Apostila de matemática.pdf

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MATEMTICAMATEMTICAMaterial de apoio

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educacionalMaterial do professor

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cinciasCinciasMaterial de apoio

ExpedienteMarconi Ferreira Perillo JniorGovernador do Estado de Gois

Thiago Mello Peixoto da SilveiraSecretrio de Estado da Educao

Erick Jacques PiresSuperintendente de Acompanhamento de Programas Institucionais

Raph Gomes AlvesChefe do Ncleo de Orientao Pedaggica

Valria Marques de OliveiraGerente de Desenvolvimento Curricular

Gerncia de Desenvolvimento CurricularElaboradoresAbadia de Lourdes da CunhaAlexsander Costa SampaioAline Mrcia dos SantosCarlos Roberto BrandoDeusite Pereira dos SantosIncio de Arajo MachadoJnior Marques CarneiroLidiane Rodrigues da MataMrcio Dias de LimaMarlene Aparecida FariaMnica Martins PiresRegina Alves Costa FernandesSilma Pereira do Nascimento Vieira

SumrioApresentao ..............................................................................................................................................5Aula 01 Conjunto dos Nmeros Naturais (N) .......................................................................7Aula 02 Conjunto dos nmeros inteiros (Z) Operaes ........................................... 10Aula 03 Conjunto dos Nmeros Racionais (Q) Fraes ............................................. 14Aula 04 Conjunto dos nmeros racionais (Q) Nmeros Decimais Operaes .................................................................................................19Aula 05 Conjunto dos nmeros racionais (Q): Equivalncia de fraes ................. 23Aula 06 Conjunto dos nmeros racionais (Q) Converso ......................................... 27Aula 07 Conjunto dos Nmeros Irracionais ........................................................................ 30Aula 08 Conjunto dos Nmeros Reais (R) ......................................................................... 32Aula 09 Os nmeros racionais na reta numrica .............................................................. 35Aula 10 Potenciao: Definio ...............................................................................................37Aula 11 Potenciao: Propriedades .......................................................................................41Aula 12 Potncia com expoente negativo .......................................................................... 43Aula 13 Potenciao: expresses numricas ...................................................................... 46Aula 14 Decomposio em fatores primos .........................................................................48Aula 15 Radiciao: Definio / Extrao de raiz .............................................................. 50Aula 16 Radiciao (propriedades) ........................................................................................55Aula 17 Radiciao inexata .......................................................................................................58Aula 18 Relacionando potncias e radicais. ........................................................................60Aula 19 Resoluo de situaes problema envolvendo nmeros R ........................ 62Aula 20 Exerccios nmeros Reais .......................................................................................64Aula 21 Rotao de polgonos Propriedades ................................................................. 66Aula 22 Reflexo de polgonos Propriedades ................................................................. 70Aula 23 Translao de polgonos Propriedades ............................................................ 75Aula 24 Plano Cartesiano Ortogonal .....................................................................................79Aula 25 Construo de polgonos no plano cartesiano ................................................. 83Aula 26 Exerccios envolvendo polgonos ...........................................................................88Aula 27 Circunferncia e crculo: Definio e diferenas .............................................. 90Aula 28 Razo I ...............................................................................................................................94Aula 29 Razo II (situaes problema envolvendo razes em porcentagens) ....100Aula 30 Proporo .....................................................................................................................104

Aula 31 Proporo Propriedade .........................................................................................111Aula 32 Exerccios envolvendo razo e proporo ........................................................117Aula 33 Permetro de polgonos diversos ..........................................................................118Aula 34 rea de polgonos: quadrados e retngulos ...................................................123Aula 35 rea de polgonos Tringulos ............................................................................126Aula 36 rea de polgonos: paralelogramo ......................................................................131Aula 37 rea de polgonos: trapzio ...................................................................................135Aula 38 rea de polgonos: pentgono e hexgono ....................................................138Aula 39 rea de superfcie de figuras no planas: cubo, cilindro e paraleleppedo .........................................................................................................142Aula 40 Exerccios envolvendo a rea de superfcie de figuras no planas: cubo, cilindro e paraleleppedo, aplicados em avaliaes externas .......146Aula 41 Leitura de grficos e tabelas...................................................................................150Aula 42 Construir tabelas de dados estatsticos .............................................................155Aula 43 Construir grficos de frequncia de dados estatsticos coluna ............161Aula 44 Construo de grficos de frequncia de dados estatsticos barra .....166Aula 45 Construo de grficos de frequncia de dados estatsticos setores .........................................................................................................................172Aula 46 Concluses com base na leitura de grficos ....................................................177Aula 47 Relacionar grficos com tabelas ...........................................................................181Aula 48 Relacionar tabelas com grficos ...........................................................................187Aula 49 Concluses com base na leitura de tabelas .....................................................195

Apresentao

O Governo do Estado de Gois, por meio da Secretaria de Estado da Edu-cao (SEDUC), criou o Pacto pela Educao com o objetivo de avanar na oferta de um ensino qualitativo s crianas, jovens e adultos do nosso Estado. Assim, busca-se adotar prticas pedaggicas de alta aprendizagem.

Dessa forma, estamos desenvolvendo, conjuntamente, vrias aes, dentre elas, a produo deste material de apoio e suporte. Ele foi concebido tendo por finalidade contribuir com voc, professor, nas suas atividades dirias e, tam-bm, buscando melhorar o desempenho de nossos alunos. Com isso, espera-se amenizar o impacto causado pela mudana do Ensino Fundamental para o Mdio, reduzindo assim a evaso, sobretudo na 1 srie do Ensino Mdio.

Lembramos que a proposta de criao de um material de apoio e suporte sempre foi uma reivindicao coletiva de professores da rede. Proposta esta que no pode ser viabilizada antes em funo da diversidade de Currculos que eram utilizados. A deciso da Secretaria pela unificao do Currculo para todo o Estado de Gois abriu caminho para a realizao de tal proposta.

Trata-se do primeiro material, deste tipo, produzido por esta Secretaria, sendo, dessa forma, necessrios alguns ajustes posteriores. Por isso, contamos com a sua colaborao para ampli-lo, refor-lo e melhor-lo naquilo que for preciso. Estamos abertos s suas contribuies.

Sugerimos que este caderno seja utilizado para realizao de atividades den-tro e fora da sala de aula. Esperamos, com sua ajuda, fazer deste um objeto de estudo do aluno, levando-o ao interesse de participar ativamente das aulas.

Somando esforos, este material ser o primeiro de muitos e, com certeza, poder ser uma importante ferramenta para fortalecer sua prtica em sala de aula. Assim, ns o convidamos para, juntos, buscarmos o aperfeioamento de aes educacionais, com vistas melhoria dos nossos indicadores, proporcio-nando uma educao mais justa e de qualidade.

A proposta de elaborao de outros materiais de apoio continua e a sua participao muito importante. Caso haja interesse para participar dessas ela-boraes, entre em contato com o Ncleo da Escola de Formao pelo e-mail [email protected]

Bom trabalho!

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MateMtica

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aula 01

Conjunto dos Nmeros Naturais (N)Objetivo geral

Relembrar as quatro operaes (adio, subtrao, multiplicao, diviso) do conjunto dos nmeros naturais.

Conceito bsico

Os nmeros naturais surgiram da necessidade de fazer contagens, portanto, fica claro que tal conjunto formado pelos nmeros que utilizamos para contar. Representa-se o conjunto dos nmeros naturais por N:

0,1,2,3, ...N = " ,

A seguir faremos uma pequena reviso acerca das operaes de adio, subtrao, multiplicao e diviso trabalhadas no conjunto N.

Adio: a operao matemtica que permite juntar e/ou acrescentar quantidades. Tais quantidades so chama-das termos ou parcelas. A operao 2 936 + 4 652 = 7 588 indica uma adio.

Subtrao: a operao matemtica que permite retirar certa quantidade de outra. Tais quantidades, tambm, so chamadas termos ou parcelas. A operao 1527 1354 = 173 indica uma subtrao.

Multiplicao: a operao matemtica que permite adicionar quantidades iguais. O resultado de uma multiplicao chamado de produto. A operao 12 . 46 = 552 indica uma multiplicao.

Diviso: a operao matemtica que permite repartir um nmero em quantidades iguais. A operao 1554 37 42=' indica uma diviso.

Propriedades importantes da adio e da multiplicao

Quando trabalhamos com a adio ou a multiplicao de nmeros naturais existem algumas propriedades comuns que devem ser relembradas. So elas:

Comutativa: A ordem das parcelas no altera o resultado final da operao.

Adio: a b b a+ = +Exemplo: 5 + 7 = 12 e 7 + 5 = 12, portanto, 5 + 7 = 7 + 5.

O que devo aprender nesta aula

u Reconhecer a aplicao dos nmeros naturais e suas diferentes formas de utilizao no cotidiano.

u Reconhecer e aplicar as propriedades das operaes com nmeros naturais e perceb-las como facilitadoras na compreenso das tcnicas operatrias.

u Analisar, interpretar, formular e resolver situaes problema em diferentes contextos sociais e culturais.

MateMtica

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Multiplicao: a . b = b . aExemplo: 5 . 7 = 35 e 7 . 5 = 35, portanto, 5 . 7 = 7 . 5 = 35.

Associativa: O agrupamento das parcelas no altera o resultado.

Adio: (a + b) + c = a + (b + c) Exemplo: (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 e 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10, portanto, (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

Multiplicao: (a . b) . c = a . (b . c)Exemplo: (3 . 4) . 2 = 12 . 2 = 24 e 3 . (4 . 2) = 3 . 8 = 24, portanto, (3 . 4) . 2 = 3 . (4 . 2)

Observao: Quando temos uma expresso envolvendo parnteses, devemos realizar primei-ramente as operaes contidas em seu interior.

Expresso Numrica

Na expresso numrica, os sinais de associao devem seguir a ordem: os parnteses ( ) devem ficar dentro dos colchetes [ ], e estes, dentro das chaves { }.

Nesse caso, deve-se efetuar primeiro as operaes que esto entre parnteses, em seguida as operaes que esto nos colchetes e, finalmente, as que estiverem entre chaves.

Em relao as operaes matemticas devemos obedecer a seguinte ordem: multiplicao e/ou diviso e, em seguida, adio e/ou subtrao. Por exemplo:

( I )8 + 5 . 3 =8 + 15 =23

( II )

15 + [(3 . 6 - 2) - (10 - 6 : 2) + 1] =

15 + [(18 - 2) - (10 - 3) + 1] =

15 + [16 - 7 + 1] =

15 + [9 + 1] =

15 + 10 =

25

Atividades 01 Efetue cada uma das operaes a seguir:a) 487 + 965b) 1238 649

MateMtica

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c) 35 . 126d) 9114 : 62Sugesto de soluo:a) 1452; b) 589; c) 4410; d) 147.

