FÍSICA FUNDAMENTAL PARA ENGENHARIA

ESTÁTICA

Prof. Luciano Galdino

SUMÁRIO

Cálculo vetorial para aplicação em estática .................................................................. 02

Decomposição de vetores ......................................................................................................... 03

Soma vetorial ................................................................................................................................. 06

Força ................................................................................................................................................. 10

Força resultante ........................................................................................................................... 10

Leis de Newton ............................................................................................................................. 12

Tipos de Força .............................................................................................................................. 13

Equilíbrio ........................................................................................................................................ 20

Equilíbrio de um ponto material......................................................................................... 20

Equilíbrio de um corpo extenso ........................................................................................... 27

Momento de uma força ............................................................................................................ 28

Condições de equilíbrio de um corpo extenso .............................................................. 30

2

Cálculo Vetorial para aplicação em Estática

Em Física, as grandezas podem ser classificadas de duas formas: grandezas

vetoriais e grandezas escalares. As grandezas vetoriais requerem um valor

numérico absoluto (módulo) acompanhado de sua orientação (direção e sentido)

e obedecem as definições matemáticas dos vetores. A direção indica se o vetor

está orientado horizontalmente, verticalmente ou inclinado com um ângulo a

partir de uma referência. Já o sentido especifica um pouco mais, isto é,

determina se o vetor está para a direita, para esquerda, para baixo ou para cima.

Também são utilizados como referência os pontos cardeais (norte, sul, leste,

oeste, nordeste, sudeste, noroeste e sudeste).

Exemplos:

1) Corpo em queda livre com velocidade de 10 m/s

2) Carro se deslocando com velocidade de 20 m/s

3) Força de 50 N sendo aplicada numa caixa.

As grandezas que não tem necessidade de especificar sua orientação são

chamadas de grandezas escalares. Por exemplo, quando aplicamos uma força

Módulo: 10 m/s

Direção: vertical

Sentido: de cima para baixo ou de norte para sul.

Módulo: 20 m/s

Direção: horizontal

Sentido: da esquerda para direita ou de oeste para leste

Módulo: 50 N

Direção: inclinada à 30º da horizontal.

Sentido: para cima à 30º da horizontal ou de sudoeste

para nordeste.

3

num corpo, essa força tem uma direção e um sentido, portanto força é uma

grandeza vetorial, mas para grandeza tempo fica estranho especificarmos uma

direção e um sentido, imagina falarmos 1h 30 min horizontalmente para a

direita, fica muito esquisito, portanto, tempo é uma grandeza escalar, pois não é

necessário indicar a direção e sentido.

A representação de uma grandeza vetorial é realizada através de uma “flecha”

em cima da letra que indica essa grandeza. Por exemplo:

= vetor força.

= vetor velocidade.

O quadro 1 indica a classificação de algumas grandezas físicas, isto é, se as

grandezas são vetoriais ou escalares.

Grandeza vetorial Grandeza escalar

Força ( ) Tempo (t)

Velocidade ( ) Potência (P)

Aceleração ( ) Energia (E)

Torque ( ) Frequência (f)

Pressão ( ) Rotação (n) Quadro 1: classificação de algumas grandezas físicas.

Decomposição de vetores

Em Física, o movimento ou a tendência de um movimento de um corpo

normalmente são representados com referência aos eixos x (horizontal) e y

(vertical). Como as grandezas vetoriais em Física estão sempre relacionadas a

um movimento ou a uma tendência de um movimento, quando um vetor

encontra-se inclinado é muito importante calcularmos as suas componentes (os

seus valores) nos eixos x e y. Esse cálculo é chamado de decomposição vetorial.

Na figura a seguir, observa-se um vetor força e suas componentes x e y.

4

Existem algumas relações matemáticas entre esses vetores, sendo que essas

relações são obtidas do triângulo retângulo formado no plano cartesiano:

Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

Utilizando as relações trigonométricas seno e cosseno, obtemos:

Exemplos:

1) Um corpo é pendurado pelos cabos representados na figura a seguir.

