Apostila EMA 184

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Universidade Federal de Minas Gerais – UFMG Escola de Engenharia

Departamento de Mecânica - DEMEC

EMA184 – Fundamentos da Teoria de Controle Notas de Aula Autor: Prof. Dr. Lázaro Valentim Donadon

Versão 5

Março de 2016

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Sumário 1 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE .................................................................. 10

1.1 MONITORAMENTO, AUTOMAÇÃO E CONTROLE DE SISTEMAS ....................................................... 10 1.1 DEFINIÇÕES BÁSICAS .................................................................................................................... 12 1.2 EXEMPLO DE UM SISTEMA DE CONTROLE TÍPICO ........................................................................... 13 1.3 DEFINIÇÃO DE SISTEMA DE CONTROLE COM RELAÇÃO AOS SINAIS ............................................... 14 1.4 EXEMPLO DE SISTEMAS CONTROLADOS E DE SISTEMAS AUTOMÁTICOS ....................................... 14

2 MODELAGEM DE SISTEMAS DINÂMICOS ........................................................................... 15 2.1 SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAIS ..................................................................................... 15

2.1.1 Sistema Massa-Mola-Amortecedor..................................................................................... 15 2.1.2 Conjunto de Massas-Molas ................................................................................................ 18 2.1.3 Suspensão Ativa de ¼ de veículo ........................................................................................ 21

2.2 SISTEMAS DE RESERVATÓRIOS ...................................................................................................... 23 2.2.1 Reservatório Simples .......................................................................................................... 23 2.2.2 Exemplo de simulação do escoamento em reservatório simples ........................................ 25 2.2.3 Reservatórios em Série ....................................................................................................... 26 2.2.4 Sistema de Reservatório Composto .................................................................................... 26

2.3 LINEARIZAÇÃO ............................................................................................................................. 29 2.3.1 Uma Variável ...................................................................................................................... 29 2.3.2 Multivariável ...................................................................................................................... 32

2.4 SISTEMAS PENDULARES SIMPLES.................................................................................................. 34 2.4.1 Pêndulo Simples ................................................................................................................. 34 2.4.2 Pêndulo Invertido ............................................................................................................... 35

2.5 REPRESENTAÇÃO EM ESPAÇO DE ESTADO .................................................................................... 38 2.5.1 Representação quando não há derivadas da entrada ......................................................... 39 2.5.2 Representação quando há derivadas da entrada ................................................................ 44 2.5.3 Formulação Alternativa ..................................................................................................... 47 2.5.4 Passagem de espaço de estado para função de transferência ............................................ 49

2.6 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS QUANTO AO NÚMERO DE ENTRADAS E SAÍDAS ............................ 52 2.7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................... 52

2.7.1 Sistemas Translacionais ..................................................................................................... 52 2.7.2 Sistemas de Reservatórios .................................................................................................. 52 2.7.3 Linearização ....................................................................................................................... 53 2.7.4 Espaço de Estado................................................................................................................ 54

3 TRANSFORMADA DE LAPLACE .............................................................................................. 55 3.1 DEFINIÇÃO .................................................................................................................................... 55 3.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE ...................................................................................................... 55

3.2.1 Funções Simples ................................................................................................................. 55 3.2.2 Propriedades ...................................................................................................................... 58 3.2.3 Funções Especiais .............................................................................................................. 58 3.2.4 Teoremas ............................................................................................................................ 61 3.2.5 Resumo ............................................................................................................................... 65

3.3 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ....................................................................................... 66 3.3.1 Expansão em Frações Parciais .......................................................................................... 66

3.4 APLICAÇÕES DE TRANSFORMADA DE LAPLACE ............................................................................ 73 3.4.1 Solução de Equações Diferenciais ..................................................................................... 73 3.4.2 Funções de Transferência................................................................................................... 77 3.4.3 Classificação das Funções de Transferência ..................................................................... 79

3.5 EXEMPLO UTILIZANDO MATLAB ................................................................................................... 79 3.6 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................................................. 81 3.7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................... 84

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4 DIAGRAMA DE BLOCOS ........................................................................................................... 87 4.1 REPRESENTAÇÕES BÁSICAS........................................................................................................... 87

4.1.1 Sistemas em Série ............................................................................................................... 88 4.1.2 Sistemas em Paralelo .......................................................................................................... 88 4.1.3 Sistemas em Realimentação ................................................................................................ 89 4.1.4 Exemplos............................................................................................................................. 89

4.2 ÁLGEBRA DE BLOCOS .................................................................................................................... 91 4.2.1 Sistemas em Paralelo .......................................................................................................... 91 4.2.2 Sistemas em Realimentação ................................................................................................ 92 4.2.3 Sistemas em Somatório ....................................................................................................... 93 4.2.4 Exemplos............................................................................................................................. 94

4.3 EXEMPLOS RESOLVIDOS ............................................................................................................... 95 4.4 LISTA DE EXERCÍCIOS ................................................................................................................... 98

5 RESPOSTA DE SISTEMAS LTI ................................................................................................ 103 5.1 RESPOSTA TRANSITÓRIA E RESPOSTA EM REGIME PERMANENTE ............................................... 103

5.1.1 Valor Final ....................................................................................................................... 104 5.1.2 Erro de regime estacionário ............................................................................................. 104

5.2 RESPOSTA DE SISTEMAS DE 1ª ORDEM ......................................................................................... 105 5.3 RESPOSTA DE SISTEMAS DE 2ª ORDEM ......................................................................................... 108 5.4 RESPOSTA DE SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR ............................................................................ 114 5.5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................... 114 5.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................. 116

6 AÇÕES BÁSICAS DE CONTROLE .......................................................................................... 120 6.1 AÇÃO DE CONTROLE DE DUAS POSIÇÕES OU “LIGA-DESLIGA” .................................................... 121 6.2 AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL (P) ................................................................................... 122 6.3 AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL (I) ............................................................................................. 124 6.4 AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL (PI) ................................................................. 125 6.5 AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-DERIVATIVA (PD) ........................................................... 126 6.6 AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVA (PID) ........................................ 128 6.7 REJEIÇÃO A DISTÚRBIOS ............................................................................................................. 129 6.8 POSSIBILIDADE DE ESCOLHA DOS POLOS ..................................................................................... 131 6.9 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................... 133 6.10 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................ 137

7 CRITÉRIOS DE DESEMPENHO .............................................................................................. 140 7.1 TEMPO DE ACOMODAÇÃO ........................................................................................................... 141 7.2 TEMPO DE PICO ........................................................................................................................... 146 7.3 MÁXIMO SOBRESSINAL ............................................................................................................... 147 7.4 TEMPO DE SUBIDA ....................................................................................................................... 148 7.5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................... 150 7.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................. 151

8 ESTABILIDADE .......................................................................................................................... 155 8.1 DEFINIÇÕES BÁSICAS .................................................................................................................. 156

8.1.1 Estabilidade segundo as entradas e saídas ...................................................................... 156 8.1.2 Estabilidade segundo as respostas às condições iniciais ................................................. 156 8.1.3 Estabilidade segundo os polos .......................................................................................... 157

8.2 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH ...................................................................................... 159 8.2.1 Casos Especiais ................................................................................................................ 161 8.2.2 Aplicações em Sistema de Controle .................................................................................. 161

8.3 ESTABILIDADE RELATIVA ........................................................................................................... 165 8.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................. 167

9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................ 170

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Prefácio Ementa: Análise de um sistema técnico, conceitos fundamentais acerca de modelo, modelagem, análise de modelo e otimização. Modelagem física e matemática de sistemas de Engenharia Mecânica. Análise de resposta transitória. Função de transferência e representação de estados. Diagramas de bloco e fluxos de sinal. Técnicas computacionais para simulação. Noções de identificação de parâmetros. Ações básicas de controle.

Aula Datas Assunto Capítulo 1 07/03 Introdução aos Sistemas de Controle Capítulo 1 2 09/03 Modelagem de Sistemas Mecânicos Item 2.1 3 14/03 Transformada de Laplace Itens 3.1e 3.2 4 16/03 Teoremas da Transformada de Laplace Item 3.3 5 21/03 Transformada inversa de Laplace Item 3.4 6 23/03 Diagrama de Blocos Item 4.1 7 28/03 Aula de Estudos 8 30/03 Diagrama de Blocos Itens 4.2 e 4.3 9 04/04 Exercícios

10 06/04 1ª Prova Item 2.1, Capítulos 3 e 4

11 11/04 Resposta de sistemas de 1ª e 2ª ordens Itens 5.1 e 5.2 12 13/05 Resposta de sistemas de 1ª e 2ª ordens Itens 5.3 a 5.5 13 18/04 Ações Básicas de Controle Itens 6.1 a 6.6 14 20/04 Ações Básicas de Controle Itens 6.7 a 6.9 15 25/04 Aula de Estudos 16 27/04 Linearização e Sistemas Pendulares Item 2.3 e 2.4 17 29/04 Modelagem de Reservatórios Item 2.2 18 02/05 Exercícios

19 04/05 2ª Prova Itens 2.3 e 2.4, Capítulos 5, 6 e 7

19 09/05 Critérios de Desempenho Itens 7.1 e 7.2 20 11/05 Critérios de Desempenho Itens 7.3 a 7.5 21 16/05 Estabilidade Itens 8.1 e 8.2 22 19/05 Estabilidade Item 8.3 23 23/05 Representação em Espaço de Estado Item 2.5 24 25/05 Representação em Espaço de Estado Item 2.5 25 30/05 Aula de Estudos 26 01/06 Exercícios

27 08/06 3ª Prova Itens 2.2 e 2.5, Capítulo 8

28 15/06 4ª Prova (Exceto modelagem e Linearização) Capítulos 2 a 8

29 20/06 Exame (Exceto modelagem e Linearização) Capítulos 2 a 8

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Obs.: Aulas sem conteúdo serão utilizadas para antecipar aulas futuras. Portanto, todas as aulas serão computadas as frequências e serão utilizadas pelo conteúdo da disciplina.

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Critérios de Avaliação: 1ª Prova P1 – 25 Pontos – Prova Regular 2ª Prova P2 – 25 Pontos – Prova Regular 3ª Prova P3 – 25 Pontos – Prova Regular Composição da 4ª Nota: 3

3P2P1P 4ª Prova utilizada como substitutiva, Regras: Todos podem fazer; Ninguém é obrigado a fazer; Valor de 25 Pontos; Matéria toda; Substitui a 4ª nota; Substitui a menor nota entre P1, P2 e P3 caso seja maior. Exemplos Práticos:

Situação Escolhida P1 P2 P3 P4 Nota Final Não fazendo P4 14 15 16 15 60 Fazendo P4 – Bom 20 15 16 20 71 Fazendo P4 – Ruim 14 15 16 10 55

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Formulário de Consulta Transformadas de Laplace: )s(F)t(fL 1)t(L s

1)t(1L as1eL at

1nn

s!ntL 22s)t(senL

22ss)tcos(L

Propriedades da Transformada de Laplace: )as(F)t(feL at )s(Feat1atfL as )s(Fds

d1)t(ft nnnn

Teoremas da Transformada de Laplace:

)s(sFlim)t(flim 0st )s(sFlim)t(flim s0t s)0(f

s)s(Fdt)t(fL 1

0t1n

1n

0t2n

2n

0t2n1nn

nn

dt)t(fd

dt)t(fdsdt

)t(dfs)0(fs)s(Fsdt)t(fdL

Operações Matemáticas:

acbd

gdet1gdc

bag 1 32233 asa3as3sas

0030201

000 iiz,z,z

3

1i i321321 zzz

fz,z,zfz,z,zf Relações Trigonométricas:

Graus 0 30 45 60 90 120 135 150 180 Radianos 0 6

4 3

2 3

2 43 6

5 Seno 0

21 2

2 23 1

23 2

2 21 0

Cos 1 23 2

2 21 0 2

1 22 2

3 -1 tgtg sinicose i i2

eesin ii 2eecos ii

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1 Introdução aos Sistemas de Controle 1.1 Monitoramento, Automação e Controle de Sistemas O Monitoramento de Sistemas consiste na retirada de informação pertinente de um determinado sistema através de sensores. Estas informações podem ser utilizadas imediatamente para correções ou armazenadas para utilização posterior. Exemplos deste sistema podem ser representados pelo monitoramento de temperatura em caldeiras, pressão em autoclaves, etc.

Figura 1-1: Sistema de Monitoração A Automação de Sistemas visa tornar um processo automático, por exemplo, um sistema de embalagem de produtos, conhecida popularmente por embaladora, onde os produtos recebem um rótulo, depois são acondicionados em embalagens individuais e, finalmente, são colocados em caixas contendo vários produtos. Aquilo que antes era um processo manual torna-se agora um processo automático feito por uma máquina.

Figura 1-2: Sistema Automático sem sistema de monitoração Este sistema automático sem monitoração é muito difícil de ser encontrado na prática, em geral os sistemas automáticos possuem um sistema de sensores para fornecer informação da situação atual do processo automático. Por exemplo, no caso da embaladora, haverá sensores que darão informação do posicionamento do produto, se há produto e qual a posição dele, etc. Outro exemplo é o portão automático em que sensores informam a posição do portão, se há a presença de um objeto na frente, etc. Portanto, um sistema automático é constituído por,

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Figura 1-3: Sistema Automático com monitoração Neste caso, o processamento digital colhe as informações e processa para uma tomada de decisão para aplicação da ação. São utilizados para isso a lógica combinatória, na qual a saída é formada por uma cominação da entrada, e a lógica sequencial, onde as saídas são formadas pela combinação das entradas e das saídas ocorrendo um sequenciamento de atuações. O sistema automático não corrige o sistema. Exemplos deste caso podem ser as máquinas automáticas que possuem controle via CLP.

Figura 1-4: Elementos básicos de um sistema automatizado Já o Controle de Sistemas é atuar de uma forma satisfatória em um processo ou sistema físico com o intuito de melhorar o seu desempenho ou para corrigir o processo. Neste tipo de atividade está associada uma referência a ser seguida pelo sistema controlado. Exemplos deste caso são os controladores industriais com os utilizados em cilindros de laminação, onde se deseja que os rolos se mantenham a uma determinada distância, esta é a referencia a ser seguida, independente da entrada de material. Manter uma sala climatizada há uma determinada temperatura e umidade, são as referencias a serem seguidas. Estas referências podem ser zero, como no caso de controle de vibração que há em helicópteros onde se deseja que a vibração proveniente das pás do rotor não entre na cabine.

Figura 1-5: Sistema de Controle

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Uma forma conveniente de entender um processo de controle de sistemas é descrito abaixo, onde o ambiente computacional adquire os dados provenientes do sensor, compara com uma resposta desejável, calcula uma correção através do controlador, gerando assim a chamada lei de controle que é implementada no sistema mecânico através do atuador. Note que neste tipo de estratégia ocorre rejeição à distúrbios, pois espera-se que a resposta obtida seja sempre igual à resposta desejada.

Figura 1-6: Elementos básicos de um sistema controlado Observe que na prática, poderá haver sistemas automatizados e controlados ao mesmo tempo. Porém, tanto o controlado quanto o automatizado possui um sistema de monitoramento associado. 1.1 Definições básicas Para entender o processo de controle, toma-se como exemplo o sistema controle de velocidade de um carro, no qual se pretende manter a velocidade sempre constante, chamada de referência a ser seguida, independente do carro estar em uma reta, uma subida ou uma descida, os quais chamados de distúrbios. Distúrbio é um sinal que tende a afetar de maneira adversa o valor da resposta do sistema a ser controlado. Para iniciar o procedimento, é necessário fazer o modelo matemático do veiculo. Para simplificar o equacionamento, assume-se que o veículo estará andando a certa velocidade e já em marcha adequada para isso ou que seja do tipo automático, chamado de condições de modelagem. Desta forma, o que controla a velocidade é simplesmente o acelerador. Sistema sem controle ou com controle manual é aquele em que o operador é responsável por ajustar a resposta do sistema alterando manualmente a entrada, no caso do veículo, o motorista aciona o acelerador para alterar a velocidade do veiculo. Sistema controlado é aquele em que o operador ajusta a referencia a ser seguida e o sistema de controle altera a entrada do sistema para obter uma resposta em geral igual à referencia a ser seguida. No caso do veiculo, o operador informa a velocidade a ser mantida e quem acelera ou desacelera o veiculo é o sistema de controle acionado automaticamente o acelerador.

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1.2 Exemplo de um sistema de controle típico Um sistema de controle típico possui a seguinte representação em diagrama de blocos com as funções e sinais escritas em Laplace,

Figura 1-7: Sistema de controle típico

Sendo que os sinais são dados por, R(s) é a referencia a ser seguida definida pelo operador; E(s) é o erro do sistema de controle; U(s) é a lei de controle por ser a saída do controlador, mas ao mesmo

tempo é a entrada da planta a ser controlada; Y(s) é a resposta controlada real; X(s) é a resposta medida pelo sensor de erro. Sendo que os blocos representam as equações dinâmicas conforme, G(s) é o processo a ser controlado; H(s) é o sensor de erro ou de medida; PID(s) é o sistema de controle. No exemplo do controle de velocidade tem-se, Y(s) é a velocidade real ou verdadeira do veículo; X(s) é a velocidade medida pelo velocímetro, em geral, espera-se que esta

seja idêntica à velocidade do veículo Y(s); R(s) é a velocidade desejada definida pelo motorista que o veículo deve manter; E(s) é a diferença entre a velocidade medida com a velocidade desejada; G(s) é a relação matemática que correlaciona a posição do acelerador com a velocidade do veículo; H(s) é a relação matemática que correlaciona a velocidade verdadeira do veículo com a velocidade medida, todo sensor de medida possui uma relação deste tipo; M(s) é a relação matemática que correlaciona a diferença E(s) com o que deve ser feito com o acelerador para que E(s) = 0; U(s) é a posição do acelerador, note que se E(s) = 0, o acelerador deve permanecer na mesma posição.

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1.3 Definição de Sistema de Controle com relação aos sinais Controlar um sistema pode ser entendido como ajustar a entrada U(s) automaticamente por um sistema de controle M(s) para a resposta Y(s) seja igual à definida por R(s). Esta compreende o sistema de controle mais simples possível. Variável Controlada Y(s) é a grandeza ou a condição que é medida e controlada. Variável Manipulada U(s) é a grandeza ou condição modificada pelo controlador M(s) de modo que afete o valor da variável controlada. Controlar significa medir o valor da variável controlada do sistema e utilizar a variável manipulada do sistema para corrigir ou limitar os desvios do valor médio a partir de um valor desejado. 1.4 Exemplo de Sistemas Controlados e de Sistemas Automáticos Supondo uma caixa d’agua, o controle de nível de água pode ser feito de duas formas ou por um sistema controlado ou por um sistema automatizado. A escolha vai depender do tipo de fornecimento de água. Quando a água tem um fornecimento contínuo através do sistema de encanamento, como ocorre onde há água encanada a melhor solução é o sistema controlado onde tem-se uma boia, a boia é o sistema de controle e o medidor ao mesmo tempo. Ela é considerada um sistema de controle, pois independente de qualquer distúrbio no nível, ela vai manter o sistema sempre na mesma posição. Quando a água é fornecida através de uma bomba, opta-se pelo sistema automático, isto é, dentro da caixa d’agua ha dois sensores de nível, uma para nível baixo para ligar a bomba e outro para nível alto desligando a bomba. Neste caso não há rejeição a distúrbios, pois o sistema não mantem o nível de água constante.

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2 Modelagem de Sistemas dinâmicos A modelagem dinâmica de um sistema ou processo consiste em escrever sua equação dinâmica utilizando algum método matemático, como por exemplo, 2ª lei de Newton ou Lagrange. Sempre que isso for feito, deve-se ter em mente que a passagem do modelo físico para o modelo matemático envolve uma série de restrições ou condições de modelagem impostas. Isto é feito para facilitar a modelagem ou para impor determinadas condições necessárias para a compreensão de um determinado fenômeno físico. A modelagem sempre será feita baseada nos Graus de Liberdade do sistema. Os graus de liberdade são definidos pelo número de movimentos independentes que o modelo pode fazer. Em geral, toda modelagem envolve a definição do par dual que define o tipo de modelo a ser feito, por exemplo, em sistemas mecânicos é o Deslocamento e Força e Rotação e Momento, em sistemas elétricos é a voltagem e corrente. 2.1 Sistemas Mecânicos Translacionais Para a modelagem dos sistemas translacionais será utilizada a 2ª lei de Newton. 2.1.1 Sistema Massa-Mola-Amortecedor Considerando o sistema definido na figura abaixo. As condições para escrever o modelo matemático através do modelo físico são dadas por,

1. Só pode ocorrer movimento de translação na direção horizontal. Isso significa que não pode haver movimento de rotação e o móvel não pode se descolar da base de apoio;

2. Apesar da mola e amortecedor estarem deslocados, a aplicação das suas forças é feita no mesmo ponto, não causando momento, o mesmo acontece com a força externa f(t);

3. A constante de rigidez K, o coeficiente de amortecimento C e a massa M são constantes ao longo do tempo;

4. A mola e o amortecedor inicialmente não estão tensionados, o sistema está em repouso;

5. As forças de inércia, da mola e do amortecedor são consideradas lineares; 6. Não há restrição quanto ao estiramento da mola e do amortecedor, isto significa

que não há fim de curso; 7. O eixo inercial y está colocado em cima do CG (Centro de Gravidade) da massa

M.

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Figura 2-1: Sistema Massa-Mola-Amortecedor

Das condições impostas, tem-se:

1. Apenas uma coordenada independente denominada de y, que será definida como positiva para a direita;

2. A massa M fará movimentos em torno da sua posição inicial que será considerada como marco zero ou y(0) = 0;

3. Os movimentos serão realizados apenas na direção do deslocamento, portanto não é necessária a colocação da força peso.

A modelagem é feita através da construção do DCL (Diagrama de Corpo Livre). Para a colocação das forças correspondentes às forças da mola e do amortecedor, assume-se um deslocamento virtual na direção positiva de y. Neste caso, as reações são opostas ao movimento fictício, assim,

Figura 2-2: Diagrama de Corpo Livre do Massa-Mola-Amortecedor. Direção direita

Aplicando somatória de forças no eixo y,

)t(f)t(yC)t(Ky)t(yMmaF Chegando a, )t(f)t(Ky)t(yC)t(yM (2.1) Agora, invertendo a direção do eixo coordenado inercial y, isto é, assumindo que o eixo é positivo para a esquerda conforme figura abaixo,

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Figura 2-3: Diagrama de Corpo Livre do Massa-Mola-Amortecedor. Direção esquerda

Aplicando somatória de forças no eixo y,

)t(f)t(yC)t(Ky)t(yMmaF Chegando a, )t(f)t(Ky)t(yC)t(yM (2.2) Comparando a Eq. (2.1) com a Eq.(2.2) observa-se que a única diferença é a direção da força externa f(t), mas deve ser lembrado que a direção positiva dos eixos coordenados é diferente. Como exemplo de resposta para o deslocamento da massa M, assumindo massa M = 2 kg, C = 1 Ns/m e K = 5 N/m, a reposta y(t) para uma entrada f(t) = 10 N para as Eqs (2.1) e (2.2), as posições y(t) da massa M em função do tempo pode ser observada na figura abaixo. Observa-se que a diferença ocorre no deslocamento da massa. A Figura 2-4(a) o eixo coordenado e a força f(t) estão para a direita, significando que a massa se desloca para a direita enquanto que na Figura 2-4(b) o eixo coordenado é positivo para a esquerda enquanto a força f(t) está para a direita, isto significa que massa se desloca no sentido negativo.

