apostila estatica 3º semestre

ESTATÍSTICA

E

PROBABILIDADE

Profª Lígia Conceição Pereira

2013

Estatística Profª Lígia

2

Sumário

Estatística .......................................................................................................... 4

A linguagem .......................................................................................................................................... 4

Fases do método estatístico ................................................................................................................... 4

Arredondamento de dados .................................................................................................................... 5

Porcentagem .......................................................................................................................................... 5

Exercícios .......................................................................................................................................... 5

Amostragem ..................................................................................................... 7

1. Amostragem casual ou aletória simples ............................................................................................ 7

2. Amostragem proporcional estratificada ............................................................................................ 8

3. Amostragem sistemática ................................................................................................................... 9

Exercícios ........................................................................................................................................ 10

Estatística Gráfica .......................................................................................... 11

Séries Estatísticas ................................................................................................................................ 11

Gráficos Estatísticos ............................................................................................................................ 12

Exercícios ........................................................................................................................................ 16

Distribuição de Frequência ............................................................................ 19

Exercícios ........................................................................................................................................ 19

Distribuição de Frequência para Dados Agrupados por Intervalos de Classes................................... 20

Frequências Acumuladas .................................................................................................................... 21

Exercícios ........................................................................................................................................ 22

Mais Exercícios ............................................................................................................................... 23

Medidas de Posição ........................................................................................ 25

Média Aritmética x .......................................................................................................................... 25

Exercícios: ....................................................................................................................................... 27

Moda (Mo) .......................................................................................................................................... 29

Exercícios: ....................................................................................................................................... 30

Mediana(Md) ...................................................................................................................................... 31

Exercícios: ....................................................................................................................................... 34

AS SEPARATRIZES .......................................................................................................................... 35

Exercícios: ....................................................................................................................................... 37

Mais Exercícios ............................................................................................................................... 38

Medidas de Dispersão ou de Variabilidade ................................................... 38

Desvio padrão ..................................................................................................................................... 39

Coeficiente de variação ....................................................................................................................... 41

Exercícios: ....................................................................................................................................... 41


3

Exercícios de Revisão: .................................................................................................................... 43

Análise de Regressão ..................................................................................... 44

Diagrama de Dispersão ....................................................................................................................... 44

Coeficiente de Correlação Linear ....................................................................................................... 45

Exercícios: ....................................................................................................................................... 46

Regressão Linear – Ajustamento da Reta ........................................................................................... 47

Exercícios: ....................................................................................................................................... 49

Probabilidade .................................................................................................. 51

Experimento Aleatório ........................................................................................................................ 51

Espaço Amostral ................................................................................................................................. 51

Eventos ................................................................................................................................................ 51

Exercícios: ....................................................................................................................................... 52

Probabilidade ...................................................................................................................................... 53

Exercícios: ....................................................................................................................................... 54

Regra para o cálculo de probabilidades para um evento qualquer ...................................................... 55

Eventos complementares..................................................................................................................... 55

Regra para soma de probabilidades envolvendo dois ou mais eventos .............................................. 55

Regra do produto de probabilidades envolvendo dois ou mais eventos ............................................. 56

Exercícios: ....................................................................................................................................... 56

Distribuição Binomial de Probabilidades ...................................................... 58

Exercícios: ....................................................................................................................................... 59

Distribuição Normal de Probabilidades ......................................................... 60

Exercícios ........................................................................................................................................ 63

Aplicações da Distribuição Normal de Probabilidades....................................................................... 64

Exercícios ........................................................................................................................................ 65

Exercícios de Revisão ..................................................................................................................... 66

Respostas de algunsexercícios ....................................................................... 68


4

Estatística

Estatística é um ramo da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização,

descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.

A LINGUAGEM

Dados estatísticos: são os números utilizados para descrever e representar fatos observados.

População: conjunto de elementos a serem observados.

Amostra: é o conjunto de elementos retirados da população escolhida para representá-la.

Indivíduo: todo elemento da população.

Variável: é a característica ou a propriedade que será estudada, ou observada, na população.

o Qualitativas: quando exprimem uma qualidade ou atributo. Os valores não são numéricos.

o Quantitativa: quando exprimem contagens, ou seja, quando os valores são numéricos.

Discretas: só podem assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável de elementos e que

resultam de uma contagem.

Contínuas: podem assumir qualquer valor num intervalo de números reais e que resultam de uma

medida.

Exemplos:

Variável qualitativa: a cor dos cabelos dos alunos de uma escola

Variável discreta: o número de irmãos desses alunos;

Variável contínua: o peso desses alunos.

FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO

1. Planejamento da pesquisa

Essa parte é extremamente importante para uma pesquisa e consiste em definir com exatidão um plano

que contempla: o objetivo, a justificativa e a metodologia que será utilizada.

2. Coleta dos dados

Após cuidadoso planejamento e a devida determinação das características que se quer pesquisar, damos

início à coleta dos dados necessários à sua descrição. A coleta de dados pode ser realizada de duas maneiras:

direta ou indireta.

3. Apuração dos dados

Nada mais é do que a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de

classificação. Pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica.

4. Exposição ou apresentação dos dados

Os dados devem ser apresentados sob forma adequada (tabela e/ou gráficos), tornando mais fácil o

exame daquilo que está sendo pesquisado.


5

5. Análise dos resultados

Depois de realizadas as fases anteriores, fazemos uma análise dos resultados obtidos e tiramos desses

resultados conclusões e previsões. A análise dos dados está ligada essencialmente ao cálculo de medidas, cuja

finalidade principal é descrever o fenômeno. O significado exato de cada um dos valores obtidos do cálculo das

várias medidas estatísticas disponíveis deve ser interpretado, tirar conclusões sobre o todo (população), a partir

de informações fornecidas (amostras), fazendo uma análise dos resultados obtidos, tirando dai conclusões e

previsões para ações futuras.

ARREDONDAMENTO DE DADOS O arredondamento de dados é uma técnica usada para suprimir unidades inferiores às de determinadas

ordem.

De acordo com a resolução 886/66 da Fundação IBGE, o arredondamento é feito da seguinte maneira:

Quando o primeiro algarismo a ser desprezado for 0, 1, 2, 3 e 4, permanece inalterado o algarismo anterior.

Exemplo: 5,733958 = 5,73; 78,846970 = 78,8.

Quando o primeiro algarismo a ser desprezado for 6, 7, 8 e 9 aumenta-se uma unidade no algarismo

anterior.

Exemplo: 5,736958 = 5,74; 78,886970 = 78,9.

Quando o primeiro algarismo a ser desprezado for 5, há duas soluções.

o Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade ao

algarismo a permanecer.

Exemplo:2,652 = 2,7; 28,25002 = 28,3

o Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só

será aumentado de uma unidade se for ímpar.

Exemplo:44,65 = 44,6; 43,75 = 43,8.

PORCENTAGEM

O estudo da porcentagem é ainda um modo de comparar números, usando a proporção direta.

Entretanto, uma das razoes dessa proporção deverá ser sempre uma fração de denominador 100.

Por exemplo, numa situação em que você tenha que calcular 40% de R$ 300,00, será preciso

determinar um valor que represente, em 300, o mesmo que 40 em 100.

𝟒𝟎% × 𝟑𝟎𝟎 =𝟒𝟎

𝟏𝟎𝟎× 𝟑𝟎𝟎 =

𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎= 𝟏𝟐𝟎

Exercícios

1. Classifique as variáveis abaixo:

a. Número de alunos aprovados por turma.

b. Nível socioeconômico

c. Gastos com alimentação.

d. Opinião com relação à pena de morte


6

e. Religião

f. Valor de um imóvel

g. Classificação em um concurso.

h. Cor dos olhos

i. Número de filhos

j. O ponto obtido em cada jogada de um dado.

k. Número de peças produzidas por certa máquina.

l. Diâmetro externo de peças.

m. Número de passageiros no ônibus da linha Rio-São Paulo

n. Escolaridade de um trabalhador

o. Peso Médio dos Recém Nascidos

p. Altitude acima do nível do mar

q. Estado civil de uma pessoa

r. O tempo gasto por uma pessoa para fazer uma viagem de carro de Brasília até Belo Horizonte.

s. Altura de um indivíduo

t. Tipo sanguíneo de seu pai

u. Área de um Círculo

v. Raça de um cachorro

w. Quantidade de livros de uma biblioteca

x. Salário dos Empregados de uma empresa

2. Para realizar um estudo sobre o tempo gasto, em minutos, por 60 elementos de um clube de karting num

circuito de 20 voltas, registou-se o tempo gasto por 16 desses elementos.

a. Indique:a população e a amostra.

b. Indique a variável estatística do estudo e classifique-a.

3. Luciano é dono de uma loja de automóveis. Para ampliar a qualidade da loja, Luciano resolveu pesquisar o

perfil dos clientes em relação à renda mensal, ao modelo de automóvel preferido, ao número de automóveis

que cada cliente possui e à qualidade dos serviços prestados. Dos 3000 clientes cadastrados nessa loja, 1600

foram entrevistados.

a. Quantas pessoas têm a população dessa pesquisa?

b. A amostra pesquisada foi de quantas pessoas?

c. Determine as variáveis pesquisadas e classifique-as.


7

4. Arredonde para a unidade, ou seja, não deixando casas decimais:

a. 3,48 = b. 18,251 = c. 34,55 =

d. 5,88 = e. 8,631 = f. 2,25 =

g. 3,151 = h. 7,50 = i. 4,99 =

5. Arredonde deixando duas casas decimais:

a. 5,902 = b. 0,48103 = c. 839,011 =

d. 100,839454 = e. 9130,933617 = f. 3,679 =

6. Determine:

a. 15% de 300 = b. 0,5% de 1% = c. 30% de 12.365 =

d. 0,8% de 0,25 = e. 0,2% de 100 = f. 9% de 12,365 =

Amostragem

Como já vimos, uma amostra é um subconjunto finito de uma população.

Para as conclusões de uma pesquisa serem corretas, é necessário garantir que a amostra seja

representativa da população, isto é, a amostra deve possuir as mesmas características básicas da

população. É preciso, pois, que a amostra que será usada seja obtida por processos adequados.

Existe uma técnica especial – amostragem – para recolher amostras, que garante, tanto quanto

possível, o acaso na escolha.

1. AMOSTRAGEM CASUAL OU ALETÓRIA SIMPLES

Este tipo de amostragem é equivalente a um sorteio lotérico.

Na prática, a amostragem casual pode ser realizada numerando-se a população a 1 a n e

sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, k números dessa sequência, os

quais corresponderão aos elementos pertencentes à amostra.

Para amostras grandes, foi elaborada uma tabela – Tabela de Números Aleatórios (TNA) –,

construída de modo que os dez algarismos (0 a 9) são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas.

Para obtermos os elementos da amostra usando a tabela, sorteamos um algarismo qualquer da

mesma, a partir do qual iremos considerar números de dois, três ou mais algarismos. A leitura da

tabela pode ser feita horizontalmente, verticalmente ou diagonalmente. A opção, porém, deve ser feita

antes de iniciado o processo.


8

6 8 3 8 9 9 5 1 2 6 4 9 0 8 9 1 8 6 4 7 2 3 2 5 0 8 1 3 4 1 5 3 4 7 6 7 4 7 4 5 2 1 5 3 3 5 6 9 3 0

1 7 1 4 7 6 5 4 6 8 6 3 2 3 4 1 9 2 6 7 5 1 3 3 4 6 5 1 0 6 7 3 5 6 7 4 8 5 5 2 8 3 3 1 7 0 6 4 4 7

9 6 1 8 2 1 5 3 6 2 1 7 8 8 3 8 8 9 3 4 0 3 1 4 6 1 8 4 4 8 4 8 8 8 2 1 7 7 8 4 0 7 4 7 2 4 6 2 8 2

4 5 5 0 6 4 1 1 1 5 6 5 5 1 5 4 5 9 5 6 1 3 3 1 1 4 2 6 3 3 4 3 3 8 5 8 8 1 7 3 2 5 3 1 2 7 3 4 4 6

8 4 4 0 6 8 1 2 3 8 8 1 7 1 4 9 5 8 5 7 7 1 2 5 1 2 5 6 0 5 8 5 4 3 1 2 7 5 9 9 7 4 2 3 3 2 2 8 0 0

4 2 1 3 2 7 8 1 3 1 8 4 4 8 3 3 4 9 5 7 8 2 6 1 5 0 1 1 6 2 1 8 5 7 7 7 3 4 1 1 6 1 5 3 6 1 8 2 0 7

2 3 5 7 1 9 9 7 3 0 4 1 1 9 9 4 4 0 2 6 3 7 8 8 1 3 2 4 2 8 5 0 7 4 6 3 0 2 8 7 9 8 7 8 9 4 8 5 1 3

2 8 2 2 4 4 9 4 8 3 3 2 7 2 3 5 3 6 4 5 6 7 0 4 5 2 7 5 8 1 0 6 3 3 8 5 9 2 0 1 8 3 2 8 7 6 3 3 2 6

1 6 2 8 1 2 4 4 4 8 5 5 1 1 2 3 5 3 1 3 5 8 2 7 6 4 7 0 9 9 0 2 6 8 2 8 2 6 6 9 6 1 4 8 5 1 1 2 5 2

8 1 2 8 3 2 5 8 1 6 5 4 6 1 7 5 6 2 6 8 2 3 3 4 6 6 9 2 8 4 8 4 3 7 1 3 5 2 5 4 1 4 9 7 0 2 9 3 7 5

