Apostila de Matemtica Financeira

Matemtica FinanceiraSumrio:Mdulo 1

INTRODUO A MATEMTICA FINANCEIRA........................................................3TERMOLOGIA E CONCEITOS INICIAIS.....................................................................3TAXA UNITRIA............................................................................................................4FATOR DE CAPITALIZAO.......................................................................................4FATOR DE DESCAPITALIZAO ..............................................................................4ACRSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO ..................................................................5DIAGRAMAS DE FLUXO DE CAIXA (DFC)...............................................................5Mdulo 2

JUROS SIMPLES.............................................................................................................6PROPORCIONALIDADE DE TAXAS DE JUROS.......................................................8OPERAES COM DESCONTOS.................................................................................9DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) A JUROS SIMPLES...............................10DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) A JUROS SIMPLES..................................11EQUIVALENCIA DE CAPITAIS..................................................................................12Mdulo 3

JUROS COMPOSTOS...................................................................................................12RELEMBRANDO LOGARITMOS (REVISAO)..........................................................14EQUIVALENCIA DE TAXAS......................................................................................16TAXAS APARENTES OU UNIFICADAS...................................................................17TAXAS NOMINAIS OU "DE MENTIRINHA"...........................................................18DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) A JUROS COMPOSTOS.......................18DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) A JUROS COMPOSTOS..........................19EQUIVALENCIA DE CAPITAIS _ JUROS COMPOSTOS.........................................20Mdulo 4

SRIES UNIFORMES (DE RENDAS)..........................................................................20SISTEMAS DE AMORTIZAO.................................................................................22SISTEMA FRANCS OU TABELA PRICE.................................................................22SISTEMA DE AMORTIZAES CONSTANTES (SAC) OU HAMBURGUS.......24Mdulo 5

EXERCCIOS..................................................................................................................24Material Paralelo Recomendado:

BRUNI, Adriano. L.; FAM, Rubens. Matemtica financeira: com HP-12c e excel. So Paulo: Atlas, 2004.

INTRODUO A MATEMTICA FINANCEIRA

Neste captulo iremos estudar alguns assuntos que serviro de base para o aprendizado de Matemtica Financeira.TERMOLOGIA E CONCEITOS INICIAIS

Alguns termos e definies utilizadas no estudo da Matemtica Financeira. Capital (C/VP): Qualquer quantidade de dinheiro que esteja disponvel em certa data para ser aplicado numa operao financeira.

Juros (J): Custo do capital durante determinado perodo de tempo.

Taxa de Juros (i): Unidade de medida dos juros que corresponde remunerao paga pelo uso do capital durante um determinado perodo de tempo.

Montante (M/VF) = o resultado da aplicao do capital inicial. Matematicamente, representa a soma do capital inicial mais os juros capitalizados durante o perodo. , portanto, a quantidade de moeda (ou dinheiro) que poder ser usufruda no futuro;Tempo (n): ou perodo de capitalizao, corresponde durao (em semanas, meses, anos etc...) da operao financeira. comumente expresso em unidade do perodo a que se refere.

Capitalizao: Operao de adio dos juros ao capital.

Regime de Capitalizao Simples: Os juros so calculados periodicamente sobre o capital inicial, e o montante ser a soma do capital inicial com as vrias parcelas de juros, o que equivale a uma nica capitalizao.

Regime de Capitalizao Composta: Incorpora ao capital no somente os juros referentes a cada perodo, mas tambm os juros sobre os juros acumulados at o momento anterior.

