Apostila De Matemática, Funções, Derivadas E Integrais

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UNERJ - Centro Universitrio de Jaragu do Sul Curso: Administrao / Cincias Contbeis Disciplina: Matemtica Prof.: JOABLE 2004

Apostila 2: Matemtica - Funes___________________________________________________________________________ Conjuntos NumricosConjunto: conceito primitivo; no necessita, portanto, de definio. Exemplo: conjunto dos nmeros pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumerao dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto tambm poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderamos escrever: P = { x | x par e positivo } = { 2,4,6, ... }. Relao de pertinncia: Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x A, onde o smbolo significa "pertence a". Sendo y um elemento que no pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notao y A. O conjunto que no possui elementos , denominado conjunto vazio e representado por . Subconjunto: Se todo elemento de um conjunto A tambm pertence a um conjunto B, ento dizemos que A subconjunto de B e indicamos isto por A B. Conjuntos numricos fundamentais: Entendemos por conjunto numrico, qualquer conjunto cujos elementos so nmeros. Existem infinitos conjuntos numricos, entre os quais, os chamados conjuntos numricos fundamentais, a saber: Conjunto dos nmeros naturais N = {0,1,2,3,4,5,6,... } Conjunto dos nmeros inteiros Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... } Obs: evidente que N Z. Conjunto dos nmeros racionais Q = {x; x = p/q com p Z , q Z e q 0 }. Temos ento que nmero racional aquele que pode ser escrito na forma de uma frao p/q onde p e q so nmeros inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que no existe diviso por zero!. So exemplos de nmeros racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc. Notas: a) evidente que N Z Q. b) toda dzima peridica um nmero racional, pois sempre possvel escrever uma dzima peridica na forma de uma frao. Exemplo: 0,4444... = 4/9

2 de 19 Conjunto dos nmeros irracionais I = {x; x uma dzima no peridica}. Exemplos de nmeros irracionais: = 3,1415926... (nmero pi = razo entre o comprimento de qualquer circunferncia e o seu dimetro) 2,01001000100001... (dzima no peridica)

3 = 1,732050807... (raiz no exata).nmero e= 2.718281828

Conjunto dos nmeros reais R = { x; x racional ou x irracional}.

_____________________________________________________________________________ Representao Grfica dos Nmeros Reais: Os nmeros reais podem ser representados graficamente.

-5

-4

-3 -2.5

-2

-1

0

1

2

3 e

4

5

Sistema Cartesiano Ortogonal (S.C.O.): So duas retas chamadas de eixos. O ponto de interseco destas retas chamado de origem. O eixo horizontal o eixo das abscissas (valores de x). O eixo vertical o eixo das ordenadas (eixo dos y). Para se localizar um ponto no S.C.O., d-se as suas coordenadas, ou seja, o valor da sua abscissa e o valor da sua ordenada. Exerccio: Marcar os seguintes pontos no S.C.O.: (x, y) ( 0, 0) Resposta:5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 0 1 2 3 4 5

(-5,0) (1,0)

(0,4) (2, -3)

(0,-3) (3,3)

(-2,2) (-4, 4)

(-3,-4) (3.5, 4.5)

_____________________________________________________________________________

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Funes: Sejam 2 conjuntos A { } e B { }, diz-se que F uma funo de A em B se para todo elemento x pertencente a A, associa-se um nico elemento y pertencente a B, tal que o par (x, y) pertence a funo F Exemplo:

A 1 2 2 3 4 7

B

Exerccios Verificar se as relaes entre os conjuntos A e B so funesA 3 7 9 0 2 8 6 B A 0 5 -1 -3 0 4 1 B A 3 -7 6 0 1 2 5 4 B

Resp.:_____________

Resp.:_____________

Resp.:_____________

A 1 2 0 7 9

B

A 5 6 9 1 0 -1 3

B

Resp.:_____________

Resp.:_____________

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Funo ConstanteA 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 B

No exemplo acima, para cada valor de x o valor de y sempre o mesmo (3). A funo est representada por um diagrama. Poderia ser representada por uma regra:F ( x) = 3 ou y = 3

