Apostila Do Sistema UTM

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TRANSPORTES LABORATÓRIO DE TOPOGRAFIA E GEODÉSIA SISTEMA U T M Prof. Dr. Jorge P. Cintra São Paulo, 2003 Copyright© 1997 - 2003 - EPUSP – PTR - LTG

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  • ESCOLA POLITCNICA DA UNIVERSIDADE DE SO PAULO

    DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TRANSPORTES LABORATRIO DE TOPOGRAFIA E GEODSIA

    SISTEMA U T M

    PPrrooff.. DDrr.. JJoorrggee PP.. CCiinnttrraa SSoo PPaauulloo,, 22000033

    CCooppyyrriigghhtt 11999977 -- 22000033 -- EEPPUUSSPP PPTTRR -- LLTTGG

  • SS UU MM RR II OO

    pg Sumrio i Apresentao iii CAPTULO I - GEODSIA E GEOMETRIA DO ELIPSIDE 1

    1.1. Geodsia 1 1.2. Forma da Terra, Geide, Elipside 2 1.3. Elipside de referncia 3 1.4. Elipside no Brasil 6 1.5. Elementos do elipside 7

    1.5.1 Sistema de coordenadas 7 1.5.2 Raios de curvatura sobre o elipside 8

    CAPTULO II - SISTEMAS DE PROJEO CARTOGRFICA 13

    2.1 Sistema de Projeo 13 2.2 Classificao das projees 13

    2.2.1 Classificao quanto propriedade que conservam 14 2.2.2 Classificao quanto ao mtodo construtivo 14 2.2.3 Classificao quanto ao tipo de superfcie de projeo adotada 16 2.2.4 A classificao quanto posio relativa da superfcie de projeo ou orientao do eixo dessa superfcie

    16

    2.3 Designao 16 2.4 Seleo do sistema de projeo 17

    CAPTULO III - REPRESENTAES CONFORMES 19

    3.1 Indicatriz de Tissot (sentido fsico) 19 3.2 Equaes de representao conforme 20

    CAPTULO IV - Sistema U.T.M. 23

    4.1 Breve histrico e especificaes 23 4.2 Relaes fundamentais 26 4.3 Deduo das equaes de transformao 26 4.4 Frmulas de transformao de coordenadas geodsicas (F, l ) em plano retangulares UTM (N,E) - Problema direto

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    4.4.1 Exemplo: Marco municipal do IGG (Cidade Universitria - SP) 31 4.4.2 Exemplo:Marco geodsico 31 4.4.3 Exemplo: Outro marco (exemplo fornecido pelo IBGE) 31

    4.5 Frmula de transformao de coordenadas - UTM (planos retangulares, N, E) para geodsicas ( F, l ) - Problema inverso

    32

    4.5.1 Exemplos para teste 33 4.6 Observao sobre frmula e preciso 34

    i

  • CAPTULO V - CONVERGNCIA DE MERIDIANOS 37

    5.1 Sentido fsico 37 5.2 Anlise do sinal da convergncia meridiana (g) 38 5.3 Equaes para o clculo da convergncia meridiana 39 5.4 Para teste tem-se o seguinte exemplo 40

    CAPTULO VI - FATOR ESCALA 41

    6.1 Sentido fsico 41 6.2 Frmulas a serem utilizadas em um programa computacional 42

    CAPTULO VII - PROBLEMAS TPICOS 45

    7.1 Introduo 45 7.2 Monografia de pontos 45 7.3 Mudana de elipside de referncia 46 7.4 Redues nas distncias 47 7.5 Redues angulares 48 7.6 Transporte de coordenadas elipsidicas 50 7.7 Transporte de coordenadas UTM 50 7.8 Roteiro simplificado para instalao de marcos de referncia para obras de engenharia

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    ii

  • AApprreesseennttaaoo:: Um mapa e especificamente uma planta topogrfica uma representao plana da superfcie da terra. Mas como esta no planificvel, necessariamente a representao sobre o papel apresentar deformaes. Surge assim o problema de estabelecer uma lei de correspondncia (projeo) entre a superfcie da terra e sua representao, controlando as deformaes. O sistema UTM (Universal Transverso de Mercator) precisamente um mtodo de estabelecer essa correlao. Por suas propriedades, o que se emprega com maior frequncia nos trabalhos cientficos e particularmente nos mapas e plantas topogrficas utilizados nos projetos de engenharia. Quem tenha trabalhado com mapas ter encontrado na legenda como estas: Projeo Universal Transversa de Mercator; datum vertical: Imbituba (Santa Catarina); datum horizontal: SAD-69; origem da quilometragem UTM: equador e meridiano de 45o W Gr., acrescidas as constantes: 10.000 km e 500 km, respectivamente; convergncia meridiana do centro da folha: 53'50"; fator escala = 0,9997. Alm disso, ter se defrontado com uma quadrcula que no paralela s margens da folha e com uma graduao que foge aos padres normais. Esses dados e os respectivos nmeros tm assustado mais de um engenheiro, ou paralisado a execuo de projetos. Com estas pginas procuramos, pelo menos, dar uma primeira informao sobre o tema; uma notcia sobre alguns aspectos importantes. Para tratar do Sistema de Projeo UTM necessitamos previamente de algumas breves noes sobre Geodsia, geometria do elipside e sistemas de projeo. Procuraremos tratar os assuntos de maneira breve e concisa, omitindo dedues de frmulas ou simplesmente indicando o caminho da demonstrao, quando for o caso. So Paulo, agosto de 2003 (10 edio).

    iii

  • 1

    CAPTULO I - GEODSIA E GEOMETRIA DO ELIPSIDE ; 1.1. Geodsia A geodsia pode ser definida como a cincia que procura determinar a geometria da superfcie terrestre. Pode ser dividida em Geodsia terica que estuda a determinao do geide e do elipside, bem como a amarrao entre ambos e Geodsia aplicada, que visa uma descrio da superfcie terrestre. Uma boa analogia da relao entre a Geodsia e a Topografia pode ser vista na construo de edifcios de concreto, que possuem uma estrutura resistente (lajes, vigas, pilares, fundaes) e as partes complementares, de fechamento e acabamento (paredes, portas, janelas). A Geodsia procura ento determinar vrtices de amarrao dispostas em cadeias que varrem todo o territrio e que possuem coordenadas bem determinadas e precisas; a topografia e a cartografia preenchem os espaos intermedirios, sustentando-se nos vrtices geodsicos, e amarrando todos os acidentes geogrficos e edificaes (rios, caminhos, rodovias, montanhas, lagoas) na rede existente, de maneira a poder produzir mapas confiveis e sem deformaes exageradas. A Geodsia, segundo alguns autores pode ser dividida em: a) Geodsia esferoidal ou geomtrica - trata da geometria do geide e do elipside. b) Geodsia fsica - trata da gravimetria, enquanto til para efetuar a amarrao entre o geide e o elipside, atravs da determinao de pontos de ligao (datum, plural: data). c) Geodsia astronmica - trata dos mtodos de determinao da latitude, longitude e azimutes verdadeiros. d) Geodsia por satlite - trata da determinao da forma da terra e da posio de pontos (coordenadas) atravs de satlites. Podemos apontar os seguintes problemas tpicos da G. que nos ajudam a compreender sua natureza e objetivos: 1 - o conhecimento da figura da terra (forma e dimenses) 2 - o estudo do elipside como superfcie de referncia. 3 - como resolver problemas geomtricos sobre o elipside: mtodos, frmulas, aproximaes 4 - como representar o elipside no papel (plantas, mapas): sistemas de projeo em levantamentos cartogrficos e topogrficos

  • 2

    5 - unificao de redes geodsicos para um territrio e para todo o planeta (elipside internacional) 6 - estudo do campo gravitacional da terra, medio da fora da gravidade e desvio da vertical em pontos concretos 7 - determinao de altitudes e cotas e da diferena de nvel dos mares 8 - estudo de movimento da crosta terrestre 9 - procedimentos de campo para solucionar esses problemas (trabalhos geodsicos fundamentais) 10 - atravs dos sistemas de projeo: estabelecer referenciais para projetos de engenharia, notadamente para as obras de grande porte. 1.2. Forma da Terra, Geide, Elipside A superfcie e a forma da Terra so elementos indeterminveis matematicamente, pela sua complexidade e irregularidade locais. No entanto, necessrio trabalhar com aproximaes para poder construir mapas e plantas. Como se sabe, a hiptese da Terra esfrica suficiente para os trabalhos topogrficos. Em geodsia costumam-se utilizar duas outras aproximaes: o geide e o elipside. `

    O geide definido como a superfcie de nvel que coincide com a superfcie dos oceanos em repouso, estendida idealmente sob os continentes, de modo que as linhas verticais cruzem perpendicularmente esta superfcie em todos os pontos. Depende portanto do campo gravitacional da Terra e da distribuio de massas no seu interior modifica-se sensivelmente nas proximidades de montanhas e depresses; pode-se falar ento em ondulaes do geide. O tratamento matemtico do geide um problema complexo e que se resolve ponto a ponto. Para trabalhar com uma representao matematicamente tratvel recorre-se ao elipside. `

    O elipside uma figura geomtrica determinada atravs de parmetros e que se utiliza como uma aproximao do geide (e portanto da superfcie da Terra) mediante as seguintes condies: a) a coincidncia do centro do elipside com o centro de gravidade (centro de massa) da terra; b) a coincidncia do plano equatorial do elipside com o plano do equador terrestre (ambos perpendiculares linha dos plos;) c) procurar minimizar os desvios com relao ao geide.

