Apostila Do Curso de Probabilidade e Processos estocásticos

8/17/2019 Apostila Do Curso de Probabilidade e Processos estocásticos

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CURSO DE PROBABILIDADE E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

Capítulo I - Conceitos Básicos da Teoria da Probabilidade

1.1 - Espaço Amostral (S) :

É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

1.2 - Evento :É um conjunto composto de resultados possíveis de um experimento aleatório

pertencentes ao espaço amostral.Eventos especiais: Evento certo (S) ; Evento impossível (∅) e Evento elementar {si}.

1.3 - Medida de Probabilidade

1.3.1- Frequência Relativa.

Considere um experimento aleatório repetido n vezes, onde nA representa o número

de vezes que o evento A, de interesse para este experimento, ocorre nas n repetições doexperimento.

Denomina-se de freqüência relativa de ocorrência do evento A (f A) a relação:f A = nA / n

1.3.2 - Definição de Probabilidade

- Definição Clássica:Considerando-se que os resultados possíveis de um experimento aleatório, pertencentes

ao espaço amostral, são igualmente prováveis de ocorrer, então a probabilidade deocorrência de um evento A, definido para o experimento aleatório, é dada por:

P(A) = NA / N onde:

NA - é o número de resultados favoráveis (pertencentes) ao evento A.N - é o número total de resultados possíveis ou pertencentes ao espaço amostral.

- Definição de Freqüência Relativa:

P(A) = lim f A = lim nA / nn→ ∞ n→ ∞

desta forma deduz-se que para se obter a probabilidade de ocorrência do evento A é

necessário repetir o experimento infinitas vezes.- Definição Axiomática:a) 0 ≤ P(A) ≤ 1b) P(S) = 1

c) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, isto é, A∩B = ø então:P(AUB ) = P(A) + P(B)

d) Se A1, A2, ..., An , .... são, dois a dois, eventos mutuamente exclusivos, então:∞ ∞

P(U Ai) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) + ... = ∑ P(Ai )i = 1 i = 1


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1.4 – Propriedades da Probabilidade

a) Se φ é o evento impossível (vazio ou nulo ), então: P(φ) = 0_

b) Se A é o evento complementar do evento A, então:

_P(A) = 1 - P(A)

c) Se A e B são eventos quaisquer, então:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

d) Se A ⊂ B então P(A) ≤ P(B)

1.5 - Probabilidade Marginal

Sejam A1 , A2, ..., An n eventos mutuamente exclusivos entre si, e associados a umespaço amostral S, onde: U ni =1 Ai = S. Diz-se, neste caso, que os eventos Ai`s constituemuma Partição do espaço amostral S.

Seja B um evento também associado ao espaço amostral S, que ocorre conjuntamente(possui interseção) com um e somente um dos eventos A i.B = B ∩ S = B ∩ ( U ni =1 Ai ) = (B ∩ A1) U (B ∩ A2) U . . . U (B ∩ An)B = (U

ni =1 Ai∩ B), então

P[B] = ∑n i =1 P[Ai∩ B] , a qual é chamada de Probabilidade Marginal

1.6 - Probabilidade Condicional

Ex. 1- Considere o experimento aleatório que consiste na retirada aleatória de doiscomponentes de um lote formado de 10 componentes defeituosos e 40 não defeituosos. Paraeste experimento são definidos os seguintes eventos:A = {O primeiro componente retirado é defeituoso}.B = {O segundo componente retirado é defeituoso}.

Determine a probabilidade dos eventos A e B considerando que os componentes sãoretirados sem reposição.

Solução:a) P(A) = 10/50 P(B) = 9/49 ( Se A ocorreu ) ou P(B) = 10/49 ( Se A não ocorreu )

Agora os eventos são redefinidos:

A = {O primeiro componente retirado é perfeito}.B = {O segundo componente retirado é defeituoso}.Determine a probabilidade dos eventos A e B considerando que os componentes são

retirados sem reposição.Solução:

b) P(A) = 40/50 P(B) = 10/49 ( Se A ocorreu ) ou P(B) = 9/49 ( Se A não ocorreu )

O que pode-se concluir desses resultados é que a probabilidade de ocorrência doevento B está condicionada a ocorrência anterior do evento A, portanto existe a necessidadede se introduzir o conceito de probabilidade condicional (ou condicionada).


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Sejam A e B eventos associados a um experimento aleatório. Representaremos porP(B/A) a probabilidade condicional do evento B ocorrer dado que o evento A ocorreu.

Ex. 2- Considere o experimento de retirada de duas cartas, uma de cada vez, de um conjunto

formado de quatro cartas numeradas de 1 a 4. Para este experimento são definidos osseguintes eventos:A = {a soma dos números das cartas retiradas é igual a cinco};B = {onúmero da primeira carta retirada é maior do que o número da segunda carta retirada}.

Determine as probabilidades P(A) , P(B) e P(B/A).Solução:Espaço amostral S:S={(1,2); (1,3); (1,4); (2,3); (2,4); (3,4); (2,1); (3,1); (4,1); (3,2); (4,2); (4,3)}Conjunto dos Eventos A e B:A={(1,4); (2,3); (4,1); (3,2)}B={(2,1); (3,1); (4,1); (3,2); (4,2); (4,3)}

Cálculo das probabilidades:P(A) = 4/12 = 1/3P(B) = 6/12 = 1/2P(B/A) = 2/4

Observe que para a obtenção de P(B/A) foi utilizado o conjunto do evento A, umavez que a ocorrência do evento B está condicionada a ocorrência anterior do evento A.Essencialmente P(B/A) representa a probabilidade da ocorrência do evento B naquelesresultados em que A tenha ocorrido.

Calculemos agora a probabilidade da interseção dos eventos A e B, P(AB) e arazão entre as probabilidades P(AB) / P(A).P(AB) = 2/12 (obtido de S).P(AB) / P(A) = (2/12) / (4/12) = 2/4

Podemos observar que a razão acima apresentou um resultado igual aprobabilidade P(B/A). Portanto, intuitivamente, podemos concluir que P(B/A)= P(AB)/P(A).

Essa solução para P(B/A) = P(AB)/P(A) apesar de obtida, especificamente, parao exemplo estudado, é uma solução geral que pode ser interpretada pelo uso do conceito defreqüência relativa.

Suponhamos que um experimento aleatório é repetido n vezes, onde:nA - é o número de vezes que o evento A ocorre nas n repetições;nAB- é o número de vezes que o evento AB (interseção dos eventos) ocorre nas n repetições;f A = nA /n - é a freqüência relativa do evento A;

f AB = nAB /n - é a freqüência relativa do evento AB; enAB /nA - é a freqüência relativa do evento B condicionada a ocorrência anterior do evento A,ou seja, a ocorrência de B naqueles resultados em que A tenha ocorrido.

Podemos escrever então que:nAB /nA = (nAB /n) / (nA /n) ⇒ nAB /nA = f AB /f A

Como os termos da equação acima representam freqüências relativas é óbvio que sen, o número de repetições do experimento, tender ao infinito, essas freqüências relativasserão a probabilidade dos eventos que elas representam e poderemos escrever então que:P(B/A) = lim [f AB / f A] ⇒ P(B/A) = P(AB) /P(A).

n→ ∞


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1.7 - Probabilidade total.

Dá-se o nome de probabilidade total à probabilidade marginal computada com o uso daprobabilidade condicional, onde a ocorrência do evento B está condicionada a ocorrênciaanterior do evento Ai.

P[B] = ∑n i =1 P[Ai . B]Como:P[B / Ai ] = P[Ai. B ] / P[Ai ] ⇒ P[Ai. B ] = P[B / Ai ] P[Ai ]Então:P[B] = ∑n i =1 P[B / Ai ] P[Ai ]

1.8- Independência de EventosDois eventos, A e B, são estatisticamente independentes se a ocorrência anterior de um

deles não influenciar a ocorrência posterior do outro.P[A/B] = P[A] e P[B/A] = P[B]P[A.B] = P[A/B] P[B] = P[B/A] P[A] ⇒ P[A.B] = P[A] P[B]

1.9 - Teorema de Bayes

Considere que os eventos A1, A2, . . ., An constituem uma partição do espaço amostral S,onde P[Ai] > 0.

Seja B um evento que ocorre conjuntamente com um e somente um dos eventos A i.Deseja-se determinar a probabilidade de ocorrência de um dos eventos Ai dado que o eventoB ocorreu.

P[Ai / B] = P[Ai.B] / P[B]

P[B] = ∑n i =1 P[B / Ai ] P[Ai ] – probabilidade total

Como P[Ai.B] = P[B / Ai ] P[Ai ], tem-se então que:

P[Ai / B] = {P[B / Ai ] P[Ai ]} / ∑ n j =1 P[B / Aj ]. P[Aj ]


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Ex 1.1.1- Um experimento aleatório consiste na retirada de duas cartas, ao mesmo tempo, deum conjunto de 4 cartas composta de um Ás, um Rei, um Valete e uma Dama. Determine oespaço amostral desse experimento.

Ex 1.1.2- Uma moeda é lançada duas vezes. Determine um espaço amostral.

Ex 1.2.1- Um experimento aleatório consiste na retirada de uma carta de um conjunto de 4cartas numeradas de 1 a 4. Determine o conjunto do evento, sabendo-se que o evento édefinido como sendo a retirada de uma carta par ou uma carta impar.

Ex 1.2.2- Para o exemplo anterior, o evento é definido como sendo a retirada de uma cartapar.

Ex 1.2.3 - Um dado é lançado uma vez. O evento E é definido como sendo o aparecimentodo número sete na face superior do dado. Determine E .

Ex 1.3.2.1- Com os dígitos 1, 4, 7, 8, e 9 são formados números de 3 algarismos distintos.Um deles é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade dele ser ímpar?

Ex 1.3.2.2- Um dado não viciado é lançado uma única vez. Qual é a probabilidade deaparecer um número par na sua face superior?

Ex 1.5.1- Testes de qualidade foram realizados nos circuitos integrados produzidos pordiversos fabricantes, tendo-se obtido os seguintes resultados em relação aos defeitosencontrados:

Fabricantes Classe de Defeitos Total

Nenhum ( N ) Sério ( S ) Crítico ( C )

F1 50 15 20 85F2 30 5 15 50F3 20 10 5 35Total 100 30 40 170

Qual é a probabilidade de que um circuito integrado, selecionado aleatoriamente dos 170não apresente defeito? Apresente defeito sério e seja produzido por F1.

Ex. 1.6.1- Suponha que em uma loja existam 20 microcomputadores, conforme mostra a

tabela abaixo. Alguns micros possuem 120Gbytes (120G) de memória rígida, enquantooutros possuem 80Gbytes (80G). Alguns micros têm monitor de 15 polegadas (M15) eoutros têm monitor de 17 polegadas (M17).Um cliente entra na loja e escolhe,aleatoriamente, um micro e observa na ficha técnica do equipamento que o mesmo possuium monitor de 15 polegadas. Qual é a probabilidade de que este micro possua 120 Gbytesde memória rígida.

