(Apostila de Matemática 2012 Publicar...

SESTSENAT- FLORIANÓPOLIS/SC

Auxiliar Administrativo com Ênfase em Transporte Rodoviário de Passageiros

MATEMÁTICA BÁSICA MÓDULO BÁSICO

FASE I

2012

SESTSENAT - Florianópolis/SC – Aprendizagem - Matemática Básica 2

Programa da Disciplina

• Números inteiros, fracionários e decimais; • Potenciação e radiciação; • Sistema de medidas; • Razão, proporção e escala; • Divisão proporcional; • Regra de Três simples; • Regra de Três composta; • Porcentagem; • Juros simples e descontos simples; • Juros compostos.

Carga Horário: 30ha


SUMÁRIO TABUADAS ................................................................................................................................... 5

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS ..................................................................................................... 6 1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N) ................................................................ 6

1.2 CONJUNTO DOS NÚEMROS INTEIROS (Z) ................................................................... 6

1.3 CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) ............................................................. 6

1.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I) ............................................................ 6

1.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R) ......................................................................... 7 2 FRAÇÕES .................................................................................................................................... 8

2.1 O SIGNIFICADO DE UMA FRAÇÃO ................................................................................ 8 2.2 COMO SE LÊ UMA FRAÇÃO ............................................................................................ 9 2.3 CLASSIFICAÇÃO DAS FRAÇÕES.................................................................................... 9 2.4 FRAÇÕES EQUIVALENTES .............................................................................................. 9 2.5 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ..................................................................................... 10 2.6 NÚMEROS FRACIONÁRIOS ........................................................................................... 10 2.7 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS ....................................... 11

2.7.1 Mínimo Múltiplo Comum ............................................................................................ 11 2.8 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS .............................. 13

3 RAZÕES .................................................................................................................................... 15

3.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 15

3.2 TERMOS DE UMA RAZÃO ............................................................................................. 16 3.3 RAZÕES INVERSAS ......................................................................................................... 16 3.4 RAZÕES EQUIVALENTES .............................................................................................. 17 3.5 PROPORÇÕES - INTRODUÇÃO ..................................................................................... 17 3.6 ELEMENTOS DE UMA PROPORÇÃO ........................................................................... 18 3.7 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES .............................................. 18

4 REGRA DE TRÊS SIMPLES .................................................................................................... 20 5. REGRA DE TRÊS COMPOSTA ............................................................................................. 23 6 PORCENTAGEM ...................................................................................................................... 26

6.1 RAZÃO CENTESIMAL ..................................................................................................... 26 7 MÉDIA ....................................................................................................................................... 29

7.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ..................................................................................... 29 7.2 Média ponderada ................................................................................................................. 29

8. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO; ........................................................................................ 30 8.1 POTENCIAÇÃO ................................................................................................................. 30

8.1.1 Propriedades das potências ........................................................................................... 30 8.2 RADICIAÇÃO .................................................................................................................... 32

8.2.1 Propriedade ................................................................................................................... 33

8.2.2 Raiz Quadrada ............................................................................................................. 34

9. SISTEMAS DE MEDIDAS ...................................................................................................... 35 9.1 MEDIDAS DE COMPRIMENTO ...................................................................................... 35

9.1.1 Sistema Métrico Decimal ............................................................................................. 35 9.1.2 Múltiplos e Submúltiplos do Metro ............................................................................. 35 9.1.3 Leitura das Medidas de Comprimento ......................................................................... 36 9.1.4 Transformação de Unidades ......................................................................................... 36

9.2 MEDIDAS DE SUPERFÍCIE ............................................................................................. 38 9.2.1 Introdução ..................................................................................................................... 38

9.2.2 Superfície e área ........................................................................................................... 38

9.2.3 Metro Quadrado ........................................................................................................... 38 9.2.4 Medidas Agrárias ......................................................................................................... 39


9.2.5 Transformação de unidades .......................................................................................... 39 9.3 MEDIDAS DE VOLUME .................................................................................................. 40

9.3.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 40 9.3.2 Metro cúbico ................................................................................................................ 40