Uma funo constante pode sempre ser expressa por:F ( x) = k ou y = k

onde k qualquer nmero real Os pares ordenados (x,y) formados pelo exemplo acima seriam: (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

Se os pontos forem colocados no S.C.O. seria observado o grfico 1: Se todos os valores de x fossem utilizados (-6, -5.9, -5.8...0...5.7, 5.8, 5.9, 6), o valor de y seria constante e igual a 3. Os pontos seriam: (-6 , 3), (-5.9 , 3), (-5.8, 3)... (0, 3) ...(5.7, 3), (5.8, 3), (5.9, 3), (6 , 3) e se todos os infinitos pontos fossem colocados no S.C.O., obteria-se uma reta, paralela ao eixo x e que passa por 3 (conforme mostrado no grfico 2)6 5 4 3 2 1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6

6 5 4 3 2 1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6

grfico 1

grfico 2

5 de 19

Exerccios sobre Funo Constante: Traar o grfico para as funes constantes abaixo: a) F ( x) = 4 b) F ( x) = 5 c) F ( x) = 2 d) F (x) = 5 e) F ( x) = 3 3 f) F ( x) = 26 5 4 3 2 1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 6 5 4 3 2 1 0 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6

6 5 4 3 2 1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2

6 5 4 3 2 1 0 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6

6 5 4 3 2 1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2

6 5 4 3 2 1 0 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6

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Funo do 1Grau toda funo que pode ser escrita como:F ( x) = a x + b , onde

a coeficiente angular b coeficiente linear5 4 3 2 1 0

Grfico:5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2

-1 -1 0 -2 -3 -4 -5

1

2

3

4

5

a > 0 - crescente

a < 0 - decrescente

Zero ou Raiz da funo: o valor de x para o qual F(x) igual a zero Obs.: F(x) o mesmo que y.F ( x) = a x + b

0 = a xz + b xz = b a

Exemplo: Fazer o grfico de y = 2 x + 2 Montar uma tabela com valores atribudos para x e calcular os respectivos valores para yX -2 -1 0 1 2 Y -2 0 2 4 6

xz =

b 2 = = 1 a 2

Marcar os pontos no S.C.O., ligar os pontos para obter a reta desejada6 5 4 3 2 1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 6 5 4 3 2 1 0 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6

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Exerccios sobre Funo do 1Grau: Traar o grfico para as funes abaixo:6 5

a) y = 3 x + 1

b x z = = _____ a

X -2 -1 0 1 2

Y

4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 0 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6

6 5

b) y = x b x z = = _____ a

X -2 -1 0 1 2

Y

4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 0 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6

6 5

c) y = xb x z = = _____ a

X -2 -1 0 1 2

Y

4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 0 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6

6 5

d) y = 2 xb x z = = _____ a

X -2 -1 0 1 2

Y

4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 0 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6

8 de 19

6 5

e) y = 4 x xz = b = _____ a

X -2 -1 0 1 2

Y

4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 0 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6

6 5

f) y = x + 2 xz = b = _____ a

X -2 -1 0 1 2

Y

4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 0 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6

6 5

g) y = 2 x + 3xz = b = _____ a

X -2 -1 0 1 2

Y

4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 0 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6

6 5

h) y = x + 4b x z = = _____ a

X -2 -1 0 1 2

Y

4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 0 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6

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i) j)

O Sr. Joo gasta R$ 20,00 por dia. Represente a funo de gastos acumulados e faa o Grfico para 10 dias. O Sr. Joo tem R$ 200,00 no banco. Sendo que gasta R$ 20,00 por dia represente a funo Saldo Bancrio. Faa o grfico para 12 dias. A partir de qual dia a conta ficar negativa?

