Apostila - Elementos Da Matemática Elementar

PRESIDENTE DA REPÚBLICA Luiz Inácio Lula da Silva MINISTRO DA EDUCAÇÃO Fernando Haddad GOVERNADOR DO ESTADO Wellington Dias REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Luiz de Sousa Santos Júnior SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ Antonio José Medeiros SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DO MEC Carlos Eduardo Bielschowsky DIRETOR DE POLITICAS PUBLICAS PARA EaD Hélio Chaves COORDENADORIA GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL Celso Costa COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÂNCIA DA UFPI Gildásio Guedes Fernandes SUPERITENDÊNTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO Eliane Mendonça DIRETOR DO CENTRO Helder Nunes da Cunha COORDENADOR DO CURSO NA MODALIDADE EAD João Benício de Melo Neto CHEFE DO DEPARTAMENTO Jurandir de Oliveira Lopes COODENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI Cleidinalva Maria Barbosa Oliveira

EQUIPE DE APOIO

Copyright © 2008. Todos os direitos desta edição estão reservados à Universidade Federal do

Piauí (UFPI). Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer

meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, do autor.

PRESIDENTE DA REPÚBLICA

XXXX Lopes, J. de Oliveira Fundamentos da Matemática Elementar /Jurandir de Oliveira Lopes – Teresina: UFPI/UAPI

2008. 72p. Incluir bibliografia

1 – xx

2

Luiz Inácio Lula da Silva MINISTRO DA EDUCAÇÃO Fernando Haddad GOVERNADOR DO ESTADO Wellington Dias REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Luiz de Sousa Santos Júnior SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DO MEC Carlos Eduardo Bielschowsky COORDENADORIA GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL Celso Costa SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ Antonio José Medeiros COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÂNCIA DA UFPI Gildásio Guedes Fernandes SUPERITENDÊNTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO Eliane Mendonça DIRETOR DO CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA Helder Nunes da Cunha COORDENADOR DO CURSO DE MATEMÁTICA NA MODALIDADE EAD João Benício de Melo Neto COODENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI Cleidinalva Maria Barbosa Oliveira DIAGRAMAÇÃO João Paulo Barros Bem Joaquim Carvalho de Aguiar Neto

L864f Lopes, J. de Oliveira Fundamentos da Matemática Elementar /Jurandir de Oliveira

Lopes – Teresina: UFPI/UAPI, 2008

72p

1.Matemática. 2.Universidade Aberta do Piauí. I.Titulo.

C.D.D.- 510

APRESENTAÇÃO

Este texto destina-se aos estudantes que participam do

programa de Educação a Distância da Universidade Aberta do

Piauí (UAPI) vinculada ao consórcio formado pela Universidade

Federal do Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí

(UESPI) e Centro Federal de Ensino Tecnológico do Piauí

(CEFET-PI), com apoio do Governo do Estado do Piauí,

através da Secretaria Estadual de Educação.

O texto é composto de IV unidades, contendo itens que

discorrem sobre os conjuntos numéricos, dando ênfase as suas

propriedades e resultados, que são relevantes para um bom

embasamento para o estudo da matemática. A ordem dos

conteúdos é seguinte: Na unidade 1, estudaremos o conjunto

números naturais, na unidade 2, estudaremos o conjunto

números inteiros, na Unidade 3, estudaremos o conjunto

números racionais e na Unidade 4, estudaremos o conjunto

números reais. A construção lógico formal dos conjuntos

numéricos será feita nos apêndices I, II, III e IV.

.

4

SUMÁRIO GERAL UNIDADE 1: Conjunto dos Números Naturais

1.1 Introdução 1.2 Princípio da Indução Matemática 1.3 Operações: Adição e multiplicação 1.4 Relação de ordem 1.5 Princípio da Boa Ordem

UNIDADE 2: Conjunto dos Números Inteiros

2.1 Introdução 2.2 Operações: Adição e Multiplicação 2.3 Relação de Ordem 2.4 Valor Absoluto ou Módulo 2.5 Princípio do Menor Inteiro 2.6 Princípio da Indução Matemática em Z 2.7 Múltiplos e Divisores 2.8 Máximo Divisor Comum 2.9 Números Primos 2.10 Mínimo Múltiplo Comum

UNIDADE 3: Conjunto dos Números Racionais

3.1.Introdução 3.2.Operações: Adição e Multiplicação 3.3 Relação de Ordem 3.4 Valor Absoluto ou Módulo

UNIDADE 4: Conjunto dos Números reais

4.1Introdução 4.2 Operações: Adição e Multiplicação 4.3 Relação de Ordem 4.4 Valor Absoluto ou Módulo 4.5 Representação Decimal

Apêndice I Apêndice II Apêndice III Apêndice IV

6

SUMÁRIO

UNIDADE 1: Conjunto dos Números Naturais 1.1 Introdução

1.2 Princípio da Indução Matemática

1.3 Operações: Adição e multiplicação

1. 4 Relação de ordem

1.5 Princípio da Boa Ordem

Exercícios

7

1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 1.1 Introdução

Os números naturais foram os primeiros a serem

criados, com intuito de contar. Mas, afinal, o que é o conjunto

N dos números naturais?

Bem, podemos intuitivamente escrevê-lo dizendo quais

são seus elementos: eles são os números da forma.

1)1(,...134,123,112,1 +−==++=+= nn , ou seja,

{ }⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ,,,4,3,2,1 nN

Ocorre, porém, que dificilmente poderemos provar

algumas propriedades desses números utilizando apenas esta

descrição, pois apesar de sabermos intuitivamente quais são

esses números que acima representa, teríamos dificuldade de

descrevê-lo de modo suficientemente explícito.

Uma maneira consiste em dar uma propriedade que

caracterizem de modo único o conjunto dos números naturais.

1.2 Princípio da Indução Matemática

A propriedade que vamos anunciar é chamada de Princípio da

Indução Matemática. Mais precisamente:

Princípio da Indução Matemática. Seja X um subconjunto

dos números naturais (ou seja, NX ⊂ ) tais que:

i) X∈1 ;

ii) Se XnXn ∈+⇒∈ 1 ;

Então NX = .

Essa simples propriedade fornece uma das mais poderosas

ferramentas de demonstração Matemática: A demonstração

por indução.

Suponha que seja dada uma sentença matemática )(nP

associada a cada n natural, a qual se torna verdadeira um falsa

quando substituímos por n . Mais adiante citaremos alguns

Mais informações sobre o conjunto dos números naturais pode ser encontrado em:

1) www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/fregerussel/peano.htm

2) www.obm.org.br/eureka/artigos/inducao.doc

8

exemplos de sentenças abertas definidas sobre o conjunto dos

naturais.

Agora anunciaremos um resultado suma importância para

Matemática e, por conseguinte definir a soma e multiplicação

em N .

Teorema 1.1 (Prova por indução matemática). Seja a )(nP

sentença aberta sobre N . Suponha que:

i) )1(P é verdadeira, e.

ii) Se a validez de )(nP implicar na validez de )1( +nP

Então )(nP é válida para todo o conjunto números

naturais.

Demonstração: Considere o seguinte conjunto

{ )(nPNnX ∈= é verdadeira }

X∈1 , pois )1(P é verdadeira. Suponha agora que Xn∈ , isto é,

)(nP é verdadeira, com isto garantimos a validez de )1( +nP ,

logo Xn ∈+1 . Assim pelo Princípio da indução matemática

temos que NX = , portanto )(nP é válida para todo o conjunto

números naturais. C.Q.D.

1.3 Adição e Multiplicação No conjunto dos números naturais estão definidas duas

operações fundamentais:

a) Adição: Dados Nmn ∈, fazem corresponder à soma

Nnm ∈+

b) Multiplicação: Dados Nmn ∈, fazem corresponder à

soma Nmn∈ Justificaremos a boa definição através da indução sobre n :

a) Adição: )1(P : Assim dados Nm∈,1 é claro que Nm ∈+1

, logo )1(P é válida.

Suponhamos válida )(nP , ou seja, dados Nmn ∈, temos que

Nnm ∈+. .

9

Agora provaremos validez de :)1( +nP De fato, dados

Nmn ∈+ ,1 temos que Nnm ∈++ 1. , pois 1)(1. ++=++ nmnm ,

e por hipótese Nnm ∈+. e daí Nnm ∈++ 1)( .

b) Multiplicação: Exercício a cargo do leitor.

As operações acima gozam das propriedades: Associativa,

comutativa e distributiva. E que as mesmas podem ser

demonstradas por indução.

Considere alguns exemplos de sentenças abertas definidas

sobre N :

a) :)(nP )1()321(2 +=++++ nnnL , para todo Nn∈ .

:)1(P 22)11(11.2 =⇔+= , é verdade.

Suponhamos válida )(nP , ou seja,

)1()321(2 +=++++ nnnL Hipótese de Indução (H.I)

Provaremos validez )1( +nP , isto é.

)2)(1()1321(2 ++=++++++ nnnnL (Tese)

Com efeito: Temos que

)1(2)321(2)1321(2 ++++++=++++++ nnnn LL

)1(2 += n + )1(2 +n

)2)(1( ++= nn .

Portanto a sentença )(nP é valida para todo Nn∈ .

b) :)(nP 2nn =

:)1(P 1111 2 =⇔= , é verdade. Poderíamos agora supor válida

)(nP , mas fácil vê que :)2(P 4222 2 ≠⇔≠ é falsa. Portanto,

vimos que a sentença não é válida para todo Nn∈ .

c) :)(nP )12)(1()321(6 2222 ++=++++ nnnnL , para todo

Nn∈ .

:)1(P 66)11.2)(11(11.6 =⇔++= , é verdade.

Suponhamos válida )(nP , ou seja,

10

)12)(1()321(6 2222 ++=++++ nnnnL Hipótese de Indução

(H.I)


)32)(2)(1(])1(321[6 22222 +++=++++++ nnnnnL (Tese)


2222222222 )1(6)321(6])1(321[6 ++++++=++++++ nnnn LL

2)1(6)12)(1( ++++= nnnn

= )]1(6)12()[1( ++++ nnnn

)32)(2)(1( +++= nnn

Portanto a sentença )(nP é valida para todo Nn∈ .

1.4 Relação de Ordem Faz-se necessário introduzir uma relação de ordem nos

conjuntos dos números naturais.

Definição: Dados Nmn ∈, dizem que m é menor do que n (e

escreve-se).

nm < () se existe Nr ∈ tal que rmn += .

A relação de ordem nm < goza das seguintes propriedades:

a) Transitividade: Se nm < e pn < então pm < .

b) Tricotomia: Dados Nmn ∈, , só podem ocorrer uma, e

somente uma das alternativas: nm = , nm < ou mn < .

c) Monotonicidade: Se nm < então, para todo Nr ∈ , tem-se.

rnrm +<+ e rnrm .. < .

Mostraremos que as três propriedades são satisfeitas:

a) : Se nm < e pn < então existem Nrr ∈21 , tais que

1rmn += .e 2rnp += . Assim 21 rrmp ++= , sendo que

Nrr ∈+ 21 , segue-se que pm < .

11

b) Dados Nmn ∈, têm que nm = , do contrário, existe

Nr ∈ tal que rmn += ou não existe, assim nm < ou

mn < .

c) Exercício a cargo do leitor.

Dizemos que m menor ou igual do que n (e escreve-se nm ≤ )

se nm = ou nm < .

Algumas sentenças abertas estão associadas para Nn∈ tal

que an ≥ para algum Na∈ . Assim para esse tipo de sentenças

temos o seguinte resultado


sentença aberta para todo an ≥ , com Na∈ . Suponha que:

i) )(aP é verdadeira, e.

ii) Se a validez de )(nP implicar na validez de )1( +nP ,

para an ≥

Então )(nP é válida para todo número natural an ≥ .


