APOSTILA DE TÉCNICAS DIGITAIS
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APOSTILA DE TÉCNICAS DIGITAIS – LDM1PROF ANDRÉ GARCIA
1.0 – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
Sistemas de numeração são mecanismos usados para numerar determinados eventos, através de uma lei de formação. Todos os sistemasque a seguir terão como referência o sistema DECIMAL conhecido peloaluno (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,.....,1010,1011,1012, etc).
1.1 – Sistema binário de numeração:Sistema no qual possui apenas dois algarismos para representá-lo, o zero e
o um. Também chamado de sistema de base 2, conforme tabela abaixo:DECIMAL BINÁRIO DECIMAL BINÁRIO
0123
45
000001010011
100101
6789
1011
11011110001001
10101011
1.2 – Conversão do sistema binário para decimal: Nada mais é do que transformar um número qualquer binário em decimal,
conforme regra abaixo:
a) Multiplica-se o algarismo do número binário pela base elevada ao
expoente de sua colocação no número, sendo que a base do número binárioé dois. No número 11001(b) = 25 (d) ficaria assim:
O expoente segue da direita para esquerda1 1 0 0 124 23 22 21 20
1x24 1x23 0x22 0x21 1x20
16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25
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O número 10011(b) = 19 (d) ficaria assim:
O expoente segue da direita para esquerda1 1 0 0 1
24
23
22
21
20
1x24 0x23 0x22 1x21 1x20
16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 25
Transforme os números abaixo de binário para decimal:
a) 1110 (b) = __________________ b) 1010 (b) = __________________ c) 1100110001 (b) = _________________
respostas: 14 , 10 , 817
1.3 – Conversão do sistema decimal para binário: Nada mais é do que transformar um número qualquer decimal em binário,
conforme regra abaixo:
Divide-se o número decimal pela base em questão, no caso base 2,
obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ter outradivisão pela base, tornar-se-á a fazer esta operação, até termos umresultado que não possa mais dividir pela base. Teremos o número emquestão, sendo o primeiro dígito igual ao último resultado, como exemploabaixo:
a) Qual o número binário referente ao decimal 47?47/2 = 23 23/2 = 11 11/2 = 5 5 /2 = 2 2/2 = 1 ( 1 < 2,
acabou!)
resto: 1 1 1 1 0Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e onúmero ficaria assim: 47 = 101111 (b)
b) Qual o número binário referente ao decimal 400?
400/ 2 = 200/ 2 = 100/ 2 = 50/ 2 = 25/ 2 = 12/ 2 = 6/ 2 = 3/ 2 = 1resto : 0 0 0 0 1 0 0 1
Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e o númeroficaria assim: 400 = 110010000 (b)
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Transforme os números abaixo de decimal para binário:
a) 21 = __________________ b) 552 = __________________
c) 715 = _________________
Respostas:
10101 b ; 1000101000 b ; 1011001011 b
1.4 – Sistema octal de numeração:Sistema no qual possui apenas oito algarismos para representá-lo, o
0,1,2,3,4,5,6 e o 7. Também chamado de sistema de base 8, conforme
tabela abaixo:DECIMAL OCTAL DECIMAL OCTAL0123456
789
0123456
71011
10111213141516
171819
12131415161720
212223
1.5 – Conversão do sistema octal para decimal: Nada mais é do que transformar um número qualquer octal em decimal,
conforme regra abaixo:
a) Multiplica-se o algarismo do número octal pela base elevada aoexpoente de sua colocação no número, sendo que a base do número octal éoito. No número 144(o) = 100 (d) ficaria assim:
O expoente segue da direita para esquerdaX X 1 4 4X X 82 81 80
1x82 4x81 4x80
64 + 32 + 4 = 100
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O número 312(o) = 202 (d) ficaria assim:
O expoente segue da direita para esquerda3 1 2
82
81
80
3x82 1x81 2x80
192 + 8 + 2 = 202
Transforme os números abaixo de octal para decimal:
a) 77 (o) = __________________ b) 100 (o) = __________________ c) 476 (o) = _________________
d) Por que o número 3489 não é um número octal? ____________________
Respostas: 63 ; 64 ; 318 ; pois possui algarismos oito e nove.