2 6 5 2 8 3 1 1 3 6 3 4 5 2 6 8 6 8 7 2 0 7 5 5 3 3 5 5 6 2 8 2 2 7 9 0 8 4 1 6 9 4 5 6 3 2 2 4 8 1

5 8 6 5 1 9 2 6 2 1 1 4 2 3 1 5 3 4 8 6 9 5 8 3 6 5 9 3 5 1 9 2 1 8 6 9 8 1 8 7 8 8 6 6 5 9 0 3 2 1

1 3 3 3 2 7 0 6 3 7 3 2 6 6 2 7 5 3 8 8 5 7 9 8 4 6 7 3 3 2 7 6 7 8 6 3 6 2 9 4 8 9 4 4 1 0 5 3 3 4

3 7 1 4 4 2 3 4 5 7 6 7 7 7 1 1 0 3 1 7 4 6 1 6 8 8 7 2 1 2 1 1 6 7 7 1 1 8 4 5 1 4 5 7 8 3 1 2 2 4

2 3 7 7 5 0 7 4 6 5 8 2 0 6 5 4 3 1 3 1 6 5 6 6 4 5 1 8 7 4 5 5 6 5 4 5 4 2 5 3 9 4 3 1 8 4 5 7 7 5

1 0 6 4 5 6 3 2 4 4 9 5 3 8 7 8 2 6 8 7 5 5 5 7 5 6 5 4 7 4 4 3 1 8 1 5 4 1 7 6 2 6 4 4 8 5 2 6 4 6

2 7 3 3 5 5 3 6 7 6 1 4 4 0 6 7 6 2 9 8 6 6 5 4 8 2 8 6 1 7 5 4 3 2 8 5 4 1 2 1 1 3 6 6 7 0 7 0 7 2

0 8 0 6 4 6 8 4 1 3 9 2 1 7 2 6 1 7 2 0 2 8 1 2 0 0 4 6 2 9 8 8 5 2 7 9 0 3 0 8 5 8 5 3 8 3 6 6 9 8

3 3 2 8 2 2 5 4 2 6 2 8 1 3 7 6 7 5 6 3 5 5 2 4 2 7 7 1 4 4 8 3 3 1 5 0 8 4 8 1 8 1 6 1 8 2 0 3 6 3

9 5 7 9 4 3 6 4 6 8 3 0 1 2 6 0 3 3 3 5 9 8 1 3 2 0 1 6 7 2 2 8 3 2 1 5 5 7 9 4 9 4 6 1 2 1 7 5 3 9

6 0 6 8 3 6 3 0 8 6 6 5 6 6 9 2 4 2 1 3 6 4 8 8 1 5 0 9 5 8 9 7 9 1 2 1 2 3 6 6 2 7 5 1 8 6 4 6 8 2

8 1 6 8 1 2 9 5 4 5 5 3 2 1 2 1 8 8 8 1 0 2 8 7 3 3 8 0 3 6 3 0 6 5 3 1 0 2 5 2 3 8 5 5 7 7 3 5 0 1

8 6 5 3 5 6 1 2 1 4 4 3 7 3 5 1 3 1 7 0 8 5 9 7 6 1 1 2 1 4 3 3 1 5 2 5 8 7 2 1 5 3 5 8 6 1 6 3 8 7

1 6 3 4 7 3 6 6 1 3 1 7 5 3 0 8 4 3 5 7 0 9 4 2 1 5 9 7 4 5 5 6 4 3 6 0 2 3 4 2 5 6 1 0 5 7 2 6 6 4

8 5 1 4 5 8 0 4 0 8 2 3 1 3 6 8 9 8 7 1 4 7 7 2 5 0 4 5 9 7 5 3 2 2 2 4 1 4 0 8 4 2 7 2 0 7 5 7 8 9

5 4 4 1 7 3 8 7 5 4 7 7 7 8 8 3 3 5 4 4 3 2 4 0 7 9 1 1 5 9 3 1 3 6 8 7 1 3 3 4 1 3 5 0 4 5 0 4 3 8

6 3 9 6 3 6 4 8 4 8 5 7 6 9 3 5 2 1 2 6 2 6 6 8 7 5 4 1 7 7 4 1 0 2 5 7 3 8 6 8 5 8 3 3 6 9 7 5 4 1

8 4 6 3 0 3 1 4 2 4 0 4 2 4 3 2 4 6 5 6 7 3 6 2 1 9 6 1 1 6 3 6 7 3 6 5 8 3 8 2 9 2 7 1 9 4 7 0 5 9

9 3 2 3 8 0 8 0 0 7 8 3 3 5 3 5 1 6 4 0 5 4 4 3 7 6 4 4 7 2 4 0 4 3 5 2 1 2 4 8 9 2 9 5 1 1 3 7 9 4

7 2 1 4 2 5 6 2 5 1 5 1 3 4 8 5 5 1 6 4 8 6 6 3 2 7 1 6 3 3 9 8 2 3 1 2 3 8 1 1 1 8 2 8 2 5 7 2 2 4

9 1 3 1 2 2 6 1 3 0 6 8 7 1 2 9 2 4 6 1 6 2 4 4 7 3 5 0 0 5 4 4 1 4 2 3 5 1 5 2 5 1 1 8 8 8 4 5 6 9

4 2 6 3 7 2 2 2 7 4 8 3 4 5 5 3 9 9 5 7 3 0 4 5 4 9 8 8 6 0 1 0 0 1 4 8 4 9 3 8 5 3 0 4 7 1 0 7 4 4

8 9 3 3 3 5 6 7 1 1 7 7 6 7 9 9 3 2 2 3 8 6 5 3 6 2 7 6 7 1 1 3 5 0 4 3 0 3 6 8 8 2 9 5 5 3 6 6 4 4

8 0 5 5 9 2 9 1 2 3 5 7 4 1 7 2 5 6 5 6 9 1 2 5 5 1 8 2 3 4 7 4 2 6 1 4 5 5 2 8 8 1 3 9 1 3 3 5 4 5

4 4 8 1 5 3 7 3 6 0 5 1 3 6 3 2 5 6 8 2 4 7 7 0 4 4 6 7 5 8 3 8 6 1 1 5 5 6 3 6 5 0 7 1 8 7 6 2 7 7

Exemplo: Suponhamos que uma amostra deverá ter 12 elementos deuma população total de 90

indivíduos, e que se tenha escolhidocomeçar na primeira linha da tabela, partindo da esquerda para a

direita. A sequência seria:68, 38, 99, 51, 26, 49, 08, 91, 86, 47, 23, 25, 08, 13, 41, 53, 47, 67, 47, 45,

21, 53, 35, 69, 30.

Destes números sorteados seriam utilizados os 12 primeiros:

68, 38, 51, 26, 49, 08, 86, 47, 23, 25, 13, 41.

2. AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA

Utilizada quandoa população encontra-se dividida em estratos (ou camadas,faixas, intervalos,

etc.).Exemplos de populações divididas em estratos:

Sexo (homem e mulher);

Idade (criança, adolescente, adulto e idoso);

Setores de uma empresa (administração, vendas, tesouraria,serviços gerais, etc.).

Cursos de uma faculdade (C. Contábeis, Administração,Direito, Enfermagem, etc.);

Faixa salarial (até 1 SM, de 1 a 2 SM, de 2 a 4 SM, acima de4 salários-mínimos).


9

Exemplo: Será realizada uma pesquisa, a partir de uma amostra, de 12 pessoas. Essas pessoas

compõem umgrupo de 94 que farão parte de uma expedição naAmazônia, sendo: 45 argentinos, 18

bolivianos e 31colombianos. Determinar a quantidade de pessoas decada nacionalidade que responderá

a pesquisa.

Calcula-se primeiramente percentual da amostra:

% 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 = 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎

𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜× 100 ⇒

12

94× 100 ⇒ % 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 = 12,8%

Estrato

(Nacionalidade)

População Cálculo

proporcional

Valor Amostra

Argentina 45 45 × 12,8% 5,76 6

Boliviana 18 18 × 12,8% 2,304 2

Colombiana 31 31 × 12,8% 3,968 4

Total 94 ------ ----- 12

Obs.: após a escolha da quantidade de elementos porestrato, será utilizado o sorteio (simples ou

TNA) paradeterminar os indivíduos que comporão a amostra.

3. AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA

Novamente é feito o sorteio, sendo que nessa amostragem os elementos da população já se

encontramordenados e, nesses casos, não é necessário se construir umsistema de referência (TNA).

Exemplos de populações ordenadas: fichas individuais deempregados (alfabética), casas de

uma rua (número), notasfiscais (data), etc.

Exemplo: Suponhamos que uma empresa tenha 720 colaboradoresem determinado setor,

dentre os quais se deseja uma amostraformada por 30 destes empregados.

1º) Determinar o intervalo de amostragem.

𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 =𝒑𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂çã𝒐

𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂=

𝟕𝟐𝟎

𝟑𝟎⇒ 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 = 𝟐𝟒

2º) Escolhemos, por sorteio, um número de 01 a 24 (inclusive).

Este número indicará o primeiro elemento da amostra.

3º) Se o primeiro número sorteado for o 5, escolhemos os demaiscolaboradores relacionado

com o primeiro elemento da amostra:

Os demais elementos serão escolhidos, periodicamente, emintervalos de 24 em 24.


10

Exercícios

1. A Prefeitura Municipal de Santarém tem 450 moto-taxistas oficiais.Obtenha uma amostra

representativa (aleatória simples), correspondendo a 4%do total. Utilize a TNA, a partir da 2.ª

linha, da esquerda para a direita.

2. Uma rede de franquia possui 240 pontos, (numerados de 001 até240) em todo território

brasileiro. Desejando-se saber como está o nível desatisfação de seus franqueados, será

realizada uma pesquisa com 20 dessespontos. Determine quais pontos serão selecionados para a

amostra, sendo queo primeiro é o de n.º 7 e que a técnica utilizada é a amostragem sistemática.

3. Suponha que determinada faculdade tenha 5 cursos de graduação,assim distribuídos: 175

alunos em Administração, 153 em Biologia, 141 emContabilidade, 249 em Direito e 295 em

Enfermagem. Uma pesquisa serárealizada com 50 acadêmicos. Determine, pela técnica de

amostragemestratificada, a quantidade de alunos de cada curso que comporão a amostra.

4. Uma empresa apresenta o seguinte quadro de funcionários relativo às suas filiais em seis

diferentes cidades do Pará. Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120

funcionários.

Filial Funcionários Amostra

Homens Mulheres Homens Mulheres

Alenquer 80 95

Itaituba 102 120

Juruti 110 92

Monte Alegre 134 228

Oriximiná 150 130

Santarém 300 290

Total


11

Estatística Gráfica

SÉRIES ESTATÍSTICAS Denominamos série estatística toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados

estatísticos em função da época, do local, ou da espécie.

1. Séries históricas, cronológicas, temporais ou marchas

A série temporal caracteriza-se pela variação do elemento tempo,permanecendo fixos o local e o

fenômeno.

2. Séries geográficas, espaciais, territoriais ou de localização

A série geográfica caracteriza-se pela variação de elemento local permanecendo fixos a época e o

fenômeno.

3. Séries específicas ou categóricas

A série específica caracteriza-se pela variação do fenômeno permanecendo fixos a época e o local.

MATRÍCULAS NO ENSINO SUPERIOR NO

BRASIL (2003)

COBERTURA VACINAL EM

MENORES DE 1 ANO (BRASIL)

AIDS NO MUNDO


12

Gráficos Estatísticos

O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de produzir,

no investigador ou no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo, já que os

gráficos falam mais rápido à compreensão que as séries.

A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer a certos requisitos fundamentais para ser

realmente útil:

a) Simplicidade – o gráfico deve ser destituído de detalhes de importância secundária, assim como de

traços desnecessários que possam levar o observador a uma análise com erros.

b) Clareza – o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do

fenômeno em estudo.

c) Veracidade – o gráfico deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo.

O segredo está na construção da escala dos gráficos e a importância está na aplicação em qualquer área

de estudo.

Na maioria das vezes no eixo “Y” será representada a variável objeto de estudo e no eixo “X” a variável

secundária. Em ambos, devemos criar uma escala constante, ou seja, que apresenta intervalos de mesmo

tamanho para acomodar os dados a serem representados.

O ponto de cruzamento dos eixos “X” e “Y” significa a origem ou ponto de partida dos dados a serem

representados. Quando queremos representar dados com valor inicial elevado ou relacionados à variável tempo,

podemos transferir a origem ou ponto de partida para o valor que queremos, utilizando o recurso chamado de

“quebra” ou “interrupção” do eixo utilizado.

1. Gráfico em linhas ou linear

Este tipo de gráfico se utiliza da linha poligonal para representar a série estatística.

Consideremos a seguinte série:

Os gráficos de linhas são muito utilizados para mostrar a evolução durante um certo período (séries

temporais). O gráfico permite visualizar muito bem o crescimento, o decréscimo ou a estabilidade do objeto a

ser analisado.

MATRICULAS NA

ESCOLA A – 2005-2009

ANOS NÚMERO DE

ALUNOS

2005 486

2006 381

2007 440

2008 350

2009 400

Dados fictícios.

MATRICULAS NA ESCOLA A – 2005-2009

0

100

200

300

400

500

600

2005 2006 2007 2008 2009Anos

Alu

no

s


13

2. Gráfico em colunas ou em barras

É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente (em colunas) ou

horizontalmente (em barras).

Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos

dados.

Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e as alturas são proporcionais aos respectivos

dados.

Assim, estamos assegurando a proporcionalidade entre as áreas dos retângulo e os dados estatísticos.