{ )1( −+=∈= amnPNmX é verdadeira }

X∈1 , pois )(aP é verdadeira. Suponha agora que Xm∈ , isto

é, )1( −+= amnP é verdadeira, com isto garantimos a validez

de )111( −++=+ amnP para an ≥ , logo Xm ∈+1 . Assim pelo

Princípio da indução matemática temos que NX = , assim

aamnaamm ≥−+=⇒+≥+⇒≥ 111 . Portanto )(nP é válida

para todo an ≥ . C.Q.D.

Exemplos:

a) :)(nP 212 nn ≤+ , para todo 3≥n .

:)3(P 87213.2 3 ≤⇔≤+ , é verdade.

Suponhamos válida )(nP , ou seja, 212 nn ≤+ , para todo 3≥n . (H.I)


12

2)1(1)1(2 +≤++ nn , para todo 3≥n . (Tese)


2121)1(2 ++=++ nn 22 +≤ n . Aceitando o fato de que

122 +≤ n , logo

.)1(1221)1(2 222 ==++≤+≤++ nnnnn

Portanto a sentença )(nP é valida para todo 3≥n .

b) :)(nP 22 )1(2 +> nn , para todo 3≥n .

:)3(P 1618)13(3.2 22 >⇔+> , é verdade.

Suponhamos válida )(nP , ou seja, 22 )1(2 +> nn , para todo 3≥n . (H.I)

Provaremos validez )1( +nP , isto é. 22 )2()1(2 +>+ nn , para todo 3≥n . (Tese)


242)12(2)1(2 222 ++=++=+ nnnnn . Por hipótese 22 )1(2 +> nn , assim

3624)1()1(2 222 ++=+++>+ nnnnn . Aceitando o fato de que

4436 +>+ nn , temos que

.)2(4436)1(2 2222 +=++>++>+ nnnnnn


Teorema 1.3 (Princípio da Boa Ordem). Todo subconjunto não

vazio NX ⊂ possui um menor elemento, isto é, existe Xa ∈ ,

tal que xa ≤ Xx∈∀ .

Demonstração: Segue-se do Princípio da indução matemática

(Vide, por exemplo, LIMA, E. L. “Análise Real”, Vol. 1.).

C.Q.D.

Demonstra-se também o Princípio da indução matemática

através do Princípio da Boa Ordem.

13

EXERCÍCIOS

1. 13 + 23 + 33 + ... + n 3 = (n 2/4).(n +1)2, ∀ n ≥ 1 2. 1 + 4 + 7 + ... + (3 n -2) = (n /2).(3 n -1), ∀ n ≥ 1

3. 13 + 33 + 53 + ... + (2 n -1)3 = n 2(2 n 2-1), ∀ n ≥ 1

4. 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n. n! = (n + 1)! - 1, ∀ n ≥ 1

5. 2n > n 2, ∀ n > 4;

6. 2n > n 3, ∀ n ≥ 10;

7. n! > 3n, ∀ n ≥ 7.

8. 1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... ( 1)( 2)n n n⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + + +

( 1)( 2)( 3)4

n n n n+ + += , 1n ≥ .

9. 1 1 1 1...1 3 3 5 5 7 (2 1)(2 1) 2 1

nn n n

+ + + + =⋅ ⋅ ⋅ − + +

, 1n ≥ .

10. Se nm ≤ e mn ≤ , prove que nm = . 11. Seja }1|{ +<<∈= nxnNxA com Nn∈ . Prove que A é vazio.

15

SUMÁRIO UNIDADE 2: Conjunto dos números inteiros

2.1 Introdução

2.2 Operações: Adição, Subtração e Multiplicação

2.3 Relação de Ordem

2.4 Valor Absoluto ou Módulo

2.5 Princípio do menor inteiro

2.6 Princípio da Indução matemática em Z

2.7 Múltiplos e Divisores.

2.8 Máximo divisor Comum

2.9 Números Primos

2.10 Mínimo múltiplo comum

16

2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

2.1 Introdução

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o “zero”, cujo símbolo é 0 . Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto é definido por:

{ } },4,3.,2,1,0,1,2,3,4,{,,,4,3,2,1,0 ⋅⋅⋅++++−−−−⋅⋅⋅=⋅⋅⋅±⋅⋅⋅±±±±= nZ

Inteiros podem ser adicionados ou subtraídos, multiplicados e comparados. A principal razão para a existência dos números negativos é que tornou possível resolver todas as equações da forma:a + x = b para a incógnita x; nos números naturais apenas algumas destas equações eram solúveis.

Como foi definido o conjunto dos números inteiros, é óbvio que .ZN ⊂ A construção lógico formal dos números inteiros é feita

no apêndice I.

2.2 Adição e Multiplicação No conjunto dos números inteiros estão definidas as operações

adição e multiplicação as quais gozam das seguintes

propriedades que serão aceitas como verdades (axiomas).

Dados quaisquer Zcba ∈,, , temos:

1. Adição

a) cbacba ++=++ )()( (associativa)

b) abba +=+ (comutativa)

c) aa =+ 0 ( 0 é elemento neutro da adição )

d) 0)( =−+ aa ( a− é elemento simétrico da adição)

2. Multlipicação

a) cabbca )()( = (associativa)

b) baab = (comutativa)

c) aa =1 (1 é elemento neutro da adição )

Saiba mais em: 1) www.brasi

lescola.com/matematica/numeros-inteiros.htm

2) www.testonline.com.br/curprimos.htm

17

d) 00 =⇒= aab ou 0=b (lei do anulamento do produto)

e) 11 ±=⇒= aab e 1±=b

f) acabcba +=+ )( (a multiplicação é distributiva em

relação à adição) O conjunto que satisfaz as propriedades acima citada é

chamado de anel de integridade. Portanto o conjunto dos

números inteiros munidos da operação soma e

multiplicação é um anel de integridade.

Exemplo: Mostre que não existe Za ∈ tal que 12 =− aa . De

fato, de 1)1(12 =−⇒=− aaaa , por e) temos que 1±=a e

11 ±=−a , das duas equações conclui-se não pode existir

Za ∈ .

1.4. Relação de Ordem em Z A relação de ordem dos inteiros segue de maneira similar ao

do conjunto dos números naturais.

Definição: : Dados Zmn ∈, dizemos que m é menor do que n

(e escreve-se

nm < ) se existe Nr ∈ tal que rmn += .

Exemplo: 103 <− , pois 13310 +−= e 27 −<− , pois

572 +−=−

A relação de ordem nm < goza das seguintes propriedades:

a) Transitividade: Se nm < e pn < então pm < .

b) Tricotomia: Dados Nmn ∈, , só pode ocorrer uma, e somente

uma das alternativas: nm = , nm < ou mn < .

c) Monotonicidade: Se nm < então, para todo Np∈ , tem-se

pnpm +<+ e npmp < .

Demonstraremos a validez das três propriedades. Como já

foram provados os itens a) e b) na unidade anterior, faremos à

apenas a demonstração do item c).

18

Se nm < , existe Nr ∈ tal que rmn += , assim para todo

Np∈ , tem-se rpmpn ++=+ e rpmpnp += o que implica em

pnpm +<+ e npmp < . C.Q.D.

Podemos também trabalhar com seguinte relação de ordem:

Dados Zmn ∈, dizemos que m é menor ou igual do que n (e

escreve-se: nm ≤ ) se existe }0{∪∈Nr tal que rmn += .

Com essa relação de ordem é fácil verificar as seguintes

propriedades

a) Reflexiva: aa ≤ Za∈∀ .

b) Anti-simétrica: Se nm ≤ e mn ≤ então nm = .

c) Transitividade: Se nm ≤ e pn ≤ então pm ≤ .

Com relação < valem as seguintes regras de sinais:

i) Se n<0 e m<0 então mn<0 .

ii) Se n<0 e 0<m então 0<mn .

iii) Se 0<n e 0<m então mn<0 .

Isto é verdade devido o fato de que o produto de dois naturais

ainda ser um número natural .

2.4 Valor absoluto ou módulo Definição: Para todo Za ∈ , o valor absoluto ou módulo de a

(notação: a ) é definido por:

aa = se 0≥a e aa −= se 0<a .

Exemplos: 44 = , pois 04 ≥ ; 1)1(1 =−−=− , pois 01 <− .

Proposição 2.1 Seja Zba ∈, , então vale as seguintes

propriedades:

a) aaa ≤≤− ;

b) baab = ;

c) baba +≤+ .

19

Demonstração: a) Se aaaaaaa ≤≤−≤−⇒=⇒≥ 0 , e

aaaaaaa ≤−≤≤−⇒−=⇒< 0 . Então vale sempre que

aaa ≤≤− .

b) Se baabababba ==⇒≥⇒≥ 00, ; se 0≥a e 0<b , temos

que babaababab =−=−=⇒≤ )(0 ; caso análogo para 0<a

e 0≥b . Agora se 0<a e 0<b , temos que

babaababab =−−==⇒> ))((0 . Portanto vale sempre que

baab = ;

c) Por a) temos que aaa ≤≤− e bbb ≤≤− , somando as

duas desigualdades temos

bababa +≤+≤+− )( , com isto

baba +≤+ e baba +≤+− )( .

Se babababa +≤+=+⇒≥+ 0 . Agora Se

babababa +≤+−=+⇒<+ )(0 . Portanto, em ambos os

casos obtemos que baba +≤+ .

Exemplo: 1) Resolva a equação 21 =+a .

Solução: Da definição, temos que 11221 =⇒−=⇒=+ aaa

ou 312212)1( −=⇒−−=⇒−=+⇒=+− aaaa . Portanto o

conjunto solução é dado por }.3,1{ −=S

2) Resolva a desigualdade 21 <−a .

Solução: Da definição, temos que 31221 <⇒+<⇒<− aaa

ou 112212)1( −>⇒+−>⇒−>−⇒<−− aaaa . Portanto o

conjunto solução é dado por }.31|{ <<−∈= aZaS

3) Resolva a desigualdade 53 ≥+− a .

Solução: Da definição, temos que

223553 −≤⇒≥−⇒−≥−⇒≥+− aaaa ou

835535)3( ≥⇒+≥⇒≥−⇒≥+−− aaaa . Portanto o conjunto

solução é dado por 2|{ −≤∈= aZaS ou }.8≥a

20

4) Prove que baba +≤− .

Solução: .1)( bababababa +=−+=−+≤−+=−

2.5 Princípio do menor inteiro Definição: Um subconjunto A não vazio de Z é dito limitado

inferiormente de existe Za ∈ tal que xa ≤ , Ax∈∀ .

Exemplo: }3,2,1,0,1,2{ K−−=A , neste caso podemos ter

.2,3,4, −−−=Ka

Axioma (Princípio do menor inteiro): Se A é subconjunto não

vazio de Z limitado inferiormente, então existe Am ∈0 tal que

xm ≤0 , Ax∈∀ .

É fácil verificar que 0m é único, que é chamado de mínimo.

No exemplo anterior, temos que 20 −=m

2.6 Princípio de Indução em Z Anunciaremos dois princípio de indução, cuja as demonstrações são relativamente fácil de provar, partindo do pressuposto (axioma) acima.

Teorema 2.1 (Primeiro princípio de indução). Seja a )(nP

sentença aberta sobre an ≥ com Zn∈ . Seja Za ∈ e suponha

que:

i) )(aP é verdadeira, e

ii) Se a validez de )(nP implicar na validez de )1( +nP ,

para an ≥

Então )(nP é válida para todo número inteiro an ≥ .