1.6 – Conversão do sistema octal para binário: Nada mais é do que transformar um número qualquer octal em binário,
conforme regra muito simples abaixo:Toma-se cada algarismo octal e transforme-os em binário
individualmente, mas obedecendo sempre a transformação com três dígitos binário para cada número octal:
27(o) = 010111 (b) 536(o) = 101011110 (b)
2 7 5 3 6010 111 101 011 110
Transforme os números abaixo de octal para binário:a) 34 (o) = __________________ b) 256 (o) = __________________ c) 44675 (o) = _________________
Respostas: 011100 b ; 010101110 b ; 100100110111101 b
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1.7 – Conversão do sistema binário para octal: Nada mais é do que transformar um número qualquer binário em octal,
conforme regra muito simples abaixo:
Toma-se cada grupo de três algarismos binários, da direita paraesquerda, e faça a conversão desses grupos individualmente em algarismosoctal, mas obedecendo sempre a transformação com três dígitos binário para cada dígito octal:
110010 (b) = 62(o) 11001100(b) = 314 (o)
110 010 011 001 1006 2 3 1 4
Transforme os números abaixo de binário para octal: b) 10111(b) = __________________ b) 11010101(b) = __________________ c) 1000110011(b) = _________________
Respostas: 27(o) ; 325(o) ; 1063(o)
1.8 – Conversão do sistema decimal para octal: Nada mais é do que transformar um número qualquer decimal em octal,
conforme regra abaixo:
Divide-se o número decimal pela base em questão, no caso base 8,obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ter outradivisão pela base, tornar-se-á a fazer esta operação, até termos umresultado que não possa mais dividir pela base. Teremos o número emquestão, sendo o primeiro dígito igual ao último resultado, como exemploabaixo:
a) Qual o número octal referente ao decimal 92?92/8 = 11 11/8 = 1
resto: 4 3
Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e onúmero ficaria assim: 92 = 134 (8)
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b) Qual o número octal referente ao decimal 74?
74/ 8 = 9/ 8 = 1resto : 2 1
Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e o númeroficaria assim: 74 = 112 (o)
Transforme os números abaixo de decimal para octal:a) 512 = __________________ b) 719 = __________________ c) 200 = _________________
Respostas: 1000(o) ; 1317(o) ; 310(o)
1.9 – Sistema hexadecimal de numeração:Sistema no qual possui apenas 16 algarismos para representá-lo, com
letras inclusas. Também chamado de sistema de base 16, conforme tabelaabaixo:
DECIMAL HEXA DECIMAL HEXA01
23456789
01
23456789
1011
1213141516171819
AB
CDEF10111213
1.10– Conversão do sistema HEXADECIMAL para decimal: Nada mais é do que transformar um número qualquer hexa em decimal,conforme regra abaixo:
a) Multiplica-se o algarismo do número hexa pela base elevada aoexpoente de sua colocação no número, sendo que a base do númerohexa é 16. As letras deverão ser substituidas pelo equivalente emdecimal para fazer a multiplicação. No número 3f1(h) = 1009 (d)ficaria assim:
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O expoente segue da direita para esquerdaX X 3 F 1X X 162 161 160
3x162
15x161
1x160
768 + 240 + 1 = 1009
O número 312(h) = 786 (d) ficaria assim:O expoente segue da direita para esquerda
3 1 2162 161 160
3x162 1x161 2x160
768 + 16 + 2 = 786
Transforme os números abaixo de hexadecimal para decimal:
a) 1C3 (h) = __________________ b) 238 (h) = __________________ c) 1FC9 (h) = _________________
RESPOSTAS: 451 ; 568 ; 8137
1.11 – Conversão do sistema HEXA para binário: Nada mais é do que transformar um número qualquer hexa em binário,
conforme regra muito simples abaixo:
Toma-se cada algarismo hexa e transforme-os em binárioindividualmente, mas obedecendo sempre a transformação com quatrodígitos binário para cada número hexa:
A7(h) = 10100111 (b) CE3(h) = 110011100011 (b)
A 7 C E 31010 0111 1100 1110 0011
Transforme os números abaixo de hexa para binário:c) 1ED (h) = __________________ b) ABF (h) = __________________ c) 37 (h) = _________________
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Respostas: 111101101 b ; 101010111111 b ; 110111 b
1.12 – Conversão do sistema binário para hexa: Nada mais é do que transformar um número qualquer binário em hexa,conforme regra muito simples abaixo:
Toma-se cada grupo de quatro algarismos binários, da direita paraesquerda, e faça a conversão desses grupos individualmente em algarismoshexa, mas obedecendo sempre a transformação com quatro dígitos binário para cada dígito hexa:
11100010 (b) = E2(h) 110011110001(b) = CF1 (h)
1110 0010 1100 1111 0001E 2 C F 1
Transforme os números abaixo de binário para hexa:d) 1100011(b) = __________________ b) 11000111100011100(b) = __________________ c) 1000110011(b) = _________________
Respostas: 63(h) ; 18F1C(h) ; 233(h)
1.13 – Conversão do sistema decimal para hexa: Nada mais é do que transformar um número qualquer decimal em hexa,
conforme regra abaixo:
Divide-se o número decimal pela base em questão, no caso base 16,obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ter outradivisão pela base, tornar-se-á a fazer esta operação, até termos um
resultado que não possa mais dividir pela base. Teremos o número emquestão, sendo o primeiro dígito igual ao último resultado, como exemploabaixo:
a) Qual o número hexa referente ao decimal 1000?
