Apostila de raciocínio lógico para inss 2015 professor joselias grátis

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APOSTILA DE RACIOCNIO LGICO PARA O CONCURSO

DO INSS 2015

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Raciocnio Lgico para o INSS Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - [email protected]

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RACIOCNIO LGICO PARA O INSS

1 - Conceitos bsicos de raciocnio lgico: proposies; valores lgicos das proposi-es; sentenas abertas; nmero de linhas da tabela verdade; conectivos; proposi-es simples; proposies compostas.

LGICA Veremos nas prximas linhas a definio do que vem a ser uma proposio, bem como o seu clculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que estudar as estruturas dos argumentos, que sero conjuntos de proposi-es denominadas premissas ou concluses.

LGICA PROPOSICIONAL

PROPOSIO Chamaremos de proposio ou sentena todo con-junto de palavras ou smbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Sendo assim, vejamos os exemplos. Exemplo: a) O Lula o presidente do Brasil. b) O Rio de Janeiro fica na Europa. c) Elvis no morreu.

As proposies devem assumir os valores falsos ou verdadeiros, pois elas expressam a descrio de uma realida-de, e uma proposio representa uma informao enunciada por uma orao, portanto pode ser expressa por distintas oraes, tais como: O Joo mais novo que o Pedro, ou podemos expressar tambm por O Pedro mais velho que o Joo. Conclumos que as proposies esto associadas aos valores lgicos: verdadeiro (V) ou falso (F). Exemplo:

Se a proposio p = O Lula o presidente do Brasil ver-dadeira ento representaremos o valor lgico da proposio p por VAL(p) = V. Se a proposio p = O Lula no o presidente do Brasil falsa ento representaremos o valor lgico da proposio p por VAL(p) = F. Sendo assim a frase Parabns! no uma proposio, pois no admite o atributo verdadeiro ou falso. Portanto tam-bm no sero proposies as seguintes expresses: Exclamaes: Oh!, Que susto!. Interrogaes: Tudo bem?, Que dia hoje?, Voc professor?. Imperativos: Seja um bom marido., Estude para concur-sos. Paradoxos: Esta sentena falsa. Teremos dois princpios no caso das proposies:

PRINCPIO DO TERCEIRO-EXCLUDO Uma proposio s pode ter dois valores lgicos, isto , verdadeira (V) ou falsa (F), no podendo ter outro valor.

PRINCPIO DA NO-CONTRADIO Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

Logo, voltando ao exemplo anterior temos: a) O Lula o presidente do Brasil. uma proposio verda-deira. b) O Rio de Janeiro fica na Europa. uma proposio falsa. c) Elvis no morreu, uma proposio falsa. As proposies sero representadas por letras do alfabeto: A, B, C, .... As proposies simples (tomos) combinam-se com outras, ou so modificadas, atravs de operadores (conecti-vos), gerando novas sentenas chamadas de molculas(ou compostas).

CONECTIVOS

Os conectivos sero representados da seguinte forma:

corresponde a no (Alguns autores usam o smbolo ~ , para representar a negao).

corresponde a e (conjuno)

corresponde a ou (disjuno)

corresponde a se ... ento ... (condicional)

corresponde a ...se e somente se... (bi-condicional) corresponde a ... ou ..., ou ..., mas no ambos (disjun-o exclusiva)

Assim podemos ter:

Negaes: ~ (l-se: no p) Exemplo:

Seja a proposio p = Lgica difcil. A proposio Lgica no difcil poder ser representada por ~ .

Conjunes: p q (l-se: p e q)

Exemplo:

Sejam p e q proposies tal que: p = Trabalho q = Estudo, ento temos que: p q = Trabalho e estudo

Disjunes: p q (l-se: p ou q) Exemplo:

Sejam p e q proposies tal que: p = Trabalho q = Estudo, ento temos que: p q = Trabalho ou estudo



Condicionais: p q (l-se: Se p ento q) Exemplo:

Sejam p e q proposies tal que: p = Trabalho q = Estudo, ento temos que: p q = Se trabalho ento estudo

Bi-condicionais: p q (l-se: p se e somente se q) Exemplo:

Sejam p e q proposies tal que: p = Trabalho q = Estudo, ento temos que: p q = Trabalho se e somente se estudo

Disjuno exclusiva: p q ((l-se: ou p, ou q, mas no ambos) Exemplo:

Sejam p e q proposies tal que: p = Trabalho q = Estudo, ento temos que: p q = Ou trabalho, ou estudo, mas no ambos

PRIORIDADES DOS CONECTIVOS

Podemos usar parnteses para evitar ambiguidades, considerando a seguinte prioridade em ordem decrescente:

(A prioridade mais alta)

(A prioridade mais baixa)

TABELA VERDADE

O valor lgico de cada proposio composta depen-de dos conectivos contidos nela. Cada conectivo possui uma regra para formar o valor lgico da proposio composta, conforme a descrio abaixo.

a) Tabela verdade da negao (p) (no p)

Se a proposio verdadeira, sua negao ser falsa. Se a proposio falsa, sua negao ser verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela:

b) Tabela verdade da disjuno (pq) (p ou q) (ou p, ou q)

A disjuno ser falsa quando todas as proposies simples forem falsas, caso contrrio ser verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela:

c) Tabela verdade da conjuno (pq) (p e q)

A conjuno ser verdadeira quando todas as propo-sies simples forem verdadeiras, caso contrrio ser falsa. Assim teremos a seguinte tabela:

d) Tabela verdade da condicional (p q) (Se p, ento q)

A condicional somente ser falsa quando p for ver-dadeira e q for falsa, caso contrrio ser verdadeira.

e) Tabela verdade da bi-condicional (p q) (p se e somente se q)

A bi-condicional ser verdadeira quando as proposi-es simples, p e q, tiverem o mesmo valor lgico, caso con-trrio ser falsa.

f) Tabela verdade da disjuno exclusiva (p q)

A disjuno exclusiva ser verdadeira quando as proposies simples, p e q, tiverem os valores lgicos diferen-tes, caso contrrio ser falsa.

p p

V F

F V

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F F

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F



Assim teremos abaixo a tabela verdade para as proposies compostas pelas proposies simples p e q:

TABELA VERDADE

Exemplo:

Sejam as proposies p e q, tal que: p = Corre q = O bicho pega Descrever as seguintes proposies abaixo:

a) p

b) p q

c) p q

d) p q

e) p q f) p q

Soluo:

a) p = No corre

b) p q = Corre ou o bicho pega

c) p q = Corre e o bicho pega

d) p q = Se corre, ento o bicho pega

e) p q = Corre se e somente se o bicho pega f) p q = Ou corre, ou o bicho pega, mas no ambos Exemplo:

Sejam p e q proposies. Complete a tabela verdade abaixo

Soluo:

p q p q pq p q p q p q

V V F F V F F F

V F F V V F F V

F V V F V F F V

F F V V F V V V

Exemplo

Determinar o valor verdade da proposio R (P Q), sa-bendo-se que VAL (P) = F, VAL (Q) = F e VAL (R) = F.

Soluo

Logo o VAL(R (P Q)) = V Exemplo: (STF-2008) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o corao irado. O orgulho e a vaidade so as portas de entrada da runa do homem. Se o filho honesto ento o pai exemplo de integridade. Tendo como referncia as quatro frases aci-ma, julgue o itens seguintes como certo(C) ou errado(E).

a) A primeira frase composta por duas proposies lgicas simples unidas pelo conectivo de conjuno. b) A segunda frase uma proposio lgica simples. c) A terceira frase uma proposio lgica composta. d) A quarta frase uma proposio lgica em que aparecem dois conectivos lgicos.

Soluo

a) A primeira frase composta por duas proposies lgicas simples unidas pelo conectivo de conjuno. Errado. A sentena no proposio.

b) A segunda frase uma proposio lgica simples. Certo. A sentena A resposta branda acalma o corao irado uma proposio simples. c) A terceira frase uma proposio lgica composta. Errado. Trata-se de uma orao com o sujeito composto,

formando uma proposio simples. d) A quarta frase uma proposio lgica em que aparecem dois conectivos lgicos. Errado. A sentena Se o filho honesto ento o pai exem-plo de integridade apresenta apenas o conetivo condicional. Exemplo: Sabendo que a proposio se A, ento B falsa, podemos concluir que: a) a proposio A verdadeira e B verdadeira. b) a proposio A verdadeira e B falsa. c) a proposio A falsa e B verdadeira. d) a proposio A falsa e B falsa.

p q p pq pq p q p q p q

V V F V V V V F

V F F V F F F V

F V V V F V F V

F F V F F V V F

p q p q pq pq p q p q

V V

V F

F V

F F

P Q R P Q R (P Q)

V V V V V

V V F V F

V F V F F

F V V F F

V F F F V

F V F F V

F F V F F

F F F F V



e) A proposio A sempre falsa. Soluo

Teremos se verdade, ento falso. Logo A verdadeira e B falsa. Resposta: B

2 - TAUTOLOGIA

So as proposies compostas sempre verdadeiras, independentemente dos valores lgicos das proposies simples que as compem. Para verificar se uma proposio uma tautologia basta fazer a tabela verdade da proposio composta. Exemplos:

a) A proposio (p p) uma tautologia, pois sempre

verdadeira para qualquer valor lgico da proposio p.

b) A proposio (p p) uma tautologia, pois verdadeira para qualquer valor lgico da proposio p.

p p p

V V

F V

c) A proposio (p) p uma tautologia, pois sempre

verdadeira para qualquer valor lgico da proposio p.

d) A proposio (p q) (p q) uma tautologia, pois

sempre verdadeira para todos os valores lgicos das proposi-es p e q.

e) A proposio (p q) (q p) uma tautologia, pois

sempre verdadeira para todos os valores lgicos das propo-sies p e q. Vamos deixar para o leitor a verificao pela tabela-verdade.

