APOSTILA DE MATEMTICA

Teoria dos conjuntos

Introduo aos conjuntosNo estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definio. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, podese ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o portugus sob o ttulo (nada ingnuo de): Teoria Ingnua dos Conjuntos.

Alguns conceitos primitivosConjunto: representa uma coleo de objetos. a. O conjunto de todos os brasileiros. b. O conjunto de todos os nmeros naturais. c. O conjunto de todos os nmeros reais tal que x-4=0. Em geral, um conjunto denotado por uma letra maiscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z. Elemento: um dos componentes de um conjunto. a. Jos da Silva um elemento do conjunto dos brasileiros. b. 1 um elemento do conjunto dos nmeros naturais. c. -2 um elemento do conjunto dos nmeros reais que satisfaz equao x-4=0. Em geral, um elemento de um conjunto, denotado por uma letra minscula do alfabeto: a, b, c, ..., z. Pertinncia: a caracterstica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. a. Jos da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros. b. 1 pertence ao conjunto dos nmeros naturais.

c. -2 pertence ao conjunto de nmeros reais que satisfaz equao x-4=0. Smbolo de pertinncia: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o smbolo que se l: "pertence". Para afirmar que 1 um nmero natural ou que 1 pertence ao conjunto dos nmeros naturais, escrevemos: 1 N Para afirmar que 0 no um nmero natural ou que 0 no pertence ao conjunto dos nmeros naturais, escrevemos: 0 N Um smbolo matemtico muito usado para a negao a barra / traada sobre o smbolo normal.

Algumas notaes para conjuntosMuitas vezes, um conjunto representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } atravs de duas formas bsicas e de uma terceira forma geomtrica: Apresentao: Os elementos do conjunto esto dentro de duas chaves { e }. a. A={a,e,i,o,u} b. N={1,2,3,4,...} c. M={Joo,Maria,Jos} Descrio: O conjunto descrito por uma ou mais propriedades. a. A={x: x uma vogal} b. N={x: x um nmero natural} c. M={x: x uma pessoa da famlia de Maria}

Diagrama de Venn-Euler: (l-se: "Ven-iler") Os conjuntos so mostrados graficamente.

SubconjuntosDados os conjuntos A e B, diz-se que A est contido em B, denotado por A B, se todos os elementos de A tambm esto em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A est propriamente contido em B, quando o conjunto B, alm de conter os elementos de A, contm tambm outros elementos. O conjunto A denominado subconjunto de B e o conjunto B o superconjunto que contm A.

Alguns conjuntos especiaisConjunto vazio: um conjunto que no possui elementos. representado por { } ou por . O conjunto vazio est contido em todos os conjuntos. Conjunto universo: um conjunto que contm todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e tambm contm todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo representado por uma letra U. Na sequncia no mais usaremos o conjunto universo.

Reunio de conjuntosA reunio dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. A B = { x: x A ou x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} ento A B={a,e,i,o,3,4}.

Interseo de conjuntosA interseo dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. A B = { x: x A e x B } Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} ento A B=.

Quando a interseo de dois conjuntos A e B o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos so disjuntos.

Propriedades dos conjuntos1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunio de A e B, denotada por A B e a interseo de A e B, denotada por A B, ainda so conjuntos no universo. 2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que: A A=A e A A=A 3. Incluso: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A A B, B A B, A B A, A B B 4. Incluso relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A B equivale a A B = B A B equivale a A B = A 5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, temse que: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C 6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A B=B A A B=B A 7. Elemento neutro para a reunio: O conjunto vazio o elemento neutro para a reunio de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A =A 8. Elemento "nulo" para a interseo: A interseo do conjunto vazio com qualquer outro conjunto A, fornece o prprio conjunto vazio. A = 9. Elemento neutro para a interseo: O conjunto universo U o elemento neutro para a interseo de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A U=A 10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A (B C ) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

Os grficos abaixo mostram a distributividade.

Diferena de conjuntosA diferena entre os conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e no pertencem ao conjunto B. A-B = {x: x A e x B} Do ponto de vista grfico, a diferena pode ser vista como:

Complemento de um conjuntoO complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, a diferena entre os conjuntos A e B, ou seja, o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e no pertencem ao conjunto B. CAB = A-B = {x: x A e x B}

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, dado por:

Quando no h dvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento. Exemplos: c=U e Uc=.