9.3.3 Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico ................................................................... 40 9.3.4 Leitura das medidas de volume .................................................................................... 40 9.3.5 Transformação de unidades .......................................................................................... 41

9.4 MEDIDAS DE CAPACIDADE .......................................................................................... 41 9.4.1 Múltiplos e submúltiplos do litro ................................................................................. 41 9.4.2 Leitura das medidas de capacidade .............................................................................. 42

9.5 MEDIDAS DE MASSA...................................................................................................... 42 9.5.1 Introdução ..................................................................................................................... 42

9.5.2 Múltiplos e Submúltiplos do grama ............................................................................. 43 9.5.3 Relações Importantes ................................................................................................... 43 9.5.4 Leitura das Medidas de Massa ..................................................................................... 43 9.5.5 Transformação de Unidades ......................................................................................... 44

9.6 MEDIDAS DE TEMPO ...................................................................................................... 44 9.6.1 Introdução ..................................................................................................................... 44

9.6.3 Outras importantes (unidades de medida) .................................................................... 45 10 GRANDEZAS .......................................................................................................................... 47

10.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 47 10.2 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS .................................................... 47

10.3 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS .................................................. 48

11 MATEMÁTICA FINANCEIRA .............................................................................................. 50 11.1 CONCEITOS BÁSICOS................................................................................................... 50

11.1.1 Capital ........................................................................................................................ 50

11.1.2 Juros ........................................................................................................................... 50

11.2 QUANDO USAMOS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS? .............................. 50

11.3 TAXA DE JUROS ............................................................................................................ 51 11.4 JUROS SIMPLES ............................................................................................................. 51 11.5 JUROS COMPOSTOS ...................................................................................................... 53

11.5.1 Relação entre juros e progressões .............................................................................. 54 11.6 TAXAS .............................................................................................................................. 54

11.6.1 Taxas Equivalentes ..................................................................................................... 54 11.6.2 Taxas Nominais .......................................................................................................... 55 11.6.3 Taxas Efetivas ............................................................................................................ 55

11.6.4 Taxa Real .................................................................................................................... 55

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA .............................................................................................. 56


TABUADAS

1 2 3 4 5 1x1 = 1 1x2 = 2 1x3 = 3 1x4 = 4 1x5 = 5 1x6 = 6 1x7 = 7 1x8 = 8 1x9 = 9

1x10 = 10

2x1 = 2 2x2 = 4 2x3 = 6 2x4 = 8 2x5 = 10 2x6 = 12 2x7 = 14 2x8 = 16 2x9 = 18 2x10 = 20

3x1 = 3 3x2 = 6 3x3 = 9 3x4 = 12 3x5 = 15 3x6 = 18 3x7 = 21 3x8 = 24 3x9 = 27 3x10 = 30

4x1 = 4 4x2 = 8 4x3 = 12 4x4 = 16 4x5 = 20 4x6 = 24 4x7 = 28 4x8 = 32 4x9 = 36 4x10 = 40

5x1 = 5 5x2 = 10 5x3 = 15 5x4 = 20 5x5 = 25 5x6 = 30 5x7 = 35 5x8 = 40 5x9 = 45 5x10 = 50

6 7 8 9 10 6x1 = 6 6x2 = 12 6x3 = 18 6x4 = 24 6x5 = 30 6x6 = 36 6x7 = 42 6x8 = 48 6x9 = 54 6x10 = 60

7x1 = 7 7x2 = 14 7x3 = 21 7x4 = 28 7x5 = 35 7x6 = 42 7x7 = 49 7x8 = 56 7x9 = 63 7x10 = 70

8x1 = 8 8x2 = 16 8x3 = 24 8x4 = 32 8x5 = 40 8x6 = 48 8x7 = 56 8x8 = 64 8x9 = 72 8x10 = 80

9x1 = 9 9x2 = 18 9x3 = 27 9x4 = 36 9x5 = 45 9x6 = 54 9x7 = 63 9x8 = 72 9x9 = 81 9x10 = 90

10x1 = 10 10x2 = 20 10x3 = 30 10x4 = 40 10x5 = 50 10x6 = 60 10x7 = 70 10x8 = 80 10x9 = 90

10x10 = 100


1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)

São os números inteiros e positivos e o zero (0).