1000/16 = 62 62/16 = 3 resto: 8 14
Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e onúmero ficaria assim: 92 = 3E8 (16)
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b) Qual o número hexa referente ao decimal 134?
134/ 16 = 8resto : 6
Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e o númeroficaria assim: 134 = 86 (h)
Transforme os números abaixo de decimal para hexa: b) 384 = __________________ b) 3882 = __________________ c) 350 = _________________
Respostas: 180(h) ; F2A(h) ; 15E(h)
2.0 – OPERAÇÕES ARITMÉTRICAS NO SISTEMABINÁRIO
Trata-se de um assunto importante para compreensão de como funciona os processos matemáticos digitalmente.
2.1 Adição no sistema binário:
Obedece a seguinte tabela :0 + 0 = 01 + 0 = 10 + 1 = 1
1 + 1 = 10 ,sendo que o dígito 1 da esquerda pertenceria a próxima casa binária:
Exemplo:A) 110 b + 111 b = 1101 b
1 1
1 1 0+ 1 1 11 1 0 1
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10
b) 11001 b + 1011 b = 100100 b
1 1 1 1
1 1 0 0 1
+ 1 0 1 1. 1 0 0 1 0 0
Resolva as seguintes somas binárias:
a) 11111 b + 111111 b = _________________ b) 101101 b + 11100011 b = ___________________ c) 10101 b + 111 b = ______________________
Respostas: 1011110 ; 10010000 ; 11100
2.2– Subtração no sistema binário:
Obedece a seguinte tabela :0 - 0 = 01 - 0 = 11 - 1 = 0
0 – 1 = 1 ,e empresta 1 para próxima casa binária:Exemplos:
a) 1000b – 111b = 0001b. 1 0 0 0
- 1 111110 0 0 1
b)
10010 b – 10001 b = 00001 b. 1 0 0 1 0
. - 1 0 0 0 1 1. 0 0 0 0 1
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Resolva as seguintes subtrações binárias:
a) 1111111 b - 111111 b = _________________ b) 101101 b - 111 b = ___________________
c) 10101 b - 101 b = ______________________
Respostas: 1000000 b ; 100110 b ; 10000 b
2.3– Multiplicação no sistema binário:
Procede como uma multiplicação no sistema decimal:
0 x 0 = 01 x 0 = 00 x 1 = 01 x 1 = 1
Exemplos:
a) 1000b x 1b = 10001000
. x 1. 1000
b) 1100b x 11b = 100100. 1100
. x 11
. 1100
. 1100-100100
b) 11010 b x 101 b = 10000010 b. 11010. x 101. 11010. 00000*. 11010**. 10000010
Resolva as seguintes multiplicações:
a) 10101b x 11b = ______________ b) 11001b x 10b = _______________
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c) 5A (h) * 11b = ________________
Rspostas: 111111b ; 11011 ; 100001110
3.0 – FUNÇÕES LÓGICAS – PORTAS LÓGICAS
Existe na matemática eletrônica digital um modelo de sistema lógico para cálculos e formações de sistemas digitais. Esse modelo matemáticochama-se álgebra de Boole. Conjuntamente com esse modelo, temos asfunções lógicas que vão dar formas estruturadas às expressões geradas pelaálgebra de Boole.
Nas funções lógicas, teremos apenas dois estados:- estado 0 (zero);
- estado 1 (um).Esses estados são níveis de eventos opostos entre si, isto é, se oestado zero representa uma torneira fechada, o estado umrepresenta a mesma aberta; se o estado zero representa uma luzapagada, o estado um representa uma luz acesa.
3.1 – Função E ou AND
A função E é aquela que representa a multiplicação booleana de duas ou
mais variáveis, e sua representação algébrica igual a S = A x B x ....N., queé o mesmo que S = A and B and ... N , sendo S o resultado da expressão.Abaixo temos a tabela verdade dessa função e a direita temos o símbolo da porta AND com duas variáveis de entrada.A B S
A S
B
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
3.2 – Função OU ou OR
A função OU (OR) é aquela que representa a soma booleana de duas oumais variáveis, e sua representação algébrica igual a S = A + B + .... N.,sendo S o resultado da expressão, que é o mesmo que S = A ou B ou .... N.