Leis de Augustus De Morgan1. O complementar da reunio de dois conjuntos A e B a interseo dos complementares desses conjuntos. (A B)c = Ac Bc 2. O complementar da reunio de uma coleo finita de conjuntos a interseo dos complementares desses conjuntos. (A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc 3. O complementar da interseo de dois conjuntos A e B a reunio dos complementares desses conjuntos. (A B)c = Ac Bc 4. O complementar da interseo de uma coleo finita de conjuntos a reunio dos complementares desses conjuntos. (A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc

Diferena simtricaA diferena simtrica entre os conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem reunio dos conjuntos A e B e no pertencem interseo dos conjuntos A e B. A B = { x: x A B e x A B } O diagrama de Venn-Euler para a diferena simtrica :

Exerccio: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que: 1. A= se, e somente se, B=A B. 2. O conjunto vazio o elemento neutro para a operao de diferena simtrica. Usar o tem anterior. 3. A diferena simtrica comutativa. 4. A diferena simtrica associativa. 5. A A= (conjunto vazio). 6. A interseo entre A e B C distributiva, isto : A (B C) = (A B) (A C) 7. A B est contida na reunio de A C e de B C, mas esta incluso prpria, isto : A B (A C) (B C)

NMEROS REAIS Importncia dos nmeros reais Em geral, os cursos de Clculo comeam por um breve estudo dos nmeros reais e um curso de Anlise Matemtica tem incio por um estudo bastante completo e rigoroso destes nmeros. A razo simples. No Clculo e na Anlise, estuda-se o comportamento de funes e o comportamento de uma funo depende dos trs elementos importantes que a compem: domnio, contradomnio e lei de definio

Assim, importante ter clareza sobre as propriedades dos nmeros reais, para compreender as funes de uma varivel real. Esta compreenso dos nmeros reais no to simples como parece. O problema comea pelo mtodo de introduo dos reais: o mtodo construtivo ou o mtodo axiomtico. O interessante que na ponta inicial do mtodo construtivo tambm est o mtodo axiomtico. Na realidade, o mtodo axiomtico fundamenta toda teoria matemtica. Por isso, vamos falar um pouco dele. Compreender como se faz matemtica algo vital para um professor de Matemtica. Ningum pode ensinar algo que no sabe, que no compreende.

A construo dos nmeros reais Em uma teoria axiomtica temos: 1. 2. 3. 4. 5. Termos indefinidos Relaes indefinidas Axiomas relacionando termos indefinidos e relaes indefinidas Definies Teoremas baseados em axiomas e definies

Os termos e as relaes indefinidas tambm so denominados conceitos primitivos. Axiomas so propriedades aceitas como verdadeiras, sem questionamento e sem demonstrao.

Exemplo: Um exemplo simples de teoria axiomtica a teoria dos conjuntos. 1. Conjunto e elemento de um conjunto so termos indefinidos. 2. Um elemento pertence a um conjunto uma relao no definida. A teoria dos conjuntos tem dois axiomas fundamentais (que no so os nicos):

Axioma da Extenso: Dois conjuntos A e B so iguais se, e somente se, cada elemento de A pertence a B e cada elemento de B pertence a A.

Axioma da Especificao: Se P(x) uma proposio qualquer e A um conjunto qualquer, ento existe um nico conjunto B tal que: B = {a: a pertence a A, P(a) verdadeiro } Com os elementos disponveis, podemos definir novos objetos, como por exemplo, a reunio de dois conjuntos: A reunio dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B, o que em smbolos matemticos, pode ser escrito: A B = { x : x pertence a A ou x pertence a B }

Agora, com base na definio anterior e no axioma da extenso podemos enunciar a propriedade associativa para a reunio:

Teorema: Se A, B e C so conjuntos quaisquer, ento: (A B) C=A (B C)

Observamos que uma das conseqncias do axioma da especificao a existncia do conjunto vazio, geralmente to mal compreendido. Por exemplo, consideremos no conjunto dos nmeros naturais a seguinte proposio: P(x): x+4=1 Se considerarmos o universo de trabalho como o conjunto dos nmeros naturais, o conjunto B acima definido ser vazio, isto : B = {x pertence a N: P(x) verdadeiro } = { } =

Observao: Historicamente, o sculo XIX foi caracterizado por grandes controvrsias na Matemtica e pela falta de uma fundamentao precisa de conceitos e teorias, como a: 1. 2. 3. 4. teoria dos conjuntos, teoria das funes, teoria dos nmeros reais, teoria dos nmeros complexos,...

e foi na construo destes tipos de teorias que se consolidou o mtodo axiomtico.

Esperamos ter conseguido elucidar o que o mtodo axiomtico. A partir da, podemos voltar ao estudo dos nmeros reais.