Demonstração: A demonstração é similar do Teorema que

anunciaremos a seguir.


sentença aberta sobre Z . Seja Za ∈ e suponha que:

21

i) )(aP é verdadeira, e

ii) Dado ar > , se )(nP é verdadeira para todo k tal

que rka <≤ , então )(rP é verdadeira.


{ naZnA ≤∈= e )(nP é falsa }.

Mostraremos que A é vazio. Suponha que A não seja vazio,

como A limitado inferiormente, então existe Am ∈0 tal que

xm ≤0 , Ax∈∀ . Por i) am ≠0 , e sendo 0m o mínimo de A ,

então )(nP é verdadeira para todo n tal que 0mna <≤ . Assim

por ii) podemos concluir que )( 0mP é verdadeira. Absurdo,

portanto A é vazio. C.Q.D.

Exemplo:

:)(nP nn 21≤+ , para todo 0≥n .

:)0(P 11210 0 ≤⇔≤+ , é verdade.

Suponhamos válida )(nP , ou seja nn 21≤+ , para todo 0≥n . (H.I)

Provaremos validez )1( +nP , isto é 121)1( +≤++ nn , para todo 0≥n . (Tese)


1)1( ++n 12 +≤ n . Aceitando o fato de que n≤0 , temos

.222121)1( 1+=+≤++≤++ nnnn nn


2.7 Múltiplos e Divisores

Definição: Dado Za ∈ , denotaremos por )(aM o conjunto dos

múltiplos de a e definido por },3,2,,0{)( KaaaaM ±±±= . Desde

22

modo dizemos que m é múltiplo de a se existe Zk ∈ tal que

kam = .

Exemplo: },6,4,2,0{)2( K±±±=M e },15,10,5,0{)5( K±±±=M .

Podemos verificar que },20,10,0{)5()2( K±±=∩MM .

Proposição 2.2 Dado Za ∈ , então o conjunto )(aM é fechado

para as operações soma e produto, isto é, dados )(, 21 aMmm ∈

então )(21 aMmm ∈+ e )(21 aMmm ∈ .

Demonstração: Dados )(, 21 aMmm ∈ existem Zkk ∈21 , tais

que

akm 11 = e akm 22 = , daí akkmm )( 2121 +=+ e akkmm )( 2121 = . Portanto

)(21 aMmm ∈+ e )(21 aMmm ∈ . C.Q.D.

Definição: Dados Zba ∈, , dizemos que b divide a ou b divisor

a e que a divisível por b se existe Zk ∈ tal que kba = .

Notação ab | .

Exemplo: 1) 2 divide 10− , pois 2)5(10 −=− ,

2) 2− divide 6 , pois )2)(3(6 −−=

3) 4 divide 6 , pois não existe Zk ∈ tal que 46 k= .

Dado Za ∈ , denotaremos por )(aD o conjunto dos divisores

de.

Exemplo: }2,1{)2( ±±=D e }3,2,1{)6( ±±±=D . É fácil ver que

}2,1{)6()2( ±±=∩DD .

Proposição 2.3. Prove as seguintes afirmações:

i) aa | Za∈∀ diferente de zero; ii) Se ba | e ab | tal que Nba ∈, então ba = ;

iii) Se ba | e cb | então ca | ; iv) Se ba | e ca | então cybxa +| Zyx ∈∀ , .

23

Demonstração: i) aa | pois aa .1= .

ii) Se ba | e ab | tal que Nba ∈, existem Nkk ∈21 , tais que

akb 1= e bka 2= , daí bkkb )( 21= donde 11 2121 ==⇒= kkkk . Portanto

ba = .

iii) Se ba | e cb | então ca | existem Zkk ∈21 , tais que

akb 1= e bkc 2= , daí akkc )( 21= . Portanto ca | .

v) Se ba | e ca | então existem Zkk ∈21 , tais que

akb 1= e akc 2= , daí Zyx ∈∀ , temos que xakbx 1= e yakcy 2= donde aykxkcybx )( 21 +=+ Portanto cybxa +| .

C.Q.D.

Exemplo: Prove que 13|2 +n para todo 0≥n . Solução: :)0(P 21113|2 0 =+=+ é válida. Suponha :)(nP

13|2 +n seja válida. Provaremos que :)1( +nP 13|2 1 ++n é verdadeira. De fato, )13(3.213313.313 11 ++=+=+=++ nnnnn . Ora, como 2 divide a primeira parcela da última igualdade e 2divide a segunda parcela da última igualdade por hipótese de indução, logo 13|2 1 ++n . Teorema 2.3 (Algoritmo da Divisão ou de Euclides). Dados a

Za ∈ e Nb∈ . Então existem únicos Zrq ∈, tais que rqba += com .0 br <≤


kbakbA <= |{ e Zk ∈ }.

(Existência:) É óbvio que A é limitado inferiormente. Resta-

nos mostrar que A é não vazio para podermos aplicar o

“Princípio do menor inteiro”. De fato, se 0≤a basta tomar 1=k

, daí Abab ∈⇒≥> 01. . Se 0>a e como 0>b temos

aabaababa >+≥+⇒≥+−+⇒≥−+ 1)1(0)1()1(0)1)(1( , assim

Aba ∈+ )1( . Logo em ambos os casos A é não vazio, e como A

limitado inferiormente, então pelo “Princípio do menor inteiro”,

existe Zq∈ tal que bqaqb )1( +<≤ ,onde bq )1( + é elemento

24

minimal de A . Agora pela relação de ordem em Z existe r tal

que rqba += com br <≤0 .

(Unicidade:) Suponha que existam Zrrqq ∈2121 ,,, com 21 qq ≠

e 21 rr ≠ tais que

11 rbqa += com .0 1 br <≤

22 rbqa += com .0 2 br <≤

Subtraindo as duas equações acima temos que

2121 )(0 rrbqq −+−= .

Podemos supor sem perda de generalidade que 12 rr > , assim

temos que

212112 )( qqbqqrr >⇒−=− , assim 1212 )( rbqqr +−= .

Sendo 01 ≥r e 121 ≥− qq , daí br ≥2 que um absurdo. Então

21 rr = e, consequentemente 21 qq = . C.Q.D.

Os números r e q são chamados de “resto” e “quociente”,

respectivamente. Quando 0=r , temos que b divide a .

Exemplos

a) 35=a e 6=b . Neste caso 56.535 += , onde 5=q e

5=r .

b) 7−=a e 2=b . Neste caso 12).4(7 +−=− , onde

4−=q e 1=r .

c) 27=a e 9=b . Neste caso 09.327 += , onde 3=q e

0=r .

Neste último exemplo, temos b divide a .

Observação: Para caso em que 2=b o algoritmo de Euclides

nos garante que podemos decompor o conjunto Z na união de

25

dois conjuntos conforme a figura abaixo

onde os elementos da forma Zkk ∈;2 são chamados de

números pares e da forma Zkk ∈+ ;12 são chamados de

números ímpares.

Exemplos: 1) Mostre que a soma e o produto de pares é ainda

par.

Solução: Sejam Zba ∈, números pares então existem da forma

Zkk ∈21; tais que 12ka = e 22kb = , assim

)(222 2121 kkkkba +=+=+ e )2(222 2121 kkkkab == .

Portanto, conclui-se que soma e produto de pares ainda são

pares

2) Mostre que aa +2 é numero par para todo Za ∈ .

Solução: Se ka 2= , então

)]12([2)12(2)1(2 +=+=+=+ kkkkaaaa é um número par.

Agora se ka 2= +1, então

)1)(12(2)22)(12()112)(12()1(2 ++=++=+++=+=+ kkkkkkaaaa é um número par. Portanto em ambos os casos temos um

número par.

3) Mostre que a é numero par se, somente se 2a é par.

12 +k

k2

Z

26

Solução: ( )⇒ Se ka 2= , então )2(2222 kkkka == é um

número par.

( )⇐ Suponha que a não seja par, isto é,

1)22(2144)12(12 222 ++=++=+=⇒+= kkkkaka , desde

modo 2a é ímpar, que um absurdo. Portanto a é par.

Para 3=b o algoritmo de Euclides nos garante que conjunto

Z pode ser escrito como união de três conjuntos da forma: ;3k

13 +k e Zkk ∈+ ;23 .

2.8 Máximo divisor comum

Definição: Dados Zba ∈, não nulos, dizemos que d “máximo

divisor comum” de a e b se:

i) 0>d .

ii) ad | e bd | .

iii) Se existe c tal que ac | e bc | então dc | .

Notação ),( bamdcd = .

Exemplo: 2)6,4( =mdc e 1)11,3( =mdc .

Fatos:

a) Se d e 1d máximos divisores comuns de a e b então 1dd =

. De fato, como

1| dd e dd |1 , e ambos são positivos então 1dd =

b) ),(),(),(),( bamdcbamdcbamdcbamdc −−=−=−= . Com efeito,

seja ),( bamdcd = e ),(1 bamdcd −= , e daí conclui-se que 1| dd

e dd |1 , e ambos são positivos então 1dd = . Os outros casos

as demonstrações são similares.

De a) mostrou-se a unicidade do máximo divisor comum. O

resultado abaixo garante a existência.

Proposição 2.4. Para todo Zba ∈, não nulos existe d máximo

divisor comum de a e b .

27

Demonstração: Por b) podemos supor sem perda de

generalidade 0>a e 0>b . Seja o subconjunto de números

inteiros |{ byaxA += Zyx ∈, }. Para ax = e by = , temos que

A possui elementos positivos. Seja d o menor elemento

positivo de A , mostraremos que d é o máximo divisor comum

de a e b .

i) É óbvio que 0>d .

ii) Como Ad∈ , existem Zyx ∈00 , tal que 00 byaxd += .

Aplicando o algoritmo de Euclides para a e d temos

que

rqda += com dr <≤0 .

Das duas últimas igualdades obtemos

qybqxarrbyaxqa )()1()( 0000 −+−=⇒++=

Segue-se que }0{∪∈ Ar , sendo dr <≤0 e d o menor

elemento positivo de A . Conclui-se que 0=r , daí

adqda |⇒= . De modo análogo, prova-se que bd | .

iii) Se ac | e bc | , como 00 byaxd += , então é claro que

dc | . C.Q.D.

Exemplos: 1) Mostre que 1)1,( =+aamdc para todo 0≠a e

1−≠a .

Solução: Seja )1,( += aamdcd , então ad | e

1|1)1(|1| daadad ⇒=−+⇒+ .

Logo 1=d .

1) Mostre que abamdc ≤),( para todo 1≥a .

Solução: Seja ),( bamdcd = , então ad | , como 1≥a , existe

1≥k tal que kda = . Como 1≥k e 0>d , temos que

akdd =≤ . Logo abamdc ≤),( .

2.9 Números primos

28

Definição: Um número Zp∈ não nulo, é chamado de “primo”

se:

i) 1±≠p .

ii) Os únicos divisores de p são 1± e p± .

Exemplo: 2 é primo, pois seus únicos divisores 1± e 2± . Os

divisores 1± e a± são chamados divisores triviais. Outros

primos 13,11,7,5,3 e 17 .

Se um número a não número primo, ele dito composto, ou seja,

existem pelos menos dois divisores não triviais, e neste caso,

podemos escrever bca = .

Observação: Quando 1),( =bamdc , dizemos que a e b são

“primos entre si”. Exemplo: 4 e 15 são primos entre si, pois

1)15,4( =mdc .

Corolário 2.1. Dois números a e b são primos entre si se, e

somente se existem Zyx ∈00 , tal que 001 byax += .

Demonstração: ( )⇒ Se 1),( =bamdc , segue da demonstração

da proposição anterior que existem Zyx ∈00 , tal que

001 byax += .