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Abaixo temos a tabela verdade dessa função e a direita temos o símbolo da porta OU com duas variáveis de entrada.
A B S
A
SB
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
1
3.3 – Função NÃO ou NOT
A função NÃO (NOT) é aquela que representa a inversão do estado deentrada da variável, isto é, se na entrada a variável é zero, na saída ficaráum; se na entrada a variável é um, na saída ficará zero a S = ou S = A’,sendo S o resultado da expressão. Abaixo temos a tabela verdade dessafunção e a direita temos o símbolo da porta NOT.
A S
A S0
1
1
0
3.4 – Função NE ou NAND
A função NE ou NAND é aquela que representa a negativa ou inversão damultiplicação booleana de duas ou mais variáveis, e sua representaçãoalgébrica igual a S = A x B x ....N., que é o mesmo que S = A nand B nand... N , sendo S o resultado da expressão. Abaixo temos a tabela verdade
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dessa função e a direita temos o símbolo da porta NAND com duasvariáveis de entrada.A B S
AS
B
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
3.5 – Função NOU ou NOR A função NOU (NOR) é aquela que representa a negativa ou inversão da
soma booleana de duas ou mais variáveis, e sua representação algébricaigual a S = A + B + .... N., sendo S o resultado da expressão, que é omesmo que S = A ou B ou .... N. Abaixo temos a tabela verdade dessafunção e a direita temos o símbolo da porta NOR com duas variáveis deentrada.
A B S
A
SB
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
0
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BLOCOS LÓGICOS BÁSICOSPORTA SÍMBOLO TABELA
VERDADEFUNÇÃOLÓGICA
E
AND
A B S Função E: Assume
valor 1 quando todasas variáveis foremiguais a 1, e valor zeronos outros casos
possíveis.
0 00 11 01 1
0001
OU
OR
A B S Função OU: Assumevalor 0 quando todasas variáveis foremiguais a 0, e valor umnos outros casos
possíveis.
0 00 11 01 1
0111
NE
NAND
A B S Inverso da FunçãoE (AND)
0 00 11 01 1
1110
NOU
NOR
A B SInverso da FunçãoOU (OR)
0 00 11 0
1 1
100
0
NÃO NOT
INVERSOR
A Função NÃO:Inverte a variávelaplicada a suaentrada
01
10
EXERCÏCIO : Faça a tabela verdade e o símbolo das portas NAND e OR
com três variáveis de entrada, A,B e C:
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4.0 - CIRCUITOS LÓGICOS, EXPRESSÕES BOOLEANASE TABELA VERDADE
Através de um ou mais circuitos lógicos associados entre si teremos
uma expressão booleana equivalente. O objetivo será exatamente formar um complexo eletrônico no qual busca-se uma solução digital para umou mais eventos eventos binário na entrada, através de variáveis.
4.1 – Expressões booleanas geradas por circuitos interligados
Exemplificando, temos o seguinte circuito 1):
A S1 SB
C
Qual seria a expressão booleana?
- Temos S1 = A x B- Temos S = S1 + C- Logo, substituindo S1 , teremos S = A x B + C
Circuito 2)
A
B
C
D
S = (A+B) x (C+D)
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Circuito 3)
A
B
C
D
S = (AxB) + C’ + (CxD)’
Circuito 4)
A
B
C
D
S = { [ (A’ x B) x (B x C)’ x (B + D)’ ]’ }
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Circuito 5) Faça a expressão booleana do seguinte circuito:
B
C
4.2 - Circuitos obtidos de expressões booleanas: Neste caso teremos uma expressão booleana e formaremos o diagrama
do circuito equivalente:
Expressão 1) S = (A+B) x C x (B+D)
A
B
C
D
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Expressão 2) S = A x B + (A+B) x C’A
B
C
Expressão 3) S = [ (A x B)’ + (C X D)’ + D]
A
B
C
D
Expressão 4) ALUNO FAZER S = { [(A’ + B)’ + (C’ x D)’]’ x E + [ (A x D’ x E’) + (C x D x E)] x
A’ }
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4.3 - Tabela verdade obtida de expressões booleanas:
Para obtermos a tabela verdade, isto é, qual a saída S para todas ascombinações nas entradas pelas variáveis, fazemos da seguinte forma:
a) Montamos o quadro de combinações das variáveis de entrada; b) Montamos as colunas com os agrupamentos da equação, podendo ter
colunas auxiliares, e uma coluna para o resultado final;c) Preenchemos essas colunas independentemente com resultados obtidos
das variáveis;d) Preenche-se a coluna do resultado final obedecendo os operandos dos
agrupamentos da expressão.