120G 80G TotalM15 8 6 14M17 2 4 6Total 10 10 20


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Ex. 1.7.1- Uma caixa contém 2.000 componentes, dos quais 5% são defeituosos. Umasegunda caixa contém 500 componentes, dos quais 10% são defeituosos. Seleciona-se,aleatoriamente, uma das caixas e retira-se dela um componente. Qual é a probabilidade docomponente ser defeituoso? Dado que o componente é defeituoso, qual a probabilidade da

segunda caixa ter sido selecionada?

Ex. 1.8.1- Considere o lançamento de dois dados não viciados. Os eventos A e B sãodefinidos da seguinte maneira:A = {O primeiro dado mostra um número par};B = {O segundo dado mostra um número impar}Verifique se os eventos são independentes.

Ex. 1.9.1- Um canal de comunicação binário é um sistema de transmissão onde os dadossão transmitidos na forma de 0 e 1. Por causa do ruído um 0 transmitido é algumas vezesrecebido como 1 e um 1 transmitido é algumas vezes recebido como 0. Assuma que para

um certo canal de comunicação binário a probabilidade de que um 0 transmitido sejarecebido como 0 é de 0,95 e a probabilidade de um 1 transmitido seja recebido como 1 é de0,9. Também assuma que a probabilidade de um zero ser transmitido é de 0,4. Ache:a) A probabilidade de que um 1 seja recebido?;b) A probabilidade de que um 1 é transmitido dado que um 1 é recebido?


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Capítulo II - Variáveis Aleatórias

2.1 - Conceito de Variável Aleatória.Os resultados obtidos em um experimento aleatório são especificados no espaço amostral S.Para cada resultado s ∈ S será associado um número real X(s), através de uma regra X

denominada de variável aleatória. Portanto X é uma função cujo domínio é o espaçoamostral S e o contradomínio é o conjunto RX composto pelos números X(s).

S RX

X X: S Rx s X(s)

s

Domínio Contradomínio

X(s1) e X(s2) são os valores que a variável aleatória X assume.

2.2 - Probabilidade associada à Variável AleatóriaDeterminar a probabilidade da v.a. assumir um certo valor X(s), ou seja, P[X= X(s)]

2.3 - Variáveis aleatórias Discretas e Contínuas.

2.3.1- Variável Aleatória Discreta.Se o contradomínio RX da v.a. X é composto de um número finito ou infinito

numerável de valores, ou seja, de números discretos, então a v.a. é denominada de discreta.

2.3.2- Variável Aleatória Contínua.Se o contradomínio RX da v.a. é um intervalo ou uma coleção de intervalos, sendo

estes formados por um número infinito não numerável de valores, então a v.a. é denominadade contínua.

2.4 - Função Densidade de Probabilidade e Função Distribuição de Probabilidade.

2.4.1- Função Densidade de Probabilidade para uma v.a. Discreta ou Função Massa deProbabilidade.

Denomina-se de função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variávelaleatória discreta X ou função massa de probabilidade (f.m.p.) para a função p(xi) = P[X=xi], que representa a probabilidade da v.a. X assumir um determinado valor x i e que satisfazas seguintes condições:

a) p(xi ) ≥ 0 ; ∀ xi∞

b) ∑ p( xi ) = 1.xi = -∞

2.4.2 - Função Distribuição de Probabilidade para uma Variável Aleatória Discreta.

s1

s2

X (s1)

X (s2)


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De uma forma geral, denomina-se de função distribuição de probabilidade de uma variávelaleatória X para a função F(x) = P[ X≤ x ] com -∞ ≤ x ≤ ∞.Para uma variável aleatória discreta X a função distribuição de probabilidade assume aforma:

xF(x) = ∑ p(xi)

xi = -∞ e que representa a probabilidade da variável aleatória discreta X assumir um valor menor ouigual a x.

2.4.3- Função Densidade de Probabilidade para uma Variável Aleatória Contínua.A função representada por f(x) é definida como sendo a função densidade de

probabilidade de uma variável aleatória contínua se ela satisfaz as seguintes condições:

a) f(x) ≥ 0 ; ∀ x ∈ RX ∞

b) ∫ f(x) dx = 1-∞

2.4.4- Função Distribuição de Probabilidade para uma Variável Aleatória Contínua.Se f(x) é uma função densidade de probabilidade, então a função:

xF(x) = ∫ f(x) dx

-∞ é denominada de função distribuição de probabilidade da variável aleatória contínua X.

2.4.5- Propriedades da Função Distribuição de Probabilidade,

a) F(x) é não decrescente, isto é, se x1 ≤ x2, então F(x1) ≤ F(x2);

b) lim F(x) = F(-∞) = 0;x→ -∞

c) lim F(x) = F(∞) = 1x→ ∞

d) dF(x) /dx = f(x):

e) F(x) é contínua a direita, isto é, F(x+) = F(x) , onde:F(x+) = lim F(x + ε )

ε →0ε > 0

Cálculo de Probabilidade: ba) Para um intervalo [a,b] a P[a ≤ X ≤ b] = ∫ f(x)dx = F(b) – F(a) ; onde a


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2.5 - Funções Densidade e Distribuição de algumas variáveis aleatórias Importantes

São funções previamente conhecidas e utilizadas para descrever o comportamentoprobabilístico de certos fenômenos aleatórios.

2.5.1- Variável Aleatória Discreta.

2.5.1.1 –Variável Aleatória Binomial - B(n,p)

a) Características:a.1) O experimento aleatório é repetido n vezes (sob as mesmas condições);a.2) O experimento aleatório conduz a somente dois resultados ou eventos;a.3) As n realizações do experimento aleatório são independentes;a.4) A probabilidade do evento de interesse ocorrer permanece constante nas n repetições.

b) Parâmetros que caracterizam a Distribuição Binomial:b.1) p - representa a probabilidade do evento de interesse ocorrer (sucesso);b.2) q - representa a probabilidade do evento de interesse não ocorrer (fracasso);b.3) n - representa o número de vezes que o experimento é repetido;b.4) xi - representa o número de vezes que o evento de interesse ocorre ou o valor que a

variável aleatória pode assumirb.5) p+ q = 1

c) Função Densidade de Probabilidadexi xi n-xi

p(xi ) = C p q → representa a probabilidade do evento den interesse ocorrer xi vezes nas n repetições

d) Função Distribuição de Probabilidadex xi xi n-xi

F(x) = ∑ C p qxi = 0 n

2.5.1.2 – Variável Aleatória de Poisson – P(λ)

Representa uma extensão da distribuição binomial e se aplica quando o número de

vezes que o experimento é repetido é muito grande e a probabilidade do evento de interesseocorrer é muito pequena.a) Parâmetrosa.1) λ - representa um valor médio e é dado por λ = n.pa.2) xi - representa o número de vezes que o evento de interesse ocorre ou o valor quea variável aleatória pode assumir

b) Função Densidade de Probabilidade da v.a. de Poisson-λ xi

p(xi) = e . λ / xi! c) Função Distribuição de Probabilidade


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x -λ xi F(x) = ∑ e λ / xi!

xi = 0

2.5.2 - Variável Aleatória Contínua.

2.5.2.1 – Variável Aleatória Uniforme (Retangular) - U(a,b)

a) Função densidade de probabilidade

f(x) = { 0 ; x


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x -u/ λ F(x) = ∫ (1/ λ) e du = 1 – e –x/ λ ; x ≥ 0

0

2.6 - Variável Aleatória Bidimensional

2.6.1 - Conceito.Seja S o espaço amostral associado a um experimento aleatório. Se X e Y são duas

funções que atribuem a cada resultado s ∈ S um número real X(s) e Y(s), respectivamente,então o par (X,Y) será denominado de variável aleatória bidimensional

S RXY

(X,Y)

ss

Domínio Contradomínio

[X(s1),Y(s

1)] e [X(s

2),Y(s

2)] são os valores que a variável aleatória bidimensional (X,Y)

assume para os resultados s1 e s2 pertencentes a S, respectivamente.

2.6.2 - Probabilidade associada a Variável Aleatória bidimensional.Objetivo é determinar P[ X=X(s), Y= Y(s)], ou seja, a probabilidade da V. A. X

assumir o valor X(s) e a V. A. Y assumir o valor Y(s).

2.6.3 - Variáveis aleatórias bidimensionais Discretas e Contínuas.

Se RXY é composto de números discretos, então a V. A. será discreta. Se RXY é composto denúmeros contínuos , então a V. A. será do tipo contínua.

2.7 - Função Densidade de Probabilidade Conjunta e Função Distribuição de ProbabilidadeConjunta para uma variável aleatória bidimensional.

2.7.1- Função Densidade de Probabilidade Conjunta para uma V.A. bidimensional Discreta.

É uma função definida por p(xi, yJ) = P[X= xi , Y= yJ] e que satisfaz as seguintes condições:

a) p(xi, yJ) ≥ 0 ∀ xi ,yJ∈ RXY

s1

s2

[X(s1),Y(s1)]

[X(s2),Y(s2)]


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∞ ∞ b) ∑ ∑ p(xi, yJ) = 1

yJ= - ∞ xi= - ∞

2.7.2 - Função Distribuição de Probabilidade Conjunta para uma variável aleatória

bidimensional Discreta.De uma forma geral denomina-se de função distribuição de probabilidade conjunta

para a função F(x,y) = P[X ≤ x,Y ≤ y].Para uma variável aleatória bidimensional discreta tem-se que;

y xF(x,y) = ∑ ∑ p(xi , yJ)

yJ= - ∞ xi = - ∞

2.8 - Função Densidade de Probabilidade Conjunta e Função Distribuição de ProbabilidadeConjunta para uma variável aleatória bidimensional Contínua.

2.8.1- Função densidade de probabilidade conjunta.Chama-se de função densidade de probabilidade conjunta para a função representada

por f(x,y) e que satisfaz as seguintes condições:

a) f (x,y) ≥ 0 ; ∀ x,y ∈ RXY ;∞ ∞

b) ∫ ∫ f (x,y) dx dy = 1-∞ -∞

2.8.2- Função Distribuição de Probabilidade Conjunta.

Se a função f (x,y) é uma função densidade de probabilidade conjunta, então afunção representada por

y xF(x,y)= ∫ ∫ f(x,y) dx dy é denominada de função distribuição

-∞ -∞ de probabilidade conjunta

2.8.3 - Propriedades da Função Distribuição de Probabilidade Conjunta.

a) F(-∞,-∞) = 0; b) F(-∞ , y) = 0; c) F(x,- ∞) = 0;d) F(∞,y) = FY(y)→ função distribuição de probabilidade marginal da variável aleatória Y;e) F(x,∞) = FX(x)→ função distribuição de probabilidade marginal da variável aleatória X;f) F(∞ , ∞ ) = 1g) f(x ,y ) = ∂ 2 F(x,y) / ∂X ∂Y

2.9 - Função Densidade de Probabilidade Marginal e Função Distribuição de ProbabilidadeMarginal.