( )⇐ Suponha que 001 byax += . É claro que 01 > , a|1 e b|1 .

Agora seja 0>c tal que ac | e bc | então 1| 00 =+ byaxc , ou

seja, 1),( =bamdc .

Corolário 2.2: Dois números a e b inteiros não nulos, se

dbamdc =),( então 1),( =db

damdc .

Demonstração: Se dbamdc =),( existem Zyx ∈00 , tal que

0000 1 ydbx

dabyaxd +=⇒+= . Segue do corolário 1 que

1),( =db

damdc . C.Q.D.

29

Proposição 2.5 Seja p primo. Prove as seguintes afirmações:

a) Se abp | então ap | , ou bp | ;

b) Se naaap L21| então p divide algum dos ia .

Demonstração: a) Se p divide a ., então os únicos divisores

comuns de p e a são 1± , daí 1),( =apmdc , o que implica

existem Zyx ∈00 , tal que 00001 bpyabxbpyax +=⇒+= . Como

abp | e pp | , então bp | .

b) Exercício a cargo do leitor ( Faça por indução sobre n ).

C.Q.D. Exemplo: 1) Mostre que todo número primo é da forma 14 +k

ou 34 +k .

Solução: Pelo algoritmo de Euclides, aplicado ao número

Za ∈ e 4=b , temos que ,4ka = ,14 += ka ,24 += ka ou

.34 += ka O primeiro e terceiro casos representam números

compostos ( são múltiplo de 2 ). Assim restam apenas as

possibilidades 14 += ka ou .34 += ka

2.10 Mínimo múltiplo comum

Definição: Dados Zba ∈, não nulos, dizemos que m é

“mínimo múltiplo comum” de a e b se:

i) 0>m .

ii) ma | e mb | .

iii) Se existe c tal que ca | e cb | então cm | .

Notação ),( bammcm = .

Exemplo: 12)6,4( =mmc e 33)11,3( =mmc .

Fatos:

30

a) Se m e 1m mínimos múltiplos comuns de a e b então

1mm = . De fato, como 1| mm e mm |1 , e ambos são positivos

então 1mm = .

b) ),(),(),(),( bammcbammcbammcbammc −−=−=−= . Com efeito,

seja ),( bammcm = e ),(1 bammcm −= , e daí conclui-se que

1| mm e mm |1 , e ambos são positivos então 1mm = . Os outros

casos as demonstrações são similares.

De a) mostrou-se a unicidade do mínimo múltiplo comum. O

resultado abaixo garante a existência.

Proposição 2.6 Sejam Zba ∈, não nulos e ),( bamdcd = então

dba

m = é mínimo múltiplo comum de a e b .

Demonstração: Podemos supor sem perda de generalidade

que 0>a e 0>b .

i) É óbvio que 0>m .

ii) Como mdab

dba == , temos que ma | , pois ad | , bd | e

abd | . Analogamente prova-se que mb | .

iii) Seja 1m tal que 1| ma e 1| mb então existem Nsr ∈, tal que

bsarm ==1 , com isto

sdb

das

dbr

da |⇒= . Como s

da

db

damdc |1),( ⇒= . Assim t

das =

para algum Nt ∈ . Como mmmttdabbsm |11 ⇒=== . Portanto

m é mínimo múltiplo comum de a e b . C.Q.D.

Exemplos: 1) Ache os pares de números 0>a e 0>b tais

que 5),( =bamdc e

30),( =bammc .

31

Solução: Temos 150305),(),( =×=×= bammcbamdcab . Como

5532150 ×××==ab e 5),( =bamdc , temos que cada número

deve ter potência de 5 , daí as possibilidades são

30532 =××=a e 5=b , ou 1052 =×=a e 1553 =×=b .

2) Se 32 352 ××−=a e 353×=b . Calcule ),( bamdc e

).,( bammc

Solução: Pela definição de ),( bamdc ele deve ser o maior

divisor comum de a e b , daí 7553),( 2 =×=bamdc . Já o

),( bamdc ele ser ele deve ser o menor múltiplo comum de a e

b , daí 6750532),( 33 =××=bammc .

Proposição 2.7 Seja Za ∈ não nulo e 1±≠a . Então mínimo

do conjunto 1|{ >∈= xZxA e }| ax é número primo.

Demonstração: Como aa | e aa |− então um deles pertence

ao conjunto A , e mesmo é limitado inferiormente então existe

um elemento minimal Ap∈ . Agora se p não fosse primo então

existiria um divisor não trivial 0>q de p tal que pq <<1 .

Como ap | e aqpq || ⇒ , ou seja, Aq∈ , e isto é um absurdo

pois Ap∈ é elemento minimal. C.Q.D.

Teorema 2.2. (Teorema Fundamental da Aritmética) : Dado

Za ∈ , 1>a . Então existem r inteiros primos positivos

rppp ,,, 21 L de modo que rpppa L21= . Além disso, se

tivermos também sqqqa L21= , onde jq são números primos

positivos, então sr = , e cada ip é igual a um dos jq .

Demonstração: Usaremos o segundo Princípio de Indução.

Se 2=a , então a afirmação é verdadeira, pois 2 é primo

positivo. Suponhamos o teorema válido para todo Zb∈ tal que

ab <≤2 . A proposição anterior garante que existe um número

32

primo 01 >p tal que 111 | paaap =⇒ . Então se 11 =a ou 1a é

primo a conclusão é imediata, do contrario aa <≤ 12 , assim

por hipótese de indução temos que )2(21 ≥= rppa rL onde

0>ip e primos. Logo rpppa L21= .

Provaremos agora a unicidade da decomposição. Se

jssr qpqqqpqqqppp || 12112121 ⇒⇒= LLL para algum j tal

que sj ≤≤1 . Suponhamos 1=j , então 1111 | qpqp =⇒ pois os

mesmos são primos. Cancelando-os na igualdade inicial e

prosseguindo com o raciocínio, chega-se à unicidade da

decomposição. C.Q.D

Corolário 2.3. Dado Za ∈ não nulo e 1≠a . Então existem r

inteiros ( e únicos) primos positivos rppp ,,, 21 L de modo que

rpppa L21±= .

Demonstração: Temos que 1>a , logo pelo Teorema

Fundamental da Aritmética rpppa L21= e portanto

rpppa L21±= .

Na decomposição rpppa L21= conforme o Teorema

Fundamental da Aritmética não temos a garantia que os fatores

são distintos assim podemos escrever s

spppa αααL21

21=

onde rs ≤≤1 , ji pp ≠ sempre que ji ≠ e 1≥iα ( ),,2,1( si L= .

Assim , se

).,,2,1;0(|| 2121 sipppbab iis

s KL =≤≤⇒ αββββ

Sendo assim, cada iβ podem assumir os valores iα,,2.1,0 K ,

como temos s fatores, a análise combinatória nos garante que

números de divisores positivos de a ( denotado por )(ad ) é

dado por:

).1()1)(1()( 21 +++= sad ααα L

33

Exemplo: 1) Quantos divisores positivo tem o número 60=a .

Solução: Do Teorema Fundamental da Aritmética

53260 2 ××==a . Logo 12223)11)(11)(12()60( =××=+++=d ,

ou seja, 12 divisores.

EXERCÍCIOS

1. Mostre que 32n+7 é múltiplo de 8. 2. Mostre que 8 divide 34n-1 3. Demonstrar que a soma dos cubos de três números

naturais sucessivos é divisível por 9 4. Resolva as equações:

a) aa 25 =+ b) 1035 =−++ aa .

5. Resolva as desigualdades:

a) 362 +<− aa b) 132 >++− aa

6. Prove que bccaba −+−≤− para todo Zcba ∈,, .

7. Prove que baba −≤− para todo Zba ∈, . 8. Mostre que todo número primo é da forma 16 +k ou

56 +k .

9. Na divisão euclidiana de 110 por b o resto é 11. Ache os possíveis valores para b e q .

10. Na divisão euclidiana de a por b o quociente é 6. Ache

a e b sabendo que 30=− ba .

11. Seja a um número inteiro cujo resto da divisão por 8 é 6. Mostre que a divisível por 2.

12. Mostre que a soma de ímpares é par e o produto de

ímpares é ímpar. 13. Mostre que baba +++ 22 é numero par para todo

Zba ∈, .

34

14. Mostre que 33 ba − é múltiplo de 3 se, somente se, ba − é múltiplo de 3.

15. Seja a um número inteiro, mostre que resto da

divisão de 2a por 3 é 0 ou 1.

16. Seja a um número inteiro ímpar, mostre que resto da divisão de 2a por 4 é 1.

17. Ache os pares de números 0>a e 0>b tais que 6),( =bamdc e 20),( =bammc .

18. Se 752 2 ××=a e 33 532 ××=b . Calcule ),( bamdc e

).,( bammc

19. Mostre que ),(),( bamdcbamdc ≤ para todo Zba ∈, não nulos.

20. Se 1),( =bamdc . Prove que 1),( =+ bbamdc . 21. Encontre os valores possíveis de a de modo que

1)2,5( =−amdc .

22. Se que 13 −n é primo, mostre que 2=n ou 1−=n .

23. Quantos divisores positivos possui o número 105=a .

24. Calcule de o valor α , sabendo que 752 ××= αa e 40)( =ad .

25. Prove 2)( =ad se, somente se, a é primo.

26. Mostre que para todo natural 2>n pode ser escrito

mn k2= onde 0≥k e m é ímpar.

36

SUMÁRIO UNIDADE 3: Conjunto dos números racionais

3.1 Introdução

3.2. Operações: Adição e Multiplicação

3.3 Relação de Ordem 3.4 Valor Absoluto ou Módulo

3 CO

3.1 I O coo co

uma

zero

ondenúmresp ComZ é u A coestá

O e

relaç

Dess

class

racio

infin

Exem

repre

2) A

com

Solu

5 +n

ONJUNTO

Introdução

onjunto dosnjunto dos

a fração ba

o:

e *Z é conmeros a e bpectivamen

mo todo núum subcon

onstrução l feita no a

ssencial n

ção de igua

se modo,

ses de eq

onal. Pode

idade de fr

mplo: 1) 42

esentante

che uma fr

o denomi

ução: Temo

1603 ⇒=n

O DOS NÚM

o

s númeross números

, com a e

njunto dos b são cham

nte.

mero inteirnjunto de Q

ógico-formpêndice II.

uma fração

aldade

ba=

temos u

quivalência

emos, entã

rações, co

84

21

42

==

dessa infin

ração equi

nador seja

os que 2012

1608 ⇒=⇒ n

37

MEROS RA

s racionais,que podem

e b inteiro

números imados de

ro pode seQ.

mal do conj

o ba

é o p

annm⇔=

uma infinid

a), que rep

ão, escolh

mo exemp

2nn

==K

nidade de

ivalente à

a igual a 16

nn

53

53

02

==

20=⇒ n . D

ACIONAIS

, simbolizam ser escr

os quaisque

nteiros nãonumerado

er escrito n

unto dos n

par ordenad

.bmn =

dade de

presentam

her um re

plo aquela

*, Znnn

∈ ,

frações é

2012

cuja s

60.

nn

, assim

Donde 53nn

S

ado pela letritos na form

er e b dife

o nulos. Or e denom

a forma p/

números ra

do ),( ba e

frações (c

o mesmo

epresentan

que (amdc

, onde o

21

.

soma do nu

205203

=××

=

tra Q, é ma de

erente de

s inador,

/1, então

acionais

e a

chamada

o número

te dessa

1), =ba .

umerador

10060

= .

