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As Leis de Newton

Introduo Nos captulos anteriores fizemos uma descrio matemtica dos movimentos (Cinemtica) sem discusso das causas que os produziram. Estudaremos agora a Dinmica:

A dinmica a parte da MecnicaConsideremos ainda pontos materiais: corpos cujas dimenses no interferem no estudo de determinado fenmeno. Os pontos materiais possuem massa, no devendo ser confundidos com os pontos geomtricos. Uma noo operacional de massa: Massa uma grandeza que atribumos a cada corpo obtida pela comparao do corpo com um padro, usando-se o princpio da balana de braos iguais. O corpo padro pode ser o quilograma padro.

Dois corpos, A e B, tm massas iguais quando, colocados nos pratos da balana de braos iguais esta permanece em equilbrio. O quilograma padro um pequeno bloco de platina (90%) e irdio (10%) mantido no Instituto Internacional de Pesos e Medidas, em Svres, nas proximidades de Paris. Por definio, sua massa um quilograma (smbolo: kg).

Fsica

O quilograma padro um bloco de platina e irdio mantido em Paris. Por definio, sua massa um quilograma (altura=dimetro = 3,9 cm). O grama (smbolo: g) e a tonelada (smbolo: t) so, respectivamente, submltiplo e mltiplo do quilograma.1g=1 1 kg = kg = 103 1000 103 kg

1 t = 1000

kg = 103kg

Em dinmica, alm da noo de massa h tambm a noo de fora. A primeira noo de fora est associada ao esforo muscular. Quando empurrando um objeto exercemos fora sobre ele. H foras produzidas de outras maneiras diferentes do esforo muscular. Assim, h foras de ao do vento, de atrao entre cargas eltricas, etc. Independentemente de como so provocadas (esforo muscular, ao do vento, atrao entre cargas etc.) as foras sero estudadas pelos efeitos que produzem. Em Dinmica, o efeito principal de uma fora a variao de velocidade de um corpo.Em dinmica, foras so os agentes que produzem as variaes de velocidade de um corpo.

A fora uma grandeza vetorial pois produz variao de velocidade, que grandeza vetorial. A variao de velocidade no decurso do tempo determina a acelerao a ; da decorre que uma fora aplicada num ponto material provoca uma acelerao a . A acelerao a tem a mesma direo e sentido da fora que a origina.F

A acelerao tem a mesma direo e sentido da fora que a origina. Equilbrio Uma primeira noo de equilbrio o repouso. Observando que um corpo em repouso possui velocidade constantemente nula, podemos propor: Um ponto material est em equilbrio quando sua velocidade vetorial permanece constante com o tempo, num determinado referencial; se a velocidade constante, a acelerao nula. 2

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H dois tipos bsicos de equilbrio: A) A velocidade vetorial constantemente nula com o tempo: o ponto material est em repouso num determinado referencial. O repouso chamado equilbrio esttico. B) A velocidade vetorial constante com o tempo e no-nula: o ponto material tem movimento retilneo e uniforme (MRU) pois sua velocidade constante em mdulo, direo e sentido. O MRU chamado equilbrio dinmico.EQUILBRIO: V = constante ou a = 0 num referencial. I) EQUILBRIO ESTTICO : V = constante = 0 repouso. II) EQUILBRIO DINMICO: V = constante 0 , movimento retilneo uniforme (MRU).

O conceito de equilbrio relativo ao referencial. Um carro em movimento acelerado em relao ao solo no est em equilbrio, porm um passageiro em repouso em seu interior est em equilbrio esttico em relao ao carro.

Referencial em repouso

Referencial em movimento Um ponto material chamado isolado quando no existem foras atuando nele, ou as foras que atuam tm soma vetorial nula. Neste caso, o ponto material est em equilbrio. Assim, num determinado referencial:Um ponto material isolado est em repouso ou em movimento retilneo uniforme.

Isso significa que o ponto material isolado possui velocidade vetorial constante. O enunciado destacado acima corresponde ao princpio da inrcia, ou Primeira Lei de Newton, lei fsica muito discutida por Galileu em sua poca e posteriormente reformulada por Newton. 3

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INRCIA a propriedade geral da matria de resistir a qualquer variao em sua velocidade. Um corpo em repouso tende, por inrcia, a permanecer em repouso; um corpo em movimento tende, por inrcia, a continuar em movimento retilneo uniforme (MRU). Admita um nibus em MRU em relao ao solo. Quando o nibus freado os passageiros tendem, por inrcia, a prosseguir com a velocidade que tinham em relao ao solo. Assim, deslocam-se para a frente em relao ao nibus.

Por inrcia, os passageiros so atirados para a frente quando o nibus freia. Analogamente, quando um carro parte, o motorista sente-se atirado para trs (em relao ao carro) por inrcia, pois tende a permanecer na situao de repouso em que se encontrava em relao ao solo. Quando um cavalo pra diante de um obstculo, seu cavaleiro atirado para a frente por inrcia, por ter a tendncia de prosseguir com sua velocidade. Um carro numa curva tende, por inrcia, a sair pela tangente mantendo a velocidade que possua, at que foras consigam alter-la.

Por inrcia, o cavaleiro tende a prosseguir com sua velocidade.

Por inrcia, o carro tende a sair pela tangente. 4

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Em todos os exemplos anteriores, o equilbrio e o movimento dos corpos so relativos a referenciais. Os referenciais em relao aos quais vale o princpio da inrcia so chamados referenciais inerciais. Em relao aos referenciais inerciais, um corpo isolado est em repouso ou realiza movimento retilneo uniforme. Para variar a velocidade do corpo necessria a ao de uma fora. Quando um nibus freia, os passageiros, em repouso em relao ao nibus, so lanados para a frente sem ao de uma fora. Isso significa que o nibus freando no um referencial inercial, pois h variao de velocidade sem a ao de uma fora. Analogamente, um nibus acelerando em relao Terra no um referencial inercial. Os referenciais acelerados em relao Terra no so inerciais. A prpria Terra, em virtude de seu movimento de rotao, no um referencial inercial. Entretanto, nos problema comuns dos movimentos dos corpos na superfcie terrestre, supondo que estes movimentos tenham pequena durao (bem inferior a 24 h), podemos desprezar os efeitos de rotao da Terra e consider-la um referencial praticamente inercial. Para o estudo de movimentos de grande durao, considera-se como inercial um referencial ligado ao Sol e s chamadas estrelas fixas. Fora Num jogo de bilhar o taco age na bola provocando variaes em sua velocidade. H acelerao numa interao entre a Terra e um corpo caindo em queda livre. Explicamos essas interaes entre os corpos afirmando que estes exercem foras entre si. Desse modo, do ponto de vista dinmico:FORAS so interaes entre corpos que produzem variaes em sua velocidade, isto , provocam acelerao.

Podem existir foras quando corpos entram em contato (taco na bola de bilhar) ou mesmo quando esto a distncia (a Terra atraindo um corpo em queda livre). Newton estabeleceu uma lei bsica para a anlise geral das causas dos movimentos, relacionando as foras aplicadas a um ponto material de massa m constante e as aceleraes que provocam. Sendo F R a soma vetorial (resultante) das foras aplicadas e a acelerao adquirida, a Segunda Lei de Newton estabelece: 5

Fsica

A resultante das foras aplicadas a um ponto material igual ao produto de sua massa pela acelerao adquirida:

F R = maIsso significa que a fora resultante F R produz uma acelerao a que tem mesma direo e mesmo sentido da fora resultante e suas intensidades so proporcionais. O enunciado anterior tambm conhecido como princpio fundamental da Dinmica. A igualdade vetorial F R = ma a equao fundamental da Dinmica vlida num referencial inercial. Deixa de ser vlida se a massa da partcula variar, fato que ocorre no domnio microscpio das partculas atmicas. Nos fenmenos macroscpicos de nossa vida diria, a equao fundamental da Dinmica suficiente para interpretaes e anlises. Da equao fundamental F R = ma , conclumos que, se aplicarmos em corpos de massas diferentes a mesma fora, o corpo de maior massa adquirir acelerao de menor mdulo, isto , o corpo de maior massa resiste mais a variaes em sua velocidade. Por isso a massa a medida da inrcia de um corpo. Observe que F R = ma uma igualdade vetorial, onde F R a soma vetorial das foras que atuam na partcula, como se ilustra a seguir. Na figura abaixo, F R reduz-se a nica fora que atua no corpo e, nas figuras seguintes, F R dada pela adio vetorial das foras atuantes. Na equao fundamental, se a massa m estiver em quilograma (Kg) e a acelerao em m / s 2 , a unidade de intensidade de fora denomina-se Newton (smbolo:N) em homenagem ao clebre cientista ingls.

FR = F F = m Porm FR = F1 F2 F1 F2 = ma

F R = ma

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F R = ma F R = ma porm porm FR = F1 F2 F1 F2 = ma

FR = F1 F2 F1 F1 F2 F3 = ma

Na equao fundamental Dinmica F R = ma, F R a soma vetorial das foras que atuam no corpo, m a grandeza escalar e a acelerao adquirida. O peso uma fora Quando os corpos so abandonados nas vizinhanas do solo, caem sofrendo variaes de velocidade. Dizemos ento que a Terra interage com esses corpos exercendo uma fora chamada peso, indicada por P . Portanto:Peso de um corpo a fora de atrao que a Terra exerce no corpo.

O peso de um corpo a fora de atrao da Terra sobre ele. Quando um corpo est em movimento sob ao exclusiva de seu peso P , ele adquire uma acelerao denominada acelerao da gravidade g . Sendo m a massa do corpo, a equao fundamental da dinmica F R = ma transforma-se em P = mg , pois a resultante F R o peso P e a acelerao a acelerao da gravidade g :7

Fsica

F R = ma P g

P = mg

Em mdulo, temos:

P = mg

Observe que a massa m uma grandeza escalar, e o peso P uma grandeza vetorial. Assim, o peso em direo (da vertical do lugar) e sentido (para baixo). A acelerao g tem a mesma direo e sentido de P. Sendo o peso uma fora, sua intensidade medida em newtons (N). importante distinguir cuidadosamente massa e peso. A massa uma propriedade invariante do corpo. Contudo, seu peso depende do valor local de g e varia, ainda que pouco, de local para local na Terra (pois na superfcie da Terra a acelerao da gravidade aumenta do equador aos plos). Nas proximidades da superfcie terrestre o valor de g aproximadamente igual a 9,8 m / s 2 . Massa medida em quilogramas, enquanto peso uma fora cuja intensidade medida em newtons. Em termos rigorosos incorreto falar que o peso de um corpo 10 kg . Podemos referir-nos massa de 10 kg , cujo peso 10.g N , e o exato valor desse peso depende do valor local do g . Assim, um corpo de massa 10 kg num local em que g = 9,8m / s 2 tem peso cuja intensidade P = mg = 10 9,8 P = 98 newtons. Analogamente, um corpo de 49 newtons, no mesmo local, tem massa igual a:P = mg m = P 49 = m = 5kg g 9,8

Portanto, massa no pode ser confundida com peso:Dados m e g determina-se P = mg Dados P e g determina-se m =

P g

m kg P N g m/s 2

A expresso P = mg permite determinar o peso de um corpo mesmo quando outras foras, alm do peso, atuam sobre o corpo. A partir da lei das deformaes elsticas, explicada no quadro sombreado, podemos medir pesos.

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Um corpo de peso P colocado na extremidade de uma mola vertical provoca uma deformao. Com pesos conhecidos, podemos calibrar convenientemente as deformaes da mola e construir um aparelho para medir intensidade de foras. Esse aparelho se chama dinammetro (dnamo=fora; metro = medida).

DEFORMAES ELSTICAS

Considere uma mola vertical presa em sua extremidade superior (Fig.a). Aplicando-se a fora F na extremidade inferior da mola (Fig b), ela sofre a deformao x. Essa deformao chamada elstica quando, retirada a fora

F , a mola retorna mesma posio (Fig. C).