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A variável aleatória Bidimensional (X,Y) é composta de duas variáveis aleatóriasunidimensionais X e Y. Se estivermos interessados em estudar as características de apenasuma das variáveis aleatórias que compõem a variável aleatória bidimensional, então ascaracterísticas desta variável aleatória são denominadas de marginais. Para tanto é necessário

que nenhuma restrição seja imposta com relação aos valores que a outra variável aleatóriapossa assumir

2.9.1- Função Densidade de Probabilidade Marginal para uma Variável Aleatória Discreta

É a função designada por pX(xi) = P[X=xi , sem nenhuma restrição sobre a v. a. y]. Av. a. Y pode assumir todos os valores desde -∞ até +∞, ou seja:pX(xi) = P[X=xi ,Y=y1;ou X=xi , Y=y2 ; ou ...]

∞ ∞ pX(xi) = ∑ P[X=xi ,Y=yJ]→ pX(xi) = ∑ p(xi , yJ)

yJ= -∞ yJ= -∞

2.9.2- Função Distribuição de Probabilidade Marginal para uma Variável Aleatória Discreta.

É a função representada por:FX (x) = P[X ≤ x, sem nenhuma restrição sobre a V. A. Y]FX (x) = P[X ≤ x, Y≤ ∞] = F(x, ∞)

x ∞ xFX (x) = ∑ ∑ p(xi, yJ) → FX (x) = ∑ pX (xi)

xi= -∞ yJ = - ∞ xi= -∞

2.9.3- Função Densidade de Probabilidade Marginal para uma Variável Aleatória Contínua.

Por analogia com a função densidade de probabilidade Marginal obtida para umavariável aleatória discreta, tem-se que a função densidade de probabilidade marginal parauma variável aleatória contínua é dada por:

∞ f X(x) = ∫ f(x,y) dy

-∞

2.9.4- Função Distribuição de Probabilidade Marginal para uma Variável AleatóriaContínua.

Sabe-se que F(x,∞) = FX(x) representa a função distribuição de probabilidademarginal da V. A. X, então:

x ∞ xFX (x) = ∫ ∫ f(u,y) dydu → FX (x) = ∫ f X (u)du

- ∞ - ∞ - ∞


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2.10 - Função Densidade de Probabilidade Condicional e Função Distribuição deProbabilidade Condicional.

2.10.1 - Função Densidade de Probabilidade Condicional para uma Variável AleatóriaDiscreta.

Sabe-se que P[A/B] = P[AB] / P[B] .Se A ={ X=xi } representa o evento a v. a. X assumir o valor xi e B = {Y= yJ } representao evento a v. a. Y assumir o valor yJ. Então tem-se que:P[ X= xi / Y= yJ] = P[X= xi , Y= yJ] / P[Y= yJ] , representa a probabilidade da variávelaleatória X assumir um valor x i dado que a variável aleatória Y assumiu um valor yJ, quepode ser expressa pela equação:pX/Y(xi /yJ) = p(xi ,yJ) / pY(yJ) que é a função densidade de probabilidade condicional parauma variável aleatória discreta.

2.10.2 - Função Distribuição de Probabilidade Condicional para uma Variável Aleatória

Discreta.Esta função representa a probabilidade da variável aleatória X assumir um valor

menor ou igual a x dado que a variável aleatória Y assumiu um determinado valor yJ. Então:x

FX/Y (x/yJ) = P[X ≤ x / Y= yJ] ⇒ FX/Y (x/yJ) = ∑ pX/Y (xi /yJ)xi= -∞

2.10.3 - Função Densidade de Probabilidade Condicional para uma Variável AleatóriaContínua.

É a função representada por f X/Y (x/y) e por analogia com a função densidade deprobabilidade para uma variável aleatória discreta tem-se que:f X/Y (x/y) = f (x,y) / f Y(y)

2.10.4 - Função Distribuição de Probabilidade Condicional para uma Variável AleatóriaContínua.

Esta função pode ser representada por FX/Y (x / y) ou FX/Y (x /Y ≤ y) e pode serinterpretada de duas formas, tendo os seguintes significados:

a) FX/Y (x / y) = P[X ≤ x / Y= y] , ou seja, a probabilidade da variável aleatória X assumir

um valor menor ou igual a x dado que a variável aleatória Y assumiu um valor igual a y. poranalogia com a função distribuição de probabilidade para uma variável aleatória discreta temque:

∞ FX/Y (x / y) = ∫ f(x,y) dx / f Y(y)

- ∞

b) FX/Y (x / Y≤ y) = P[X ≤ x / Y ≤ y] , ou seja, a probabilidade da variável aleatória Xassumir um valor menor ou igual a x dado que a variável aleatória Y assumiu um valormenor ou igual a y.


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FX/Y (x / Y≤ y) = P[X ≤ x, Y ≤ y] / P[Y ≤ y]

FX/Y (x / Y≤ y) = F(x,y) / FY(y)

x y y

FX/Y (x / Y≤ y) = ∫ ∫ f(u,v) dvdu / ∫ f Y(v) dv- ∞ - ∞ - ∞

2.11 - Variáveis Aleatórias Independentes

Do capítulo I sabe-se que P[A.B] = P[A].P[B] para que os eventos A e B sejamindependentes.

2.11.1 - Independência de Variáveis Aleatórias Discretas

a) Em relação a Função Densidade de Probabilidade.

p(xi , yJ) = P[X = xi, Y = yJ] ⇒ p(xi , yJ) = P[X = xi] P[ Y = yJ]

p(xi , yJ) = pX(xi). pY(yJ)

b) Em Relação a Função Distribuição de Probabilidade

P[X ≤ x ,Y≤ y]= P[X ≤ x] .P[Y≤ y]

F(x,y) = FX(x). FY(y)

2.11.2- Independência de Variáveis Aleatórias Contínuas

a) Em relação a Função Densidade de Probabilidade.

Por analogia com o caso discreto tem-se que:

f(x,y) = f X(x) f Y(y)

b) Em Relação a Função Distribuição de Probabilidade.

Por analogia com o caso discreto tem-se que:

P[X ≤ x ,Y≤ y] = P[X ≤ x]. P[Y≤ y]

F(x,y) = FX(x). FY(y)


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Ex 2.1.1- Duas cartas são retiradas ao mesmo tempo, de um conjunto formado pelas cartasde número 1, 2, 3 e 6. Para este experimento aleatório a variável aleatória X representa oproduto dos números que as cartas retiradas mostram. Faça a representação esquemática

desta variável aleatória e obtenha o seu contradomínio RX.

Ex 2.2.1- Determine a probabilidade da variável aleatória X, definida no exemplo anterior,assumir os valores 2 e 6.

Ex 2.4.2.1- Um experimento aleatório consiste na retirada aleatória de duas bolas, ao mesmotempo, de uma urna contendo três bolas azuis e duas vermelhas. Para este experimento édefinida a variável aleatória X como sendo o número de bolas azuis retiradas. Determine afunção densidade de probabilidade de X.

Ex 2.4.2.2- Para o experimento aleatório acima referido, determine a probabilidade da

variável aleatória X assumir os seguintes valores:a){ x > 1} ; b) {0


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Ex 2.5.2.3.1- Em um experimento aleatório verificou-se que a variável aleatória Y, associadaao experimento, segue uma distribuição exponencial com parâmetro igual a 1/20. Determinea probabilidade desta variável aleatória assumir valores entre 10 e 20, ou seja, P[10≤ Y≤ 20].

Ex 2.6.1.1- Um experimento aleatório consiste na retirada de duas cartas, ao mesmo tempo,de um conjunto formado pelas cartas 1 , 2 , 3 e 6. Define-se para este experimento asseguintes variáveis aleatórias: X - representa o produto dos números que as cartas retiradasapresentam; Y - representa a soma dos números que as cartas retiradas apresentam.Determine o contradomínio da v.a. bidimensional (X,Y)

Ex 2.6.2.1- Para o exemplo visto anteriormente, determine as seguintes probabilidades:a) P[ X= 2, Y= 3] ; b) P[X= 6,Y=7] ; c) P[X= 6, Y=3]

Ex 2.7.1.1- Considere o experimento de retirada de duas bolas de uma urna contendo 4 bolasazuis e 3 bolas vermelhas. Para esse experimento aleatório são definidas as seguintes

variáveis aleatórias: X é o número de bolas azuis retiradas; Y é o número de bolas vermelhasretiradas. Determine a função densidade de probabilidade conjunta de (X,Y).

Ex 2.7.2.1- Para o exemplo anterior determine as seguintes probabilidades:a) P[ X ≤ 2, Y ≤ 1] ; b) P[X ≤ 3,Y ≤ 3]

Ex 2.8.1.1- Determine o valor da constante a para que a função dada abaixo represente umafunção densidade de probabilidade conjunta.f(x,y) = { a [x2 + (xy / 3)] ; 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ 2

{ 0 ; para outros x e y

Ex 2.8.2.1- Considerando-se o exemplo anterior e o valor de a obtido, determineP[ X≤ 1/2 , Y≤ 1]

Ex 2.8.2.2- Determine a função distribuição de probabilidade conjunta para a variávelaleatória que apresenta a função densidade de probabilidade dada no exemplo 2.8.1.1.

Ex 2.9.1.1- Para um experimento aleatório, onde obteve-se a seguinte tabela, na qual estãorepresentados os valores da função densidade de probabilidade conjunta da v.a. (X,Y),determine pY (4);

xi y j 3 10 12

4 0,17 0,13 0,255 0,1 0,3 0,05

Ex 2.9.2.1- Para o exemplo anterior determine FX (10).


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Ex 2.9.3.1- Sabendo-se que a função densidade de probabilidade conjunta f(x,y) é dada por:f(x,y) = { x2 + (xy)/3 ; 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ 2

{ 0 ; para outros valores de x e yDetermine a função densidade de probabilidade marginal para as variáveis aleatórias X e Y.

Ex 2.9.4.1- Para o exemplo anterior determine a função distribuição de probabilidademarginal para as variáveis aleatórias X e Y.

Ex 2.10.1.1- Duas linhas de produção fabricam um certo tipo de peça. Suponha que emqualquer dia a capacidade de produção seja de 4 peças na linha I e de 2 peças na linha II.Admita que o número de peças realmente produzidas, em qualquer linha, seja uma variávelaleatória e que (X,Y) represente a variável aleatória bidimensional que fornece o número depeças produzidas pelas linhas I e II, respectivamente. A tabela abaixo apresenta a funçãodensidade de probabilidade conjunta de (X,Y). Determine pX/Y (xi / 2) .

xiy j

0 1 2 3 4

0 0 0,01 0,03 0,05 0,161 0,01 0,02 0.04 0,05 0,142 0,02 0,05 0,09 0,11 0,22

Ex 2.10.2.1- Para o exemplo anterior determine FX/Y (4 / 2).