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12, ....}

1.2 CONJUNTO DOS NÚEMROS INTEIROS (Z)

São todos números inteiros positivos, negativos e o zero (0).

Z = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

1.3 CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Um número é chamado de racional quando pode ser escrito na forma de fração b

a e b

é diferente de zero (b ≠ 0).

Exemplo:

35

, 614−

, 327

218

9 ==

A propriedade que representa os números racionais é:

0|{ ≠→∈→∈→== bRbZab

axxQ

1.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I)

São os números que não podem ser escrito na forma de fração de dois números inteiros.

Obs. Há uma relação de simetria entre um número e seu oposto em relação ao zero (0).


Exemplo:

...1415926535,3=π , ...4142135,12 = , ...7320508,13 =

1.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)

É formado pela união (U ) dos elementos dos conjuntos anteriores: R = { N U Z U Q U I )


2 FRAÇÕES

O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.

Chamamos: de fração;

a de numerador;

b de denominador.

Se a é múltiplo de b, então é um número natural.

Veja um exemplo:

A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador.

Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2.

Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.

2.1 O SIGNIFICADO DE UMA FRAÇÃO

Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso,

qual é o significado de ?

Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.

Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes:

Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate.


2.2 COMO SE LÊ UMA FRAÇÃO As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...

um meio

dois quintos

um terço

quatro sétimos

um quarto

sete oitavos

um quinto

quinze nonos

um sexto

um décimo

um sétimo

um centésimo

um oitavo

um milésimo

um nono

oito milésimos

2.3 CLASSIFICAÇÃO DAS FRAÇÕES

Fração própria : o numerador é menor que o denominador:

Fração imprópria : o numerador é maior ou igual ao denominador.

Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.

2.4 FRAÇÕES EQUIVALENTES

Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

Exemplo: são equivalentes


Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

Exemplo: obter frações equivalentes à fração .

Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a .

2.5 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES

Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida

dividindo-se ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma

fração simplificada de .

A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A

fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum

2.6 NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira?

5 . X = 1

Substituindo X, temos:

X por 0 temos: 5.0 = 0

X por 1 temos: 5.1 = 5.

Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários.

Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.

Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas as frações equivalentes a ela

representam o mesmo número fracionário .

Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = , pois .


2.7 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Temos que analisar dois casos:

1. denominadores iguais

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.

Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.

Observe os exemplos:

2. denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar

as frações .

Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.

(10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

2.7.1 Mínimo Múltiplo Comum

2.7.1.1 Múltiplo de um Número Natural

Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3, também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro.

Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.

Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 ,... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...


Observações importantes: 1) Um número tem infinitos múltiplos

2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

2.7.1.2 Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.)

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.

Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:

Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...

Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...

Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...

Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação

m.m.c.

2.7.1.3 Cálculo do M.M.C.

Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:

1º) decompomos os números em fatores primos

2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

12 = 2 x 2 x 3

30 = 2 x 3 x 5

m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5

Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:

12 = 22 x 3

30 = 2 x 3 x 5

m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um, elevado ao maior expoente.

2.7.1.4 Processo da Decomposição Simultânea


Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)

Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

2.7.1.5 Propriedade do M.M.C. Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é

o m.m.c.(3,6,30). Observe:

m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados.

Considerando os números 4 e 15, que são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.

2.8 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:


Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:


3 RAZÕES

3.1 INTRODUÇÃO

Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:

(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida.

A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.

A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.

Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)

o quociente ou a:b.

A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:

• Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.

Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

• Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.

Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

Observações: 1. A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas.

Exemplo:

Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).

(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).


2. A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos:

A razão entre 1 e -8 é .

A razão entre é .

3.2 TERMOS DE UMA RAZÃO

Observe a razão:

(lê-se "a está para b" ou "a para b").

Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b é denominado conseqüente. Veja o exemplo:

3:5 =

Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.