Desconto(D): Desconto o abatimento que se faz sobre um valor ou um ttulo de crdito quando este resgatado antes de seu vencimento. Todo ttulo tem um valor nominal ou valor de face, que aquele correspondente data de seu vencimento. A operao de

desconto permite que se obtenha o valor atual ou o valor presente do ttulo em questo.OBS.: -Valor Presente: Capital inicial; Valor por dentro; Valor lquido; Valor atual; Principal;-Valor Futuro: Montante; Valor por fora; Valor nominal; Valor de face;PRINCIPAIS ABREVIATURAS:a.d. = ao dia;

a.d.u. = ao dia til;

a.m. = ao ms;

a.m.o. = ao ms over;

a.b. = ao bimestre;

a.t. = ao trimestre;

a.q. = ao quadrimestre;

a.s. = ao semestre;

a.a. = ao ano;

a.a.o. = ao ano over;obs.: Regra geral para Matemtica Financeira:-Ano/ ms comercial: formado por 360 dias no ano; 30 dias no ms;-Ano civil ou exato formado por 365 dias;-Dias teis:

TAXA UNITRIA:Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa unitria. A taxa unitria importante para nos auxiliar a desenvolver todos os clculos em matemtica financeira.

Exemplo:38% = 0,38;1,5% = 0,015;230% = 2,3;FATOR DE CAPITALIZAO

Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que, se no sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmao abaixo:

O produto valia 100% e sofreu um aumento de 20%. Logo, est valendo 120% do seu valor inicial.O Fator de capitalizao um nmero pelo qual devo multiplicar o preo do meu produto para obter como resultado final o seu novo preo, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar.

Calculando o fator de capitalizao: Basta somar 1 com a taxa unitria. Obs.:Lembre-se que 1 = 100/100 = 100%

Exemplo: Acrscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/ 100 = 1,45

Exemplo1) um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acrscimo de 20% passar a custar 1.500 x 1,2 (fator de capitalizao para 20%) = R$ 1.800,00FATOR DE DESCAPITALIZAO

O Fator de descapitalizao o nmero pelo qual devo multiplicar o preo do meu produto para obter como resultado final o seu novo preo, considerando o percentual de desconto que desejo utilizar.

Calculando o fator de descapitalizao: Basta subtrair o valor do desconto expresso em taxa unitria de 1. Exemplo: Desconto de 45% = 100% - 45% = 65% = 65/ 100 = 0,65.ACRSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO

Um tema muito comum abordado nos concursos os acrscimos e os descontos sucessivos. Isso acontece pela facilidade que os candidatos tem em se confundir ao resolver uma questo desse tipo.

O erro cometido nesse tipo de questo bsico: o de somar ou subtrair os percentuais, sendo que na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de capitalizao e descapitalizao.Exemplo:

Os bancos vm aumentando significativamente as suas tarifas de manuteno de contas. Estudos mostraram um aumento mdio de 30% nas tarifas bancrias no 1 semestre de 2009 e de 20% no 2 semestre de 2009. Assim, podemos concluir que as tarifas bancrias tiveram em mdia suas tarifas aumentadas em:

a) 50%

b) 30%

c) 150%

d) 56%

e) 20%

Resoluo:

Basta multiplicar os fatores de capitalizao:

o Fator de Capitalizao para acrscimo de 30% = 1,3

o Fator de Capitalizao para acrscimo de 20% = 1,2

1,3 x 1,2 = 1,56

Como o produto custava inicialmente 100% e sabemos que 100% igual a 1, logo, as tarifas sofreram uma alta mdia de: 1,56 1 = 0,56 = 56% (LETRA D).

DIAGRAMAS DE FLUXO DE CAIXA (DFC)Consiste na representao grfica da movimentao de recursos ao longo do tempo (entradas e sadas de caixa)

Exemplo: Represente a compra de um MP3-player que custa a vista $300 e que pode ser pago em duas parcelas mensais (entrada no ato) no valor de $175,00. Qual a taxa de juros cobrada pela loja?

JUROS SIMPLES

No Regime de Capitalizao Simples (RCS), ou, simplesmente, no regime de juros simples, a taxa de juros incide somente sobre o valor inicialmente aplicado ao tomado emprestado.

Exemplo: principal de $ 100,00, aplicado a 10% a.m. , durante um trimestre.

J = (C) (i) (t)

Exemplo:

Um capital de $ 120,00 foi aplicado a taxa de 5% a.m. no regime de capitalizao simples por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o perodo de vigncia da aplicao?J = (C) (i) (t)

J = 120 (0,05) (7)

J : $ 42,00PROPORCIONALIDADE DE TAXAS DE JUROS

A taxa proporcional calculada em regime de capitalizao SIMPLES: Resolve-se apenas multiplicando ou dividindo a taxa de juros.