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    Para conseguir a condio indicada em c), efetuam-se ligaes entre o geide e o elipside, que se verificam em pontos conhecidos como data (plural) de datum) geodsicos. Em cada um deve-se determinar a distncia entre as duas superfcies (em geral em torno de 30 m, com um mximo de 150 m) e o desvio da vertical, que o ngulo entre a vertical (normal ao geide) e a normal ao elipside. Ajusta-se o elipside, tomando-se os parmetros (a) e (e) como incgnitas a determinar atravs do processo dos mnimos quadrados com relao ao afastamento vertical. Em funo dos data considerados surgem diferentes figuras de referncia, e por isso que se constata a existncia de diversos elipsides, com diferentes parmetros. Atualmente trabalha-se na unificao dos elipsides, visando determinar um s para todo o mundo, atravs da utilizao de satlites e tcnicas apropriadas (por exemplo, VLBI, GPS).

    Figura 1.1 - figuras da Terra

    1.3. Elipside de referncia ` A terra pode ento ser aproximada por um elipside de revoluo

    gerado por uma elpse que gira em torno do eixo dos plos.

    Figura 1.2 - Esquema do elipside terrestre

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    Podemos ento definir os seguintes parmetros: 1 - semi-eixo maior (equatorial) : a 2 - semi-eixo menor (polar) : b

    3 - achatamento : a = - = -

    a ba

    ba

    1 1( )

    ou 1 excentricidade e ca

    = ( )2

    2 excentricidade =ecb

    ( )3

    sendo c2 = a2 - b2 (4) A partir dessas relaes fundamentais podem ser obtidas outras, que costumam ser teis nas dedues matemticas:

    ( )5 122

    2e

    ba

    = -

    ( )6 122

    2 = -eab

    ( ) ( ) ( )7 1 1 12 2- + =e e

    ( ) ( ) ( )( )

    8 1 1 11

    2 22

    - = - =+

    a ee

    ( )9 22 2e = -a a

    ( )101 1

    22

    2

    22

    2e e

    eou e e

    e=

    + =

    -

    ( )111

    1 2ab

    ab e=

    -= +

    ( ) ( )12 1 1 2b a a e= - = -a Atravs de medies sobre a superfcie da terra, foram estabelecidos valores para os parmetros de referncia, sendo que para caracterizar o elipside basta escolher dois valores, em geral o semi-eixo maior (a) e o achatamento a, que pode ser definido pelo seu inverso f = 1/a.

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    Newton, atravs de dedues tericas, concluiu que a terra deveria ser um elipside achatado nos plos. No sculo seguinte, os irmos Cassini, atravs de medies incorretas, pensaram que o achatamento se dava ao longo do equador. O procedimento para verificar o achatamento consiste em medir arcos de meridiano correspondentes a uma certa diferena de latitude (um grau, por exemplo) e por simples regra de trs obter o raio da Terra na regio de medio. Para dirimir a questo, que acabou confirmando as predies de Newton, organizaram-se duas expedies que mediram arcos do meridiano prximo ao equador (Quito) e prximo ao plo (Lapnia). O raio menor obtido no equador provou que a Terra achatada nos plos. `

    Muitas outras expedies cientficas mediram arcos de meridiano para determinar os parmetros do elipside. A seguir, no quadro 1, apresentamos alguns dos valores mais importantes.

    ano designao semi-eixo maior (a) achatamento ( f = 1a

    )

    (1) 1910 Hayford 6.378.388,00 1 / 297,00 (Internacional) (2) 1967 Associao 6.378.160,00 1 / 298,25 Geodsica Internacional SAD-69 (3) 1984 WGS 84 6.378.137,00 1 / 298,25722 World Geodetic System 1.4. Elipside no Brasil O elipside de Hayford (1) foi adotado em muitas ocasies no Brasil, por exemplo na representao que se denomina "Crrego Alegre". Na verdade, essa designao se refere ao ponto geodsico fundamental da rede, que o vrtice CRREGO ALEGRE (Minas Gerais) da cadeia de triangulao do paralelo de 20o S. Toda a rede brasileira referida a esse "datum", e os parmetros eram os do elipside internacional de Hayford. Em tempos posteriores, procurou-se a adaptao de um elipside a toda a Amrica do Sul, e os estudos levaram a adoo do PSAD - 56 (Provisional South American Datum of 1956), com origem no vrtice "LA CANOA", na Venezuela, e os parmetros continuaram sendo os do elipside de Hayford.

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    Essa adaptao no ficou muito boa e se passou a um novo vrtice, o ASTRO-CHU, correspondente ao vrtice CHU, na mesma cadeia do CRREGO ALEGRE, e cujas coordenadas foram determinados astronomicamente. Por conveno adotou-se para esse vrtice uma distncia nula entre o geide e o elipside (desnvel ou ondulao geoidal), bem como um desvio da vertical nulo. Ver tabela 1.1. Forou-se assim a condio de tangncia entre o geide e o elipside, que continuou sendo o de Hayford.

    Tabela 1.1 - Crrego Alegre

    FG = 19 50' 15,14" S lG = 48 57' 42,75" W N = d = 0 AG = 128 21' 48,96" - Chapada das Areias a = 6.378.388 m f = 1 : 297,00

    A seguir, foi feito um detalhado estudo gravimtico na regio do vrtice CHU e determinaram-se tambm as novas coordenadas desse mesmo ponto fsico, agora denominado simplesmente CHU, e adotou-se o elipside da Associao Geodsica Internacional. O ajuste mostrou-se uma nova adaptao, no s para o Brasil mas para toda a Amrica do Sul, que em 1969 j havia adotado esse elipside, que recebeu o nome de SAD-69 (South American D atum of 1969). Concluindo o ajustamento, em 1978, o SAD-69 com origem em CHU, passou a ser adotado oficialmente no Brasil como novo datum (tabela 1.2). No entanto, como so muitos os vrtices de triangulao, de 1, 2 e 3 ordem, muitas coordenadas e inclusive mapas continuam sendo referenciados ao CRREGO ALEGRE (Hayford). Em decorrncia disso, um dos problemas que se encontra com frequncia o da mudana de elipside, isto , passar todas as coordenadas de um sistema para outro.

    Tabela 1.2 - Chu

    FG = 19 41' 41,6527" S lG = 48 06' 04,0639" W AG = 271 30' 04,05" - Uberaba N = 0 a = 6.378.160 m f = 1 : 298,25

    Atualmente, com o advento de satlites projetados para isso, (sistemas TRANSIT, NAVSTAR GPS) definiu-se um novo elipside para todo o mundo, o Word Geodetic System, conhecido como WGS-84. Todas as coordenadas obtidas atravs de satlites (processo que vem se difundindo muito e cujo custo vem caindo bastante) ficam referidas a esse novo elipside.

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    Atualmente, temos muitas coordenadas de pontos no Brasil referidas a esse novo sistema j que o mtodo mais simples e eficiente, e no necessita estar interligado rede existente. Ser necessrio dentro em breve a adoo de um referencial geocntrico para o Brasil. (em fase de estudos). * Obs.: O elipside triaxial possui um interesse meramente terico j que complica enormemente os clculos e no resolve o problema final que o geide, figura da Terra, que pode ser referido a qualquer elipside seja ele de revoluo ou no (triaxial). 1.5. Elementos do elipside ` 1.5.1 Sistema de coordenadas

    De acordo com a figura 1.3 podemos definir as seguintes linhas e ngulos.