3.3 RAZÕES INVERSAS

Considere as razões .

Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, .

Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas.

Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.

Exemplo:

são razões inversas, pois .

Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra, e vice-versa.

Observações:


1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa.

2) 2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos.

3.4 RAZÕES EQUIVALENTES

Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte maneira:

Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente de zero), obtemos uma razão

equivalente.

Exemplos:

são razões equivalentes.

são razões equivalentes.

3.5 PROPORÇÕES - INTRODUÇÃO

Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.

Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:


Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade

é uma proporção. Assim:

3.6 ELEMENTOS DE UMA PROPORÇÃO

Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:

ou a:b=c:d

(lê-se "a está para b assim como c está para d")

Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

• b e c os meios da proporção.

• a e d os extremos da proporção.

Exemplo:

Dada a proporção , temos

Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36

Meios: 4 e 27 � Extremos: 3 e 36

3.7 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES

Observe as seguintes proporções:

Produto dos meios = 4.30 = 120 Produto dos extremos = 3.40 = 120




De modo geral, temos que:

Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:


4 REGRA DE TRÊS SIMPLES

Regra de Três Simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)

1,2 400

1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.


2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480 km/h?


Velocidade (Km/h) Tempo (h)

400 3

480 x

Identificação do tipo de relação:


Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.

Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?


Camisetas Preço (R$)

3 120

5 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:


Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?


Horas por dia Prazo para término (dias)

8 20

5 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.

Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:


5. REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A Regra de Três Composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhões Volume

8 20 160

5 x 125

Identificação dos tipos de relação:


A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.

Observe que:

Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?



Homens Carrinhos Dias

8 20 5

4 x 16

Observe que:

Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.


Logo, serão montados 32 carrinhos.

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois se colocam flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:


Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

Exercícios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:


1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?.

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?

5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?


6 PORCENTAGEM

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades.

Alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15%.

Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

6.1 RAZÃO CENTESIMAL

Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte problema:

João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?

Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos:

• Calcular 10% de 300.


• Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

EXERCÍCIOS:

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte-nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação

10% 1,10

15% 1,15

20% 1,20

47% 1,47

67% 1,67


Exemplo:

Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:

Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de

Multiplicação

10% 0,90

25% 0,75

34% 0,66

60% 0,40

90% 0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00


7 MÉDIA

7.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES

A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de posição mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia que qualquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto de valores numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número de elementos somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n números é sua soma dividida por n.

7.2 Média ponderada

Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o mesmo peso relativo. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada.

Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa.

Definição de Média Aritmética Ponderada:

A média aritmética ponderada p de um conjunto de números x1, x2, x3, ..., xn cuja importância relativa ("peso") é respectivamente p1, p2, p3, ..., pn é calculada da seguinte maneira:

p = EXEMPLO:

Alcebíades participou de um concurso, onde foram realizadas provas de Português, Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo que Alcebíades tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual foi a média que ele obteve?

p =

R: Portanto a média de Alcebíades foi de 6,45.


8. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO;

8.1 POTENCIAÇÃO Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado

da multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a representação dessa multiplicação que é a potenciação.

2 . 2 . 2 . 2 = 16 → mul�plicação de fatores iguais.

Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma:

2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16

↓

Fatores iguais.

Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potência.

Representamos uma potência da seguinte forma:

8.1.1 Propriedades das potências

Na operação com potências, ao efetuarmos a sua resolução podemos utilizar algumas propriedades para simplificar os cálculos.

Produto de potência de mesma base

Sem utilizar essa propriedade resolveríamos uma multiplicação de potência de mesma base da seguinte forma:

52 = 25

Expoente

Base

Potência


22 . 2

3 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25 = 32

Utilizando a propriedade de produtos de mesma base, resolvemos da seguinte forma: como é um produto de bases iguais, basta repetir a base e somar os expoentes.

22 . 2

3 = 2

2 + 3 = 2

5 = 32

51 . 5

3 = 5

1 + 3 = 5

4 = 625

Quocientes de potências de mesma base

Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 : 126 ficaria da seguinte forma:

128 : 12

6 = 429981696 : 2985984 = 144

Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada, veja: como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes.

