Potenciação

O que é preciso saber (passo a passo)

Seja:

A(potência) = a n(expoente)

(base)

É notório a todos que o expoente nos diz quantas vezes a base será multiplicada, isto é:Ex 1 ) 23= 2 . 2 . 2 = 8

Traduzindo: base 2 elevado ao expoente 3 obtemos a potência 8.

Ex 2 ) (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = -8

Traduzindo: base (-2) elevado ao expoente 3 obtemos a potência –8Importantíssimo: nas propriedades de potenciação, quando a base é negativa, o sinalde menos sempre pertence ao elemento neutro da multiplicação, que é o número 1;isto nos facilitará e muito provar as propriedades da potenciação.Veja:

-23 é o mesmo que -1 . 23 = -1 . 8 = -8

(-2)2 é o mesmo que (-1 . 2)2 = [( -1 )2 . 22 ] = 1 . 4 = 4

Então fica fácil explicar porque:

-22 ¹ (-2)2

-1 . 22 = -4 (-1 . 2)2 = (-1) . ( 2 )2

1 . 4 = 4

-4 ¹ 4

Exercício:Será que a afirmação ( -2 )n = - 2n é verdadeira para todo “n” natural?É óbvio que o sinal da potência vai depender da análise, ou seja , se “n”é par ouímpar.1º Caso: Se “n” é par temos:

(-2)n = -2n (Qualquer que seja “n”, o sinal do termo já estádeterminado)

[( -1) . 2]2 = -1 . 2n

( -1)n . 2n

+2n -2n

Conclusão 2n ¹ -2n se “n” for par

2º Caso: se “n” é ímpar temos:

( -2 )n = -2n (Qualquer que seja “n”, o sinal do termo já estádeterminado)

[( -1 ) . 2 ]n = -1 . 2n

( -1)n . 2n =

-2n = -2n

Conclusão: ( -2 )n = -2n somente se “n” for ímpar

Propriedades da potenciação

Facilita e muito a análise das propriedades se você escolher números que podem serrepresentados na mesma base. Na multiplicação, use:8 . 49 . 275 . 25

Os quais serão convertidos em:

8 . 4 = 23 . 22 = 25

9 . 27 = 32 . 33 = 35

5 . 25 = 51 . 52 = 53

Propriedade: em produtos de mesma base , conserva-se a base e somam-se os expoentes:

a m . a p = a m+pImportantíssimo: a recíproca desta propriedade é verdadeira, isto é, sempre que existiruma única base com soma de expoentes, separe-os imediatamente.

Veja:a m+p = am . ap

2n+3 = 2n . 23 = 2n . 8

2n+p+q = 2n . 2p . 2q

Obs: caso existir uma série de termos, não esqueça de colocar o termo comum emevidência.

Ex: 2n+2 + 2n+3 + 2n+1

2n . 22 + 2n . 23 + 2n . 21

2n( 22 + 23 + 2)

2n( 14 )

Propriedade: facilita e muito memorizar exemplos de números que ao serem fatoradospossuam a mesma base.

Ex: 48

2525

981

pm

aa = am-p

Propriedade: em divisão de potência de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se osexpoentes.

Ou : pm

aa

= mpa -1

Ex: 25

22

= 252 - = 32 ou 35225

21

21

22

-- ==

Obs: observe que você pode conservar a base do numerador ou a base do denominador; éindiferente.

Sendo “m” e “n” ,calcule:

247

2222212

222222222

22222

432

4321

4321

=+++=+

++=+++++

++

)(

)(

..

..nn

nnnnn

nnnnn

Interessantíssimo: você sabia que a preposição “de” acompanhada de fração significamultiplicação?

Veja:

Quanto é 32

de 12?

Solução: 32/ . 124 = 8

Quanto é a metade de um quarto de 250?

Solução: 50241

21

..

47503

50 222124

121 == ...

Uma planta aquática duplica de área no final de cada dia.Sabe-se que no final de cada diaa planta já ocupará toda a superfície da lagoa.

Solução:1º dia = 21

2º dia = 22

3º dia = 23

Nº dia = 2n

Se 210 = A, para obtermos 4A

basta dividir toda a equação por 4:

44210 A= (quarta parte da lagoa)

42422 8210 AA =®= quarta parte da área da lagoa

oitavo dia

Resposta: no oitavo dia

Interessantíssimo: você sabe o porquê de todo número elevado a zero ser igual a 1?

a0 = 1 (a ¹ 0)

Para você provar, basta representar uma fração onde o numerador e o denominador sejamiguais.

Ex: 88

= 1 aplicando a propriedade: pnpn

aaa -=

18188 1111

=®= -

80 = 1

Conclusão: a0 = 1 é uma conseqüência da propriedade

nmnm

aaa -=

Interessantíssimo: você sabe o porquê disso?

nn aa =1 ?

O número 1 poderá ser sempre ser substituído pela mesma base em análise elevada azero, isto é:

nnnn aaaa

a-- ®®® 001

Ex:

nnnnn bababbabab

a -- ®®®® .... 001

22020

22 25252252

1525

45 -- ®®®®® ....

Calcule: px = px = 1 = p3

px-3 px . p-3 p-3

Propriedade: ( a m )p = a mp

O expoente nos diz quantas vezes a base será multiplicada.

Ex: ( a3 )2 = a6

ou

( a3 )2 = a3 . a3 = a3+3 = a6

Ex: ( a2 )4 = a8

ou

( a2 )4 = a2 . a2 . a2 . a2 = a8

Propriedade: ( am . b p )q = amq . b pq

Ex: ( 23 . 52 )4 = 212 . 58

Importantíssimo: sempre que existir produtos de potências com as bases “2” e “5”podemos obter potência de 10; basta tentar igualar os expoentes.

Veja:

212 . 58 = 24 . 28 . 58 = 24( 2 . 5 )8 = 16 . 108 = 1600000000

Conclusão: o produto 212 . 58 contém 10 algarismos.

46 . 59 = ( 22 )6 . 59 = 212 . 59 = 23 . 29 . 59 = 23( 2 . 5 )9 = 8 . 109

Qual dos números é maior?

6200 ou 3400

Vamos igualar os expoentes onde este valor será o M.D.C ( 600 , 400 )

6200 ( 32 )200

6200 9200

6200 < 9200

6 < 9 6200 < 9200

Conclusão: sejam a n e b n então:

· Se a e b Î R + e a > b então a n > b n

· Se a e b Î R e a < b então carece de análise; se “n” é par ou ímpar

Propriedade:qpna

Quando entre os expoentes não existir parênteses então resolva as potências no sentido deuma para baixo onde a base do expoente superior é o numerador imediatamente abaixo.

Ex:232 = 29

832 22 22 = = 2256

8222 333 102 ===Conclusão: você observou que:

( 22 )3 ¹322

26 28

( )0233 ¹0323

( 38 )0 ¹123

1 ¹ 9

Calcule:

( 0,2 )3 + ( 0,04)2

23

1004

102 ÷ø

öçèæ+÷ø

öçèæ

( ) ( )2231 104102 -- + ..

43 1016108 -- + ..

Colocando 8 . 10-4 em evidência:

( )210108 14 +--.

009601000096109612108 44 ,... ®®® --

Solução 1 Solução 2

( 0,2 )3 + ( 0,04 )2 ( 0,2 )3 + ( 0,04 )2

23

1004

102 ÷ø

öçèæ+÷ø

öçèæ ( ) ( )2231 104102 -- + ..

23

251

51 ÷ø

öçèæ+÷ø

öçèæ 43 1016108 -- + ..

6256

62515

6251

251 ®+®+ 33 1061108 -- + .,.