    Figura 1.3

    a) seo normal - qualquer seo que contenha a normal ao elipside no ponto P. Em outras palavras, a linha de interseco entre o elipside e qualquer plano que contenha a normal nn (esse plano pode girar em torno de nn). b) seo meridiana - uma particular seo normal, aquela que contm o eixo menor b, ou seja, o eixo dos plos PN PS. c) grande normal N - o segmento PQ da normal, que vai do ponto P na superfcie da Terra at o encontro Q da normal com o eixo dos plos. d) pequena normal N' - o segmento PR da normal, que vai do ponto P ao plano do equador. e) meridianos geodsicos - correspondem aos meridianos da Terra, definindo-se como sees perpendiculares ao equador que contm o eixo dos plos; so sees meridianas (elipses) em diversos pontos, por exemplo, na figura 1.3: PNA1, PNA2, RNA3.

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    f) paralelos geodsicos - so crculos definidos por planos paralelos ao equador que cortam o elipside. Num elipside triaxial seriam elipses. g) longitude - o ngulo com aresta PNPS, entre o meridiano local e o meridiano de origem (Greenwich) PNA1 na figura 1.3 e representado pela letra L. h) latitude geodsica ou elipside - o ngulo da normal ao elipside no ponto, com o plano do equador. Em geral calculado atravs da equao do elipside e se representa por FG. i) latitude geogrfica ou astronmica - o ngulo da vertical (normal ao geide) com o equador. Em geral determinada por visada a astros e referenciada por instrumentos que se orientam pelo fio de prumo (vertical gravimtrica). Representa-se por FA. j) desvio da vertical - o ngulo (d)entre a vertical (FA) e a normal ao elipside (FA), como mostrado na figura 1.1. 1.5.2 Raios de curvatura sobre o elipside De acordo com a figura 1.4 podemos apresentar as seguintes grandezas:

    Figura 1.4 - raios de curvatura no elipside

    a) Raio de curvatura na seo meridiana - M Como vimos, a seo meridiana que contm um ponto P qualquer, denominada tambm meridiano geodsico, uma linha sobre o elipside que contm a normal ao elipside no ponto e passa pelos plos. Contm a linha NS. uma elipse, cujo raio de curvatura pode ser definido em cada ponto pela equao:

  • 9

    Ma e

    e sen= -

    - ( )

    ( )

    1

    1

    2

    2 2 32f

    onde: a = semi-eixo maior

    e ba

    22

    221 2= - = -a a (primeira excentricidade ao quadrado)

    F = latitude do local; para efeitos prticos pode-se confundir as latitudes elipsidicas com astronmicas b) Raio de curvatura na seo transversa - N A seo transversa aquela que contm a normal no ponto P e perpendicular linha NS; contm portanto a linha EW. uma linha que possui em cada ponto um raio de curvatura que pode ser definida pela equao.

    Na

    e sen=

    - 1 2 2f

    c) Relao entre M e N (N M) Dividindo-se N por M chega-se seguinte relao: NM

    e v= + = +1 12 2 2cos f

    com: Donde N M (sempre) * no equador F = 0, cosF = 1, N = a

    senF = 0 M = a (1 - e2)

    * no polo F = 90, cosF = 0, N M ae

    = =-1 2

    senF = 1 d) Raio de uma seo qualquer, de azimute A

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    Para uma seo normal qualquer, que faa um azimute A, com linha NS, o raio de curvatura pode ser calculado pelo Teorema de Euler:

    1 2 2

    Rsen A

    NA

    MA= + cos ou

    RM N

    N A M sen AA=

    + cos2 2

    O que fornece um resultado intermedirio entre o raio mximo (N) e o raio mnimo (M). e) Raio mdio de curvatura R M Nm == Tem o sentido fsico de uma mdia geomtrica dos raios em todas as direes (0 a 360o) e pode ser entendido como o raio de uma esfera que constitui o elipside no ponto. Utilizando a frmula do raio de uma seo qualquer e realizando uma adequada integrao (0 a 2 ) com um incremento de ngulo dA tem-se a frmula:

    +=

    p dp

    2

    0 22 sencos21

    AMAN

    ANMRm

    o resultado :

    R M Nm = ou

    Ra e

    e senm= -

    - 1

    1

    2

    2 2f

    f) Raio de um paralelo Rp = N. cosF Pode ser deduzido facilmente da figura 1.5

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    Figura 1.5 - raio de um paralelo

    Rp = N cosF Obs.: Como se pode ver, os elementos definidos acima dependem do elipside escolhido (a, e2 ou a), e da latitude do ponto ( F ), que por sua vez pode estar em funo da determinao astronmica da latitude no datum de origem (Chu, Crrego Alegre, WGS84, etc)

  • 12

  • 13

    CAPTULO II - SISTEMAS DE PROJEO CARTOGRFICA

    2.1 Sistema de Projeo Numa esfera nem o elipside planificvel. No entanto, para os projetos de engenharia, necessitamos de uma representao plana de pontos e figuras existentes sobre a superfcie da Terra. Trata-se pois de estabelecer uma lei de correspondncia entre elementos do elipside e suas representaes planas, e que minimize as distores, inevitveis pela prpria natureza do problema. Sistema de projeo ento, neste contexto, o modo como se correlacionam os pontos da superfcie da terra com suas representaes planas. Deve-se chegar a uma equao matemtica, com ou sem uma representao geomtrica, que estabelea uma forma de calcular x e y em funo de F e l , e vice-versa, conforme apontamos esquematicamente na figura 2.1.

    Figura 2.1 - sistema de projeo

    f( , )f f e g( , )g g = leis matemticas transformao direta transformao inversa: x = f (F,l) F = g (x, y) y = f'(F,l) l = g'(x, y) Queremos obter, em resumo, as funes, f,f' , g e g'. 2.2 Classificao das projees Existem diversas maneiras de classificar as projees, cada uma de acordo com um critrio adotado. Veremos algumas delas, na medida em que so teis para nosso objetivo.

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    2.2.1 Classificao quanto propriedade que conservam Pelo prprio processo, no se podem conservar todas as propriedades ao mesmo tempo. Assim temos: a) projees equidistantes - no apresentam deformaes lineares em uma ou algumas direes. Podem ser meridianas, transversais ou azimutais caso a equidistncia seja do longo dos meridianos, paralelos ou ao longo de crculos mximos, respectivamente. b) projees equivalentes (ou equireas) - no deformam as reas, dentro de certos limites de extenso. c) projees conformes (ou ortomrficas) - no deformam ngulos e portanto mantm a forma, tambm dentro de certos limites de extenso. d) projees afilticas - no conservam nenhuma propriedade, mas minimizam as deformaes em conjunto (ngulos, reas, distncias). 2.2.2 Classificao quanto ao mtodo construtivo: a) geomtricas - so as que se baseiam em princpios geomtricos projetivos e existe um significado fsico para a projeo. Podem ser perspectivas quando adotam um ponto de vista (PV) e traam raios visuais pelos pontos da superfcie da terra, que determinam as projees sobre o plano ou pseudo-perspectivas, quando utilizam o recurso de um artifcio, por exemplo, adotar um PV mvel. As perspectivas por sua vez dividem-se em gnmica ou central (quando o PV o centro da terra), etereogrfica (PV situado no infinito) e cenogrfica (PV um ponto qualquer, a uma distncia finita). Esses casos so representados na figura 2.2.

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    Projeo PV - gnmica centro da Terra - estereogrfica no ponto diametral oposto - ortogrfica no infinito - cenogrfica distncia qualquer, finita

    Figura 2.2 - Projees Perspectivas

    Um exemplo de projeo pseudo-perspectiva a cilndrica equatorial estereogrfica, em que o PV se movimenta ao longo do equador, situando-se sempre no anti-meridiano do ponto a projetar. b) analticas - so as que se baseiam em leis de correspondncia matemtica, e no possuem um significado geomtrico. Podem ser simples (regulares) ou modificadas (irregulares). As simples baseiam-se em leis matemticas provenientes de condies previamente estabelecidas. Por exemplo, a cilndrica equatorial conforme, impe as condies geomtricas para manter a forma dos elementos (dx = dy) e a equidistante azimutal impe as relaes para que no haja deformao nas distncias (ds = d S / E). As modificaes surgem por transformaes a partir das simples. Por exemplo, a equivalente de Bonne derivada da cnica equidistante meridiana. c) convencionais - so as que se baseiam em princpios projetivos arbitrais, por conveno, para deduzir um expresso matemtica. Por exemplo, a de Mllweide impe que os paralelos sejam retas, os meridianos, elipses e a quadrcula apresente equivalncia.

