Apostila de Matemática Comercial

MATEMTICA COMERCIAL

2011

Matemtica Comercial

PORCENTAGEM*Objetivos Compreender o Conceito de porcentagem. Calcular porcentagens. Certo jornal publicou a seguinte manchete: Consumo de gasolina caiu quatorze por cento neste semestre! Freqentemente, ouvem frases como estas: A reduo dos preos naquela loja chegou a quinze por cento! Cinqenta por cento dos funcionrios de uma empresa ganham menos de trs salrios mnimos. Para maior clareza e simplicidade nos clculos, usa-se determinar: As comisses; Os lucros; Os abatimentos; As perdas; Os jurus as misturas; As corretagens, etc.

Em poro a 100 unidades. Em todas elas, o conseqente representado por 100. Por isso , so chamados de razes centesimais. Logo: Razo centesimal aquela na qual o conseqente 100. 9 , por exemplo, significa que dividimos o inteiro em 100 partes iguais e tomamos 9 destas partes. 100 10 , indica-nos que, de 100 partes, foram tomadas 10. 100 Existe, contudo, uma forma abreviada de representar as razes centesimais. Veja: 9 = 9% 100 10 = 10% 100 80 = 80% 100 L-se nove por cento. L-se dez por cento. L-se oitenta por cento.

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Matemtica Comercial

Taxas Percentuais Ou, ainda, simplesmente i. Na minha escola, em cada 100 alunos, foram aprovados 73. Vamos indicar a razo centesimal: 73 100 Conseqente

A taxa percentual ou i 73%, logo , em cada grupo de 100, 73 alunos passaram de ano. Ento: 73 = 73% 100 Conseqente Em cada R$1.000,00 de vendas efetivas, as Lojas Halley pagam R$80,00 de comisso a seus Vendedores. Observe: Razo Centesimal Taxa Percentual ou i

800 8% 1000 Em cada 100 gramas de determinada gelia, h 15 gramas de acar. A razo centesimal e a taxa percentual so respectivamente 15 e 15% 100 Veja, agora, a ilustrao: A frao a frao representada aqui 3 . 4 Vamos mostrar-lhe como uma frao pode ser expressa em razo centesimal e, posteriormente, transformaremos esta razo em taxa porcentual. Divide-se o nmero 100 pelo denominador da frao dada. 100 : 4 = 25 Multiplica-se o resultado obtido pelos termos da frao. 3 . 25 = 75 4 . 25 100 Razo centesimal


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Matemtica Comercial Ento: 3 = 75 = 75% 4 100 Logo: 3 = 75% 4 Se voc quiser Transformar, diretamente, uma frao qualquer em taxa percentual, pode-se usar uma regra de trs simples e direta. Observe a proporo: 3= X 4 100 4 . x = 3 . 100 4x = 300 X = 300 4 X = 75 X= 75 Lembrete Aplicando-se um processo prtico, basta dividir o numerador 3 pelo denominador 4, obtendo-se 0,75. Em seguida, multiplica-se o nmero decimal encontrado, no caso, 0,75 por 100. Vejamos: 30 4 -28 0,75 20 -20 00

Taxa percentual

0,75 x 100 = 75%

Outros Exemplos: Transformar 1 em: 5 Razo centesimal e, depois, em taxa percentual. Vamos, em primeiro lugar achar a razo centesimal, usando o processo j explicado: Divide-se 100 pelo denominador da frao dada; 100 : 5 = 20 Multiplica-se o resultado obtido pelos termos da frao:


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Matemtica Comercial 1 . 20 = 20 5 . 20 Se 1 = 20 5 100 100 1 = 20% 5 Razo centesimal

20% correspondem taxa percentual. Verifique a proporo: 1 = x 5 100

5 . x = 1.100 5x = 100 X = 100 5 X = 20% Expressar 2 em taxa percentual . 4 Sabemos que, antes de acharmos a taxa percentual, devemos transformar 2 em razo centesimal. 4 Assim: 100 : 4 = 25 2 . 25 = 50 4 . 25 100 Logo: 2 = 50 = 50% 4 100 Razo centesimal

Taxa percentual

Se for pedida, apenas, a taxa porcentual de 2 , pode-se usar a regra de trs, conforme j foi visto. 4 Observe: 2 = x 4 100 4 . x = 2. 100 4x = 200


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Matemtica Comercial X = 200 4 X = 50 X = 50%

Observao Importante Cabe um esclarecimento a respeito do significado da expresso % . Quando Ouvimos ou lemos Grande loja est liquidando seus produtos, com desconto de 30%, significa que, sobre cada R$100,00 do preo de uma mercadoria, h um desconto de R$30,00. Se, por outro lado, lemos Das pessoas entrevistadas, 50% votariam no candidato x para prefeito, significa que, entre cada 100 pessoas entrevistadas, 50 votariam no candidato x para prefeito. Exerccios 01- Transforme as Razes centesimais em taxas percentuais: A) 12 = D) 31 = 100 100 B) 30 = 100 C) 27 = 100 E) 20 = 100 F) 75 = 100

Problemas de Porcentagem Os problemas sobre porcentagem podero ser resolvidos por uma frmula que apresentaremos abaixo: P=c.i 100 C = 40 i = 20% P =?