Determine as componentes x e y da força no cabo 1, sabendo que o módulo

da força que atua nele é de 30 N.

5

Resolução: Fazendo um plano cartesiano para o vetor F1, que está na direção

do cabo 1 da figura, temos:

2) Uma caixa se desloca horizontalmente conforme figura a seguir. Sabendo

que para vencer o atrito a componente x deve ser de 80 N no mínimo,

determine a força (F) que deve ser aplicado na corda.

Montando o plano cartesiano e destacando um triângulo retângulo, temos:

𝐹1𝑦 𝐹1𝑠𝑒𝑛𝛼

𝐹1𝑦 3 𝑠𝑒𝑛2 𝑜

𝑭𝟏𝒚 𝟏𝟎 𝟐𝟔 𝑵

𝐹1𝑥 𝐹1𝑐𝑜𝑠𝛼

𝐹1𝑥 3 𝑐𝑜𝑠2 𝑜

𝑭𝟏𝒙 𝟐𝟖 𝟏𝟗 𝑵

6

Soma vetorial

Soma de vetores é diferente da soma algébrica que estamos acostumados, pois

os vetores, além do módulo, possuem direção e sentido e essas características

devem ser levadas em consideração. A forma mais simples de se somar vetores é

através da representação geométrica dessa soma. A regra é bastante simples,

basta juntar os vetores mantendo suas direções e sentidos e não importando a

ordem. Após esse procedimento, cria-se um vetor do ponto final do último vetor

associado ao ponto inicial do primeiro vetor associado. Esse vetor é o vetor

soma. Nota-se que sempre será formado um polígono e por esse motivo o

método de resolução é chamado de regra do polígono.

Exemplos:

1) Determine geometricamente a soma dos vetores a, b e c que estão a seguir:

Resolução:

1º passo: juntar os vetores mantendo suas direções e sentidos e em qualquer

ordem.

7

2º passo: Criar um vetor ligando o ponto final ao ponto inicial. Esse é o

resultado da soma vetorial.

Vetor soma

2) Somar os mesmos vetores, mas em ordem diferentes.

Existe outro método geométrico, chamado de regra do paralelogramo, que é

aplicado visando facilitar a resolução, mas ele só é utilizado quando a soma é

realizada com dois vetores.

A resolução é simples, basta juntar as origens dos dois vetores, traçar linhas

paralelas a ele e ligar a intersecção da origem dos vetores à intersecção das

linhas paralelas. Este segmento de reta é o vetor soma.

Exemplo: Somar os vetores a e b da figura a seguir.

1º passo: unir os vetores pela origem.

Vetor soma (ele é igual ao do primeiro

exemplo, provando que a ordem da soma não

interfere no resultado).

8

2º passo: traçar linhas paralelas aos vetores.

3º passo: ligar a origem à intersecção das linhas paralelas.

Observação: o método do paralelogramo é utilizado apenas na soma de dois

vetores, já o método do polígono pode ser utilizado para qualquer quantidade de

vetores.

Exemplo 2: Resolver o exercício anterior pelo método do polígono.

Percebe-se que o vetor soma é igual ao do

exercício anterior.

9

Vale ressaltar que quando os vetores estão numa mesma direção a soma vetorial

é resolvida como uma soma ou uma subtração comum, se eles estiverem num

mesmo sentido é só somar seus valores e se estiverem em sentidos opostos é só

subtrair o maior do menor.

Exemplo: Sendo | | 2 , | | 3 e | | , determine o vetor soma nos casos

a seguir:

a)

| | 2 3

Direção: horizontal;

Sentido: da esquerda para direita

b)

Resolução:

| | 2 3 3

Direção: horizontal;

Sentido: da esquerda para direita

Soma

Vetor Soma

10

Força

Força é um agente físico que tende a proporcionar aceleração ou desaceleração

no corpo que está sendo submetido a essa força.