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    2.2.3 Classificao quanto ao tipo de superfcie de projeo adotada a) planas ou azimutais (zenitais) - so aquelas em que a superfcie de projeo um plano, tangente ou secante superfcie. O nome azimutal deriva-se do fato de que os azimutes se mantm (conforme). b) por desenvolvimento - so as que adotam uma superfcie de projeo desenvolvvel, e de acordo com esta dividem-se em: - cnicas (ou policnicas) - cilndricas - polidricas 2.2.4 A classificao quanto posio relativa da superfcie de projeo ou orientao do eixo dessa superfcie A figura 2.3 esclarece as classificaes que se seguem. Nas superfcies planas a posio do ponto de tangncia pode originar as seguintes denominaes, polares (tangncia no plo), equatoriais ou meridianas (no equador) e horizontais ou oblquas (num ponto qualquer). Nas superfcies por desenvolvimento, o eixo vertical, coincidente com a linha dos plos, dar origem designao normal para as cnicas e equatorial para as cilndricas. O eixo horizontal dar origem s designaes transversa (ou meridiana) tanto para as cnicas como para as cilndricas. O eixo situado numa posio qualquer dar origem aos nomes horizontal, para as cnicas e oblqua para as cilndricas. 2.3 Designao Para dar nomes as projees deve-se seguir, em princpio, as seguintes regras: 1) enunciar em primeiro lugar a natureza da superfcie de projeo (plana, cnica, cilndrica). 2) a seguir a posio do eixo (ponto) com relao linha dos plos (polar, normal, transversa). 3) finalmente, acrescentar a propriedade que conservam, se for analtica (conforme, equidistante, equirea) ou a posio do ponto de vista, se for geomtrica (gnmica, esteogrfica, ortogrfica).

  • 17

    No entanto, por simplificao e por fora do uso, muitas vezes a projeo mais conhecida pelo nome do autor do que pela designao cientfica. Assim, a cilndrica equatorial conforme conhecida como de Mercator e a cnica azimutal equivalente leva o nome de Lambert. A isso acrescenta-se o fato de que as irregulares sempre recebem o nome de seu criador. 2.4 Seleo do sistema de projeo A escolha de uma ou outra forma de projeo depender fundamentalmente da finalidade que se pretende, da regio a representar e sua forma, e dos erros aceitveis. Assim os planisfricos para estudo de pases e seus limites, visualizao geral do relevo, representao de climas, correntes martimas, vegetao, cidades,etc, no necessitam de uma exatido muito grande, o que possibilita um amplo leque de escolha. Pases alongados numa direo podem escolher superfcies de tangncia ao longo dessa linha, que minimizam as deformaes. Cartas para navegao (marinha, aeronutica) exigem maior preciso e fundamentalmente a manuteno de ngulos para o estabelecimento dos planos de vo/rumo e por isso pode-se adotar uma projeo conforme. Os atlas celestes devem conservar as formas, para que se reconheam as estrelas com facilidades; da surgem projees conformes, geralmente estereogrficas. Para projetos e ante-projetos de engenharia, em que se necessita conhecer a escala, e a preciso algo importante, adotam sistemas conformes, principalmente o UTM (Universal Transverso de Mercator) e o L.T.M (Local Transverso de Mercator) que uma variante do primeiro. Concluindo, o sistema UTM Universal j que aplicvel em toda a extenso do globo terrestre; Transverso porque o eixo do cilindro perpendicular linha dos plos, e recebe o nome de Mercator em honra ao primeiro idealizador desse tipo de projeo, o holands Gerhard Kremer (1512 - 1594), cujo nome latinizado Gerardus Mercator. Trata-se pois de uma projeo cilndrica de eixo equatorial (transversa, que mantm a forma das figuras (conforme), sendo que a tangncia do cilindro se mantm ao longo dos meridianos. Isso numa primeira aproximao j que, para minimizar os erros, adota-se um cilindro secante, como veremos mais adiante.

  • 18

  • 19

    CAPTULO III - REPRESENTAES CONFORMES Como vimos, recebe o nome de projeo conforme toda aquela que mantm a forma de pequenas figuras, isto , dado um elemento geomtrico (um crculo, um quadrado) sobre a superfcie da Terra, sua representao na carta conservar a mesma forma sem alterar, portanto, os ngulos. Pode haver, no entanto, uma alterao de escala. 3.1 Indicatriz de Tissot (sentido fsico) A existncia de deformaes era conhecida desde os incios da cartografia, j que no se pode planificar uma esfera sem deformar a superfcie. No entanto a determinao matemtica envolve o clculo diferencial que foi desenvolvido por Newton e Leibniz em fins do sculo XVII. Tissot, cientista francs de sculo XIX, foi o primeiro que classificou as deformaes de maneira racional. Examinou, para isso, as variaes de um pequeno crculo desenhado sobre a superfcie da Terra e sua transformada em um sistema de projeo. O resultado dessa transformao ser genericamente uma elpse. De acordo com a propriedade que cada tipo de projeo apresenta, a elpse assumir uma determinada forma, de acordo com a figura 3.1.

    Figura 3.1 - Representao grfica de elpse de Tissot

    Na projeo conforme, para a manuteno das formas, os ngulos devem-se conservar, como se v na figura 3.2

  • 20

    Figura 3.2 - Projeo conforme

    Essa projeo recebeu tambm outros nomes de acordo com quem as estudou: ortomrficas (Germain), autogonais (Tissot) e isognicas (Fiorini). Ao longo de linhas privilegiadas as distncias podem ser mantidas, sendo que nas outras direes surjam deformaes que podem ser conhecidas e controladas em funo da regio (dimenses, afastamento de uma linha base), em que se aplica a projeo. Conhecendo-se o fator de escala pode-se introduzir as correes apropriadas para o comprimento de cada distncia. Os meridianos e paralelos cruzam-se ortogonalmente, como se pode deduzir da manuteno das formas. As vantagens desse tipo de representao sobre os demais sistemas to ntida que seu uso vem sendo cada vez mais generalizado. 3.2 Equaes de representao conforme Uma vez visto o sentido fsico da transformao de um crculo numa elpse, podemos perguntar-nos sobre sua expresso matemtica. Para isso recorre-se ao clculo diferencial, da maneira que esboaremos a seguir. Tomam-se figuras e curvas elementares sobre o elipside e suas correspondentes na representao plana (figura 3.3) e procura-se correlacionar umas com as outras, atravs de equaes matemticas. A lei de correlao inicialmente geral, e a seguir impem-se as condies de conformidade.

  • 21

    ds2 = du2 + dv2 (1) dS2 = dx2 + dy2 (2)

    Figura 3.3 - Relaes de conformidade

    As relaes apresentadas valem para elementos infinitesimais e as linhas x e y denominam-se transformadas de u, y. Na realidade u e v so elementos calculados em funo de F e l (latitude e longitude). Na representao conforme teremos q q= . Atravs da expresso das diferenciais totais de x e y pode-se calcular dS, em funo dos seguintes coeficientes:

    Exu

    yu

    = +( ) ( )

    2 2

    Fxu

    xv

    yu

    yv

    = +

    Gxv

    yv

    = +( ) ( )

    2 2

    ds2 = Edu2+ 2F du dv + Gdv2 (3) A seguir, considerando um crculo de raio unitrio sobre o elipside, encontra-se a equao que representa sua transformada; que uma elpse de semi-eixos a e b e que permite os estudos matemticos. A deduo das relaes matemticas com a condio adicional da conformidade se faz atravs da escala de ampliao m, da seguinte maneira. Toma-se um tringulo infinitesimal (du, dv, ds) e considera-se o ngulo z, de acordo com a figura 3.4.

  • 22

    Figura 3.4

    Por definio, a escala de ampliao m vale:

    mdSds

    = , que elevada ao quadrado e tendo em conta

    (1) e (3) fornecer: m dSds

    E du F dudv dudu dv

    22

    2

    2 2

    2 2

    2= =

    + ++

    Dividindo o numerador e o denominador por du2 vir:

    mE F tg z G tg z

    tg z2

    2

    2

    21

    5=+ +

    +( )

    Para que a representao seja conforme, necessrio que m (escala de ampliao seja constante ao longo de um crculo qualquer, para qualquer valor de z. Assim, para que m independa de z, em (5) devemos ter: F = 0

    E = G = m2 m E E tg ztg z

    E22

    21= +

    +=

    Na representao conforme, a indicatriz um crculo com um raio que se relaciona com o original atravs da escala de ampliao m. Um quadrado (du = dv) representado por um quadrado dx = dy, se escolhermos um sistema conveniente. O sistema mais espontneo seria o constitudo pelos meridianos e paralelos, mas este no simtrico, isto , o arco correspondente a um ngulo (1, por exemplo) nos meridianos diferente do arco correspondente ao mesmo ngulo no paralelo. Assim, existe um sistema apropriado (chamado rede isomtrica) que tornaria as variveis simtricas, mas no do caso estud-lo devido brevidade destas pginas.