(a) Eixo positivo DIREITA – Eq. (2.1) (b) Eixo positivo ESQUERDA – Eq. (2.2) Figura 2-4: Resposta do sistema Massa-Mola-Amortecedor para f(t) = 10N

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Resposta à força f(t) = 10 N

Deslo

camen

to y(t)

[metro

s]

Tempo [Segundos]0 5 10 15 20 25 30-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0Resposta à força f(t) = 10 N

Deslo

camen

to y(t)

[metro

s]

Tempo [Segundos]

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2.1.2 Conjunto de Massas-Molas Considerando o conjunto de massas-molas-amortecedores da figura abaixo. Para escrever a equação de movimento, deve ser assumido que,

1. Só pode ocorrer movimento de translação na direção horizontal. Isso significa que não pode haver movimento de rotação e o móvel não pode se descolar da base de apoio;

2. Apesar da mola e amortecedor estarem deslocados, a aplicação das suas forças é feita no mesmo ponto, não causando momento, o mesmo acontece com as forças externas;

3. As constantes de rigidez, os coeficientes de amortecimento e a massas são constantes ao longo do tempo;

4. As molas e os amortecedores inicialmente não estão tensionados, o sistema está em repouso;

5. As forças de inércia, das molas e dos amortecedores são consideradas lineares; 6. Não há restrição quanto ao estiramento das molas e dos amortecedores, isto

significa que não há fim de curso; 7. Os eixos inerciais estão colocados em cima do CG (Centro de Gravidade) das

massas.

Figura 2-5: Conjunto de Massas-Molas-Amortecedores – Variação #1

Das condições impostas, tem-se:

1. Três coordenadas independentes, x, y e z, pois cada bloco pode se mover independente uma da outra;

4. As massas farão movimentos em torno de suas posições iniciais que serão consideradas como marco zero, x(0) = 0, y(0) = 0 e z(0) = 0;

2. Os movimentos serão realizados apenas na direção do deslocamento, portanto não é necessária a colocação da força peso.

Neste caso, o DCL precisa ser feito para cada massa. As forças de reação de cada amortecedor e mola são colocadas assumindo um deslocamento positivo fictício para a massa em analise enquanto as outras massas estão paradas. Assim, observam-se as reações das molas

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e amortecedores em sentidos opostos ao eixo coordenado considerado. Como regra geral, os deslocamentos ou velocidades são colocados assumindo a coordenada atual subtraída da coordenada à qual a força está conectada se as direções das duas coordenadas são iguais, então se tem para as massas os DCLs apresentados na figura abaixo.

(b) Massa M2

(a) Massa M1 (c) Massa M3 Figura 2-6: DCL do conjunto de massas-molas-amortecedores – Variação #1

Observe que apesar das forças possuem os mesmos sentidos as coordenadas estão em oposição, significando que no somatório as forças estão em oposição. Aplicando o somatório de forças em cada bloco encontra-se: Para a massa M1, 1uzx5Kzx5Cyx3Kyx3Cx1Kx1Cx1M Para a massa M2, 2uzy4Kzy4Cxy3Kxy3Cy2Ky2Cy2M Para a massa M3, 3uxz5Kxz5Cyz4Kyz4Cz3M Escrevendo a Equação de Movimento na forma matricial encontra-se,

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3u2u1u

100010001

zyx

5K4K4K5K4K4K3K2K3K5K3K5K3K1K

zyx

5C4C4C5C4C4C3C2C3C5C3C5C3C1C

zyx

3M0002M0001M

(2.3)

Uma forma de verificar se as equações estão corretas é verificar se a matriz de massa é diagonal, a matriz de amortecimento e rigidez deve possuir a diagonal principal positiva, os termos fora da diagonal principal devem ser todos negativos e a matriz deve ser simétrica. Estas Verificações são válidas para conjunto de massas-molas-amortecedores quando todos os eixos inerciais possuem a mesma direção positiva. Agora, resolvendo o mesmo problema, mas invertendo a direção positiva do eixo inerciais da massa M2 conforme figura abaixo.

Figura 2-7: Conjunto de Massas-Molas-Amortecedores – Variação #2

Com a mudança de direção do eixo inercial y, deve-se verificar as novas direções das forças do móvel ao qual ele está referenciado, neste caso a massa M2. Além disso, quando as coordenadas possuírem sentidos opostos, elas deverão ser somadas nas forças. Desta forma, a nova configuração das forças fica como apresentado na figura abaixo.

(b) Massa M2

21

(a) Massa M1 (c) Massa M3 Figura 2-8: DCL do conjunto de massas-molas-amortecedores – Variação #2

Aplicando Somatório de Forças, encontra-se, Para a massa M1, 1uzx5Kzx5Cyx3Kyx3Cx1Kx1Cx1M Para a massa M2, 2uzy4Kzy4Cxy3Kxy3Cy2Ky2Cy2M Para a massa M3, 3uxz5Kxz5Cyz4Kyz4Cz3M Escrevendo a Equação de Movimento na forma matricial encontra-se,

3u2u1u

100010001

zyx

5K4K4K5K4K4K3K2K3K5K3K5K3K1K

zyx

5C4C4C5C4C4C3C2C3C5C3C5C3C1C

zyx

3M0002M0001M

(2.4)

Como verificação das matrizes, observa-se que a simetria e os valores positivos da diagonal principal das matrizes de amortecimento e rigidez se mantiveram, a única alteração foi em relação aos termos fora da diagonal principal, que quando relacionados ao eixo que possui direção positiva invertida apresentaram termos positivos. 2.1.3 Suspensão Ativa de ¼ de veículo A suspensão ativa que será apresentada se refere ao modelo padrão de ¼ de veículo ou modelo de 2 graus de liberdade. Para passar do modelo físico para o modelo matemático as seguintes considerações devem ser feitas,

22

1. Os deslocamentos são todos na direção vertical; 2. Não ocorre rotação das massas; 3. Todos os movimentos são feitos no plano vertical; 4. As forças de reação do amortecedor e da mola não geral momento; 5. As forças da mola e do amortecedor são lineares; 6. O pneu será modelado como uma rigidez pura; 7. Não ocorre fim de curso para o amortecedor e mola; 8. O pneu se mantém sempre em contato com o solo; 9. O modelo será feito a partir do repouso; 10. A força de controle será feita por um cilindro de dupla ação.

As considerações feitas acima são todas aceitas e utilizadas em modelos mais avançados. As condições mais difíceis de serem cumpridas são a n°7 e n°8. Na prática a força da mola só é linear na região central de deslocamento, quando chega próximo ao fim de curso, a rigidez se torna cúbica aumentando força da mola. Assim, a principal restrição acaba sendo o contato do pneu com o solo para uma situação real.

Sendo que, Ms é a massa suspensa de ¼ de veiculo; Mn é a massa não suspensa representada pelo conjunto roda, pneu e suspensão; Ys é o deslocamento da massa Ms; Yn é o deslocamento da massa Mn; K é a rigidez da suspensão; C é o amortecimento da suspensão; Kp é a rigidez do pneu; w(t) é o deslocamento da via ou perturbação; u(t) é a força de controle.

Figura 2-9: Suspensão Ativa de ¼ de veiculo O objetivo da suspensão ativa é evitar que os distúrbios indesejáveis da via afetem a massa suspensa. Como objetivo da suspensão ativa pode ser minimizar o deslocamento ou a aceleração da massa suspensa. A minimização do deslocamento é feita para suspensões com caráter esportivo e a minimização da aceleração é feita para efeitos de conforto. Desta forma, esportividade e conforto são parâmetros conflitantes no desenvolvimento de suspensões veiculares. Construindo o DCL para as duas massas e assumindo que a força de controle u(t) será positiva quando afasta as massas e negativa quando aproxima as massas e o distúrbio da via é positivo no mesmo sentido dos deslocamentos das massas, encontra-se a figura abaixo.

23

(a) Massa Suspensa (c) Massa não suspensa

Figura 2-10: DCL da Suspensão Ativa de ¼ de veiculo Para a massa Ms, )t(u)t(y)t(yC)t(y)t(yK)t(yM nsnsss Para a massa Mn, )t(u)t(w)t(yK)t(y)t(yC)t(y)t(yK)t(yM npsnsnnn Escrevendo a Equação de Movimento na forma matricial encontra-se,

)t(w)t(u

K101

)t(y)t(y

KKKKK

)t(y)t(y

CCCC

)t(y)t(y

M00M

pns

pns

ns

ns

(2.5) 2.2 Sistemas de reservatórios Para a modelagem de reservatórios será assumido que todos os sistemas apresentados partem do pressuposto que já havia fluxo Q entrando e saindo e as alturas H dos reservatórios já estavam constantes. Portanto, é considerado que a modelagem apresentada a seguir não contempla o reservatório vazio. Além disso, será considerado escoamento laminar. 2.2.1 Reservatório Simples Considere o reservatório apresentado abaixo. Nele, inicialmente entra Q(t) e sai Q(t), o liquido permanece em uma altura H dentro do reservatório devido à resistência R. A modelagem será feita supondo a variação em torno desta condição inicial.

24

Figura 2-11: Reservatório simples

A resistência R ao fluxo de liquido em uma tubulação ou restrição é definida como a variação na diferença de nível (a diferença entre o nível dos líquidos nos dois reservatórios) necessária para causar a variação unitária na vazão, assim,

R = (Variação na diferença de nível, m)/(Variação na vazão em volume, m3/s) Considerando que o fluxo seja laminar, então,

QH

dQdHR

A Capacitância C de um reservatório é definida como a variação na quantidade de liquido armazenado necessário para causar uma mudança unitária no potencial (altura). O potencial é a grandeza que indica o nível de energia do sistema. Assim,

C = (Variação na quantidade de liquido armazenado, m3)/(Variação na altura, m) Notar que capacidade (m3) e capacitância (m2) são diferentes. A capacitância do reservatório é igual à sua secção transversal. Se esta for constante, a capacitância será constante para qualquer altura do nível. Sendo assim, tem-se, Q é a vazão em regime permanente, m3/s; qi(t) é um pequeno desvio de entrada em relação ao seu regime permanente, m3/s; qo(t) é um pequeno desvio de saída em relação ao seu regime permanente, m3/s; H é a altura do nível de liquido em regime permanente, m; h(t) é um pequeno desvio de nível a partir do seu valor de regime permanente, m; Aplicando a conservação de massa: “A variação na quantidade que entra menos a variação na quantidade que sai é a variação da quantidade armazenada”. Assim, Cdh(t) = ( qi(t) – qo(t) ) dt (2.6) A partir da definição de resistência, a relação entre qo(t) e h(t) é dada por,

25

R)t(h)t(q)t(q

)t(hR oo

(2.7) Portanto, substituindo Eq(2.7) na Eq(2.6),

)t(qR)t(h

dt)t(dhC i

A equação acima relaciona a variação na entrada qi(t) com a variação da altura h(t). Aplicando a transformada de Laplace para encontrar a função de transferência,

1RCsR

)s(Q)s(H

i Para a relação entre a entrada Qi(s) e a saída Qo(s) é substituída a transformada de Laplace da Eq(2.7), assim,

1RCs1

)s(Q)s(Q

io

Onde foi substituída a relação,

)s(HR1)s(Qo

2.2.2 Exemplo de simulação do escoamento em reservatório simples Assumindo um reservatório simples com área A = 6 m2 resistência R = 75 m/(m3/s). As funções de transferência que correlacionam uma variação no fluxo de entrada com as variações na altura e no fluxo de saída são dada por,

1s45075

)s(Q)s(H

i e 1s4501

)s(Q)s(Q

io

Observa-se que a constante de tempo é de 450 segundos e que uma variação unitária na entrada acarreta um aumento na altura em 75 metros, parece muito, mas uma entrada unitária é um aumento de 1 m3/s em um tanque de 6 m2 de área. Do ponto de vista físico um aumento de vazão em 1 m3/s em um tanque de área 6 m2 parece não ser possível ou improvável de ser realizado fisicamente. Contudo um aumento de 10 litros/segundo acarretaria um aumento de 0,75 metros do nível armazenado.

26

2.2.3 Reservatórios em Série Quando os reservatórios estão conforme apresentados na figura abaixo, verifica-se que a entrada de um reservatório é saída do outro. Esta configuração caracteriza que os tanques estão em série.

Portanto, as funções de transferência que regem o sistema são dadas por,

1sCR1

)s(Q)s(Q

1112 e 1sCR

1)s(Q)s(Q

2223

Então,

1sCRCRsCRCR1

1sCR1

1sCR1

)s(Q)s(Q

22112

2211221113

Observe que neste caso o resultante é um sistema de 2ª ordem com raízes reais distintas, com frequência natural dada por,

2211n CRCR

1 rad/s 2.2.4 Sistema de Reservatório Composto A modelagem do sistema de tanques apresentado abaixo, o principio é o mesmo utilizado acima, isto é, inicialmente em regime permanente os escoamentos eram Q e as alturas H1 e H2.

27

Figura 2-12: Acoplamento de reservatórios

Resistência R1,

12112

12211 R

)t(h)t(h)t(q)t(q)t(h)t(hR (2.8)

Resistência R2,

22o

o22 R

)t(h)t(q)t(q)t(hR (2.9)

Conservação de massa para o reservatório 1, )t(q)t(qdt

)t(dhC 12i11 (2.10) Conservação de massa para o reservatório 2, )t(q)t(qdt

)t(dhC o1222 (2.11) As equações (2.8) a (2.11) formam o conjunto de equações diferenciais para o conjunto de reservatório. Para encontrar a função de transferência Qo(s)/ Qi(s), aplica-se a transformada de Laplace nas Equações (2.8) a (2.11), mas aqui será utilizado o procedimento de diagrama de blocos.

28

Figura 2-13: Diagrama de blocos das equações do reservatório - separados

Montando os blocos, encontra-se,

Figura 2-14: Diagrama de blocos das equações do reservatório – juntas - a

Aplicando álgebra de blocos, movendo H2(s) e incluindo 1/C1s, encontra-se,

Figura 2-15: Diagrama de blocos das equações do reservatório – juntas - b

Resolvendo as realimentações internas,

Figura 2-16: Diagrama de blocos das equações do reservatório – juntas - c

Desta forma,

29

1sCRCRCRsCRCR

1sCR1sCR1sCR

111sCR1sCR

1)s(Q)s(Q

1222112

2211122211

2211io

Observe que o sistema resultante é um sistema de 2ª ordem com frequência natural dada por,

2211n CRCR

1 rad/s A frequência natural é exatamente a mesma para o sistema em série, contudo o fator de amortecimento é maior, pois o termo com “s” possui um fator a mais “R2C1”. Sendo assim, um sistema mais amortecido. 2.3 Linearização Para a aplicação da transformada de Laplace ser aplicada, as equações de movimento precisam estar na forma linear. Um sistema linear obedece aos princípios da superposição de resultados e da multiplicação por constante, isto é,

Entrada Saída X1(t) Y1(t) X2(t) Y2(t) X1(t) + X2(t) Y1(t) + Y2(t) αX1(t) + β X2(t) αY1(t) + β Y2(t)

Uma forma de realizar a linearização é a expansão do termo não linear em Série de Taylor tomando apenas os termos lineares, isto é, os termos não lineares são desconsiderados. Mas para isso é necessário assumir um ponto entorno do qual a expansão será válida. 2.3.1 Uma Variável A Série de Taylor para uma variável, supondo a função f(x) em torno da posição x = a, é dada por,

ax)x(fdxd)a(fxf

axL

Onde fL(x) é a função linearizada de f(x) em torno do ponto x =a. Exemplo 1: Linearizar a equação abaixo em torno do ponto θ = 0.

g(θ) = cos(θ)

30

1)0)(0sin()0cos(0)(gdd)0(gg

0L

Figura 2-17: Linearização de cos(θ) em torno de θ = 0

Exemplo 2: Linearizar a equação abaixo em torno do ponto θ = 0.

g(θ) = sen(θ)

)0)(0cos()0sin(0)(gdd)0(gg

0L

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400.70.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.051.1

Cos(

)

[Graus]

Cos()linear

Valor Exato5% de erro

31

Figura 2-18: Linearização de sen(θ) em torno de θ = 0

Exemplo 3: Linearizar a equação abaixo em torno do ponto x = π/4, xsinx)x(g 2 Então,

4xxcosx)xsin(x24sin4)x(g

4x)x(gdxd

4gxg

4x2

2L

4xL

Chegando a,

4x322

42

322

4x4cos4)4sin(424sin4)x(g

22

22L

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.52

Sin( )

[Graus]

Sin()linear

Exato

Erro 5%

32

Figura 2-19: Linearização de xsinx)x(g 2 em torno de x = π/4

2.3.2 Multivariável A Série de Taylor para funções multivariáveis. Supondo a função f(x,y,z) em torno da posição (x,y,z) = (a,b,c), é dada por,

cz)z,y,x(fzby)z,y,x(fy

ax)z,y,x(fx)c,b,a(fz,y,xf

)c,b,a()z,y,x()c,b,a()z,y,x(

)c,b,a()z,y,x(L

Onde fL(x,y,z) é a função linearizada de f(x,y,z) em torno do ponto (x,y,z) =(a,b,c). Exemplo: Obter a linearização para o ponto (x,θ) = (1,π/4). umgLexcosx3

0mLsinxcosxx22

2

A linearização pode ser feita por partes. Para isso, devem ser observados quais são os termos não lineares. Iniciando pela 1ª equação, o termo não linear é dado por sinxcos. Assim, aplicando a linearização de )sin(x)cos(,xf para (x,θ) = (1,π/4),

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-4

-3

-2

-1

0

1

2

3Função G(x)

Valore

s de g

(x)

x

não-linearlinearizada

Ponto exato

5% de diferença

33

4),x(f1x),x(fx)4,1(f,xf

)4,1(),x()4,1(),x(L

As derivadas parciais,

cosxsinsinxcossinsinxcosx

Resultando em,

44cos4sin1x4sin4sin4cos,xfL

1x221x2

22sinxcos Para a segunda equação, o termo não-linear é x22 excosx3 , mas deve ser observado que há a derivada em relação ao tempo que é um termo linear, então deve-se separar este termo, fazendo cosx3,xf 2 ,

sinx3cosx3cosx6cosx3x

22

2

Então,

44sin31x4cos64cos3,xfL

42231x2

262

23cosx3 2 Para a exponencial,

x2x2 e2ex

Resultando em, 1x2e1xe2ee 222x2 Juntando as soluções para compor as novas equações,

34

umgLexcosx30mLsinxcosx

x222

→

umgLex42231x2

262

230mL1x2

2x2

2

Observe que nesta linearização foi considerado que a derivada multiplicada pela coordenada não pode ser linearizada, por isso considerada como zero. 2.4 Sistemas Pendulares Simples Os sistemas pendulares são utilizados como exemplos de sistemas não-lineares mas que podem ser controlados em torno de uma posição de equilíbrio. 2.4.1 Pêndulo Simples Considerando o sistema apresentado na figura abaixo. Encontrar a equação de movimento na forma linear para uma entrada nula, isto é, equação linear homogênea.

Figura 2-20: Pêndulo simples

Aplicando somatório dos momentos no ponto de apoio da haste,

Mh IIsin2LmgsinMgLIM

Como curiosidade, os momentos de inércia são dados por, 2

M MLI Massa pontual girando a uma distância L; 3

mLI 2h Haste de comprimento L girando pela base;

Assim, a equação de movimento não-linear fica,

35

0singM2mLM3

m

Aplicando a linearização para o ponto θ = 0,

0gM2mLM3

m

Neste modelo foi desprezado o efeito da fricção entre a haste e o apoio, observa-se pela equação de movimento que não aparece o termo da derivada de θ que caracterizaria a presença de amortecimento se considerado um modelo de 2ª ordem. 2.4.2 Pêndulo Invertido O objetivo do sistema é manter a haste na posição vertical escolhendo a posição de parada do carro M através da ação de controle u(t).

Figura 2-21: Pêndulo invertido

Para fazer o equacionamento, deve-se separar os objetos através do DCL (Diagrama de Corpo Livre). Além disso, como o objetivo é posicionar o carro M no espaço, será dotado um sistema de coordenadas inercial.

Figura 2-22: Pêndulo invertido - DCL

Aplicando somatório de forças na direção horizontal do carro, )t(xMH)t(umaFx C (2.12)

36

Aplicando somatório de forças e momentos na haste com a massa, )t(xM)t(xmHmaFx CGMCGh (2.13) )t(yM)t(ymgMmVmaFy CGMCGh (2.14) )t(IIsin2

LMgcos2LHsin2

LVIM MhCGh (2.15) Como se observa, é necessário encontrar a relação do centro de gravidade para a haste e para a massa M. Abaixo a relação para a haste, pois a diferença entre a massa L/2,

)t(sin)t()t(cos)t(L)t(x)t(x

)t(sin)t()t(cos)t(2L)t(x)t(x

)t(cos)t(2L)t(x)t(x

)t(sin2L)t(x)t(x

2CGM

2CGh

CGh

CGh

(2.16)

)t(cos)t()t(sin)t(L)t(y

)t(cos)t()t(sin)t(2L)t(y

)t(sin)t(2L)t(y

)t(cos2L)t(y

2CGM

2CGh

CGh

CGh

(2.17)

As equações de movimento são encontradas substituindo (2.16) em (2.13) e então em (2.12), assim,

)t(u)t(sin)t()t(cos)t(L)t(xM)t(sin)t()t(cos)t(2

L)t(xm)t(xM2

2C

Reagrupando, )t(u)t(sin)t()t(cos)t(2

LM2m)t(xMMm 2C (2.18)

Agora substituindo (2.13) e (2.14) em (2.15),

37

0sin2

LMgcos2L)t(xM)t(xm

sin2LMm)t(yM)t(ym)t(II

CGMCGh

CGMCGhMh

Reagrupando,

0sin2

LgM2mcos2L)t(xM)t(xm

sin2L)t(yM)t(ym)t(II

CGMCGh

CGMCGhMh

Agora substituindo (2.16) e (2.17) na equação acima,

0sin2

LgM2m)t(sin)t()t(cos)t(cos4

LM2mcos2L)t(xMm

)t(cos)t()t(sin)t(4LsinM2m)t(II

22

22Mh

(2.19)

Assim, as equações (2.18) e (2.19) são as equações não-lineares do pendulo invertido. Para encontrar as equações na forma linear, considera-se o ponto em torno de θ = 0. Assim, )t(u)t(2

LM2m)t(xMMm C (2.20) 02

LgM2m)t(x2LMm)t(4

LM2mII 2Mh

(2.21)

Como os momentos de inércia são dados por, 2

M MLI Massa pontual girando a uma distância L; 12

mLI 2h Haste de comprimento L girando pelo Centro de Gravidade;

Assim, o a equação de movimento linear na forma de matriz é dada por,

0)t(u

)t()t(x

2gLM2m0

00)t()t(x

L4M3

3m

2LMm

2LMmMMm

2

C

Comentário sobre linearização: Em geral a linearização é feita durante o processo de modelagem e não aplicado diretamente na equação não-linear final, assim como o objetivo é

38

encontrar a equação do pendulo invertido linear, os termos não lineares dos centros de gravidade poderiam ser encontrados conforme,

)t(sin)t()t(cos)t(2L)t(x)t(x

)t(cos)t(2L)t(x)t(x

)t(sin2L)t(x)t(x

2CGh

CGh

CGh

→ )t(2

L)t(x)t(x)t(2

L)t(x)t(x)t(2

L)t(x)t(x

CGh

CGh

CGh

Para a outra parte,

)t(cos)t()t(sin)t(2L)t(y

)t(sin)t(2L)t(y

)t(cos2L)t(y

2CGh

CGh

CGh

→ 0)t(y0)t(y2L)t(y

CGhCGh

CGh

2.5 Representação em Espaço de Estado A representação em espaço de estado é uma alternativa para a representação em função de transferência. Ele é extremamente útil quando o sistema a ser representado possui múltiplas entradas e saídas. Além disso, ela é utilizada pelo método de controle de alocação de polos por necessitar de uma realimentação de estado. O Estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis (chamada variáveis de estado), tais que o conhecimento dessas variáveis em t = t0, junto ao conhecimento da entrada para t ≥ t0, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t ≥ t0. As Variáveis de Estado de um sistema dinâmico são aquelas que constituem o menor conjunto de variáveis capaz de determinar o estado desse sistema dinâmico. A representação em espaço de estado é definida por, 1rrm1nnm1m

1rrn1nnn1n)t(uD)t(xC)t(y

)t(uB)t(xA)t(x

Vetor de estado x(t) é o vetor de ordem n que contém todos os estados. Vetor de saída y(t) é o vetor de ordem m que contém todas as respostas. Vetor de entrada u(t) é o vetor de ordem r que contém todas as entradas. Matriz de estado A é a matriz de ordem n×n que contém os autovalores e os autovetores do sistema. Os autovalores são os polos do sistema.