Pelo critrio de proporcionalidade de taxas de juros, diz-se que duas taxas de juros i1 e i2, referidas a perodos diferentes do Regime de Capitalizao Simples, so proporcionais quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operao, tendo incidido sobre o mesmo capital.

Exemplo: Ache a taxa mensal proporcional taxa igual a 18%a.a. Basta aplicar a frmula: x = 0,18(1/12) =1, 5%a.m.OPERAES COM DESCONTOS

Ao contrair uma dvida a ser paga no futuro, comum o devedor oferecer ao credor um ttulo que comprove esta operao. De posse desse ttulo (documento que formaliza um compromisso que no ser liquidado imediatamente, mas dentro de um prazo previamente estipulado) o credor poder negociar com uma instituio financeira o resgate antecipado desse ttulo.

As operaes de desconto representam a antecipao do recebimento (ou pagamento) de valores futuros, representados por ttulos. Como, obviamente, o dinheiro tem um custo associado ao tempo, deve-se deduzir o custo de oportunidade, aplicando um desconto. Assim, o valor futuro torna-se igual ao valor presente mais o desconto.

VP = VF D ou D = VF - VP DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) A JUROS SIMPLES:

No regime de capitalizao simples, os juros sempre incidem sobre o valor aplicado inicialmente. Nesse regime, as operaes de desconto racional, ou por dentro, representam a aplicao direta da frmula de capitalizao de juros simples, objetivando encontrar o valor presente.

Exemplo: Considere um ttulo cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto racional a ser concedido e o valor atual de um ttulo resgatado 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m

Resoluo:

Dados:

VF = 10.000,00

n = 3 meses

i = 5% ao ms

DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) A JUROS SIMPLES

Comumente falando, o desconto comercial aquele que se obtm pelo clculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado em n perodos antes de seu vencimento acrescida de uma taxa prefixada cobrada sobre o valor nominal. Ou seja, a incidncia de taxa de desconto comercial d-se sobre o Valor Futuro da operao.

A razo de sua existncia consiste na simplificao da operao de desconto. Para saber o valor do desconto, basta multiplicar a taxa pelo valor nominal (ou valor futuro) e pelo prazo de antecipao. Em outras palavras:

D = VF id nOnde:

VF = valor futuro

id = taxa de desconto comercial ou por fora

n = nmero de perodos de capitalizao (ou de desconto)

Exemplo: Sabendo que o banco cobra uma taxa de desconto por fora igual a 4% a.m., calcule o valor do desconto e o valor lquido de uma operao com as seguintes caractersticas: prazo = 38 dias, valor nominal = $ 3.400,00D = VF id nD = 3400 x 0,04 x (38/30)

D = 172,26

VP = VF- D

VP = 3400-172,26

Resposta: VP= 3227,73EQUIVALENCIA DE CAPITAIS

"Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas dizem-se equivalentes quando, descontados, para uma data focal, mesma taxa de juros, e em idnticas condies, produzem valores iguais. A data focal consiste na data considerada como base de comparao dos valores referidos a diferentes datas.

Exemplo: Verificar se os fluxo de caixa 1 e 2 apresentados na tabela seguinte so equivalentes mediante o desconto racional simples a uma taxa igual a 10% ao ms focal zero.Resoluo:JUROS COMPOSTOS"O juro composto a maior inveno da humanidade, porque permite uma confivel e sistemtica acumulao de riqueza. Albert Einstein

No regime de capitalizao composta (RCC), ou regime de juros compostos, a incidncia de juros ocorre de forma cumulativa. A taxa de juros incidir sobre o montante acumulado no final do perodo anterior.