A força pode ser de contato ou de campo. Força de contato, como o próprio

nome diz, tem que ocorrer um contato físico entre os corpos, já a de campo é

quando a força age à distância (força gravitacional, elétrica, magnética...).

A unidade de medida no sistema internacional de unidades de medidas (SI) de

qualquer força é o newton (N) em homenagem ao grande físico Isaac Newton.

Outras unidades de medida de força muito utilizadas são o quilograma força

(kgf), a libra (lb) e a dina (dyn), e as suas relações com o newton são:

1N 0,102 kgf.

1N = 0,2248 lb

1N dyn.

O quilograma força (kgf) é uma unidade muito utilizada na engenharia como

unidade da grandeza força e é definido como o peso de um corpo de 1kg de

massa sujeito a aceleração da gravidade média na superfície da Terra, a qual

possui um valor aproximado de 9,8 m/s2. Assim:

1kgf = 9,8 N.

O Instrumento de medição utilizado para medir força é o dinamômetro.

Força resultante

É a soma vetorial dos vetores forças que estão atuando num sistema, isto é, seria

uma força que, sozinha, produziria o mesmo efeito no sistema que todas as

forças reunidas.

Exemplos:

a) 1

11

b) 1

c) √ 1

d) √ 1

2 1

e) Quando temos mais de dois vetores, deve-se uni-los mantendo-se as suas

direções e sentidos, sendo a soma (força resultante) a distância da origem do

primeiro vetor à extremidade da seta do último vetor.

12

Leis de Newton

Em 1687 Isaac Newton publicou a sua grande obra Philosophiæ Naturalis

Principia Mathematica (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural) onde,

entre outras coisas, estava o enunciado de suas três grandes leis sobre o

movimento dos corpos.

1ª Lei - Inércia: Todo corpo tende a manter o seu estado inicial de movimento a

não ser que uma força o obrigue a sair desse estado de movimento, isto é, um

corpo que está em repouso em relação a um referencial continuará em repouso

até uma força tirá-lo desse estado ou um corpo em movimento em relação a um

referencial só poderá mudar o seu movimento se uma força agir sobre ele.

Exemplos:

1. Freada de um veículo: quando um veículo freia o nosso corpo vai para

frente, pois ele tende a continuar o seu estado inicial de movimento

devido à inércia.

2. Aceleração de um veículo: quando um veículo acelera para sair da

condição de repouso, sentimos nosso corpo indo para trás, pois ele tende a

continuar no seu estado inicial que é o repouso.

2ª Lei - Princípio fundamental: a aceleração que um corpo adquire é

diretamente proporcional à força resultante e possui a mesma direção e o mesmo

sentido da força resultante, mas é inversamente proporcional à massa do corpo.

Matematicamente pode-se escrever:

=

Assim:

= m.

13

Exemplo: Uma caixa de 20kg é puxada por um cabo de aço com uma força de

200 N, conforme figura. Determine a aceleração adquirida, sabendo que a força

de atrito é de 120 N.

Resolução:

2 2

3ª Lei - Ação e Reação: A toda força de ação que age num corpo existe uma

força de reação deste corpo de mesma intensidade, mesma direção, mas de

sentido oposto. Esse par de forças (ação e reação) fica evidente quando uma

mola fica submetida a uma força F, conforme figura a seguir:

Quando se alonga ou comprime-se uma mola, ela reage com uma força de

sentido oposto, denominado força elástica (Fel), tentando retornar à sua posição

de repouso.

Tipos de força

A seguir serão apresentadas algumas forças que aparecem com muita frequência

no estudo de estática.

Força peso (W): É a força de atração gravitacional que um determinado corpo

está submetido. Todo corpo que possui massa, automaticamente possui força

peso, sendo ela diretamente proporcional a aceleração da gravidade local e

𝑎 𝐹𝑅𝑚

𝑎

2

𝒂 𝟒 𝒎/𝒔𝟐

14

apontada no sentido do centro de massa do corpo celeste que o está atraindo, por

exemplo, um corpo de massa m sujeito a força gravitacional da Terra terá um

vetor força peso verticalmente para baixo (no sentido do centro da Terra) e

proporcional à aceleração da gravidade terrestre local, conforme figura a seguir.

