

UNIDADE II 17CAPTULO I Noes de Lgica Matemtica 17CLCULO PROPOSICIONAL 17A LGEBRA DOS CONJUNTOS 20TAUTOLOGIA E CONTRA -TAUTOLOGIA 24

CAPTULO II A Falcia 54DEFINIO 54

CAPTULO III A Lgica Fuzzy 57HISTRICO 57INTRODUO 58TEORIA DOS CONJUNTOS TRADICIONAIS 59TEORIA DOS CONJUNTOS FUZZY 62LGICA FUZZY 64PROPOSIES FUZZY 64SITEOGRAFIA 69

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Prefcio

Se... ento..., Se e somente se, portanto, logo, caso contrrio, segue-seque...So alguns dos termos que comea a fazer parte do dia a dia do estudante de nvelsuperior quando inicia sua graduao em matemtica.Na sua grande maioria, na qual eu mesmo me incluo, estes termos no soclaramente explicados pelos professores e quase somos forados a engoli-los, aceit-los e qui compreende-los. O prprio professor mais vtima que algoz, pois tambmfoi obrigado a digeri-los sob a presso tcita de que se no conseguisse teriaclaramente errado de rea.Este curso tem como objetivo principal proporcionar, a todos aqueles que esto em

contato com a matemtica, a percepo e aprofundamento na sua base lgico-racional. Podendo ento estruturar-se em compreenso mais apurada do passo apasso que constitui a linguagem desta bela cincia.Veremos tambm que a lgica est no nosso dia-a-dia, em nossa linguagem, na formade compreendermos o mundo que nos cerca e que o seu estudo nos trar benefcioscomo, por exemplo a organizao de nossas vidas.Bem-vindos ao mundo do verdadeiro ou falso ou ser que existe uma outrapossibilidade?

Prof. Henrique Reffert

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UNIDADE I

Captulo 1 A Lgica e o cotidiano

Introduo

O truque das cartas

Escolher dentre seis cartas que aparecem no vdeo apenas uma. Observe que ela vaiser retirada sem que de antemo se saiba qual foi a que voc escolheu. Qual a lgicapor detrs do truque?

Problema do leite

O Sr. Arquiticlnio leiteiro tinha oito litros de leite e precisava repartir metade para o Sr.Agronopolos e metade para a D. Bereniatriz. Mas ele s dispunha de 3 vasilhas, umade oito litros, onde estava o leite, e outras duas vazias, uma de cinco e outra de trslitros. Usando somente essas vasilhas, como ele poder fazer a separao desse leitepara os seus fregueses?

O Paradoxo do queijo

Vamos mostrar o fato de que para queijos com furos quanto mais queijo tivermos,menos queijo teremos.

A Lgica do dia-a-dia Algoritimizando a vida.

muito comum escutarmos no nosso dia-a-dia que determinado fato lgico ou quealgo no faz sentido, por exemplo:Esperar para atravessar uma avenida muito movimentada quando o sinal ficavermelho para os carros algo muito lgico, mas ver uma galinha esperar paraatravessar a mesma via aps o sinal ficar vermelho algo inesperado.A lgica est associada ao senso comum, necessidade de poder controlarsituaes, compreender um fato, saber como atuar para esperar determinadoresultado, enfim, a lgica est o tempo todo em nosso cotidiano.

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Voltemos mais uma vez situao de atravessar uma via. Podemos querer convenceruma criana de que se deve aguardar o sinal ficar vermelho para os carros, para quese possa atravessar a mesma. Siga o dilogo abaixo:

Pai, por que ns no podemos atravessar a rua mesmo no sinal verde.

Teobaldozinho, se atravessarmos quando ele estiver verde, ento a probabilidadede sermos atropelados maior.

Nesta conversa, observamos um caso tpico de raciocnio lgico com uma sentenado tipo se..., ento...

Aprofundando um pouco mais a situao de atravessarmos uma rua poderemos atalgoritimizar o processo.

(Construir com os estudantes o algortimo de atravessar uma rua)

DINMICAFormar vrias equipes e escolher uma situao para cada equipe para seralgoritimizada.

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Captulo 2 A Lgica e sua histria

A Razo e a Lgica

Os vrios sentidos da palavra razo

Em nossa vida cotidiana usamos a palavra razo em muitos sentidos. Dizemos, porexemplo, eu estou com a razo, ou ele no tem razo, para significar que nossentimos seguros de alguma coisa ou que sabemos com certeza alguma coisa.Tambm dizemos que, num momento de fria ou de desespero, algum perde arazo, como se a razo fosse alguma coisa que se pode ter ou no ter, possuir eperder, ou recuperar, como na frase: Agora ela est lcida, recuperou a razo.

Falamos tambm frases como: Se voc me disser suas razes, sou capaz de fazer oque voc me pede, querendo dizer com isso que queremos ouvir os motivos quealgum tem para querer ou fazer alguma coisa. Fazemos perguntas como: Qual arazo disso?, querendo saber qual a causa de alguma coisa e, nesse caso, a razoparece ser alguma propriedade que as prprias coisas teriam, j que teriam umacausa.

Assim, usamos razo para nos referirmos a motivos de algum, e tambm para nosreferirmos a causas de alguma coisa, de modo que tanto ns quanto as coisasparecemos dotados de razo, mas em sentido diferente.

Esses poucos exemplos j nos mostram quantos sentidos diferentes a palavra razopossui: certeza, lucidez, motivo, causa. E todos esses sentidos encontram-sepresentes na Filosofia.

Por identificar razo e certeza, a Filosofia afirma que a verdade racional; poridentificar razo e lucidez (no ficar ou no estar louco), a Filosofia chama nossarazo de luz e luz natural; por identificar razo e motivo, por considerar que sempreagimos e falamos movidos por motivos, a Filosofia afirma que somos seres racionais eque nossa vontade racional; por identificar razo e causa e por julgar que arealidade opera de acordo com relaes causais, a Filosofia afirma que a realidade racional.

muito conhecida a clebre frase de Pascal, filsofo francs do sculo XVII: Ocorao tem razes que a razo desconhece. Nessa frase, as palavras razes erazo no tm o mesmo significado, indicando coisas diversas. Razes so osmotivos do corao, enquanto razo algo diferente de corao; este o nome quedamos para as emoes e paixes, enquanto razo o nome que damos conscincia intelectual e moral.

Ao dizer que o corao tem suas prprias razes, Pascal est afirmando que asemoes, os sentimentos ou as paixes so causas de muito do que fazemos,dizemos, queremos e pensamos. Ao dizer que a razo desconhece as razes do

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corao, Pascal est afirmando que a conscincia intelectual e moral diferente daspaixes e dos sentimentos e que ela capaz de uma atividade prpria no motivada ecausada pelas emoes, mas possuindo seus motivos ou suas prprias razes.

Assim, a frase de Pascal pode ser traduzida da seguinte maneira: Nossa vidaemocional possui causas e motivos (as razes do corao), que so as paixes ou

os sentimentos, e diferente de nossa atividade consciente, seja como atividadeintelectual, seja como atividade moral.

A conscincia a razo. Corao e razo, paixo e conscincia intelectual ou moralso diferentes. Se algum perde a razo porque est sendo arrastado pelasrazes do corao. Se algum recupera a razo porque o conhecimentointelectual e a conscincia moral se tornaram mais fortes do que as paixes. A razo,enquanto conscincia moral, a vontade racional livre que no se deixa dominarpelos impulsos passionais, mas realiza as aes morais como atos de virtude e dedever, ditados pela inteligncia ou pelo intelecto.

Alm da frase de Pascal, tambm ouvimos outras que elogiam as cincias, dizendo

que elas manifestam o progresso da razo. Aqui, a razo colocada comocapacidade puramente intelectual para conseguir o conhecimento verdadeiro daNatureza, da sociedade, da Histria e isto considerado algo bom, positivo, umprogresso.

Por ser considerado um progresso, o conhecimento cientfico visto como serealizando no tempo e como dotado de continuidade, de tal modo que a razo concebida como temporal tambm, isto , como capaz de aumentar seus contedos esuas capacidades atravs dos tempos.

Algumas vezes ouvimos um professor dizer a outro: Fulano trouxe um trabalhoirracional; era um caos, uma confuso. Incompreensvel. J o trabalho de beltrano era

uma beleza: claro, compreensvel, racional. Aqui, a razo, ou racional, significaclareza das idias, ordem, resultado de esforo intelectual ou da inteligncia, seguindonormas e regras de pensamento e de linguagem.

Todos esses sentidos constituem a nossa idia de razo. Ns a consideramos aconscincia moral que observa as paixes, orienta a vontade e oferece finalidadesticas para a ao. Ns a vemos como atividade intelectual de conhecimento darealidade natural, social, psicolgica, histrica. Ns a concebemos segundo o ideal daclareza, da ordenao e do rigor e preciso dos pensamentos e das palavras.

Para muitos filsofos, porm, a razo no apenas a capacidade moral e intelectualdos seres humanos, mas tambm uma propriedade ou qualidade primordial dasprprias coisas, existindo na prpria realidade. Para esses filsofos, nossa razo podeconhecer a realidade (Natureza, sociedade, Histria) porque ela racional em simesma.

Fala-se, portanto, em razo objetiva (a realidade racional em si mesma) e emrazo subjetiva (a razo uma capacidade intelectual e moral dos seres humanos).A razo objetiva a afirmao de que o objeto do conhecimento ou a realidade racional; a razo subjetiva a afirmao de que o sujeito do conhecimento e daao racional. Para muitos filsofos, a Filosofia o momento do encontro, do acordoe da harmonia entre as duas razes ou racionalidades.

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Origem da palavra razo

Na cultura da chamada sociedade ocidental, a palavra razo origina-se de duas

fontes: a palavra latina ratio e a palavra grega logos. Essas duas palavras sosubstantivos derivados de dois verbos que tm um sentido muito parecido em latim eem grego.

Logos vem do verbo legein, que quer dizer: contar, reunir, juntar, calcular. Ratio vemdo verbo reor, que quer dizer: contar, reunir, medir, juntar, separar, calcular.

Que fazemos quando medimos, juntamos, separamos, contamos e calculamos?Pensamos de modo ordenado. E de que meios usamos para essas aes? Usamospalavras (mesmo quando usamos nmeros estamos usando palavras, sobretudo osgregos e os romanos, que usavam letras para indicar nmeros).