Aplicaes da Funo do 1 GrauFunes de Custo, Receita e Lucro

Seja x a quantidade produzida de um produto, o custo total de produo depende de x . Ento pode-se dizer que o custo de produo uma funo da quantidade produzida de um produto. Custos que no dependem da quantidade produzida (aluguel, seguros, salrios e outros) so somados e definem o que se chama de custo fixo (CF). A parcela do custo que depende de x chamada de custo varivel (CV). Ento o custo total (CT) ser:CT ( x) = CF + CV ( x)

A receita o produto de x pelo preo de venda e ser indicada pela letra R. A funo lucro definida como a diferena entre a receita e o custo:L ( x) = R ( x) CT ( x)

Exemplo: Uma firma de servios de fotocpias tem um custo fixo mensal de R$ 1200,00 e custos variveis mensais de R$ 0,06 por folha que reproduz. Expresse a funo custo total em funo do nmero x de pginas copiadas por ms. Expresse, tambm, a funo lucro. Se os consumidores pagam R$ 0,12 por folha, qual o nmero mnimo de folhas que a firma tem que reproduzir para no ter prejuzo? Funo Custo Total:___________________ Funo Lucro:________________________ N mnimo de Folhas:__________________

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Funo do 2 Grau (Quadrtica) toda funo que pode ser escrita como:F ( x) = a x 2 + b x + c , ondea0

O grfico de uma funo do 2 Grau uma figura chamada: Parbola. Esta figura apresenta-se de maneiras distintas dependendo dos valores de a, b e c>0 =0 0

X'-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

X"3 4 5

vrtice-5 -4 -3 -2 -1

X' = X" vrtice0 1 2 3 4 5 -3 -2

vrtice-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

vrtice

vrtice X"

X' = X"

vrtice

a 0 e 1, k ) ento

f(x) = a (k.x) .k . ln(a)

Ex.: Seja f(x) = 3 4.2

2.x

, ento : f(x) = 3

2.x

.(2). ln(3)a

Derivada de uma funo Logartmica: Se f(x) = log k.x , (a > 0 e 1, k ) entof (x ) = 1 x. ln(a )

(a > 0 e 1)1 x. ln(3)

Ex.: Seja f(x) = = log 2.x, ento : f (x ) =3

5

Exerccios - Calcular as derivadas das seguintes funes:x x

a) y = 5. ln (x) b) y = 10

c) y = 2.ln (x) + 2 + 1 d) y =x3 6.ln (x) 3

6

Derivadas de Funes Compostas

Seja a funo composta h, tal que h = v (u(x)) ento a sua derivada h ser: h = v (u(x)) . u (x) Exemplo: Seja h(x) = (2.x + 3)3 4 4

Pode-se chamar u(x) = 2.x + 3 e reescrever a funo h(x) = (u(x)) ento h(x) = 4.( 2.x + 3) . 2 h(x) = 8.( 2.x + 3)3

7

Exerccios - Calcular as derivadas das seguintes funes compostas:2 5 4

a) y = (x - 1)

b) y = 3.(1 - 3.x ) c) y =2 + x2

2 + x2 d) y = x +1

4 de 8

8

Derivadas Sucessivas

Seja uma funo f(x), a sua derivada f (x) tambm uma funo, pode-se ento pensar na derivada da funo f (x). Definio: Seja f(x) uma funo derivvel. Se f (x) tambm for derivvel, ento a sua derivada chamada de derivada segunda de f(x) e representada por f (x). Ex.: Seja f(x) = 3.x + 8.x + 1 , ento: f(x) = 6. x + 8 e f(x) = 6 Se f (x) uma funo derivvel, sua derivada, representada por f (x) chamada derivada terceira de f(x) e assim por diante. Ex.: Seja ento: f(x) = 3.x + 8.x ,f(x) = 15. x + 16.x , f(x) = 60.x + 16 , f(x) = 180.x , fiv v 2 3 4 5 2 2

(x) = 360.x ,

f (x) = 360 , f 9 Mximos e Mnimosvi

(x) = 0

A figura seguinte mostra o grfico de uma funo f(x), onde mostra-se os pontos onde x1, x2, x3 e x4 so as abscissas. Esses pontos so chamados de pontos extremos da funo. Os valores f(x1) e f(x3) so chamados mximos relativos e f(x2) e f(x4) so chamados mnimos relativos.y

x x1 x2 x3 x4

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Observe os grficos abaixo:Y Y

f (C) f (C)