O conjunto dos nmeros reais um conjunto no vazio, caracterizado por alguns axiomas. No vamos fazer aqui um estudo completo de todos, mas daqueles que decorrem propriedades importantes e que so usadas no dia-a-dia no mbito do Ensino Fundamental e Mdio (antigos primeiro e segundo graus). Ao primeiro conjunto de axiomas que caracterizam R, denominamos de axiomas de corpo. Isto significa que R um conjunto no vazio onde se pode definir duas operaes fechadas, denominadas adio: + (x,y) :RxR x+y R

e multiplicao: . (x,y) :RxR x.y R

que satisfazem aos seguintes axiomas:

Axiomas da Adio e da Multiplicao

A1) Associatividade: Quaisquer que sejam x e y em R, tem-se: (x + y) + z = x + (y + z)

A2) Comutatividade: Quaisquer que sejam x e y em R, tem-se: x+y=y+x

A3) Elemento neutro: Existe 0 em R (denominado "zero"), tal que para todo x em R: x+0=x

A4) Simtrico: Todo elemento x de R possui um simtrico -x em R (tambm denominado oposto), tal que: x + (-x) = 0

M1) Associatividade: Quaisquer que sejam x, y e z em R, tem-se: (x . y) . z = x . (y . z)

M2) Comutatividade: Quaisquer que sejam x e y em R, tem-se: x.y=y.x

M3) Elemento neutro: Existe 1 em R (denominado "um"), tal que para todo x de R, vale: 1.x=x

M4) Inverso multiplicativo: Todo x diferente de zero em R, possui um inverso x-1 em R tal que x . x-1 = 1 Axioma da Distributividade Quaisquer que sejam x, y e z em R, tem-se: x . (y + z) = x . y + x . z Os axiomas A4 e M4 permitem definir, respectivamente, as operaes de subtrao: + (x,y) :RxR x+y R

e diviso de nmeros reais: (x,y) :RxR* xy = x . y-1 R

onde R* = R-{0}. Se estivermos adotando o mtodo axiomtico, ento estas propriedades no sero demonstradas mas sero admitidas como verdadeiras pois so axiomas. Do ponto de vista axiomtico no sabemos o que um nmero real, mas quais propriedades o conjunto dos nmeros reais satisfaz. Uma conseqncia muito importante dos axiomas dos nmeros reais, conhecida como a regra dos sinais.

Regra dos Sinais Um desafio para o professor do curso Fundamental ensinar e tentar justificar a intrigante regra dos sinais. Para algumas regras existem justificativas que chamaramos de naturais, mas justificar porque (-1) . (-1) = (+1) complicado e o pior ainda: algumas justificativas bastante usadas so logicamente falsas, como aquela velha histria de que: O inimigo do meu inimigo meu amigo No livro "Meu Professor de Matemtica e outras histrias", Coleo do Professor de Matemtica, SBM, 1991, Rio de Janeiro, o professor Elon Lages Lima dedica um captulo questo quando cita e comenta algumas sugestes encaminhadas excelente Revista do Professor de Matemtica, para explicar e justificar a regra acima citada. Na opinio do Prof. Elon, a melhor sugesto foi a que mais se aproximou da demonstrao algbrica da regra. A regra dos sinais uma conseqncia dos axiomas de corpo, e em especial do axioma da distributividade. Vamos conhecer a demonstrao atravs de quatro passos:

Passo 1: O simtrico de -x x, isto , -(-x)=x, para todo x em R. De fato: -x + x = x + (-x) = 0 Somando -(-x) a ambos os membros da igualdade e usando o axioma A1, obtemos: [-(-x) + (-x)] + x = -(-x) + 0 ou seja: 0 + x = -(-x) ou ainda, x = -(-x)

Passo 2: x.0 = 0, para todo x em R.

Com efeito, x + x.0 = x.1 + x.0 = x.(1+0) = x.1 = x Assim: x + x.0 = x Somando -x a ambos os membros da igualdade, obtemos, x.0 = 0

Passo 3: (-1).x = -x, para todo x em R. Realmente:

x + (-1).x = 1.x + (-1).x = [1 + (-1)].x = 0.x = 0 Logo, (-1)x o simtrico de x, ou seja: (-1).x = -x Tomando, em particular, x=-1, temos que (-1).(-1) = -(-1) = 1 onde a ltima igualdade segue pelo 1o passo.

Passo 4: Quaisquer que sejam x e y pertencentes a R, tem-se: (-x).y (-x).(-y) = x.y De fato: (-x).y = [(-1).x].y = (-1).(x.y) = -(x.y) e (-x).(-y) = (-1).x.(-1).y = (-1).(-1).x.y = 1.x.y = x.y = -(x.y)

Mostramos estes detalhes para deixar claro que a regra dos sinais uma conseqncia dos axiomas de corpo e que algumas propriedades, por mais evidentes que possam parecer como as expressas nos passos 1 e 2, so passveis de demonstrao.

