Apostila Derivadas Parte1 Aluno

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Apostila de Cálculo II - Estudo das Derivadas – Parte 1 Prof. Vitor Principe 1. Introdução Vamos considerar duas grandezas, x e y, que variam de forma tal que y é uma função de x, isto é, y = f(x). A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = , ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Vamos construir o gráfico: A esse valor = ! denominamos incremento da variável x A esse valor = ( ! ), denominamos incremento da função y = f(x). Exemplo: Seja a função f(x) = 2x + 10 Se x passa de 3 para 8, por exemplo, temos:

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Apostila de Cálculo II - Estudo das Derivadas – Parte 1 Prof. Vitor Principe

1. Introdução

Vamos considerar duas grandezas, x e y, que variam de forma tal que y é uma função de x, isto é, y = f(x).

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x =  𝒙𝟎, é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x =  𝒙𝟎, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto  𝒙𝟎.

Vamos construir o gráfico:

A esse valor ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥! denominamos incremento da variável x A esse valor ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥!), denominamos incremento da função y = f(x). Exemplo: Seja a função f(x) = 2x + 10 Se x passa de 3 para 8, por exemplo, temos:

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1.1 Definição de razão incremental Denomina-se razão incremental da função y = f(x) relativa ao ponto 𝑥!, a expressão ∆!

∆!

Assim, temos: ∆!

∆!= ! ! !!(!!)

!!!!    𝑜𝑢   ∆!

∆!= ! !!!∆! !!(!!)

!!!!

Exemplo: Calcular a razão incremental da função f(x) = 2x + 3 relativa ao ponto 𝑥! = 3.

1.2 Exercícios: 1) Calcule a razão incremental:

a) da função 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 1 relativa ao ponto 𝑥! = 2. b) da função 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 2𝑥 + 1 relativa ao ponto 𝑥! = 1.

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2. Derivada num ponto

Denomina-se derivada de uma função y = f(x) no ponto 𝑥!, que se indica por 𝑓! 𝑥! , !"(!)!"

  , !" !!"

   o limite finito, caso exista, da razão incremental da função, quando ∆𝑥 0. Daí 𝑓! 𝑥! = 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎  𝑑𝑒  𝑓 𝑥 𝑛𝑜  𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜  𝑥! = lim∆! !

∆!∆!

Pode-se, então, escrever:

Observações:

• Se a função y = f(x) admite derivada em um ponto 𝑥!, dizemos que a função é derivável nesse ponto.

• A derivada em um ponto 𝑥!, quando existe, é única. • Quando a razão Incremental da função, relativa ao ponto 𝑥!, tem por limite +∞    𝒐𝒖  −∞,

dizemos que a função y = f(x), não tem derivada nesse ponto. Vejamos como determinar a derivada de uma função y = f(x) no ponto 𝑥!, aplicando a definição. 1º exemplo: Determinar a derivada de 𝑓 𝑥 = 3𝑥! no ponto 𝑥! = 5

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2º exemplo: Dado 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 2𝑥, calcular f ’(2).

3º exemplo: Dado 𝑓 𝑥 = 𝑥, calcular a derivada de f(x), se existir, no ponto x = 0.

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3. Derivadas fundamentais:

Nesta unidade, estudaremos o cálculo das derivadas, de modo a obtermos regras de derivação que irão nos permitir calcular a derivada de uma função f(x), sem termos que aplicar a definição. Vejamos, pois, algumas derivadas fundamentais. 3.1 Regras de derivação: Seja k uma constante. Considere f’(x) a derivada de f(x). Logo teremos: 3.1.1 Função constante: 𝒇 𝒙 = 𝒌 𝒇! 𝒙 = 𝟎 3.1.2 Função identidade: 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝒇! 𝒙 = 𝟏 3.1.3 Função potência: 𝒇 𝒙 = 𝒙𝒏 𝒇! 𝒙 = 𝒏  .𝒙𝒏!𝟏

Exemplos: 1) 𝑓 𝑥 = 𝑥! 2) 𝑓 𝑥 = 𝑥!!

3) 𝑓 𝑥 = 𝑥!!

4) 𝑓 𝑥 = 𝑥!

5) 𝑓 𝑥 = !!!

Observação: 𝑆𝑒  𝑓 𝑥 = 𝑘  . 𝑥! 𝑓! 𝑥 = 𝑘  .𝑛  . 𝑥!!!