Ex 2.10.3.1- Se a função densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y

é dada por:f(x,y) = { (x + y) / 3 ; 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ 2{ 0 ; para outros intervalos de x e y

determine a função densidade de probabilidade condicional f X/Y (x / y);

Ex 2.10.4.1- Para o exemplo anterior determine FX/Y (x / y) = P[X ≤ x / Y= y]

Ex 2.11.2.1- Verifique se as variáveis aleatórias X e Y são independentes , sabendo-se que afunção densidade de probabilidade conjunta é dada por:

- y

f(x,y) = { (1/2) e ; 0 ≤ x ≤ 2 , y ≥ 0{ 0 ; para outros intervalos

Capítulo III – Valores Esperados


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3.1- Valor médio ou Média de uma Variável Aleatória.Representa a média aritmética ponderada dos valores que a variável aleatória assume,

tendo como peso a função densidade de probabilidade.

3.1.1- Valor médio para uma Variável Aleatória Discreta.

∞ E[X] = µ X = ∑ xi p(xi)xi= -∞

3.1.2- Valor médio para uma Variável Aleatória Contínua.Por analogia com a equação anterior tem-se que:

∞ E[X] = µX = ∫ x f(x) dx

-∞

3.2 – Momento.É o valor médio dos valores que a variável aleatória assume elevados a uma potência r.

3.2.1- Momento para uma v. a. Discreta∞

E[ Xr ] = mr = ∑ xir p(xi)

xi = - ∞

3.2.2 - Momento para uma v. a. Contínua.∞

E[Xr] = mr = ∫ xr f(x) dx

-∞

3.3 - Momento Central.

É o valor médio do desvio em relação a média da v. a. elevado a uma potência r.O desvio da média é a diferença entre os valores que a V. A. assume e a sua média, isto

é, (xi-µX) ou (x-µX) para o caso de uma v. a. discreta ou contínua, respectivamente.

3.3.1- Momento Central para uma v. a. Discreta.∞

E[ (X-µX)r ] = mcr = ∑ (xi-µX) r p(xi)xi = - ∞

3.3.2- Momento Central para uma v. a. Contínua.∞

E[ (X-µX)r ] = mcr = ∫ (x-µX) r f(x) dx- ∞

3.4 Variância.


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É definida como sendo o segundo momento central da variável aleatória, ou seja,Var[X] = σx2 = E[(X-µx)2]

3.4.1- Variância para uma Variável Aleatória Discreta.∞

σx2 = ∑ (xi-µX)2 p(xi)xi = - ∞

3.4.2- Variância para uma Variável Aleatória Contínua.∞

σx2 = ∫ (x-µX) 2 f(x) dx- ∞

Obs. A variância é uma medida de dispersão da variável aleatória e terá um valor grande(será mais dispersa) quanto mais distante da média µX, a variável aleatória assumir valorescom grandes probabilidades e terá um valor pequeno (será menos dispersa ou maisconcentrada) quanto mais próximo da média a variável aleatória assumir valores comgrandes probabilidades.

3.4.3- Propriedades da Variância.

a) Var[ k X] = k2 Var[X] = k2 σx2

b) Se X1, X2 , ... , Xn são v.a’s. independentes, então:Var[X1+X2 + ... + Xn] = Var[X1]+Var[X2]+...+ Var[Xn]

c) Var[X] = σx2 = E[X2] - µx2

3.5- Desvio Padrão.___σx = + √ σx2

3.6 - Propriedades do Valor Esperado.

a) Se k é uma constante, então E[k]= k;b) E[k X] = k E[X];c) E[X1 + X2] = E[X1] + E[X2];

n nd) E[ ∑ ki Xi] = ∑ ki E[ Xi];

i=1 i=1e) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então:

E[XY] = E[X] E[Y];

3.7- Covariância e Coeficiente de Correlação.


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3.7.1- CovariânciaÉ a variância entre duas variáveis aleatórias e representa o valor médio do produto

dos desvios das médias das variáveis aleatórias.σXY = E[(X-µX) (Y-µY)] ⇒ σXY = E[XY] - µX µY

3.7.2- Coeficiente de Correlação.É o parâmetro que mede o grau de linearidade entre duas variáveis aleatórias ou a

dependência linear entre elas.ρXY = σXY / σXσY , onde: σX é o desvio padrão da v. a. X;

σY é o desvio padrão da v. a. Y;e -1 ≤ ρXY≤ 1

valores de ρXY próximos a ±1 indicam alto grau de linearidadevalores de ρXY próximos a 0 indicam falta de linearidadeρXY positivo indica que Y cresce com valores crescentes de X

ρXY negativo indica que Y decresce com valores crescentes de X.3.8 - Esperança Condicional.

É o valor médio dos valores que a variável aleatória X assume dado que a variávelaleatória Y assumiu um determinado valor a priori.3.8.1- Esperança Condicional para Variável Aleatória Discreta

∞ E[X/Y= yJ ] = ∑ xi pX/Y(xi /yJ)

xi = -∞

3.8.2-Esperança Condicional para variável aleatória contínua

∞ E[X/Y= yJ ] = ∫ x f X/Y(x/y)dx-∞

3.9 – Função Geratriz de Momentos.

Suponha que g(X) seja uma variável, função de uma variável aleatória X complexa,através da expressão g(X) = e jωX. Denomina-se de função geratriz de momentos ao valormédio de g(X), isto é, ϕX (ω) = E[e jωX].

3.9.1 – Função Geratriz de Momentos para uma variável aleatória Discreta.

∞ ϕX (ω) = ∑ e jωxi p(xi)

xi = - ∞

3.9.2 – Função Geratriz de Momentos para uma variável aleatória Contínua.∞

ϕX (ω) = ∫ e jωx f(x) dx- ∞

3.9.3 – Aplicação da Função Geratriz de Momentos no Cálculo de Momentos.


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Expandindo-se ϕX(ω) em uma série de potências, mais precisamente, na série deMclaurin, tem-se:

ϕX (ω) = α0 + α1 ω + α2 ω2 + . . . + αn ωk ( I )

Os coeficientes podem ser obtidos da seguinte maneira:

α0 = ϕX (ω)ω =0 α1 = dϕX (ω) / dωω =0 α2 = (1/ 2! ) d2ϕX (ω) / dω2ω =0

αk = (1/ k! ) d kϕX (ω) / dωkω =0

Expandindo-se na série de Mclaurin o termo e jωX tem-se:

e jωx = 1 + j ω x + (j ω x)2 / 2! + . . . + (j ω x)k / k!

Usando-se o termo e jωx expandido na série de Mclaurin obtém-se :∞

ϕX (ω) = E[e jωX] = ∫ [1 + j ω x + (j ω x)2 / 2! + . . . + (j ω x)k / k! ] f(x) dx- ∞

∞ ∞ ∞ ∞ ϕX (ω) = ∫ f(x)dx + ∫ j ω x f(x) dx + ∫ [(j ω x)2 / 2! ] f(x) dx + ∫ [(j ω x)k / k! ] f(x) dx

- ∞ - ∞ - ∞ - ∞

ϕX (ω) = 1 + j ω E[X] + (j2 ω2 / 2!) E[X2 ]+ . . . + (jk ωk / k!) E[Xk ] ( II )

Comparando-se as equações I e II, tem-se:

α0 = 1

α1 = j E[X] ⇒ E[X] = α1 / j

α2 = j2 E[X2] / 2! ⇒ E[X2] = 2! α2 / j2

αk = jk E[Xk] / k! ⇒ E[Xk] = k! αk / jk

A última expressão, E[Xk] = k! αk / jk , possibilita o cálculo do k-ésimo momento deuma variável aleatória X a partir do conhecimento da sua função característica.


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Ex 3.1.2.1- Determine o valor médio da variável aleatória X que apresenta a seguinte funçãodensidade de probabilidade:f(x) = { 2x 0 ≤ x ≤ 1

{ 0 para outros valores de x

Ex 3.2.1.1- Determine o 2º momento da v. a. X que representa o número da face superiorde um dado em um único lançamento.

Ex 3.3.1.1- Determine para o exemplo anterior o 2º momento central da v. a. X .

Ex 3.4.1.1- A variável aleatória Y = 2X, onde X é uma variável aleatória que apresenta aseguinte função densidade de probabilidade:

xi 2 3 4p(xi) 1/4 1/2 1/4

Determine a variância da variável aleatória de Y.

Ex 3.4.2.1- Determine a variância de uma variável aleatória uniformemente distribuída entre0 e 4.

Ex 3.7.2.1- Suponha que a variável aleatória Y esteja relacionada com a variável aleatória Xpela expressão Y = -3X/2, onde a v. a. X é uniformemente distribuída entre 0 e 2. Determineo coeficiente de correlação.

Ex 3.8.2.1- Se a função densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é

dada por:f(x,y) = { (x + y) / 3 0≤ x ≤ 1 ; 0≤ y ≤ 2

{ 0 para outros valores de x e y

determine o valor médio condicional E[X / Y=1].

Ex. 3.9.1 – Ache a função geratriz de momentos da variável aleatória X uniformementedistribuída entre 0 e 2. Use a função geratriz de momentos para calcular o 2º momento davariável aleatória X.


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Capítulo IV - Função de Variável Aleatória.

Supor que tem-se uma variável Y como função da variável aleatória X, isto é,

Y = g(X), então Y é , também, uma variável aleatória.Objetivo - Determinar a função densidade de probabilidade da variável aleatória Y, dada afunção densidade de probabilidade da variável aleatória X.

4.1- Função de Variável Aleatória para Variável Aleatória Discreta.O procedimento adotado para determinar a função densidade de probabilidade da

variável aleatória Y, que é função da variável aleatória X, será mostrado através de umexemplo ( Ex. 4.1.1.).

4.2- Função de Variável Aleatória para Variável Aleatória Contínua.Como a variável Y está relacionada com a variável aleatória X e este relacionamento é

representado por Y=g(X), estudaremos diversos tipos de expressões para g(x).

4.2.1- g(X) é uma função crescente.

y

yo = g(xo)

y1 = g(x1)

x1 = g-1(y1) xo = g

-1(yo) x

P[Y ≤ yo] = P[X ≤ xo]

f(y) = f[g -1(y)] dg -1(y)/dy


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4.2.2- g(X) é uma função decrescente

y

yo = g(xo)

x1 = g-1(y1)

xo = g-1(yo) x

y1 = g(x1)

P[Y ≤ yo ] = P[X ≥ xo]

f(y) = f[g -1(y)] dg -1(y)/dy

4.2.3- g(X) é uma função mista


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y

b

a

x1 x2 x3 x4 x

P[a ≤ Y≤ b]=P[x1≤ X ≤ x2] +P[x3 ≤ X ≤ x4]para um valor de y entre a e b a função densidade de probabilidade é:f(y) = f[g1

-1(y) ] dg1-1(y)/dy+ f[ g2

-1(y)] dg2-1(y)/dy

onde: g1-1(y) é a inversa de g(x) aplicada entre x1 e x2

g2-1(y) é a inversa de g(x) aplicada entre x3 e x4

4.2.4- g(X) é uma função ‘jump’ (salto).

y

b

a

x1 x

P[a


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y

k

a b x

P[Y= k] = P[a ≤ X ≤ b]b

P[Y= k] = ∫ f(x)dxa

4.3 - Soma de Duas Variáveis Aleatórias.