Em Matemtica (e tambm na vida) todo o cuidado pouco com as chamadas coisas evidentes. Por outro lado, o chamado rigor matemtico, no pode ser aplicado em qualquer nvel e seria um absurdo tentar explicar a regra dos sinais para alunos do ensino Fundamental da forma acima exposta. Vejamos agora a sugesto do Prof. Fred Gusmo dos Santos, de Mogi das Cruzes, S.P, comentada pelo Prof. Elon no mesmo livro acima citado e que tomamos a liberdade de reproduzir. "Como: 5.(2-2) = 0 pela lei distributiva vem que: 5.2 + 5.(-2) = 0 ou seja 10 + 5.(-2) = 0 logo 5.(-2) = -10 Em seguida, como: -5(2-2) = 0 novamente temos que: -5.2 + (-5)(-2) = 0 ou seja -10 + (-5)(-2) = 0 logo

(-5).(-2) = 10 " Algum poderia questionar, por que tanto esforo para fazer a demonstrao algbrica, se um exemplo numrico elucida tudo ? Que resposta voc daria ?

O Corpo ordenado dos nmeros reais Um segundo conjunto de axiomas caracteriza o conjunto R dos nmeros reais como um conjunto ordenado. Este fato tem conseqncias importantes com as quais o professor do Fundamental se depara a todo momento. O fato de R ser um corpo ordenado d sentido s desigualdades, tambm conhecidas como inequaes... Dizer que R um corpo ordenado equivalente a garantir que, existe um conjunto P contido no conjunto R, denominado conjunto de elementos positivos de R, com as seguintes condies (axiomas) satisfeitas: P1: A soma e o produto de nmeros positivos so positivos. P2: Dado x em P, ocorre exatamente uma das trs alternativas: x=0 ou x est em P ou -x est em P. Se indicarmos com -P={-x: x est em P} poderemos escrever: R=P (-P) {0}

Os elementos do conjunto -P so denominados nmeros negativos. No cotidiano, convivemos de modo bastante natural com muitos nmeros positivos como os nmeros naturais mas o interessante que somente uma caracterizao formal dos mesmos, atravs dos axiomas introduzidos anteriormente, que permite extrair as suas propriedades. Uma propriedade bem conhecida dos nmeros reais e de muitas conseqncias a que garante que o quadrado de todo nmero real no nulo positivo:

Propriedade: Para todo x real, diferente de zero, tem-se que x=x.x est em P. Demonstrao: Dado x real diferente de zero, temos que x est em P ou -x est em P. Se x est em P, pelo axioma P1: x.x est em P Se -x est em P, ento: (-x).(-x) = x.x pertence a P

e pela regra dos sinais, temos o resultado desejado.

Nmeros Naturais Pela propriedade acima e com o uso do axioma P1, podemos construir o conjunto dos nmeros naturais como um subconjunto dos nmeros reais positivos, com algumas caractersticas indutivas. Vejamos: 1 . 1 1 + 1 2 + 1 ............ (n) + 1 = (n+1) est em P Assim N={1,2,3,4,...,n,...} claro que N est contido em P e P est contido em R. = = = 1 2 3 est est est em em em P P P

Observao importante: O nmero 0 no foi includo no conjunto dos nmeros naturais, pois este nmero foi criado artificialmente para dar significado ao conceito de nulidade (falta de um elemento) quando da criao do sistema posicional pelos hinds e este conjunto dos nmeros naturais recebe este nome exatamente porque est relacionado com as idias de contagem de coisas naturais como 1, 2, 3, ... Para que o interessado possa esclarecer a maioria dos detalhes concernentes ao nmero zero (0) e conhecer uma enorme gama de detalhes acerca dos algarismos e nmeros, sugiro a leitura do livro de Georges Ifrah: "Histria Universal dos Algarismos", Tomos I e II (A inteligncia dos homens contada pelos Nmeros e pelo Clculo!), 1997, Livraria Nova Fronteira.

O conjunto dos nmeros reais indutivo, isto : Ind1: 1 pertence a R. Ind2: Para todo x em R, x+1 est em R. o que uma conseqncia bvia do que apresentamos at aqui.

Algo no bvio e que no ser feito aqui, que o conjunto N dos nmeros naturais, num certo sentido, o "menor" subconjunto indutivo de R que possui a propriedade muito importante conhecida como o Princpio da Induo Finita.

Princpio da Induo Finita (PIF) Se X um subconjunto do conjunto dos nmeros naturais N, tal que: 1. 1 pertence ao conjunto X. 2. Se n pertence ao conjunto X, ento (n+1) pertence ao conjunto X, para todo n>1 Ento, X coincide com o prprio N.