02 Calcule o valor das seguintes expresses numricas:a) 50 {15 + [16 : (10 2) + 5 . 2]} =b) 70 [5 . (4 : 4) + 9] =c) 25 + {27 : 9 + [9 . 5 3 . (8 5)]} =d) 25 [27 (4 1 + 6 4)] = Sugesto de soluo:a) 23; b) 56; c) 64; d) 3.

03 Resolva os probleminhas a seguir:a) Um pai deixou de herana para seus 3 filhos uma coleo com 3.216 selos de diversos pases. Supondo uma divi-

so equilibrada, quantos selos cabero a cada filho? (Desenvolva o algoritmo da diviso).b) Antnio recebe R$ 35,00 de mesada de seu pai. Quanto ele ter recebido depois de 1 ano e meio?c) Maria levou R$ 20, 00 para fazer compras no supermercado. Ela gastou R$ 5,00 com bolachas e chocolates e R$

9,00 com produtos de limpeza. Quantos reais sobraram para Maria?d) Um funcionrio precisa colocar 336 latas de refrigerantes em caixas de papelo. Se em cada caixa cabem 16 latas,

quantas caixas sero necessrias para armazenar todas as latas de refrigerante?Sugesto de soluo:a) 1 072 selos; b) R$ 630,00; c) R$ 6,00; d) 21 caixas.

DesafioSabendo que Tiago tem uma coleo composta por 396 figurinhas, responda:a) Se Tiago dividir suas figurinhas com seu primo Mateus em duas partes exatamente iguais, quantas

figurinhas ter cada um?b) Se Tiago triplicar sua coleo a nova quantidade corresponder a que valor?c) Caso o pai de Tiago lhe d mais 89 figurinhas qual ser a nova quantidade obtida por ele?d) Se Tiago der 129 figurinhas a Lucas, quantas figurinhas lhe sobraro?Sugesto de soluo:a) 198; b) 1 188; c) 485; d) 267.

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aula 02

Conjunto dos nmeros inteiros (Z) OperaesObjetivo Geral

Interpretar e resolver situaes problema envolvendo operaes com nmeros inteiros.

Conceitos Bsicos

O conjunto dos nmeros inteiros (Z )

encontra-se presente em diversas situaes do dia-a-dia, principalmente quando apresentam o envolvimento de nmeros negativos. formado pela unio do conjunto dos nmeros naturais com os seus simtricos em relao ao zero. Portanto, formado por nmeros positivos e negativos:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Dois nmeros so ditos simtricos quando sua soma for igual a zero. Portanto, dizemos que os nmeros negativos (-1, -2, -3, ...) so simtricos dos nmeros naturais, uma vez que:

1 + (-1) = 0, 2 + (-2) = 0, 3 + (-3) = 0

Operaes com Nmeros Inteiros

As operaes que envolvem os nmeros inteiros requerem a utilizao de regras matemticas envolvendo os sinais positivos (+) e negativos (). Para isso necessrio que fique claro que operao matemtica est sendo desenvolvida: adio ou multiplicao.

Adio de nmeros inteiros

importante perceber que a expresso adio de nmeros inteiros utilizada quando h a sequenciao de nmeros positivos e negativos sem que haja as operaes de multiplicao e/ou diviso. Para isso importante observar se as parcelas serem operadas possuem sinais iguais ou diferentes. Assim:


u Reconhecer a importncia das operaes que envolvem nmeros reais, inclusive potenciao e radiciao, para a resoluo de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais.

u Utilizar as propriedades das operaes com nmeros reais como facilitadoras da resoluo de situaes problema.

u Criar e resolver situaes problema que envolvem nmeros reais ampliando e consolidando os significados das operaes adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao e radiciao.

MateMtica

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Se as parcelas possurem sinais iguais o resultado final ter o mesmo sinal das parcelas e ser obtido a partir da adio das mesmas, no importando se ambas forem positivas ou negativas. Observe:

a) 20 25 45- - =-

b) 32 17 32 17 49 49+ =+ + =+ =

Se as parcelas possurem sinais diferentes o resultado final ter o sinal da parcela que possuir o maior valor absoluto e ser obtido a partir da subtrao das mesmas. Observe:

a) 25 45 45 25 20- + =+ - =+^ h

b) 38 51 (51 38) 13- =- - =-

Multiplicao e ou diviso de nmeros inteiros

Para operarmos a multiplicao ou a diviso de dois nmeros inteiros assim como na adio de nmeros inteiros inicialmente necessrio perceber o sinal das parcelas serem operadas. Assim:

O produto ou o quociente de duas parcelas que possuem o mesmo sinal um nmero positivo.

a) ( 6) ( 18) 108 108- - =+ =$

b) 5) (9) ( 5) ( 9) 45 45( = + + =+ =$ $

c) ( 90) ( 15) 6 6- - =+ ='

d) (170) (17) ( 170) ( 17) 10 10= + + =+ =' '

O produto ou quociente de dois nmeros de sinais diferentes um nmero negativo.

a) ( 8) ( 9) 72- + =-$

b) ( 7) ( 13) 91+ - =-$

c) ( 45) ( 5) 9- + =-'

d) ( 100) ( 10) 10+ - =-'

Atividades 01 Uma microempresa representou em um grfico seus resultados do segundo semestre do ano.

MateMtica

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Ateno: Os nmeros positivos indicam o lucro da empresa e os negativos indicam o prejuzo da empresa.

Analisando os dados do grfico responda:a) Em quais meses a microempresa teve lucro?b) Em quais meses a microempresa teve prejuzo?c) Em qual ms a microempresa apresentou o pior resultado? Porque?d) Qual foi o lucro mdio nesses semestre?e) Contabilizando o lucro e o prejuzo total desta empresa nos seis meses apresentadas determine se a

empresa terminou com saldo positivo ou negativo? Qual foi o montante deste saldo?Sugesto de soluo: a) Nos meses de agosto, outubro e dezembro.b) Nos meses de julho, setembro e novembro.c) No ms de novembro.d) Lucro. 12 milhes.e) 2 milhes.

MateMtica

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02 Observe o saldo bancrio de Gabriel relativo aos meses de maro a junho.Ms saldo Maro + R$ 800,00Abril + R$ 250,00Maio - R$ 150,00Junho - R$ 950,00

Qual o saldo do Gabriel ao final desses quatro meses?Sugesto de soluo:

- 50 reais

03 Imagine uma sequncia numrica onde o primeiro termo o nmero (8). Ento:a) Determine o segundo termo desta sequncia sabendo que ele o dobro do primeiro mais quatro.b) Determine o terceiro termo desta sequncia sabendo que ele igual ao triplo do primeiro termo menos dez.c) Determine o quarto termo desta sequncia sabendo que ele igual ao qudruplo do primeiro menos cinco.d) Determine o sexto termo desta sequncia sabendo que ele igual ao quntuplo do primeiro dividido por

menos quatro (-4).Sugesto de soluo:

a) -12; b) -34; c) -37; d) 10.

04 Em uma operao onde o resto 0 e o dividendo + 72 , o quociente - 8. Qual o divisor?Sugesto de soluo:

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DesafioEm um campeonato de damas ficou estabelecido o seguinte critrio de pontuao:

Vitria + 5 pontosEmpate + 3 pontosDerrota - 2 pontos

Paulo terminou a primeira fase do campeonato com 30 pontos e, na segunda fase atingiu 3 vitrias, 1 empate e 2 derrotas. Marcos, por sua vez, terminou a primeira fase do campeonato com 32 pontos e, na segunda fase atingiu 1 vitria, 2 empates e 3 derrota.

MateMtica

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Responda:a) Quantos pontos Paulo e Marcos alcanaram, respectivamente, ao final da 2 fase do campeo-

nato?b) Quem foi o ganhador?

Sugesto de soluo: a) Paulo 44 pontos e Marcos 37 pontos.b) Paulo.

aula 03

Conjunto dos Nmeros Racionais (Q)FraesObjetivo Geral

Compreender a ideia de frao (parte-todo), razo e diviso;

Efetuar clculos e resolver situaes problema que envolvam as operaes com nmeros racionais na forma fracionria.

Conceito bsico

Os nmeros racionais so os que podem ser escritos na forma de frao

b

a , em que a e b so nmeros inteiros e b ! zero.

O conjunto dos nmeros racionais (representado por Q ) definido por:

e; 0b

aa b bQ Z Z !! != $ .

Em outras palavras, o conjunto dos nmeros racionais formado por todos os quocientes de nmeros inteiros a e b, em que b no nulo. Exemplos:

103 (l-se: trs dcimos) 0 ( o mesmo que

10 )


u Compreender as fraes e utiliz-las em situaes diversas.

u Formular e resolver situaes problema que envolva a ideia de frao (parte-todo) e tambm de razo e diviso.

MateMtica

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54 (l-se: quatro quintos) - 3 ( o mesmo que

13- )

2013 (l-se: treze vinte avos)

58- ( o mesmo que

58- )

Frao

Frao a parte de um todo. Em sua representao h o numerador e o denominador.

Significado

Numerador

Nmero colocado acima do trao que indica quantas partes da unidade foram tomadas.

Denominador

Nmero colocado abaixo do trao que indica em quantas partes iguais a unidade foi dividida.

Exemplo 1:Observe a figura:

Ela representa uma pizza dividida em 8 pedaos iguais.

Cada pedao representa uma frao da pizza, que indicado

por 81 .

Como foram colocados em destaque dois pedaos, podemos

repre sent-los pela frao 82 .

Exemplo 2:Joo pegou na biblioteca da escola um livro de 34 pginas para ler. At o momento Joo leu

22 paginas.

Qual a frao que representa o nmero de pginas que Joo leu?

Para a resoluo do problema, temos que identificar o conjunto universo, que neste caso o total de pginas do livro, ou seja, 34.

O total de pginas lidas por Joo 22.Logo a frao correspondente s pginas lida ser:

3422 .

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Operaes com fraes

Adiao e subtrao

Dividiu-se um hexgono em 6 partes iguais e pintou-se de vermelho 2 dessas partes, e de rosa, outras 3, conforme figura abaixo.

Nesta condio podemos dizer que 62 do hexgono est pintado de vermelho e

63 est pintado

de rosa.Assim, observando a figura temos que das 6 partes do hexgono, 5 esto pintadas.

Logo podemos dizer que no total, 65 do hexgono est pintado.

Conclumos que: 62

63

65+ =

Na soma ou subtrao de fraes com denominadores iguais, basta conservar o denominador e operar os numeradores (somar ou subtrair).

