Apostila de Matemática geral

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Didatismo e Conhecimento 1

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ARITMTICANMEROS NATURAIS: OPERAES E ORDEM

O conjunto dos nmeros naturais representado pela letra maiscula N e estes nmeros so construdos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que tambm so conhecidos como algarismos indo-arbicos. No sculo VII, os rabes invadiram a ndia, difundindo o seu sistema numrico.

Embora o zero no seja um nmero natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos consider-lo como um nmero natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algbricas que os nmeros naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numerao para suprir a deficincia de algo nulo.

Na sequncia consideraremos que os naturais tm incio com o nmero zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Representaremos o conjunto dos nmeros naturais com a letra N. As reticncias (trs pontos) indicam que este conjunto no tem fim. N um conjunto com infinitos nmeros.

Excluindo o zero do conjunto dos nmeros naturais, o conjunto ser representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

A construo dos Nmeros Naturais- Todo nmero natural dado tem um sucessor (nmero que

vem depois do nmero dado), considerando tambm o zero.Exemplos: Seja m um nmero natural.a) O sucessor de m m+1.b) O sucessor de 0 1.c) O sucessor de 1 2.d) O sucessor de 19 20.

- Se um nmero natural sucessor de outro, ento os dois nmeros juntos so chamados nmeros consecutivos.

Exemplos:a) 1 e 2 so nmeros consecutivos.b) 5 e 6 so nmeros consecutivos.c) 50 e 51 so nmeros consecutivos.

- Vrios nmeros formam uma coleo de nmeros naturais consecutivos se o segundo sucessor do primeiro, o terceiro sucessor do segundo, o quarto sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 so consecutivos.b) 5, 6 e 7 so consecutivos.c) 50, 51, 52 e 53 so consecutivos.

- Todo nmero natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (nmero que vem antes do nmero dado).

Exemplos: Se m um nmero natural finito diferente de zero.a) O antecessor do nmero m m-1.b) O antecessor de 2 1.c) O antecessor de 56 55.d) O antecessor de 10 9.

O conjunto abaixo conhecido como o conjunto dos nmeros naturais pares. Embora uma sequncia real seja outro objeto matemtico denominado funo, algumas vezes utilizaremos a denominao sequncia dos nmeros naturais pares para representar o conjunto dos nmeros naturais pares: P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

O conjunto abaixo conhecido como o conjunto dos nmeros naturais mpares, s vezes tambm chamados, a sequncia dos nmeros mpares. I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

Igualdade e DesigualdadesDiremos que um conjunto A igual a um conjunto B se, e

somente se, o conjunto A est contido no conjunto B e o conjunto B est contido no conjunto A. Quando a condio acima for satisfeita, escreveremos A = B (l-se: A igual a B) e quando no for satisfeita denotaremos tal fato por: A B (l-se: A diferente de B). Na definio de igualdade de conjuntos, vemos que no importante a ordem dos elementos no conjunto.

Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A so os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A = B.

Consideraremos agora uma situao em que os elementos dos conjuntos A e B sero distintos.

Sejam A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A esto no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B esto no conjunto A. Tambm no podemos afirmar que um conjunto maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A diferente do conjunto B.

Operaes com Nmeros NaturaisNa sequncia, estudaremos as duas principais operaes

possveis no conjunto dos nmeros naturais. Praticamente, toda a Matemtica construda a partir dessas duas operaes: adio e multiplicao.

A adio de nmeros naturaisA primeira operao fundamental da Aritmtica tem por

finalidade reunir em um s nmero, todas as unidades de dois ou mais nmeros. Antes de surgir os algarismos indo-arbicos, as adies podiam ser realizadas por meio de tbuas de calcular, com o auxlio de pedras ou por meio de bacos.

Propriedades da Adio- Fechamento: A adio no conjunto dos nmeros naturais

fechada, pois a soma de dois nmeros naturais ainda um nmero natural. O fato que a operao de adio fechada em N conhecido na literatura do assunto como: A adio uma lei de composio interna no conjunto N.

- Associativa: A adio no conjunto dos nmeros naturais associativa, pois na adio de trs ou mais parcelas de nmeros naturais quaisquer possvel associar as parcelas de quaisquer


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modos, ou seja, com trs nmeros naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que igual soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro. (A + B) + C = A + (B + C)

- Elemento neutro: No conjunto dos nmeros naturais, existe o elemento neutro que o zero, pois tomando um nmero natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado ser o prprio nmero natural.

- Comutativa: No conjunto dos nmeros naturais, a adio comutativa, pois a ordem das parcelas no altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.

Multiplicao de Nmeros Naturais a operao que tem por finalidade adicionar o primeiro

nmero denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas so as unidades do segundo nmero denominadas multiplicador.

Exemplo4 vezes 9 somar o nmero 9 quatro vezes: 4 x 9 = 9 + 9 + 9

+ 9 = 36O resultado da multiplicao denominado produto e os

nmeros dados que geraram o produto, so chamados fatores. Usamos o sinal ou ou x, para representar a multiplicao.

Propriedades da multiplicao- Fechamento: A multiplicao fechada no conjunto N

dos nmeros naturais, pois realizando o produto de dois ou mais nmeros naturais, o resultado estar em N. O fato que a operao de multiplicao fechada em N conhecido na literatura do assunto como: A multiplicao uma lei de composio interna no conjunto N.

- Associativa: Na multiplicao, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro nmero natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. (m . n) . p = m .(n . p) (3 . 4) . 5 = 3 . (4 . 5) = 60

- Elemento Neutro: No conjunto dos nmeros naturais existe um elemento neutro para a multiplicao que o 1. Qualquer que seja o nmero natural n, tem-se que: 1 . n = n . 1 = n 1 . 7 = 7 . 1 = 7

- Comutativa: Quando multiplicamos dois nmeros naturais quaisquer, a ordem dos fatores no altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento. m . n = n . m 3 . 4 = 4 . 3 = 12

Propriedade DistributivaMultiplicando um nmero natural pela soma de dois nmeros

naturais, o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos. m . (p + q) = m . p + m . q 6 x (5 + 3) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48

Diviso de Nmeros NaturaisDados dois nmeros naturais, s vezes necessitamos saber

quantas vezes o segundo est contido no primeiro. O primeiro nmero que o maior denominado dividendo e o outro nmero

que menor o divisor. O resultado da diviso chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

No conjunto dos nmeros naturais, a diviso no fechada, pois nem sempre possvel dividir um nmero natural por outro nmero natural e na ocorrncia disto a diviso no exata.

Relaes essenciais numa diviso de nmeros naturais- Em uma diviso exata de nmeros naturais, o divisor deve

ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5- Em uma diviso exata de nmeros naturais, o dividendo o

produto do divisor pelo quociente. 35 = 5 x 7- A diviso de um nmero natural n por zero no possvel

pois, se admitssemos que o quociente fosse q, ento poderamos escrever: n 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que no correto! Assim, a diviso de n por 0 no tem sentido ou ainda dita impossvel.

Potenciao de Nmeros NaturaisPara dois nmeros naturais m e n, a expresso mn um produto

de n fatores iguais ao nmero m, ou seja: mn = m . m . m ... m . m m aparece n vezes

O nmero que se repete como fator denominado base que neste caso m. O nmero de vezes que a base se repete denominado expoente que neste caso n. O resultado denominado potncia.

Esta operao no passa de uma multiplicao com fatores iguais, como por exemplo: 23 = 2 2 2 = 8 43 = 4 4 4 = 64

Propriedades da Potenciao- Uma potncia cuja base igual a 1 e o expoente natural n,

denotada por 1n, ser sempre igual a 1. Exemplos:a- 1n = 11...1 (n vezes) = 1b- 13 = 111 = 1c- 17 = 1111111 = 1

- Se n um nmero natural no nulo, ento temos que no=1. Por exemplo:

- (a) n = 1- (b) 5 = 1- (c) 49 = 1

- A potncia zero elevado a zero, denotada por 0o, carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental.

- Qualquer que seja a potncia em que a base o nmero natural n e o expoente igual a 1, denotada por n1, igual ao prprio n. Por exemplo:

- (a) n = n- (b) 5 = 5- (c) 64 = 64

- Toda potncia 10n o nmero formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.

Exemplos:a- 103 = 1000b- 108 = 100.000.000c- 10o = 1


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EXERCCIOS

1. O consecutivo e o antecedente de um nmero natural n sero respectivamente:

2. Se n par, o consecutivo par de n ser? Se n mpar, o consecutivo mpar de n ser?

3. Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. Quantos quadradinhos de 1cm cabem no quadrado?

3cm

4. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3?

5. De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto , um centmetro cbico, precisaremos para construir um cubo com 3cm de comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura?

6. Faa a potenciao dos seguintes nmeros:a) 2b) 5c) 2d) 64

7. Qual o valor do nmero natural b, tal que 64 = b b b?

8. Qual o elemento do conjunto dos nmeros naturais que divisor de todos os nmeros?

9. Realize a diviso nos seguintes nmeros naturais:a) 125 : 5b) 36 : 6c) 49 : 7

10. Calcule:a) -8 + 5b) -5 7 c) (-10) (-8) + (-12) (-17)d) (-5) + (-10) - 14

RESPOSTAS

1) Soluo: O antecedente de um nmero n ser n 1, pois aquele que antecede o n.

J o consecutivo n + 1.

2) Soluo: Sendo n par, o seu consecutivo ser n + 2, e sendo impar o consecutivo sendo impar o n ser n + 1.

3) Resposta 9 quadradinhos. Soluo: Temos 9 quadradinhos, ento basta apenas fazermos:9 x 1 = 9 quadradinhos

4) Resposta 9.Soluo: Basta apenas multiplicarmos o 3 duas vezes:3 x 3 = 9.

5) Resposta 27.Soluo: Para construirmos um cubo, basta apenas

multiplicarmos os lados:3 x 3 x 3 = 27 cubinhos.

6) Soluo:a) 2 x 2 x 2 = = 8

b) 5 x 5 x 5 == 125

c) 2 x 2 == 4

d) 6 x 6 x 6 x 6 == 1296

7) Resposta 4.Soluo: R[64] = 4, pois 64 = b b b, ou seja, 64 = b. Esta

uma propriedade de potenciao. A base b e o expoente 3. O nmero que elevado ao cubo fornece o resultado 64 o nmero b = 4.