  • 23

    CAPTULO IV - SISTEMA UTM 4.1 Breve histrico e especificaes O Sistema Universal Transverso de Mercator em sua forma mais atual foi calculado por J.H. Lambert, mas j havia sido utilizado sob a denominao de Gauss desde 1866 para calcular a triangulao de Hanover (Alemanha). As aproximaes sobre a esfera, feitas na poca, tem uma expresso matemtica simples, mas as coisas se complicam um pouco quando se utiliza o elipside, j que este deve ser resolvido por aproximaes e desenvolvimentos em srie. Em 1912 surge o sistema Gauss-Kruger, em que os clculos so logartmicos e necessitam o clculo de outros termos atravs de tabelas incmodas. Entre as duas grandes guerras mundiais diversos pases da Europa e a ex-URSS adotaram essa projeo para a confeco de seus mapas militares. Em 1950, os EUA propuseram uma combinao para abranger a totalidade das longitudes, e o sistema recebeu a denominao atual: Projeo Universal Transversa de Mercator (U.T.M.). As especificaes desse sistema, vlido universalmente, hoje em dia, podem ser acompanhadas na figura 4.1 e so as seguintes:

    FIGURA 4.1 - Esquema da projeo UTM - esfera e cilindro secante

    1) Projeo cilndrica, conforme, de acordo com os princpios de Mercator-Gauss, com uma rotao de 90o do eixo do cilindro, de maneira a ficar contido no plano do equador (transversa). Essa configurao resultaria numa tangncia entre o cilindro e a esfera ao longo de um meridiano.

    Mas a seguir, adotam-se duas hipteses suplementares que alteram ligeiramente essa imagem geomtrica.

  • 24

    2) A adoo de um elipside de referncia (em vez da Terra esfrica), que inicialmente foi um para cada pas ou grupo de pases, mas que agora se vem procurando unificar atravs de um elipside internacional cujos parmetros vm sendo determinados com maior preciso (SAD-69, NWL-90, WGS-84, etc.).

    3) Um fator de reduo de escala Ko = 1 - 12500

    = 0,9996 que corresponde a

    tomar um cilindro reduzido desse valor, de forma a tornar-se secante ao esferide terrestre. Isso diminui o valor absoluto das deformaes, e em lugar de termos uma s linha de verdadeira grandeza (K = 1) e deformaes sempre positivas (ampliaes) passamos a ter duas linhas de deformao nula (k = 1) com reduo no interior (k < 1) e ampliao no exterior (k >1). 4) A adoo de 60 cilindros de eixo transverso, obtidos atravs da rotao do mesmo no plano do equador de maneira que cada um cubra a longitude de 6o (3o para cada lado do meridiano central), mantendo as deformaes dentro de limites aceitveis. Essa largura j havia sido calculada pelo francs Tardi, em torno de 1930. Os fusos so numerados de 1 a 60, a partir do antimeridiano de Greewich, sendo que os correspondentes ao nosso territrio esto representados na figura 4.2. Pela simetria do elipside de revoluo, os clculos so idnticos para todos os cilindros/fusos e os resultados so vlidos para toda a terra. Como observao pertinente, o sistema LTM (Local Transversa de Mercator) segue todas essas especificaes de 1) a 4), alterando somente o campo de aplicao para 1 em longitude em vez de 6o. 5) Em latitude os fusos so limitados ao paralelo de 80oN e S pois acima desse valor as deformaes se acentuam muito. As regies polares so representados ento por outro tipo de projeo, a Estereogrfica Polar Universal. OBS.: 1. Para calcular a longitude do meridiano central (MC) em funo do fuso (F), pode-se utilizar a frmula MC = 183 - 6.F. Para encontrar os limites do fuso, basta somar e subtrair 3o. 2. Para calcular o meridiano central (MC) em funo da longitude (L) de um ponto, pode-se utilizar a frmula MC = 6 INT(L/6 + 0,5) ou, o que a mesma coisa, MC = 6 INT ((L + 3) / 6).

  • 25

    6) Na representao plana, que se obter pela abertura e planificao do cilindro, a origem das coordenadas (cruzamento do equador com o meridiano central) ser acrescida em cada fuso das constantes 10.000.000 metros (s para o hemisfrio sul) no eixo das ordenadas (NS) e de + 500.000 metros no eixo das abcissas (EW). Isto se faz para evitar coordenadas negativas que surgiriam na vertical no hemisfrio sul e na horizontal esquerda de qualquer meridiano central.

  • 26

    4.2 Relaes fundamentais Para resolvermos as equaes prticas de transformao de coordenadas, de F e l para x, y (N, E) e a inversa, necessitamos primeiro estabelecer algumas relaes fundamentais, que simplesmente indicaremos, sem entrar em detalhes de deduo. a) no elipside 1 - comprimento de um arco elementar de meridiano: dB = dm = M.d (obtido a partir da relao s = q.R 2 - comprimento de um arco elementar de paralelo: dp = r. dl = N.cos F. dl 3 - comprimento de um arco qualquer

    ds2 = dm2 + dp2 , donde:

    ds NMd

    Nd=

    +cos (

    cos)f f

    fl2 2

    b) Na representao plana

    ds dx dy= +2 2 c) escala de ampliao

    )(cos 2222

    22

    2

    22

    lf ddLN

    dydx

    ds

    dSk

    ++

    == , onde

    dLM d

    N=

    ffcos

    foi obtida atravs da latitude isomtrica L que vale:

    LM

    N=

    cosf

    4.3 Deduo das equaes de transformao Indicaremos, somente a grande rasgos, os passos fundamentais dessa deduo, para que se tenha uma noo de sua origem.

  • 27

    a) desenvolvimento em srie O primeiro artifcio a que se recorre teoria das variveis complexas.

    (i = -1 , etc.) e se reescreve a escala de ampliao:

    =-+

    -+=

    )()(cos

    )()(22

    2

    llf iddLiddLNidydxidydx

    k

    = + - + -

    d x iy d x iyN d L i L i

    ( ) ( )cos ( ) ( )2 2 f l l

    Como se trata de uma projeo conforme, essa escala m deve independer do azimute A, de uma direo qualquer, e para isso devemos ter:

    x iy f L i+ = +( )l ( f = funo de )

    Desenvolvendo essa funo em series de Taylor, teremos:

    x iy f L ifL

    i fL

    i fL

    i fL

    i fL

    + = + + + + + +( )! ! ! !

    ...D D D D Dl

    l

    l

    l

    l

    22

    2

    2

    33

    3

    3

    44

    4

    4

    55

    5

    52 3 4 5

    Tendo em conta o valor das diferentes potncias de i e igualando separadamente as partes reais e imaginrias chega-se a:

    (1) x f L fL

    fL

    fL

    = - + - +( )! ! !

    ...D D Dl

    l

    l

    2 2

    2

    4 4

    4

    6 6

    62 4 6 (1)

    (2) y fL

    fL

    fL

    = - + -D D Dl

    l

    l

    33

    35

    5

    5... (2)

    b) clculo da funo L e suas derivadas Essas expresses ficam resolvidas se conseguirmos uma expresso analtica para f(L) pois ento podemos calcular as sucessivas

    derivadas de f(L) com relao a L :

    fL

    ,

    2

    2

    fL

    , etc.