P = 40 . 20 100 P = 800 100 P=8 P = 8 Meninas Outros Exemplos: Calcule 30% de R$3.700,00. C-TECH Escola de Informtica e Cursos Profissionalizantes Pgina 6

Matemtica Comercial Frmula: P= c.i 100

c= R$ 3.700,00 i=30% p=?

Ateno Quando o problema envolver dinheiro, no colocaremos na frmula os zeros referentes aos centavos, a fim de facilitar os clculos e evitar erros na simplificao. p = 3.700,00 . 30 100 p = 111.000 100 p = 1.110 p = R$ 1.110,00 Numa cidade, a populao adulta de 18300 pessoas, 42% das quais so analfabetos, Quantos so os adultos alfabetizados desta cidade? Frmula: p=c.i 100 c = 18 300 i = 42% de pessoas analfabetas p=?

p = 18 300 . 42 100 p = 768 600 100 p = 7.686 Esses 7686 so analfabetos e o problema pede os alfabetizados. Logo, devemos subtrair estes analfabetos da populao adulta dada no problema, ou seja, de 18 300. p = 18 300 7686 p = 10 614 p = 10 614 pessoas Calcule 60% de R$ 1.500,00.


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Matemtica Comercial Frmula: p= c.i 100 p = 1.500 . 60 100 p = 90.000 100 p = 900 p = R$ 900,00 Exerccios 1- Calcule 5% de RS 12.000,00. 2- Numa pesquisa sobre leitura de jornais, foram entrevistadas 450 pessoas. Verificou-se que 32% estas pessoas tinham preferncia pelo jornal X. Quantas pessoas, entre as entrevistadas, preferem o jornal X? 3- O preo de um aparelho de R$ 150,00. Durante uma liquidao, anuncia-se o mesmo aparelho com desconto de 12%. Qual o preo deste aparelho nesta liquidao? c = R$ 1.500,00 i = 60% p=?

Clculo do Capital Existem problemas em que a porcentagem dada com a taxa e pede-se o capital. Outras vezes, d-se a porcentagem e o capital e pede-se calcular a taxa. Vamos aprender como se calcula o capital. Usaremos sempre nestes casos a seguinte frmula: c = p . 100 i Onde: c = capital p = porcentagem i = taxa

Veja os seguintes exemplos: 20% de certa quantia correspondem a RS 2.500,00. Qual essa quantia?

Frmula: c = p . 100 i

p = R$ 2.500,00 i = 20% c=?

c = 2.500 . 100 100 c = 250.000 20 c = 12.500 c = R$ 12.500,00


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Matemtica Comercial Comprei um eletrodomstico com desconto de R$ 25,00, que foi correspondente taxa de 5%. Qual era o preo deste eletrodomstico?

c = p . 100 i c = 25 . 100 5 c = 2500 5 c = 500 c = R$ 500,00

p = R$ 25,00 i = 5% c=?

Exerccios 4- As 20 roseiras que se encontram num jardim correspondem a 8% do total das plantas l existentes. Qual o nmero de plantas existentes neste jardim? 5- Um dos funcionrios de uma firma ganha 6% sobre as vendas que ele efetua. No fim do ms, recebe R$ 60,00 de comisso. Calcule o valor total das vendas que este funcionrio efetuou neste ms. Clculo da Taxa Como j falamos anteriormente, h tambm os casos em que so dados o capital e a porcentagem e pede-se a taxa. Para o clculo da taxa, usaremos a seguinte frmula: i = p . 100 c p = porcentagem c = capital i = taxa

Exemplos: R$ 640,00 representam quantos por cento de R$ 32.000,00? Frmula: i = p . 100 c p = R$ 640,00 c = R$ 32.000,00 i=?

i = 640 . 100 32.000 i = 64.000 32.000 i = 64 32 i=2 i = 2%


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Matemtica Comercial 150 alunos representam quantos por cento de 2000 alunos? Frmula: i = p . 100 c p = 150 c = 2000 i=?

i = 150 . 100 2000 i = 15 2 i = 7,5 i = 7,5% Exerccios 6- Uma prova de matemtica tem 50 questes. Um aluno acertou 40 destas questes. Qual foi a sua taxa de acerto? 7- A 6 srie C teve, durante todo o ano, 50 aulas de Educao Fsica. Um aluno faltou a 8 aulas. Qual foi a taxa de faltas deste aluno?

JUROS SIMPLESObjetivos Compreender o conceito de juros simples. Calcular juros simples sobre determinado capital. Se uma pessoa que comprar um imvel e no dispe do dinheiro suficiente, ela pode arranjar a quantia que falta, tomando-a emprestada a um banco. Ao devolver essa quantia ao banco, ele ter que paga uma certa importncia a mais, correspondente ao Aluguel do dinheiro. Essa compensao em dinheiro chamada de juro. Se, por exemplo, voc deseja um carro e no dispe de dinheiro, poder Obter um financiamento, isto poder arranja, numa financeira, a quantia de que necessita. Em certa data, o dinheiro acrescido de uma parcela chamada de juro Assim: Toda vez que se empresta, oficialmente, uma quantia por um Determinado tempo, recebe-se uma compensao em dinheiro. Essa compensao recebe o nome de juro Observao: Podemos entender juro como uma porcentagem, porem acrescida ou influenciada pelo fato tempo (meses,ano,dias) quantia emprestada ou empregada, chamamos capital. O capital ser sempre representado pelo letra C. O tempo corresponde ao perodo de deposito ou de emprstimo. A