Considere a variável Y como sendo função de duas variáveis aleatórias através dasoma, ou seja, Y = X1 + X2, onde as variáveis aleatórias são independentes. O nossoobjetivo é determinar a função densidade de probabilidade da variável aleatória Y.

4.3.1- Soma de Duas Variáveis Aleatórias Discretas.

O procedimento adotado para obter-se a função densidade de probabilidade davariável aleatória Y será visto através de um exemplo (Ex. 4.3.1.1 ).

∞ p(yJ) = ∑ pX1(xi) pX2 (yJ -xi ) ( soma de convolução)

xi = -∞

4.3.2- Soma de Duas Variáveis Aleatórias Contínuas

Por analogia com o caso discreto tem-se que:∞ ∞

f(y) = ∫ f X1(x1) f X2(y-x1) dx1 = ∫ f X2(x2) f X1(y-x2) dx2 -∞ -∞ Esta integral recebe o nome de integral de convolução e f(y) pode ser representada

pela operação de convolução entre as funções f X1(x1) e f X2 (x2), ou seja, f(y) = f X1(x1) * f X2(x2) ou f(y) = f X2(x2) * f X1(x1), devido esta operação ser comutativa.


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4.3.2.1- Análise Gráfica da função f X2(y-x1).

Seja f X2(x2) = { x2 /2 0 ≤ x2 ≤ 2

{ 0 para outros x2

substituindo-se o argumento x2 por x1 tem-se:

f X2(x1) = { x1 /2 0 ≤ x1 ≤ 2{ 0 c.c.

substituindo-se o argumento x1 por - x1 tem-se:

f X2(-x1) = { -x1 /2 0 ≤ -x ≤ 2 ⇒ -2 ≤ x1 ≤ 0{ 0 c.c.

substituindo-se o argumento -x1 por (y - x1), atribuindo-se para y um valor, por exemplo,igual a 1, tem-se:

f X2(1-x1) = {(1-x1)/2 0≤ 1-x1≤ 2 ⇒ -1≤ -x1 ≤ 1 ⇒ -1≤ x1 ≤ 1{ 0 c.c.

4.3.2.2- Procedimento para Resolver a Convolução.

1) Determinar o intervalo de variação de y.

2) Faça os gráficos das funções f X1(x1) e f X2(-x1).

3) Plote em um único gráfico as funções f X1(x1) e f X2(y-x1) atribuindo para y o menor valordo intervalo obtido no ítem 1.

4) Resolva a integral de convolução considerando os limites de integração inferior esuperior, Li e Ls, respectivamente. Em seguida determine estes limites observando nográfico do ítem 3 se o produto das funções é diferente de zero.

5) Desloque a função f X2(y-x1), atribuindo para y um valor contido no intervalo obtido no

ítem 1, sempre observando quando dois extremos das funções f X1(x1) e a função deslocadase tocam. Então plote em um único gráfico as duas funções e resolva a integral deconvolução, considerando os limites de integração inferior e superior, Li e Ls,respectivamente. Então determine estes limites, observando no gráfico se o produto dasfunções é diferente de zero.

6) Repita o ítem 5 até que y tenha assumido todos os valores existentes dentro do intervaloobtido no ítem 1.

Ex 4.1.1- Uma urna contém 4 bolas numeradas de 1 a 4. O experimento consiste em retirar-se uma bola da urna. A variável aleatória X representa o número que a bola retirada


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apresenta. Determine a função densidade de probabilidade da variável Y que estárelacionada a variável aleatória X pela expressão Y = 2X + 1.

Ex 4.2.1- A função densidade de probabilidade da variável aleatória X é dada por: f(x) = e-x para x ≥0 e zero para outros valores de x. Sabe-se que Y é uma variável função de X através

da expressão Y = 2X - 2. Determine a função densidade de probabilidade da variável Y.

Ex 4.2.2- A função densidade de probabilidade da variável aleatória X é dada por:f(x) = ax 0 ≤ x ≤ 4 e zero para outros x.Determine f(y), sabendo-se que Y está relacionada com a V. A. X pela expressãoY={ (X-2)2 para 1 ≤ x ≤ 4

{ 1 para 0≤ x ≤ 1

Ex. 4.3.1.1- Considere a existência de duas urnas. Na urna 1 existem três bolas numeradasde 1 a 3, enquanto na urna 2 existem duas bolas numeradas, 4 e 5. O experimento aleatórioconsiste na retirada de uma bola de cada urna. A variável aleatória X1 representa o valor quea bola retirada da urna 1 apresenta, enquanto a variável aleatória X2 representa o valor que abola retirada da urna 2 apresenta.. Determine a função densidade de probabilidade davariável aleatória Y que é função de X1 e X2 através da soma Y = X1 + X2

Ex. 4.3.3.1- Determine a função densidade de probabilidade da variável aleatória Y = X1 +X2, onde X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes e apresentam as seguintes funçõesdensidades de probabilidade:f X1(x1) = { 1 0 ≤ x1≤ 1 f X2 (x2)= { x2 /2 0


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Capítulo IV- Processos Estocásticos (Aleatórios)

5.1 - Conceito.

Suponha que seja realizado um experimento aleatório cujo resultado compõe o espaçoamostral S, onde a probabilidade de ocorrência de cada evento s é conhecida. Para cadaresultado ou evento s é atribuída uma função do tempo X(t,s) real. Então, teremos criadouma família de funções, a qual denominaremos de processo aleatório ou estocástico.

Um processo aleatório pode ser visto como uma função de duas variáveis, t e s, ondeo domínio de s é o espaço amostral S e o domínio de t é o conjunto dos números reais.

5.2 - Interpretações de X(t).Um processo aleatório pode ser interpretado, dando-se quatro diferentes significações:

a) Uma família de funções do tempo (um processo aleatório propriamente dito) - quando t es são variáveis.

b) Uma função do tempo (função amostra) - quando t é variável e s constante (fixo).c) Uma variável aleatória - quando t constante (fixo) e s variável.d) Um número - quando t e s são constantes.

5.3- Classificação dos Processos Aleatórios.

Dependendo dos valores que t e s assumam, isto é, se são contínuos ou discretos, osprocessos aleatórios classificam-se em:a) Processo aleatório contínuo - quando t e s são contínuos.b) Processo aleatório discreto - quando t é contínuo e s é discreto.c) Seqüência aleatória contínua - quando t é discreto e s é contínua.d) Seqüência aleatória discreta - quando t e s são discretos.

5.4 - Estatísticas de Primeira e Segunda Ordens.

5.4.1 - Função distribuição de probabilidade de primeira ordem do processo aleatório X(t).

É a função que define a probabilidade do processo aleatório X(t) assumir um valormenor ou igual a x em um determinado tempo t e é representada por F(x, t) =P[X(t)≤ x].

5.4.2- Função densidade de probabilidade de primeira ordem do processo aleatório X(t).

é representada por f(x,t) = ∂ F(x,t) / ∂ x5.4.3- Função distribuição de probabilidade de segunda ordem do processo aleatório X(t).

É a função que define a probabilidade do processo aleatório X(t) assumir valoresmenores ou iguais a x1 e x2 em dois instantes de tempo t1 e t2, respectivamente, e érepresentada por : F(x1, x2 ; t1, t2) = P[ X(t1) ≤ x1 , X(t2) ≤ x2].

5.4.4 - Função densidade de probabilidade de segunda ordem do processo aleatório X(t).é representada por f(x1,x2;t1,t2) = ∂ 2F(x1, x2 ;t1,t2) / ∂x1∂x2.


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5.5 - Momentos de um Processo Aleatório X(t).

5.5.1-Momento ou valor médio de um processo aleatório X(t).

∞ E[X(t)] = µX(t) = ∫ x f(x,t) dx-∞

onde f(x,t) tem que ser obtida de conformidade com o visto no capítulo anterior.∞

E[X(t)] = µX(t) = ∫ X(t) f(λ) dλ -∞

onde f(λ) é a função densidade de probabilidade da variável aleatóri contida no processoaleatório.

5.5.2- Função Auto-Correlação de um Processo AleatórioÉ o momento conjunto das variáveis aleatórias X(t1) e X(t2) e é representado por:

∞ RXX(t1, t2) = E[X(t1) X(t2)] = ∫ X(t1) X(t2) f(λ) dλ

-∞ onde f(λ) é a função densidade de probabilidade da variável aleatória contida no processoaleatório.

∞ RXX(t1, t2) = E[X(t1) X(t2)] = ∫ x1 x2 f(x1,x2; t1, t2) dx1 dx2

-∞ onde f(x1,x2; t1, t2) é a função densidade de 2

a ordem de X(t)

5.5.3 - Auto-covariância de X(t).

É a covariância das variáveis aleatórias X(t1) e X(t2), e é obtida pelo uso da equação:CXX(t1, t2) = E{[ X(t1) - µX(t1)] [ X(t2) - µ X(t2)]}

CXX(t1, t2) = RXX(t1, t2) - µX(t1) µX(t2)

5.5.4 – Variância de um processo aleatório X(t)

A variância de um processo aleatório X(t) é o segundo momento central do processo eé obtido pela equação:σ2X(t) = E[X(t)2] - [µ X(t)]2

Fazendo-se t1 = t2 = t, então a auto-correlação de X(t) é dada por:RXX(t, t) = E[X(t) X(t)] = E[X(t)

2] , então tem-se que:

σ2X(t) = RXX(t, t) - [µ X(t)]2

5.5.5 – Desvio Padrão do Processo Aleatório X(t)._______ __________________


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σX(t) = = √ σ2X(t) = √ RXX(t, t) - [µ X(t)]2

5.6 - Processo Aleatório Estacionário

Um processo aleatório é dito estacionário se suas propriedades estatísticas ( valormédio, momentos, variância, etc.) - relacionadas a função densidade de probabilidade doprocesso - não mudam com o tempo.

Um processo aleatório estacionário pode ser definido em dois sentidos: o sentidoamplo e o sentido estrito.

5.6.1- Processo Aleatório Estacionário no Sentido Estrito.Um processo aleatório é estacionário no sentido estrito se é satisfeita a seguinte

condição:f(x1,x2, . . .,xn;t1,t2, . . .,tn) = f(x1,x2, . . .,xn ;t1+ε,t2+ε, . . .,tn+ε) , ou seja, a função densidadeprobabilidade de n-ésima ordem do processo aleatório independe do tempo, onde ε é oacréscimo de tempo dado.