C

X

C

X

Nota-se que nos pontos de coordenadas (C, f (C)) o valor da derivada indefinido (a reta tangente curva, nestes pontos, poderia ter qualquer inclinao, por isso, diz-se que a derivada no existe nestes pontos). Uma condio necessria para a existncia de um mximo ou mnimo de uma funo que este ponto tenha derivada igual a zero ou que e derivada no exista. Ateno: Esta uma condio necessria, mas no suficiente. interessante observar que uma funo definida em um dado intervalo pode admitir diversos pontos extremos (mximos ou mnimos) relativos. O maior dos mximos relativos chamado de mximo absoluto. Da mesma maneira, o menor dos mnimos relativos chamado de mnimo absoluto. Observe as funes abaixo:Y

1) f (x) = x + 6x - 3 Ponto de mnimo absoluto em x = -3 [f (-3) = -12]

2

-3X

-12

Y

6

2) f (x) = -x2 + 6x 3 Ponto de mximo absoluto em x = 3 [f (3) = 6]

3

X

6 de 8

Critrio da Derivada 2 para determinao de mximos e mnimos de uma funo Seja f (x) uma funo derivvel e um valor de abscissa c tal que f (c) = 0, ento, com certeza, este um ponto extremo. Para saber se este um ponto de mximo ou mnimo, pode-se utilizar o Critrio da Derivada 2:

i) Se f (c) < 0, f (x) tem um valor de mximo relativo em c. ii) Se f (c) > 0, f (x) tem um valor de mnimo relativo em c. Exemplo: Seja a funo f (x) = x + x - 2 Sabe-se que esta funo tem um valor de mximo ou de mnimo quando a sua derivada for igual a zero, ento o primeiro passo para se achar este ponto derivar a funo dada: f(x) = 2. x + 1, esta funo a derivada de f (x) Agora, deve-se descobrir qual o valor da abscissa para a qual esta derivada torna-se igual a zero,2

Substituindo o valor encontrado (x = -) em f (x), acha-se f (- ) = -9 /4.0 = 2. x + 1 x=-

Ento o ponto (-1/2, -9/4) da funo, pode ser um ponto de mximo ou mnimo, pode-se usar ento, o Critrio da Derivada 2 para descobrir: f(x) = 2 e f(-1/2) = 2 > 0, ento este um ponto de mnimo da funo.10 Exerccios

-

Quais os possveis pontos de mximos e mnimos para as funes dadas abaixo nos respectivos intervalos dados: a) y = 10.x + 5, x b) y = -4.x + 5, 0 x 1 c) y = 1 - x , x d) y = 7. x - 6.x + 3, x e) y = (x - 2).(x + 4), x f) y = [(x 3)] - [(7. x ) 2] + 12.x + 20, x g) y = x + 4, x 3 3 2 2 2

-

O lucro de um fabricante com a venda de certos objetos pode ser representado pela seguinte funo: L(x) = 400. (15-x) . (x-2), onde x o preo unitrio de venda. Calcule o preo timo de venda.

7 de 8

11 Exerccios de Reforo

Nas questes 1 a 12, calcule o valor das derivadas, para os respectivos valores de x indicados. As questes 13 e 14 tm enunciado prprio.

1)

f (x) =

2.x 5 6.x x 2 4.x + 5

f ' ( 2) =

2)

R.: 154f ' ( 4) =

3.x 4 x 2 f (x ) = x3

f ' (1) =

R.: 4f ' (5) =

3)

f (x) =

2 7

4)

f (x ) =

R.: 01 f ' = 2

2.x + 7.x 3 3

R.: 525.667f ' ( 2) =

5)

f ( x ) = (x 3 3x 2 ) (2.x 6 2.x )

6)

f ( x ) = 2. log 3 (2.x ) + 3.x 4

R.: 3.195f ( x ) = 3 (2.x ) + 1

R.: 96.910f ' ( 2) =

7)

2 f ' = 3

8)

f ( x ) = 6. ln (x ) + 8 2 + 5.x 0

R.: 9.507 2.X f ( x ) = 5 3 . 3.x 5.x 2

R.: 3f ' (2 ) =

9)

(

)

f ' (1) =

R.: 314.944

10)

3 f ( x ) = x 4 + log(5.x )

R.: 1.897f ' (1) =

11)

f ( x ) = 3. ln(x ) + 8 X + 6

1 f ' = 3 R.: 13.159

12)

f (x ) =

2.x + 6.x 2 7

R.: 11.714

13)

Um fabricante produz x toneladas de uma liga metlica. O lucro P , em reais, obtido pela produo expresso pela funo: 2 P(x) = 12000.x - 15.x Quantas toneladas devem ser produzidas para maximizar o lucro? Resp.: 400 toneladas Dica: A derivada em um ponto de mximo ou mnimo para a funo acima igual a zero. Para saber se o ponto de mximo ou mnimo, usar o critrio da segunda derivada.

Uma montadora adquire motores eltricos para instalar em seus produtos. A gerncia dessa montadora estima que o custo C em unidades monetrias por motor, nos 4/3 prximos anos ser C(t)=9.(17.t + 13) , onde t o tempo em anos. Qual ser a 14) taxa de variao instantnea do custo em relao ao tempo aps 3 anos? Resp.: 816 unidades monetrias / ano Dica: A taxa de variao instantnea obtida derivando a funo. A funo acima uma funo composta.

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Apostila 5: Matemtica - Integrais1 Introduo

Seja F(x) uma funo conhecida. Prope-se o seguinte desafio: Descobrir uma funo G(x) tal que a derivada de G(x), ou seja, G(x), ser igual a F(x). Exemplos: F(x) a) b) c) d) 1 2.x 3.x x2 2

G(x) ?

Achar esta funo G(x) pode ser entendido com fazer a operao inversa da derivada. Na verdade no existe uma nica soluo G(x), existem vrias solues pois uma constante arbitrria C somada a cada funo G(x) formaria uma funo diferente mas que tambm seria resposta para o problema (uma vez que quando calcula-se a derivada da funo, esta constante se anularia) Estas possveis solues G(x) so chamadas de primitivas de F(x). As primitivas de uma funo diferem apenas da constante arbitrria C. Integral Indefinida Chama-se de integral indefinida de F(x) a qualquer primitiva da mesma somada a uma constante arbitrria C qualquer. Indica-se, matematicamente, esta operao da seguinte maneira:

F ( x) dx = G ( x) + CO smbolo da operao (um esse estilizado) vem da interpretao geomtrica da integral que pode ser entendida como a somatria das inmeras reas abaixo da curva da funo, com bases muito pequenas (dx). Esta interpretao geomtrica no ser considerada pois no tem aplicaes relevantes nas reas econmicas. Assume-se que o smbolo " seguido da funo e do dx apenas um indicativo de que se deseja realizar a operao de integrao de uma funo. Aplicaes nas reas econmicas : Clculos estatsticos (valores mdios, probabilidades, etc); Quando so conhecidas as taxas de variao instantneas e deseja-se descobrir a funo primitiva.1 de 5

2

Regras de Integrao

Assim como na derivao, na integrao existe uma regra especfica para cada tipo de funo. As regras para as funes mais comumente encontradas nas reas econmicas so dadas a seguir: A. Integral de uma funo constante: Se k uma constante e f(x) = k para todo x, ento:

k dx = k x + CEx.: Seja f(x) = 5, ento : 5 dx = 5 x + C

B. Integral de um monmio qualquer (Regra da Potncia): Se n um nmero real (diferente de 1) Dada a funo f(x) = xn

, ento:

x x n dx = +C (n + 1)Ex.1: Seja f(x) = x , ento:2

(n + 1)

x dx =2

x

(2 + 1)

(2 + 1)

+C =

x3 +C 3

Ex.2: Seja f(x) = x , ento: x 3 dx =-3

x +C = ( 3 + 1)