8) Resposta 1.Soluo: O nmero 1, pois se dividirmos um nmero natural n

por 1 obteremos o prprio n. Por exemplo, 2 mas para 1 garoto, 3 balas para 1 criana, 5 lpis para 1 estudante.

9) Soluo:a) 125 : 5 == 25

b) 36 : 6 == 6

c) 49 : 7 = = 7

10) Soluo:a) -8 + 5 = = -3

b) -5 7 == -12

c) (-10) (-8) + (-12) (-17) == 10 + 8 12 + 17 == 25 12 == 13

d) (-5) + (-10) 14 == 5 10 14 == 5 24 == -19


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NMEROS PRIMOS E COMPOSTOS

Um nmero natural um nmero primo quando ele tem exatamente dois divisores: o nmero um e ele mesmo.

Nos inteiros, um primo se ele tem exatamente quatro divisores: e . Uma definio um pouco mais tcnica, que permite generalizar este conceito para outros conjuntos, dizer que o conjunto dos divisores de p que no so inversveis no vazio, e todos seus elementos so produtos de p por inteiros inversveis.

Por definio, 0, 1 e 1 no so nmeros primos.Existem infinitos nmeros primos, como demonstrado por

Euclides por volta de 300 a.C..A propriedade de ser um primo chamada primalidade,

e a palavra primo tambm so utilizadas como substantivo ou adjetivo. Como dois o nico nmero primo par, o termo primo mpar refere-se a todo primo maior do que dois.

Se um nmero inteiro tem mdulo maior que um e no primo, diz-se que composto. Por conveno, os nmeros 0, 1 e -1 no so considerados primos nem compostos.

O conceito de nmero primo muito importante na teoria dos nmeros. Um dos resultados da teoria dos nmeros o Teorema Fundamental da Aritmtica, que afirma que qualquer nmero natural diferente de 1 pode ser escrito de forma nica (desconsiderando a ordem) como um produto de nmeros primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposio em fatores primos (fatorao).

Os 100 primeiros nmeros primos positivos so:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61,

67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541

Exemplos1 no primo pois D(1)={1}2 primo pois D(2)={1,2}3 primo pois D(3)={1,3}5 primo pois D(5)={1,5}7 primo pois D(7)={1,7}14 no primo pois D(14)={1,2,7,14}Observao: 1 no primo pois tem apenas 1 divisor e todo

nmero natural pode ser escrito como o produto de nmeros primos, de forma nica.

Mltiplos e DivisoresDiz-se que um nmero natural a mltiplo de outro natural b,

se existe um nmero natural k tal que: a = k . b

Exemplo 115 mltiplo de 5, pois 15 = 3 x 5.

Quando a = k x b, segue que a mltiplo de b, mas tambm, a mltiplo de k, como o caso do nmero 35 que mltiplo de 5 e de 7, pois: 35 = 7 x 5.

Quando a = k x b, ento a mltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus mltiplos, basta fazer k assumir todos os nmeros naturais possveis.

Por exemplo, para obter os mltiplos de 2, isto , os nmeros da forma a = k x 2, k seria substitudo por todos os nmeros naturais possveis.

Observao: Um nmero b sempre mltiplo dele mesmo. a = 1 x b a = b.

Exemplo 2

Basta tomar o mesmo nmero multiplicado por 1 para obter um mltiplo dele prprio: 3 = 1 x 3

A definio de divisor est relacionada com a de mltiplo. Um nmero natural b divisor do nmero natural a, se a

mltiplo de b.

Exemplo 3

3 divisor de 15, pois 15 = 3 x 5, logo 15 mltiplo de 3 e tambm mltiplo de 5.

Um nmero natural tem uma quantidade finita de divisores.

Por exemplo, o nmero 6 poder ter no mximo 6 divisores, pois trabalhando no conjunto dos nmeros naturais no podemos dividir 6 por um nmero maior do que ele. Os divisores naturais de 6 so os nmeros 1, 2, 3, 6, o que significa que o nmero 6 tem 4 divisores.

Exerccios

1. Para encontrar os divisores de um nmero natural a, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, tm por resultado o nmero a. Com base nessa afirmao, encontre o conjunto de divisores de cada um dos seguintes nmeros: 25, 32, 13, 18 e 60.

2. Joo tinha 20 bolinhas de gude e queria distribu-las entre ele e 3 amigos de modo que cada um ficasse com um nmero par de bolinhas e nenhum deles ficasse com o mesmo nmero que o outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino?

3. Seja b um nmero natural. Sabendo-se que 64 = b b b obtenha o valor de b.

4. Escreva trs nmeros diferentes cujos nicos fatores primos so os nmeros 2 e 3.

5. Quantos elementos possuem e como escrito o conjunto dos mltiplos do elemento o?

6. De que forma explcita podemos escrever o conjunto de todos os mltiplos de um nmero natural n?


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7. Maria possui 3 tias. No aniversrio de Maria, ela recebeu 2 presentes de cada tia. Quantos presentes Maria ganhou no total?

8. Qual o elemento do conjunto dos nmeros naturais que divisor de todos os nmeros?

9. O nmero 5 divisor do nmero 16? Justifique a sua resposta.

10. Qual o menor nmero primo com dois algarismos?

Respostas

1) Soluo:D(25) = {1, 5, 25}D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}D(13) = {1, 13}D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Encontramos apenas alguns nmeros naturais que, multiplicados entre si, tm por resultado 32:

1 x 32 = 32; 2 x 16 = 32; 4 x 8 = 328 x 4 = 32; 16 x 2 = 32; 32 x 1 = 32

2) Soluo:Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas, sobraro 18

bolinhas para os outros 3 meninos. Se o segundo receber 4, sobraro 14 bolinhas para os outros dois meninos. O terceiro menino receber 6 bolinhas e o quarto receber 8 bolinhas.

3) Resposta b = 4.Soluo:R3[64] = 4.Temos que 64 = b b b, ou seja, 64 = b3. Esta uma propriedade

de potenciao. A base b e o expoente 3. O nmero que elevado ao cubo fornece o resultado 64 o nmero b = 4.

4) Resposta 12, 18, 108.Soluo: A resposta pode ser muito variada. Alguns exemplos

esto na justificativa abaixo.Para chegarmos a alguns nmeros que possuem por fatores

apenas os nmeros 2 e 3 no precisamos escolher um nmero e fator-lo. O meio mais rpido de encontrar um nmero que possui por nicos fatores os nmeros 2 e 3 cri-lo multiplicando 2 e 3 quantas vezes quisermos.

Exemplos:2 x 2 x 3 = 123 x 3 x 2 = 182 x 2 x 3 x 3 x 3 = 108.

5) Soluo:Possui apenas um elemento e o conjunto de mltiplos de o

escrito da forma: M(o) = {o}O conjunto de mltiplos de o chamado de conjunto

unitrio, por que:M(o) = {ox0, ox1, ox2, ox3, ox4, ox5,...}M(o) = {o, o, o, o, o,...} = {o}

6) Soluo:M(n) = {0, n, 2n, 3n, 4n, 5n, ...}Seja N o conjunto dos nmeros naturais: N = {0,1, 2, 3, 4, 5,

...}Se n um nmero do qual queremos obter os mltiplos, ento

a multiplicao de n por cada elemento de N da forma:M(n) = {0, n, 2n, 3n, 4n, ...}

7) Resposta 6 presentes.Soluo: 2 x 3 = 6.Logo, no total, Maria ganhou 6 presentes.

8) Resposta nmero 1.Soluo:O nmero 1.Se dividirmos um nmero natural n por 1 obteremos o prprio

n.Por exemplo, 2 mas para 1 garoto, 3 balas para 1 criana, 5

lpis para 1 estudante.

9) Resposta Errado.Soluo:No, porque no existe qualquer nmero natural que

multiplicado por 5 seja igual a 16.

10) Resposta nmero 11.

DIVISIBILIDADE, O MAIOR DIVISOR COMUM E O MENOR MLTIPLO

COMUM

Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30.Podemos dizer ento que:

30 divisvel por 6 porque existe um numero natural (5) que multiplicado por 6 d como resultado 30.

Um numero natural a divisvel por um numero natural b, no-nulo, se existir um nmero natural c, tal que c . b = a.

Ainda com relao ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que:30 mltiplo de 6, e 6 divisor de 30.

Conjunto dos mltiplos de um nmero natural: obtido multiplicando-se esse nmero pela sucesso dos nmeros naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...

Para acharmos o conjunto dos mltiplos de 7, por exemplo, multiplicamos por 7 cada um dos nmeros da sucesso dos naturais:

7 x 0 = 07 x 1 = 77 x 2 = 147 x 3 = 217 x 4 = 287 x 5 = 35


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O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos mltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 21, 28,...}.

Observaes:- Todo nmero natural mltiplo de si mesmo.- Todo nmero natural mltiplo de 1.- Todo nmero natural, diferente de zero, tem infinitos

mltiplos.- O zero mltiplo de qualquer nmero natural.- Os mltiplos do nmero 2 so chamados de nmeros pares,

e a frmula geral desses nmeros 2 k (kN). Os demais so chamados de nmeros mpares, e a frmula geral desses nmeros 2 k + 1 (k N).

Critrios de divisibilidade: So regras prticas que nos possibilitam dizer se um nmero ou no divisvel por outro, sem efetuarmos a diviso.

Divisibilidade por 2: Um nmero divisvel por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando ele par.

Exemplos:a) 9656 divisvel por 2, pois termina em 6.b) 4321 no divisvel por 2, pois termina em 1.

Divisibilidade por 3: Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos divisvel por 3.

Exemplos:a) 65385 divisvel por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27

divisvel por 3.b) 15443 no divisvel por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e

17 no divisvel por 3.

Divisibilidade por 4: Um nmero divisvel por 4 quando seus dois algarismos so 00 ou formam um nmero divisvel por 4.

Exemplos:a) 536400 divisvel por 4, pois termina em 00.b) 653524 divisvel por 4, pois termina em 24, e 24

divisvel por 4.c) 76315 no divisvel por 4, pois termina em 15, e 15 no

divisvel por 4.

Divisibilidade por 5: Um nmero divisvel por 5 quando termina em 0 ou 5.

Exemplos:a) 35040 divisvel por 5, pois termina em 0.b) 7235 divisvel por 5, pois termina em 5.c) 6324 no divisvel por 5, pois termina em 4.

Divisibilidade por 6: Um nmero divisvel por 6 quando divisvel por 2 e por 3.

Exemplos:a) 430254 divisvel por 6, pois divisvel por 2 e por 3 (4 +

3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18).

b) 80530 no divisvel por 6, pois no divisvel por 3 (8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16).

c) 531561 no divisvel por 6, pois no divisvel por 2.

Divisibilidade por 8: Um nmero divisvel por 8 quando seus trs ltimos algarismos forem 000 ou formarem um nmero divisvel por 8.

Exemplos:a) 57000 divisvel por 8, pois seus trs ltimos algarismos

so 000.b) 67024 divisvel por 8, pois seus trs ltimos algarismos

formam o nmero 24, que divisvel por 8.c) 34125 no divisvel por 8, pois seus trs ltimos algarismos

formam o nmero 125, que no divisvel por 8.

Divisibilidade por 9: Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um nmero divisvel por 9.

Exemplos:a) 6253461 divisvel por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 =

27 divisvel por 9.b) 325103 no divisvel por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 =

14 no divisvel por 9.

Divisibilidade por 10: Um nmero divisvel por 10 quando termina em zero.

Exemplos:a) 563040 divisvel por 10, pois termina em zero.b) 246321 no divisvel por 10, pois no termina em zero.

Divisibilidade por 11: Um nmero divisvel por 11 quando a diferena entre a soma dos algarismos de posio mpar e a soma dos algarismos de posio par resulta em um nmero divisvel por 11.

Exemplos:a) 1 3 5 Algarismos de posio mpar.(Soma dos

algarismos de posio impar: 4 + 8 + 3 = 15.) 4 3 8 1 3 2 4 Algarismos de posio par.(Soma dos

algarismos de posio par:3 + 1 = 4)

15 4 = 11 diferena divisvel por 11. Logo 43813 divisvel por 11.

b) 1 3 5 7 (Soma dos algarismos de posio mpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19)

8 3 4 1 5 7 2 1 2 4 6 8 (Soma dos algarismos de posio

par:3 + 1 + 7 + 1 = 12)

19 12 = 7 diferena que no divisvel por 11. Logo 83415721 no divisvel por 11.



MATEMTICA

Exemplos:

a) 78324 divisvel por 12, pois divisvel por 3 ( 7 + 8 + 3 + 2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24).

b) 652011 no divisvel por 12, pois no divisvel por 4 (termina em 11).

c) 863104 no divisvel por 12, pois no divisvel por 3 ( 8 + 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22).


Exemplos:a) 650430 divisvel por 15, pois divisvel por 3 ( 6 + 5 + 0

+ 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0).b) 723042 no divisvel por 15, pois no divisvel por 5

(termina em 2).c) 673225 no divisvel por 15, pois no divisvel por 3 ( 6

+ 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25).

Exerccios

1. Escreva os elementos dos conjuntos dos mltiplos de 5 menores que 30.

2. Escreva os elementos dos conjuntos dos mltiplos de 8 compreendidos entre 30 e 50.

3. Qual o menor nmero que devemos somar a 36 para obter um mltiplo de 7?

4. Como so chamados os mltiplos de 2?

5. Verifique se os nmeros abaixo so divisveis por 4.a) 23418 b) 65000 c) 38036 d) 24004 e) 58617

6. Escreva os elementos dos conjuntos dos mltiplos de 7 maiores que 10 e menores que 20.

7. Alguns automveis esto estacionados na rua. Se voc contar as rodas dos automveis, o resultado pode ser 42? Pode ser 72? Por qu?

8. Escreva os 5 primeiro mltiplos de 9.

9. Escreva as 5 primeiros mltiplos comuns de 8 e de 12.

10. Responda sim ou no:a) 24 mltiplo de 2? b) 52 mltiplo de 4? c) 50 mltiplo de 8? d) 1995 mltiplo de 133?

Respostas

1) Resposta 0, 5, 10, 15, 20, 25.Soluo:5 x 0 = 05 x 1 = 55 x 2 = 105 x 3 = 155 x 4 = 205 x 5 = 25

2) Resposta 32, 40, 48.Soluo:8 x 4 = 328 x 5 = 408 x 6 = 48

3) Resposta 6.Soluo: 36 + 6 = 40. Pois, o nmero 40 divisvel por 7.

4) Resposta Pares. Os Mltiplos de 2 so chamados de pares: 2 k (kN)

5) Resposta Divisveis: b, c, d.Soluo:a) 23418: Termina em 18, e 18 no divisvel por 4.b) 65000: Termina em 00, e logo, divisvel por 4.c) 38036: Termina em 36, portanto divisvel por 4.d) 24004: Termina em 4, e assim divisvel por 4.e) 58617: Termina em 17, e 17 no divisvel por 4.

6) Resposta 14.Soluo:7 x 2 = 14.

7) Resposta 72. Soluo: Sabemos que um automvel tem 4 rodas. Ento, o

nmero que contarmos deve ser mltiplo de 4. Logo, 42 no pode ser o resultado, pois ele no mltiplo de 4. J o 72 pode ser.

8) Resposta 0, 9, 18, 27, 36.Soluo:9 x 0 = 09 x 1 = 99 x 2 = 189 x 3 = 279 x 4 = 36

9) Resposta 0, 24, 48, 72, 96.Soluo: Nesse caso todos so os divisores comuns de 8 e 12.

10) Soluo:a) Sim, pois 24 termina em 4, que um nmero parb) Sim, pois se dividirmos 52 por 4, dar um nmero inteiro.c) No, pois se dividirmos 50 por 8, no dar um nmero

inteiro.d) Sim, pois se dividirmos 1995 por 133, dar um nmero

inteiro.


MATEMTICA

DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS E O TEOREMA

FUNDAMENTAL DA ARITMTICA

Todo nmero natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.

Decomposio do nmero 24 num produto:24 = 4 x 624 = 2 x 2 x 624 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores so primos.Chamamos de fatorao de 24 a decomposio de 24 num

produto de fatores primos. Ento a fatorao de 24 23 x 3.De um modo geral, chamamos de fatorao de um nmero

natural, maior que 1, a sua decomposio num produto de fatores primos.

Regra prtica para a fatoraoExiste um dispositivo prtico para fatorar um nmero.

Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:1) Dividimos o nmero pelo seu menor divisor primo; 2) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor

divisor primo desse quociente e assim sucessivamente at obter o quociente 1.

A figura ao lado mostra a fatorao do nmero 630.

Ento 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x 32 x 5 x 7.

Teorema Fundamental da AritmticaO Teorema Fundamental da Aritmtica diz que todos os

nmeros pertencentes ao conjunto dos inteiro Z = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 1000, 1001, 1002, ...}, maiores do que 1, podem ser decompostos em um produto de nmeros primos, sendo esta decomposio nica.

Chamamos de nmeros primos, os inteiros que tem apenas 4 divisores: o nmero 1, -1, o prprio nmero x e o seu oposto -x.

Um nmero inteiro positivo maior do que 1 composto pelo produto (multiplicao) de nmeros primos e, por isso, se aplica a eles o Teorema Fundamental da Aritmtica e so chamados de nmeros compostos. Por exemplo:

15 = 5 x 3 20 = 2 x 2 x 5121 = 11 x 11

NMEROS INTEIROS, RACIONAIS E IRRACIONAIS: CONCEITOS,

REPRESENTAES, OPERAES E ORDEM

Conjunto dos Nmeros Inteiros Z

Definimos o conjunto dos nmeros inteiros como a reunio do conjunto dos nmeros naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos nmeros naturais e o zero. Este conjunto denotado pela letra Z (Zahlen=nmero em alemo). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos nmeros inteiros possui alguns subconjuntos notveis:

- O conjunto dos nmeros inteiros no nulos:Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; Z* = Z {0}

- O conjunto dos nmeros inteiros no negativos:Z

+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

Z+ o prprio conjunto dos nmeros naturais: Z

+ = N

- O conjunto dos nmeros inteiros positivos:Z*

+ = {1, 2, 3, 4,...}

- O conjunto dos nmeros inteiros no positivos:Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- O conjunto dos nmeros inteiros negativos:Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1}

Mdulo: chama-se mdulo de um nmero inteiro a distncia ou afastamento desse nmero at o zero, na reta numrica inteira. Representa-se o mdulo por | |.

O mdulo de 0 0 e indica-se |0| = 0O mdulo de +7 7 e indica-se |+7| = 7O mdulo de 9 9 e indica-se |9| = 9O mdulo de qualquer nmero inteiro, diferente de zero,

sempre positivo.

Nmeros Opostos: Dois nmeros inteiros so ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem.

Exemplo: O oposto do nmero 2 -2, e o oposto de -2 2, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0

No geral, dizemos que o oposto, ou simtrico, de a a, e vice-versa; particularmente o oposto de zero o prprio zero.

Adio de Nmeros InteirosPara melhor entendimento desta operao, associaremos aos

nmeros inteiros positivos a idia de ganhar e aos nmeros inteiros negativos a idia de perder.

Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)


MATEMTICA

O sinal (+) antes do nmero positivo pode ser dispensado, mas o sinal () antes do nmero negativo nunca pode ser dispensado.

Propriedades da adio de nmeros inteiros: O conjunto Z fechado para a adio, isto , a soma de dois nmeros inteiros ainda um nmero inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:a + (b + c) = (a + b) + c2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:a + b = b + a3 + 7 = 7 + 3

Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o prprio z, isto :

z + 0 = z7 + 0 = 7

Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal quez + (z) = 09 + (9) = 0

Subtrao de Nmeros InteirosA subtrao empregada quando:- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas

tem a mais que a outra;- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a

uma delas para atingir a outra.

A subtrao a operao inversa da adio.

Observe que: 9 5 = 4 4 + 5 = 9

diferena subtraendo minuendo

Considere as seguintes situaes:1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sio passou de

+3 graus para +6 graus. Qual foi a variao da temperatura?Esse fato pode ser representado pela subtrao: (+6) (+3)

= +3

2- Na tera-feira, a temperatura de Monte Sio, durante o dia, era de +6 graus. Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de tera-feira?

Esse fato pode ser representado pela adio: (+6) + (3) = +3

Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) (+3) o mesmo que (+5) + (3).

Temos:(+6) (+3) = (+6) + (3) = +3(+3) (+6) = (+3) + (6) = 3(6) (3) = (6) + (+3) = 3

Da podemos afirmar: Subtrair dois nmeros inteiros o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.

Multiplicao de Nmeros InteirosA multiplicao funciona como uma forma simplificada de

uma adio quando os nmeros so repetidos. Poderamos analisar tal situao como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetio pode ser indicada por um x, isto : 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30

Se trocarmos o nmero 1 pelo nmero 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60

Se trocarmos o nmero 2 pelo nmero -2, obteremos: (2) + (2) + ... + (2) = 30 x (-2) = 60

Observamos que a multiplicao um caso particular da adio onde os valores so repetidos.