A força resultante que age no corpo de massa m da figura é a força peso (W).

Como a aceleração proporcionada é a aceleração da gravidade (g) e sabendo que

a lei do princípio fundamental de Newton é dada por , teremos:

A aceleração da gravidade na superfície da Terra possui o valor médio de

9,8m/s2, mas vale destacar que quanto mais distante do centro da Terra, menor o

valor da aceleração da gravidade, sendo que esse valor começa a ficar difere de

9,8 m/ a grandes altitudes (a partir de 22 km). Alguns valores da aceleração da

gravidade estão destacados na tabela 1, considerando o raio médio da Terra de

6371 km e a massa de 5,97.1024

kg.

Altitude (km) Aceleração

gravitacional (m/s2)

0 9,8

1 9,8

5 9,8

10 9,8

15 9,8

20 9,8

22 9,7

25 9,7

30 9,7 Tabela 1: Valores da aceleração da gravidade em função da altitude.

Força Elástica (Fel): É a força de reação que um corpo elástico executa quando

é alongado ou comprimido. A intensidade da força é proporcional à deformação

15

(x), isto é, se alongarmos uma mola com força F a sua deformação será x, se

aumentarmos a força para 2F sua deformação aumentará para 2x e assim

sucessivamente.

Outros fatores que estão relacionados com a força e a deformação são geometria

e o material do corpo elástico o qual é representado pela constante elástica da

mola (K).

A constante elástica é definida como a razão da força elástica (Fel) pela

deformação elástica (x).

Assim:

Reação Normal (N ou R): É uma força de reação que um corpo executa quando

recebe uma força, isto é, todo corpo que se apoia em uma superfície realiza uma

força na mesma e pela lei da ação e reação, essa superfície realiza uma força de

mesma intensidade, mesma direção, mas sentido oposto ao corpo. Esse vetor

força é chamado de reação normal e estará sempre formando um ângulo de 90°

com a superfície de apoio.

Exemplos:

Comprimento inicial

16

a)

b)

c)

Tração (T): É um esforço mecânico que os corpos ficam submetidos quando

estão sujeitos a forças que tendem a alongá-los. É comumente aplicado em

cabos, cordas, correntes, fios, linhas e outros. Quando tracionamos um cabo, por

exemplo, toda a extensão dele estará tracionada com a mesma intensidade. A

representação da tração é realizada da seguinte maneira.

Corpo apoiado num plano horizontal:

R = W

Corpo apoiado num plano inclinado:

R = Wy

𝑅𝐴 𝑅𝐵 𝑊

Viga apoiada em duas extremidades:

𝑅𝐴 𝑊

𝑅𝐴𝐵

𝑊

Força de atrito

17

Note que o corpo move-se devido à força de tração, mas ao mesmo tempo, a

força de atrito tenta frear o tambor, tracionando no sentido oposto, portanto, a

força de tração deve ser indicada nas duas extremidades do cabo e em sentidos

opostos.

Exemplos:

a) Corpo em repouso pendurado por um cabo de aço:

b) Dois corpos em repouso pendurados por cabos de aço:

c) Corpo em repouso pendurado por um sistema de cabos:

Tambor enrolando o cabo para

puxar a caixa

𝑻 𝑾

𝑻𝟏 𝑾𝑨

𝑻𝟐 𝑾𝑩 𝑻𝟏

𝑻𝟏 𝑾

Para calcular as trações 𝑇 e 𝑇3, devem-se

utilizar algumas técnicas que

serão apresentadas no próximo capítulo.

18

Exercícios Resolvidos

1) Determine o peso de um corpo que possui massa de 20 kg, sabendo que a

aceleração da gravidade é de 9,8 m/ .