Exemplos:

a) 113

118

1111 (ou seja, 1 inteiro)+ = b) 17

2177

179+ =

c) 62

63

61- + = d)

95

93

92- =

e) 53

54

51- =-

Multiplicao e diviso

Observe a figura a seguir:

MateMtica

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Considerando o triplo da rea pintada da figura acima teremos:

Assim, a parte pintada corresponde a 86 do retngulo. Logo, 3 8

286=$ .

Lembre-se que todo numero inteiro pode ser escrito na forma de frao, assim 3 13= .

Logo, 13

82

86=$ , pois, 1 8

3 286=

$

$ .

O resultado de uma multiplicao entre duas fraes uma frao cujo numerador o produto dos numeradores e cujo denominador o produto dos denominadores.

Para dividir duas fraes, temos que:

O quociente de uma frao por outra igual ao produto da primeira frao pelo inverso da segunda frao.

Exemplos:

23

45

23

54

1012=&' '

52

31

52

13

56=&' '

Atividades 01 Observe as figuras abaixo

Que frao a parte pintada representa em cada figura? Escreva por extenso.

Sugesto de soluao:

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02 A me de Fabrcio fez um delicioso bolo. Ela tinha uma dzia de ovos, e, para fazer o bolo utilizou 4 ovos. Que frao representa os ovos que sobraram? Qual o denominador dessa frao? E o numerador?Sugesto de soluo12 4 = 8 A frao que representa os ovos que sobraram :

128 .

O denominador 12, e o numerador 8.

03 Calcule

a) 51

42

$ = b) 32

53

$ = c) 23

65

' =

Sugesto de soluo:

a) 51

42

202

$ = b) 32

53

156

$ = c) 23

56

1018

$ =

04 Amanda tem 15 anos. A idade de sua prima 52 de sua idade.

Quantos anos tem a prima de Amanda?

Sugesto de soluo:

52 de 15 = 15 : 5 = 3, 2 partes equivale a 6.

A prima de Amanda tem 6 anos.

05 Maurcio leu 15 pginas de uma revista. Desse modo, Maurcio leu 53 da revista. Quantas pginas tem a revis-

ta de Maurcio?

Sugesto de soluo: A revista tem 25 pginas.

06 Efetue a seguinte operao:

a) 32

21

76

72

73

' $ - + =` j8 B$ .Sugesto de soluo:

32

21

76

75

' $ - =8 B$ .32

21

71

' $ =$ .

32

141

32

114

328

' $= =

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DesafioMarina ganhou certa quantia de dinheiro de sua me, dessa quantia ela gastou

52 comprando chocola-

tes. Do que sobrou, ela gastou 21 com pirulitos.

Que frao do dinheiro que Marina ganhou foi gasto com pirulitos?

Sugesto de soluo: 103

aula 04

Conjunto dos nmeros racionais (Q)Nmeros Decimais OperaesObjetivo Geral

Operar com nmeros decimais e resolver situaes problema do cotidiano envolvendo as operaes com nmeros decimais.

Conceito bsico

Um nmero dito decimal quando apresentar uma vrgula em sua escrita. Por exemplo 3,7 .

Para ler o nmero escrito na forma decimal primeiramente faz-se a leitura do nmero como se no existe vrgula. Assim, no nmero 14,2 l-se cento e quarenta e dois.

O passo seguinte especificao da parte decimal. Para isso basta seguir as seguintes orientaes:

Se houver apenas um nmero aps a vrgula ser usada a expresso dcimos.

u 1,4 (l-se: quatorze dcimos)

Se houverem dois nmeros aps a vrgula ser usada a expresso centsimos.

u 1,13 (l-se: cento e treze centsimos)





MateMtica

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Se houverem trs nmeros aps a vrgula ser usada a expresso milsimos.u 2,075 (l-se: dois mil e setenta e cinco milsimos).

vlido salientar que todo nmero escrito na forma de frao pode ser escrito como decimal. Para isso basta dividir o numerador pelo denominador. Veja os exemplos:

103 0,3= 9

11 1,22222.......- =-

54 0,8= 100

71 0,71=

2013 0,65= 5

8 1,6=

Este processo extremamente importante para auxiliar na localizao de um nmero racional na reta numrica.

Para transformar um nmero decimal em uma frao decimal, escreve-se uma frao cujo numerador o numero decimal sem vrgula, o denominador ser o algarismo um (1) seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais do nmero decimal dado.

Exemplos:

1,22 100122= 0,013 1000

13= 0,3 103=

duas casas dois zeros

Comparando dois nmeros decimais

Para comparar dois nmeros decimais necessrio, primeiramente, igualar as casas decimais dos dois, acrescentando zeros direita do nmero que possuir menor quantidade de algarismos.Em seguida, preciso eliminar a vrgula de ambos. Aps o desenvolvimento destas duas etapas faz-se a comparao dos produtos finais.

Exemplos: Vamos comparar os nmeros 0,197 e 0,0987, usando os sinais: < (menor), > (maior) ou = (igual).

0, 0987 0, 1970S S 4 casas acrescenta-se um zero para igualar as casas decimais com o outro nmero

Elimina-se a vrgula dos dois nmeros e os compara:

987 e 1970 " 987 < 1970.

Logo, 0,0987 < 0,197

MateMtica

21

Operaes com nmeros decimais

Adio e subtrao

Para somar ou subtrair dois nmeros decimais, primeiramente, preciso acrescentar quantos zeros forem precisos para igualar o nmero de casas decimais de ambos:

2,7 3,0456+

2,7 3,0456 2,7 3,0 2,7 3,0456456 000

3 casas a mais 3 casas completadas com o 0

+ + +" "S SMesma quantidade de casas decimais

2, 7000 3, 0456+6 7 8444 444? ?

O passo seguinte ser a organizao do algoritmo de forma que ambos fiquem com suas respectivas vrgulas uma embaixo da outra.

Vrgula debaixo de vrgula

2,7000

3,0456+

.

Desta forma realiza-se a operao identificada (adio ou subtrao) colocando o resultado com sua respectiva vrgula alinhada com as anteriores.

Vrgula debaixo de vrgula

2,7000

3,04565,7456

+

.

Multiplicao

Para multiplicar dois nmeros decimais primeiramente multiplica-se ambos omitindo a vrgula do processo.

3,21

2,41284

6427704

+

#

No resultado obtido coloca-se a vrgula na casa decimal correspondente ao resultado da soma das casas decimais das parcelas da multiplicao.

MateMtica

22

3,21

2,41284

6427 704

+

#

3,21

2,41284

642

7,704

+

#

Diviso

O procedimento inicial para dividir dois nmeros decimais assemelha-se ao utilizado na adio e subtrao de nmeros decimais uma vez que necessrio igualar as casas decimais das parcelas.

Assim, para dividir o nmero 4,7 pelo nmero 2,35 ser necessrio igualar a quantidade de casas decimais do primeiro nmero com a quantidade de casas decimais do segundo.

Portanto,

4,7 2,35 4, 7 2, 35 4, 70 2, 35 4,70 2,35"" "? ? ? ?

A etapa seguinte consiste em eliminar as vrgulas de ambas as parcelas (dividendo e divisor) e desenvolver o algoritmo da diviso.

4,70 2,35 470 235"

Atividades 01 Efetue as operaes a seguir:

a) 2,47 + 0,0165 e) 32,51 + 0,4b) 3 1,276 f ) 13,31 2,3c) 4 x 2,195 g) 5,2 x 2,3d) 66 : 2,2 h) 4,50 : 1,5

Sugesto de soluo:a) 2,4865; b) 1,724; c) 8,78; d) 30; e) 32,91; f ) 11,01; g) 11,96; h) 3.

Uma casa decimal

Duas casas decimais

Mesma quantidadede casas decimais

""

Duas casas aps a vrgula

Uma casa aps a vrgulaTotal de trs casas decimais

MateMtica

23

02 Dona ngela foi ao supermercado fazer compras e levou consigo R$ 50,00. Comprou 3 latas de milho que custam R$ 1,15 cada uma, 1 pacote de macarro que custa R$ 2,10 e 2 kg de carne que custam R$ 9,80 cada quilo.

a) Quanto ela gastou no supermercado?b) Com o total do troco dona ngela comprou 3,5 metros de tecido par fazer cortinas. Quanto custa o metro

desse tecido?Sugesto de soluo:

a) R$ 25,15; b) R$ 7,10.

03 Uma fbrica de refrigerantes produz 55 litros de refrigerante por hora e deseja encher garrafas com 2,5 litros cada uma. Quantas garrafas sero utilizadas em uma hora?Sugesto de soluo:

22 garrafas

Desafio(UFRJ) Em uma viagem ao exterior o carro de um turista brasileiro consumiu, em uma semana, 50 gales de gasolina, a um custo total de 152 dlares. Considere que um dlar, durante a semana da viagem, valia 1,60 reais e que a capacidade do galo de 3,8 L.Durante essa semana, o valor, em reais, de 1 L de gasolina era de:a) 1,28 b) 1,40c) 1,75d) 1,90Sugesto de soluo:Letra a

aula 05

Conjunto dos nmeros racionais (Q): Equivalncia de fraesObjetivo geral

Relembrar o conceito de fraes equivalentes.

MateMtica

24

Conceito bsico

Pode-se falar que duas ou mais fraes so equivalentes se estas representam a mesma quantidade de uma grandeza.

Observe que nas duas figuras a parte pintada a mesma.

Da, conclui-se que as fraes 42 e

21 representam a

mesma quantidade, logo, so fraes equivalentes, e podem

ser indicadas como: 42

21= , ou,

42

21

+ .

Portanto, dizemos que duas ou mais fraes so equivalentes quando corresponderem mesma quantidade.

Exemplo:Ana e Maria ganharam duas pizzas do mesmo tamanho. Ana dividiu sua pizza em 8 partes

iguais e comeu 4 delas. Maria dividiu a sua em 4 partes iguais e comeu duas partes. Quem comeu mais pizza?





MateMtica

25

A partir das ilustraes fica perceptvel que 42 e

84 representam a mesma quantidade, logo,

as fraes so equivalentes. Podemos concluir, ento, que ambas comeram a mesma quantidade de pizza.

Para saber se duas fraes so equivalentes, h um mtodo extremamente simples: basta multiplicar o numerador da primeira frao pelo denominador da segunda frao e multiplicar o denominador da primeira frao pelo numerador da segunda frao. Se os resultados obtidos forem iguais conclui-se que as fraes so equivalentes.

Exemplos:Verifique se cada um dos pares de fraes a seguir so equivalentes:

a) 42 e 8

4 .

