APOSTILA DE MATEMTICA BSICA Prof. Altamar

Informao do AutorVoc esta iniciando hoje uma REVISO de contedos de matemtica bsica, voltada para alunos de 2 grau. Recomendo ento que voc utilize o material da seguinte forma: 01 - Preste bem ateno no enfoque terico sinttico apresentado pelo professor no inicio de cada seo, e refaa a leitura antes de iniciar a resoluo dos exerccios.; 02 - Refaa os exerccios resolvidos sem consultar a resoluo, comparando a sua resoluo obtida pelo professor. Caso sinta dificuldades, olhe novamente a resoluo e tente de novo. Pergunte ao professor sempre que necessrio. 03 - Aps ter resolvido os resolvidos , inicie a resoluo dos propostos. Lembre-se, calma e persistncia so indispensveis nestes momentos. Aprender matemtica 1% inspirao e 99% transpirao. Procurei cobrir os assuntos que apresentam maior dificuldade por parte dos alunos durante sua jornada escolar, porm podem existir outras dvidas que no foram abordadas, no se acanhe em perguntar.

Altamar

POTENCIAO Definio: Potncia de um nmero o produto de fatores iguais a esse nmero. Sendo a um nmero real qualquer e n um nmero natural, temos que: a = 1a 24a a .4 a... 3n n . fatores

Ex.: 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243

a baseRepresentao:

a = p , onde:n

n exp oente p potencia

Casos particulares e conseqncias da definio

1) a 0 = 1 2)1n = 1 3) 0 n = 0, n 0 4) a = a 1 5) a n = 1 , a 0 an

Propriedades da potenciao I) Produto de potncias de mesma base Conserva-se a base e soma-se os expoentes.

a m a n = a m+ nEx.: 42 . 46 = 42 + 6 = 48 II) Diviso de potncias de mesma base Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.

a m: a n = a m nIII) Ex.: 57 : 53 = 57 - 3 = 54 Potncia de um produto Distribui-se a potncia entre cada fator.

( a b) n = a n b nEx.: ( 5 x) = 5 x = 125 x3 3 3 3

IV)

Potncia de um quociente Faz-se o mesmo que para a propriedade anterior.4 an 24 16 a 2 = n b 0 Ex.: = 4 = b 5 b 5 625 n

V)

Potncia de potncia Conserva-se a base e multiplica-se os expoentes.

( a m ) n = a m.n

Ex.: 6

( 2 )3 = 62.3 = 66 = 46656

ATENO!

( a m )nPotncia de potncia

am

n

Ex.: 2

( 2 )3 22

3

2 6 28 64 256Potncia de ordem superior

EXERCCIOS DE SALAa )( 6) =3

5 g) = 2

2

b)( 5) 4 =

h)x4.x2.x5 =c)( 9) 3 =

d ) 25 =

i)z3 : z5 =

e)110 =

j) 3x3 y5 =

(

)

2

f )7 2 =

k)((2m3)2 )3 =

g )11 =

l)[35 : (34.32 )]2 =

OBSERVAES ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

RADICIAO Definio: Seja A um nmero real e n um nmero natural, sendo n > 1, defini-se raiz n-sima de um nmero A como sendo um nmero x, tal que elevado ao expoente n-simo, igual a A. Representao:

n

A = x x n = A , onde

A radicando n indice x raiz radical

Exemplos:3

64 = 4 43 = 64 49 = 7 72 = 49 32 = 2 ( 2)5 = 32 25 No existe um nmero real, tal que elevado ao quadrado resulte em -25.

5

Observao: Por conveno adotamos que

+ 4 = 2 4 = 2 4 = 2Propriedades dos radicais I) Radical de um produton

a b = n a n b3

Ex.: II)

4 3 2 = 3 42 = 3 8 = 2

Radical de um quocienten

a = b

n n

a b27 = 9=3 3

Ex.: III)

27 = 3m n

Expoente fracionrion

a =am6 5

Ex.:

2 = 5 263

16 = 2 = 23 4

4 3

IV)

Radical de radicaln m

a = n m a3 5

Ex.:

y =

2 35

y=

30

y

V)

Simplificao de ndicen m

a =am

m n m

=a =na

1 n

Ex.: VI)

10

32 = 10 25 = 2= n am4

Potncia de radical

( a)n

m

Ex.: VII)

( 5)3

= 3 54 = 3 625

Introduo de um nmero no radical

an b = n an bEx.:

33 x = 3 33 x = 3 27x

Racionalizao de denominadores Racionalizar um denominador irracional consiste em eliminar os radicais ou expoentes fracionrios do mesmo. 1 TIPO Denominador monmio da forma

a

N N a = a aEx.:

3 3 5 3 5 = = 5 5 5 5Denominador monmio da forman

2 TIPO

am

Nn

N n a n m = a am

Ex.:

55

x3

=

5 5 x25

5 5 x2 = x x3 5 x2

3 TIPO Denominador binmio

N N a b N a b = = a2 b a+ b a+ b a bEx.:

(

)

5 5 2 3 6 5( 2 3 + 6 ) 5( 2 3 + 6 ) = = = 4 3 6 6 2 3+ 6 2 3+ 6 2 3 6

Reduo de radicais S permitido reduzir radicais que tenham mesmo ndice e mesmo radicando. Ex.:

a )4 2 + 3 2 2 2 = 5 2 b) 80 45 = 4 5 3 5 = 5

EXERCCIOS DE SALA

a )5 32 5 33 =

b)624 =

1 4

c) 64a 4b8 =

d )5 1024 e) 25 128 =

f )5 48 + 75 7

3 = 4

g ) 33 5 3 4 35 =

h)

5 = 3

i)

25

b3

=

j)

12 = 5 5 13

EXERCCIOS PROPOSTOS1. (FOC-SP) Se K um nmero inteiro e positivo, ento (-1) +(-1) 2. (UFES) Se e so nmeros reais e 2 =m e 2 =n, ento 42 6 3 7 4 8 k k+1

vale: Resp.:0

m2 vale: Resp.: 2 nvale: Resp.: 9988

3. (CESGRANRIO-RJ) Se a =99 ; b =99 ; c =99 , ento (a.b.c) 4.