A tautologia (p q) (q p) conhecida como contra-

positiva.

f) A proposio (p q) (p q) uma tautologia, pois


A tautologia (p q) (p q) conhecida como tautolo-

gia de Morgan.

g) A proposio (p q) (p q) uma tautologia, pois


A tautologia (p q) (p q) tambm conhecida como

tautologia de Morgan.

h) A proposio (pq) (p q) uma tautologia, pois

sempre verdadeira para todos os valores lgicos das proposi-es p e q. Vamos deixar para o leitor a verificao pela tabe-la-verdade.

LISTA DE TAUTOLOGIAS MAIS COMUNS

a) (p p)

b) (p p)

c) (p p) (Identidade)

d) (p q) (p q)

e) (p q) (q p) (Contra-positiva)

f) (p q) (p q) (Morgan)

g) (p q) (p q) (Morgan)

h) (p) p (Negao dupla)

i) (p q) (p q)

CONTRADIES

So as proposies compostas sempre falsas, independen-temente dos valores lgicos das proposies simples que as compem. Para verificar se uma proposio uma contradi-o basta fazer a tabela verdade da proposio composta. Exemplo:

A proposio (p p) uma contradio, pois sempre

falsa para qualquer valor lgico da proposio p.

p p p p

V F V

F V V

p (p) (p) (p) p

V F V V

F V F V

p q pq p pq (pq) (pq)

V V V F V V

V F F F F V

F V V V V V

F F V V V V

p p p p

V F F

F V F



CONTINGNCIA

So as proposies compostas em que os valores lgicos dependem dos valores das proposies simples. Para verificar se uma proposio uma contingncia basta fazer a tabela-verdade da proposio. Se na tabela-verdade alguns valores lgicos forem verdadeiros e outros falsos teremos uma contingncia. Exemplo:

A proposio (p q) uma contingncia, pois a proposio pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores lgicos de p e q. Exemplos:

a) (p p) (p p) uma tautologia, pois a proposio composta sempre verdadeira.

b) (p p) (p p) uma contradio, pois a proposio composta sempre falsa. Exemplo:

Uma tautologia uma proposio composta que sempre verdadeira. Das alternativas abaixo, a nica que tautologia : a) se filosofamos, ento filosofamos. b) se no filosofamos, ento filosofamos. c) Lgica fcil, mas difcil. d) ele feio, mas para mim bonito. e) eu sempre falo mentira.

Soluo A nica proposio sempre verdadeira se filosofamos, ento filosofamos, pois a tautologia (p p). Resposta: A

NMERO DE LINHAS DA TABELA VERDADE

O nmero de linhas da tabela verdade de uma pro-

posio composta com n proposies simples 2n

.

Exemplo:

Observe que a tabela verdade de uma proposio composta com uma proposies simples possui 21 = 2 linhas. Exemplo:

Observe que a tabela verdade de uma proposio composta com duas proposies simples possui 22 = 4 linhas.

Exemplo:

Observe que a tabela verdade de uma proposio composta com trs proposies simples possui 23 = 8 linhas.

Exerccios propostos

1) (2013-ESAF-Analista Tcnico-Administrativo MF) Conforme a teoria da lgica proposicional, a proposio ~ P P : a) uma tautologia. b) equivalente proposio ~ P V P .

c) uma contradio. d) uma contingncia. e) uma disjuno. 2) (2014 IBFC - Qualquer Nvel Mdio SEPLAG/SEDS-MG) De acordo com os conectivos lgicos podemos afir-mar que:

a) Se o valor lgico de uma proposio p for verdade e o valor lgico de uma proposio q for falso, ento p conjuno q

verdade. b) Se o valor lgico de uma proposio p for verdade e o valor lgico de uma proposio q for falso, ento p disjuno q

verdade. c) Se o valor lgico de uma proposio p for verdade e o valor lgico de uma proposio q for falso, ento p condicional q

verdade. d) Se o valor lgico de uma proposio p for verdade e o valor lgico de uma proposio q for falso, ento p bicondicional q

verdade. 3) (ESAF 2009 EPPGG - MPOG) Entre as opes abaixo, a nica com valor lgico verdadeiro : a) Se Roma a capital da Itlia, Londres a capital da Fran-a. b) Se Londres a capital da Inglaterra, Paris no a capital da Frana. c) Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana ou Paris a capital da Frana. d) Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana ou Paris a capital da Inglaterra. e) Roma a capital da Itlia e Londres no a capital da Inglaterra. 4) (2014 IBFC - Analista e Pesquisador de Sade e Tec-nologia I - Administrao FUNED-MG) Com relao aos conectivos lgicos, a nica alternativa incorreta : a) o valor lgico da conjuno (e) entre duas proposies falso se pelo menos um dos valores lgicos de uma das proposies for falso. b) o valor lgico da disjuno (ou) entre duas proposies verdade se pelo menos um dos valores lgicos de uma das proposies for verdade.

p q q (p q)

V V F F

V F V V

F V F F

F F V F

p

V

F

p q

V V

V F

F V

F F

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F



c) o valor lgico do condicional (se, ento) entre duas propo-sies verdade se ambos os valores lgicos das proposi-es forem falsos. d) o valor lgico do bicondicional (se, e somente se) entre duas proposies falso se ambos os valores lgicos das proposies forem falsos. 5) (2009 CESGRANRIO - Engenheiro Civil CAPES) Chama-se tautologia proposio composta que possui valor lgico verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies que a compem. Sejam p e q proposies sim-ples e ~p e ~q as suas respectivas negaes. Em cada uma das alternativas abaixo, h uma proposio composta, forma-da por p e q. Qual corresponde a uma tautologia? (A) p q (B) p ~q (C) (p q) (~p q) (D) (p q) (p q) (E) (p q) (p q) 6) (ESAF 2009 APOF - SEFAZ-SP) Assinale a opo verdadeira. a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9 b) Se 3 = 3, ento 3 + 4 = 9 c) Se 3 = 4, ento 3 + 4 = 9 d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9 e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9 7) (2014 IBFC - Agente Administrativo - Pref. Alagoa Grande-PB) Sejam as proposies p: 15% de 30% = 45% e q: a quarta parte de uma dzia igual a 3, e considerando os valores lgicos dessas proposies, podemos afirmar que o valor lgico da proposio composta (pq)~p : a) falso b) verdadeiro ou falso c) verdade d) inconclusivo

8) (FGV) A proposio (p q) (p q) representa um: a) Contradio b) Contingncia c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A

9) (FGV) A proposio (p q) (p q) representa um: a) Contradio b) Contingncia c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 10) (2014 IBFC - Agente Administrativo - Pref. Alagoa Grande-PB) Dentre as afirmaes, a nica incorreta : a) se os valores lgicos de duas proposies so falsos ento o valor lgico do condicional entre elas falso. b) se o valor lgico de uma proposio falso e o valor lgico de outra proposio verdade, ento o valor lgico da con-juno entre elas falso.

c) se os valores lgicos de duas proposies so falsos ento o valor lgico da disjuno entre elas falso d) se o valor lgico de uma proposio falso e o valor lgico de outra proposio verdade, ento o valor lgico do bicon-dicional entre elas falso.

11) A proposio (p q) (p q) representa um: a) Contradio b) Contingncia c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 12) (CESGRANRIO Analista de Planejamento Adm. Escolar - IBGE 2013) Sejam 1, 2, 3, 4, 5 e c proposi-es verdadeiras. Assim, FALSA

(A) 1 2 3 4 5 c (B) c 1 2 3 4 5 (C) 1 2 3 4 5 c (D) 1 2 3 4 5 c (E) 1 2 3 4 5 c

13) A proposio (p q)(q p) representa um: a) Contradio b) Contingncia c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 14) (2013 IBFC - Oficial Administrativo SUCEN) O raci-ocnio lgico trabalha com proposies, que um conceito fundamental no estudo da lgica. Dadas as proposies abai-xo: p: 16,5% de 200 = 32; q: a quarta parte de 300 igual a 80

correto afirmar que: a) a disjuno de p e q ( p v q ) verdadeira. b) a disjuno de p e q ( p v q ) falsa. c) No existe a disjuno das proposies dadas. d) O valor lgico de p diferente do valor lgico de q.