Por isso, logos, ratio ou razo significam pensar e falar ordenadamente, com medidae proporo, com clareza e de modo compreensvel para outros. Assim, na origem,razo a capacidade intelectual para pensar e exprimir-se correta e claramente, parapensar e dizer as coisas tais como so. A razo uma maneira de organizar arealidade pela qual esta se torna compreensvel. , tambm, a confiana de quepodemos ordenar e organizar as coisas porque so organizveis, ordenveis,compreensveis nelas mesmas e por elas mesmas, isto , as prprias coisas soracionais.

Desde o comeo da Filosofia, a origem da palavra razo fez com que ela fosseconsiderada oposta a quatro outras atitudes mentais:

1. ao conhecimento ilusrio, isto , ao conhecimento da mera aparncia das coisas

que no alcana a realidade ou a verdade delas; para a razo, a iluso provm denossos costumes, de nossos preconceitos, da aceitao imediata das coisas taiscomo aparecem e tais como parecem ser. As iluses criam as opinies que variam depessoa para pessoa e de sociedade para sociedade. A razo se ope mera opinio;

2. s emoes, aos sentimentos, s paixes, que so cegas, caticas, desordenadas,contrrias umas s outras, ora dizendo sim a alguma coisa, ora dizendo no a essamesma coisa, como se no soubssemos o que queremos e o que as coisas so. Arazo vista como atividade ou ao (intelectual e da vontade) oposta paixo ou passividade emocional;

3. crena religiosa, pois, nesta, a verdade nos dada pela f numa revelao divina,

no dependendo do trabalho de conhecimento realizado pela nossa inteligncia oupelo nosso intelecto. A razo oposta revelao e por isso os filsofos cristosdistinguem a luz natural - a razo - da luz sobrenatural - a revelao;

4. ao xtase mstico, no qual o esprito mergulha nas profundezas do divino e participadele, sem qualquer interveno do intelecto ou da inteligncia, nem da vontade. Pelocontrrio, o xtase mstico exige um estado de abandono, de rompimento com aatividade intelectual e com a vontade, um rompimento com o estado consciente, paraentregar-se fruio do abismo infinito. A razo ou conscincia se ope inconscincia do xtase.

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Os princpios racionais

Desde seus comeos, a Filosofia considerou que a razo opera seguindo certos

princpios que ela prpria estabelece e que esto em concordncia com a prpriarealidade, mesmo quando os empregamos sem conhec-los explicitamente. Ou seja,o conhecimento racional obedece a certas regras ou leis fundamentais, querespeitamos at mesmo quando no conhecemos diretamente quais so e o que so.Ns as respeitamos porque somos seres racionais e porque so princpios quegarantem que a realidade racional.

Que princpios so esses? So eles:

Princpio da identidade, cujo enunciado pode parecer surpreendente: A A ou Oque , . O princpio da identidade a condio do pensamento e sem ele nopodemos pensar. Ele afirma que uma coisa, seja ela qual for (um ser da Natureza,

uma figura geomtrica, um ser humano, uma obra de arte, uma ao), s pode serconhecida e pensada se for percebida e conservada com sua identidade.

Por exemplo, depois que um matemtico definir o tringulo como figura de trs lados ede trs ngulos, no s nenhuma outra figura que no tenha esse nmero de lados ede ngulos poder ser chamada de tringulo como tambm todos os teoremas eproblemas que o matemtico demonstrar sobre o tringulo, s podero serdemonstrados se, a cada vez que ele disser tringulo, soubermos a qual ser ou aqual coisa ele est se referindo. O princpio da identidade a condio para quedefinamos as coisas e possamos conhec-las a partir de suas definies.

Princpio da no-contradio (tambm conhecido como princpio da contradio),

cujo enunciado : A A e impossvel que seja, ao mesmo tempo e na mesmarelao, no-A. Assim, impossvel que a rvore que est diante de mim seja e noseja uma mangueira; que o cachorrinho de dona Filomena seja e no seja branco; queo tringulo tenha e no tenha trs lados e trs ngulos; que o homem seja e no sejamortal; que o vermelho seja e no seja vermelho, etc.

Sem o princpio da no-contradio, o princpio da identidade no poderia funcionar. Oprincpio da no-contradio afirma que uma coisa ou uma idia que se negam a simesmas se autodestroem, desaparecem, deixam de existir. Afirma, tambm, que ascoisas e as idias contraditrias so impensveis e impossveis.

Princpio do terceiro-excludo, cujo enunciado : OuA xou ye no h terceirapossibilidade. Por exemplo: Ou este homem Scrates ou no Scrates; Oufaremos a guerra ou faremos a paz. Este princpio define a deciso de um dilema -ou isto ou aquilo - e exige que apenas uma das alternativas seja verdadeira. Mesmoquando temos, por exemplo, um teste de mltipla escolha, escolhemos na verdadeapenas entre duas opes - ou est certo ou est errado - e no h terceirapossibilidade ou terceira alternativa, pois, entre vrias escolhas possveis, s hrealmente duas, a certa ou a errada.

Princpio da razo suficiente, que afirma que tudo o que existe e tudo o queacontece tem uma razo (causa ou motivo) para existir ou para acontecer, e que tal

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razo (causa ou motivo) pode ser conhecida pela nossa razo. O princpio da razosuficiente costuma ser chamado de princpio da causalidade para indicar que arazo afirma a existncia de relaes ou conexes internas entre as coisas, entrefatos, ou entre aes e acontecimentos.Pode ser enunciado da seguinte maneira:Dado A, necessariamente se dar B. E tambm: Dado B, necessariamente houve

A.Isso no significa que a razo no admita o acaso ou aes e fatos acidentais, massim que ela procura, mesmo para o acaso e para o acidente, uma causa. A diferenaentre a causa, ou razo suficiente, e a causa casual ou acidental est em que aprimeira se realiza sempre, universal e necessria, enquanto a causa acidental oucasual s vale para aquele caso particular, para aquela situao especfica, nopodendo ser generalizada e ser considerada vlida para todos os casos ou situaesiguais ou semelhantes, pois, justamente, o caso ou a situao so nicos.

A morte, por exemplo, um efeito necessrio e universal (vlido para todos os tempose lugares) da guerra e a guerra a causa necessria e universal da morte depessoas. Mas imprevisvel ou acidental que esta ou aquela guerra aconteam.Podem ou no podem acontecer. Nenhuma causa universal exige que aconteam.Mas, se uma guerra acontecer, ter necessariamente como efeito mortes. Mas ascausas dessa guerra so somente as dessa guerra e de nenhuma outra.

Diferentemente desse caso, o princpio da razo suficiente est vigorando plenamentequando, por exemplo, Galileu demonstrou as leis universais do movimento dos corposem queda livre, isto , no vcuo.

Pelo que foi exposto, podemos observar que os princpios da razo apresentamalgumas caractersticas importantes:

no possuem um contedo determinado, pois so formas: indicam como as coisas

devem ser e como devemos pensar, mas no nos dizem quais coisas so, nem quaisos contedos que devemos ou vamos pensar;

possuem validade universal, isto , onde houver razo (nos seres humanos e nascoisas, nos fatos e nos acontecimentos), em todo o tempo e em todo lugar, taisprincpios so verdadeiros e empregados por todos (os humanos) e obedecidos portodos (coisas, fatos, acontecimentos);

so necessrios, isto , indispensveis para o pensamento e para a vontade,indispensveis para as coisas, os fatos e os acontecimentos. Indicam que algo assim e no pode ser de outra maneira. Necessrio significa: impossvel que noseja dessa maneira e que pudesse ser de outra.

Ampliando nossa idia de razo

A idia de razo que apresentamos at aqui e que constitui o ideal de racionalidadecriado pela sociedade europia ocidental sofreu alguns abalos profundos desde oincio do sculo XX.

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Aqui, vamos apenas oferecer alguns exemplos dos problemas que a Filosofia precisouenfrentar e que levaram a uma ampliao da idia da razo.

Um primeiro abalo veio das cincias da Natureza ou, mais precisamente, da fsica eatingiu o princpio do terceiro-excludo. A fsica da luz (ou ptica) descobriu que a luztanto pode ser explicada por ondas luminosas quanto por partculas descontnuas.

Isso significou que j no se podia dizer: ou a luz se propaga por ondas contnuas ouse propaga por partculas descontnuas, como exigiria o princpio do terceiro-excludo, mas sim que a luz pode propagar-se tanto de uma maneira como de outra.

Por sua vez, a fsica atmica ou quntica abalou o princpio da razo suficiente. Vimosque esse princpio afirma que, conhecido A, posso determinar como delenecessariamente resultar B, ou, conhecido B, posso determinar necessariamentecomo era A que o causou. Em outras palavras, conhecido o estado E de umfenmeno, posso deduzir como ser o estado E2 ou E3 e vice-versa: conhecidos E3 eE2 posso dizer como era o estado E. Ora, a fsica dos tomos revelou que isso no possvel, que no podemos saber as razes pelas quais os tomos se movimentam,nem sua velocidade e direo, nem os efeitos que produziro.

Esses dois problemas levaram a introduzir um novo princpio racional na Natureza: oprincpio da indeterminao. Assim, o princpio da razo suficiente vlido para osfenmenos macroscpicos, enquanto o princpio da indeterminao vlido para osfenmenos em escala hipermicroscpica.

Um outro problema veio abalar o princpio da identidade e da no-contradio. A fsicasempre considerou que a Natureza obedece s leis universais da razo objetiva semdepender da razo subjetiva. Em outras palavras, as leis da Natureza existem por simesmas, so necessrias e universais por si mesmas e no dependem do sujeito doconhecimento.

Contudo, a teoria da relatividade mostrou que as leis da Natureza dependem daposio ocupada pelo observador, isto , pelo sujeito do conhecimento e, portanto,para um observador situado fora de nosso sistema planetrio, a Natureza poderseguir leis completamente diferentes, de tal modo que, por exemplo, o que o espaoe o tempo para ns poder no ser para outros seres (se existirem) da galxia; ageometria que seguimos pode no ser a que tenha sentido noutro sistema planetrio;o que pode ser contraditrio para ns poder no ser para habitantes de outra galxiae assim por diante.