Exemplos: 1) 𝑓 𝑥 = 5𝑥! 2) 𝑓 𝑥 = −3 𝑥! 3.1.4 Função trigonométrica:

Função seno: 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛  𝑥 𝑓! 𝑥 = cos 𝑥 Função cosseno: 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 𝑓! 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛  𝑥

Exemplos:

1) 𝑓 𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛  𝑥 2) 𝑓 𝑥 = −2 cos 𝑥

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3.1.5 Função exponencial: 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝒇! 𝒙 = 𝒂𝒙  . 𝐥𝐧𝒂

Exemplos: 1) 𝑓 𝑥 = 2! 2) 𝑓 𝑥 = 𝑒! 3.1.6 Função logarítmica:

𝑓 𝑥 = ln 𝑥   𝑓! 𝑥 = !! (base e)

𝑓 𝑥 = log! 𝑥 𝑓! 𝑥 =1

𝑥 ln𝑎

Exemplos: 1) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 2) 𝑓 𝑥 = log! 𝑥 3.2 Exercícios: 1) Calcule a derivada das seguintes funções:

a) f(x) = 5

b) f(x) = – 2

c) f(x) = x

d) 𝑓 𝑥 =  𝑥!

e) 𝑓 𝑥 = 𝑥!!

f) 𝑓 𝑥 = 4𝑥!

g) 𝑓 𝑥 = 𝑥!!!

h) 𝑓 𝑥 = 𝑥!

i) 𝑓 𝑥 = !

!!

j) 𝑓 𝑥 = !

!𝑥!

k) 𝑓 𝑥 = 2 𝑥

l) 𝑓 𝑥 = 4𝑥

!!

m) 𝑓 𝑥 = 𝑥!!

n) 𝑓 𝑥 = −3𝑥!!

2) Determine a derivada das funções, dado um ponto:

a) 𝑆𝑒  𝑓 𝑥 = 2𝑥!, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟  𝑓!(2) b) 𝑆𝑒  𝑓 𝑥 = !

!!   , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟  𝑓! −2

c) 𝑆𝑒  𝑓 𝑥 = 𝑥!! , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟  𝑎  𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎  𝑑𝑒  𝑓! ! 𝑛𝑜  𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜  𝑥 = 8 d) 𝑆𝑒  𝑓 𝑥 =  5𝑥!!  , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟  𝑎  𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎  𝑑𝑒  𝑓 𝑥 𝑛𝑜  𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜  𝑥 =  −1

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3) Determine a derivada das funções:

a) 𝑓 𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛  𝑥 b) 𝑓 𝑥 = 3 cos 𝑥 c) 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛  𝑥 d) 𝑓 𝑥 = −5 cos 𝑥

4) Determine a derivada de uma função num determinado ponto:

a) 𝑆𝑒  𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛  𝑥  , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟  𝑓! !!

b) 𝑆𝑒  𝑓 𝑥 = −2 cos 𝑥, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟  𝑓!!!

c) 𝑆𝑒  𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛  𝑥  , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟  𝑎  𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎  𝑑𝑒  𝑓 𝑥 𝑛𝑜  𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜  𝑥 = 0.   d) 𝑆𝑒  𝑓 𝑥 = −3 cos 𝑥  , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟  𝑎  𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎  𝑑𝑒  𝑓 𝑥 𝑛𝑜  𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜  𝑥 = !

!

5) Determine as derivadas das seguintes funções:

a) 𝑓 𝑥 = 3! b) 𝑓 𝑥 = 5  . 2! c) 𝑓 𝑥 = 10𝑒! d) 𝑓 𝑥 = !

!

!

6) Calcule as derivadas das seguintes funções:

a) 𝑓 𝑥 = 2 ln 𝑥 b) 𝑓 𝑥 = −4 ln 𝑥 c) 𝑓 𝑥 = !

!ln 𝑥

d) 𝑓 𝑥 = log! 𝑥 e) 𝑓 𝑥 = 2log 𝑥 f) 𝑓 𝑥 = −3 log! 𝑥 g) 𝐷𝑎𝑑𝑜  𝑓 𝑥 = ln 𝑥   , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟  𝑓! 2 h) 𝐷𝑎𝑑𝑜  𝑓 𝑥 = log 𝑥   , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟  𝑓! 1 i) 𝑆𝑒  𝑓 𝑥 = 3 ln 𝑥 , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟  𝑎  𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎  𝑑𝑒  𝑓! ! 𝑛𝑜  𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜  𝑥 = 3 j) 𝑆𝑒  𝑓 𝑥 = 6 log! 𝑥   , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟  𝑎  𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎  𝑑𝑒  𝑓′ 𝑥 𝑛𝑜  𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜  𝑥 = 2.