( ) 33 106910618 -- =+ .,.,Solução 3

( 0,2 )3 + ( 0,04 )2

23

1004

102 ÷ø

öçèæ+÷ø

öçèæ

23

251

51 ÷ø

öçèæ+÷ø

öçèæ

5-3 + 5-4

5-4( 51 + 1 )

6 . 5-4 =45

6

Interessantíssimo: em física e química é comum as operações básicas serem efetuadasatravés de potência de 10.Veja uma resolução clássica de potências com base decimal:

( 0,002 )4

Vamos multiplicar o cofator 0,002 por 100 , então teremos:

( 0,002 . 100 )4 diminui 3 casas

aumenta

Deslocando a vírgula à direita em 3 casas decimais, o número aumenta; em contrapartida, o expoente diminui em 3 unidades:

( 2 . 100-3 )4

( 2 . 10-3 )4

16 . 10-3

Obs: o coeficiente da potência de 20 sempre deverá ser um número no intervalo de 1 a 9p . 10n , isto é, 1 < p < 9. Então em 16 . 10-3 vamos diminuir uma casa decimal e emcontrapartida aumentar uma unidade no expoente:

1,6 . 10-3+1 = 1,6 . 10-2

Ex: ( 0,0001 )4 introduzir 100

( 0,0001 . 100 )4 diminui

aumenta

( 1 . 100-4 )4

( 1 . 10-4 )4 = 1 . 10-16

Ex2:( )001001010 23

,

,. -

( ) 2433343

323

1010101010

10110110 ®®® -+

--

-- .

.

..

Importantíssimo: você deve sempre lembrar que os decimais 0,5 ; 0,25 ; 0,125 e 0,0625transformam em potência de base 2.

Veja:

0,5 = 105

= 21

= 2-1

0,25 = 10025

= 41

= 221

= 2-2

0,125 = 1000125

= 81

= 321

= 2-3

0,0625 = 10000625

= 161

= 421

= 2-4

Calcule:

( ) ( )( )4

23

25016020

,

,.,

( ) ( )4

2030

10025

101601020

÷øöçè

æ.,..,

=( ) ( )

4

2233

41

1016102

÷øöçè

æ-- ...

=( )

( )4222493

2102102

-

-- ...=

84893

2102102

--- ...

= 23 . 28 . 28 . 10-9 . 10-4 = 219 . 10-13

Exercícios:

I-Simplifique as expressões a – b ¹ 0a- (a2 . b3)2 . (a3 . b2)3

b-( )( )22

324

..baba

c-[ ( a3 . b2 )2 ]3

d-( ) ( )

( )323

243432

...

bababa -

II-Calcule:

a- 3-1 b- (-2)-1 c- -3-1 d- -( -3 )-1

e-1

32 -÷øöçè

æ f-3

23 -÷øöçè

æ - g- ( 0,25 )-3 h- ( - 0,5 )-3

i- 321- j- ( ) 22,0

1- k- ( ) 201,0

1-

III-Calcular o valor das expressões:

a-( ) ( )

22121

22222

---

+-+--

b- 32

32

2121.2

1

úúûù

êêëé

÷øöçè

æ -

÷øöçè

æ÷øöçè

æ -

IV-Classificar em verdadeiro(V) ou falso(F):

a- ( 53 )-2 = 5-6

b- 2-4 = 16

c- 52

77--

= 7-3

d- ë1 + ë –1 = 1

V-Simplificar as expressões:

a- nnn aaa --+ 3112 ..

b- 132 . -+ nn aa

c- nnn

aaaaa

..