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Matemtica Comercial Unidade de tempo empregada , em geral, o ano comercial (360 dias) No entanto, os juros, tambm, podem se considerado ao ms e ao dia. O tempo ser sempre representado pelo letra T. A taxa refere-se ao percentual (%) que representa o juro recebido ou pago a cada R$100,00, em um determinado tempo. Ela sempre representada pelo letra I O juro correspondem compensao em dinheiro devido ao emprstimo do capital, durante um perodo determinado. Sero sempre representada pela letra J Para maiores esclarecimentos, vejamos o seguinte exemplo: Se eu te empresto a quantia de R$100,00, a 10% ao ano, durante 1 ano, teremos: O capital( C ) correspondem R$ 100,00. A taxa ( I ) corresponde a 10% ao ano. O tempo ( T ) corresponde a 1 ano Ao final de 1 ano, voc me pagara o valor referente ao capital de R$100,00, acrscimo de uma compensao em dinheiro correspondente ao juros.

Essa compensao corresponde a R$10,00(pois, como voc j aprendeu anteriormente, 10% de R$100,00 corresponde a R$10,00). Isto significa que, ao final de 1 ano, voc pagara um total de R$110,00,isto , o valor do capital acrescido dos juros. O juro uma grandeza varivel, diretamente proporcional: Ao capital; taxa. Ao tempo. Isso significa que: Quanto maior for a quantia emprestada, maiores sero os juros produzidos. Quanto maior for a taxa, mais juros sero recebidos. Quanto mais tempo durar o emprstimo, maiores sero os juros obtidos. No clculo de juros, a taxa e o tempo devero ser expressos numa mesma unidade de tempo, sempre que possvel. Se a taxa for ao ano, conveniente que o tempo tambm seja considerado em ano.Caso a taxa seja ao ms,o tempo devera ser expresso em meses,enquanto que,se a taxa for ao dia,o tempo dever ser calculado em dias. Antes de resolver qualquer problema de juros,procure analis-lo. Observe se a Taxa e o tempo esto expressos na mesma unidade de tempo. Assim: Taxa ao ano Taxa ao ms Taxa ao dia Tempo em anos. Tempo em meses. Tempo em dias.

Na resoluo de problemas de juros,podemos verificar que o processo a ser utilizado bastante parecido com aquele aplicado na resoluo de problemas de porcentagem,vistos na unidade interior. Conforme foi feito em porcentagem,vamos,primeiramente,resolver os exerccios de juros, por uma regra de trs. Como iremos trabalhar com mais de duas grandezas, utilizaremos uma regra de trs composta.Deduzida a formula de juros, a partir dela podemos encontrar as formulas para o calculo do capital,do tempo e da taxa.


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Matemtica Comercial Calculo de juros Sendo juro uma grandeza diretamente proporcional ao capital,ao tempo e a taxa,indicaremos as setas no mesmo sentido. Isso quer dizer que todas as grandezas so diretas. Exemplos: Quais so os juros produzidos por R$500,00 durante 3 anos, taxa de 10% ao ano? Inicialmente, devemos organizar os dados: c=R$500,00 t=3anos i=10% ao ano j=? Observe que o tempo e a taxa esto expressos na mesma unidade de tempo: ano. Analisemos agora o problema: sendo a taxa equivalente a 10% ao ano, teremos o capital de R$100,00, em 1 ano,produzindo R$10,00 de juros. O capital de R$500,00, em 3 anos, produzir x juros.

Desse modo, nossa regra de trs composta ser armada da seguinte forma: Capital ( R$ ) 100,00 500,00 Tempo (Anos) 1 3 Juros ( R$ ) 10,00 j

As setas, no mesmo sentido, indicam que as grandezas so diretamente proporcionais.

Ateno!

Lembre-se de que, quando o problema envolve dinheiro, no colocaremos na frmulas os zeros referentes aos zeros referentes aos centavos, a fim de facilitar os clculos e evitar erros na simplificao.

As razes ficaro assim determinadas: 100 500 1 3 10 j

Armando a proporo, teremos:

10 j

100 . 1 500 3

No se esquea de que juro uma grandeza diretamente proporcional ao capital e ao tempo. C-TECH Escola de Informtica e Cursos Profissionalizantes Pgina 12

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Logo, os juros sero, tambm, proporcionais ao produto destas desta duas grandezas: Capital e Tempo.