128 : 12

6 = 12

8 – 6 = 122 = 144

(-5)6 : (-5)

2 = (-5)

6 – 2 = (-5)

4 = 625

Potência de Potência

Quando nos deparamos com a seguinte potência (32)3 resolvemos primeiro a potência que está dentro dos parênteses e depois, com o resultado obtido, elevamos ao expoente de fora, veja:

(32)

3 = (3 . 3)

3 = 9

3 = 9 . 9 . 9 = 729

Utilizando a propriedade de potência, a resolução ficará mais simplificada: basta multiplicarmos os dois expoentes, veja:

(32)

3 = 3

2 . 3 = 3

6 = 729

(-91)2 = (-9)1 . 2 = (-9)2 = 81


Potência de um produto

Veja a resolução da potência de um produto sem utilizarmos a propriedade:

(3 x 4)3 = (3 x 4) x (3 x 4) x (3 x 4)

(3 x 4)3 = 3 x 3 x 3 x 4 x 4 x 4

(3 x 4)3 = 27 x 64

(3 x 4)3 = 1728

Utilizando a propriedade, a resolução ficaria assim:

(3 x 4)3 = 33 x 43 = 27 x 64 = 1728

8.2 RADICIAÇÃO

O termo radiciação pode ser entendido como uma operação que têm por fim, fornecida uma potência de um número e o seu grau, possa determinar esse número.

Este tutorial fica um pouco mais prático, pois como já estudamos em tutoriais anteriores sobre potências, caso não tenha estudado sugiro que revise. A radiciação resumindo e sendo objetivo é inverso da potenciação.

Exemplo, quando elevamos um determinado número X à sexta potência e depois em uma operação de extração de raiz na sexta potência, temos como resultado o número X.

Onde :

n = representa o termo da radiciação chamado Radical.

X = representa o termo da radiciação chamado de radicando

Revisando definição:

Temos que radiciação de números relativos é a operação inversa da potenciação.

Observe abaixo:


Em termos mais precisos, dado um número relativo a denominado radicando e dado um número inteiro positivo n denominado índice da raiz, é possível determinar outro número

relativo b, denominado raiz enésima de a, representada pelo símbolo , tal que b elevado a n seja igual a a.

Símbolo da Radiciação

� Este é o símbolo de raiz ou sinal de raiz ou simplesmente radical.

8.2.1 Propriedade

Propriedades Fundamentais

• Isto acontece pois zero vezes zero sempre será zero, não importa quantas "n" vezes ele aparecer.

• Mesma coisa, um vezes um é sempre 1

• Esta podemos provar pela definição de raiz. Qual o número que multiplicado uma vez por ele mesmo resulta ele? Ele mesmo!

• Se colocarmos esta raiz na forma de potência temos:

o an/n

o e a fração n/n vale 1, então:

o an/n = a1= a

• Esta propriedade é idêntica à primeira desta matéria , a única diferença é que agora o "a" está elevado em uma potência diferente de 1.

Estas são as principais propriedades de Radiciação. Agora vamos ver as propriedades operatórias, ou seja, como fazer operações com raízes (multiplicação, divisão...).

Propriedades Operatórias

• Agora vamos dar uma visão mais genérica, visto que as propriedades irão se repetir pois são idênticas às de potenciação:


• Ao transformarmos as raízes da multiplicação em potenciação, utilizamos a propriedade de multiplicação de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes.

• Se transformarmos a multiplicação de raízes em multiplicação de potências, podemos utilizar a propriedade de multiplicação de dois números na mesma potência.

•

• Novamente se transformarmos a raiz em potência, teremos:

•

• Agora o que devemos fazer é voltar de potência para raiz:

•

8.2.2 Raiz Quadrada

A raiz quadra de um número inteiro é o outro número que, se elevado ao quadrado, reproduz o número dado.