Resolução:

W = m.g

W = 20.9,8

W = 196 N

2) Se o corpo do exercício anterior fosse para Lua, qual seria a sua massa e o

seu peso na superfície lunar sabendo que a aceleração da gravidade é de

1,6m/ ?

Resolução:

A massa não altera seu valor (m = 20 kg), pois massa é a quantidade de

matéria do corpo e na mudança de local essa propriedade do corpo não se

altera. Já o peso depende da aceleração da gravidade, assim:

W = m.g

W = 20.1,6

W = 32 N

3) Uma força de 200 N é aplicada sobre uma mola alongando-a conforme

figura. Sabendo que a mola possui constante elástica K = 1000 N/m,

determine a sua deformação elástica.

Resolução:

A força F aplicada na mola fará surgir uma força elástica no sentido

contrário de mesma intensidade (200N), assim:

19

Fel = K.x

200 = 1000.x

x= 0,2m

4) A placa superior de um estampo de corte de possui massa de 40 kg e está

sob uma mola de constante elástica K = 7200 N/m. Determine quanto a mola

deforma.

Resolução:

Primeiro deve-se calcular a força peso da base superior do estampo:

W = m.g

W = 40.9,8

W = 392 N

A força elástica possui a mesma intensidade da força peso (392 N), porém

de sentido aposto, assim:

Fel = K.x

392 = 7200.x

x = 0,054 m

20

Equilíbrio

Para um corpo adquirir a condição de equilíbrio em relação a um referencial ele

deve se encontrar em repouso (equilíbrio estático) ou em movimento retilíneo e

uniforme, isto é, com velocidade linear constante (equilíbrio dinâmico).

Em ambos os casos podemos dizer que a somatória das forças que atuam no

corpo é nula, pois a aceleração será nula nas duas situações.

Exemplos:

Equilíbrio de um ponto material

O estudo de equilíbrio é realizado em corpos considerados como ponto material

e corpos considerados como corpo extenso.

Um ponto material é um corpo que possui dimensões desprezíveis para aquele

determinado estudo e a única preocupação é verificar a condição de equilíbrio na

translação retilínea (movimento retilíneo).

Os cálculos relacionados ao equilíbrio de um ponto material devem obedecer as

seguintes condições:

A força resultante na vertical (eixo y) é dada por:

𝐹𝑦 𝑚 𝑎𝑦;

Como o corpo está em equilíbrio, a aceleração será nula, assim:

𝐹𝑦 .

Carro em movimento retilíneo uniforme na horizontal, isto é,

sua aceleração horizontal é nula, assim:

𝐹𝑥 𝑚 𝑎𝑥, então, 𝑭𝒙 𝟎.

O carro não possui movimento vertical, portanto sua aceleração

vertical é nula, assim:

𝐹𝑦 𝑚 𝑎𝑦, então, 𝑭𝒚 𝟎.

21

1ª)

2ª)

Exercícios resolvidos

1) Calcule a tração que o cabo da figura está submetido para suportar um

pacote de 100 kg.

Resolução:

1º passo: Indicar as forças que atuam no pacote (diagrama de força):

2º passo: Aplicar as condições de equilíbrio:

As forças que estão agindo no pacote são verticais, assim:

Como temos vetores força em sentidos opostos, a resultante ( ) tem que

ser a subtração deles, portanto:

T – W = 0

T = W (este resultado é óbvio, pois para obter o equilíbrio, as duas forças

devem ter o mesmo valor). Como W = m.g, então:

T = m.g

T = 100.9,8

T = 980 N

22

2) Calcule a deformação elástica das molas de um carro de 1200 kg que se

encontra parado, sabendo que a constante elástica de cada mola é de

15000N/m.

Resolução:

Um carro é composto por quatro molas, assim, o diagrama de forças fica:

Portanto,

4.Fel – W= 0

4.Fel = W

Como Fel=Kx e W=mg, então:

4.K.x = m.g

4.15000.x = 1200.9,8

60000.x = 11760

x = 0,196 m = 19,6 cm

3) Na figura a seguir está representado um engradado de 150 kg suspenso pelos

cabos 1, 2 e 3. Qual o valor das trações que estes cabos estão submetidos?

