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MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETOS

Vimos que o clculo de probabilidades pode ser feito a prori ou a posteriori.

No clculo a posteriori o pesquisador monta o experimento e com base no espao amostral ele faz o

calculo da probabilidade. Como exemplo, temos o caso de se jogar um moeda por 2 vezes e calcular a

probabilidade de no sair cara.

O clculo a priori feito a partir de hipteses segundo um modelo matemtico e sem

experimentao, determinando as probabilidades de acontecimentos futuros.

Desta forma, se conhecemos as caractersticas da varivel aleatria em estudo, podemos utilizar

modelos tericos de probabilidade para realizar os clculos das possibilidades de acontecimentos de eventos

de um espao amostral.

Principais modelos discretos

- Uniforme Discreta - Bernoulli - Binomial - Poisson

Distribuio Uniforme Discreta

a mais simples das distribuies de variveis aleatrias discretas

Definio: Considere uma v.a. X cujos valores vo de 1 a N, equiprovveis, ou seja, todos os valores tm

igual probabilidade de ocorrncia, ento:

1 2 N1

com : X= x , x ,..., xP X xN

define a funo de probabilidade da v. a. uniforme

Os parmetros caractersticos dessa distribuio so:

Media 1

2

NE X

Varincia

2 1

12

NVar X

Exemplo: Lana-se um dado e define-se uma v.a. X como o valor obtido neste dado.

X: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

P(X = 1) = 1/6

P(X = 2) = 1/6

P(X = 3) = 1/6

P(X = 4) = 1/6

P(X = 5) = 1/6

P(X = 6) = 1/6

1

se X=1,2,3,4,5,6

0, . .

P X x N

p o vde X

1 6 1

3,52 2

NE X

2 1 36 12,92

12 12

NVar X

Distribuio Bernoulli

Considere uma nica tentativa de um experimento aleatrio.

Nessa tentativa podemos ter sucesso ou fracasso

Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso (ou insucesso), com p + q = 1.

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Seja a v.a. X = nmero de sucessos em uma nica tentativa, ento X assumira o valor 0, que

corresponde ao fracasso, com probabilidade q, ou assumir o valor 1, correspondente ao sucesso, com

probabilidade p.

0, 0

1, 1

fracasso com P X qX

sucessso com P X p

Nessas condies a v. a. X tem distribuio de Bernoulli e sua funo de probabilidade dada por:

1 , 1x xP X x p q em que q p Os parmetros da distribuio de Bernoulli so:

Mdia: 0

0 1t

x

E X xP X x E X q p E X p

Varincia: 22Var X E X E X

em que 2 2 2 0 2 20

0 1t

x

E X x P X x E X q p E X p

logo 2 1Var X p p Var X p q Var X pq

Exemplo: Suponha um local com 50 pessoas sendo 30 do sexo feminino e 20 masculino. Seleciona-se uma

pessoa desse local. Seja X: nmero de pessoas do sexo masculino.

a) Montar a funo de probabilidade b) Calcular E(X) e Var (X)

Distribuio Binomial

uma generalizao da Bernoulli a mais importante das distribuies tericas de probabilidade para variveis discretas apropriada nas experincia onde ocorre somente duas situaes ( sucesso ou fracasso) Exemplos de experimentos binomias: lanamento de moeda; aquisio de um produto; defeito de

equipamento; opinio sim ou no, etc..

Um experimento se enquadra como um experimento binomial se as seguintes condies so satisfeitas:

1. A varivel discreta 2. Em cada experimento ocorre apenas o sucesso (p) ou fracasso (q) 3. Os experimentos repetidos so independentes 4. A probabilidade do sucesso (p) permanece constante de experimento para experimento 5. Um nmero fixo de n experincias so realizadas

Em resumo temos:

Notao X~b(n,p)

Funo de probabilidade binomial

,x x n xnP X x C p q para x n

em que: n o nmero de experincias; p a probabilidade do sucesso e q= 1 - p a probabilidade do

fracasso;

!

! !

xn

nC

n x x

E X np 2Var X npq

Exemplo 1. Sabe-se que, em uma certa regio, 60% dos municpios possuem usinas de reciclagem de lixo.

Cinco cidades so selecionadas nesta regio.

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a) Verifique se este experimento se enquadra como binomial

b) Construa a funo de probabilidade para o nmero de cidades com usinas de reciclagem

c) Calcule a probabilidade de: i) que exatamente 3 cidades tenham usinas; ii) no mximo 1 tenha usina

d) Determinar o nmero esperado e o desvio padro.

Exemplo 2. Um industrial fabrica peas das quais 1/5 so defeituosas. Dois compradores A e B

classificaram as partidas adquiridas em categoria I e II, pagando R$1,20 e R$0,80, respectivamente do

seguinte modo:

Comprador A: retira uma amostra de 5 peas; se encontrar mais que uma defeituosa classifica como II

Comprador B:retira uma amostra de 10 peas; se encontrar mais que duas defeituosas classifica como II.

Em mdia, qual comprador oferece maior lucro?

Distribuio de Poisson

Adequada s s ituaes onde se deseja saber o nmero de sucessos (v. a. discreta) no domnio

contnuo.

Exemplos de experimentos Poisson so: nmero de ocorrncias por ms; nmero de veculos por

hora; nmero de defeitos/ m2; etc..

A Poisson tem aplicao tambm nos casos em que os parmetros n e p da distribuio binomial

dificultam o clculo por esta distribuio. (Eventos raros)

Geralmente adota-se que, quando n >50 e p< 0,10 na distribuio binomial, pode-se utilizar a

Poisson para realizar o clculo aproximado de probabilidade. Neste caso a media da Poisson ser: = = n.p

Notao: X ~ Po () Funo de probabilidade

!

x

P X x ex

com X = 0, 1, 2, ....

Media e varincia da Poisson

E X 2Var X Exemplos de Aplicao 1) Em momentos de pico, a chegada de avies a um aeroporto se d segundo um modelo Poisson com taxa

de 1 por minuto.

a) Determinar a probabilidade de 3 chegadas em um minuto qualquer do horrio de pico.

b) Se o aeroporto pode atender a 2 avies por minuto, qual a probabilidade de haver avies sem atendimento

imediato?

c) Previses indicam que para o prximo ano o trfego neste aeroporto deve dobrar, enquanto que sua

capacidade poder ser aumentada em 50%. Como ficar a probabilidade de espera?

2) Engenheiros de uma Cia Telefnica estudam se o modelo Poisson se ajusta ao nmero de chamadas

interestaduais, que chegam por hora, a uma central telefnica, durante o perodo noturno. Os dados a seguir

referem-se a 650 perodos de uma hora:

Chamadas 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Freq Obs 9 38 71 115 125 106 79 50 57

Verificar se a Poisson poder ser utilizada para se fazer clculos de probabilidades para esta varivel. (Obs:

verificao apenas visual)

3) Estima-se que 5% de um produto fabricado pela industria X apresente defeitos. Um comerciante adquire

um lote de 500 unidades desse produto.

a) Qual a probabilidade se ter no mximo 20 unidades defeituosas?

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b) Se ele adquirir 60 unidades, qual a probabilidade de se ter exatamente 5 defeituosas?