Desta forma: Raiz quadrada do número 16 é = +/- 4, pois (+4)2 = 16 e (-4)2 = 16

Raiz quadrada do número 49 é = +/- 7, pois (+7)2 = 49 e (-7)2 = 49

Obs. Quando o Radical é Par, só existe raiz Real se o Radicando for positivo.


9. SISTEMAS DE MEDIDAS

9.1 MEDIDAS DE COMPRIMENTO

9.1.1 Sistema Métrico Decimal

Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.

Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.

Metro

A palavra metro vem do grego métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.

9.1.2 Múltiplos e Submúltiplos do Metro

Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili . Observe o quadro:

Múltiplos

Unidade Fundamental

Submúltiplos

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

km hm dam m dm cm mm

1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:

mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m

Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):

Ano-luz = 9,5 · 1012 km

O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:

Pé = 30,48 cm

Polegada = 2,54 cm

Jarda = 91,44 cm


Milha terrestre = 1.609 m

Milha marítima = 1.852 m

Observe que:

• 1 pé = 12 polegadas

• 1 jarda = 3 pés

9.1.3 Leitura das Medidas de Comprimento

A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m.

Seqüência prática:

1. Escrever o quadro de unidades:


2. Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva.


1 5, 0 4 8

3. Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma.

15 metros e 48 milímetros

Outros exemplos: 6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"

82,107 dam lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros".

0,003 m lê-se "três milímetros".

9.1.4 Transformação de Unidades


Observe as seguintes transformações:

• Transforme 16,584hm em m.


Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).

16,584 x 100 = 1.658,4

Ou seja:

16,584hm = 1.658,4m

• Transforme 1,463 dam em cm.


Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10).

1,463 x 1.000 = 1,463

Ou seja:

1,463dam = 1.463cm.

• Transforme 176,9m em dam.


Para transformar m em dam (uma posição à esquerda) devemos dividir por 10.

176,9 : 10 = 17,69

Ou seja:

176,9m = 17,69dam

• Transforme 978m em km.


Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000.

978 : 1.000 = 0,978

Ou seja:

978m = 0,978km.

Observação:

Para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos inicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações.


9.2 MEDIDAS DE SUPERFÍCIE

9.2.1 Introdução

As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:

• Qual a área desta sala?

• Qual a área desse apartamento?

• Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa piscina?

• Qual a área dessa quadra de futebol de salão?

• Qual a área pintada dessa parede?

9.2.2 Superfície e área

Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.

9.2.3 Metro Quadrado

A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.

O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.

Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos

Quilômetros quadrado

Hectômetro quadrado

Decâmetro quadrado

Metro quadrado

Decímetro quadrado

Centímetro quadrado

Milímetro quadrado

km 2 hm 2 dam 2 m2 dm 2 cm 2 mm 2 1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2

O dam2, o hm2 e km2 são utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies.

Exemplos: 1) Leia a seguinte medida: 12,56m2:

km 2 hm 2 dam 2 m2 dm 2 cm 2 mm 2 12, 56

Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área.

2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2

km 2 hm 2 dam 2 m2 dm 2 cm 2 mm 2


1 78, 30

Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”

3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2

km 2 hm 2 dam 2 m2 dm 2 cm 2 mm 2 0, 91 70

Lê-se 9.170 decímetros quadrados.

9.2.4 Medidas Agrárias

As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).

Unidade agrária

hectare (ha) are (a) centiare (ca)

Equivalência de valor

100a 1a 0,01a

Lembre-se: 1 ha = 1hm 2

1a = 1 dam 2

1ca = 1m 2

9.2.5 Transformação de unidades No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de

superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:

Observe as seguintes transformações:

• Transformar 2,36 m2 em mm2.


Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100).

2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2

• Transformar 580,2 dam2 em km2.



Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100).

580,2 : 10.000 = 0,05802 km2

Pratique! Tente resolver esses exercícios:

1) Transforme 8,37 dm2 em mm2

2) Transforme 3,1416 m2 em cm2

3) Transforme 2,14 m2 em dam2

4) Calcule 40m x 25m

9.3 MEDIDAS DE VOLUME

9.3.1 INTRODUÇÃO

Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.

9.3.2 Metro cúbico

A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.