Na multiplicao o produto dos nmeros a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicao de nmeros inteiros, devemos obedecer seguinte regra de sinais:

(+1) x (+1) = (+1)(+1) x (-1) = (-1)(-1) x (+1) = (-1)(-1) x (-1) = (+1)

Com o uso das regras acima, podemos concluir que:

Sinais dos nmeros Resultado do produtoIguais PositivoDiferentes Negativo

Propriedades da multiplicao de nmeros inteiros: O conjunto Z fechado para a multiplicao, isto , a multiplicao de dois nmeros inteiros ainda um nmero inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:a x (b x c) = (a x b) x c2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:a x b = b x a3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o prprio z, isto :

z x 1 = z7 x 1 = 7

Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z1=1/z em Z, tal que

z x z1 = z x (1/z) = 19 x 91 = 9 x (1/9) = 1

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:a x (b + c) = (a x b) + (a x c)3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)


MATEMTICA

Diviso de Nmeros Inteiros

Dividendo divisor dividendo:Divisor = quociente 0Quociente . divisor = dividendo

Sabemos que na diviso exata dos nmeros naturais:40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 4036 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a diviso

exata de nmeros inteiros. Veja o clculo:(20) : (+5) = q => (+5) . q = (20) q = (4)Logo: (20) : (+5) = +4

Considerando os exemplos dados, conclumos que, para efetuar a diviso exata de um nmero inteiro por outro nmero inteiro, diferente de zero, dividimos o mdulo do dividendo pelo mdulo do divisor. Da:

- Quando o dividendo e o divisor tm o mesmo sinal, o quociente um nmero inteiro positivo.

- Quando o dividendo e o divisor tm sinais diferentes, o quociente um nmero inteiro negativo.

- A diviso nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por exemplo, (+7) : (2) ou (19) : (5) so divises que no podem ser realizadas em Z, pois o resultado no um nmero inteiro.

- No conjunto Z, a diviso no comutativa, no associativa e no tem a propriedade da existncia do elemento neutro.

1- No existe diviso por zero.Exemplo: (15) : 0 no tem significado, pois no existe um

nmero inteiro cujo produto por zero seja igual a 15.2- Zero dividido por qualquer nmero inteiro, diferente de

zero, zero, pois o produto de qualquer nmero inteiro por zero igual a zero.

Exemplos: a) 0 : (10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (1) = 0

Potenciao de Nmeros InteirosA potncia an do nmero inteiro a, definida como um produto

de n fatores iguais. O nmero a denominado a base e o nmero n o expoente.

an = a x a x a x a x ... x aa multiplicado por a n vezesExemplos:33 = (3) x (3) x (3) = 27(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125(-7) = (-7) x (-7) = 49(+9) = (+9) x (+9) = 81

- Toda potncia de base positiva um nmero inteiro positivo.

Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9

- Toda potncia de base negativa e expoente par um nmero inteiro positivo.

Exemplo: ( 8)2 = (8) . (8) = +64

- Toda potncia de base negativa e expoente mpar um nmero inteiro negativo.

Exemplo: (5)3 = (5) . (5) . (5) = 125

Propriedades da Potenciao:

Produtos de Potncias com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (7)3 . (7)6 = (7)3+6 = (7)9

Quocientes de Potncias com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 6 = (+13)2

Potncia de Potncia: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(+4)5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10

Potncia de expoente 1: sempre igual base. (+9)1 = +9 (13)1 = 13

Potncia de expoente zero e base diferente de zero: igual a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (35)0 = 1

Radiao de Nmeros InteirosA raiz n-sima (de ordem n) de um nmero inteiro a a

operao que resulta em outro nmero inteiro no negativo b que elevado potncia n fornece o nmero a. O nmero n o ndice da raiz enquanto que o nmero a o radicando (que fica sob o sinal do radical).

A raiz quadrada (de ordem 2) de um nmero inteiro a a operao que resulta em outro nmero inteiro no negativo que elevado ao quadrado coincide com o nmero a.

Observao: No existe a raiz quadrada de um nmero inteiro negativo no conjunto dos nmeros inteiros.

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didticos e at mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:

9 = 3mas isto est errado. O certo :

9 = +3

Observamos que no existe um nmero inteiro no negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um nmero negativo.

A raiz cbica (de ordem 3) de um nmero inteiro a a operao que resulta em outro nmero inteiro que elevado ao cubo seja igual ao nmero a. Aqui no restringimos os nossos clculos somente aos nmeros no negativos.

Exemplos(a) 3 8 = 2, pois 2 = 8.

(b) 3 8 = 2, pois (2) = -8.

(c) 3 27 = 3, pois 3 = 27.

(d) 3 27 = 3, pois (3) = -27.

Observao: Ao obedecer regra dos sinais para o produto de nmeros inteiros, conclumos que:

(a) Se o ndice da raiz for par, no existe raiz de nmero inteiro negativo.


MATEMTICA

(b) Se o ndice da raiz for mpar, possvel extrair a raiz de qualquer nmero inteiro.

Exerccios

1. Qual o maior quadrado perfeito que se escreve com dois algarismos?

2. Um nmero inteiro expresso por (53 38 + 40) 51 + (90 7 + 82) + 101. Qual esse nmero inteiro?

3. Calcule:a) (+12) + (40)b) (+12) (40) c) (+5) + (16) (+9) (20)d) (3) (6) (+4) + (2) + (15)

4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenas verdadeiras:

a) x + (12) = 5b) x + (+9) = 0c) x (2) = 6d) x + (9) = 12e) 32 + x = 50f) 0 x = 8

5. Qual a diferena prevista entre as temperaturas no Piau e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as informaes?

Tempo no Brasil: Instvel a ensolarado no Sul.Mnima prevista -3 no Rio Grande do Sul.Mxima prevista 37 no Piau.

6. Qual o produto de trs nmeros inteiros consecutivos em que o maior deles 10?

7. Trs nmeros inteiros so consecutivos e o menor deles +99. Determine o produto desses trs nmeros.

8. Copie as igualdades substituindo o x por nmeros inteiros de modo que elas se mantenham:

a) (140) : x = 20b) 144 : x = 4c) (147) : x = +21d) x : (+13) = +12e) x : (93) = +45f) x : (12) = 36

9. Adicionando 846 a um nmero inteiro e multiplicando a soma por 3, obtm-se +324. Que nmero esse?

10. Numa adio com duas parcelas, se somarmos 8 primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrer com o total?

Respostas

1) Resposta 9.Soluo: Basta identificar os quadrados perfeitos.Os nmeros quadrados perfeitos so:1 = 1 (menor que dois algarismos)

2 = 43 = 94 = 16 (dois algarismos)5 = 256 = 367 = 498 = 649 = 8110 = 100 (mais que dois algarismos)

Logo, o maior quadrado perfeito o 9 = 812) Resposta 270.Soluo:(53 38 + 40) 51 + (90 7 + 82) + 10155 51 + 165 + 101 = 270

Portanto, o nmero inteiro 270.

3) Soluo:a) (+12) + (40) = 12 40 = -28b) (+12) (40) = 12 + 40 = 52c) (+5) + (16) (+9) (20) = +5 -16 9 + 20 = 25 25 = 0d) (3) (6) (+4) + (2) + (15) = -3 + 6 4 2 15 =

6 24 = -18

4) Soluo:a) x + (12) = 5 x = -5 + 12 x = 7b) x + (+9) = 0 x = -9c) x (2) = 6 x = 6 2 x = 4d) x + (9) = 12 x = -12 + 9 x = -3e) 32 + x = 50 x = -50 + 32 x = -18f) 0 x = 8 x = -8

5) Resposta 40. Soluo:A diferena est entre -3 e +37. Se formos ver... -3, -2, -1,

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... ser +40.

6) Resposta -1320.Soluo:(x) . (x+1) . (x+2) = ?x+2 = -10x= -10 -2x = -12

(-12) . (-12+1) . (-12+2) =-12 . -11 . -10 = - 1320

7) Resposta 999900.

Soluo:(x) . (x+1) . (x+2) = ?

x= 99

(99) . (99+1) . (99+2) =99 . 100 . 101 = 999900


MATEMTICA

8) Soluo:a) (140) : x = 20 x = -20 . -140 x = 2800

b) 144 : x = 4 x = -4 . 144 x = -576 c) (147) : x = +21 x = 21 . -147 x = -3087

d) x : (+13) = +12 x = 12 . 13 x = 156 e) x : (93) = +45 x = 45 . -93 x = -4185

f) x : (12) = 36 x = -36 . -12 x = 432

9) Resposta 738.Soluo:x + (-846) . -3 = 324x 846 . -3 = 324-3 (x 846) = 324-3x + 2538 = 3243x = 2538 3243x = 2214x =

x = 738

10) Resposta 3.Soluo: Seja t o total da adio inicial.Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total acrescido de

8 unidades: t + 8Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total reduzido

de 5 unidades: Temos:t + 8 - 5 = t + 3

Portanto o total ficar acrescido de 3 unidades.

Conjunto dos Nmeros Racionais Q

Um nmero racional o que pode ser escrito na forma nm

, onde m e n so nmeros inteiros, sendo que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a diviso de m por n.

Como podemos observar, nmeros racionais podem ser obtidos atravs da razo entre dois nmeros inteiros, razo pela qual, o conjunto de todos os nmeros racionais denotado por Q. Assim, comum encontrarmos na literatura a notao:

Q = {nm : m e n em Z, n diferente de zero}

No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:

- Q* = conjunto dos racionais no nulos;- Q

+ = conjunto dos racionais no negativos;

- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;

- Q _ = conjunto dos racionais no positivos;- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.

Representao Decimal das Fraes

Tomemos um nmero racional qp

, tal que p no seja mltiplo de q. Para escrev-lo na forma decimal, basta efetuar a diviso do numerador pelo denominador.

Nessa diviso podem ocorrer dois casos:1) O numeral decimal obtido possui, aps a vrgula, um

nmero finito de algarismos. Decimais Exatos:

52 = 0,4

41 = 0,25

435 = 8,75

50153 = 3,06

2) O numeral decimal obtido possui, aps a vrgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Peridicos ou Dzimas Peridicas:

31 = 0,333...

221 = 0,04545...

66167

= 2,53030...