42

84

2 8 4 4 16 16= ="$ $

Como os resultados foram iguais (16 = 16) temos que as fraes so equivalentes.

Logo, 42

84

+ .

b) 129 e 8

6 .

129

86

9 8 6 12 72 72= ="$ $

Como os resultados foram iguais (72 = 72) temos que as fraes so equivalentes.

Logo, 129

86

+ .

c) 21 e 6

4 .

21

64

1 6 2 8 6 8= ="$ $

Como os resultados foram diferentes (6 8! ) temos que as fraes no so equivalentes.

MateMtica

26

Simplificao de fraes

Simplificar uma frao implica em dividir seus termos (numerador e denominador) por um mesmo nmero diferente de zero. importante perceber que haver situaes em que os termos tero mais de um divisor comum. Por exemplo, a frao

2418 onde tanto numerador como o

denominador so mltiplos de 2, 3 e 6. Por conta disso importante simplificar a frao at que ela fique na sua forma irredutvel,

ou seja, at que no seja mais possvel encontrar um nmero que divida seus termos ao mesmo tempo.

Exemplos:Simplifique as fraes a seguir at sua forma irredutvel:

a) 90 260 2

45 330 3

15 510 5

32= = =

'

'

'

'

'

'

b) 126 284 2

63 342 3

21 714 7

32= = =

'

'

'

'

'

'

Atividades 01 Simplifique cada uma das fraes a seguir at torn-las irredutveis.

a) 8154

b)

180150

c) 600512

d)

175125

Sugesto de soluo:

a) a)32

; b)65

; c)7564

; d)75.

02 Verifique quais dos pares de fraes so equivalentes:

a) 2436

e 2436

b)

6036

e 7050

c) 125100

e 500400

d)

57 e

6084

Sugesto de soluo:a) no; b) no; c) sim; d) sim.

03 Marque V se a afirmativa for verdadeira e F se a afirmativa for falsa.

a) ( ) A frao 3530 encontra-se em sua forma irredutvel.

MateMtica

27

b) ( ) As fraes 9386

e 6356 so equivalentes.

c) ( ) Se simplificar a frao 10884 por 2 e o resultado obtido por 3, a nova frao ser igual a

1814 .

d) ( ) A forma irredutvel da frao 140136 igual a

3534 .

Sugesto de soluo:a) F; b) F; c) V; d) V.

DesafioDetermine trs fraes equivalentes forma irredutvel

97 .


;2721

;4535

aula 06

Conjunto dos nmeros racionais (Q) ConversoObjetivo geral

Compreender e transformar frao em nmeros decimais e vice-versa.

Conceito bsico

Em nosso dia a dia nos deparamos com nmeros escritos na forma de frao e precisamos transform-los em nmeros decimais para facilitar a resoluo de diversas situaes problema.

Exemplo 1:

Mrcio passou R$10,00 para que seus 20 sobrinhos dividissem em partes iguais. Quanto cada um ganhou?




MateMtica

28

Sugesto de soluo:Total em dinheiro: R$ 10,00Quantidade de sobrinhos: 20

100 20

100 0,5

0

Portanto, cada sobrinho ganhar R$ 0,50.

Exemplo 2:Efetue a diviso e escreva na forma decimal

a) 1032 3,2= b) 100

125 1,25=

c) 10005 0,005= d) 1000

28 0,028=

e) 10005 0,005=

Atividades 01 Represente a frao decimal

100121 na forma decimal.

Sugesto de soluo:1,21

02 Represente cada uma das fraes na forma decimal.

a) 102 b)

1035 c)

10518

d) 10

3 148 e) 10068 f )

100448

g) 1002 634 h)

1000538 i)

10005 114

j) 10008 356 l)

10 0004 761 m)

10 00015 832

Sugesto de soluo:a) 0,2; b) 3,5; c) 51,8; d) 314,8; e) 0,68; f ) 4,48; g) 26,34; h) 0,538; i) 5,114; j) 8,356; l) 0,4761; m) 1,5832.

MateMtica

29

03 Represente os nmeros decimais em fraes:a) 0,3 = b) 5,3 = c) 6,99 = d) 0,654 = e) 4,336 =

Sugesto de soluo:

a) 103 b)

1053 c)

100699

d) 1000654 e)

10004 336

DesafioObserve as fraes e suas respectivas representaes decimais.I. 10003

0,003=

II. 1002 367

23,67=

III. 10 000129

0,0129=

IV. 10267

2,67=

Analisando as igualdades apresentadas, escolha a alternativa que expressa as representaes corretas.a) I e IIb) I e IVc) I, II e IIId) I, II, III e IVSugesto de soluoLetra c.

MateMtica

30


u Reconhecer que a unio dos nmeros Racionais e Irracionais constitui o conjunto dos nmeros Reais.

u Reconhecer um nmero irracional.

u Criar e resolver situaes problema que envolve nmeros irracionais.

aula 07

Conjunto dos Nmeros IrracionaisObjetivo Geral

Ampliar os conceitos sobre o conjunto dos nmeros irracionais bem como suas operaes.

Conceito Bsico

Os nmeros irracionais so os nmeros que no podem ser representados pela diviso de dois inteiros; ou seja, so nmeros reais, mas no so racionais. O conjunto dos nmeros irracionais representado por alguns autores pelo smbolo I .

Sendo assim, representando a ideia expressa ante rior-mente em forma de diagrama temos:

Exemplos de nmeros irracionais. r , { , p , onde p um nmero primo.

Observao: a raiz quadrada de qualquer nmero primo um nmero irracional.

Atividades 01 Observe os nmeros escritos no quadro a seguir

MateMtica

31

4 3600

3

36 17

Quais desses nmeros so racionais e quais so irracionais?Sugesto de soluo

Racionais: 4 2= ; 36 6= ; 3600 60= ; Irracionais: 3 ; 17 , pois 3 e 17 so primos.

02 O nmero irracional r est compreendido entre os nmeros:a) 0 e 1 b) 1 e 2c) 2 e 3 d) 3 e 4

Sugesto de soluo: d.

03 Considere a expresso: 3 2 4 2 2 3 3- + - Qual das alternativas corresponde ao resultado simplificado desta expresso?a) 0b) 4 4 4 2 3 3- -c) 3 3-d) no tem como simplificar esta expresso

Sugesto de soluo: Letra c.

DesafioEscreva quatro nmeros irracionais que estejam compreendidos entre 1 e 10Sugesto de soluoExistem infinitos nmeros irracionais entre 1 e 10, como exemplo, podemos citar um nmero bem famoso:

3,14 ; 3 ; 5 ; 7 ; e 8 .,r

MateMtica

32



u Identificar cada nmero real com um ponto da reta e vice-versa.



aula 08

Conjunto dos Nmeros Reais (R) Objetivo Geral

Conhecer a definio conceitual de nmeros reais

Conceito Bsico

O conjunto dos nmeros reais R determinado pela unio do conjunto dos nmeros racionais com o conjunto dos nmeros irracionais.

Como j estudamos nas aulas anteriores:

N " simboliza o conjunto dos Nmeros Naturais

, , , , , ...0 1 2 3 4 5N = " ,

Z " simboliza o conjunto dos Nmeros Inteiros

... , 3, 2, 1, 0,1, 2, 3...Z = - - -" ,

Q " simboliza o conjunto dos Nmeros Racionais

... , 3, 25 , 2, 1,0, 5

3 ,1, 2, 3...Q = - - - -' 1

Observao: usaremos o smbolo I para representar o conjunto dos Nmeros Irracionais

Assim, I o conjunto formado pelos nmeros que no podem ser representados na forma de uma frao, ou seja, no podem ser obtidos pela diviso de dois nmeros inteiros. Ento podemos falar que os irracionais so nmeros decimais infinitos e no peridicos.

Exemplos:2, 3 , e .r

R " simboliza o conjunto dos Nmeros Reais

R Q I,=

Representando os conjuntos na forma de diagrama temos:

MateMtica

33

Na reta numrica o conjunto dos nmeros reais pode ser representado da seguinte forma:

Quando trabalhamos com operaes no campo dos nmeros reais nos retratamos das operaes revisadas anteriormente no conjunto e, , ,N Z I Q R .

Veja o seguinte exemplo que retrata operaes no campo dos nmeros reais:

Calcule e descubra o valor do resultado das seguintes operaes:

a) 3 3 2 3+ = b) 0 1+ =

c) 3 3 =$ d) 218 =

Sugesto de soluo

a) 5 3 b) 1 c) 9 3= d) 218

9 3= =

Atividades 01 Seja o conjunto B 3 , 13 , 16 , 25 , 30 , 64 .= " ,

a) Quais desses nmeros so naturais?b) Quais desses nmeros so racionais?c) Quais desses nmeros so irracionais?d) Quais desses nmeros so reais?

Sugesto de soluoa) 16 , 25 , 64 , pois so razes quadradas exatas.b) 16 , 25 , 64 , pois todo nmero natural tambm um nmero racional.c) 3 , 13 , 30 , so irracionais, pois se trata de raiz quadrada no exata.d) 3 , 13 , 16 , 25 , 30 , 64 , todo nmero racional ou irracional faz parte do conjunto dos nmeros reais.

02 O valor numrico da expresso x2 3x + y + 9 para x = 6 e y = 5 indica a idade da professora Rita. Faa os clculos e descubra quantos anos a professora Rita tem.

Sugesto de soluoSubstituindo os valores de x e y na expresso temos:

MateMtica

34

x2 3x + y + 9 = 62 3.6 + 5 + 9 = 36 18 + 5 + 9 = 32.Portanto, a professora Rita tem 32 anos.

03 Indique corretamente a localizao dos nmeros reais a seguir na reta nmrica:

3 r -3,4 51- 2

3-

Sugesto de soluoDistribuindo esses nmeros na reta numrica temos:

04 O nmero 51 um nmero pertencente ao conjunto dos nmerosa) naturais b) inteiros c) racionais d) reais

Sugesto de soluoComo j sabemos o nmero 51 no possui raiz quadrada exata, logo um nmero irracional e todo nmero irracional pertence ao conjunto dos nmeros reais. Alternativa d.

DesafioDetermine o que se pede na tabela a seguir:01 Escreva cinco nmeros naturais (N )02 Escreva cinco nmeros inteiros positivos (Z+)03 Escreva cinco nmeros inteiros negativos (Z- )04 Escreva cinco nmeros Racionais (Q ) 05 Escreva cinco nmeros irracionais (I )06 Escreva cinco nmeros Reais (R )

MateMtica

35

aula 09

Os nmeros racionais na reta numricaObjetivo geral

Possibilitar ao estudante a ampliao sobre o conjunto dos nmeros racionais, relacionando-os com outros conjuntos e representando-os na reta numrica.