Saiba ma1)

2)

ais em: www.ipb.pt/~cmca/historia.pdf www.ciul.ul.pt/~ferferr/CF_novo_5.pdf

38

3) Ache uma fração equivalente à 1551

cuja diferença do

numerador com o denominador seja igual a 120.

Solução: Temos que nn

517

517

1551

== , assim

1012012120517 =⇒=⇒=− nnnn . Donde

50170

1051017

517

=××

=nn

.

4) Mostre que a fração Znnn

∈≠−− )2(

21 é irredutível é

irredutível.

Solução: Devemos mostrar 1)2,1( =−− nnmdc . Seja

)2,1( −−= nnmdcd , assim temos que 0>d , 1| −nd e 2| −nd .

Logo .11)2()1(| =⇒=−−− dnnd

3.2 Adição e Multiplicação

Definição: Sejam nma = e s

rb = elementos de Q. Chama-se

soma e multiplicação de a e b e indica-se por ba+ e ab

elementos de Q definidos da seguinte forma:

nsnrmsba +

=+ e nsmrab =

As operações adição e multiplicação acima definidas, são

justificadas no Apêndice II. Deste modo, nos limitaremos

apenas em citar suas propriedades fundamentais a fim de que

possamos ter uma estruturação inicial do conjunto dos

números racionais.

Dados quaisquer Zcba ∈,, , temos:

2. Adição

a) cbacba ++=++ )()( (associativa)

b) abba +=+ (comutativa)

39

c) Existe 0 tal que aa =+ 0 ( 0 é elemento neutro da

adição)

d) Existe a− tal que 0)( =−+ aa ( a− é elemento simétrico

da adição) 2. Multlipicação

e) cabbca )()( = (associativa)

f) baab = (comutativa)

g) Existe 1 tal que aa =1 (1 é elemento neutro do produto)

h) 00 =⇒= aab ou 0=b (lei do anulamento do produto)

i) Para todo 0≠a existe b tal que 1=ab e denota-se por

11 −== aa

b

j) acabcba +=+ )( (a multiplicação é distributiva em

relação à adição)

O conjunto que satisfaz as propriedades acima citada é

chamado de corpo. Portanto o conjunto dos números

racionais munidos da operação soma e multiplicação é um

corpo.

1) Mostre que elemento neutro do produto é único.

Solução: Suponha que exista outro elemento neutro do

produto , isto é, Q∈α tal que aa =α . Assim temos que

1.1 =α e αα =.1 , daí por f) 1=α . Portanto existe um único

elemento neutro do produto.

3.2 Relação de Ordem em Q

Dado nma = um número racional, temos que n

mnma

−−

== ,

desse modo podemos sempre considerar o denominador como

número positivo.

Por exemplo: 52

52 −

=−

=a .

40

Definição: Dados Qba ∈, dizemos que nma = é menor do que

srb = (e escreve-se ba < ) se nrms < .

Exemplo: 43

21< , pois 643241 <⇔×<× e 2

32<

− , pois

622312 <−⇔×<×− .

A relação de ordem ba < goza das seguintes propriedades:

a) Transitividade: Se ba < e cb < então ca < .

b) Tricotomia: Dados Qba ∈, só pode ocorrer uma, e somente

uma, das alternativas: ba = , ba < ou ab < .

c) Monotonicidade: Se ba < então, para todo Qc∈ com 0>c ,

tem-se cbca +<+ e bcca <. .

Demonstração: Sejam srb

nma == , e

utc = .

a) De ba < e cb < , temos que nrms < e tsru < (*), sendo

0,, >usn , podemos multiplicar a primeira desigualdade por u

e a segunda desigualdade por n em (*), daí unrums < e

ntsnru < (**). Assim, pela propriedade transitiva dos números

inteiros .cantumntsums <⇒<⇒< C.Q.D.

b) Exercício a cargo do leitor.

c) De ba < nrms <⇒ , como 00 >⇒>= tutc ,daí 0>tu .

Assim .)()()()( bcacusrt

numtnurtusmttunrtums <⇔<⇔<⇔<

Podemos também trabalhar com seguinte relação de ordem:

Dados Qba ∈, , dizemos que a é menor ou igual do que b (e

escreve-se ba ≤ ) se .nrms ≤

Com essa relação de ordem é fácil verificar as seguintes

propriedades

a) Reflexiva: aa ≤

b) Anti-simétrica: Se ba ≤ e ab ≤ então ba = .

41

c) Transitividade: Se ba ≤ e cb ≤ então ca ≤ .

Na relação < valem as seguintes regras de sinais:

i) Se a<0 e b<0 então ab<0 .

ii) Se a<0 e 0<b então 0<ab .

iii) Se 0<a e 0<b então ab<0 .

Demonstração: i) Seja nma = e

srb = . Como a<0 e b<0 ,

temos que m<0 e r<0 , como nsmr

sr

nmab =⋅= , segue-se que

ab<0 .

ii) e iii) Exercício a cargo do leitor.

Proposição 3.1 Sejam Qba ∈, , se ba < , existe Qc∈ tal que

bca << .

Demonstração: Considere 2

bac += , é óbvio que Qc∈ . Resta

provar que bca << . De fato, como

cbaabaabaaaba =+

<⇔+<⇔+<+⇔<2

2 e de modo

análogo, como

bcbabbabbbabbbaba <=+

⇔<+⇔+<+⇔+<+⇔<2

2 .

C. Q. D.

Corolário 3.1 O conjunto }0|{ >∈= aQaA não possui mínimo.

Demonstração: De fato, como 0>a , pela proposição acima

temos que 021

>> aa . Daí, A não possui mínimo. C.Q.D

42

1.4. Valor absoluto ou módulo Definição: Para todo Qa∈ , o valor absoluto ou módulo de a


aa = se 0≥a e aa −= se 0<a .

Exemplos: 44 = , pois 04 ≥ ; 1)1(1 =−−=− , pois 01 <− .

Proposição 3.2 Seja Qba ∈, , então valem as seguintes

propriedades:

a) aaa ≤≤− ;

b) baab = ;

c) baba +≤+ .

d) Se 0≠a , então 11 −− = aa .



aaa ≤≤− .





baab = ;




baba +≤+ e baba +≤+− )(

43

e babababa +≤+=+⇒≥+ 0 . Agora se

babababa +≤+−=+⇒<+ )(0 . Portanto em ambos os

casos obtêm-se que baba +≤+ .

d) Se 0≠a , temos que 11111 11.1. −−−−− =⇒===⇒= aaaaaaaa . C.Q.D

Exemplo: 1) Resolva a equação 272 =−a .


29722272 =⇒+=⇒=− aaa ou

257222722)72( =⇒+−=⇒−=−⇒=−− aaaa . Portanto o

conjunto solução é dado por }.25,

29{=S

2) Resolva a desigualdade 6112

<+a .


1164

11266

112

<⇒−<⇒<+ aaa ou

1168

11266

1126)

112( −>⇒−−>⇒−>+⇒<+− aaaa . Portanto o

conjunto solução é dado por }.1164

1168|{ <<−∈= aQaS

3) Prove que bccaba −+−≤− .

Solução: .bccabccaba −+−≤−+−=− A última

desigualdade é devido à desigualdade triangular.

44

EXERCÍCIOS

1. Se Qa∈ mostre que Qna∈ e Qa n ∈ .Nn∈∀ 2. Se soma do numerador com do denominador de uma

fração nm é 30. Ache a fração

nm sabendo que a

mesma é equivalente à .4

11

3. Se diferença do numerador pelo denominador de uma

fração nm é 130. Ache a fração

nm sabendo que a

mesma é equivalente à 57 .

4. Se soma do numerador com o dobro do denominador

de uma fração nm é 10. Ache a fração

nm sabendo

que a mesma é equivalente à .31−

5. Se *ZZnm

ba

×∈= . Prove que:

nnm

bba ±=

±

6. Se ** ZZnm

ba

×∈= . Prove que .nm

nbma=

++

7. Se *** ZZZsr

nm

ba

××∈== . Prove que .sr

snbrma=

++++

8. Qual o valor da fração ?500015105

1000321++++++++

L

L e de

?5196334642

++++++++

L

L

9. Se Ncba ∈,, tais que ,c

baba

cab +

==−

qual o valor da

fração ?ba

45

10. Sejam Qcba ∈,, tais que bcac ≤ e 0>c . Prove que ba ≤

11. Seja Qa∈ . Se .00 1 >⇒> −aa

12. Seja Qa∈ . Se .110 1−<⇒<< aa

13. Seja Qba ∈, . Se .00 11 −− <<⇒<< abba

14. Seja Nba ∈, . Se .0 ba << Prove que existe um único

Nn∈ tal que .11

1nb

an

<≤+

15. Resolva as equações: 215 +=− aa e 1325 =−++ aa

.


a) 4562 +≤− aa b) 8322 >+−− aa

17. Prove que bccaba −+−≤− para todo Qcba ∈,, .

18. Prove que baba −≤− para todo Qba ∈, .

19. Se Qba ∈, , mostre que 022 =+ ba se, somente se,

0== ba .

20. Mostre que a fração Znn

n∈∀

−−

121 é irredutível.

21. Seja nm uma fração é irredutível. Se Zr∈ , prove que

,n

rnmrnm +

=+

é também irredutível.

47

SUMÁRIO Unidade 4: Conjunto dos números reais

4.1 Introdução

4.2 Operações: Adição e Multiplicação

4.3 Relação de Ordem

4.4 Valor Absoluto ou Módulo 4.5 Representação Decimal

48

4 Conjunto dos números reais

4.1 Introdução

Como já visto das unidades anteriores que a construção dos números inteiros foi suprir a necessidades de números negativos. Já a construção dos números racionais foi suprir a necessidades de números fracionários. Desde modo temos que o conjuntos dos números racionais contém conjuntos dos números inteiros e este contém o conjunto dos números naturais. Mesmo assim, com construção destes conjuntos numéricos, descobri-se que existem números que não podem

ser escrito da forma *ZZ

ba

×∈ . Ao conjunto destes números

foi denominado de conjuntos dos números irracionais.

A reunião dos números racionais com os irracionais foi denominado de conjuntos dos números reais. A construção lógico formal do conjunto dos números reais será feita no apêndice III.

4.2 Adição e Multiplicação

Definição: Sejam a e b elementos de R . Definem-se as

operações soma e multiplicação de a e b por ba+ e ab .

As operações adição e multiplicação acima definidas, são

justificadas no Apêndice III. Deste modo, nos limitaremos

apenas em citar suas propriedades fundamentais a fim de que

possamos ter uma estruturação inicial do conjunto dos

números racionais.

Dados quaisquer Rcba ∈,, , temos:

3. Adição

k) cbacba ++=++ )()( (associativa)

l) abba +=+ (comutativa)

m) Existe 0 tal que aa =+ 0 ( 0 é elemento neutro da

adição)

n) Existe a− tal que 0)( =−+ aa ( a− é elemento simétrico

da adição)

Saiba mais em: 1) www.ime.

usp.br/mat/206/textos/Reais.pdf

2) www.dme.ufcg.edu.br/sites_pessoais/professores/Marco/Dedekind.pdf

49

2. Multlipicação

a) cabbca )()( = (associativa)

b) baab = (comutativa)

c) Existe 1 tal que aa =1 (1 é elemento neutro do produto)

d) 00 =⇒= aab ou 0=b (lei do anulamento do produto)

e) Para todo 0≠a existe b tal que 1=ab e denota-se por

11 −== aa

b

f) acabcba +=+ )( (a multiplicação é distributiva em

relação à adição)

O conjunto que satisfaz as propriedades acima citadas é

chamado de corpo. Portanto o conjunto dos números reais

munidos da operação soma e multiplicação é um corpo.