Exemplo 1) S = A’ + AB + AB’C (Obs.: Quando coloca-se as variáveis juntas, como AB, é o mesmo que A x B) :
A B C 1o MembroA’
2o MembroAB
Auxiliar B’
3o MembroAB’C
ResultadoS
0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1
11110000
00000011
11001100
00000100
11110111
Exemplo 2) S = A’B + BCA B C Auxiliar
A’1o Membro
A’B2o Membro
BCResultado
S0 0 0
0 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1
1
1110000
0
0110000
0
0010001
0
0110001
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Exercício 1) Faça a tabela verdade com o resultado S da seguinteexpressão: S = (A+B) x C x (B+D)
A B C D S0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 1
1 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1
4.3 - Tabela verdade obtida de circuitos:
Basta em primeiro lugar achar a expressão booleana do circuito para depoismontar a tabela verdade:
Exercício 1) Ache a expressão do circuito abaixo e monte a tabela verdade:
A
B S
C
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Exercício 2) Monte a Tabela verdade da expressão abaixo:
S = [ ( A + B) x C] ‘ + [ D x (C + B)] ‘
A B C D A + B S0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 1
1 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1
Exercício 3) Prove as seguintes equações, através de tabelas verdadescomparando-as:
a) (A’ x B’) ≠ (A x B)’ b) (A’ + B’) ≠ (A + B)’
c) (A’ x B’) = ( A + B)’ d) (A’+ B’) = (A x B)’
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Exercício 4) Obtenha dois inversores, um com uma porta NE, outro comuma porta NOU – Dica, fazer a tabela verdade:
5.0 - CIRCUITOS COMBINACIONAIS:
Circuitos combinacionais são aqueles que a saída depende única eexclusivamente das várias combinações entre as variáveis de entrada.Temos, então que analisar uma situação real, definir as variáveis econvenções, formar uma tabela verdade, chegar a uma expressão e,finalmente, montar o circuito:
SITUAÇÃOA SER ANALIZA-DA
TABELA
VERDADE
EXPRES-SÃO CIRCUITO
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EXEMPLO 1)
RUA B
Sinal2
SINAL 1
RUA (A) PREFERENCIALSINAL 1
Sinal2
Temos um cruzamento entre as ruas A e B, queremos colocar um sistemaque acione os dois sinais (1) e (2), obedecendo as seguintes situações:
1- Quando houver somente carros na rua A , o sinal 1 deverá estar verde;2- Quando houver somente carros na rua B , o sinal 2 deverá estar verde;3- Quando houver carros transitando nas Ruas A e B, o sinal para rua Aficará verde, pois é preferencial, e o da rua B vermelho;
Através dos dados acima, serão definidos variáveis e estados das mesmas, para se montar a tabela verdade:
a) Existe carro em A -> A = 1 , caso não exista, A = 0 ; Rua A é uma
variável b) Existe carro em B -> B = 1 , caso não exista, B = 0 ; Rua B é umavariável
c) Vd do sinal 1 (V1) aceso, Vd sinal 2 apagado, vm do sinal 2 aceso =>V1 = 1 ; V2 = 0
d) Vd do sinal 2 (V2) aceso, Vd sinal 2 apagado, vm do sinal 1 aceso =>V2 = 1 ; V1 = 0
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TABELA VERDADE
SITUAÇÃO RUA A Rua B V1 V20
123
0
011
0
101
X(1)
011
X(0)
100
Convenciona-se que quando a variável de saída é 1, buscamos as variáveisde entrada. Se estiver 1, temos sua designação igual a mesma sem a barraou o ‘ . Caso contrário, se estiver 0, temos sua designação barrada ou com ‘. Exemplo: A = 1 ; = 0.
Análise sinal 1:Quando teremos Sinal V1 em verde, e obviamente V2 vermelho? Nas
situações 0 ou 2 ou 3. Situação 0 =>>>>> A’ x B’ = 1 ouSituação 2 =>>>>> A x B’ = 1 ouSituação 2 =>>>>> A x B = 1.
Logo a expressão do Sinal 1 ficará : V1 = A’B’ + AB’ + AB
Análise sinal 2:Quando teremos Sinal V2 em verde, e obviamente V1 vermelho? Nasituação 1. Situação 1 =>>>>> A’ x B = 1Logo a expressão do Sinal 2 ficará : V2 = A’B
Agora podemos fazer os circuitos que farão funcionar os dois sinaisnas condições propostas:
V1 = A’B’ + AB’ + AB V2 = A’B
A
B
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6.0 - ÁLGEBRA DE BOOLE E SIMPLIFICAÇÃO:
Muitos dos circuitos já estudados permitem simplificação, diminuindo sua complexidade no atode se fazer o circuito eletrônico. Para tal fim, far-se-á necessário a compreensão da álgebra de
Boole e seus postulados. A álgebra de Boole, que são representadas as variáveis por letras, podem estas assumir apenas os valores 1 ou 0. Desta primícia, foram determinados alguns postulados.