434 -+

VI-Dos números abaixo, o que está mais próximo de( ) ( )

( )234

9.93.10.2.5 é:

a- 0,625 b- 6,25 c- 62,5 d- 625

VII-Se 28 . 55 = 0,8 . 10n , então “n” é igual a:

a- 6 b- 5 c- -1 d- 2 e- -3

VIII-Simplifique:

a- 34

2.22.22

++ -

nnn

IX- Para todo n , ( 2n + 2n-1 ) ( 3n – 3n-1 ) é igual a:

a- 6n b- 1 c- 0

d- 2n . 3 + 2 . 3n e- 2n . 3n-1 + 2n . 3n

X-Simplifique:

a- ( ) 111

. --- +

yxyx

XI-Efetue:

a- ( ) ( ) 04,014,012,0.01,031 2 ++

XII-Seja M = ( ) 25,12

6,0.35 -

-

úúûù

êêëé

÷øöçè

æ . Em que intervalo M está?

a- M < 35-

b- -1 < M < 0 c- 0 < M < 31

d- 21

< M < 54

e- M > 2

XIII-Se 27 . 32 = 6k , o valor de k é:a- 15 b- 6 c- 8 d- 0

Comentário: observe que se a base fosse um valor negativo ao ser elevado ao expoentepar, ela se tornaria positiva, satisfazendo tanto ao radicando quanto à raiz:

( )42- = ( -2 )2 16+ = +4

Lembre-se bem disso: toda raiz de índice par, sua raiz enésima será sempre positiva.

2º Caso: n px = npx

Se “n” e “p” tem representação par e a razão pn

= 2k + 1 ( ímpar ), então o domínio de

x deverá ser analisado.

Veja:

n px = npx onde n

p= 2k + 1

n px = npx = 12 +kx

n px = kx2 . 1+x

Observe que sendo “p” um número par, então:

xp = +

x2k = +

Nos restou apenas x1 , onde x somente deverá assumir valores positivos.

Ex16x = 3x esta sentença será verdadeira somente Î"x R+ ( leia-se: para todo

“x” pertencente aos reais positivo )

Ex26x = 3x- esta sentença será verdadeira somente Î"x R-

Realmente se atribuirmos valores negativos a “x” obteremos:

( -2 )6 = +64 satisfaz o radicando

-( -2 )3 = -( -8 ) = +8 satisfaz também a sua raiz

Radiciação

O que é preciso saber

Seja: n px

Se “n” é ímpar, então:

n px = npx = Î"x R ( é verdadeiro para todo “x” pertencente aos reais )

Ex: ( )( )[ ] ( ) ( )[ ] 33.121218.18 33333 -=-=-=-=-=-

Se “n” e “p” tem representação par, então a raiz enésima de “xp” sempre serápositiva. O domínio de “x” vai depender da razão n

p , isto é:

n px = npx somente se obedecer os casos abaixo:

1º Caso: se “p” é par e “n” também é par, sendo np par, isto é, kn

p 2= , entãokn p xx 2= , esta sentença é verdadeira para todo “x” pertencente aos reais.

Ex: 24 xx = Î"x R

Propriedades da radiciação

Seja:

0³A n A raiz

A radicandon índice

Importantíssimo: o primeiro passo a ser feito para aplicarmos as propriedadesde radiciação é fatorar, isto é, decompor em fatores primos o radicando ( A )

Ex: 3 64 64 2 363 63 2264 == = 432 216 28 24 22 21

Propriedade: nq

npn qp baba .. =

Ex: 36 36 2 22 3.236 =18 2 2222 3.2 = 2 . 3 = 69 33 31

Propriedade: seja n pa se p > n e “p” não é divisível por “n” , então procure ummúltiplo de “n” abaixo do valor de “p”

Ex: 7 45 225 25 105 2105 12 .42.22.22.22 a====

7 427 47 147 4147 18 ... aaaaaaa ===

Propriedade: ( ) bababa n nn nn ... == ( )0; ³³ ba

Comentário: se os expoentes das bases são iguais então coloque-o em evidência;isto nos facilita e muito.

Ex: ( ) 71010.75.275.2.7700 2222 ====

94

32

32

32

8116 24

44

=÷øöçè

æ=÷øöçè

æ==

Propriedade: nn aqap .. +

Coloque n a em evidência:

( )qpan +

Ex: 5072328 -++

2.53.222 22353 -++

2.53.2.22.22.2 22242 -++

253.2.22.222 224 -++

2523.22222 2 -++

25262422 -++

( ) 2756422 =-++

Importantíssimo: quando existir apenas produto e ( ou ) divisão de radicais épreferível transformar todas as raízes em forma de potência.