15) A proposio (p p) representa um: a) Contradio b) Contingncia c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A

16) A proposio (p p) representa um: a) Contradio b) Contingncia c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 17) (2013 IBFC - Oficial Administrativo SUCEN) Dentre as afirmaes:



I. Se duas proposies compostas forem falsas ento o con-dicional entre elas verdade. II. Se duas proposies compostas forem falsas ento o bi-condicional entre elas falso. III. Para que uma disjuno entre duas proposies seja

verdadeira necessrio que ambas proposies sejam ver-dadeiras. IV. Para que uma conjuno entre duas proposies seja

falsa necessrio que ambas proposies sejam falsas. Pode-se dizer que so verdadeiras:

a) Todas b) Somente duas delas c) Somente uma delas d) Nenhuma

18) A proposio (p)p representa um: a) Contradio b) Contingncia c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A

19) A proposio ( (p)) p representa um: a) Contradio b) Contingncia c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 20) Na tabela-verdade abaixo, p e q so proposies.

p q ?

V V F

V F F

F V V

F F F

A proposio composta que substitui corretamente o ponto de interrogao

a) (p q)

b) (~p ~q)

c) (p ~q)

d) (~p q)

e) (p q)

21) (2009 CESGRANRIO - Agente Administrativo FU-NASA) Denomina-se contradio a proposio composta que SEMPRE FALSA, independendo do valor lgico de cada

uma das proposies simples que compem a tal proposio composta. Sejam p e q duas proposies simples e ~p e ~q, respectivamente, suas negaes. Assinale a alternativa que apresenta uma contradio. (A) p q (B) q ~q (C) p ~q (D) ~p q (E) ~p p 22) Na tabela-verdade abaixo, p e q so proposies.

A proposio composta que substitui corretamente o ponto de interrogao

a) (p q)

b) (~p ~q)

c) (p ~q)

d) (~p q)

e) (p q)

Gabarito 1 C 2 B 3 C 4 D 5 E 6 C 7 C 8 C 9 C 10 A 11 C 12 C 13 C 14 B 15 C 16 A 17 D 18 C 19 C 20 D 21 E 22 B

3 Operaes com conjuntos Conceitos

Um conjunto uma coleo de objetos bem definida. Quando x um dos objetos que constituem um determinado conjunto A, chamamos x de elemento do conjunto A, e dize-mos que x pertence ao conjunto A, escrevendo da seguinte

maneira x A. Se x no um elemento do conjunto A, dizemos que x no

pertence ao conjunto A, e escrevemos x A.

A relao entre um elemento e um conjunto chamada de relao de pertinncia. Geralmente representamos os conjuntos por letras maiscu-las (A, B, C, ...), e os elementos por letras minsculas (a, b, c,...). Os conjuntos, na maioria das vezes, so definidos atravs de uma regra com a qual podemos decidir se os objetos perten-cem ou no ao conjunto. Exemplo Seja A o conjunto das mulheres de olhos verdes. Notamos que o conjunto A est bem definido, pois o objeto x pertence ao conjunto A quando for uma mulher e alm disso tiver olhos

verdes. Por outro lado, se x no for uma mulher ou se x for uma mu-lher que no tenha olhos verdes ento x no pertence ao conjunto A.

Usaremos a notao A = {a, b, c, d, ...} para representar o conjunto A cujos o elementos so os objetos a, b, c, d,... . O conjunto dos nmeros naturais 0,1,2,3,... ser representado pelo smbolo N.

N = {0,1,2,3,4,...}

O conjunto dos nmeros inteiros ser representado pela letra Z, logo,

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}

O conjunto dos nmeros racionais, que formado pelas fra-

es p

q, onde p e q pertencem a Z, com q 0, representado

pela letra Q

= {

| }

p q ?

V V F

V F F

F V F

F F V



L-se: Q o conjunto das fraes p

q tal que p pertence a Z e q

pertence a Z e q diferente de zero. Um conjunto pode tambm ser representado por uma proprie-dade P, comum a todos os seus elementos, neste caso es-crevemos:

A = {x | x possui propriedade P} L-se o smbolo | como tal que. Se, no entanto, a propriedade P se refere aos elementos de um determinado conjunto C, escrevemos:

A= {x C | x possui a propriedade P}

Exemplo

Seja A o conjunto dos nmeros inteiros maiores que zero. Ento podemos escrever

A = {x Z | x > 0} L-se: A o conjunto dos x pertencentes ao conjunto dos nmeros inteiros, tal que x maior que zero. Isto : A = {1, 2, 3, 4, ...} Exemplo

Seja B o conjunto dos nmeros pares. Podemos representar B da seguinte forma: B = {x | x = 2K e K N} Isto B = {0, 2, 4, 6, 8, ...} Exemplo

Seja C = {x | x mpar e 5 < x < 20} Podemos representar por: C = {7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} Pode ocorrer que no existam elementos que satisfaam a propriedade P, neste caso dizemos que o conjunto vazio e denotamos por . Deste modo, definimos conjunto vazio, e denotamos por , ao conjunto que no possui elementos. Exemplo

{x N | 0 < x < 1} = Exemplo

O conjunto dos dias da semana que comeam com a letra A (no idioma portugus) o conjunto vazio (). Exemplo

O conjunto dos homens que j geraram um ser humano (con-ceberam um parto), at hoje, o conjunto vazio. Obs.: No clculo de probabilidade o conjunto vazio chama-

do de evento impossvel. Dados os conjuntos A e B, dizemos que A subconjunto de B quando todo elemento de A tambm elemento de B. Escre-vemos A B (A subconjunto de B). Observao:

Se A B, dizemos que A est contido em B ou que A parte de B. A relao A B chama-se relao incluso. O conjunto vazio () est contido em qualquer conjunto (isto , subconjunto de qualquer conjunto). Chamamos de conjunto dos nmeros irracionais, e repre-sentamos por I, ao conjunto dos nmeros que no podem ser

escritos na forma p

q tal que p Z e q Z e q 0. Um nmero

no pode ser racional e irracional ao mesmo tempo. Seja o conjunto A, chamamos de conjunto das partes de A, e denotamos por P(A), ao conjunto formado por todos os sub-conjuntos de A. Exemplo

Seja A= {1, 2, 3} Ento todos os subconjuntos de A so: , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,3}, {2, 3}, {1, 2, 3} Logo P (A) = { , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Observao:

Se um conjunto A possui n elementos, ento P(A) possui 2n elementos. A P(A) e P(A) Exemplo

Seja A = {a, b, c} Para a visualizao dos conjuntos utilizamos o chamado dia-grama de Venn.

Exemplo

Exemplo

Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}; B = {3, 4, 5}; C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Faa o Diagrama de Venn e assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F). a) ( ) A B b) ( ) A C c) ( ) B C d) ( ) B A e) ( ) {1, 4} A f) ( ) A Soluo

a) (F) pois A B (A no est contido em B) como vemos 1

B e 2 B.

b) (V) evidente que A C, pois todos os elementos de A so tambm elementos de C.

c) (V) pois B C, pois todos os elementos de B so tambm elementos de C

d) (F) pois B A (B no est contido em A), como vemos 5 A.

e) (V) evidente que o conjunto {1, 4} A. f) (V) pois o conjunto vazio subconjunto de qualquer conjun-to.ABBA



Unio entre conjuntos

A unio dos conjuntos A e B, o conjunto A B, cujos os elementos so tambm elementos de A ou de B. Isto , se x A B ento x A ou x B.

A B = {x | x A ou x B}

A B

Interseco entre conjuntos

A interseco entre os conjuntos A e B o conjunto A B, cujos elementos so simultaneamente elementos de A e de B. Isto , se x A B ento x A e x B.

A B = {x | x A e x B}

A B

Complementar de um conjunto

Seja um conjunto A. Chamamos de complementar de A, e denotamos por AC, ao conjunto dos elementos que no per-

tencem ao conjunto A. Isto , AC = {x | x A}

Diferena entre os conjuntos A e B Chamamos de diferena entre os conjuntos A e B, e denota-mos por (A B), ao conjunto cujos elementos pertenam ao conjunto A, mas no pertenam ao conjunto B. Isto ,

AB = {x | x A e x B} = A BC

Observao

Quando B A, a diferena A B chama-se conjunto com-plementar de B em relao a A e denotamos por . Logo se B A ento A B = . Representamos n (A) - nmero de elementos do conjunto A n (B) - nmero de elementos do conjunto B n (A B) - nmero de elementos do conjunto A B n (A B) - nmero de elementos do conjunto A B Ento

n (A B) = n (A) + n (B) n (A B)

Algumas propriedades importantes

1. A = A 2. A A = A 3. A = 4. A A = A 5. A B = B A 6. A B = B A 7. (A B) C = A (B C) 8. (A B) C = A (B C) 9. (AC)C = A

10. A B se somente se A B = B 11. A B se somente se A B = A

12. A B se somente se BC AC 15. A AC = Exemplo

Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5} A B

Exemplo

Seja A = {1, 2, 3, 4} e B= {3, 4, 5} A B = {1, 2, 3, 4, 5} A B = {3, 4} B A = {5} Exemplo

Seja A = {1, 2, 3}; B = {2, 4, 5}, C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Calcule: a) A B b) A B c) (A B) C d) (A B) C Soluo

a) A B = {2} b) A B = {1, 2, 3, 4, 5} c) (A B) C = {2} {1, 2, 3, 4, 5, 6,} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} d) (A B) C = { 1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3, 4, 5, 6,} = { 1, 2, 3, 4, 5} Exemplo