6.1 - Postulados.
6.1.1 – Postulado da Complementação:
Se A = 0 => A’ = 1Se A = 1 => A’ = 0
Então, A” = A
6.1.2 – Postulado da Adição:
0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1
Então:
A + 0 = A
A + 1 = 1A + A = AA + A’ = 1
6.1.3 – Postulado da Multiplicação:
0 x 0 = 00 x 1 = 01 x 0 = 01 x 1 = 1
Então:
A x 0 = 0A x 1 = AA x A = AA x A’ = 0
6.2 – Propriedades:
6.2.1 Propriedade Comutativa:
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6.2.1.1 - Comutativa na soma:
A+B = B+A
Provar pela tabela verdade:
6.2.1.2 – Comutativa na Multiplicação:
AxB = BxA
Provar pela tabela verdade:
6.2.2 Propriedade Associativa:
6.2.2.1 – Associativa na Adição:
A + (B+C) = (A+B) + C = A + B + C
6.2.2.2 – Associativa na Multiplicação:
A x (BxC) = (AxB) x C = A x B xC
6.2.3 Propriedade Distributiva:
A x (B+C) = (AxB) +(AxC)
6.3 – Teoremas de Morgan:6.3.1 – O complemento do Produto é igual à soma dos Complementos de n variáveis:
(AxB)’ = A’ + B’
6.3.2 – O complemento da Soma é igual ao produto dos Complementos:
(A+B)’ = A’ x B’
6.4 – Identidades Auxiliares:
1) A + AB = A
Prove:
2) A + A’B = A+B
Prove:
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3) (A+B) x (A + C) = A + BC
Prove:
6.5 – Simplificação de Expressões booleanas:
Baseado nos postulados, teoremas e identidades acima, podemos, quando possível, fazer simplificações de expressões booleanas, facilitando a execução dos circuitos eletrônicos.Exemplo:
1) S = ABC + AC’ + AB’ Resposta : S = A ; Provar:
Desenhar os dois circuitos:
2) S = A’B’C’ + A’BC’ + AB’C Resposta: S = A’C’ + AB’C ; Prove:
Exercícios para aula:
a) S = A’B’ + A’Bb) S = A’B’C’ + A’BC + A’BC’ + AB’C’ + ABC’c) S = (A+B+C) . (A’+B’ + C)
Respostas: a) S = A’ ; b) S = C’+ A’B ; c) S = AB’ + A’B + C
Fazer em casa: S = ( (AC)’ + B + D) ‘ + C(ACD)’ Resposta: S = CD’ + A’C
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6.6 – Simplificação de Expressões booleanas com diagrama Veitch-Karnaugh:
O diagrama Karnaugh foi elaborado com o propósito de simplificar uma expressão oudiretamente de uma tabela verdade.
6.6.1 – Diagrama Karnaugh com duas variáveis:
B’ BA’ 00 01A 10 11
Exemplo : S = A’B’ + A’B + AB’
B’ BA’ 1 1A 1 0
Tabela verdade:
A B S0
011
0
101
1
110
Resposta: S = B’+ A’
6.6.2 – Diagrama Karnaugh com três variáveis:
A’B’ B
000 001 011 010A 100 101 111 110
C’ C C’
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Exemplo 1) : Faça a simplificação da expressão definida pela seguinte tabela verdade:
A B C S0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1
10111010
S = A’B’C’ + A’BC’ + AB’C’ + A’BC + ABC’
A’B’ B
AC’ C C’
Resposta: S = A’B + C’
A) : Faça a simplificação da expressão definida pela seguinte tabela verdade:
A B C S0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1
01011110
S =
A’B’ B
AC’ C C’
Resposta: S = A’C + AC’ + B’C
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B) Faça a tabela verdade e minimize com Karnaugh a seguinte expressão:
S = A’B’C’ + A’B’C + A’BC + AB’C + ABC Resp: S = C + A’B’
S = A’BC + AB’C’ + ABC’ Resp.: AC’+ A’BC
6.6.2 – Diagrama Karnaugh com quatro variáveis:
C’ CA’ 0000 0001 0011 0010 B’
0100 0101 0111 0110 BA 1100 1101 1111 1110
1000 1001 1011 1010 B’D’ D D’
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Exemplo 1)
A B C D S0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 1
1 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1
011101011101
1101
S = ?