Conceito bsico

Um nmero dito racional quando puder ser escrito na

for ma fracionria ba , sendo a (numerador) e b (denominador)

nmeros inteiros e o b ser, obrigatoriamente, diferente de zero. Sendo assim, o quociente dessa diviso tambm ser denominado nmero racional.

Portanto,

Todo nmero natural (N ) um nmero racional uma vez que qualquer natural n escrito na forma

1n .

Ex: 3 13 e 15 1

15 .= =

Todo nmero inteiro (Z ) um nmero racional uma vez que qualquer inteiro n escrito na forma

1n .

Ex: 7 17

17 e 26 1

26126- = - =- - = - =- .

Todo nmero escrito na forma decimal, tambm, um nmero racional, uma vez que todo nmero decimal pode ser escrito na forma , com e , com .

ba

a b b 0Z !!` j

Ex: 1,8 1018 e 0, 6 3

2= = .

O conjunto dos nmeros racionais formado pelos nmeros racionais positivos e negativos, juntamente com o zero. Este conjunto representado pela letra (Q ), por ser a letra inicial da palavra quociente.


u Identificar cada nmero real com um ponto da reta e vice-versa.

MateMtica

36

Atividades 01 A professora Raquel escreveu os seguintes alguns nmeros no quadro, conforme mostra a figura a seguir.

Quais dos nmeros escritos pela professora Raquel so racionais:a) inteiros? b) escritos na forma decimal? c) escritos na forma fracionria?

Sugesto de soluoa) 1, +4, +6 e 12 b) -2,1; 0,11 e +3,5 c)

51

e53- +

02 Escreva a quais conjuntos (IN, Z ou Q) pertencem os nmeros:

a) 6 b) + 8 c) 53+ d) 5,9 e) 32

Sugesto de soluoa) Z e Q b) IN, Z e Q c) Q d) Q e) IN, Z e Q

03 Observe a reta numrica a seguir e indique:

a) O ponto que corresponde ao nmero 43+ .

b) O nmero racional que corresponde ao ponto N.c) O nmero racional que corresponde ao ponto X.d) O ponto que corresponde ao nmero 1

42- .

e) O ponto que corresponde ao nmero 3.

Sugesto de soluoa) Z b)

47

ou 143 c)

411

ou 243- - d) T e) X

MateMtica

37

DesafioSe necessrio, troque ideias com seus colegas e complete a tabela com nmeros racionais, substituindo o smbolo por nmeros que tornam as igualdades verdadeiras.

Sugesto de soluo

aula 10

Potenciao: DefinioObjetivo geral

Recordar os conceitos de potenciao com expoente inteiro no negativo e base real diferente de zero.

Conceito bsico

e... ,a a a a a a n

n vezes

R Zn

-

$ $ $ $ ! !=1 2 3444 444

A potenciao a operao matemtica que envolve o produto de fatores iguais. Denominaremos por

an ) potncia a ) base n ) expoente.

Numa potenciao, o expoente indica quantas vezes a base ser multiplicada.





MateMtica

38

Note que o expoente n um nmero inteiro. Iremos trabalhar inicialmente com valores positivos para n.

Exemplo: Calcular o valor de 54.

5 5 5 5 5 6254 = =$ $ $

Expoente maior que 1.

Vejamos o exemplo:

a) Calcular 25.

2 ) base 5 ) expoente 25 ) potncia 2 2 2 2 2 )$ $ $ $ fatores

2 2 2 2 2 2 325 = =$ $ $ $

Perceba que o expoente indica quantas vezes a base ser multiplicada.

b) Calcular 5 3-^ h

5- )^ h base 3 ) expoente 5 3- )^ h potncia 5 5 5- - - )$ $^ ^ ^h h h fatores

5 5 5 125$ $- - - =-^ ^ ^h h h

Observao: Professor, lembre-se nesse momento da importncia de relembrar as operaes com sinais.

Expoente igual a 1.

Como o expoente indica quantas vezes a base ser multiplicada, ento se o expoente igual a 1, a potncia ser igual base.

Vejamos os exemplos:

7 71 =

7 ) base 1 ) expoente 71 ) potncia

12 121- =-^ h

12- )^ h base 1 ) expoente 12 1- )^ h potncia

Deste modo, podemos afirmar que todo nmero elevado a igual ao prprio nmero.

Expoente igual a 0

Todo nmero no nulo elevado a zero igual a 1.

MateMtica

39

Exemplo: 20 = 1, 30 = 1 e 50 = 1.

Vejamos como isso acontece:

26 = 64 36 = 729 56 = 15 625

25 = 32 35 = 243 55 = 3 125

24 = 16 34 = 81 54 = 625

23 = 8 33 = 27 53 = 125

22 = 4 32 = 9 52 = 25

Observe que quando o expoente igual a 1, o resultado a prpria base, que pode ser obtido utilizando a mesma estratgia acima.

21 = 2 31 = 3 51 = 5

Seguindo o processo de diviso, conclumos que todo nmero no nulo elevado a zero igual a 1. No podemos esquecer que a base tem que ser diferente de zero uma vez que 00 gera uma indeterminao.

20 = 1 30 = 1 50 = 1

Atividades 01 Calcule as seguintes potncias:

a) 24 b) (-3)2 c) (-5)1

d) 70 e) (-12)3 f ) 43 2` j

g) 52 4-` j h)

103 5-` j i) 1,24

j) -(-0,2)2

Sugesto de soluo:a) 16; b) 9; c) -5; d) 1; e) -1 728; f )

169 ; g)

62516 ; h)

100 000243- ; i) 1,44 j) -0,04

02 Uma das maneiras de obter a medida da rea do quadrado atravs da frmula l2, onde l indica a medida do seu lado. Nessas condies, qual a medida da rea do quadrado, quando o lado mede

a) 3 cm. b) 2,5 m.c) 3 km. d) 7 m.e) 9,3 m.

2'

2'

2'

2'

MateMtica

40

Sugesto de soluo:a) A = 9 cm2. b) A = 6,25 m2. c) A = 9 km2.d) A = 49 m2. e) A = 86,49 m2.

03 Responda:a) Se a base tem sinal positivo e expoente par, qual ser o sinal da potncia?b) Se a base tem sinal positivo e expoente mpar, qual ser o sinal da potncia?c) Se a base tem sinal negativo e expoente par, qual ser o sinal da potncia?d) Se a base tem sinal negativo e expoente mpar, qual ser o sinal da potncia?

Sugesto de soluoBase expoente Potncia

+ Par ++ mpar + Par + mpar

DesafioMrcio fez a seguinte proposta a seu filho Gustavo. Daria R$ 1,00 no primeiro ms e iria dobrando esse valor a cada ms, enquanto isso Gustavo daria a seu pai R$ 50,00, por ms. Ao final de 9 meses, quem ter recebido mais dinheiro? Quanto?

Sugesto de soluo:

Pagamentos feitos a Gustavo por Mrcio1o ms 2o ms 3o ms 4o ms 5o ms 6o ms 7o ms 8o ms 9o ms

R$ 1,00 R$ 2,00 R$ 4,00 R$ 8,00 R$ 16,00 R$ 32,00 R$ 64,00 R$ 128,00 R$ 256,00Portanto, Mrcio pagou R$ 511,00 para Gustavo.

Pagamentos feitos a Mrcio por Gustavo1o ms 2o ms 3o ms 4o ms 5o ms 6o ms 7o ms 8o ms 9o ms

R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00Portanto, Gustavo pagou R$ 450,00 para Mrcio.Logo, Gustavo recebeu mais que Mrcio R$ 61,00.

MateMtica

41

aula 11

Potenciao: PropriedadesObjetivo geral

Recordar as propriedades de potenciao com expoente inteiro no negativo e base real diferente de zero.

Conceito bsico

Como podemos resolver 5 5 53 2 4$ $ e apresentar o resulta do em forma de potncia?

Vamos l.

5 5 5 55 5 55 5 5 5 5

3

2

4

===

$ $$$ $ $

Sabendo que o expoente indica quantas vezes a base ser multiplicada, ento

Portanto teremos nove vezes o valor 5, assim 5 5 5 53 2 4 9=$ $ .

1 propriedade:

Em um produto de potncia de mesma base, devemos conservar a base e somar os expoentes.

Dado a R! e ,n m N! , ento a a an m n m$ = + .

Observe o seguinte quociente: 5 54 2'

5 5 5 55 5 5 54 2 ='

$$ $ $

Simplificando os fatores comuns,

5 55 5

5 5 5 54 2 ='

$

$ $ $

Assim,

5 5 5 54 2 4 2 2= =' -





MateMtica

42

2 propriedade:

Em uma diviso de potncia de mesma base, devemos conservar a base e subtrair os expoentes.

Dado a R*! e ,n m N! , ento ou .a a aaa

an m n m mn

n m= =' + -

Uma outra situao apresentada na propriedade a seguir:

Calcule (23)4

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 4 3 3 3 3 123 3 3 3

= = =$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $^ h SSSS

Assim, 2 2 23 4 3 4 12= =$^ h

3 propriedade:

Em uma potncia, onde a base uma potncia, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

Dado a R*! e ,n m N! , ento a an m n m= -^ h .

Exerccios 01 Aplicando as propriedades, escreva o resultado na forma de uma s potncia.

a) 9 935 $ b) 4 4 42 3$ $- - -^ ^ ^h h h c) 0,5 0,5 0,52 3$ $ d)

53

53

53

533 2 5 1

$ $ $- - - -` ` ` `j j j j

Sugesto de soluo:a) 98 b) 4 6-^ h c) 0,56 d)

53 11-` j

02 Aplicando as propriedades, escreva o resultado na forma de uma s potncia.

a) 992

5 b) 33

2

3

--

^^

hh

c) 5252

4

7

-

-

`

`

j

j d) 1010

5

6

Sugesto de soluo:a) 93 b) -3 c)

52 3-` j d) 10

MateMtica

43

03 Resolva as seguintes expresses:a) 35 2^ h b) 42 6^ h c) 53 3^ h d)

32 6 3`` j j

Sugesto de soluo:a) 310 b) 412 c) 59 d)

32 18` j

DesafioSimplificando a expresso

100 0,10,0001 10 0,012

3 6

4 57

$

$ $^

^ ^h

h h; EObtemos como resultado:a) 10-6 b) 10-3 c) 10-2d) 10 e) 103

Sugesto de soluo:Alternativa d.

aula 12

Potncia com expoente negativoObjetivo geral

Recordar os conceitos de potenciao com expoente inteiro e base real diferente de zero.

Conceito bsico

A professora Marina pediu para que seus alunos resolvessem o seguinte quociente: 5 53 4' .