Resolução:

1º passo: Montar o diagrama de forças do sistema:

23

Diagrama de forças que atuam no engradado

Nesse diagrama pode-se perceber que para o engradado estar em equilíbrio,

a força de tração (T1) deve ser igual a força peso (W).

1

1

1

1

Diagrama de forças que atuam entre os cabos

Nesse diagrama, como a tração T3 está inclinada, deve-se utilizar alguma

técnica matemática para calcular as trações não conhecidas, sabendo-se que

T1 =1470N.

2º passo: Escolher o método de resolução adequado: Existem dois métodos

possíveis de resolução, o da triangulação e o da decomposição vetorial:

Método da triangulação:

Para o corpo estar em equilíbrio a soma dos vetores deve ser nula, assim se

juntarmos os vetores, o ponto inicial do primeiro vetor coincide com a seta

do último vetor formando um triângulo:

24

Como T1=1470N então, por trigonometria:

1 3

3 1

Assim, como agora temos os valores de T1 e de T3, para calcular T2 pode ser

utilizando o teorema de Pitágoras ou trigonometria:

Método da decomposição vetorial:

Neste método, deve-se fazer a decomposição do vetor que está inclinado (no

caso o T3) e, como o sistema está em equilíbrio, a componente T3x deve ser

igual a T2 e a componente T3y deve ser igual a T1, portanto:

Da figura podemos extrair o seguinte triângulo:

0 1

2

12 0

2

40

40

1751,88

Ttg

T

TT

tg

T N

3 1

31470

y

y

T T W

T N

25

E a resolução é igual ao do método da triangulação, assim, por

trigonometria:

3 3

3 3

Como agora temos os valores de T3 e de T3y, para calcular T3x pode ser

utilizando o teorema de Pitágoras ou trigonometria:

Como T2=T3x, então:

A pergunta que fica é: “Qual o melhor método?”. Bom isso depende da

aplicação, na situação do exemplo anterior, onde temos três vetores força e

um deles está inclinado, tanto faz o método, pois a resolução fica bem

parecida, mas quando temos dois vetores inclinados, o método da

triangulação é o mais simples, pois será resolvido apenas com a resolução

dos valores de cada vetor que forma o triângulo, enquanto que pelo método

da decomposição deve-se decompor os dois vetores inclinados. Agora,

quando temos mais de três vetores, o método da triangulação fica

impossível, pois não formará um triângulo e nesse caso deve-se aplicar o

método da decomposição.

30

3

3

3 0

3

40

40

1751,88

y

x

y

x

x

Ttg

T

TT

tg

T N

21751,88T N

26

4) Determine a força que é aplicada na mola, de constante elástica

k=12000N/m, da figura a seguir e também o quanto ela está alongada,

sabendo que a carga que está suspensa é de 180 kg.

Resolução:

1º passo: Montar o diagrama de forças do sistema:

Diagrama de forças que atuam na carga

Nesse diagrama pode-se perceber que para a carga estar em equilíbrio, a

força de tração (T1) deve ser igual a força peso (W).

1

1

1

1

Diagrama de forças que atuam entre os cabos

27

Lembre-se que Fel representa a força elástica, isto é, a força que a mola está

submetida.

2º passo: Escolher o método de resolução:

O método que será utilizado nessa resolução é o da triangulação. Para o

corpo estar em equilíbrio a soma dos vetores deve ser nula, assim se

juntarmos os vetores, o ponto inicial do primeiro vetor deve coincidir com a

seta do último vetor formando um triângulo:

Como T1=1764 N então, por trigonometria:

Com isso, já calculamos a força que está atuando na mola. Agora falta

determinar o quanto a mola está alongada, e para isso basta utilizar a

seguinte equação:

Equilíbrio de um corpo Extenso

No equilíbrio de um corpo extenso, além de analisar a condição de equilíbrio

para o movimento retilíneo (translação retilínea), devemos também analisar o

equilíbrio na rotação que é definido através da grandeza momento de uma força

ou momento torçor ou simplesmente torque.