12

a 3 x + a 3x 7 2x (FGV-SP) Calcule o valor da expresso A = x x , sendo a =3. Resp.: a +a 32n + 4 + 2n + 2 + 2n 1 82 : Resp.: n 2 n 1 2 +2 3

5. (MACK-SP) O valor da expresso

6. (UFSC) Na proporo

a 2 + b3 324b2 x , onde a=3 e b=2, o valor de x : Resp.: 72 = ab 6x

7.

c2 + b 2 a c2 (ACAFE-SC) Sendo a=1; b=1/2 e c=-2, calcule o valor numrico da expresso : Resp.: 7 b a2 b3 103 105 : Resp.: 10-3 10 104-2 -3 -2 -2

8. (PUC-SP) O valor de

9. (CEFET-PR) Simplificando (2 +4 ) : (4 +8 ) obtm-se: Resp.:

17 5

10. (CEFET-PR) A alternativa correta :

a )4 3 = ( 4 3 )2

2 2

b) 4 3 ( 4 3 )2

c)( 4 3 ) = 4 92

d )( 4 3 ) ( 4 2 ) 32

e) 4 3 = 4 22

3

Resp.: b11. (CEFET-PR) (a -a ) : (a) , sendo a nmero real positivo, vale: Resp.: a -1 12. (FMU-SP) O valor da expresso1/2 1/3 1/3 1/6

22 + 50 4 16 : Resp.:

3 4

13. (UFPI) O valor de

3 3

a a

1

: Resp.:

6

a

14. (CEFET-PR) Calculando-se

(1 + 2 ) , obtm-se: Resp.: 17 + 124

2

15. (UEL-PR) O valor da expresso 16. (UFMA) O valor da expresso3

9 2 ,5 1024 0,1 : Resp.: 241 54 + 78 + 9 : Resp.: 3 7

17. (FEI-SP) A expresso ( 1) +

1 ( 2) 1 igual a: Resp.: 0 2

1

18. (UFPR) Calcule o valor de

x = 2 + 2 + 2 + 2+ ... : Resp.: 2

EQUAES DO 1 GRAUForma Geral: ax+b=c, sendo que a, b, c so nmeros reais e a0. Ex.:

2 y + 8 = 0;

x3 a+4 + 1 = x ;2 a = 8 (Tente identificar os valores de a, b, c nas equaes acima.) 2 2EXERCCIOS PROPOSTOS

1. Calcule o valor das incgnitas dos exemplos acima:

Denominador diferente de zeroSempre que trabalhamos com equaes do 1 grau fracionrios, devemos nos preocupar inicialmente com a condio de existncia dessas equaes. Exemplo:

5x 25 =0 x5 x5Condio de Existncia denominador 0 x-50 x5 Resoluo:

5x 25 5x 25 = 0 = 0 5x 25 = 0 x = 5 x 5 x 5 x 5porm, a condio de existncia x 5 , logo temos que o conjunto soluo : S =

SISTEMAS DE EQUAES DO 1 GRAUExistem muitos tipos de sistemas de equaes envolvendo equaes do 1 grau, iremos recordar aqui apenas os sistemas com duas equaes do 1 grau e 2 incgnitas. Os mtodos de resoluo mais utilizados so os da adio e da substituio.

Ex.: Resolver o sistema de equaes seguinte

x y = 4 3x 2 y = 24Adio Multiplica-se a 1a. equao por 2, obtendo-se

2 x + 2 y = 8 3x 2 y = 24 x = 16Substituindo-se em x - y = 4 16 - y = 4 y = 12 Resposta: x = 16, y = 12 ou (16, 12)

Substituio

x y = 4 x = 4 + y (I ) Substituindo (I) em (II) teremos 3x 2 y = 24 ( II )3 ( 4 + y ) 2 y = 24 12 + 3y 2 y = 24 y = 12Resposta: x = 16, y = 12 ou (16, 12) Importante:

2x + 3y = 5 3x + 4 y = 7 Inverter os coeficientes de uma varivel. Sinais diferentes.

(2 x + 3 y = 5) 3 6x + 9 y = 15 y = 1, x = 1 (3x + 4 y = 7 ) ( 2 ) 6x 8 y = 14EXERCCIOSEQUAES DO 1 GRAU Dada a equao

4 1 5y , calcule N= 5y+2 + = 2 y 8 2 4 y 16

EQUAES LITERAIS

1)

x x +b = a + a b

2)

xa xa b = a +b b a

SISTEMAS

2 x + y = 0 1) 7 3x 2 y = 2

1 x + 2y x y + = 2 3 2 2) x + 3y 2x y = 2 4 5

PROBLEMAS DE 1 GRAU 1. Artur tem um conjunto de pesos todos iguais. Se ele colocar 9 pesos num dos pratos de uma balana e, no outro prato, colocar 3 desses pesos e mais 72 kg, a balana se manter em equilbrio. Qual o valor de cada peso?

2. As dimenses de um retngulo so diretamente proporcionais aos nmeros 3 e 4. Sabendo-se que o permetro do retngulo mede 56 cm, o valor de sua rea em cm2 :