9.3.3 Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico

Múltiplos Unidade

Fundamental

Submúltiplos

quilômetro cúbico

hectômetro cúbico

decâmetro cúbico metro cúbico decímetr

o cúbico centímetro

cúbico milímetro

cúbico km 3 hm 3 dam 3 m3 dm 3 cm 3 mm 3

1.000.000.000m3

1.000.000 m3 1.000m3 1m3 0,001m3 0,000001m

3 0,00000000

1 m3

9.3.4 Leitura das medidas de volume

A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar porem, três algarismos em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos.

• Leia a seguinte medida: 75,84m3

km 3 hm 3 dam 3 m3 dm 3 cm 3 mm 3 75, 840

Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".


• Leia a medida: 0,0064dm3

km 3 hm 3 dam 3 m3 dm 3 cm 3 mm 3 0, 006 400

Lê-se "6400 centímetros cúbicos".

9.3.5 Transformação de unidades

Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe a seguinte transformação:

• transformar 2,45 m3 para dm3.


Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.

2,45 x 1.000 = 2.450 dm3

Pratique! Tente resolver esses exercícios:

1) Transforme 8,132 km3 em hm3

2) Transforme 180 hm3 em km3

3) Transforme 1 dm3 em dam3

Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3

9.4 MEDIDAS DE CAPACIDADE A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando

enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente.

A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.

Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.

1l = 1dm3

9.4.1 Múltiplos e submúltiplos do litro

Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro


kl hl dal l dl cl ml 1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Relações

1l = 1dm3

1 ml = 1cm3

1 kl = 1m3

9.4.2 Leitura das medidas de capacidade

• Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal

kl hl dal l dl cl ml 2, 4 7 8

Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".

9.5 MEDIDAS DE MASSA

9.5.1 Introdução

Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa:

Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela.

Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo:

A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua.

Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar.

Observação: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um

corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas".

Quilograma A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.

O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 4ºC.


Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa.

9.5.2 Múltiplos e Submúltiplos do grama

Múltiplos

Unidade principal

Submúltiplos

quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama

kg hg dag g dg cg mg

1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g

Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos:

1 dag = 10 g

1 g = 10 dg

9.5.3 Relações Importantes

Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e capacidade.

Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a seguinte equivalência:

1 kg <=> 1dm3 <=> 1L

São válidas também as relações:

1m3 <=> 1 Kl <=> 1t

1cm3 <=> 1ml <=> 1g

Observação: Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes unidades

especiais:

1 arroba = 15 kg

1 tonelada (t) = 1.000 kg

1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg

9.5.4 Leitura das Medidas de Massa

A leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado às medidas lineares. Exemplos:

• Leia a seguinte medida: 83,732 hg


8 3, 7 3 1

Lê-se "83 hectogramas e 731 decigramas".


• Leia a medida: 0,043g


0, 0 4 3

Lê-se " 43 miligramas".

9.5.5 Transformação de Unidades

Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe as Seguintes transformações:

• Transforme 4,627 kg em dag.


Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 � (10 x 10).

4,627 x 100 = 462,7

Ou seja:

4,627 kg = 462,7 dag

Observação: Peso bruto: peso do produto com a embalagem.

Peso líquido: peso somente do produto.

9.6 MEDIDAS DE TEMPO

9.6.1 Introdução

É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:

Qual a duração dessa partida de futebol?

Qual o tempo dessa viagem?

Qual a duração desse curso?

Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?

Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo.


A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.

Segundo O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre

as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.

O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio.

As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.

9.6.2 Múltiplos e Submúltiplos do Segundo Quadro de unidades

Múltiplos

minutos hora dia

min h d

60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s

São submúltiplos do segundo:

• Décimo de segundo

• Centésimo de segundo

• Milésimo de segundo

Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.