    Isso pode ser feito impondo as demais condies do Sistema: que x seja contado a partir do equador, para o norte ou para o sul e que y seja contado a partir do meridiano central, e ento vemos que: a) para F = 0 e Dl = 0 devemos ter x = 0 e y = 0 (origem) b) para F 0 e Dl = 0 devemos ter x = B (arco de meridiano, contado a partir do equador) e y = 0 Que levadas a (1) e (2) fornecem que f(L) = B, o que em princpio soluciona nosso problema, j que o arco de meridiano se calcula pela frmula

  • 28

    F

    =0

    dmB

    Por outro lado, sabemos que dB = dm = MdF ou dmd

    MF

    = e

    d

    dL

    N

    M

    F F= cos , relaes que nos permitem calcular as sucessivas derivadas

    f(L). Por exemplo, a primeira derivada se calcula:

    f L

    L

    B

    L

    B

    L

    m

    LM

    N

    MN

    ( ) coscos= = = = =

    FF

    FF F F

    Calculando as sucessivas derivadas podemos introduz-las nas expresses (1) e (2), sendo que antes fazemos as seguintes simplificaes de notao: Resulta ento: N

    Mv n= + = +1 1 , com n = e' cos (n = v )F

    tg F = t

    (N) xk

    B Nsen Nsen t n n0

    2 43 2 2 4

    2 45 9 4= - + - + + -F F

    D DF Fcos cos ( ) ...

    l l

    (E) yk

    N N n t N t t0

    33 2 2

    55 2 4

    61

    1205 18= + + - + - + +D F D F D Fl l lcos cos ( ) cos ( )

    + - + +14 58 13 22 2 2 4 4 2n t n n t n c) clculo do arco de meridiano B

    Para calcular B utilizamos a integral elptica F

    =0

    dmB onde

    dm Mda e d

    e sen= =

    --

    FF

    F( )

    ( . ) /1

    1 3 2

    2

    Essa integral no possui primitiva e do seu desenvolvimento em serie resulta na seguinte expresso:

    B a A A sen A sen A sen= - + -( )0 2 4 62 4 6F F F F com: a - semi-eixo maior do elipside

  • 29

    F - latitude em radianos

    A e e e

    A e e e

    A e n

    A e

    02 4 6

    22 4 6

    44 6

    66

    114

    364

    5256

    38

    14

    15256

    15256

    34

    353072

    = - - -

    = + -

    = +

    =

    (

    (

    )

    )

    Essa frmula, desenvolvida por Bomford, despreza os termos de ordem 8 (A8 e e8) e fornece a preciso de mm, que mais do que suficiente. Os coeficientes Ao, A2, A4e A6 dependem exclusivamente do valor de e, ou de e2 = a (2 - a) e portanto so constantes para um determinado elipside. Para determinar as equaes finais, devemos lembrar que alm de limitar o nmero de termos das sries, deve-se utilizar o cilindro secante e no tangente (multiplicar por Ko = 0,9996) e que se somam as constantes 500,000 em y e 10.000.000 em x (para F < 0). Ento: E = 500.000 + 0,9996.y N = 0,9996. x (+ 10.000.000) 4.4. Frmulas de transformao de coordenadas geodsicas (FF, ll ) em plano retangulares UTM (N,E) - Problema direto As frmulas desenvolvidas anteriormente funcionam perfeitamente, mas para a programao em calculadoras prefervel utilizar outras que simplificam a notao e facilitam o clculo em cadeia. So as frmulas utilizadas por manuais americanos, compiladas por T. Vincenty (TM 5.241-18). * N = So + S (+ 10.000.000 para F < 0) * E = Eo + 500.000 onde So= B . Ko (primeiro termo da srie, arco de meridiano reduzido) DS = outros termos da srie

  • 30

    S Aa

    K B tg C D0 02 2 2

    11 1=

    -- + -

    a{ cos [ cos ( cos )]}F F F F F

    valor para o SAD-69 com: a - semi-eixo maior do elipside 6.378.160,00m

    a = 1 - b/a achatamento f = 298,25 a = 1/f Ko = fator escala no meridiano 1 -

    12500

    = 0,999

    F - latitude em radianos A

    qq q= - + -1

    412 31 21( .( . )) 0,994976 985

    Bq

    q q= + +4

    12 15 13( ( )) 0,005048373

    C q q= -572

    36 67( ) 0,004211273265

    Dq

    =289

    0,0052243679

    q = (2f - 1)-1 0,001679261125

    com: a, a, k0 e F - j definidos anteriormente t = tgF p = Dl cosF com Dl = l-l0 em radianos

    l0 = meridiano central do fuso

    n e2 2 2= ' cos F

    com e ff f

    ' 22

    2 1

    2 1= -

    - +

    v= 1+n2

  • 31

    4.4.1) Exemplo: Marco municipal do IGG (Cidade Universitria - SP) Dados: F = -23o 33' 40,202077" (Sul) l = -46o 44' 02,0460" (WGr - a oeste de Greenwich) l0 = -45o (WGr) (fuso 23) Resultados: N = 7.393.277,200 m E = 323.030,998 m 4.4.2 Exemplo:Marco geodsico Dados: F = -10o04' 38,748" l = -65o18' 57,219" l0 = -63o Resultados N = 8.885.124,771 m E = 246.182,478 m 4.4.3) Exemplo: Outro marco (exemplo fornecido pelo IBGE) F = -16o23' 30,7554" l = 54o51' 22,1918" l0 = 57o Resultados: N = 8.186.501, 118 m E = 728.965, 993 m

  • 32

    4.5 Frmula de transformao de coordenadas - UTM (planos retangulares, N, E) para geodsicas ( FF, ll ) - Problema inverso Seguindo uma deduo bastante anloga anterior, chega -se a frmula final, apropriada para os clculos computacionais, e tambm elas derivadas dos manuais do U.S Army. Deve-se proceder da seguinte maneira: a) Clculo preliminar (latitude auxiliar FFf) Ff = W + F cos2W (1 + g cos2W (1+ H cos2W)

    onde: W N NK Aa

    =- -( )( )0

    0

    1 a , em radianos

    N - coordenada norte, fornecida No = 10.000.000 (p/ o hemisfrio sul)

    0 (p/ o hemisfrio norte) valores no SAD-69 Ko = fator escala 0,9996 a = achatamento = 1/f 1 / 298,25 a = semi-eixo maior 6.378.160,00 A = 1 - q/4.(12 + q.(31.q - 21) 0,994976985 F = 1 - A + 0,14 x 10-9 0,0050230134 G = 3,5.q. (1 - q/0,3269) ou

    7q/2 (1 - 51q/156) 0,005847222098 H = 1,388.G 0,008115944272

    q = (2f - 1)-1 ou ( )2 1 1a

    - - 0,001679261125

  • 33

    b) frmulas Chamando ainda t = tgF e

    Q va k

    E E= - -( )( )10

    0a

    com:

    v = 1+ n 2

    n e

    ee

    e

    f

    2 2 2

    2

    2

    21

    =

    =+

    ' cos

    '

    F No SAD-69

    0,0067396608 E - coordenada Este, fornecida Eo = 500.000 m a, Ko, a j definidos anteriormente Temos finalmente, em radianos:

    F F

    DF

    D

    = + - - + + - + + - - + +

    = - + + - + +

    = +

    f

    f

    tQn

    Qt n n n n

    Qt t

    Q Qt n

    Qt t

    22

    22 2 2 2 2

    22 2

    22 2

    22 2

    0

    21

    125 3 1 2 3 2

    24 3 2

    16

    1 220

    5 05 4 7 6

    ( ( ( ( ( )) ( )) ( ( ))))

    cos( ( ( , ( ))))l

    l l l

    4.5.1) Exemplos para teste: Marco 1 Dados N = 7.469.610,04 m (hemisfrio Sul) E = 691.653,17 m l0 = 45o (WGr) Resultados F = -22o 52' 13,227" l = -43o 07' 54,822"

  • 34

    Marco 2 Dados N = 464.281,61 m (hemisfrio Norte) E = 745.159,24 m l0 = -63o Resultados F = 4o 11' 50,214" l = -60o47' 29',340" 4.6 Observao sobre frmula e preciso As frmulas so genricas, mas as constantes devem ser determinadas para cada elipside em funo de seus parmetros (a e a). Alguns programas apresentados ao final (anexos) pressupem que se adota o SAD-69 e assim, caso se pretenda utilizar outro, preciso tomar o cuidado de recalcular as constantes. As frmulas costumam variar bastante - tambm as que apresentaremos a seguir em funo dos desenvolvimentos em srie e do nmero de termos levados em considerao e tambm em funo de algumas simplificaes que se fazem em determinadas passagens, por ex., A preciso depende do nmero de termos adotado e em geral fortemente condicionada pelo clculo do primeiro coeficiente, que o mais significativo. Por exemplo, o comprimento de arco de meridiano. Faltando em termos gerais, e sem considerar as determinaes por satlite e VLBI, as coordenadas geogrficas (F, l) so determinadas astronomicamente e esto sujeitas a desvios mdios da ordem de 0,01 a 0,02", sem falar no acmulo de erros devido ao transporte na rede geodsica. De maneira que esse valor equivale a um erro linear de aproximadamente 50 centmetros na superfcie da Terra, o que significa que as coordenadas plano-retangulares (N, E) tem um significado convencional no que diz respeito s fraes de metro. De tudo isso segue-se que o milmetro absolutamente ilusrio nos clculos. Podem e devem ser levados em conta para evitar propagaes de erros e com meio de verificar a exatido das formulas, mas nunca como um ndice de preciso.