5.6.2 - Estacionariedade de Primeira Ordem.Restringindo a estacionariedade no sentido estrito para a função densidade de

probabilidade de primeira ordem, tem-se que:f(x; t1) = f(x; t1 + ε) = f(x) , pois independe do tempo e uma conseqüência é que: E[ X(t) ] =µX = constante.

Para um processo aleatório X(t) tem-se que:∞

E[ X(t1)] = ∫ x f(x, t1) dx-∞ ∞

E[ X(t1 +ε)] = ∫ x f(x, t1+ε) dx- ∞

para estacionariedade de primeira ordem tem - se que:f(x; t1) = f(x; t1 + ε) , então:E[ X(t1 +ε)] = E[ X(t1)] = cte. , para t e ε arbitrários

5.6.3 - Estacionariedade de segunda ordem.Um processo aleatório para ser estacionário em segunda ordem tem que satisfazer as

seguintes condições:f(x1,x2;t1, t2) = f(x1,x2;t1+ε, t2 +ε) eRXX(t1, t2) = RXX(t1 +ε, t2 +ε) ( 1 ) e a consequência é que:RXX(t1, t2) = E [ X(t1) X(t2)] = RXX(τ ) , onde τ = t2 - t1.fazendo-se t = t1 +ε , e substituindo-se em (1) tem-se que:RXX(t1, t2) = RXX(t, t2 + ε) ( 2 ) . Como ε = t - t1 e substituindo-se em (2) obtém-se:RXX(t1,t2) = RXX(t, t2 + t - t1) ( 3 ). Reordenando-se (3) tem-se:RXX(t1,t2) = RXX[(t, t + (t2 - t1) ] , fazendo-se t2 - t1= τ tem-se:


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RXX(t1,t2) = RXX(t, t + τ ) = RXX(τ ) = E[X(t) X(t+τ)], onde τ é denominado de diferença detempo.

5.6.4 - Processo Estacionário no Sentido Amplo.A condição necessária para que um processo aleatório seja considerado estacionário

no sentido amplo é que sejam satisfeitas as condições abaixo:a) E[X(t)] = constante.b) E[X(t) X(t+τ)] = RXX (τ ).

Obs. Se um processo aleatório é estacionário no sentido estrito, então ele será estacionáriono sentido amplo. O contrário nem sempre é verdadeiro.

5.7 - Função Auto-correlação de Processos Aleatórios Estacionários.RXX(τ ) = RXX(t1,t2) = RXX(t1, t1 + τ ), onde τ = t2 - t1

5.7.1 - Propriedades da RXX(τ ).a) RXX(τ ) = RXX(-τ ) - propriedade simétrica;b) RXX(0 ) ≥ 0 , onde para τ = 0 tem-se que:RXX(0 ) = = RXX(t1, t1 ) = E[ X(t1) X(t1)] = E[X

2 (t1)]c) RXX(0 ) ≥ RXX(τ ) d) Se X(t1) e X(t1 + τ) são independentes, então RXX(τ ) = µ2.

5.8 - Média no Tempo

A média no tempo de uma função amostra de um processo aleatório é obtida através daexpressão:

bη(a,b) = η= 1/(b-a) ∫ X(t) dta

A média no tempo η(a,b) = η é uma variável aleatória, pois para diferentes valoresde s (valores que a variável aleatória contida no processo assume) tem-se diferentes funçõesamostras, consequentemente η terá valores diferentes. Com isso, pode-se obter o valormédio da média no tempo, isto é, E[η], ou seja.

bE[η] = E{ [1/(b-a)] ∫ X(t) dt}

ab

E[η] = [1/(b-a)] ∫ E[X(t)] dtab

E[η] = [1/(b-a)] ∫ µX (t) dta

se o processo aleatório é estacionário µX(t) é uma constante igual a µ , então:b

E[η] = [1/(b-a)] ∫ µdt ⇒ E[η] = [1/(b-a)] µ(b-a) = µ a


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5.9 - Processo Aleatório Ergódico ( Ergocidade).

Ergódico é o termo usado para descrever um processo aleatório em que uma únicaamostra deste processo, normalmente propicia informações suficientes para determinar-se aestatística referente ao processo aleatório.

Quando o processo aleatório é ergódico os valores esperados do processo podem sersubstituídos pela média no tempo.

De um modo geral um processo aleatório é ergódico se:T

E{ g[X(t)]} = lim (1/2T) ∫ g[X(t)] dtT→∞ -T

onde as formas de maior interesse para a função g[ X(t)] são as seguintes:g[X(t)] = X(t) e g[X(t)] = X(t) X(t + τ).

5.9.1 - Ergodicidade na Média.Se um processo aleatório é ergódico na média, então a condição abaixo deve ser

satisfeita:T

E[X(t)] = lim (1/2T) ∫ X(t) dt , então:T→ ∞ - T

µX(t) = η( -T, T)Para haver esta igualdade é necessário que µX(t) independa do tempo t, o que significa

que o processo aleatório deve ser estacionário e, consequentemente, µX(t) = µ = cte., e

η( -T, T) deve ser independente da função amostra escolhida, ou seja, η( -T, T) deve ser amesma para qualquer função amostra do processo aleatório, consequentemente η( -T, T)deve ser constante

5.9.2 - Ergodicidade na Auto-correlaçãoSe um processo aleatório é ergódico na auto-correlação, então a condição abaixo deve

ser satisfeita:T

E[X(t)X(t+τ)] = lim (1/2T) ∫ X(t)X(t+τ ) dtT→ ∞ -T

onde o termo E[X(t)X(t+τ)] = RXX(τ) é a auto-correlação de um processo aleatórioestacionário e o termo:

Tlim (1/2T) ∫ X(t)X(t+τ ) dt = RT (τ) é a média no tempo doT→ ∞ -T produto do processo aleatório considerando-se dois instantes

de tempo.

5.10 - Densidade Espectral de Potência.Chama-se densidade espectral de potência para a transformada de Fourier da função

auto-correlação RXX(τ) de um processo aleatório estacionário. Desse modo tem-se que:∞ - jωτ


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ΦXX(ω) = ∫ e RXX(τ) dτ -∞

Achando-se a transformada inversa de Fourier de ΦXX(ω), obtém-se a função auto-correlação, ou seja:

∞ jωτ

RXX(τ) = (1/2π) ∫ e ΦXX(ω) dω -∞

5.10.1- Propriedades da Densidade Espectral de Potência.

1) O valor de ΦXX(ω) em ω= 0 é igual a área total sob o gráfico da função auto-correlação,ou seja:

∞ ΦXX(0) = ∫ RXX(τ) dτ

-∞

2) o segundo momento do processo estacionário no sentido amplo é igual a área total sob ográfico de ΦXX(ω)

∞ RXX(0) = E[ X

2(t)] = ∫ ΦXX(ω) dω -∞

3) A densidade espectral de potência de um processo aleatório no sentido amplo é semprenão negativa,isto é, ΦXX(ω)≥0 ∀ ω

4) A densidade espectral de potência de um processo aleatório real é uma função par da

frequência, isto é, ΦXX(ω) = ΦXX(-ω)

5.10.2 - Significado da Densidade Espectral de Potência.Considerando-se τ = 0 na expressão da transformada inversa de Fourier tem-se:

∞ RXX(0) = E[ X

2(t)] = (1/ 2π) ∫ ΦXX(ω) dω -∞

Portanto, se X(t) é uma corrente através de um resistor de um Ohms, entãoE[X2(t)] é a potência instantânea esperada ser dissipada no resistor. Então a integral deΦXX(ω) é também a potência instantânea dissipada no resistor. Logo ΦXX(ω) é uma

densidade de potência. TSe X(t) é ergódico, E[X2(t)] = lim (1/2T) ∫ X2(t) dtT→∞ -T

então, E[X2(t)] é a potência média dissipada no resistor de um Ohm.


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5. 11 - Processo Aleatório Conjunto.

Considere a existência de dois processo aleatórios X(t) e Y(t), para os quais pode-se definiros seguintes parâmetros:

5.11.1- Função distribuição de Probabilidade conjunta de primeira ordem.F(x1,t1;y2, t2) = P[X(t1) ≤ x1 , Y(t2) ≤ y2].

5.11.2- Função densidade de Probabilidade conjunta de primeira ordem.

f(x1,t1;y2, t2) = ∂2 F(x1,t1;y2, t2) / ∂x1∂y2

5.11.3- Correlação cruzada

RXY(t1,t2) = E[X(t1) Y(t2)]

RYX (t2,t1) = E[Y(t2) X(t1)]

RXY(t1,t2) = RYX (t2,t1)

pela propriedade da função auto-correlação de processos aleatórios estacionários, tem-se que

RXY(-τ) = RYX (τ)

5.12 – Processos Aleatórios Especiais.

5.12.1 – Processo de Poisson

X(t) é um processo aleatório de poisson se uma função amostra deste processosegue uma distribuição de poisson, ou seja, a sua função densidade de probabilidade édada por :

p(xi, t) = P[X(t) = xi] = [ e-λt (λt) xi ] / xi!

A função distribuição de probabilidade é dada por:x

F(x, t) = P[ X(t) ≤ x]= ∑ [ e -λt (λt) xi ] / xi! xi = 0

onde: λ é a taxa média.


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5.12.2 – Processo Gaussiano

Diz-se que X(t) é um processo aleatório gaussiano se uma função amostra desteprocesso segue a distribuição de gaussiana, ou seja, a sua função densidade deprobabilidade é dada por :

___ - (1/2) {[ x - µx(t)] / σx(t)]} 2

f(x,t) = (1/ σx(t) √ 2π ) e

Qualquer conjunto de n variáveis aleatórias, definidas para este processo, constitui um

vetor gaussiano X = [X(t1) X(t2) . . . X(tn)] , sendo a função densidade de probabilidade dovetor aleatório dada por:

_______ ___ - (1/2) [( x - µx)T (Λx)-1 ( x - µx) ]

f(x) = [1/ √ det Λx ( √ 2π ) n ] e

onde:

µx = { E[X(t1)] E[X(t2)] . . . E[X(tn)] }T é o vetor transposto que contém os valores

médios do processo nos instantes t1, t2, . . . , tn , e

Cxx(t1,t1) Cxx(t1,t2) . . .Cxx(t1,tn)

Cxx(t2,t1) Cxx(t2,t2) . . . Cxx(t2,tn)Λx = . . .

. . .

. . .

Cxx(tn,t1) Cxx(tn,t2) . . . Cxx(tn,tn)

Λx é a matriz covariância do processo gaussiano.


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Ex 5.1.1- Um experimento aleatório consiste na conexão de dois geradores G1 e G2 a umacarga. Esta conexão depende do resultado obtido quando se lança uma moeda uma únicavez. Na ocorrência de cara o gerador G1 é conectado na carga, se ocorrer coroa o gerador G2 é conectado. As formas de onda de saída dos geradores são mostradas na figura abaixo. Façaas interpretações para o processo aleatório e classifique-o.