Exemplos: 1) Prove que o elemento neutro da adição é único.

Solução: Suponha que exista 10 outro elemento neutro da

adição, assim:

0001 =+ e 11 000 =+ , logo 100 = .

2) Prove que 1)1)(1( =−− .

Solução: Temos que 01)1( =+− , multiplicado por )1(− ,

obtemos que ,0)1()1)(1()1(0)1(1)1)(1( =−+−−⇒−=−+−−

somando-se o simétrico aditivo de )1(− , que é 1 , na última

equação, ficaremos com

.1)1)(1(10)1)(1(101)1()1)(1( =−−⇒=+−−⇒+=+−+−−

3) Prove que xyyx =−− ))(( .

Solução: Temos que xx )1()( −=− e yy )1()( −=− assim:

.)1)(1()1()1())(( xyxyyxyx =−−=−−=−−

Da construção dos conjuntos numéricos temos a seguinte

ordem de inclusão:

.RQZN ⊂⊂⊂

Pela construção lógico-formal dos conjuntos acima citados,

tem-se que a inclusão .RQ ⊂ é própria, isto é, existem números

50

reais que não são racionais. O conjunto desses números é

chamado de conjunto dos números irracionais e denotado por

.. QRI −= Por exemplo, o número 2 é irracional. De fato, se

2 fosse racional, existiriam Qba ∈, tal que 2=ba , o qual

podemos supor 1),( =bamdc . Assim 2222 2)2()( baba

=⇒= ,

daí temos que 2a é par, e pelo exercício do capítulo II, conclui-

se que a é par, ou seja, ka 2= . Desde modo, temos que 2222222 2242)2( kbbkbak =⇒=⇒== , de modo análogo

conclui-se que b é par, que é um absurdo, pois 1),( =bamdc .

Portanto 2 é irracional. Temos também na história da

Matemática alguns números irracionais “famosos”, como por

exemplo: π e e. Mais detalhes ver:

1) www.insite.com.br/rodrigo/misc/math/pi.html;

2) www.obm.org.br/eureka/artigos/irracionais.doc.

4.3 Relação de Ordem em R Vamos considerar o subconjunto dos números reais

}0|{* >∈=+ aRaR

como sendo o subconjunto dos números reais positivos.

O subconjunto *+R satisfaz seguintes propriedades:

i) A soma e o produto de números reais positivos são positivos:

Ou seja, se **, ++ ∈+⇒∈ RbaRba e *. +∈ Rba .

ii) Dado Ra ∈ , só pode ocorrer exatamente uma seguintes

alternativas: ou 0=a , ou *+∈ Ra ou .*

+∈− Ra

Um corpo que possui um subconjunto que cumpre as duas

propriedades acima, diz-se ordenado. Neste caso o conjunto

dos números reais é ordenado.

51

Se indicarmos como }0|{* <∈=− aRaR como o conjunto

números negativos, então temos que 0* <⇒∈ − aRa . Logo, por

ii), .*+∈− Ra Deste modo, temos que }0{** ∪∪= −+ RRR .

Exemplo: 1) Prove que para todo Ra ∈ implica que .02 ≥a

Solução: Por ii), temos que 0=a , ou *+∈ Ra ou .*

+∈− Ra Se

000.00 2 ≥==⇒= aa , se 00. 2*2* ≥>⇒∈=⇒∈ ++ aRaaaRa ,

agora se .00).1()1( 2*2* ≥>⇒∈−−=⇒∈− ++ aRaaaRa Portanto

nos três casos, conclui-se que .02 ≥a

2) Prove que para todo }0{, * ∪∈ +Rba implica que abba≥

+2

.

Além disso, a igualdade ocorre se, e somente se, .ba =

Solução: Por i), temos que .

220)(2)(0)( 222 abbaabbabbaaba ≥

+⇒≥+⇒≥+−⇒≥−

Além disso, se aaaaaba .2

==+

⇒= . Agora se ocorre a

igualdade, então, da demonstração, temos que .0)( 2 bababa =⇒=⇒=−

3) Prove que para todo *+∈ Ra implica que 21

≥+a

a . Além

disso, a igualdade ocorre se, e somente se, .1=a

Solução: Por 2), 2112

11

2

1

≥+⇒≥+

⇒≥+

aaa

a

aaa

a. Além

disso, por 2), ,111 2 ±=⇒=⇒= aaa

a sendo que

.1* =⇒∈ + aRa

Definição: Dados Rba ∈, dizemos que a é menor do que b (e

escreve-se ba < ) se 0>− ab .

A relação de ordem ba < goza das seguintes propriedades:

a) Transitividade: Se ba < e cb < então ca < .

b) Tricotomia: Dados Rba ∈, , só pode ocorrer uma, e somente

uma, das alternativas: ba = , ba < ou ab < .

52

c) Monotonicidade: Se ba < então, para todo Rc∈ , tem-se

c.1) cbca +<+ ;

c.2) bcca <. se 0>c .

c.3) bcca >. se 0<c .

Demonstração: a) De ba < e cb < , temos que 0>− ab e

0>− bc , daí .00)()( caacabbc <⇒>−⇒>−+−

b) Dados RabRba ∈−⇒∈, , pela propriedade ii) só pode

ocorrer uma, e somente uma, das alternativas: ou 0=− ab ,ou

0>− ab ou 0<− ab . Da primeira opção, temos que ba = , da

segunda opção ab > e da terceira opção obtemos que ab < .

c.1) De ba < 0>−⇒ ab , assim

cacbcacb +>+⇒>+−+ 0)()( .

c.2) De ba < 0>−⇒ ab , como 0>c , temos que

.00)( acbcacbccab >⇒>−⇒>−

c.3) Exercício a cargo do leitor.

Assim, dados Qba ∈, , dizemos que a é menor ou igual do que

b (e escreve-se ba ≤ ) se ,0≥− ab ou seja, }.0{* ∪∈− +Rab

È fácil verificar as seguintes propriedades:

a) Reflexiva: aa ≤

b) Anti-simétrica: Se ba ≤ e ab ≤ então ba = .

c) Transitividade: Se ba ≤ e cb ≤ então ca ≤ .

Na relação < valem também as seguintes regras de sinais:

i) Se a<0 e b<0 então ab<0 .

ii) Se a<0 e 0<b então 0<ab .

iii) Se 0<a e 0<b então ab<0 .

A desigualdade abaixo é de grande importância na Matemática.

Exemplo: (Desigualdade de Bernoulli). Dado Ra ∈ tal que

a≤−1 então para todo Nn∈ , tem-se .1)1( naa n +≥+

Solução: Provaremos por indução sobre Nn∈ . )1(P , é válida,

pois aa +≥+ 1)1( . Suponhamos válida )(nP , isto é,

.1)1( naa n +≥+ Provaremos que )1( +nP , isto é,

53

.)1(1)1( 1 ana n ++≥+ + Com efeito, como ,011 ≥+⇒≤− aa

assim multiplicando a hipótese de indução por a+1 temos que 21 )1(1)1()1)(1()1)(1( naananaaaa nn +++≥+⇒++≥++ + ,

sendo 02 ≥na , segue-se que

.)1(1)1(1)1( 21 annaana n ++≥+++≥+ +

4.4 Valor absoluto ou módulo Definição: Para todo Ra ∈ , o valor absoluto ou módulo de a


aa = se 0≥a e aa −= se 0<a .

Exemplos: 77 = , pois 07 ≥ ; πππ =−−=− )( , pois

0<− π .

Proposição 4.1 Seja Qba ∈, , então valem as seguintes

propriedades:

a) aaa ≤≤− ;

b) baab = ;

c) baba +≤+ .

d) Se 0≠a , então 11 −− = aa .

e) baba −≤− .



aaa ≤≤− .




54


baab = ;




baba +≤+ e baba +≤+− )( ;

e babababa +≤+=+⇒≥+ 0 . Agora se

babababa +≤+−=+⇒<+ )(0 . Portanto, em ambos os

casos obtêm-se que baba +≤+ .

d) Se 0≠a , temos que 11111 11.1. −−−−− =⇒===⇒= aaaaaaaa .

e) Como ,)()( bababbaababababa −≤−⇒+−≤⇒−+=⇒−+=

de modo análogo .)( bababaababababab −−≥−⇒−≤−⇒+−≤⇒−+=

desde modo ,bababa −≤−≤−− assim por a) tem-se que

baba −≤− . C.Q.D.

Exemplo: 1) Resolva a equação 527 =−+− aa .

Solução: Da definição de 7−a , temos que 7−a = 7−a se

7≥a e )7(7 −−=− aa se 7<a . Por outro lado, da definição de

2−a , temos que 2−a = 2−a se 2≥a e )2(2 −−=− aa se

2<a . Sendo assim temos três possibilidades:

i) Se 2<a . Assim )7(7 −−=− aa e )2(2 −−=− aa , daí

242592527527 =⇒−=−⇒=+−⇒=+−+−⇒=−+− aaaaaaa. Como a solução não pertence à restrição, temos que o

primeiro conjunto solução .1 ∅=S

ii) Se .72 <≤ a Assim

.5552752)7(527 =⇒=−++−⇒=−+−−⇒=−+− aaaaaa Portanto o segundo conjunto solução é }.72|{2 <≤∈= aRaS

55

iii) Se .7≥a Assim

.714252752)7(527 =⇒=⇒=−+−⇒=−+−⇒=−+− aaaaaaaa Portanto o terceiro conjunto solução é }.7{3 =S Sendo a

solução geral a união dos três conjuntos soluções, conclui-se

que a solução geral é dada por }.72|{ ≤≤∈= aRaS

2) Resolva a desigualdade 632 <−++ aa .

Solução: Da definição de 2+a , temos 2+a se 2−≥a e

)2( +− a se 2−<a . Por outro lado, da definição de 3−a ,

temos 3−a se 3≥a e )3( −− a se 3<a . Sendo assim temos

três possibilidades:

i) Se 2−<a . Assim )2(2 +−=+ aa e )3(3 −−=− aa , daí

2552612632632 −>⇒<−⇒<+−⇒<+−−−⇒<−++ aaaaaaa

. Portanto, o primeiro conjunto solução é

}.225|{1 −<<−∈= aRaS

ii) Se .32 <≤− a Assim )2(2 +=+ aa e )3(3 −−=− aa , daí

.65632632 <⇒<+−+⇒<−++ aaaa Portanto o segundo

conjunto solução é }.32|{2 <≤−∈= aRaS

iii) Se .3≥a Assim )2(2 +=+ aa e )3(3 −=− aa , daí

.2772632632 <⇒<⇒<−++⇒<−++ aaaaaa Portanto o

terceiro conjunto solução é }.273|{3 <≤∈= aRaS Sendo a

solução geral a união dos três conjuntos soluções, conclui-se

que a solução geral é dada por }.27

25|{ <≤−∈= aRaS

4.5 Representação Decimal Com o objetivo de efetuar cálculos de forma mais eficiente com números reais usaremos sua representação decimal. Trabalharemos apenas com os números positivos, pois para

56

trabalhamos com os números negativos basta acrescentar o sinal de “menos”. Definição: A representação decimal de um número real α é dada por

,, 3210 LL naaaaa=α onde 0a é um número inteiro, e ,,,, 321 LL naaaa são dígitos, isto é, },9,,3,2,1,0{ L∈ia com .,,3,2,1 LL ni =

Exemplo: 1) 123,13 , 2) L121212,0 e 3) L14159265.3=π . Observamos que no exemplo 1) temos uma terminação finita.

Já nos exemplos 2) e 3) não temos terminação finita, mas há

uma diferenciação entre ambos, pois no exemplo 2) existe uma

repetição (periodicidade) dos dígitos.