Exemplos

A- Gráfico em Colunas

Fonte: Ministério da Agricultura

B - Gráfico em Barras

Exportações Brasileiras de Março de 2005

Estados Valor US$ milhões

São Paulo 1.344

Minas Gerais 542

Rio Grande Sul 332

Espírito Santo 285

Paraná 250

Santa Catarina 202

Fonte Secex

3. Gráfico em setores

Anos Qde. (1.000 t )

2009 18.196

2010 11.168

2011 10.468

2012 9.241

PRODUÇÃO BRASILEIRA DE

CARVÃO MINERAL BRUTO

2009-12

0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

14.000

16.000

18.000

20.000

2009 2010 2011 2012

Em

mil t

on

ela

das

Tempo em Anos

ProduçãoBrasileira de Carvão Mineral Bruto

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

São Paulo

Minas Gerais

Rio Grande do Sul

Espírito Santo

Paraná

Santa Catarina

Em milhões de dólares

Exportações Brasileiras Março 2005


14

Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a

participação do dado no total.

O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as partes. Os setores

são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série. Obtemos cada setor através de

uma regra de três simples e direta, lembrando que o total da série corresponde a 360º.

Exemplo:

Dada a série:

Notas:

O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, no máximo, sete dados.

Se a série já apresenta os dados percentuais, obtemos os respectivos valores em graus multiplicando o

valor percentual por 3,6.

4. Gráfico Pictorial – Pictograma

O gráfico de pictorial tem por objetivo despertar a atenção do público em geral, muito desses gráficos

apresentam grande dose de originalidade e de habilidade na arte de apresentação dos dados.


15

5. Cartograma

É a representação de uma carta geográfica. Este tipo de gráfico é empregado quando o objetivo é o de

figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com as áreas geográficas ou políticas. Dados absolutos

(população) – usa-se pontos proporcionais aos dados. Dados relativos (densidade) – usa-se hachaduras.

6. Gráficos de Análise

A. Histograma

O histograma é um gráfico composto por retângulos justapostos em que a base de cada um deles

corresponde ao intervalo de classe e a sua altura à respectiva freqüência. Quando o número de dados aumenta

indefinidamente e o intervalo de classe tende a zero, a distribuição de freqüência passa para uma distribuição de

densidade de probabilidades. A construção de histogramas tem caráter preliminar em qualquer estudo e é um

importante indicador da distribuição de dados. Podem indicar se uma distribuição aproxima-se de uma função

normal, como pode indicar mistura de populações quando se apresentam bimodais.


16

B. Polígono de Frequência

É um gráfico de linha, mas nem todos os gráficos de linha são polígonos de frequências. Neste gráfico

associamos cada ponto médio à sua respectiva frequência. O ponto médio é registrado no eixo das abscissas e

a respectiva frequência simples/relativa no das ordenadas. Os segmentos de reta que ligam tais pontos

definem o polígono de frequências abaixo.

Salários dos Funcionários da Empresa Daves Keller

Março/2007 – BH – Em Reais

C. Ogiva de Galton

A ogiva utiliza os pontos extremos das classes e é usado em frequências acumuladas. Tal gráfico pode

fornecer informações adicionais por meio de simples operações gráficas.

Exercícios

1. Classifique as séries:


17

a) Instalação e densidade de linhas STFC

(serviço Telefônico Fixo Comutado)

b) Disseminação da televisão no Brasil em 1997

c) Multilinguismo na Internet (ranking das línguas

faladas)

d) Exportações Brasileira 1985 - 1990 - 1995

2. Montar uma série cronológica para representa a quantidade de alunos matriculados no ensino

fundamental no Brasil nos anos de 2006 a 2012 em milhares de alunos, segundo dados fornecidos pelo

SEEC-MEC (Serviço de Estatística da Educação e Cultura do MEC): 19.720, 20.567, 21.473, 21.887,

22.598, 22.473 e 23.564.

3. Representar os dados numa série estatística. No ano de 2005, foram feitas 627 matrículas na Escola

Rural, em 2006, 813 e em 2007, 849. Em 2005, 595 eram brasileiros, dos quais 185 mulheres, sendo

que havia apenas 5 moças estrangeiras. Em 2006 foram matriculados 56 estrangeiros, dos quais apenas

12% eram mulheres; dos brasileiros matriculados nesse ano, haviam 204 mulheres. Em 2007, dos 849

alunos não havia nenhuma moça estrangeira, mas dos 797 brasileiros, 185 eram do sexo feminino.

4. Verificou-se, em 2003, o seguinte movimento de importação de mercadorias: 14.839.804 t, oriundas da

Arábia Saudita, no valor de US$ 1.469.104.000; 10.547.889 t, dos Estados Unidos, no valor de US$


18

6.034.946.000; e 561.024 t, do Japão, no valor de US$ 1.518843.000. Confeccione a série

correspondente e classifique-a, sabendo que os dados acima foram fornecidos pelo Ministério da

Fazenda.

5. Represente a série abaixo usando o gráfico em linha:

6. Represente as tabelas usando o gráfico em colunas

7. Usando o gráfico de barras, represente as tabelas:


19

Distribuição de Frequência

A tabela que mostra a variável e suas realizações com as frequências absoluta e relativa são chamadas

distribuição de frequência.

Dados brutos: É o conjunto de dados numéricos obtidos e que ainda não foram organizados.

Rol: é o arranjo de dados numéricos em ordem crescente e deve ser feito nas variáveis quantitativas.

Frequência absoluta (f): é a quantidade de vezes que cada valor é observado na amostra.

Frequência relativa (fr): é o valor que registra a frequência absoluta em relação ao total de

elementos da amostra. É apresentada na forma de porcentagem.

Exemplo:

Os dados abaixo referem-se ao número de horas gastas por jovens assistindo a programas de TV durante um

final de semana.

6 8 2 7 10 5 6 7 2 10 6 8 7 7 6

5 2 7 8 10 8 7 7 7 6 10 5 5 5 5

Para fazer o Rol, ordenamos os dados em ordem crescente:

2 2 2 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7

7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 10 10 10 10

Vamos construir a tabela de distribuição de frequência:

Tempo (em horas) Frequência (f) Frequência relativa (fr) %

2 3 10%

5 6 20%

6 5 16,67%

7 8 26,67%

8 4 13,33%

10 4 13,33%

TOTAL 30 100%

Exercícios

1. As estaturas, em centímetros, de alguns jogadores são:

170 180 182 185 182 185 187 185 187 183 183 185 190 190 180 182 185 187

Usando essas informações, faça o rol, construa uma tabela de distribuição de frequência e responda:

a. Qual é a maior frequência absoluta registrada?

b. Qual é a altura que apresenta a menor frequência relativa?

2. Considere os faturamentos, em milhões de reais, de algumas empresas brasileiras.

191 230 191 230 145 150 150 150 191 230 145 150 145 191 130

145 150 191 191 230 230 145 130 130 145 130 130 130 130 130

Elabore uma tabela de distribuição de frequência com a frequência relativa e responda:

Atenção:

Para calcular a frequência

relativa, em porcentagem,

pode-se usar a seguinte

fórmula: 100total

ffr


20

a. Qual o faturamento que apresentou a maior frequência relativa?

b. Qual é a frequência relativa do maior faturamento registrado?

c. Qual faturamento apresentou menor frequência absoluta?

d. Quantas empresas obtiveram faturamento maior ou igual a 150 milhões de reais?

3. Uma emissora de rádio realizou uma pesquisa de opinião pública para conhecer o gênero musical preferido

dos moradores de uma cidade. Para isso, foram consultadas 1200 pessoas.

Gênero musical Pessoas

Rock 200

Samba 350

MPB 150

Sertanejo 100

Pop 250

Axé 150

4. A tabela de distribuição de frequência abaixo refere-se às notas obtidas em uma avaliação de Matemática

realizada por 40 alunos de uma determinada escola.

Nota Frequência relativa

3,0 10%

5,5 20%

6,0 15%

7,0 25%

8,5 17,5%

10,0 12,5%

Distribuição de Frequência para Dados Agrupados por Intervalos de Classes Quando a variável estudada apresenta muitos valores diferentes é conveniente agrupá-los em intervalos

ou classes.

Classe: são intervalos de variação da variável. As classes são representadas simbolicamente por i e k é o

número total de classes da distribuição.

Limites de classe: são os extremos de cada classe.

o Limite inferior da classe: é o menor número - ℓi

o Limite superior da classe: é o maior número - Li

a. Determine a frequência relativa, em porcentagem, para

essa situação.

b. Segundo a pesquisa, qual o gênero musical preferido?

c. Qual a frequência relativa correspondente às pessoas que

preferem samba?

d. Qual o gênero musical que corresponde à menor frequência

absoluta?

a. Determine a frequência absoluta para cada

situação.

b. Quantos alunos obtiveram nota maior que 7,0?


21

Amplitude de um intervalo de classe: é a medida do intervalo que define a classe. hi = Li - ℓi

Amplitude total da distribuição (AT): é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite

inferior da primeira classe. AT = L(max.) - ℓ(min.)

Amplitude amostral (AA): é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra.

O símbolo |—: indica intervalo fechado à esquerda e aberto à direita.

Número de classes

Para a determinação do número de classes de uma distribuição podemos utilizar a seguinte regra:

Ni log3,31 Onde: i é o número de classes

n é o número total de dados

Decidido o número de classes que deve ter a distribuição, resta-nos definir a amplitude do intervalo de

classe, o que conseguimos dividindo a amplitude total pelo número de classes:

i

ATh , ou seja,

i

Lh

(min)(max)

Quando o resultado não é exato, devemos arredondá-lo para mais.

FREQUÊNCIAS ACUMULADAS

Frequência absoluta acumulada (Fa): é a soma da frequência absoluta do elemento considerado com

todas as anteriores.

Frequência relativa acumulada (Fra): é a soma da frequência relativa do elemento considerado com todos

os anteriores.

Exemplo: Vejamos como podemos organizar o tempo, em minutos, obtidos por 40 atletas numa corrida.

54 55 53 40 41 55 58 47 49 49 40 42 30 32 33 40 38 37 46 51

54 55 57 43 47 31 34 35 36 37 44 48 52 56 59 47 50 58 39 40

Rol:

30 31 32 33 34 35 36 37 37 38 39 40 40 40 40 41 42 43 44 46

47 47 47 48 49 49 50 51 52 53 54 54 55 55 55 56 57 58 58 59

Número de classes: 629,640log3,31log3,31 Ni

Amplitude total = AT = L(max.) - ℓ(min.)= 59 – 30 = 29

Amplitude intervalar = 6

29

i

ATh 583,4 .

Vamos construir a tabela de distribuição de frequência com as frequências acumuladas:


22

Tempo

(em minutos) f Fa fr Fra

30 |— 35 5 5 12,5% 12,5%

35 |— 40 6 11 15% 27,5%

40 |— 45 8 19 20% 47,5%

45 |— 50 7 26 17,5% 65%

50 |— 55 6 32 15% 80%

55 |— 60 8 40 20% 100%

TOTAL 40 --- 100% ---

Exercícios

5. Considere as notas obtidas por 40 candidatos para o preenchimento de cargos escriturários.

8,0 7,0 5,5 0,5 7,0 4,0 1,0 6,5 8,5 6,0 4,5 5,0 7,0 5,0 7,0 8,0 1,5 6,5 9,5 6,5

2,5 5,5 7,0 4,0 5,5 6,0 6,5 9,0 4,5 9,0 2,5 6,5 3,5 5,0 8,0 7,5 4,5 6,5 3,0 3,5

Elabore uma tabela de distribuição de frequência com valores em classe e as frequências acumuladas.

6. A massa, em quilogramas, de 50 jovens que frequentam uma academia de ginástica, foi registrada a seguir.

40 40 42 43 43 43 44 44 47 47 48 48 49 49 49 49 49

50 50 51 51 51 52 53 53 55 55 56 56 56 56 57 57 57

58 58 60 60 60 60 62 62 62 63 63 65 66 67 68 69

Elabore uma tabela de distribuição de frequência com valores em classe e as frequências acumuladas.

7. Organize os dados abaixo em uma tabela de distribuição de frequência, contendo o intervalo de classe, a

frequência absoluta, a frequência acumulada, a frequência relativa e a frequência relativa acumulada.

20,4 22,3 23,1 23,5 23,8 24,1 24,3 24,3 24,6

25,0 25,1 25,3 25,3 25,4 25,6 25,7 25,7 25,8

26,0 26,0 26,1 26,2 26,2 26,3 26,5 26,6 26,7

26,8 27,1 27,1 27,3 27,7 27,9 28,0 28,3 28,7


23

Mais Exercícios

1. Diga qual tipo de variáveis estamos trabalhando nos casos abaixo:

a) Número de inscrições no Seguro Social

b) Uma pesquisa efetuada com 1015 pessoas indica que 40 delas são assinantes de um serviço de

computador on-line

c) Cada cigarro Camel tem 16,13mg de alcatrão

d) O radar indique que Nolan Ryan rebateu a ultima bola a 82,3mi/h

e) O tempo gasto para uma pessoa fazer uma viagem de carro de Brasília até Belo Horizonte é de

aproximadamente 8:00h a uma velocidade média de 93,75km/hs

2. Um dado foi lançado 42 vezes e foram registrados os seguintes resultados

1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4

4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6

Construa uma distribuição de frequência sem intervalo de classe e determine as frequências absolutas,

relativas e acumuladase responda:

a. Qual a frequência relativa para 3 pontos?

b. Qual é a frequência absoluta para 4 pontos?

3. Dado o rol de medidas das alturas (dadas em cm) de uma amostra de 100 indivíduos de uma faculdade:

calcule:

a. o número de classes;

b. a amplitude total;

c. a amplitude intervalar;

d. Construa uma distribuição de frequência com intervalo de classe e determine as frequências absolutas,

relativas e acumuladas.