•

•

Ex. 5.5.1.1- Determine a média do processo aleatório X(t) = 2Yt, onde Y é uma variávelaleatória cuja função densidade de probabilidade é dada por: f(y) ={ 2y/3 1≤y≤2

{ 0 p/ outros y

Ex.5.5.2.1- Determine a auto-correlação do processo aleatório X(t) = 2Yt visto noexemplo anterior.

Ex.5.5.2.2- Determine a função auto-correlação do processo aleatório dado porX(t) = Acos(ωt + θ ), onde θ é uma variável aleatória uniforme em (-π, π) , enquanto A e ω são constantes.

Ex 5.5.3.1- Determine a auto-covariância do processo aleatório X(t) = Acos(ωt + θ ), vistoanteriormente.

G1 G2 CARGA


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Ex. 5.6.4.1- Verifique se o processo aleatório X(t) = Acos(ω t + θ ) é estacionário no sentidoamplo.

Ex 5.7.1- Verifique quais das funções abaixo podem representar funções auto-correlações:a) RXX(τ) = 2 e - 2τ b) RXX(τ) = 4 ; c) RXX(τ) = 1- e - τ

Ex 5.9.1- Verifique se o processo aleatório X(t)= Acos (ωt +θ ), já estudado anteriormente,é ergódico na média e na auto-correlação.

Ex 5.10.1- O ruído branco N(t) é um processo aleatório caracterizado por uma densidadeespectral de potência constante dada por:ΦXX(ω) = No / 2 W/Hz. Determine a auto-correlação de N(t),

Ex. 5.12.1 – O número de chamadas em uma central telefônica, que pode ser modelada porum processo de Poisson, apresenta a taxa média de uma chamada a cada quatro segundos.Determine a probabilidade de que o número de chamadas no intervalo de zero a dezsegundos seja maior do que 5 chamadas.

Ex.5.12.2- Um processo aleatório Gaussiano é estacionário com valor médio eauto-correlação dados por:

µX (t) = 1 e RXX(τ) = 2 -τ + 1, determine a probabilidade do processo aleatório, no instantet = 4, assumir valores entre 1 e 3.


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Capítulo VI – Sistemas Lineares e Sinais Aleatórios

6.1 - Revisão de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT).

6.1.1 - Sistema Linear.

Um sistema é dito linear se satisfaz a regra da linearidade. Para tanto considere:a) x1(t) um sinal aplicado na entrada do sistema e y1(t) a resposta do sistema.b) x2(t) um sinal aplicado na entrada do sistema e y2(t) a resposta do sistema.Se x3(t)=a1x1(t) +a2x2(t), que é uma combinação linear dos sinais anteriores, é aplicado na

entrada do sistema e produz a resposta y3(t) =a1y1(t) +a2y2(t), então o sistema é chamadolinear.

6.1.2- Sistema Invariante no tempo

Um sistema é dito invariante no tempo se x(t) produz a saída y(t), então x(t+τ) produz asaída y(t+τ)

6.2 - Resposta de um sistema a um sinal de entrada x(t)

Considerando um sistema linear e invariante no tempo deseja-se obter a resposta destesistema quando na sua entrada é aplicado um sinal x(t).

6.2.1 - Função Impulso ou Delta de Dirac.É uma função singular assim definida:

δ(t) = 0 p/ t ≠ 0b∫ δ(t) dt =1 com a > 0 e b > 0-aPara um impulso ocorrendo em t = a tem-se que:δ(t-a) = 0 p/ t ≠ a

c∫ δ(t-a) dt =1 para b < a < cb∞ ∫ f(t) δ(t-to) dt = f(to)-∞ 6.2.2 - Resposta ao Impulso.

Quando x(t) é um impulso a resposta do sistema a este sinal é y(t) = h(t)

6.2.3 - Resposta a uma sinal x(t) qualquer.


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Para um sinal de entrada x(t) qualquer a resposta do sistema y(t) é dada por:∞

y(t) = ∫ h(τ) x(t-τ) dτ (1)∞

6.3- Análise de Fourier

Consiste na obtenção da resposta do sistema no domínio da frequência. usando-se atransformada de Fourier na equação (1) , tem-se pela propriedade da transformada de fourierque a transformada da convolução é igual ao produto das transformadas das funções queestão sendo convoluidas. Portanto, tem-se que:

Y(ω) = H(ω) X(ω) , onde obtém-se que:

H(ω) = Y(ω) / X(ω) que é denominada de função de transferência do Sistema.

6.3.1 - Função de transferência de um Sistema Linear

Considere uma equação diferencial linear da forma:an y

n(t) + an-1 y(n-1)(t) + ... + aoy(t) = x(t) , onde:

ai , i= 0, 1, ...n são constantes e y(i) é a i-ésima derivada de y(t) em relação a t. Tomando-se a

transformada de Fourier da equação tem-se:[an (jω)n + an-1 (jω)(n-1) + ... + ao] Y(jω) = X(jω)

n

H(jω) = 1/ [ ∑ ai (jω)i

]i=0

6.4 - Processo Aleatório como Entrada de um Sistema Linear Invariante no Tempo.Quando na entrada de um SLIT é aplicado um processo aleatório X(t) a resposta ou

saída do sistema é obtida usando-se a equação:∞

Y(t) = ∫ h(τ) X(t- τ) d τ -∞

6.4.1 - Média ou valor médio da resposta do sistema

∞ Y(t) = ∫ h(τ) X(t- τ) d τ

-∞ ∞

E[Y(t)] = E[ ∫ h(τ) X(t- τ) d τ]-∞ ∞

E[Y(t)] = ∫ h(τ) E[ X(t- τ)] d τ -∞

Assumindo-se que X(t) é um processo aleatório estacionário tem-se que:


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E[ X(t- τ)] = E[X(t)] = cte = µX ∞

E[Y(t)] = E[ X(t- τ)] ∫ h(τ)d τ -∞

E[Y(t)] = µX H(0) = µX (1/ao)

6.4.2 - Correlação Cruzada

RXY (t1,t2) = E[X(t1) Y(t2)] = RYX(t2,t1) = E[Y(t2)X(t1)]RXY(τ) = E[X(t + τ) Y(t)]RXY(-τ) = RYX(τ) ∞ RXY(τ) = E[X(t + τ) Y(t)] = E[X(t+τ) ∫ h(λ) X(t-λ)]dλ

∞ -∞ RXY(τ)= ∫ E[ X(t+τ) X(t-λ)] h(λ)dλ

-∞ ∞

RXY(τ)= ∫ RXX(τ+λ) h(λ)dλ - ∞ ∞

RXY(-τ) = RYX(τ) = ∫ RXX(λ-τ) h(λ)dλ (eq.1)-∞

como RXX(τ) = RXX(-τ) tem-se que :∞

RXY(-τ) = RYX(τ) = ∫ RXX(τ-λ) h(λ)dλ -∞

Como a transformada direta de Fourier da convolução no domínio do tempo corresponde, nodomínio da frequência, a multiplicação da transformada de Fourier das funções que estãosendo convoluidas, tem-se que :ΦXY(-ω) = ΦYX(ω) = ΦXX(ω) H(ω)

6.4.3- Auto-correlação da SaídaRYY(τ) = E[Y(t+ τ) Y(t)]

∞ RYY(τ) = E[ Y(t+ τ) ∫ h(α) X(t-α)dα]

-∞

∞ RYY(τ) = ∫ E[ Y(t+ τ) X(t-α) ] h(α) dα -∞

como E[ Y(t+ τ) X(t-α) ] = RYX(τ +α) , tem-se que:∞

RYY(τ)=∫ RYX(τ +α) h(α) dα -∞

∞ RYX(τ +α) = ∫ RXX(λ -τ -α ) h (λ) dλ

-∞


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∞ RYY(τ)=∫∫ RXX(λ -τ -α ) h (λ) dλ h(α) dα

-∞ Achando-se a transformada de Fourier tem-se que:ΦYY(ω) = ΦXX(ω ) H(ω)2

6.5 - Sistema com Duas Entradas.

Um sistema com duas entradas é modelado da seguinte maneira:z(to) = g[ x(to) , y(to)]

Dentre os sistemas com duas entradas faremos referência aquele cuja resposta é umacombinação linear dos sinais de entrada, isto é , se X(t) e Y(t) são os processos aleatóriosaplicados nas entradas do sistema, então a resposta será dada por:Z(t) = X(t) + Y(t)

6.5.1 - Média de Z(t)

µZ(t) = E[Z(t)] = E[ X(t) + Y(t)] ⇒ µZ(t) = µX(t) + µY(t)

6.5.2 - Auto-correlação de Z(t)

RZZ(t1,t2) = E{[X(t1) + Y(t1) ] [X(t2) + Y(t2) ] }RZZ(t1,t2)=E[X(t1)X(t2) + X(t1)Y(t2) +Y(t1)X(t2) + Y(t1)Y(t2) ]RZZ(t1,t2) = RXX(t1,t2) + RXY(t1,t2) + RYX(t1,t2) + RYY(t1,t2)

Se X(t) e Y(t) são processos aleatórios independentes e µX(t) = 0 ou µY(t) = 0

então:RZZ(t1,t2) = RXX(t1,t2) + RYY(t1,t2)Se X(t) e Y(t) são estacionários, então:RZZ(τ) = RXX(τ) + RXY(τ) + RYX(τ) + RYY(τ)


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Ex 6.1.1.1- Verifique se um circuito diferenciador, que é caracterizado pela relação y =dx/dt, é linear.

Ex 6.3.1.1- Considerando-se o circuito abaixo, determine a sua função de transferência.

X(t) Y(t)

X(t) e Y(t) são sinais de tensão

Ex 6.4.1- Determine a resposta do sistema formado pelo um circuito LR do exemploanterior, sabendo-se que na sua entrada é aplicada uma tensão que é o processo aleatórioX(t) = Ae-t u(t) , onde A é uma variável aleatória com função densidade de probabilidadedada uniforme entre 0 e 2.

Ex 6.4.1.1- Determine o valor médio da resposta do sistema do exemplo anterior.

Ex. 6.5.1- Um sinal recebido X(t) é a soma de um sinal de informação S(t) e um ruído N(t).Se ambos possuem média zero e são independentes com RSS(τ)=e -5τ eRNN(τ)= (sen 1000τ) / τ , determine o valor médio e a auto-correlação de X(t).