Um outro problema, tambm atingindo os princpios da razo, foi trazido pela lgica. Olgico alemo Frege apresentou o seguinte problema: quando digo a estrela damanh a estrela da tarde estou caindo em contradio e perdendo o princpio da

identidade. No entanto, estrela da manh o planeta Vnus e estrela da tardetambm o planeta Vnus; dessa perspectiva, no h contradio alguma no quedigo. preciso, ento, distinguir em nosso pensamento e em nossa linguagem trsnveis: o objeto a que ns nos referimos, os enunciados que empregamos e o sentidodesses enunciados em sua relao com o objeto referido. Somente dessa maneirapodemos manter a racionalidade dos princpios da identidade, da no-contradio edo terceiro-excludo.

Enfim, um outro tipo de problema foi trazido com o desenvolvimento dos estudos daantropologia, que mostraram como outras culturas podem oferecer uma concepo

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muito diferente da que estamos acostumados sobre o pensamento e a realidade. Issono significa, como imaginaram durante sculos os colonizadores, que tais culturas ousociedades sejam irracionais ou pr-racionais, e sim que possuem uma outra idia doconhecimento e outros critrios para a explicao da realidade.

Como a palavra razo europia e ocidental, parece difcil falarmos numa outra

razo, que seria prpria de outros povos e culturas. No entanto, o que os estudosantropolgicos mostraram que precisamos reconhecer a nossa razo e a razodeles, que se trata de uma outra razo e no da mesma razo em diferentes grausde uma nica evoluo.

Indeterminao da Natureza, pluralidade de enunciados para um mesmo objeto,pluralidade e diferenciao das culturas foram alguns dos problemas que abalaram arazo, no sculo XX. A esse abalo devemos acrescentar dois outros. O primeiro delesfoi trazido por um no-filsofo, Marx, quando introduziu a noo de ideologia; osegundo tambm foi trazido por um no-filsofo, Freud, quando introduziu o conceitode inconsciente.

A noo de ideologia veio mostrar que as teorias e os sistemas filosficos oucientficos, aparentemente rigorosos e verdadeiros, escondiam a realidade social,econmica e poltica, e que a razo, em lugar de ser a busca e o conhecimento daverdade, poderia ser um poderoso instrumento de dissimulao da realidade, aservio da explorao e da dominao dos homens sobre seus semelhantes. A razoseria um instrumento da falsificao da realidade e de produo de iluses pelas quaisuma parte do gnero humano se deixa oprimir pela outra.

A noo de inconsciente, por sua vez, revelou que a razo muito menos poderosado que a Filosofia imaginava, pois nossa conscincia , em grande parte, dirigida econtrolada por foras profundas e desconhecidas que permanecem inconscientes e

jamais se tornaro plenamente conscientes e racionais. A razo e a loucura fazem

parte de nossa estrutura mental e de nossas vidas e, muitas vezes, como por exemplono fenmeno do nazismo, a razo louca e destrutiva.

Fatos como esses - as descobertas na fsica, na lgica, na antropologia, na histria,na psicanlise - levaram o filsofo francs Merleau-Ponty a dizer que uma das tarefasmais importantes da Filosofia contempornea deveria ser a de encontrar uma novaidia da razo, uma razo alargada, na qual pudessem entrar os princpios daracionalidade definidos por outras culturas e encontrados pelas descobertascientficas.

Esse alargamento duplamente necessrio e importante. Em primeiro lugar, porqueele exprime a luta contra o colonialismo e contra o etnocentrismo - isto , contra a

viso de que a nossa razo e a nossa cultura so superiores e melhores do que asdos outros povos. Em segundo lugar, porque a razo estaria destinada ao fracasso seno fosse capaz de oferecer para si mesma novos princpios exigidos pelo seu prpriotrabalho racional de conhecimento.

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A Lgica

A Lgica uma cincia de ndole matemtica e fortemente ligada Filosofia. J que opensamento a manifestao do conhecimento, e que o conhecimento busca averdade, preciso estabelecer algumas regras para que essa meta possa ser

atingida. Assim, a lgica o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, oudo pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar. A aprendizagem dalgica no constitui um fim em si. Ela s tem sentido enquanto meio de garantir quenosso pensamento proceda corretamente a fim de chegar a conhecimentosverdadeiros. Podemos, ento, dizer que a lgica trata dos argumentos, isto , dasconcluses a que chegamos atravs da apresentao de evidncias que a sustentam.O principal organizador da lgica clssica foi Aristteles, com sua obra chamadarganon. Ele divide a lgica em formale material.

Um sistema lgico um conjunto de axiomas e regras de inferncia que visamrepresentar formalmente o raciocnio vlido . Diferentes sistemas de lgica formal

foram construdos ao longo do tempo quer no mbito estrito da Lgica Terica, querem aplicaes prticas na computao e em Inteligncia artificial.

Tradicionalmente, lgica tambm a designao para o estudo de sistemasprescritivos de raciocnio, ou seja, sistemas que definem como se "deveria" realmentepensar para no errar, usando a razo, dedutivamente e indutivamente. A forma comoas pessoas realmente raciocinam estudado noutras reas, como na psicologiacognitiva.

Como cincia, a lgica define a estrutura de declarao e argumento e elaborafrmulas atravs das quais estes podem ser codificados. Implcita no estudo da lgica

est a compreenso do que gera um bom argumento e de quais os argumentos queso falaciosos.

A lgica filosfica lida com descries formais da linguagem natural. A maior parte dosfilsofos assumem que a maior parte do raciocnio "normal" pode ser capturada pelalgica, desde que se seja capaz de encontrar o mtodo certo para traduzir alinguagem corrente para essa lgica.

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http://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAnciahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofiahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Arist%C3%B3teleshttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%93rganon&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Computa%C3%A7%C3%A3ohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Intelig%C3%AAncia_artificialhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Racioc%C3%ADniohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Racioc%C3%ADnio_dedutivohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Racioc%C3%ADnio_indutivohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Psicologia_cognitivahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Psicologia_cognitivahttp://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmulahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAnciahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofiahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Arist%C3%B3teleshttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%93rganon&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Computa%C3%A7%C3%A3ohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Intelig%C3%AAncia_artificialhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Racioc%C3%ADniohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Racioc%C3%ADnio_dedutivohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Racioc%C3%ADnio_indutivohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Psicologia_cognitivahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Psicologia_cognitivahttp://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula


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A Lgica matemtica

Lgica Matemtica o uso da lgica formal para estudar o raciocnio matemtico-- ou,como prope Alonzo Church (*Introduction to Mathematical Logic* (Princeton, NewJersey:Princeton University Press,1956; dcima edio, 1996),'lgica tratada pelo

mtodo matemtico'. No incio do sculo XX, lgicos e filsofos tentaram provar que amatemtica, ou parte da matemtica, poderia ser reduzida lgica.(Gottlob Frege,p.ex., tentou reduzir a aritmtica lgica; Bertrand Russell e A. N. Whitehead,tentaram reduzir toda a matemtica ento conhecida lgica -- a chamada 'lgica desegunda ordem'.) Uma das suas doutrinas lgico-semnticas era que a descoberta daforma lgica de uma frase, na verdade, revela a forma adequada de diz-la, ou revelaalguma essncia previamente escondida. H um certo consenso que a reduo falhou-- ou que precisaria de ajustes --, assim como h um certo consenso que a lgica -- oualguma lgica -- uma maneira precisa de representar o raciocnio matemtico.Cincia que tem por objeto o estudo dos mtodos e princpios que permitem distinguirraciocnios vlidos de outros no vlidos;

A Histria da lgica

A histria da lgica documenta o desenvolvimento desta em vrias culturas etradies. Enquanto muitas culturas tenham usado complicados sistemas deraciocnio, somente na China, ndia e Grcia os mtodos de raciocnio tiveram umdesenvolvimento sustentvel. Embora as datas sejam incertas, especialmente no casoda ndia, possvel que a lgica emergiu nos trs pases por volta do sculo 4 a.C. Algica moderna (verlgica) descende da tradio grega, mas tambm h influnciasde filsofos islmicos e de lgicos europeus da era medieval que tiveram contato coma lgica aristotlica.

Lgica na China

Mozi, Mster Mo, um contemporneo de Confcio, creditado como o fundador daescola Mohista, cujo os ensinamentos lidavam com os problemas relacionados com ainferncia e com as condies das concluses corretas. Em particular, uma dasescolas que cresceu alm do Mohismo, os the Logicians?, so creditados por algunsestudiosos como sendo umas das primeiras escolas a investigar a lgica formal.

Infelizmente, por causa da violncia e da leis da dinastia Qin, essa linha deinvestigao desapareceu da China at a introduo da filosofia indiana pelosBudistas

Lgica na ndia

Os Nyaya Sutras doAkasapada Gautama so os centros da escola da Nyaya, umadas seis escolas ortodoxas da filosofia Hindu. Esta escola criou um rgido esquema decinco membros de inferncia envolvendo uma premissa inicial: uma razo, um

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http://pt.wikipedia.org/wiki/Racioc%C3%ADnio_matem%C3%A1ticohttp://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo_XXhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Fregehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russellhttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=A._N._Whitehead&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=A._N._Whitehead&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Chinahttp://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndiahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A9ciahttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicahttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fil%C3%B3sofos_isl%C3%A2micos&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_aristot%C3%A9licahttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Mozi&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Conf%C3%BAciohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Infer%C3%AAnciahttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Mohismo&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_formalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Dinastia_Qinhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Budistashttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Nyaya_Sutras&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Akasapada_Gautama&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Akasapada_Gautama&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Nyayahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Hinduhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Racioc%C3%ADnio_matem%C3%A1ticohttp://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo_XXhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Fregehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russellhttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=A._N._Whitehead&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Chinahttp://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndiahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A9ciahttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicahttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fil%C3%B3sofos_isl%C3%A2micos&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_aristot%C3%A9licahttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Mozi&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Conf%C3%BAciohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Infer%C3%AAnciahttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Mohismo&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_formalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Dinastia_Qinhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Budistashttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Nyaya_Sutras&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Akasapada_Gautama&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Nyayahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Hindu


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exemplo, uma aplicao e uma concluso. A filosofia idealista Budista foi a maioroponente dos Nayaykas. Nagarjuna, o fundador da Madhyamika caminho do meiodesenvolveu uma anlise conhecida como catuskoti ou tetralema. Mas foi comDgnaga e o seu sucessorDharmakirti que a lgica budista atingiu seu pice. A baseda analise deles a definio da necessidade de uma deduo lgica, vyapti,

tambm conhecida como concomitncia ou pervasion?. Para esse fim uma doutrinachamada apoha ou diferenciao foi desenvolvido. As dificuldades envolvidas nestesistema, em parte, estimulou a escola dos neo-escolsticos de Navya-Nyaya, queintroduziu a anlise formal da inferncia no sculo XVI.