Julieth resolveu de duas maneiras e perguntou a professora qual era a maneira correta.

Vejamos suas respostas.

1 maneira:

5 5 55

5 5 5 55 5 5

513 4

4

3

= = ='$ $ $

$ $

2 maneira:

5 5 55 53 4 4

31= =' -





MateMtica

44

A resposta da professora surpreendeu Julieth pois as duas estavam corretas.

No estudo de potncias, nos deparamos com expoente negativo. Vejamos como proceder nesse caso:

23 = 8 33 = 27 53 = 125

22 = 4 32 = 9 52 = 25

21 = 2 31 = 3 51 = 5

20 = 1 30 = 1 50 = 1

2 21 21 1= =- - 3 3

11 = 5 511 =-

2 21 22 2 2= =

--

-3

3122=

- 5 5122=-

2 21 23 3 3= =

--

- 3 3133=- 5 5

133=-

Assim quando o expoente negativo e a base um nmero real diferente de zero, ento:

1 1a

a an

n

n

= =- ` j

Exemplo:1) Calcule cada uma das potncias a seguir:

a) 3 3- b) 32 4-c m

c) 4 2- - -^ h d) 1210 2-

-

` j

Sugesto de soluo:

a) 3 31

2713

3= =- ; b) 32

23

16814 4= =

-

c `m j ; c) 4 41

1612 2- - = - =--^ ch m ; d) 12

101012

1001442 2- = - =

-

` `j j

Atividades 01 Calcule as potncias a seguir:

a) 4 2- - b) 25 2-

-

` j c) 7 3-

d) 101 5-` j e) 0,3 5- -^ h

Sugesto de soluo:a)

161- b)

254 c)

3431

2'

2'

2'

2'

2'

2'

MateMtica

45

d) 1000 000 e) 103

310

243100 0005 5- =- =-

-

` `j j

02 Determine o valor da expresso:

2523 3- - --

-

^ `h j

Sugesto de soluo:

8124

03 Calcule o valor de 5 31 2 2+- - -^ h

Sugesto de soluo:

1962 025

DesafioOs crculos a seguir esto empilhados formando um tringulo. Utilizando as propriedades da potenciao, calcule os valores de x, y e z, sabendo que o produto de cada lado igual .

Sugesto de soluo:

MateMtica

46

aula 13

Potenciao: expresses numricasObjetivo geral

Trabalhar as propriedades da potenciao com expoente inteiro e base real diferente de zero em expresses numricas.

Conceito bsico

Em muitos casos as operaes matemticas se misturam. Quando nos deparamos com tais situaes devemos tomar cuidado com a ordem de resoluo dessas operaes. Assim, primeiramente levamos em conta a ordem de resoluo de parnteses, colchetes e chaves, respectivamente. Em paralelo, devemos respeitar a seguinte ordem:

1o resolvemos as potenciaes e/ou radiciaes;

2o resolvemos as multiplicaes e/ou divises;

3o resolvemos as adies e/ou subtraes.

Exemplo: Calcule o valor da expresso numrica:

5 3 3 10 42 5 4 3 2 2+ - - + -'^ ^ ^h h h6 @" ,Sugesto de soluo:

25 3 10 165 4 3 2+ - + --^ ^h h6 @" ,25 3 61 3 2+ - + -^ ^h h6 @" ,25 3 363+ - +^ h" ,

25 27 36- +" ,

2 36- +" ,

34

Atividades 01 Resolva as expresses numricas a seguir:

a) 3 2 22 5 3'- b) 2 2 5 38 3 3 2$ $- c) 10 10 53 5 2'$-^ h





MateMtica

47

Sugesto de soluo:a) 5b) 923 c) 4

02 Gustavo resolveu corretamente a expresso a seguir

2 352

2 1 2

-

- -

c m; EQual foi o resultado encontrado por ele?a) 1 b) 25 c) 625 d)

251

e) 6251

Sugesto de soluo:

Alternativa C.

03 Simplifique a expresso x x x xa a a a2 3 1 2 5$ $ $- - + + -

Sugesto de soluo: x a3 3-

Desafio

Qual o resultado da expresso 235 5

E 23 4 3'=+- .

Sugesto de soluo:

7241

E = .

MateMtica

48

aula 14

Decomposio em fatores primosObjetivo Geral

Relembrar como decompor um nmero natural em fatores primos.

Conceito Bsico

A princpio vlido ressaltar que todo nmero natural maior que 1 pode ser escrito como produto de dois ou mais fatores primos. Por exemplo, o nmero 50 pode ser escrito como o produto 2 x 5 x 5.

Assim, para se determinar os fatores primos de um nmero natural, maior que 1, uma opo proceder da seguinte forma:

I) Divida o nmero especificado pelo menor nmero primo que resulte em uma diviso exata. Escreva o valor obtido da diviso imediatamente abaixo do nmero a ser decomposto.

II) Repita o procedimento adotado no tpico anterior de forma iterativa (repetida) at chegar ao resultado igual a 1(quociente igual a 1). Assim:





MateMtica

49

III) Os valores (resultados) encontrados na coluna da direita sero os fatores primos do nmero em questo (300).

Assim, o nmero 300 pode ser escrito como produto dos fatores obtidos:

300 = 2 . 2 . 3 . 5 . 5 = 22 . 3 . 52

Atividades 01 Quais desses nmeros abaixo so divisveis por 2, 3, 4, 5 ou 6?

a) 116 b) 30 c) 111d) 60 e) 210 f ) 405

Sugesto de soluo:116 (2 e 4); 30 (2, 3, 5 e 6); 111 (3); 60 (2, 3, 4, 5 e 6); 210 (2, 3, 5 e 6); 405 (3 e 5).

02 Determine os fatores primos dos nmeros naturais a seguir:a) 150 b) 93c) 62 d) 768

Sugesto de soluo: a) 2 . 3 . 52; b) 3 . 31; c) 2 . 31; d) 28 . 3

03 Qual o nmero cuja fatorao :a) 2 . 33 . 5 . 7b) 11 . 13c) 23 . 5 . 7 . 31d) 2 . 3 . 5 . 7 . 11

Sugesto de soluo:a) 1 890; b) 143; c) 8 680; d) 2 310.

MateMtica

50

DesafioNo 8 ano da escola BOA NOTA h 35 alunos, e no 9 ano h 42 alunos. Para realizar uma gincana, os es-tudantes sero organizados em grupos, todos com o mesmo nmero de alunos e com a condio de que no se misturem (estudantes de anos diferentes). A) Qual o nmero mximo de alunos que podem haver em cada grupo?B) Nesse caso, quantos grupos sero formados em cada ano?Sugesto de soluo:A) 7B) 5 e 6 respectivamente

aula 15

Radiciao: Definio / Extrao de raizObjetivo Geral

Extrair a raiz de nmeros reais apresentados na forma de radical.

Conceito Bsico

O termo radiciao define a operao inversa da poten-ciao. O smbolo utilizado na radiciao o radix ( ). Ele possui a seguinte estrutura:

vlido ressaltar que o radical que possui ndice igual a 2 omite tal ndice de sua simbologia. Veja:

a) " l-se: raiz quadrada (ndice igual a 2);

b) 3 " l-se: raiz cbica (ndice igual a 3);

c) 4 " l-se: raiz quarta (ndice igual a 4).





512 29 =

radical"

512 radicando"

9 " ndice2 raiz"

MateMtica

51

Extrao de razes por meio da decomposio em fatores primos.

Para extrair uma raiz por meio da decomposio em fatores primos basta seguir os seguintes passos:

1 passo: Identifique o ndice da raiz solicitada. Veja os exemplos:

2 passo: Faa a decomposio em fatores primos do radicando da raiz solicitada:

3 passo: O ndice de cada radical determinar o agrupamento dos fatores obtidos. Portanto,

Em um radical de ndice igual 2 os fatores iguais da decomposio devero ser agrupados de dois em dois.

Em um radical de ndice igual 3 os fatores iguais da decomposio devero ser agrupados de trs em trs

E assim sucessivamente.

MateMtica

52

4 passo: Substitua o radicando pelo produto dos fatores agrupados de acordo com o ndice do radical e simplifique aqueles fatores cujo expoente so iguais ao seu respectivo ndice. O produto do resultado obtido ser a raiz procurada.

I) 144 2 2 3 2 2 3 2 2 3 122 2 2 2 2 2= = = =$ $ $ $ $ $

II) 125 5 53 33= =

III) 81 3 34 44= =

IV) 1024 2 2 2 2 2 2 45 5 55 55 55= = = =$ $ $

V) 64 2 26 66= =

Observao: Os exemplos I e IV apresentam em seus desenvolvimentos o produto de radicandos. Neste caso h uma propriedade de radiciao que diz que a raiz do produto igual ao produto das razes.

Veja a seguinte situao:

Ado e Adriana receberam de herana dois terrenos, ambos com a mesma medida de rea. Adriana ficou com o terreno que possua 16 m de largura por 36 de comprimento. Sabendo que o terreno de Ado possua dimenses iguais de largura e comprimento (terreno no formato de um quadrado), determine as dimenses do terreno dele.

Inicialmente ser necessrio determinarmos a medida da rea dos terrenos.

As dimenses do terreno de Adriana (16 m de largura x 36 de comprimento) implica em uma rea de medida igual a 576 m2.

Como o terreno de Ado tem o formato de um quadrado e possui 576 m2, temos que:

576x x m2=$ , onde x corresponde medida do lado do terreno de Ado. Portanto,

576 576x x2 = ="

576 2 2 2 3 2 2 2 3 242 2 2 2= = =$ $ $ $ $ $

MateMtica

53

Atividades 01 Determine a soluo de cada uma das razes a seguir utilizando mtodo de extrao de razes por meio da decomposio de fatores primos:

a) 723 b) 6254 c) 12587 d) 3433

Sugesto de soluo

a) 327 33 33= = b) 625 5 54 44= = c) 128 2 27 77= = d) 343 7 73 33= =

02 Encontre o valor de cada uma das expresses numricas:a) 169 2163- = b) 2 3 10 54 2 2 23+ - + = c) 36 729 646 3+ - =

Sugesto de soluo

a) 169 216 13 6 73- = - = b) 2 3 10 5 16 9 100 25 25 125 5 5 04 2 2 23 3 3+ - + = + - + = - = - = c) 36 729 64 6 3 4 56 3+ - = + - =

MateMtica

54

03 Qual o comprimento da aresta de uma caixa que possui todas as suas dimenses iguais e medida de volume igual a 729 dm3?