Quando introduzimos o conjunto dos nmeros reais pelo mtodo construtivo, usual iniciar pela construo axiomtica dos nmeros naturais. Neste caso, o princpio da induo finita conhecido como o Terceiro axioma de Peano. O que importa que ele vlido e de grande utilidade.

Aplicao do PIF: Provaremos que a soma dos n primeiros nmeros naturais pode ser escrita como o semiproduto de n por n+1, isto , para todo n em N, vale a igualdade: P(n): (1+2+3+...+n) = n(n+1)/2 Demonstrao: Seja X o subconjunto dos nmeros naturais tal que P(n) seja vlida. 1 pertence a X, pois para n=1, a igualdade P(1) se reduz a: 1 = 1.(1+1)/2 Suponhamos que n pertena a X (Hiptese de Induo), isto , que vlida a propriedade P(n): 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 Mostraremos que tambm vale a propriedade P(n+1), o que equivalente a mostrar que (n+1) est em X. Desenvolvendo o membro da esquerda de P(n+1), obtemos: 1+2+3+...+n + n+1 = (1+2+3+...+n) + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1)

= (n+1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2

Mostramos assim que: (1+2+3+...+n)+(n+1) = (n+1)(n+2)/2 e esta igualdade corresponde exatamente a P(n+1) e dessa forma X o prprio conjunto N, ou seja, P(n) vlida para todo n em N.

Exerccio: Mostrar que so verdadeiras as seguintes proposies: 1. 2. 3. 4. P(n): 1+3+5+7+...+(2n-1)=n P(n): 1+2+3+...+n=n(n+1)(2n+1)/6 P(n): 13+23+33+...+n3=n(n+1)/4 P(n): 14+24+...+n4=n(n+1)(6n3+9n+n-1)/30

NMEROS INTEIROS Introduo aos nmeros inteiros Na poca do Renascimento, os matemticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de nmero, que pudesse ser a soluo de equaes to simples como: x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0 As Cincias precisavam de smbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0 C, por exemplo. Astrnomos e fsicos procuravam uma linguagem matemtica para expressar a atrao entre dois corpos.

Quando um corpo age com uma fora sobre outro corpo, este reage com uma fora de mesma intensidade e sentido contrrio. Mas a tarefa no ficava somente em criar um novo nmero, era preciso encontrar um smbolo que permitisse operar com esse nmero criado, de modo prtico e eficiente.

Sobre a origem dos sinais A idia sobre os sinais vem dos comerciantes da poca. Os matemticos encontraram a melhor notao para expressar esse novo tipo de nmero. Veja como faziam tais comerciantes:

Suponha que um deles tivesse em seu armazm duas sacas de feijo com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijo, ele escrevia o nmero 8 com um trao (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para no se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijo. Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o nmero 2 com dois traos cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijo a mais que a quantidade inicial. Com essa nova notao,os matemticos poderiam, no somente indicar as quantidades, mas tambm representar o ganho ou a perda dessas quantidades, atravs de nmeros, com sinal positivo ou negativo.

O conjunto Z dos Nmeros Inteiros Definimos o conjunto dos nmeros inteiros como a reunio do conjunto dos nmeros naturais, o conjunto dos opostos dos nmeros naturais e o zero. Este conjunto denotado pela letra Z (Zahlen=nmero em alemo). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Exemplos de subconjuntos do conjunto Z (a) Conjunto dos nmeros inteiros excludo o nmero zero: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} (b) Conjunto dos nmeros inteiros no negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} (c) Conjunto dos nmeros inteiros no positivos: Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0} Observao: No existe padronizao para estas notaes.

Reta Numerada Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z construir uma reta numerada, considerar o nmero 0 como a origem e o nmero 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distncia entre 0 e 1 e por os nmeros inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os nmeros inteiros obedecem crescente da esquerda para a direita, razo pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta considerao adotada por conveno, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, no haveria qualquer problema. Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os nmeros inteiros possuem um e somente um antecessor e tambm um e somente um sucessor.

Ordem e simetria no conjunto Z O sucessor de um nmero inteiro o nmero que est imediatamente sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um nmero inteiro o nmero que est imediatamente sua esquerda na reta (em Z). Exemplos: (a) 3 sucessor de 2 (b) 2 antecessor de 3 (c) -5 antecessor de -4 (d) -4 sucessor de -5 (e) 0 antecessor de 1 (f) 1 sucessor de 0 (g) -1 sucessor de -2 (h) -2 antecessor de -1 Todo nmero inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simtrico ou oposto z e ele caracterizado pelo fato geomtrico que tanto z como -z esto mesma distncia da origem do conjunto Z que 0. Exemplos: (a) O oposto de ganhar perder, logo o oposto de +3 -3. (b) O oposto de perder ganhar, logo o oposto de -5 +5.