Lgica na Grcia

Na Grcia, duas importantes tradies emergiram. A Lgica estica com as suasrazes em Euclides de Megara, um pupilo de Scrates, e baseada na lgicaproposicional que talvez foi a mas prxima da lgica moderna. Entretanto, a tradioque sobreviveu para mas tarde influenciar outras culturas foi a lgica aristotlica, o

primeiro tratado grego sobre a sistematizao da lgica. Na inspeo de Aristtelessobre os silogismo h quem diga que existe uma interessante comparao com oesquema de inferncia dos indianos e com a menos rgida discurso chinesa.

Atravs do latim na Europa, e outras lnguas mas ao oeste, como rabe e armnio, atradio aristotlica era considerada uma codificao superior das leis do raciocnio.Somente no sculo XIX, com o maior familiaridade com a cultura clssica indiana eum conhecimento mais profundo da China que essa percepo mudou.

Lgica na filosofia islmica

Aps a morte de Muhamed, a lei islmica desempenho uma forte influncia naformao dos padres dos argumentos, o que permitiu uma argumentaoromanceada no Kalan, mas essa influncia foi amenizada por algumas idias dafilosofia grega que surgiram com o crescimento dos filsofos Mutazilah que tentaramcombinar a lgica e o racionalismo da filosofia grega com a doutrina islmica emostrar que as duas esto inerentemente interligadas. A influncia dos tratadosgregos sobre os filsofos islmicos foi crucial na aceitao da lgica grega pelaEuropa medieval, e os comentrios de Averris sobre o rganon teve um papelimportante no subseqente desenvolvimento da lgica medieval europia.

Apesar da sofisticao lgica de Al-Ghazali, o crescimento da escola Asharite

lentamente sufocou os tratados em lgica do mundo islmico.

Lgica medieval

Lgica medieval (tambm conhecida como lgica escolstica) a lgica aristotlicadesenvolvida na era medieval no perodo de 1200-1600 d.C. Esta tradio foifundamentada atravs de textos como o Tractatus do Pedro da Espanha (sculo XIII),cuja verdadeira identidade desconhecida. Toms de Aquino foi o filsofo que ousou

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http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Filosofia_idealista_Budista&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Nayaykas&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Nayaykas&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Nagarjuna&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Madhyamika&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Tetralema&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Dharmakirti&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Navya-Nyaya&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A9ciahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A9ciahttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Est%C3%B3ica&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Euclides_de_Megara&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3crateshttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%B3gica_proposicional&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%B3gica_proposicional&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_aristot%C3%A9licahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Arist%C3%B3teleshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Arist%C3%B3teleshttp://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81rabehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Arm%C3%AAniohttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Tradi%C3%A7%C3%A3o_aristot%C3%A9lica&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Leis_do_racioc%C3%ADniohttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Muhamed&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalan&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Filosofia_grega&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Mu%E2%80%99tazilah&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Averr%C3%B3ishttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%93rganon&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Al-Ghazalihttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Asharite&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Pedro_da_Espanha&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Tom%C3%A1s_de_Aquinohttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Filosofia_idealista_Budista&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Nayaykas&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Nagarjuna&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Madhyamika&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Tetralema&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Dharmakirti&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Navya-Nyaya&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A9ciahttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Est%C3%B3ica&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Euclides_de_Megara&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3crateshttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%B3gica_proposicional&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%B3gica_proposicional&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_aristot%C3%A9licahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Arist%C3%B3teleshttp://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81rabehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Arm%C3%AAniohttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Tradi%C3%A7%C3%A3o_aristot%C3%A9lica&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Leis_do_racioc%C3%ADniohttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Muhamed&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalan&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Filosofia_grega&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Mu%E2%80%99tazilah&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Averr%C3%B3ishttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%93rganon&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Al-Ghazalihttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Asharite&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Pedro_da_Espanha&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Tom%C3%A1s_de_Aquino


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mudar a antiga concepo tradicional, baseada em Plato e Agostinho, concebendouma viso aristotlica, e desenvolvendo a escoltica tomista.

Essa antiga tradio tambm recebeu diversas consideraes diferentes no sculoXIV com as obras de William de Ockham (1287-1347) e Jean Buridan.

Os ltimas obras dessa tradio so Lgica de John Poinsot (1589-1644, tambmconhecido como John de St Thomas), e o Discusses Metafsicas de FranciscoSuarez (1548-1617).

Lgica tradicional

Esta tradio comeou com o livro Lgica, ou a arte do pensamento ou Port-RoyalLogicde Antoine Arnauld e Pierre Nicole. Publicado em 1662, esse livro foi a maisinfluente introduo em lgica at o inicio do sculo 20. Port-Royal Logic apresenta aoleitor uma doutrina cartesiana (onde uma proposta uma combinao de idias ao

invs de termos) com uma estrutura que deriva da lgica aristotlica e medieval. Olivro teve oito edies entre 1664 e 1700. Ele foi reimpresso em ingls ate o fim dosculo XIX.

A descrio das proposies que Locke faz em Uma Tese a Respeito doEntendimento Humano a mesma do Port-Royal. Proposies verbais, que sopalavras, so signos que representam nossas idias, juntando-as ou separando-as emsentenas verdadeiras ou falsas. Ento estas preposies consistem em juntar ouseparar esse signos de acordo com as coisas que eles representam para concordarou discordar. (Lock, Uma Tese a Respeito do Entendimento Humano, IV. 5 6)

Obras que se enquadram nessa tradio incluem Isaac WattsLgica: Ou, o CorretoUso da Razo (1725), Lgica de Richard Wately (1826), e uma das ltimas grandeobras dessa tradio Um Sistema Lgico de John Stuart Mill (1843).

O advento da lgica moderna

Historicamente, Ren Descartes, deve ter sido o primeiro filsofo a utilizar as tcnicasalgbricas como meio de explorao cientfica. A idia de um clculo do raciocniotambm foi cultivada porGottfried Wilhelm Leibniz.

Gottlob Frege no (Begriffschrift, ou ideografia) criou um sistema de representao

simblica para representar formalmente a estrutura dos enunciados lgicos e suasrelaes, e a inveno do clculo dos predicados. Esta parte da decomposiofuncional da estrutura interna das frases (substituindo a velha dicotomia analticasujeito-predicado, herdada da tradio lgica aristotlica, pela oposio matemticafuno-argumento) e da articulao do conceito de quantificao (implcito na lgicaclssica da generalidade), tornando assim possvel a sua manipulao em regras dededuo formal. (os enunciados "para todo o x", "existe um x" que denotam operaesde quantificao sobre variveis lgicas tm a sua origem no seu trabalho fundador,

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http://pt.wikipedia.org/wiki/Agostinho_de_Hiponahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Agostinho_de_Hiponahttp://pt.wikipedia.org/wiki/William_de_Ockhamhttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=John_de_St_Thomas&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Port-Royal_Logic&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Port-Royal_Logic&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Antoine_Arnauldhttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Pierre_Nicole&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Isaac_Watts&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Richard_Wately&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/John_Stuart_Millhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibnizhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Fregehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Fregehttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_aristot%C3%A9licahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Agostinho_de_Hiponahttp://pt.wikipedia.org/wiki/William_de_Ockhamhttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=John_de_St_Thomas&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Port-Royal_Logic&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Port-Royal_Logic&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/Antoine_Arnauldhttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Pierre_Nicole&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Isaac_Watts&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Richard_Wately&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/John_Stuart_Millhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibnizhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Fregehttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_aristot%C3%A9lica


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ex: "Todos os humanos so mortais" se torna "Todos os X so tais que, se x umhumano ento x mortal.").

Ao contrrio de Aristteles, e mesmo de Boole, que procuravam identificar as formasvlidas de argumento, a preocupao bsica de Frege era a sistematizao do

raciocnio matemtico, ou dito de outra maneira, encontrar uma caracterizao precisado que uma demonstrao matemtica. Frege havia notado que os matemticosda poca freqentemente cometiam erros em suas demonstraes, supondo assimque certos teoremas estavam demonstrados, quando na verdade no estavam. Paracorrigir isso, Frege procurou formalizar as regras de demonstrao, iniciando comregras elementares, bem simples, sobre cuja aplicao no houvesse dvidas. Oresultado que revolucionou a lgica, foi a criao do clculo de predicados (ou lgicade predicados).

Em 1889 Giuseppe Peano publicou seus nove axiomas, que mas tarde cinco destesvieram a ser conhecido com axiomas de Peano e, destes cinco, um veio a ser a

formalizao do princpio da induo matemtica

Siteografia

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http://pt.wikipedia.org/wiki/Arist%C3%B3teleshttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Boole&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoremas&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_predicadoshttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_predicadoshttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_predicadoshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peanohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peanohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1ticahttp://www.cefetgo.br/pensar/PAGES/convite/cnvt/und02/m01.htmhttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicahttp://enciclopedia.tiosam.com/enciclopedia/enciclopedia.asp?title=Hist%C3%B3ria_da_l%C3%B3gicahttp://enciclopedia.tiosam.com/enciclopedia/enciclopedia.asp?title=Hist%C3%B3ria_da_l%C3%B3gicahttp://www.vestibular1.com.br/http://pt.wikipedia.org/wiki/Arist%C3%B3teleshttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Boole&action=edithttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoremas&action=edithttp://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_predicadoshttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_predicadoshttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_predicadoshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peanohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peanohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1ticahttp://www.cefetgo.br/pensar/PAGES/convite/cnvt/und02/m01.htmhttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicahttp://enciclopedia.tiosam.com/enciclopedia/enciclopedia.asp?title=Hist%C3%B3ria_da_l%C3%B3gicahttp://enciclopedia.tiosam.com/enciclopedia/enciclopedia.asp?title=Hist%C3%B3ria_da_l%C3%B3gicahttp://www.vestibular1.com.br/


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UNIDADE II

Captulo 1 Noes de Lgica MatemticaCLCULO PROPOSICIONALComo primeira e indispensvel parte da Lgica Matemtica temos o CLCULOPROPOSICIONAL ou CLCULO SENTENCIAL ou ainda CLCULO DAS SENTENAS.CONCEITO DE PROPOSIO

PROPOSIO: sentenas declarativas afirmativas (expresso de uma linguagem) da qualtenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.