C’ CA’ B’
BA
B’D’ D D’
Resposta: S = D + AC’ + A’B’C
Exemplo 2) A B C D S0 0 0 00 0 0 1
0 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 1
1 1 1 01 1 1 1
01
011111001000
01
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S = ?
C’ CA’ B’
BA
B’D’ D D’
Resposta: AB’CD’+ BCD + A’B + A’D
Exercícios:Minimize FAZENDO ANTES A TABELA VERDADE:
a) S = A’B’C’D’ + A’ B’C’D + A’B’CD’ + A’BC’D + AB’C’D’+ AB’C’D + AB’CD’ +ABC’D + ABCD Resp: S = ABD + C’D + B’D’
b)A B C D S0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 1
1 1 1 01 1 1 1
10101111101010
11
S = ?RESP: S = A’B +BC +D’
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7.0 - CIRCUITOS COMBINACIONAIS PARTE 2:
7.1 – CÓDIGOSDentro de um aspecto digital, podemos formar as diversas combinações das
variáveis de entrada em códigos específicos. Por exemplo, o código específico da tabela verdade
de quatro variáveis (A,B,C e D), ou quatro bits, é chamado de código BCD 8421, que significaBinary Coded Decimal.
7.1.1 – CÓDIGO BCD 8421 Neste código temos exatamente a composição binária de soma uma (1) unidade
binário com a soma de uma (1) unidade decimal
7.1.2 – CÓDIGO Excesso 3 Neste código temos o início do código binário adiantado de 3 unidades em relação
ao decimal. Neste código temos somente de 0 até 9 decimal. Este código é usado em algunscircuitos aritméticos:
DECIMAL Excesso 3A B C D
0123456789
0 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0
DECIMAL BCD 8421A B C D
01
23456789
10111213
1415
0 0 0 00 0 0 1
0 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 1
1 1 1 01 1 1 1
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7.1.3 – CÓDIGO Johnson Neste código, de 5 bits, isto é, 5 variáveis de saída, temos os bits de saída = 1 colocados da
direita para esquerda, seqüencialmente, como se fosse um “ônibus” atravessando um rua:
DECIMAL Johnson
A B C D E0123456789
0 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 10 0 1 1 10 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 01 1 1 0 01 1 0 0 01 0 0 0 0
7.1.4 – CÓDIGO GRAY Neste código temos a característica de deslocar para direita as colunas da esquerda,
começando a primeira COLUNA com 0, a segunda com 00, a terceira com 0000 e a quarta com00000000:
7.2 – Codificadores e Decodificadores:A função de um decodificador no sistema digital é fazer com que um código de
entrada seja transformado em outro código na saída deste sistema decodificador. Exemplo:
Entrada de dados: Código BCD 8421 ==è Sistema è Saída de dados: Excesso 3Vejo o sistema como codificador Vejo o sistema como decodificador
DECIMAL GRAYA B C D
0123
456789
101112131415
0 0 0 00 0 0 10 0 1 10 0 1 0
0 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 01 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0 1 11 0 0 11 0 0 0
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7.2.1 – Decodificador BCD 8421 para Excesso 3:
BCD 8421A B C D
EXCESSO 3S3 S2 S1 S0
0 0 0 0
0 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0
1 1 0 11 1 1 01 1 1 1
0 0 1 1
0 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0X X X XX X X XX X X X
X X X XX X X XX X X X
Teremos que ter 4 circuitos para definir nosso decodificador. Serão eles S1, S2, S3e S4. Antes de fazer o circuito, teremos que simplifica-los:
S3 = A’BC’D + A’BCD’ + A’BCD + AB’C’D’ + AB’C’DS2 = A’B’C’D + A’B’CD’ + A’B’CD + A’BC’D’ + AB’C’DS1 = A’B’C’D’ + A’B’CD + A’BC’D’ + A’BCD + AB’C’D’S0 = A’B’C’D’ + A’B’CD’ + A’BC’D’ + AB’C’D’ + A’BCD’
S3:C’ C
A’ B’B
AB’
D’ D D’Resposta: S3 = A+ BD +BC
S2:C’ C
A’ B’B
AB’
D’ D D’Resposta: S2 = B’D+ B’C + BC’D’
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S1C’ C
A’ B’B
A
B’D’ D D’Resposta: S1 = C’D’+CD
S0C’ C
A’ B’B
AB’
D’ D D’Resposta: S0 = D’
Fazer o circuito:
7.2.1 – Decodificador BCD 8421 para Excesso 3:EXCESSO 3
A B C DBCD 8421S8 S4 S2 S1
0 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 0
0 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0
1 1 0 11 1 1 01 1 1 10 0 0 00 0 0 1
0 0 1 0
0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 1
0 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 1
X X X XX X X XX X X XX X X XX X X X
X X X X
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Na tabela verdade do excesso 3 acima, temos parte da numeração do mapa deKarnaught que não faz parte desta codificação, então tanto faz seu resultado a direita dodecodificador, pois na prática, nunca será usado.