Mdulo de um nmero Inteiro O mdulo ou valor absoluto de um nmero Inteiro definido como sendo o maior valor (mximo) entre um nmero e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim: |x| = max{-x,x}

Exemplos: (a) |0| = 0 (b) |8| = 8 (c) |-6| = 6 Observao: Do ponto de vista geomtrico, o mdulo de um nmero inteiro corresponde distncia deste nmero at a origem (zero) na reta numrica inteira.

Soma (adio) de nmeros inteiros Para melhor entendimento desta operao, associaremos aos nmeros inteiros positivos a idia de ganhar e aos nmeros inteiros negativos a idia de perder. ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 perder 3 + perder 4 = perder 7 ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (+3) + (+4) = (+7) (-3) + (-4) = (-7) (+8) + (-5) = (+3) (-8) + (+5) = (-3)

Ateno: O sinal (+) antes do nmero positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do nmero negativo nunca pode ser dispensado. Exemplos: (a) -3 + 3 = 0 (b) +6 + 3 = 9 (c) +5 - 1 = 4 Propriedades da adio de nmeros inteiros Fecho: O conjunto Z fechado para a adio, isto , a soma de dois nmeros inteiros ainda um nmero inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z: a + ( b + 2+(3+7)=(2+3)+7 c ) = ( a + b ) + c

Comutativa: Para todos a,b em Z: a + 3+7=7+3 b = b + a

Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o prprio z, isto : z 7+0=7 + 0 = z

Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que z 9 + (-9) = 0 + (-z) = 0

Multiplicao (produto) de nmeros inteiros A multiplicao funciona como uma forma simplificada de uma adio quando os nmeros so repetidos. Poderiamos analisar tal situao como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetio pode ser indicada por um x, isto : 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o nmero 1 pelo nmero 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o nmero 2 pelo nmero -2, obteremos: (-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60 Observamos que a multiplicao um caso particular da adio onde os valores so repetidos. Na multiplicao o produto dos nmeros a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicao de nmeros inteiros, devemos obedecer seguinte regra de sinais:

(+1) (+1) = (+1) (+1) (-1) = (-1) (-1) (+1) = (-1) (-1) (-1) = (+1) Com o uso das regras acima, podemos concluir que: Sinais dos nmeros Resultado do produto iguais positivo diferentes negativo Propriedades da multiplicao de nmeros inteiros Fecho: O conjunto Z fechado para a multiplicao, isto , a multiplicao de dois nmeros inteiros ainda um nmero inteiro. Associativa: Para todos a,b,c em Z: a x ( b x 2x(3x7)=(2x3)x7 c ) = ( a x b ) x c

Comutativa: Para todos a,b em Z: a 3x7=7x3 x b = b x a

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o prprio z, isto : z 7x1=7 x 1 = z

Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z-1=1/z em Z, tal que z x z-1 -1 9 x 9 = 9 x (1/9) = 1 = z x (1/z) = 1

Propriedade mista (distributiva) Distributiva: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b + c ) 3x(4+5)=(3x4)+(3x5)

=

(

a

x

b

)

+

(

a

x

c

)

Potenciao de nmeros inteiros A potncia an do nmero inteiro a, definida como um produto de n fatores iguais. O nmero a denominado a base e o nmero n o expoente. an = a a a multiplicado por a n vezes Exemplos: a. b. c. d. 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 (-2) = (-2) x (-2) x (-2) = -8 (-5) = (-5) x (-5) = 25 (+5) = (+5) x (+5) = 25 a a ... a

com os exemplos acima, podemos observar que a potncia de todo nmero inteiro elevado a um expoente par um nmero positivo e a potncia de todo nmero inteiro elevado a um expoente mpar um nmero que conserva o seu sinal.

Observao: Quando o expoente n=2, a potncia a pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente n=3, a potncia a pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras so provenientes do fato que rea do quadrado pode ser obtida por A=a onde a a medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a onde a a medida do lado do cubo.

Radiciao de nmeros inteiros A raiz n-sima (de ordem n) de um nmero inteiro a a operao que resulta em um outro nmero inteiro no negativo b que elevado potncia n fornece o nmero a. O nmero n o ndice da raiz enquanto que o nmero a o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observao seguinte para entender as razes pelas quais no uso o smbolo de radical neste trabalho.