Sugesto de soluoTemos que o volume (V) de um paraleleppedo dado pelo produto de suas trs dimenses:V = altura x comprimento x larguraComo o paraleleppedo em questo em um cubo, suas trs dimenses sero todas iguais. Portanto,V a a a a3$ $= =

O enunciado do problema diz que o volume desta caixa corresponde a 729 dm3, ento,729V a a a a dm3 3$ $= = =

729a3 =

729a 3=

9a dm3=

DesafioObtenha os valores de A, B, C, D, E e F nos quadros a seguir percebendo as relaes expressas pelas setas direcionais.

Sugesto de soluo:A = 484; B = 31; C = 8; D = 4; E = 10; F = 4 096.

MateMtica

55

aula 16

Radiciao (propriedades)Objetivo geral

Compreender e aplicar as propriedades da radiciao.

Conceito bsico

Nesta aula estudaremos as propriedades da radiciao que so muito importantes no s para o estudo dos radicais mas tambm para outros temas da Matemtica.

Lembrando,

Ao se trabalhar com radicais surgiro uma srie de situaes nas quais ser necessrio a utilizao de algumas propriedades. Vejamos algumas delas:

1 propriedade: a raiz de ndice n de um radicando r de expoente, tambm, n o prprio radicando.

r rnn = , onde r R! + , n N! e 1n 2

Exemplo:

32 2 25 55= =

2 propriedade: a raiz de ndice n de um radicando r de expoente m pode ser escrita como uma potncia de expoente fracionrio onde a base o radicando r, o numerador do expoente o expoente inicial m e o denominador ser o ndice n do radical.

r rmn nm= , onde r R! + , ,n m N! e 1n 2

Exemplo:

2 2 2 16205 520 4= = =




MateMtica

56

3 propriedade: O radical de outro radical pode ser escrito como um radical nico onde o ndice deste igual ao produto dos ndices dos radicais anteriores.

r r.mn n m= , onde r R! + , ,n m N! e 1 e 1n m2 2

Exemplo:

5 5 53 2.3 6= =

4 propriedade: O radical de um produto de radicandos pode ser escrito como o produto dos radicais de cada radicando.

r s r sn n n=$ $ , onde ,r s R! + , e 1n nN 2!

Exemplo:

4 25 4 25 2 5 10= = =$ $ $

5 propriedade: O radical de um quociente de radicandos pode ser escrito como o quociente dos radicais de cada radicando.

sr

s

rnn

n

= , onde e 1, ,r s n nR R N* 2! ! !+ +

Exemplo:

925

925

35= =

Importante:

0 0n =

1 1n =

r rn =

Atividades 01 Aplicando as propriedades de radiciao, determine o valor de cada radical:

a) 164 b) 83 c) 31255 d) 49

MateMtica

57

Sugesto de soluo: a) 16 2, sendo que 2 164 4= =b) 8 2, sendo que 823 3= =c) 3125 5, sendo que 312555 5= =d) 49 7=

02 Encontre o valor de cada uma das expresses:a) 100 64 163 4+ -b) 5 256 3 243 6258 5+ -c) 4 125 8 64 4003 - +

Sugesto de soluo:a) 12; b) -6; c) -24

03 Aplique a propriedade adequada para cada questo a seguir: a) 2 7$ b) a b5 $

c) 1636

d) 4 y4 $e) 378

Sugesto de soluo:a) 2 7 2 7$ $=b) a b a b5 5 5$ $=

c) 1636

16

3646= =

d) 4 4y y4 8$ = e) 387

DesafioOs nmeros a e b so nmeros reais positivos. Nessas condies simplifique os radicais a36 e b612 , calculando em seguida a expresso que representa o produto dos radicais obtidos.

Sugesto de soluo:ab

MateMtica

58

aula 17

Radiciao inexata Objetivo geral

Compreender e extrair a raiz de nmeros reais.

Conceito bsico

Como j estudamos na aula 15, o ndice de cada radical determinar o agrupamento dos fatores obtidos. Quando no for possvel agrupar todos os termos iguais obtidos na decomposio de acordo com o ndice indicado no radical, temos um caso de radiciao inexata. Por exemplo, a 18 .

Observe que na fatorao acima obtivemos o produto 2.3; assim, o nmero 2 ficou fora do agrupamento, resultando em 3 2 . Portanto, o nmero 18 possui raiz inexata, sendo assim um radical irracional j que a raiz quadrada de todo nmero primo irracional.

Veja tambm os exemplos a seguir:

1. Calcule o valor do radical 1353

Sugesto de soluo: 135 3 5 3 53 33 3= =$

2. Qual o resultado da expresso 48 27+ ?

Sugesto de soluo: 48 27 2 3 3 3 4 3 3 3 12 34 2+ = + = + =$ $

Atividades 01 Calcule o valor das razes inexatas, usando a decomposio em fatores.

a) 12b) 20c) 45d) 543

e) 288


u Criar e resolver situaes problema que envolve nmeros reais ampliando e consolidando os significados das operaes adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao e radiciao.

MateMtica

59

Sugesto de soluo:

a) 12 2 2 3 2 3 2 32$ $ $= = =

b) 20 2 5 2 52 $= =

c) 45 3 5 3 52 $= =

d) 54 2 3 3 23 33 3$ ==

e) 288 2 2 3 2 4 3 2 12 22 2 2$ $ $= = =

02 Determine o resultado das expresses numricas a seguir.a) 24 813 3+

b) 80 20+

Sugesto de soluo:a) 24 81 2 3 3 3 2 3 3 3 5 33 3 33 33 3 3 3$ $+ = + = + =b) 80 20 2 2 5 2 5 4 5 2 5 6 52 2 2 $$ $+ = + = =+

03 Identifique como racional ou irracional cada um dos nmeros a seguir.a) 30b) 36c) 273

Sugesto de soluo:a) 30 irracionalb) 36 racionalc) 273 racional

DesafioDetermine a soluo da expresso

128

54 2503

3 3+ .

Sugesto de soluo: 4 2

3 2 5 2

4 2

8 22

+= =

MateMtica

60

aula 18

Relacionando potncias e radicais.Objetivo geral

Identificar e relacionar a potenciao com sua operao inversa, a radiciao.

Conceito bsico

At o momento j vimos que potenciao e radiciao so operaes inversas. Assim:

Se 9 812 = , ento, 81 9= ;

Se 3 273 = , ento, 27 33 = .

Analisemos, agora, os casos que se seguem:

3 9 9 3 32 2= = ="

5 25 25 5 52 2= = ="

7 49 49 7 72 2= = ="

10 1000 1000 10 103 3 33= = ="

6 216 216 2 3 2 3 63 3 3 33= = = =" $ $

2 1024 1024 2 210 10 1010= = ="

Observando cada uma das situaes acima descritas surge uma dvida: possvel indicar uma raiz sem o uso do radical?

Para isso, basta trocarmos o ndice do radical e o expoente do radicando por um expoente fracionrio de modo que o expoente do radicando se transforme em numerador e o ndice do radical em denominador.





MateMtica

61

importante ressaltar que no conjunto dos nmeros reais no existem solues para os radicais cujo radicando negativo e o ndice par. Veja as situaes que se seguem:

4- no possui raiz real, pois se elevarmos tanto o (-2) quanto o (+2) ao quadrado no chegaremos ao valor do radicando (-4).

814 - no possui raiz real, pois se elevarmos tanto o (-3) quanto o (+3) quarta potncia no chegaremos ao valor do radicando (-81).

Exemplo:Escreva na forma de potncia com expoente fracionrio as razes: 5 , 3 , 2 e 73 34 53

a) 5 : Note que o expoente do radicando 1 e o ndice da raiz 2, ento 5 521= .

b) 33 : Note que o expoente do radicando 3 e o ndice da raiz 2, ento 3 33 23=

c) 234 : Note que o expoente do radicando 3 e o ndice da raiz 4, ento 2 234 43=

d) 753 : Note que o expoente do radicando 5 e o ndice da raiz 3, ento 7 753 35=

Atividades 01 Escreva na forma de potncia com expoente fracionrio as razes a seguir:

a) 335 b) 547 c) x710 Sugesto de soluo:

a) 353 b) 5 74 c) x107

02 Escreva na forma de raiz as seguintes potncias com expoente fracionrio:

a) 271 b) 392 c) 547 Sugesto de soluo:

a) 27 b) 329 c) 574

03 O valor da expresso 225

125 932

23

$

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Sugesto de soluo:Alternativa C

MateMtica

62

DesafioDetermine o valor da expresso

9

4 8

729

2725

63

32

23

124

$ '


aula 19

Resoluo de situaes problema envolvendo nmeros RObjetivo geral

Resolver situaes problema diversas envolven-do nmeros reais, particularmente a potenciao e a radiciao.

A maioria da populao tem acesso internet e dentre os muitos sites visitados o facebook um dos lderes. A proliferao de uma notcia nesse site se alastra facilmente. Imagine que Mateus tenha 100 amigos em sua lista. Agora se cada amigo tiver mais 100 outros amigos, uma notcia publicada por Mateus pode ser vista por 10 000 pessoas facilmente.

Atividades 01 Em uma brincadeira de amigo secreto, Marina resolveu surpreender seu amigo. Comprou 5 caixas e, dentro de cada caixa colocou 5 pacotes. Em cada pacote colocou 5 cartes. Quantos cartes Marina precisou comprar para surpreender seu amigo secreto?Sugesto de soluo:

53 = 125






MateMtica

63

02 Observe as figuras a seguir

Com base nessas figuras, podemos realizar a operao matemtica (potenciao) para determinar a quantida-de de tringulos em casa estgio, veja o quadro.

ESTGIO QUANTIDADE DE TRINGULOS

1 40 = 1

2 41 = 4

3 42 = 16

Continuando com esse processo, quantos tringulos teremos no estgio 5?a) 32 b) 64 c) 128d) 256 e) 512

Sugesto de soluo:Alternativa d.

03 Mrcio comprou uma caixa em formato de cubo, conforme a ilustrao a seguir

A medida do volume dessa caixa igual 216 cm3. Determine a medida da sua lado, sabendo que a frmula da rea do cubo A = a3, onde a corresponde a medida da aresta do cubo.

Sugesto de soluo:a = 6 cm

MateMtica

64

DesafioO colgio MJ passar por reformas. Dentre elas, a quadra de esporte ser modificada em 10 ambientes em forma de quadrado de mesma medida de rea.

Sabendo que A1 = 36 m2, determine as dimenses da quadra.Sugesto de soluo:

aula 20

Exerccios nmeros ReaisObjetivo geral

Revisar por meio de itens e questes o contedo relativo a conjuntos numricos.