Representao Fracionria dos Nmeros Decimais

Trata-se do problema inverso: estando o nmero racional escrito na forma decimal, procuremos escrev-lo na forma de frao. Temos dois casos:

1) Transformamos o nmero em uma frao cujo numerador o nmero decimal sem a vrgula e o denominador composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do nmero decimal dado:

0,9 = 109

5,7 = 1057

0,76 = 10076

3,48 = 100348


MATEMTICA

0,005 = 1000

5 = 2001

2) Devemos achar a frao geratriz da dzima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento atravs de alguns exemplos:

Exemplo 1 Seja a dzima 0, 333... .Faamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros

por 10: 10x = 0,333 Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da

segunda:10x x = 3,333... 0,333... => 9x = 3 => x = 3/9

Assim, a geratriz de 0,333... a frao 93 .

Exemplo 2

Seja a dzima 5, 1717... .Faamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .Subtraindo membro a membro, temos:99x = 512 => x = 512/99

Assim, a geratriz de 5,1717... a frao 99

512 .

Exemplo 3

Seja a dzima 1, 23434...

Faamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... .

Subtraindo membro a membro, temos:990x = 1234,34... 12,34... => 990x = 1222 =>

x = 1222/990

Simplificando, obtemos x = 495611 , a frao geratriz da dzima

1, 23434...

Mdulo ou valor absoluto: a distncia do ponto que representa esse nmero ao ponto de abscissa zero.

Exemplo: Mdulo de 23

23 . Indica-se

23

= 23

Mdulo de + 23

23 . Indica-se

23

+ = 23

Nmeros Opostos: Dizemos que 23

e 23

so nmeros racionais opostos ou simtricos e cada um deles o oposto do outro. As distncias dos pontos

23 e

23 ao ponto zero da reta

so iguais.

Soma (Adio) de Nmeros RacionaisComo todo nmero racional uma frao ou pode ser escrito

na forma de uma frao, definimos a adio entre os nmeros racionais

ba e

dc , da mesma forma que a soma de fraes, atravs

de:

ba

+ dc

= bd

bcad +

Propriedades da Adio de Nmeros RacionaisO conjunto Q fechado para a operao de adio, isto , a

soma de dois nmeros racionais ainda um nmero racional.- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a +

b ) + c- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em

Q, proporciona o prprio q, isto : q + 0 = q- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que

q + (q) = 0

Subtrao de Nmeros RacionaisA subtrao de dois nmeros racionais p e q a prpria

operao de adio do nmero p com o oposto de q, isto : p q = p + (q)

Multiplicao (Produto) de Nmeros RacionaisComo todo nmero racional uma frao ou pode ser escrito

na forma de uma frao, definimos o produto de dois nmeros racionais

ba

e dc

, da mesma forma que o produto de fraes, atravs de:

ba

x dc

= bdac

O produto dos nmeros racionais a e b tambm pode ser indicado por a b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicao de nmeros racionais, devemos obedecer mesma regra de sinais que vale em toda a Matemtica:

(+1) (+1) = (+1)(+1) (-1) = (-1)(-1) (+1) = (-1)(-1) (-1) = (+1)

Podemos assim concluir que o produto de dois nmeros com o mesmo sinal positivo, mas o produto de dois nmeros com sinais diferentes negativo.

Propriedades da Multiplicao de Nmeros RacionaisO conjunto Q fechado para a multiplicao, isto , o produto

de dois nmeros racionais ainda um nmero racional.- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a ( b c ) = ( a

b ) c- Comutativa: Para todos a, b em Q: a b = b a- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo

q em Q, proporciona o prprio q, isto : q 1 = q

- Elemento inverso: Para todo q = ba em Q, q diferente de

zero, existe q-1 = ab

em Q: q q-1 = 1

ba

x

ab = 1

- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a ( b + c ) = ( a b ) + ( a c )


MATEMTICA

Diviso de Nmeros RacionaisA diviso de dois nmeros racionais p e q a prpria operao

de multiplicao do nmero p pelo inverso de q, isto : p q = p q-1

Potenciao de Nmeros RacionaisA potncia qn do nmero racional q um produto de n fatores

iguais. O nmero q denominado a base e o nmero n o expoente.qn = q q q q ... q, (q aparece n vezes)

Exemplos:

a) 3

52

=

52 .

52 .

52 =

1258

b) 3

21

=

21 .

21 .

21

=

81

c) (5) = (5) . ( 5) = 25

d) (+5) = (+5) . (+5) = 25

Propriedades da Potenciao: Toda potncia com expoente 0 igual a 1.

0

52

+ = 1

- Toda potncia com expoente 1 igual prpria base.

1

49

=

49

- Toda potncia com expoente negativo de um nmero racional diferente de zero igual a outra potncia que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior.

2

53

=

2

35

=

925

- Toda potncia com expoente mpar tem o mesmo sinal da base.

3

32

=

32 .

32 .

32 =

278

- Toda potncia com expoente par um nmero positivo.2

51

=

51

.

51

= 251

- Produto de potncias de mesma base. Para reduzir um produto de potncias de mesma base a uma s potncia, conservamos a base e somamos os expoentes.

2

52

.

3

52

=

532

52

52

52.

52.

52.

52.

52

=

=

+

- Quociente de potncias de mesma base. Para reduzir um quociente de potncias de mesma base a uma s potncia, conservamos a base e subtramos os expoentes.

32525

23

23

23.

23

23.

23.

23.

23.

23

23:

23

=

==

- Potncia de Potncia. Para reduzir uma potncia de potncia a uma potncia de um s expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

62322222232

21

21

21

21.

21.

21

21

=

=

=

=

+++

Radiciao de Nmeros RacionaisSe um nmero representa um produto de dois ou mais fatores

iguais, ento cada fator chamado raiz do nmero. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1

4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 a raiz quadrada de 4. Indica-se 4 = 2.

Exemplo 2

91 Representa o produto 3

1. 31

ou

2

31

. Logo,

31

a raiz

quadrada de 91 .Indica-se

91 =

31

Exemplo 3

0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 a raiz cbica de 0,216. Indica-se 3 216,0 = 0,6.

Assim, podemos construir o diagrama:

N Z Q

Um nmero racional, quando elevado ao quadrado, d o nmero zero ou um nmero racional positivo. Logo, os nmeros racionais negativos no tm raiz quadrada em Q.

O nmero 9

100 no tem raiz quadrada em Q, pois tanto

310

como 3

10+ , quando elevados ao quadrado, do

9100 .

Um nmero racional positivo s tem raiz quadrada no conjunto dos nmeros racionais se ele for um quadrado perfeito.

O nmero 32 no tem raiz quadrada em Q, pois no existe

nmero racional que elevado ao quadrado d 32 .


MATEMTICA

Exerccios

1. Calcule o valor das expresses numricas:

a) 247

+

43

67

81

125

b)

+

+

25

121:

163

27

49

2. Escreva o produto 73

32.

32

+

+ como uma s

potncia.

3. Escreva o quociente 412

2516:

2516

como uma s

potncia.

4. Qual o valor da expresso

+

43:

21

2413 3

?

5. Para encher um lbum de figurinhas, Karina contribuiu

com das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das

figurinhas. Com que frao das figurinhas as duas juntas

contriburam?

6. Ana est lendo um livro. Em um dia ela leu do livro e

no dia seguinte leu do livro. Ento calcule:

a) A frao do livro que ela j leu.b) A frao do livro que falta para ela terminar a leitura.

7. Em um pacote h de 1 Kg de acar. Em outro pacote h . Quantos quilos de acar o primeiro pacote tem a mais que o segundo?

8. A rua onde Cludia mora est sendo asfaltada. Os

da rua j foram asfaltados. Que frao da rua ainda resta

asfaltar?

9. No dia do lanamento de um prdio de apartamentos,

desses apartamentos foi vendido e foi reservado. Assim:a) Qual a frao dos apartamentos que foi vendida e

reservada?b) Qual a frao que corresponde aos apartamentos que

no foram vendidos ou reservados?

10. Transforme em frao:a) 2,08b) 1,4c) 0,017d) 32,17

Respostas

1) Soluo:

a) 247

+

43

67

81

125

b)

+

+

25

121:

163

27

49

mmc:(4;2)=42) Soluo:

10

32

+

3) Soluo:8

2516

4) Soluo:

+

43:

21

2413 3

5) Resposta Soluo:

6) Soluo:

a)

b)

7) Respostas Soluo:

8) Resposta Soluo:


MATEMTICA

9) Soluo:

a)

b)

10) Soluo:

a) 2,08

b) 1,4 c) 0,017

d) 32,17

Nmeros Irracionais

Os nmeros racionais, aqueles que podem ser escritos na forma de uma frao a/b onde a e b so dois nmeros inteiros, com a condio de que b seja diferente de zero, uma vez que sabemos da impossibilidade matemtica da diviso por zero.

Vimos tambm, que todo nmero racional pode ser escrito na forma de um nmero decimal peridico, tambm conhecido como dzima peridica.

Vejam os exemplos de nmeros racionais a seguir:3 / 4 = 0,75 = 0, 750000...- 2 / 3 = - 0, 666666...1 / 3 = 0, 333333...2 / 1 = 2 = 2, 0000...4 / 3 = 1, 333333...- 3 / 2 = - 1,5 = - 1, 50000...0 = 0, 000...

Existe, entretanto, outra classe de nmeros que no podem ser escritos na forma de frao a/b, conhecidos como nmeros irracionais.

Exemplo

O nmero real abaixo um nmero irracional, embora parea uma dzima peridica: x = 0,10100100010000100000...

Observe que o nmero de zeros aps o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos nmeros reais que no so dzimas peridicas e dois nmeros irracionais muito importantes, so:

e = 2,718281828459045...,Pi () = 3,141592653589793238462643...

Que so utilizados nas mais diversas aplicaes prticas como: clculos de reas, volumes, centros de gravidade, previso populacional, etc.

Classificao dos Nmeros IrracionaisExistem dois tipos de nmeros irracionais:

- Nmeros reais algbricos irracionais: so razes de polinmios com coeficientes inteiros. Todo nmero real que pode ser representado atravs de uma quantidade finita de somas, subtraes, multiplicaes, divises e razes de grau inteiro a partir dos nmeros inteiros um nmero algbrico, por exemplo,

. A recproca no verdadeira: existem nmeros algbricos que

no podem ser expressos atravs de radicais, conforme o teorema de Abel-Ruffini.

- Nmeros reais transcendentes: no so razes de polinmios com coeficientes inteiros. Vrias constantes matemticas so transcendentes, como pi ( ) e o nmero de Euler ( ). Pode-se dizer que existem mais nmeros transcendentes do que nmeros algbricos (a comparao entre conjuntos infinitos pode ser feita na teoria dos conjuntos).

A definio mais genrica de nmeros algbricos e transcendentes feita usando-se nmeros complexos.

Identificao de nmeros irracionaisFundamentado nas explanaes anteriores, podemos afirmar

que:

- Todas as dzimas peridicas so nmeros racionais.- Todos os nmeros inteiros so racionais.- Todas as fraes ordinrias so nmeros racionais.- Todas as dzimas no peridicas so nmeros irracionais.- Todas as razes inexatas so nmeros irracionais.- A soma de um nmero racional com um nmero irracional

sempre um nmero irracional.- A diferena de dois nmeros irracionais, pode ser um nmero

racional.

Exemplo: - = 0 e 0 um nmero racional.

- O quociente de dois nmeros irracionais, pode ser um nmero racional.

Exemplo: : = = 2 e 2 um nmero racional.

- O produto de dois nmeros irracionais, pode ser um nmero racional.

Exemplo: . = = 5 e 5 um nmero racional.- A unio do conjunto dos nmeros irracionais com

o conjunto dos nmeros racionais, resulta num conjunto denominado conjunto R dos nmeros reais.

- A interseo do conjunto dos nmeros racionais com o conjunto dos nmeros irracionais, no possui elementos comuns e, portanto, igual ao conjunto vazio ( ).

Simbolicamente, teremos:

Q = RQ I =


MATEMTICA

PORCENTAGENS

uma frao de denominador centesimal, ou seja, uma frao de denominador 100. Representamos porcentagem pelo smbolo % e l-se: por cento.

Deste modo, a frao 10050 uma porcentagem que podemos

representar por 50%.

Forma Decimal: comum representarmos uma porcentagem na forma decimal, por exemplo, 35% na forma decimal seriam representados por 0,35.

75% = 10075

= 0,75

Clculo de uma Porcentagem: Para calcularmos uma porcentagem p% de V, basta multiplicarmos a frao

100p por V.

P% de V = 100p

. V

Exemplo 1

23% de 240 = 10023 . 240 = 55,2

Exemplo 2

Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma amostra assistem a um certo programa de TV. Se a populao de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal programa?

Resoluo: 67% de 56 000 = 3752056000.10067

=

Resposta: 37 520 pessoas.

Porcentagem que o lucro representa em relao ao preo de custo e em relao ao preo de venda

Chamamos de lucro em uma transao comercial de compra e venda a diferena entre o preo de venda e o preo de custo.

Lucro = preo de venda preo de custo

Caso essa diferena seja negativa, ela ser chamada de prejuzo.

Assim, podemos escrever:Preo de custo + lucro = preo de vendaPreo de custo prejuzos = preo de venda

Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:

Lucro sobre o custo = lucro/preo de custo. 100%Lucro sobre a venda = lucro/preo de venda. 100%

Observao: A mesma anlise pode ser feita para o caso de prejuzo.

ExemploUma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por

R$ 800,00.

Pede-se:- o lucro obtido na transao;- a porcentagem de lucro sobre o preo de custo;- a porcentagem de lucro sobre o preo de venda.

Resposta:Lucro = 800 500 = R$ 300,00

Lc = 500300 = 0,60 = 60%

Lv = 800300 = 0,375 = 37,5%

Aumento

Aumento Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o valor do aumento e VA o valor aps o aumento. Ento, A = p% de V =

100p . V

VA = V + A = V + 100p

. VVA = ( 1 + 100

p) . V

Em que (1 + 100p

) o fator de aumento.

Desconto

Desconto Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e VD o valor aps o desconto. Ento, D = p% de V =

100p . V

VD = V D = V 100p . V

VD = (1 100p

) . V

Em que (1 100

p) o fator de desconto.

ExemploUma empresa admite um funcionrio no ms de janeiro

sabendo que, j em maro, ele ter 40% de aumento. Se a empresa deseja que o salrio desse funcionrio, a partir de maro, seja R$ 3 500,00, com que salrio deve admiti-lo?

Resoluo: VA = 1,4 . V 3 500 = 1,4 . V

V = 25004,1

3500=

Resposta: R$ 2 500,00

Aumentos e Descontos Sucessivos: Consideremos um valor inicial V, e vamos considerar que ele ir sofrer dois aumentos sucessivos de p1% e p2%. Sendo V1 o valor aps o primeiro aumento, temos:

V1 = V . (1 + 1001p )


MATEMTICA

Sendo V2 o valor aps o segundo aumento, temos:

V2 = V1 . (1 + 100

2p )

V2 = V . (1 + 1001p ) . (1 +

1002p )

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele ir sofrer dois descontos sucessivos de p1% e p2%.

Sendo V1 o valor aps o primeiro desconto, temos:V1 = V. (1 100

1p )

Sendo V2 o valor aps o segundo desconto, temos:

V2 = V1 . (1 1002p )

V2 = V . (1 1001p ) . (1

1002p )

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele ir sofrer um aumento de p1% e, sucessivamente, um desconto de p2%.

Sendo V1 o valor aps o aumento, temos:V1 = V . (1+ 100

1p )

Sendo V2 o valor aps o desconto, temos:V2 = V1 . (1

1002p )

V2 = V . (1 + 1001p ) . (1

1002p )

Exemplo

(VUNESP-SP) Uma instituio bancria oferece um rendimento de 15% ao ano para depsitos feitos numa certa modalidade de aplicao financeira. Um cliente deste banco deposita 1 000 reais nessa aplicao. Ao final de n anos, o capital que esse cliente ter em reais, relativo a esse depsito, so:

Resoluo: VA = vp n.

1001

+

VA = 1000.10015.1

n

VA = 1 000 . (1,15)n VA = 1 000 . 1,15n VA = 1 150,00n

Exerccios

1. (Fuvest-SP) (10%)2 =a) 100% b) 20% c) 5% d) 1% e) 0,01%

2. Quatro quantos por cento de cinco?

3. (PUC-SP) O preo de venda de um bem de consumo R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preo de custo deste bem. O valor do preo de custo :

a) R$ 25,00b) R$ 70,50c) R$ 75,00d) R$ 80,00e) R$ 125,00

4. (VUNESP-SP) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preo de custo) e passou a revend-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoes, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preo de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoes, o dono do supermercado teve, sobre o preo de custo:

a) Prejuzo de 10%.b) Prejuzo de 5%.c) Lucro de 20%.d) Lucro de 25%.e) Lucro de 30%.

5. (Mackenzie-SP) Um produto teve um aumento total de preo de 61% atravs de 2 aumentos sucessivos. Se o primeiro aumento foi de 15%, ento o segundo foi de:

a) 38%b) 40%c) 42%d) 44%e) 46%

6. (FUVEST-SP) Barnab tinha um salrio de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salrio atual :

a) 2,56 xb) 1,6xc) x + 160d) 2,6xe) 3,24x

7. (PUC-SP) Descontos sucessivos de 20% e 30% so equivalentes a um nico desconto de:

a) 25%b) 26%c) 44%d) 45%e) 50%

8. (FUVEST-SP) A cada ano que passa o valor de um carro diminui em 30% em relao ao seu valor do ano anterior. Se V for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo ano ser:

a) (0,7)7 Vb) (0,3)7 Vc) (0,7)8 Vd) (0,3)8 Ve) (0,3)9 V


MATEMTICA

9. Numa cidade, havia cerca de 25 000 desempregados para uma populao economicamente ativa de 500 000 habitantes. Qual era a taxa percentual de desempregados nessa cidade?

10. Se 4% do total de bolinhas de uma piscina correspondem a 20 unidades, qual o total de bolinhas que est na piscina?

Respostas

1) Resposta D.Soluo:

2) Resposta 80%.Soluo:05 ----------- 100%04 ----------- x

5 . x = 4 . 100 5x = 400 3) Resposta D.Soluo:Pcusto = 100,00

O Pcusto mais 25% do Pcusto = 100,00

Pc + 0,25Pc = 100,001,25Pc = 100,00

Pc =

4) Resposta C.Soluo:X reais (preo de custo)

Lucro de 50%: x + 50% = x + =

(dividimos por 10 e depois dividimos por 5).

Suponhamos que o preo de custo seja 1, ento substituindo o x da equao acima, o preo de venda com 50% de lucro seria 1,50.

Se 1,50 100% X 20% fazemos esta regra de trs para achar os 20%:

20.1,50 100 = 0,30

Ento no dia de promoo o valor ser de 1,20. Isto , 20% de lucro em cima do valor de custo. Alternativa C.

5) Resposta B.Soluo: Se usarmos a frmula do aumento sucessivo citada

na matria ser:

V2 = V.(1 + 1001p ).(1

1002p ).

Substituindo V por um valor: 1, ento no final dos dois aumentos esse valor ser de 1,61=V2.

1,61 = 1.(1 + 10015 ).(1

1002p )

1,61 = (1 + 10015 ).(1

1002p ) (mmc de 100)

1,61 = (100115 ).(1

1002p )

1,61 = - 10000

)2100(115 P

16100 = -11.500 + 115P2115P2 = -11.500 + 16100P2 = 4600/115P2 = 40%

6) Resposta E.Soluo:

7) Resposta C.Soluo: Se usarmos a frmula do desconto sucessivo citada

na matria ser:

V2 = V.(1 - 1001p ).(1

1002p )

Substituindo V por um valor: 1, ficar:

V2 = 1.(1 - 10020

).(1 10030

)

V2 = ( 10020100 ).(

10030100

)

V2 = (10080

).(10070 )

V2 = 100005600

V2 = 10056

que igual a 56%

100% - 56% = 44%

8) Resposta A.Soluo:

1 ano = 12 ano = 0,70 30% (0,21)3 ano = 0,49 30% (0,147)4 ano = 0,343 30 % (0,1029)5 ano = 0,2401 30% (0,07203)6 ano = 0,16807 30% (0,050421)7 ano = 0,117649 30% (0,0352947)8 ano = 0,0823543

0,0823543 = (0,7)7V


MATEMTICA

9) Resposta 5%.Soluo: Em 500 000 habitantes 25 000 desempregados Em 100 000 habitantes 5 000 desempregados Em 100 habitantes 5 desempregados

Portanto, 5% da populao da cidade desempregada.

10) Resposta 500 unidades.Soluo: 4% 20 bolinhas. Ento:20% 100 bolinhas100% 500 bolinhas

Ou, ainda, representando por x o total de bolinhas: 4% de x equivalem a 20.

Como 4% = , podemos escrever:

0,04 . x = 20

Logo, o total de bolinhas na piscina so 500 unidades.

PROPORCIONALIDADE ENTRE NMEROS E ENTRE GRANDEZAS,

PROPORES E ESCALAS

Sejam dois nmeros reais a e b, com b 0. Chama-se razo entre a e b (nessa ordem) o quociente a b, ou .

A razo representada por um nmero racional, mas lida de modo diferente.

Exemplos

a) A frao 53 l-se: trs quintos.

b) A razo 53 l-se: 3 para 5.

Os termos da razo recebem nomes especiais.

O nmero 3 numerador

a) Na frao 53

O nmero 5 denominador

O nmero 3 antecedente

a) Na razo 53

O nmero 5 consequente

Exemplo 1

A razo entre 20 e 50 52

5020

= ; j a razo entre 50 e 20

52

5020

= .

Exemplo 2 Numa classe de 42 alunos h 18 rapazes e 24 moas. A razo

entre o nmero de rapazes e o nmero de moas 43

2418

= , o que significa que para cada 3 rapazes h 4 moas. Por outro lado,

a razo entre o nmero de rapazes e o total de alunos dada por

73

4218

= , o que equivale a dizer que de cada 7 alunos na classe, 3

so rapazes.

Razo entre grandezas de mesma espcieA razo entre duas grandezas de mesma espcie o quociente

dos nmeros que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.

ExemploUma sala tem 18 m2. Um tapete que ocupar o centro dessa

sala mede 384 dm2. Vamos calcular a razo entre a rea do tapete e a rea da sala.

Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em uma mesma unidade:

rea da sala: 18 m2 = 1 800 dm2rea do tapete: 384 dm2Estando as duas reas na mesma unidade, podemos escrever

a razo:

7516

1800384

1800384

2

2

==dmdm

Razo entre grandezas de espcies diferentes

Exemplo 1

Considere um carro que s 9 horas passa pelo quilmetro 30 de uma estrada e, s 11 horas, pelo quilmetro 170.

Distncia percorrida: 170 km 30 km = 140 kmTempo gasto: 11h 9h = 2h

Calculamos a razo entre a distncia percorrida e o tempo gasto para isso:

hkmhkm /70

2140

=

A esse tipo de razo d-se o nome de velocidade mdia.

Observe que: - as grandezas quilmetro e hora so de naturezas diferentes;- a notao km/h (l-se: quilmetros por hora) deve

acompanhar a razo.


MATEMTICA

Exemplo 2

A Regio Sudeste (Esprito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro e So Paulo) tem uma rea aproximada de 927 286 km2 e uma populao de 66 288 000 habitantes, aproximadamente, segundo estimativas projetadas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica (IBGE) para o ano de 1995.

Dividindo-se o nmero de habitantes pela rea, obteremos o nmero de habitantes por km2 (hab./km2):

2/.5,71927286

66288000 kmhab

A esse tipo de razo d-se o nome de densidade demogrfica.

A notao hab./km2 (l-se: habitantes por quilmetro quadrado) deve acompanhar a razo.

Exemplo 3

Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km com 8 L de gasolina. Dividindo-se o nmero de quilmetros percorridos pelo nmero de litros de combustvel consumidos, teremos o nmero de quilmetros que esse carro percorre com um litro de gasolina:

lkmlkm /47,10

876,83

A esse tipo de razo d-se o nome de consumo mdio.A notao km/l (l-se: quilmetro por litro) deve

acompanhar a razo.

Exemplo 4Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse comprimento

representado num desenho por 20 cm. Qual a escala do desenho?

Escala = 40:1401

80020

820 ou

cmcm

mcm

orealcomprimentonodesenhocompriment

===

A razo entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real, chama-se Escala.

Proporo

A igualdade entre duas razes recebe o nome de proporo.Na proporo

106

53= (l-se: 3 est para 5 assim como 6

est para 10), os nmeros 3 e 10 so chamados extremos, e os

nmeros 5 e 6 so chamados meios.Observemos que o produto 3 x 10 = 30 igual ao produto 5 x 6

= 30, o que caracteriza a propriedade fundamental das propores:

Em toda proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos.

Exemplo 1

Na proporo 96

32= , temos 2 x 9 = 3 x 6 = 18;

e em 164

41= , temos 4 x 4 = 1 x 16 = 16.

Exemplo 2

Na bula de um remdio peditrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do peso da criana.

Se uma criana tem 12 kg, a dosagem correta x dada por:

kgx

kggotas

1225

= x = 30 gotas

Por outro lado, se soubermos que foram corretamente ministradas 20 gotas a uma criana, podemos concluir que seu peso 8 kg, pois:

pgotaskg

gotas /202

5= p = 8kg

(nota: o procedimento utilizado nesse exemplo comumente chamado de regra de trs simples.)

Propriedades da ProporoO produto dos extremos igual ao produto dos meios: essa

propriedade possibilita reconhecer quando duas razes formam ou no uma proporo.

912

34 e formam uma proporo, pois

Produto dos extremos 36

9.4 = 36

12.3 Produto dos meios

A soma dos dois primeiros termos est para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a soma dos dois ltimos est para o terceiro (ou para o quarto termo).

1014

57

10410

525

410

25

=+

= +=

ou

414

27

4410

225

410

25

=+

= +=

A diferena entre os dois primeiros termos est para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a diferena entre os dois ltimos est para o terceiro (ou para o quarto termo).

82

41

868

434

68

34

=

= =

ou

62

31

668

334

68

34

=

= =

A soma dos antecedentes est para a soma dos consequentes assim como cada antecedente est para o seu consequente.

812

1015

812

28312

23

812

==

++

=

ou

23

1015

23

28312

23

812

==

++

=


MATEMTICA

A diferena dos antecedentes est para a diferena dos consequentes assim como cada antecedente est para o seu consequente.

153

102

153

51513

51

153

==

=

ou

51

102

51

51513

51

153

==

=

Exerccios

1. (ESPM-SP) Em um mapa verifica-se que a escala 1 : 22 000 000. Duas cidades esto distantes de So Paulo, respectivamente, 4 e 6 cm. Se fosse feita uma estrada ligando as trs cidades, qual seria o mnimo de extenso que ela teria?

2. Em um mapa, a distncia em linha reta entre Braslia e Palmas, no Tocantins de 10 cm. Sabendo que a distncia real entre as duas cidades de 700 km, qual a escala utilizada na confeco do mapa?

3. Uma esttua de bronze tem 140 kg de massa e seu volume de 16 dm. Qual a sua densidade?

4. Um trem percorreu 453 km em 6 horas. Qual a velocidade mdia do trem nesse percurso?

5. O estado de Tocantins ocupada uma rea aproximada de 278 500 km. De acordo com o Censo/2000 o Tocantins tinha uma populao de aproximadamente 1 156 000 habitantes. Qual a densidade demogrfica do estado de Tocantins?

6. A diferena entre a idade de ngela e a idade de Vera 12 anos. Sabendo-se que suas idades esto uma para a outra assim como

25 , determine a idade de cada uma.

7. Um segmento de 78 cm de comprimento dividido em duas partes na razo de Determine o comprimento de cada uma das partes.

8. (UFGO) Sabe-se que as casas do brao de um violo diminuem de largura seguindo uma mesma proporo. Se a primeira casa do brao de um violo tem 4 cm de largura e a segunda casa, 3 cm, calcule a largura da quarta casa.

9. (UlbraRS) gua e tinta esto misturadas na razo de 9 para 5. Sabendo-se que h 81 litros de gua na mistura, o volume total em litros de:

a) 45b) 81c) 85d) 181e) 126

10. A diferena entre dois nmeros 65. Sabe-se que o primeiro est para 9 assim como o segundo est para 4. Calcule esses nmeros.

Respostas

1) Resposta 1320 km.Soluo: 1cm (no mapa) = 22.000.000cm (na realidade)

*SP ---------------------- cidade A ------------------------ cidade B 4cm 6cm

O mnimo de extenso ser a da cidade mais longe (6cm)

22.000.000 x 6 = 132.000.000 cm = 1320 km.Logo, o mnimo de extenso que ela teria corresponde 1320

km. 2) Resposta 1: 7 000 000.Soluo: Dados:Comprimento do desenho: 10 cmComprimento no real: 700 km = (700 . 100 000) cm = 70 000

000 cm

A escala de 1: 7 000 000 significa que:- 1 cm no desenho corresponde a 7 000 000 cm no real;- 1 cm no desenho corresponde a 70 000 m no real;- 1 cm no desenho corresponde a 70 km no real.

3) Resposta 8,75 kg/dm.Soluo: De acordo com os dados do problema, temos:

kg/dm

Logo, a densidade da esttua de 8,75 kg/dm, que lemos como: 8,75 quilogramas por decmetro cbico.

4) Resposta 75,5 km/h.Soluo: De acordo com que o enunciado nos oferece, temos:

km/h

Logo, a velocidade mdia do trem, nesse percurso, foi de 75,5 km/h, que lemos: 75,5 quilmetros por hora.

5) Resposta 4,15 hab./kmSoluo: O problema nos oferece os seguintes dados:

A hab./km

6) Resposta ngela 20; Vera 8.Soluo:

A V = 12 anosA = 12 + V

2 (12+V) = 5V


MATEMTICA

24 + 2V = 5V5V 2V = 243V = 24V =

V (Vera) = 8

A 8 = 12A = 12 + 8A (ngela) = 20

7) Resposta 24 cm; 54 cm.Soluo:x + y = 78 cmx = 78 - y

9 (78 - y) = 4y702 9y = 4y702 = 4y + 9y13y = 702y =

y = 54cm

x + 54 = 78x = 78 - 54x = 24 cm

8) Resposta .

Soluo: Caso a proporo entre a 2 e a 1 casa se mantenha constante nas demais, s determinar qual esta proporo

existente entre elas: no caso, = 0,75, ou seja, a largura da 2 casa 75% a largura da 1; Portanto a largura da 3 casa (3 . 0,75) =

2,25 cm.

Logo, a largura da 4 casa de (2,25 . 0,75) = 1,69 cm.

Portanto a sequncia seria: (4...3... ... ...) e assim por diante. Onde a razo de proporo ... e pode ser representada pela

expresso:Ti . P elevado (n - 1)

Onde:Ti = termo inicial, neste caso: 4P = proporo entre Ti e o seguinte (razo), neste caso: n = nmero sequencial do termo que se busca, neste caso: 4

Teremos:

(Ti = 4; P = ; n 1 = 3)

4 . =

9) Resposta E.Soluo:A = 81 litros

9T = 405T =

T = 45

A + T = ?81 + 45 = 126 litros

10) Resposta 117 e 52.Soluo:x y = 65x = 65 + y

9y = 4 (65 + y)9y = 260 + 4y9y 4y = 2605y = 260y =

y = 52x 52 = 65x = 65 + 52x = 117

REGRA DE TRS SIMPLES E COMPOSTA

Regra de Trs Simples

Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos atravs de um processo prtico, chamado regra de trs simples.

Exemplo 1: Um carro faz 180 km com 15L de lcool. Quantos litros de lcool esse carro gastaria para percorrer 210 km?

Soluo:O problema envolve duas grandezas: distncia e litros de

lcool.Indiquemos por x o nmero de litros de lcool a ser consumido.Coloquemos as grandezas de mesma espcie em uma mesma

coluna e as grandezas de espcies diferentes que se correspondem em uma mesma linha:

Distncia (km) Litros de lcool 180 15 210 x


MATEMTICA

Na coluna em que aparece a varivel x (litros de lcool), vamos colocar uma flecha:

Distncia (km) Litros de lcool 180 15 210 x

Observe que, se duplicarmos a distncia, o consumo de lcool tambm duplica. Ento, as grandezas distncia e litros de lcool so diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna distncia no mesmo sentido da flecha da coluna litros de lcool:

Distncia (km) Litros de lcool 180 15 210 x mesmo sentido

Armando a proporo pela orientao das flechas, temos:

x15

210180

7

6

=

6x = 7 . 15 6x = 105 x = 6

105 x = 17,5

Resposta: O carro gastaria 17,5 L de lcool.

Exemplo 2: Viajando de automvel, velocidade de 60 km/h, eu gastaria 4 h para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso?

Soluo: Indicando por x o nmero de horas e colocando as grandezas de mesma espcie em uma mesma coluna e as grandezas de espcies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos:

Velocidade (km/h) Tempo (h) 60 4 80 x

Na coluna em que aparece a varivel x (tempo), vamos colocar uma flecha:


Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido metade. Isso significa que as grandezas velocidade e tempo so inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato indicado colocando-se na coluna velocidade uma flecha em sentido contrrio ao da flecha da coluna tempo:


sentidos contrrios

Na montagem da proporo devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos:

3

4

60804

=x

4x = 4 . 3 4x = 12 x = 4

12 x = 3 Resposta: Farei esse percurso em 3 h.

Exemplo 3: Ao participar de um treino de Frmula 1, um competidor, imprimindo velocidade mdia de 200 km/h, faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso?

Vamos representar pela letra x o tempo procurado.Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade

(200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo (18 s e x s).

Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros trs.

Velocidade Tempo gasto para fazer o percurso200 km/h 18 s240 km/h x

Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cair para a metade; logo, as grandezas so inversamente proporcionais. Assim, os nmeros 200 e 240 so inversamente proporcionais aos nmeros 18 e x.

Da temos:200 . 18 = 240 . x 3 600 = 240x 240x = 3 600 x =

2403600

x = 15

O corredor teria gasto 15 segundos no percurso.

Regra de Trs Composta

O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, chamado regra de trs composta.

Exemplo 1: Em 4 dias 8 mquinas produziram 160 peas. Em quanto tempo 6 mquinas iguais s primeiras produziriam 300 dessas peas?

Soluo: Indiquemos o nmero de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espcie em uma s coluna e as grandezas de espcies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que aparece a varivel x (dias), coloquemos uma flecha:

Mquinas Peas Dias 8 160 4 6 300 x

Comparemos cada grandeza com aquela em que est o x.

As grandezas peas e dias so diretamente proporcionais. No nosso esquema isso ser indicado colocando-se na coluna peas uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna dias:


Mesmo sentido


MATEMTICA

As grandezas mquinas e dias so inversamente proporcionais (duplicando o nmero de mquinas, o nmero de dias fica reduzido metade). No nosso esquema isso ser indicado colocando-se na coluna (mquinas) uma flecha no sentido contrrio ao da flecha da coluna dias:


Sentidos contrrios

Agora vamos montar a proporo, igualando a razo que

contm o x, que x4

, com o produto das outras razes, obtidas

segundo a orientao das flechas

300160.

86 :

5

1

15

8

1

2

300160.

864

=x

524

=x => 2x = 4 . 5 a x = 1

2

25.4

=> x = 10

Resposta: Em 10 dias.

Exerccios

1. Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 75 min. Em quantos minutos 5 torneiras completamente abertas encheriam esse mesmo tanque?

2. Um trem percorre certa distncia em 6 h 30 min, velocidade mdia de 42 km/h. Que velocidade dever ser desenvolvida para o trem fazer o mesmo percurso em 5 h 15 min?

3. Usando seu palmo, Samanta mediu o comprimento e a largura de uma mesa retangular. Encontrou 12 palmos de comprimento e 5 palmos na largura. Depois, usando palitos de fsforo, mediu novamente o comprimento do tampo da mesa e encontrou 48 palitos. Qual estratgia Samanta usou para obter largura do tampo da mesa em palitos de fsforo?

4. Ao participar de um treino de frmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade mdia de 180 km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 200 km/h, que tempo teria gasto no percurso?

5. Com 3 pacotes de pes de frma, Helena faz 63 sanduches. Quantos pacotes de pes de frma ela vai usar para fazer 105 sanduches?

6. Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Aps 4 meses de servio, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser contratados para que a obra seja concluda no tempo previsto?

a) 315b) 2 2520c) 840d) 105e) 1 260

7. Numa grfica, 7 mquinas de mesmo rendimento imprimem 50 000 cartazes iguais em 2 horas de funcionamento. Se duas dessas mquinas no estiverem funcionando, as 5 mquinas restantes faro o mesmo servio em:

a) 3 horas e 10 minutosb) 3 horasc) 2 horas e 55 minutosd) 2 horas e 50 minutose) 2 horas e 48 minutos

8. Funcionando 6 dias, 5 mquinas produziram 400 peas de uma mercadoria. Quantas peas dessa mesma mercadoria so produzidas por 7 mquinas iguais s primeiras, se funcionarem 9 dias?

9. Um motociclista rodando 4 horas por dia, percorre em mdia 200 km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista vai percorrer 500 km, se rodar 5 horas por dia?

10. Na alimentao de 02 bois, durante 08 dias, so consumidos 2420 kgs de rao. Se mais 02 bois so comprados, quantos quilos de rao sero necessrios para aliment-los durante 12 dias.

Respostas

1) Resposta 30min. Soluo:

Como aumentar as torneiras diminui o tempo, ento a regra de trs inversa:

5 tor. ------ 75min2 tor. ------ x5x = 2 . 75 = 5x = 150 =x =

2) Resposta 52 km.Soluo:Como diminuir o tempo aumentaria a velocidade, ento a

regra de trs inversa:6h30min = 390min5h15min = 315min

315min ------ 42km/h390min ------ x315x = 390 . 42 = 315x = 16380 = X = km/h.


MATEMTICA

3) Resposta 20 palitos de fsforo.Soluo: Levando os dados dado no enunciado temos:Palmos: 12 palmos de comprimento e 5 palmos de largura.Palitos de Fsforo: 48 palitos de comprimento e x palitos de

largura.

Portanto temos:

Comprimento Largura12 palmos 5 palmos48 palitos X palitos

Observe que o comprimento da mesa aumentou 4 vezes quando passamos de palmo para palito. O que ocorre da mesma forma na largura.

As grandezas so diretamente proporcionais. Da podemos fazer:

Logo, conclumos que o tampo da mesa tem 20 palitos de fsforo de largura.

4) Resposta 18 segundos.Soluo: Levando em considerao os dados:Velocidade mdia: 180 km/h tempo do percurso: 20sVelocidade mdia: 200 km/h tempo do percurso: ?

Vamos representar o tempo procurado pela letra x. Estamos relacionando dois valores de grandeza velocidade (180 km/h e 200 km/h) com dois valores de grandeza tempo ( 20s e xs).

Conhecido os 3 valores, queremos agora determinar um quarto valor. Para isso, organizamos os dados na tabela:

Velocidade km/h Tempo (s)180 20200 x

Observe que, se duplicarmos a velocidade inicial, o tempo gasto para percorrer o percurso vai cair para a metade. Logo, as grandezas so inversamente proporcionais. Ento temos:

180 . 20 = 200 . x 200x = 3600

Conclui-se, ento, que se o competidor tivesse andando em 200 km/h, teria gasto 18 segundos para realizar o percurso.

5) Resposta 5 pacotes.Soluo: Analisando os dados dado no enunciado temos:Pacotes de Pes: 3 pacotes Sanduches: 63.Pacotes de Pes: x pacotes Sanduches: 105.

Pacotes de Pes Sanduches3 63x 105

Basta fazermos apenas isso:63 . x = 3 . 105 63x = 315

Conclumos que ela precisar de 5 pacotes de pes de forma.

6) Resposta D.

Soluo: Em de ano foi pavimentada de estrada

Pessoas estrada tempo 210 75 4 X 225 8

=

=

=

x =

x = 315 pessoas para o trmino

315 210 que j trabalham = 105 pessoas.

7) Resposta E.Soluo: Primeiro descobrimos quanto cada mquina produz

por minuto. Para isso temos que dividir:

Agora multiplicamos por 5 e descobrimos quanto as 5 mquinas juntas produzem (min)

5 . 59,524 = 297, 62.Portanto temos:

1 min --------------------- 297,62x min --------------------- 50000Fazendo a regra de 3 teremos:

297,62 . x = 50000 . 1 297,62x = 50000

168 min. o que equivale a 2 horas e 48 minutos.

8) Resposta 840 peas.Soluo: Dados:5 mquinas em 6 dias produzem 400 peas7 mquinas em 9 dias produzem x peas.Organizando os dados no quadro temos:


MATEMTICA

N de Mquinas (A)N de Mquinas

(B)Nmero de Peas

(C)

5 6 4007 9 x

Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e C. Se dobrarmos o nmero de dias, o nmero de peas tambm dobrar, Logo, as grandezas B e C so diretamente proporcionais.

Fixando a grandeza B, podemos

Apostila de Matemática geral

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