Seja um conjunto A com 300 elementos, um conjunto B com 500 elementos. Suponhamos que h 100 elementos comuns em A e B. Quantos elementos possui: a. somente o conjunto A b. somente o conjunto B c. o conjunto A B Soluo

a. 200 elementos b. 400 elementos



c. n (A B) = n(A) + n(B) - n(A B) n (A B) = 300 + 500 - 100 n (A B) = 700 elementos. Exemplo

(MACK-SP) Se A e B so dois conjuntos tais que A B e A , ento: a) sempre existe x A tal que x B.

b) sempre existe x B tal que x A. c) se x B ento x A

d) se x B ento x A e) A B = Soluo

Pelos dados do problema temos: A opo A totalmente absurda pois A B. A opo B, a palavra sempre fora o caso de que A no pos-sa ser igual a B. A opo C, desde que B A. A opo D, correta, basta ver a propriedade 12 (se A B BC AC) A opo E, absurda. Resposta: D

Exemplo

(MACK-SP) Sendo A = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {2, 3, 7}, ento o complementar de B em relao a A : a) b) {8} c) {8, 9, 10} d) {9, 10, 11, ...} e) {1, 5, 8} Soluo

Observe que B A logo = = {1, 5, 8} Resposta: E

Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto de pares ordenados (a, b), tal que a um elemento de A e b um elemento de B. Simbolicamente

teremos. AB = {(a, b) | a A e b B}

Exemplo

Seja A = {0, 1, 2} e B= {1, 2, 3} AB = {(0,1), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)} Para o caso de trs conjuntos A, B e C o produto cartesiano ser definido analogamente.

ABC= {(a,b,c) | a A e b B e c C}

Conjunto dos Nmeros Reais

Chamamos de conjunto dos nmeros reais a unio entre o conjunto dos nmeros racionais e o conjunto dos nmeros irracionais. Isto ,

R = Q I Observao: 1. Podemos concluir que: N Z Q R 2. Podemos concluir que: I Q =

3. Podemos fazer o seguinte diagrama de Venn

R

4. Sejam dois conjuntos A e B. Dizemos que A e B so disjuntos se e somente se A B = Exemplo

A = {0, 1, 3, 4, 6} e B = {2, 5, 7} A B = logo A e B so conjuntos disjuntos.

NMEROS NATURAIS

Os nmeros naturais surgiram quando as primeiras civiliza-es comearam a contar os seus rebanhos. Ento, surgiram os nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... representao dos nmeros chamamos de numeral, por exemplo: 19 o numeral representado pelos algarismos 1 e 9.

CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS () Representaremos o conjunto de todos os nmeros naturais por:

= {, , , , , }

NMEROS PARES E NMEROS MPARES Chamaremos de nmeros pares aos nmeros mltiplos de 2, isto : 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...

Chamaremos de nmeros mpares aos nmeros naturais que no so pares, isto : 1, 3, 5, 7, 9,...

NMEROS INTEIROS Estudamos no ensino fundamental que os nmeros inteiros so:

...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...

PROPRIEDADES E OPERAES DOS NUMEROS INTEIROS

Se a, b e c so nmeros inteiros, ento:

I- a+b = b+a e ab = ba

Dizemos ento que a soma e o produto so operaes comu-tativas.

II- a+(b+c) = (a+b)+c e a.(bc) = (ab).c

Dizemos ento que a soma e o produto so operaes asso-ciativas.

III- a(b+c) = ab + ac

Dizemos ento que o produto distributivo em relao ope-rao soma.

IV- a+0 = a

Dizemos que zero o elemento neutro da operao soma.

V- a.1 = a

Dizemos que um o elemento neutro da operao produto.

VI- Para cada inteiro a, existe um inteiro x, tal que x+a = 0. Este valor de x ser representado por a, e ser chamado de simtrico ou oposto do nmero a.



Exemplos:

-2 simtrico de 2 -3 simtrico de 3 -2 oposto de 2 3 simtrico de -3 3 oposto de -3

CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS

Representaremos o conjunto dos nmeros inteiros por:

= { , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, }

Teremos ento os seguintes conjuntos derivados do conjunto dos nmeros inteiros:

= conjunto dos nmeros inteiros no positivos:

= { , 4, 3, 2, 1,0}

+= conjunto dos nmeros inteiros no negativos: + = {0, 1,2,3,4, }

= conjunto dos inteiros negativos:

= { , 4, 3, 2, 1}

+

= conjunto dos nmeros inteiros positivos:

+ = {1, 2,3,4, }

NMEROS RACIONAIS E FRACIONRIOS, REPRESENTAES EM

FORMA DECIMAL Dizemos que um nmero racional se ele pode ser escrito na forma:

p

q tal que e

Isto quer dizer que um nmero racional se ele p ser escrito como uma frao. Os nmeros que no podem ser represen-tados como uma frao sero chamados de Irracionais. Exemplos:

a) 4

0,4444...9

racional.

b) 12

0,121212...99

racional.

c) 231

0, 231231...999

racional.

d) 2

7 racional.

e) 2 irracional f) irracional

4 - Clculos de Porcentagens

TAXA PERCENTUAL E TAXA UNITRIA

Taxa Percentual a frao cujo denominador igual a 100.

Temos ento que frao 25

100 uma taxa percentual e ser

indicada por 25%, logo:

%100

xx

Quando efetuamos a diviso do numerador por 100, temos como resultado a taxa unitria.

Exemplo

a) 25

100 = 25% (taxa percentual)

b) 25

100 = 0,25 (taxa unitria)

PORCENTAGEM

Calcular a porcentagem de um nmero significa multiplicar a frao percentual pelo nmero.

Exemplo

Calcular:

a) 2

5 de 300 =

2

5 x 300 =

600

5 = 120

b) 25% de 400 = 25% x 400 = 25

100 x 400 = 100

Exemplo

Um capital foi aplicado por um certo perodo a uma taxa de 4% no perodo, tendo recebido no final do prazo R$ 600,00 de juro. Qual o valor do capital aplicado?

Soluo

Sejam os dados: C = capital aplicado i = a taxa de juro J = o juro obtido no final do prazo. Ento teremos: i = 4% no perodo aplicado J = R$ 600,00 A taxa de juro ser o valor do juro aplicado expresso co-mo porcentagem do capital.

6004%

4 600

100

600 100

4

60000$15.000,00

4

Ji

C

C

C

xC

C R

Resposta: R$ 15.000,00

COMPARAO DE DOIS NMEROS

A frao a

b representa a porcentagem que o nmero a

representa de um nmero b.

Exemplo

Que porcentagem o nmero 2 representa do nmero 5?



Soluo

Basta efetuar a frao:

20, 4 40%

5

Resposta: 40%

Exemplo

Numa classe com 80 alunos, 28 foram aprovados em mate-mtica. Qual a porcentagem de aprovados nessa matria? Qual a porcentagem de reprovados?

Soluo

Total de alunos na classe: 80 alunos Quantidade de alunos aprovados: 28 alunos Logo, a porcentagem de alunos aprovados :

280,35 35%

80

A porcentagem de alunos reprovados ser: 100% - 35% = 65% Resposta: 35% e 65%

LUCRO SOBRE O PREO DE VENDA E LUCRO SOBRE O PREO DE CUSTO

Suponha que um produto seja adquirido pelo valor PC, e seja vendido pelo valor PV. Isto :

PC = preo de custo do produto PV = preo de venda do produto L = lucro obtido com a venda do produto Ento temos que o lucro obtido com a venda do produto :

L = PV PC

Sendo assim temos:

a) Lucro sobre o preo de custo: L PV PC

PC PC

.

b) Lucro sobre o preo de venda: L PV PC

PV PV

.

Exemplo

Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e vendeu por R$ 500,00? Qual foi o lucro sobre o preo de custo?

Soluo

PC = R$ 400,00 PV = R$ 500,00 Lucro sobre o preo de custo:

500 400 100 2525%

400 400 100

PV PC

PC

Resposta: 25%

Exemplo

Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e vendeu por R$ 500,00? Qual foi o lucro sobre o preo de venda?

Soluo

PC = R$ 400,00 PV = R$ 500,00 Lucro sobre o preo de venda:

500 400 100 2020%

500 500 100

PV PC

PV

Resposta: 20%

Exemplo

Um produto comprado por R$ 150,00 e vendido por R$ 300,00. Qual foi o lucro sobre o preo de custo? Qual foi o lucro sobre o preo de venda?

Soluo

PC = R$ 150,00 PV = R$ 300,00 Lucro sobre o preo de custo:

300 150 1501 100%

150 150

PV PC

PC

Lucro sobre o preo de venda:

300 150 150 5050%

300 300 100

PV PC

PV

Resposta: 100% e 50%

Exemplo

Um produto vendido com um lucro de 20% sobre o pre-o de venda. Qual foi o lucro sobre o preo de custo?

Soluo

Lucro sobre o preo de venda = 20%

20%PV PC

PV

PV PC = 0,2 PV PV 0,2 PV = PC 0,8 PV = PC PC = 0,8 PV Lucro sobre o preo de custo:

1 20% 0,20,25 25%

0,8 0,8 0,8 0,8

PV PC PV PC PV PC

PC PV PV

Resposta: 25%

TAXA DE VARIAO PERCENTUAL

Chamamos de taxa de variao percentual a medida percentual de quanto a varivel aumentou ou diminuiu. Sendo assim, temos: Vant= Valor antigo da varivel. Vnovo = Valor novo da varivel. = Taxa de variao percentual

novo ant

ant

V V

V

ou

Exemplo

O preo de um produto aumentou de R$ 500,00 para R$ 525,00. Qual foi a taxa de variao percentual do preo?