O cientista ingls Robert Hooke (16351703) estudou as deformaes elsticas e chegou seguinte concluso: em regime de deformao elstica, a intensidade da fora proporcional deformao. Isto , se aplicarmos mola anterior uma fora 2 F , obtemos uma deformao 2x(Fig.d), e assim sucessivamente enquanto a deformao for elstica. Se F proporcional a x podemos escrever:

F = Kx

Onde K uma constante de proporcionalidade caracterstica da mola, chamada constante elstica da mola (KN/m). A expresso F = Kx caracteriza a lei das deformaes elsticas ou Lei de Hooke.

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Fsica

Classes de foras Quanto ao modo como so exercidas, as foras podem ser divididas em duas categorias: A) foras de contato: so foras que existem quando duas superfcies entram em contato. Quando empurramos um bloco contra uma parede h foras de contato entre o bloco e a parede. Analogamente aparecem foras de contato entre uma mesa e um corpo apoiado sobre ela.

B)

foras de campo: so foras que os corpos exercem mutuamente ainda que estejam distantes um do outro. A Terra atrai corpos que esto prximos sua superfcie exercendo neles fora de campo. possvel verificar experimentalmente que corpos eletrizados, como basto e a pequena esfera da figura abaixo, exercem mutuamente foras de campo.

Chamamos campo de foras a regio do espao onde essas foras atuam. Assim, em torno da Terra h o campo da gravidade, onde os corpos so atrados com a fora de campo chamada peso. O campo onde atuam foras eltricas o campo eltrico.

Campo da gravidade da Terra.10

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Campo eltrico originado por corpos eletrizados. Princpio da ao e reao (terceira lei de Newton) Sempre que dois corpos quaisquer A e B interagem, as foras exercidas so mtuas. Tanto A exerce fora em B, como B exerce fora em A. A interao entre corpos regida pelo princpio da ao e reao, proposto por Newton, como veremos no quadro seguinte.Toda vez que um corpo A exerce uma fora F A num corpo B, este tambm exerce em A uma fora F B tal que essas foras: A) tm a mesma intensidade F A = F B = Fi B) tm a mesma direo; C) tm sentidos opostos; D) tm a mesma natureza, sendo ambas de campo, ou ambas de contato.

FA = FB = F

F A = F a

Vejamos algumas aplicaes. Um corpo prximo superfcie da Terra atrado por ela: a Terra exerce nele a fora peso P . Pelo princpio de ao e reao, o corpo tambm exerce na Terra uma fora, da mesma intensidade, mesma direo e sentido contrrio: P . A Terra atrai o corpo com a fora P e o corpo atrai a Terra com a fora P .11

Fsica

A Terra atrai o corpo com o peso P ...

... e o corpo atrai a Terra com fora P

As foras P e - P tm a mesma intensidade P, mas sentidos opostos. As chamadas foras de ao e reao no esto aplicadas no mesmo corpo: a reao do peso de um corpo est aplicado no centro da Terra. Assim, voc atrado pela Terra e tambm atrai a Terra pelo princpio da ao e reao. No entanto, como sua massa consideravelmente menor que a da Terra, considervel o seu deslocamento e desprezvel o da Terra. Por que no se equilibram as foras P e P ? No se equilibram porque esto aplicadas em corpo diferentes: uma no corpo, outra na Terra.As chamadas foras de ao e de reao no se equilibram, pois esto aplicadas em corpos diferentes.

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E se o corpo estiver apoiado numa superfcie horizontal, assim como a da figura seguinte? Neste caso, alm da ao de campo da Terra, o corpo tem ao de contato com o apoio. A reao do peso do corpo continua na Terra. Atrado pela Terra o corpo exerce, no apoio, a fora de intensidade N e o apoio exerce, no corpo, outra de sentido contrrio, mas de igual intensidade N. Desse modo, no corpo atuam foras: P , ao da Terra e N , ao do apoio. A reao do peso P est na Terra e a reao da fora N est no apoio.

Num corpo apoiado...

... existe o peso

P

cuja reao est na Terra...

... e a fora de contato N , cuja reao est no apoio.

No corpo apoiado existe P , ao de campo, e , ao de contato, cujas intensidades so P e N.13

N

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Apliquemos a equao fundamental da Dinmica F R = m . a ao corpo apoiado na mesa. Como ele est em repouso decorre que a = 0. Se a = 0 , a resultante F R tambm deve ser nula, o que ocorre se N = P . As foras N e P podem equilibrar-se, pois esto no mesmo corpo e no so ao e reao uma da outra. A fora de contato N , por ser perpendicular superfcie de contato, chamada fora normal ou reao normal do apoio. Seja agora o corpo de peso P suspenso por um fio inextensvel de peso P f cuja extremidade est ligada ao teto. No corpo existem duas foras: o peso P , fora de campo da Terra, e T 1 fora de contato com o fio. Se o corpo est em equilbrio: P = T1 Pois a resultante F R deve ser nula. No fio h trs foras: o peso do fio P f e as foras de contato T 1 devida ao corpo, e T 2 devida ao teto. Como o fio est em equilbrio, decorre:a = 0 F R = 0 Pf + T1 = T2

(a) Um corpo suspenso por um fio.

(b) No corpo atuam P e T 1 cujas intensidades so P e T1.14

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(c) No fio atuam P f T 1 e T 2 , cujas intensidades so P1, T1 e T2.

(d) Se o fio for ideal, as foras em suas extremidades tero mesma intensidade. Se o peso do fio inextensvel for desprezvel, isto , Pf 0 (fio ideal), resultar:T1 = T2 = T Da, num fio ideal (inextensvel e de massa desprezvel) as foras de contato em seus extremos tm a mesma intensidade T e so chamadas foras de trao no fio, pois tendem a along-lo. A finalidade de um fio transmitir foras. Na acima, a fora T que o corpo aplica no fio transmitida ao teto.

Sistema de unidades Em geral trabalharemos com as unidades metro (m), quilograma (kg) e segundo (s), chamadas unidades fundamentais, e as unidades que delas derivam como m/s, m / s 2 , newton (N) etc. O conjunto dessas unidades constitui um sistema de unidades chamado MKS: M de metro; K de quilograma; e S de segundo. Nos trs livros deste curso chamaremos esse sistema de Sistema Internacional de Unidades, indicando-o pela sigla SI.15

Fsica

SI= SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES Tempo: segundo (s) Massa: quilograma (kg) Comprimento: metro (m) Velocidade: m/s Acelerao: m/s2

Intensidade de fora: Newton (N)

Note que 1 N corresponde aproximadamente ao peso de um corpo de massa 100g = 0,1 kg :P = mg

m = 100 g = 0,1 kg

P = mg = 0,1.10 P = 1N

g 10 m/s 2Eventualmente usamos a unidade dina (smbolo: dyn) quando a massa est em gramas e a acelerao em cm/s2. Estas unidades pertencem ao sistema CGS: C de centmetro; G de grama e S de segundo. Relao entre Newton e dina: Na equao fundamental da Dinmica, se m = 1 kg e a = 1 m/s 2 temos:FR = ma

1 N = 1 kg 1 m/s 2

Sendo 1 kg = 103 g e 1 m/s 2 = 102 cm/s 2 , vem:1 N = 1 kg 1 m / s 2 = 103 g 102 cm / s 2 = 105 g . cm/s 2dina

Portanto:1 N = 105 dyn ou 1 newton = 100 000 dinas

Existe ainda o SISTEMA TCNICO de unidades, onde a intensidade da fora expressa em quilograma-fora (smbolo: kgf), a massa em unidade tcnica de massa (smbolo: utm) e acelerao em m/s 2 .

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Um quilograma-fora a intensidade do peso de um corpo de massa 1 kg ao nvel do mar e a uma latitude de 45 . Nesse local a acelerao da gravidade chamada acelerao normal e seu valor , aproximadamente, 9,8 m/s2. Um quilograma-fora corresponde aproximadamente a 9, 8 newtons:1 kgf= 9,8 N

Uma unidade tcnica de massa corresponde aproximadamente a 9,8 quilogramas:1 utm = 9,8 kg

Conceitos bsicos Os conceitos bsicos apresentados podem ser resumidos em trs princpios ou leis conhecidos como princpios de Newton da Dinmica clssica.1 - Princpio da inrcia ou Primeira Lei de Newton: Um ponto material isolado est em repouso ou em movimento retilneo e uniforme. 2Princpio fundamental ou Segunda Lei de Newton: A resultante F R das foras aplicadas a um ponto material igual ao produto de sua massa m pela acelerao a que ela adquire:

F R = ma3Princpio da ao e reao ou Terceira Lei de Newton:

Toda vez que um corpo A exerce uma fora F A num corpo B, este tambm exerce em A uma fora

F B , tal que F A = F B , isto , as foras tm a mesma intensidade e direo, mas sentidos opostos.

Essas idias so vlidas em relao a um referencial inercial. Da primeira lei decorre a noo de equilbrio.

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Equilbrio: v constante ou a = 0 num referencial I Equilbrio esttico: v = constante = 0 , repouso II- equilbrio dinmico: v = constante 0 , movimento retilneo uniforme (MRU)

Se o ponto material estiver em equilbrio, a resultante das foras que nele atuam nula. Da primeira lei decorre tambm a noo de inrcia:Inrcia a propriedade geral da matria de permanecer em repouso ou MRU quando nela no atuam foras ou a resultante nula.

Decomposio de foras s vezes, pode ser conveniente decompormos uma dada fora sobre duas direes perpendiculares. Consideremos, por exemplo, uma fora F . Vamos decompor a fora F em duas foras componentes, que estejam nas direes perpendiculares x e y. Podemos afirmar que: F = Fx + Fy isto , a fora F a resultante das foras F x e F y . Isso nos permite substituir a fora F pelo par de forasFx e Fy

, isto , as foras F x e F y , atuando juntas,F

devem produzir o mesmo efeito que a fora

, atuando sozinha.

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Considerando o ngulo da figura acima, temos: cos = sen = Fx F Fy F

ou

Fx = F .cos Fy = F .sen

Se considerarmos o ngulo , teremos:

cos = sen =

Fy F Fx F ou

Fy = F . cos Fx = F . sen

conveniente ressaltar que, sendo e complementares ( + = 90 ), temos:sen = cos e sen = cos

Exemplo: Consideremos a fora F da figura abaixo, cuja intensidade F = 50 N , e vamos fazer sua decomposio nas direes x e y , sabendo que :sen = 0, 60 e cos = 0,80.

Da figura acima tiramos: Fx = F cos = 50 . 0,80 Fy = F sen = 50 . 0, 60 19

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Portanto, a fora F pode ser substituda pelas foras F x e F y , isto , as foras F x e F y , atuando juntas, produzem o mesmo efeito que a fora F , atuando sozinha.

Fx = 40 N ; Fy = 30 N .

Crticas mecnica clssica As leis de Newton constituem os fundamentos da Mecnica clssica. Do uma boa aproximao quando aplicadas para interpretar muitos fenmenos da vida diria. Para a Engenharia, so bastante adequadas. De acordo com a teoria da relatividade de Einstein (1879-1955), a massa funo da velocidade, fato que Newton desconhecia. Porm, para velocidades bem inferiores da luz podemos considerar a massa praticamente constante e vlida a equao fundamental da Dinmica. Ainda pela relatividade sabemos que nenhuma informao pode ser transmitida com velocidade superior da luz no vcuo. Da, o princpio da ao e reao falho quando aplicado s foras de campo a longa distncia. Os pares ao-reao no so simultneos, levando um determinado tempo para a propagao da interao. Esse fato no foi discutido por Newton, pois eles continuam vlidos para o comportamento macroscpico e global da matria. Exerccios Resolvidos 01. Trs corpos A, B e C de massas mA = 1kg , mB = 3kg e mc = 6kg esto apoiados numa superfcie horizontal perfeitamente lisa. A fora constante F = 5 N , horizontal, aplicada ao primeiro bloco A. Determine: A) a acelerao adquirida pelo conjunto B) a intensidade da fora que A exerce em B; C) a intensidade da fora que B exerce em C.

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Soluo: Como no exerccio anterior, o peso de cada bloco anulado pela reao normal do apoio. Para a determinao da acelerao, consideremos globalmente o sistema de corpos como um nico bloco de massamA + ma + mc = 10 kg .