Ento, para calcularmos o valor de j, s observarmos o sentido o sentido das setas e efetuarmos os clculos. j.100.1=10.500.3 ou ainda: j= 10.500.3 100.1 J=R$150,00 De um modo geral, podemos representar o capital, a taxa,o tempo e os juros numa regra de trs composta e direta.Por meio dela,podemos relacionar estas grandezas numa formula,que muitas vezes,facilita a resoluo dos problemas. Representamos, numa regra de trs composta, as grandezas capital,taxa,tempo e juros: Capital(R$) 100,00 c Observe as razes: 100 c 1 t i j Tempo(anos) 1 t i j Juros

Logo,a proporo ser:

i j

= 100 . 1 c t

Observando a direo e o sentido das setas,podemos deduzir a frmula de juros: j.100.1= i. c . t j= c .i .t 100. 1 Conhecida a frmula j = c . i . t , podemos substituir nela os 100 valores dados no problema anterior. Recordaremos estes dados: c = R$ 500,00 c =3 anos i=10% ao ano j= ? Logo: C-TECH Escola de Informtica e Cursos Profissionalizantes Pgina 13

Matemtica Comercial j= c . i . t 100 j= 500 . 10 . 3 100 j= R$150,00 Bom, voc poder usar o processo que achar mais fcil, OK? Exemplo: Calcular os juros produzidos por R$160,00, ao fim de 5 anos, taxa de 60% ao ano. Vamos dispor os dados da seguinte maneira: C = R$160,00 T = 5 anos I = 60% ao ano J=? Observe que o tempo e a taxa esto expressos na mesma unidade de tempo: ano. Desse modo, podemos usar a frmula: j= c . i . t 100 Temos ento: j= 160 . 60 . 5 100 j= R$ 480,00 Mas, ateno!! S use a frmula j= c.i.t se a taxa e o tempo estiverem na mesma unidade de tempo. 100 No. Vamos estudar cada caso isoladamente.De incio, estamos preocupados apenas com aqueles casos nos quais a taxa e o tempo so expressos na mesma unidade de tempo. Outros exemplos: Emprestei R$ 400,00, durante 3 meses, taxa de 12,5% ao ms.Quanto receberei de juros? Organizaremos os dados: C= R$ 400,00 C-TECH Escola de Informtica e Cursos Profissionalizantes Pgina 14

Matemtica Comercial I = 12,5% ao ms T= 3 meses A taxa e o tempo so expressos em meses, portanto,esto na mesma unidade de tempo e podemos utilizar a frmula: J= c . i . t 100 Substituindo os valores, temos: j= 400 . 12,5 . 3 100 j= R$ 150,00 Para cada dia de atraso no pagamento de uma prestao de R$ 800,00 foi cobrada uma taxa de 0,5% ao dia.Quanto pagou de juros um cliente que atrasou 15 dias? c= R$ 800,00 i= 0,5 ao dia t= 15 dias j= ? Observe: taxa e tempo esto na mesma unidade de tempo: dias portanto, utilizar a frmula: j= c . i . t 100 Substituindo os dados na frmula, temos: j = 800 . 0,5 . 15 100 j = R$ 60,00 Observe que, at agora, ns s empregamos a frmula j = c . i . t para o clculo de juros, 100 quando a taxa e o tempo se encontram numa mesma unidade de tempo, ou seja: Taxa ao ano Taxa ao ms Taxa ao dia Tempo em anos Tempo em meses Tempo em dias

Sim. Podemos citar diversos casos em que a taxa se encontra numa unidade de tempo e o tempo est expresso em outra unidade. Por exemplo: Taxa ao ano Tempo em dias Taxa ao ms Tempo em anos Taxa ao dia Tempo em meses, etc


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Matemtica Comercial Nesses casos, aplicamos outras frmulas: j = c . i . t clculo de juros com taxa ao ano e o tempo em meses 1200 j = c . i . t clculo de juros com taxa ao ano e o tempo em dias Observe que, para aplicarmos as frmulas acima, a taxa deve estar sempre expressa em anos. Alguns exemplos: Quais ou juros produzidos pelo capital de R$ 6.400,00, em 3 meses, taxa de 40% ao ano? Veja: Taxa ao ano e tempo em meses. c = R$ 6.400,00 i = 40% ao ano t = 3 meses j=? Aplicamos a frmula j = c . i . t, pois a taxa anual e o tempo est expresso em meses. 1200 Teremos ento: j=c.i.t 1200 Substituindo os dados: j = 6.400 . 40 . 30 1200 j = R$ 640,00 Quanto rende de juros um capital de R$ 28.000,00 taxa de 50% ao ano, durante 18 dias? Organizemos os dados: c = RS 28.000,00 i = 50% ao ano t = 18 dias j=? Observe: Taxa ao ano e tempo em dias. Portanto, usamos a frmula: j=c.i.t 36000 Substituindo os dados: j = 28000 . 50 . 18 36000 j = R$ 700,00 Faamos uma reviso: A frmula j = c . i . t dever ser paliada quando a taxa e o tempo estiverem na mesma unidade 100 de tempo, ou seja: Taxa ao ano Taxa ao ms Tempo em anos Tempo em meses Pgina 16