Soluo

Vant = R$ 500,00 Vnovo = R$ 525,00

525 500 25 55%

500 500 100

novo ant

ant

V V

V

Resposta: 5%

1novo

ant

V

V



Exemplo

Um comerciante comprou um produto por R$ 1.500,00, e o revendeu um ms depois por R$ 1.725,00. Qual foi a taxa de variao percentual no ms?

Soluo

Vant = R$ 1.500,00 Vnovo = R$ 1.725,00

1725 1500 225 1515%

1500 1500 100

novo ant

ant

V V

V

FATOR(OU COEFICIENTE) DE ACUMULAO

Vimos no item anterior que a variao percentual dada por:

1 1 1novo novo novo antant ant

V VV V

V V

e 1

novoant

VV

O fator ou coeficiente de acumulao denotado por 1 + , o valor que multiplicado pelo valor antigo produz o valor novo. Notamos que para varias taxas de variao percentual consecutiva 1 , 2 , ... n aplicadas sucessivamente ob-temos a frmula:

Vnovo = Vant (1+ 1)(1+ 2) ... (1+ n)

que ser chamado de fator de acumulao total dos n pe-rodos consecutivos. Temos portanto que:

= (1+ 1)(1+ 2) ... (1+ n) 1

Ser chamada de taxa de variao total dos n perodos consecutivos. Observao: Se 1 = 2 =.... = n = a frmula ser Vnovo = Vant [1+ ]n

Exemplo

Um comerciante aumentou o preo de um certo produto em 30%. Como a venda do produto caiu, o comerciante arrependido, pre-tende dar um desconto no novo preo de modo a faz-lo voltar ao valor anterior ao aumento. Nesse caso, o comerciante deve anun-ciar um desconto de, aproximadamente: a)15%; b) 19%; c) 23%; d) 28%; e) 30%.

Soluo

Temos duas variaes: A primeira de 30% . A segunda no valor 2 . A variao total ser zero, pois o preo voltar ao anteri-or.

1 2

2

2

1 2

2

2 2

2

1 1 1

0 1 30% 1 1

1,3 1

1,3 3 1

1,3 0,3

0,30, 23

1,3

23%

Resposta: C Exemplo (VUNESP) A diferena entre o preo de venda anunciado de

uma mercadoria e o preo de custo igual a R$ 2.000,00. Se essa mercadoria for vendida com um desconto de 10% sobre o preo anunciado, dar ainda um lucro de 20% ao comerci-ante. Determine seu preo de custo.

Soluo

PV PC = 2000. Como a mercadoria foi vendida com um desconto de 10% e teve um lucro de 20%, temos:

0,920%

0,9 0,2

9 12

PV PC

PC

PV PC PC

PV PC

Temos o sistema:

2000

9 12

PV PC

PV PC

Multiplicando a 1 equao por 9, temos: 9PV 9PC = 18000 12PC 9PC = 18000 3PC = 18000 PC = 6000

Resposta: R$ 6.000,00

Exemplo

Em outubro de determinado ano, o Tribunal Regional do Trabalho concedeu a uma certa categoria profissional um aumento salarial de 80%, sobre o salrio de abril, descontadas as antecipaes. Se os trabalhadores receberam um aumento de 20% em setembro, qual o aumento percentual a ser recebido em outubro, conside-rando o salrio recebido em setembro? a) 66,67% b) 60% c) 50% d) 40% e) 36,66%

Soluo

1 2

2

2

2

2

2 2 2

1 1 1

80% 1 20% 1 1

1,2 1 1,8

1,2 1,2 1,8

1,2 0,6

0,60,5 50%

1, 2

Resposta: C

5 Problemas Resolvidos

Nesse tpico vamos resolver exerccios que envolvem racio-cnios quantitativos, tais como aritmticos, geomtricos, matri-ciais, sequenciais etc. O leitor deve tentar resolver as prxi-mas questes e procurar entender as solues apresentadas aqui nos prximos exemplos. 1) Em uma turma h 18 homens e 15 mulheres. Vinte e oito

alunos dessa turma inscreveram-se para participar de um concurso. Quantas mulheres, no mnimo, esto inscritas para participar desse concurso? (A) 14 (B) 13 (C) 12 (D) 11 (E) 10



Soluo

Para ter a menor quantidade de mulheres precisamos que todos os 18 homens se inscrevam. Logo o nmero mnimo de mulheres inscritas ser 28 18 = 10 mulheres. Resposta: E

2) Uma prova com 240 questes diferentes foi distribuda a trs estudantes, A, B e C, de modo que cada estudante rece-beu um bloco com 80 questes distintas. A apresentou 80% de acertos nas suas respostas; B respondeu corretamente a 90% do seu bloco e C errou 70% de suas questes. Desta

forma, o nmero total de questes erradas, pelos trs estu-dantes, na prova de: a) 24 b) 48 c) 56 d) 80 e) 192

Soluo

Temos que: A 16 erradas B 8 erradas C 56 erradas Total: 80 erradas Resposta: D

3) 12 homens estavam perdidos no deserto. Eles possuam

gua para 30 dias, porm na noite do sexto dia encontraram um outro grupo de homens perdidos, que se juntaram a eles. Sabendo-se que a gua durou apenas mais doze dias, a quantidade de homens no grupo encontrado foi a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

Soluo

Na noite do sexto dia possuam gua para mais 24 dias. Co-mo a gua s durou 12 dias (metade do que deveria), conclu-mos que o nmero de homens dobrou. Logo, no grupo en-contrado havia 12 homens. Resposta: C 4) Na reunio de um condomnio compareceram homens e

mulheres. Aps iniciada a sesso, um homem se retirou, e o nmero de mulheres presentes ficou sendo o dobro do nme-ro de homens. Posteriormente, o homem que havia sado retomou. Em seguida, saram seis mulheres, e o nmero de homens e mulheres presentes ficou igual. O nmero de pes-soas presentes quando a reunio foi iniciada era (A) 14. (B) 16. (C) 18. (D) 20. (E) 22.

Soluo

Incio Etapa 1

Etapa 2

Etapa 3

Homens x x - 1 x x

Mulheres y y y y - 6

2( 1)

6

y x

x y

2( 1)

6

y x

y x

Logo: 2(x-1) = x + 6 2x 2 = x + 6

x = 8 y = 14 Logo o nmero de presentes na reunio foi 22 pessoas (8 homens e 14 mulheres). Resposta: E

5) Estou matriculado no curso de Administrao de Empresas.

Para trancar a matrcula em qualquer disciplina, tenho um prazo mximo de 90 dias a contar de hoje, que tera-feira, vencendo o l. dia, portanto, amanh, 4a feira. Ento, esse prazo vencer em uma (A) segunda-feira. (B) tera-feira. (C) quarta-feira. (D) quinta-feira. (E) sexta-feira.

Soluo

90 dividido por 7 tem como quociente 12 e resto 6. Portanto os 90 dias vencem em uma segunda-feira. Resposta: A

6) Uma lanchonete oferece aos seus clientes as seguintes

opes para montar um sanduche: 2 tipos de pats, 3 tipos de queijos, 4 tipos de frios e 3 tipos de folhas de saladas. Se uma pessoa quiser montar um sanduche com apenas um ingrediente de cada tipo, o nmero de maneiras diferentes que ela poder montar esse sanduche ser (A) 80. (B) 72. (C) 63. (D) 50. (E) 44.

Soluo

Temos: 2 tipos de pats 3 tipos de queijos 4 tipos de frios 3 tipos de folhas de salada Logo pelo princpio fundamental da contagem temos 2 3 4

3 = 72 maneiras diferentes de montar o sanduche. Resposta: B 7) Para presentear amigos, uma pessoa ir montar caixas

com bombons sortidos e, para isso, comprou 500 g de bom-bons com licor, a R$ 36,00 o kg; 1,2 kg de bombons ao leite, a R$ 25,00 o kg, e 1,3 kg de bombons com recheio de frutas, a R$ 30,00 o kg. O preo mdio de um kg de bombom compra-do por essa pessoa saiu por (A) R$ 26,00. (B) R$ 27,00. (C) R$ 28,00. (D) R$ 29,00. (E) R$ 30,00.

Soluo

Temos as seguinte quantidades: 0,5kg de bombons com licor R$ 18,00 1,2kg de bombons ao leite R$ 30,00 1,3kg de bombons com recheio de frutas R$ 39,00 Logo: 1 caixa com 3 kg custa R$ 87,00.

Portanto o kg da caixa ser: $87,00

$29,003

RR

Resposta: D

8) (Vunesp-AgEscVigPen-V1-2012) De mesada, Julia recebe

mensalmente do seu pai o dobro que recebe de sua me. Se em 5 meses ela recebeu R$ 375,00, ento, de sua me ela recebe, por ms, (A) R$ 15,00. (B) R$ 20,00.



(C) R$ 25,00. (D) R$ 30,00. (E) R$ 35,00.