Pela equao fundamental da Dinmica:

F R = ma F = ( mA + ma + mc ) a 5 = 10 a F =5N a = 0,5 m/s 2

Para determinarmos as interaes entre os corpos, devemos analisar cada um separadamente. Seja fi a intensidade da fora de A sobre B e f2a de B em C: F R = ma Para (C):F2 = mc a = 6 0,5 f2 = 3 N

Para (B):

f I f 2 = mB a 21

Fsica

f I 3 = 3 0,5 f I = 3 + 1,5 f I = 4,5 N

02. Dois corpos A e B de massas iguais a mA = 2kg e mB = 4kg esto apoiados numa superfcie horizontal perfeitamente lisa. O fio que liga A a B ideal, isto , de massa desprezvel e inextensvel. A fora horizontal 12N , constante. Determine: A) a acelerao do sistema; B) a intensidade da fora de trao do fio.F

tem intensidade igual a

Soluo: A) Vamos analisar as foras em cada bloco. Em cada corpo o peso e a normal anulam-se; por isso vamos considerar apenas as foras horizontais: fora de trao do fio em A e, em B, a fora F e a fora de trao do fio. A equao fundamental da Dinmica aplicada ao corpo A fornece:

F R = ma T = mA a T = 2a (1)

( mA =

2kg )

Os corpos A e B possuem a mesma acelerao, pois o fio inextensvel: no mesmo intervalo de tempo A e B percorrem as mesmas distncias e atingem a mesma velocidade. Em B, F favorece a acelerao a e a trao T ope-se a a . Assim, a equao fundamental da Dinmica aplicada a B fornece:22

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F R = ma F T = mB a ( mB = 4kg ) F T = 4a (2)

Resolvendo o sistema de equaes (1) e (2), vem:(1) T = 2a + (2) F - T = 4a (3) F = 6a 12 = 6a (F = 12N)

a = 2/m 2

B) A intensidade da fora de trao do fio pode ser obtida por uma das equaes (1) ou (2): (1)T =2a T = 2.2 T = 4N

Observaes: 1) A equao (3) F = ( mA + mB ) a = 6a permite-nos calcular a acelerao de um modo mais rpido, considerando A e B como um nico bloco:

F = ( m A + mB ) a

12 = ( 2 + 4 ) aa = 2m/s 2

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2) Anteriormente dissemos que o dinammetro um instrumento que mede intensidade de foras Inserindo um dinammetro num fio que liga os corpos A e B ele medir a trao T do fio que se transmite de um corpo a outro. Assim:Inserindo num fio ideal, um dinammetro mede a trao do fio.

Considere o dinammetro como um aparelho ideal: sua massa desprezvel. Exerccios Propostos 01. (UFSC 1996) Assinale a NICA proposio CORRETA: 01. A acelerao de um corpo pode ser medida em km/s. 02. Em um problema terico um aluno, fazendo corretamente os clculos, pode chegar seguinte expresso para a velocidade de uma partcula: v = t 2 d 2 / m 2 , onde t o tempo decorrido a partir de um dado instante inicial, m a massa do corpo e d a distncia percorrida pelo corpo desde o instante inicial. 04. A luz, sendo energia, no se pode propagar no vcuo. 08. A fora eletrosttica entre duas cargas s pode ser atrativa. 16. A fora que nos prende superfcie da Terra de natureza magntica. 32. A corrente em um fio pode ser medida em A (ampere) ou em C/s (coulomb por segundo). 64. Quando dois corpos isolados trocam calor, esta transferncia ocorre sempre do corpo que est inicialmente com menor temperatura para aquele que est a uma maior temperatura. 02. (FATEC 1998) Uma gota d'gua cai no ar. A fora de resistncia do ar sobre a gota d'gua proporcional velocidade da gota de acordo com o grfico a seguir. Dado: g = 10m / s 2

Uma gota de gua de 0,10g passar a ter velocidade de queda constante quando tiver atingido a velocidade, em m / s , de: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 924

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03. (Unicamp 1998) Considere um avio a jato, com massa total de 100 toneladas (1, 0 105 kg ) , durante a decolagem numa pista horizontal. Partindo do repouso, o avio necessita de 2000m de pista para atingir a velocidade de 360km / h , a partir da qual ele comea a voar. A) Qual a fora de sustentao, na direo vertical, no momento em que o avio comea a voar? B) Qual a fora mdia horizontal sobre o avio enquanto ele est em contato com o solo durante o processo de acelerao? Adote a acelerao da gravidade g = 10m / s 2 . 04. (PUCSP 1998) Garfield, o personagem da histria a seguir, reconhecidamente um gato malcriado, guloso e obeso. Suponha que o bichano esteja na Terra e que a balana utilizada por ele esteja em repouso, apoiada no solo horizontal.

Considere que, na situao de repouso sobre a balana, Garfield exera sobre ela uma fora de compresso de intensidade 150 N . A respeito do descrito, so feitas as seguintes afirmaes: I. O peso de Garfield, na terra, tem intensidade de 150 N . II. A balana exerce sobre Garfield uma fora de intensidade 150 N III. O peso de Garfield e a fora que a balana aplica sobre ele constituem um par ao-reao. (so) verdadeira (s) a) somente I. b) somente II. c) somente III. d) somente I e II. e) todas as afirmaes.25

Fsica

05. (UnB 1996) Atualmente, o homem j tem um bom conhecimento a respeito do espao sideral. Os lanamentos de satlites, as imagens obtidas dos confins do universo pelo telescpio Hubble e o envio de sondas a Marte, entre outros, so fatos que tendem a popularizar o assunto. Com respeito a essa rea do conhecimento, julgue os itens seguintes. (0) A "constante gravitacional" seria diferente, se fosse medida em outro planeta. (1) Se fosse possvel colocar um objeto no centro da Terra, supostamente esfrica, no haveria fora gravitacional resultante atuando nele. (2) Em um satlite geoestacionrio (por exemplo, o Intelsat) atuam apenas duas foras: a fora de atrao gravitacional e a fora centrpeta. (3) Um "newton" de acar, tanto no plo sul quanto no equador terrestre, contm a mesma quantidade de acar. 06. (UnB 1996) Segundo os fundamentos da mecnica newtoniana, conhecendo-se as foras que atuam em um objeto, possvel determinar o seu estado de movimento. Com o auxlio dessa afirmao, julgue os itens que se seguem. (0) Uma pessoa sentada em uma cadeira de encosto vertical s conseguir levantar-se caso incline o corpo para a frente. (1) Todo corpo em equilbrio encontra-se em repouso. (2) Um objeto lanado verticalmente para cima atinge o equilbrio, momentaneamente, no ponto mais alto de sua trajetria. (3) Duas esferas de massas diferentes, mas de dimetros iguais, so soltas no ar, da mesma altura, no mesmo instante, a partir do repouso. A esfera de massa maior chega primeiro ao solo. (4) Dois blocos, A e B, deslizam, com a mesma velocidade, sobre uma superfcie plana e sem atrito, conforme mostra a figura I. Sabe-se que o bloco A tem massa maior que o bloco B e que os coeficientes de atrito entre os dois blocos e a regio hachurada so iguais. Ento, aps atravessarem a regio com atrito, o bloco A deslizar com maior velocidade que o bloco B. (5) Na figura II, os corpos A, B e C possuem massas diferentes e so acelerados no sentido da fora . Invertendo-se as posies de A e de C e desprezandose o atrito com o solo, a fora resultante que atua em B no se alterar.

26

Apostila ITA

07. (UnB 1998) s 9 h 25 min de 2 de novembro de 1997, foi feito o lanamento do foguete brasileiro VLS-1 (veculo lanador de satlites). Devido a falha na ignio de um dos seus motores, 65 s aps o lanamento, o VLS-1 teve de ser destrudo, momento em que se encontrava altura de 3.230 m do solo e desenvolvia uma velocidade de 720 km / h , com inclinao de 25 em relao horizontal. At os 25 s de vo, o sistema de controle do foguete conseguiu compensar as 7 toneladas de combustvel no-ejetadas que permaneciam intactas no motor inativo, desequilibrando o foguete. A compensao foi feita, movimentando-se as tubeiras - cones que ficam abaixo dos motores dirigindo suas descargas -, ou seja, alterando-se a direo da fora exercida pelos motores do foguete.Globo Cincia, fevereiro de 1998, p. 40-3 (com adaptao)

Em relao situao descrita no texto e referindo-se figura adiante, julgue os itens seguintes.

(1) Uma forma de evitar que o foguete gire em torno de seu centro de massa fazer com que as tubeiras movimentam-se de modo que a fora que cada motor exerce esteja dirigida ao longo da linha que passa pelo centro de massa do foguete. (2) O torque exercido pela ao da gravidade sobre o foguete nulo, mesmo com a massa de combustvel permanecendo intacta em apenas um dos motores. (3) Durante os 65s do vo, o centro de massa do foguete deslocou-se em direo ao motor que permanecia inativo. (4) No intervalo de um tempo entre o lanamento e a distribuio, a velocidade mdia vertical do foguete era inferior a 200 km/h. (5) Em cada instante do vo, o mdulo da fora exercida pelo foguete sobre os produtos da reao da queima do combustvel - que endotrmica - era menor que o mdulo da fora que tais produtos expelidos exerciam sobre o foguete.

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Fsica

08. (PUCCAMP 1998) Dois massores cilndricos idnticos, X e Y, e um contrapeso retangular so posicionados numa polia com a ajuda de um fio como mostra o esquema. Nesse esquema, os corpos so inicialmente mantidos parados e A indica um aro que permite a passagem do massor Y e impede a passagem do contrapeso que est somente associado em Y. Considere desprezvel a massa da polia, a massa do fio e as eventuais foras do atrito. No instante t = 0 os corpos so liberados e, enquanto for possvel o movimento, o mdulo V da velocidade do corpo Y em funo do tempo t MELHOR representado pelo grfico:

09. (UERJ 1999) Na famosa cena da corrida de bigas no filme "Ben-Hur", cada biga era puxada por 4 cavalos idnticos.

Suponha que a trao de cada biga fosse feita apenas por 2 desses cavalos. Nessa nova situao, a grandeza fsica envolvida, que teria seu valor reduzido metade, seria: a) fora b) energia c) velocidade d) momento linear 10. (UEL 1999) Um bloco de massa 5, 0kg est em queda livre em um local onde a acelerao da gravidade vale 9,8m / s 2 . correto afirmar a respeito que a) a intensidade da fora que o bloco exerce na Terra vale 49N . b) a resultante das foras que atuam no bloco nula. c) a intensidade da fora que a Terra exerce no bloco menor que 49N . d) a acelerao de queda do bloco nula. e) o mdulo da velocidade de queda do bloco aumenta inicialmente e depois diminui.28

Apostila ITA

11. (UFMG 2001) Uma jogadora de basquete arremessa uma bola tentando atingir a cesta. Parte da trajetria seguida pela bola est representada na figura. Considerando a resistncia do ar, assinale a alternativa cujo diagrama MELHOR representa as foras que atuam sobre a bola no ponto P dessa trajetria.

12. (Vunesp 1994) Assinale a alternativa que apresenta o enunciado da Lei da Inrcia, tambm conhecida como Primeira Lei de Newton. a) Qualquer planeta gira em torno do Sol descrevendo uma rbita elptica, da qual o Sol ocupa um dos focos. b) Dois corpos quaisquer se atraem com uma fora proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distncia entre eles. c) Quando um corpo exerce uma fora sobre outro, este reage sobre o primeiro com uma fora de mesma intensidade e direo, mas de sentido contrrio. d) A acelerao que um corpo adquire diretamente proporcional resultante das foras que nele atuam, e tem mesma direo e sentido dessa resultante. e) Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que sobre ele estejam agindo foras com resultante no nula. 13. (Vunesp 1992) As estatsticas indicam que o uso do cinto de segurana deve ser obrigatrio para prevenir leses mais graves em motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente, a funo do cinto est relacionada com a a) Primeiras lei de Newton. b) Lei de Snell. c) Lei e Ampre. d) Lei de Ohm. e) Primeira Lei de Kepler.