A lua quadrada.A neve branca.Matemtica uma cincia.

No sero objeto de estudo as sentenas interrogativas ou exclamativas.

OS SMBOLOS DA LINGUAGEM DO CLCULO PROPOSICIONAL

VARIVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minsculas p,q,r,s,.... para indicar asproposies (frmulas atmicas) .

Exemplos: A lua quadrada : pA neve branca : q

CONECTIVOS LGICOS: As frmulas atmicas podem ser combinadas entre si e, pararepresentar tais combinaes usaremos os conectivos lgicos :

: e , : ou , : se...ento , : se e somente se , : noExemplos:

A lua quadrada e a neve branca. : p q(p e q so chamados conjunctos)

A lua quadrada ou a neve branca. : p q( p e q so chamados disjunctos)Se a lua quadrada ento a neve branca. : p q ( p o antecedente e q oconseqente)

A lua quadrada se e somente se a neve branca. : p qA lua no quadrada. : p

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SMBOLOS AUXILIARES: ( ), parntesesque servem para denotar o "alcance" dosconectivos;

Exemplos:

Se a lua quadrada e a neve branca ento a lua no quadrada. :((p q) p)A lua no quadrada se e somente se a neve branca. :

(( p) q))DEFINIO DE FRMULA :

1. Toda frmula atmica uma frmula.2. Se A e B so frmulas ento

(A B) , (A B) , (A B) , (A B)e ( A) tambm so frmulas.3. So frmulas apenas as obtidas por 1. e 2. .

Os parnteses sero usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: , , , , .Com o mesmo conectivo adotaremos a conveno pela direita.

Exemplo: a frmula p q r p q deve ser entendida como(((p q) ( r)) ( p ( q)))

AS TABELAS VERDADE

A lgica clssica governada por trs princpios (entre outros) que podem ser formulados comosegue:

Princpio da Identidade: Todo objeto idntico a si mesmo.

Princpio da Contradio: Dadas duas proposies contraditrias (uma negao da outra),uma delas falsa.

Princpio do Terceiro Excludo: Dadas duas proposies contraditrias, uma delas verdadeira.

Com base nesses princpios as proposies simples so ou verdadeiras ou falsas - sendo

mutuamente exclusivos os dois casos; da dizer que a lgica clssica bivalente.

Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposies compostas (moleculares),conhecidos os valores das proposies simples (atmicas) que as compem usaremos tabelas-verdade :

1.Tabela verdade da "negao" : ~p verdadeira (falsa) se e somente sep falsa (verdadeira).

p ~p

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V F

F V

2. Tabela verdade da "conjuno" : a conjuno verdadeira se e somente os conjunctos soverdadeiros.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

3. Tabela verdade da "disjuno" : a disjuno falsa se, e somente, os disjunctos so falsos.

p q p q

V V V

V F VF V V

F F F

4. Tabela verdade da "implicao": a implicao falsa se, e somente se, o antecedente verdadeiro e o conseqente falso.

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

5. Tabela verdade da "bi-implicao": a bi-implicao verdadeira se, e somente se seuscomponentes so ou ambos verdadeiros ou ambos falsos

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p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Exemplo: Construir a tabela verdade da frmula : ((p q) ~p) (q p)

p q ((p q) ~p) (q p)V V V F F V V

V F V F F V FF V V V V F F

F F F V V F F

NMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE: Cada proposio simples (atmica)tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n atmicas distintas, h tantas possibilidadesquantos so os arranjos com repetio de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o nmero delinhas da tabela verdade 2n. Assim, para duas proposies so 22 = 4 linhas; para 3 proposiesso 23 = 8; etc.

Exemplo: a tabela - verdade da frmula ((p q) r) ter 8 linhas como segue :

p q r ((p q) r )V V V V V

V V F V F

V F V F V

V F F F V

F V V F V

F V F F VF F V F V

F F F F V

NOTA:"OU EXCLUSIVO" importante observar que "ou" pode ter dois sentidos nalinguagem habitual: inclusivo (disjuno) ("vel") e exclusivo ( "aut") ondep q significa((p q) (p q)).

p q ((p q) (p q))20


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V V V F F V

V F V V V F

F V V V V F

F F F F V F

A LGEBRA DOS CONJUNTOS

O Clculo Proposicional e a lgebra dos Conjuntospossuem estruturas semelhantes.Toda frmula do Clculo Proposicional determina uma operao correspondente entreconjuntos :

a negao ( ) corresponde complementao ( ), a conjuno () corresponde interseco ( ) , a disjuno () corresponde unio ( ).

As variveis proposicionais podem servir como variveis simbolizando conjuntos na novaexpresso.

Exemplo: (( p q) p)corresponde a (( p q ) p)Podemos expressar, as operaes entre conjuntos atravs dosDIAGRAMAS DE EULER-VENN(John Venn 1834-1923) que so teis na verificao de propriedades de operaes entreconjuntos, mas no devem ser considerados instrumentos de prova matemtica rigorosa.Verifique seu conhecimento com estas operaes considerando 2 conjuntos e, em seguida, com

3 conjuntos.

1.COMPLEMENTAO : pque corresponde NEGAO : pp ~ p

1 V F

2 F V

onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem s regies (1) e (2) do diagramarespectivamente.

2.UNIO : p q que corresponde DISJUNO: p qp q

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http://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Conjuntos2.htmhttp://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Conjuntos2.htmhttp://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Euler-Venn.jpghttp://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Euler-Venn.jpghttp://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Euler-Venn.jpghttp://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Venn.jpghttp://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Venn.jpghttp://www.nova.edu./~hammack/MathDL/Venn/V2.htmlhttp://www.nova.edu./~hammack/MathDL/Venn/V3.htmlhttp://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Conjuntos2.htmhttp://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Euler-Venn.jpghttp://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Euler-Venn.jpghttp://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Venn.jpghttp://www.nova.edu./~hammack/MathDL/Venn/V2.htmlhttp://www.nova.edu./~hammack/MathDL/Venn/V3.html


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p q p q

1 V V V

2 V F V

3 F V V

4 F F F

as linhas (1), (2), (3) e (4) da tabela correspondem s regies (1), (2), (3) e (4) do diagramarespectivamente.A regio hachurada no diagrama corresponde s linhas da tabela onde a frmula p qassumevalorV.

3. INTERSECO : p q que corresponde CONJUNO: p qp q

p q pq

1 V V V

2 V F F

3 F V F

4 F F F

A regio hachurada do diagrama corresponde linha (1) da tabela, onde a frmula pqassume valorV.

A figura abaixo forma um Diagrama de Venn apropriado para trs conjuntos. Temos 8 regiesque correspondem, respectivamente, s 8 linhas da tabela-verdade ao lado do diagrama :

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p q r

1 V V V

2 V V F

3 V F V

4 V F F

5 F V V

6 F V F

7 F F V

8 F F F

Exemplo: O diagrama de Venn abaixo corresponde frmula ((p q) r) e expresso (p q) r. O valorV da frmula (ltima coluna) corresponde regio 2 do diagrama de Venn.

p q r ((p q) r )V V V F V V V

V V F V V F F

V F V F F V V

V F F F F V F

F V V F F V V

F V F F F V F

F F V F F V V

F F F F F V F

TAUTOLOGIA E CONTRA -TAUTOLOGIA

TAUTOLOGIA ou FRMULA LOGICAMENTE VLIDA : Frmula que possui apenasvalorV em sua tabela verdade.Exemplo : p p

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p p p p

1 V F V

2 F V V

CONTRA-TAUTOLOGIA ou FRMULA LOGICAMENTE FALSA: Frmula que possuiapenas valorF em sua tabela verdade.Exemplo : p p

p p p p1 V F F

2 F V F

CONTINGENTE ou INDETERMINADA: Frmula que possui valores V e F em sua tabelaverdade.

Exemplo : p q p q p q1 V V V

2 V F F

3 F V V

4 F F V

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REGRAS DE INFERNCIA.: A frmula implica tautologicamente a frmula eindicamos se e somente se a frmula uma tautologia .

Regras Frmulas Atmicas Frmulas Compostas

Modus Ponens MP p (p q) q A, A B / BModus Tollens MT q ( p q ) p B, A B / ASilogismo Hipottico SH (p q) ( q r) (p r) A B, B C / A CSilogismo Disjuntivo SD (p q) p q A, A B / BSimplificao SM p q p A B / AAdio AD p p q A / A BEliminao EL (p (q r) ) q p r B , (A (BC) / A CProva por Casos CS (p r) ( q r) (p q) r A C, B C / (A B ) C

EQUIVALNCIAS TAUTOLGICAS: As frmulas e so tautologicamenteequivalentes e indicamos se e somente sea frmula uma tautologia

Comutativa p q q p p q q pAssociativa (p q)r p (q r) (p q)r p(qr)Idempotente p p p p p pPropriedades de V p V p p V VPropriedades de F p F F p F pAbsoro p ( p r ) p p (p r) pDistributivas p (q r) (p q ) (p r) p (q r) (p q ) (p r)Distributivas p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)Leis de De Morgan (p q) p q (p q) p qDef. implicao p q ~p q p q ( p q)Def. bicondicional p q (p q) ( q p) p q (~p q) (~q p)Negao ( p) p Contraposio p q q p

Exportao() Importao ( ) (p q) r p ( q r )Troca de Premissas p (q r ) q ( p r )

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Exemplo : Dadas as frmulas A: p (q r) e B : (q r ) p vamos verificar que A Bou ainda que A / B. Basta verificar, com o uso das tabelas verdade, que A B tautologia.

p q r ( p (q r)) ( (q r ) p)V V V V V V

V V F F V F

V F V F V F

V F F F V F

F V V V V V

F V F V V V

F F V V V V

F F F V V V

Neste exemplo, A B pois A B tautologia.As TAUTOLOGIASso infinitas e desempenham um importante papel nos processos dededuo no Clculo Proposicional como veremos em prximos tpicos.

FORMAS NORMAIS CONJUNTIVA E DISJUNTIVA

AlgumasEQUIVALNCIAS TAUTOLGICASdadas acima nos permitem transformarqualquer frmula em uma frmula logicamente equivalente, que no contenha os conectivos e , transformando-a em uma FORMA NORMAL CONJUNTIVA (FNC) ou em uma FORMANORMAL DISJUNTIVA (FND) como segue:

1. substitui-se frmulas: A B por A B e A B por( A B) ( B A)2. elimina-se a negao que precede os parnteses substituindo-se: (A B) por A B e (AB) por A B .3. eliminam-se as negaes mltiplas substituindo ( A) porA.4. elimina-se o alcance dos conectivos substituindo

para obter a FNC : A (B C) por(A B) (A C)para obter a FND : A (B C) por(A B) (A C)Deste modo, uma frmula est em FORMA NORMAL CONJUNTIVA: FNC ou em FORMANORMAL DISJUNTIVA:FND se, e somente se:

1. No mximo contm os conectivos , , .2. A negao no tem alcance sobre os conectivos e .3. No aparecem negaes sucessivas.4. O conectivo no tem alcance sobre na FNC e, o conectivo no tem alcance sobre naFND.

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Exemplos: FNC : ( p q) (r s p)FND : p (q r) ( s p)

Exemplo: Determine uma FND e uma FNC equivalente frmula((p q) q) ( r q) .

1. ((p q) q) ( r q) Frmula dada2. ((p q) q) ( r q) 1. Def. de Implicao3. ( (p q) q) (r q) 2. De Morgan4. ( p q) q (r q ) 3. Negao e De Morgan5. ( p q) q (r q ) 4.FND6. (( p q) ( q q)) (r q) 5. Distributiva7. (( p q) V) (r q) 6. Tautologia8. ( p q) ( r q) 7. Propriedade de V9. ( p q r) ( p q q) 8. Distributiva10. ( p q r) ( p q ) 9. Idempotente eFNCPROBLEMA DE POST

Como j observamos podemos construir a tabela verdade de uma frmula conhecidos osvalores verdade das frmulas que a compem. O problema recproco se coloca : para todatabela verdade, existe uma frmula que a determina? Este problema conhecido comoPROBLEMA DE POST (Emil Leon Post 1888-1995) e pode ser resolvido obtendo-se umaFNCou uma FND que satisfaa a tabela verdade dada.

Para se obter umaFND:

1. Observamos todas as linhas da tabela que possuem V na ltima coluna;2. Construimos para cada uma destas linhas as conjunes correspondentes;3. Fazemos a disjuno destas conjunes obtendo uma frmula em FND que satisfaz a tabelaverdade.

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Exemplo: Determine uma frmula que satisfaa a tabela verdade abaixo:p q ?

V V V (p q)V F F F V F

F F V ( p q)Resposta: Frmula obtida (p q) ( p q) FND Para se obter umaFNC:

1. Observamos todas as linhas da tabela que possuem F na ltima coluna;2. Construimos para cada uma destas linhas as disjunes correspondentes;3. Fazemos a conjuno destas disjunes obtendo uma frmula em FNC que satisfaz a tabelaverdade.

Exemplo: Determine uma frmula que satisfaa a tabela verdade abaixo:p q ?

V V V

V F F p qF V F p qF F V

Resposta: Frmula obtida ( p q) (p q) FNCAs FND e FNC obtidas como acima so completas ou seja, em cada disjuncto (FND) ou emcada conjuncto (FNC) todas as variveis proposicionais esto presentes.

NOES DE LGEBRA BOOLEANA

"Uma das caractersticas da investigao cientfica procurar padres ou semelhanas entrefenmenos observados"(livro I). Vimos que o Clculo Proposicional e a Teoria dosConjuntos possuem algumas propriedades em comum ou sejam so estruturas matemticasque, juntamente com operaes ou relaes entre seus objetos obedecem certas regras."Podemos comparar uma estrutura matemtica a um esqueleto humano pois, embora asaparncias externas das pessoas sejam diferentes, a forma e a disposio dos ossos so as

mesmas."(livro I). Assim, vamos definir, uma estrutura matemtica, lgebra Booleana, queincorpora as propriedades bsicas do Clculo Proposicional e da Teoria dos Conjuntos, ou seja, um outro modelo de uma mesma estrutura matemtica. O conceito de lgebra Booleana foiformulado pelo matemtico inglsGeorge Boole por volta de 1850.

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PorLGEBRA BOOLEANA entendemos um conjunto B={p, q, r , ..} junto com duasoperaes binrias + e em B, uma operao singular em B e dois elementos distintos 0 e 1 deB tais que valem as seguintes propriedades: (para todo p , q , r em B ) :

Associativa (p + q) + r = p + (q + r) (p q) r = p (q r)Comutativa p + q = q + p p q = q p

Idempotente p + p = p p p = pAbsoro (p q) + p = p (p + q) p = pDistributiva p + (q r) = (p + q) (p +

r)p (q + r) = (p q) + (p r)

Propriedades do 0 p + 0 = p p 0 = 0Propriedades do 1 p + 1 = 1 p 1 = pQuaisquer que seja p em B, existe p emB tal que

p + p = 1 p p = 0

Indicamos uma lgebra Booleana por[ B , + , , , 0 , 1 ].- A operao p q pode ser denotada simplesmente porpq eliminando o operador .- normal a seguinte terminologia na lgebra Booleana :p q : encontro de p e q.p + q : juno de p e q.

p: complemento de p.0 : elemento zero.1 : elemento unitrio.

Uma expresso booleana, umafrmula e uma expresso na lgebra do conjuntos,socorrespondentes se substituimos , + , , = , 0 , 1 respectivamente por ~ , , , , F , V ouainda por, , , = , , U(considerando-se p , q ,.. como: elementos de B ,variveis proposicionais ou conjuntosrespectivamente).

Exemplo: (p + (q r)) corresponde a ( p (q r)) ou ainda a (p (q r))Para formalizar as semelhanas entre o Clculo Proposicional e a lgebra Booleana, notemosque o conjunto das proposies uma lgebra de Boole em relao conjuno, disjuno e negao.

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APLICAES DE LGEBRA BOOLEANA : MAPA DE KARNAUGH

De modo sucinto podemos dizer que oMAPA DE KARNAUGH, idealizado em 1950 porMauriceKarnaugh, um mtodo de simplificao de expresses lgicas fundamentado emteoremas da lgebra Booleana e utilizando representaes grficas. Utilizando o mapa de

Karnaugh podemos simplificar frmulas ou expresses booleanas em FNDCOMPLETA, semo uso direto de propriedades para obter tais simplificaes.

REPRESENTAO GRFICA : Temos as seguintes representaes grficas (mapas), deacordo com o nmero de variveis (aqui representadas por letras maisculas) das expresses:(no que se segue entende-se AB como A B)a) Duas variveis:

A A

B

B b) Trs variveis :

AB AB AB AB

C

C

c) Quatro variveis :

AB AB AB AB

CD

CD

CD CD

Em cada mapa:

Os quadrados de cima e os de baixo so adjacentes; os da esquerda e os da direita soadjacentes.Os quadrados adjacentes diferem apenas por uma varivel.Cada quadrado indicar umDISJUNCTO da FNDCOMPLETA que est sendo representada.CadaDISJUNCTO ser representado escrevendo 1 no respectivo quadrado.Exemplos:Representar a expresso ABC + ABC + ABC

AB AB AB AB

C 1 1

C 1

Representar a expresso AB+ AB + AB

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A A

B 1

B 1 1

Podemos construir Mapas de Karnaugh para 5 ou mais variveis passando para representaesgrficas tridimensionais tornando-se inadequado.

SIMPLIFICAO :Para simplificar procedemos do seguinte modo:

1. Agrupar , traando ovais ao redor de todos os "1" para formar grupos de 2n "1" adjacentes.2. Nenhum "1" pode ficar fora dos grupos formados. Se necessrio, agrup-lo sozinho.3. Quanto maior o grupo, mais simplificada ficar a expresso.4. Se necessrio, um "1" pode ser agrupado mais de uma vez. Nunca agrup-lo se no houvernecessidade.5. A varivel que se repetir em cada grupo permanece na expresso. A varivel que no se

repete eliminada.Exemplos:a) Simplificando a expresso ABC + ABC + ABC obtemos a expresso ABC + BC

b) Simplificando a expresso AB+ AB + AB obtemos A+ B

c) Simplifique usando um applet apropriado para 4 variveis.

APLICAES DE LGEBRA BOOLEANA : LGEBRA DOS CIRCUITOS

A introduo de uma lgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao matemticoamericano CLAUDE ELWOOD SHANNON(1916-2001) (A Symbolic Analysis of Relay andSwitching Circuits - 1938). De modo sucinto mostraremos esse tipo de relacionamento com aClculo Proposicional e a lgebra Booleana.

Um interruptor um dispositivo ligado a um ponto de um circuito, que pode assumir um dosdois estados,"fechado" ou "aberto". No estado "fechado" (que indicaremos por1) ointerruptor permite que a corrente passe atravs do ponto, enquanto no estado "aberto" (queindicaremos por0) nenhuma corrente pode passar pelo ponto.

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1.Circuito com um interruptorp:p

A indicao "fechado" ou "aberto" do interruptor ser conhecida com a indicao de p=1 oup=0 respectivamente.