L

R


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FORMULÁRIO - CAPÍTULO In n

P[A] = NA / N - @ P[BJ ] = ∑ P[ Ai . BJ ] @ P[BJ ] = ∑ P[ BJ / Ai ] P[ Ai ]definição clássica de i=1 i=1probabilidade probabilidade marginal probabilidade total-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

nP[A/B]=P[A.B]/ P[B] @ P[Ai /B]={P[B/Ai }P[Ai ]}/ ∑ P[B/Ai ]P[Ai ] @ P[A.B]= P[A]P[B]Probabilidade i=1 Independência decondicional Teorema de Bayes eventos-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FORMULÁRIO - CAPÍTULO IIx x

p(xi ) = P [ X= xi ] @ F(x) = ∑ p(xi) @ f(x) = dF(x) / dx @ F(x) = ∫ f(x) dxfunção densidade xi = - ∞ função densidade -∞ de probabilidade função distribuição de de probabilidade função distribuição deV.A.D. probabilidade V.A.D. V.A.C. probabilidade V.A.C.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

xi xi n-xi -λ xi p(xi ) = C P Q @ p(xi ) = e λ / xi ! @ f(x) = { 1 / (b-a ) a


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F(x,y) = ∫ ∫ f(x,y) dy dx @ pX (x) = Σ p(xi, yJ ) @ f X (x) = ∫ f(x,y) dy-∞ - ∞ yJ= - ∞ -∞

Função distribuição de proba- função densidade de proba- função densidade de pro-lidade conjunta V.A.C. bilidade marginal V.A.D. babilidade marginalV.A.C.

x xFX(x) = Σ pX (xi ) @ FX (x) = ∫ f X (x) dx @ pX / Y (xi , YJ ) = p(xi , yJ ) / pY (yJ)

xi= -∞ -∞ Função distribuição de Função distribuição de Função densidade deprobabilidadeprobab. marginal V.A.D. probab. Marginal V.A.C. condicional V. A. D.

xf X / Y (x / y) = f (x,y) / f Y (y ) @ FX / Y ( x / yJ) = Σ pX /Y (xi / yJ )

função densidade de probabilidade xi = -∞ condicional V. A. C. Função distribuição de probabilidadecondicional V. A. D.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------x

FX / Y ( x / y) = P [X ≤ x / Y= yJ ] = ∫ f X / Y ( x / y ) dx-∞

Função distribuição de probabilidade condicional V. A. C.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x y yFX /Y ( x / y ) = P[ X ≤ x / Y≤ y ] = [ ∫ ∫ f(x,y) dy dx ] / [ ∫ f Y ( y ) dy ]

-∞ -∞ -∞ Função distribuição de probabilidade condicional para V. A. C.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

p(xi , yJ) = pX(xi) pY (yJ) @ f(x,y) = f X (x) f Y (y) @ F(x , y ) = FX ( x ) FY ( y )

Independência de V`s A`s Discretas e Contínuas Independência de V`s A`s Discretasem relação a função densidade de probabilidade e Contínuas em relação a funçãodis

tribuição de probabilidade


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FORMULÁRIO – CAPÍTULO III ∞

E[X] = µX = ∑ xi p(xi) Valor médio V. A. Discretaxi= -∞ ∞

E[X] = µX = ∫ x f(x) dx Valor médio V. A. Continua-∞

∞ E[ Xr ] = mr = ∑ xi

r p(xi) Momento de ordem r p/ V. A. Discretaxi = - ∞

∞ E[Xr] = mr = ∫ x

r f(x) dx Momento de ordem r p/ V. A.Contínua-∞

∞ E[ (X-µX)r ] = mcr = ∑ (xi-µX) r p(xi) Momento Central de ordem r p/ V.A. Discreta

xi = - ∞ ∞

E[ (X-µX)r ] = mcr = ∫ (x-µX) r f(x) dx Momento Central de ordem r p/ V. A. Contínua- ∞

∞ σx2 = ∑ (xi-µX)2 p(xi) Variância para uma Variável Aleatória Discreta

xi = - ∞

∞

σx2

= ∫ (x-µX) 2

f(x) dx Variância para uma Variável Aleatória Contínua- ∞

Var[X] = σx2 = E[(X-µx)2] Variância forma geral____

σx = √ σx2 Desvio Padrão

σXY = E[XY] - µX µY Covariância

ρXY = σXY / σXσY Coeficiente de correlação


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∞ E[X/Y= yJ ] = ∑ xi pX/Y(xi /yJ) Valor médio Condicional para Variável AleatóriaDiscreta

xi = -∞

∞ E[X/Y= yJ ] = ∫ x f X/Y(x/y) dx Esperança Condicional para Variável Aleatória contínua

-∞

∞ ϕX (ω) = ∑ e jωxi p(xi) Função característica para uma variável aleatória discreta

xi = - ∞

∞

ϕX (ω) = ∫ e jωx

f(x) dx Função característica para uma variável aleatória contínua- ∞

ϕX (ω) = α0 + α1 ω + α2 ω2 + . . . + αn ωk expansão de ϕX (ω) na série de Mclaurin

α0 = ϕX (ω)ω =0 determinação do coeficiente α0

αk = (1/ k! ) dkϕX (ω) / dωkω =0 determinação dos coeficientes αk , com k= 1,2,...

E[Xk] = k! αk / jk determinação do k-ésimo momento da variável aleatória X

FORMULÁRIO - CAPÍTULO IV

f(y) = f[ g-1(y)] dg-1(y)/dy Função de variável aleatória p/ relacionamento crescentee

decrescenteb

P[Y=k] = ∫ f(x) dx Função de variável aleatória p/ relacionamento constantea∞

p(yJ) = ∑ pX1(xi) pX2 (yJ -xi ) Soma de variáveis aleatórias discretasxi = -∞

∞ ∞ f(y) = ∫ f X1(x1) f X2(y-x1) dx1 = ∫ f X2(x2) f X1(y-x2) dx2 Convolução

-∞ -∞


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FORMULÁRIO – CAPÍTULO V

F(x, t) = P[X(t) ≤ x] f(x,t) = ∂ F(x,t) / ∂ xFunção distribuição de probabilidade de 1ª ordem Função densidade de probabilidade

de 1ª ordem

F(x1, x2 ; t1, t2) = P[ X(t1) ≤ x1 , X(t2) ≤ x2] f(x1,x2;t1,t2) = ∂ 2F(x1, x2 ;t1,t2) / ∂x1∂x2.Função distribuição de probabilidade de 2ª ordem Função densidade de probabilidade de

2ª ordem

∞ ∞ E[X(t)] =µX(t) = ∫ x f(x,t) dx E[X(t)]=µX(t) = ∫ X(t) f(λ) dλ

- ∞ - ∞ Valor médio do processo aleatório X(t)

________________________________________________________________________________∞

RXX(t1, t2) =E[X(t1) X(t2)] = ∫ X(t1) X(t2) f(λ) dλ -∞

Auto-correlação do processo aleatório X(t)________________________________________________________________________________

∞ RXX(t1, t2) = ∫ x1 x2 f(x1,x2; t1, t2) dx1 dx2 RXX(τ ) = RXX(t, t + τ ) = E[X(t) X(t+τ)]

-∞ Auto-correlação do processo aleatório X(t) Auto-correlação p/ um processo

aleatório estacionário________________________________________________________________________________CXX(t1, t2) =E{[X(t1) -µX(t1)][X(t2) -µ X(t2)]} CXX(t1, t2) = RXX(t1, t2) -µX(t1)µX(t2) σ2X ( t) =E[X 2(t)]-[µ X(t)]2

Covariância do processo aleatório X(t) Covariância do processo aleatório X(t) Variância deX(t)

T T Tη(-T,T) = η= lim (1/2T) ∫ X(t) dt E[η]= lim (1/2T) ∫ µX (t) dt E[X(t)]= lim (1/2T) ∫ X(t) dt

T→ ∞ -T T→ ∞ -T T → ∞ -TMédia no tempo do processo X(t) / Valor médio da média no tempo / Ergodicidade na média deX(t)________________________________________________________________________________

T ∞ - jωτ ∞ jωτ E[X(t)X(t+τ)]=lim (1/2T)∫ X (t)X(t+τ )dt ΦXX(ω)= ∫ e RXX(τ)dτ RXX(τ) = (1/2π) ∫ e ΦXX(ω) dω

T→ ∞ - T -∞ -∞ Ergodicidade na auto-correlação Densidade Espectral de potência Auto-correlação de X(t)

RXY(t1,t2) = E[X(t1) Y(t2)] = RYX (t2,t1) = E[Y(t2) X(t1)] Correlação cruzada

p(xi, t) = P[X(t) = xi] = [ e-λt (λt) xi ] / xi! Função densidade de probabilidade do

processo de Poisson__________________________________________________________________________


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xF(x, t) = P[ X(t) ≤ x]= ∑ [ e - λt (λt) xi ] / xi! Função distribuição de probabilidade do

xi = 0 processo de Poisson

onde: λ é a taxa média.

________________________________________________________________________

- (1/2) {[ x - µx(t)] / σx(t)]} 2

f(x,t) = (1/ σx(t) √ 2π ) eFunção densidade de probabilidade de um processo aleatório Gaussiano

_________________________________________________________________________

_______ ___ - (1/2) [( x - µx)T (Λx)-1 ( x - µx) ]

f(x) = [1/ √ det Λx ( √ 2π ) n ] e

Função densidade de probabilidade de um processo aleatório Gaussiano vetorial_________________________________________________________________________

µx = { E[X(t1)] E[X(t2)] . . . E[X(tn)] }T é o vetor transposto que contém os valoresmédios do processo aleatório Gaussiano__________________________________________________________________________

Cxx(t1,t1) Cxx(t1,t2) . . .Cxx(t1,tn)

Cxx(t2,t1) Cxx(t2,t2) . . . Cxx(t2,tn)Λx = . . .. . . Matriz covariância do processo

aleatório Gaussiano vetorial. . .

Cxx(tn,t1) Cxx(tn,t2) . . . Cxx(tn,tn)

FORMULÁRIO – CAPÍTULO VI

∞ nY(t) = ∫ h(τ) X(t- τ) d τ H(ω) = Y(ω) / X(ω) H(ω) = 1/ [ ∑ ai (jω)i ]-∞ i=0

Resposta de um sistema a um processo de entrada X(t) Função de transferência de um sistema________________________________________________________________________________________

∞ ∞ E[Y(t)] = ∫ h(τ) E[ X(t- τ)] d τ RXY(-τ) = RYX(τ) = ∫ h(λ) RXX(τ-λ)dλ ΦXY(-ω) = ΦYX(ω) = ΦXX(ω) H(ω)

-∞ - ∞ valor médio da resposta do Correlação cruzada entre o processo de Densidade espectral de potênciasistema Y(t) entrada X(t) e a resposta Y(t) cruzada________________________________________________________________________________________

∞ ∞


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RYY(τ)=∫ ∫ RXX(λ -τ -α ) h (λ) dλ h(α) dα ΦYY(ω) = ΦXX(ω ) H(ω)2 -∞ -∞

Auto-correlação da resposta do sistema Y(t) Densidade espectral de potência da resposta Y(t)________________________________________________________________________________________µZ(t) = µX(t) + µY(t) RZZ(t1,t2) = RXX(t1,t2) + RXY(t1,t2) + RYX(t1,t2) + RYY(t1,t2)

Valor médio da resposta do sistema da Auto-correlação da resposta do sistema da

forma Z(t)=X(t)+Y(t) forma Z(t)=X(t)+Y(t)

Apostila Do Curso de Probabilidade e Processos estocásticos

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