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Fsica

14. (UFMG 1994) Uma nave espacial se movimenta numa regio do espao onde as foras gravitacionais so desprezveis. A nave desloca-se de X para Y com velocidade constante e em linha reta. No ponto Y, um motor lateral da nave acionado e exerce sobre ela uma fora constante, perpendicular sua trajetria inicial. Depois de um certo intervalo de tempo, ao ser atingida a posio Z, o motor desligado. O diagrama que melhor representa a trajetria da nave, APS o motor ser desligado em Z, :

15. (UnB 1997) Uma esfera de ferro fixada por uma mola em uma plataforma giratria, como mostra a figura adiante. Dois observadores, um na plataforma e o outro fixo ao solo, em repouso, observam o movimento da esfera, que, quando est a meio caminho entre o eixo de rotao e a borda da plataforma circular, causa uma distenso de 5cm na mola.

Julgue os itens que se seguem, relativos situao apresentada. (0) Para o observador situado sobre a plataforma girante, a fora centrfuga que distende a mola. (1) Para o observador em repouso, no solo, a fora centrpeta aplicada pela mola distendida que mantm a esfera em movimento circular, junto com a plataforma girante. (2) A esfera ter a sua velocidade linear reduzida pela metade, quando a distenso da mola for de 10cm . (3) Se for liberada da mola, a esfera escapar da plataforma e o observador em repouso, no solo, ver que ela descreve um movimento circular, at atingir o repouso.30

Apostila ITA

16. (UERJ 1999) A figura abaixo representa uma escuna atracada ao cais. Deixa-se cair uma bola de chumbo do alto do mastro - ponto O. Nesse caso, ele cair ao p do mastro - ponto Q. Quando a escuna estiver se afastando do cais, com velocidade constante, se a mesma bola for abandonada do mesmo ponto O, ela cair no seguinte ponto da figura:

a) b) c) d)

P Q R S

17. (UEL 1999) Um observador v um pndulo preso ao teto de um vago e deslocado da vertical como mostra a figura a seguir.

Sabendo que o vago se desloca em trajetria retilnea, ele pode estar se movendo de a) A para B, com velocidade constante. b) B para A, com velocidade constante. c) A para B, com sua velocidade diminuindo. d) B para A, com sua velocidade aumentando. e) B para A, com sua velocidade diminuindo. 18. (FGV 1996) Considere duas montagens, X e Y, cada qual com um cilindro vertical de grandes dimenses, e contendo um foguete de dimenses desprezveis em relao aos cilindros, disposto tambm verticalmente, com seu eixo longitudinal coincidindo com o do respectivo cilindro e inicialmente em repouso. Cada foguete dispe de um nico sistema de propulso, consistente de: 1) um recipiente solidrio estrutura do foguete, com uma nica abertura voltada para trs, no caso, para baixo, 2) um sistema injetor de combustvel e comburente e, 3) um sistema de incio de combusto. No que importa questo, as montagens X e Y diferem exclusivamente quanto presso, idealmente, em qualquer instante,31

Fsica

mesmo com a combusto em andamento nos dois foguetes: atmosfrica em X e vcuo em Y. Os foguetes, respectivos combustveis, comburentes e sistemas de combusto so iguais. Em dado instante inicia-se a combusto simultaneamente em ambos os foguetes. A propulso dos dois foguetes suficiente para moviment-los presso atmosfrica. Assinale a alternativa correta. a) O foguete Y no entrar em movimento, pois tal movimento se basearia no princpio da ao e reao, sendo esta inexistente, no presente caso, pois o vcuo incapaz de suportar ou reagir qualquer fora. b) O foguete Y ter, em uma primeira etapa, velocidade menor que a de X. c) O foguete Y ter, em qualquer etapa, velocidade igual a de X. d) O foguete Y ter, em qualquer etapa, velocidade maior que a de X. e) A velocidade do foguete X inicialmente ser maior que a de Y, at atingir a velocidade limite, a partir de ento, permanecer constante, e, aps certo tempo, ser superada pela de Y. 19. (Fuvest 1997) Os corpos A, B e C tm massas iguais. Um fio inextensvel e de massa desprezvel une o corpo C ao B, passando por uma roldana de massa desprezvel. O corpo A est apoiado sobre o B. Despreze qualquer efeito das foras de atrito. O fio f mantm o sistema em repouso. Logo que o fio f cortado, as aceleraes aA, aB e aC dos corpos A, B e C sero,

a) b) c) d) e)

aA aA aA aA

= 0 ; aB = g / 2 ; aC = g / 2 = g / 3 ; aB = g / 3 ; aC = g / 3 = 0 ; aB = g / 3 ; aC = g / 3 = 0 ; aB = g ; aC = g

a A = g / 2 ; aB = g / 2 ; aC = g / 2

20. (Unicamp 1994) A velocidade de um automvel de massa M = 800kg numa avenida entre dois sinais luminosos dada pela curva adiante.

a) Qual a fora resultante sobre o automvel em t = 5s , em t = 40s e t = 62s ? b) Qual a distncia entre os dois sinais luminosos?32

Apostila ITA

21. (Vunesp 1995) Durante a partida, uma locomotiva imprime ao comboio (conjunto de vages) de massa 2,5 106 kg uma acelerao constante de 0, 05 m / s 2 . a) Qual a intensidade da fora resultante que acelera o comboio? a) Se as fora de atrito, que se opem ao movimento do comboio, correspondem a 0,006 de seu peso, qual a intensidade da fora que a locomotiva aplica no comboio? (Considere g= 10m / s 2 ) 22. (Vunesp 1995) As figuras I e II adiante representam: I. Foras atuando sobre uma partcula de massa m, com velocidade inicial v0 > 0 , que pode se deslocar ao longo de um eixo x, em trs situaes diferentes. II. Grficos de velocidade e acelerao em funo do tempo, associados aos movimentos da partcula.

Para cada uma das trs situaes representadas na figura I, indique o correspondente grfico de velocidade (A,B ou C) e de acelerao (P,Q ou R) da partcula. 23. (UFPR 2000) Os princpios bsicos da mecnica foram estabelecidos por Newton e publicados em 1686, sob o ttulo "Princpios Matemticos da Filosofia Natural". Com base nestes princpios, correto afirmar: 01) A acelerao de um corpo em queda livre depende da massa desse corpo. 02) As foras de ao e reao so foras de mesmo mdulo e esto aplicadas em um mesmo corpo. 04) A massa de um corpo uma propriedade intrnseca desse corpo. 08) As leis de Newton so vlidas somente para referenciais inerciais. 16) Quanto maior for a massa de um corpo, maior ser a sua inrcia. 32) A lei da inrcia, que uma sntese das idias de Galileu sobre a inrcia, afirma que, para manter um corpo em movimento retilneo uniforme, necessria a ao de uma fora.

33

Fsica

24. (Cesgranrio 1994) Uma pedra solta no interior de um lquido. A velocidade com que ela desce verticalmente varia, em funo do tempo, segundo o grfico a seguir.

De acordo com as informaes fornecidas pelo grfico, podemos afirmar que: a) a fora de resistncia que o lquido exerce sobre a pedra aumenta com a velocidade. b) a fora de resistncia que o lquido exerce sobre a pedra diminui com a velocidade. c) a pedra adquire acelerao constante e no-nula a partir de t=0,7s. d) no instante t=0,7s, a acelerao da pedra vale 2,0m/s2. e) at atingir uma velocidade constante, a pedra se deslocou de 0,98m. 25. (Cesgranrio 1995) Durante as comemoraes do "TETRA", um torcedor montou um dispositivo para soltar um foguete, colocando o foguete em uma calha vertical que lhe serviu de guia durante os instantes iniciais da subida. Inicialmente, a massa de combustvel correspondia a 60% da massa total do foguete. Porm, a queima do combustvel, que no deixou resduos e provocou uma fora vertical constante de 1,8N, fez com que a massa total decrescesse, uniformemente, de acordo com o grfico a seguir.

Considere que, neste dispositivo, os atritos so desprezveis e que a acelerao da gravidade vale 10m/s2 . O foguete deixar de ser impulsionado pela queima do combustvel no instante: a) 4,0 s b) 5,0 s c) 6,0 s d) 8,0 s e) 10 s34

Apostila ITA

26. (Vunesp 1992) Nas duas situaes mostradas nas figuras adiante, carrinhos, mesas, roldanas e os fios so idnticos. Observa-se porm, que puxando o fio (figura 2) com uma fora F igual ao peso P do corpo dependurado (figura 1), a acelerao do carrinho maior.

Com base na segunda Lei de Newton, justifique o fato observado. 27. (Vunesp 1993) Uma fora de 231 N atua para cima, na extremidade de um pedao de corda de 1, 0kg , que est amarrado a um bloco de 20, 0kg , como mostra a figura a seguir. Considere g = 10m/s 2 e calcule: a) a acelerao do conjunto; b) a fora de trao na extremidade inferior da corda. 28. (Vunesp 1993) Dinammetros so instrumentos destinados a medir foras. O tipo mais usual constitudo por uma mola cuja deformao varia linearmente com a intensidade da fora que a produz (lei de Hooke). Dois dinammetros esto montados sobre uma mesa horizontal perfeitamente lisa, conforme mostra a figura a seguir.

Quando um corpo de massa m suspenso por um fio de massa desprezvel, preso extremidade do dinammetro n0 1, a fora que este indica 5N. a) Que fora indicar o dinammetro n0 2? b) Qual a massa do corpo suspenso? (Considere g=10m/s2 e despreze qualquer atrito).

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Fsica

29. (Fuvest 1991) Adote: acelerao da gravidade =10 m/s2 Um tubo de vidro de massa m=30g esta sobre uma balana. Na parte inferior do vidro est um m cilndrico de massa M1=90g. Dois outros pequenos ms de massas M2=M3=30g so colocados no tubo e ficam suspensos devido s foras magnticas e aos seus pesos.

a) Qual a direo e o mdulo(em newton) da resultante das foras magnticas que agem sobre o m 2?: b) Qual a indicao da balana (em gramas)? 30. (FAAP 1996) A terceira Lei de Newton o princpio da ao e reao. Esse princpio descreve as foras que participam na interao entre dois corpos. Podemos afirmar que: a) duas foras iguais em mdulo e de sentidos opostos so foras de ao e reao b) enquanto a ao est aplicada num dos corpos, a reao est aplicada no outro c) a ao maior que a reao d) ao e reao esto aplicadas no mesmo corpo e) a reao em alguns casos, pode ser maior que a ao 31. (UECE 1996) Um homem de peso P encontra-se no interior de um elevador. Considere as seguintes situaes: 1. O elevador est em repouso, ao nvel do solo; 2. O elevador sobe com acelerao uniforme a, durante alguns segundos; 3. Aps esse tempo, o elevador continua a subir, a uma velocidade constante v. Analise as afirmativas: I. A fora F que o soalho do elevador exerce nos ps do homem igual, em mdulo, ao peso P vetorial do homem, nas trs situaes. II. As situaes (1) e (3) so dinamicamente as mesmas: no h acelerao, pois a fora resultante nula. III. Na situao (2), o homem est acelerado para cima, devendo a fora que atua nos seus ps ser maior que o peso, em mdulo. Est(o) correta(s) somente: a) I b) II c) I e III d) II e III36

Apostila ITA

32. (Vunesp 1992) Em 1992/3, comemoram-se os 350 anos do nascimento de Isaac Newton, autor de marcantes contribuies cincia moderna. Uma delas foi a Lei da Gravitao Universal. H quem diga que, para isso, Newton se inspirou na queda de uma ma.

Suponha que F1 seja intensidade de fora exercida pela maa sobre a Terra. Ento: a) F1 ser muito maior que F2 . b) F1 ser um pouco maior que F2 . c) d) e)F1 ser igual a F2 . F1 ser um pouco menor que F2 . F1 ser muito menor que F2 .