( 3 + 1)

x 2 +C ( 2)

Ex.3: Seja f(x) =

x , ento:

x dx =

x

0,5

x x 1,5 dx = +C = +C 1,5 (0,5 + 1)-1

(0,5 + 1)

C. Integral da funo monmio para n igual a 1. Dada a funo f(x) = x

, a sua integral ser:

xEx.1: Seja f(x) = x , ento:-1

1

dx = ln(x ) + C

x1

1

dx = ln(x) + C

Ex.2: Seja f(x) =

1 , ento: x

x dx = x

1

dx = ln(x ) + C

2 de 5

D. Integral de uma funo exponencial: Seja f(x) uma funo exponencial dada por:

F( x ) = a (kx ) (com a > 0 e a 1), ento a sua integral ser:

(kx ) (kx ) dx = a +C ak ln(a )(4.x)

Ex.1: Seja f(x) = 3

, ento:

(4x ) 3 dx =

3(4x ) +C 4 ln(3) 5(2x ) +C ( 2) ln(5)

Ex.2: Seja f(x) = 5

(-2.x)

, ento:

(2x ) 5 dx =

E. Integral de uma funo logartmica natural: Seja f(x) uma funo logartmica natural dada por: F( x ) = ln(k x ) , ento a sua integral ser:

ln(k x ) dx = { [x ln(k x )] x } + CEx.1: Seja f(x) = ln(x), ento:

ln(x ) dx = { [x ln(x )] x }+ C ln(3 x ) dx = { [x ln(3 x )] x } + C

Ex.2: Seja f(x) = ln(3.x), ento:

3

Propriedades da Integral

1)

[f (x ) g(x )] dx = f (x ) dxonde f(x) e g(x) so duas funes quaisquer.

g(x ) dx

2)

k f (x ) dx = k f (x ) dxonde k um nmero real.

3 de 5

4

Integral Definida

A operao descrita a seguir:

F ( x) dx = G ( x) + C a Integral Indefinida da funo F(x), cujo resultado ser G(x) + C, tal como foi visto. Chama-se de Integral Definida de F(x) entre os limites de integrao a e b ao seguinte clculo:

b

F(x ) dx = G(b) G (a ) aEx.1: Seja f(x) = x , ento:4 22

2 x dx =

(2 )3 64 (4 )3 x3 8 +C= + C + C = + C + C = 18,6666... 3 3 3 3 3

Ex.2: Seja f(x) = 4

(2.x)

, ento:

3 1

4

(2 x ) dx

=

(2 3) (2 1) (2 x ) 4 4 4 +C = + C + C = 2 ln (4 ) 2 ln(4 ) 2 ln(4 ) 4096 16 2 (1,386...) + C 2 (1,386...) + C = 1471,5489...

4 de 5

5

Exerccios - Calcule as integrais definidas

51)

x 33

2

2. x d x

4R.: 40,646 2)

3 . ln( x)

2

( 3 .x )

dx

R.: 1973,548

1

3)

x. x dx 3.x 1

4 1R.: 0,932 4)

3 x

1 x2

dx

x 2

R.: 3,023

65)

1 dx 3.x 3

8R.: 0,231 6)

2 7

x

ln( x)

3 dx

R.: 183,679

77)

9 4d xR.: 24 8)5

x dx 62

7

R.: 50,562

179)

x dx 7

2

R.: 0

10)

2 1

3 . x ln( x)

4

( 2 .x )

d x R.: -79,675

711)

2. x

4 3

5. x x

2 dxR.: 451,882 12)

5 17

( 2 .x )

dx 10

R.: 18,640

4 3 213)

4 x2

6 x3

3

dx

2 x

x 1

R.: 7,531

14)

4 . ln( x)

2 dx

x

R.: 9,809

2 3

5415)3

4 3

3

ln( e )

1 dx

R.: 66

16)

x. x 1

4

. x3

2.x

dx

R.: 28,603

717)

3.x 4. x x 32

5

4 d x R.: 3,18518)

( 5.x 2 ) d x

R.: 16

4

5 de 5