Soluo

Pai Me 10x + 5x = 375 15 x = 375

x = 375

15 x = 25

Logo de sua me recebeu R$ 25,00 por ms. Resposta: C

9) (Vunesp-AgEscVigPen-V1-2012) Valdomiro cronometrou

as voltas que correu em uma pista de 400 m e anotou os tempos na tabela a seguir.

Pode-se afirmar que o tempo mdio dessas quatro voltas foi, em segundos, de (A) 80. (B) 82. (C) 84. (D) 86. (E) 88.

Soluo 15 + 18 + 23 + 24

4= 20

1 min 20 seg = 80 segundos Resposta: A

10) (Concurso Petrobras - 2011) Joo tem 100 moedas,

umas de 10 centavos, e outras de 25 centavos, perfazendo um total de R$ 20,20. O nmero de moedas de 25 centavos que Joo possui (A) 32 (B) 56 (C) 64 (D) 68 (E) 72

Soluo

Seja x o nmero de moedas de 25 centavos, e (100 - x) o nmero de moedas de 10 centavos. Temos que

25 + 10(100 ) = 2020 25 + 1000 10 = 2020

15 = 1020

=1020

15

= . Resposta: D

11) (Concurso Petrobras - 2011) Conversando com os 45

alunos da primeira srie de um colgio, o professor de educa-o fsica verificou que 36 alunos jogam futebol, e 14 jogam vlei, sendo que 4 alunos no jogam nem futebol nem vlei. O nmero de alunos que jogam tanto futebol quanto vlei (A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11 (E) 13

Soluo

Seja x o nmero de alunos que jogam tanto futebol quanto vlei.

36 + + 14 + 4 = 45

54 = 45 = 9

Resposta: C

12) Considere que, independentemente do tipo de demanda, o tempo gasto com o atendimento a cada cliente por um aten-dente, em minutos, seja sempre o mesmo, q que, em 4 horas de trabalho, ele atenda 64 clientes. Nessa situao, o tempo utilizado por esse atendente, no atendimento a cada cliente, a) inferior a 3 minutos. b) superior a 3 minutos e inferior a 4 minutos. c) superior a 4 minutos e inferior a 5 minutos. d) superior a 5 minutos e inferior a 6 minutos. e) superior a 6 minutos.

Soluo

240 min 64 48 min 3 min e 45 seg 60 2880 seg 320 00 Resposta: B

13) Em uma empresa, os empregados tm direito a descanso

remunerado de um dia a cada 15 dias trabalhados. Em de-terminado ano, os dias trabalhados e os dias de descanso somaram 224 dias.

Com base nessa situao, correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de dias de descanso desses empre-gados foi a) superior a 12 e inferior a 16. b) superior a 16 e inferior a 20. c) superior a 20 e inferior a 24. d) superior a 24. e) inferior a 12.

Soluo

224 16 64 14 00 Resposta: A

14) (TRT 15 REGIO FCC 2010) Certo dia, Eurdice falou a Josu: - Hoje uma data curiosa, pois dia de nosso aniversrio, sua idade se escreve ao contrrio da minha e, alm disso, a diferena entre as nossas idades igual ao nosso tempo de servio no Tribunal Regional do Trabalho: 18 anos.

Considerando que Josu tem mais de 20 anos, Eurdice tem menos de 70 anos e mais velha do que Josu, ento, com certeza, a soma de suas idades, em anos, um nmero (A) divisvel por 9. (B) menor que 100. (C) maior que 100. (D) quadrado perfeito. (E) mltiplo de 11.

Soluo

Sejam ab e ba as idades. Logo temos: ab = 10a + b ba = 10b + a A soma das idades ser: ab + ba = 11a + 11b = 11(a + b). (Mltiplo de 11)



Resposta: E 15) (BANCO DO BRASIL FCC 2010) Em um banco, qualquer funcionrio da carreira de Auditor formado em pelo menos um dos cursos: Administrao, Cincias Contbeis e Economia. Um levantamento forneceu as informaes de que I. 50% dos Auditores so formados em Administrao, 60% so formados em Cincias Contbeis e 48% so formados em Economia. II. 20% dos Auditores so formados em Administrao e Ci-ncias Contbeis. III. 10% dos Auditores so formados em Administrao e Economia. IV. 30% dos Auditores so formados em Cincias Contbeis e Economia. Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a proba-bilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados (A) 58% (B) 56% (C) 54% (D) 52% (E) 48%

Soluo

20% + x + 20% - x + x + 10% - x + 10% + x + 30% - x + 8% + x = 100%

98% + x = 100% x = 2%

Substituindo-se os valores temos:

A probabilidade ser: 18% + 2% + 8% + 28% = 56% Resposta: B

16) (TRT 15 REGIO FCC 2010) Certo dia, no incio do expediente de uma unidade do TRT, foram formadas duas filas diante de um balco, onde dois Tcnicos Judicirios - Casimiro e Domitila - prestariam atendimento ao pblico ex-terno. Para que, naquele momento, as duas filas ficassem com o mesmo nmero de pessoas, foram adotados os seguin-tes procedimentos: primeiramente, da fila de Casimiro para a de Domitila, foram deslocadas tantas pessoas quantas havia na fila de Domitila; em seguida, da fila de Domitila para a de Casimiro, foram deslocadas tantas pessoas quanto a quantidade das que haviam restado na fila de Casimiro. Se, aps esses dois procedimentos, ambas as filas ficaram com 16 pessoas, ento, inicialmente, o nmero de pessoas na fila de (A) Domitila era 15. (B) Casimiro era 24. (C) Casimiro era 18. (D) Domitila era 14. (E) Casimiro era 20.

Soluo

Observe que no total so 32 pessoas, temos que: Casimiro Domitila Inicialmente 1 Etapa 2 Etapa 16 16 Observe que na 2 etapa, da fila de Domitila para a de Casi-miro, foram deslocadas tantas pessoas quanto a quantidade das que haviam restado na fila de Casimiro. Logo na etapa anterior a fila de Casimiro possua a metade de pessoas (8 pessoas)

Casimiro Domitila Inicialmente 1 Etapa 8 24

2 Etapa 16 16 Observe que na 1 etapa, da fila de Casimiro para a de Domi-tila, foram deslocadas tantas pessoas quantas havia na fila de Domitila, logo a fila de Domitila possua na etapa anterior a metade de pessoas (12 pessoas). Da temos:

Casimiro Domitila Inicialmente 20 12

1 Etapa 8 24 2 Etapa 16 16 Portanto inicialmente, o nmero de pessoas na fila de Casimiro era 20. Resposta: E

17) (TRT 15 REGIO FCC 2010) Um Tcnico Judicirio

iniciou a digitao de um texto quando eram decorridos 4

9 de

certo dia e terminou essa tarefa quando eram decorridos 61

96

do mesmo dia. Se ao longo desse intervalo de tempo ele interrompeu seu trabalho apenas por 55 minutos, quando, ento, foi almoar, o tempo que ele gastou na digitao de tal texto foi de (A) 2 horas e 30 minutos. (B) 2 horas e 45 minutos. (C) 3 horas e 20 minutos. (D) 3 horas e 40 minutos. (E) 3 horas e 45 minutos.

Soluo

Incio: 4

9 =

4

9 24 =

96

9 =

10 40 . Trmino:

61

96 =

61

96 24 =

61

4

= 15 15 . O tempo que ele gastou na digitao de tal texto foi de:

=

= . Resposta: D

18) (TRF 2 REGIO FCC 2007) Pelo controle de entrada e sada de pessoas em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, verificou-se em certa semana que o nmero de visi-

tantes na segunda-feira correspondeu a 3

4do da tera-feira e

este correspondeu a 2

3do da quarta-feira. Na quinta-feira e

na sexta-feira houve igual nmero de visitantes, cada um deles igual ao dobro do da segunda-feira. Se nessa semana, de segunda sexta-feira, o total de visitantes foi 750, o nme-ro de visitantes na (A) segunda-feira foi 120.



(B) tera-feira foi 150. (C) quarta-feira foi igual ao da quinta-feira. (D) quinta-feira foi igual ao da tera-feira. (E) sexta-feira foi menor do que o da quarta-feira.

Soluo

Suponhamos que a quantidade de visitantes na quarta-feira foi x. Temos ento que o nmero de visitantes na tera-feira

corresponde a 2

3x. Sendo assim o nmero de visitantes na

segunda-feira corresponde a 3

4 do nmero de visitantes da

tera feira, isto : 3 2

4 3 2

xx .

Como o nmero de visitantes na quintafeira foi igual ao n-mero de visitantes na sexta-feira, e igual ao dobro da segun-da-feira, temos que na quinta-feira foi x. Logo temos:

Segunda-feira 2

x visitantes

Tera-feira 2

3x visitantes

Quarta-feira x visitantes Quinta-feira x visitantes Sexta-feira x visitantes Logo o nmero de visitantes na quarta-feira foi igual ao da quinta-feira. Resposta: C 19) (TRT 15 REGIO FCC 2010) Num dado momento, observou-se que o volume de gua no interior da caixa dgua

de um edifcio ocupava 1

3 de sua capacidade e que, se l fos-

sem colocados mais 0,24m3 de gua, o volume de gua na

caixa passaria a ocupar os 2

5 de sua capacidade. Conside-

rando que no foi colocada gua no interior da caixa, ento, no momento da observao, o nmero de litros de gua que seriam necessrios para ench-la era (A) 1 800 (B) 2 400 (C) 2 500 (D) 3 200 (E) 3 600

Soluo

Seja x a capacidade total. Ento temos:

2

5

1

3 = 0,24

15= 0,24

= , = Logo o nmero de litros de gua que seriam necessrios para ench-la era:

= .