33. (UfV 1999) Em 13 de janeiro de 1920 o jornal New York Times publicou um editorial atacando o cientista Robert Goddard por propor que foguetes poderiam ser usados em viagens espaciais. O editorial dizia: " de se estranhar que o prof. Goddard, apesar de sua reputao cientfica internacional, no conhea a relao entre as foras de ao e reao e a necessidade de ter alguma coisa melhor que o vcuo contra a qual o foguete possa reagir. claro que falta a ele o conhecimento dado diariamente no colgio." Comente o editorial anterior, indicando quem tem razo e por qu, baseando sua resposta em algum princpio fsico fundamental. 34. (Fatec) Na figura abaixo, representa-se um bloco em movimento sobre uma trajetria curva, bem como o vetor v , o vetor acelerao a e seus componentes intrnsecos, acelerao tangencial a t e acelerao normal a n

Analisando a figura, conclui-se que a) o mdulo da velocidade est aumentando. b) o mdulo da velocidade est diminuindo. c) o movimento uniforme d) o movimento necessariamente circular. e) o movimento retilneo.37

Fsica

35. (FCC SP) Um corpo de massa igual a 2, 0 kg , que pode deslizar sobre uma superfcie plana, est sujeito a um sistema de foras, representado abaixo. Sabendo-se que nenhuma outra fora atua sobre o corpo, qual a sua acelerao escalar?

36. (FCMSC SP) Aplicando-se diferentes foras resultantes aos corpos C1 e C2 , de massas constantes, obtiveram-se aceleraes que so dadas pelas retas 1 e 2 do grfico.

A razo

massa de C1 massa de C2

:

I. Igual a a/a II. Igual a a/a III. Igual a F/F. Quais so as proposies corretas? Enunciado dos testes 37 e 38 (Cesgranrio RJ) Em cada uma das figuras abaixo representada uma partcula com todas as foras que agem sobre ela. Essas foras, constantes, so representadas por vetores; todas elas tm o mesmo mdulo.

38

Apostila ITA

37. Em qual dos casos a partcula pode ter velocidade constante? a) somente I b) somente IV c) I e III d) I e IV e) II e IV 38. Em qual dos casos a partcula ter acelerao constante e no-nula? a) somente III b) somente II c) I e II d) somente IV e) II e III 39. (Cesgranrio RJ) Um caminho entra em movimento sobre uma estrada reta e horizontal, transportando um caixote. Depois de atingir determinada velocidade, ele prossegue com movimento uniforme.

Durante a fase de acelerao do caminho, supondo-se que o caixote no desliza sobre a plataforma, o sistema de foras que age sobre o caixote representado por:

40. (FAAP SP) Mediante fio e Polia ideais, o peso suspenso de massa 100 g solicita horizontalmente o carrinho de comprimento 2 m e massa 3,9 kg , que est sobre a mesa. No instante indicado na figura, o carrinho solto e comea a gotejar lquido dentro dele taxa de 180 gotas por minuto. Sendo o volume de cada gota igual a 0,1 cm3 , calcule o volume mximo de lquido armazenado pelo carrinho. Despreze todos os atritos, assim como a massa das gotas em comparao com a massa do carrinho.39

Fsica

41. (FUVEST SP) Considere o movimento de uma bola abandonada em um plano inclinado no instante t = 0 .

O par de grficos que melhor representa, respectivamente, a velocidade (em mdulo) e a distncia percorrida : a) II e IV b) IV e III c) III e II d) I e II e) I e IV 42. (Fuvest SP) Um veculo de 5, 0 kg descreve uma trajetria retilnea que obedece seguinte equao horria: s = 3t 2 + 2t + 1 , onde s medido em metros e t em segundos. O mdulo da fora resultante sobre o veculo vale: b) 5 N a) 30 N d) 15 N c) 10 N e) 20 N 43. (U. Makenzie SP) Uma pedra levantada por um fio com acelerao constante de 2,0 m/s2. Nessa condio a trao no fio metade da que faz o fio romper. Adotando g = 10m/s2, a mxima acelerao com que esse fio pode levantar essa pedra : b) 9,8 m / s 2 a) 40 m / s 2 c) 10 m / s 2 d) 14 m / s 2 e) 34 m / s 240

Apostila ITA

44. (Cesgranrio)

A figura representa esquematicamente uma composio ferroviria com uma locomotiva e trs vages idnticos movendo-se com acelerao constante a . Sejam F1 , F2 e F3 os mdulos das foras exercidas por cada uma das barras de acoplamento (1), (2) e (3), respectivamente, sobre os vages. Se as foras de atrito exercida sobre os vages forem desprezveis, podemos afirmar que: 1 1 a) F1 = F2 = F3 3 2 1 1 b) F1 = F2 = F3 2 3 c) F1 = F2 = F3 d) e)F1 = 2 F2 = 3F3 3F1 = 2 F2 = F3

45. (Fuvest SP) Uma pessoa segura uma esfera A de 1, 0 kg que est presa numa corda inextensvel C de 200 g , a qual, por sua vez, tem presa na outra extremidade uma esfera B de 3, 0 kg , como se v na figura. A pessoa solta a esfera A. Enquanto o sistema estiver caindo, e desprezando-se a resistncia do ar, podemos afirmar que a intensidade da fora de trao na corda vale:

a) c) e)

zero 10 N 30 N

b) d)

2N 20 N

46. (ITA 1979) A fora centrfuga a) no existe pois no pode ser medida. b) a reao fora centrpeta. c) s se manifesta em referenciais acelerados, com movimento de translao em relao s estrelas fixas. d) ocorre num movimento de rotao, observado de um referencial inercial. e) s se manifesta em referenciais no inerciais, com movimento de rotao em relao s estrelas fixas.41

Fsica

47. (Vunesp 2002 FMTM) Observe estas tirinhas de Schulz, criador de Snoopy e Woodstock.

Considere as afirmaes; I. aps desprender-se do irrigador, a nica acelerao que o passarinho possui a da gravidade; II. o passarinho arremessado por uma fora radial, orientada do centro para fora do irrigador. III. o movimento horizontal do passarinho, aps perder o contato com o irrigador, s depende da ltima velocidade tangencial por ele adquirida; IV. A fora que arremessa o passarinho encontra seu par ao-reao no irrigador. Com base na mecnica clssica de Newton, certo dizer que apenas a) III verdadeira; b) II verdadeira; c) II e IV so verdadeiras; d) I e IV so verdadeiras; e) I e III so verdadeiras.

42

Apostila ITA

48. (ITA 1995) Um projtil de massa m = 5, 00g atinge perpendicularmente uma parede com a velocidade V = 400 m / s e penetra 10, 0 cm na direo do movimento. (Considere constante a desacelerao do projtil na parede). a) Se V = 600 m / s a penetrao seria de 15, 0 cm b) Se V = 600 m / s a penetrao seria de 225 cm c) Se V = 600 m / s a penetrao seria de 22,5 cm d) Se V = 600 m / s a penetrao seria de 150 cm e) A intensidade da fora imposta pela parede penetrao da bala 2N 49. (Alonson & finn) Calcule a intensidade e a direo da resultante de foras representado nas figuras abaixo.

50. (Alonson & finn) Determine as tenses nas cordas AC e BC em cada caso, se M pesa 40 kg.

51. (Alonson & finn) Uma bola com 200 g de massa, movendo-se inicialmente para o norte com velocidade de 300 cm s 1 , fica sob a ao de uma fora de 2000 dyn atuando para leste. Obtenha a equao da trajetria e calcule aps 40 s : a) o mdulo e a direo da velocidade b) a distncia ao ponto inicial c) o deslocamento desde o ponto inicial.43

Fsica

52. (Alonson & finn) Um ponto material move-se no plano XY, sob a ao de uma fora constante cujas componentes so Fx = 6 N e Fy = 7 N , quando t = 0 ,x = 0 , y = 0 , vx = 2m s 1 , e v y = 0 . Calcule a posio e a velocidade do ponto

no instante t = 2s . Admita que a massa da partcula 16 kg . 53. (Saraeva 75) Uma barra homognea de comprimento L est submetida ao de duas foras F1 e F2 aplicadas aos seus extremos e dirigidas em sentidos opostos. Com que fora F estendida a barra na seco que se encontra a uma distncia de um dos extremos?

54. (Saraeva 78) Um bloco homogneo est pendurado numa corda. A corda foi cortada. Que pedaos do bloco tero maior acelerao no momento inicial: os que esto na parte superior, ou inferior? 55. (Saraeva 79) Um bloco homogneo encontra-se sobre um suporte horizontal. O suporte repentinamente retirado. Quais partes do bloco tm maior acelerao no momento inicial: as que esto na parte superior, o inferior? 56. (Saraeva 80) Um homem com as mos levantadas encontra-se na plataforma de uma balana. Como varia a indicao da balana quando as mos movem-se aceleradamente para baixo? 57. (Saraeva 85) Uma corda colocada em duas roldanas fixas e em seus extremos colocam-se pratos com pesos P = 30N em cada um. A corda entre as roldanas foi cortada e amarrada a um dinammetro. Que mostra o dinammetro? Que peso P1 deve adicionar-se a um dos pratos, para que a leitura do dinammetro no varie, logo aps ter-se tirada do outro prato um peso P2 = 10N? As massas dos pratos das roldanas, da corda e do dinammetro desprezam-se.

44

Apostila ITA

Gabarito 01. 32 03. 04. 05. 06. 07. 08. 10. 12. 14. 15. 16. 18. 20. a) b) 21. a) b) 22. 1a 2a 3a 12,5 . 104 N 27,5 . 104 N a) b) c; Item correto: 1.

02. c Fsustentao = 1,0 x 106 N R = 2,5 x 105 N

Itens errados: 0, 2, 3. Itens corretos: 0, 3, 5. Itens errados: 1, 2, 4. C C C C E; b a e a Itens corretos: 0 e 1 Itens errados: 2 e 3 b d 17. e 19. a 1,2 . 103N, nula e 2,4 . 103N 862,5 m 09. a 11. b 13. a

situao: V B; a Q situao: V A; a P situao: V C; a R;45

Fsica

23. 24. 26. 27. 28.

FFVVVF a a2 > a1; a) b) a) b) 1,0 m/s2 220 N 5N 0,5 kg

25. c

29. 30. 32. 33. 34. 36. 38. 40. 41. 43. 45. 47. 49. 51. 53. 54. 55. 56.

a) b) b c

0,30 N vertical para cima. 180 g 31. d

O cientista tem razo pois o foguete reagir sobre os gases que ir expelir, segundo a 3a Lei de Newton. b I e II e 1,2 cm ; b d a a 42. a 44. a 46. e 48. c 50. 52. F = F1 L l + F2 l ;L L3

35. 0,5m/s2; 37. d 39. d

Os da parte superior; Os da parte inferior; A indicao da balana diminui;

57. 30 N.46

Apostila ITA

2.

Aplicaes dasLeis de Newton

Elevadores em Movimento Vertical Consideremos um indivduo de massa m apoiado no piso de um elevador.

Sendo g a acelerao da gravidade, o peso P do indivduo dado porP = m g . O indivduo comprime o piso do elevador, aplicando sobre ele a fora

normal N .

Pelo Princpio da Ao e Reao, o piso do elevador aplica no indivduo a fora N 1 tal que N 1 = N e, portanto, N1 = N . Assim, podemos adotar o esquema simplificado abaixo.