Observao: Por deficincia da linguagem HTML, que at hoje no implementou o sinal de raiz n-sima, usarei Rn[a] para indicar a raiz n-sima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um nmero inteiro a como R[a]. Assim, b a raiz n-sima de a se, e somente se, a=bn, isto :

b=Rn[a] se, e somente se, a=bn A raiz quadrada (de ordem 2) de um nmero inteiro a a operao que resulta em um outro nmero inteiro no negativo que elevado ao quadrado coincide com o nmero a.

Observao: No existe a raiz quadrada de um nmero inteiro negativo no conjunto dos nmeros inteiros. A existncia de um nmero cujo quadrado igual a um nmero negativo s ser estudada mais tarde no contexto dos nmeros complexos.

Erro comum: Freqentemente lemos em materiais didticos e at mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de: R[9] = 3 Mas isto est errado. O certo : R[9] = +3 Observamos que no existe um nmero inteiro no negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um nmero negativo. A raiz cbica (de ordem 3) de um nmero inteiro a a operao que resulta em um outro nmero inteiro que elevado ao cubo seja igual ao nmero a. Aqui no restringimos os nossos clculos somente aos nmeros no negativos. Exemplos: (a) R[8] = 2, pois 2 = 8. (b) R[-8] = -2, pois (-2) = -8. (c) R[27] = 3, pois 3 = 27. (d) R[-27] = -3, pois (-3) = -27. Observao: Ao obedecer regra dos sinais para o produto de nmeros inteiros, conclumos que: (a) Se o ndice da raiz for par, no existe raiz de nmero inteiro negativo. (b) Se o ndice da raiz for mpar, possvel extrair a raiz de qualquer nmero inteiro.

NMEROS RACIONAIS Relacionando nmeros racionais com fraes Um nmero racional o que pode ser escrito na forma m n onde m e n so nmeros inteiros, sendo que n deve ser no nulo, isto , n deve ser diferente de zero. Freqentemente usamos m/n para significar a diviso de m por n. Quando no existe possibilidade de diviso, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este nmero um nmero racional. Como podemos observar, nmeros racionais podem ser obtidos atravs da razo (em Latim: ratio=razo=diviso=quociente) entre dois nmeros inteiros, razo pela qual, o conjunto de todos os nmeros racionais denotado por Q. Assim, comum encontrarmos na literatura a notao: Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero} Quando h interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos nmeros racionais positivos e Q_ o conjunto dos nmeros racionais negativos. O nmero zero tambm um nmero racional. No nosso link Fraes j detalhamos o estudo de fraes e como todo nmero racional pode ser posto na forma de uma frao, ento todas as propriedades vlidas para fraes so tambm vlidas para nmeros racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos nmeros racionais.

Dzima peridica Uma dzima peridica um nmero real da forma: m,npppp... onde m, n e p so nmeros inteiros, sendo que o nmero p se repete indefinidamente, razo pela qual usamos os trs pontos: ... aps o mesmo. A parte que se repete denominada perodo. Em alguns livros comum o uso de uma barra sobre o perodo ou uma barra debaixo do perodo ou o perodo dentro de parnteses, mas, para nossa facilidade de escrita na montagem desta Pgina, usaremos o perodo sublinhado.

Exemplos: Dzimas peridicas 1. 2. 3. 4. 5. 0,3333333... = 0,3 1,6666666... = 1,6 12,121212... = 12,12 0,9999999... = 0,9 7,1333333... = 7,13

Uma dzima peridica simples se a parte decimal formada apenas pelo perodo. Alguns exemplos so: 1. 0,333333... = 0,(3) = 0,3 2. 3,636363... = 3,(63) = 3,63 Uma dzima peridica composta se possui uma parte que no se repete entre a parte inteira e o perodo. Por exemplo: 1. 0,83333333... = 0,83 2. 0,72535353... = 0,7253 Uma dzima peridica uma soma infinita de nmeros decimais. Alguns exemplos: 1. 0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +... 2. 0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... 3. 4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ... A conexo entre nmeros racionais e nmeros reais Um fato importante que relaciona os nmeros racionais com os nmeros reais que todo nmero real que pode ser escrito como uma dzima peridica um nmero racional. Isto significa que podemos transformar uma dzima peridica em uma frao. O processo para realizar esta tarefa ser mostrado na sequncia com alguns exemplos numricos. Para pessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequncia, deve-se aprofundar o estudo de sries geomtricas no mbito do Ensino Mdio ou mesmo estudar nmeros racionais do ponto de vista do Clculo Diferencial e Integral ou da Anlise na Reta no mbito do Ensino Superior.

A geratriz de uma dzima peridica Dada uma dzima peridica, qual ser a frao que d origem a esta dzima? Esta frao de fato um nmero racional denominado a geratriz da dzima peridica. Para obter a geratriz de uma dzima peridica devemos trabalhar com o nmero dado pensado como uma soma infinita de nmeros decimais. Para mostrar como funciona o mtodo, utilizaremos diversos exemplos numricos.