Observe:

9.6.3 Outras importantes (unidades de medida)

mês (comercial) = 30 dias ano (comercial) = 360 dias

ano (normal) = 365 dias e 6 horas ano (bissexto) = 366 dias

semana = 7 dias


quinzena = 15 dias bimestre = 2 meses trimestre = 3 meses

quadrimestre = 4 meses

semestre = 6 meses biênio = 2 anos

lustro ou qüinqüênio = 5 anos década = 10 anos século = 100 anos

milênio = 1.000 anos


10 GRANDEZAS

10.1 INTRODUÇÃO

Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas.

Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.

É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo:

Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.

Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.

10.2 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:

Tempo (minutos) Produção (Kg)

5 100

10 200

15 300

20 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.

5 min � 100Kg

10 min � 200Kg

Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.

5 min � 100Kg

15 min � 300Kg


Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores

correspondentes da 2ª

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

10.3 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo

Velocidade (m/s) Tempo (s)

5 200

8 125

10 100

16 62,5

20 50

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.

5 m/s � 200s

10 m/s � 100s

Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte.

5 m/s � 200s

20 m/s � 50s

Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores


correspondentes da 2ª.

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.


11 MATEMÁTICA FINANCEIRA

11.1 CONCEITOS BÁSICOS

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

11.1.1 Capital

O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

11.1.2 Juros

Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

11.2 QUANDO USAMOS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.


11.3 TAXA DE JUROS

A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

• 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).

• 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:

• 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).

• 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

11.4 JUROS SIMPLES

O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J = P . i . n

Onde:

J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos

EXEMPLO:

Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )


M = P . ( 1 + ( i . n ) )

EXEMPLO:

Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

SOLUÇÃO:

M = P . ( 1 + (i.n) )

M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Exercícios sobre juros simples: 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 0.13 / 6 = 0.02167 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195 j = 1200 x 0.195 = 234 2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = 40000.0,001.125 = R$5000,00 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67 4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento: 2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses


11.5 JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

Após três meses de capitalização, temos:

• 1º mês: M =P.(1 + i)

• 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)

• 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Simplificando, obtemos a fórmula:

M = P . (1 + i)n

IMPORTANTE:

A taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:

J = M - P

EXEMPLO:

Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.

(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788) Resolução:

P = R$6.000,00

t = 1 ano = 12 meses

i = 3,5 % a.m. = 0,035

M = ?

Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:

M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12

Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:


log x = log 1,03512 � log x = 12 log 1,035 � log x = 0,1788 � x = 1,509

Então M = 6000 x 1,509 = 9054.

Portanto o montante é R$9.054,00

11.5.1 Relação entre juros e progressões

• No regime de juros simples:

o M( n ) = P + n r P

• No regime de juros compostos:

o M( n ) = P . ( 1 + r ) n

PORTANTO:

• num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética

• num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica

11.6 TAXAS

11.6.1 Taxas Equivalentes

Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final.

• Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia .

• O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + ia )

• Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im .

• O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + im)12.

Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’ .

Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12

Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12

Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.

EXEMPLOS:

1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?

Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + ia = (1 + is)2

1 + ia = 1,082


ia = 0,1664 = 16,64% a.a.

2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?

1 + ia = (1 + im)12

1 + ia = (1,005)12

ia = 0,0617 = 6,17% a.a.

11.6.2 Taxas Nominais

A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:

• 340% ao semestre com capitalização mensal.

• 1150% ao ano com capitalização mensal.

• 300% ao ano com capitalização trimestral.

EXEMPLO:

Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:

15/12 = 1,25 1,2512 = 1,1608

11.6.3 Taxas Efetivas

A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:

• 140% ao mês com capitalização mensal.

• 250% ao semestre com capitalização semestral.

• 1250% ao ano com capitalização anual.

11.6.4 Taxa Real

É a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.


REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br> – Acesso 17 janeiro 2012.

MUNDO DA EDUCAÇÃO. Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/propriedades-das-potencias.htm> – Acesso 17 jan. 2012.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: volume único. São Paulo: Ática, 2005. (Novo ensino médio).

Apostila de Matemática Básica – PET (Programa de Estudo Tutorial) –Física – Universidade Estadual de Londrina. Disponível em: <http://www.uel.br/cce/fisica/pet/Apostila.pdf> - Acesso 23 jan. 2012.

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