Apostila Derivadas Parte1 Aluno
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Apostila de Cálculo II - Estudo das Derivadas – Parte 1 Prof. Vitor Principe
1. Introdução
Vamos considerar duas grandezas, x e y, que variam de forma tal que y é uma função de x, isto é, y = f(x).
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = 𝒙𝟎, é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = 𝒙𝟎, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto 𝒙𝟎.
Vamos construir o gráfico:
A esse valor ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥! denominamos incremento da variável x A esse valor ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥!), denominamos incremento da função y = f(x). Exemplo: Seja a função f(x) = 2x + 10 Se x passa de 3 para 8, por exemplo, temos:
Cálculo II – Estudo das Derivadas Prof. Vitor Principe
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1.1 Definição de razão incremental Denomina-se razão incremental da função y = f(x) relativa ao ponto 𝑥!, a expressão ∆!
∆!
Assim, temos: ∆!
∆!= ! ! !!(!!)
!!!! 𝑜𝑢 ∆!
∆!= ! !!!∆! !!(!!)
!!!!
Exemplo: Calcular a razão incremental da função f(x) = 2x + 3 relativa ao ponto 𝑥! = 3.
1.2 Exercícios: 1) Calcule a razão incremental:
a) da função 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 1 relativa ao ponto 𝑥! = 2. b) da função 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 2𝑥 + 1 relativa ao ponto 𝑥! = 1.
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2. Derivada num ponto
Denomina-se derivada de uma função y = f(x) no ponto 𝑥!, que se indica por 𝑓! 𝑥! , !"(!)!"
, !" !!"
o limite finito, caso exista, da razão incremental da função, quando ∆𝑥 0. Daí 𝑓! 𝑥! = 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑥! = lim∆! !
∆!∆!
Pode-se, então, escrever:
Observações:
• Se a função y = f(x) admite derivada em um ponto 𝑥!, dizemos que a função é derivável nesse ponto.
• A derivada em um ponto 𝑥!, quando existe, é única. • Quando a razão Incremental da função, relativa ao ponto 𝑥!, tem por limite +∞ 𝒐𝒖 −∞,
dizemos que a função y = f(x), não tem derivada nesse ponto. Vejamos como determinar a derivada de uma função y = f(x) no ponto 𝑥!, aplicando a definição. 1º exemplo: Determinar a derivada de 𝑓 𝑥 = 3𝑥! no ponto 𝑥! = 5
2º
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2º exemplo: Dado 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 2𝑥, calcular f ’(2).
3º exemplo: Dado 𝑓 𝑥 = 𝑥, calcular a derivada de f(x), se existir, no ponto x = 0.
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3. Derivadas fundamentais:
Nesta unidade, estudaremos o cálculo das derivadas, de modo a obtermos regras de derivação que irão nos permitir calcular a derivada de uma função f(x), sem termos que aplicar a definição. Vejamos, pois, algumas derivadas fundamentais. 3.1 Regras de derivação: Seja k uma constante. Considere f’(x) a derivada de f(x). Logo teremos: 3.1.1 Função constante: 𝒇 𝒙 = 𝒌 𝒇! 𝒙 = 𝟎 3.1.2 Função identidade: 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝒇! 𝒙 = 𝟏 3.1.3 Função potência: 𝒇 𝒙 = 𝒙𝒏 𝒇! 𝒙 = 𝒏 .𝒙𝒏!𝟏
Exemplos: 1) 𝑓 𝑥 = 𝑥! 2) 𝑓 𝑥 = 𝑥!!
3) 𝑓 𝑥 = 𝑥!!
4) 𝑓 𝑥 = 𝑥!
5) 𝑓 𝑥 = !!!
Observação: 𝑆𝑒 𝑓 𝑥 = 𝑘 . 𝑥! 𝑓! 𝑥 = 𝑘 .𝑛 . 𝑥!!!
Exemplos: 1) 𝑓 𝑥 = 5𝑥! 2) 𝑓 𝑥 = −3 𝑥! 3.1.4 Função trigonométrica:
Função seno: 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑓! 𝑥 = cos 𝑥 Função cosseno: 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 𝑓! 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥
Exemplos:
1) 𝑓 𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛 𝑥 2) 𝑓 𝑥 = −2 cos 𝑥
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3.1.5 Função exponencial: 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝒇! 𝒙 = 𝒂𝒙 . 𝐥𝐧𝒂
Exemplos: 1) 𝑓 𝑥 = 2! 2) 𝑓 𝑥 = 𝑒! 3.1.6 Função logarítmica:
𝑓 𝑥 = ln 𝑥 𝑓! 𝑥 = !! (base e)
𝑓 𝑥 = log! 𝑥 𝑓! 𝑥 =1
𝑥 ln𝑎
Exemplos: 1) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 2) 𝑓 𝑥 = log! 𝑥 3.2 Exercícios: 1) Calcule a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = 5
b) f(x) = – 2
c) f(x) = x
d) 𝑓 𝑥 = 𝑥!
e) 𝑓 𝑥 = 𝑥!!
f) 𝑓 𝑥 = 4𝑥!
g) 𝑓 𝑥 = 𝑥!!!
h) 𝑓 𝑥 = 𝑥!
i) 𝑓 𝑥 = !
!!
j) 𝑓 𝑥 = !
!𝑥!
k) 𝑓 𝑥 = 2 𝑥
l) 𝑓 𝑥 = 4𝑥
!!
m) 𝑓 𝑥 = 𝑥!!
n) 𝑓 𝑥 = −3𝑥!!
2) Determine a derivada das funções, dado um ponto:
a) 𝑆𝑒 𝑓 𝑥 = 2𝑥!, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓!(2) b) 𝑆𝑒 𝑓 𝑥 = !
!! , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓! −2
c) 𝑆𝑒 𝑓 𝑥 = 𝑥!! , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓! ! 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 8 d) 𝑆𝑒 𝑓 𝑥 = 5𝑥!! , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑥 = −1
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3) Determine a derivada das funções:
a) 𝑓 𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛 𝑥 b) 𝑓 𝑥 = 3 cos 𝑥 c) 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 d) 𝑓 𝑥 = −5 cos 𝑥
4) Determine a derivada de uma função num determinado ponto:
a) 𝑆𝑒 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓! !!
b) 𝑆𝑒 𝑓 𝑥 = −2 cos 𝑥, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓!!!
c) 𝑆𝑒 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 0. d) 𝑆𝑒 𝑓 𝑥 = −3 cos 𝑥 , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑥 = !
!
5) Determine as derivadas das seguintes funções:
a) 𝑓 𝑥 = 3! b) 𝑓 𝑥 = 5 . 2! c) 𝑓 𝑥 = 10𝑒! d) 𝑓 𝑥 = !
!
!
6) Calcule as derivadas das seguintes funções:
a) 𝑓 𝑥 = 2 ln 𝑥 b) 𝑓 𝑥 = −4 ln 𝑥 c) 𝑓 𝑥 = !
!ln 𝑥
d) 𝑓 𝑥 = log! 𝑥 e) 𝑓 𝑥 = 2log 𝑥 f) 𝑓 𝑥 = −3 log! 𝑥 g) 𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓! 2 h) 𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑓 𝑥 = log 𝑥 , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓! 1 i) 𝑆𝑒 𝑓 𝑥 = 3 ln 𝑥 , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓! ! 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 3 j) 𝑆𝑒 𝑓 𝑥 = 6 log! 𝑥 , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓′ 𝑥 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 2.