1. Seja S a dzima peridica 0,3333333..., isto , S=0,3. Observe que o perodo tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este nmero como uma soma de infinitos nmeros decimais da forma: S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +... Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o perodo tem 1 algarismo), obteremos: 10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +... Observe que so iguais as duas ltimas expresses que aparecem em cor vermelha! Subtraindo membro a membro a penltima expresso da ltima, obtemos: 10 S - S = 3 donde segue que 9S=3 Simplificando, obtemos: 1 S= 3 Exerccio: Usando o mesmo argumento que antes, voc saberia mostrar que: 0,99999... = 0,9 = 1 = 0,33333... = 0,3

2. Vamos tomar agora a dzima peridica T=0,313131..., isto , T=0,31. Observe que o perodo tem agora 2 algarismos. Iremos escrever este nmero como uma soma de infinitos nmeros decimais da forma: T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +... Multiplicando esta soma "infinita" por 10=100 (o perodo tem 2 algarismos), obteremos: 100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +... Observe que so iguais as duas ltimas expresses que aparecem em cor vermelha, assim:

100 T = 31 + T de onde segue que 99 T = 31 e simplificando, temos que 31 T= 99 = 0,31313131... = 0,31

3. Um terceiro tipo de dzima peridica T=7,1888..., isto , T=7,18. Observe que existe um nmero com 1 algarismo aps a vrgula enquanto que o perodo tem tambm 1 algarismo. Escreveremos este nmero como uma soma de infinitos nmeros decimais da forma: R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +... Manipule a soma "infinita" como se fosse um nmero comum e passe a parte que no se repete para o primeiro membro para obter: R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +... Multiplique agora a soma "infinita" por 101=10 (o perodo tem 1 algarismo), para obter: 10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +... Observe que so iguais as duas ltimas expresses que aparecem em cor vermelha! Subtraia membro a membro a penltima expresso da ltima para obter: 10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8 Assim: 10R - 71 - R + 7,1 = 0,8 Para evitar os nmeros decimais, multiplicamos toda a expresso por 10 e simplificamos para obter: 90 R = 647

Obtemos ento: 647 T= 90 = 7,1888... = 7,18

4. Um quarto tipo de dzima peridica T=7,004004004..., isto , U=7,004. Observe que o perodo tem 3 algarismos, sendo que os dois primeiros so iguais a zero e apenas o terceiro no nulo. Decomporemos este nmero como uma soma de infinitos nmeros decimais da forma: U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +... Manipule a soma "infinita" como se fosse um nmero comum e passe a parte que no se repete para o primeiro membro para obter: U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +... Multiplique agora a soma "infinita" por 10=1000 (o perodo tem 3 algarismos), para obter: 1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +... Observe que so iguais as duas ltimas expresses que aparecem em cor vermelha! Subtraia membro a membro a penltima expresso da ltima para obter: 1000(U-7) - (U-7) = 4 Assim: 1000U - 7000 - U + 7 = 4 Obtemos ento 999 U = 6997 que pode ser escrita na forma:

6997 T= 999 = 7,004004... = 7,004

Nmeros irracionais Um nmero real dito um nmero irracional se ele no pode ser escrito na forma de uma frao ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma dzima peridica. Exemplo: O nmero real abaixo um nmero irracional, embora parea uma dzima peridica: x=0,10100100010000100000... Observe que o nmero de zeros aps o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos nmeros reais que no so dzimas peridicas e dois nmeros irracionais muito importantes, so: e = Pi = 3,141592653589793238462643... 2,718281828459045...,

que so utilizados nas mais diversas aplicaes prticas como: clculos de reas, volumes, centros de gravidade, previso populacional, etc... Exerccio: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado numrico um nmero irracional e pode ser obtido atravs da relao de Pitgoras. O resultado a raiz quadrada de 2, denotada aqui por R[2] para simplificar as notaes estranhas.

Representao, ordem e simetria dos racionais Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos nmeros racionais atravs de uma reta numerada. Consideramos o nmero 0 como a origem e o nmero 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medida como a distncia entre 0 e 1 e por os nmeros racionais da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os nmeros racionais obedecem crescente da esquerda para a direita, razo pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta considerao adotada por conveno, o que nos permite pensar em outras possibilidades. Dizemos que um nmero racional r menor do que outro nmero racional s se a diferena r-s positiva. Quando esta diferena r-s negativa, dizemos que o nmero r maior do que s. Para indicar que r menor do que s, escrevemos:

r