Resposta: B

20) (TRF 2 REGIO FCC 2007) Dos 343 funcionrios de uma Unidade do Tribunal Regional Federal, sabe-se que o nmero de homens est para o de mulheres assim como 5 est para 2. Assim sendo, nessa Unidade, a diferena entre o nmero de homens e o de mulheres (A) 245 (B) 147 (C) 125 (D) 109 (E) 98

Soluo

Temos 343 funcionrios. Seja x o nmero de homens e (343 x) o nmero de mulheres. Logo:

5

343 2

2 5 343

2 1715 5

7 1715

1715

7

x

x

x x

x x

x

x

x 245 homens. Temos 245 homens e 98 mulheres. A diferena entre homens e mulheres 245 98 = 147. Resposta: B 21) Uma pessoa faz um depsito de R$ 950,00 para abrir uma

conta em um banco. Aps alguns dias, retira R$ 500,00. Uma semana depois, surge um imprevisto e ela necessita retirar R$ 475,00. Sabendo que ao final dessas transaes sero retira-dos da conta R$ 3,70 de CPMF (imposto obrigatrio em mo-vimentaes financeiras), o saldo final dessa pessoa ser de (A) R$ 28,70. (B) R$ 25,00. (C) R$ 25,00. (D) R$ 26,30. (E) R$ 28,70.

Soluo

Depsito inicial R$ 950,00 Retirada (R$ 500,00) Retirada (R$ 475,00) CPMF (R$ 3,70) Saldo Final (R$ 28,70) ...NEGATIVO Resposta: E

22) Um funcionrio recebeu, no ms de maio, R$ 1.170,00 de

salrio lquido (j com os descontos). Desse valor, 1/3 foi gasto para pagar o aluguel. Do restante, foi gasto em ali-mentao e, do que sobrou, 1/5 foi utilizado em despesas extras. Assim, do salrio lquido inicial, restaram apenas (A) R$ 702,00. (B) R$ 468,00. (C) R$ 375,00. (D) R$ 326,00. (E) R$ 289,00.

Soluo

Salrio inicial R$ 1170,00 Aluguel(1/3 do salrio) (R$ 390,00) Saldo R$ 780,00 Alimentao(1/4 do saldo) (R$ 195,00) Saldo R$ 585,00 Despesas extras(1/5 do saldo) (R$ 117,00) Saldo Final R$ 468,00 Resposta: B

23) Para revestir o piso de um ptio, so utilizadas lajotas

brancas e cinza. A razo entre a quantidade de lajotas cinza e lajotas brancas est indicada na tabela:

Se forem colocadas 432 lajotas brancas, o total de lajotas utilizadas ser de (A) 216. (B) 288. (C) 332. (D) 496.



(E) 576. Soluo

Seja c a quantidade de lajotas cinza. Seja b a quantidade de lajotas brancas. Observe que b = 3c. Como b = 432, temos:

O total de lajotas utilizadas ser 432+144 = 576 lajotas. Resposta: E

24) Certa empresa, investindo na melhoria das condies de

trabalho, adota o seguinte critrio: para cada 1 hora de traba-lho, o funcionrio descansa 10 minutos. Porm, na hora ante-rior ao almoo e na ltima hora de trabalho do dia, no h 10 minutos para descanso. Se um funcionrio comea a traba-lhar s 7 h e 20 min e trabalha 8 horas por dia com 1 hora de almoo, seu horrio de sada ser s (A) 17 h e 20 min. (B) 17 h e 30 min. (C) 17 h e 40 min. (D) 17 h e 50 min. (E) 18 horas.

Soluo

6 horas de trabalho + 60 minutos de descanso : 7 horas. 2 horas de trabalho (antes do almoo e ltima hora): 2 horas. 1 hora de almoo: 1 hora. Total de horas na empresa: 10 horas. Logo seu horrio de sada ser s 7h20min +10h = 17h e 20 min. Resposta: A

25) Numa prova de vinte questes, valendo cinco pontos cada

uma, trs questes erradas anulam uma certa. Podemos concluir que a nota de um aluno que errou nove questes em toda essa prova : a) quarenta pontos. b) quarenta e cinco pontos. c) cinqenta pontos. d) cinqenta e cinco pontos. e) sessenta pontos.

Soluo

Valor total da prova: 100 pontos. Errou 9 questes perdeu 12 5 = 60 pontos. Nota final 40 pontos. Resposta: A

26) Um concurso foi desenvolvido em trs etapas sucessivas

e eliminatrias. Do total de candidatos que participaram da 1 etapa, 3/4 foram eliminados. Dos candidatos que participaram da 2 etapa, 2/5 foram eliminados. Dos candidatos que foram para a 3 etapa, 2/3 foram eliminados, e os 30 candidatos restantes foram aprovados. Sabendo-se que todos os candi-datos aprovados em uma etapa participaram da etapa seguin-te, pode-se afirmar que o nmero total de candidatos que participaram da 1 etapa foi a) 600 b) 550 c) 450 d) 400 e) 300

Soluo

Seja x o total de candidatos que participaram da primeira etapa.

1 Etapa foram eliminados 3

4

x restaram

4

x

2 Etapa foram eliminados 2

5 4

x restaram

3 3.

5 4 20

x x

3 Etapa foram eliminados 2 3

.3 20

x restaram

1 330

3 20 20

x x

x = 20.30 x = 600 candidatos.

Resposta: A

27) Somando-se 4% de 0,6 com 9% de 0,04, obtm-se:

a) 0,0216 b) 0,0256 c) 0,0276 d) 0,0286 e) 0,1296

Soluo

4% de 0,6 + 9% de 0,04 =

4% 0,6 + 9% 0,04 = 0,04 0,6 + 0,09 0,04 = 0,024 + 0,0036 = 0,0276

Resposta: C

28) Calcule o valor da expresso: (, )

a) 0,222... b) 0,333... c) 0,444... d) 0,666... e) 0,1212...

Soluo

(0,444 4 )

2= 0,444 . =

4

9=

2

3= 0,666

Resposta: D

29) Sabendo-se que o algarismo 2 aparece 181 vezes na

numerao de pginas iniciais e sucessivas de um livro, po-demos afirmar que esse livro possui: a) 181 pginas. b) 200 pginas. c) 280 pginas. d) 392 pginas. e) 402 pginas.

Soluo

De 1 at 99 ----- 20 vezes De 100 at 199 20 vezes De 200 at 299 120 vezes De 300 at 399 20 vezes No 402 ----------- 1 vez TOTAL ----------- 181 vezes Resposta: E

30) Um julgamento envolveu trs rus. Cada um dos trs

acusou um dos outros dois. Apenas um deles culpado. O primeiro ru foi o nico que disse a verdade. Se cada um deles (modificando sua acusao) tivesse acusado algum diferente, mas no a si mesmo, o segundo ru teria sido o nico a dizer a verdade. Conclui-se que: a) O primeiro ru inocente e o segundo culpado b) O primeiro ru inocente e o terceiro culpado c) O segundo ru inocente e o primeiro culpado d) O terceiro ru inocente e o primeiro culpado



e) O terceiro ru inocente e o segundo culpado Soluo:

No primeiro caso, como cada um acusou um dos outros dois, e o primeiro foi o nico que disse a verdade, conclumos que o primeiro inocente. No segundo caso, conclumos geralmente que o segundo ru inocente. Logo, o culpado o terceiro ru. Resposta: B

31) Suponha que eu e voc temos a mesma quantidade de

dinheiro. Quanto tenho que te dar para que tenha R$ 10,00 a mais do que eu? A) R$ 5,00 B) R$ 10,00 C) R$ 15,00 D) R$ 20,00 E) R$ 25,00

Soluo:

Questo fcil pois temos a mesma quantidade de dinheiro. Para que tenhas R$ 10,00 a mais do que eu basta dar-te R$ 5,00. Resposta: A 32) Em uma classe, h 20 alunos que praticam futebol mas

no praticam vlei e h 8 alunos que praticam vlei mas no praticam futebol. O total dos que praticam vlei 15. Ao todo, existem 17 alunos que no praticam futebol. O nmero de alunos da classe (A) 30. (B) 35. (C) 37. (D) 42. (E) 44.

Soluo:

n = 20 + 7 + 8 + 9

n = 44 Resposta: E

33) Continuando a sequncia 4, 10, 28, 82, . . . , temos

(A) 236. (B) 244. (C) 246. (D) 254. (E) 256.

Soluo:

Observe que: 3 x 4 2 = 10 3 x 10 2 = 28 3 x 28 2 = 82 3 x 82 2 = 244 Resposta: B

34) Se, para numerar as pginas de um livro, um tipgrafo

usou 747 algarismos, ento o nmero de pginas desse livro (A) 350 (B) 315 (C) 306 (D) 298 (E) 285

Soluo:

Basta contar os algarismos: - da pgina 1 at a 9 temos 9 algarismos. - da pgina 10 at a 99 temos 90 x 2 = 180 algarismos.