4. Considere a seguinte distribuição de frequência correspondente aos diferentes

preços de um determinado produto em vinte lojas pesquisadas.

a. Quantas lojas apresentaram um preço de R$ 52,00?

b. Construa uma tabela de frequências simples relativas.

c. Construa uma tabela de frequências absolutas acumuladas.

Preços No. De lojas

50 2

51 5

52 6

53 6

54 1

Total 20

151 152 154 155 158 159 159 160 161 161

161 162 163 163 163 164 165 165 165 166

166 166 166 167 167 167 167 167 168 168

168 168 168 168 168 168 168 168 169 169

169 169 169 169 169 170 170 170 170 170

170 170 171 171 171 171 172 172 172 173

173 173 174 174 174 175 175 175 175 176

176 176 176 177 177 177 177 178 178 178

179 179 180 180 180 180 181 181 181 182

182 182 183 184 185 186 187 188 190 190192


24

d. Quantas lojas apresentaram um preço de até R$ 52,00 (inclusive)?

e. Qual o percentual de lojas com preço maior de que R$51,00 e menor de que R$ 54,00?

5. Construa uma tabela para mostrar que, em determinado curso, o número de alunos matriculados nas 1ª , 2

ª e

3ª séries era, respectivamente, 40, 35 e 29 em 1997 e 42, 36 e 32 em 1998 e classifique a série.

6. Construa uma tabela para mostrar que, de acordo com a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios,

PNAD, em 1992 havia no Brasil 73,1 milhões de pessoas com renda familiar mensal até 330 reais (pobres e

miseráveis), 45 milhões de pessoas com renda familiar mensal de 330 reais até 1300 reais (emergentes) e

13,6 milhões de pessoas com renda familiar mensal acima de 1300 reais (classe média e ricos). Apresente,

também, percentuais.

7. Classifique as séries:

a.

PRODUÇÃO DE BORRACHA

NATURAL 2001-03

ANOS TONELADAS

2001

2002

2003

29.543

30.712

40.663

FONTE: IBGE.

b.

AVICULTURA BRASILEIRA - 2009

ESPÉCIES NÚMERO

(1.000 CABEÇAS)

Galinhas

Galos, frangos e pintos

Codornas

204.160

435.465

2.488

FONTE: IBGE.

c.

VACINAÇÃO CONTRA A

POLIOMELITE - 2007

REGIÕES QUANTIDADE

Norte

Nordeste

Sudeste

Sul

Centro-Oeste

211.209

631.040

1.119.708

418.785

185.823

FONTE: Ministério da Saúde.

d.

PRODUÇÃO BRASILEIRA DE AÇO BRUTO

2008-2010

PROCESSOS QUANTIDADE (1.000 t)

2008 2009 2010

Oxigênio básico

Forno elétrico

EOF

17.934

4.274

409

18.849

4.637

448

19.698

5.065

444

FONTE: Instituto Brasileiro de Siderurgia.


25

Medidas de Posição

O estudo que fizemos sobre distribuição de frequência, até agora, permite-nos descrever, de modo geral,

os grupos dos valores que uma variável pode assumir.

Para ressaltar as tendências características de cada distribuição, isoladamente, ou em confronto com

outras, necessitamos introduzir conceitos que se expressem através de números, que nos permitam traduzir essas

tendências. Esses conceitos são denominados elementos típicos da distribuição.

Um dos elementos típicos são as medidas de posição que se subdividem em:

Medidas de tendência central:média aritmética,mediana emoda;

Separatrizes: própria mediana, quartis e percentis.

Média Aritmética x

Média aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles:

n

xx

i

Sendo:

valores.de número o :

variável;da valoresos :

;aritmética média a :

n

x

x

i

A média é utilizada quando:

Desejamos obter a medida de posição que possui a maior estabilidade;

Houver necessidade de um tratamento algébrico imediato.

1. Dados não-agrupados

Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados, determine a média aritmética simples.

Exemplo:

Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12

litros, temos, para produção média da semana:

147

98

7

12181615131410

n

xx

i

Logo: litros 14x

2. Dados agrupados

2.1. Sem intervalos de classe

Consideramos a seguinte distribuição de frequência com a variável “número de filhos” de 34 famílias:


26

Nº de filhos if

0 2

1 6

2 10

3 12

4 4

Total 34

Nesse caso, precisamos calcular a média aritmética ponderada pela fórmula:

i

ii

f

fxx

O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela, uma coluna correspondente aos

produtos ii fx :

Logo:

29,234

78

i

ii

f

fxx

2.2. Dados agrupados com intervalos de classe

Nesse caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe

coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:

i

ii

f

fxx Onde: xi é o ponto médio da classe.

Consideramos a seguinte distribuição de frequência:

Vamos, inicialmente, abrir uma coluna para os pontos médios (xi) e outra para aos produtos ii fx :

Nº de filhos if ii fx

0 2 0

1 6 6

2 10 20

3 12 36

4 4 16

Total 34 78

Estaturas (cm) if

150 ├ 154 4

154 ├ 158 9

158 ├ 162 11

162 ├ 166 8

166 ├ 170 5

170 ├ 174 3

Total 40 if


27

Estaturas (cm) if ix

ii fx

150 ├ 154 4 152 608

154 ├ 158 9 156 1404

158 ├ 162 11 160 1760

162 ├ 166 8 164 1312

166 ├ 170 5 168 840

170 ├ 174 3 172 516

Total 40 if ___ 6440 ii fx

Logo: 16140

6440

i

ii

f

fxx cm

Exercícios:

1. João deseja calcular a média das notas que tirou em cada uma das quatro matérias a seguir.

Inglês: 6,5 – 7,8 – 8,0 – 7,1

Português: 7,5 – 6,9 – 7,0 – 8,2

História: 5,4 – 8,3 – 7,9 – 7,0

Matemática: 8,5 – 9,2 – 9,6 – 10,0

2. Calcule a média dos seguintes conjuntos de valores:

a) 3 -3 5 1 4 9 2 - 4 0 10 5

b) 11 8 15 19 6 15 13 21

c) 1 3 3 5 1 2 4

3. Uma companhia aérea, a pedido de um engenheiro da aeronáutica, registrou os tempos de dez voos (até a

parada total) entre São Paulo e Rio de Janeiro. Os tempos registrados (em minutos) são dados a seguir:

48 – 51 – 49 – 51 – 50 – 50 – 53 – 52 – 48 – 50

Calcule o tempo médio de voo entre as duas cidades.

4. Complete o esquema para o cálculo da média da distribuição e calcule a média:

ix if ii fx

1 2

2 4

3 6

4 8

5 3

6 1

Total if ii fx


28

5. Quer se estudar o número de erros de impressão de um livro. Para isso escolheu-se uma amostra de

50páginas, encontrando-se o seguinte número de errospor página:

Qual o número médio de erros por página?

6. Calcule a média das seguintes distribuições de frequência.

a. b.

7. Encontre a média para o salário destes funcionários.

Salários semanais para 100 operários

não especializados

Salários semanais fi xi xi.fi

140 |-- 160 7

160 |-- 180 20

180 |-- 200 33

200 |-- 220 25

220 |-- 240 11

240 |-- 260 4

Total 100

8. Encontre a média das notas na disciplina de Programação I.


ii fx

450 ├ 550 8

550 ├ 650 10

650 ├ 750 11

750 ├ 850 16

850 ├ 950 13

950 ├ 1050 5

1050├ 1150 1

Total

Classes if ix

ii fx

30 ├ 50 2

50 ├ 70 8

70 ├ 90 12

90 ├ 110 10

110 ├ 130 5

Total


29

Moda (Mo)

Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores.

A moda é utilizada quando:

Desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição;

Quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.

Dados não-agrupados

Quando lidamos com valores não-agrupados, a moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com a

definição, procurar o valor que mais se repete.

A série de dados: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 tem moda igual a 10. 10 Mo

Podemos, entretanto, encontrar séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor

apareça mais vezes que outros. É o caso da série: 3, 5, 8, 10, 12, 13, que não apresenta moda (amodal).

Em outros casos, ao contrário, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a

série tem dois ou mais valores modais. Na série: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, temos duas modas: 4 e 7

(bimodal).

Dados agrupados

Sem intervalos de classe

Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da

variável de maior frequência.

Na distribuição a seguir, à frequência máxima (12) corresponde o valor 3 na variável.

Logo, 3Mo

Com intervalos de classe

Notas fi xi xi.fi

5 |-- 6 18

6 |-- 7 15

7 |-- 8 12

8 |-- 9 03

9 |--10 02

Total

Nº de filhos if

0 2

1 6

2 10

3 12

4 4

Total 34


30

A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar

que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal.

Para obter a moda utilizamos a fórmula de Czuber.

Fórmula de Czuber:

21

1

DD

hDMo

Na qual:

postffD

antffD

h

i

i

:

:

modal; classe da amplitude a é:

modal; classe dainferior limite o é:

2

1

Sendo:

modal classe àposterior classe da simples frequência a é :)(

modal. classe àanterior classe da simples frequência a é :)(

modal; classe da simples frequência a é :

postf

antf

f i

Assim, para a distribuição:

Estaturas (cm) if

150 ├ 154 4

154 ├ 158 9

158 ├ 162 11

162 ├ 166 8

166 ├ 170 5

170 ├ 174 3

Total 40 if

Temos:

29111 D e 38112 D

Donde: 6,1596,11585

8158

32

42158

21

1

DD

hDMo

Logo: 6,159Mo

Exercícios:

1. Determine a moda para os conjuntos abaixo:

a) X= {2, 3, 4, 3, 7, 8, 9, 14}.

b) Y= {2, 4, 6, 2, 8, 4, 10}.

c) Z= {32, 56, 76, 4, 8, 97}.

2. Considere as seguintes distribuições de frequênciae determine a média e a moda em cada caso:

a. b.

Peso (kg) if


31

3. Considerando a distribuição de frequência relativa ao salário, em salários mínimos, de professores de um

colégio, determine:

a) A Média salarial

b) A Moda pela fórmula de Czuber.

4. A distribuição de frequência abaixo refere-se a nota final obtida por alunos de estatística. Determine:

a) A Média das notas

b) A Moda pela fórmula de Czuber.

Mediana(Md) A mediana é outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série

de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de

50 5

52 7

54 9

58 2

60 6

62 3

Total

Altura (cm) if

150 5

155 8

160 10

165 9

170 4

175 2

Total

Salários R$ if

0├ 2 10

2├ 4 16

4├ 6 24

6├ 8 29

8├ 10 13

10 ├ 12 8

Total

Nota if

0├ 2 4

2├ 4 10

4├ 6 14

6├ 8 22

8├ 10 16

Total


32

valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em

dois subconjuntos de mesmo número de elementos.

Dados não-agrupados

Dada uma série de valores, como, por exemplo: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9

De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou

decrescente) dos valores: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18

Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de elementos à direita e à

esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o 10, já que, nessa série, há quatro elementos acima dele e quatro

abaixo.

Temos, então:

Md = 10

Se, porém, a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição, o ponto médio

doas dois valores centrais da série.

Assim, a série de valores: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21

Tem para mediana a média aritmética entre 10 e 12.

Logo, 112

22

2

1210

Md

Para encontrar o valor mediano, devemos ordenar os dados e aplicar a fórmula para termos a localização

do valor, considerando n como o número de elementos da série:

Dados agrupados – Sem intervalos de classe

Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos, é dada por:

2

i

m

fE

Basta identificar a frequência acumulada imediatamente superior a metade da soma das frequências. A

mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal frequência acumulada.

Nº de filhos if FA

0 2 2

1 6 8

2 10 18

3 12 30

4 4 34

Total 34 ----

Sendo: 172

34

2

i

m

fE .

A menor frequência acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao valor 2 da variável,

sendo este o valor mediano. Logo: Md = 2 filhos.


33

Com intervalos de classe

Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a

mediana. E, assim, executamos os seguintes passos:

1º. Determinamos as frequências acumuladas.

2º. Calculamos 2

i

m

fE .

3º. Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente superior à 2

i

m

fE -

classe mediana – e, em seguida, empregamos a fórmula:

classe

m

fi

hantFAEMd

Tomando como exemplo a seguinte distribuição, temos:

202

40

2

i

m

fE

Logo,

4

11

13

20

158

h

fi

antFA

E

classe

m

Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

Estaturas (cm) if FA

150 ├ 154 4 4

154 ├ 158 9 13

158 ├ 162 11 24 ← Classe mediana

162 ├ 166 8 32

166 ├ 170 5 37

170 ├ 174 3 40

Total 40 if

Na qual:

mE é o resultado de

2

i

m

fE

é o limite inferior da classe mediana;

antFA é a frequência acumulada da classe anterior

à classe mediana;

classefi é a frequência simples da classe mediana;

h é a amplitude do intervalo da classe mediana.


34

55,16055,2158

11

28158

11

41320158

classe

m

fi

hantFAEMd

Isto é, cmMd 55,160

Exercícios:

1. Calcule a mediana dos seguintes conjuntos:

a. 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6, 7, 11, 10

b. 20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7, 12, 11

c. 51,6; 48,7; 50,3; 48,5; 49,9

d. 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14

2. Calcule a mediana das seguintes distribuições:

3. Calcule a mediana das seguintes distribuições de frequências com intervalos de classe:

ix if

2 3

4 7

6 12

8 8

10 4

Total

ix if

0 2

1 5

2 8

3 8

4 6

5 3

Total

Classes if

450 ├ 550 8

550 ├ 650 10

650 ├ 750 11

750 ├ 850 16

850 ├ 950 13

950 ├ 1050 5

1050├ 1150 1

Total

a.

a.

b.


35

4. Abaixo são relacionados os salários semanais (em Reais) de 60 operários de uma fábrica de sapatos.

110 117 120 125 130 140 145 150 158 165 170 175 180 180 190

110 117 120 125 135 140 145 150 158 165 170 175 180 185 195

115 120 120 130 136 140 145 150 160 168 172 175 180 185 195

115 120 123 130 140 142 147 155 163 168 172 178 180 187 199

a) Construir uma distribuição de frequências com intervalos.

b) Calcule a média.

c) Calcule a moda pela fórmula de Czuber.

d) Calcule a mediana.

AS SEPARATRIZES Além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas individualmente, não são

medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica, já que se

baseia na sua posição na série.

Os Quartis

Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.

Há, portanto, três quartis:

Q1 – primeiro quartil: valor situado na série que equivale a 25% dos dados.

Q2– segundo quartil: valor situado na série que equivale a 50% dos dados, coincide com a mediana.

Q3– terceiro quartil: valor situado na série que equivale a 75% dos dados.

Quando os dados são agrupados, para determinar os quartis usamos a mesma técnica do cálculo da

mediana, utilizando a seguinte fórmula:

Classes if

0 ├ 10 1

10 ├ 20 3

20 ├ 30 9

30 ├ 40 7

40 ├ 50 4

50├ 60 2

Total

b.


36

classe

q

kfi

hantFAEQ

Os Percentis

Denominamos percentis os noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais.

Para determinar os percentis usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, utilizando a seguinte

fórmula:

classe

p

kfi

hantFAEP

Exemplo: Considere a seguinte distribuição:

a. Calcule o primeiro quartil.

1º quartil→ 104

40

4

1

i

q

fE

7,1567,2154

9

24154

9

44101541

classe

q

fi

hantFAEQ

b. Calcule o terceiro quartil.

3º quartil→ 304

120

4

3

i

q

fE

1653162

8

24162

8

424301623

classe

q

fi

hantFAEQ

c. Calcule o oitavo percentil.

8º Percentil→ 2,3100

320

100

8

i

p

fE

2,1532,3150

4

8,12150

4

402,31508

classe

p

fi

hantFAEP

Classes if FA

150 ├ 154 4 4 ← 8º Percentil

154 ├ 158 9 13 ← 1º Quartil

158 ├ 162 11 24

162 ├ 166 8 32 ← 3º Quartil

166 ├ 170 5 37

170 ├ 174 3 40

Total 40

Sendo:

4

iq

fkE

para localizar a classe do quartil

k o número de ordem do quartil.

Sendo:

100

ip

fkE

para localizar a classe do percentil

k o número de ordem do quartil.


37

Exercícios:

1. Calcule o que se pede de cada distribuição seguinte:

a. O primeiro quartil

b. A mediana

c. O terceiro quartil

d. O 40º percentil

e. O 95º percentil

Classes if

30 ├ 50 2

50 ├ 70 8

70 ├ 90 12

90 ├ 110 10

110 ├ 130 5

Total

Classes if

450 ├ 550 9

550 ├ 650 3

650 ├ 750 4

750 ├ 850 7

850 ├ 950 11

950 ├ 1050 13

1050├ 1150 5

Total


38

Mais Exercícios

1. Considerando os conjuntos de dadoscalcule a média, a moda e a mediana:

a. 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6

b. 20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7

2. Considerando as seguintes distribuições calcule a média, a moda pela fórmula de Czuber e a mediana:

a. b.

3. Considerando as seguintes distribuições calcule a média, a moda pela fórmula de Czuber, a mediana, os

quartise o10º percentil:

Medidas de Dispersão ou de Variabilidade

xi if ii fx FA

11 11

13 10

15 9

17 6

19 12

20 8

Total

xi if ii fx FA

100 5

120 7

140 9

160 1

180 5

Total

Estaturas if ix

ii fx FA

150 ├ 158 5

158 ├ 166 12

166 ├ 174 18

174 ├ 182 27

182 ├ 190 8

Total --- ---


39

É a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência

central (média ou mediana) tomado como ponto de comparação.

A média - ainda que considerada como um número que tem a faculdade de representar uma série de

valores - não pode, por si mesma, destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os

valores que compõem o conjunto.

Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, Y e Z:

X = {70, 70, 70, 70, 70}

Y = {68, 69, 70 ,71 ,72}

Z = {5, 15, 50, 120, 160}

Observamos então que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética = 350/5 = 70.

Entretanto, é fácil notar que o conjunto X é mais homogêneo que os conjuntos Y e Z, já que todos os

valores são iguais à média. O conjunto Y, por sua vez, é mais homogêneo que o conjunto Z, pois há menor

diversificação entre cada um de seus valores e a média representativa.

Concluímos então que o conjunto X apresenta dispersão nula e que o conjunto Y apresenta uma

dispersão menor que o conjunto Z.

Desvio padrão É a medida de dispersão mais geralmente empregada, pois leva em consideração a totalidade dos valores

da variável em estudo. É um indicador de variabilidade bastante estável. O desvio padrão baseia-se nos desvios

em torno da média aritmética e a sua fórmula básica pode ser traduzida como: a raiz quadrada da média

aritmética dos quadrados dos desvios e é representada por S .

Desvio padrão para dados não agrupados

Sejam os valores x1, x2, x3, ..., xn e 𝑥 a sua média aritmética. Os desvios entre esses valores e sua média,

elevando-se ao quadrado e somando-os teremos:

𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐𝒏

𝒊=𝟏

, onde 𝒙𝒊 − 𝒙 = 𝒅𝒊

Dividindo-se a soma dos desvios pelos números de elementos e extraindo a raiz quadrada temos:

𝑺 = 𝒅𝒊

𝟐

𝒏

Exemplo:

1. Para calcular o desvio padrão da série Z = {5, 15, 50, 120, 160}, vamos seguir os passos:

1º) Calcular a média: 𝑥 =5+15+50+120+160

5=

350

5= 70

2º) Completar a tabela:

xi di= xi - 𝑥 di²

5 -65 4225

15 -55 3025


40

50 -20 400

120 50 2500

160 90 8100

Total 18250

3º) Aplicar a fórmula:𝑺 = 𝒅𝒊𝟐

𝒏=

𝟏𝟖𝟐𝟓𝟎

𝟓= 𝟔𝟎, 𝟒𝟐

O desvio padrão só pode assumir valores positivos. Quanto maior for o valor, maior será o grau de

dispersão ou a variabilidade dos pontos em torno da media.

Desvio padrão para dados agrupados

Sejam os valores x1, x2, x3, ..., xn, com as respectivas frequências f1, f2, f3, ..., fn, cuja a média aritmética é

𝑥 . A fórmula é obtida de modo análogo a anterior, levando em consideração as frequências repetidas.

𝑺 = 𝒅𝒊

𝟐 ∙ 𝒇𝒊

𝒇𝒊

Exemplos:

2. Na distribuição com dados agrupados sem intervalos seguimos da seguinte forma:

Abrir na tabela dada, uma coluna para os produtos ii fx ,para calcularmos a média, outra para di= xi - 𝑥 e

outra para di² . fi. Assim:

1º) Calcular a média: 𝑥 = 𝑥𝑖

𝑓𝑖=

63

30= 2,1

2º) Aplicar a fórmula:𝑺 = 𝒅𝒊

𝟐∙𝒇𝒊

𝒇𝒊=

𝟑𝟐,𝟕

𝟑𝟎= 𝟏, 𝟎𝟒

3. Na distribuição com dados agrupados com intervalos seguimos da seguinte forma:


ii fx di= xi - 𝒙 di² . fi

150 ├ 154 4 152 608 -9 324

xi fi xi. fi di= xi - 𝒙 di² . fi

0 2 0 -2,1 8,82

1 6 6 -1,1 7,26

2 12 24 -0,1 0,12

3 7 21 0,9 5,67

4 3 12 1,9 10,83

Total 30 63 32,7


41

154 ├ 158 9 156 1404 -5 225

158 ├ 162 11 160 1760 -1 11

162 ├ 166 8 164 1312 3 72

166 ├ 170 5 168 840 7 245

170 ├ 174 3 172 516 11 363

Total 40 ___ 6440 ___ 1240

1º) Calcular a média: 𝑥 = 𝑥𝑖

𝑓𝑖=

6440

40= 161

2º) Aplicar a fórmula:𝑺 = 𝒅𝒊

𝟐∙𝒇𝒊

𝒇𝒊=

𝟏𝟐𝟒𝟎

𝟒𝟎= 𝟓, 𝟓𝟕

Coeficiente de variação Uma pergunta que pode surgir é: O desvio padrão calculado é grande ou pequeno?

Esta questão é relevante por exemplo, na avaliação da precisão de métodos. Um desvio padrão pode ser

considerado grande ou pequeno dependendo da ordem de grandeza da variável. Uma maneira de se expressar a

variabilidade dos dados tirando a influência da ordem de grandeza da variável é através do coeficiente de

variação, definido por:

100x

SCV

Assim, podemos classificar uma distribuição de frequência utilizando os critérios:

Baixa dispersão:𝐶𝑉 ≤ 15%

Média dispersão:15% < 𝐶𝑉 < 30%

Alta dispersão:𝐶𝑉 ≥ 30%

Exemplos:

Utilizando os exemplos anteriores, temos:

1. No exemplo 1, a média é 𝑥 = 70 e o desvio padrão é S = 60,42, portanto temos:

%31,8610070

42,60100

x

SCV Alta dispersão

2. No exemplo 2, a média é 𝑥 = 2,10 e o desvio padrão é S = 1,04, portanto temos:

%52,4910010,2

04,1100

x

SCV Alta dispersão

3. No exemplo 3, a média é 𝑥 = 161 e o desvio padrão é S = 5,57, portanto temos:

%46,3100161

57,5100

x

sCV Baixa dispersão

Exercícios:

1. Calcule a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação das seguintes distribuições:

ix if xi. fi di= xi - 𝒙 di² . fi


42

2. Calcule a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação das seguintes distribuições de frequências com

intervalos de classe:

3. Em um exame final de Matemática, a

média de um grupo de 150 alunos foi de

2 3

4 7

6 12

8 8

10 4

Total

ix if xi. fi di= xi - 𝒙 di² . fi

0 2

1 5

2 9

3 7

4 6

5 3

Total

Classes if ix ii fx di= xi - 𝒙 di² . fi

45 ├ 55 8

55 ├ 65 10

65 ├ 75 11

75 ├ 85 16

85 ├ 95 13

95 ├ 105 5

105├ 115 1

Total

Classes if ix

ii fx di= xi - 𝒙 di² . fi

0 ├ 10 1

10 ├ 20 3

20 ├ 30 9

30 ├ 40 7

40 ├ 50 4

50├ 60 2

Total

a.

b.

b.

a.


43

7,8 e o desvio padrão, 0,80. Em Estatística, entretanto, a média final foi 7,3 e o desvio padrão, 0,76. Em que

disciplina foi maior a dispersão?

4. Medidas as estaturas de 1.017 indivíduos, obtivemos 2,162x cm e 01,8S cm. O peso médio desses

mesmos indivíduos é 52 kg, com um desvio padrão de 2,3 kg. Esses indivíduos apresentam maior

variabilidade em estatura ou em peso?

Exercícios de Revisão:

5. Abaixo é dada a distribuição dos salários dos executivos da empresa “Metalúrgica Alfa”:

Determinar:

a. A média

b. O 1º quartil

c. A mediana

d. O 3º quartil

e. O 85º percentil

f. O desvio padrão

g. O coeficiente de variação.

6. Seja a distribuição:

Salários (mil R$) if FA ix ii fx di= xi - 𝒙 di² . fi

0 ├ 5 10

5├ 10 15

10 ├ 15 9

15 ├ 20 6

20 ├ 25 5

Total


44

Determinar:

a. A média

b. O 1º quartil

c. A mediana

d. O 3º quartil

e. O 95º percentil

f. O desvio padrão

g. O coeficiente de variação.

Análise de Regressão

Um dos maiores problemas para o investigador de fenômenos humanos ou físicos é o estabelecimento

de um modelo matemático que descreva e explique o fenômeno ocorrido na vida real, com boa aproximação.

A busca de uma relação funcional entre as variáveis observadas que descrevem o fato é uma tarefa de

muitos profissionais em qualquer área de estudo. Assim, o pediatra tem interesse em estabelecer uma relação

funcional entre peso e altura dos bebês. O economista busca uma função que explique o comportamento das

vendas em função do preço. O administrador precisa de uma função que descreva os custos de um produto,

quando as quantidades variam. O engenheiro quer saber relação entre a resistência do concreto e a razão

água/cimento.

Diagrama de Dispersão Consideremos uma amostra aleatória, formada por dez dos 98 alunos de uma classe da faculdade A e

pelas notas obtidas por eles em Matemática e Estatística.

Batim. Cardíacos/

minuto if FA ix ii fx di= xi - 𝒙 di² . fi

90 ├ 110 25

110├ 130 18

130 ├ 150 12

150 ├ 170 5

170 ├ 190 2

Total


45

Representando, em um sistema coordenado cartesiano, os pares ordenados (X, Y), obtemos uma nuvem

de pontos que denominamos diagrama de dispersão. Esse diagrama nos fornece uma ideia grosseira, porém

útil, da correlação existente:

Coeficiente de Correlação Linear

A correlação linear estuda a relação entre as duas variáveis participantes das retas de regressão linear.

O coeficiente de correlação serve para medir o grau e a direção de uma relação linear entre duas

variáveis; é simbolizado por r.

Tem como fórmula de cálculo:

100

2222

yynxxn

yxyxnr onde n = número de observações.

O coeficiente de correlação linear é um número que está entre –1 e 1 ou –100% e 100% na forma

percentual.

Quanto mais próximo de 1 estiver o valor de r, maior é a relação existente entre as variáveis. Portanto,

quando calculamos o valor de r estamos interessados em conhecer o grau de relação existente entre as variáveis

x e y. Podemos então ter a classificação abaixo para o coeficiente de correlação linear:

Quando r = 0, temos a indicação de ausênciade correlação linear entre as variáveis.

Quando r < 50% (independentemente de ser negativo ou positivo), temos uma fracacorrelação

linear entre as variáveis.

Quando r > 50% (independentemente de ser negativo ou positivo), temos uma forte correlação

linear entre as variáveis.

Quando r = 100% (independentemente de ser negativo ou positivo), temos uma perfeita

correlação linear entre as variáveis.

Vamos, então, calcular o coeficiente de correlação relativo à tabela de notas acima. O modo mais

prático para obtermos r é abrir colunas correspondentes aos valores de X.Y; X² e Y².

0123456789

1011

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Y -

Esta

tist

ica

X - Matemática

Notas Notas

Matemática Estatística

X Y

5 6

8 9

7 8

10 10

6 5

7 7

9 8

3 4

8 6

2 2


46

Notas

Matemática Estatística

X Y X.Y X² Y²

5 6 30 25 36

8 9 72 64 81

7 8 56 49 64

10 10 100 100 100

6 5 30 36 25

7 7 49 49 49

9 8 72 81 64

3 4 12 9 16

8 6 48 64 36

2 2 4 4 4

65 65 473 481 475

Logo:

%13,911009113,0100

18,554

505100

525585

505100

4225475042254810

42254730

10065475106548110

656547310100

222222

r

yynxxn

yxyxnr

O resultado indica uma correlação linear positiva altamente significativa entre as duas variáveis.

Exercícios:

1. Na tabela abaixo, estão relatados duas variáveis X e Y.

X 4 6 8 10 12

Y 8 10 11 12 14

Determine:

a. O diagrama de dispersão

b. O coeficiente de correlação linear.

X Y X.Y X² Y²

n = 10


47

2. Na tabela abaixo, estão relatados duas variáveis X e Y.

X 20 18 16 14 12

Y 50 59 61 64 69

Determine:

a. O diagrama de dispersão

b. O coeficiente de correlação linear.

X Y X.Y X² Y²

Regressão Linear – Ajustamento da Reta

Seja Y uma variável que no interessa estudar e cujo comportamento futuro deseja-se prever. É fácil

identificarmos uma série de variáveis Xi que influenciam o comportamento de Y, que é a variável dependente

do modelo.

A estatística oferece meios de chegarmos à relação função entre a variável de pendente (Y) e as

variáveis explicativas ou independentes (X1, X2, X3, ..., Xn) por meio da análise de regressão.

O modelo matemático que envolve apenas duas variáveis, a variável dependente Y e a variável

independente X, é denominado de Reta de Regressão Linear e tem como equação:

baXY ˆ

Precisamos dos valores de a e bde forma que nossa reta passe tão próxima quanto possível dos valores

da amostra, isto é, queremos minimizar a discrepância total entre valores da amostra e da reta que iremos

determinar. O melhor método para a determinação dos parâmetros a e b é o Método dos Mínimos Quadrados.

22

xxn

yxyxna e

n

xa

n

yb

Exemplo:


48

Utilizando os dados abaixo dos custos de produção da empresa Alfa:

Quantidade (X) 10 11 12 13 14 15

Custos (Y) 100 114 118 130 139 141

Determinar:

a. A equação de ajustamento dos dados por uma reta.

X Y X.Y X²

10 100 1000 100

11 114 1254 121

12 118 1416 144

13 130 1690 169

14 139 1946 196

15 141 2115 225

75 742 9421 955

Agora, vamos ao parâmetro a:

42,1925,10467,1235,1234,867,1236

7534,8

6

742

n

xa

n

yb

Portanto, a equação da reta de ajustamento é 42,1934,8ˆ XY .

b. O custo estimado para 18 unidades do artigo.

Este custo pode ser obtido pela reta de ajustamento acima.

Como X = quantidade e Y = custo, basta calcularmos o valor de Y quando x = 18. Assim,

54,16942,1912,15042,191834,842,1934,8ˆ XY

Logo, o custo para 18 unidades será $ 169,54.

c. O diagrama de dispersão com a reta de ajustamento.

y = 8,34x + 19,42

90

100

110

120

130

140

150

9 10 11 12 13 14 15 16

Y -

Cu

sto

s

X - Quantidade

Custos de produção da Empresa Alfa

Assim, vamos determinar primeiro o parâmetro b:

34,8105

876

56255730

5565056526

759556

7427594216222

a

xxn

yxyxna

0


49

Exercícios:

3. A partir da tabela:

X 2 4 6 8 10 12 14

Y 30 25 22 18 15 11 10

a) Determine a equação da reta ajustada.

X Y X.Y X²

b) Estime o valor de Y para X = 15.

4. A partir da tabela:

X 50 47 44 41 38 35 32

Y 12 11 14 15 17 18 20

a) Determine a equação da reta ajustada.

X Y X.Y X²


50

b) Estime o valor de X para Y = 30.

5. Na tabela abaixo, estão relatados os custos e as distâncias dos fretes cobrados da empresa Alfa no mês de

abril.

Distância em Km (X) 15 18 23 14 12 20

Custos (Y) 50 53 60 35 32 75

Determine:

a. O índice de correlação linear e a classificação.

b. A equação de ajustamento dos dados por uma reta.


X Y X.Y X² Y²

6. A empresa “Vende D+ Ltda.” apresenta abaixo a distribuição que mostra o estudo da variação da procura de

seu produto em função do preço de venda.

Preço de venda (X) 80 100 120 140 160

Procura (Y) 220 180 140 125 95

Determine:

a. O índice de correlação linear e a classificação.

b. A equação de ajustamento dos dados por uma reta.


d. A procura estimada para os preços fixados entre 110 e 150.

X Y X.Y X² Y²


51

Probabilidade

Probabilidade é um conjunto de regras utilizadas para calcular o número de casos favoráveis à

ocorrência de certo conhecimento. Para que possamos solucionar problemas relacionados à probabilidade

precisamos conhecer alguns conceitos básicos. São eles:

EXPERIMENTO ALEATÓRIO Em quase todas as observações, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim, da afirmação

“é provável que o meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar: que, apesar do favoritismo, ele perca; que,

como pensamos, ele ganhe; ou que empate.

Como vimos, o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esses são chamados fenômenos

aleatórios e os experimentos associados a eles de experimentos aleatórios.

Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes,

apresentam resultados imprevisíveis.

Exemplos:

Lançar um dado e observar um número sorteado;

Lançar uma moeda e observar o número de “cara” ou “coroa”;

Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe;

Retirar uma bola de uma urna com bolas azuis e vermelhas e observar sua cor.

ESPAÇO AMOSTRAL A cada experimento aleatório correspondem, em geral, vários resultados possíveis. Assim, ao lançarmos

uma moeda, há dois resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer coroa.

Ao conjunto formado por todos os possíveis e diferentes resultados de um experimento aleatório dá‐se o

nome de espaço amostral ou conjunto universo, representado por S.

Observe os seguintes exemplos, eles têm os seguintes espaços amostrais:

lançamento de uma moeda: S = {Ca, Co}

lançamento de um dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

dois lançamentos sucessivos de uma moeda: S = {(Ca,Ca), (Ca,Co), (Co,Ca), (Co,Co)}

lançamento simultâneo de dois dados: S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), ...., (6,6)}

retirando uma carta de um baralho: o baralho tem 52 cartas, das quais 10 numéricas e 3 figuras. As

cartas numéricas correspondem do número 1 (Ás) até o número 10. As figuras são: a dama (Q), o

valete (J) e o rei (K). Cada carta tem 4 naipes: paus ♣, espada ♠, ouro ♦ e copa ♥. Os naipes de paus e

espada são de cores pretas e ouro e copa são vermelhas. E cada naipe tem 13 cartas.

EVENTOS Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório.


52

Assim, qualquer que seja E, se E S (E está contido em S), então E é um evento de S.

Exemplo: No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, temos:

“Obter um número par na face superior” A = {2, 4, 6};

“Obter o número 4 na face superior” C = {4}

“Obter um número maior que 6 na face superior” D =

Combinações de Eventos

União de dois eventos: Sejam A e B dois eventos, então A ∪ B será também um evento que ocorrerá se,

e somente se, A ou B ocorrerem. Dizemos que A ∪ B é a união entre o evento A e o evento B.

Intersecção de dois eventos: Sejam A e B dois eventos, então A ∩ B será também um evento que

ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem simultaneamente. Dizemos que A ∩ B é a intersecção entre o evento

A e o evento B.

OBS. Em particular se, A ∩ B = ∅, A e B são chamados mutuamente exclusivos.

Complementar de um evento: Seja A um evento, então AC será também um evento que ocorrerá se, e

somente se, A não ocorrer. Dizemos que AC é o evento complementar de A.

Exemplo:

Seja o experimento sortear um cartão dentre 10 cartões numerados de 1 a 10. Sejam os eventos:

A: sair um número maior que 8.

B: sair um número par.

Então:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {9, 10}

B = {2, 4, 6, 8, 10}

Sair um número maior que 8 ou um número par.

Sair um número maior que 8 e um número par.

Não sair um número maior que 8.

Não sair um número par.

Exercícios:

1. Dados os seguintes experimentos aleatórios, determine o espaço amostral:

a. Lançar uma moeda uma única vez e observa-se a face superior.

10,9,8,6,4,2BA

10BA

8,7,6,5,4,3,2,1cA

9,7,5,3,1cB


53

b. De uma urna contendo 3 bolas vermelhas (V), 2 bolas brancas (B) e 5 bolas azuis (A), retirar uma bola e

observa-se a sua cor.

c. Um lote tem 20 peças. Uma a uma elas são ensaiadas e observa-se se é com ou sem defeito.

d. Um casal planeja ter 3 filhos. Observa-se a sequência de sexos dos três filhos.

e. Dois dados são lançados, observam-se os números das faces superiores.

2. Em uma urna contem 5 bolas numeradas de 5 a 9. Uma bola é extraída e observa-se seu valor.

a. Qual é o espaço amostral? S =

b. Descreva os eventos:

Sair um número ímpar: A =

Sair um número múltiplo de 3: B =

A B =

A B =

AC =

BC =

PROBABILIDADE Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos

de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um conjunto equiprovável.

Chamamos de probabilidade de um evento A (A S) o número real P(A), tal que:

)(

)()(

Sn

AnAP

Exemplos:

1. Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”, temos:

S = {Ca,Co} →n(S) = 2

A = {Ca} →n(A) = 1

Logo: %505,02

1AP

2. Considerando o lançamento de um dado, vamos calcular:

a) a probabilidade do evento A “obter um número par na face superior”.

Temos:

Onde:

n(A) é o número de elementos de A;

n(S) é o número de elementos de S.


54

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} →n(S) = 6

A = {2, 4, 6} →n(A) = 3

Logo: %505,02

1

6

3AP

b) a probabilidade do evento B “obter um número menor ou igual a 6 na face superior”.

Temos:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} →n(S) = 6

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} →n(B) = 6

Logo: %10016

6BP

3. Numa classe há 30 alunos dos quais 15 dominam o idioma inglês (I), 16 dominam o idioma francês (F), 14

dominam o idioma espanhol (E), 9 dominam o inglês e o espanhol, 6 dominam o inglês e o francês, 7

dominam o francês e o espanhol e 5 dominam os três idiomas. Um estudante é escolhidoaleatoriamente para

representar a classe. Determine a probabilidade desse estudante dominar:

a) Somente o espanhol;

b) Somente o inglês;

c) Nenhum dos idiomas.

Primeiramente, iremos montar o diagrama de Venn:

a) Somente 𝐸 =3

30= 10%

b) Somente 𝐼 =5

30= 16,67%

c) Nenhum dos idiomas = 2

30= 6,67%

Exercícios:

3. Determine a probabilidade de cada evento:

a. Um número ímpar aparece no lançamento de um dado.

b. Uma figura aparece ao se extrair uma carta de um baralho de 52 cartas.

c. Uma carta de ouros aparece ao se extrair uma carta de um baralho de 52 cartas.

d. Uma só coroa aparece no lançamento de três moedas.

4. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3, ..., 49, 50. Determine a

probabilidade de:

a. o número ser divisível por 5.

b. o número terminar em 3;

5. Dois dados são lançados simultaneamente. Determine a probabilidade de:

a. a soma ser menor que 4;


55

b. a soma ser 9;

c. a soma ser menor ou igual a 5.

6. Uma moeda é lançada duas vezes. Calcule a probabilidade de não ocorrer cara nenhuma vez;

7. Um inteiro entre 3 e 11 será escolhido ao acaso.

a. qual a probabilidade de que esse número seja ímpar?

b. qual a probabilidade de este número seja ímpar e divisível por 3?

8. No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter um par de pontos iguais?

REGRA PARA O CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARA UM EVENTO QUALQUER

A probabilidade de um evento A qualquer é um número que está sempre entre zero e 100% ou entre 0 ≤

P(A) ≤1.

EVENTOS COMPLEMENTARES Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a

probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação:

p + q = 1 q = 1 – p

Assim, se a probabilidade de se realizar um evento é 5

1p , a probabilidade de que ele não ocorra é:

q = 1 – p q = 5

4

5

15

5

11

REGRA PARA SOMA DE PROBABILIDADES ENVOLVENDO DOIS OU MAIS

EVENTOS O uso da regra da soma de probabilidades é detectado no problema pelo aparecimento do conectivo

―ou‖ entre os eventos solicitados.

BAPBPAPBAP

Exemplos:

1. Numa urna contendo: 4 bolas brancas, 3 bolas verdes e 2 azuis, retirando-se 2 bolas quaisquer, qual a

probabilidade de que essas bolas sejam de cor branca ou azul?

S = {B1, B2, B3, B4, V1, V2, V3, A1, A2}⇒ n (S) = 9

A = {B1, B2, B3, B4} ⇒ n (A) = 4

B = {A1, A2}⇒ n (B) = 2

Observe que os dois eventos não têm elemento comum,então, A ∩ B = { } ⇒n (A ∩ B) = 0


56

%67,663

2

9

60

9

2

9

4)( BAPBPAPBAP

2. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair um número maior que 4 ou um número ímpar?

S = {1,2,3,4,5,6}⇒ n (S) = 6

A = {5,6} ⇒ n (A) = 2

B = {1,3,5}⇒ n (B) = 3

BA = {5}⇒ n ( BA ) = 1

%67,663

2

6

4

6

1

6

3

6

2 BAPBPAPBAP

REGRA DO PRODUTO DE PROBABILIDADES ENVOLVENDO DOIS OU MAIS

EVENTOS O uso da regra do produto de probabilidades é detectado no problema quando a pergunta é feita

utilizando o conectivo ―e‖ ou seus sinônimos (ambas, as duas, etc.).

BPAPBAP

Exemplos:

1. Retiram-se, sem reposição, duas peças de um lote de 20 peças, dos quais 4 são defeituosas. Qual a

probabilidade de que ambas sejam defeituosas?

20 peças

Evento A = {1ª peça defeituosa} = esse conjunto tem 4 possibilidades

Evento B = {2ª peça defeituosa} = esse conjunto agora só tem 3 possibilidades

Ao realizar o segundo evento, como no primeiro evento já saiu uma defeituosa e não há reposição, então

só existem agora 3 possibilidades em 19 peças.

%16,395

3

380

12

19

3

20

4 BPAPBAP

2. Retirando-se, com reposição, duas cartas de um baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de que ambas

sejam de “paus”?

Evento A = {1ª carta de “paus”} = esse conjunto tem 13 cartas de “paus”

Evento B = {2ª carta de “paus”} = esse conjunto tem 13 cartas de “paus”

Observe que o segundo evento tem a mesma possibilidade de ocorrer que o primeiro evento, pois houve

a reposição da carta.

%25,616

1

2704

169

52

13

52

13 BPAPBAP

Exercícios:

1. Dois dados são lançados. Determinar:

16 boas

4 defeituosas


57

a. A probabilidade de ocorrer o evento cuja a soma dos pontos seja 8

b. A probabilidade de ocorrer o evento cuja a soma dos pontos seja 6

c. A probabilidade de não dar a soma 8

d. A probabilidade da soma ser 8 ou 6.

2. Dado a Urna I contendo 6 bolas brancas, 4 amarela e 3 vermelhas e a Urna II contendo 5 bolas brancas, 3

amarelas e 6 vermelhas, determinar:

a. A probabilidade de retirada de uma bola amarela da Urna II.

b. A probabilidade de retirada de uma bola vermelha da Urna I.

c. A probabilidade de retirada de uma bola amarela ou vermelha da Urna II.

d. A probabilidade de retirada de duas bolas brancas da Urna I, sem reposição.

e. A probabilidade de retirada de duas bolas vermelhas da Urna II, com reposição.

3. A probabilidade de uma pessoa resolver um problema é 4

3. Qual a probabilidade de ela não resolver o

problema?

4. A probabilidade de um maratonista A resolver uma questão de matemática é de 5

3 e de um maratonista B

também resolver a mesma questão é de 7

4. Qual a probabilidade de que:

a. os dois resolvam a questão?

b. Nenhum dos dois resolva a questão?

c. Pelo menos um dos dois resolva a questão?

5. Qual a probabilidade de sair o número 3 ou um número ímpar no lançamento de um dado?

6. Num recipiente com 15 lâmpadas, das quais 5 são defeituosas. Serão retiradas duas lâmpadas, sem

reposição. Determine:

a. A probabilidade de ambas serem boas.

b. A probabilidade de ambas serem defeituosas.

c. A probabilidade de apenas uma ser defeituosa.

7. Uma rifa de 15 números irá definir o ganhador de dois prêmios, sorteados um de cada vez. Se você adquirir

3 números:


58

a. Qual a probabilidade de você ganhar os dois prêmios?

b. Qual a probabilidade de você ganhar nenhum dos dois prêmios?

c. Qual a probabilidade de você ganhar pelo menos um dos prêmios?

8. Numa maratona realizada numa escola, os dois alunos que tem aas maiores chances de ganhá-la são João,

com uma probabilidade de 7

6, e Pedro, com uma probabilidade de

6

5. Considerando a participação e as

chances dos dois ganhadores nessa maratona:

a. Qual a probabilidade de que nenhum dos dois seja vitorioso?

b. Qual a probabilidade de que apenas o aluno Pedro seja vitorioso?

c. Qual a probabilidade de que apenas João seja vitorioso?

d. Qual a probabilidade de que João e Pedro sejam vitoriosos?

Distribuição Binomial de Probabilidades É a distribuição em que a probabilidade de ocorrências do sucesso p ou o fracasso (1 – p) do evento é

sempre constante em cada prova ou experimento.

Fórmula:

xnx qpxnx

nxP

!!

!)( ou

xnx qpx

nxP

)(

Onde:

n = número de provas

x = número de vezes em que ocorre o evento

p = probabilidade de ocorrer o evento desejado

q = probabilidade de não ocorrer o evento desejado→ 𝑞 = 1 − 𝑝

P(x) = probabilidade de o evento ocorrer x vezes em n provas

Exemplos:

1) Lançando 5 vezes uma moeda, qual a probabilidade de se obter “o evento caras” 4 vezes?

n = 5

x = 4 “caras”

p = 2

1

q = 2

1

2

11

2) Um teste é constituído de 10 questões com 4 alternativas cada, das quais apenas uma é correta. Um

aluno responde aleatoriamente ao teste. Qual a probabilidade de ele acertar 6 questões?

n = 10

x = 6

%625,1510015625,0)(

2

1

2

1

4

5)(

)(

454

xP

xP

qpx

nxP xnx

%62,11000162,0)(

4

3

4

1

6

10)(

)(

6106

xP

xP

qpx

nxP xnx


59

p = 4

1

q = 4

3

4

11

3) Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A ganhar 4

jogos.

n = 6

x = 4

p = 3

1

q = 3

2

3

11

Exercícios:

1. Determine a probabilidade de obtermos exatamente 3 caras em 6 lances de uma moeda.

2. Jogando-se um dado três vezes, determine a probabilidade de se obter um múltiplo de 3 duas vezes.

3. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A:

a. ganhar dois ou três jogos.

b. ganhar pelo menos um jogo.

4. Qual a probabilidade de uma família com 5 filhos haver 3 meninas?

5. Das peças produzidas por uma máquina, 5% são defeituosas. Tomando-se aleatoriamente 100

peças produzidas por essa máquina, qual a probabilidade de não haver mais de uma peça com

defeito?

6. Uma amostra aleatória de 15 pessoas é obtida de uma população em que 40% têm uma

determinada posição política. Qual é a probabilidade de exatamente 6indivíduos na amostra ter essa

determinada posição política?

7. Estima-se que cerca de 30% dos frangos congelados contenham suficiente número de

bactériassalmonelas causadoras de doenças, se forem assados inadequadamente. Um consumidor

compra12 frangos congelados. Qual é a probabilidade do consumidor ter mais de 9 frangos

contaminados?

%23,81000823,0)(

3

2

3

1

4

6)(

)(

464

xP

xP

qpx

nxP xnx


60

8. A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 3

2. Se ele atirar 5 vezes, qual a probabilidade de

acertar exatamente 2 tiros?

9. Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que apresenta 10% de peças

defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles?

Distribuição Normal de Probabilidades

Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição

normal.

Muitas das variáveis analisadas na pesquisa socioeconômica correspondem à distribuição normal ou

dela se aproximam.

A função da distribuição normal é definida por:

𝑦 =1

𝑠 2𝜋∙ 𝑒−

𝑥−𝑥 ²

2𝑠² , onde 𝑥 → 𝑚é𝑑𝑖𝑎, 𝑠 → 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜, 𝜋 = 3,14159… , 𝑒 = 2,71828…

O aspecto gráfico de uma distribuição normal é o da seguinte figura:

x

Para uma perfeita compreensão da distribuição normal, observe a Figura 01 e procure visualizar as

seguintes propriedades:

1ª) A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real.

2ª) A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média

( x ), que recebe o nome de curva normal ou deGauss.

3ª) A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à

probabilidade da variável aleatória X assumir qualquer valor real.

4ª) A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima‐se indefinidamente do eixo

das abscissas sem, contudo, alcançá‐lo.

5ª) Como a curva é simétrica em torno de x , a probabilidade de ocorrer valor maior do que a média é igual à

probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5.

Escrevemos: P(X > x ) = P(X < x ) = 0,5.


61

Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso principal interesse é

obter a probabilidade dessa variável aleatória assumir um valor em um determinado intervalo.

Vejamos como proceder, por meio de um exemplo concreto.

Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina.

Vamos supor que essa variável tenha distribuição normal com média x = 2 cm desvio padrão s= 0,04 cm.

Pode haver interesse em conhecer a probabilidade de um parafuso ter um diâmetro com valor entre 2 e

2,05 cm.

É fácil notar que essa probabilidade, indicada por: P(2 < X < 2,05), corresponde à área hachurada na

Figura:

O cálculo direto dessa probabilidade exige um conhecimento de Matemática mais avançado do que

aquele que dispomos aqui. Entretanto, podemos contornar o problema facilmente. Basta aceitar, sem

demonstração, que, se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média x e desvio padrão s, então a

variável:

s

xxz

tem distribuição normal reduzida, isto é, tem distribuição normal de média 0 e desvio padrão 1.

As probabilidades associadas à distribuição normal padronizada são encontradas em tabelas, não

havendo necessidade de serem calculadas.

Voltemos, então, ao nosso problema.

Queremos calcular P(2 < X < 2,05). Para obter essa probabilidade, precisamos, em primeiro lugar,

calcular o valor de z que corresponde a x = 2,05 (x = 2 → z = 0, pois x = 2). Temos então:

25,104,0

05,0

04,0

205,2

s

xxz

Donde: P(2 < X < 2,05) = P(0 <Z< 1,25)

Procuremos, agora, na Tabela a seguir o valor de z = 1,25.

Na primeira coluna encontramos o valor 1,20. Em seguida, encontramos, na primeira linha, o valor 0,05,

que corresponde ao último algarismo do número 1,25. Na intersecção da linha e coluna correspondentes

encontramos o valor 0,3944, o que nos permite escrever:

P(0 < Z < 1,25) = 0,3944

Assim, a probabilidade de um parafuso fabricado por essa máquina apresentar um diâmetro entre a

média x = 2 e o valor x = 2,05 é 0,3944.

Escrevemos, então:

P(2 < X < 2,05) = P(0 < Z < 1,25) = 0,3944 ou 39,44%.

A tabela abaixo é de distribuição normal reduzida, que nos dá a probabilidade de Z tomar qualquer valor

entre a média o e um dado valor z.

2 2,05

0 z


62

Área subtendida pela curva normal reduzida de 0 a z.

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,00 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,10 0,3980 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0754

0,20 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,30 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,40 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,50 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2057 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,60 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549

0,70 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,80 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,90 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,00 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,10 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,20 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,30 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,40 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,50 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,60 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,70 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,80 0,4641 0,4669 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,90 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,00 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,10 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,20 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,30 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,40 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,50 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,60 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,70 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,80 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,90 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,00 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

3,10 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993

3,20 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995

3,30 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997

3,40 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998

3,50 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998

3,60 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,70 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,80 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,90 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Determine as probabilidades:

a. P(-1,25 < Z < 0)

A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura:

Sabemos que:

P(0 < Z < 1,25) = 0,3944


63

Pela simetria da curva, temos:

P(-1,25 < Z < 0) = P(0 < Z < 1,25) = 0,3944 = 39,44%

b. P(-0,5 < Z < 1,48)

A Probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura:

Temos

P(-0,5 < Z < 1,48) = P(-0,5 < Z < 0) + P(0 < Z < 1,48)

Como:

P(-0,5 < Z < 0) = P(0 < Z < 0,5) = 0,1915 e P(0 < Z < 1,48) = 0,4306

obtemos:

P(-0,5 < Z < 1,48) = 0,1915 + 0,4306 = 0,6221 = 62,21%

c. P(0,8 < Z < 1,23)

A Probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura:

Temos:

P(0,8 < Z < 1,23) = P(0 < Z < 1,23) – P(0 < Z < 0,8)

Como:

P(0 < Z < 1,23) = 0,3907 e P(0 < Z < 0,8) = 0,2881,

Obtemos:

P(0,8 < Z < 1,23) = 0,3907 – 0,2881 = 0,1026.

d. P(Z > 0,6)

A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura:

Temos:

P(Z > 0,6) = P(Z > 0) – P(0 < Z < 0,6)

Como:

P(Z > 0) = 0,5 e P(0 < Z < 0,6) = 0,2258

obtemos:

P(Z > 0,6) = 0,5 – 0,2258 = 0,2742

Exercícios

1. Trace uma curva normal e sombreie a área desejada obtendo então a informação.

a. Área à direita de Z = 1

b. Área à esquerda de Z = 1

c. Área entre Z = 0 e Z = 1,5


64

d. Área entre Z = -0,56 e Z = -0,2

e. Área entre Z = - 0,5 e Z = 0,5

f. Área entre Z = 0 e Z = -2,5

2. Sendo Z uma variável com distribuição normal reduzida, calcule:

a. P(0 < Z < 1,44) b. P(‐0,85 < Z < 1,05)

c. P(‐1,48 < Z < 2,05) d. P(0,72 < Z < 1,89)

e. P(Z >‐2,03) f. P(Z > 1,08)

g. P(Z <‐0,66) h. P(Z < 0,60)

Aplicações da Distribuição Normal de Probabilidades

1. Os salários mensais dos executivos de uma determinada indústria são distribuídos normalmente, em torno

da média de R$ 10.000, com desvio padrão de R$ 800. Calcule a probabilidade de um executivo ter um

salário semanal situado entre R$ 9.800 e R$ 10.400

Solução:

Devemos, inicialmente, determinar os valores da variável de distribuição normal reduzida. Assim:

• para x = 9 800 vem: 25,0800

100009800

s

xxz e para x = 10 400 vem:

5,0800

1000010400

s

xxz

Logo, a probabilidade procurada é dada por:

P(9.800 < X < 10.400) = P(-0,25 < Z < 0,5) = P(-0,25 < Z < 0) + P(0 < Z < 0,5) = 0,0987 + 0,1915 = 0,2902

É, pois, de se esperar que, em média, 29,02% dos executivos tenham salários entre R$ 9.800 e R$ 10.400.

2. A unidade de ensacamento de uma fábrica de cimentos é pressuposto encher os sacos com um peso médio

de 50 kg. É óbvio que nem todos os sacos ficam exatamente com a quantidade de 50 kg, havendo alguns

que ficam com mais, outros que ficam com menos cimento, devido a diversos fatores aleatórios que

ocasionam variabilidade no processo. Estudada esta variabilidade ou dispersão, quantificou‐se que o desvio

padrão é de 0,5 kg. Calcule a probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha:

a. entre 50 kg e 51 kg.

Estabeleça-se que: x = peso dos sacos (variável aleatória); x = 50 e s = 0,5

Pretende-se calcular P(50 ≤ x ≤ 51). Esta probabilidade é graficamente traduzida pela seguinte área:

Convertam-se os limites do intervalo para a variável z normal reduzida:

• para x = 50 vem: 05,0

0

5,0

5050

s

xxz

• para x = 51 vem: 25,0

1

5,0

5051

s

xxz


65

Então: P(50 ≤ x ≤ 51) = P(0 ≤ z ≤ 2) = 0,4772 ou 47,72%, fazendo esta leitura na tabela para z =

2,00.

b. entre 49,5 kg e 50 kg.

Pretende-se calcular P(49,5 ≤ x ≤ 50). Esta probabilidade é graficamente traduzida pela seguinte

área:

Então: P(49,5 ≤ x ≤ 50) = P(-1 ≤ z ≤ 0) = P(0 ≤ z ≤ 1) = 0,3413 ou 34,13%

c. abaixo de 51,5 kg.

P(x ≤ 51,5)

Exercícios

1. Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10.

Determine a probabilidade de um indivíduo submetido ao teste ter nota:

a. maior que 120;

b. maior que 80;

c. entre 85 e 115;

d. maior que 100.

2. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e desvio padrão 5,5 kg.

Determine o número de estudantes que pesam:

a. entre 60 e 70 kg;

b. mais que 63,2 kg;

c. menos que 68 kg.

Convertam-se os limites do intervalo para a variável z normal reduzida:

• para x = 49,5 vem: 15,0

5,0

5,0

505,49

s

xxz

• para x = 50 vem: 05,0

0

5,0

5050

s

xxz

• para x = 51,5 vem: 35,0

5,1

5,0

505,51

s

xxz

P(x ≤ 51,5) = P(z ≤ 3) = P(z ≤ 0) + P(0 ≤ z ≤ 3)

= 0,5 + 0,4987 = 0,9987 = 99,87%


66

3. A duração de um certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio padrão de 40 dias. Sabendo

que a duração é normalmente distribuída, calcule a probabilidade desse componente durar:

a. entre 700 e 1.000 dias;

b. mais de 800 dias;

c. menos de 750 dias.

4. Uma distribuição normal de eixos tem um diâmetro médio de 50 mm e desvio padrão igual à 5 mm. Que

percentagem de eixos tem diâmetro entre 40 e 50?

5. Supõe-se que a vida média de um circuito eletrônico tenha uma distribuição normal com média de 50.000

horas e desvio-padrão de 8.000 horas. Qual a probabilidade de um circuito escolhido ao acaso durar mais de

55.000 horas?

6. O gerente da Loja Consul do “Shopping do Vale do Aço” fez uma coleta aleatória do tempo de permanência

de clientes na fila de pagamento e descobriu que o tempo médio é igual á 6 minutos e o desvio-padrão igual

a 1 minuto. Para diminuir a ansiedade de seus clientes na fila, ele deseja dispor um quadro indicativo com o

tempo previsto para o atendimento. Supondo que estes tempos tenha uma distribuição normal, se for

disposto que o tempo de atendimento será de 8 minutos, qual a percentagem máxima de clientes que

poderão reclamar com o gerente?

Exercícios de Revisão

1. Em um lote de 20 peças, 6 são defeituosas. Sendo retiradas aleatoriamente 2 peças, calcule:

a. a probabilidade de ambas serem defeituosas;

b. a probabilidade de ambas não serem defeituosas.

2. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair o número 6 ou um número ímpar?

3. Duas cartas são retiradas ao acaso de um baralho de 52 cartas. Calcule a probabilidade de se

obterem:


67

a. dois valetes;

b. um valete e uma dama.

4. Um casal planeja ter três filhos. Determine a probabilidade de nascerem:

a. três homens;

b. dois homens e uma mulher.

5. Um dado é lançado duas vezes. Calcule a probabilidade de:

a. sair um 6 no primeiro lançamento;

b. sair um 6 no segundo lançamento;

c. não sair 6 em nenhum lançamento;

d. sair um 6 pelo menos.

6. Uma urna contém 50 bolas idênticas. Sendo as bolas numeradas de 1 a 50, determine a

probabilidade de, em uma extração ao acaso:

a. obtermos a bola de número 27;

b. obtermos uma bola de número par;

c. obtermos uma bola de número maior que 20;

d. obtermos uma bola de número menor ou igual a 20.

7. Uma loja dispõe de 15 geladeiras do mesmo tipo, das quais 3 apresentam defeitos.

a. Se um freguês vai comprar uma geladeira, qual a probabilidade de levar uma defeituosa?

b. Se um freguês vai comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar duas defeituosas?

c. Se um freguês vai comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar pelo menos uma

defeituosa?

8. Suponha que a probabilidade dos pais terem um filho (a) com cabelos loiros seja ¼. Se houverem 6 crianças

na família, qual é a probabilidade de que metade delas terem cabelos loiros?

9. Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é 0,3, qual é a probabilidade de que em 4 disparos

o alvo seja atingido no mínimo 3 vezes?

10. Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de

tubos que se sabe que contém 20% de tubos defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que 2

dos tubos extraídos sejam defeituosos?


68

11. Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de um processo de fabricação

sabido produzir 85% de itens aceitáveis. Qual a probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam

aceitáveis?

12. Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos

são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que exatamente 12 tenham feito cursinho?

13. Admita que 90% dos indivíduos da populações da cidade A sejam alfabetizados. Se 12 pessoas da dessa

cidade forem selecionadas ao acaso, qual é a probabilidade de que10 pessoas selecionadas são

alfabetizadas?

14. Suponha que as leituras de um termômetro tenha distribuição normal com média de 0º e desvio-padrão de

1,5º. Escolhe-se aleatoriamente e testa-se um termômetro. Determine a probabilidade de cada leitura em

graus:

a. Entre 1° e 3°

b. Entre -2° e 1,96°

c. Superior a - 2,33°

15. O uso diário de água por pessoa em uma determinada cidade é normalmente distribuído com médiaigual a

20 litros e desvio-padrãoigual a 5 litros.

a. Que percentagem da população usa entre 20 e 24 litros por dia?

b. Que percentagem usa entre 16 e 20 litros?

c. Qual é a probabilidade de que uma pessoa selecionada ao acaso use mais do que 28 litros?

Respostas de alguns exercícios

CAP.: MEDIDAS DE POSIÇÃO – MÉDIA: PG. 27 2. a) x = 75,47; S = 15,40; CV = 20,41%

b) x = 31,15; S = 12,11; CV = 28,88% 1. Inglês = 7,35; Português = 7,40;

História = 7,15; Matemática = 9,33 3. Mat = 10,26%; Est = 10,41%

2. a) 2,91; b) 13,5; c) 2,71 4. Est = 4,94%; Peso = 4,42%

3. 50,2 EXERCÍCIOS DE REVISÃO: PG. 38

4. 3,38 5. a) 10,39; b) 5,42; c) 9,17; d) 14,86;

5. 0,66 e) 18,54; f) 6,37; g) 61,29%

6. a) 754,69; b) 84,32 6. a) 120,97; b) 102,40; c) 116,67;


69

7. 195 d) 135,83; e) 165,6; f) 21,98; g) 18,17%

8. 6,62 CAP.: ANÁLISE DE REGRESSÃO - PG. 46

MODA: PG. 31 1. b) 98,99%

1. a) 3; b) 2 e 4; c) Amodal 2. b) – 96,83%

2. a) 55,06; b) 160,66 REGRESSÃO LINEAR: PG. 49

3. a) 5,86; b) 6,48 3. a) Y = -1,696X + 32,282; b) 6,842

4. a) 6,09; b) 7,14 4. a) Y = -0,488X + 35,294; b) 10,848

MEDIANA: PG. 34 5. a) 83,29%; b) Y = 3,25X – 4,417

1. a) 6; b) 11; c) 49,9; d) 15 6. a) -98,80%; b) Y = -1,525X + 335;

2. a) 6; b) 3 d) 106,25 a 167,25

3. a) 768,75; b) 30 PROBABILIDADE: PG. 54

4. a) h = 13; b) 152,90; c) 184,45; d) 152,41 3. a) 50%; b) 23,08%; c) 25%; d) 37,5%

SEPARATRIZES: PG. 37 4. a) 20%; b) 10%

1. a) 68,13; b) 84,17; c) 101,5; d) 78 e) 122,6 5. a) 8,33%; b) 11,11%; c) 27,78%

2. a)675; b) 877,27; c) 988,46; d) 853,64 e) 1098 6. 25%

MAIS EXERCÍCIOS: PG. 38 7. a) 42,86%; b) 14,29%

1. a) x = 5,1; mo = 5; md = 5;

b) x = 11; mo = 7; md = 9;

8. 16,67%

REGRAS DE PROBABILIDADE: PG. 57

2. a) x = 15,64; mo = 19; md = 15;

b) x = 135,6; mo = 140; md = 140;

1. a)13,89%; b)13,89%; c)86,11%; d) 27,78%

2. a) 21,43%; b) 23,08%; c) 64,29%;

d) 19,23%; e) 18,37% 3. a) x = 172,40; mo = 176,57; md = 174;

Q1 = 166,22; Q3 = 179,19; P10 = 159,33 3. 25%

CAP.: MEDIDAS DE DISPERSÃO - PG. 42 4. a) 34,29%; b) 17,14%; c) 82,86%

1. a) x = 6,18; S = 2,24; CV = 36,30% 5. 50%

b) x = 2,59; S = 1,37; CV = 52,67% 6. a) 42,86%; b) 9,52%; c) 23,81%

7. a) 2,86%; b) 62,86%; c) 37,14% EXERCÍCIOS DE REVISÃO: PG. 68

8. a) 2,38%; b) 11,90%; c) 14,29%; d) 71,43% 1. a) 7,89%; b) 47,89%

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL: PG. 59 2. 66,67%

1. 31,25% 3. a) 0,45%; b) 0,6%

2. 22,22% 4. a) 12,5%; b) 37,5%

3. a) 54,87%; b) 91,22% 5. a) 16,67%; b) 16,67%; c) 69,44%; d) 30,56%

4. 31,25% 6. a) 2%; b) 50%; c) 60%; d) 40%

5. 3,71% 7. a) 20%; b) 2,86%; c) 65,26%

6. 20,66% 8. 13,18%

7. 0,0205% 9. 8,37%


70

8. 16,46% 10. 67,78%

9. 9,84% 11. 4,49%

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE NORMAL: PG. 64 12. 22,52%

1. a) 15,87%; b) 84,13%; c) 43,32%; d) 13,30%;

e) 38,30%; f) 49,38%

13. 18,64%

14. a) 22,86%; b) 81,31%; c) 93,94%

2. a) 42,51%; b) 65,54%; c) 91,04%; d) 20,64%;

e) 97,88%; f) 14,01%; g) 25,46%; h) 72,58%

15. a) 28,81%; b) 28,81%; c) 5,48%

APLICAÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL: PG. 65

1. a) 2,28%; b) 97,72%; c) 86,64%; d) 50%

2. a) 63,38%; b) 64,8%; c) 68,79%

3. a) 99,98%; b) 89,44%; c) 0,62%

4. 47,72%

5. 26,43%

6. 2,28%

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