Quando no houver indicao expressa em um exerccio sobre o regime de capitalizao, considera-se os Juros compostos.Exemplo: Uma operao de emprstimo de $ 100,00 por trs meses, com a alta taxa de 60% a.m., com Regime de capitalizao composta:

Logo, a equao da capitalizao de juros compostos pode ser apresentada da seguinte maneira:

Derivao da frmula:

Exemplo:

Uma mquina de calcular anunciada por $ 140,00 a vista ou para pagamento com prazo igual a dois meses, mediante uma taxa igual a 5% a.m. Qual o valor futuro?

sabendo que:

VP = $140,00;

i= 0,05 = 5%a.m;

n= 2;

temos que:

VF = 140 x (1+0,05)

VF = $ 154,35

Respota: $ 154,35RELEMBRANDO LOGARITMOS (REVISAO)

Exemplo: Se o Log603=x que o Log606=y, qual o Log182?O objetivo desta questo escrevermos oLog182em funo dexey.

Para comear vamos passar oLog182para a base60.

Para isto vamos recorrer propriedade da mudana de base de um logaritmo:

Ento paraa=2,b=18ec=60, temos:

O logaritmando2, no numerador da frao pode ser escrito como a razo de6para3, assim como o logaritmando18, no denominador da frao pode ser escrito como produto de6por3. O motivo disto nos direcionarmos aos logaritmos no enunciado:

Resposta: .

Exemplo:

Comparando: Juros Simples X Juros Compostos

-n < 1 : Juros simples so maiores que juros compostos

-n = 1: Juros simples so iguais aos juros compostos

-n >1: Juros compostos so maiores que juros simplesExemplo: Para uma taxa de juro expressa ao ano o valor dos juros maior sob qual sistema de capitalizao?a) Sistema de capitalizao composta para prazos menores que um ano

b) Sistema de capitalizao simples para prazos menores que um ano

c) Sistema de capitalizao simples qualquer que seja o prazo

d) Sistema de capitalizao composta qualquer que seja o prazo

Resposta bEQUIVALENCIA DE TAXAS

De forma similar ao regime de capitalizao simples, pelo critrio de equivalncia de taxas de juros, diz-se que duas taxas de juros ia e ib, referidas a perodos diferentes do Regime de Capitalizao Composta, so equivalentes quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operao, tendo incidido sobre o mesmo capital.

Exemplo:

TAXAS APARENTES OU UNIFICADAS

Um exemplo bastante corriqueiro no Brasil que envolve operaes de incidncia de taxas sucessivas pode ser dado mediante taxas aparentes ou unificadas. As taxas aparentes refletem variaes nominais, incluindo a variao inflacionria.A taxa aparente ou unificada resulta da aplicao sucessiva de uma taxa de juros real e da variao inflacionria. Matematicamente, analisando a taxa aparente de um nico perodo, pode-se express-la como:

Exemplo: Uma operao foi realizada por trs meses a uma taxa de juros real igual a 2% a. m.. Se os percentuais de inflao nos meses analisados foram iguais a 1%, 3% e 5% a.m., qual foi a taxa aparente mensal que incidiu durante o perodo da operao?

Resposta: 5,04% a.m.

TAXAS NOMINAIS OU "DE MENTIRINHA"

Taxas nominais so aquelas que se referem a um perodo que no coincide com o perodo de capitalizao dos juros. No corresponde, portanto, ao ganho ou custo financeiro efetivo da operao. Logo, seu valor nunca utilizado nos clculos. Para poder empreg-la nas operaes, necessrio convert-la para a unidade a ser trabalhada, encontrando a taxa efetiva.

No Brasil, so vrias as modalidades de taxas nominais. Por exemplo:

Taxa over: comumente expressa ao ms, porm capitalizadas ao dia til; Taxa instantnea: comumente expressa ao ano, porm, capitalizadas ao dia;Exemplo:

DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) A JUROS COMPOSTOS

As operaes de desconto comercial, bancrio, ou por fora, so quase sempre realizadas no regime de capitalizao simples. Entretanto, as operaes de desconto racional (por dentro) podem ser feitas tanto com a metodologia dos juros simples ou dos juros compostos.