Atividades 01 Identifique a alternativa que corresponde sequencia crescente dos nmeros 2,83; 2,8; 2,75 e 2,6458.

a) 2,6458; 2,8; 2,75; 2,83. b) 2,8; 2,75; 2,83; 2,6458.c) 2,6458; 2,83; 2,75; 2,6458. d) 2,6458; 2,75; 2,8; 2,83.

Sugesto de soluo: Letra d.

02 Identifique na reta numrica, a seguir, os nmeros: 103

; 32 ; 2,5;23; 3; 256 .5 4

MateMtica

65

Sugesto de soluo:

03 A soluo da expresso 72

50 32 18+ - igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4Sugesto de soluo: Letra a.

04 O nmero decimal correspondente a frao 57 o:

a) 7,5 b) 1,4 c) 5,7 d) 0,75Sugesto de soluo: Letra b.

05 Carlos comprou os produtos relacionados na tabela a seguir:

Produto Valor

Arroz (5kg) R$ 8,90

Feijo (1kg) R$ 3,35

1 lata de leo R$ 2,00

O valor total que Carlos pagou foi de:a) 14,25 b) 14,35 c) 14,45 d) 14,55

Sugesto de soluo: Letra a.

06 Identifique entre os nmeros abaixo o nico que no irracional.a) 8 b) 90 c) 121 d) 200

Sugesto de soluo: Letra c.

07 O resultado correto da expresso 35

32

3+ :

a) 955 b) 1

c) 115 d)

511

Sugesto de soluo: Letra d.

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aula 21

Rotao de polgonos PropriedadesObjetivo Geral

Reconhecer a simetria de rotao de um polgono e perceber quais medidas e propriedades so preservadas.

Conceito Bsico

Rotao o movimento de girar uma figura ou objeto ao redor de um ponto chamado centro de rotao. A medida do giro chamada ngulo de rotao.

Exemplos:

1) Rotao em torno de um ponto que pertence a figura ou forma:

2) Rotao em torno de um ponto fora da figura ou forma:


u Identificar as simetrias de rotao, de reflexo e de translao e perceber que em cada uma delas se preservam medidas e propriedades.

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Atividades 01 A figura a seguir mostra duas semicircunferncias.

a) Em torno de que ponto deve-se fazer a rotao de uma das semicircunferncia para obter uma circunferncia?b) A rotao deve ser no sentido horrio ou anti-horrio?c) De quantos graus deve ser esta rotao?

Sugesto de soluo: a) B.b) Em qualquer sentido.c) 180

02 Observe a figura a seguir e responda os itens

a) Em qual dos quadrados deve-se fazer uma rotao para se obter um tringulo de lados 3, 4 e 5 unidades? b) Em qual dos pontos deve-se fazer a rotao para obter o tringulo do item a?c) Em qual sentido deve-se fazer a rotao (no sentido horrio ou anti-horrio)?

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Sugesto de soluo: a) No quadrado de lado 5.b) No ponto C.c) Anti-horrio.

03 Observe a figura a seguir:

Qual dos itens abaixo se refere a rotao de 90 em torno do ponto E no sentido horrio da figura?

Sugesto de soluo: Letra b.

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DesafioDeseja-se encaixar a pea vermelha na pea branca conforme a figura a seguir

Para que isto acontea deve-se realizar uma nica rotao na pea vermelha em que ponto? possvel determinar o ngulo de rotao? Qual?

Sugesto de soluo: Deve-se realizar uma rotao no ponto A no sentido anti-horrio. Quanto ao ngulo observe o desenho a seguir

Este ngulo mede 45o, pois se trata da diagonal de um quadrado.

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aula 22

Reflexo de polgonos PropriedadesObjetivo Geral

Identificar a simetria de reflexo e perceber quais medidas e propriedades so preservadas.

Conceito Bsico

Como exemplo pode-se citar que qualquer imagem ou forma refletida no espelho uma reflexo. A reflexo ocorre atravs de uma reta chamada eixo de reflexo.

Exemplos:

Sobre a reflexo vlido destacar as seguintes propriedades:

A figura original e a sua reflexo so geometricamente iguais.



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Dado um ponto e sua reflexo, os mesmos so equidistantes em relao ao eixo de reflexo a partir de uma reta que os une perpendicularmente ao eixo de reflexo.

Um ponto sobre o eixo de reflexo sua prpria reflexo.

Atividades 01 Assinale o item a seguir que representa uma reflexo:

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Sugesto de soluo: Letra C

02 Quais das alternativas a seguir no representam uma reflexo? Por qu?

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Sugesto de soluo:As alternativas que no representam uma reflexo so:Letra b) Pois, no satisfaz as seguintes propriedades: A figura original e a sua reflexo so geometricamente iguais; Um ponto e a sua reflexo esto mesma distncia do eixo de reflexo a partir de uma reta que os une perpendicularmente ao eixo de reflexo.Letra d) Pois, no satisfaz a seguinte propriedade: A figura original e a sua reflexo so geometricamente iguais.Letra e) Pois, no satisfaz a seguinte propriedade: Um ponto e a sua reflexo esto mesma distncia do eixo de reflexo a partir de uma reta que os une perpendicularmente ao eixo de reflexo.

03 Observe as figuras a seguir na malha quadriculada:

Represente por meio de desenhos todas as reflexes dessas figuras segundo o eixo especificado.Sugesto de soluo:

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DesafioRepresente por meio de desenhos duas reflexes seguidas, sendo uma no sentido do eixo y e outra, a partir da primeira soluo, na direo do eixo x respectivamente.

Sugesto de soluo:

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aula 23

Translao de polgonos PropriedadesObjetivo Geral

Identificar a simetria de translao e perceber quais medidas e propriedades so preservadas.

Conceito Bsico

A translao o termo usado para mover formas, sendo necessrias duas especificaes: a direo (que pode ser medida em graus) e o deslocamento (que pode ser medida em alguma unidade de comprimento: cm, m, km, ...).

Exemplos:

1o) Translao na horizontal (0 ou 180):

2o) Translao na vertical (90 ou 270):



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3o) Translao na diagonal (diferente de: 0, 90 , 180 ou 270):

Atividades 01 Observe a figura a seguir.

Em quantos centmetros, na vertical, deve-se transladar o retngulo ABCD para que ele fique centralizado no retngulo EFHG?

Sugesto de soluo: Deve-se transladar o retngulo ABCD em 7cm na vertical.

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02 Observe as translaes 1, 2 e 3.

a) Existe translao na vertical? Qual? b) Existe translao na horizontal? Qual?c) Existe translao na diagonal? Qual?

Sugesto de soluo: Letra a) Sim, a 3Letra b) Sim, a 1Letra c) Sim, a 2

03 A figura a seguir representa um telhado, que na sua construo utilizou a propriedade da translao.

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a) Qual a medida da translao AA?b) Qual a medida da translao CC?c) Quantas translaes foram feitas? Quais?d) As translaes ocorreram em quais sentidos? (vertical, horizontal ou diagonal)

Sugesto de soluo: Letra a) 4 m + 3 m = 7 mLetra b) 4 mLetra c) duas: ABC para ABC para ABCLetra d) as duas translaes ocorreram no sentido horizontal.

DesafioObserve a figura a seguir

Realize apenas trs translaes indicando o deslocamento em cm e a direo de cada uma delas para construir um retngulo. Indique tambm a largura e o comprimento do retngulo.

Sugesto de soluo:

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Ficando assim:

As dimenses so: Largura 12cm; Comprimento: 12cm.

aula 24

Plano Cartesiano OrtogonalObjetivo Geral

Identificar e representar o plano cartesiano e as coordenadas cartesianas.

Conceito Bsico

O plano cartesiano ou espao cartesiano um es-quema semelhante a uma rede quadriculada (reticu-lada) necessrio para especificar pontos num deter-minado espao com dimenses. Ele composto de duas retas perpendiculares e orientadas, uma horizon-tal denominada de eixo x ou eixo das abscissas e outra vertical chamada de eixo y ou eixo das ordenadas. Elas se interceptam no ponto (0,0), denominado origem do sistema.

A orientao positiva das retas representada por uma seta conforme a figura a seguir.


u Construir figuras no plano com base em informaes relevantes, como: construir pontos dadas suas coordenadas, construir polgonos dadas as coordenadas de seus vrtices e circunferncia dadas as coordenadas do centro e a medida de seu raio etc.

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Um ponto no plano cartesiano definido por meio de dois valores, um para o eixo x e outro para o eixo y, respectivamente nesta ordem, que so denominados par ordenado. Esses valores correspondem as coordenadas do ponto. Por exemplo, o ponto A apresentado no plano cartesiano anterior corresponde ao par ordenado x = -2 e y = 3, ou seja, s coordendas A(-2, 3).

Atividades 01 Relacione algumas situaes onde utilizamos a orientao de linhas e colunas.Sugesto de soluo:

Localizar uma pea no tabuleiro; localizar uma cidade ou estado em mapas; localizar um endereo na planta baixa; entre outros.

02 No Teatro Palco Iluminado as poltronas so dispostas conforme a figura a seguir.

Sabendo que o primeiro nmero do par indica a coluna e o segundo indica a linha, escreva as coordenadas que indicam a posio das poltronas A, B e C.

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Sugesto de soluo:A(4,3); B(1,2) e C(3,5).

03 Observe os pontos A, R, G, M, H e P marcados no mapa de uma cidade.

Encontre as coordenadas em que eles se localizam.Sugesto de soluo:

Ponto A = (-1,1); Ponto R = (2,1); Ponto G = (4,1); Ponto M = (-2,-1); Ponto H = (-3,-3) e Ponto P = (2,-2).

04 Observe o plano cartesiano representado a seguir. Escreva os pares ordenados (x, y) que correspondem aos pontos: A, B, C, D, E e F:

Sugesto de soluo: A = (1, -2); B = (-2, 1); C = (2, 2); D = (-3, -2); E = (0,0); F = (2, 3).

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DesafioMarque no plano cartesiano os pontos a seguir:A = (-1 , 2), B = (4 , -2), C = (-1 , -2), D = (1 , 2) e F = (-2 , 0).

Sugesto de soluo:

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aula 25

Construo de polgonos no plano cartesianoObjetivo Geral

Representar, identificar e construir no plano cartesiano polgono e circunferncia.

Conceito Bsico

Inicialmente necessrio relembrar um polgono uma superfcie plana limitada por segmentos de reta (ou linhas poligonais) fechadas onde cada um de seus vrtices formado pela suceso de dois segmentos de retas seguidos.

O polgono divide o plano em duas regies: a regio interior ao polgono e a regio exterior a ele.

regio interior ao polgono damos o nome de regio poligonal.Os polgonos so classificados de acordo com o nmero de lados e ngulos, conforme a tabela

a seguir:

Nmeros de lado

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