Matemtica Comercial Taxa ao dia Tempo em dias

A frmula j = c . i . t ser utilizada quando a taxa estiver ao ano e o tempo for expresso em 1200 meses. A frmula j = c . i . t s poder ser usada quando a taxa estiver ao ano e o tempo estiver em 36000 dias. Vamos encontrar problemas para os quais no temos frmulas que os resolvam diretamente. Devemos, em muitos casos, raciocinar sobre o problema, analisando-o bem e, com a prtica, encontraremos um modo de resolv-lo. No se assuste com as frmulas. Elas so quase iguais. A diferena est apenas no uso das constantes, 100: 1200 e 36000. O restante da frmula sempre o mesmo para cada caso. Vamos citar alguns exemplos que, aparentemente, fogem regra geral. A quantia de R$ 600,00 foi aplicada taxa de 4% ao ms, durante 90 dias. Quanto rendeu de juros? Organizemos os dados: c = R$ 600,00 i = 5% ao ms t = 90 diasn j=? No temos uma frmula especfica para esse caso No entanto, podemos manipular os dados de modo a enquadrar o problema em um molde j conhecido. No entanto, observe que o tempo de 90 dias pode ser convertido em meses, no mesmo? Sabemos que 90 dias correspondem a 3 meses. Deste modo, o tempo, agora, poder ser considerado em meses e os dados restantes permanecero inalterados. Vejamos: c = R% 600,00 i = 5% ao ms t = 90 dias = 3 meses j=? Agora, com a taxa e o tempo expresso numa mesma unidade de tempo, podemos aplicar a frmula: j=c.i.t 100 Substituindo os valores: j = 600 . 5 . 13 100 j = R$ 90,00 A quantia de R$ 70,00 foi aplicada taxa de 6% ao ms, durante 100 dias. Quanto rendeu de juros? Anotemos os dados:


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Matemtica Comercial c = R$ 70,00 i = 6% ao ms t = 100 dias j=? Utilizaremos o mesmo raciocnio do exemplo anterior. Vamos transformar o tempo dado em dias para tempo em meses. No entanto, nos deparamos com uma dificuldade: 100 dias no correspondem a um numero exato de meses. Como sair desta situao? Lembre-se de que um ms corresponde a 30 dias (ms comercial). Devemos dividir 100 dias por 30 dias para acharmos o tempo em meses. Como o resultado no exato, podemos apenas indicar este valor, usando a frao 100. 30 Assim temos: 100 dias = 100 meses 30 Voltemos, ento, aos dados: c = R$ 700,00 i = 6% ao ms t = 100 dias = 100 meses 30 Estando a taxa e o tempo na mesma unidade, aplicaremos a frmula: j=c.i.t 100 Logo, 70 . 6 . 100 30 100 Como os valores 70 e 6 so inteiros, podem ser colocados na frmula, como frao, respectivamente, como 70 e 6. 1 1 Da: 70 . 6 . 100 j = 1 1 30 100 Lembre-se: na multiplicao de fraes, multiplicam-se os numeradores entre si, assim como os denominadores. Desse modo, podemos escrever: 70 . 6 . 100 j = 1 1 30 100 Efetuando os clculos: 42000 j= 30 100 j = R$ 14,00


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Matemtica Comercial Um capital de RS 300,00 foi emprestado durante 2 anos, taxa de 3% ao ms. Quanto rendeu de juros? Vejamos os dados: c = R$ 300,00 i = 3% ao ms t = 2 anos j=? Esse caso bem simples: ao tornarmos o tempo em anos, podemos convert-lo em meses, pois 1 ano corresponde a 12 meses. Assim, 2 anos correspondero a 24 meses. Da: c = R$ 300,00 i = 3% ao ms t = 2 anos = 24 meses j=? Estando o tempo e a taxa expressos em meses, podemos aplicar a frmula: j=c.i.t 100 Assim sendo: j = 300 . 3 . 24 100 j = R$ 216,00 Um capital de R$ 1.000,00 foi emprestado taxa de 5% ao ms, durante 3 anos e 2 meses. Quanto rendeu de juros? Anotemos os dados: c = R$ 1.000,00 i = 5% ao ms t = 3 anos e 2 meses j=? A nossa primeira providncia ser colocar o tempo na mesma unidade de tempo da taxa: t = 3 anos e 2 meses. Como 1 ano corresponde a 12 meses, 3 anos correspondero a 36 meses. Somando-se 2 meses aos 36 meses, temos: t = 3 anos e 2 meses = 38 meses Agora que o tempo e a taxa esto na mesma unidade de tempo, aplicamos a frmula: j=c.i.t 100 Substituindo os valores: j = 1000 . 5 . 38 100 j = R$ 1.900,00 Durante 1 ano, o capital de R$ 500,00 foi emprestado taxa de 0,2% ao dia. Quanto rendeu de juros? c = R$ 500,00 i = 0,2% ao dia C-TECH Escola de Informtica e Cursos Profissionalizantes Pgina 19

Matemtica Comercial t = 1 ano j=? Como 1 ano corresponde a 360 dias (ano comercial), basta transformarmos o tempo em anos para dias, isto : t = 1 ano = 360 dias Agora, aplicamos a frmula: j=c.i.t 100 j = 500 . 0,2 . 360 100 j = R$ 360,00 Quanto rendeu de juros o capital de R$ 200,00, em prestado durante 5 meses, taxa de 0,8% ao dia? Anotemos os dados: c =R$ 200,00 i = 0,8% ao dia t = 5 meses j=? A taxa e o tempo esto expressos em unidade diferentes. Entretanto, sabemos que 1 ms corresponde a 30 dias, logo, 5 meses correspondero a 150 dias. Deste modo, o tempo passar a ser expresso da seguinte maneira: t = 5 meses = 150 dias Podemos ento, aplicar a frmula j= c . i . t, pois o tempo e a taxa esto expressos na mesma 100 unidade de tempo. Tempo: j=c.i.t 100 j = 200 . 0,8 . 150 100 j = R$ 240,00 Exerccios 8 Quanto se pagar de juros por uma capital de R$ 160,00 a 80% ao ano, em 3 anos? 9 Emprestei a quantia de R$ 400,00 pelo prazo de 3 meses, a 6% ao ms. Quanto receberei de juros? Clculo do Capital Vimos como os juros, sendo fornecidos o capital, o tempo e a taxa. A partir da regra de trs composta e direta, deduzimos a frmula: j=c.i.t 100 C-TECH Escola de Informtica e Cursos Profissionalizantes Pgina 20