  • 35

    A correspondncia entre a preciso de (F, l) e (N, E) pode ser avaliada sabendo que um arco de 1" corresponde a aproximadamente 30 m (30,86) sobre a superfcie da Terra. Ento, para obter 0,001" precisamos a preciso de 3 mm (e vice-versa). Mas afinal das contas, como dizia algum, "pode-se concluir que as coordenadas de vrtices com preciso de milmetros, ento erradas nos decmetros. Finalmente, vale a pena dizer que foi publicada recentemente pelo IBGE uma tabela para o clculo dessas coordenadas. um trabalho muito til para a verificao e ajuste de frmulas - como o foram as tabelas do passado - mas acreditamos que j estamos entrando em outra era, e as 280 pginas de nmeros poderiam ter sido substitudas por 6 (seis) de um programa computacional adequado, que alm disso no cair em desuso pela adoo futura de outro elipside.

  • 36

  • 37

    CAPTULO V - CONVERGNCIA DE MERIDIANOS 5.1 Sentido fsico Na projeo UTM, o meridiano central de cada fuso e o equador so retas, ao passo que os meridianos (convergem nos plos) e os paralelos so curvas, como se pode concluir examinando as equaes de transformao.

    x N B Nsen Nsen= = + +( )!

    cos!

    cos (... )F D F F D F Fl l2 4

    3

    2 4 (5.1)

    y E N N= = +D FD

    Fll

    cos!

    cos (...)3

    3

    3 (5.2)

    Fazendo F constante na primeira, N torna-se funo de Dl, sendo uma funo parablica com termos ao quadrado e quarta (e mais), e assim os paralelos transformados (F constante) apresentam-se simtricos com relao ao equador. Basta ver que:

    N (Dl) = N (-Dl ) pois (Dl )2n = (-Dl )2n Fazendo Dl constante na segunda, E torna-se funo de cosF, em potncias mpares, e os meridianos transformados so simtricos com relao ao meridiano central, pois E(F) = -E(-F ). A representao esquemtica a que se v na figura 5.1.

    Figura 5.1 - Convergncia de meridiano (g) e rede transformada de meridianos

    e paralelos. Como a projeo conforme, os ngulos se mantm e ento as transformadas de meridianos e paralelos cruzam-se ortogonalmente. A concavidade de cada curva funo do quadrante em que se encontra e se pode enunciar a regra de que a transformada geodsica apresenta concavidade voltada para o meridiano central (meridianos) ou para o plo do hemisfrio em que se encontra (paralelos).

  • 38

    Chama-se ento convergncia de meridiano o ngulo g que a tangente a um meridiano, num determinado ponto, faz com uma paralela ao meridiano central. Pode-se dizer que tambm o ngulo que o norte geogrfico (tangente transformada de meridiano) faz com o norte da quadrcula (paralelo ao meridiano central, vertical da folha). Por decorrncia o ngulo g tambm o ngulo que a tangente ao paralelo transformado faz com uma paralela ao equador. 5.2 Anlise do sinal da convergncia meridiana ( gg) Pode-se analis-lo facilmente tomando um vrtice em cada quadrante e traando o norte da quadrcula (NQ - vertical) e o norte geogrfico (NG - tangente transformada de meridiano). Quando NG estiver direita de NQ (voltado para E, no sentido do horrio) ser positivo e quando NG estiver esquerda (voltado para W, sentido anti-horrio) g ser negativo. Com relao aos quadrantes o sinal contrrio ao da tangente trigonomtrica; o que se pode ver na figura 5.2.

    Figura 5.2 - Sinal de g

    H uma distino terica e tambm uma diferena de valor numrico entre a convergncia de meridiano sobre o elipside e esta que estamos analisando, que a rigor se denomina convergncia plana de meridianos. No entanto, dentro dos limites usuais de projeo, podemos confundir as duas quantidades.

  • 39

    5.3 Equaes para o clculo da convergncia meridiana Como anteriormente indicaremos somente os principais passos da deduo, que se inicia pela considerao da figura 3.3.

    Figura 5.3 - Convergncia de meridiano

    Assim, temos: tg dxdy

    dx ddx d

    g ll

    = = //

    (5.3)

    Para calcular o numerador e o denominador basta derivar as equaes de x e y (5.1 e 5.2) com relao a l ; donde se tem:

    tgNsen Nsen

    N Ng l l

    l= + +

    + +

    D F F D F F

    F D F

    cos / . cos (...)

    cos cos (... )

    3

    23

    6

    2

    (5.4)

    Expresso que pode ser simplificada, dividindo tudo por N cosF, reduzindo o nmero de termos nas sries, etc. Alm disso, desenvolvendo g em srie tem-se:

    g g g g= - +tg tg tg13

    15

    3 5 ... (5.5)

    Trabalhando (5.4) e (5.5) vem finalmente a frmula prtica de clculos, com g expresso em radianos e em funo de F e l :

    g l l l= + + + + -D F D F F D F Fsen sen n n sen t3

    2 2 45

    4 2

    31 3 2

    152cos ( ) cos ( )

    com t = tgF n2 = e'2 cos2F e'2 = 0,0067396608 Dl = l - l0 e

    a bb

    '( )

    22 2

    2

    2

    2

    21

    = - = --

    a aa

  • 40

    Por outro lado, para o clculo de g em funo das coordenadas planas (N1 E1), recorre-se a outros artifcios como exprimir Dl em funo das coordenadas planas desse ponto e substituir senF por sen(F1 - (F 1- F)), e desenvolv-lo em srie. Trabalhando matematicamente as expresses chega-se a:

    +++--+-=

    15

    )352()1(

    31

    4

    1

    2

    14

    1

    4

    14

    1

    2

    1

    2

    12

    1

    2

    11

    12' tt

    NEnnt

    NEtN

    E ig

    com t = tgF

    n2 = e'2 cos2F1 E'1 = E1 - 500,000

    N a e sen12 2

    1

    121= -

    -( )F SAD-69:

    e'2 = 0,0067396608 a = 6.378.160,00 e2 = 0,00669451491

    5.4 Para teste tem-se o seguinte exemplo Encontra-se abaixo a frmula vista anteriormente e, reagrupada para facilitar o clculo:

    g l l lrd rdsen n n t= + + + + -D F D F D F[ / ( cos ) ( ( cos ) ( ))]1 1 3 1 3 215

    22 2 4 2 2

    Dados: F = -16 23'30,7554"

    l = 54 51'22,1918" (W) l0 = 57 (W)

    Resultado: g = 0 36' 18,962"

  • 41

    CAPTULO VI - FATOR ESCALA 6.1 Sentido fsico Sendo a projeo conforme, a escala de representao ou fator escala m, independe da direo, mas varia de ponto a ponto, j que no possvel manter diversas propriedades ao mesmo tempo. No esquema de um cilindro transverso tangente esfera, o fator escala igual unidade ao longo do meridiano de tangncia e cresce simetricamente para ambos os lados. o que se esquematiza na figura 6.1.

    Figura 6.1

    No esquema de um cilindro secante existem duas linhas de verdadeira grandeza, sendo que o fator escala menor do que 1,0 na regio interna (reduo) e maior do que a unidade no exterior (ampliao), conforme se esquematiza na figura 6.2.

    Figura 6.2

    Como se pode notar o segundo esquema minimiza as distores em valor absoluto. Um erro E que ocorre a uma distncia y do meridiano central na primeira hiptese, transforma-se em E1= E - E2.

  • 42

    O fator escala m, pode ser definido como sendo um nmero (dado por uma expresso calculada num ponto) que multiplicado pela distncia sobre o elipside fornece a distncia em planta.

    k k EMN

    k d

    k ky

    Rm

    = + =

    = +

    01

    2

    0

    2

    2

    12

    12

    ( ) .