Exemplo: Considere um ttulo cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto racional composto a ser concedido e o valor atual de um ttulo resgatado 2 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 10% a.m.

D = ?

VF = $ 10000,00

i = 0,1 a.m.

n = 2

D = 10000 - {10000/ [(1+0,1)] }

D = 10000 - 8264,46D = $ 1735,54

DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) A JUROS COMPOSTOS

Embora muito pouco usual na prtica, o desconto comercial composto implica a incidncia de sucessivos descontos sobre o valor nominal. O valor lquido (ou valor presente) pode ser definido como:

D = VF - VPExemplo: Considere um ttulo cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial composto a ser concedido e o valor atual de um ttulo resgatado 2 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 10% a.m.

VP = ?

VF = $ 10000,00i = 0,1 a.m.

n = 2

VP = 10000 x (1-0,1)

VP = $ 8100,00D = VF - VP

D = 10000 - 8100D= $1 900,00

EQUIVALENCIA DE CAPITAIS _ JUROS COMPOSTOS

De forma similar ao conceito apresentado para o regime de capitalizao simples:

Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas dizem-se equivalentes quando, descontados, para uma data focal, mesma taxa de juros compostos, e em idnticas condies, produzem valores iguais.

A data focal consiste na data considerada como base de comparao dos valores referidos a diferentes datas. obs.: No regime de juros compostos, a forma de desconto ser sempre a racional.

SRIES UNIFORMES (DE RENDAS)

Sries em que os pagamentos ou recebimentos so iguais, uniformes ao longo de intervalos regulares de tempo.

De modo geral, uma srie ou uma anuidade corresponde a toda e qualquer seqncia de entradas ou sadas de caixa com um dos seguintes objetivos:

1- Amortizao de uma dvida;

2- Capitalizao de um montante;

As sries podem ser classificadas de diferentes formas:

Tipos:

SISTEMAS DE AMORTIZAO

Amortizao um processo de extino de uma dvida atravs de pagamentos peridicos, que so realizados em funo de um sistema de amortizao. Os principais sistemas so:

Sistema Francs ou tabela Price;

Sistema de Amortizao Constante (SAC);SISTEMA FRANCS OU TABELA PRICE

Nesta modalidade, a dvida resgatada ou quitada mediante uma srie de pagamentos peridicos iguais. Quanto as prestaes so mensais e a taxa apresentada anual com capitalizao mensal, o sistema francs recebe o nome de Tabela Price. Corresponde s sries uniformes postecipadas j estudadas anteriormente.

A Tabela Price costuma apresentar os valores das prestaes, discriminando a amortizao do principal e o pagamento dos juros.

(Pagamento de prestaes peridicas iguais)

Exemplo: Um emprstimo no valor de $ 400,00 deve ser pago em trs parcelas mensais iguais, com a primeira vencendo 30 dias aps a liberao do principal. A taxa acordada para a operao foi igual a 20% a.m. Qual o valor dos juros e da amortizao quitada em cada parcela?

Com base no PMT calculado, possvel compor a tabela com o sistema de amortizao;

A partir do perodo 2, se inicia o processo de clculo at que o saldo final = 0.

Anlise do Sistema Francs:

SISTEMA DE AMORTIZAES CONSTANTES (SAC) OU HAMBURGUS

Com relao ao SAC, a dvida (VP) assumida em n parcelas amortizada em valores iguais. Os juros incidentes sobre o saldo devedor so quitados juntamente com a amortizao do principal. Assim, como o saldo devedor e o pagamento de juros decrescem, as parcelas pagas so decrescentes.

O SAC tambm costuma apresentar os valores das prestaes, discriminando a amortizao do principal e o pagamento dos juros.

Exemplo: Um emprstimo no valor de $ 16.000,00 deve ser pago em quatro parcelas mensais mediante o emprego do SAC. A taxa de juros mensal da operao igual a 2%. Calcule o valor de cada parcela, sabendo que a primeira ser paga dentro de 30 dias.

A partir do perodo 2, se inicia o processo de clculo at que o saldo final = 0.

Anlise do SAC: