Apostila de termodinamica

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1 Captulo 1 Fundamentos da Termodinmica e da Mecnica dos Fluidos

1.Conceitos e Definies: 1.1 Sistema Trmico ou Termodinmico (ou Sistema Fechado): = massa especfica [kg/m3] m = massa [kg] V = volume [m3] Exemplo: Expanso de gs (mecanismo cilindro pisto) = m [kg/m3] V 2 Velocidade (de gs), V ~ 0 A equao da continuidade: m = vazo em massa [kg/s] v = velocidade do fluido (gs) [m/s] A = rea de escoamento [m2] P, V (volume) variam quando T = cte. (Sem aquecimento, retirando peso) | P, T variam quando V (volume) = cte. (Se o pisto for preso) 1.2 Volume de Controle (V.C.) ou Sistema Aberto: Exemplo: Uma regio de um tubo onde h um escoamento de gua: Exemplo: m = .V.A 3 1.3 Estado e Propriedades de uma substncia: Estado:Estadoacondiodosistema,descritooumedidopelassuaspropriedades (Propriedades Independentes). Propriedadedeumasubstncia:definidacomqualquergrandezaquedependedo estadodosistemaeindependedomeioqueosistemaalcanarqueleestado.Algumasdasmais familiares so: Temperatura, Presso e Massa especfica. Propriedadeintensiva:Umapropriedadeintensivaindependentedamassadosistema, por exemplo, Presso, Temperatura, Viscosidade, Velocidade, etc. Propriedade extensiva: Uma propriedade extensiva depende da massa do sistema e varia diretamente com ela. Exemplo: Massa, Volume total (m3), todos os tipos de Energia. Aspropriedadesextensivasdivididaspelamassadosistemasopropriedadesintensivas, tais como o Volume especfico, Entalpia especfica. Equilbriotermodinmico:Quandoosistemaestemequilbriomecnico(mesma presso),qumicoetrmico(mesmatemperatura),osistemaconsideradocomoequilbrio termodinmico. 1.4 Processos, Transformaes e Ciclos: Processo: Processo ocorre quando um sistema sofre, ou a mudana de estado (mudana de umaoumaispropriedades)ouatransfernciadeenergianumestadoestvel.Processopode tambm ser chamado de transformao. Exemplo: 4 Quando removido um dos pesos sobre o mbolo, este se eleva e uma mudana de estado ocorre, pois a presso decresce e o volume aumenta. Nocasodeumaretiradarepentinadospesosdeumasvez,ombolosedeslocariarapidamente para cima. Recolocando os pesos de uma s vez, o sistemano retornaria ao estado inicial, sendo necessrio um peso adicional. Este peso adicional corresponde a um trabalho suplementar que foi necessrio para vencer o atrito. Isto caracteriza um processo no-reversvel (irreversvel). Todo processo natural no-reversvel (irreversvel) porque ele realizado com atrito. Os processos podem ser: Isobrico quando a presso constante Isovolumtrico quando o volume constante Isotrmico quando a temperatura constante Isoentrpico quando a entropia constante Adiabtico quando no h transferncia de calor Politrpico quando variam todas as propriedades Ciclotermodinmico:Quandoumsistema,emumdadoestadoinicial,passaporcerto nmerodemudanasdeestadoouprocessosefinalmenteretornaaoestadoinicial,osistema executa um ciclo. O vapor dgua que circula atravs de uma instalao a vapor e produz trabalho mecnico executa um ciclo. 1.5 Unidades: Comprimento: A unidade bsica de comprimento o metro. 1 metro = 1650763,73 comprimento de onda da faixa vermelho-laranja do Kr-86[Krypton]. 1 pol. = 2,540 cm. 12 pol. = 1 p = 30,48 cm p3 = 0,02832 m3 Massa: No Sistema Internacional (SI) a unidade de massa o quilograma (kg). No sistema ingls, a unidade de massa a libramassa (lbm).A relao entre o SI e osistema ingls dada como:1 kg = 2,2046 lbm Fora: A unidade de fora no Sistema Internacional o Newton (N), definida como: 1 N = 1 kg . m / s2 P 1[T = cte.] V 5 Fora, massa, comprimento e tempo esto relacionados pela 2a Lei de Newton, que diz ser aforaatuantesobreumcorpoproporcionalaoprodutodamassapelaaceleraonadireoda fora. Onde, gc a constante querelacionaasunidadesde fora,massa,comprimentoe tempo. O Newton pode ser definido como sendo a fora que atua sobre uma massa de 1 quilogramanum local onde a acelerao da gravidade 1 m/s2. No sistema tcnico (Sistema mtrico prtico) a unidade de fora o quilograma-fora (kgf). Okgfdefinidocomosendoaforacomqueamassadeumquilogramamassapadro atrada pela Terra em um local onde a acelerao da gravidade 9,8067 N. 1 kgf= 1 kg x 9,8067 m/s2 Portanto, 1 kgf= 9,8067 N= 2,205 lbf I lbf= 0,4536 kgf Unidade tcnica de massa (Utm) no Sistema Gravitacional Mtrico: 1 Utm= 1 kgf= 1 kgf . s2 =F 1 m/s2 m a 1.6 Volume especfico: O volume especfico de uma substncia definido como o volume por unidade de massa e reconhecido pelo smbolo u. A massa especfica (densidade) de uma substncia definida como a massa por unidade de volume,sendodestaformaoinversodovolumeespecfico.Amassaespecficadesignadapelo smbolo . O volume especfico e a massa especfica so propriedades intensivas. Matematicamente, o volume especfico pode ser escrito como: 1= =mVv 1.7 Presso: Quandotratamoscomlquidosegases,normalmentefalamosdepresso;nosslidos falamos em tenso. Apressonumpontodeumfluidoemrepousoigualemtodasasdireesedefinida como sendo a componente normal da fora por unidade de rea. A presso P definida como: Onde: oA a rea pequena oA a menor rea sobre a F m . a F = m . a gc P = limoFN(1.2) oAoA oA (1.1) 6 qual pode considerar o fluido como meio contnuo oFN a componente normal da fora sobre oA ApressoPnumpontodeumfluidoemequilbrioamesmaemtodasasdirees.A unidade de presso no Sistema Internacional N/m2 (Pa) e no Sistema Tcnico kgf/m2.Nos clculos termodinmicos usa-se a presso absoluta. Presso absoluta superior atmosfrica: Pabs > Patm

Onde: Pm a presso de manmetros (Burdon, Aneroid, etc.)Patm a presso de barmetros Omanmetronormalladiferenaentrea pressoabsolutaeaatmosfrica.Apresso manomtricatambmchamadapresso relativa(ouefetiva).Presso absoluta inferior atmosfrica: Pabs < Patm Aspressesabaixodapressoatmosfricalocalsopressesmanomtricas negativas ou presses de vcuo. Onde: Pvc a presso de manmetros devcuo ou vacmetro Omanmetrodevcuoladiferena entre a presso atmosfrica e a absoluta.Apressoatmosfricapadroa presso mdia ao nvel do mar. 1 atm = 760 mm coluna de Hg 1 atm = 1,03323 kgf/cm2 1 atm = 1,013250 x 105 N/m2 (Pa) 1 atm = 30 pol. de Hg 1 atm = 1,013250 bar 1 bar = 105 N/m2(Pa) 1 bar = 0,9869 atm 1 bar = 100 Kilopascals(KPa) 1 mm col. de Hg ~ 13,6 Kgf/m2. 1 micrn col. de Hg = 1x10-3 mmHg Presso medida com o manmetro de tubo U: Pabs = Patm+ Pm (1.3) Pm = Pabs - Patm (1.3a) Pabs = Patm+ Pvc (1.4) Pvc = Patm - Pabs (1.4a) 7 Pabs > Patm P1 > P2 Pm =Pabs Patm Pm = P1 P2 = AP Mas conforme a equao hidrosttica: Onde : m= massa especfica do fluido manomtrico (Kg/ m2) g = acelerao da gravidade ~ 9,81 m/s2 Zm = altura da coluna do fluido manomtrico (m) Nota:Peso especfico, T = . g [N/m3] , Densidade de uma substncia, dsubs =Tsubs TH2O [adimensional] 1.8 Definio de Calor e Trabalho: Calor: O calor a transferncia de energia atravs da fronteira do sistema pelos mecanismos de conduo, conveco e radiao. O calor transferido (sem transferncia de massa) de um sistema detemperaturasuperioraumsistemadetemperaturainferior,eocorreunicamentedevido diferena de temperatura entre os dois sistemas.O calor uma funo de linha e reconhecido como sendo uma diferencial inexata. Onde:1Q2 o calor transferido duranteo processo entre o estado 1 e 2. Calor por unidade de tempo: A troca de calor por unidade de massa: Trabalho:Otrabalhoaenergiatransferida,semtransfernciademassa,atravsda fronteiradosistemaporcausadadiferenadeumapropriedadeintensiva(presso,temperatura, viscosidade, velocidade), alm da temperatura, que existe entre o sistema e a vizinhana. Definio Matemtica: AP = m . g . Zm [N/m2](1.5) 2 }cQ = 1Q2 [J, kcal] (1.6) 1 Q = cQ[J/s . w](1.7) dt q = Q[J/kg, Kcal/kg](1.8) m 8 Onde: W = TrabalhoF = Foradx = Deslocamento infinitesimal Definio Termodinmica: Umsistemarealizatrabalhoquandoonicoefeitoexternoaosistema(sobreassuas vizinhanas) for a elevao de um peso. Trabalho de deslocamento (Expanso ou Compresso): cW = F . dL MasP =FoucW = P. A. dL AMasA . dL = dV 2 W =}F . dx[Nm, J, Kcal] (1.9) 1 cW = P . dV(1.10) 9 Otrabalhorealizadopelosistema(gs)podeserdeterminadopelaintegraodaequao acima. Assim: Onde: P a presso absoluta do gs 1W2 o trabalho realizado pelo sistema ou sobre o sistema durante o processo entre o estado 1 e 2. Otrabalhorealizadopelosistematemsinalpositivoesignificaaexpanso.Otrabalho realizadosobresistema(pistorealizatrabalhosobreogs)temsinalnegativoesignificaa compresso. Assimcomoocalor,otrabalhoumafunodelinhaereconhecidocomosendouma diferencial inexata. Resumindo, trabalho e calor so: ambos fenmenos transitrios; fenmenos de fronteira, observados somente nas fronteiras do sistema e representam energia que atravessam a fronteira do sistema; funo de linha (portanto dependem do caminho que o sistema percorre durante a mudana de estado) e diferenciais inexatas. Conveno dos sinais de trabalho e calor: 2 2 1W2 = }cW = } P. dV(1.11) 1 1 10 Propriedades Termodinmicas Fundamentais: 1-) Presso, P [N/m2, kgf/m2] Absoluta 2-) Volume, V [m3] 3-) Volume especfico, u [m3/kg] 4-) Massa especfica, [kg/m3] 5-) Temperatura, T [K] Absoluta Termodinmica Usa a temperatura absoluta, ( ) | | K C t T 273 + = 6-) Massa, m [kg] 7-) Velocidade, v [m/s] 8-) Viscosidade, [NS/m2] 9-) Altura (cota), Z [m] 10-) Energia interna, U [J, Kcal] 11-) Energia cintica, 2.2v mEc = [J, Kcal] 12-) Energia potencial, Ep = m . g . Z [J, Kcal] 13-) Acelerao da gravidade, g ~ 9,81 m/s2 = cte.14-)Energia total, E = U + Ec + Ep[J, Kcal] Relacionada tambm com trabalho e calor (estes dois ltimos no so propriedades) 15-) Entalpia, H = U + P .V [J, Kcal] 16-) Entropia, S[J/K] 17-) Ttulo (qualidade de vapor), X[adimensional] 18-) Calor especfico a volume cte, v v vTuTuC|.|

\|AA~|.|

\|cc=[J/kg K, Kcal/kg K] 19-) Calor especfico presso cte, p p pThThC|.|

\|AA~|.|

\|cc=[J/kg K, Kcal/kg K] 20-) Constante Adiabtica ou Isoentrpica, vpCCK = [adimensional]Observaes: (1) Entalpia especfica, pv umPVmUmHh + = + + = [J/kg, Kcal/kg] (2) Entropia especfica, mSs =[J/kg K](3) Energia interna especfica, mUu = [J/kg, Kcal/kg] 11 (4) Energia cintica especfica, 22VmEcec = = [J/kg, Kcal/kg] (5) Energia potencial especfica, z gmEPep . = = [J/kg, Kcal/kg] Diagrama de presses: Presso acima da Atmosfera Presso relativa ou efetiva ou Presso Absoluta manomtrica positiva Presso Atmosfrica Presso relativa ou efetiva ou manomtrica negativa Presso Absoluta Zero Absoluto 12 PROBLEMAS RESOLVIDOS: Problema 1: Demonstrar a igualdade numrica entre a massa especfica de um fluido em kg/m3 e seu peso especfico T em kgf/m3. Soluo: Seja y o nmero que mede: = y kg/m3 (1) Considere-se g ~ 9,81 m/s2(2) Sabemos que T = . g (3) Substituindo (1) e (2) em (3): T = (y kg/m3) . (9,81 m/s2) =9,81 y(kg m/s2)/m3 Mas 1 kg m/s2 = 1 Newton = 1 N T = 9,81 yN/m3Mas9,81 N = 1 kgf Finalmente, T = y kgf/m3 (4) Comparando-se(1)e(4),conclui-sequeamassaespecfica eopesoespecficoTdeuma substncia so indicados pelo mesmo nmero y. Variam apenas os sistemas de unidades. Problema 2: Sendo = 1030 kg/m3 a massa especfica da cerveja, achar sua densidade relativa. Soluo: A massa especfica da gua H2O = 1000 kg/m3 Logo, pela definio:

100010302= =O Hcervejadouou Problema 3: Adensidadedogeloemrelaogua0,918.Calcularemporcentagemoaumentode volume da gua ao solidificar-se. Soluo: Sendo e1asdensidadesabsolutas(massasespecficas)dogeloedagua,respectivamente. Tem-se pela definio: 10,918=MasVm= e11Vm=

ondeV

eV1 representam os volumes do gelo e da gua, respectivamente, para a massa m. Logo, 11 11. 089 , 1918 , 0918 , 0 VVVVVVmV~ == = d = 1,03 13 O volume passou de V1 para1,089V1. Houve um aumento de 0,089.

Problema 4: Nomdulodeumfogueteespacial,instaladonarampadelanamentonaterra(g=9,81 m/s2),coloca-secertamassadeumlquidocujopesow=15kgf.Determinaropesowdo mesmo lquido, quando o mdulo do foguete estiver na lua (g = 1,70 m/s2). Soluo: Na terra, o peso do lquido w = m . g 15 kgf = m . 9,81 m/s2 m =15 kgf 9,81 m/s2 Na lua, a massa a mesma, mas o peso do lquido w =m . g w =15 kgf . 1,70 m/s2 9,81 m/s2 Problema 5: Um manmetro de mercrio est medindo a presso do condensador de uma usina trmica devapor,etemaleiturade63cm,vcuo.Obarmetronoescritriodausinaregistra76cmde mercrio. Qual ser a presso absoluta no condensador em N/m2? Soluo: Dado: Patm = 76 cm Hg Sabemos que: Pabs = Patm Pman Usando a equao(1.4a), Pvc = Patm - Pabs 63 cm = 76 cm - Pabs Pabs =76 63 = 13 cm Hg =130 mm Hg Pabs = 130 . 13,6kgf/m2 = 130.13,6.9,8067 N/m2 AV1 ~ 8,9 % w ~ 2,6 kgf Pabs ~ 17338,25N/m2 14 Problema 6: Umaturbinafornecidacomovaporpressomanomtricade15kgf/cm2.Depoisda expanso, dentro da turbina, o vapor passa por um condensador, o qual mantido a vcuo de 710 mmHgpormeiodasbombas.Apressobaromtricade775mmHg.Calculeaspressesdo vapor na entrada e na sada em kgf/cm2. Soluo: 1 mm Hg=13,6 kgf/m2 775 mm Hg = 775 . 13,6 kgf/m2 = 10540 kgf/m2 = 10540 kgf . m2 = 1,054 kgf m2 104 cm2cm2 ou seja:Patm = a presso baromtrica PB = 775 mm Hg ~ 1,054 kgf/cm2 Pode-sedeterminarapressoatmosfricatambmpelaaplicaodaequaohidrosttica (1.5). Aqui:P1 = Patm, P2 = 0 egc a constante que relaciona as unidades de fora , massa, comprimento e tempo. O valor de gc : gc = 1 kg . 9,8067 m/s2=9,8067 kg . 1 m/s2= 1 kg . 1 m/s2 kgfkgfN Sabemos tambm que: Hg = densidadeHg . H2O kgf/m2 10540/. 1 . . 8067 , 9. 775 , 0 . / . 8067 , 9 ). / . 1000 . 6 , 13 (. .22 3= = =kgfs mkgm s m m kggZ gPcHgatm Presso do vapor na entrada: A presso na entrada = 15 kgf/cm2 = Pm MasPabs = Pm + Patm= 15 + 1,054 = 16,054 kgf/cm2 abs.

H2O = 1000 kg/m3 Patm ~ 1,054 kgf/cm2 A presso na entrada, Pe ~ 16,054 kgf/cm2 abs. cgZ gP P P. .2 1= = A 15 Presso do vapor na sada: A presso na sada, Ps = 710 mm Hg vcuo Mas Pabs = Patm - Pvc = (775 - 710) mm Hg = 65 mm HgPabs = 65 . 13,6 kgf.m2abs. m2 104 cm2

Problema 7: Um corpo com massa de 5 kg est 100 m acima de um dado plano horizontal de referncia num local onde g = 9,75 m/s2. Calcular a fora gravitacional em Newtons e a energia potencial do corpo em referncia ao nvel escolhido. Soluo: A energia potencial, Ep = m . g . Z[J] O uso de gc: Escrevendo a energia potencial como: NmNs m kgm s m kggZ g mEpc. 4875/ .1. 100 . / . 75 , 9 . . 5 . .22= = = ou A fora gravitacional, ou Problema 8: A massa combinada de um carro com seus passageiros, movendo-se a 72 km/h de 1500 kg. Calcular a energia cintica desta massa combinada. Soluo: A energia cintica,[J]

O uso de gc: Escrevendo a energia cintica como: A presso de sada, Ps ~ 0,0884 kgf/cm2 abs. Ep =4875J Fg =48,75N Ns m kgs m kggg mFcg22/ .1/ . 75 , 9 . . 5 .= =2.2v mEc =| |=((

= = =Ns m kgshhKmkgNs m kgh Km kggv mEcc22222/ .1 . 2. 3600. 72 . 1500/ .1 . 2/ . 72 . . 1500. 2. 16 Problema 9: As propriedades de uma certa substncia so relacionadas como seguinte: u = 392 + 0,320 t /p. u = 55,5 ( t + 273) Onde: u = energia interna especfica [Kcal/Kg];t = temperatura [C]; p = presso [kgf/m2]; u = volume especfico [m3/kg] Determinar CP , Cu e h em [kcal/kg C]. Nota:1 kgf . m= Kcal 427 Soluo: u = 392 + 0,320 t [Kcal/Kg] v vdtduC |.|

\|=( ) ( ) ( ) ( ) 320 , 0 0 . 320 , 0 392 . 320 , 0 392 + = + = + = = tdtddtdtdtdudtdCv

C KgKcalCv.320 , 0 = ) 273 ( 5 , 55 + = t pv((

=Kgm KgfKgmm Kgf.. /32 ou) 273 ( 5 , 55 + = t pv Kgm Kgf .Mas 1 Kgf.m = 427Kcal ou ) 273 ( 130 , 0 + = t pvKgKcal Ec = 300 KJ= = =((

= kJ m NNs m kgs mNs m kgsmkg300 . . 000 . 300/ .1/ 400.21/ .1 . 2. 360010 . 72. . 150022 2223 17 p pdtdhC|.|

\|= ( ) ( ) ( ) ( ) =((

+ + = + = + = =KgKcaltdtddtdupvdtddtdupv udtdhdtdCp273 130 , 0 + = + +C KgKcalC KgKcaldtdtdtdCv.. 130 , 0.320 , 0 ) 273 . 130 , 0 ( ) 130 , 0 ( C KgKcalCp.450 , 0 = + + + = + = ) 49 , 35 130 , 0 ( ) 320 , 0 392 ( t t pv u h

| |KgKcalt h 45 , 0 49 , 427 + = Problema 10: guaescoaporumbocalmostradonafigura.Determineaalturahparaumapresso manomtrica de 0,35 kgf/cm2 em A. Dado:TH2O ~ 9801,38 N/m3.

Soluo: 1 kgf = 9,8067 N T1 = TH2O ~ 9801,38 N/m3 ~ 999,46 kgf/m3 T2 = THg = dHg . TH2O = 13,6 . 999,46 kgf/m3 PAman = 0,35 kgf .104 cm2 = 3500 kgf/m2

cm2 m2 0 18 Conforme a linha de presso constante, a presso absoluta em C = a presso absoluta em D PCabs = PDabs PCabs = PA + T1 (h + 60 . 10-2m) + Patm PDabs = T2 h + PB = T2 h+ Patm Mas : = PA + T1 (h + 0,60 m) + Patm= T2 h+ Patm ouPAman = T2 h- T1 (h + 0,60 m) Mas:PAabs - Patm = PAman = 3500 kgf/m2 3500 kgf/m2 = T2 h - T1 (h + 0,60 m) = 13,6 . 999,46 kgf/m3 h 999,46 kgf/m3 (h + 0,60 m) = 999,46 kgf/m3 [13,6 h h 0,60m] 3500 m =12,6 h 0,60 m 999,46 h =3500 m + 0,60 m . 1 ~ 0,3255 m 999,4612,6 Problema 11: Umlquidotemviscosidade0,005kg/m.semassaespecficade850kg/m3.Calculara viscosidade cinemtica em unidades S.I. Soluo: Nota:viscosidade (dinmica) tem dimenso NS/m2 NS = kg. m/s2 . s = kg1 mcron = 10-6 m = m m2m2 ms A viscosidade cinemtica, ==0,005 kg/m.s 850 kg/m3

h ~ 32,55 cm ~ 0,0000058 m2/s = 5,8 m2/s 19 1a. LISTA DE EXERCCIOS: Questo 1: Qual a diferena fundamental entre sistema e volume de controle? Questo 2: O que estado e quais so as propriedades termodinmicas de uma substncia? Questo 3: O que so propriedades intensivas e extensivas? Questo 4: O que processo e o que processo cclico ou ciclo termodinmico? Questo 5: Definatrabalhodedeslocamentoecalor.Porqueestesdoisnosopropriedades termodinmicas? Questo 6: Definir presso absoluta. Questo 7: Qual a presso absoluta que corresponde presso manomtrica de 6,46 atm?Resp.: 7,46 atm. Questo 8: Apressoefetivaoumanomtricadeumcertosistema0,22atm.Qualapresso absoluta? Resp.: 0,78 atm. Questo 9: Umtanqueabertocontm60,96cmdguacobertospor30,48cmdeleodedensidade (relativa)0,83.DeterminarapressoabsolutanainterfaceemN/m2.Calculartambmapresso absoluta no fundo do tanque em N/m2.Dado: TH2O ~ 9801,38 N/m3 Resp.: Pinterface ~ 1,038 . 105 N/m2 abs.Pfundo ~ 1,098 . 105 N/m2 abs. Questo 10: Ummanmetroindica2,8kgf/cm2eobarmetroindica742mmHg.Calcularapresso absoluta em kgf/cm2 e em atm. Resp.: Pabs ~ 3,80 kgf/cm2 abs. ~ 3,68 atm abs. Questo 11: Ummanmetrodemercrio,usadoparamedirumvcuo,registra731mmHgeo barmetro registra 750 mm Hg. Determinar a presso absoluta em kgf/cm2 e em mcrons.Resp.: Pabs ~ 0,026 kgf/cm2 abs. ~ 1,9 . 104 mcron de Hg Questo 12: Ummanmetrocontmumfluidocommassaespecficade816kg/m3.Adiferenade altura entre as duas colunas 50 cm. Que diferena de presso indicada em kgf/cm2? Qual seria a diferenadealturaemcm,seamesmadiferenadepressofossemedidaporummanmetro contendo mercrio (massa especfica de 13,60 g/cm3)? Resp.:AP =4001,13 N/m2 ~ 0,041 kgf/cm2 Zm = 3 cm. 20 Questo 13: Suponhaquenumaestaoespacialemrbita,umagravidadeartificialde1,5m/s2seja induzida por uma rotao da estao. Quanto pesaria um homem de 70 Kg dentro da mesma? Resp.: F ~ 105 N ~ 10,71 kgf Questo 14: Um cilindro vertical contendo gs argnio possui um mbolo de 45 kg erea seccional de 280 cm2. A presso atmosfrica no exterior do cilindro 0,92 kgf/cm2 e a acelerao da gravidade local 9,7 m/s2. Qual a presso do argnio no cilindro? Resp.: Pargnio ~ 1,08 kgf/cm2 abs. Questo 15: Enche-se um frasco (at o trao de afloramento) com 3,06 g de cido sulfrico. Repete-se a experincia, substituindo o cido por 1,66 g de gua. Obter a densidade relativa do cido sulfrico. Resp.: dH2SO4 ~ 1,843 21 2.Propriedades de uma Substncia Pura: 2.1 Equao de Estado do Gs Perfeito: Equao de estado para a fase vapor de uma substncia simples compressvel. ComportamentoP,VeTdosgases,diantedeumamassaespecfica()muitobaixa, dado com bastante preciso: P u = R T P u = R T P V = m R T(2.1) Esta equao chamada de equao de estado paraP V = n R T os gases perfeitos. P = R T Onde: P = presso absoluta T = temperatura absolutau = volume especfico molar (m3/kg mol) = u M =VM u = volume especfico (m3/kg) m M = peso molecular (kg/kg mol) n = n de molculas (kg mol) =m m = massa (kg) M V = volume total (m3) = massa especfica (kg/m3) R = constante universal (molar) dos gases ( sempre cte.) = 8314,34 J~ 847,7kgf . m~ 0,08206atm . lKg mol Kkg mol Kgm mol k ~ 0,08315 bar.m3/ kg mol K R = constante para um gs particular (J/ kg K) =R M R pode tambm ter unidade: (kgf . m/ kg K). R e M so tabelados. Vide Tabela A.8 (Propriedades de vrios gases perfeitos, pgina 538 do livro Fundamentos da Termodinmica Clssica VANWYLEN e SONNTAG). De (2.1):P.V = m R = cte. (Pois m e R so ctes.) =P1.V1 TT1 Ou seja: P1.V1 = P2.V2 = cte. (2.2) A lei combinada de BOYLE e CHARLES T1 T2 BOYLE: P 1 [T = cte.] V CHARLES: P T[V = cte.] Combinando, tem-se: P T [Ambos variveis] V ou P = cte . Tou P V=cte ou seja: VT 22 22 211 1. .TV PTV P=(2.2) Massas especficas maiores (baixo volume especfico), os gases se comportam como gases reais e a equao de estado do gs perfeito deCLAPEYRON (2.1) no vale mais. A equao de estado para gs real: P u = Z R T P u = Z R T ouR.TP... u u= =T RPZ(2.4)

Onde: Z = 0, fator de compressibilidade [adimensional]; Quando Z tende a um, gs real tende a gs perfeito. 2.2 Transformao de estado para gases perfeitos ou ideais: Processo Isobrico (Transformao Isobrica) Trabalho de Deslocamento (expanso ou compresso). cW = P . dV(1.10) cq = du + de = du + P du (1a. Lei para Sistema Fechado) Estado:P V = m R T(2.1) P = cte. V T-1 = cte. V2 =T2 V1 T1 1W2 = P (V2 - V1) 1Q2 = m CP (T2 T1) U2 U1 = m Cu (T2 T1) H2 H1 = m CP (T2 T1) S2 S1 = m CPln T2 = m CPln V2 T1V1 Processo Isovolumtrico ou Isomtrico (Transformao Isomtrica) cW = P . dV(1.10) cq = du + de = du + P du (1a. Lei para Sistema Fechado) Estado:P V = m R T(2.1) V = cte. P T-1 = cte. P2 =T2 P1 T1 (2.3) 23 1W2 = 0 U2 U1 = 1Q2 = m Cu (T2-T1) H2 H1 = m CP ( T2 T1) S2 S1 = m Cu ln P2 = m Cu ln T2 P1 T1 Processo Isotrmico (Transformao Isotrmica) cW = P . dV(1.10) cq = du + de = du + P du (1a. Lei para Sistema Fechado) Estado:P V = m R T(2.1) T = cte. P V = cte. P1 =V2 P2V1 1W2 = 1Q2 = m R Tln V2 = m R Tln P1 V1P2 U2 = U1 , pois para gs perfeito, U = U (T) H2 = H1 , pois para gs perfeito, H = H (T) 211212211 2. . . . . .PPLn R mvvLn R mvvLn RTTLn C m S Sv= =||.|

\|+ =

Processo Adiabtico e/ou Isentrpico (Transformao Adiabtica e/ou Isentrpica) : cW = P . dV(1.10) cq = du + de = du + P du (1a. Lei para Sistema Fechado) Estado:P V = m R T(2.1) A equao do processo: P. Vk= cte., onde K = cte. Adiabtica ou isentrpica K = CP Cu Adiabtica, cQ = 0 Isentrpico (Adiabtico + Reversvel), dS = 0 = cQ T |.|

\|==Kv P v PmKV PW1. .1.1 1 2 2 2 22 1 1W2 = U1 U2 = m Cu (T1 T2) ; 1Q2 = 0 KvvPP||.|

\|=1221 ;KPPvv/ 12112||.|

\|=; KKKPPvvTT12111221||.|

\|=||.|

\|=.2 1cte S S = = ) ( .1 2 1 2T T Cp m H H = Processo Politrpico (Transformao Politrpica) cW = P . dV(1.10) cq = du + de = du + P du (1a. Lei para Sistema Fechado) 24 Estado:P V = m R T(2.1) A equao do processo: P. Vn= cte., onde n = expoente politrpico(n > 1,mas n < K) nvvPP||.|

\|=2112 ; 12121||.|

\|=nvvTT ;nnPPTT12121||.|

\|= , onde Cn = calor especfico para o processo politrpico = Cu [(n-k)/(n-1)] ;; 1Q2 = m Cun k (T2 - T1) n 1U2 U1 = m Cu (T2 - T1) H2 H1 = m CP (T2 - T1) |.|

\|==nv P v PmnV P V PW1 11 1 2 2 1 1 2 22 1 121 21.TTLnnk nCv m S S((

= Resumo: A equao geral :P. Vn= cte. Processo Isobrico:n = 0 Cn = K Cu = CP dP = 0 Processo Isovolumtrico: n = Cn = Cu du = 0 Processo Isotrmico:n = 1 Cn = dT = 0 1221vvLnPPLnn =v np nC CC Cn=21121vvLnTTLnn = 12121PPLnTTLnnn= 25 Processo Adiabtico ou isentrpico: n = K Cn = 0cq = 0 ou dS = 0 Em geral: K = CP = cte.(gs perfeito/ideal) Cu

CP - Cu = R = cte. (gs perfeito/ideal) Cu = RCP =R K Cu= Cu (T)CP = CP(T) K-1 K-1 U = U(T) H = H(T) R, CP, Cu, K, M tem valores tabelados. Emgeral,paragsperfeitoavariaodeentropiaespecfica(s=S/m)dadapelasseguintes equaes: s2 s1 = CP ln(T2/T1) R ln(P2/P1) s2 s1 = CP ln (u2/u1) + Cu ln (P2/P1) s2 s1 = Cu ln (T2-T1) + R ln (u2/u1) s2- s1 pode ser zero, ou O. Notas: Unidades de trabalho de deslocamento (Expanso ou Compresso)Sistema Internacional (S.I.) J = NmSistema Tcnico (S.I.) Kgf.m ou Kcal Relacionamento entre Trabalho e Calor (Kgf.m e Kcal) O equivalente mecnico do calor, J = 427 (kgf.m / Kcal) Trabalho especfico, e = W(K.J/Kg ,Kcal/Kg) m Potncia trabalho por unidade de tempo, W = cW(J/s = W ,Kcal/h) dT A unidade de potncia tambm HP e/ou CV: 1 HP ~ 0,746 KW = 641,2 Kcal/h 1 CV ~ 0,736 KW 1 KW ~ 860 Kcal/h Temperatura absoluta (Escalas de temperatura) Termodinmicaexigeoempregodeumatemperaturaabsolutaoutemperatura termodinmica,independentedasubstnciatermomtrica,quemedidaapartirdeumponto0 (zero) absoluto. O zero absoluto - 459,67F ou- 273,15C 1 Kgf.m = Kcal 427 26 TK = tC + 273,15 ~ tC + 273 TR = tF + 459,67 ~ tF + 460 ( ) 32 .95. =F Ct t;32 .59. + =C Ft t PROBLEMAS RESOLVIDOS: Problema 1: Qualamassadearcontidanumasalade10mx6mx4mseapressoabsolutade 1Kgf/cm2 e a temperatura 27C? Admitir que o ar seja um gs perfeito. Soluo: Da tabela A.8 (pg. 538) encontra-se, Rar = 29,27 Kgf.m Kg.K Dados: P = 1 Kgf/cm2 T = t + 273 = (27 + 273) K V = (10 x 6 x 4) m3 Estado (gs perfeito): P V = m R T oum =P V=(1 Kgf/cm2 . 104 cm2/m2) . (10 . 6.4) m3 R T29,27Kgf.m. (27 + 273) K Kg K Problema 2: Calcularavariaodeentalpiade5Kgdeoxigniosabendo-sequeascondiesiniciais so P1 = 130 KPa abs., t1 = 10C e as condies finais soP2 = 500 KPa abs., t2 = 95C. Soluo: Para gs perfeito, a entalpia funo apenas da temperatura, e no interesse qualquer que seja o processo. Logo, pela definio tem-se, H2 H1 = m CP (T2 T1) = 5 Kg . 0,219 Kcal . (95 10) K Kg K m ~ 273 Kg H2 H1 ~ 93,08 Kcal ~ 389,73 KJ 27 Problema 3: Um cilindro contendo 1,59 Kg de Nitrognio a 1,41 Kgf/cm2 abs. e 4,4C e comprimido isentropicamente at 3,16 Kgf/cm2 abs. Determinar a temperatura final e o trabalho executado. Soluo:1Mtodo:Usodaequaoisentrpicaeaaplicaoda1a.LeidaTermodinmicacom processos em sistema fechado. Temperatura final: A temperatura final pode ser obtida pela equao isentrpica: T1 = (4,4 + 273) K; P1 = 1,41 Kgf/cm2; P2 = 3,16 Kgf/cm2;m = 1,59 Kg Da tabela A8/ pg 538 : KN2 = 1,400 Cu0 = 0,177[Kcal/KgK] ( ) K T . 33 , 34941 , 116 , 3. 273 4 , 4 24 , 11 4 , 1~ |.|

\|+ = Trabalho executado: Da 1a. Lei: cq = du + de cQ = dU + cW Lembrando-se que,q = (Q/m) , u = (U/m) , e = (W/m) Paraprocessoisentrpicoi.e.adiabticoereversvel,nohtrocadecalorentresistemaevizinhana. A condio matemtica:cq = 0 de = du O gs N2 comprimido. Portanto o trabalho realizado sobre o gs e negativo. de = - du = - Cu (T2 - T1) =- 0,177 (349,33 277,4) ou 1e2 ~ - 12,73 Kcal/Kg

1W2 = 1e2 . m = -12,73 . 1,59~- 20,74 Kcal = -20,74 . 4,187 ~ -84,74 KJ , pois1 Kcal = 4,187 KJ Trabalho de Compresso 2Mtodo: Uso das equaes de estado, processo isentrpico e trabalho. Dados:P1 = 1,41 Kgf/cm2 = 1,41 . 104 Kgf/m2 P2 = 3,16 Kgf/cm2 = 3,16 . 104 Kgf/m2

T1 = (4,4 + 273) K =277,4 K m = 1,59 KgDa tabela A8/ pg 538 : KN2 = 1,400 RN2 = 30,27 Kgf . m Kg K Estado: V1 =m R T1 = 1,59 .30,27 . 277,4~ 0,9469 m3 P1 1,41. 104 T2 ~ 349,33 K ~ 76,33 C1W2 ~ - 24,74 Kcal = - 84,74 KJKKPPT T1121 2||.|

\|= 28 Processo Isentrpico:400 , 11/ 1211 216 , 341 , 19469 , 0 |.|

\|=||.|

\|=KPPV V 325321 , 0 m V ~ Temperatura final: KKKPPvvTT12111221||.|

\|=||.|

\|= ouKKKPPTVVT T11211211 2||.|

\|=||.|

\|= ou 400 , 11 400 , 141 , 116 , 34 , 2775321 , 09469 , 04 , 277 21 400 , 1|.|

\|= |.|

\|=T T2 tambm pode ser calculado pela equao de estado. Estado: T2 = P2 V2=3,16 . 104 . 0,5321~ 349,36 K m R1,59 . 30,27 Trabalho executado:Trabalho: 1W2 = P2 V2 P1 V1 =(3,16 . 104) . 0,5321 (1,41 . 104) . 0,9469 1 K1 1,400 ouTrabalho de compresso Problema 4: (Trabalho de Potncia de Eixo) Um carro a gasolina tem a velocidade de rotao(N) do motor de 3000 r.p.m., e desenvolve um torque (t) de 260 Nm. Calcular a potncia no eixo do motor. Soluo: Potncia no eixo, Pe = t x 2tN [W] 60 Pe = 260 Nm .2t . 3000 s-1 [ Nm/s = J/s = W] 60 ouPe = t x 2tN[CV] 60 . 75 Pe = 260 Kgf . m.2t . 3000s-1 [CV] , pois1 Kgf~ 9,81 N9,8175 60 T2 ~ 349,33 K ~ 76,33 C 1W2 ~ - 8657,68 Kgf . m ~ - 20,28 Kcal = - 84,89 KJ pois 1 Kcal ~ 427 Kgf . m Pe ~ 81681,41 W ~ 81,68 KW Pe ~ 111,02 CV 29 Problema 5: Umcilindrocommbolosematritocontmar.Inicialmenteexiste0,3m3deara1,5 Kgf/cm2,ea20C.OarentocomprimidodemodoreversvelsegundoarelaoP.Vn= constante at que a presso final seja 6 Kgf/cm2, quando a temperatura de 120C. Determinar para esse processo: a)O expoente politrpico n; b)O volume final de ar; c)O trabalho realizado sobre o ar; d)O calor transferido; e)A variao lquida de entropia em Kcal/K Soluo: A relao P.Vn = constante significa que o processo politrpico. Tem-se, ento, 11221||.|

\|=nnTTPP ou12211 TTLnnnPPLn= ou ( )) / (/ .11 21 2P P LnT T Ln nn = ou ( )) / (/ 111 21 2P P LnT T Lnn = ou| |nP P Ln T T Ln1) / ( / ) / ( 11 2 1 2=

| | ) / ( / ) / ( 111 2 1 2P P Ln T T Lnn= Dados: P1 = 1,5 Kgf/cm2 = 1,5 . 104 Kgf/m2 P2 = 6 Kgf/cm2 = 6 . 104 Kgf/m2 T1 = 20 + 273 = 293 K T2 = 120 + 273 = 393 K n = ? a)O expoente politrpico n: n = 1~ 1,2687365 1 [ln(393/293) / ln(6/1,5)] PSparaatemperaturaexistente,elechamadodelquido comprimido. Ttulo (Qualidade de vapor): Quando uma substncia existe, parte lquida e parte vapor, na temperatura se saturao (TS), seu ttulo (X) definido como a relao entre a massa de vapor e a massa total. Onde:mu = massa do vapor;mL = massa do lquido. O ttulo uma propriedade intensiva, pois adimensional e no depende da massa. Exemplo: mu = 0,2 KgmL = 0,8 Kg X = 20%

mu = 20 KgmL = 80 Kg

X = 20% Vapor saturado, vapor superaquecido: Seumasubstnciaexistecomovapornatemperaturadesaturao(TS),chamadavapor saturado. s vezes o termo vapor saturado seco usado para enfatizar que o ttulo 100%. Quandoovaporestaumatemperaturamaiorqueatemperaturadesaturao,chamado vapor superaquecido. l totalm mmmmX+= =uu u (2.3) 0 , 12 , 08 , 0 2 , 02 , 0=+= x1002080 2020=+= x 37 TV >TSvapor superaquecido TV,PVsoindependentes,poisTVpodeaumentarmasapresso(PV)dovaporpermanece constante (Processo Isobrico). 2.4 Diagrama temperatura-volume para gua, mostrando as fases lquida e vapor: Ponto A = Estado inicial (15 C) e 1 Kgf/cm2 (sub-resfriado / lquido comprimido), verifique com as tabelas. Ponto B =Estado de lquido saturado a 100C. LinhaAB=Processonoqualolquidoaquecidodatemperaturainicialatatemperaturade saturao. Linha BC = Processo temperatura constante no qual ocorre a mudana de fase (troca de calor latente) lquida paravapor (processo de vaporizao: processo isobrico). Ponto C = Estado de vapor saturado a 100C. EntreBeC=Partedasubstnciaestlquidaeoutrapartevapor.Aquantidadedelquido diminui na direo B para C, ou seja o ttulo (qualidade de vapor) do vapor aumenta de B para C. LinhaCD=Oprocessonoqualovaporsuperaquecidopressoconstante.Atemperaturaeo volume aumentam durante esse processo. Ponto Crtico Temperatura,pressoevolumeespecficonopontocrticosochamadostemperatura crtica, presso crtica e volume crtico. guatcr ~ 374,15C Pcr ~ 225,65 Kgf/cm2 ucr = uL = uu = 0,00318 m3/Kg ~ 0,0032 m3/Kg hcr = hL = hu ~ 501,5 Kcal/Kg scr=sL=su~ 1,058 Kcal/Kg K 38 2.5 Diagramapresso-temperaturaparaumasubstnciadecomportamento semelhante ao da gua: Estediagramamostracomoasfasesslida,lquidaevaporpodemexistirjuntasem equilbrio.Aolongodalinhadesublimao,asfasesslidaevaporestoemequilbrio.Ao longodalinhadefuso,asfasesslidaelquidaestoemequilbrioeaolongodalinhade vaporizao, esto em equilbrio as fases lquida e vapor. O nico ponto no qual todas as trs fases podem existir em equilbrio o ponto triplo. Alinhadevaporizaoterminanopontocrtico,porquenohmudanadistintada fase lquida para a de vapor acima deste ponto. ConsideremosumslidonoestadoA,nodiagrama.Quandoatemperaturaseeleva pressoconstante,sendoestapressoinferiorpressodopontotriplo(comoestrepresentado pela linha AB), a substncia passa diretamente da fase slida para a de vapor. AolongodalinhadepressoconstanteEF,asubstnciaprimeiramentepassadafase slidaparaalquidaaumatemperaturaedepoisdafaselquidaparaadevapor,auma temperatura mais alta. A linha de presso constante CD passa pelo ponto triplo e somente no ponto triplo que as trs fases podem existir juntas em equilbrio. Aumapressosuperiorcrtica,comoGH,nohdistinomarcadaentreasfases lquida e vapor. 2.6 Tabelas de Propriedades Termodinmicas: As Tabelas de Vapor de KEENAN, KEYS, HILL e MOORE (U.S.A.) de 1969 podem ser usadas. preciso usar pelo menos a interpolao linear ao consultar as tabelas. 39 2.6.1 Tabela A.1.1 (a) [pgina 476 e 477] vapor de gua saturado:Tabela de Temperatura t (C), T (K), P (Kgf/cm2)abs, uL = volume especfico do lquido (m3/Kg),uu = volume especfico dovapor(m3/Kg),u =massaespecficadovapor(Kg/m3),hL=entalpiaespecficadolquido (Kcal/Kg),hu=entalpiaespecficadovapor(Kcal/Kg),hLu=oacrscimonaentalpiaespecfica quando o estado passa de lquido saturado a vapor saturado = hu - hL , sL = entropia especfica do lquido (Kcal/Kg K),su = entropia especfica do vapor (Kcal/Kg K). 2.6.2 Tabela A.1.2 (a) [pgina 481, 482 e 483] vapor de gua saturado:Tabela de Presso 2.6.3 Tabela A. 1.3 (a) [pgina 491, 492, 493, 494, 495 e 496] vapor de gua superaquecido 2.7 Volume especfico total de uma mistura de lquido e vapor (vapor mido) O volume especfico do lquido: uL = (1 x ) uL. Aqui, x= 0 o fludo totalmente lquido. O volume especfico do vapor: uu = (1 x ) uu. Aqui, x= 0 o fludo totalmente vapor (gs). O volume especfico total para mistura de lquido e vapor: u = uu + uL = x uu + (1-x ) uL Mas uLu = o acrscimo no volume especfico quando o estado passa de lquido saturado a vapor saturado = uu - uL uu = uLu+ uL , tem-se, ento: u = (1 - x ) uL + xuu (2.7.1) u = uL + xuLu(2.7.2) u = uu - (1 - x )uLu (2.7. 3) Namesmamaneira,asoutraspropriedadesespecficaspodemserdesenvolvidas. Finalmente: u = (1 - x ) uL + xuu

u = (1 - x ) u L + xu u Tente usar apenas esta forma de h = (1 - x ) hL + xhu (2.7.4)equaes. s= (1 - x )sL + x su Lembrando-se que:uL = VL ;uu = Vu ; u = V mL mu m em = mu + mL , ondem = massa total 40 2.8 Diagrama de MOLLIER para vapor dgua: OdiagramadeMOLLIERmostraasrelaesentreaspropriedadestermodinmicasda gua.Naabscissaencontra-seaentropiaespecfica(KJ/KgK)enaordenadaaentalpia especfica(KJ/Kg),sendoambaspropriedadestermodinmicas.Afiguraabaixomostraum esquema do diagrama de MOLLIER. Observaes: Acima da linha x= 1, o vapor superaquecido e abaixo vapor mido ou saturado (lquido + vapor). Aslinhasdetemperaturaconstantecoincidemcomaslinhasdepressoconstantenaregiode vapor mido, i.e. Nesta regio as linhas isobricas so tambm isotrmicas. As linhas de volume especfico constante so mais inclinadas que as linhas de presso constante. Acima da linha x= 1, temperatura e presso so propriedades independentes. Abaixodalinhax=1,temperaturaepressonosopropriedadesindependentes.Pressoe ttulo, temperatura e ttulo, por exemplo, so propriedades independentes. 41 PROBLEMAS RESOLVIDOS: Problema 1: Calcular o volume especfico (total) do vapor dgua saturado a 260C, tendo um ttulo de 70%. Soluo: Dados: T, xso duas propriedades independentes.(Tabela de temperatura, pg 477). T = 260 C,x= 0,70. u = (1 x ) uL +xuu = (1 0,7) . 0,0012755 + 0,7 . 0,04213 uL a 260C uu a 260C

Problema 2: Estimar o calor especfico presso constante do vapor de gua a 7,5 Kgf/cm2, 200C. Soluo: Se considerarmos uma mudana de estado a presso constante, a equao: CP =dh~Ahpode ser usada com a tabela. dT P AT P (Das tabelas de vapor, pgina 492): a 7,5 Kgf/cm2, 190C h = 674,2 Kcal/Kga 7,5 Kgf/cm2, 210C h = 684,8 Kcal/Kg Portanto, CP a 7,5 Kgf/cm2 e a 200C 210 + 190=200C: 2

Observaes: (1)Na regio de vapor superaquecido T, P so duas propriedades independentes. Presso pode permanecer constante enquanto varia a temperatura. (2)CP do vapor dgua no cte. Verifique o valor de CP do vapor dgua dado na tabela A.8 (pg 538) a 26,7C. CP ~ 684,8 674,2~ 0,53 Kcal/Kg C (ou Kcal/Kg K) 210 190 u ~ 0,029873 m3/Kg 42 Problema 3: Calcular a energia interna especfica do vapor dgua superaquecido a 5 Kgf/cm2, 200C. Soluo: Sabemos que, h = u + P u e usando tabelas de vapor (pgina 492), tem-se: u = h P u = 682,4 Kcal 5 . 104 Kgf/m2 . 0,4337 m3/Kg Kg 427 Kgf.m / Kcal Problema 4: Ovapordguasuperaquecidaentranumaturbinaa18,5Kgf/cm2e290C.Calculara entalpia de entrada da turbina com uso das tabelas de vapore pelodiagramadeMOLLIER. Soluo: h pelo uso das tabelas de vapor: vapor superaquecido Tabela A.1.3 (a) / pg 493 usa-se a frmula de interpolao linear: Y = X X1. (Y2 Y1) + Y1 X2 X1 Escrevendo esta equao para entalpia, tem-se: h = P P1 . (h2 h1) + h1 , onde 1 = valor anterior e 2 = valor posterior P2 P1 h = 18,5 15 . (717 720,3)+ 720,3 20 15 h pelo diagrama de MOLLIER: com a linha de presso de 18,5 bar ~ 18,5 Kgf/cm2 (interpolando no diagrama) e a linha de temperatura de 290 C, achamos o ponto de interseoe traamos uma linha vertical at a ordenada a fim de obtermos a entalpia especfica. u = 631,6 Kcal/Kg h = 717,99 ~ 718 Kcal/Kg 43

(erro pessoal de + 0,12%) Problema 5: Ovapordguasaturado(vapormido)saideumaturbinaa0,15Kgf/cm2ex=93%. Calcular a entalpia de sada da turbina com uso das tabelas de vapor e pelo diagrama de MOLLIER. Soluo: vapor mido ou vapor de gua saturado. h pelo uso das tabelas de vapor: usa-se a Tabela de presso: A.1.2 (a) / pg 481 hs = (1-x ) hL + x . hu

hs = (1 0,93) . 53,5 + 0,93 . 620,4

h pelo diagrama de MOLLIER: comalinhadepressode0,15bar~0,15Kgf/cm2(interpolando)ealinhadettulode0,93 (interpolando),achamosopontodeinterseoetraamosumalinhaverticalataordenadaa fim de obtermos a entalpia especfica. (erro pessoal de 0,06% ) h = 3010 KJ/Kg ~ 718,89 Kcal/Kg 4,187 hs ~ 580,5 Kcal/Kg hs = 2430 KJ/Kg ~ 580,37 Kcal/Kg 4,187 44 3a. LISTA DE EXERCCIOS: Questo 1: Descreva o diagrama temperatura - volume para gua. Questo 2: O que o ponto crtico? Questo 3: Expliqueodiagramapresso-temperaturaparaumasubstnciadecomportamento semelhante ao da gua. Questo 4: O que o ponto triplo? Questo 5: Cite duas propriedades independentes no estado saturado. Questo 6: Cite duas propriedades independentes no estado superaquecido. Questo 7: Defina o ttulo de vapor. Questo 8: Quais so os processos que envolvem a mudana de fase lquida para vapor? Questo 9: Defina lquido comprimido e lquido sub-resfriado. Questo 10: Explique a curva de presso do vapor para uma substncia pura. Questo 11: Do que se trata o diagrama de MOLLIER? Questo 12: QuaissoasduaspropriedadesfundamentaisnodiagramadeMOLLIERqueenvolvema 1a. e a 2a. leis da termodinmica? Questo 13: Calcular o volume especfico (total) do vapor dgua saturado a 48 Kgf/cm2 abs., tendo um ttulo de 70 %. Resp.: u ~ 0,02979 m3/Kg abs. 45 Questo 14: 1Kgdemisturadeguaevapornumrecipientefechadocomporta-secomo1/3lquidoe 2/3 vapor em volume. A temperatura 151,1 C. Calcule o volume total e a entalpia total. Resp.: V ~ 0,0033 m3, h ~ 154,99 Kcal ~ 648,94 KJ Questo 15: Um vaso de 0,250 m3 de volume, contm, 1,4 Kg de uma mistura de gua lquida e vapor emequilbrioaumapressode7Kgf/cm2.Calculeottulodovapor,ovolumeeamassado lquido. Resp.: x~ 64,3 %, mL ~ 0,4998 Kg, VL ~ 0,00055 m3 Questo 16: Estimar a energia interna especfica dgua no ponto crtico. Resp.: u ~ 484,69 Kcal/Kg~ 2029,39 KJ/Kg Questo 17: O vapor dgua entra numa turbina a 10 Kgf/cm2 e 250C e sai da turbina presso de 1,5 Kgf/cm2. Estimar as seguintes propriedades termodinmicas pelo diagrama de MOLLIER: (a)entalpia na entrada (b)entropia na entrada (c)ttulo do vapor na sada (d)entalpia na sada Resp.: (a) he ~ 2945 KJ/Kg ~ 703,37 Kcal/Kg (b)se ~ 6,94 KJ/Kg K ~ 1,6575 Kcal/Kg K (c)x s ~ 95% (d)hs ~ 2580 KJ/Kg ~ 616,19 Kcal/Kg 46 Captulo 3 Equaes gerais e particulares para meios contnuos Qualquer problema de engenharia pode ser resolvido com o uso das leis, que podem ser representadaspormeiodeequaesindependentes.Essasequaestemaforma apropriada para sistemas e volume de controle (sistema aberto). 3.1 Leis bsicas para sistema 3.1.1 Conservao da Massa Aleideconservaodamassaafirmaqueamassadeumsi9stemapermanece constante com o tempo (no levando em conta efeitos de relatividade). Em forma de equao: Onde m a massa total. Onde = massa especfica, V = volume total. 3.1.2 Conservao da Quantidade de Movimento A Segunda lei de Newton, do movimento, para um sistema pode ser escrita como: ) ( V mdtdV = E(3.1.2) no sistema, incluindo as de campo como o peso, e V a velocidade do centro de massa do sistema. 47 3.1.3 Conservao da Energia Durante uma Transformao A primeira lei da termodinmica ou lei da conservao da energia para um sistema que realiza uma transformao pode ser escrita na forma diferencial como: W dE Q c + = c ou 2 1 1 2 2 1W E E Q + = (3.1.3) onde 1Q2 o calor transferido para o sistema durante o processo do estado 1 ao estado 2,E1eE2soosvaloresinicialefinaldaenergiaEdosistemae 1W2otrabalho realizado pelo sistema ou sobre o sistema. dtWdtdEdtQ c+ =c

A conservao da energia por unidade de tempo pode ser escrita na forma: - -+ = WdtdEQ(3.1.3a) esta a equao da energia em termos de fluxo. O smbolo E representa a energia total do sistema que composta da energia interna (U), da energia cintica (mv2/2) e da energia potencial (mgZ). Portanto, mgZ mV U E + + =221 (3.1.3b) ondeV=avelocidadedocentrodemassadosistema,Z=aalturaemrelaoaum plano de referncia, g = a acelerao da gravidade. Desteformaaequaodaconservaodaenergiaparaumsistemapodeserescrita como 2 1 1 22 21 2 2 1) ( )2 2( W Z Z mgV Vm U U Qs s+ + + = (3.1.3c) Nocasodenoexistirmovimentoeelevao(altura)dosistema,aequaoacima torna-se: 2 1 2 1W U Q + A = 48 Ou na forma diferencial Ciclo Termodinmico ou Processo Cclico Ciclotermodinmicoouprocessocclicopodeserdecircuitofechadooucircuito aberto. A primeira lei da termodinmica ou lei da conservao da energia para um sistema que realiza um ciclo termodinmico dada por Empalavras,aintegralcclicadecalorinfinitesimaligualaintegralcclicadetrabalho infinitesimalOUsomatriodecaloresigualaosomatriodetrabalhos.Estaequao tambm representa o balano trmico ou balano energtico. 3.1.4 Segunda Lei da Termodinmica ExistemdoisenunciadosclssicosdaSegundaleidatermodinmica,conhecidoscomo enunciadodeKelvin-PlanckeClausius.ComoresultadodestaSegundaleitem-seque, se uma quantidade de calor cQ transferida para um sistema temperatura T, a variao de entropia dada pela relao: PROCESSO (Envolvendo sistema fechado) TQdSc>(3.1.4) Aigualdadesisgnificaprocessoreversveleadesigualdadesignificaprocesso irreversvel. 49 Definio moderna: Entropia, sistema fechado. o +c= }211 2TQS S (3.1.4a) onde S2-S1 = variao de entropia, }c21TQ= transferncia de entropia, o(sigma) = produo de entropia, NOTAS 1.o> 0 Irreversibilidade presente dentro do sistema. 2.o =0 Nenhuma irreversibilidade dentro do sistema. 3.o nunca pode ser negativo. 4.S2-S1 >0 Processo adiabtico mas irreversvel 5.S2-S1 >0 Processo adiabtico e reversvel, ou seja isentrpico 6.S2-S1 0) Termodinmicanodovalorde(usueqvc),porquenoexistenenhum aparelho que consiga medir separadamente os termos (us ue) e -qvc. Amecnicadosfluidosconseguemediroefeitoglobalatravsdosparmetros fluido dinmicos. PROBLEMAS RESOLVIDOS Problema 1 Adistribuiodevelocidadesparaumescoamentobidimensionaldefluido incompressvel dada por y xyv,y xxu2 2 2 2+ =+ = Demonstrar que satisfaz a continuidade. Soluo Parafluidoincompressveleescoamentoemregime permanente. Continuidade tri-dimensional 0 =ce c+cc+ccZ yv xu(4.4.1) Mas para escoamento bidimensional , a continuidade fica (e = 0): 0 =cc+ccyv xu Logo, ( )22 222 2 2 22 1y xxy x y xxx xu+++ =||.|

\|+cc=cc e ( )22 222 2 2 22 1y xyy x y xyy yv+++ =||.|

\|+cc=cc Z X Y e u v 61 ( ) ( )( )02 221 12 1 2 12 2 2 222 22 22 2 2 222 222 2 22 222 2=((

++((

+ =(((

+++((

+++ =++++++ =cc+cc

y x y xy xy xy x y xy xyy xy xxy xyvxu Satisfaz a continuidade Problema 2 Umfluidoincompressvelbidimensionalnotemacomponentedavelocidadena direo Z. A componente da velocidade u em qualquer ponto dada por u = x - y. Ache a componente da velocidade v. Soluo u = x - y ( ) x y xx xu22 2= cc=cc Continuidade bidimensional incompressvel: 0 =cc+ccyv xu ou0 2 =cc+yvx ouy x v c = c 2ou } }c = c y x v 2c xy v + =2(constante de integrao) Finalmente v = -2xy + f(x) Verificao: ( )OKx xyvxux ) x ( f xyy yv0 2 20 2 2= =cc+cc+ = + cc=cc Problema 3 62 Consideremos um fluxo (vazo em massa) de ar num tubo de 15cm de dimetro, comavelocidadeuniformede10m/min.Atemperaturaeapressoso27Ce1,50 kgf/cm abs, respectivamente. Determinar o fluxo de massa. Soluo Estado:Pv = RT (2.1) Da tabela (pgina 538/A.8), RAR = 29,27kgf.m/kgK Logo, kg / m , vmcmcmkgf,K ) (K kgkgfm,PRTv322425854 010 5 1273 27 27 29~ + = = Continuidade:m= VA(4.2.1) A rea transversal do escoamento ( )s / kg , min / kg , mkgm,minm. m ,vAVAV mm , Am . .DA005 0 302 05854 010 01768 001768 010 154 43222222~ ~ = = = ~t=t= Problema 4 Umlquidoescoaatravsdeumtubo(cano)circular.Paraumadistribuiode velocidades satisfazendo a equao((

=22 2Rr RV vmx onde v = velocidade local ou velocidade de camada do fluido em r,r = a distncia contada a partir do centro do tubo, R = raio do tubo, calcular a velocidade mdia. Soluo: D P, T V Escoamento ARm 63 Continuidadepara fluido incompressvel: AV V = (4.3.4) ouAvdAAVVA}= = ou 222 2RdARr RVVAmxt((

= },mas dA = 2trdr ( )( )2 424 224 22221444 22404 22402 2222 202 2mx mxmxRmxRmxRmxV R.RVR RRRV r rRRVrdr r RRR / Vrdr r RRVRV= =((

=((

=tt=t t= }} Logo, a velocidade mdia 2mxVV = Nota: A expresso acima verdade para escoamento laminar! Mas no para escoamento turbulento!! Problema 5 Em uma tubulao de 400 mm de dimetro escoa o ar (Rar = 29,3 m / K, temperatura de 27oC ), sob a presso manomtrica Pm = 2,2 kgf/cm2. Supondo a velocidade mdia de 2,8 m/s e a presso atmosfrica normal Patm = 1 kgf/cm2, determinar quantos quilos de ar escoaro por segundo. centro D Vmx Escoamento R r v Perfil (distribuio) de velocidade: ((

=22 2Rr RV vmx Nota quando r = 0 v = Vmx que no a funo de r 64 Soluo Sabemos que a presso absoluta a presso manomtrica (efetiva) mais atmosfrica:P = Pm + Patm = (2,2+1) kgf/cm2 = 3,2 kgf/cm2 = 3,2 x 104kgf/m2 Estado :P = RT Estado tambm pode ser escrito comoP = RT (1) P em kgf/m2, = peso especfico em kgf/m3, R=cte. de um gs particular em m/K, T em K Logo, = P/RT = ( 3,2 x 104 kgf/m2 ) / [ ( 29,3 m/K ) ( 27 + 273 K ) ] ~ 3,64 kgf/m3 A vazo volumtrica ( ou vazo em volume ) A vazo em peso LogoG = 3,64 x 0,352 ~ 1,281 kgf/s Resp. 4a Lista de Exerccios de EME35 Questo 1 Umfluidoincompressvelemescoamentotridimensionalpermanenteapresentaas seguintes componentes da velocidade mdia: u = x2 (3 y/2) + 4,v = x(z 6y y2/2) 5, = = x(2yz + - 3y2) Mostrar que satisfeita a equao da continuidade. ) 4 . 3 . 4 ( AV V =s m V / 352 , 0 8 , 2 ) 400 , 0 (4ou 3 2.= =t) 3 . 8 . 4 ( VA G.V = = 65 Questo 2 Umfluidoincompressvelemescoamentobidimensionalpermanenteapresenta:as seguintes componentes da velocidade mdia: u = (5x 7y) t , v = (11x 5y) t Examinar se estas funes so compatveis com a equao da continuidade Resp. compatveis Questo 3 Umfluidoemescoamentotridimensionalpermanenteapresentaasseguintes componentes da velocidade mdia: U = x2y, v = x+y+z, w = x2+z2 Serqueascomponentesdavelocidademdiacaracterizamumescoamento incompressvel? Resp: Nocaracterizam Questo 4 Qual o menor dimetro de um tubo necessrio para transportar 0,3 kg/s de ar com umavelocidademdia de 6m/s ?O ar est a 27o C e umapresso de 2,4 kgf/cm2 abs. Resp: D ~ 15,3 cm = 153 mm Questo 5 Umgrandecondutode1mdedimetrotransportaleocomumadistribuiode velocidades, V = 9(R2 2) Onde v = velocidade local em , = a distncia contada a partir do centro do conduto, R = raio de conduto. Determine a velocidade mdia. Resp:V = 1,125 m/s 66 Questo 6 Operfildevelocidadesnumdeterminadoescoamentoemcondutosdado aproximadamente pela lei de PRANDTL da potncia um stimo: v/Vmax = (y/R)1/7 ond y a distncia contada a partir da parede do conduto e R o raio do mesmo Perfil: v/Vmax = (y/R)1/7 Qual a relao entre velocidade mdia e velocidade mxima ? Resp.V = 49/60 Vmax Questo 7 A gua ( = 1000 kgf/m3 ) escoa com a velocidade mdia de 0,2 m/s em um tubo, cuja seo transversal mede 0,1 m2. Calcular os valores dos diversos tipos de vazo. NOTA bom verificar o problema 1 resolvido na pgina 13. Problema 6 Um fluido incompressvel se escoa de modo estacionrio atravs de um duto com duas sadas,conformeindicadonaFig.1.Oescoamentounidimensionalnassees1e2, porm o perfil de velocidades parablico na seo 3. s kg m s kgf G s m V / 20 , / 20 , / 02 , 0 : Resp.3.= = = 67 Fig.1. Escoamento atravs de um tubo com ramificao Soluo Uma vez que o escoamento estacionrio (permanente) a equao (4.1.2) se reduz a Onde a integral representa a superfcie de controle inteira, isto , A massa especfica pode ser cancelada, considerando-se que o fluido incompressvel, fornecendo Como o escoamento unidimensional em 1 e 2, tem-se, 0 =}A d Vsc 03 2 1= + + =} } } }A d V A d V A d V A d VA A A sc 03 2 1= + + =} } } }A d V A d V A d V A d VA A A sc t d V A d V e A V A d V A V A d VA A A A2 ; ;3 3 2 12 2 1 1} } } }= = = 68 Usando estas relaes simplificadas, obtemos V1 = (-0,24154 / 0,2787) ~ 0,87 m/s Resp. Problema 7 Atubulaodeaoparaaalimentaodeumausinahidreltricadevefornecer1200 litros/s.Determinarodimetrodatubulao,demodoqueavelocidadedaguano ultrapasse 1,9 m/s. Soluo Da equao da continuidade obtemos: 0 2 1 42202 2 1 1 =||.|

\| + + } tdRA V A VR0 8 ) 1858 , 0 ( 3 , 0 ) 2787 , 0 (0231 =||.|

\| + + } tRdRV ou04 28 05574 , 0 ) 2787 , 0 (0] [241 = + + RRV ou t04 28 05574 , 0 ) 2787 , 0 ( ] [24 21 = + + RR RV ou t048 05574 , 0 ) 2787 , 0 (21 = + + RV ou t0 2 05574 , 0 ) 2787 , 0 (31 = + + A V ou0 ) 0929 , 0 ( 2 05574 , 0 ) 2787 , 0 ( 1 = + + V ou233 3 3 -m 6316 , 0m/s 9 , 1/ m 2 , 1se, - tem m/s, 9 , 1/ m 2 , 1 / m 10 1200 /s litros 1200problema do dados os com e ) 1 (~ === = ==sAVs s VVVA 69 Estaareadaseotransversalnatubulao,paraovalormximodavelocidade. SendoVconstanteemcadasituao,conclumos,pelaequaoqueovalorobtidoda reaomnimodaseoA.Logo,devemosterA>0,6316m2(porque,aumentandoa rea diminumos a velocidade). A = tD2 / 4 ouD = (4A / t ) = (4 x 0,6313 / t)1/2 ~0,987 m Logo, D > 0,897 m Resp. Problema 8 A gua escoa atravs de um conduto de raio R=0,3 m (Fig.2). Em cada ponto da seo transversaldoconduto,avelocidadedefinidaporv=1,8-202,sendoadistnciado referido ponto ao centro O da seo. Na coroa circular (Fig.2) , de rea elementar dA, esto os pontos que distam do centro O . Ento, dA = 2td (1) Cada ponto da coroa est submetido velocidade v, donde Pelo enunciado, v= 1,8 20 2 (3) Que uma parbola. Quando = 0, temos a velocidade mxima (no eixo do tubo), isto , Vmax = 1,8 0 = 1,8 m/s V Calcule) 2 (.vdA V d = 70 Quando = R = 0,3, temos vc = 1,8 20 (0,3)2 = 0, que a velocidade nula na parede do tubo. Substituindo (1) e (3) em (2): dV = (1,8 - 202)2td = 3,6td - 40tr3d = 8t(0,45 - 5r3 )d Para a vazo atravs de toda a seo, integramos de 0 a =0,3 8t(0,02025-0,010125) ou V~ 0,255 m3/s Resp. Problema 9 Um recipiente contendo reagentes qumicos colocado num tanque com gua e aberto para a atmosfera . Quando os produtos qumicos reagem, o calor transferido para a gua aumentando a suatemperatura.Apotnciafornecidaaoeixodeumagitadoutilizadoparacirculara gua de 0,04 HP. Aps15minutosocalortransferidoparaaguafoide252Kcal,edaguaparaoar externo foi 12 Kcal. Supondo-senoTerocorridoevaporaco,qualseroaumentodeenergiainternada gua? Dado1 HP hora ~ 641,186 Kcal = = = = } }3 , 004 23 , 0033 , 00] [45245 , 0) 5 45 , 0 ( 8 tV oud V d V 71 Soluo 1o mtodo A gua o sistema. O sistema fechado Utilzamos a equao (3.1.30) 1a lei : 1Q2 1W2 = AU ou 1Q2 =(+252) + (-12) = 252-12 ou 1Q2 = 240 kcal 1W2,nestecaso,otrabalhoeltricofornecidoparaacionaroagitador.Estetrabalho eletrico fornecido para acionar o agitador. Este trabalho realizado sobre sistema (gua), portanto, negativo. 1W2 = W x t = -0,04 HP x 15 mh/60 min = -0,01 HP hora ou 1W2= -0,01 x 641,168 ~ -6,412 kcal Logo AU = 1Q2 1W2= 240 (-6,412) kcal AU = 241,41 kcal ~ 1031,72 KJResp. 2o mtodo Vamos usar a equao (3.1.3 a) 72 1a lei em termos de fluxo:Q = dE / dt+ W dE = dU + d(EC) + d(EP) Mas d(EP) = 0 = d(EC) Q = dU / dt + Wou dU = Qdt Wdt ou dU = 960 kcal/h x 1/4h (-0,04 HP x 1/4h x 641,186 kcal/HPh) dU ~ AU ~ 246,41 kcal ~ 1031,72 kJ Resp. Nota1Q2 = Q x t 4 lista (continuao) de exerccios de EME35 Questo 8 Durante a carga de uma bateria, a corrente de 20 ampres e a tenso 12,8 volts. A taxa de transferncia de calor da bateria de 6,3 kcal/h. Qual a taxa de aumento da energia interna? Dado: a taxa de trabalho eltrico, W=-Ei, onde E = tenso em volts, i = corrente em ampres. Resp.:W h kcaldtdU54 , 248 / 7 , 213 ~ ~ Questo 9 Na seo 1 de um conduto pelo qual escoa gua, a velocidade de 0,91 m/s e o dimetro0,61m.Estemesmoescoamentopassapelaseo2ondeodimetro 0,91m. Determinar a vazo volumtrica e a velocidade na seo 2. Resp.: V2 = V1 = cte ~ 0,266 m3/s, V2 ~ 0,41 m/s Questo 10 272,4kgf/sdeguaescoaatravsdeumtubodediferentereadeseo transversal. Calcule a vazo volumtrica, a velocidade mdia na seo de entrada e a na sada. Dado: agua = 1000 kgf/m3 73 Resp.: V ~ 0,2724 m3/s, Ve ~ 3,73 m/s, Vs ~ 8,396 m/s Questo 11 guaentraatravsdeumtubocircularpeloAesaipeloCeD.Seavelocidade emCfor2,74m/s,calculeasvelocidadesemAeemD.Calculetambmavazo volumtrica. Problemas Resolvidos Exemplos da 1 lei da termodinmica para V.C. Exemplo 1 Considere a instalao a vapor elementar, mostrada na figura. Os dados seguintes referem-se a tal instalao: LocalizaoPresso (Kgf/cm2)Ttulo ou temperatura(C) Sada do gerador de vapor20320 Entrada da turbina18,5290 Sadadaturbina,entrada do condensador 0,1593% Sadadocondensador, entrada da bomba 0,1340 Trabalho da bomba = 1,7 kcal/kg Determine as seguintes quantidades por Kg de fluido que escoa atravs da instalao: 74 a)Calor transferido na linha entre o gerador de vapor (caldeira) e a turbina entre 1 e 2 (tubulao) b)Trabalho produzido pela turbina entre 2 e 3 (wvc) c)Calor transferido no condensador entre 3 e 4 (qvc) d)Calor transferido no gerador de vapor entre 5 e 1 (qvc(cald)) Use as tabelas de vapor e/ou diagrama de Mollier para vapor de gua. Soluo A equao geral da energia ou a 1 lei da termodinmica em regime permanente : vccscsscecee vcwJ ggZJ gVhJ ggZJ gVh q + + + = + + +2 22 2 (1) As velocidades e as alturas no so dadas, portanto, as variaes de energia cintica e energia potencial so desprezadas. Tem-se, ento, vc s e vcw h h q + = +(2) 1 lei reduzida! As entalpias nos pontos 1, 2, 3 e 4 Ponto1Dastabelasdevapordguasuperaquecido,tem-se,comP1=20kgf/cm2e T1=320 C, Vapor superaquecido (pg. 493, A.1.3.(a)) h1=733,2 kcal/kg Ou pelo diagrama de Mollier : h1=3070 kJ/kg=3070/4,187=733,2 kcal/kg Ponto 2 P2=18,5 kgf/cm2, T2=290 C Vapor superaquecido (pg. 493, A.1.3.(a)) Por interpolao linear ( )1 1 21 21y y yx xx xy + ||.|

\|= , onde h=y e P=x Portanto h2 ~ 717,99 ~ 718 kcal/kg Ou pelo diagrama de Mollier : h1=3010 kJ/kg=3010/4,187=718,89 kcal/kg Ponto 3 P3=0,15 kgf/cm2, x=93% Vapor de gua saturado: V+L Tabela de presso (pg. 481, A.1.2.(a)) h3=( ) kg kcal xh h xv l/ 7 , 580 4 , 620 93 , 0 5 , 53 ) 93 , 0 1 ( 1 ~ - = = + Ou pelo diagrama de Mollier : h1=2430 kJ/kg=2430/4,187=580,37 kcal/kg Ponto 4 P4 = 0,13 kgf/cm2, T4 = 40 C Vapor de gua saturado: neste problema apenas L Entalpia apenas depende da temperatura tambm para lquido. Tabela de presso (pg. 481, A.1.1.(a)) h4 ~ 39,98 kcal/kg 75 a) Considerando um volume de controle que inclua a tubulao entre o gerador de vapor e a turbina (ponto 1-2): w h h qcal+ = +2 1 Mas w=0, portanto: kg kcal h h q / 2 . 15 2 . 733 7181 2 2 1 = = =O sinal negativo significa perda de calor pela tubulao. b) A turbina essencialmente uma mquina (um acessrio) adiabtica. Considerando um volume de controle em torno da turbina (ponto 2-3): kg kcal h h w w h h qturb/ 3 . 137 7 . 580 7183 2 3 2 3 2 3 2= = = + = +O trabalho produzido! c) Para o condensador o trabalho de eixo nulo (ponto 3-4): kg kcal h h q w h h q / 72 . 540 7 . 580 98 . 393 4 4 3 4 3 4 3 = = = + = +O calor rejeitado! d) Para o gerador de vapor, o trabalho do eixo nulo (ponto 5-1): 5 1 1 5 1 5 1 5h h q w h h q = + = +Determinao de h5 Considerando um volume de controle em torno da bomba (ponto 4-5), pode-se achar h5. A bomba um acessrio adiabtico e seu trabalho negativo. kg kcal w h h w h h q / 68 , 41 ) 7 . 1 ( 98 . 395 4 4 5 5 4 5 4 5 4= = = + = +Portanto:kg kcal h h q / 52 . 691 68 . 41 2 . 7335 1 1 5= = =Calor fornecido ao gerador de vapor! Rendimento desse ciclo % 61 . 1952 . 6916 . 13552 . 691) 7 . 1 ( 3 . 137 ) (~ = += += =tB tHtqw wqwq q Outro mtodo: = ) ( q w 1 lei para ciclo 52 . 6916 . 13552 . 691) 2 . 15 ( ) 72 . 540 ( 52 . 691 ) ( ) (= + += + += =qq q qqqtub cond caldHtq% 61 . 19 ~tq Exemplo 2 Hlio expandido adiabaticamente numa turbina (a gs) de 400 kPa e 260 C a 100kPa (100 kPa = 1 bar = 105 N/m2 = 0.9869 atm). A turbina bem isolada e a velocidade na entrada sendo muito pequena, portanto, desprezada. A velocidade na 76 sada 200 m/s. Calcule o trabalho produzido (trabalho de eixo) por unidade de massa do hlio no escoamento. Soluo: Dados: P1 = 400 kPa, P2 = 100 kPa, T1 = 260 C + 273 = 533 K, T2 = ? V1 ~ 0, V2 ~ 200 m/s Da tabela (pg. 538): Khlio = 1.667, Cpo Helio 1.25 kcal/kgK O hlio expandido adiabaticamente. Para o processo adiabtico vale: kkPPTT11212||.|

\|=ouKPPT Tkk 08 , 306400100533667 . 11 667 . 11121 2~ |.|

\|=||.|

\|= Considerando-se o hlio como sendo gs perfeito, tem-se: kg kcal K kg kcal T T C h hpo/ 65 . 283 ) 533 08 . 306 ( / 25 . 1 ) (1 2 1 2 ~ = = A turbina isolada (adiabtica, q=0), dado que V1 ~ 0 e V2 ~ 200 m/s, e considerando d(EP) ~ 0, tem-se, pela 1 lei: kcal kgfm kgfs kgms mkg kcal wJ gV Vh h w qc/ 427 / 81 . 9 2/ ) 0 200 (/ 65 . 283222 2 2 21221 2- -+ = + = kg kJ kg kcal w / 67 . 1167 / 88 . 278 ~ ~ Aplicao da desigualdade de CLAUSIUS (ciclo termodinmico) A equao 3.1.4.b}sc0TQ Exemplo 3 77 Fig. Instalao a vapor para mostrar a desigualdade de CLAUSIUS . Satisfaz esse ciclo desigualdade de CLAUSIUS? Soluo Sodoisoslocaisondeserealizaatransfernciadecalor;caldeirae condensador. Assim , } } }|.|

\| c+ |.|

\| c=cCOND CALDTQTQTQ

Comoatemperaturapermanececonstante,tantonacaldeiraquantono condensador , a expresso acima pode ser integrada como se segue : 34 312 14332111 1TQTQQTQT TQ+ = c + c =c} } }2 Lei wJ ggZJ gVhJ ggZJ gVh qcscsscecee H+||.|

\|+ + =||.|

\|+ + +2 22 2 1 Lei As entalpias nos pontos (1),(2),(3) e (4) hl=h1=165,6 kgkcal(a 7 kgf/cm2 pg482) T1=164,2 C (pg. 482) 78 hv=h2=695,5 kgkcal(a 7 kgf/cm2 pg482) h3=[(1-x)hl+xhv]3=(1-0,9)53,5+0,9*620,4=563,71kgkcal(a 0,15 kgf/cm2 ), T3=53,6C(pg. 482) h4=[(1-x)hl+xhv]4=(1-0,1)53,5+0,1*620,4=110,19 kgkcal(a 0,15 kgf/cm2) Considerandod(EP)=0=d(EC)eaplicandoa1Leiouenergiaporunidadede massa ,tem-se, 2 1q =h2-h1=659,5-165,6=493,9kgkcal ;T1=164,2C 4 3q =h4-h3=110,19-563,71=-453,52 kgkcal ,T3=53,6C Dessa maneira , K kgkcalk kgkcalTqTqTq258671 , 0 3879724 , 1 1293014 , 1 15 , 273 6 , 5352 , 45315 , 273 2 , 1649 , 49334 312 1 = =((

++= + =c}

Assim,esseciclosatisfazdesigualdadedeCLAUSIUS,oqueequivalentea dizer que ele no viola a 2 Lei da termodinmica . Resp 4.5.82Lei da termodinmicapara volume de controle VC s s s e e eJJ VCs m s mTQdtdSo + E E + E =(4.5.8) taxa de variaotaxa de transferncia detaxa de produo dede entropia entropia entropia

02587 , 0 s ~c}K kgkcalTq 79 Hipteses (1) Regime permanente : 0 =dtdSVC VC s s s e e eJJJs m s mTQo + E E + E = 0(2) Processo adiabtico (No h troca de calor) :0 = EJJJTQ VC s s s e e es m s m o + E E + = 0 0(3) Processo reversvel ,isto ,sem produo de entropia:0 =VCo0 0 0 + E E + =s s s e e es m s m ou s s s e e es m s m E = E(4) nica entrada e nica sada :m m ms e = =Finalmente , se=ss(4.5.9)2 Lei p/ VC. Aplicao da 2 Lei p/ VC Exemplo 4 O vapor dgua entranuma turbina a 10 kgf/cm2 , e 250 C ,com uma velocidadede50m/sedeixeaturbinanapressode1,5kgf/cm2,comumavelocidadede 150m/s.Mede-se o trabalho retirado (produzido) da turbina ,encontrando-se o valor de 50 kgkcalde vapor escoando atravs da turbina .Determineo rendimento da turbina. Soluo Turbina um acessrio trmico essencialmente adiabtico . 80 1 lei(reduzida): VCcssceeWJ gVhJ gVh + + = +2 22 2(1) 2 lei: ss=se(2) Relaes de propriedades : TABELAS DE VAPOR OU(3) DIAGRAMA DE MOLLIERDastabelasdevapor(pg493)com10kgf/cm2e250Cacha-se,kgkcalhe1 , 703 ~ eK kgkcalse6565 , 1 =ou ComodiagramadeMOLLIER(Pe=10kgf/cm2ete=250C)acha-sehe=2945KJ/kg~703,37 kgkcal ; e se=6,94 K kgKJ~ 1,6575 K kgkcal Asduaspropriedadesindependentesconhecidasnoestadofinalsopressoe entropia. Ps=1,5 kgf/cm2ese=ss~ 1,6565 K kgkcal. Portanto , o ttulo e a entalpia do vapor ao deixar a turbina podem ser determinados. pg 481 ss=1,6565=sv (1-x)sslv=1,7255 (1-x)s1,3848Ps=1,5kgf/cm2 ou 0498 , 03848 , 16565 , 1 7255 , 1) 1 ( ~= sx ou ou com Ps e ss tambm acha-se do diagramax=95% e hs=2580 kgKJ~ 616,19kgkcal. pg 481 hs=hv-(1-x)shlv = 642,7-(1-x)s531,8Ps=1,5kgf/cm2 =642,7-(0,0498)531,8 x=0,9502 hs~616,22kgkcal 81 Pode-se agora determinar o trabalho por kg de vapor para esse processo isentrpico , usando a 1 lei como escrita acima. scs es e VCWkgkcalJ gV Vh h W= ~+ =+ =+ =49 , 84427 * 81 , 9 * 222500 250088 , 86427 * 81 , 9 * 2150 5022 , 616 1 , 70322 22 2 que o trabalho que seria realizado em um processo adiabtico reversvel (isentrpico) . Mas o trabalho medido (real) =Wr=50 kgkcal Resp. 5 Lista de Exerccios de EME-35 Questo 1 Ovapor dgua entra numa turbina a 10 kgf/cm2 e 250C . O vapor sai da turbina presso 1,5 kgf/cm2.Mede-se o trabalho retirado da turbina,encontrando-se o valor de 50kcal/kgdevaporescoandoatravsdaturbina.Determineorendimentodaturbina ,usando apenas o diagrama de MOLLIER . Resp: % 35 , 57 ~Turbq Questo 2 Emumausinatermoeltricadeturbinaags,ciclofechado,a temperatura(emC)eavelocidade(emm/s)dofluidodetrabalho (AR) entre vrios componentes so: LocalizaoTemperaturaVelocidade Entre resfriador e compressor3290 Entre compressor e aquecedor23230 Entre turbina eresfriador518105 A velocidadedo ar entrando na turbina 210m/se a transfernciade calor ao ar noaquecedor153kcal/Kg.Outrastransfernciasdecaloratmosferapodemser desprezadas .Faa o esboo do problema .Calcule : a)a temperatura do ar na entrada da turbina, b)a transferncia de calor lquido do ar no resfriador, c)o trabalho lquido na sada da usina, d) eficincia trmica. % 18 , 5949 , 8450~ = =srturbWWq 82 Assumirocalorespecficopressoconstantedoarumafunoapenasda temperaturasendodado , cp~0,24 kcal/kgK Resp:a)t3~ 848C b)qL~ -116,99kgkcalc)Wliq~ 36,01kgkcald) tq ~ 23,54% Questo 3 Numescoamentoregimepermanente,aguatemperatura60Cepresso3 2cmkgf(h=59,4kgkcal )entranumaseodaplantadeaquecimentonaqualnoh bomba.A gua sai temperatura48C e presso 2,62cmkgf (h=47,7kgkcal ) .A asda do tubo est 25,5mm acima do tubo de entrada.Calcular a transferncia de calor por unidade de massa dgua ,considerando-se que no haja diferena da energia cintica . Resp:kgkcalqO H70 , 112 ~ Questo 4 O bocal um aparelho paraaumentar velocidade e usado num escoamento em regime permanente . Naentradadeumcertobocal,aentalpiadeumfluidoescoante715 kgkcal ea velocidade 60m/s . Na sada a entalpia 660kgkcal.O bocal horizontal e no h perda de calor do bocal. a)Ache a velocidade na sada do bocal, b)Seareadeentradaeovolumeespecificodofluidonaentradaforem1000cm2e 0,187m3/kg,respectivamente ,calcule a vazo em massa, c)Seovolumeespecficodofluidonasadadobocalfor0,498m3/kg,acheareade sada. Resp:Vsaida~ 676m/s , skgm 08 , 32 ~ , Asaida~ 236,33cm2. Questo 5 O fluxo de massa que entra numa turbina a apor d gua 5000hkg e o calor pela turbina 7500 hkcal .Conhecem-se os seguintes dados para o vapor que entra e sai da turbina : Condies de entradaCondies de sada Presso20kgf/cm21kgf/cm2 Temperatura370C ------ Ttulo------ 100% Velocidade 60m/s180m/s Altura em relao ao plano de referncia 5m 3m Determine a potncia fornecida pela turbina. 83 Resp: HPhkcalWVC908 581838 ~ ~ Questo 6 Uma turbina a vapor recebe um fluxo de massa de 5000hkg e entregue 550KW . A perda de calor da turbina desprezada. a)Acha a variao da entalpia especfica atravs da turbina se a velocidade na entrada e a diferena da energia potencial forem desprezadas .A velocidade na sada 360m/s, b)Calcular a variao da entalpia especfica atravs da turbina se a velocidade na entrada for 66m/s e o tubo de entrada for 3m acima do mesmo de sada . Resp:a)hs-he~ -110kgkcalb) hs-he~ -109,55kgkcal Questo 7 Em que se aplica as seguintes expresses da 2 lei da termodinmica: a) ds > 0 b) Se o resultado da expresso no item a) for negativo, qual ser a concluso? c) Ss = Se

d) Tds = du + pdv e) Q/T 0 Questo 8 Escreva a energia na forma diferencial e explique todos os termos. Questo 9 A equao de BERNOULLI um caso especfico da 1lei. Quais so as hipteses da equao de BERNOULLI? Questo 10 Quaissoashiptesesfeitasparachegara2leidatermodinmicaparavolumede controle? Questo 11 Quaissoosacessriostrmicosdesistemasabertosnosquaisa1leida termodinmica aplicada? PROBLEMAS RESOLVIDOS APLICAODAEQUAODEBERNOULLIAOSPROBLEMASDE ENGENHARIA 84 Problema 1 a)Determinaravelocidadedesadadoorifcioinstaladonaparededo reservatrio da figura 1. b) Determinar a vazo do orifcio. Figura 1 escoamento num orifcio (local) a partir de um reservatrio. Soluo a)Ojatosaicomformatocilndricosubmetidopressoatmosfrica,emsua periferia.Apressoaolongodoseueixotambmaatmosfricaparaefeitos prticos. A equao deBERNOULLI aplicada entre um ponto 1da superfcie livre da gua e em um ponto a jusante 2 do orifcio. P1/ + V12/2g + Z1 = P2/ + V22/2g + Z2 1) ou V22/2g =P1-P2/ + V12/2g + Z1 Z2 MasP1=P2=Patm ,Avelocidadenasuperfcie1doreservatrionula (praticamente), Z1- Z2 = H ; Logo V22/2g=0+0+HV2=2gHm/sousejaV2=2x9,806x4=8,86m/sque estabelece que a energia de descarga (V2) igual velocidade de queda livre a partir da superfciedoreservatrio.Esteresultado,V2=2gHconhecidocomoteoremade TORRICELLI. H = 4 m gua FluidoIncompressvel Orifcio 100 mmZ2 Z1 1 2 85 . 1)A vazo V igual ao produto da velocidade de descarga pela rea do jato. Dimetro do jato = 100 mm = 0,1 m . V = A2V2 = HD22xV2 = H/4x(0,1)2x8,86 m3/s . V ~ 0,0696 m3/s ~ 0,07 m3/s = 70 l/s Resp Notas EstaequaodeTORRICELLInoperfeitamenteverdadeiraporquehuma perda de energia a qual no foi considerada. A equao prtica : . V = CDA02gH 2) Onde CD = coeficiente de descarga (tem valor entre 0,57 a 0,64) A0 = rea do orifcio. Problema 2 Um medidor VENTURI consiste de um conduto convergente, seguido deum conduto de dimetroconstantechamadogargantae,posteriormente,deumaporogradualmente divergente. utilizado para determinar a vazo num conduto (figura 2). Sendo o dimetro daseo1iguala15,2cmeodaseo2iguala10,2cm,determinaravazono conduto quando P1 P2 = 0,211 Kgf/cm2e o fluido que escoa leo com d = 0,90. Figura 2 Medidor VENTURI Soluo Aplicando-se a equao de BERNOULLI entre pontos 1 e 2 tem-se, P1/ + V12/2g + Z1 = P2/ + V22/2g + Z2

12 Escoamento 86 ou V22/2g =P1-P2/ + V12/2g + Z1 Z21) . Continuidade: A1V1 = A2V2 = V ou V22 =(A1/A2)2V12) Levando2) em 1) tem-se, [(A1/A2)2-1]V12/2g = P1-P2/+ Z1 Z2 V1 = [2g (P1-P2/+ Z1 Z2)/ ((A1/A2)2 1)]1/23) e. V = A1V1 = A1[2g (P1-P2/+ Z1 Z2)/ ((A1/A2)2 1)]1/24) Aqui, A1 = HD12/4 = H/4.(15,2x10-2 m )2 = 0,0181531 m2

A2 = HD22/4 = H/4.(10,2x10-2 m )2 = 0,0081745 m2 (A1/A2)2 = 4,9315018, P1-P2 = 0,211 Kgf/cm2 = 0,211x104 Kgf/m2 , Z1 Z2 = 0 , g = 9,806 m/s2 , leo = H2O x dH2O

leo = 1000 Kgf/m3 x 0,90 = 900 Kgf/m3

. V ~0,0181531[ 2 x 9,806 (0,211 x 104 /900) / (4,9315018 1) ] 1/2

ou seja . V ~0,0621 m3/s~62,1 l/sResp Notas Humaperdadeenergianaseoconvergente,portanto,umcoeficientededescarga deve ser introduzido na equao de BERNOULLI. . V = CdA1[2g (P1-P2/+ Z1 Z2)/ ((A1/A2)2 1)]1/2 onde Cd =Coeficiente de descarga = 0,89 a 0,99 Cd ser 0,98 a 0,99 se: 1)Escoamento for turbulento (Reynolds, RE > 10000) 2)No tiver vlvula de cobertura dentro de 20 dimetros da montante da venturi. 87 Problema 3 O dispositivo mostrado pela Figura 3 utilizado para determinar a velocidade do lquido no ponto 1. constitudo de um tubo, cuja extremidade inferior dirigida para montante e cujo ramo vertical aberto atmosfera. O impacto, na abertura 2, fora o mesmo a subir noramoverticalaumaalturahacimadasuperfcielivre.Determinaravelocidadeno ponto 1. Figura 3 Tubo de Pitot Soluo O ponto 2 um ponto de estagnao, onde a velocidade do escoamento anula-se (V2 ~ 0). Este fato cria uma presso devida ao impacto, chamadapresso dinmica, que fora ofluidonoramovertical.Escrevendo-seequaodaenergia(BERNOULLI)entreos pontos 1 e 2 e desprezando-se as perdas, que so muito pequenas, teremos P1/ + V12/2g + Z1 = P2/ + V22/2g + Z2

Mas Z1 =Z2 e V2 ~ 0 V12 /2g = P2/ P1/ P1/ dado pela altura do fluido acima do ponto 1 igual k metros do fluido que escoa.P2/ dado pelo piezmetroe vale k + h, desprezando o efeito capilar. Substituindo esses valores na equao, V12/2g = k + h k ou sejaV1 = 2gh m/s 1) Este o tubo de Pitot numa forma simplificada. A equao 1) tem a mesma expresso do Teorema de TORRICELLI e fornece a velocidade de corrente lquida na entrada do Tubo de Pitot. 12 k h 88 6 Lista de exerccios Questo 1: Com o tubo de Pitot mede-se a velocidade da gua no centro de um conduto com 25 cm de dimetro (Fig 1). A diferena de carga h=0.1 mca. Devido ao grande dimetro, supe-sequequeavelocidademdiadaguanestetubocorrespondea2/3da velocidade no seu centro. Calcular a vazo volumtrica. Fig1 Tubo de Pitot Resp.: V ~ 0.0456 m3/s = 45.6 litros/s Questo 2: OCentrodeumorifciocircularest8,5mabaixodasuperfcielivre(S.L. constante) de um reservatrio. Determinar o dimetro deste orifcio para que a vazo seja de 25,34 l/s (desprezando as perdas de energia), supondo o escoamento permanente. Resp: D ~ 50 mm Questo 3: Em um reservatrio de S.L. constante, tem-se um orifcio com dimetro d1 = 0,02 m profundidadeh1=3m(Fig2).Substituindo-oporoutrocomdimetrod2=0,015m, determinaraqueprofundidadedeveficaronovoorifcio,afimdequeavazosejaa mesma do primeiro, desprezando todas as perdas de energia. Fig2 orifcio num reservatrio Resp: h2 ~ 9,481 m. Questo 4: leocombustvel(SAE10)escoaatravsdeummedidorVenturi(Fig3).A pressonoponto12,04kgf/cm2.OcoeficientededescargaCddoVenturi0,95. 89 Calculeavazovolumtricaseapressonoponto2for1,70kgf/cm2.Dados:A densidade (absoluta) do leo, d = 0,91.1000 =oleo kgf/m3 Fig3 Medidor Venturi Resp:0093 , 0 =-V m3/s = 9,3 l/s. Questo 5: Um tubo de Pitot esttico usado para medir a velocidade dgua escoando num tubo.Seadiferenaentrepressototalepressoestticafor1,07kgf/cm2,quala velocidade? Resp: V ~ 14,49 m/s. 90 Captulo 5 5.1.0 Fludo Um fludo uma substncia que se deforma continuamente quando submetida a uma tenso de cisalhamento. Uma fora de cisalhamento (ou atrito) a componente tangencial da fora que age sobrea superfcie e, dividida pela rea da superfcie, d origem tenso de cisalhamento. 5.1.1 Fludo Real Ofludorealtemviscosidade(>0)quecausaoatritodofludo(atritoentreasduas camadasdeumfludoquandoemescoamento).Ela,responsvelpelairreversibilidadeeno comportamentodoescoamentodosfludosnamaioriadosprocessosemvrioscamposda engenharia. 5.1.2 Viscosidade Viscosidadepordefinioapropriedadedeumfludoresponsvelpelaresistnciaao cisalhamento. Viscosidadedinmicaouabsoluta,=.u[Ns/m2]ondeu=viscosidadecinemtica [m2/s]. 5.1.3 Lei de Newton para viscosidade A lei de Newton para a viscosidade definida como:t = .dV (5.1) dy ondet=atensodecisalhamento(N/m2),dV=0gradientedevelocidade(taxade transformao) dy (s-1 = 1/s), = viscosidade absoluta ou dinmica (Ns/m2). Aviscosidadeumafunodatemperatura.Noslquidosaviscosidadediminuicoma temperatura e nos gases ela aumenta com a temperatura. Todo fludo que se aplica a equao (5.1) chamado de fludo Newtoniano. 5.1.4 Classificao dos fludos Os fludos podem ser classificados como newtonianos ou no-newtonianos. Nofludonewtonianoexisteumarelaolinearentreovalordatensodecisalhamento aplicada e a velocidade de deformao resultante (taxa de deformao ou gradiente de velocidade). bom lembrar que constante na equao (5.1) e vlida em um escoamento linear. Nofludono-newtonianoexisteumarelaono-linearentreovalordatensode cisalhamento aplicada e a velocidade de deformao angular. Gases e lquidos finos tendem a ser fludos newtonianos, enquanto que hidrocarbonetos de longas cadeias podem ser no-newtonianos. 91

Fig. 1 Digrama reolgico 5.1.5 Escoamento Laminar e Turbulento Escoamento Laminar Laminarquandoaslinhasdecorrentesemantmparalelas.Oselementosfludosou partculasparecemdeslizarunssobreosoutrosemcamadasoulminas.Estemovimento chamado escoamento laminar. Escoamento Turbulento 92 Turbulento quando as linhas de corrente perdem a individualidade. Os elementos fludos ou partculastemummovimentodesordenadooucaticodepartculasindividuais,sendovistos redemoinhos de vrios tamanhos. Este movimento chamado de escoamento turbulento. Entre os regimes laminar e turbulento pode-se caracterizar um regime transitrio, em que as linhasdecorrentenoperdemtotalmenteaindividualidade.Estaregiorepresentagrande instabilidade.Ocorrendoqualquerperturbao,oregimepassaaserturbulento.Almdisso,no regimelaminaradistribuiodevelocidadedoescoamentoparablica,enquantoqueno turbulentoachatada.Sendoavelocidadelocaldoescoamentov=Vmxnocentrodotubo.No escoamento laminar temos que a velocidade mdia, V = 0,5.Vmx e no turbulento V = 0,82.Vmx (ou 0,80 a 085). 5.1.6 Nmero de Reynolds Parasesaberseoescoamentolaminarouturbulento,necessriosaberonmerode Reynolds.OnmerodeReynoldsumparmetroadimensionalqueseaplicaaescoamentos dinamicamente semelhantes. Ele definido pela relao: RE = .V.L (5.1.1) onde = massa especfica do fludo (kg/m3), V = velocidade caracterstica do fludo (m/s), = viscosidade absoluta do fludo (Ns/m2), L = comprimento caracterstico (m). Para o caso de tubos: L = D = dimetro do tubo (m), V = velocidade mdiado fludo (m/s).Logo, adimensional(5.1.2) o nmero de Reynolds uma relao entre as foras de inrcia e de viscosidade. UmavezlevantadoonmerodeReynolds,estevaleparaqualquerfludo newtoniano ou no-newtoniano. 5.1.7 Classificao dos Regimes As experincias mostram que nos condutos (tubos circulares) forados: (a) Se RE s 2000(5.1.3) o regime (escoamento) LAMINAR, isto , as partculas percorrem trajetrias paralelas (Fig. 1) Fig. 1 Escoamento laminar RE = .V.L = V.D u 93 (b) Se 2000 < RE < 4000 (5.1.4) o escoamento instvel ou de transio. (c) Se RE > 4000 (5.1.5) o regime turbulento, isto , as trajetrias das partculas so irregulares (Fig. 2) Fig. 2 Escoamento turbulento PROBLEMAS RESOLVIDOS Problema 1 Suponhamos um leo de palmeira ( = 4524x10-6 kgf.m-2.s), escoando sob regime laminar em uma tubulao industrial com 90 mm de raio interno (Fig. 3). Supondo que a distribuio da velocidade seja uma funo linear (OM na figura), obter: 1)o gradiente de velocidade dV/dy; 2)o valor da tenso de cisalhamento t no fludo. V = 1,08 m/s M V2 Fig. 3 70 mmV1 V0 V

O Parede de um tubo Soluo 1)O segmento de reta OM satisfaz funo linear y V . o = yV= oPela figura, tem-se no ponto M: y = r = 90 mm eV = 1,08 m/s= 1080 mm/s 1. 12. 90/ . 1080= = = smms mmyVoque representa a inclinao de OM e que corresponde ao gradiente de velocidade dv/dy, pois o a razo entre v e y. Ento,1. 12= sdydv A unidade s-1 conhecida como segundo recproco ou inverso. Resp. 2)Pelo enunciado, = 4524x10-6 Kgf.m-2.s 94 Substituindo estes 2 ltimos valores na lei de Newton da viscosidade, tem-se,1 2 6. 12 . . . 10 . . 4524 = = s s m Kgfdydv t 2/ . 054 , 0 m Kgf ~ tResp. Problema 2 Mostrar que no h tenso de cisalhamento nos fludos em repouso. Soluo:Na situao de repouso, no h velocidade e portanto, nulo o gradiente de velocidade0 =dydv

0 = =dydv t mostrando que a tenso de cisalhamento nula, qualquer que seja a viscosidade do fluido em repouso. Q.E.D. Problema 3 Umviscosmetrosimpleseprecisopodeserconfeccionadoapartirdeum pedao de tubo capilar. Se a vazo e a quedo de presso forem medidas e a geometria dotuboforconhecida,aviscosidadepodesercalculadaatravsdaequao LD PV. . 128. . .4t A=- Umtesteparaumcertolquidoemumviscosmetrocapilarforneceuos seguintes dados: vazo = 880 mm3/s, dimetro do tubo = 0,50 mm, comprimento do tubo = 1 m, queda de presso = 1,0 MPa. Determinar a viscosidade do lquido. Soluo:Escoamento em um viscosmetro capilar. A vazo -V= 880 mm3/s D = 0,5 mmL = 1 m 2 62 1/ . 10 1 . 0 , 1 m N MPa P P P = = = A 1 2 A equao de clculo:LD PV. . 128. . .4t A=-Suposies: 1) Escoamento laminar 2)Escoamento permanente 3)Escoamento incompressvel4) Escoamento totalmente desenvolvido (o perfil de velocidade o mesmo em qualquer seo) Ento, 95 ( ) ( ) |.|

\| |.|

\| |.|

\| =A=-3 34 4264. 880 10150 , 010 0 , 1128. . 128. . .mmsmmmmmNV LD P t t 2310 74 , 1mN ~ Resp. Conferir o nmero de Reynolds Supor que a massa especfica do fluido seja similar da gua, ou seja, 999 Kg/m3 Continuidade: ( ) mmmmm smmDVAVV. 10 50 , 01 . 880 4.. 43 2 232 == =- -tt

s m V / 48 , 4 ~ Nmero de Reynoldsm KgNsNsmmmmmmsmmKg D VRE. 10 74 , 1 10. 50 , 048 , 4 999. .23233||.|

\| |.|

\| = = 1286 ~ REConseqentemente, o escoamento mesmo laminar, j que RE < 2000. Resp. Problema 4 Determinar o nmero de Reynolds para o escoamento de 140 l/s de leo,u = 0,00001 m2/s, num tubo de ferro fundido de 200 mm de dimetro. Soluo vD V D VRE. . .= =( 1 ) Continuidade:VDV A V4..2t= =-ou2.. 4DVVt-=( 2 ) Levando ( 2 ) em ( 1 ) tem-se,

v DVRE. .. 4t-=( 3 ) Dados:-V = 140 l/s = 0,140 m3/s,D = 200 mm = 0,2 m , v = 0,00001 m2/s ( )( )9 , 8909/ . 00001 , 0 . 2 , 0/ . 140 , 0 423~=s m ms mREt ou 4000 9 , 8909 > ~ REEscoamento turbulento! Resp. 96 7a Lista de Exerccios Questo 1 Um leo de viscosidade absoluta 0,01 kgf.s/m2 e densidade 0,85 escoa atravs de um tubo de ferro fundido de 300 mm de dimetro com a vazo volumtrica 0,05 m3/s. Determinar o nmero de Reynolds. Questo 2 Umlquidotemviscosidade0,005kg/m.semassaespecficade850kg/m3. Calcular a viscosidade cinemtica em unidades SI. Questo 3 Defina a viscosidade e a lei de Newton da viscosiddade. Questo 4 Explique escoamentos laminar e turbulento. Questo 5 O que um fludo newtoniano? Citar os exemplos. Questo 6 O que um fludo no-newtoniano? Dar os exemplos. 97 Escoamento de fludo real(A equao de Bernoulli) Oescoamentodefludorealmuitomaiscomplexoqueoescoamentode fludo ideal, devido a existncia de viscosidade. A viscosidade introduz aresistncia ao movimento pela fora de atrito entre as partculas de fludos ou entre as partculas e a parede slida. Paradarescoamento,otrabalhodeveserfeitocontraestasforasde resistncias e no processo a energia convertida ao calor. A equao de Euler deve ser alterada a incluir a tenso de cisalhamento. A equao de movimento estvel ao longo a linha de corrente para fludo real ( > 0). 98 Considereumalinhadecorrenteeselecioneumsistemacilndricofludoconforme indicado na figura. A fora de presso sobre os dois lados de elemento: P.dA (P + dP).dA = - dP.dA(1) O componente do peso (a fora da gravidade) na direo do movimento: - .dS.dA.g.cos u = - .g.dS.dA.dZ = - .g.dA.dZ (2) dS A fora de atrito na direo do escoamento, F = - t.dA = - t.(2.t.r).dS (3) dM = .dS.dA , a = V.dV dS acelerao a taxa de mudana de velocidade: a = d (V) = dV , V = f(S,t)dV = cV.dS + cV.dt dt dt cSct a = dV = cV.dS + cV.dt a = cV.v + cVdtcS dt ctdt cS ct Se o escoamento for estvel (regime permanente): cV = 0a = V. cV = V.dV e du = .dS.dA ct cS dS Aplicando a 2alei de Newton, dF = (dM).a(4) teremos, mo escoamento estvel,- dP.dA - .g.dA.dZ - t.(2.t.r).dS = dF = (dM).a = .dS.dA.V.dV dS supe dA = t.r2 dividindo por - .t.r2 teremos: dP + g.dZ + 2.t.dS = - V.dV ?.r (5) Esta a equao de Euler no escoamento fludo real. dP + g.dZ + V.dV = - 2.t.dS .r 99 t=tensodecisalhamento.Otermo-2.t.dS=oatritodofludo.Osinal negativo indica que a.r fora de atrito est na direo negativa do movimento. ou dP +dV2 + dZ = - 2.t.dS(6) 2.g.r Integrando da seo (1) e (2): } } } } = +||.|

\|+212121221.. . 2. 2 rdsdzgVddPt ou P2 P1 + V22 V12 + Z2 Z1 = - 2.t (S2 S1) = - 2.t .L,S2 S1 = L

2g 2g.r .r ouP1 + V12 + Z1- 2.t.L = P2 + V22 + Z2 2g.r 2g Supe2.t.L = hL

.r (7) A equao (7) a equao de Bernoulli para fludo real e incompressvel onde: (8) = perda de carga ou energia Para fludo real, hL nunca pode ser zero. Semelhantemente,naparede(poispossvelmediratensodecisalhamento na parede) hL = 2.tP.L(9) onde tP = tenso de cisalhamento na parede .r Escoamento em Tubulaes P1 + V12 + Z1 = P2 + V22 + Z2 + hL 2g 2g hL = 2.t.L .r 100 1.Balanodeforaeasequaesfundamentaisparaescoamentolaminare turbulento, incompressvel ou compressvel tenso de cisalhamento t.(2.t.r.dx)conduto circular y v EscoamentorR vmxcentro PP + dP dx Parede Vamos considerar aqui que um fludo incompressvel (com algumas restries, oartambmpodeserconsideradocomofludoincompressvel)escoaemregime permanente atravs de um conduto circular horizontal. Desde que o escoamento estvel e totalmente desenvolvido, o fludo no ter acelerao.Podemosentoanalisaracondiodeequilbrionodiagramadecorpo livre do fludo. A soma das foras atuando sobre o fludo em movimento deve ser igual a zero. P.t.r2 (P + dP).t.r2 - t.2.t.r.dx = 0 ou dP.t.r2 - t.2.t.r.dx = 0 (1)Valetanto para escoamento laminar quanto turbulento fora de pressofora de cisalhamento (2) O sinal negativo representa a fora de cisalhamento (tensodecisalhamentonocaso) na direo oposta ao escoamento. Semelhantemente, na parede (como foi dito anteriormente que possvel medir a teso de cisalhamento na parede) t.r2.dP = - t.2.t.r.dx t = - r . dP 2dx tP = - R . AP 2L 101 (3)onde tP = tenso de cisalhamento na parede, R = raio do conduto circular,AP=aquedadepressodevidoao atrito,L = comprimento do conduto circular. A lei da viscosidade de Newton (no caso laminar): t = dv onde v = velocidade da camada (velocidade local) em distncia dyy da parede. Mas y = R rdy = dR dr = 0 dr = - dr cte. (4)O sinal negativo significa que v diminui quando r aumenta. Levando (4) em (1) tem-se: t.r2.dP = 2.t.r. .dx.dv dr oudv =1 r dP dr =1dP r dr 2dx 2 dx Integrando, } }= dr rdxdPdv .. 21 ouv = 1 dP 2 dx ?(5) Condies limites (As condies de contorno): 1acondio: v = 0 em r = R velocidade na parede zero. 0 =1 dP R2 + cte. 4dx t = - dv dr v =1 dP r2 + cte. de integrao 4dx 102 (6) Sevando (6) em (5) vem que v =1dP r2 -1dP R2 = - R2 dP R2 r2

4 dx4 dx 4dxR2 ?(7) Osinalnegativosignificaquea presso diminui aolongo do escoamento, isto , -dP = AP = P1 P2 ou P1 > P2 2a condio:v = vmx quando r = 0 a velocidade mxima ocorre no centro de um conduto circular. Portanto, da equao (7), (8) Dividindo a equao (7) pela equao (8) tem-se,

(((

|.|

\| =21Rrvvmx(9)Operfildevelocidadesparablicoemumescoamento laminar. Finalmente, = R2 AP 1- r 2 (10) 4 L R

Essaadistribuiodevelocidadesparaum(qualquer)escoamento laminar (fludo Newtoniano) e vale para RE s 2000. cte. = - 1 dP R2 4dx v = - R2dP 1 - r2 4dxR vmx = - R2 dP = R2 AP = R2 APonde AP = P1 - P2 4dx4 dx4 L e dx = L v = vmx 1 r2 R 103 2.Vazo Volumtrica(Q ou -Vcomo quiser) para escoamento LAMINAR Continuidade: }}=AdA v Q . Por definio dr

}=Rdr r v Q0. . . 2 . t rdA = 2trdr dA Essa equao vale para qualquer tipo de escoamento, e qualquer tipo de fludo (Newtoniano ou No-Newtoniano). NOTA AfimdecalcularQparaqualquerescoamentoturbulentobastavoctero perfildevelocidadesparaescoamentoturbulento.Porm,vamosfocalizarnossas atenes para escoamento LAMINAR. Levando (10) em (11), tem-se, dr rRrLP RQR. 1. 4. 22202||.|

\|A=}t ( ) dr r r RR LP RR. .1. 4. 202 222}A=t ((

A=((

A=} }4 2.. 2. . .. 24 220 03 2R RRLPdr r dr r RLPR Rtt 441. 2RLPtA= Finalmente, m3/s (12) Essa a equao de HAGEN-POISEULLE em escoamento laminar e vale para RE s 2000. Tenso de cisalhamento na parede e velocidade de atrito Q = t.R4.AP = t.D4.AP = -V 8L128L 104 Daequaodemovimentoparaumescoamentoreal(aequaodeBernoulli modificada), estvel tem-se, a perda de carga, hL = 2.tP.L(9) / Pgina 2. Definio para laminar ou turbulento r.RAperdadecargaouperdadeenergiamecnicadadaporDARCY-WEISBACH (mais detalhes no captulo 6), hL = f LV2(13) Definio: vale tanto para escoamento laminar quanto para turbulento D2g onde f = fator de atrito = | (RE,E/D), E = rugosidade absoluta do conduto. NOTA Em um escoamento laminar a rugosidade absoluta no tem nenhuma influncia sobre o escoamento. Portanto, f = | (RE) apenas para laminar. Combinando as equaes (9) e (13) vem quetP = f .V2 (14) Definio para laminar ou turbulento. 8 ou v- = tP = Vf(15) Definio para laminar e turbulento. 8 ondev-=velocidadedeatritooudecisalhamento.umavelocidadede fludo que ocorre emescoamento bem perto da parede interna. Fator de atrito em um escoamento laminar Considera a equao (12). Q = t.R4.AP = t.D4.AP = -V(12) Escoamento laminar ou8..L 128..LEscoamento HAGEN-POISEULLE ou AP =8..QouR AP = R . 8..Q Lt.R4 2L 24.t.R4 (16),R AP = tP 2L Mas tP = f .V2 (14) Definio para laminar e turbulento tP = 4..Q t.R3 105 8 tP = f .V2 = 4..Q 8t.R3 ou f = 32..Q = 32. . Q = 32..V = 64. V2tR3 RV2tR2D. V2DV 2 Finalmente,(17) EssaequaovaleparaescoamentolaminareREs2000.independentede rugosidade absoluta (Portanto, vale para tubo liso ou rugoso). Raio Hidrulico / Nmero de Reynolds / Perda de Carga O raio hidrulico por definio, (18)ondeA=readeseotransversaldofludoem escoamento, P=permetromolhado(aquelaporodo permetro de seo transversal onde h contato entre o fludo e o slido). Para tubo circular: RH = A = t.R2 = R = D P2tR 24 ou (19) Reynolds Genrico (20) onde RH = A P A equao (20) pode ser usada para um conduto no-circular. DARCY-WEISBACH (Perda de Carga) Genrico (21)onde RH = A P f = 64 RE RH = A P D = 4.RH RE = VD = V4RH hL = f LV2 = fLV2 D2g 4RH2g 106 PROBLEMA RESOLVIDO Problema 1 guaescoaatravs deumcondutoretangular de 3 ps por 2 ps.A perda de cargaem200psdesteconduto30ps.Calculearesistnciadecisalhamento exercida entre o fludo e a parede do conduto. 107 Captulo 6 Clculo de Perda de Carga distribuda e localizada 6.1 Equao de Bernoulli para Fluidos Ideais A equao de Bernoulli para o fluido ideal foi deducida na pgina 68 e novamente pode ser escrita como:

Fh zgV PzgV P+ + + = + +222 2121 1. 2 . 2 (6.1) onde=Fhperda de carga = 0 =( )gq u uVC e s1 6.1.1 Equao de Bernoulli para os Fluidos Reais Para os fluidos reais( ) 0 > a perda de carga,0 >Fh , portanto, a equao de Bernoulli modificada e escrita como:

Fh zgV PzgV P+ + + = + +222 2121 1. 2 . 2 (6.1.1.) que a equao de Bernoulli para os fluidos reais Em geral, =1P carga de presso ou carga piezomtrica (m) =gV. 221 carga de velocidade ou carga de energia cintica (m) z=carga de altura ou carga da energia potencial (m) =Fh perda de energia ou perda de carga (m) Finalmente, ||.|

\|+ + ||.|

\|+ + =222 2121 1. 2 . 2zgV PzgV PhF (6.1.1.a.) que fornece a perda de caga entre as sees (1) e (2) de um fluido real A primeira soma entre parnteses representa a energia por unidade de peso 0 108 B Z1 Z2 S.L (1) (2) Plano de referncia Fig. 1 Instalao com bomba (N.m/N = m) de fluido na seo (1) A segunda tambm a energia por unidade de peso de fuido, porm, na seo (2) Assim, Fhrepresenta a diferena ou perda de energia, experimentada pela unidade de peso do fluido, ao ser transportada de uma para a outra seo do conduto. J vimos que a equao de Bernoulli permite relacionar carga e energia. Por isto, Fh conhecido como perda de carga devido ao atrito de un fluido real. A equao (6.1.1.a.) vlida para um escoamento num tubo, na ausncia de trabalho de eixo e fluido real incompressvel. 6.1.2 Energia Fornecida para uma Bomba Suponhamos uma bomba (Fig.1), que eleva o fluido do ponto (1) ao ponto (2), entre os quais h a perda de carga Fh . Para tal, a bomba fornecer ao ponto (1) a necessria energiaBH . Ento, o 1 membro (lado esquerdo) de (6.1.1.) ficar acrescido dessa parcelaBH . BH a carga fornecida (desenvolvida) pela bomba. Portanto, tem-se F Bh zgV PH zgV P+ + + = +||.|

\|+ +222 2121 1. 2 . 2 (6.1.2.) que a Equao de Bernoulli para o caso em que a instalao recebe a energia de uma bomba. 6.1.3 Potncia de uma Bomba Pode-se mostrar que a potncia de bomba, sem considerar o rendimento de bomba

B BH V N . .-= (em Kgf.m/s) (6.1.3.) 109 onde=BN Potencia de uma bomba,= Pso especfico dgua,=-V Vazo volumtrica dgua,=BHcarga fornecida por uma bomba Nota1CV = 736 W = 75 Kgf.m/s 75 / . .B BH V N-= (em CV) 6.1.4 Instalao com Bomba e/ou Turbina p/Fluidos Reais Pode-se mostrar que a equao genrica com bomba e/ou turbina F t Bh H zgV PH zgV P+ +||.|

\|+ + = +||.|

\|+ +222 2121 1. 2 . 2 (6.1.4.) onde =tHcarga producida por uma turbina Potncia de uma turbina

t tH V N . .-= (em Kgf.m/s)=75. .tH V-(em CV)(6.1.5) onde tN = Potencia de uma turbina, 6.1.5 Potncia Real Potncia real fornecida (gasto de energia) por uma bomba ao fluido :

BBBH VNq . .-== (em Kgf.m/s) = B