39

Matriz de entrada B é a matriz de ordem n×r da entrada. Matriz de saída C é a matriz de ordem m×n da saída. Matriz de transmissão direta D é matriz de ordem m×r que correlaciona diretamente a entrada com a saída.

A representação em diagramas de bloco do sistema acima é dada por,

Figura 2-23: Representação em diagrama de blocos do espaço de estado.

Ao contrário da representação em Função de Transferência, a representação de espaço de estado não é única. Dependendo da escolha dos estados, gera-se uma representação diferente. Como curiosidade, veja capítulo 9 do Ogata onde há a representação em espaço de estado nas formas canônicas controlável, observável e de Jordan. 2.5.1 Representação quando não há derivadas da entrada Para a representação em espaço de estado quando não há derivadas da entrada, considera-se a seguinte equação diferencial de ordem n,

)t(u)t(ya)t(ya)t(ya)t(y n1n)1n(

1)n(

Observando que as condições iniciais são nulas. Definindo os estados conforme,

)t(y

)t(y)t(y

)t(x

)t(x)t(x

)t(x)1n(

n

21

1n

As derivadas dos estados são dadas por,

40

)t(x

)t(x)t(x

)t(y

)t(y)t(y

)t(x

)t(x)t(x

n

32

)1n(1n

21

A última derivada vem da própria equação reescrita da seguinte forma,

)t(u)t(xa)t(xa)t(xa)t(x n121n1nn Ou na forma de estado,

)t(u

1

000

)t(x)t(x

)t(x)t(x

aaaa1000

01000010

)t(x)t(x

)t(x)t(x

n1n

21

12n1nnn1n

21

)t(u0)t(x

)t(x)t(x

001)t(yn

21

Observe que a representação em função de transferência é dada por,

n1n1n

1n asasas

1)s(U)s(Y

Observe que para a transformação e comparação deve-se perceber que a maior derivada de y(t) é igual à unidade assim como u(t). Exemplo 1: Apenas uma equação. Representação em espaço de estado de,

)t(f)t(Ky)t(yC)t(yM Número de estados: 1 equação de 2ª ordem n = 2; Número de entradas: 1 entrada f(t) r = 1; Número de saídas: 1 saída y(t) m =1; Vetor de estados,

)t(x

)t(x)t(x21

12 Relação do vetor de estado com as variáveis do problema,

41

)t(y

)t(y)t(x)t(x)t(x

21

12

Equações de estado devem ser definidas de tal forma que do lado esquerdo seja a derivada dos estados e do lado direito apenas os estados, isto é, não pode haver derivadas dos estados do lado direito das equações de estado. Assim,

)t(x)t(y)t(x 21 A segunda equação de estado vem da equação diferencial, pois )t(y)t(x 2 ,

)t(fM1)t(yM

K)t(yMC)t(y)t(f)t(Ky)t(yC)t(yM

Substituindo os estados, encontra-se,

)t(fM1)t(xM

K)t(xMC)t(x 122

Escrevendo as equações de estado, )t(u

M10)t(x

)t(xMC

MK 10

)t(x)t(x

21

21

(2.22) Como o objetivo é medir a entrada y(t) ela é dada pelo estado x1(t), assim, )t(u0)t(x

)t(x01)t(y21

(2.23)

As equações (2.22) e (2.23) formam a representação em espaço de estado. Observe que a matriz D é nula, pois não houve uma ligação direta entre a entrada e a saída. Exemplo 2: Múltiplas Equações. Suspensão Ativa, equação de movimento,

)t(w)t(u

K101

)t(y)t(y

KKKKK

)t(y)t(y

CCCC

)t(y)t(y

M00M

pns

pns

ns

ns

Número de estados: 2 equações de 2ª ordem n = 4; Número de entradas: 2 entrada u(t) e w(t) r = 2; Número de saídas: 2 saídas ys(t) e yn(t) m =2; Vetor de estados e relação com as variáveis,

42

)t(y)t(y)t(y)t(y

)t(x)t(x)t(x)t(x

)t(xnsns

4321

14

Equações de estado,

)t(x)t(y)t(x)t(x)t(y)t(x

4n23s1

As outras duas equações vêm das equações de movimento conforme, Como, )t(u)t(y)t(yC)t(y)t(yK)t(yM nsnsss Então,

)t(uM1)t(x)t(xM

C)t(x)t(xMK)t(x

s43

s21

s3

E, )t(u)t(w)t(yK)t(y)t(yC)t(y)t(yK)t(yM npsnsnnn Então,

)t(uM1)t(w)t(xM

K)t(x)t(xMC)t(x)t(xM

K)t(xn

2np

34n

12n

4 Na forma matricial,

)t(w)t(u

MK

M1

0M1 00

00

)t(x)t(x)t(x)t(x

MC

MC

MKK

MK

MC

MC

MK

MK 1000

0100

)t(x)t(x)t(x)t(x

np

n

s

4321

nnnp

n

ssss

4321

Para a resposta, assumindo que é necessário medir apenas o deslocamento yn(t) e ys(t)

)t(w)t(u

0000

)t(x)t(x)t(x)t(x

00100001

)t(y)t(y

)t(y)t(y

4321

21

ns

A matriz D é uma matriz nula, foi indicada apenas por conveniência para ser observado a sua dimensão.

43

Para demostrar o potencial da modelagem de estado, será feita uma saída na qual são apresentados os deslocamentos, velocidades e acelerações tal que,

)t(y)t(y)t(y)t(y)t(y)t(y


)t(y

nsnsns

654321

16

Neste caso, as acelerações são dadas pelas próprias equações de estado, sendo escritas nas saídas como,

)t(w)t(u

MK

M1

0M1 00

000000

)t(x)t(x)t(x)t(x

MC

MC

MKK

MK

MC

MC

MK

MK 1000

010000100001


np

n

s4321

nnnp

n

ssss

654321

Assim, a saída é sempre composta por uma combinação linear das variáveis de estado. Curiosidade:Observe que se as variáveis de estado estiverem ordenadas como sendo as variáveis lineares e depois suas derivadas, ou como neste caso, deslocamento e velocidade, assim como foram escolhidas originalmente, isto é,

)t(y)t(y)t(y)t(y

)t(x)t(x)t(x)t(x

)t(xnsns

4321

14

Partindo da Equação original, que pode ser escrita na forma compacta como, )t(f)t(xK)t(xC)t(xM Dividindo pela massa, )t(fM)t(xCM)t(xKM)t(x 111 Observe que as equações de estado na forma matricial podem ser escritas como,

44

)t(u)t(fM]0[

}x{}x{

CMKM]I[]0[

}x{}x{

1vd

11vd

Onde,

)t(w

)t(u)t(u;)t(y)t(yx;)t(y

)t(yxns

vns

d

ppn

sK101)]t(f[;KKK

KK]K[;CCCC]C[;M0

0M]M[ 2.5.2 Representação quando há derivadas da entrada Quando há derivadas da entrada, há a necessidade de se dividir em duas equações conforme apresentado abaixo. Supondo a seguinte equação de movimento,

)t(r2)t(r7)t(r)t(c24)t(c26)t(c9)t(c Cuja função de transferência é dada por,

24s26s9s2s7s

)s(R)s(C

232

Dividindo em duas funções de transferência entre o denominador e o numerador formando dois sistemas em série tal que a entrada de um é a saída do outro conforme,

24s26s9s1

)s(R)s(Z

23 e 2s7s)s(Z)s(C 2

Como já foi visto antes a representação em Espaço de Estado para a Função de Transferência definida por Z(s)/R(s) é feita conforme a aplicação da transformada inversa para voltar para equação diferencial, )s(R)s(Z24s26s9s 23 Chegando a,

)t(r)t(z24)t(z26)t(z9)t(z Número de estados: 1 equação de 3ª ordem n = 3; Número de entradas: 1 entrada r(t) r = 1; Número de saídas: 1 saída z(t) m =1; Vetor de estados e a sua relação com as variáveis do problema,

45

zzz

xxx

)t(x321

13


)t(x)t(z)t(x)t(x)t(z)t(x

3221

A última equação de estado é dada por,

)t(r)t(x24)t(x26)t(x9)t(r)t(z24)t(z26)t(z9)t(z)t(x

1233

,

Então, escrevendo as equações de estado na forma matricial,

)t(r100

)t(x)t(x)t(x

92624100010

)t(x)t(x)t(x

321

321

Agora pegando a segunda função de transferência C(s)/Z(s) e passando para equação diferencial, )z(Z2s7s)s(C 2 Aplicando a transformada de Laplace inversa,

)t(z2)t(z7)t(z)t(c Substituindo os estados definidos anteriormente para as derivadas de z(t),

)t(x2)t(x7)t(x)t(c 123 Desta forma a resposta será dada por,

)t(x)t(x)t(x

172)t(c321

Exemplo: Passar para Espaço de Estado a seguinte função de transferência,

24s26s9s220s3s2s

)s(R)s(C

2323

46

Realizando a divisão para o maior grau do denominador ser unitário,

12s13s29s

10s23ss2

1)s(R)s(C

23

23

Separando em duas funções de transferências em série,

12s13s29s

1)s(R)s(Z

23 e 10s2

3ss21

)s(Z)s(C 23

Aplicando a transformação para Z(s)/R(s),

)s(R)s(Z12s13s29s 23

Aplicando a transformada inversa de Laplace para voltar para equação diferencial,

)t(r)t(z12)t(z13)t(z29)t(z

Número de estados: 1 equação de 3ª ordem n = 3; Número de entradas: 1 entrada r(t) r = 1; Número de saídas: 1 saída z(t) m =1; Vetor de estados e a sua relação com as variáveis do problema,

zzz

xxx

)t(x321

13


)t(x)t(z)t(x)t(x)t(z)t(x

3221

A última equação de estado é dada por,

)t(r)t(x12)t(x13)t(x29)t(z)t(x 1233 ,

Então, escrevendo as equações de estado na forma matricial,

47

)t(r100

)t(x)t(x)t(x

291312

100010

)t(x)t(x)t(x

321

321

Agora pegando a segunda função de transferência C(s)/Z(s) e passando para equação diferencia,

)s(Z10s23ss2

1)s(C 23

Aplicando a transformada de Laplace inversa,

)t(z10)t(z23)t(z)t(z2

1)t(c Substituindo os estados definidos anteriormente para as derivadas de z(t),

)t(x10)t(x23)t(x)t(x2

1)t(c 1233 Chegando a,

)t(x10)t(x23)t(x)t(rx12x13x2

921)t(c 123123

Então, a última equação fica,

)t(r21)t(x4)t(x5)t(x4

5)t(c 123 Desta forma a resposta será dada por,

)t(r21

)t(x)t(x)t(x

4554)t(c

321

2.5.3 Formulação Alternativa Considerando o sistema como apresentado abaixo,

)t(ub)t(ub)t(xb)t(ub)t(ya)t(ya)t(ya)t(y n1n)1n(

1)n(

0n1n)1n(

1)n(

48

O problema está na escolha dos estados para eliminar as derivadas da entrada nas equações de estado. Uma maneira é fazendo a definição dos estados conforme,

uxx

uxuuuyxuxuuyx

uyx

1n1nn

22210311102

01

Onde os βs são definidos por,

01n12n2n11n1n

03122133021122

011100

aaab

aaabaab

abb

Com estas escolhas obtêm-se as seguintes equações de estado,

uxx

uxxuxx

1nn1n

232121

A última equação de estado vem da substituição dos estados na equação diferencial original, encontrando,

uxaxaxax nn121n1nn Para encontrar a equação acima ver problema A.2.6 do Ogata. Com estas definições, a representação em espaço de estado fica,

)t(u

)t(x)t(x

)t(x)t(x

aaaa1000

01000010

)t(x)t(x

)t(x)t(x

n1n

21

n1n

21

12n1nnn1n

21

49

u)t(x

)t(x)t(x

001)t(y 0

n

21

Observe que a função de transferência para a equação diferencial fica,

n1n1n

1n

n1n1n

1n

0asasasbsbsbsb

)s(U)s(Y

Exemplo: Passar o sistema abaixo de função de transferência para espaço de estado.

8s6s4s22s3)s(G 23

2

Para a comparação com a formulação proposta, deve-se dividir a função de transferência por 2, assim,

322

13

32

123

2

asasasbsb

4s3s2s1s2/3)s(G

Assim,

2/52/3332132/32

2/30

3210

Montando a representação em espaço de estado,

)t(u2/532/3

)t(x)t(x)t(x

234100010

)t(x)t(x)t(x

321

321

)t(x)t(x)t(x

001)t(y321

2.5.4 Passagem de espaço de estado para função de transferência Pode-se também passar de Espaço de Estado para função de transferência, conforme mostrado abaixo. Partindo da representação em espaço de estado,

50

1rrm1nnm1m1rrn1nnn1n

)t(uD)t(xC)t(y)t(uB)t(xA)t(x

Aplicando transformada de Laplace, na 1ª equação,

)s(BUAsI)s(X)s(BU)s(XAsI)s(UB)s(XA)s(XsI

11rrn1nnn1n

Substituindo na transformada de Laplace da 2ª equação,

)s(DU)s(BUAsIC)s(Y)s(DU)s(CX)s(Y

1

Chegando a,

DBAsIC)s(U)s(Y 1

Onde I representa a matriz identidade de ordem “n”. Como Y(s) possui dimensão “m” e U(s) possui dimensão “r”, então são geradas “ rm ” funções de transferências sendo que todas possuem o mesmo denominador que é formado por (sI - A)-1. Deve-se verificar se ocorre cancelamento entre polos e zeros. Exemplo: considerando a seguinte representação em espaço de estado,

)t(u002

)t(x)t(x)t(x

01000222/32

)t(x)t(x)t(x

321

321

)t(x)t(x)t(x

4/104/3)t(y321

Aplicando a fórmula para conversão para função de transferência,

002

01000222/32

100010001

s4/104/3BAsIC)s(U)s(Y

1

1

Resolvendo a parte interna,

51

002

s100s222/32s

4/104/3)s(U)s(Y

1

Invertendo a matriz,

002

3s2s2s24s2ss2s22

4s3s4s3s2s

14/104/3)s(U)s(Y

22

2

23

Resolvendo as multiplicações,

002

43s4s

88s7

42s3

4s3s2s1

)s(U)s(Y 22

23

Resultando em,

8s6s4s22s3

)s(U)s(Y

232

Curiosidade: Observe que esta função de transferência gerou outra representação em espaço de estado. Isso significa que a representação em espaço de estado não é única. Existem algumas representações de espaço de estado padrões, são elas as Formas Canônicas Controlável, Observável e de Jordan. Se for possível escrever a forma canônica controlável, significa que o sistema é de estado completamente controlável, isto é, é possível passar o sistema do estado A para o estado B em um tempo finito utilizando uma lei de controle finita. Em outras palavras é possível controlar todo o sistema. Se for possível escrever a forma canônica observável, significa que todos os estados do sistema são conhecidos a qualquer instante de tempo, isto é, os estados podem ser medidos e previstos. Em outras palavras, qualquer informação do sistema pode ser obtida a qualquer instante de tempo. A forma canônica de Jordam é uma representação na qual a matriz A é uma forma diagonal com os termos da diagonal sendo os polos do sistema.

52

2.6 Classificação dos Sistemas quanto ao número de entradas e Saídas

Uma entrada x Uma saída: SISO (Single Input, Single Output) Múltiplas entradas x Uma saída: MISO (Multiple Inputs, Single Output) Uma entrada x Múltiplas saídas: SIMO (Single Input, Multiple Outputs) Múltiplas entradas x Múltiplas saídas: MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs) 2.7 Exercícios Propostos 2.7.1 Sistemas Translacionais Encontrar as equações de movimento na forma matricial para os sistemas abaixo.

(a) (b)

(c) 2.7.2 Sistemas de Reservatórios Para o sistema abaixo, Encontrar as equações dinâmicas que descrevem o sistema de reservatórios: Montar o diagrama de blocos. Supondo q1(t) = 0, encontrar Q3(s)/Q2(s);

53

Para o sistema abaixo, encontrar as funções de transferência definidas por: A entrada Q1(s) com a saída Q4(s) A entrada Q1(s) com a altura H3(s) A altura H1(s) com a altura H3(s)

2.7.3 Linearização Encontrar as formas linearizadas para as seguintes equações,

2xyy,xg para (x,y) = (-1,1) 2x zysinez,y,xg para (x,y,z) = (1,0,-1) 2

25421

x122

22 u34

uux211x2ln1ex12x 1

para o ponto 1,1,1u,x,x 21 e) 0Kx)sin(x)cos(e

umgL)xcos()sin(xx

para o ponto 0,1,x

54

2.7.4 Espaço de Estado Encontrar representação em Espaço de Estado para, )t(u4)t(x3)t(x7)t(x

Medindo apenas x(t); Medindo apenas )t(x2)t(x3 ; Medindo apenas )t(u5)t(x2)t(x3 ;

1s2s3s4s5

7s3)s(R)s(C)s(G 234

Medindo apenas c(t), Medindo apenas )t(c3)t(c2 ;

)s(D1s2s3s2

5)s(U1s2s3s27)s(C 2323

Medindo tudo ao mesmo tempo c(t), )t(c , )t(c e )t(d5)t(u2)t(c3 , isto é, todas as respostas devem estar

contidas na resposta y(t) Modelo translacional b

Medindo y1(t), y2(t) e y3(t) Passar de Espaço de estado para Função de Transferência,

)t(u023

)t(x)t(x)t(x

02000122/33

)t(x)t(x)t(x

321

321

)t(x)t(x)t(x

4/104/3)t(y321

55

3 Transformada de Laplace A vantagem na utilização da transformada de Laplace para se estudar a resposta de sistemas consiste no fato que a transformada de Laplace transforma uma equação diferencial em uma equação algébrica, onde é aplicada a entrada e então calculada a transformada inversa de Laplace para obter a resposta temporal. Deve-se observar que sempre que possível, será mantido o formalismo matemático para obtenção dos resultados. Porém, o foco principal não é a obtenção da transformada ou transformada inversa de Laplace, mas apenas a sua aplicação na obtenção das respostas temporais. Sendo assim, o objetivo será criar uma tabela de consulta com as principais transformadas e utilizá-las. 3.1 Definição A Transformada de Laplace é definida por,

0stdte)t(f)s(F)t(fL (1)

Onde f(t) é a função temporal sendo que f(t) = 0 para t < 0; s é a variável complexa; L é o operador da transformada; F(s) é a transformada de Laplace de f(t). Observe que uma condição imposta para a realização da transformada de Laplace da função f(t) é,

f(t) = 0, para t < 0 Está condição é conhecida como CAUSALIDADE, significando que a função só existe para a parte positiva dos tempos ou que fisicamente um sistema só pode responder à uma determinada entrada depois da existência da própria entrada. 3.2 Transformada de Laplace 3.2.1 Funções Simples Função Exponencial:

0t00tAe)t(f t

56

Onde A e α são constantes em relação ao tempo. A transformada de Laplace aplicando a definição,

sA

s10As

eAdteAdteAeAeL0

ts

0ts

0sttt

Função Degrau:

0t0

0tA)t(f Onde A é constante em relação ao tempo. Esta transformada é um caso especial da função exponencial onde foi feito α = 0. Note que ela não é definida para t = 0.

sA

s10As

eAdtAeAL0

st

0st

Função Degrau Unitário:

0t0

0t1)t(1 Note que ela não é definida para t = 0, sua transformada é dada por,

s1

s10s

edtedte)t(1)t(1L0

st

0st

0st

Observe que se pode transformar qualquer função em uma função causal multiplicando-a pelo degrau unitário. Além disso, as transformadas podem ser definidas utilizando a função degrau unitário. Por exemplo,

sAdteAAeLdte)t(1AAe)t(1L

0tst

0tst

Função Rampa:

0t0

0tAt)t(f Sua transformada é dada por,

57

0

st0

st dtteAdtAteAtL Aplicando integral por partes, sendo que,

b

a

ba

b

avduuvudv

Então, fazendo, u = t → du = dt e dtedv st → s

ev st

0

2st

0

st

0

st

0

st

0st

se

setAdts

es

etAdtteAAtL Como stte é indeterminado para t →∞, então, Aplicando L’Hôpital,

0se1Lime

tLim sttHôpital'L

stt Desta forma,

220

2st

sA

s10As

eAAtL

Função Senoidal:

0t0

0ttsinA)t(f Aplicando a definição,

0

stdtetsinAtsinAL Sabendo-se que, pelo teorema de Euler,

tjtj eej21tsin

58

222222

0sttj

0sttj

0sttjtj

0st

sA

sj2

j2A

sjsjs

j2A

js1

js1

j2A

dteedteej2Adteeej2

1AdtetsinAtsinAL

Função Cossenoidal:

0t0

0ttcosA)t(f Sabendo-se que, pelo teorema de Euler,

tjtj ee21tcos

222222

0sttj

0sttj

0sttjtj

0st

sAs

ss2

2A

sjsjs

2A

js1

js1

2A

dteedtee2Adteee2

1AdtetcosAtcosAL

3.2.2 Propriedades As propriedades da transformada de Laplace são as mesmas propriedades vindas da integral. Sendo assim, como propriedades tem-se a transformada da soma de funções temporais é a soma das transformadas e a multiplicação por constantes, então,

L[αf(t)+βg(t)] = αL[f(t)]+βL[g(t)] Sendo α e β constantes. Prova:

)s(G)s(Fdte)t(gdte)t(fdte)t(g)t(f0

st0

st0

st 3.2.3 Funções Especiais Função Transladada: A função transladada é definida por at1atf com t < a. As funções f(t), f(t)1(t) e at1atf são apresentadas abaixo.

59

Figura 3-1: Função transladada

Aplicando a definição de Transformada de Laplace,

0

stdteat1atfat1atfL Aplicando uma substituição de variável tal que at ,

aas

0st de1fdteat1atf

Como aparece o degrau unitário 1(τ) e a integral é feita em “τ”, então de “– a” a 0 a integral já é zero, assim,

0sas

0sas

aas defedeefde1f

Observe que, antes a definição de transformada de Laplace fazia a transformação de “t” para “s”, agora é feita a transformação de “τ” para “s”, então,

)s(Fedefeat1atfL as0

sas Onde α é o tempo de translação e F(s) é a Transformada de Laplace de f(t). Função Pulso Retangular:

tt,0t0

tt0tA

)t(f0

00

Reescrevendo a função como uma soma de dois pulsos defasados,

)tt(1tA)t(1t

Atf 000

60

Então, aplicando a transformada de Laplace,

0

0 st0

st

00

000

e1stA

se

tA

s1

tA

)tt(1LtA)t(1Lt

AtfL

Função Impulso: É definida como o caso limite da função pulso.

tt,0t0

tt0tAlim

)t(f0

000t 0

Como a altura é A/t0 e a duração é t0, a área delimitada pelo impulso é igual a A. Então, aplicando o limite na transformada da função pulso,

AsAslime1st

AlimtfL 0tHôpital'Lst

00t 00

0

A função impulso em que a área é igual à unidade é chamada de Função Impulso Unitário ou Função Delta de Dirac.

0t0

0t1t Na forma defasada,

00

0 tt0tt1tt

A função impulso unitário pode ser entendida como a derivada da função degrau unitário ou que a função degrau unitário é a integral da função impulso unitário. Multiplicação de f(t) por e-αt: Aplicando definição de transformada de Laplace, )s(Fdtetfdtetfe)t(feL

0ts

0sttt

61

Observa-se que o resultado é a substituição de “s” por (s + α) na transformada de Laplace de F(s). 3.2.4 Teoremas Teorema da Derivação Real: A transformada de Laplace da derivada de uma função f(t) é dada por,

)0(f)s(sF)t(fdtdL

Onde f(0) é o valor inicial de f(t) calculado em t = 0 e L[f(t)] = F(s). Para demonstrar o teorema da derivação real, deve-se integrar por partes a integral de Laplace, fazendo,

u = f(t) → dt)t(fdtddu e dtedv st → s

ev st Então, tem-se,

)0(f)s(sFdte)t(fdtd

dte)t(fdtd

s1

s)0(f0)s(F

dt)t(fdtd

se

se)t(fdtetf

0st

0st

0

st

0

st

0st

Observe que )(f , ou que ele existe. Para a derivada 2ª de f(t),

)0(f)0(sf)s(Fs)t(fdtdL 2

22

Onde

0t)t(fdt

d)0(f

é o valor de df(t)/dt calculado em t = 0. Para provar faz-se,

)t(g)t(fdt

d Então,

62

)0(f)0(sf)s(Fs)0(f)t(fdt

dsL

)0(g)s(sG)t(gdtdL)t(fdt

dL

2

22

De modo semelhante, para a derivada enésima de f(t),

1n2n2n1nnn

n )0(f)0(fs)0(fs)0(fs)s(Fs)t(fdtdL

Teorema da Integração Real: A transformada de Laplace da integral de f(t) é definida por, s

)0(fs

)s(F)t(fL 1 Onde F(s) = L[f(t)] e f-1(0) é a integral de f(t) avaliada em t = 0. Para mostrar esta propriedade,

0stdte)t(f integrando por partes,

dt)t(fdudt)t(fu e dtedv st → sev st

Então,

)s(Fs1)0(fs

1dte)t(fs1)t(fs

10s

edt)t(fse)t(f)t(fLdte)t(f

10

st0t

0

st

0

st

0st

Teorema do Valor Final: Permite obter o valor de f(t) quando t → ∞ através da transformada de Laplace de f(t), assim,

)s(sFlim)t(flim 0st Deve-se observar se )t(flimt existe. Ele irá existir se as raízes do denominador de F(s) possuírem parte real menor que zero. Para demostrar, parte-se da transformada de Laplace da derivação real e aplica-se o limite de s→0,

63

)0(f)s(sFlimdte)t(fdt

dlim)t(fdtdLlim 0s0

st0s0s

Como o limite pode ser trocado de posição com a integral e 1elim st

0s ,

)0(f)s(sFlim)0(f)(f)t(fdt)t(fdt

d0s0

0

Então, )s(sFlim)t(flim)(f 0st Teorema do Valor Inicial: Permite obter o valor de f(t) em t = 0 através da transformada de Laplace de f(t), assim, )s(sFlim)0(f s Onde F(s) = L[f(t)]. Para provar, aplica-se o limite de s→∞ na transformada da derivada real,

)0(f)s(sFlimdte)t(fdtdlim)t(fdt

dLlim s0st

ss

Como o limite pode ser trocado de posição com a integral e 0elim st

s ,

)s(sFlim)0(f)0(f)s(sFlim0 ss Teorema da Derivada Complexa: Se f(t) for a transformada de Laplace de f(t) então,

)s(Fdsd)t(tfL

Onde F(s) = L[f(t)]. Além disso, )s(Fds

d)t(ftL 222

Em geral, )s(Fds

d1)t(ftL nnnn

64

Para demonstrar, como stst edsdte , então,

)s(Fds

ddte)t(fdsddteds

d)t(fdte)t(tf)t(tfL0

st0

st0

st Produto de Funções no Domínio de Laplace – Integral de Convolução: Considerando a seguinte integral,

t

0

t

0dtgfdgtf

Esta é conhecida como integral de convolução, aplicando a transformada de Laplace,

)s(G)s(FdgtfLt

0

Onde L[f(t)] = F(s) e L[g(t)] = G(s). Aplicando a definição de transformada de Laplace,

dtedgtfdgtfL st0

t

0

t

0

Separando as integrais, tem-se,

0

t

0st

t

0dgdtet1tfdgtfL

Como já foi visto, fazendo uma mudança de variável tal que λ = t – τ, assim,

0

t

0s

t

0s

t

0dgdefdgde1fdgtfL

Abrindo a exponencial,

0

t

0ss

t

0)s(G)s(FdegdefdgtfL

Observe que todo sistema quando calculado a sua resposta a uma determinada entrada, o que se está fazendo é aplicando a Integral de Convolução.

65

3.2.5 Resumo

Função Temporal Transformada de Laplace Impulso Unitário δ(t) 1 Degrau Unitário 1(t) s

1 te s

1 t 2s

1 nt 1ns

!n

)t(sen 22s

)tcos( 22ss

Propriedades da Transformada de Laplace

Função Temporal Transformada de Laplace αf(t)+βg(t) αF(s)+βG(s)

)t(fe at )as(F Deslocamento Temporal at1atf )s(Fe as

tf(t) )s(Fdsd

tnf(t) )s(Fdsd1 n

nn Valor Final: )t(flimt )s(sFlim0s Valor Inicial: )t(flim0t )s(sFlims

Integral: dt)t(f s)0(f

s)s(F 1

Derivada: dt)t(df )0(f)s(sF

22

dt)t(fd )0(f)0(sf)s(Fs2

66

3.3 Transformada Inversa de Laplace Para obter a transformada inversa de Laplace, sempre será utilizada a tabela de transformadas. Para isso será aplicado o método da expansão em frações parciais para escrever da forma mais simples possível. 3.3.1 Expansão em Frações Parciais Em analise de sistemas F(s), a transformada de Laplace de f(t), apresenta-se frequentemente da seguinte maneira,

)s(A)s(B)s(F

Onde A(s) e B(s) são polinômios em s. Na expansão de F(s) em frações parciais é importante que a maior potência de s em A(s) seja maior que a potencia de s em B(s),

grau A(s) > grau B(s) Se não for o caso, a divisão polinomial deverá ser feita. Como tanto A(s) quanto B(s) possuem raízes, uma distinção deve ser feita, Zeros são as raízes do numerador; Polos são as raízes do denominador. Se F(s) for subdividido em partes ou frações,

F(s) = F1(s) + F2(s) + ... + Fn(s) A transformada inversa de Laplace é dada por,

L-1[F(s)] = L-1[F1(s)] + L-1[F2(s)] + ... + L-1[Fn(s)] Resultando em,

f(t) = f1(t) + f2(t) + ... + fn(n) Caso 1 – Denominador apresenta raízes reais distintas Quando as raízes do denominador forem reais distintas, deve-se separá-la procedendo da seguinte forma,

2s1s1sB2sA

2sB

1sA

2s1s3s)s(G

67

Pegando apenas os numeradores, então,

A(s + 2) + B(s + 1) = s + 3 Dica: substitua as raízes do denominador ou polos para facilitar os cálculos. Fazendo s = -1 → A(-1 + 2) = -1+3 → A = 2 Fazendo s = -2 → B(-2 + 1) = -2 + 3 → B = -1 Então,

2s1

1s2)s(G

Aplicando a transformada inversa de Laplace,

t2t111 ee22s1L1s

1L2)t(g)s(GL

para t ≥ 0

Isto significa que polos reais distintos tornam-se exponenciais. Caso 2a – Denominador apresenta raízes complexas conjugadas distintas Quando as raízes do denominador ou polos forem complexas conjugadas elas devem permanecer unidas e o procedimento é feito conforme,

5s2sBAs

5s2s12s2)s(F 22

Neste caso, claramente A = 2 e B = 12. Para continuar, deve-se observar que o denominador possui o termo com “s” e na tabela de transformada de Laplace ela não aparece, porém, sabendo-se da seguinte propriedade, 22s

AtsinAL e 22s

AstcosAL , aplicando a propriedade da multiplicação por exponencial, )s(F)t(feL t , fazendo f(t) o seno e o cosseno, 22

tstsineL

e 22t

sstcoseL

Assim, o 1º procedimento é completar o quadrado do denominador da seguinte forma, 41s5s2s 22

68

O ajuste deve sempre ser iniciado pelo cosseno e depois ajustado o seno,

41s12

41ss2

41s12s2

5s2s12s2)s(F 2222

Para o termo à direita representar a transformada inversa de tcose t e tsine t é necessário que,

41s2541s

1s2)s(F 22

Assim, a transformada inversa de Laplace fica,

t2sine5t2cose241s2L541s

1sL2)t(f)s(FL tt2

12

11

para t ≥ 0

Curiosidade: Os polos da representação em Laplace são s1,2 = - 1 ± j2. Observe que a exponencial é a parte real dos polos e a parte imaginária são as frequências dos termos que oscilam. Caso2b: Polos são complexos conjugados distintos, mas tratado como raízes distintas. Quando as raízes do denominador forem complexas conjugadas elas podem ser tratadas com raízes distintas, isto é,

5s2s2j1sB2j1sA

2j1sB

2j1sA

5s2s12s2)s(F 22

Fazendo s = – 1 – j2 → A(– 1 – j2 + 1 – j2) = 2( – 1 – j2) + 12 →

– j4A = 10 – j4 → A = 1 + j5/2 Fazendo s = – 1 + j2 → B(– 1 + j2 + 1 + j2) = 2( – 1 + j2) + 12 →

+ j4B = 10 + j4 → B = 1 – j5/2 Então,

2j1s2/5j1

2j1s2/5j1

5s2s12s2)s(F 2

A transformada inversa de Laplace fica, t2j1t2j1 e2/5j1e2/5j1)t(f A presença das exponenciais complexas é eliminada através da formula de Euler,

sinjcose j

69

Então,

t2sin5t2cos2et2sinjt2cos2/5j1t2sinjt2cos2/5j1e

ee2/5j1ee2/5j1e2/5j1e2/5j1)t(f

tt

t2jtt2jtt2j1t2j1

Chegando ao mesmo resultado. Caso 3a – Denominador apresenta raízes múltiplas reais – Propriedade L[e-atf(t)] Quando houver raízes repetidas no denominador, fatorar da seguinte forma,

32

3232

1sC1sB1sA

1sC

1sB

1sA

1s1s2s3)s(H

Do numerador, C1sB1sA1s2s3 22 Igualando os termos de s2 → A = 3 Fazendo s = -1 → C = 3(-1)2 + 2(-1) + 1 → C = 2 Dica: A equação é válida para qualquer valor de s. Fazendo s = 0 → A + B + C = 1 → B = -3 -2 + 1 → B = -4 Então,

32 1s2

1s4

1s3)s(H

Para resolver as duas transformadas à direita, deve-se saber que, )s(F)t(feL t , mas fazendo f(t) = t, assim,

2s1tL → 2

ts

1teL Procedendo da mesma forma para a transformada de Laplace de t2, 3

2s2tL → 32t

s2teL

70

Então,

31

2111

1s2L1s

1L41s1L3)t(h)s(HL

Resultando em, t2t2tt ett43ette4e3)t(h Curiosidade: Quando os polos são reais, negativos e repetidos, as amplitudes tendem a permanecer em um determinado valor ou tendem para zero. No caso da função apresentada, ela começa em 3 e termina em 0. Caso a transformada de Laplace seja na seguinte forma,

2222 sbaas

sbsa

sb

sa

sAs)s(F

Como observado, a = A e Aα+b = 0, então,

22 sA

sA

sAs)s(F

Cuja transformada inversa de Laplace é dada por, t1Ae)t(f t Caso a transformada de Laplace seja na seguinte forma,

32

323 scsbsa

sc

sb

sa

sAs)s(H

Como observado, a = 0, b = A e c = -Aα, então,

323 sA

sA

sAs)s(H

Cuja transformada inversa de Laplace é dada por,

2t t2tAe)t(f Caso a transformada de Laplace seja na seguinte forma,

71

32

3232

scsbsa

sc

sb

sa

sAs)s(H

Como observado, a = A, b = -2Aα e c = Aα2, então,

32

232

sA

sA2

sA

sAs)s(H


22t t2t21Ae)t(f Comentário: Desta forma, foi mostrado que não importa como seja o numerador de uma fração com denominador com raízes reais múltiplas, sempre será possível uma redução para um sistema mais simples aplicando a decomposição em frações parciais. Caso 3b – Denominador apresenta raízes múltiplas reais – Propriedade L[tf(t)] O caso genérico de raízes múltiplas é a utilização da seguinte propriedade, )s(Fds

d1)t(ftL nnnn

Para tanto, deve ser lembrado da derivada da divisão, assim,

2)s(H)s(Hds

d)s(G)s(Gdsd)s(H

)s(H)s(G

dsd

Assumindo,

32 1s2

1s4)s(H

Como as raízes são puramente reais, 2at

as1

as1

dsd1teL

3422

22at2as

2as

as2as

1dsd

as1

dsd1etL

72

Desta forma, tt2t tet4ette4)t(h Caso 3c – Denominador apresenta raízes múltiplas complexas – Propriedade L[tf(t)] Supondo,

2222222223

5s2s10s4

5s2s1s2

5s2sDCs

5s2sBAs

5s2s5s4s3s2)s(F

Para a 1ª transformada,

4ss2

2134ss

1s24ss1s2

5s2s1s2

2222

Para resolver a 2ª transformada,

22222

atas

as2asds

dtsinteL

222

22222

22222

atasas

asas2as

asas

dsdtcosteL

Assim,

2222

222

23

as1s4

41s41s25s2s

5s4s3s2)s(F

222

2222

22223

5s2s5s6s

5s2ss2

5s2sEDsCs

5s2sAs

5s2s5s4s3s2)s(F

Para a 1ª transformada,

4ss2

2124ss

1s24sss2

5s2ss2

2222

Para resolver a 2ª transformada,

2222

222

2

41s1s4

41s41s

5s2s5s6s

73

Caso 4 – Numerador maior ou igual ao denominador Assumindo a seguinte transformada de Laplace,

2s1s7s9s5s)s(G 23

Toda vez que o grau do numerador for maior ou igual ao grau do denominador, uma divisão polinomial deve ser feita. Como neste caso o numerador possui grau maior que o denominador, a divisão polinomial deverá ser feita da seguinte forma,

2s1

1s22s2s1s

3s2s2s1s7s9s5s)s(G 23

Aplicando a transformada inversa de Laplace,

t2t ee2)t(2)t(dtd)t(g

Sendo que a transformada de Laplace da função pulso é 1 e a transformada de Laplace da derivada da função pulso, s)t(dt

dL

. 3.4 Aplicações de Transformada de Laplace Neste item será aplicada a transformada e transformada inversa de Laplace para o estudo da reposta de sistemas. 3.4.1 Solução de Equações Diferenciais Como exemplo de solução de equação diferencial, será adotado o mesmo sistema para os próximos 3 exemplos. Supondo um sistema massa-mola-amortecedor com m = 2 kg, c = 3 Ns/m e k = 5 N/m. Equação de movimento na forma: )t(f)t(Ky)t(yC)t(yM Substituindo os valores: )t(f)t(y5)t(y3)t(y2 Aplicando a transformada de Laplace: )t(fL)t(yL5)t(yL3)t(yL2

74

Observe que não foi substituída a entrada ainda, pois isso será feito dependendo do proposto pelo problema a ser resolvido. Encontrando, )s(F)s(Y5)0(y)s(sY3)0(y)0(sy)s(Ys2 2 Reagrupando os termos, observe que os termos contendo a entrada e as condições iniciais devem ser isoladas do lado direito, então, )0(y3)0(y2)0(sy2)s(F)s(Y5s3s2 2 Chegando a,

5s3s2)0(y3)0(y2)0(sy2)s(F5s3s2

1)s(Y 22

Observe que uma parte possui a informação sobre a entrada enquanto a outra parte possui informações sobre as condições iniciais. Exemplo 1: Resposta a uma entrada qualquer com condições iniciais nulas Calcular a resposta y(t) do sistema a uma entrada f(t) degrau 10 N aplicada em t = 0. Isto significa que o objetivo será calcular a resposta para uma entrada em força constante em 10 N, mas a força só será aplicada em t = 0, antes disso o sistema está em repouso. Assim,

)s(F5s3s21)s(Y 2

A transformada de Laplace da força degrau 10 é s10)s(F , então,

s5s3s2

10)s(Y 2 Para resolver, deve-se aplicar a decomposição em frações parciais,

s5s3s2CsBs5s3s2A

5s3s2CBs

sA

s5s3s210)s(Y 2

2222

Do numerador 10CsBs5s3s2A 22 Fazendo s = 0 → 5A = 10 → A = 2 Termos de s2 → 2A + B = 0 → B = -4 Termos de s → 3A + C = 0 → C = -6

75

Observe que o “2” do denominador precisa ser eliminado, então,

25s2

3s3s2

s2

5s3s26s4

s2)s(Y

22

Completando o quadrado e expandindo para a transformada inversa de Laplace,

1631

43s

431

314

23

1631

43s

43s

2s2

1631

43s

3s2s2)s(Y 222


t431sene31

6t431cose22)t(y t4

3t43

para t > 0

Figura 3-2: Resposta do sistema massa-mola-amortecedor Exemplo 2: Reposta apenas para as condições iniciais. Calcular a resposta y(t) do sistema a um deslocamento inicial y(0) = 1 m, isto é, a massa é liberada de 1 metro da posição y = 0 e f(t) = 0. Como o sistema é o mesmo,

5s3s23s2

5s3s2)0(y3)0(y2)0(sy2)s(Y 22

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5Reposta para f(t) = 10 N

Deslo

cament

o (m)

Tempo (sec)

76

1631

43s

431

314

43

1631

43s

43s

25s2

3s23s

)s(Y 222

Como pode ser observado, a diferença entre a transformada inversa de Laplace neste caso e a transformada inversa de Laplace anterior é 1/2, então

t431sene31

3t431cose)t(y t4

3t43

para t > 0

Figura 3-3: Exemplo 3: Resposta a uma entrada qualquer e a condições iniciais. Calcular a resposta y(t) do sistema a uma entrada f(t) degrau 10 aplicada em t = 0 e a um deslocamento inicial y(0) = 1 metro. A resposta simplesmente é a soma das duas respostas obtidas, pois,

5s3s23s2

s5s3s210

5s3s2)0(y3)0(y2)0(sy2)s(F5s3s2

1)s(Y 2222

Resultando em

t431sene31

3t431cose2)t(y t4

3t43

para t > 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Reposta para y(0) = 1 m

Deslo

cament

o (m)

Tempo (sec)

77

3.4.2 Funções de Transferência A função de transferência de um sistema representado por uma equação diferencial linear com parâmetros invariantes no tempo é definida como a relação entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada admitindo-se todas as condições iniciais nulas. Considerando o sistema linear com parâmetros invariantes no tempo, definido pela seguinte equação diferencial, )t(xb)t(xb)t(xb)t(xb)t(ya)t(ya)t(ya)t(ya m1m

1m1

m0n1n

1n1

n0

Onde y(t) é a saída ou resposta do sistema e x(t) é a entrada ou excitação. A função de transferência correlaciona a entrada com a saída do sistema e é definida pela transformada de Laplace da entrada e pela transformada de Laplace da saída assumindo todas as condições iniciais nulas, assim,

Função de Transferência nulasIniciaisCondiçõesentradaLsaídaL)s(G

Definição: Ordem é o maior grau de “s” do denominador. Assim se a maior potencia do denominador da função de transferência for n, o sistema será denominado de “Sistema de Ordem n”. Exemplo 4: Resposta à entrada degrau unitário. Supondo um sistema com a sua equação de movimento dada abaixo. Determinar a sua função de transferência e calcular sua resposta c(t) para uma entrada u(t) degrau unitário. Equação diferencial: )t(u)t(u2)t(c2)t(c3)t(c Observe que a entrada é u(t) e a saída c(t). Aplicando transformada de Laplace e assumindo condições inicias nulas, )t(uL)t(uL2)t(cL2)t(cL3)t(cL Chegando a, 2s3s

1s2)s(U)s(C)s(G)s(U1s2)s(C2s3s 2

2

Neste caso, o nome G(s) foi escolhido aleatoriamente. A Resposta ao degrau unitário é calculada conforme procedimento abaixo,

s1

2s3s1s2)s(C)s(U2s3s

1s2)s(C2s3s1s2

)s(U)s(C

222

78

Observando que os polos desta função de transferência são polos puramente reais, assim, a decomposição em frações parciais é feita da seguinte forma,

2s3ss)1s(Cs)2s(Bs)2s)(1s(A

2sC

1sB

sA

s1

2s3s1s2)s(C 22

Do numerador: A(s+1)(s+2)+Bs(s+2)+Cs(s+1) = 2s+1 Fazendo s = 0 → 2A = 1 → A = 1/2; Fazendo s = -1 → B(-1)(-1+2) = 2(-1)+1 → B = 1; Fazendo s = -2 → C(-2)(-2+1) = 2(-2)+1 → C = -3/2; Assim,

t2t e23e2

1)t(c2s2/3

1s1

s2/1)s(C para t ≥ 0

Exemplo 5: Resposta às condições iniciais Apesar da função de transferência significar que as condições iniciais são nulas, pode-se calcular a sua resposta passando de função de transferência para equação diferencial e então aplicando novamente a transformada de Laplace. Supondo a seguinte função de transferência: 4s4s

3s2)s(H)s(X)s(Y

2

Calcular a resposta y(t) para y(0)=3, 0)0(y , x(0) = 0. Para resolver, deve-se aplicar a transformada inversa de Laplace na função de transferência tal que, )s(X3s2)s(Y4s4s4s4s

3s2)s(X)s(Y 2

2

Separando os termos e fazendo, )s(XL3)s(sXL2)s(YL4)s(sYL4)s(YsL 111121 Encontra-se a seguinte equação diferencial,

)t(x3)t(x2)t(y4)t(y4)t(y Agora aplicando a transformada de Laplace e observando que agora as condições iniciais não são todas nulas,

79

)s(X3)0(x)s(sX2)s(Y4)0(y)s(sY4)0(y)0(sy)s(Ys2 Substituindo os valores e reagrupando, deve-se lembrar de que não possui entrada, então X(s) = 0, 4s4s

12s3)s(Y012s3)s(Y4s4s 22

Observe que os polos são reais e iguais, então,

222 2s1122s

s34s4s12s3)s(Y

Lembrando que 2

ts

1teL e 2ts

st1eL , então, t21e3te12t21e3)t(y t2t2t2 para t ≥ 0 3.4.3 Classificação das Funções de Transferência Há uma série de classificações das funções de transferência: Quanto ao grau do denominador: O maior grau do denominador estabelece a

ordem da função de transferência, isto é, se o maior grau for n, a função de transferência será de ordem n.

Relação entre o grau do numerador e grau do denominador: o Grau do denominador ≥ Grau do numerador: F.T. Própria; o Grau do denominador < Grau do numerador: F.T. Imprópria; Quanto aos zeros: o Todos os zeros possuem parte real < zero: F.T. de Fase Mínima; o Caso contrário: F.T. de Fase Não-Mínima; Quanto aos polos, será visto mais à frente como Estabilidade: o Todos os polos possuem parte real < zero, a F.T. é Assintoticamente

Estável; o Pelo menos um polo com parte real nula e demais polos possuem parte real < 0, a F.T. é Marginalmente Estável; o Pelo menos um polo com parte real > 0, a F.T. é Instável.

3.5 Exemplo utilizando Matlab

80

Exemplo 1: Calcular resposta analítica utilizando o Matlab

( ) = + 2+ 3 + 5 ( ) = 1

Exemplo 2: Calcular resposta numérica utilizando o Matlab para a resposta ao degrau unitário

( ) = + 2

+ 3 + 5 ( ) = 1+ 3

clear all % apaga todas as variáveis close all % fecha todas as janelas gráficas clc % apaga a tela do matlab % forma de verificar a resposta analítica syms s t % define variáveis simbólicas % Função de transferência G=(s+2)/(s^2+3*s+5); % Entrada R=1/s; % Resposta Inversa ilaplace(G*R,t)

% Calculo da transformada inversa para uma entrada tipo degrau unitário clear all % apaga todas as variáveis close all % fecha todas as janelas gráficas clc % apaga a tela do matlab % Define a função de transferência G(s) G=tf([1 2],[1 3 5]) % Calcula a resposta ao degrau unitário utilizando a formulação padrão para % o vetor de tempo t [y1,t]=step(G); % resposta ao degrau calculada pela transformada inversa, observe que entre % a exponencial e os termos oscilantes há .* y2=2/5-2/5*exp(-3/2*t).*(cos(sqrt(11)/2*t)-2/sqrt(11)*sin(sqrt(11)/2*t)); % gráfico da resposta ao degrau unitário figure plot(t,y1,'o',t,y2) legend('Matlab','Transformada Inversa')

81

3.6 Exercícios Resolvidos Exercício #1: Manipulação de funções de transferência. Supondo a seguinte equação diferencial,

)t(x)t(y7)t(y3)t(y2 Cuja representação em função de transferência )s(X

)s(Y é dada por,

7s3s21

)s(X)s(Y

2 Sendo que a resposta Y(s) é a transformada de Laplace de y(t). Se fosse necessário obter a resposta de )t(y , isso é possível observando que,

% Calculo da transformada inversa para uma entrada qualquer clear all % apaga todas as variáveis close all % fecha todas as janelas gráficas clc % apaga a tela do matlab % Define a função de transferência G(s) G = tf([1 2],[1 3 5]) % Definindo o vetor de tempo t = 0:0.05:5; % Entrada r = exp(-3*t); % Resposta a uma entrada qualquer y1=lsim(G,r,t); % resposta ao degrau calculada pela transformada inversa, observe que entre % a exponencial e os termos oscilantes há .* y2=-1/5*exp(-3*t)+1/5*exp(-3/2*t).*(cos(sqrt(11)/2*t)+ ... 7/sqrt(11)*sin(sqrt(11)/2*t)); % gráfico da resposta ao degrau unitário figure plot(t,y1,'o',t,y2) legend('Matlab','Transformada Inversa')

82

)s(Z)s(sY)t(y

)s(Y)t(y

Assim, Z(s) é a transformada de Laplace de )t(y . Esta mudança de variável foi feita para facilitar a compreensão do problema proposto. Então a nova função de transferência fica,

7s3s2s

)s(X)s(Z

7s3s21

)s(Xs

)s(Z7s3s2

1)s(X)s(Y

222 Para demonstrar, será calcula a resposta y(t) e )t(y para uma entrada degrau unitário. Então, para )t(y ,

1647

43s

447

474

21

1647

43s

21

27s2

3s21

7s3s21

s1

7s3s2s)s(Z

222

22

Cuja transformada inversa é dada por,

t447sine47

472)t(z t43

Fazendo para y(t),

1647

43s

447

474

283

1647

43s

43s

71

s1

71

27s2

3s143s7

1s1

71

7s3s273s7

2s71

s1

7s3s21)s(Y

222

22

Cuja transformada inversa é dada por,

t447sin47

473t447cose7

171)t(y t4

3

Para verificar, derivando y(t) em relação ao tempo,

83

t447cos4

4747

473t447sin4

47e71

t447sin47

473t447cose4

371)t(y

t43

t43

Reagrupando,

t447sine47

472t447sin47

4714e71

t447sin4

4747

47343t4

47cos447

47473

43e7

1)t(yt4

3t43

t43

Exercício #2: Manipulação de funções de transferência. Em muitas aplicações de sistemas de controle, é necessário medir um “Critério de Desempenho” que pode ser formado pela junção conforme,

Critério de Desempenho c(t) = )t(y2)t(y3 Cuja representação em função de transferência é dada por,

7s3s22s3

7s3s22

7s3s2s3

)s(X)s(C

222

Exercício #3: Função de transferência envolvendo múltiplas equações diferenciais. Supondo o sistema de equações que descrevem as equações de movimento da suspensão ativa definido abaixo,

)t(w)t(u

K101

)t(y)t(y

KKKKK

)t(y)t(y

CCCC

)t(y)t(y

M00M

pns

pns

ns

ns

Observe que o sistema possui duas entradas definidas por u(t) e w(t), além disso, o desejável será medir os deslocamentos ys(t) e yn(t). Então, serão obtidas quatro funções de transferência entre cada entrada e cada saída conforme,

)s(1G)s(U)s(Ys , )s(2G)s(U

)s(Yn , )s(3G)s(W)s(Ys , )s(4G)s(W

)s(Yn As funções de transferência são encontradas através da transformada de Laplace das equações diferenciais e de sucessivas manipulações para separar as entradas e saídas necessárias. Aplicando transformada de Laplace,

84

)s(U)s(YKCs)s(YKCssM ns2

s )s(U)s(WK)s(YKCs)s(YKKCssM psnp2

n Substituindo Yn(s) na 1ª equação,

)s(UKCssM)s(U)s(WK)s(YKCsKCs)s(YKCssM 2

nps

s2

s

Rearanjando para encontrar G1(s) e G3(s),

)s(WKCsKKCssMKCssMKKCs

)s(UKCsKKCssMKCssMKsM)s(Y

2p

2n

2s

p

2p

2n

2s

p2

ns

Substituindo Ys(s) na 2ª equação,

)s(U)s(WKKCssM)s(U)s(YKCsKCs)s(YKKCssM p2

snnp

2n

Rearanjando para encontrar G2(s) e G4(s),

)s(WKCsKCssMKKCssMKKCssM

)s(UKCsKCssMKKCssMsM)s(Y

22sp

2n

p2

s

22sp

2n

2sn

Observe que os zeros são diferentes, mas os polos são os mesmos. Isso significa que não importa o número de entradas ou saídas, os polos serão os mesmos desde que não ocorra cancelamento entre polos e zeros. 3.7 Exercícios Propostos 1. Para a equação diferencial abaixo.

)t(u47)t(u20)t(y87)t(y99)t(y15)t(y3

a. Determinar a Função de Transferência Y(s)/U(s); b. Utilizando a Função de Transferência, calcular:

i. Resposta y(t) à entrada degrau unitário u(t); ii. Resposta y(t) à entrada t3e2)t(u ;

iii. Resposta y(t) à entrada t3sin2)t(u ;

85

iv. Resposta y(t) à entrada t3sine21)t(u t3 ; c. Para a letra b, aplicar o teorema do valor final e encontrar )t(ylimt .

Neste exercício, observar: letra b) parte da resposta é a mesma para todas as entradas; Letra c) o teorema do valor final gera resultado numérico para todas

as entradas, mas não existe para a parte iii. Qual a explicação? 2. Para a Função de Transferência abaixo.

6s5s1s)s(G)s(Y

)s(X2

a. Calcular a resposta x(t) para uma entrada y(t) degrau 2; b. Calcular a resposta x(t) às seguintes condições iniciais 1)0(x , x(0) = 2,

y(0) = 0.5, com entrada nula, y(t) = 0. c. Calcular a resposta às seguintes condições iniciais 1)0(x , x(0) = 2, y(0) =

0.5, e uma entrada y(t) = 2. 3. Para a equação abaixo, calcular a resposta y(t) à uma entrada x(t) degrau unitário.

)t(u5)t(u)t(y20)t(y34)t(y18)t(y5)t(y 4. Para a Função de Transferência abaixo, calcular a resposta c(t) a uma entrada r(t) impulso

unitário. 6s3s2

1ss)s(H)s(R)s(C

22

5. Para a Função de Transferência abaixo, calcular a resposta z(t) para uma entrada

t2e)t(v ; 1s3s3s

1s)s(F)s(V)s(Z

23

6. Para a equação diferencial abaixo,

)t(u47)t(u20)t(y87)t(y99)t(y15)t(y3

a. Encontrar a função de transferência para medir a resposta )t(y)t(y3 ; b. Calcular a resposta acima para uma entrada degrau unitário;

7. Para a equação diferencial abaixo, calcular a resposta )t(y para uma entrada z(t) impulso

unitário. Cuidado com o cancelamento entre polos e zeros,

)t(z3)t(z)t(y30)t(y16)t(y5)t(y

87

4 Diagrama de Blocos Diagrama de blocos é uma forma de acoplar as funções de transferência de uma forma satisfatória facilitando a interpretação do sistema de controle. Além disso, a visualização das iterações entre os sistemas torna-se mais fácil. Partindo de uma função de transferência definida por,

)s(R)s(G)s(C)s(G)s(R)s(C

Onde G(s) é a Função de transferência, R(s) é a entrada e C(s) é a saída. Na representação em diagrama de blocos a entrada e a saída são presentadas por linhas enquanto as funções de transferência são representadas por blocos, então,

Figura 4-1: Representação de uma função de transferência em diagrama de blocos

O objetivo será sempre encontrar uma forma geral para os blocos chamada de Função de Transferência em Malha Fechada com apenas um numerador e um denominador que represente todo o diagrama de blocos. Portanto, passar de representação em blocos para função de transferência. Na representação em Diagrama de Blocos o fluxo dos sinais é dado pela direção das setas que representam os sinais, os blocos representam as funções de transferência. Para encontrar a solução deve-se obedecer as seguintes regras básicas, Iniciar em sinais e terminar em sinais; Todo o diagrama de ser representado. 4.1 Representações básicas As representações básicas são as formações mais fáceis e simples de serem encontradas, são representadas por sistemas em série, sistemas em paralelo e sistemas em realimentação. Deve ser observado que a diferença entre um sistema em paralelo e em realimentação é a direção das setas. Em geral, o fluxo, representado por setas, vai da esquerda para a direita, os paralelos são posicionados em cima e as realimentações em baixo, mas pode haver variações com o objetivo de evitar o cruzamento de linhas. Para resolver as equações, deve-se aplicar as seguintes regras práticas,

88

As equações devem acompanhar o fluxo ou sentido das linhas ou setas que são os sinais; Deve-se sempre iniciar em sinais e terminar em sinais, portanto, deve-se sempre iniciar em linhas e terminar em linhas passando ou não por blocos que são as funções de transferência;

4.1.1 Sistemas em Série Caracterizado pela saída de um bloco ser a entrada do próximo. Supondo,

)s(G)s(X)s(U e )s(H)s(U

)s(C Assim,

C(s) = H(s)U(s) como U(s) = G(s)X(s) Então,

C(s) = H(s)G(s)X(s) → )s(H)s(G)s(X)s(C

→ Figura 4-2: Blocos em Série

4.1.2 Sistemas em Paralelo Caracterizado pela entrada ser a mesma para os blocos. Observe que a soma pode ser negativa para qualquer um dos blocos. Supondo,

)s(G)s(X)s(U1 e )s(H)s(X

)s(U2 e C(s) = U1(s) + U2(s) Então,

C(s) = G(s)X(s) + H(s)X(s) = [G(s) + H(s)]X(s) → )s(H)s(G)s(X)s(C

89

→ Figura 4-3: Blocos em Paralelo

4.1.3 Sistemas em Realimentação Neste caso, ocorre um laço, a saída é somada com a entrada para formar o laço alimentando o bloco. Na figura abaixo a realimentação é unitária, representada apenas por uma linha. A origem do nome “Malha Fechada” vem da presença do laço de realimentação. Para resolver o sistema em realimentação, proceder da seguinte forma, C(s) = G(s)E(s) (I) E(s) = R(s) – C(s) (II) Substituindo (II) em (I),

C(s) = G(s)[R(s) – C(s)] → [1 + G(s)]C(s) = G(s)R(s) → )s(G1)s(G

)s(R)s(C

Figura 4-4: Blocos em Realimentação

4.1.4 Exemplos Exemplo 1: Sistema de controle com realimentação utilizando sensor de erro. Encontrar C(s)/R(s).

Figura 4-5: Blocos exemplo 01

Supondo o diagrama de blocos acima, tem-se que,

90

C(s) = G(s)M(s)E(s) (I) E(s) = R(s) – H(s)C(s) (II) Substituindo (II) em (I), C(s) = M(s)G(s)[R(s) – H(s)C(s)] [1 + M(s)G(s)H(s)] = M(s)G(s)R(s) → )s(H)s(G)s(M1

)s(G)s(M)s(R)s(C

Exemplo 2: Encontrar C(s)/R(s)

Figura 4-6: Blocos exemplo 02

Supondo o diagrama de blocos acima, tem-se que, C(s) = F(s)X(s) + U(s) (I) U(s) = G(s)X(s) (II) X(s) = M(s)E(s) (III) E(s) = R(s) – H(s)U(s) (IV) Substituindo (III) e (II) em (I), C(s) = F(s)M(s)E(s) + G(s)M(s)E(s) C(s) = M(s)[F(s) + G(s)]E(s) (V) Substituindo (III) e (II) em (IV), E(s) = R(s) – H(s)G(s)X(s) = R(s) – H(s)G(s)M(s)E(s) [1 + H(s)G(s)M(s)]E(s) = R(s) → )s(H)s(G)s(M1

)s(R)s(E (VI) Substituindo (VI) em (V),

)s(H)s(G)s(M1)s(F)s(G)s(M

)s(R)s(C

91

As equações para resolver o diagrama de blocos dependem do conhecimento da solução do diagrama, pois apenas é necessário as equações (V) e (VI). 4.2 Álgebra de blocos A álgebra de blocos é uma forma alternativa de solução e é baseada nas soluções através das equações. 4.2.1 Sistemas em Paralelo Considerando o sistema abaixo, observe que,

C(s) = [F(s) + G(s)]M(s)E(s)

Figura 4-7: Álgebra de Blocos – Paralelo original

Para o sistema abaixo,

)s(E)s(M)s(G1)s(G)s(F)s(C = [F(s) + G(s)]M(s)E(s)

Figura 4-8: Álgebra de Blocos – Paralelo avanço

Para o sistema abaixo,

C(s) = F(s)M(s)E(s) + G(s)M(s)E(s) = = [F(s) + G(s)]M(s)E(s)

92

Figura 4-9: Álgebra de Blocos – Paralelo recuo

Portanto, todas as representações são iguais. 4.2.2 Sistemas em Realimentação Considerando o sistema abaixo, observe que,

)s(E)s(F)s(M1)s(G)s(M)s(E)s(F)s(M1

)s(M)s(G)s(C

Figura 4-10: Álgebra de Blocos – Realimentação original

Considerando o sistema abaixo,

)s(R)s(F)s(M1)s(G)s(M)s(R

)s(G)s(F)s(G)s(M1

)s(G)s(M)s(C

Figura 4-11: Álgebra de Blocos – Realimentação avanço


)s(R)s(F)s(M1)s(G)s(M)s(R)s(G)s(M)s(F)s(M1

1)s(C

93

Figura 4-12: Álgebra de Blocos – Realimentação recuo

Portanto, todas as representações são iguais. 4.2.3 Sistemas em Somatório Considerando o sistema abaixo, observe que,

)s(F)s(M1)s(M)s(G

)s(R)s(C

Figura 4-13: Álgebra de Blocos – Sistema em somatório


)s(F)s(M1)s(M)s(G

)s(G)s(F)s(M)s(G1

)s(M)s(G)s(R)s(C

Figura 4-14: Álgebra de Blocos – Sistema em somatório - Entrada


)s(F)s(M1)s(M)s(G

)s(F)s(M11)s(M)s(G)s(R

)s(C

94

Figura 4-15: Álgebra de Blocos – Sistema em somatório - Saída

4.2.4 Exemplos

Figura 4-16: Blocos exemplo 03 - Original

Resolvendo aplicando “Paralelo Avanço” na entrada de F(s).

Figura 4-17: Blocos exemplo 03 – Movendo Paralelo – Etapa 1

Agora, observa-se que a realimentação e o paralelo estão separados, então,

Figura 4-18: Blocos exemplo 03 – Movendo Paralelo – Etapa 2

Desta forma,

95

)s(H)s(G)s(M1

)s(F)s(G)s(M)s(G

)s(G)s(F)s(H)s(G)s(M1

)s(G)s(M)s(R)s(C

Agora, resolvendo através da “Realimentação Recuo”,

Figura 4-19: Blocos exemplo 03 – Movendo Realimentação – Etapa 1

Figura 4-20: Blocos exemplo 03 – Movendo Realimentação – Etapa 2

Desta forma,

)s(H)s(G)s(M1

)s(F)s(G)s(M)s(G)s(F)s(H)s(G)s(M1)s(G)s(M

)s(R)s(C

4.3 Exemplos Resolvidos Simplificar o diagrama abaixo.

Figura 4-21: Etapa inicial

96

Solução por equações (depende da capacidade de cada um em resolver este tipo de problemas, as equações baixo são sugeridas para demonstrar as possibilidades, não significa que é a forma mais fácil de resolver): C(s) = G2G3X(s) (I) X(s) = G1E(s) – H2C(s) (II) E(s) = R(s) – C(s) + H1G2X(s) (III) Substituindo (II) em (I) para eliminar X(s), C(s) = G2G3[G1E(s) – H2C(s)] [1 + H2G2G3]C(s) = G1G2G3E(s) (IV) Substituindo (II) em (III) para eliminar X(s), E(s) = R(s) – C(s) + H1G2[G1E(s) – H2C(s)] [1 – H1G1G2]E(s) = R(s) – [1 + H1H2G2]C(s) (V) Substituindo (V) em (IV) para eliminar E(s),

211221321322 GGH1

)s(CGHH1)s(RGGG)s(CGGH1 Rearranjando, )s(RGGG)s(CGHH1GGGGGH1GGH1 321221321211322 Chegando a,

321322211321

GGGGGHGGH1GGG

)s(R)s(C

Mesma solução por álgebra de blocos,

Figura 4-22: Etapa inicial

97

Movendo H2(s) para fora de G1(s),

Figura 4-23: Etapa 1 Resolvendo a realimentação,

Figura 4-24: Etapa 2 Multiplicando por G3(s) e resolvendo a realimentação,

Figura 4-25: Etapa 3 Simplificando e resolvendo a última realimentação,

Figura 4-26: Etapa 4 Resultando em,

98

321322211321

322211321

322211321

GGGGGHGGH1GGG

GGHGGH1GGG1

GGHGGH1GGG

)s(R)s(C

Simplificar o diagrama abaixo.

4.4 Lista de Exercícios 1. Simplifique o diagrama de blocos da figura abaixo.

99

2. Simplifique o diagrama de blocos da figura abaixo. Obtenha a função de transferência relacionando C(s) e R(s).

3. Simplifique o diagrama de blocos da figura abaixo e, então, obtenha a função de transferência de malha fechada C(s)/R(s).

4. Obtenha as funções de transferência C(s)/R(s) e C(s)/D(s) do sistema indicado na figura abaixo.

100

5. A figura abaixo mostra um sistema com duas entradas e duas saídas. Determine C1(s)/R1(s), C1(s)/R2(s), C2(s)/R1(s) e C2(s)/R2(s). (Ao determinar as saídas correspondentes a R1(s), considere R2(s) = 0 e vice-versa.)

6. Simplifique o diagrama de blocos mostrado na figura abaixo e obtenha a função de transferência de malha fechada C(s)/R(s).

101

7. Simplifique o diagrama de blocos exposto na figura abaixo e obtenha a função de transferência de malha fechada C(s)/R(s).

8. Simplifique o diagrama de blocos mostrado na figura abaixo e obtenha a função de transferência de malha fechada C(s)/R(s).

102

9. A figura abaixo mostra um sistema de malha fechada com uma entrada de referência e um distúrbio de entrada. Obtenha a expressão para a saída C(s) quando tanto as entradas de referência como a de distúrbio estiverem presentes.

10. Obtenha as funções de transferência C(s)/R(s) e C(s)/D(s) do sistema apresentado na figura abaixo.

103

5 Resposta de Sistemas LTI 5.1 Resposta Transitória e Resposta em Regime Permanente Supondo o seguinte sistema,

25ss25

)s(U)s(Y)s(G 2

Resposta y(t) ao degrau unitário u(t),

t2113sin33

11t2113cose1)t(y 2

t

Como tempo tendendo ao infinito, 1)t(ylimt , utilizando o teorema do valor final,

12525

s1

25ss25slim)s(U)s(sGlim)s(sYlim)t(ylim 20s0s0st

Neste caso, observa-se que uma parte da resposta permanece e uma parte da resposta desaparece com o tempo. A parte que desaparece com o tempo é chamada de Resposta Transitória e a parte que permanece de Resposta em Regime Permanente ou Resposta Estacionária. A resposta em regime permanente não precisa ser constante com o tempo, por exemplo, calculando a resposta y(t) para uma entrada u(t) = sen(15t),

t2113sin11401t2

113cos33e176995t15cos1609

15t15sin1609200)t(y 2

t

Com o passar do tempo a exponencial negativa elimina parte da resposta sobrando apenas a parte referente à entrada. As respostas são apresentadas na figura abaixo.

104

Figura 5-1: Exemplos de resposta transitória e Permanente

Curiosidade: Pegando a Função de transferência e fazendo s = j15,

160915j200

40225375j5000

15j20015j20015j20025

20015j25

2515j22525

2515j15j25)15j(G 2

5.1.1 Valor Final O valor final ou resposta em regime permanente ou resposta estacionária é obtido através do teorema do valor final,

)s(sClim)t(clim 0st se )t(climt existir Onde c(t) representa a resposta do sistema. O valor final está relacionado ao valor final na forma de uma constante. Resposta em regime permanente ou resposta estacionária está associada à conduta do sistema quando tempo tender ao infinito. 5.1.2 Erro de regime estacionário Erro de regime estacionário ou erro de regime permanente é definido pela diferença entre a entrada aplicada e o valor final. Supondo que a resposta seja c(t) e a entrada r(t), então,

0 2 4 6 8 10 12 14 151500.20.40.60.8

11.21.41.61.8 Resposta ao Degrau Unitário

Amplit

ude

Tempo [s]0 2 4 6 8 10 12 14 15-0.4

-0.3-0.2-0.1

00.10.20.30.40.5 Resposta ao sen(5t)

Tempo [s]

105

)s(R)s(G1slim)s(R)s(R)s(C1slim)s(C)s(Rslim)t(c)t(rlim 0s0s0st

Onde G(s) é função de transferência que correlaciona a entrada R(s) com a saída C(s) 5.2 Resposta de sistemas de 1ª ordem Representação padrão da função de transferência de sistemas de 1ª ordem,

se1sK)s(H

Onde K é o ganho τ é a Constante de Tempo θ é o atraso de transporte A Constante de Tempo e o ganho podem ser observados utilizando a resposta ao degrau unitário assumindo que o atraso de transporte é zero. Então,

1s

1s1K1ss

1Ks1

1sK)s(C

Assim, a transformada inversa de Laplace fica,

t

e1K)t(c para t ≥ 0 Fazendo o tempo t igual à constante de tempo, isto é, calculando a resposta de c(τ),

632,0Ke1Ke1K)(c 1

Isto significa que a constante de tempo pode ser definida para um sistema sem atraso de transporte como o tempo necessário para que a resposta do sistema alcançar 63,2% da resposta em regime permanente ou regime estacionário. Observe que para este caso a resposta em regime permanente é dada por K. Quanto menor a constante de tempo, mais rápido o sistema responde. Outra característica importante da curva de resposta de um sistema de 1ª ordem padrão é que a inclinação da linha tangente em t = 0 é 1/τ, uma vez que,

106

KeK)t(cdtd

0t

t

0t

Além disso, para a resposta ao degrau sem atraso de transporte, quando, t = 1τ c(1τ) = 63,2% t = 2τ c(2τ) = 86,5% t = 3τ c(3τ) = 95,0% t = 4τ c(4τ) = 98,2% t = 5τ c(5τ) = 99,3%

Figura 5-2: Resposta de um sistema de 1ª ordem padrão para uma entrada degrau unitário Resposta à rampa unitária da função de transferência de 1ª ordem padrão sem atraso de transporte e assumindo K = 1,

1sss1

1sss1

s1

1s1)s(C 2

222

Cuja transformada inversa de Laplace,

tet)t(c para t ≥ 0

Verificando a diferença entre a entrada rampa unitária e a resposta c(t),

tt

e1ett)t(c)t(r)t(e

0 T 2T 3T 4T 5T

63,2% de K

KInclinação 1/T

63,2% 86,5% 95% 98,2% 99,3%

107

Erro de regime estacionário ou erro de regime permanente é calculado como,

t

ttt e1lim)t(c)t(rlim)t(elim Significando que após a estabilização da resposta, a diferença entre a rampa unitária e a resposta do sistema de 1ª ordem padrão sem atraso de transporte e com ganho K = 1 é exatamente a constante de tempo.

Figura 5-3: Resposta de um sistema de 1ª ordem padrão para uma entrada rampa unitária O atraso de transporte θ simplesmente é um atraso imposto à resposta do sistema, então, assumindo a seguinte função de transferência para o sistema de 1ª ordem padrão,

1sK)s(H1 e s

2 e1sK)s(H

As suas respostas ao degrau unitário são apresentadas na figura abaixo. Observe que a única diferença é a presença do atraso de transporte.

0 T 2T 3T 4T 5T 6T0

T

2T

3T

4T

5TErro de EstadoPermanente

r(t) = t

c(t)

108

Figura 5-4: Influencia do atraso de transporte na resposta

t

1 e1K)t(c para t ≥ 0

t

2 e1K)t(c para t ≥ θ Outra representação para c2(t) é dada utilizando o degrau unitário defasado do atraso de transporte,

t1e1K)t(c

t2 para t ≥ 0

5.3 Resposta de sistemas de 2ª ordem Sistema de 2ª Ordem padrão é definido por,

2nn

22ns2s

K)s(G

Onde K é o ganho ζ é o fator de amortecimento ωn é frequência natural em rad/s Como o atraso de transporte apenas desloca no tempo a resposta, ele não será considerado neste caso. As influencias principais vem do fator de amortecimento e da

0 Theta T T+Theta

63,2% de K

K

H1(s)H2(s)

109

frequência natural que altera os polos do sistema. As analises abaixo serão feitas utilizando o degrau unitário. Caso 1: Sistema sem amortecimento ( ζ = 0 ) Função de Transferência: 2

n2

2n

sK)s(G

Polos puramente imaginários: s1,2 = ± jωn com 1j Resposta ao degrau unitário,

tcos1K)t(css

s1Ks

1s

K)s(C n2n

22n

22n

Característica da resposta: Sistema oscila continuamente com frequência ωn. Influencia da frequência natural: Assumindo os sistemas abaixo, observe que K = 2, mas frequência natural ωn = 5 rad/s e ωn = 10 rad/s,

25s50)s(G 21 e 100s

200)s(G 22

Figura 5-5: Sistemas de 2ª ordem sem amortecimento Caso 2: Sistema subamortecido ( 0 < ζ < 1 ) Função de Transferência: 2

nn2

2ns2s

K)s(G

Polos complexos conjugados: s1,2 = - ζωn ± jωd com 2

nd 1 Sendo ωd a frequência natural amortecida em rad/s Resposta ao degrau unitário,

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.51

1.52

2.53

3.54

G1(s)G2(s)

110

2d

2n

n22

n2

nn

2nn

2n

2nn

22n

s2s

s1K1s

2ss1K

s2s2s

s1Ks

1s2s

K)s(C

Rearranjando,

2d

2n

d2

nn

2d

2n

n

2d

2n

ddn

2d

2n

n

s1ss

s1K

sss

s1K)s(C


tsin1tcose1K)t(c d2dtn para t ≥ 0

Que pode também ser escrita como,

2

1d2

t 1tgtsin1e1K)t(c n para t ≥ 0

Característica da resposta: Sistema oscila com frequência natural amortecida ωd, mas a oscilação decai com a exponencial. Observe que o decaimento é exatamente a parte real dos polos e a oscilação é a parte imaginária dos polos. Além disso, a parte real dos polos é responsável pelo sinal da exponencial, se for positiva, as oscilações aumentarão com o tempo e se for negativa, as oscilações diminuirão com o tempo. Influencia do fator de amortecimento: Assumindo os sistemas abaixo, observe que K = 2 e ωn = 5 rad/s, mas os fatores de amortecimento são 0.1 e 0.5.

25ss50)s(G 23 e 25s5s

50)s(G 24

111

Figura 5-6: Influencia do amortecimento em sistemas de 2ª ordem Influencia da frequência natural: Assumindo os sistemas abaixo, observe que K = 2 e fatores de amortecimento iguais a 0.25, mas frequência natural ωn = 5 rad/s e ωn = 10 rad/s,

25s5.2s50)s(G 25 e 100s5s

200)s(G 26

Figura 5-7: Influencia da frequência natural em sistemas de 2ª ordem Caso 3: Sistema criticamente amortecido ( ζ = 1 ) Função de Transferência: 2n

2n

2nn

22n

sK

s2sK)s(G

Polos reais e iguais: s1,2 = - ωn Resposta ao degrau unitário,

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

G3(s)G4(s)

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

G5(s)G6(s)

112

2n

nn

2n

2n

ss1

s1Ks

1s

K)s(C Cuja transformada inversa de Laplace é dada por, t

nt

nt nnn et11Ktee1K)t(c para t ≥ 0

Característica da resposta: Sistema não oscila. Perceba que a resposta geral é mesma para dois sistemas de 1ª ordem cuja entrada de um seja a saída do outro, chamado de sistemas em série. Observe que o decaimento é exatamente a parte real dos polos. Além disso, a parte real dos polos é responsável pelo sinal da exponencial, se for positiva, a resposta aumentará com o tempo e se for negativa, a reposta diminuirá com o tempo. Influencia da frequência natural: Assumindo os sistemas abaixo, observe que K = 2 e fatores de amortecimento iguais a 1, mas frequência natural ωn = 5 rad/s e ωn = 10 rad/s,

25s10s50)s(G 27 e 100s20s

200)s(G 28

Figura 5-8: Influencia da frequência natural para sistemas e 2ª ordem Caso 4: Sistema superamortecido ( ζ > 1 ) Função de Transferência: 21

2n

2nn

22n

ssssK

s2sK)s(G

Polos reais negativos e diferentes: n

22,1 1s

Resposta ao degrau unitário,

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

G7(s)G8(s)

113

222

n12

1n

21

2n

ss1

1s2ss1

1s2s1Ks

1ssss

K)s(C Cuja transformada inversa de Laplace é dada por,

2

ts

1

ts2n

ts2

2nts

21

n

se

se

121K

e12se12s1K)t(c21

21

para t ≥ 0

Característica da resposta: Sistema não oscila. Perceba que a resposta geral é mesma para dois sistemas de 1ª ordem cuja entrada de um seja a saída do outro, chamado de sistemas em série. Observe que o decaimento é exatamente a parte real dos polos. Além disso, a parte real dos polos é responsável pelo sinal da exponencial, se for positiva, a resposta aumentará com o tempo e se for negativa, a reposta diminuirá com o tempo. Influencia do fator de amortecimento Assumindo os sistemas abaixo, observe que K = 2 e frequências naturais ωn = 5 rad/s ,mas fatores de amortecimento 2 e 3,

25s20s50)s(G 29 e 25s30s

50)s(G 210

Figura 5-9: Influencia do fator de amortecimento em sistemas de2a ordem Curiosidade: Resposta de um sistema de 2ª ordem padrão sem amortecimento a uma entrada senoidal com as mesmas frequências. Isto é conhecido como ressonância,

9s9

)s(R)s(C)s(G 2 onde t3sin)t(r

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

G9(s)G10(s)

114

Então,

22

22

222

22222

9s9s

23

9s3

21

9sEDsCs

9sBAs

9s27

9s3

9s9)s(C

Observa-se que A = D = 0, fazendo B = 3/2, C = -3/2, E = 27/2. Então, para proceder com a transformada inversa de Laplace, deve-se observar a propriedade,

)s(Fdsd)]t(tf[L

Então, 22stsinL

e 222ss2tsintL

E,

22sstcosL e 222

22

sstcostL

Calculando a transformada de Laplace de,

22222

2 9s27

9s9s

23

9s3

21t3costL2

3t3sinL21

Então,

t3cost23t3sin2

1)t(c para t ≥ 0 Isto significa que as oscilações irão aumentar continuamente até o infinito. 5.4 Resposta de sistemas de ordem superior De modo geral, pode ser observado que a resposta do sistema depende da entrada e do tipo de polos. Polos complexos conjugados fazem o sistema oscilar, polos puramente reais geram apenas exponenciais. Assim, sistemas de ordem superiores, isto é, 3ª ordem, 4ª ordem, etc. A resposta geral será uma composição de exponenciais puras e termos com exponenciais multiplicando termos oscilantes. 5.5 Exercícios Resolvidos

115

Determinar as constantes básicas do sistema de 1ª ordem definido abaixo e determinar a sua resposta à entrada degrau 3,

s2e7s45)s(H

Solução: Para resolver este problema, a função de transferência acima deve ser comparada com uma função de transferência de 1ª ordem padrão, assim,

s2e7s45)s(H → Forma padrão → s2e

1s74 7

5)s(H

Assim, Ganho K = 5/7 Constante de tempo τ = 4/7 segundos Atraso de transporte θ = 2 segundos A resposta ao degrau 3:

t1e17

15)t(c 7/42t

para t ≥ 0

Para as funções de transferência abaixo, determinar os parâmetros de uma função de transferência padrão de 2ª ordem,

7s4s35)s(G 21 ; 7s4s3

5s2)s(G 22 ; 7s4s3

5s2s)s(G 22

3

Observe que todas possuem o mesmo denominador, assim comparando com uma função de transferência de 2ª ordem padrão,

Resposta ao Degrau 3

Tempo (sec)

Amplit

ude

0 1 2 2.5714 3 4 5 60

0.5

1

1.35251.5

22.1429

2.5

116

7s4s35)s(G 21 → Forma padrão → 3/7s3/4s

3/5)s(G 21 Assim, Ganho K = 5/7 Frequência natural ωn = 3

7 rad/s

Fator de amortecimento ζ = 73

32

Teorema do valor final: 7

5s1)s(sGlim)s(sClim)t(clim 3,2,10s0st

Teorema do valor inicial: 3

1s1)s(sGlim)s(sClim)t(clim 3ss0t

5.6 Exercícios Propostos 1. Qual a Função de transferência para as respostas abaixo

0 2 4 6 8 10 1200.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

Resposta ao Degrau Unitário

Tempo (sec)

Amplit

ude

G1G2G3

117

(a) (b) 2. Desenhar a resposta ao degrau unitário das seguintes Funções de transferência a) s3e1s5

7)s(G b) s5e1s3

2)s(G 3. Determinar as funções de transferência padrão para:

a. Função de transferência de 1ª ordem padrão com constante de tempo = 5s, atraso de transporte = 4s, e resposta em regime permanente y(t) = 0.7 para uma entrada r(t) degrau de amplitude 2;

b. Função de transferência de 2ª ordem padrão com frequência natural n = 10 rad/s, fator de amortecimento = 0.7, atraso de transporte = 4s, e resposta em regime permanente y(t) = 1.8 para uma entrada r(t) degrau unitário;

4. Um termômetro requer 1 minuto para indicar 98% da resposta a uma entrada em degrau. Supondo que o termômetro seja um sistema de primeira ordem, determine a constante de tempo. Se o termometro for imerso em um banho, cuja temperatura muda linearmente a uma taxa de 10°/min, qual será o erro apresentado pelo termômetro?

118

5. Considerando o sistema apresentado na figura abaixo, determine os valores de K e k, de modo que o sistema tenha um coeficiente de amortecimento ζ igual a 0,7 e uma frequência natural não amortecida ωn de 4 rad/s.

6. Considere um sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja:

( ) = ( + ) Discuta os efeitos que as variações de K e B produzem sobre o erro estacionário da resposta à entrada em rampa unitária. Esboce as curvas típicas de resposta à rampa unitária para valores pequenos, médios e elevados de K, supondo que B seja constante.

120

6 Ações Básicas de Controle Controlar um sistema significa alterar o seu desempenho de forma satisfatória através da adição de elementos externos, chamados de controladores ou reguladores. Sistema sem controle, muitas vezes chamado de malha aberta, pode ser observado na figura abaixo, quem ajusta a reposta do sistema c(t) é o operador ajustando a entrada u(t).

Figura 6-1: Sistema sem controle Sistema de controle em malha fechada envolve pelo menos uma realimentação presente na malha. Por exemplo, como o apresentado na figura abaixo.

Figura 6-2: Representação típica de um sistema de controle Sendo que os sinais são dados por, R(s) é a referencia a ser seguida ajustada pelo operador; E(s) é o erro do sistema de controle; U(s) é a lei de controle por ser saída do controlador, mas ao mesmo tempo

é a entrada da planta a ser controlada; C(s) é a resposta controlada real; Contudo, esta não é a única configuração do sistema de controle possível. Outras configurações podem ser observadas como apresentadas na figura abaixo.

Figura 6-3: Possíveis colocações do sistema de controle Controlador Clássico representa as formulações clássicas de sistemas de controle como “controlador PID” e “Avanço e Atraso de Fase”. Controle em Realimentação representa

121

as formulações de controle moderno como Controle H2 e H∞. Controle em avanço representa as metodologias adaptativas tais como LMS Filtrado. De modo geral, a posição do controlador em relação à planta a ser controlada depende do conhecimento do programador do sistema de controle. Aqui será estudado o controlador PID que é o sistema de controle clássico mais utilizado em sistemas industriais em que envolve o controle de uma entrada e de uma saída. Uma definição de sistemas de controle bastante interessante é a resposta à seguinte pergunta: “Quais são os polos em malha fechada para que o sistema possua o desempenho desejado?”. 6.1 Ação de Controle de duas posições ou “liga-desliga” Em um sistema de controle de duas posições, o elemento atuante possui apenas duas posições fixas, que são em muitos casos a posição “Liga” e “Desliga”. Este tipo de sistema de controle é relativamente barato e simples de ser implementado. Ele representa sempre o controle de processos em que, por exemplo, ocorre o acionamento de um motor como sistema de controle. Neste caso, o motor deve estar ligado ou desligado. Exemplos deste sistema é o controle de sistemas térmicos e de sistemas fluídicos. Considerando o controlador M(s) tal que a entrada seja e(t) e a saída seja u(t). No controle de duas posições o sinal u(t) permanece em um determinado valor máximo ou em um valor mínimo, dependendo se o sinal de erro atuante for negativo ou positivo.

0)t(e/pU

0)t(e/pU)t(u21

Onde U1 e U2 são constantes. O valor mínimo U2 geralmente é zero, o controlador é em geral um dispositivo elétrico. O intervalo no qual o sinal de erro deve variar antes de ocorrer a comutação entre U1 e U2 é denominado de Intervalo Diferencial. Um sistema de controle típico pode ser observado na figura abaixo.

Figura 6-4:Controlador tipo “Liga-Desliga”

122

6.2 Ação de Controle Proporcional (P) O controle Proporcional (P) a relação entre a lei de controle e o erro do controlador, ele é apenas uma constante de proporcionalidade Kp,

)t(eK)t(u p Aplicando a transformada de Laplace,

pK)s(E)s(U

Onde Kp é o ganho Proporcional. Influência da Ação Proporcional: Para verificar a influencia da ação proporcional, toma-se como exemplo o controle proporcional de um sistema de 2ª ordem padrão sem erro estacionário para uma entrada degrau unitário conforme,

Figura 6-5: Sistema simples de controle em realimentação Com H(s) = 1 (sensor ideal), M(s) = Kp (controle Proporcional) e 9s3s

9)s(G 2 . Malha fechada C(s)/R(s),

9K1s3s9K

9s3s9K1

9s3s9K

)s(H)s(G)s(M1)s(G)s(M

)s(R)s(C

p2

p

2p

2p

Observa-se que um sistema de 2ª ordem padrão sem erro estacionário para uma entrada degrau unitário, Função de Transferência: 2

nn2

2n

s2s)s(G

Polos complexos conjugados: s1,2 = - ζωn ± jωd com 2nd 1

tsin1tcose1)t(c d2dtn para t ≥ 0

123

Sistema sem controle Sistema controlado

Frequência Natural ωn 3 pK13 Fator de amortecimento ζ ½

pK121

Frequência Natural Amortecida ωd 323 pK432

3 Resposta em regime permanente para uma

entrada degrau unitário 1 p

pK1

K

Erro estacionário para uma entrada degrau unitário 0

pK11

Observe os vários significados obtidos e sintetizados na tabela acima: Se Kp aumenta, o sistema oscila mais e é menos amortecido; Se Kp aumenta, o sistema responde mais rápido, pois a frequência natural aumentou; Erro estacionário, o Análise para termo s0 ≠ 0,

Se não houver erro estacionário ele aparecerá; Se houver erro estacionário ele pode ser reduzido, mas não eliminado; o Análise para termo s0 = 0, Erro estacionário é sempre eliminado.

Figura 6-6: Influencia da ação Proporcional

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.40.6

0.81

1.21.4

1.61.8


Tempo (sec)

Amplit

ude

Kp = 5Kp = 30

124

6.3 Ação de Controle Integral (I) Em um sistema de controle integral, a lei de controle u(t) é modificada conforme,

t

0I dt)t(eK)t(u

Onde KI é o ganho do controle integral. A função de transferência fica,

sK

)s(E)s(U I

Influência da Ação Integral: Para verificar a influencia da ação integral, toma-se como exemplo o controle integral de um sistema de 2ª ordem padrão com erro estacionário para uma entrada degrau unitário conforme,

Figura 6-7: Sistema simples de controle em realimentação Com H(s) = 1 (sensor ideal), M(s) = KI/s (controle integral) e 9s3s

2/9)s(G 2 . Malha fechada C(s)/R(s),

I23

I

2I

2I

K29s9s3s

K29

9s3s2/9

sK1

9s3s2/9

sK


)s(R)s(C

Observe que foi adicionado um polo e um ganho ao sistema em malha fechada tal que o erro estacionário para uma entrada degrau unitário foi eliminado. Contudo, assumindo KI = 0.5, obtêm-se para os polos do sistema, obtido com ajuda do Matlab®, Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) -2.73e-001 1.00e+000 2.73e-001 -1.36e+000 + 2.53e+000i 4.75e-001 2.87e+000 -1.36e+000 - 2.53e+000i 4.75e-001 2.87e+000

125

Agora para KI = 5, obtêm-se , Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) -2.73e+000 1.00e+000 2.73e+000 -1.37e-001 + 2.87e+000i 4.77e-002 2.87e+000 -1.37e-001 - 2.87e+000i 4.77e-002 2.87e+000 Desta forma, verifica-se que a medida que KI aumenta, o sistema tende a ficar mais oscilante e menos amortecido, se KI aumentar muito, pode acontecer do sistema ficar sem amortecimento e até mesmo aparecerem polos com parte real positiva. A partir da simulação abaixo, verifica-se que a medida que KI aumenta, o erro estacionário é eliminado mais rápido.

Figura 6-8: Influencia da ação integral 6.4 Ação de Controle Proporcional-Integral (PI) Em geral o controle integral sozinho raramente é usado, opta-se normalmente pelo controle Proporcional-Integral. A ação do controle proporcional-integral é a soma das duas atuações conforme,

t

0ip

t

0Ip dt)t(eT

1)t(eKdt)t(eK)t(eK)t(u Onde Ti é chamado de Tempo Integrativo. Passando para função de transferência,

sT11K)s(E

)s(Ui

p A forma acima é a mais usada quando ambos os controladores são usados. Para entender o significado de Ti, assume-se que a entrada e(t) é um degrau unitário, portanto,

0 5 10 15 20 25 30 35 4000.20.40.60.8

11.21.41.6


Tempo (sec)

Amplit

ude

KI = 0.5KI = 2.5KI = 5

126

2

ipp

ipip

sTK

sK

s1

sTKsTK)s(U

Cuja transforma inversa de Laplace fica,

tTKK)t(u

ip

p para t ≥ 0 Observe que quando t = 0, u(t) = Kp, quando t = Ti, u(t) =2 Kp. Isso significa que Ti representa o tempo necessário para o controle integral dobrar a sua ação. Além disso, como Ti está no denominador, ele é inversamente proporcional, isto é, quando Ti é muito pequeno, a ação integral é muito grande. Influência da Ação Proporcional-Integral: Para verificar a influencia da ação integral, toma-se como exemplo o controle proporcional-integral de um sistema de 2ª ordem padrão com erro estacionário para uma entrada degrau unitário conforme,

Figura 6-9: Sistema simples de controle em realimentação Com H(s) = 1 (sensor ideal),

sT

11K)s(Mi

p (controle integral) e 9s3s2/9)s(G 2 .

Malha fechada C(s)/R(s),

1sTK2

9sT9sT3sT1sTK2

9

9s3s2/9

sT11K1

9s3s2/9

sT11K


)s(R)s(C

ipi2

i3

i

ip

2i

p

2i

p

Observe que agora o erro estacionário é eliminado pela adição de um polo e um zero, assim, o sistema não apresenta erro estacionário. Além disso, pode-se fazer as mesmas observações que são apresentadas para os controladores agindo separadamente, contudo deve-se lembrar que neste caso a parcela integral é inversamente proporcional, assim quanto maior Ti, menor será a ação integral do controlador. 6.5 Ação de Controle Proporcional-Derivativa (PD)

127

O controle proporcional-derivativo é definido como,

)t(edtdT)t(eK)t(u dp

A função de transferência é dada por,

1sTK)s(E)s(U

dp Onde Td é o chamado tempo derivativo. Influencia da Ação Proporcional-Derivativa: Assumindo um sistema de 2ª ordem padrão conforme figura abaixo,

Figura 6-10: Sistema simples de controle em realimentação Com H(s) = 1 (sensor ideal), M(s) = Kp(Tds+1) (controle Proporcional-Derivativo) e

9s3s9)s(G 2 .

Malha fechada C(s)/R(s),

pdp2

dp

2dp

2dp

K99sTK93s1sTK9

9s3s91sTK1

9s3s91sTK


)s(R)s(C

Observe que foi adicionado um zero ao sistema em malha fechada. Contudo, a constante Td está no termo de “s” e o denominador é de 2ª ordem significando que a ação proporcional adiciona amortecimento ao sistema. Como uma ação secundária, observa-se que o sistema responde mais rápido devido ao aumento da frequência natural, mas o sistema que originalmente não apresentava erro estacionário agora apresenta.

128

Figura 6-11: Influencia da ação Derivativa 6.6 Ação de Controle Proporcional-Integral-Derivativa (PID) O controle Proporcional-Integral-Derivativo é a soma das ações, sendo dada por,

t0i

dp dt)t(eT1)t(edt

dT)t(eK)t(u A função de transferência é dada por,

sTKsTKsTTK

sT1sT1K)s(E

)s(Ui

pip2

idpi

dp

Influencia da Ação Proporcional-Integral-Derivativa: Assumindo um sistema de 2ª ordem padrão conforme figura abaixo,

Figura 6-12: Sistema simples de controle em realimentação Com H(s) = 1 (sensor ideal), M(s) um controle Proporcional-Integral-Derivativo com Kp = 16/3, Td = 7/10 e Ti = 24/125, 9s3s

9)s(G 2 .

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Resposta ao Degrau Unitário e Kp = 5

Tempo (sec)

Amplit

udeTd = 0.001Td = 0.1Td = 0.5

129

Figura 6-13: Influencia do Controlador PID 6.7 Rejeição a distúrbios Uma das vantagens do sistema de controle é a possibilidade de rejeição a distúrbios indesejados que podem aparecer em sistemas de controle. Para entender este fenômeno, consideram-se distúrbios de entrada e de saída conforme figura abaixo.

Figura 6-14: Atuação dos principais tipos de distúrbios Onde N(s) é a representação de um distúrbio de entrada e D(s) é um distúrbio de saída. Distúrbios de saída são aqueles que atuam diretamente na resposta do sistema enquanto que os distúrbios de entrada são aqueles que afetam “indiretamente” a resposta do sistema. Exemplo de distúrbio de saída é a laminação enquanto distúrbios de entrada é a descida ou subida do veículo. Rejeição a distúrbios significa que o controlador mantém a referência mesmo na presença de distúrbios. Então supondo um sistema de 2ª ordem padrão em um sistema de controle conforme apresentado na figura abaixo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Tempo (sec)

Amplit

ude

G(s)Malha Fechada

130

Figura 6-15: Malha Fechada com distúrbio de saída Supondo M(s) controlador PID com Kp = 3; Td = 0.1 e Ti = 0.5, 25ss

20)s(G 2 . Observe que G(s) possui frequência natural 5 rad/s e fator de amortecimento 0.1 e apresenta uma resposta em regime permanente 0.8 para uma entrada degrau unitário. Para analisar a rejeição a distúrbios do controlador PID, faz-se a malha fechada, mas para um sistema com duas entradas e uma saída. )s(E)s(M)s(G)s(D)s(C (I) )s(C)s(R)s(E (II) Substituindo (II) em (I), )s(R)s(G)s(M)s(D)s(C)s(G)s(M1)s(C)s(R)s(M)s(G)s(D)s(C Chegando a,

)s(R)s(G)s(M1)s(G)s(M)s(D)s(G)s(M1

1)s(C Observe que o denominador é igual para todas as entradas, apenas o numerador é diferente. Como o controlador PID deve eliminar a influencia de D(s) em C(s) para qualquer entrada, então escolhendo a entrada mais fácil de ser trabalhada r(t) = 0 e d(t) entrada degrau unitário. Assim,

s1

3s5.1s15.02025sss5.025sss5.0

s1

25ss20

s5.03s5.1s15.01

1)s(D)s(G)s(M11)s(C

222

22

Verificando o erro estacionário,

0s1

3s5.1s15.02025sss5.025sss5.00slim)s(C)s(Rslim)t(c)t(rlim 22

2

0s0st

131

Como não há erro estacionário, o controlador PID consegue eliminar a influencia do distúrbio de saída D(s).

Figura 6-16: Exemplo de rejeição a distúrbios 6.8 Possibilidade de escolha dos polos Em sistemas de controle é possível escolher os polos do sistema em malha fechada. Em geral, procuram-se polos que não sejam puramente reais, mas sim aqueles que apresentem fator de amortecimento em torno de 0.7, pois desta forma ocorre uma boa relação entre sobressinal e velocidade de resposta. Para escolher os polos com o controlador PID deve ser lembrado que são três constantes para serem estabelecidas, para que o sistema em malha fechada não apresente erro estacionário haverá a necessidade da presença do integrador. Supondo o sistema abaixo, com 9ss

9)s(G 2 e 10s10)s(H

Figura 6-17: Sistema simples de controle em realimentação Encontrar os valores das constantes do controlador PID para que o sistema em malha fechada possua os polos com frequência natural 5 rad/s e fator de amortecimento 0.5.

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo [s]

Sem ControleControlador PID

132

Observe que G(s) é de 2ª ordem e H(s) é de 1ª ordem, como o PID aumentará em uma ordem, o sistema em malha fechada será de 4ª ordem, assim,

ipp2

dp34

i2

diip

ppi2

dpi3

i4

ii

2idp

i2

idp2

ii

2idp

2i

pip2

idp

2i

pip2

idp

T/K90sK9090sTK9019s11s10s1sTsTTT

K9K90sK9090TsTK9019TsT11sT

10s1sTsTTK91sTsTTK9010s9sssT

10s1sTsTTK910s

109ss

9sT

KsTKsTTK19ss

9sT

KsTKsTTK


)s(R)s(C

Montando o denominador cujos polos devem possuir frequência natural 5 rad/s e fator de amortecimento 0.5, assim,

s4 + 10s3 + 75s2 + 250s + 625 O grande problema é o termo de “s3” onde na função de transferência é 11 e no denominador desejado é 10. Isto significa que não é possível estabelecer sempre os polos do sistema em malha fechada com um controlador PID. Contudo, para exemplificar uma possível solução, 9

1690

160190250K250K190 pp

12532

625160

6259

1690625

K90T625TK90 p

ii

p

207

16056

K901975T75TK9019

pddp

Desta forma, a malha fechada fica,

625s250s75s11s625s5.222s72s6.5

)s(R)s(C

23423

133

Cujas raízes são, Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) -1.44e+000 + 4.16e+000i 3.27e-001 4.40e+000 -1.44e+000 - 4.16e+000i 3.27e-001 4.40e+000 -4.06e+000 + 3.98e+000i 7.15e-001 5.68e+000 -4.06e+000 - 3.98e+000i 7.15e-001 5.68e+000 Deve ser observado que apenas uma pequena variação em um dos termos acarreta uma não localização dos polos. Portanto, para este caso não foi possível especificar qual a localização dos polos, contudo, a resposta alcançada melhora o desempenho final do sistema como pode ser observado na figura abaixo.

Figura 6-18: Exemplo da possibilidade da escolha dos polos 6.9 Exercícios Resolvidos Para verificar a ação de um sistema de controle, será considerado o diagrama de blocos abaixo.

Figura 6-19: Sendo: Planta 25ss

20)s(U)s(C

2 e o Sensor 10s10

)s(C)s(X

0 2 4 6 8 10 1200.20.40.60.8

11.21.41.6


Tempo (sec)

Amplit

ude

G(s)H(s)Malha Fechada

134

Adicionando um controle PD (Proporcional-Derivativo), representado por M(s), com constantes Kp = 5 e Td = ¼ segundos. Verificar utilizando o teorema do valor final todos os sinais apresentados no diagrama de blocos, para uma entrada degrau unitário. Iniciando com o fechamento da malha C(s)/R(s),

10s

1025ss

205s451

25ss205s4

5

10s10

25ss20KsTK1

25ss20KsTK


)s(R)s(C

2

2

2pdp

2pdp

Aplicando o teorema do valor final, para cada um dos sinais e aplicando uma entrada degrau unitário em r(t), Para a saída c(t),

54

10*2510*20*51

2520*5

s1

10s10

25ss205s4

5125ss

205s45

slim

)s(R)s(H)s(G)s(M1)s(G)s(Mslim)s(R)s(R

)s(Cslim)s(sClim)t(clim

2

20s

0s0s0st

Para a saída x(t),

54

2520*51

10*2510*20*5

s1

25ss205s4

5110s

1025ss

205s45

slim

)s(R)s(G)s(M1)s(H)s(G)s(Mslim)s(R)s(R

)s(Xslim)s(sXlim)t(xlim

2

20s

0s0s0st

Outra forma para x(t),

54

s1

54

10s10slim)s(C)s(sHlim)s(sXlim)t(xlim 0s0s0st

Para a entrada do controlador e(t),

51

541s

125ss

205s451

10s10

25ss205s4

51slim

)s(R)s(R)s(X1slim)s(X)s(Rslim)s(sElim)t(elim

2

20s

0s0s0st

135

Para a saída do controlador u(t) ou chamada lei de controle,

1s1

515s4

5slim)s(E)s(sMlim)s(sUlim)t(ulim 0s0s0st

Erro estacionário ou erro de regime permanente,

51

s1

541slim)s(R)s(R

)s(C1slim)s(C)s(Rslim)t(c)t(rlim 0s0s0st

Agora, adicionando um controlador PID, representado por M(s), com constantes Kp = 5 e Td = ¼ segundos e Ti = ½ segundo. Verificar utilizando o teorema do valor final todos os sinais apresentados no diagrama de blocos, para uma entrada degrau unitário. Para o controlador M(s),

s

10s5s45

s21

1s21s2

141

5sT1sTsTTK)s(M

22

ii

2sdp

Para a saída c(t),

)s(R)s(H)s(G)s(M1)s(G)s(Mslim)s(R)s(R

)s(Cslim)s(sClim)t(clim 0s0s0st

10s

10s25ss200s100s251

s25ss200s100s25

lims1

10s10

25ss20

s10s5s4

51

25ss20

s10s5s4

5

slim23

223

2

0s

2

2

2

2

0s

1200s100s251010ss25ss10s200s100s25lim 223

20s

Para a entrada do controlador e(t),

011s1

10s101slims

110s

10s1slim

)s(C)s(H)s(Rslim)s(X)s(Rslim)s(sElim)t(elim

0s0s

0s0s0st

Para a saída do controlador u(t) ou chamada lei de controle,

)s(R)s(H)s(G)s(M1)s(Mslim)s(R)s(R

)s(Uslim)s(sUlim)t(ulim 0s0s0st

136

10s10

s25ss200s100s251

s10s5s4

5

lims1

10s10

25ss20

s10s5s4

51

s10s5s4

5

slim23

2

2

0s

2

2

2

0s

4

5200s100s251010ss25ss

10s5s4510s25ss

lim 22

22

0s

Outra forma para u(t),

45

s1

2025ssslim)s(C)s(G

1slim)s(sUlim)t(ulim 2

0s0s0st

Erro estacionário ou erro de regime permanente,

0s111slim)s(R)s(R

)s(C1slim)s(C)s(Rslim)t(c)t(rlim 0s0s0st

Curiosidade: Comparando os dois exemplos, pode ser afirmado que o controlador PID ajusta a sua saída u(t) até que a entrada e(t) seja zero. Para demonstrar isso, deve ser adicionado um erro entre C(s) e X(s) através da adição de um erro estacionário em H(s), como por exemplo, fazendo,

10s8)s(H

Se isso for feito: c(∞) = 5/4 , x(∞) = 1 , e(∞) = 0 , u(∞) = 25/16

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5


Tempo (sec)

Saída

c(t)

Malha AbertaControle PDControle PID

137

Erro de regime permanente: 41)t(c)t(rlimt

Isto significa que se a malha em realimentação apresentar erro estacionário, este pode gerar um erro estacionário na malha de controle. 6.10 Exercícios Propostos

1. Para o sistema abaixo em malha fechada abaixo, com 5s3sG e 1s3

1sH .

a) Determinar os valores das constantes do controlador PID, representado por

M(s), para que o denominador do sistema em malha fechada seja equivalente ao denominador um sistema de 2ª ordem, com fator de amortecimento = 0.7, frequência natural n = 3 rad/s.

b) Determinar os valores das constantes do controlador PID, representado por M(s), para que o denominador do sistema em malha fechada abaixo possua os mesmos polos que o produto de um sistema de 1ª ordem com constante de tempo τ = 0.2 segundos com um sistema de 2ª ordem com fator de amortecimento = 0.5 e frequência natural n = 5 rad/s.

c) Para os itens (a) e (b) qual será o )t(climt para uma entrada degrau unitário? d) Para os itens (a) e (b), qual será o )t(ulimt para uma entrada degrau unitário?

2. Para o diagrama de blocos abaixo, obter o erro estacionário, para um controlador M(s)

Proporcional-Integral-Derivativo (PID), com Kp = 3, Td = ½s, Ti=1s, para uma entrada 5

2tr , sendo 2s1sG , 1s

3sH e 3s2sD .

138

3. Para o diagrama de blocos abaixo, obter o erro estacionário ou erro de regime permanente, para um controlador M(s) Proporcional – Integral - Derivativo (PID), com Kp = 4, Td = 2s e Ti = 3s, para uma entrada degrau r(t) = 2, sendo:

2s2s1sG 2 , 3s

2sH e 2s2sF .

4. Para o diagrama de blocos acima, qual o valor K para que o sistema em malha fechada

não apresente erro estacionário para uma entrada degrau unitário? M(s) Proporcional – Integral - Derivativo (PID), com Kc = 4, Td = 2 e Ti = 3.

2s2s

KsG 2 , 3s2sH e 4s

2sF .

5. Supondo a função de transferência abaixo, colocar um controle Proporcional-Derivativo (PD) para que seja duplicada a frequência natural e o fator de amortecimento.

27s5,3s3

15sG 2

6. Projeto de controladores. A função de transferência acima com o controle PD não é suficiente para que não ocorra erro estacionário ou erro de regime permanente é necessária a introdução do controle integral junto do controle PD, formando assim o PID. Para que isso seja feito, o terceiro polo deve ser escolhido de tal forma a ser puramente real e negativo com módulo pelo menos 3 vezes maior que o módulo dos polos imaginários.

139

7. Considere o sistema de controle de posição de um satélite mostrado na figura (a) abaixo. A saída do sistema apresenta oscilações continuadas não desejáveis. Esse sistema pode ser estabilizado pelo uso de realimentação tacométrica, como mostra a figura (b). Se K/J = 4, que valor de Kh resultará em um coeficiente de amortecimento igual a 0,6?

140

7 Critérios de Desempenho Com frequência, as características de desempenho de um sistema de controle são especificadas em termos da resposta transitória a uma entrada degrau unitário. Dentre elas tem-se,

1. Tempo de Atraso ( td – Delay Time): Tempo requerido para que a resposta alcance metade de seu valor final pela 1ª vez.

2. Tempo de Subida ( tr – Rise Time): Tempo requerido para que a resposta passe de 10 a 90% ou de 5 a 95% ou 0 a 100% do valor final. Para sistemas de 2ª ordem subamortecidos, o tempo de subida de 0 a 100% é normalmente utilizado. Para os sistemas superamortecidos e sistemas de 1ª ordem ou sistemas que não apresentam oscilações em sua resposta, o tempo de subida de 10 a 90% é o mais utilizado.

3. Tempo de Pico ( tp – Peak Time): Tempo requerido para a resposta do sistema atingir o 1º pico de sobressinal.

4. Máximo Sobressinal ( Mp – Overshoot): Representa o valor máximo de pico da curva de resposta, isto é, o maior valor acima do valor final, subtraído do valor final da resposta. Como este valor absoluto é dependente da entrada, usualmente é apresentado a %Mp, Porcentagem de Sobressinal, isto é, %100)(c

)(c)t(cdevalormáximoM% p

5. Tempo de Acomodação ( ts – Settling Time): Tempo necessário para a resposta do sistema alcançar e permanecer dentro de uma faixa, usualmente 2% ou 5%, em torno do valor final. Esta constante é utilizada para determinar a estabilização do sistema, isto é, ela marca a passagem entre o regime transitório e o regime permanente.

Figura 7-1: Resposta típica de um sistema de 2ª ordem padrão a uma entrada tipo degrau

141

7.1 Tempo de Acomodação O tempo de acomodação para um sistema de 1ª ordem. Como exemplo, tem-se seguinte sistema,

5s3)s(H

Ele possui uma constante de tempo τ = 1/5 segundos e um ganho de 3/5. O tempo de acomodação para este sistema depende apenas da constante de tempo, isto é, o ganho e a amplitude do degrau não influenciam no tempo de acomodação. Desta forma, Critério de 5% ele se acomodará em aproximadamente 3τ ou 0.6 segundos; Critério de 2% ele se acomodará em aproximadamente 4τ ou 0.8 segundos; Já o seguinte sistema,

s7.0e5s3)s(H

A constante de tempo ainda é τ = 1/5 segundos e o ganho de 3/5, mas como possui atraso de transporte θ = 0.7 segundos, ele deve ser levado em conta no calculo do tempo de acomodação, então, Critério de 5% ele se acomodará em aproximadamente 3τ + θ ou 1.3 segundos; Critério de 2% ele se acomodará em aproximadamente 4τ + θ ou 1.5 segundos;

Figura 7-2: Tempo de acomodação com critério de 5% para sistema de 1ª ordem

O tempo de acomodação para sistemas de 2ª ordem vai depender se o sistema for padrão ou não e do fator de amortecimento. Caso seja um sistema padrão e seja subamortecido, a sua resposta para uma entrada degrau unitário é dada por,

Resposta ao Degrau Unitario

Tempo (sec)

Amplit

ude

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

System: HSettling Time (sec): 0.599

Resposta ao Degrau Unitario

Tempo (sec)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

System: HSettling Time (sec): 1.3

142

21

d2t 1tgtsin1

e1K)t(c n para t ≥ 0 Como a exponencial decai uma taxa 1/ζωn, então, pode-se aproximar o tempo de acomodação conforme, Critério de 5% ele se acomodará em aproximadamente 3/ζωn; Critério de 2% ele se acomodará em aproximadamente 4/ζωn;

Como exemplo tem-se os dois sistemas,

25s4s25)s(1G 2 e 25s4s

25s12)s(2G 2

Ambos são sistemas de 2ª ordem com ζ = 0.4 e ωn = 5 rad/s. Calculando o tempo de acomodação pela fórmula para critério de 2%, Critério de 2% ele se acomodará em aproximadamente 4/ζωn ou 2 segundos; Contudo, verificando na prática, o sistema padrão G1(s) acomoda-se exatamente em 1.68 segundos e o sistema não padrão G2(s) acomoda-se em 2.04 segundos conforme apresentado na figura abaixo.

Figura 7-3: Exemplo de tempo de acomodação com critério de 2% para sistemas de 2ª ordem

Deve ser mencionado que para o sistema G1(s) o pico da resposta ocorre um pouco depois de 2 segundos, conforme pode ser observado na figura acima. Deve ser observado que para o sistema não padrão, vai depender do numerador, isto é, para um numerador conforme apresentado abaixo, o tempo de acomodação sobe para 3.29 segundos.

25s4s25s100)s(3G 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo (sec)

G1(s)G2(s)

Exponencial

Critério de 2%

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.52.50.950.960.970.980.99

11.011.021.031.041.051.05

X: 1.679Y: 0.98

Tempo (sec)

X: 2.039Y: 1.02

G1(s)G2(s)

143

Figura 7-4: Exemplo de tempo de acomodação com critério de 2%

Formula Aproximada para o tempo de acomodação: A melhor maneira de se estimar o tempo de acomodação é através do método gráfico. Quando não estiver disponível deve-se aplicar a metodologia abaixo. Supondo que as respostas dos sistemas são em geral da seguinte forma,

)t(bea)t(c t para t ≥ 0 Onde c(t) é a reposta do sistema, a, b e α são constantes e ϕ(t) é o termo oscilante, que pode existir ou não. Definindo um erro tal que,

a02.0)t(be)t(c)(c)t(e t Onde 0.02 é para o critério de 2%, seria 0.05 para 5%. Então,

a02.0)t(eb t O problema é saber o tempo em que ocorre o maior valor do termo oscilante dentro do tempo de decaimento. Mas fazendo uma aproximação do |ϕ(t)| pelo maior valor em módulo que a função pode atingir, chamado de M, então,

Mba02.0ln1tMb

a02.0lntMba02.0e *

s*s

t*s O asterisco aparece pela aproximação de |ϕ(t)| por M. Como dentro do “ln” será um valor negativo, então,

a02.0

Mbln1t*s

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.950.960.970.980.99

11.011.021.031.041.05

X: 3.286Y: 1.02

Tempo (sec)

G1(s)G3(s)

144

Deve ser observado que esta equação satisfaz o proposto originalmente, mas o tempo de acomodação real será dado por,

*ss tt

Exemplo 1: Para o sistema abaixo, com critério de 2%,

25s4s25)s(1G 2

A solução, denominada de c(t), para uma entrada degrau unitário é dada por,

221tgt21sine21

2151)t(c 1t2 para t ≥ 0 Para a aplicação da metodologia, a = 1, 21

215b , α = 2 e M = 1, então,

2t2t02.021

215ln2

1ta02.0Mbln1t s

*s

*s

*s

segundos

Tabela de exemplos de M

ϕ(t) M 3tsin2 5 3tsin2 5 3tsin2 5 tsin23 5 Quando a solução apresentar várias partes, ela pode ser desmembrada em várias soluções simples e comparados os tempos de acomodação para cada uma delas. Então, supondo uma solução da seguinte forma,

)t(eb)t(eba)t(c 2t

21t

1 21 para t ≥ 0 Desmembrando conforme,

)t(eba)t(c 1t

11 1 e )t(eba)t(c 2t

22 2 Para c1(t):

a02.0Mbln1t 11

1*1s

145

Para c2(t):

a02.0

Mbln1t 222

*2s

Solução final para o tempo de acomodação,

ts ≤ maior valor entre *1st e *

2st Exemplo 2: Considerando o seguinte caso com critério de 2%,

1t5cos3e313t5cos4e2

121)t(c t3t2

Aplicando a metodologia, Para c1(t): 3t5cos4e2

121)t(c t2

1 , assim,

929.2t2102.0

721

ln21ta02.0

Mbln1t *1s

*1s

111

*1s

Para c2(t): 1t5cos3e3

121)t(c t3

2 , assim,

631.1t2102.0

431

ln31ta02.0

Mbln1t *2s

*2s

222

*2s

Assim, o tempo de estabilização será ts ≤ 2.929 segundos. De acordo com a figura abaixo, o tempo de estabilização é exatamente 2.261 segundos.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.450.460.470.480.490.5

0.510.520.530.540.55

X: 2.261Y: 0.51

146

Figura 7-5: Exemplo de tempo de acomodação com critério de 2% para sistemas de ordem elevada

Observação: Como não é possível estipular exatamente quando ocorre o tempo de acomodação por esta fórmula aproximada, usa-se o sinal de ≤ para ts. 7.2 Tempo de Pico O tempo de pico é definido como o tempo em que a função alcança o 1º pico de sobressinal, isto é, é dado observando o maior valor do 1º pico acima do regime estacionário ou valor final ou resposta em regime permanente. Contudo, pode haver controvérsia devido à sua utilização, em alguns casos, como o software Matlab, ele define como o tempo do maior valor de sobressinal. Ver figura abaixo.

Figura 7-6: Exemplo de tempo de pico Tempo de pico para sistemas de 1ª ordem padrão: Como não ocorre sobressinal, não se aplica. Tempo de pico para sistemas de 2ª ordem padrão: Vai depender das características do sistema. Se for superamortecido não se aplica, se for subamortecido, a resposta padrão é dada por,


Para encontrar o tempo de pico, deriva-se a resposta, igualando o resultado a zero e verificando se a amplitude é máxima global. Então,

Resposta ao degrau Unitário

Tempo (sec)

Amplit

ude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.5

0

0.5

1

1.5

2

System: GPeak amplitude: 1.78Overshoot (%): 256At time (sec): 0.513

147

tcos1tsinKe

tsin1tcoseK)t(cdtd

d2ddd

t

d2dt

n

n

n

Agrupando os termos,

0tsin1tcos1Ke)t(cdtd

dd2n

2d2

dntn

Como a exponencial não pode ser nula,

0tsin1tcos11

d2nd2

2n

n

Então, 0tsin pd O termo se anula para, ktpd para k = 0, 1, 2, ... Pegando o menor termo diferente de zero,

dpt

segundos Deve ser lembrado que a fórmula acima só é válida para sistemas de 2ª ordem padrão. 7.3 Máximo sobressinal O máximo sobressinal ocorre no tempo de pico, ele representa a diferença entre o maior valor da resposta subtraído do valor de regime permanente. Máximo sobressinal para sistemas de 1ª ordem padrão: como não há tempo de pico, não se aplica. Máximo sobressinal para sistemas de 2ª ordem padrão: Vai depender das características do sistema. Se for superamortecido não se aplica, se for subamortecido, a resposta padrão é dada por,

148


Substituindo o tempo de pico,

dd2d

dp sin1cose1K)t(c dn

Então,

dn

e1K)t(c p Como a resposta em regime permanente é K,

dn

dn

KeKe1Kc)t(cM pp

Como é um valor que depende da entrada, pois foi utilizada a resposta ao degrau unitário, o mais conveniente é calcular a %Mp, Porcentagem de Sobressinal, assim,

%100e%100KKe

cc)t(cM% d

ndn

pp

7.4 Tempo de subida Tempo de subida para sistemas de 1ª ordem padrão: Como o sistema não apresenta sobressinal é mais comum utilizar uma porcentagem da amplitude. Supondo um critério de 10% a 90%, isso é o tempo de subida é o tempo necessário para a resposta do sistema passar de 10% para 90%, sendo assim, da reposta de um sistema de 1ª ordem padrão à entrada degrau unitário,

t

e1K)t(c para t ≥ 0 Resposta em regime permanente: c(∞) = K Resposta para c(t) = 10% de c(∞): 9.0ee1KK1.0 11 tt

149

Resposta para c(t) = 90% de c(∞): 1.0ee1KK9.0 22 tt

Dividindo uma pela outra,

9lnt9e9e1.09.0

ee

rttt

t

tr12

2

1

Tempo de subida para sistemas de 2ª ordem padrão: Vai depender das características do sistema para se escolher um critério. Se for superamortecido usualmente é escolhido o critério de 5% a 95% ou 10% a 90%, se for subamortecido pode ser escolhido o critério de 0 a 100%. A resposta ao degrau unitário para um sistema subamortecido de 2ª ordem padrão é dada por,


Escolhendo o critério de 0% a 100%, o tempo de subida ts será o tempo necessário para a resposta do sistema sair de 0 para 100% da resposta em regime permanente, Resposta em regime permanente: c(∞) = K Resposta para c(t) = 100% de c(∞):

rd2rd

t tsin1tcose1KK rn Então, como a exponencial não pode ser nula,

0tsin1tcos rd2rd

Dividindo pelo cosseno,

21d

rrd21tg1t0ttg11

Neste ponto, deve-se tomar muito cuidado devido ao negativo dentro do arco tangente, pois se deve observar a física do problema. Como está sendo calculado um tempo, ele deve ser positivo, assim pela trigonometria, tgtg

150

Portanto,

2rd

2rd

1ttg1ttg Assim,

n

2n121

rd1tg1tgt

Onde β é o ângulo entre a parte imaginária e a parte real do polo. Então, para um sistema de 2ª ordem padrão com critério de 0 a 100% e uma entrada degrau unitário o tempo de subida é dado por,

drt

7.5 Exercícios Resolvidos Como exemplo de um sistema de 2ª ordem não padrão, tem-se a resposta do degrau unitário do seguinte sistema de 2ª ordem,

25s4s20s2)s(G)s(R

)s(C

Cuja resposta ao degrau unitário é dada por,

t21sin4221t21cose15

4t21sine105212t21cose5

454)t(c t2t2t2

Para o tempo de pico, derivando e igualando a zero,

t21cos21t21sin21e5

4t21sin2121t21cos2e5

40)t(cdtd t2t2

Agrupando os termos, t21sin218t21cos21e21

20)t(cdtd t2

Então,

151

821

21821t21tg0t21sin218t21cos21 ppp

Assim,

572.021821tg

t821t21tg

1

pp

segundos Tempo de subida com critério de 0% a 100%,

ss

t2s t21sin42

21t21cose154

54)t(c

Então, 0t21sin42

21t21cos ss Dividindo pelo cosseno, 319.021

42tg211t0t21tg42

211 1ss

segundos

7.6 Exercícios Propostos 1. Para as respostas abaixo, determinar,

a. Tempo de acomodação ou tempo de Estabilização com critério de 2%; b. Tempo de subida com critério de 0 a 100%; c. Tempo de pico; d. Porcentagem de sobressinal;

o t2tt3 eee3

131)t(c

o )t4sin()t4cos(4e1710

1740)t(c t

o )t5sin(33)t5cos(10e118910)t4sin(21)t4cos(16e1394

25493100)t(c t2t

o Para o gráfico do item 5.6.1 exercício (1) letra (a)

152

o Para o item 5.6.1 exercício (3) letra (b) 2. Assumindo uma função de transferência dada por 25s4s

25)s(G 2 . Projetar um controle proporcional para que o tempo de pico seja reduzido em exatamente 25% para uma entrada degrau unitário. Apesar da introdução de um erro estacionário, qual foi a variação da % de sobressinal?

3. Para o sistema 25s10s

25)s(G 2 , quanto deve ser o seu fator de amortecimento ζ para que a sua resposta ao degrau unitário tenha um tempo de acomodação de 2 segundos.

4. Considere que a resposta ao degrau unitário do sistema de controle com realimentação

unitária cuja função de transferência de malha aberta seja:

( ) = 1( + 1)

Obtenha o tempo de subida, o tempo de pico, o máximo sobressinal e o tempo de acomodação.

5. Considere o sistema de malha fechada dado por: ( )

( ) = ω ²² + 2ζω + ω ²

Determine os valores de ζ e ωn de modo que o sistema responda a uma entrada em degrau com aproximadamente 5% de sobressinal e com o tempo de acomodação de 2 segundos. (Utilize o critério de 2%.)

6. Obtenha a resposta ao impulso unitário e a resposta ao degrau unitário de um sistema com

realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja:

( ) = 2 + 1²

153

7. Sabe-se que a função de transferência de um sistema oscilatório tem a seguinte forma:

( ) = ω ²

² + 2ζω + ω ²

Supondo que haja um registro da oscilação com amortecimento, como mostra a figura abaixo. Determine o coeficiente de amortecimento ζ do sistema a partir do gráfico.

8. Considere o sistema mostrado na figura (a) abaixo. O coeficiente de amortecimento do

sistema é 0,158 e a frequência natural não amortecida é 3,16 rad/s. Para melhorar a estabilidade relativa, utilizamos a realimentação tacométrica. A figura (b) mostra esse sistema com o tacômetro no ramo de realimentação. Determine o valor de Kh de modo que o coeficiente de amortecimento seja 0,5. Desenhe as curvas de resposta ao degrau unitário do sistema original e do sistema com realimentação tacométrica. Desenhe também as curvas de erro versus tempo para a resposta à rampa unitária de ambos os sistemas.

154

9. Considere o sistema mostrado na figura abaixo. Determine o valor de k de modo que o coeficiente de amortecimento ζ seja 0,5. Então, obtenha o tempo de subida tr, o tempo de pico tp, o máximo sobressinal Mp e o tempo de acomodação ts na resposta ao degrau unitário.

10. A figura abaixo mostra três sistemas. O sistema I é um servossistema posicionador. O

sistema II é um servossistema posicionador com ação de controle PD. O sistema III é um servossistema posicionador com realimentação de velocidade. Compare as respostas ao degrau unitário, ao impulso unitário e à rampa unitária dos três sistemas. Qual dos sistemas é melhor com respeito à velocidade de resposta e ao máximo sobressinal na resposta ao degrau?

155

8 Estabilidade Estabilidade possui várias interpretações físicas e por isso pode ser definida de diversas maneiras. Como interpretação física estabilidade tem-se a figura abaixo.

(a) Sistema Estável (b) Sistema Instável Figura 8-1: Exemplo de Sistema Estável e Instável

O sistema é representado por uma cuia com uma bola. No Sistema Estável, a bola pode ser solta em qualquer parte da cuia que, devido ao atrito com a parede, a bola sempre tenderá parar no centro da cuia desde que a energia inicial não seja capaz de joga-la para fora.

156

Uma separação que se pode fazer em sistemas estáveis é em relação ao amortecimento. No caso, se há amortecimento, em qualquer posição que a bola for solta, ela irá parar no centro da cuia, definindo assim um Sistema Assintoticamente Estável. Caso não haja amortecimento, a bola tenderá a ficar oscilando em torno de uma mesma posição em relação ao ponto mais baixo da cuia, definindo assim um Sistema Marginalmente Estável. No Sistema Instável, a bola está poiada exatamente no topo da cuia, neste caso, qualquer movimento que se faça com a cuia a bola tenderá a cair. Deve ser observado que uma das aplicações do sistema de controle é a transformação de um sistema originalmente Instável em um sistema assintoticamente estável através da adição de um controlador. 8.1 Definições básicas Estabilidade pode receber várias definições dependendo do ponto de vista da análise a ser feita. 8.1.1 Estabilidade segundo as entradas e saídas Um sistema é dito Assintoticamente Estável se para qualquer entrada limitada mesmo que muito grande a sua saída permanece limitada mesmo que muito grande. Porém, fica difícil verificar a diferença entre um sistema marginalmente estável e instável, pois para algumas entradas limitadas o sistema marginalmente estável apresentará saídas não limitadas. Esta verificação só será capaz de ser feita se houver uma varredura da entrada em frequência. Como exemplo, o caso de um sistema de 2ª ordem sem amortecimento cuja entrada possua a frequência natural do polo, o resultante será um sistema instável apesar de ele ser classificado como marginalmente estável. 8.1.2 Estabilidade segundo as respostas às condições iniciais Um sistema é dito Assintoticamente Estável se para uma perturbação passageira a sua resposta voltar para a posição de equilíbrio inicial. Um sistema é dito Marginalmente Estável se para uma perturbação passageira a sua resposta permanecer limitada, mas contínua com o tempo. A amplitude da resposta não é atenuada. Um sistema é dito Instável se para uma perturbação passageira a sua resposta não permanecer limitada. Utilizando como exemplo uma bola em uma superfície plana onde se aplica um empurrão, que pode ser entendido como uma perturbação passageira. Se não houver atrito, ela nunca irá parar. Então, um sistema instável. Mas se houver atrito ela irá parar em um ponto fora da posição original. Ela não oscilou em torno da posição original nem parou no mesmo ponto. Difícil de ser classificada.

157

Contudo se para o mesmo caso da bola ela fosse presa à superfície por um elástico que a puxe de volta, com atrito seria o caso do sistema assintoticamente estável e sem atrito seria o caso do sistema marginalmente estável, mas nunca o instável. Para entender este fenômeno deve-se imaginar a bola em uma superfície plana se deslocando em uma única direção. A bola pode ser equacionada como uma inércia J, o amortecimento com b e o elástico como uma rigidez K, o empurrão como um delta de Dirac δ(t), assim,

Bola 21

JssG Bola + Atrito bsJssG 2

1 Bola + Elástico kJssG 2

1 Bola + Atrito + Elástico kbsJssG 2

1 A diferença entre os sistemas são os polos, assim a melhor forma de classificar se um sistema quanto à estabilidade é utilizando os polos do sistema. 8.1.3 Estabilidade segundo os polos Para entender a estabilidade segundo os polos do sistema, usa-se como exemplo um sistema de 1ª ordem padrão e um sistema de 2ª ordem padrão e calcula-se a resposta para ambos à uma entrada degrau unitário. Sistema de 1ª ordem padrão 1 s

KsH Polo

1s

Resposta ao degrau unitário

t

e1K)t(c O que faz a resposta permanecer limitada é o sinal negativo da exponencial que vem do sinal negativo do polo. Sistema de 2ª ordem padrão 2

nn2

2ns2s

KsG

Polos dn js com 2

nd 1

158

Resposta ao degrau unitário

tsin1tcose1Ktc d2dtn

Neste caso, o que mantém a resposta limitada é também a exponencial negativa que se origina do sinal da parte real dos polos. Se o amortecimento for nulo, Sistema de 2ª ordem padrão 2

n2

2n

sKsG

Polos njs Resposta ao degrau unitário tcos1Ktc n Sendo assim, um sistema que não tenha amortecimento será classificado como marginalmente estável por manter a oscilação indefinidamente. Então, as raízes da equação característica ou polos do sistema são indicativos da sua estabilidade. Deve ser lembrado que a resposta é uma soma das influencias de cada polo. Supondo um sistema cujas raízes são na forma js , então, Se todos os polos possuem parte real menor que zero, 0 , o sistema é

Assintoticamente Estável; Se pelo menos 1 polo possui parte real nula, 0 , e os demais polos possuírem

parte real menor que zero, 0 , o sistema é Marginalmente Estável; Se pelo menos 1 polo possui parte real maior que zero, 0 , o sistema é Instável;

Um polo com parte real nula, devido ao transitório, gera oscilações em sua frequência natural que não são eliminadas pelo amortecimento. Sendo assim, não importa quantos polos existam, basta que apenas um polo possua parte real nula haverá a oscilação presente na resposta global. Ele é dito marginalmente estável, pois será estável para todas as frequências de entrada exceto aquela que contenha a frequência natural do polo marginalmente estável, se isso acontecer a resposta do sistema crescerá indefinidamente. A instabilidade pode ser entendida como a presença de amortecimento negativo. O amortecimento negativo agiria como um “gerador de energia” aumentando as oscilações em cada ciclo. Contudo, isso não deve ser entendido como a possibilidade de se criar um moto perpétuo. Exemplo: Classificar os sistemas abaixo em Assintoticamente Estável, Marginalmente Estável e Instável.

a)

159

( )( )( )( )( ) Assintoticamente Estável

b) ( )( )

( )( )( ) Instável c)


d) ( )( )

( )( )( ) Assintoticamente Estável e)


f) ( )( )

( )( )( ) Instável g)

( )( )( )( )( ) Instável

h) ( )( )

( )( )( ) Marginalmente Estável i)

( )( )( )( ) Instável

j) ( )( )

( )( ) Instável 8.2 Critério de Estabilidade de Routh O critério de estabilidade de Routh permite determinar se um polinômio possui raízes com parte real negativa ou positiva sem que aja a necessidade de fatorar o polinômio. Supondo um polinômio de 9ª ordem, os passos para a implementação do critério de Estabilidade de Routh são,

1. Escrever o polinômio conforme abaixo, onde todos os coeficientes estão presentes e a9 ≠ 0, todas as raízes nula foram retiradas.

160

a0s9 + a1s8 + a2s7 + a3s6 + a4s5 + a5s4 + a6s3 + a7s2 + a8s + a9 = 0

2. Se algum coeficiente for nulo ou negativo na presença de pelo menos um positivo, então existirá uma ou mais raízes imaginárias ou que tenham parte real positiva. Assim, se o objetivo for apenas verificar a estabilidade absoluta o método pode ser interrompido.

3. Caso contrário, organizar os coeficientes conforme a tabela abaixo,

S9 a0 a2 a4 a6 a8 S8 a1 a3 a5 a7 a9 S7 b1 b2 b3 b4 S6 c1 c2 c3 c4 S5 d1 d2 d3 S4 e1 e2 e3 S3 f1 f2 S2 g1 g2 S1 h1 S0 i1

As duas primeiras colunas são formadas pelos próprios coeficientes do polinômio, as demais colunas são formadas conforme,

= = = =

= = = = =

= = = Este procedimento deverá ser repetido até que os elementos de cada linha sejam todos iguais a zero.

O Critério de Estabilidade de Routh afirma que o número de raízes com parte real positiva será igual ao número de mudanças de sinal dos coeficientes da 1ª coluna, isto é,

a0 , a1 , b1 , c1 , d1 , e1 , f1 , g1 , h1 , i1 > 0 Exemplo: Verificar se o seguinte polinômio possui raízes com parte real positiva utilizando o critério de Routh,

s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0

161

Aplicando o critério de Routh, observa-se que todos os coeficientes são positivos, então não se pode afirmar sem aplicar a metodologia. Como o polinômio é de 4ª ordem,

S4 1 3 5 S3 2 4 S2 b1 b2 S1 c1 S0 d1

= = ( )( ) ( )( ) = 1 ; = = ( )( ) ( )( ) = 5

= = ( )( ) ( )( ) = −6 ; = = ( )( ) ( )( ) = 5

Desta forma, passando os resultados para a tabela,

S4 1 3 5 S3 2 4 S2 1 5 S1 -6 S0 5

Verificando a 1ª coluna, observa-se que houve duas mudanças de sinal, de 1 para -6 como a primeira e de -6 para 5 a segunda, respectivamente. Sendo assim, o polinômio apresenta duas raízes com parte real positiva. 8.2.1 Casos Especiais Duas situações podem acontecer quando se aplica o critério de estabilidade de Routh. A primeira deles, quando aparece um zero na 1ª coluna, e a segunda, quando toda uma linha é igual a zero. Em ambos os casos pode-se identificar como as raízes estão alocadas com relação à parte real. Mas de modo geral, as duas situações indicam que existe raízes com parte real positiva ou nula. Sendo assim, pode-se afirmar que, para aplicações em sistemas de controle, isto é, onde o desejável são sistemas assintoticamente estáveis é necessário que a 1ª coluna do critério de estabilidade de Routh seja sempre positiva. Qualquer outra situação indicará sistemas instáveis ou Marginalmente estáveis. 8.2.2 Aplicações em Sistema de Controle

162

O critério de estabilidade de Routh será utilizado em sistemas de controle basicamente para determinar quais os valores dos ganhos do controlador PID para que o resultado final seja um sistema assintoticamente estável. Exemplo 1: Supondo o sistema de controle abaixo. Para um controlador PI, com Kp = 3, quais os valores de Ti que o sistema em malha fechada seja assintoticamente estável?


5s3s

5sG 2 e 10s10sH

Resolvendo o sistema em malha fechada para C(s) / R(s), tem-se que,

10

1053

5113153

5113)(1

2

2

sssTis

ssTissHsGsM

sGsMsRsC

150Tis200Tis35Tis13Tis

1Tis1510s1Tis15010s5s3sTis

1Tis1510ssRsC

2342

Como observado, aparentemente não ocorre nenhum problema para a proposição, então, deve ser aplicado o critério de estabilidade de Routh,

S4 Ti 35Ti 150 S3 13Ti 200Ti S2 b1 b2 S1 c1 S0 d1

b1=(13Ti)(35Ti) − (Ti)(200Ti)

13Ti = 25513 Ti b2=150 d 1=150

c1=25513 Ti(200Ti) − (13Ti)(150)

25513 Ti

=200Ti − 25350255

Como o necessário será a 1ª coluna maior que zero, significa que,

163

Ti > 0 e 340

1695100025350Ti0255

25350Ti200 Exemplo 2: Como foi verificado anteriormente, o polinômio classificado como instável adicionando um controlador Proporcional em malha fechada é possível estabilizá-lo?


5432

5)( 234 sssssG e H(s) = 1 Fazendo a malha fechada,

1Kp5s4s3s2sKp5

5s4s3s2sKp51

5s4s3s2sKp5

)s(HsGsM1sGsM

sRsC

234234

234

S4 1 3 5Kp+5 S3 2 4 S2 b1 b2 S1 c1 S0 d1

12

)4)(1()3)(2(b1 ; b2 = 5Kp + 5; d1 = 5Kp + 5 6Kp101

)5Kp5)(2()4)(1(c1 Verificando a possibilidade de apenas o controle proporcional P ser suficiente para estabilizar o sistema em malha fechada, então, c1 > 0 → – 10Kp – 6 >0 → Kp < -0,6 d1 > 0 → 5Kp + 5 >0 → Kp > - 1 Solução final: -1 < Kp < -0.6 Curiosidade: Porém, como demonstração de sistemas de controle onde o objetivo é estabilizar o sistema, será tentada uma variação, isto é, será proposta uma solução alternativa.

164

Para tanto, propõe-se inicialmente uma realimentação unitária positiva e então feita a introdução do sistema de controle proporcional conforme mostrado abaixo.


Fazendo o fechamento da malha para C(s)/U(s), s4s3s2s

5sUsC

234 Neste fechamento de malha, obteve-se uma vantagem por ocorrer o reposicionamento dos pólos, observe que um deles é um pólo em s = 0, que quando fechado a malha com um controle proporcional não terá erro estacionário, como poderá ser verificado abaixo,

KpssssKp

ssssKp ssss

KpsHsGsM

sGsMsRsC

54325

43251

4325

)(1 234234

234

Verificando a estabilidade pelo critério de Routh,

S4 1 3 5Kp S3 2 4 S2 b1 b2 S1 c1 S0 d1

12

)4)(1()3)(2(b1 b2 = 5Kp; d1 = 5Kp KcKpc 1041

)5)(2()4)(1(1

Verificando a possibilidade de apenas o controle proporcional P ser suficiente para estabilizar o sistema em malha fechada, então, c1 > 0 → 4 – 10Kp >0 → Kp < 0,4 d1 > 0 → 5Kp >0 → Kp > 0

165

Solução final: 0 < Kp < 0.4 Escolhendo Kp = 0.1, obtém-se a resposta abaixo para uma entrada ao degrau. Esta não é a melhor solução, pois o sistema final possui um tempo de acomodação grande. Contudo, esta é uma resposta viável onde foi demonstrado o conceito de controlar um sistema.

Figura 8-5: 8.3 Estabilidade relativa Em muitos casos, simplesmente estabelecer uma estabilidade absoluta não é suficiente, isto é, o critério de Routh estabelece a localização da parte real dos polos no plano complexo, mas pode-se estabelecer uma região na qual não deve haver polos. Isto é denominado de Estabilidade Relativa.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 4500.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1 Step Response

Time (sec)

Amplit

ude

166

Figura 8-6: Posição desejada dos polos no plano complexo S Um método para fazer isso é deslocar o eixo do “plano s” e aplicar o critério de estabilidade de Routh. Para isso, deve-se fazer a seguinte substituição,

S = Z + σ Na equação característica do sistema. Aplicando o critério de Routh em Z e se houver mudança de sinal na 1ª coluna, então existirá polos no “plano s” à direita de s = σ. Exemplo: Para o polinômio abaixo, verificar se possui raízes localizadas à direita de -1 utilizando o critério de estabilidade de Routh.

2s3 + 11s2 + 17s + 6 = 0 Fazendo a substituição S = Z - 1 2(Z - 1)3 = +2Z3 -6Z2 +6Z -2 11(Z - 1)2 = +11Z2 -22Z +11 17(Z - 1) = +17Z -17 +6 ______________________________ 2Z3 +5Z2 +Z -2 Aplicando o critério de Routh,

S3 2 1 S2 5 -2 S1 b1 S0 c1

167

b1 = 1/5 e c1 = -2 Portanto, uma mudança de sinal significa que há um polo do lado direito do plano Z como consequência há um polo à direita de s = -1 no plano s. 8.4 Exercícios Propostos

1) Classificar os sistemas abaixo em “Assintoticamente Estável”, “Marginalmente

Estável” e “Instável”. Explicar a resposta.

a) 54321)(

ssssssG b) 16s1s

4s3s)s(Z 2

c) 5s2s3s2s)s(Y 2

d) 2s2s3s2s1s)s(V 2

e) 5s3s1s)s(Y 2

f) 2s2s1s2s1s)s(G

2) Qual o valor de )t(climt para a função de transferência abaixo, considerando r(t) a

entrada degrau unitário. Verificar se o limite existe.

7s6s5s4s3s2s3

)s(R)s(C

23567

3) Supondo o seguinte diagrama de blocos,

a. Para 6s11s6s

2)s(G 23 , 1)s(H e M(s) controlador PD. Quais os valore de Kp e Td para que o sistema em malha fechada seja assintoticamente estável?

b. Mostrar que 12s4s7s

2)s(G 23 é uma função de transferência instável, mas se for colocada no diagrama de blocos acima com H(s) = 1 é possível torna-la assintoticamente estável apenas com um ganho proporcional.

168

c. Supondo 15s38s17s2

5)s(G 23 , H(s) = 1, controlador M(s) Proporcional. Determinar quais os valores de Kp para que o sistema em malha fechada possua polos com parte real < -1.

d. Com 8s

1sG , 6s6sH e M(s) um controlador Proporcional-Integral

PI com Kp = 10. Quais os valores de Ti para que o sistema em malha fechada possua todos os polos com parte real menor que -1?

e. Com M(s) = 1, 4ss

1s2)s(G 2 e 10s

K10)s(H , determinar quais os valores de K para que a malha fechada possua todos os polos com parte real < -1?

4) Estabelecer quais os valore de K para que a função de transferência de malha fechada

dada abaixo seja assintoticamente estável.

6K7Ks7s4s1ss

)s(R)s(C

2232

5) Determine o intervalo de valores de K para a estabilidade do sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja:

( ) = ( + 1)( + 2)

6) Considere a seguinte equação característica:

+ 2 + (4 + ) + 9 + 25 = 0 Utilizando o critério de estabilidade de Routh, determine o intervalo de K para a estabilidade.

7) Considere o sistema de malha fechada mostrado na figura abaixo. Determine o intervalo de valores de K compatíveis com a estabilidade do sistema. Suponha que K>0.

169

Solução: -64/3< K < 12.5, para polos <= - 0.5 8) Considere que o servossistema com realimentação tacométrica mostrado na figura

abaixo. Determine os intervalos de valores de K e de Kh que tornam o sistema estável. (Note que Kh deve ser positivo.)

170

9 Referências Bibliográficas 1. K. Ogata. Engenharia de Controle Moderno. 5ª Edição. Prentice Hall. 2011. 2. R.C. Dorf, R.H. Bishop. Sistemas de Controle Modernos. 12a Edição. LTC. 2013. 3. N.S. Nice. Engenharia de Sistemas de Controle. 6ª Edição. LTC. 2013. 4. G.F. Franklin, J.D. Powell, and Emami-Naeini. Feedback control of Dynamic Systems.

Prentice Hall, 1988. 5. C.L. Phillips, R.D. Harbor. Feedback Control Systems. 9th Ed. Prentice-Hall. 2001. 6. J.J. Distefano III, A. R. Stubberud. Schaum’s Outline of Theory and Problems of

Feedback and Control Systems. 2nd Ed., Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill. 1990.

Apostila EMA 184

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