Se o elevador estiver em repouso, teremos, obviamente, N = P . Vamos agora fazer uma anlise do valor de N, quando o elevador est em movimento vertical. Para tanto consideremos alguns casos.47

Fsica

1 caso : O elevador sobe ou desce em movimento uniforme. Nesse caso, a acelerao nula e, portanto, a resultante das foras que atuam sobre o indivduo nula. Assim, teremos:N = P

(I)

2 caso: O elevador sobe em movimento acelerado de acelerao a . Observando que a acelerao do indivduo a mesma do elevador, nesse caso devemos ter N > P . Aplicando a Segunda Lei de Newton ao indivduo, temos:N P = ma ou N = P + m a = mg + ma

ou ainda,

N = m(g+a)

(II)

3 caso: O elevador desce em movimento acelerado de acelerao a . Nesse caso devemos ter P > N e, portanto, aplicando a Segunda Lei de Newton ao individuo, teremos: P N = maMg N = ma

N = m( g a)

(III)

48

Apostila ITA

Observando a igualdade (III), percebemos que se a = g (isto , o elevador cai em queda livre), teremos N = 0 . Isso significa que o indivduo no comprimir o piso do elevador e ter a sensao de estar flutuando, isto , o indivduo ter a impresso de ter perdido o peso. Esse processo (elevador ou avio descendo em queda livre) pode ser usado para levar os astronautas a se acostumarem com a ausncia de gravidade. Observemos novamente a igualdade (III) e vejamos o que acontece quando a > g . Substituindo em (III), obtemos N < 0 . No entanto, como pode isso acontecer, se todas as grandezas da igualdade (III) esto em mdulo? O que ocorre que o elevador est descendo acelerado com acelerao a maior que a da gravidade e, assim, o indivduo fica para trs, isto , a tendncia ele ficar com a cabea em contato com o teto do elevador; agora a fora exercida pelo elevador sobre o indivduo para baixo. Portanto, a Segunda Lei de Newton, aplicada ao indivduo, fica:N + P = ma ou N + mg = ma

ou ainda:

N = m(a g )

4 caso: O elevador desce em movimento retardado de acelerao a . O elevador est descendo; mas, como o movimento retardado, a fora resultante (e a acelerao a ) deve ter sentido oposto ao do movimento e, para que isso acontea, devemos ter N > p . Sendo a o mdulo da acelerao, apliquemos a Segunda Lei de Newton ao indivduo:49

Fsica

N P = maN mg = m a

ou

N = m(a + g )

(IV)

conveniente observar que a igualdade (IV) idntica igualdade (II). Isso j era esperado, pois tanto no movimento acelerado para cima quanto no movimento retardado para baixo a fora resultante para cima. 5 caso O elevador sobe em movimento retardado de acelerao a . Embora o elevador esteja subindo, pelo fato de o movimento ser retardado, a fora resultante para baixo, isto , P > N. Aplicando a Segundo Lei de Newton ao indivduo, temos:P N = maMg N = ma N = m( g a)

(V)

onde a o mdulo da acelerao Observemos que a igualdade (V) idntica igualdade (III), o que j devamos esperar, pois nos dois casos a fora resultante para baixo. Do mesmo modo que no 3 caso, para que os ps do indivduo comprimam o piso do elevador devemos ter a < g .50

Apostila ITA

Indivduo Sobre Balana Suponhamos agora que o indivduo dentro do elevador esteja sobre uma balana de molas. Nesse caso, ele exerce na balana uma fora de intensidade N e esse valor que a balana indicar. Assim. Costuma-se dizer que N a intensidade do peso aparente.

Dinammetro no Teto do Elevador Consideremos um dinammetro preso no teto do elevador e um corpo de massa m pendurado no dinammetro. O corpo exerce no dinammetro uma fora de intensidade F e, pelo Princpio da Ao e Reao, o dinammetro exerce no corpo uma fora de sentido oposto, mas de mesma intensidade F.

O dinammetro deve indicar o valor de F. Nesse caso, tambm podemos dizer que F a intensidade do peso aparente do corpo. Se o elevador estiver em repouso ou em movimento uniforme, teremos F = P . Se o elevador estiver em movimento com acelerao no nula, teremos F P e, nesse caso, a anlise idntica que fizemos para o valor de N. Polia Fixa Consideremos dois corpos, A e B, de massas respectivamente a mA e mB, presos a um fio ideal que passa por uma polia, a qual pode girar em torno de um eixo fixo horizontal, como mostra a figura abaixo. Suponhamos que a massa da polia seja desprezvel e que no haja atrito entre a polia e seu eixo (polia ideal).

51

Fsica

As foras que agem sobre A e B sos os seus pesos, de intensidade PA e PB , e as foras exercidas pelo fio, de intensidades TA e TB . Mas, se o fio exerce fora de intensidade TA no bloco A, este exerce, no fio, fora de mesma intensidade, pelo Princpio da Ao e Reao; o mesmo ocorre com o corpo B. Como o fio ideal, as traes nos seus extremos devem ter o mesmo mdulo: TA = TB = T .

Apenas para fixar idias, suponhamos que o sistema tenha sido abandonado em repouso e que PB > PA . Assim, o bloco A deve subir acelerado com acelerao a A e o bloco B deve descer acelerado com acelerao a B . Mas, como o fio ideal (e, portanto, inextensvel), para um intervalo de tempo qualquer, o deslocamento d A do bloco A para cima deve ter o mesmo mdulo do deslocamento do bloco B para baixo:

Como a derivada do deslocamento a velocidade e a derivada da velocidade a acelerao, conclumos que, a cada instante, os dois blocos tm a mesma velocidade (em mdulo) e a mesma acelerao (em mdulo). Porm, como PB > PA , a acelerao a A tem sentido para cima e a B tem sentido para baixo.v A = vBe

a A = aB = a52

Apostila ITA

Para o corpo A, que sobe acelerado, apliquemos a Segunda Lei de Newton T PA = mA a (I) Para o corpo B, que desce acelerado, temos: (II) PB T = mB . a Resolvendo o sistema formado pelas equaes (I) e (II), obtemos os valores de a e T. Faamos agora a adio, membro a membro, das equaes (I) e (II): T PA = mA . a PB T = mB . aPB PA = ( mA + mB ) a

(III)

A equao (III) nos sugere um artifcio para obtermos mais rapidamente o valor de a. Imaginamos o sistema esticado formando um nico corpo de massa igual a mA + mB e a esse corpo aplicamos a Segunda Lei de Newton:

PB PA =

( mA +

mB ) a

Depois de obtido o valor de a, substitumos esse valor na equao (I) ou na equao (II) para obtermos o valor de T. Observando a figura abaixo, percebemos que a fora exercida pelo fio (ou pelo sistema fio + corpo A + corpo B) sobre a polia tem intensidade igual a 2T.

53

Fsica

Observaes: 1) Supondo PB > PA , ao abandonarmos o sistema em repouso, o corpo A deve subir em movimento acelerado e B deve descer em movimento acelerado. No entanto, pode ocorrer o caso em que o corpo A recebe um impulso inicial para baixo. Nesse caso, de incio teramos A descendo em movimento retardado e B subindo em movimento retardado, at o instante em que ambos os corpos atingissem velocidade nula. A partir desse instante, A subiria com movimento acelerado e B desceria com movimento acelerado. Porm, nos dois casos, as aceleraes vetoriais a A e a B teriam os sentidos para cima e para baixo respectivamente. 2) A fora exercida pelo fio sobre a polia tem intensidade igual a 2T, apenas no caso em que os dois ramos do fio so paralelos. No entanto, conforme veremos nos exerccios, h casos em que os dois ramos do fio no so paralelos.

Nesses casos, a fora F exercida pelo fio sobre a polia deve ser obtida pela regra do paralelogramo.

54

Apostila ITA

Polia Mvel No sistema representado na figura abaixo, o bloco A est preso ao fio f1 , o qual passa pelas polias P e P2 ; o bloco B est preso no fio f 2 , o qual est preso 1 ao eixo da polia P2 . A polia P uma polia fixa, isto , ela pode girar, mas o seu 1 eixo fixo; a polia P2 uma polia mvel, isto , alm de girar, o seu eixo pode movimentar-se. Suponhamos que os fios e as polias so ideais. Dependendo das massas de A e B, ao abandonarmos os sistema em repouso, podem ocorrer trs situaes:

1) 2) 3)

o sistema permanece em repouso: o bloco A sobe e o bloco B desce: o bloco A desce e o bloco B sobe. Porm, conforme veremos a seguir, desde que haja acelerao, as aceleraes de A e B tero mdulos diferentes. Consideremos inicialmente o sistema na posio da (a) e, apenas para fixar idias, suponhamos que o bloco A esteja descendo e o bloco B esteja subindo, de modo que, aps um intervalo de tempo t , o sistema esteja na posio (b).

Sejam d A e d B os deslocamentos dos blocos A e B, respectivamente. Observando a figura acima, percebemos que:d B = XY = WZ

55

Fsica

Como o fio ideal (e, portanto, inextensvel), os trechos de fio XY e WZ que desapareceram do lado da polia mvel devem ter ido para o lado do bloco A, isto :dA = 2 dB

Portanto, para qualquer intervalo de tempo, o mdulo do deslocamento de A ser o dobro do mdulo do deslocamento de B. Mas, como sabemos, a derivada do deslocamento nos d a velocidade. Assim, sendo v A e v B as velocidades dos blocos A e B num instante qualquer, devemos ter:v A = 2 vB

Mas sabemos tambm que a derivada da velocidade a acelerao. Portanto, sendo d A e d B as aceleraes dos blocos A e B, temos:a A = 2 aB

Isolemos as polias e os blocos como mostra a figuras abaixo onde T a intensidade da trao no fio. Sendo a A e aB os mdulos das aceleraes dos blocos e supondo que o sistema tenha sido abandonado em repouso, consideraremos trs casos.

1 caso : O sistema permanece em repouso. Nesse caso devemos ter T = PA e 2T = PB . Assim:PB = 2 PA

ou

mB = 2mA

onde mA e mB so as massas dos blocos A e B.56

Apostila ITA

Se dermos um impulso ao bloco A ou ao bloco B, o sistema entrar em movimento, porm os dois blocos tero movimentos uniformes.

2 caso:mB > 2mA Mos no caso anterior que, para mB = 2mA , o sistema fica em equilbrio.

Assim, para mB > 2mA , o bloco B deve descer acelerado e o bloco A deve subir acelerado (supondo que o sistema tenha sido abandonado em repouso). Aplicando a Segunda Lei de Newton a cada bloco, temos: T PA = mA . a A PB 2T = mB . aB Essas duas equaes juntamente com a condio a A = 2aB resolvem o problema.

57

Fsica

3 caso:mB < 2mA

Como vimos, para mB = 2mA o sistema fica em equilbrio. Assim, para mB < 2mA , o bloco A deve descer em movimento acelerado e o bloco B deve subir em movimento acelerado (supondo que o sistema tenha sido abandonado em repouso). Portanto, as equaes que resolvem, o problema so: PA T = mA . a A 2T PB = mB . aB a = 2 aB A

Observao: Ao resolvermos um problema do tipo que estamos analisando, podemos, se quisermos, no fazer a anlise da relao entre as massas e simplesmente fazer uma das seguintes hipteses: 1) a A tem sentido para baixo e a B tem sentido para cima. 2) a A tem sentido para cima e a B tem sentido para baixo. A seguir, escrevemos as equaes baseados na hiptese feita, sem nos preocuparmos se a hiptese correta ou no. Como ao escrevermos as equaes usamos as aceleraes em mdulo, perceberemos no final do problema se a hiptese est correta ou no: se as aceleraes obtidas forem positivas, a hiptese estar certa; se as aceleraes forem negativas, a hiptese estar errada (mas isso no quer dizer que precisamos resolver novamente o problema, pois os mdulos das aceleraes estaro corretos).

58

Apostila ITA

Plano Inclinado Um corpo, ao ser colocado sobre um plano inclinado sem atritos, fica sujeito ao de suas foras: seu prprio peso ( P) e fora de reao normal ( N ).

A fora resultante ( F r ) , que atua sobre o corpo, uma das componentes perpendiculares do peso ( P t ) , na direo tangencial do movimento. A outra componente do peso ( P n ) , na direo normal (perpendicular) ao plano inclinado, equilibrada pela fora de reao normal ( N ). Da Geometria, sabe-se que, se duas retas r e s formam entre si um ngulo , as suas respectivas perpendiculares r e s formam o mesmo ngulo. Assim, com o auxlio da Trigonometria, so obtidos as expresses:

Pt = P . sen

Pn = P . cos

Observao N = Pn Portanto, a acelerao de um s corpo, plano inclinado abaixo, sem atritos, determinada da seguinte forma: Fr = m . a e Fr = Pt = P . sen = m . g . sen ; logo: m . a = m . g . sen ou a = g . sen

59

Fsica

Exerccios Resolvidos 01. No arranjo experimental da figura, os corpos A e B tm, respectivamente, massas iguais a 6 kg e 2 kg . Os fios e as polias tm massas desprezveis. No h atrito entre o fio e a polia. Adote g = 10 m / s 2 . Determine:Formatado: Fonte: 7 pt Formatado: Fonte: 7 pt Formatado: Fonte: 8 pt Formatado: Centralizado Formatado: Recuo: esquerda: 0,7 cm, Primeira linha: 0,7 cm

a) b)

a acelerao do conjunto; as traes nos fios. Considere que o sistema partiu do repouso.