2.Circuito com dois interruptores p e q:

Emparalelo indicado porp + qp

q

Neste caso no passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja, esto ambos "abertos" o quecorresponde no Clculo Proposicional tabela verdade da disjuno p q . Em srieindicado porp q ou pq

p q

Neste caso passa corrente se e somente se p=1 e q=1 ou seja, esto ambos "fechados" o quecorresponde no Clculo Proposicional tabela verdade da conjuno p q .Circuitos acoplados contraditrios: quando um abre o outro fecha e reciprocamentecorrespondendo tabela verdade da negao. Circuitos acoplados equivalentes: se comportam do mesmo modo correspondendo tabelaverdade da bi-implicao p q .

Exemplo : A expresso booleana correspondente ao esquema abaixo :(( p q) + ((p q) + q)) = pq + pq + qSimplificando a expresso:(( p q) + ((p q) + q)) = ( p q) + q = q (por absoro) representamos o circuito simplificadoobtido :

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Exemplo : A expresso e um circuito correspondente frmula( p q) r p q r ser : p + q +r

Exemplo : Um comit tem 3 membros . Um projeto passa se e somente se o presidente vota afavor e obtm maioria. Projetar um circuito de modo que cada membro vote a favor apertandoum boto e tal que a luz se acenda se o projeto for aprovado.

Soluo: Sendo P o presidente e A e B os outros dois membros, a tabela verdade abaixocorresponde s informaes dadas onde 1 representa a aprovao do projeto.

Obtendo a FND correspondente temos (P A B) + (P A B ) + (P A B) quesimplificando por Mapa de Karnaugh temos PA + PB = P ( A + B) sendo simples arepresentao do circuito.

P A B ?

1 1 1 1

1 1 0 1

1 0 1 1

1 0 0 0

0 1 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

VALIDADE DE ARGUMENTO

No incio deste roteiro, mencionamos que nosso principal objetivo a investigao da validadede ARGUMENTOS:

Conjunto de enunciados dos quais um a CONCLUSO e os demais PREMISSAS.

Vamos verificar como podemos proceder na investigao de certos argumentos de modoformal.

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DEFINIO: Chamamos ARGUMENTO uma seqnciaA1 , A2 ,A3 ,... , An , B (n 0) de frmulas onde os Ai (0< i < n) chamam-sepremissas e altima frmula B, concluso.

DEFINIO: Um ARGUMENTOA1 , A2 ,A3 ,... , An , B VLIDOse e somente se, sendo

as premissas verdadeiras a concluso B tambm verdadeira, ou ainda, se e somente se, afrmula

A1A2A3 ... An B uma tautologiaque ser indicado como segueA1 , A2 , A3 ,... , An |B que se l :

"A1 , A2 , A3 ,... , An acarretam B" ou, "B decorre de A1 , A2 , A3 ,... , An " ou,"B se deduz de A1 , A2 , A3 ,... , An" ou ainda, "B se infere de A1 , A2 , A3 ,... , An ."

VALIDADE DE UM ARGUMENTO: VERIFICAO POR TABELA VERDADE.

Com o uso das tabelas verdade suficiente verificar se a frmulaA1A2A3 ... An B tautologia.Exemplo: O argumento p, q r, r, q vlido pois a frmula(p (q r) r ) q uma tautologia.O que verificamos nas linhas onde as premissas so verdadeiras que a concluso tambm verdadeira(tabela verdade abaixo, linha 4).

p q r p q r r qV V V V V F F

V V F V F V FV F V V V F V

V F F V V V V

F V V F V F F

F V F F F V F

F F V F V F V

F F F F V V V

VALIDADE DE UM ARGUMENTO: DEMONSTRAO

Podemos verificar a validade de um argumento atravs de mtodos de demonstrao :

1. DEMONSTRAO DIRETA2. DEMONSTRAO INDIRETA - CONDICIONAL

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3. DEMONSTRAO INDIRETA - POR ABSURDO4. DEMONSTRAO INDIRETA RVORE DE REFUTAO

1. DEMONSTRAO DIRETAConsiste em demonstrarou deduzira concluso B a partir das premissas A1 , A2 , A3 ,... , An ,aplicando asEQUIVALNCIAS TAUTOLGICASe asREGRAS DE INFERNCIA .

Exemplo : Demonstrar a validade do argumento p, q r , r , qDemonstrao :1. p premissa2. q r premissa3. r premissa4. q Concluso (2 e 3 :Modus Tollens)Exemplo :Demonstrar a validade do argumento p q , q r , r s , s pDemonstrao :

1. p q premissa2. q r premissa3. r s premissa4. p r 1.2.Silogismo Hipottico5. r s 3.Def. de implicao6. p s 4.5.Silogismo Hipottico7. s p 6. Contraposio8. s p Concluso 7.Negao

2. DEMONSTRAO INDIRETA - CONDICIONAL

Para demonstrar a validade de argumentos cuja concluso uma frmula condicional do tipo B C , considera-se o antecedenteB, como uma premissa adicional e o conseqenteC ser aconcluso a ser demonstrada.De fato, sendo:1. A1 , A2 , A3 ,... , An , B , C vlido ento2. A1 , A2 , A3 ,... , An , B |C isto ,3. ((A1A2 A3 ... An ) B ) C tautologia4. (A1A2 A3 ... An ) (B C) tautologia (Importao e Exportao) e portanto5. A1 , A2 , A3 ,... , An |B C ou ainda,6. A1 , A2 , A3 ,... , An, B C vlidoExemplo : Demonstrar a validade do argumento p q , q r , r s , s pDemonstrao :1. p q premissa2. q r premissa3. r s premissa4. s premissa adicional

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http://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Arvore.htmhttp://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Proposicional2.htm#equivalenciashttp://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Proposicional2.htm#regrashttp://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Proposicional2.htm#regrashttp://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Arvore.htmhttp://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Proposicional2.htm#equivalenciashttp://e/Educa%E7%E3o%20Matem%E1tica/Iseama-Adicam-Tahiri/A%20apostila2/Sites/L%F3gica%20Matem%E1tica/www.pucsp.br/_logica/Proposicional2.htm#regras


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5. r 3.4.Silogismo Disjuntivo6. p r 1.2.Silogismo Hipottico7. r p 6. Contraposio8. p Concluso 5.7.Modus Ponens

3.DEMONSTRAO INDIRETA - POR ABSURDO

Para demonstrar, por absurdo, um argumento A1 , A2 , A3 ,..., An, B considera-se a negao daconcluso B como premissa adicionale conclui-se uma frmula F (frmula falsa do tipo )De fato, sendo:1.A1 , A2 , A3 ,..., An , B |F vlido, temos2.A1 , A2 , A3 ,..., An | B F isto ,3.A1 , A2 , A3 ,..., An | B F (Def. implicao)4.A1 , A2 , A3 ,..., An |B F (Negao)5.A1 , A2 , A3 ,..., An |B (Propriedade de F) ou ainda,6.A1 , A2 , A3 ,... , An , B vlido.

Exemplo : Demonstrar, por absurdo, a validade do argumento p q , q r , r s , s p1. p q premissa2. q r premissa3. r s premissa4. ( s p) premissa adicional5. p r 1.2.Silogismo Hipottico6. r s 3.Def. de implicao7. p s 5.6.Silogismo Hipottico8. s p 7. Contraposio9. ( s p) ( s p) 4. 8. Conjuno10. F

DEMONSTRAO INDIRETA RVORE DE REFUTAO

RVORE DE REFUTAO um mtodo para verificar a validade de um argumento, anlogo demonstrao por absurdo.Para testarmos a validade de um argumento construmos uma listade frmulas consistindo de suas premissasA1, A2 , A3 ,... ,An e a negao da sua concluso B que formam aRAIZ DA RVORE. Arvore continua abaixo com a construo de seusRAMOSpor aplicaes de regras, que seroespecificadas abaixo, e gerando novas linhas na rvore. A rvore termina quando as frmulas deseus ramos so: variveis proposicionais, negaes de variveis proposicionais, ou quandoencontrarmos em todos os ramos uma frmula F.

Se encontrarmos em todos os ramos da rvore uma frmula F, ento a nossa tentativa derefutao falhou ou seja, o argumento vlido. Se em algum ramo da rvore no foi possvelencontrar uma frmula F, ento refutamos o argumento, isto , o argumento no vlido.

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Exemplo: Construir uma rvore de refutao para mostrar que: p q | p- Escrevemos a premissa e a negao da concluso:1. p q2. p- Sabemos que p q verdadeira se, e somente se, p e q so ambas verdadeiras; da, podemossubstituirp q porp e q gerando as linhas 3. e 4., respectivamente, eMARCANDO ( ) a frmula p q.(Uma frmula marcada no poder mais ser utilizada na construo da rvore!!!)1. p q 2. p3. p4. q

- Como p verdadeira se e somente se p verdadeira, marcamos p esubstitumos por p gerando a linha 5. :1. p q 2. p 3. p4. q5. p- A rvore terminou pois das premissas e da negao da concluso obtivemos variveisproposicionais ou negaes de variveis proposicionais. Por outro lado encontramos nas linhas3. e 5. uma frmula F, ou seja, nossa tentativa de refutao falhou e portanto o argumento vlido. Isso ser expresso escrevendo um X no final da lista, gerando a linha 6 e fechando onico ramo da rvore.1. p q 2. p 3. p4. q5. p6. X

A rvore de refutao est completa. A nossa busca para uma refutao do argumento dado

falhou e, portanto, o argumento vlido.

Exemplo:Construir uma rvore de refutao para mostrar que : p q, p |q- Iniciamos a rvore escrevendo a lista de frmulas as premissas e a negao da concluso:1. p q2. p3. q

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- Sabemos que p q verdadeira se, e somente se, p verdadeira ou q verdadeira. Pararepresentar esse fato, marcamos p q e ramificamos a rvore, gerando a linha 4 com doisramos:1. p q 2. p3. q

/ \4. p q

- A rvore terminou pois das premissas e da negao da concluso obtivemos variveisproposicionais ou negaes de variveis proposicionais. Por outro lado encontramos umafrmula F em um ramo, nas linhas 2. e 4. e no outro ramo, nas linhas 3. e 4., ou seja, nossatentativa de refutao falhou e portanto o argumento vlido. Isso ser expresso escrevendo umX no final de cada ramo da lista gerando a linha 5 e fechando os dois ramos da rvore.1. p q 2. p3. q

/ \4. p q5. X X

A rvore de refutao est completa. Como a tentativa de refutao falhou nos dois ramos, oargumento dado vlido.