Podemos supor sem perda generalidade que 0a é um número

inteiro não-negativo. A representação decimal de α como

soma de frações é da seguinte forma

.10101010 3

32

210 LL n

naaaaa ++++=α

A última reticência nos diz que temos uma soma de infinitas

parcelas. Desta forma podemos considerar aproximações de α

por números racionais da seguinte forma:

.10101010 3

32

210 n

nn

aaaaa L++++=α .)3,2,1,0( L=n .

Observe que ,00 αα ≤= a ,10

101 αα ≤+=

aa

αα ≤++= 221

02 1010aaa e de modo geral

.10101010 3

32

210 αα ≤++++= n

nn

aaaaa L .)3,2,1,0( L=n .

Desde modo, obtém-se uma seqüência não-decrescente de

número racionais )( nα tal que

ααααα LL ≤≤≤≤ n210 .

Da definição da soma de uma progressão geométrica (P.G.)

(mais detalhes ver apêndice IV), obtém-se a seguinte

estimativa nn

−≤−≤ 100 αα . Assim através do cálculo do “limite”

(mais detalhes ver referência 5.) temos que α é limite da

57

seqüência )( nα . Conclui-se que todo número real é limite de

seqüência de números racionais.

Analisaremos alguns casos especiais:

1) ,000, 3210 LL naaaaa=α então

nn

naaaaa

10101010 33

221

0 L++++=α é número racional.

Exemplo: .10

710

31019137,9 32 +++=

Para estudarmos os próximos dois casos vamos considerar

.00 =a

2) .,0 321321321 LLLL nnn aaaaaaaaaaaa=α Esta expressão

decimal é denominada de dízima periódica simples, de período

naaaa L321 . Exemplo: L999999999,0=α , L171717,0=α e

.123123123,0 L=α

Através da soma dos termos da P.G. infinita prova-se α possui

representação na forma de fração denominada de fração

geratriz.

Proposição 4.2 A fração geratriz de uma dízima periódica

simples é uma fração cujo numerador é o período e o

denominador é número formado por tantos noves quantos são

os algarismos do período.

Demonstração: Como já sabemos da existência da fração

geratriz, usaremos um método prático para sua obtenção.

Temos que

.,0 321321321 LLLL nnn aaaaaaaaaaaa=α

Multiplicando-se a expressão acima por .10n Logo

.,10 321321321321 LLLLL nnnnn aaaaaaaaaaaaaaaa=α

Assim

58

.9999110

)110( 321321321

L

LLL n

nn

nn aaaaaaaa

aaaa =⇔−

=⇔=− ααα

Sendo que no denominado da última igualdade aparecem o

dígito 9, n (quantidade de algarismos do período) vezes.

Calcule as frações geratrizes dos seguintes exemplos:

a) L999999999,0=α . Pelo método prático temos que

L999999999,910 =α . Logo

.199

11099)110( ==⇔−

=⇔=− ααα

b) L171717,0=α . Do mesmo modo, L171717,17102 =α . Logo

.9917

1101717)110( 2

2 =⇔−

=⇔=− ααα

c) .123123123,0 L=α De modo análogo, L123123,123103 =α .

Logo

.999123

110123123)110( 3

3 =⇔−

=⇔=− ααα

É claro que poderíamos aplicar o resultado (proposição acima)

direto para obter a fração geratriz de cada exemplo acima.

3) .,0 321321321 LLLL nnm bbbbbbbbaaaa=α Esta expressão

decimal é denominada de dízima periódica composta, de

período nbbbb L321 e parte não periódica maaaa L321 .

Exemplo: L1222222,0=α , L10171717,0=α e

.65645645645,0 L=α

Através da soma dos termos da P.G. infinita prova-se que α

possui representação na forma de fração denominada de

fração geratriz.

Proposição 4.3 A fração geratriz de uma dízima periódica

composta é uma fração cujo numerador é a parte não-periódica

seguido de um período menos a parte não-periódica e o

denominador é um número formado por tantos noves quantos

59

são os algarismos do período, seguidos de tantos zeros

quantos são os algarismos da parte não-periódica.

Demonstração: Do mesmo modo da proposição anterior

usaremos um método prático para obtenção da fração geratriz.

Temos que

LLLL nnm bbbbbbbbaaaa 321321321,0=α

Multiplicando-se a expressão acima por .10m Logo

.,10 321321321321 LLLLL nnnmm bbbbbbbbbbbbaaaa=α

Agora multiplicando a expressão acima por :10n

.,10 321321321321 LLLLL nnnmnm bbbbbbbbbbbbaaaa=+ α

Agora, subtraindo a última equação da penúltima, temos que

.)1010( 321321321 mnmmnm aaaabbbbaaaa LLL −=−+ α

Desde modo

)110(10321321321

−−

= nmmnm aaaabbbbaaaa LLL

α

Ou ainda,

321L43421 L

LLL

mn

mnm aaaabbbbaaaa0009999

321321321 −=α

Sendo que no denominador da última igualdade aparece o

dígito 9, n (quantidade de algarismos do período) vezes

seguido do dígito 0, m (quantidade de algarismos da parte

não-periódica) vezes.

Calcule as frações geratrizes dos seguintes exemplos:

a) L1222222,0=α . Pelo método prático temos que

L222222,110 =α e L22222,12102 =α . Logo

9011112)1010( 2 =⇔−=− αα .

b) L10171717,0=α . Do mesmo modo, L171717,10102 =α e

L171717,1017104 =α Logo.

60

.4950501

99001002

10101002101017)1010( 24

24 ==⇔−

=⇔−=− ααα

c) .65645645645,0 L=α De modo análogo,

L456456456,56102 =α e L456456456,56456105 =α . Logo

.999564

9990056400

1010564005656456)1010( 25

25 ==⇔−

=⇔−=− ααα

É claro que poderíamos aplicar o resultado (proposição acima)

direto para obter a fração geratriz de cada exemplo acima.

EXERCÍCIOS 1. Mostre o elemento simétrico da adição é único. 2. Mostre o elemento neutro da multiplicação é único.

3. Se }0{, −∈Rba , mostre que .)( 111 −−− = baab

4. Mostre que x

xxxxn

n

−−

=+++++

111

12 L para todo 1≠x

e para todo Nn∈ .

5. Mostre que x

xaaxaxaxan

n

−−

=+++++

1)1( 1

2 L para todo

1≠x e para todo Nn∈ . 6. Prove que 3 é irracional. 7. Mostre através de exemplo numérico que os conjuntos

números irracionais não fechado é em relação à adição e multiplicação, isto é, existem QRba −∈, tais que QRba −∉+ e QRab −∉ .

8. Se QRa −∈ e Qb∈ prove que QRba −∈+ .

9. Sejam QRba −∈, . Se Qba ∈+ prove que Qba ∈−

10. Sejam Rcba ∈,, tais que 0)()( 22 =+ bcac e 0>c .

Prove que 0== ba

61

11. Seja Ra ∈, . Mostre que .22

22 baba +≤

+

12. Seja Rba ∈, . Se .00 baba <<⇒<<

13. Seja Rba ∈, . Se .0 ba <≤ Prove que baba +≤+ .

14. Seja Rba ∈, . Mostre que .022 ≥++ baba

15. Resolva as equações:

a) 25 +=+− aa b) 2325 =−−+ aa .


a) 4562 +≤+− aaa b) aaa −>++− 832

17. Prove que se cbacba +≤⇒≤− para todo

Rcba ∈,, com .0≥c

18. Prove que nn aaaaaa KK ++≤+++ 2121 para todo Raaa n ∈,,, 21 K e para todo .Nn∈

19. Calcule a fração geratriz dos seguintes números reais:

a) ...333333333,0 b) ...3311111111,0 c) ..9191919191,0 d) ....771237777777,0

20. Calcule a fração geratriz de ba + onde ...133333333,0=a e ...121212,0=b .

62

Apêndice I Números Inteiros

Para formalizarmos a construção dos números inteiros inicialmente consideremos o conjunto NxN dos pares ordenados ( )ba, de números naturais. Motivados pelo fato de que, para cdba << , , temos

cbdadcba +=+⇔−=− , definimos ( ) ( ) xbyayxba +=+⇔≈ ,, . Não é difícil mostrar que a relação ≈ é reflexiva, simétrica e transitiva, sendo, portanto, uma relação de equivalência em NxN. Em virtude disto, NxN fica subdividido em classes de equivalência [ ]ba, de ordenados ( )ba, . Vamos, então, denominar número inteiro a cada uma destas classes de equivalência. Isto significa que [ ] [ ] ( ) ( ) cbdadcbadcba +=+⇔≈⇔= ,,,, . Usaremos o símbolo Z para representar o conjunto das classes de NxN, acima descrito, denominando-o de conjunto dos inteiros. Dados dois pares ordenados ( ) ( )dcba ,,, , definamos as operações adição e multiplicação através das igualdades:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )bcadbdacdcba

dbcadcba++=•

++=+,,,

,,,

É imediato verificarmos, então, o resultado seguinte. Proposição 1. Se ( ) ( )',', baba ≈ e ( ) ( )',', dcdc ≈ então ( ) ( )'','', dbcadbca ++≈++ . Demonstração: ( ) ( )( ) ( ) ''',',

''',',cddcdcdcabbababa+=+⇔≈+=+⇔≈

Adicionando as igualdades acima resulta '''' cdabdcba +++=+++

ou seja, ( ) ( ) ( ) ( )'''' cadbdbca +++=+++ o que significa ( ) ( )'','', dbcadbca ++≈++ Como queríamos mostrar. A proposição acima permite definir a operação adição no conjunto das classes [ ]ba, . Definição: Para dois elementos arbitrários [ ]ba, e [ ]dc, de Z, [ ] [ ] [ ]dbcadcba ++=+ ,,, .

63

Exemplo: [ ] [ ] [ ]11,89,72,1 =+ A subtração é, também, possível para qualquer par de elementos de Z. Proposição 2. Dados [ ]21,cc , [ ]∈21 , aa Z existe um único elemento de Z, [ ]21 , xx tal que [ ] [ ] [ ]212121 ,,, ccxxaa =+ . (1) O elemento [ ]21 , xx é representado por [ ] [ ]2121 ,, aacc − . Demonstração: A equação (1) é equivalente a [ ] [ ]212211 ,, ccxaxa =++ , ou seja, ( ) ( )212211 ,, ccxaxa ≈++ , o que equivale a 122211 caxcax ++=++ . A equação acima possui duas incógnitas 21 , xx e tem sempre solução em N, quaisquer que sejam 121 ,, caa e 2c . Com efeito, (i) Se 1221 caca +=+ , ( ) ( ) ( )0,0,, 21 ≈= hhxx Logo, [ ] [ ]0,0, 21 =xx . (ii) Se 1221 caca +<+ ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )0,,, 2112211221 cacahcacahxx +−+≈+−++= Assim, [ ] ( ) ( )[ ]0,, 211221 cacaxx +−+= . (iii) 2112 caca +<+

como queríamos mostrar. Procuremos, agora, definir uma multiplicação de elementos de Z. Vejamos, inicialmente, que, quando as subtrações são possíveis em N, temos ( )( ) ( ) ( )bcadbdacdcba +−+≈−− . Daí, porque teremos a seguinte definição: Definição: ( ) ( ) ( )bcadbdacdcba ++=• ,,, . Proposição 3: Se ( ) ( )',', baba ≈ , então, para todo par ordenado ( )dc, , ( ) ( ) ( ) ( )dcbadcba ,',',, •≈• Demonstração: (Exercício) Analogamente mostraríamos que se o par ( )dc, for substituído por um equivalente ( )',' dc também o produto será substituído por um par equivalente. Novamente aqui é, então, possível enunciar a Definição: Para cba ,, e ∈d N, [ ] [ ] [ ]bcadbdacdcba ++=• ,,, . Definidas a adição e a multiplicação em Z, enunciaremos uma propriedade útil para o que veremos adiante.