Formatado: Fonte: 8 pt Formatado: Portugus (Brasil) Formatado: Recuo: esquerda: 0,7 cm, Primeira linha: 0 cm Cdigo de campo alterado Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Portugus (Brasil) Cdigo de campo alterado Formatado: Portugus (Brasil) Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Portugus (Brasil)

Soluo: a) O arranjo experimental anterior conhecido como Mquina de Atwood (17451807), fsico ingls que com um arranjo desse tipo estudou a queda dos corpos. O corpo A desce enquanto o B, sobe, pois o peso de A maior que o de B. mA = 6 kg Pa = mA g = 60 N mB = 2 kg PB = mB g = 20 N Na figura abaixo representamos as foras que agem em cada bloco. A equao fundamental da Dinmica aplicada a A e a B fornece:

F R = ma (A) PA T = mA a 60 T = 6a PA T = mAa 60 T = 6a

Cdigo de campo alterado

(1) (2)60

(B) T PB = mB a T 20 = 2a T PB = mBa T 20 = 2a

Formatado: Portugus (Brasil) Formatado: Portugus (Brasil)

Apostila ITA

Resolvendo o sistema de equaes (1) e (2):1. 60 - T = 6a + 2. T - 20 = 2a 60 - 20 = 6a + 2a

Formatado: Portugus (Brasil) Formatado: Fonte: 7 pt

40 = 8a

40 = 8a a = 5

Formatado: Fonte: 7 pt Formatado: Rebaixado por 3 pt

b) Qualquer uma das equaes anteriores nos fornece T. Por exemplo: 2) T 20 =T2 .= T 3020 = 2 5 5

Formatado: Rebaixado por 3 pt Formatado: Rebaixado por 3 pt Formatado: Fonte: 1 pt Formatado: Recuo: esquerda: 0,7 cm, Primeira linha: 0,7 cm

A trao T no fio que liga o eixo da polia ao teto pode ser obtida como se segue. A polia no possui peso e seu eixo est em equilbrio. Deste modo a resultante das foras deve ser nula.

FR = 0 T = T + T = 2T = 2 30 FR = 0T = 2T = 60N

T = T + T = 2T = 2 . 30

Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Fonte: 6 pt

Observao: Para o clculo da acelerao podemos aplicar a equao fundamental da Dinmica para o conjunto de corpos de massa total mA + mB mA + mB , observando que o peso PA PA favorece a acelerao e PB PB se ope:

Formatado: Portugus (Brasil) Formatado: Rebaixado por 3 pt Formatado: Recuo: Primeira linha: 0,66 cm Formatado: No Sobrescrito/ Subscrito Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt

61

Fsica

62

Apostila ITA

FR = ma FR = ma PA PB = (mA + mB)a PA PB =

Formatado: Rebaixado por 5 pt

( mA +

mB ) a

Formatado: esquerda, Recuo: esquerda: 2,8 cm, Primeira linha: 0 cm Formatado: Recuo: esquerda: 2,8 cm, Primeira linha: 0 cm Formatado: Rebaixado por 6 pt Formatado: Recuo: esquerda: 2,8 cm, Primeira linha: 0 cm Formatado: Rebaixado por 6 pt Formatado: No Sobrescrito/ Subscrito

60 20 = ( 6 + 2 ) a 40 = 8a 60 20 = ( 6 + 2)a 40 = 8aa=5 m/s2

02. Um corpo de peso P desliza num plano inclinado perfeitamente liso, que forma um ngulo em relao horizontal. Determine:

a) A acelerao do corpo; b) A intensidade da fora normal que o plano exerce no corpo. dada a acelerao da gravidade g. Soluo:Formatado: Fonte: 8 pt

a) No corpo atuam o peso P e a fora normal N . comum decompor o peso P em duas foras componentes.p n : normal ao plano inclinado e que anula N , pois h movimento na direo perpendicular ao plano. P t: paralela ao plano inclinado e que a resultante das foras P e N .Formatado: Fonte: 7 pt

No tringulo sombreado, o ngulo inferior , pois seus lados so dois a dois perpendiculares s retas que definem o ngulo do plano inclinado. Nesse tringulo Pt Pt a medida do cateto oposto ao ngulo e P a hipotenusa do tringulo. Da definio de seno de um ngulo, vem:63

Formatado: Recuo: esquerda: 0 cm Formatado: Fonte: 9 pt Formatado: Recuo: esquerda: 1,4 cm Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Fonte: 9 pt

Fsica

sen = sen =

P 1 P

Pt = P sen ou

Formatado: Justificado Formatado: Rebaixado por 5 pt

pela equao fundamental da Dinmica: FR = ma e sendo

64

Apostila ITA

FR = P = P sen = mg sen 1

Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Portugus (Brasil) Cdigo de campo alterado

FR = P1 = Psen = mgsen , vem mg sen mg sen = ma = maa = g sen

Formatado: Portugus (Brasil)

Formatado: Portugus (Brasil) Cdigo de campo alterado

b) No tringulo sombreado Pn Pn o cateto adjacente ao ngulo . Da definio de cosseno de um ngulo, vem:P cos = cos = n PPou P n =

Formatado: Portugus (Brasil) Formatado: Justificado Cdigo de campo alterado Formatado: Portugus (Brasil) Cdigo de campo alterado Formatado: Portugus (Brasil)

Como p n anula N , resulta:N = Pn = P cos

Formatado: Fonte: 12 pt, Portugus (Brasil) Formatado: Rebaixado por 5 pt

03. No arranjo experimental da figura, os corpos A e B tm massas iguais a 10 kg. O plano inclinado perfeitamente liso. O fio inextensvel e passa sem atrito pela polia de massa desprezvel. Determine:

Formatado: Fonte: 8 pt Formatado: Fonte: 8 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Fonte: 8 pt

Formatado: Fonte: 8 pt

a) b)

a acelerao do sistema de corpos; a trao no fio (sem 30 = 0,5).

Formatado: Fonte: 8 pt Formatado: Fonte: 8 pt Cdigo de campo alterado Formatado: Portugus (Brasil) Formatado: Portugus (Brasil) Cdigo de campo alterado Formatado: Portugus (Brasil) Formatado: Portugus (Brasil) Formatado: Fonte: 8 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: No Sobrescrito/ Subscrito

Soluo: a) Vamos inicialmente calcular a componente Pt A do peso do corpo A:Pt A = PA sen 30 = PA sen 30 Pt A = mA g sem 30 = mAg sem 30 Pt A = 50 N = 10 . 10 . 0,5 Pt A = 10 10 0,5

O corpo B possui peso PB = mBg = 10 . 10,PB = 100 N PB = mB g = 10 10, PB = 100 N . Sendo PB > PB > Pt A , , conclumos que se o sistema65

Fsica

partir do repouso o corpo B desce e o corpo A sobe o longo do plano inclinado.

66

Apostila ITA

Na figura abaixo representamos as foras que agem em cada bloco. Observe que a componente normal P n A e a normal N A anulam-se. A equao fundamental da Dinmica aplicada a A e B fornece:

Formatado: Recuo: esquerda: 0,7 cm, Primeira linha: 0,7 cm

(A) T Pt A = mA a T 50 = 10a T - Pt A = mAa T 50 = 10a (B) PB T = mB a 100 T = 10a PB T = mBa 100 T = 10a

Formatado: Rebaixado por 7 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt

Resolvendo o sistema de equaes(1) T - 50 = 10a + (2) 100 - T = 10a 100 - 50 = 10a + 10a

e

, vem:

50 = 20a 50 = 20a b) De resulta:

a = 2,5

2

Formatado: No Sobrescrito/ Subscrito

T 50 = 50 . 2,5 T 50 = 50T 2,5 =

75N

Formatado: Rebaixado por 4 pt Formatado: Rebaixado por 3 pt

67

Fsica

Observao: A acelerao pode ser calculada aplicando-se a equao fundamental da Dinmica ao sistema de corpos de massa total mA + mB mA + mB :

Formatado: No Sobrescrito/ Subscrito

Formatado: Rebaixado por 7 pt Formatado: Recuo: esquerda: 0 cm

FR = ( mA + mB ) a( FR = PB Pt A ) FR = (mA + mB)a PB PA = ( mA + mB ) a PB PA = (mA + mB)a

(FR = PB - Pt A )

Formatado: Rebaixado por 6 pt Formatado: Rebaixado por 6 pt Formatado: Recuo: esquerda: 2,1 cm, Primeira linha: 0 cm Formatado: Rebaixado por 4 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt

100 50 = (10 + 10)a 100 50 = (10 + 10 ) a 50 = 20a 50 = 20aa = 2,5

Exerccios Propostos 01. (UFBA) A figura abaixo representa um corpo de massa igual a 60 kg 60 kg sobre um plano inclinado de 30 com a horizontal. Considere g = 10 m/s2 g = 10 m / s 2 e despreze o atrito.

Formatado: Recuo: esquerda: 0,7 cm, Espao Depois de: 0 pt Formatado: No Sobrescrito/ Subscrito Formatado: Recuo: esquerda: 0,69 cm, Espao Depois de: 0 pt

Qual a fora necessria para que: a) o corpo suba o plano com acelerao de 0,8 m/s2 0,8 m / s 2 ? b) o corpo se movimente com velocidade constante?68

Formatado: Recuo: esquerda: 0 cm, Deslocamento: 0,7 cm, Espao Depois de: 0 pt

Apostila ITA

02. (FMABC SP) Na figura, considere desprezvel o atrito nos planos e na polia. A massa de A e 4,0 kg 4, 0 kg , a massa de B de 0,60 kg 0, 60 kg , a massa de C de 0,40 kg 0, 40 kg e g = 10 m/s2 g = 10 m / s 2 .

Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: No Sobrescrito/ Subscrito Formatado: Espao Depois de: 0 pt

03. (FEI SP) Um plano inclinado tem 3 m 3 m de altura e 5 m 5 m de comprimento. Um bloco de peso P = 100 N P = 100 N mantido parado sobre o plano por um obstculo fixo. Calcular a fora exercida pelo bloco sobre o plano e sobre o obstculo. Supor g = 10 m/s2 g = 10 m/s 2 . 04. Dois blocos de massas iguais so ligados conforme a figura. O plano inclinado perfeitamente liso. A polia e o fio so ideais.

Formatado: Rebaixado por 3 pt Formatado: Rebaixado por 3 pt Formatado: Rebaixado por 3 pt Formatado: Centralizado, Espao Depois de: 0 pt Formatado: No Sobrescrito/ Subscrito Formatado: Espao Depois de: 0 pt

Sendo g a acelerao gravitacional, prove que a acelerao escalar a dos blocos : 1 + sen a = g. . 2 05. (Mackenzie 1996) Num local onde a acelerao gravitacional tem mdulo 10 m/s2 dispe-se o conjunto abaixo, no qual o atrito desprezvel, a polia e o fio so idias. Nessas condies, a intensidade da fora que o bloco A exerce no bloco B igual a quantos newtons?

Formatado: Condensado por 0,2 pt Formatado: Recuo: esquerda: 0,7 cm, Primeira linha: 0 cm, Espao Depois de: 0 pt Formatado: Espao Depois de: 0 pt

Formatado: Espao Depois de: 0 pt

69

Fsica

Dados m(A) = 6,0 kg m(B) = 4,0 kg m(C) = 10 kg 06. (Vunesp) Enuncie a lei fsica qual o heri da tirinha se refere. cos = 0,8 sen = 0,6

Formatado: Fonte: 7 pt Tabela formatada

Formatado: Fonte: 6 pt

07. Na situao indicada na figura, os fios tm inrcia desprezvel e passam pela polias sem atrito. Adote g = 10m/s2 g = 10m / s 2 . Determine: a) a acelerao do conjunto; b) a trao no fio que liga A a B; c) a trao no fio que liga B a C.