Exemplo:Construir uma rvore de refutao para verificar a validade do argumento:p q, p | q1. p q2. p3. q - Temos que q equivalente a q; da, marcamos q e escrevemos q gerando a linha 4. :1. p q2. p3. q 4. q

- Como no exemplo anterior, marcamos p q e ramificamos a rvore gerando a linha 5. comdois ramos:1. p q 2. p3. q 4. q

/ \5. p q

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- A rvore terminou e nos dois ramos no h contradies, ou seja, uma frmula F. Neste casoos ramos no sero fechados e o argumento no vlido.

REGRAS PARA A CONSTRUO DE UMA RVORE DE REFUTAO

As regras para a construo de uma rvore de refutao esto relacionadas com as tabelasverdade j conhecidas. Ao aplicar uma regra em uma frmula da rvore, temos a observar que :

- a frmula ser marcada ( ) para evitar aplicaes repetidas de uma regra em uma mesmafrmula.- a aplicao de uma regra deve gerar : uma ou duas linhas, um ramo ou dois ramos conforme aregra, e ser aplicada em todos os ramos abertos (no fechados com X) aos quais a frmulapertence.

Temos as seguintes regras :

1. REGRA DA DUPLA NEGAO ( ) : Uma frmula do tipo A gerauma linha eescrevemos A na linha. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a frmula A pertence pois, A verdadeira se e somente se A verdadeira.2. REGRA DA CONJUNO (): Uma frmula do tipo A B gera duas linhas e escrevemos,em cada linha, as frmulas A e B. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais afrmula A B pertence pois, A B assume valorV se, e somente, as frmulas A e B soverdadeiras.1. A B 2. A3. B

3. REGRA DA DISJUNO (): Uma frmula do tipo A B gera uma linha e dois ramos eescrevemos, na linha e, em cada ramo, as frmulas A e B respectivamente. Procedemos assimem todos os ramos abertos aos quais a frmula A B pertence pois, A B assume valorV se, esomente, a frmula A verdadeira ou a frmula B verdadeira.1.A B

/ \2. A B

4. REGRA DA IMPLICAO (): Uma frmula do tipo A B gera umalinha e dois ramose escrevemos, na linha e, em cada ramo, as frmulas A e B respectivamente. Procedemosassim em todos os ramos abertos aos quais a frmulaA B pertence pois, A B assume valorV se, e somente, a frmula A verdadeira ou afrmula B verdadeira.1. A B / \2. A B

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5. REGRA DA BI- IMPLICAO () : Uma frmula do tipo AB gera duas linhas e doisramos e escrevemos nas linhas as frmulas A e B em um ramo e as frmulas A e B no outroramo. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a frmula AB pertence pois,AB assume valorV se, e somente, a frmula(A B) verdadeira ou a frmula ( A B) verdadeira.1.AB / \2.A A3.B B6. REGRA DA NEGAO DA CONJUNO ( ): Uma frmula do tipo (A B) gera uma linha e doisramos e escrevemos, na linha e, em cada ramo, as frmulas A e B respectivamente. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a frmula (A B) pertence pois, (A B) assume valorV se, e somente, a frmula A verdadeira oua frmula B verdadeira.1. (A B) / \2. A B7. REGRA DA NEGAO DA DISJUNO ( ) : Uma frmula do tipo (A B) gera duas linhas e escrevemos, em cada linha, as frmulas A e B. Procedemosassim em todos os ramos abertos aos quais a frmula (A B) pertence pois, (A B) assumevalorV se, e somente, as frmulas Ae B so verdadeiras.1. (A B) 2. A3. B8. REGRA DA NEGAO DA IMPLICAO ( ) : Uma frmula do tipo (A B) gera duas linhas e escrevemos, em cada linha, as frmulas A e B. Procedemosassim em todos os ramos abertos aos quais a frmula (A B) pertence pois, (A B)assume valorV se, e somente, as frmulas Ae B so verdadeiras.1. (A B) 2. A3. B9. REGRA DA NEGAO DA BI- IMPLICAO( ): Uma frmula do tipo (AB) gera duas linhas e dois ramos e escrevemos nas linhas as frmulas A e B em umramo e as frmulas A e B no outro ramo. Procedemos assim em todos os ramos abertos aosquais a frmula (AB)pertence pois, (AB) assume valorV se, e somente, a frmula( A B) verdadeira ou a frmula (A B) verdadeira.1. (AB) / \2. A A3. B B

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10. RAMO FECHADO:Um ramo ser fechado se nele existem uma frmula A e sua negao A e escrevemos X no final do ramo.1. A2. A3. X

OBSERVAES:- As regras dadas para construir rvores de refutao se aplicam em cada linha ao conectivoprincipal da frmula e no a subfrmulas. Por exemplo,1. p q 2. p q 1.( ) (INCORRETO!!)- No importa a ordem em que as regras so aplicadas; no entanto, mais eficiente aplicar asregras, primeiramente, em frmulas que no resultam em ramificaes.- Cada linha gerada deve serjustificada indicando a respectiva linha de origem na qual foi

aplicada a regra e tambm a regra usada.- Frmula na qual foi aplicada alguma regra deve ser marcada ( ) para evitar aplicaesrepetidas da mesma.Exemplos:1.) Verificar, por meio de rvore de refutao, a validade do argumento:p r s, r s q , p q1. p r s Premissa2. r s q Premissa3. (p q) Negao da Concluso4. p 3.( )5. q 3.( )

/ \6. p (r s) 1.( )7. X(6.4) / \8. r s 6. () / \ / \9. (rs) q (rs) q 2.( )

/ \ \ / \ \10. r s X r s X ( )11. X ? (9.5) X ? (9.5)

(10.8) (10.8)

Temos neste caso dois ramos que no fecharam e, portanto, o argumento no vlido.

2.) Construir uma rvore de refutao para verificar se a frmula(p q) (p q) uma tautologia:1. ((p q) (p q)) Negao da Concluso2. (p q) 1. ( )

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3. (p q) 1. ( )4. p 2. ( )5. q 2. ( )

/ \6. p q 3. ( )7. X X(6.4) (6.5)Todos os ramos esto fechados; assim a frmula vlida, ou seja, uma tautologia.

O CLCULO DE PREDICADOS DE 1a ORDEM

O Clculo de Predicados, dotado de uma linguagem mais rica, tem vrias aplicaesimportantes no s para matemticos e filsofos como tambm para estudantes de Cincia da

Computao.

Podemos observar que nas linguagens de programao conhecidas como PROCEDURAIS(Pascal e outras) , os programas so elaborados para "dizer" ao computador a tarefa que deveser realizada. Em outras linguagens de programao conhecidas como DECLARATIVAS, os

programas reunem uma srie de dados e regras e as usam para gerar concluses. Estesprogramas so conhecidos como SISTEMAS ESPECIALISTAS ou SISTEMAS BASEADOS

NO CONHECIMENTO que simulam em muitos casos a ao de um ser humano. Essaslinguagens declarativas inclui predicados, quantificadores , conectivos lgicos e regras de

inferncia que, como veremos, fazem parte do Clculo de Predicados.

Tambm podemos observar, como expomos abaixo, que existem vrios tipos de argumentos osquais, apesar de vlidos, no possvel justific-los com os recursos do Clculo Proposicional:

1. Todo amigo de Carlos amigo de Jonas.Pedro no amigo de Jonas.Logo, Pedro no amigo de Carlos.

2. Todos os humanos so racionais.Alguns animais so humanos.Portanto, alguns animais so racionais.

A verificao da validade desses argumentos nos leva no s ao significado dos conectivos mastambm ao significado de expresses como "todo", "algum", "qualquer", etc.

Smbolos da Linguagem

Para que possamos tornar a estrutura de sentenas complexas mais transparente necessrio aintroduo de novos smbolos na linguagem do Clculo Proposicional, obtendo-se a linguagemdo Clculo de Predicados de 1a Ordem.Nesta nova linguagem teremos, alm dos conectivos do clculo proposicionale osparnteses,os seguintes novos smbolos:

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variveis: x,y,z,.....,x ,y ,z ,......constantes : a,b,c,....,a ,b ,c ,......smbolos de predicados: P , Q , R , S ,....quantificadores : (universal) , (existencial)termos: as variveis e as constantes so designadas pelo nome genrico de termos os quais

sero designados por t1 , t2 , ...,tn ...as variveis representam objetos que no esto identificados no Universo considerado("algum", "algo", etc.);as constantesrepresentam objetos identificados do Universo ("Joo", "o ponto A", etc. );os smbolos de predicados representam propriedades ou relaes entre os objetos do Universo.

Exemplos:

"Maria inteligente" : I(m) ; onde "m" est identificando Maria e "I" a propriedade de "serinteligente".

"Algum gosta de Maria" : G(x,m) ; onde G representa a relao "gostar de" e "x" representa"algum".

De modo geral temos:

P(x) : significa que x tem a propriedade P .(x)P(x): significa que a propriedade P vale para todo x, ou ainda, que todos os objetos doUniverso considerado tem a propriedade P.( x)P(x): significa que algum x tem a propriedade P, ou ainda, que existe no mnimo umobjeto do Universo considerado que tem a propriedade P.

Notamos que os smbolos de predicados sero unrios, binrios ou n-rios conforme apropriedade que representam envolver, respectivamente um, dois ou mais objetos do universo edizemos tambm que o smbolo de predicado tem peso 1, peso 2 ... ou peso n.

OBS.: Um smbolo de predicados 0-rio (peso zero) identifica-se com um dos smbolos depredicado; por exemplo: "chove" podemos simbolizar "C".

As frmulas mais simples do Clculo de Predicados de 1a Ordem so chamadas defrmulasatmicase podem ser definidas como:"Se P for um smbolo de predicado de peso n e se t1 , t2 , ...,tn forem termos ento

P(t1 , t2 , ...,tn ) uma frmula atmica."

DEFINIO DE FRMULA:

1.Toda frmula atmica uma frmula.2.Se e forem frmulas ento ( ), ( ) , ( ) , ( ) e ( ) sofrmulas.3.Se for uma frmula e x uma varivel ento (x) e (x) so frmulas.4.As nicas frmulas so dad

Apostila de Introdu o L Gica

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