    ( )

    dp

    com Ko = 0,9996 (SAD-69) F = E1 afastamento do meridiano central R M Nm = =. ,6 371 Km Essa equao, uma parbola do 2 grau, permite uma boa aproximao do fator escala. Para que se tenha uma sensibilidade fsica da frmula, apresentamos a seguinte tabela:

    Y (Km)m aumento por Km

    0 1 - 0,000400 -0,400 m 100 1 - 0,000275 -0,275 m 180 1,000000 0,000 m 200 1 + 0,000100 +0,100 m 300 1 + 0,000720 +0,720 m 400 1 + 0,001600 +1,600 m

    6.2 Frmulas a serem utilizadas em um programa computacional A seguir, apresentamos frmulas que podem ser utilizadas para se desenvolver um programa de clculo para o fator de escala: K = Ko . f Ko = 0,9996

    f n t n n t n n

    t n t n t t

    = + + + - + + - + -

    - - + - +

    12

    124

    5 4 14 13 28 4

    48 24720

    61 148 16

    2 22

    4 42 2 4 2 2 6

    2 4 2 66 6

    2 4

    D F D F

    D F

    l l

    l

    cos ( ) cos (

    )cos

    ( )

  • 43

    ou em funo das coordenadas plano retangulares:

    )61('

    241

    )1('

    21

    12

    1

    4

    1

    12

    11

    1 nn NE

    N

    Ek +

    ++

    +=

    +

    ++

    + )61(

    '121)1(

    '211

    2

    1

    2

    1

    12

    11

    1 nn NE

    N

    E

    -FD++FD+= )45(

    12cos1

    2cos19996,0 2

    222

    22

    tx

    nx

    k

  • 44

  • 45

    CAPTULO VII - PROBLEMAS TPICOS 7.1 Introduo Para que se tenha uma idia de alguns problemas mais comuns, apresentamos a seguir casos tpicos, sem ter a pretenso de esgot-los e, na maior parte dos casos, sem dar a soluo matemtica mas somente o sentido fsico dos problemas. Omitimos tambm, os levantamentos de campo, que tambm exigiriam mais de um captulo, para uma explicao razovel. 7.2 Monografia de pontos So os problemas j tratados e bem descritos: a) transformao de coordenadas - problema direto: geodsicas (F e l) em UTM (N,E) - problema inverso: UTM (N,E) em geodsicas (F e l) b) Clculo de convergncia meridiana - atravs das coordenadas geodsicas ( F e l) - atravs das UTM (N,E) c) Clculo do fator escala - atravs das coordenadas geodsicas ( F e l) - atravs das UTM (N,E) Obs.: Existe, a rigor um fator escala para cada ponto. Em pequenas distncias pode-se tornar um fator uniforme, o do centro da regio. Mas para bases longas, pode ser necessrio utilizar uma "mdia" de maior preciso para determinar m:

    )141

    (611

    231 kkkk++=

  • 46

    onde os mi, calculados pelas frmulas apresentadas, so os fatores de escala nos pontos:

    k1 - num dos extremos da base k2 - no outro extremo k3 - no ponto mdio

    7.3 Mudana de elipside de referncia a) mudana de figura geomtrica Para a mesma rede de vrtices, com coordenadas calculadas e ajustadas a partir de um datum origem, pode-se substituir a figura geomtrica primitiva (a1, a1) por uma outra (a2, a2), o que corresponde a aplicar as mesmas frmulas de transformao, com as mesmas coordenadas (Fi, l i) mas alterando os parmetros do elipside. b) Mudanas de datum vertical Corresponde a alterar o margrafo de referncia, por exemplo, passar da referncia Torres (RS) para Imbituba (SC). Alteram-se portanto os valores das cotas ortomtricas/dinmicas da rede geodsica. Essa alterao costuma refletir-se indiretamente, nos parmetros de transformao de elipside. c) mudana da datum horizontal Corresponde a tomar um novo vrtice como origem do sistema (cadeia nacional de triangulao de 1 ordem), com coordenadas geodsicas determinadas astronomicamente, com grande preciso. Ou ento, pode-se determinar novamente, com maior preciso, as coordenadas geodsicas de um mesmo ponto fsico. Em qualquer dos casos, o resultado final so novas coordenadas geodsicas, (F e l) para os marcos da rede. Como exemplo de data origem temos Chu, Astro-Chu, Crrego Alegre, La Canoa, etc.

  • 47

    * Nas mudanas de elipside costuma-se utilizar as equaes deduzidas por Molodensky, onde os parmetro de transformao Dx, Dy eDz devem ser determinados por um estudo especial que utiliza o mtodo dos mnimos quadrados aplicados a uma srie de vrtices em que se conhecem as coordenadas nos dois sistemas.

    7.4 Redues nas distncias Tendo sido medida uma distncia s, em campo, atravs de trena, diastmetro ou distancimetro eletrnico, podem ser necessrias as seguintes correes ou redues conforme o que se deseja: a) correo de fatores meteorolgicos - para os distancimetros. Alguns possuem botes para introduo automtica da correo. b) reduo ao horizonte - para as distncias medidas na inclinada. Corresponde ao valor horizontal da distncia, considerando-se como tendo sido medida na altitude mdia da base. Denomina-se tambm reduo ao plano topogrfico. c) reduo ao nvel mdio dos mares - Dada uma distncia medida sobre a terra (arco curvo) na altitude hm , corresponde a encontrar a distncia equivalente na altitude h = 0 (nvel mdio dos mares), que contm as mesmas verticais nos extremos da base.

    Figura 7.1

    d) reduo ao geide e ao elipside - So redues semelhantes anterior (c), em que se passa de uma distncia sobre a superfcie real para outras duas superfcies (geide e elipside) situadas abaixo. Implicam no conhecimento dessas duas outras superfcies de referncia, sua forma geomtrica e amarrao com a superfcie da terra, na regio de medio.

  • 48

    O geide, se bem estudado e conhecido, pode ser referido ao elipside atravs de cartas de curvas de iso-alturas do geide sobre um elipside de referncia, tambm conhecidas como ondulaes do geide. Diferentes aproximaes calculam um raio mdio no elipside ( . )M N e tomam a esfera mdia local com esse raio. Pode-se tambm calcular o raio de curvatura na direo em que a base foi medida. e) reduo corda - arco Corresponde a passar da distncia medida (um arco sobre uma superfcie) corda que une os dois extremos em linha reta. f) reduo planta UTM Corresponde a multiplicar a distncia pelo fator de escala para poder lan-la na projeo plana UTM.

    7.5 Redues angulares Tendo sido determinado o azimute A de uma direo, por processo astronmico ou por transporte de direes, pode ser necessria alguma das seguintes redues, conforme o que se deseja: a) azimute magntico - relaciona-se com o azimute elipsidico atravs da declinao magntica. Um aponta para o norte verdadeiro e outro para o magntico (varivel com o local e com o tempo). Em geral, no uso mais comum, parte-se do magntico e soma-se a declinao magmtica para obter uma aproximao do norte verdadeiro. um processo utilizado somente em levantamentos de pouca responsabilidade.

    Figura 7.2

  • 49

    b) azimute da quadrcula Relaciona-se com o azimute elipsidico atravs da convergncia de meridiano (g). Basta somar ou subtrair g para passar de um a outro.

    Figura 7.3

    c) azimute projetado ou da carta (t) o azimute que uma linha qualquer ab (projetada de AB) faz com o meridiano central ou com o norte da quadrcula.

    Figura 7.4

    d) reduo angular ( yy ) arco-corda Em alguns casos de maior preciso, preciso lavar em conta tambm a reduo y (cfr.p. ex. a figura anterior), que se calcula pela frmula:

    y = -( )NM

    s sen AN

    12

    8

    2

    2

    ou

    y =+3 44 10 24 1 2, ( ' ' )x x N E E

    MN D

  • 50

    7.6 Transporte de coordenadas elipsidicas

    a) Problema direto Dados F1, l1, A12 e S12 (azimute e distncia elipsoidical), calcular as coordenadas F2, l2 do ponto 2. e A21.

    b) Problema inverso Dados (F1, l1) e (F2, l2) calcular s12, A12 e A21 e g.

    7.7 Transporte de coordenadas UTM

    a) Problema direto

    Dadas as coordenadas (N1, E1) , s12, A12, calcular as coordenadas N2, E2 do ponto 2. b) Problema inverso Dadas as coordenadas (N1, E1) e (N2, E2), calcular s12, A12, A21 e g. * Estes problemas podem ser aplicados em pontos isolados ou, o que mais

    comum, em poligonais, realizando-se os clculos em sequncia. Para poligonais fechadas, volta-se ao ponto de partida. Planilhas especiais facilitam o clculo.

    7.8 Roteiro simplificado para instalao de marcos de referncia para obras de engenharia - levantamento de plantas, mapas e marcos existentes junto aos rgos responsveis (EMPLASA, IGC, IBGE,...); - reconhecimento "in loco" dos marcos (de 1, 2 ou 3 ordem) mais prximos de obra em questo e obteno de suas coordenadas; - planejamento da instalao de marcos nas proximidades da obra e do transporte de coordenadas. Esquema (triangulao, poligonao);

  • 51

    - implantao dos marcos, visadas, medies de ngulos e distncias; - tratamento dos dados de campo (reduo angulares e lineares) e transporte de coordenadas. - de posso de marcos conhecidos, na obra, sistema de coordenadas locais para locao de pontos e projetos. Obs. final: futuramente este captulo dever ser mais desenvolvido com a apresentao de frmulas, planilhas, exemplos de clculo e programas de computao.