Veja:

413121

413121

43

222.2

22.2 -+==

12 7127

12346

222 ==-+

Ex22131312141

21213131413434

3.3.2.5.55.33.2.5

5.33.2.5

156.5 -===

1221241231264

124

1263

3.2.53.2.5 ----=

9.12516

3.52

3.52

12 212 3

12 4

122123124 ==

Propriedade: pnn p aa .= a > 0

Vamos demonstrar:

npnpnpn pn p aaaaa 1.111111 ==÷÷ø

öççèæ=÷÷ø

öççèæ=

Ex1: 63 2 55 = ou 661312131

213 2 1 55555 ==÷øöçè

æ=÷øöçè

æ=

Ex2:30 11301130

6551215653 5555.55.55.5 =====

+

Propriedade: seja n pa se “n” e “p” possuem divisores em comum, entãosimplifique-os.

Ex: 3 1412 4412 2216 == ¸ ¸

Comentário: quando o radicando é um número real positivo a simplificação épossível e imediata. Mas quando é uma variável então a simplificação somente serápossível se a base de radicando é positiva.

Ex: 312 4 aa = somente se 0³a

Î"a R+

Se a < 0 = 312 4 aa ¹

Os domínios são diferentes, isto é, para 12 4a qualquer que seja aÎR- ou aÎR+

a operação é satisfeita. Mas 3 a somente é satisfeita para aÎR+.

Conclui-se que: 312 4 aa = somente se aÎR+

Agora se o índice é ímpar a simplificação é possível e imediata,e válida para todosos valores dos reais.

5 115 3 aa = Îa R

Racionalização

Racionalizar é o ato de tornar o expoente do denominador um valor inteiro.

Veja:

31

=2131

Se multiplicarmos o denominador e o numerador por 213 o resultado será imediato.

33

33

33

33

31

121

212121

2121

21=== +.

Comentário: calculando 3 = 1,732

577073211

31

,,

==

577037321

33

,, ==

Ou seja, 31 é o mesmo que 33

31

= 33

3 = 33.

3 = 3

Generalizando:

n pa1

= aan pn-

Vamos demonstrar:

npnp

npn p aa

aa -

-=

1

111.

np

np

ppn

n p aaaa

a -

-

=.. 1

1

aa

appn

n p

-

=1

aa

a

p pn

n p

-=1

Ex1 332

332

32

92 5 35 25

5 25.. ===

-

Ex2 ===-

333

3333

3 3 23 133

..

6616643

132213221 333333333 ====

-+-..

.

Importantíssimo: se Kxn = e “n” é ímpar; então:

Kxn =

nKx 1=

n Kx = ÎK R

Se Kxn = e “n” é par:

Kxn =

nKx 1=n Kx = onde ÎK R+

Leia-se: a raiz enésima de K é o valor modular de x, isto é, qualquer valor queatribuirmos a x, seja ele positivo ou negativo, obtemos sempre um valor positivo,isto é | -2 | = +2 e | +2 | = +2

Ex: 252 =x

2125=x ( Seja x = -5 ou x = +5 sempre vamos obter o seu valormodular, que é +5 )

25=x

5=x

Lembrete: para aplicar as propriedades de potenciação com números decimais oudízima, transforme-os sempre em fração.

Ex1: 21

41

10025250 ===,

Ex2: 381818181 441

10025

250 ====,

Ex3: 101

101

101

100010010 3 33

933330 ==÷øöçè

æ=÷øöçè

æ=...,,

Curiosidade: qpn =

Se p > 1 então p > q

525 = 25 > 5

283 = 8 > 2

Mas para qpn = onde 10 << p

500250 ,, = 0,25 > 0,50

500012503 ,, = 0,125 < 0,500