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Universidade Federal de Minas Gerais UFMG Escola de Engenharia Departamento de Mecnica - DEMEC EMA184 Fundamentos da Teoria de Controle Notas de Aula Autor: Prof. Dr. Lzaro Valentim Donadon Verso 5 Maro de 2016

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Sumrio 1 INTRODUO AOS SISTEMAS DE CONTROLE .................................................................. 10

1.1 MONITORAMENTO, AUTOMAO E CONTROLE DE SISTEMAS ....................................................... 10 1.1 DEFINIES BSICAS .................................................................................................................... 12 1.2 EXEMPLO DE UM SISTEMA DE CONTROLE TPICO ........................................................................... 13 1.3 DEFINIO DE SISTEMA DE CONTROLE COM RELAO AOS SINAIS ............................................... 14 1.4 EXEMPLO DE SISTEMAS CONTROLADOS E DE SISTEMAS AUTOMTICOS ....................................... 14 2 MODELAGEM DE SISTEMAS DINMICOS ........................................................................... 15

2.1 SISTEMAS MECNICOS TRANSLACIONAIS ..................................................................................... 15 2.1.1 Sistema Massa-Mola-Amortecedor..................................................................................... 15 2.1.2 Conjunto de Massas-Molas ................................................................................................ 18 2.1.3 Suspenso Ativa de de veculo ........................................................................................ 21 2.2 SISTEMAS DE RESERVATRIOS ...................................................................................................... 23 2.2.1 Reservatrio Simples .......................................................................................................... 23 2.2.2 Exemplo de simulao do escoamento em reservatrio simples ........................................ 25 2.2.3 Reservatrios em Srie ....................................................................................................... 26 2.2.4 Sistema de Reservatrio Composto .................................................................................... 26 2.3 LINEARIZAO ............................................................................................................................. 29 2.3.1 Uma Varivel ...................................................................................................................... 29 2.3.2 Multivarivel ...................................................................................................................... 32 2.4 SISTEMAS PENDULARES SIMPLES.................................................................................................. 34 2.4.1 Pndulo Simples ................................................................................................................. 34 2.4.2 Pndulo Invertido ............................................................................................................... 35 2.5 REPRESENTAO EM ESPAO DE ESTADO .................................................................................... 38 2.5.1 Representao quando no h derivadas da entrada ......................................................... 39 2.5.2 Representao quando h derivadas da entrada ................................................................ 44 2.5.3 Formulao Alternativa ..................................................................................................... 47 2.5.4 Passagem de espao de estado para funo de transferncia ............................................ 49 2.6 CLASSIFICAO DOS SISTEMAS QUANTO AO NMERO DE ENTRADAS E SADAS ............................ 52 2.7 EXERCCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................... 52 2.7.1 Sistemas Translacionais ..................................................................................................... 52 2.7.2 Sistemas de Reservatrios .................................................................................................. 52 2.7.3 Linearizao ....................................................................................................................... 53 2.7.4 Espao de Estado................................................................................................................ 54 3 TRANSFORMADA DE LAPLACE .............................................................................................. 55

3.1 DEFINIO .................................................................................................................................... 55 3.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE ...................................................................................................... 55 3.2.1 Funes Simples ................................................................................................................. 55 3.2.2 Propriedades ...................................................................................................................... 58 3.2.3 Funes Especiais .............................................................................................................. 58 3.2.4 Teoremas ............................................................................................................................ 61 3.2.5 Resumo ............................................................................................................................... 65 3.3 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ....................................................................................... 66 3.3.1 Expanso em Fraes Parciais .......................................................................................... 66 3.4 APLICAES DE TRANSFORMADA DE LAPLACE ............................................................................ 73 3.4.1 Soluo de Equaes Diferenciais ..................................................................................... 73 3.4.2 Funes de Transferncia................................................................................................... 77 3.4.3 Classificao das Funes de Transferncia ..................................................................... 79 3.5 EXEMPLO UTILIZANDO MATLAB ................................................................................................... 79 3.6 EXERCCIOS RESOLVIDOS ............................................................................................................. 81 3.7 EXERCCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................... 84

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4 DIAGRAMA DE BLOCOS ........................................................................................................... 87 4.1 REPRESENTAES BSICAS........................................................................................................... 87 4.1.1 Sistemas em Srie ............................................................................................................... 88 4.1.2 Sistemas em Paralelo .......................................................................................................... 88 4.1.3 Sistemas em Realimentao ................................................................................................ 89 4.1.4 Exemplos............................................................................................................................. 89 4.2 LGEBRA DE BLOCOS .................................................................................................................... 91 4.2.1 Sistemas em Paralelo .......................................................................................................... 91 4.2.2 Sistemas em Realimentao ................................................................................................ 92 4.2.3 Sistemas em Somatrio ....................................................................................................... 93 4.2.4 Exemplos............................................................................................................................. 94 4.3 EXEMPLOS RESOLVIDOS ............................................................................................................... 95 4.4 LISTA DE EXERCCIOS ................................................................................................................... 98

5 RESPOSTA DE SISTEMAS LTI ................................................................................................ 103 5.1 RESPOSTA TRANSITRIA E RESPOSTA EM REGIME PERMANENTE ............................................... 103 5.1.1 Valor Final ....................................................................................................................... 104 5.1.2 Erro de regime estacionrio ............................................................................................. 104 5.2 RESPOSTA DE SISTEMAS DE 1 ORDEM ......................................................................................... 105 5.3 RESPOSTA DE SISTEMAS DE 2 ORDEM ......................................................................................... 108 5.4 RESPOSTA DE SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR ............................................................................ 114 5.5 EXERCCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................... 114 5.6 EXERCCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................. 116

6 AES BSICAS DE CONTROLE .......................................................................................... 120 6.1 AO DE CONTROLE DE DUAS POSIES OU LIGA-DESLIGA .................................................... 121 6.2 AO DE CONTROLE PROPORCIONAL (P) ................................................................................... 122 6.3 AO DE CONTROLE INTEGRAL (I) ............................................................................................. 124 6.4 AO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL (PI) ................................................................. 125 6.5 AO DE CONTROLE PROPORCIONAL-DERIVATIVA (PD) ........................................................... 126 6.6 AO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVA (PID) ........................................ 128 6.7 REJEIO A DISTRBIOS ............................................................................................................. 129 6.8 POSSIBILIDADE DE ESCOLHA DOS POLOS ..................................................................................... 131 6.9 EXERCCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................... 133 6.10 EXERCCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................ 137

7 CRITRIOS DE DESEMPENHO .............................................................................................. 140 7.1 TEMPO DE ACOMODAO ........................................................................................................... 141 7.2 TEMPO DE PICO ........................................................................................................................... 146 7.3 MXIMO SOBRESSINAL ............................................................................................................... 147 7.4 TEMPO DE SUBIDA ....................................................................................................................... 148 7.5 EXERCCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................... 150 7.6 EXERCCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................. 151

8 ESTABILIDADE .......................................................................................................................... 155 8.1 DEFINIES BSICAS .................................................................................................................. 156 8.1.1 Estabilidade segundo as entradas e sadas ...................................................................... 156 8.1.2 Estabilidade segundo as respostas s condies iniciais ................................................. 156 8.1.3 Estabilidade segundo os polos .......................................................................................... 157 8.2 CRITRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH ...................................................................................... 159 8.2.1 Casos Especiais ................................................................................................................ 161 8.2.2 Aplicaes em Sistema de Controle .................................................................................. 161 8.3 ESTABILIDADE RELATIVA ........................................................................................................... 165 8.4 EXERCCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................. 167

9 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ........................................................................................ 170

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Prefcio Ementa: Anlise de um sistema tcnico, conceitos fundamentais acerca de modelo, modelagem, anlise de modelo e otimizao. Modelagem fsica e matemtica de sistemas de Engenharia Mecnica. Anlise de resposta transitria. Funo de transferncia e representao de estados. Diagramas de bloco e fluxos de sinal. Tcnicas computacionais para simulao. Noes de identificao de parmetros. Aes bsicas de controle. Aula Datas Assunto Captulo 1 07/03 Introduo aos Sistemas de Controle Captulo 1 2 09/03 Modelagem de Sistemas Mecnicos Item 2.1 3 14/03 Transformada de Laplace Itens 3.1e 3.2 4 16/03 Teoremas da Transformada de Laplace Item 3.3 5 21/03 Transformada inversa de Laplace Item 3.4 6 23/03 Diagrama de Blocos Item 4.1 7 28/03 Aula de Estudos 8 30/03 Diagrama de Blocos Itens 4.2 e 4.3 9 04/04 Exerccios 10 06/04 1 Prova Item 2.1, Captulos 3 e 4 11 11/04 Resposta de sistemas de 1 e 2 ordens Itens 5.1 e 5.2 12 13/05 Resposta de sistemas de 1 e 2 ordens Itens 5.3 a 5.5 13 18/04 Aes Bsicas de Controle Itens 6.1 a 6.6 14 20/04 Aes Bsicas de Controle Itens 6.7 a 6.9 15 25/04 Aula de Estudos 16 27/04 Linearizao e Sistemas Pendulares Item 2.3 e 2.4 17 29/04 Modelagem de Reservatrios Item 2.2 18 02/05 Exerccios 19 04/05 2 Prova Itens 2.3 e 2.4, Captulos 5, 6 e 7 19 09/05 Critrios de Desempenho Itens 7.1 e 7.2 20 11/05 Critrios de Desempenho Itens 7.3 a 7.5 21 16/05 Estabilidade Itens 8.1 e 8.2 22 19/05 Estabilidade Item 8.3 23 23/05 Representao em Espao de Estado Item 2.5 24 25/05 Representao em Espao de Estado Item 2.5 25 30/05 Aula de Estudos 26 01/06 Exerccios 27 08/06 3 Prova Itens 2.2 e 2.5, Captulo 8 28 15/06 4 Prova (Exceto modelagem e Linearizao) Captulos 2 a 8 29 20/06 Exame (Exceto modelagem e Linearizao) Captulos 2 a 8

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Obs.: Aulas sem contedo sero utilizadas para antecipar aulas futuras. Portanto, todas as aulas sero computadas as frequncias e sero utilizadas pelo contedo da disciplina.

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Critrios de Avaliao: 1 Prova P1 25 Pontos Prova Regular 2 Prova P2 25 Pontos Prova Regular 3 Prova P3 25 Pontos Prova Regular Composio da 4 Nota: 3 3P2P1P 4 Prova utilizada como substitutiva, Regras: Todos podem fazer; Ningum obrigado a fazer; Valor de 25 Pontos; Matria toda; Substitui a 4 nota; Substitui a menor nota entre P1, P2 e P3 caso seja maior. Exemplos Prticos: Situao Escolhida P1 P2 P3 P4 Nota Final No fazendo P4 14 15 16 15 60 Fazendo P4 Bom 20 15 16 20 71 Fazendo P4 Ruim 14 15 16 10 55

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Formulrio de Consulta Transformadas de Laplace: )s(F)t(fL 1)t(L s1)t(1L as 1eL at 1nn s !ntL 22s)t(senL 22s s)tcos(L Propriedades da Transformada de Laplace: )as(F)t(feL at )s(Feat1atfL as )s(Fdsd1)t(ft nnnn Teoremas da Transformada de Laplace:

)s(sFlim)t(flim 0st )s(sFlim)t(flim s0t s )0(fs )s(Fdt)t(fL 1 0t

1n1n

0t2n

2n

0t2n1nnn

ndt

)t(fddt

)t(fdsdt)t(dfs)0(fs)s(Fsdt

)t(fdL

Operaes Matemticas: ac bdgdet1gdc bag 1 32233 asa3as3sas

0030201000 iiz,z,z31i i321321

zzzfz,z,zfz,z,zf

Relaes Trigonomtricas: Graus 0 30 45 60 90 120 135 150 180

Radianos 0 6 4 3 2 32 43 65

Seno 0 21 2

2 23 1 2

3 22 2

1 0 Cos 1 2

3 22 2

1 0 21 22 23 -1

tgtg sinicose i i2 eesin ii 2eecos ii

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1 Introduo aos Sistemas de Controle 1.1 Monitoramento, Automao e Controle de Sistemas O Monitoramento de Sistemas consiste na retirada de informao pertinente de um determinado sistema atravs de sensores. Estas informaes podem ser utilizadas imediatamente para correes ou armazenadas para utilizao posterior. Exemplos deste sistema podem ser representados pelo monitoramento de temperatura em caldeiras, presso em autoclaves, etc.

Figura 1-1: Sistema de Monitorao A Automao de Sistemas visa tornar um processo automtico, por exemplo, um sistema de embalagem de produtos, conhecida popularmente por embaladora, onde os produtos recebem um rtulo, depois so acondicionados em embalagens individuais e, finalmente, so colocados em caixas contendo vrios produtos. Aquilo que antes era um processo manual torna-se agora um processo automtico feito por uma mquina.

Figura 1-2: Sistema Automtico sem sistema de monitorao Este sistema automtico sem monitorao muito difcil de ser encontrado na prtica, em geral os sistemas automticos possuem um sistema de sensores para fornecer informao da situao atual do processo automtico. Por exemplo, no caso da embaladora, haver sensores que daro informao do posicionamento do produto, se h produto e qual a posio dele, etc. Outro exemplo o porto automtico em que sensores informam a posio do porto, se h a presena de um objeto na frente, etc. Portanto, um sistema automtico constitudo por,

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Figura 1-3: Sistema Automtico com monitorao Neste caso, o processamento digital colhe as informaes e processa para uma tomada de deciso para aplicao da ao. So utilizados para isso a lgica combinatria, na qual a sada formada por uma cominao da entrada, e a lgica sequencial, onde as sadas so formadas pela combinao das entradas e das sadas ocorrendo um sequenciamento de atuaes. O sistema automtico no corrige o sistema. Exemplos deste caso podem ser as mquinas automticas que possuem controle via CLP.

Figura 1-4: Elementos bsicos de um sistema automatizado J o Controle de Sistemas atuar de uma forma satisfatria em um processo ou sistema fsico com o intuito de melhorar o seu desempenho ou para corrigir o processo. Neste tipo de atividade est associada uma referncia a ser seguida pelo sistema controlado. Exemplos deste caso so os controladores industriais com os utilizados em cilindros de laminao, onde se deseja que os rolos se mantenham a uma determinada distncia, esta a referencia a ser seguida, independente da entrada de material. Manter uma sala climatizada h uma determinada temperatura e umidade, so as referencias a serem seguidas. Estas referncias podem ser zero, como no caso de controle de vibrao que h em helicpteros onde se deseja que a vibrao proveniente das ps do rotor no entre na cabine.

Figura 1-5: Sistema de Controle

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Uma forma conveniente de entender um processo de controle de sistemas descrito abaixo, onde o ambiente computacional adquire os dados provenientes do sensor, compara com uma resposta desejvel, calcula uma correo atravs do controlador, gerando assim a chamada lei de controle que implementada no sistema mecnico atravs do atuador. Note que neste tipo de estratgia ocorre rejeio distrbios, pois espera-se que a resposta obtida seja sempre igual resposta desejada.

Figura 1-6: Elementos bsicos de um sistema controlado Observe que na prtica, poder haver sistemas automatizados e controlados ao mesmo tempo. Porm, tanto o controlado quanto o automatizado possui um sistema de monitoramento associado. 1.1 Definies bsicas Para entender o processo de controle, toma-se como exemplo o sistema controle de velocidade de um carro, no qual se pretende manter a velocidade sempre constante, chamada de referncia a ser seguida, independente do carro estar em uma reta, uma subida ou uma descida, os quais chamados de distrbios. Distrbio um sinal que tende a afetar de maneira adversa o valor da resposta do sistema a ser controlado. Para iniciar o procedimento, necessrio fazer o modelo matemtico do veiculo. Para simplificar o equacionamento, assume-se que o veculo estar andando a certa velocidade e j em marcha adequada para isso ou que seja do tipo automtico, chamado de condies de modelagem. Desta forma, o que controla a velocidade simplesmente o acelerador. Sistema sem controle ou com controle manual aquele em que o operador responsvel por ajustar a resposta do sistema alterando manualmente a entrada, no caso do veculo, o motorista aciona o acelerador para alterar a velocidade do veiculo. Sistema controlado aquele em que o operador ajusta a referencia a ser seguida e o sistema de controle altera a entrada do sistema para obter uma resposta em geral igual referencia a ser seguida. No caso do veiculo, o operador informa a velocidade a ser mantida e quem acelera ou desacelera o veiculo o sistema de controle acionado automaticamente o acelerador.

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1.2 Exemplo de um sistema de controle tpico Um sistema de controle tpico possui a seguinte representao em diagrama de blocos com as funes e sinais escritas em Laplace,

Figura 1-7: Sistema de controle tpico Sendo que os sinais so dados por, R(s) a referencia a ser seguida definida pelo operador; E(s) o erro do sistema de controle; U(s) a lei de controle por ser a sada do controlador, mas ao mesmo tempo a entrada da planta a ser controlada; Y(s) a resposta controlada real; X(s) a resposta medida pelo sensor de erro. Sendo que os blocos representam as equaes dinmicas conforme, G(s) o processo a ser controlado; H(s) o sensor de erro ou de medida; PID(s) o sistema de controle. No exemplo do controle de velocidade tem-se, Y(s) a velocidade real ou verdadeira do veculo; X(s) a velocidade medida pelo velocmetro, em geral, espera-se que esta seja idntica velocidade do veculo Y(s); R(s) a velocidade desejada definida pelo motorista que o veculo deve manter; E(s) a diferena entre a velocidade medida com a velocidade desejada; G(s) a relao matemtica que correlaciona a posio do acelerador com a velocidade do veculo; H(s) a relao matemtica que correlaciona a velocidade verdadeira do veculo com a velocidade medida, todo sensor de medida possui uma relao deste tipo; M(s) a relao matemtica que correlaciona a diferena E(s) com o que deve ser feito com o acelerador para que E(s) = 0; U(s) a posio do acelerador, note que se E(s) = 0, o acelerador deve permanecer na mesma posio.

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1.3 Definio de Sistema de Controle com relao aos sinais Controlar um sistema pode ser entendido como ajustar a entrada U(s) automaticamente por um sistema de controle M(s) para a resposta Y(s) seja igual definida por R(s). Esta compreende o sistema de controle mais simples possvel. Varivel Controlada Y(s) a grandeza ou a condio que medida e controlada. Varivel Manipulada U(s) a grandeza ou condio modificada pelo controlador M(s) de modo que afete o valor da varivel controlada. Controlar significa medir o valor da varivel controlada do sistema e utilizar a varivel manipulada do sistema para corrigir ou limitar os desvios do valor mdio a partir de um valor desejado. 1.4 Exemplo de Sistemas Controlados e de Sistemas Automticos Supondo uma caixa dagua, o controle de nvel de gua pode ser feito de duas formas ou por um sistema controlado ou por um sistema automatizado. A escolha vai depender do tipo de fornecimento de gua. Quando a gua tem um fornecimento contnuo atravs do sistema de encanamento, como ocorre onde h gua encanada a melhor soluo o sistema controlado onde tem-se uma boia, a boia o sistema de controle e o medidor ao mesmo tempo. Ela considerada um sistema de controle, pois independente de qualquer distrbio no nvel, ela vai manter o sistema sempre na mesma posio. Quando a gua fornecida atravs de uma bomba, opta-se pelo sistema automtico, isto , dentro da caixa dagua ha dois sensores de nvel, uma para nvel baixo para ligar a bomba e outro para nvel alto desligando a bomba. Neste caso no h rejeio a distrbios, pois o sistema no mantem o nvel de gua constante.

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2 Modelagem de Sistemas dinmicos A modelagem dinmica de um sistema ou processo consiste em escrever sua equao dinmica utilizando algum mtodo matemtico, como por exemplo, 2 lei de Newton ou Lagrange. Sempre que isso for feito, deve-se ter em mente que a passagem do modelo fsico para o modelo matemtico envolve uma srie de restries ou condies de modelagem impostas. Isto feito para facilitar a modelagem ou para impor determinadas condies necessrias para a compreenso de um determinado fenmeno fsico. A modelagem sempre ser feita baseada nos Graus de Liberdade do sistema. Os graus de liberdade so definidos pelo nmero de movimentos independentes que o modelo pode fazer. Em geral, toda modelagem envolve a definio do par dual que define o tipo de modelo a ser feito, por exemplo, em sistemas mecnicos o Deslocamento e Fora e Rotao e Momento, em sistemas eltricos a voltagem e corrente. 2.1 Sistemas Mecnicos Translacionais Para a modelagem dos sistemas translacionais ser utilizada a 2 lei de Newton. 2.1.1 Sistema Massa-Mola-Amortecedor Considerando o sistema definido na figura abaixo. As condies para escrever o modelo matemtico atravs do modelo fsico so dadas por, 1. S pode ocorrer movimento de translao na direo horizontal. Isso significa que no pode haver movimento de rotao e o mvel no pode se descolar da base de apoio; 2. Apesar da mola e amortecedor estarem deslocados, a aplicao das suas foras feita no mesmo ponto, no causando momento, o mesmo acontece com a fora externa f(t); 3. A constante de rigidez K, o coeficiente de amortecimento C e a massa M so constantes ao longo do tempo; 4. A mola e o amortecedor inicialmente no esto tensionados, o sistema est em repouso; 5. As foras de inrcia, da mola e do amortecedor so consideradas lineares; 6. No h restrio quanto ao estiramento da mola e do amortecedor, isto significa que no h fim de curso; 7. O eixo inercial y est colocado em cima do CG (Centro de Gravidade) da massa M.

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Figura 2-1: Sistema Massa-Mola-Amortecedor Das condies impostas, tem-se: 1. Apenas uma coordenada independente denominada de y, que ser definida como positiva para a direita; 2. A massa M far movimentos em torno da sua posio inicial que ser considerada como marco zero ou y(0) = 0; 3. Os movimentos sero realizados apenas na direo do deslocamento, portanto no necessria a colocao da fora peso. A modelagem feita atravs da construo do DCL (Diagrama de Corpo Livre). Para a colocao das foras correspondentes s foras da mola e do amortecedor, assume-se um deslocamento virtual na direo positiva de y. Neste caso, as reaes so opostas ao movimento fictcio, assim,

Figura 2-2: Diagrama de Corpo Livre do Massa-Mola-Amortecedor. Direo direita Aplicando somatria de foras no eixo y, )t(f)t(yC)t(Ky)t(yMmaF Chegando a, )t(f)t(Ky)t(yC)t(yM (2.1) Agora, invertendo a direo do eixo coordenado inercial y, isto , assumindo que o eixo positivo para a esquerda conforme figura abaixo,

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Figura 2-3: Diagrama de Corpo Livre do Massa-Mola-Amortecedor. Direo esquerda Aplicando somatria de foras no eixo y, )t(f)t(yC)t(Ky)t(yMmaF Chegando a, )t(f)t(Ky)t(yC)t(yM (2.2) Comparando a Eq. (2.1) com a Eq.(2.2) observa-se que a nica diferena a direo da fora externa f(t), mas deve ser lembrado que a direo positiva dos eixos coordenados diferente. Como exemplo de resposta para o deslocamento da massa M, assumindo massa M = 2 kg, C = 1 Ns/m e K = 5 N/m, a reposta y(t) para uma entrada f(t) = 10 N para as Eqs (2.1) e (2.2), as posies y(t) da massa M em funo do tempo pode ser observada na figura abaixo. Observa-se que a diferena ocorre no deslocamento da massa. A Figura 2-4(a) o eixo coordenado e a fora f(t) esto para a direita, significando que a massa se desloca para a direita enquanto que na Figura 2-4(b) o eixo coordenado positivo para a esquerda enquanto a fora f(t) est para a direita, isto significa que massa se desloca no sentido negativo.

(a) Eixo positivo DIREITA Eq. (2.1) (b) Eixo positivo ESQUERDA Eq. (2.2) Figura 2-4: Resposta do sistema Massa-Mola-Amortecedor para f(t) = 10N

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5 Resposta fora f(t) = 10 N

Desloca

mento y

(t) [metro

s]

Tempo [Segundos] 0 5 10 15 20 25 30-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 Resposta fora f(t) = 10 N

Desloca

mento y

(t) [metro

s]

Tempo [Segundos]

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2.1.2 Conjunto de Massas-Molas Considerando o conjunto de massas-molas-amortecedores da figura abaixo. Para escrever a equao de movimento, deve ser assumido que, 1. S pode ocorrer movimento de translao na direo horizontal. Isso significa que no pode haver movimento de rotao e o mvel no pode se descolar da base de apoio; 2. Apesar da mola e amortecedor estarem deslocados, a aplicao das suas foras feita no mesmo ponto, no causando momento, o mesmo acontece com as foras externas; 3. As constantes de rigidez, os coeficientes de amortecimento e a massas so constantes ao longo do tempo; 4. As molas e os amortecedores inicialmente no esto tensionados, o sistema est em repouso; 5. As foras de inrcia, das molas e dos amortecedores so consideradas lineares; 6. No h restrio quanto ao estiramento das molas e dos amortecedores, isto significa que no h fim de curso; 7. Os eixos inerciais esto colocados em cima do CG (Centro de Gravidade) das massas.

Figura 2-5: Conjunto de Massas-Molas-Amortecedores Variao #1 Das condies impostas, tem-se: 1. Trs coordenadas independentes, x, y e z, pois cada bloco pode se mover independente uma da outra; 4. As massas faro movimentos em torno de suas posies iniciais que sero consideradas como marco zero, x(0) = 0, y(0) = 0 e z(0) = 0; 2. Os movimentos sero realizados apenas na direo do deslocamento, portanto no necessria a colocao da fora peso. Neste caso, o DCL precisa ser feito para cada massa. As foras de reao de cada amortecedor e mola so colocadas assumindo um deslocamento positivo fictcio para a massa em analise enquanto as outras massas esto paradas. Assim, observam-se as reaes das molas

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e amortecedores em sentidos opostos ao eixo coordenado considerado. Como regra geral, os deslocamentos ou velocidades so colocados assumindo a coordenada atual subtrada da coordenada qual a fora est conectada se as direes das duas coordenadas so iguais, ento se tem para as massas os DCLs apresentados na figura abaixo.

(b) Massa M2

(a) Massa M1 (c) Massa M3 Figura 2-6: DCL do conjunto de massas-molas-amortecedores Variao #1 Observe que apesar das foras possuem os mesmos sentidos as coordenadas esto em oposio, significando que no somatrio as foras esto em oposio. Aplicando o somatrio de foras em cada bloco encontra-se: Para a massa M1, 1uzx5Kzx5Cyx3Kyx3Cx1Kx1Cx1M Para a massa M2, 2uzy4Kzy4Cxy3Kxy3Cy2Ky2Cy2M Para a massa M3, 3uxz5Kxz5Cyz4Kyz4Cz3M

Escrevendo a Equao de Movimento na forma matricial encontra-se,

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3u2u1u

100010001

zyx

5K4K4K5K4K4K3K2K3K5K3K5K3K1K

zyx

5C4C4C5C4C4C3C2C3C5C3C5C3C1C

zyx

3M0002M0001M

(2.3)

Uma forma de verificar se as equaes esto corretas verificar se a matriz de massa diagonal, a matriz de amortecimento e rigidez deve possuir a diagonal principal positiva, os termos fora da diagonal principal devem ser todos negativos e a matriz deve ser simtrica. Estas Verificaes so vlidas para conjunto de massas-molas-amortecedores quando todos os eixos inerciais possuem a mesma direo positiva. Agora, resolvendo o mesmo problema, mas invertendo a direo positiva do eixo inerciais da massa M2 conforme figura abaixo.

Figura 2-7: Conjunto de Massas-Molas-Amortecedores Variao #2 Com a mudana de direo do eixo inercial y, deve-se verificar as novas direes das foras do mvel ao qual ele est referenciado, neste caso a massa M2. Alm disso, quando as coordenadas possurem sentidos opostos, elas devero ser somadas nas foras. Desta forma, a nova configurao das foras fica como apresentado na figura abaixo.

(b) Massa M2

21

(a) Massa M1 (c) Massa M3 Figura 2-8: DCL do conjunto de massas-molas-amortecedores Variao #2 Aplicando Somatrio de Foras, encontra-se, Para a massa M1, 1uzx5Kzx5Cyx3Kyx3Cx1Kx1Cx1M Para a massa M2, 2uzy4Kzy4Cxy3Kxy3Cy2Ky2Cy2M Para a massa M3, 3uxz5Kxz5Cyz4Kyz4Cz3M

Escrevendo a Equao de Movimento na forma matricial encontra-se,

3u2u1u

100010001

zyx

5K4K4K5K4K4K3K2K3K5K3K5K3K1K

zyx

5C4C4C5C4C4C3C2C3C5C3C5C3C1C

zyx

3M0002M0001M

(2.4)

Como verificao das matrizes, observa-se que a simetria e os valores positivos da diagonal principal das matrizes de amortecimento e rigidez se mantiveram, a nica alterao foi em relao aos termos fora da diagonal principal, que quando relacionados ao eixo que possui direo positiva invertida apresentaram termos positivos. 2.1.3 Suspenso Ativa de de veculo A suspenso ativa que ser apresentada se refere ao modelo padro de de veculo ou modelo de 2 graus de liberdade. Para passar do modelo fsico para o modelo matemtico as seguintes consideraes devem ser feitas,

22

1. Os deslocamentos so todos na direo vertical; 2. No ocorre rotao das massas; 3. Todos os movimentos so feitos no plano vertical; 4. As foras de reao do amortecedor e da mola no geral momento; 5. As foras da mola e do amortecedor so lineares; 6. O pneu ser modelado como uma rigidez pura; 7. No ocorre fim de curso para o amortecedor e mola; 8. O pneu se mantm sempre em contato com o solo; 9. O modelo ser feito a partir do repouso; 10. A fora de controle ser feita por um cilindro de dupla ao. As consideraes feitas acima so todas aceitas e utilizadas em modelos mais avanados. As condies mais difceis de serem cumpridas so a n7 e n8. Na prtica a fora da mola s linear na regio central de deslocamento, quando chega prximo ao fim de curso, a rigidez se torna cbica aumentando fora da mola. Assim, a principal restrio acaba sendo o contato do pneu com o solo para uma situao real. Sendo que, Ms a massa suspensa de de veiculo; Mn a massa no suspensa representada pelo conjunto roda, pneu e suspenso; Ys o deslocamento da massa Ms; Yn o deslocamento da massa Mn; K a rigidez da suspenso; C o amortecimento da suspenso; Kp a rigidez do pneu; w(t) o deslocamento da via ou perturbao; u(t) a fora de controle. Figura 2-9: Suspenso Ativa de de veiculo O objetivo da suspenso ativa evitar que os distrbios indesejveis da via afetem a massa suspensa. Como objetivo da suspenso ativa pode ser minimizar o deslocamento ou a acelerao da massa suspensa. A minimizao do deslocamento feita para suspenses com carter esportivo e a minimizao da acelerao feita para efeitos de conforto. Desta forma, esportividade e conforto so parmetros conflitantes no desenvolvimento de suspenses veiculares. Construindo o DCL para as duas massas e assumindo que a fora de controle u(t) ser positiva quando afasta as massas e negativa quando aproxima as massas e o distrbio da via positivo no mesmo sentido dos deslocamentos das massas, encontra-se a figura abaixo.

23

(a) Massa Suspensa (c) Massa no suspensa Figura 2-10: DCL da Suspenso Ativa de de veiculo Para a massa Ms, )t(u)t(y)t(yC)t(y)t(yK)t(yM nsnsss Para a massa Mn, )t(u)t(w)t(yK)t(y)t(yC)t(y)t(yK)t(yM npsnsnnn Escrevendo a Equao de Movimento na forma matricial encontra-se,

)t(w)t(u

K101

)t(y)t(y

KKKKK

)t(y)t(y

CCCC

)t(y)t(y

M00M

pns

pns

ns

ns

(2.5)

2.2 Sistemas de reservatrios Para a modelagem de reservatrios ser assumido que todos os sistemas apresentados partem do pressuposto que j havia fluxo Q entrando e saindo e as alturas H dos reservatrios j estavam constantes. Portanto, considerado que a modelagem apresentada a seguir no contempla o reservatrio vazio. Alm disso, ser considerado escoamento laminar. 2.2.1 Reservatrio Simples Considere o reservatrio apresentado abaixo. Nele, inicialmente entra Q(t) e sai Q(t), o liquido permanece em uma altura H dentro do reservatrio devido resistncia R. A modelagem ser feita supondo a variao em torno desta condio inicial.

24

Figura 2-11: Reservatrio simples A resistncia R ao fluxo de liquido em uma tubulao ou restrio definida como a variao na diferena de nvel (a diferena entre o nvel dos lquidos nos dois reservatrios) necessria para causar a variao unitria na vazo, assim, R = (Variao na diferena de nvel, m)/(Variao na vazo em volume, m3/s) Considerando que o fluxo seja laminar, ento,

QH

dQdHR

A Capacitncia C de um reservatrio definida como a variao na quantidade de liquido armazenado necessrio para causar uma mudana unitria no potencial (altura). O potencial a grandeza que indica o nvel de energia do sistema. Assim, C = (Variao na quantidade de liquido armazenado, m3)/(Variao na altura, m) Notar que capacidade (m3) e capacitncia (m2) so diferentes. A capacitncia do reservatrio igual sua seco transversal. Se esta for constante, a capacitncia ser constante para qualquer altura do nvel. Sendo assim, tem-se, Q a vazo em regime permanente, m3/s; qi(t) um pequeno desvio de entrada em relao ao seu regime permanente, m3/s; qo(t) um pequeno desvio de sada em relao ao seu regime permanente, m3/s; H a altura do nvel de liquido em regime permanente, m; h(t) um pequeno desvio de nvel a partir do seu valor de regime permanente, m; Aplicando a conservao de massa: A variao na quantidade que entra menos a variao na quantidade que sai a variao da quantidade armazenada. Assim, Cdh(t) = ( qi(t) qo(t) ) dt (2.6) A partir da definio de resistncia, a relao entre qo(t) e h(t) dada por,

25

R)t(h)t(q)t(q

)t(hR oo (2.7) Portanto, substituindo Eq(2.7) na Eq(2.6), )t(qR

)t(hdt

)t(dhC i A equao acima relaciona a variao na entrada qi(t) com a variao da altura h(t). Aplicando a transformada de Laplace para encontrar a funo de transferncia,

1RCsR

)s(Q)s(H

i Para a relao entre a entrada Qi(s) e a sada Qo(s) substituda a transformada de Laplace da Eq(2.7), assim, 1RCs

1)s(Q)s(Q

io

Onde foi substituda a relao, )s(HR

1)s(Qo 2.2.2 Exemplo de simulao do escoamento em reservatrio simples Assumindo um reservatrio simples com rea A = 6 m2 resistncia R = 75 m/(m3/s). As funes de transferncia que correlacionam uma variao no fluxo de entrada com as variaes na altura e no fluxo de sada so dada por,

1s45075

)s(Q)s(H

i e 1s4501

)s(Q)s(Q

io

Observa-se que a constante de tempo de 450 segundos e que uma variao unitria na entrada acarreta um aumento na altura em 75 metros, parece muito, mas uma entrada unitria um aumento de 1 m3/s em um tanque de 6 m2 de rea. Do ponto de vista fsico um aumento de vazo em 1 m3/s em um tanque de rea 6 m2 parece no ser possvel ou improvvel de ser realizado fisicamente. Contudo um aumento de 10 litros/segundo acarretaria um aumento de 0,75 metros do nvel armazenado.

26

2.2.3 Reservatrios em Srie Quando os reservatrios esto conforme apresentados na figura abaixo, verifica-se que a entrada de um reservatrio sada do outro. Esta configurao caracteriza que os tanques esto em srie.

Portanto, as funes de transferncia que regem o sistema so dadas por, 1sCR

1)s(Q)s(Q

1112 e 1sCR 1)s(Q )s(Q 2223 Ento,

1sCRCRsCRCR 11sCR 11sCR 1)s(Q )s(Q 221122211221113 Observe que neste caso o resultante um sistema de 2 ordem com razes reais distintas, com frequncia natural dada por, 2211n CRCR

1 rad/s 2.2.4 Sistema de Reservatrio Composto A modelagem do sistema de tanques apresentado abaixo, o principio o mesmo utilizado acima, isto , inicialmente em regime permanente os escoamentos eram Q e as alturas H1 e H2.

27

Figura 2-12: Acoplamento de reservatrios Resistncia R1,

1

211212211 R

)t(h)t(h)t(q)t(q)t(h)t(hR (2.8)

Resistncia R2,

22oo

22 R)t(h)t(q)t(q

)t(hR (2.9) Conservao de massa para o reservatrio 1, )t(q)t(qdt

)t(dhC 12i11 (2.10) Conservao de massa para o reservatrio 2, )t(q)t(qdt

)t(dhC o1222 (2.11) As equaes (2.8) a (2.11) formam o conjunto de equaes diferenciais para o conjunto de reservatrio. Para encontrar a funo de transferncia Qo(s)/ Qi(s), aplica-se a transformada de Laplace nas Equaes (2.8) a (2.11), mas aqui ser utilizado o procedimento de diagrama de blocos.

28

Figura 2-13: Diagrama de blocos das equaes do reservatrio - separados Montando os blocos, encontra-se,

Figura 2-14: Diagrama de blocos das equaes do reservatrio juntas - a Aplicando lgebra de blocos, movendo H2(s) e incluindo 1/C1s, encontra-se,

Figura 2-15: Diagrama de blocos das equaes do reservatrio juntas - b Resolvendo as realimentaes internas,

Figura 2-16: Diagrama de blocos das equaes do reservatrio juntas - c Desta forma,

29

1sCRCRCRsCRCR

1sCR1sCR1sCR

111sCR1sCR

1)s(Q)s(Q

12221122211122211

2211io

Observe que o sistema resultante um sistema de 2 ordem com frequncia natural dada por,

2211n CRCR1 rad/s

A frequncia natural exatamente a mesma para o sistema em srie, contudo o fator de amortecimento maior, pois o termo com s possui um fator a mais R2C1. Sendo assim, um sistema mais amortecido. 2.3 Linearizao Para a aplicao da transformada de Laplace ser aplicada, as equaes de movimento precisam estar na forma linear. Um sistema linear obedece aos princpios da superposio de resultados e da multiplicao por constante, isto , Entrada Sada X1(t) Y1(t) X2(t) Y2(t) X1(t) + X2(t) Y1(t) + Y2(t) X1(t) + X2(t) Y1(t) + Y2(t) Uma forma de realizar a linearizao a expanso do termo no linear em Srie de Taylor tomando apenas os termos lineares, isto , os termos no lineares so desconsiderados. Mas para isso necessrio assumir um ponto entorno do qual a expanso ser vlida. 2.3.1 Uma Varivel A Srie de Taylor para uma varivel, supondo a funo f(x) em torno da posio x = a, dada por,

ax)x(fdxd)a(fxf axL Onde fL(x) a funo linearizada de f(x) em torno do ponto x =a. Exemplo 1: Linearizar a equao abaixo em torno do ponto = 0. g() = cos()

30

1)0)(0sin()0cos(0)(gdd)0(gg 0L

Figura 2-17: Linearizao de cos() em torno de = 0 Exemplo 2: Linearizar a equao abaixo em torno do ponto = 0. g() = sen() )0)(0cos()0sin(0)(gdd)0(gg 0L

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400.70.750.8

0.850.9

0.951

1.051.1

Cos( )

[Graus]

Cos()linear

Valor Exato5% de erro

31

Figura 2-18: Linearizao de sen() em torno de = 0 Exemplo 3: Linearizar a equao abaixo em torno do ponto x = /4, xsinx)x(g 2 Ento,

4xxcosx)xsin(x24sin4)x(g4x)x(gdx

d4gxg

4x22L

4xL

Chegando a,

4x322

42

322

4x4cos4)4sin(424sin4)x(g22

22L

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-2-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

2Sin(

)

[Graus]

Sin()linear

Exato

Erro 5%

32

Figura 2-19: Linearizao de xsinx)x(g 2 em torno de x = /4

2.3.2 Multivarivel A Srie de Taylor para funes multivariveis. Supondo a funo f(x,y,z) em torno da posio (x,y,z) = (a,b,c), dada por,

cz)z,y,x(fzby)z,y,x(fy

ax)z,y,x(fx)c,b,a(fz,y,xf

)c,b,a()z,y,x()c,b,a()z,y,x(

)c,b,a()z,y,x(L

Onde fL(x,y,z) a funo linearizada de f(x,y,z) em torno do ponto (x,y,z) =(a,b,c). Exemplo: Obter a linearizao para o ponto (x,) = (1,/4). umgLexcosx3 0mLsinxcosx x222

A linearizao pode ser feita por partes. Para isso, devem ser observados quais so os termos no lineares. Iniciando pela 1 equao, o termo no linear dado por sinxcos. Assim, aplicando a linearizao de )sin(x)cos(,xf para (x,) = (1,/4),

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-4-3-2-10123 Funo G(x)

Valores

de g(x)

x

no-linearlinearizada

Ponto exato

5% de diferena

33

4),x(f1x),x(fx)4,1(f,xf )4,1(),x()4,1(),x(L As derivadas parciais,

cosxsinsinxcossinsinxcosx

Resultando em, 44cos4sin1x4sin4sin4cos,xfL

1x221x222sinxcos Para a segunda equao, o termo no-linear x22 excosx3 , mas deve ser observado que h a derivada em relao ao tempo que um termo linear, ento deve-se separar este termo, fazendo cosx3,xf 2 ,

sinx3cosx3

cosx6cosx3x22

2

Ento, 44sin31x4cos64cos3,xfL

42231x226223cosx3 2 Para a exponencial, x2x2 e2ex Resultando em, 1x2e1xe2ee 222x2 Juntando as solues para compor as novas equaes,

34

umgLexcosx3 0mLsinxcosx x222

umgLex42231x226223

0mL1x22x

2

2

Observe que nesta linearizao foi considerado que a derivada multiplicada pela coordenada no pode ser linearizada, por isso considerada como zero. 2.4 Sistemas Pendulares Simples Os sistemas pendulares so utilizados como exemplos de sistemas no-lineares mas que podem ser controlados em torno de uma posio de equilbrio. 2.4.1 Pndulo Simples Considerando o sistema apresentado na figura abaixo. Encontrar a equao de movimento na forma linear para uma entrada nula, isto , equao linear homognea.

Figura 2-20: Pndulo simples Aplicando somatrio dos momentos no ponto de apoio da haste, Mh IIsin2LmgsinMgLIM Como curiosidade, os momentos de inrcia so dados por, 2M MLI Massa pontual girando a uma distncia L;

3mLI 2h Haste de comprimento L girando pela base;

Assim, a equao de movimento no-linear fica,

35

0singM2mLM3

m

Aplicando a linearizao para o ponto = 0,

0gM2mLM3

m

Neste modelo foi desprezado o efeito da frico entre a haste e o apoio, observa-se pela equao de movimento que no aparece o termo da derivada de que caracterizaria a presena de amortecimento se considerado um modelo de 2 ordem. 2.4.2 Pndulo Invertido O objetivo do sistema manter a haste na posio vertical escolhendo a posio de parada do carro M atravs da ao de controle u(t).

Figura 2-21: Pndulo invertido Para fazer o equacionamento, deve-se separar os objetos atravs do DCL (Diagrama de Corpo Livre). Alm disso, como o objetivo posicionar o carro M no espao, ser dotado um sistema de coordenadas inercial.

Figura 2-22: Pndulo invertido - DCL Aplicando somatrio de foras na direo horizontal do carro, )t(xMH)t(umaFx C (2.12)

36

Aplicando somatrio de foras e momentos na haste com a massa, )t(xM)t(xmHmaFx CGMCGh (2.13) )t(yM)t(ymgMmVmaFy CGMCGh (2.14) )t(IIsin2LMgcos2LHsin2LVIM MhCGh (2.15) Como se observa, necessrio encontrar a relao do centro de gravidade para a haste e para a massa M. Abaixo a relao para a haste, pois a diferena entre a massa L/2, )t(sin)t()t(cos)t(L)t(x)t(x )t(sin)t()t(cos)t(2

L)t(x)t(x)t(cos)t(2

L)t(x)t(x)t(sin2

L)t(x)t(x

2CGM

2CGh

CGh

CGh

(2.16)

)t(cos)t()t(sin)t(L)t(y )t(cos)t()t(sin)t(2L)t(y

)t(sin)t(2L)t(y

)t(cos2L)t(y

2CGM

2CGh

CGh

CGh

(2.17)

As equaes de movimento so encontradas substituindo (2.16) em (2.13) e ento em (2.12), assim, )t(u)t(sin)t()t(cos)t(L)t(xM )t(sin)t()t(cos)t(2

L)t(xm)t(xM2

2C

Reagrupando, )t(u)t(sin)t()t(cos)t(2LM2m)t(xMMm 2C (2.18) Agora substituindo (2.13) e (2.14) em (2.15),

37

0sin2LMgcos2L)t(xM)t(xm

sin2LMm)t(yM)t(ym)t(II

CGMCGh

CGMCGhMh

Reagrupando,

0sin2LgM2mcos2L)t(xM)t(xmsin2

L)t(yM)t(ym)t(IICGMCGh

CGMCGhMh

Agora substituindo (2.16) e (2.17) na equao acima,

0sin2LgM2m

)t(sin)t()t(cos)t(cos4LM2mcos2

L)t(xMm)t(cos)t()t(sin)t(4

LsinM2m)t(II22

22Mh

(2.19)

Assim, as equaes (2.18) e (2.19) so as equaes no-lineares do pendulo invertido. Para encontrar as equaes na forma linear, considera-se o ponto em torno de = 0. Assim, )t(u)t(2LM2m)t(xMMm C (2.20) 02LgM2m)t(x2LMm)t(4LM2mII 2Mh (2.21) Como os momentos de inrcia so dados por, 2M MLI Massa pontual girando a uma distncia L; 12

mLI 2h Haste de comprimento L girando pelo Centro de Gravidade; Assim, o a equao de movimento linear na forma de matriz dada por,

0)t(u

)t()t(x

2gLM2m0

00)t()t(x

L4M3

3m

2LMm

2LMmMMm

2C

Comentrio sobre linearizao: Em geral a linearizao feita durante o processo de modelagem e no aplicado diretamente na equao no-linear final, assim como o objetivo

38

encontrar a equao do pendulo invertido linear, os termos no lineares dos centros de gravidade poderiam ser encontrados conforme,

)t(sin)t()t(cos)t(2L)t(x)t(x)t(cos)t(2

L)t(x)t(x)t(sin2

L)t(x)t(x

2CGh

CGh

CGh

)t(2

L)t(x)t(x)t(2

L)t(x)t(x)t(2

L)t(x)t(x

CGh

CGh

CGh

Para a outra parte,

)t(cos)t()t(sin)t(2L)t(y)t(sin)t(2

L)t(y)t(cos2

L)t(y

2CGh

CGh

CGh

0)t(y0)t(y 2L)t(y

CGhCGh

CGh

2.5 Representao em Espao de Estado A representao em espao de estado uma alternativa para a representao em funo de transferncia. Ele extremamente til quando o sistema a ser representado possui mltiplas entradas e sadas. Alm disso, ela utilizada pelo mtodo de controle de alocao de polos por necessitar de uma realimentao de estado. O Estado de um sistema dinmico o menor conjunto de variveis (chamada variveis de estado), tais que o conhecimento dessas variveis em t = t0, junto ao conhecimento da entrada para t t0, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t t0. As Variveis de Estado de um sistema dinmico so aquelas que constituem o menor conjunto de variveis capaz de determinar o estado desse sistema dinmico. A representao em espao de estado definida por, 1rrm1nnm1m 1rrn1nnn1n )t(uD)t(xC)t(y )t(uB)t(xA)t(x Vetor de estado x(t) o vetor de ordem n que contm todos os estados. Vetor de sada y(t) o vetor de ordem m que contm todas as respostas. Vetor de entrada u(t) o vetor de ordem r que contm todas as entradas. Matriz de estado A a matriz de ordem nn que contm os autovalores e os autovetores do sistema. Os autovalores so os polos do sistema.

39

Matriz de entrada B a matriz de ordem nr da entrada. Matriz de sada C a matriz de ordem mn da sada. Matriz de transmisso direta D matriz de ordem mr que correlaciona diretamente a entrada com a sada. A representao em diagramas de bloco do sistema acima dada por,

Figura 2-23: Representao em diagrama de blocos do espao de estado. Ao contrrio da representao em Funo de Transferncia, a representao de espao de estado no nica. Dependendo da escolha dos estados, gera-se uma representao diferente. Como curiosidade, veja captulo 9 do Ogata onde h a representao em espao de estado nas formas cannicas controlvel, observvel e de Jordan.

2.5.1 Representao quando no h derivadas da entrada Para a representao em espao de estado quando no h derivadas da entrada, considera-se a seguinte equao diferencial de ordem n,

)t(u)t(ya)t(ya)t(ya)t(y n1n)1n(1)n( Observando que as condies iniciais so nulas. Definindo os estados conforme,

)t(y

)t(y)t(y

)t(x)t(x)t(x

)t(x)1n(

n

21

1n

As derivadas dos estados so dadas por,

40

)t(x

)t(x)t(x

)t(y)t(y)t(y

)t(x)t(x)t(x

n

32

)1n(1n

21

A ltima derivada vem da prpria equao reescrita da seguinte forma, )t(u)t(xa)t(xa)t(xa)t(x n121n1nn Ou na forma de estado,

)t(u1000

)t(x)t(x

)t(x)t(x

aaaa100001000010

)t(x)t(x

)t(x)t(x

n1n

21

12n1nnn1n

21

)t(u0)t(x)t(x)t(x

001)t(yn

21

Observe que a representao em funo de transferncia dada por, n1n1n1n asasas

1)s(U)s(Y Observe que para a transformao e comparao deve-se perceber que a maior derivada de y(t) igual unidade assim como u(t). Exemplo 1: Apenas uma equao. Representao em espao de estado de, )t(f)t(Ky)t(yC)t(yM Nmero de estados: 1 equao de 2 ordem n = 2; Nmero de entradas: 1 entrada f(t) r = 1; Nmero de sadas: 1 sada y(t) m =1; Vetor de estados,

)t(x )t(x)t(x 2112 Relao do vetor de estado com as variveis do problema,

41

)t(y )t(y)t(x )t(x)t(x 2112 Equaes de estado devem ser definidas de tal forma que do lado esquerdo seja a derivada dos estados e do lado direito apenas os estados, isto , no pode haver derivadas dos estados do lado direito das equaes de estado. Assim, )t(x)t(y)t(x 21 A segunda equao de estado vem da equao diferencial, pois )t(y)t(x 2 , )t(fM

1)t(yMK)t(yM

C)t(y)t(f)t(Ky)t(yC)t(yM

Substituindo os estados, encontra-se, )t(fM

1)t(xMK)t(xM

C)t(x 122 Escrevendo as equaes de estado, )t(uM

10)t(x)t(x

MC

MK 10)t(x

)t(x21

21

(2.22)

Como o objetivo medir a entrada y(t) ela dada pelo estado x1(t), assim, )t(u0)t(x )t(x01)t(y 21 (2.23) As equaes (2.22) e (2.23) formam a representao em espao de estado. Observe que a matriz D nula, pois no houve uma ligao direta entre a entrada e a sada. Exemplo 2: Mltiplas Equaes. Suspenso Ativa, equao de movimento,

)t(w)t(u

K101

)t(y)t(y

KKKKK

)t(y)t(y

CCCC

)t(y)t(y

M00M

pns

pns

ns

ns

Nmero de estados: 2 equaes de 2 ordem n = 4; Nmero de entradas: 2 entrada u(t) e w(t) r = 2; Nmero de sadas: 2 sadas ys(t) e yn(t) m =2; Vetor de estados e relao com as variveis,

42

)t(y)t(y)t(y)t(y

)t(x)t(x)t(x)t(x

)t(xnsns

4321

14

Equaes de estado, )t(x)t(y)t(x)t(x)t(y)t(x

4n23s1

As outras duas equaes vm das equaes de movimento conforme, Como, )t(u)t(y)t(yC)t(y)t(yK)t(yM nsnsss Ento, )t(uM1)t(x)t(xMC)t(x)t(xMK)t(x s43s21s3 E, )t(u)t(w)t(yK)t(y)t(yC)t(y)t(yK)t(yM npsnsnnn Ento, )t(uM1)t(w)t(xMK)t(x)t(xMC)t(x)t(xMK)t(x n2np34n12n4 Na forma matricial,

)t(w)t(u

MK

M1

0M1 00

00

)t(x)t(x)t(x)t(x

MC

MC

MKK

MK M

CMC

MK

MK 1000

0100

)t(x)t(x)t(x)t(x

np

n

s4321

nnnp

n

ssss4321

Para a resposta, assumindo que necessrio medir apenas o deslocamento yn(t) e ys(t)

)t(w)t(u

0000

)t(x)t(x)t(x)t(x

00100001

)t(y)t(y

)t(y)t(y

4321

21

ns

A matriz D uma matriz nula, foi indicada apenas por convenincia para ser observado a sua dimenso.

43

Para demostrar o potencial da modelagem de estado, ser feita uma sada na qual so apresentados os deslocamentos, velocidades e aceleraes tal que,

)t(y)t(y)t(y)t(y)t(y)t(y

)t(y)t(y)t(y)t(y)t(y)t(y

)t(y

nsnsns

654321

16

Neste caso, as aceleraes so dadas pelas prprias equaes de estado, sendo escritas nas sadas como,

)t(w)t(u

MK

M1

0M1 00

000000

)t(x)t(x)t(x)t(x

MC

MC

MKK

MK M

CMC

MK

MK 1000

010000100001

)t(y)t(y)t(y)t(y)t(y)t(y

np

n

s4321

nnnp

n

ssss654321

Assim, a sada sempre composta por uma combinao linear das variveis de estado. Curiosidade:Observe que se as variveis de estado estiverem ordenadas como sendo as variveis lineares e depois suas derivadas, ou como neste caso, deslocamento e velocidade, assim como foram escolhidas originalmente, isto ,

)t(y)t(y)t(y)t(y

)t(x)t(x)t(x)t(x

)t(xnsns

4321

14

Partindo da Equao original, que pode ser escrita na forma compacta como, )t(f)t(xK)t(xC)t(xM Dividindo pela massa, )t(fM)t(xCM)t(xKM)t(x 111 Observe que as equaes de estado na forma matricial podem ser escritas como,

44

)t(u)t(fM ]0[}x{ }x{CMKM ]I[]0[}x{ }x{ 1vd11vd Onde, )t(w )t(u)t(u;)t(y )t(yx;)t(y )t(yx nsvnsd

ppn

s K101)]t(f[;KKK

KK]K[;CCCC]C[;M0

0M]M[ 2.5.2 Representao quando h derivadas da entrada Quando h derivadas da entrada, h a necessidade de se dividir em duas equaes conforme apresentado abaixo. Supondo a seguinte equao de movimento, )t(r2)t(r7)t(r)t(c24)t(c26)t(c9)t(c Cuja funo de transferncia dada por,

24s26s9s2s7s

)s(R)s(C

232

Dividindo em duas funes de transferncia entre o denominador e o numerador formando dois sistemas em srie tal que a entrada de um a sada do outro conforme, 24s26s9s

1)s(R)s(Z

23 e 2s7s)s(Z )s(C 2 Como j foi visto antes a representao em Espao de Estado para a Funo de Transferncia definida por Z(s)/R(s) feita conforme a aplicao da transformada inversa para voltar para equao diferencial, )s(R)s(Z24s26s9s 23 Chegando a, )t(r)t(z24)t(z26)t(z9)t(z Nmero de estados: 1 equao de 3 ordem n = 3; Nmero de entradas: 1 entrada r(t) r = 1; Nmero de sadas: 1 sada z(t) m =1; Vetor de estados e a sua relao com as variveis do problema,

45

z

zz

xxx

)t(x321

13

Equaes de estado, )t(x)t(z)t(x)t(x)t(z)t(x

3221

A ltima equao de estado dada por, )t(r)t(x24)t(x26)t(x9

)t(r)t(z24)t(z26)t(z9)t(z)t(x123

3 ,

Ento, escrevendo as equaes de estado na forma matricial, )t(r

100

)t(x)t(x)t(x

92624100010

)t(x)t(x)t(x

321

321

Agora pegando a segunda funo de transferncia C(s)/Z(s) e passando para equao diferencial, )z(Z2s7s)s(C 2 Aplicando a transformada de Laplace inversa, )t(z2)t(z7)t(z)t(c Substituindo os estados definidos anteriormente para as derivadas de z(t), )t(x2)t(x7)t(x)t(c 123 Desta forma a resposta ser dada por,

)t(x)t(x)t(x

172)t(c321

Exemplo: Passar para Espao de Estado a seguinte funo de transferncia, 24s26s9s2

20s3s2s)s(R)s(C

2323

46

Realizando a diviso para o maior grau do denominador ser unitrio,

12s13s29s

10s23ss2

1)s(R)s(C

23

23

Separando em duas funes de transferncias em srie, 12s13s2

9s1

)s(R)s(Z

23 e 10s23ss2

1)s(Z)s(C 23

Aplicando a transformao para Z(s)/R(s), )s(R)s(Z12s13s2

9s 23

Aplicando a transformada inversa de Laplace para voltar para equao diferencial,

)t(r)t(z12)t(z13)t(z29)t(z

Nmero de estados: 1 equao de 3 ordem n = 3; Nmero de entradas: 1 entrada r(t) r = 1; Nmero de sadas: 1 sada z(t) m =1; Vetor de estados e a sua relao com as variveis do problema,

z

zz

xxx

)t(x321

13

Equaes de estado, )t(x)t(z)t(x)t(x)t(z)t(x

3221

A ltima equao de estado dada por, )t(r)t(x12)t(x13)t(x2

9)t(z)t(x 1233 , Ento, escrevendo as equaes de estado na forma matricial,

47

)t(r100

)t(x)t(x)t(x

291312

100010

)t(x)t(x)t(x

321

321

Agora pegando a segunda funo de transferncia C(s)/Z(s) e passando para equao diferencia, )s(Z10s2

3ss21)s(C 23

Aplicando a transformada de Laplace inversa, )t(z10)t(z2

3)t(z)t(z21)t(c

Substituindo os estados definidos anteriormente para as derivadas de z(t), )t(x10)t(x2

3)t(x)t(x21)t(c 1233

Chegando a, )t(x10)t(x2

3)t(x)t(rx12x13x29

21)t(c 123123

Ento, a ltima equao fica, )t(r2

1)t(x4)t(x5)t(x45)t(c 123

Desta forma a resposta ser dada por, )t(r2

1)t(x)t(x)t(x

4554)t(c

321

2.5.3 Formulao Alternativa Considerando o sistema como apresentado abaixo,

)t(ub)t(ub)t(xb)t(ub)t(ya)t(ya)t(ya)t(y n1n)1n(1)n(0n1n)1n(1)n(

48

O problema est na escolha dos estados para eliminar as derivadas da entrada nas equaes de estado. Uma maneira fazendo a definio dos estados conforme,

uxxuxuuuyx

uxuuyxuyx

1n1nn

22210311102

01

Onde os s so definidos por,

01n12n2n11n1n

03122133021122

011100

aaabaaab

aabab

b

Com estas escolhas obtm-se as seguintes equaes de estado,

uxxuxxuxx

1nn1n

232121

A ltima equao de estado vem da substituio dos estados na equao diferencial original, encontrando, uxaxaxax nn121n1nn Para encontrar a equao acima ver problema A.2.6 do Ogata. Com estas definies, a representao em espao de estado fica,

)t(u)t(x)t(x

)t(x)t(x

aaaa100001000010

)t(x)t(x

)t(x)t(x

n1n

21

n1n

21

12n1nnn1n

21

49

u)t(x)t(x)t(x

001)t(y 0n

21

Observe que a funo de transferncia para a equao diferencial fica, n1n1n1n

n1n1n1n0 asasasbsbsbsb

)s(U)s(Y

Exemplo: Passar o sistema abaixo de funo de transferncia para espao de estado. 8s6s4s2

2s3)s(G 232

Para a comparao com a formulao proposta, deve-se dividir a funo de transferncia por 2, assim, 32213

321232

asasasbsb

4s3s2s1s2/3)s(G

Assim,

2/52/33321 32/322/3

0

3210

Montando a representao em espao de estado, )t(u

2/532/3

)t(x)t(x)t(x

234100010

)t(x)t(x)t(x

321

321

)t(x)t(x)t(x

001)t(y321

2.5.4 Passagem de espao de estado para funo de transferncia Pode-se tambm passar de Espao de Estado para funo de transferncia, conforme mostrado abaixo. Partindo da representao em espao de estado,

50

1rrm1nnm1m 1rrn1nnn1n )t(uD)t(xC)t(y )t(uB)t(xA)t(x Aplicando transformada de Laplace, na 1 equao, )s(BUAsI)s(X)s(BU)s(XAsI )s(UB)s(XA)s(XsI 1 1rrn1nnn1n Substituindo na transformada de Laplace da 2 equao, )s(DU)s(BUAsIC)s(Y )s(DU)s(CX)s(Y 1 Chegando a, DBAsIC)s(U )s(Y 1 Onde I representa a matriz identidade de ordem n. Como Y(s) possui dimenso m e U(s) possui dimenso r, ento so geradas rm funes de transferncias sendo que todas possuem o mesmo denominador que formado por (sI - A)-1. Deve-se verificar se ocorre cancelamento entre polos e zeros. Exemplo: considerando a seguinte representao em espao de estado,

)t(u002

)t(x)t(x)t(x

01000222/32

)t(x)t(x)t(x

321

321

)t(x)t(x)t(x

4/104/3)t(y321

Aplicando a frmula para converso para funo de transferncia,

002

01000222/32

100010001

s4/104/3BAsIC)s(U)s(Y

11

Resolvendo a parte interna,

51

002

s100s222/32s

4/104/3)s(U)s(Y

1

Invertendo a matriz,

002

3s2s2s24s2ss2s22

4s3s4s3s2s

14/104/3)s(U)s(Y

22

2

23

Resolvendo as multiplicaes,

002

43s4s

88s7

42s3

4s3s2s1

)s(U)s(Y 22

23 Resultando em,

8s6s4s22s3

)s(U)s(Y

232

Curiosidade: Observe que esta funo de transferncia gerou outra representao em espao de estado. Isso significa que a representao em espao de estado no nica. Existem algumas representaes de espao de estado padres, so elas as Formas Cannicas Controlvel, Observvel e de Jordan. Se for possvel escrever a forma cannica controlvel, significa que o sistema de estado completamente controlvel, isto , possvel passar o sistema do estado A para o estado B em um tempo finito utilizando uma lei de controle finita. Em outras palavras possvel controlar todo o sistema. Se for possvel escrever a forma cannica observvel, significa que todos os estados do sistema so conhecidos a qualquer instante de tempo, isto , os estados podem ser medidos e previstos. Em outras palavras, qualquer informao do sistema pode ser obtida a qualquer instante de tempo. A forma cannica de Jordam uma representao na qual a matriz A uma forma diagonal com os termos da diagonal sendo os polos do sistema.

52

2.6 Classificao dos Sistemas quanto ao nmero de entradas e Sadas Uma entrada x Uma sada: SISO (Single Input, Single Output) Mltiplas entradas x Uma sada: MISO (Multiple Inputs, Single Output) Uma entrada x Mltiplas sadas: SIMO (Single Input, Multiple Outputs) Mltiplas entradas x Mltiplas sadas: MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs) 2.7 Exerccios Propostos 2.7.1 Sistemas Translacionais Encontrar as equaes de movimento na forma matricial para os sistemas abaixo.

(a) (b)

(c) 2.7.2 Sistemas de Reservatrios Para o sistema abaixo, Encontrar as equaes dinmicas que descrevem o sistema de reservatrios: Montar o diagrama de blocos. Supondo q1(t) = 0, encontrar Q3(s)/Q2(s);

53

Para o sistema abaixo, encontrar as funes de transferncia definidas por: A entrada Q1(s) com a sada Q4(s) A entrada Q1(s) com a altura H3(s) A altura H1(s) com a altura H3(s)

2.7.3 Linearizao Encontrar as formas linearizadas para as seguintes equaes,

2xyy,xg para (x,y) = (-1,1) 2x zysinez,y,xg para (x,y,z) = (1,0,-1) 225421x12222 u34 uux211x2ln1ex1 2x 1 para o ponto 1,1,1u,x,x 21

e) 0Kx)sin(x)cos(eumgL)xcos()sin(x

x

para o ponto 0,1,x

54

2.7.4 Espao de Estado Encontrar representao em Espao de Estado para, )t(u4)t(x3)t(x7)t(x Medindo apenas x(t); Medindo apenas )t(x2)t(x3 ; Medindo apenas )t(u5)t(x2)t(x3 ;

1s2s3s4s5 7s3)s(R )s(C)s(G 234 Medindo apenas c(t), Medindo apenas )t(c3)t(c2 ; )s(D1s2s3s2 5)s(U1s2s3s2 7)s(C 2323 Medindo tudo ao mesmo tempo c(t), )t(c , )t(c e )t(d5)t(u2)t(c3 , isto , todas as respostas devem estar contidas na resposta y(t) Modelo translacional b Medindo y1(t), y2(t) e y3(t) Passar de Espao de estado para Funo de Transferncia,

)t(u023

)t(x)t(x)t(x

02000122/33

)t(x)t(x)t(x

321

321

)t(x)t(x)t(x

4/104/3)t(y321

55

3 Transformada de Laplace A vantagem na utilizao da transformada de Laplace para se estudar a resposta de sistemas consiste no fato que a transformada de Laplace transforma uma equao diferencial em uma equao algbrica, onde aplicada a entrada e ento calculada a transformada inversa de Laplace para obter a resposta temporal. Deve-se observar que sempre que possvel, ser mantido o formalismo matemtico para obteno dos resultados. Porm, o foco principal no a obteno da transformada ou transformada inversa de Laplace, mas apenas a sua aplicao na obteno das respostas temporais. Sendo assim, o objetivo ser criar uma tabela de consulta com as principais transformadas e utiliz-las. 3.1 Definio A Transformada de Laplace definida por, 0 stdte)t(f)s(F)t(fL (1) Onde f(t) a funo temporal sendo que f(t) = 0 para t < 0; s a varivel complexa; L o operador da transformada; F(s) a transformada de Laplace de f(t). Observe que uma condio imposta para a realizao da transformada de Laplace da funo f(t) , f(t) = 0, para t < 0 Est condio conhecida como CAUSALIDADE, significando que a funo s existe para a parte positiva dos tempos ou que fisicamente um sistema s pode responder uma determinada entrada depois da existncia da prpria entrada. 3.2 Transformada de Laplace 3.2.1 Funes Simples Funo Exponencial:

0t0

0tAe)t(f t

56

Onde A e so constantes em relao ao tempo. A transformada de Laplace aplicando a definio, s As 10AseAdteAdteAeAeL 0

ts

0ts

0sttt

Funo Degrau:

0t00tA)t(f

Onde A constante em relao ao tempo. Esta transformada um caso especial da funo exponencial onde foi feito = 0. Note que ela no definida para t = 0. sAs10AseAdtAeAL 0

st

0st

Funo Degrau Unitrio:

0t00t1)t(1

Note que ela no definida para t = 0, sua transformada dada por, s1s10sedtedte)t(1)t(1L 0

st

0st

0st

Observe que se pode transformar qualquer funo em uma funo causal multiplicando-a pelo degrau unitrio. Alm disso, as transformadas podem ser definidas utilizando a funo degrau unitrio. Por exemplo, s AdteAAeLdte)t(1AAe)t(1L 0 tst0 tst Funo Rampa:

0t00tAt)t(f

Sua transformada dada por,

57

0 st0 st dtteAdtAteAtL Aplicando integral por partes, sendo que, baba

b

avduuvudv

Ento, fazendo, u = t du = dt e dtedv st sev

st

02

st

0

st

0

st

0

st

0st s

es

etAdtse

setAdtteAAtL

Como stte indeterminado para t , ento, Aplicando LHpital, 0se

1LimetLim sttHpital'Lstt Desta forma,

220

2st

sA

s10As

eAAtL

Funo Senoidal:

0t00ttsinA)t(f

Aplicando a definio, 0 stdtetsinAtsinAL Sabendo-se que, pelo teorema de Euler, tjtj eej21tsin

58

222222

0sttj

0sttj

0sttjtj

0st

sA

sj2

j2A

sjsjs

j2A

js1

js1

j2A

dteedteej2Adteeej2

1AdtetsinAtsinAL

Funo Cossenoidal:

0t00ttcosA)t(f

Sabendo-se que, pelo teorema de Euler, tjtj ee21tcos

222222

0sttj

0sttj

0sttjtj

0st

sAs

ss2

2A

sjsjs

2A

js1

js1

2A

dteedtee2Adteee2

1AdtetcosAtcosAL

3.2.2 Propriedades As propriedades da transformada de Laplace so as mesmas propriedades vindas da integral. Sendo assim, como propriedades tem-se a transformada da soma de funes temporais a soma das transformadas e a multiplicao por constantes, ento, L[f(t)+g(t)] = L[f(t)]+L[g(t)] Sendo e constantes. Prova:

)s(G)s(Fdte)t(gdte)t(fdte)t(g)t(f0

st0

st0

st 3.2.3 Funes Especiais Funo Transladada: A funo transladada definida por at1atf com t < a. As funes f(t), f(t)1(t) e at1atf so apresentadas abaixo.

59

Figura 3-1: Funo transladada Aplicando a definio de Transformada de Laplace, 0 stdteat1atfat1atfL Aplicando uma substituio de varivel tal que at ,

aas

0st de1fdteat1atf

Como aparece o degrau unitrio 1() e a integral feita em , ento de a a 0 a integral j zero, assim, 0 sas0 sasa as defedeefde1f Observe que, antes a definio de transformada de Laplace fazia a transformao de t para s, agora feita a transformao de para s, ento,

)s(Fedefeat1atfL as0

sas Onde o tempo de translao e F(s) a Transformada de Laplace de f(t). Funo Pulso Retangular:

tt,0t0

tt0tA

)t(f0

00

Reescrevendo a funo como uma soma de dois pulsos defasados, )tt(1tA)t(1tAtf 000

60

Ento, aplicando a transformada de Laplace, 00 st

0

st

00

000

e1stA

se

tA

s1

tA

)tt(1LtA)t(1Lt

AtfL

Funo Impulso: definida como o caso limite da funo pulso.

tt,0t0

tt0tAlim

)t(f0

000t 0

Como a altura A/t0 e a durao t0, a rea delimitada pelo impulso igual a A. Ento, aplicando o limite na transformada da funo pulso, AsAslime1stAlimtfL 0tHpital'Lst00t 000 A funo impulso em que a rea igual unidade chamada de Funo Impulso Unitrio ou Funo Delta de Dirac.

0t0 0t1t Na forma defasada, 000 tt0 tt1tt A funo impulso unitrio pode ser entendida como a derivada da funo degrau unitrio ou que a funo degrau unitrio a integral da funo impulso unitrio. Multiplicao de f(t) por e-t: Aplicando definio de transformada de Laplace, )s(Fdtetfdtetfe)t(feL

0ts

0sttt

61

Observa-se que o resultado a substituio de s por (s + ) na transformada de Laplace de F(s). 3.2.4 Teoremas Teorema da Derivao Real: A transformada de Laplace da derivada de uma funo f(t) dada por,

)0(f)s(sF)t(fdtdL

Onde f(0) o valor inicial de f(t) calculado em t = 0 e L[f(t)] = F(s). Para demonstrar o teorema da derivao real, deve-se integrar por partes a integral de Laplace, fazendo, u = f(t) dt)t(fdt

ddu e dtedv st sevst

Ento, tem-se,

)0(f)s(sFdte)t(fdtd

dte)t(fdtd

s1

s)0(f0)s(F

dt)t(fdtd

se

se)t(fdtetf

0st

0st

0

st

0

st

0st

Observe que )(f , ou que ele existe. Para a derivada 2 de f(t), )0(f)0(sf)s(Fs)t(fdt

dL 222

Onde

0t)t(fdt

d)0(f

o valor de df(t)/dt calculado em t = 0. Para provar faz-se,

)t(g)t(fdt

d Ento,

62

)0(f)0(sf)s(Fs)0(f)t(fdt

dsL)0(g)s(sG)t(gdt

dL)t(fdtdL

2

22

De modo semelhante, para a derivada ensima de f(t), 1n2n2n1nnn

n )0(f)0(fs)0(fs)0(fs)s(Fs)t(fdtdL

Teorema da Integrao Real: A transformada de Laplace da integral de f(t) definida por, s )0(fs )s(F)t(fL 1 Onde F(s) = L[f(t)] e f-1(0) a integral de f(t) avaliada em t = 0. Para mostrar esta propriedade, 0 stdte)t(f integrando por partes, dt)t(fdudt)t(fu e dtedv st sev st Ento,

)s(Fs1)0(fs

1dte)t(fs1)t(fs

10s

edt)t(fse)t(f)t(fLdte)t(f

10

st0t

0

st

0

st

0st

Teorema do Valor Final: Permite obter o valor de f(t) quando t atravs da transformada de Laplace de f(t), assim, )s(sFlim)t(flim 0st Deve-se observar se )t(flimt existe. Ele ir existir se as razes do denominador de F(s) possurem parte real menor que zero. Para demostrar, parte-se da transformada de Laplace da derivao real e aplica-se o limite de s0,

63

)0(f)s(sFlimdte)t(fdtdlim)t(fdtdLlim 0s0 st0s0s

Como o limite pode ser trocado de posio com a integral e 1elim st0s , )0(f)s(sFlim)0(f)(f)t(fdt)t(fdtd 0s00

Ento, )s(sFlim)t(flim)(f 0st Teorema do Valor Inicial: Permite obter o valor de f(t) em t = 0 atravs da transformada de Laplace de f(t), assim, )s(sFlim)0(f s Onde F(s) = L[f(t)]. Para provar, aplica-se o limite de s na transformada da derivada real,

)0(f)s(sFlimdte)t(fdtdlim)t(fdtdLlim s0 stss

Como o limite pode ser trocado de posio com a integral e 0elim sts , )s(sFlim)0(f)0(f)s(sFlim0 ss Teorema da Derivada Complexa: Se f(t) for a transformada de Laplace de f(t) ento, )s(Fdsd)t(tfL Onde F(s) = L[f(t)]. Alm disso, )s(Fdsd)t(ftL 222 Em geral, )s(Fdsd1)t(ftL nnnn

64

Para demonstrar, como stst edsdte , ento,

)s(Fdsddte)t(fdsddtedsd)t(fdte)t(tf)t(tfL 0 st0 st0 st Produto de Funes no Domnio de Laplace Integral de Convoluo: Considerando a seguinte integral,

t0t

0dtgfdgtf

Esta conhecida como integral de convoluo, aplicando a transformada de Laplace, )s(G)s(FdgtfL t

0

Onde L[f(t)] = F(s) e L[g(t)] = G(s). Aplicando a definio de transformada de Laplace, dtedgtfdgtfL st

0

t

0

t

0 Separando as integrais, tem-se,

0t

0stt

0dgdtet1tfdgtfL

Como j foi visto, fazendo uma mudana de varivel tal que = t , assim, 0

t

0st

0st

0dgdefdgde1fdgtfL

Abrindo a exponencial, 0

t

0sst

0)s(G)s(FdegdefdgtfL

Observe que todo sistema quando calculado a sua resposta a uma determinada entrada, o que se est fazendo aplicando a Integral de Convoluo.

65

3.2.5 Resumo Funo Temporal Transformada de Laplace

Impulso Unitrio (t) 1 Degrau Unitrio 1(t) s

1 te s 1

t 2s1 nt 1ns

!n

)t(sen 22s )tcos( 22s s Propriedades da Transformada de Laplace Funo Temporal Transformada de Laplace

f(t)+g(t) F(s)+G(s) )t(fe at )as(F

Deslocamento Temporal at1atf )s(Fe as tf(t) )s(Fds

d tnf(t) )s(Fdsd1 nnn

Valor Final: )t(flimt )s(sFlim0s Valor Inicial: )t(flim0t )s(sFlims

Integral: dt)t(f s )0(fs )s(F 1 Derivada: dt

)t(df )0(f)s(sF 2

2dt

)t(fd )0(f)0(sf)s(Fs2

66

3.3 Transformada Inversa de Laplace Para obter a transformada inversa de Laplace, sempre ser utilizada a tabela de transformadas. Para isso ser aplicado o mtodo da expanso em fraes parciais para escrever da forma mais simples possvel. 3.3.1 Expanso em Fraes Parciais Em analise de sistemas F(s), a transformada de Laplace de f(t), apresenta-se frequentemente da seguinte maneira,

)s(A)s(B)s(F

Onde A(s) e B(s) so polinmios em s. Na expanso de F(s) em fraes parciais importante que a maior potncia de s em A(s) seja maior que a potencia de s em B(s), grau A(s) > grau B(s) Se no for o caso, a diviso polinomial dever ser feita. Como tanto A(s) quanto B(s) possuem razes, uma distino deve ser feita, Zeros so as razes do numerador; Polos so as razes do denominador. Se F(s) for subdividido em partes ou fraes, F(s) = F1(s) + F2(s) + ... + Fn(s) A transformada inversa de Laplace dada por, L-1[F(s)] = L-1[F1(s)] + L-1[F2(s)] + ... + L-1[Fn(s)] Resultando em, f(t) = f1(t) + f2(t) + ... + fn(n) Caso 1 Denominador apresenta razes reais distintas Quando as razes do denominador forem reais distintas, deve-se separ-la procedendo da seguinte forma, 2s1s 1sB2sA2s B1sA2s1s 3s)s(G

67

Pegando apenas os numeradores, ento, A(s + 2) + B(s + 1) = s + 3 Dica: substitua as razes do denominador ou polos para facilitar os clculos. Fazendo s = -1 A(-1 + 2) = -1+3 A = 2 Fazendo s = -2 B(-2 + 1) = -2 + 3 B = -1 Ento, 2s

11s

2)s(G Aplicando a transformada inversa de Laplace, t2t111 ee22s 1L1s 1L2)t(g)s(GL para t 0 Isto significa que polos reais distintos tornam-se exponenciais. Caso 2a Denominador apresenta razes complexas conjugadas distintas Quando as razes do denominador ou polos forem complexas conjugadas elas devem permanecer unidas e o procedimento feito conforme, 5s2s

BAs5s2s

12s2)s(F 22 Neste caso, claramente A = 2 e B = 12. Para continuar, deve-se observar que o denominador possui o termo com s e na tabela de transformada de Laplace ela no aparece, porm, sabendo-se da seguinte propriedade, 22s AtsinAL e 22s AstcosAL , aplicando a propriedade da multiplicao por exponencial, )s(F)t(feL t , fazendo f(t) o seno e o cosseno, 22t stsineL e 22t s stcoseL Assim, o 1 procedimento completar o quadrado do denominador da seguinte forma, 41s5s2s 22

68

O ajuste deve sempre ser iniciado pelo cosseno e depois ajustado o seno, 41s 1241s s241s 12s25s2s 12s2)s(F 2222 Para o termo direita representar a transformada inversa de tcose t e tsine t necessrio que, 41s 2541s 1s2)s(F 22 Assim, a transformada inversa de Laplace fica,

t2sine5t2cose241s 2L541s 1sL2)t(f)s(FL tt21211 para t 0 Curiosidade: Os polos da representao em Laplace so s1,2 = - 1 j2. Observe que a exponencial a parte real dos polos e a parte imaginria so as frequncias dos termos que oscilam. Caso2b: Polos so complexos conjugados distintos, mas tratado como razes distintas. Quando as razes do denominador forem complexas conjugadas elas podem ser tratadas com razes distintas, isto , 5s2s

2j1sB2j1sA2j1s

B2j1s

A5s2s

12s2)s(F 22 Fazendo s = 1 j2 A( 1 j2 + 1 j2) = 2( 1 j2) + 12 j4A = 10 j4 A = 1 + j5/2 Fazendo s = 1 + j2 B( 1 + j2 + 1 + j2) = 2( 1 + j2) + 12 + j4B = 10 + j4 B = 1 j5/2 Ento, 2j1s2/5j1

2j1s2/5j1

5s2s12s2)s(F 2 A transformada inversa de Laplace fica, t2j1t2j1 e2/5j1e2/5j1)t(f A presena das exponenciais complexas eliminada atravs da formula de Euler, sinjcose j

69

Ento, t2sin5t2cos2e t2sinjt2cos2/5j1t2sinjt2cos2/5j1eee2/5j1ee2/5j1

e2/5j1e2/5j1)t(f

tt

t2jtt2jtt2j1t2j1

Chegando ao mesmo resultado. Caso 3a Denominador apresenta razes mltiplas reais Propriedade L[e-atf(t)] Quando houver razes repetidas no denominador, fatorar da seguinte forma, 3

2323

21s

C1sB1sA1s

C1s

B1s

A1s

1s2s3)s(H

Do numerador, C1sB1sA1s2s3 22 Igualando os termos de s2 A = 3 Fazendo s = -1 C = 3(-1)2 + 2(-1) + 1 C = 2 Dica: A equao vlida para qualquer valor de s. Fazendo s = 0 A + B + C = 1 B = -3 -2 + 1 B = -4 Ento,

32 1s 21s 41s 3)s(H Para resolver as duas transformadas direita, deve-se saber que, )s(F)t(feL t , mas fazendo f(t) = t, assim, 2s1tL 2t s 1teL Procedendo da mesma forma para a transformada de Laplace de t2, 32 s2tL 32t s 2teL

70

Ento, 312111 1s 2L1s 1L41s 1L3)t(h)s(HL Resultando em, t2t2tt ett43ette4e3)t(h Curiosidade: Quando os polos so reais, negativos e repetidos, as amplitudes tendem a permanecer em um determinado valor ou tendem para zero. No caso da funo apresentada, ela comea em 3 e termina em 0. Caso a transformada de Laplace seja na seguinte forma,

2222 s baass bsas bs as As)s(F Como observado, a = A e A+b = 0, ento, 22 s As As As)s(F Cuja transformada inversa de Laplace dada por, t1Ae)t(f t Caso a transformada de Laplace seja na seguinte forma,

32

323 scsbsa

sc

sb

sa

sAs)s(H

Como observado, a = 0, b = A e c = -A, ento, 323 sAs As As)s(H Cuja transformada inversa de Laplace dada por,

2t t2tAe)t(f Caso a transformada de Laplace seja na seguinte forma,

71

3

2323

2s

csbsas

cs

bs

asAs)s(H

Como observado, a = A, b = -2A e c = A2, ento, 3

223

2sA

sA2

sA

sAs)s(H

Cuja transformada inversa de Laplace dada por,

22t t2t21Ae)t(f Comentrio: Desta forma, foi mostrado que no importa como seja o numerador de uma frao com denominador com razes reais mltiplas, sempre ser possvel uma reduo para um sistema mais simples aplicando a decomposio em fraes parciais. Caso 3b Denominador apresenta razes mltiplas reais Propriedade L[tf(t)] O caso genrico de razes mltiplas a utilizao da seguinte propriedade, )s(Fdsd1)t(ftL nnnn Para tanto, deve ser lembrado da derivada da diviso, assim,

2)s(H)s(Hds

d)s(G)s(Gdsd)s(H

)s(H)s(G

dsd

Assumindo,

32 1s 21s 4)s(H Como as razes so puramente reais, 2at as 1as 1dsd1teL 342222at2 as 2as as2as 1dsdas 1dsd1etL

72

Desta forma, tt2t tet4ette4)t(h Caso 3c Denominador apresenta razes mltiplas complexas Propriedade L[tf(t)] Supondo, 22222222 23 5s2s 10s45s2s 1s25s2s DCs5s2s BAs5s2s 5s4s3s2)s(F Para a 1 transformada,

4ss 22134ss 1s24ss 1s25s2s 1s2 2222 Para resolver a 2 transformada, 22222at as as2asdsdtsinteL

222 22222 22222at as asas as2asas asdsdtcosteL Assim, 2222222 23 as 1s441s 41s25s2s 5s4s3s2)s(F

2222222222 23 5s2s 5s6s5s2s s25s2s EDsCs5s2s As5s2s 5s4s3s2)s(F Para a 1 transformada, 4ss 22124ss 1s24ss s25s2s s2 2222 Para resolver a 2 transformada,

22222222 41s 1s441s 41s5s2s 5s6s

73

Caso 4 Numerador maior ou igual ao denominador Assumindo a seguinte transformada de Laplace, 2s1s 7s9s5s)s(G 23 Toda vez que o grau do numerador for maior ou igual ao grau do denominador, uma diviso polinomial deve ser feita. Como neste caso o numerador possui grau maior que o denominador, a diviso polinomial dever ser feita da seguinte forma,

2s 11s 22s2s1s 3s2s2s1s 7s9s5s)s(G 23 Aplicando a transformada inversa de Laplace, t2t ee2)t(2)t(dt

d)t(g Sendo que a transformada de Laplace da funo pulso 1 e a transformada de Laplace da derivada da funo pulso, s)t(dt

dL

. 3.4 Aplicaes de Transformada de Laplace Neste item ser aplicada a transformada e transformada inversa de Laplace para o estudo da reposta de sistemas. 3.4.1 Soluo de Equaes Diferenciais Como exemplo de soluo de equao diferencial, ser adotado o mesmo sistema para os prximos 3 exemplos. Supondo um sistema massa-mola-amortecedor com m = 2 kg, c = 3 Ns/m e k = 5 N/m. Equao de movimento na forma: )t(f)t(Ky)t(yC)t(yM Substituindo os valores: )t(f)t(y5)t(y3)t(y2 Aplicando a transformada de Laplace: )t(fL)t(yL5)t(yL3)t(yL2

74

Observe que no foi substituda a entrada ainda, pois isso ser feito dependendo do proposto pelo problema a ser resolvido. Encontrando, )s(F)s(Y5)0(y)s(sY3)0(y)0(sy)s(Ys2 2 Reagrupando os termos, observe que os termos contendo a entrada e as condies iniciais devem ser isoladas do lado direito, ento, )0(y3)0(y2)0(sy2)s(F)s(Y5s3s2 2 Chegando a, 5s3s2

)0(y3)0(y2)0(sy2)s(F5s3s21)s(Y 22

Observe que uma parte possui a informao sobre a entrada enquanto a outra parte possui informaes sobre as condies iniciais. Exemplo 1: Resposta a uma entrada qualquer com condies iniciais nulas Calcular a resposta y(t) do sistema a uma entrada f(t) degrau 10 N aplicada em t = 0. Isto significa que o objetivo ser calcular a resposta para uma entrada em fora constante em 10 N, mas a fora s ser aplicada em t = 0, antes disso o sistema est em repouso. Assim,

)s(F5s3s21)s(Y 2

A transformada de Laplace da fora degrau 10 s10)s(F , ento,

s5s3s2 10)s(Y 2

Para resolver, deve-se aplicar a decomposio em fraes parciais, s5s3s2 CsBs5s3s2A5s3s2 CBssAs5s3s2 10)s(Y 2 2222 Do numerador 10CsBs5s3s2A 22 Fazendo s = 0 5A = 10 A = 2 Termos de s2 2A + B = 0 B = -4 Termos de s 3A + C = 0 C = -6

75

Observe que o 2 do denominador precisa ser eliminado, ento,

25s2

3s3s2

s2

5s3s26s4

s2)s(Y

22

Completando o quadrado e expandindo para a transformada inversa de Laplace,

1631

43s

431

314

23

1631

43s

43s2s

21631

43s

3s2s2)s(Y 222

Cuja transformada inversa de Laplace dada por,

t431sene316t4

31cose22)t(y t43t43 para t > 0

Figura 3-2: Resposta do sistema massa-mola-amortecedor Exemplo 2: Reposta apenas para as condies iniciais. Calcular a resposta y(t) do sistema a um deslocamento inicial y(0) = 1 m, isto , a massa liberada de 1 metro da posio y =