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ],,0,

,,0,,

122121

1221122121

cacaxxcacacacahhxx

+−+=+−+≈+−++=

64

Proposição 4: Dado um elemento [ ]∈ba, Z, podemos representá-lo, de modo único, por [ ] [ ]0,, cba = , ∈c N, [ ] [ ]cba ,0, = , ∈c N, 0≠c . Demonstração: Sabemos que, se as subtrações indicadas são possíveis em N, temos ( ) ( )cbcaba −−≈ ,, . Dado [ ]ba, , temos ba ≥ ou ba < . No primeiro caso, tomando bac −= , será [ ] [ ] [ ]0,0,, cbaba =−= . No segundo caso, fazendo abc −= , virá [ ] [ ] [ ]cabba ,0,0, =−= , como queríamos demonstrar. Temos, como conseqüência, que o conjunto Z dos números inteiros pode ser escritos como

[ ]{ } [ ]{ }0,,,0,0, ≠Ν∈∪Ν∈=Ζ ccccc . Representando os conjuntos acima, respectivamente por

+Ζ e −Ζ , teremos −+ ∪Ζ=Ζ Z . Os elementos de −Ζ são os inteiros negativos e os elementos de +Ζ são os elementos não-negativos. Nesta altura, a identificação do conjunto N com o conjunto +Ζ é feita de modo simples através da função

+Ζ→Ν:δ , definida por ( ) [ ]0,cc =δ . A função δ é injetiva e sobrejetiva. Além disso, ela preserva as operações em N e em +Ζ , de adição e de multiplicação. Mais precisamente, ( ) ( ) ( )dcdc δδδ +=+ . ( ) ( ) ( )dcdc δδδ .. = .

Admitindo a identificação acima, podemos, então, escrever Ζ⊂Ν . Se, convencionarmos, representar [ ] cc =0, e [ ] cc −=,0 , vem que { },...3,2,1,0,1,2,3..., −−−=Ζ .

65

Apêndice II Números Racionais

Definição 1: Dados os números inteiros 0,, ≠bba , dizemos que o inteiro x é o quociente de a por b , e representamos por

bax /= , se tivermos xba .= . É claro que nem sempre existe em Z o quociente de dois números. Por exemplo, não existe em Z o quociente 5/12 . Procuremos, então, construir um conjunto numérico que inclua, além dos inteiros, os quocientes de inteiros. Uma primeira observação é a de que podemos obter o mesmo quociente a partir de diferentes pares de inteiros. Assim, 311/334/12 == . Não é difícil ver que, se existem em Z os quocientes dcba // = então bcad = . Reciprocamente, se

bcad = , vemos que dcba // = . Desta forma, imitando a construção do conjunto Z a partir de N, deveremos tomar, no conjunto *ΖΖx de pares de inteiros com segunda componente não nula, a identificação: ( ) ( ) bcaddcba =⇔≅ ,, . Da definição acima segue-se, de imediato, que a relação “ ≅ ” é uma relação de equivalência em *ΖΖx . Segundo a relação “ ≅ ”, definida acima, a classe de equivalência de

qualquer elemento ( ) *, ΖΖ∈ xba , será representada por ( )_____

,ba ;

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ){ }bcadxdcdcbaxdcba =ΖΖ∈=≅ΖΖ∈= /,,,/,, **_____

No que se segue, representamos ( )_____

,ba pela fração ba .

Ou seja, ( )baba =

______

, .

O inteiro a é o numerador, b é o denominador. Exercício: Mostre que a relação “≅ ” acima é reflexiva, simétrica e transitiva, [Na transitividade será necessário usar a lei de cancelamento da multiplicação que é verdadeira em Z (Por quê?)]. Motivados pela soma e pela multiplicação de frações, pode-se definir as seguintes operações no conjunto *ΖΖx : ( ) ( ) ( )( )( ) ( )bdacdcba

bdbcaddcba,,.,

,,,,=

+=+

Proposição 1: (i) Se ( ) ( )',', baba ≅ e ( ) ( )',', dcdc ≅ , então ( ) ( )'','''', dbcbdabdbcad +=+ . (ii) Se ( ) ( )',', baba ≅ e ( ) ( )',', dcdc ≅ , então ( ) ( )'','', dbcabdac = . Prova: (Exercício)

66

A proposição acima nos permite definir, no conjunto das

classes de equivalência ba , as operações de adição e

multiplicação:

bdbcad

dc

ba +

=+ , bdac

dc

ba

=⋅ .

Cada uma das classes de equivalência ba é chamada

um número racional. O conjunto Q, dos números racionais, é, então, o conjunto das classes de equivalência de *ΖΖx com respeito à relação “≅ ”. O conjunto Q, assim construído, amplia o conjunto Z dos inteiros de modo que: (i) As operações ditas “inteiras” (adição, subtração e multiplicação), definidas em Q, fornecem o mesmo resultado das operações correspondentes em Z, quando os elementos de Q envolvidos são os elementos de Z. (ii) As propriedades formais das operações “inteiras” em Z são preservadas, quando estendidas às operações em Q.

(iii) Existem em Q o quociente de dois elementos ba e

dc , com

0≠c , pertencentes a Q. Para provar todas essas afirmações devemos, simplesmente, usar as definições adotadas. Algumas observações são úteis para esta tarefa. Observação 1: Todos os pares de forma ( ) *,0 ΖΖ∈ xh são equivalentes, com respeito à relação “ ≅ ”; com efeito, ( ) ( )kh ,0,0 ≅ , pois 0..0 hk = .

O número racional h0 é, portanto, o mesmo qualquer

que seja o inteiro não-nulo h . Ele é o racional zero. Mostraremos que é o elemento neutro da soma. Com efeito,

ba

hbha

bhbha

hba

==+

=+..0..0 .

Observação 2: Representemos por Q * o conjunto dos racionais excetuando o zero.

Definamos, então, o quociente de ∈ba Q por ∈

dc Q * ,

como sendo o racional yx tal que

dc

yx

ba

⋅= .

É fácil ver, então, que a operação de obtenção do quociente (chamada divisão) é sempre possível em Q x Q * . Observação 3: Se definirmos a função

→Z:φ Q

67

( )1xxx =φa

onde Q1 é o conjunto dos racionais de denominador igual a um, não é difícil provarmos que φ é uma função bijetora, e, além disso, preserva as operações em Z e Q, no sentido de que: ( ) ( )+=+ azba φφ Q ( )bφ ( ) ( ).. azba φφ = Q ( )bφ

onde usamos os símbolos +Z, • Z, +Q, • Q para representar as operações de adição e multiplicação em Z e em Q, respectivamente. A função φ permite-nos, assim, identificar Z com o

subconjunto Q1 ⊆

=

1a Q dos racionais de denominador igual a

1. . Desta maneira, o conjunto Q pode ser visto como uma ampliação do conjunto Z.

68

Apêndice IV

Seqüências: Progressões Aritméticas e Geométricas Neste apêndice introduziremos a definição de seqüência, e em especial, as denominadas de progressões aritméticas e progressões geométricas.

Definição: Uma Seqüência é uma função a dos conjuntos dos

números naturais (domínio) aos conjuntos dos números reais

(contradomínio) que associa a cada elemento Nn∈ a um

único elemento .Ran ∈ O elemento na é denominado o

n-ésimo termo da seqüência.

Notação: A notação que utilizaremos para nos referirmos às

seqüência, será apresentada como segue:

),,,,( 321 LL naaaaa = , ou Nnnaa ∈= )( ou simplesmente,

)( naa = .

Exemplos:

1. ),,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1( LLna = ;

2. ),1,41,

31,1()1( LL

nna == ;

3. );,)1(,1,1,1,1,1,1( LL na −−−−=

4. ).,10

1,10

1,101()

101( 2 LL nna ==

Dentre as seqüências existem dois tipos que são muitos

especiais, denominadas de progressão aritmética e progressão

geométrica.

Progressão Aritmética (P.A) Definição: Uma Progressão Aritmética e uma seqüência

),,,,( 321 LL naaaa definida por raa nn +=+1 onde r é uma

constante chamada de razão da progressão.

69

Na progressão aritmética ),,,,( 321 LL naaaa tem-se que

raa += 12 , raraa 2123 +=+= , raraa 3134 +=+= , desde

modo obtemos que nraan +=+ 11 para todo .Nn∈

A fórmula acima pode ser provada por indução sobre .Nn∈ O exemplo 1) de seqüência é uma P.A de razão 1. Outro exemplo de P.A é seqüência ),8,6,4,2,0( L−−−−=a onde a razão é -2. A soma dos n primeiros termos de uma P.A é dada pela fórmula

2)( 1 naa

S nn

+= para todo .Nn∈

A dedução da fórmula acima fica a cargo do leitor (sugestão: Prove por indução sobre n). Na seqüência

),,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1( LLna = a n primeiros termos é dada por

2)1( nnSn

+= , por exemplo para n=100 temos que

50502

100)1001(100 =

+=S . Um fato interresante que a soma dos

infinitos termos de P.A. é sempre divergente, isto é, infinito (∞+ ) ou “menos” infinito ( ∞− ).

Progressão Geométrica (P.G) Definição: Uma Progressão Geométrica e uma seqüência

),,,,( 321 LL naaaa definida por qaa nn =+1 onde q é uma

constante chamada de razão da progressão.

Na progressão aritmética ),,,,( 321 LL naaaa tem-se que

qaa 12 = , 2123 qaqaa == , 3

134 qaqaa == , desde modo obtemos

que n

n qaa 11 =+ para todo .Nn∈

A fórmula acima pode ser provada por indução sobre .Nn∈ O exemplos 3) e 4) de seqüência são P.G de razão -1 e

101 ,

respectivamente. A soma dos n primeiros termos de uma P.G é dada pela fórmula

1)1(1

−−

=qqaS

n

n para todo .Nn∈

A dedução da fórmula acima fica a cargo do leitor (sugestão:

Prove por indução sobre n). Na seqüência

70

),10

1,10

1,101( 2 LL na = a n primeiros termos é dada por

910

11

1101

)110

1(101

nn

nS−

=−

−= , por exemplo para n=3 temos que

111,01000111

91000

113 ==

−=S . Um fato interresante que a soma

dos infinitos termos de P.G. pode ser convergente, isto é, ser

finito, cujo o valor é dado por

qaSS n

n −==

+∞→ 11lim ,

desde que 1<q , pois 0lim =+∞→

n

nq ( para mais detalhes ver

referência 5.). Assim para a P.G acima temos que

91

1011

101

=−

=S .

71

Bibliografia

1. LIMA, E. L., CARVALHO, P. C. P., WAGNER, E e

MORGADO, A. C. A Matemática do Ensino Médio

– vol. 1. Coleção do Professor de Matemática:

Sociedade Brasileira de Matemática - SBM, 2006

2. DOMINGUES, H. H. e IEZZI, G., Álgebra Moderna,

São Paulo, Editora Atual, 1979.

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São Paulo, Editora Atual, 1991.

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Coleção Matemática Universitária: Instituto Nacional

de Matemática Pura e Aplicada – IMPA, CNPq, Rio

de Janeiro, 1993.

5. LIMA, ELON LAGES. Curso de Análise – vol. 1.

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IMPA, CNPq, Rio de Janeiro, 1976.

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Revista

www.revistaead.ufpi.br

Universidade Federal do Piauí

Interação

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