Formatado: Fonte: 6 pt Formatado: No Sobrescrito/ Subscrito Formatado: Recuo: esquerda: 0,77 cm, Espaamento entre linhas: Exatamente 10 pt Formatado: Fonte: 6 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt

08. Os corpos A e B tm massas mA = 1 kg mA = 1 kg e mB = 3kg mB = 3kg . O corpo C, pendurado pelo fio, tem massa mC = 1 kg mC = 1 kg . O fio 2

inextensvel e tem massa desprezvel. Adote g = 10m/s

g = 10m / s e suponha2

que A e B deslizam sem atrito sobre o plano horizontal. Calcule.

a) b)

a acelerao do corpo C; a intensidade da fora que o corpo B exerce em A70

Formatado: Fonte: 6 pt

Apostila ITA

09. (FFU CE) Deixa-se cair simultaneamente, no vcuo, dois corpos A e B de massas mA = 100 kg mA = 100 kg e mB = 1 kg mB = 1 kg .

Formatado: Fonte: 7 pt Formatado: Recuo: esquerda: 0,67 cm Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt

a) b)

Qual dos blocos faz fora sobre o outro Qual a acelerao de cada um deles?

10. Determine a acelerao dos corpos na situao esquematizada. Adote g = 10m/s2 g = 10m / s 2 . O fio e a polia tm massa desprezvel. No h atrito (sen 30 = 0,5)

Formatado: No Sobrescrito/ Subscrito

11. (E.E. So Carlos SP) A polia e os fios da figura so considerados ideais, sem inrcia. O fio perfeitamente flexvel e no h atritos a considerar. Considere g = 10 m/s2 g = 10 m / s 2 . Dadas as massas mA = 40 kg mA = 40 kg e mB = 24 kg mB = 24 kg , determine as aceleraes (do corpo A) e (do corpo B) quando:

Formatado: No Sobrescrito/ Subscrito Formatado: Rebaixado por 5 pt

a) b) c)

Q = 400 N Q = 400 N ; Q = 720 N Q = 720 N ; Q = 1200 N Q = 1200 N .71

Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt

Fsica

12. (E.E. So Carlos SP) O sistema esquematizado compe-se de um elevador de massa M e um homem de massa m. O elevador est suspenso a uma corda que passa por uma polia fixa e vem s mos do operador; a corda e a roldana so supostas ideais. O operador puxa a corda e sobe com acelerao constante a, juntamente com o elevador. So supostos conhecidos M, m a e g. Determine a fora N que a plataforma exerce no operador.

Formatado: Recuo: esquerda: 0 cm, Deslocamento: 0,7 cm

13. O carrinho da figura desliza no plano horizontal com acelerao de 8 m/s2 8 m / s 2 . O corpo A possui 4 kg de massa e no h atrito entre o corpo e os planos de apoio. Dados sem 30 = 0,50 30 = 0,50 , cos 30 = 0,87

Formatado: Justificado Formatado: No Sobrescrito/ Subscrito Formatado: Rebaixado por 4 pt Formatado: No Sobrescrito/ Subscrito

cos 30 = 0,87 e

g = 10m/s2 g = 10m / s 2 , determine a fora horizontal que a

parece vertical exerce no corpo considerando-o em repouso em relao ao carrinho.

14. Que a fora horizontal deve ser constantemente aplicada a M = 21 kg M = 21 kg para que m1 = 5 kg m1 = 5 kg no se movimente em relao a m2 = 4 kgm2 = 4 kg Despreze atritos. (Dados: g = 10 m/s2 g = 10 m / s 2 .)

Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: No Sobrescrito/ Subscrito

72

Apostila ITA

73

Fsica

15. (U. Mackenzie SP) No sistema ao lado do corpo 1 de massa 6,0 kg 6, 0 kg est preso na posio A. O corpo 2 tem massa de 4,0 kg 4, 0 kg . Despreze os atritos e dote g = 10m/s2 g = 10m / s 2 . Abandonando o corpo 1, a sua velocidade ao passar pela posio B ser de:

Formatado: Recuo: esquerda: 0 cm, Deslocamento: 0,7 cm Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: No Sobrescrito/ Subscrito

a) b) c) d) e)

0,50 m/s 0,50 m / s 1,0 m/s 1, 0 m / s 2,0 m/s 2, 0 m / s8 m/s 4,0 m/s 4, 0 m / s

Formatado: Rebaixado por 4 pt Formatado: Rebaixado por 4 pt Formatado: Rebaixado por 4 pt Formatado: Rebaixado por 4 pt

16. (FEI SP) Dois corpos A e B possuem o mesmo peso P = 100 N P = 100 N e esto presos a um dinammetro conforme mostra a figura. A indicao prevista no dinammetro :

a) 0 b) 100 N c) 200 N d) 400 N e) indeterminada, pois no conhecida a velocidade dos corpos.

74

Apostila ITA

17. (UEC) As massas m1 e m2 esto ligadas por um fio flexvel e inextensvel, apoiado sobre uma polia ideal. Inicialmente, m1 mantida sobre a mesa. Considere g = 10 m/s2 g = 10 m / s 2 . A razo da intensidade da fora de trao no fio (T1), enquanto m1 mantida sobre a mesa, para a intensidade da fora de trao no fio (T2), aps m1 ser liberada, :

Formatado: Recuo: esquerda: 0 cm, Deslocamento: 0,7 cm Formatado: No Sobrescrito/ Subscrito

a) c) e)

1 2

Formatado: Rebaixado por 8 pt

2 0

b) d)

1 3

Formatado: Recuo: esquerda: 0,7 cm

18. (Cesgranrio) Um corpo de peso P encontra-se em equilbrio, devido ao da fora F , como indica a figura abaixo.

Formatado: Fonte: 5 pt

Os pontos a, B e c so pontos de contato entre os fios e a superfcie. A fora que a superfcie exerce sobre os fios nos pontos A, B e C so respectivamente: a) P/8, P/4, P/2 b) P/8, P/2, P/4 c) P/2, P/4, P/8 d) P, P/2, P/4 e) iguais a P 19. (F.I. Uberaba MG) A figura abaixo representa o perfil de um plano inclinado no qual est fixada uma polia. O bloco (1) desliza sobre o plano inclinado e est ligado esfera (2) por um fio inextensvel. Sendo sen = 0,5 sen = 0,5 e a acelerao local da gravidade igual a 10 m/s2, qual em m/s2 m / s 2 a acelerao da esfera (2) se o bloco e a esfera tm massas iguais?

Formatado: Portugus (Brasil) Formatado: Portugus (Brasil) Formatado: Recuo: esquerda: 1,44 cm Formatado: Recuo: esquerda: 0,7 cm Formatado: Fonte: 5 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Rebaixado por 3 pt

75

Fsica

a) c) e)

zero 5,0

b)

2,5 d) 10

Formatado: Recuo: Primeira linha: 0,01 cm Formatado: Recuo: Primeira linha: 0,01 cm

20

76

Apostila ITA

(ITA SP) Os testes de nmeros 20 a 24 obedecem explicao e ao cdigo seguinte: Uma pessoa parada na plataforma de uma estao ferroviria observa que os fios de prumo ligados ao dois trens que se movem sua frente, nos sentidos indicados, formam ngulos constantes x e y com o seu prprio fio de prumo. Os ngulos so convencionados positivamente no sentido anti-horrio, isto :

Formatado: Recuo: esquerda: 0,69 cm Formatado: Recuo: Primeira linha: 0 cm

Associe as propostas que se seguem com os testes: a) b) c) d) e) Os dois trens movem-se com velocidade constante. Os dois trens esto parando. P est parando e Q tem velocidade constante. P est parando e Q acelerando. nenhuma das anteriores.

20. x > 0 x > 0 , y = 0 y = 0 21. x > y > 0 x > y > 0 22. x = 0 x = 0 , y = 0 y = 0 23. x > 0 x > 0 , y < 0 y < 0 24. x = 2y x = 2 y , y 0 y 0

Formatado: Rebaixado por 5 pt

Formatado: Rebaixado por 3 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Rebaixado por 3 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt Formatado: Rebaixado por 5 pt

77

Fsica

25. (UFF 1997) Um bloco desliza, sem atrito, sobre um plano inclinado de um ngulo , conforme mostra a figura a seguir.

Considerando-se x a abscissa de P num instante genrico t e sabendo-se que o bloco partiu do repouso em x=0 e t=0, pode-se afirmar que : a) x = 1/4 gt2 sen (2) b) x = 1/2 gt2 sen c) x = 1/4 gt2 cos d) x = 1/2 gt2 cos (2) e) x = 1/2 gt2 sen (2) 26. (Mackenzie 1997) Um bloco de 10kg repousa sozinho sobre o plano inclinado a seguir. Esse bloco se desloca para cima, quando se suspende em P um corpo de massa superior a 13,2kg. Retirando-se o corpo de P, a maior massa que poderemos suspender em P para que o bloco continue em repouso, supondo os fios e as polias ideais, dever ser de:

Formatado: Recuo: esquerda: 0,69 cm, Primeira linha: 0 cm, Espao Depois de: 0 pt, Espaamento entre linhas: simples Formatado: Recuo: esquerda: 0,69 cm Formatado: Recuo: esquerda: 0,64 cm Formatado: Fonte: 8 pt

a) c) e)

1,20 kg 2,40 kg 13,2 kg

b) d)

1,32 kg 12,0 kg

Formatado: Recuo: esquerda: 0,7 cm

27. (UFRS 1997) Um objeto em forma de bloco, partindo do repouso, desliza ao longo de um plano inclinado de comprimento L, livre de qualquer atrito. Que distncia percorre o bloco sobre o plano inclinado at adquirir a metade da quantidade de movimento que ter no final do plano? a) L/4 b) L(2 -1)78

Formatado: Fonte: 8 pt

Formatado: Recuo: Primeira linha: 0 cm

Apostila ITA

c) e)

L/2 d) (3L)/4Formatado: Recuo: esquerda: 0,64 cm, Primeira linha: 0 cm

L/2

79

Fsica

28. (Udesc 1997) Um corpo, de massa igual a 2 kg, abandonado no ponto A do plano inclinado que aparece na figura. Depois de descer o plano, o corpo desliza pela parte plana, atingindo o repouso no ponto C. Considere a existncia de atrito apenas na parte plana, sendo igual a 0,05 o respectivo coeficiente. Dados: sen 60 = 0,87 e cos 60 = 0,50Formatado: Fonte: 8 pt Formatado: Fonte: 8 pt

RESPONDA ao solicitado a seguir. a) FAA um diagrama, mostrando claramente as foras que atuam sobre o corpo em movimento, no plano inclinado e na parte plana; b) CALCULE a intensidade da acelerao do corpo, no plano inclinado; c) CALCULE a intensidade da reao normal sobre o corpo, quando no plano inclinado; d) CALCULE a intensidade da reao normal sobre o corpo, quando na parte plana; e) Suponha que toda a energia transformada em calor pelo atrito, na parte plana, possa ser utilizada para elevar a temperatura de uma certa massa de gua de 20C para 50C. Considere o calor especfico da gua igual a 4190 J/(kg. K). CALCULE o valor da massa de gua. 29. (UnB 1998) Calcule a razo m1/m2 das massas dos blocos para que, em qualquer posio, o sistema sem atrito representado na figura abaixo esteja sempre em equilbrio. Multiplique o valor calculado por 10 e despreze a parte fracionria de seu resultado, caso exista.

Formatado: Fonte: 8 pt Formatado: Recuo: esquerda: 0,7 cm

Formatado: Fonte: 8 pt

Formatado: Fonte: 8 pt

Formatado: Justificado

80

Apostila ITA

30. (UnB 1997) Dois colegas de trabalho, discutindo alguns fenmenos que envolvem conceitos de Fsica, propuseram trs diferentes situaes, representadas na figura adiante, nas quais alguns desses conceitos aparecem. Nas trs situaes, um pequeno bloco de ferro, de peso igual a 10N, elevado at uma altura de 3m e, depois, desliza, sem atrito, em trs rampas diferentes.

Julgue os itens a seguir, relativos a algumas concluses surgidas no decorrer da discusso entre os colegas. (0) Nas trs situaes, o trabalho total realizado para vencer a fora de atrao gravitacional de 30J. (1) Na situao III, o bloco apresenta acelerao crescente, embora sua velocidade diminua. (2) A situao II a nica na qual o bloco desliza aumentando sua velocidade, com acelerao decrescent