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A partir da, podemos deduzir a frmula para o clculo do capital, sendo fornecidos os juros, a taxa e o tempo. j=c.i.t 100 Inicialmente, transportamos o denominador 100 para o primeiro tempo da frmula. Temos: 100 . j = c . i . t Ou seja: c . i . t = 100 . j Assim, c = 100 . j i.t Lembre-se de que essa frmula s poder ser usada, quando a taxa e o tempo estiverem numa unidade de tempo. Usamos: c = 1200 . j quando a taxa for expressa em anos e o tempo em meses; i.t c = 36000 . j quando a taxa for expressa em anos e o tempo em dias; i.t Qual capital que, taxa de 80% ao ano, rende R$ 240,00 de juros, em 5 anos? Vamos, primeiramente, organizar os dados do problema: j = R$ 240,00 i = 80% ao ano t = 5 anos c=? Observamos que o tempo e a taxa esto na mesma unidade de tempo: ano. Podemos, portanto, usar a frmula: c = 100 . j i.t Substituindo os valores: c = 100 . 240 80 . 5 c =R$ 60,00 Determine o capital que taxa de 25% ao ms, rendeu R$ 260,00 em 5 meses. Temos: j = R$ 260,00 i = 25% ao ms t = 5 meses C-TECH Escola de Informtica e Cursos Profissionalizantes Pgina 21

Matemtica Comercial c=? Verificamos que a taxa e o tempo so expressos numa mesma unidade de tempo: meses. Vamos utilizar a mesma frmula: c = 100 . j i.t c = 100 . 260 25 . 5 c = R$ 208,00 Qual o capital que rendeu R$ 75,00 de juros, taxa de 0,25% ao dia, em 10 dias? Anotemos os dados: j = R$ 75,00 i = 0,25% ao dia t = 10 dias c=? Novamente, a taxa e o tempo so expressos na mesma unidade de tempo: dias. c = 100 . j i.t Temos: c = 100 . 75 0,25 . 10 c = R$ 3.00,00 Vamos recapitular as frmulas usadas para o clculo do capital, nos casos em que o tempo e a taxa estiverem em unidades de tempo diferentes? As frmulas a serem aplicadas so as seguintes: c = 1200 . j taxa ao ano e tempo em meses. i.t c = 3600 . j taxa ao ano e tempo em dias. i.t Os casos que no se enquadrarem em moldes anteriores devero ser analisados convenientemente, como fizemos no clculo de juros, lembra-se? Qual o capital que, empregado taxa de 96% ao ano, rendeu R$ 35,00 de juros em 7 meses? Dados: j = R$ 35,00 i = 96% ao ano t = 7 meses c=? C-TECH Escola de Informtica e Cursos Profissionalizantes Pgina 22

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Como a taxa est expressa em anos e o tempo em meses, usamos a frmula: c = 100 . j i .t Substituindo os valores: c = 1200 . 35 96 . 7 c = R$ 84,00 Clculo da Taxa Conforme foi feito para o clculo do capital, podemos, a partir de j = c . i . t, deduzir a frmula a ser utilizada no clculo da taxa. 100 Vejamos: j=c.i.t 100 Temos: 100 . j = c . i . t Ou seja: c . i . t = 100 . j Desse modo, i = 100 . j frmula vlida para taxa e tempo expressos na mesma unidade de tempo c.t A que taxa anual devemos empregar o capital de R$ 900,00, para que ela possa render R$ 108,00 de juros, em 4 anos? Anotemos os dados: c = R$ 900,00 j = R$ 108,00 t = 4 anos i = ? (anual) Veja que o tempo expresso em anos e a taxa solicitada anual. Podemos, ento, aplicar a frmula: i = 100 . j c.t Substituindo os valores: i = 100 . 108 900 . 4 i = 3% ao ano A que taxa mensal foi aplicado um capital de R$ 100,00 durante 6 meses, para render R$ 12,00? C-TECH Escola de Informtica e Cursos Profissionalizantes Pgina 23

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Vejamos: c = R$ 100,00 j = R$ 12,00 t = 6 meses i = ? (mensal) Como o tempo est indicado em meses, a taxa solicitada mensal, podemos aplicar a frmula: i = 100 . j c.t Temos, pois: i = 100 . 12 100 . 6 i = 2% ao ms Qual a taxa diria que faz um capital de R$ 2.400,00 render R$ 108,00 de juros em 18 dias? Dados: c = R$ 2.400,00 j = R$ 108,00 t = 18 dias i = ? (ao dia) Verifique que a taxa solicitada diria. O tempo, tambm, expresso em dias. Vamos, portanto, utilizar a frmula: i = 100 . j c.t i = 100 . 108 2400 . 18 i = 0,25% ao dia Inicialmente, substituiremos a constante 100, na frmula i = 100 . j pelas constantes 1200 e 3600, nos seguintes casos: c.t i = 1200 . j quando a taxa for ao ano e o tempo for expresso em meses c.t i = 3600 . j quando a taxa for ao ano e o tempo for expresso em dias c.t A quantia de R$ 600,00 foi emprestada durante 4 meses, rendendo R$ 192,00 de juros. Qual foi a taxa anual aplicada? Vejamos c = R$ 600,00 j = R$ 192,00 t = 4 meses i = ? (ao ano) Observe que o tempo est expresso em meses e a taxa pedida anual. Deste modo, aplicamos a frmula:


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Matemtica Comercial i = 1200 . j c.t Temos: i = 1200 . 192 600 . 4 i = 96% ao dia R$ 560,00 foram empregados durante 200 dias, produzindo R$ 336,00 de juros. Determine a taxa anual aplicada. Anotemos os dados: c = R$ 560,00 j = R$ 336,00 t = 200 dias i = ? (ao ano) Pelo fato de o tempo estar expresso em dias e a taxa pedida ser anual, aplicaremos a frmula: i = 36000 . j c.t Substituindo os valores: i = 3600 . 336 560 . 200 i = 108% ao ano Podemos ter alguns casos que no se enquadram no que foi visto anteriormente, tais como: Taxa ao ms Tempo em anos Taxa ao ms Tempo em dias Taxa ao ms Tempo em anos Taxa ao dia Tempo em meses, etc. Devemos, sempre que possvel, mudar a unidade do tempo para a unidade da taxa. E no se esquea: o importante usarmos o bom senso, adequado os dados do problema a um molde j conhecido. Vamos aos exemplos? Calcular qual di a taxa mensal que, aplicada a um capital de R$ 600,00, durante 2 anos, produziu R$ 288,00 de juros. Organizemos os dados: c = R$ 600,00 j = R$ 288,00 t = 2 anos i = ? (ao ms)


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Matemtica Comercial O tempo, dado em anos, pode ser transformado em meses, que a unidade de tempo da taxa. Como 1 ano equivale a 12 meses, 2 anos correspondero a 24 meses, Assim: t = 2 anos = 24 meses Depois dessa transformao, podemos aplicar a frmula: i = 100 . j c.t Substituindo os dados: i = 100 . 288 600 .24 i = 2% ao ms Um capital de R$ 15,00 foi emprestado durante 90 dias, produzindo R$ 9,00 de juros. Qual a taxa mensal estipulada neste emprstimo? Anotemos os dados: c = R$ 15,00 j = R$ 9,00 t = 90 dias i = ? (ao ms) A taxa pedida mensal. E possvel transformarmos o tempo em dias para meses? Como o ms comercial equivale a 30 dias, 90 dias correspondero a 3 meses. Logo, t = 90 dias = 3 meses Feito esse raciocnio, podemos aplicar a frmula: i = 100 . j c.t Vamos substituir os dados? I = 100 . 9 15 . 3 i = 20% ao ms Calcular a taxa diria de aplicao de um capital de R$ 120,00 que, aplicado em 1 ano, garante um juro de R$ 345,60. Organizemos os dados: c = R$ 120,00 j = R$ 345,00 t = 1 ano i = ? (ao dia) C-TECH Escola de Informtica e Cursos Profissionalizantes Pgina 26

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Podemos, facilmente, colocar o tempo e a taxa na mesma unidade de tempo. O ano comercial corresponde a 360 dias, no ? Assim sendo, t = 1 ano = 360 dias Podemos, agora, aplicar a frmula: i = 100 . j c.t Substituindo os valores: i = 100 . 345,60 120 . 360 i = 0,8% ao dia Qual a taxa diria que faz um capital de R$ 250,00 render R$ 60,00 em 2 meses? Temos: c = R$ 250,00 j = R$ 60,00 t = 2 meses i = ? (ao dia) Observamos as unidades do tempo e da taxa. Podemos, ento, converte meses em dias? Sim, pois sabemos que 2 meses equivalem a 60 dias.

Desse modo, t = 2 meses = 60 dias Desse modo apliquemos a frmula: i = 100 . j c.t Ou seja: i= 100 . 60 250 . 90 I = 0,4% ao dia Clculo do Tempo Novamente, devemos partir da frmula j= c . i . t para encontrarmos a que especifica para o 100 clculo do tempo. J= c . i . t C-TECH Escola de Informtica e Cursos Profissionalizantes Pgina 27

Matemtica Comercial 100 100 . j = c . i . t Logo, c . i . t = 100. J t= 100 . j c.i bom no esquecer que essa frmula valida somente quando a taxa e o tempo estiverem na mesma unidade de tempo, ou seja: Taxa ao ano Tempo em anos Taxa ao ms Tempo em meses Taxa ao dia Tempo em dias Durante quanto tempo esteve empregado o capital de R$ 250,00, sabendo-se que rendeu R$ 30,00 de juros, taxa de 60% ao ano? Organize os dados: C= R$ 250,00 J = R$ 30,00 T= 60% ao ano I=?