- da pgina 100 at a 199 temos 100 x 3 = 300 algarismos. Logo, at a pgina 199 contamos 489 algarismos. Para o tipgrafo escrever 747 faltam 258 algarismos, que represen-

tam 258

863

nmeros. Portanto o nmero de pginas

199 + 86 = 285. Conforme opo E. Resposta: E

35) Considerando-se que 10 vacas consomem 10 arrobas de

rao em 10 dias, em quantos dias 1000 vacas iro consumir 1000 arrobas de rao? A) 01 dia B) 10 dias C) 100 dias D) 1000 dias E) 10000 dias

Soluo:

Se 10 vacas consomem 10 arrobas de rao em 10 dias, ento 1 vaca consumir 1 arroba de rao em 10 dias. Por-tanto temos que 1000 vacas consumiro 1000 arrobas de rao durante os mesmos 10 dias. Resposta: B

36) No almoxarifado de certa empresa h 68 pacotes de papel

sulfite, disposto em 4. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira correspondem a 4 nmeros pares sucessivos, ento dos nmeros seguintes, o que representa uma dessas quanti-dades o A) 8 B) 12 C) 18 D) 22 E) 24

Soluo:

1 Prateleira ==> 2x 2 Prateleira ==> 2x + 2 3 Prateleira ==> 2x + 4 4 Prateleira ==> 2x+6 Total ======> 8x + 12 = 68 8x = 68 - 12 8x = 56, dividindo a expresso por 4 temos: 2x = 14. Ento temos: 1 Prateleira ==> 14 2 Prateleira ==> 16 3 Prateleira ==> 18

4 Prateleira ==> 20 Resposta: C

37) (TRE/AC-FCC-2010) Relativamente ao total de registros

de candidaturas protocolados certo ms por trs Tcnicos

Judicirios, sabe-se que: 8

15 foi protocolado por Alcilia,

5

12 por

Berenice e os demais por Otaclio. Assim sendo, a quantidade protocolada por Otaclio corresponde a que parte do total de registros protocolados nesse ms? (A) 5%. (B) 12,5%. (C) 15%. (D) 17,5%. (E) 20%.

Soluo

Alcileia 8

15 dos registros

Berenice 5

12 dos registros

Otaclio 1 - 8

15

5

12=

303225

60=

3

60=

1

20 = 0,05 = 5%

Resposta: A

38) (TRE/AC-FCC-2010) Diariamente, no refeitrio de uma

empresa so preparados 40 litros de refresco e, para tal, so usados suco de frutas concentrado e gua em quantidades que esto entre si assim como 3 est para 5, respectivamen-te. Se, mantida a quantidade habitual de suco concentrado, a



proporo passasse a ser de 2 partes de suco para 3 partes de gua, ento poderiam ser preparados (A) 1,5 litros a mais de refresco. (B) 1,5 litros a menos de refresco. (C) 2,5 litros a mais de refresco. (D) 2,5 litros a menos de refresco. (E) 2,75 litros a mais de refresco.

Soluo

=

3

5 e C + A = 40

+ =

3

5

40=

3

8 = =

Por outro lado, se

=

2

3

15

=

2

3 A = 22,5 L

Ento teramos 2,5L a menos de refresco Resposta: D

39) (TRE/AC-FCC-2010) Na ltima eleio, ao elaborar o

relatrio sobre o comparecimento dos eleitores inscritos numa Seo Eleitoral, o presidente da mesa de trabalhos observou que 40% do total de inscritos haviam votado pela manh e 75% do nmero restante no perodo da tarde. Considerando que foi constatada a ausncia de 27 eleitores, o total de inscri-tos nessa Seo era (A) 108. (B) 125. (C) 150. (D) 172. (E) 180.

Soluo

X = total de leitores Manh 40% x Tarde 75% (x 40%x) = 75% . 60% = 45% x Votaram 40 x + 45% x = 85% x No votaram 15% x = 27

X =

, x = 180 eleitores

Resposta: E

40) (TRE/AC-FCC-2010) Considere que em 1990 uma Seo

Eleitoral de certa cidade tinha apenas 52 eleitores inscritos 18 do sexo feminino e 34 do sexo masculino e que, a partir de ento, a cada ano subsequente o nmero de mulheres inscritas nessa Seo aumentou de 3 unidades, enquanto que o de homens inscritos aumentou de 2 unidades. Assim sendo, o nmero de eleitores do sexo feminino se tornou igual ao nmero dos eleitores do sexo masculino em (A) 2004. (B) 2005. (C) 2006. (D) 2007. (E) 2008.

Soluo

52 { 18 34

Aps n anos temos: 18 + 3n = 34 + 2n

3n 2n = 34 18 n = 16 anos

Logo 1990 + 16 = 2006 Resposta: C

Exerccios propostos 1) Um aluno estava fazendo esta prova, quando viu que seu

relgio parou. Ento acertou o relgio em 16h e 30min e foi at o banheiro. Chegando l verificou que eram 16h e 20min, lavou o rosto e saiu de l s 16h e 30min. Quando chegou na sala verificou que seu relgio marcava 16h e 45 min. Ento resolveu acertar o seu relgio as: a) 16h e 32 min e 30 seg.

b) 16h e 35 min e 60 seg. c) 16h e 40 min e 30 seg. d) 16h e 45 min e 60 seg. e) 17h e 45 min 2) Se voc estudar, ento ser aprovado. Assim sendo, a) o estudo condio suficiente para ser aprovado. b) o estudo condio necessria para ser aprovado. c) se voc no estudar, ento no ser aprovado. d) voc ser aprovado s se estudar. e) mesmo que estude, voc no ser aprovado. 3) (VUNESP-2013-PCSP-AgentePolicial) Observe a sequn-

cia numrica:

,

,

,

Sabendo-se que o 1 elemento dessa sequncia

, o

2.o elemento

, e assim sucessivamente, o primeiro

nmero natural dessa sequncia corresponder ao (A) 8 elemento. (B) 7 elemento. C) 11 elemento. (D) 91 elemento. (E) 10 elemento. 4) Quarta-feira, dezoito de setembro de mil novecentos e

noventa e seis, oito horas e doze minutos, parado em um semforo, faltavam apenas setecentos metros para o expres-so Barrinha, vindo de Barra do Pira com noventa trabalha-dores a bordo, chegar Estao de Japeri. Ao mesmo tempo, a quatro quilmetros de distncia, um cargueiro desgovernado a cem quilmetros por hora vinha no sentido contrrio, des-cendo a Serra das Araras. O resultado foi a morte de dezes-seis pessoas e mais de sessenta feridos s oito horas e de-zesseis minutos. De acordo com o texto: a) s oito horas e doze minutos, um cargueiro desgovernado a cem quilmetros por hora estava se dirigindo Serra das Araras e iria colidir com o Barrinha. b) No momento do acidente, o Barrinha estava a quatro quilmetros de distncia da Estao de Japeri, seu destino, com noventa trabalhadores a bordo. c) O cargueiro, com noventa trabalhadores a bordo, colidiu com o Barrinha s oito horas e dezesseis minutos do dia dezoito de setembro, causando dezesseis mortes e mais de sessenta feridos. d) O cargueiro, indo para Barra do Pira, desgovernado, aca-bou colidindo com o Barrinha, quando este estava parado em um semforo, a setecentos metros da Estao de Japeri, matando dezesseis pessoas e ferindo mais de noventa. e) Em quatro quilmetros e em quatro minutos se desenvol-veu a cena do acidente narrado do dia dezoito de setembro de mil novecentos e noventa e seis. 5) Recebi um carto onde estavam impressas 4 afirmaes:

- Nesse carto exatamente uma sentena falsa. - Nesse carto exatamente duas sentenas so falsas. - Nesse carto exatamente trs sentenas so falsas. - Nesse carto exatamente quatro sentenas so falsas. Quantas dessas afirmaes so falsas? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) impossvel 6) Escrevendo-se a seqncia de letras, formada pela palavra RACIOCINIO, temos:

RACIOCINIORACIOCINIORACIOCINIO.....

A letra que representa o termo de ordem 2008 : a) A b) C c) I d) O e) N 7) (VUNESP-2013-PCSP-AgentePolicial) Considere verda-

deiras todas as afirmaes a seguir sobre os grupos A, B e C de profissionais de um estabelecimento bancrio: I. O Grupo A tem 12 elementos. II. O Grupo B tem 11 elementos.



III. O grupo C tem 10 elementos. IV. Apenas Ana Lcia faz parte dos trs Grupos, e todos os demais profissionais fazem parte exatamente de um Grupo. Decorre dessas afirmaes que o nmero total de elementos da unio desses trs Grupos (A) 33. (B) 32. (C) 34. (D) 30. (E) 31. 8) Uma torneira enche completamente um tanque em 4 horas.

H um registro de sada no fundo do tanque e, quando aberto, esvazia esse tanque em 8 horas. Se a torneira for totalmente aberta com o tanque vazio, e o registro estiver totalmente aberto, o tanque estar completamente cheio em (A) 12 horas. (B) 10 horas. (C) 8 horas. (D) 6 horas. (E) 5 horas.

Gabarito

1) A 2) A 3) B 4) E 5) D 6) E 7) E 8) C

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