S8 = AB’CD + ABC’D’S4 = A’BCD + AB’C’D’ + AB’C’D + AB’CD’S2 = A’BC’D + A’BCD’ + AB’C’D + AB’CD’S1 = A’BC’D’ + A’BCD’ + AB’C’D’ + AB’CD’ + ABC’D’
S8:C’ C
A’ B’B
A
B’D’ D D’Resposta: S8 = AB + ACD
S4:C’ C
A’ B’B
AB’
D’ D D’Resposta: S4 = B’D’+ AC’D + BCD
S2C’ C
A’ B’B
AB’
D’ D D’Resposta: S2 = C’D+CD’
S1C’ C
A’ B’B
AB’
D’ D D’Resposta: S1 = D’
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Exercício proposto:
Fazer a tabela verdade para acender um display de 7 segmentos, fazendo um decodificador de bcd 8421 para display de 7 segmentos, com a numeração de 0 até 9, simplificar com karnaught edesenhar o circuito. Obedecer a disposição nominal abaixo, para o display de 7 segmentos:
af b
ge c
d
Exemplo: Para formar o número 1, temos que acender as letras b e c, logo temos b = 1 e c= 1
8.0 - FLIP-FLOPS:
O flip-flop é um dispositivo que possui dois estados estáveis. Para o flip-flop assumir um desses estados é necessário que haja uma combinação das variáveis e um pulso, um disparo,que chamaremos de CLOCK.
8.1 – FLIP-FLOP RS:Este flip-flop é pouco usado, pois não permite o uso das entradas 1 e 1.
.__________ ___________
_________.
___________. ___________
FF RSR S QF0 00 11 01 1
Qa01
Não permitido
S Q
CK
R Q’
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8.2 – FLIP-FLOP JK:Este flip-flop, no caso de J = 1 e K = 1, para ter-se QF = Q’a, é necessário que a
entrada clock volte à situação zero, após a aplicação dos sinais na entrada, teremos então, com o pulso de clock, o valor Q’A:
.__________ ___________
_________.
___________. ___________
FF JK J K QF0 0
0 11 01 1
Qa
01
Q’A
8.2.1 – FLIP-FLOP JK com entradas Preset e Clear:Podemos forçar a saída inicial de Q em 1 ou zero, uando nosso flip-flop possuir os
recursos de Preset (Pr) e Clear (CLR), conforme tabela verdade abaixo:
FF JK usando PR e CLR CLR PR QF
0 00 11 01 1
Não permitido01
funcionamentonormal
8.2.2 – FLIP-FLOP JK mestre-escravo:O flip-flop JK tão somente, caso o clock seja 1, e houver uma modificação nas entradas
J e K, automaticamente mudará a saída Q, sem termos uma transição de clock, indesejável paracertos circuitos. Então surgiu o JK mestre-escravo, que muda o estado da saída Q quando háuma transição do clock de 0 para 1, conforme a entrada apresentado. Depois disto, mesmo
mudando a entrada, somente teremos um novo Qf se o clock for a 0, para ir a 1 novamente,estabelecendo essa nova saída. A tabela verdade é a mesma do item 8.2.
8.3 – FLIP-FLOP Tipo T:Basta unir as entradas J e K para termos esse flip-flop. Faça a tabela verdade.
8.4 – FLIP-FLOP Tipo D:Basta unir as entradas J e K’, isto é, colocando um inversor na entrada para K, e teremos
esse flip-flop. Faça a tabela verdade.
J Q
CK
K Q’
5/11/2018 APOSTILA DE TÉCNICAS DIGITAIS - slidepdf.com
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Aluno: _____________________________ Matrícula_______
Rubrica_________________________ Apost num______
Rubrica Professor ______________________________
Exercícios:
1) 11001011 (b) > decimal?
2) 145 (d) > binario?
3) 111100011110 > hexa?
4) 3FE (h) > decimal
5) FA4 (h) > binario
Faça:
A) soma binario : 10011101 + 111 =
B) Subtração binário: 111100101- 10101 =
C) Multiplicação binário: 10111 x 101 =