Ateno! Como a unidade de tempo no foi explicitada e sabendo-se que a taxa aplicada anual, devemos calcular o tempo na mesma unidade de tempo da taxa, ou seja, em anos. T= 100 . j C.i T= 100 . 30 250 . 60 T= 0,2 anos Um banco concede emprstimos a 4% ao ms. Durante quanto tempo esteve empregado um capital de R$ 300,00 para render R$ 36,00 de juros? C=R$ 300,00 J= R$ 30,00 I= 4% ao ms T= ? Como a taxa est expressa ao ms, vamos calcular o tempo em meses. A frmula T= 100 . j C.i Substituindo os valores: T= 100 . 36 C-TECH Escola de Informtica e Cursos Profissionalizantes Pgina 28

Matemtica Comercial 300 . 4 T= 3 anos Durante quantos dias foi aplicada a quantia de R$ 600,00, a 0,2 ao dia,se juros produzidos foram de R$ 54,00? Dados: C= R$ 600,00 J= R$ 54,00 I= 0,2% ao dia T= ? (dias) T= 100 . j C.i Temos,ento: t = 100 . 54 600 . 0,2 t= 45 dias O que faremos quando o tempo e a taxa no estiverem na mesma unidade de tempo? Na frmula j= c . i . t a constante 100 poder ser substituda pelas constantes 1200 ou 100 36000, em determinada situaes. No clculo do tempo, essas constantes, tambm, devero ser usadas nos seguintes casos: t = 1200 . j taxa expressa em anos e tempo em meses. c.i t = 36000 . j taxa expressa em anos e tempo em dias. c. i Um capital de R$ 400,00 foi aplicado taxa de 84% ao ano, rendendo R$ 84,00 de juros. Durante quantos meses esteve aplicado? Organizemos os dados: c = R$ 400,00 j = R$ 84,00 i = 84% ao ano t = ? (meses) Como a taxa est expressa em anos e o tempo foi pedido em meses, aplicados a frmula: t = 1200 . j c.i t = 1200 . 84 400 . 84 t = 3 meses Um capital de R$ 240,00 aplicado a uma taxa anual de 70% fornece juros de R$ 70,00. Calcular o tempo em dias. Dados: c = R$ 240,00 C-TECH Escola de Informtica e Cursos Profissionalizantes Pgina 29

Matemtica Comercial j = R$ 70,00 i = 70% ao ano t = ? (dias) Para o clculo do tempo, estando a taxa ao ano e o tempo em dias, aplicamos a frmula: t = 36000 . j c. i Temos: t = 36000 . 70 240 . 70 t = 150 dias

DESCONTOS SIMPLESA expresso mxima do progresso comercial o crdito, garantido por instrumentos jurdicos denominados ttulos de crdito. Entre eles destacamos a duplicata, a nota promissria, a letra de cmbio, o conhecimento de depsito e o cheque, todos os reconhecimentos e definidos pelo Direito Comercial Brasileiro. Em geral, os negociantes, buscando vantagens ou na impossibilidade de efetuarem vista o pagamento da compra de mercadorias , assumem o compromisso de faz-lo em pocas determinadas. Suponhamos que o possuidor de um ttulo, com o vencimento para daqui a 30 dias, necessite do dinheiro imediatamente. Que faz ele? Procura uma Agncia Bancria que lhe adianta a importncia do ttulo, deduzido de uma certa quantia, que o desconto. Ento: Desconto o abatimento que se faz em uma dvida, quando ela paga antes do vencimento. Devemos considerar como: Valor Nominal o valor indicado no ttulo, a importncia que dever ser paga no dia do vencimento. Valor Atual lquido recebido pelo possuidor do ttulo, antes do vencimento. Exemplo: Se devssemos R$ 500,00 para pagar daqui a 60 dias e pegssemos antes, teramos uma reduo da nossa dvida. Em vez de RS 500,00 pagaramos, por exemplo, R$ 450,00. O desconto seria de R$ 50,00. Na operao acima, temos dois valores: R$ 500,00 (valor nominal) e R$ 450,00 (valor atual). Podemos deduzir ento que desconto (D) a diferena entre o valor nominal (v) e o valor atual (A) D=VA O desconto consiste, ento, no abatimento que deve sofrer um instrumento de crdito cobrado antes de seu vencimento. Para se calcular o valor de desconto de um ttulo de crdito, utiliza-se a mesma frmula de juros: D=V.i.t 100


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Matemtica Comercial Onde: V = valor nominal i = taxa t = tempo D=? Exemplos: Calcular o desconto de uma duplicata de R$ 200,00 taxa de 12% ao ano, paga 4 meses antes do seu vencimento. D=V.i.t 100 D = 200,00 . 12% . 4 x 1 x 96,00 = R$ 8,00 100 12 12 D = R$ 8,00 Qual o desconto de um ttulo de crdito de R$ 6.000,00 taxa de 10% ao ano, pago 102 dias antes do vencimento? D=V.i.t 100 D = 6.000,00 . 10 . 102 x 1 = 6.120,00 =R$ 170,00 100 360 36 D = R$ 170,00 Exerccios 10 - Calcule o desconto de uma letra de cambio de R$ 700,00 paga 50 dias antes do vencimento e com uma taxa de 9% ao ano. 11 Qual o desconto de um ttulo de crdito de R$ 950,00 com juros de 11% ao ano, liquidada 3 meses antes do prazo do vencimento?


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