0 1

0

20

1764

20

4846,55

el

el

el

Ttg

F

Ftg

F N

.

4846,55 12000.

0,4

elF k x

x

x m

28

Momento de uma Força

É a capacidade que uma força possui de rotacionar um determinado corpo.

Matematicamente é definido como o produto da intensidade de uma força pela

distância dessa força ao eixo de rotação, sendo que esse vetor força deve estar

perpendicular a uma linha que passe pelo eixo de rotação. Como o corpo pode

rotacionar nos sentidos horário e anti-horário, deve-se fazer uma distinção entre

eles, é usual considerar positivo quando o corpo tende a rotacionar no sentido

horário e negativo quando tende a rotacionar no sentido anti-horário, mas se

utilizar o inverso não terá problema o importante é fazer a distinção entre os

sentidos de rotação. Assim:

Exemplos: Determine o momento das forças nas situações indicadas nas figuras

a seguir:

1) Considere F1=80 N:

2) Considere F1=80 N:

3) Considere F1=100 N:

1.

80.0,5

40

M F d

M

M Nm

1.

80.0,5

40

M F d

M

M Nm

0M

O momento neste caso é nulo,

pois da forma que esta força está

sendo aplicada, a chave não terá

a capacidade de rotação.

Negativo porque a chave tende a

rotacionar no sentido anti-horário.

29

4) Considere F1=120000 N:

5) Considere F1=150 N, F2=100 N e F3=200 N:

6) Considere F = 500 N:

Neste caso temos que lembrar que o vetor força deve ser perpendicular à

distância até uma linha que passa pelo centro de rotação, assim, para facilitar

o cálculo, podemos decompor o vetor F na sua componente no eixo y e

utilizar a distância horizontal até o eixo de rotação (50 cm ou 0,5 m):

O valor de Fy é dado por:

Assim o momento dessa força será:

0M

O momento neste caso também

é nulo, pois da forma que esta

força está sendo aplicada, a

chave não terá a capacidade de

rotação.

1 2 3

1 2 3.0,5 .0,2 .0,3

150.0,5 100.0,2 200.0,3

95 60

35

F F FM M M M

M F F F

M

M

M Nm

0

0

0

cos30

.cos30

500.cos30

433,01

y

y

y

y

F

F

F F

F

F N

30

Condições de equilíbrio de um corpo extenso

Um corpo extenso para estar em equilíbrio deve obedecer as seguintes

condições:

1ª)

2ª)

3ª)

Lembre-se que o equilíbrio pode ser estático (repouso) ou dinâmico (movimento

retilíneo uniforme).

Estes conceitos são muito importantes para se projetar um mecanismo, pois é

necessário analisar os esforços que alguns pontos estratégicos do projeto estão

sujeitos para poder dimensioná-los.

Exercícios Resolvidos

1) Na figura a seguir a viga horizontal, homogênea e de massa 50 kg está presa

nas duas colunas por meio de parafusos dispostos nas duas extremidades.

Qual o esforço que cada parafuso está submetido?

Resolução:

1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema:

.

433,01.0,5

216,51

F y

F

F

M F d

M

M N

31

Observa-se que a força peso (W) está indicada no centro da viga, pois é no

centro de massa (ponto de equilíbrio) que podemos representar a força peso

de qualquer corpo, assim, fica indicado que todo peso do corpo está

concentrado no centro de massa, que neste caso é o centro geométrico.

O esforço que cada parafuso está submetido são as reações RA e RB, que

nada mais são do que as forças verticais que os parafusos devem fazer para

sustentar a força peso.

Percebe-se que nesse caso a força peso é distribuída igualmente para os

parafusos, assim:

2º passo: calcular a força peso:

3º passo: aplicar as condições de equilíbrio até conseguir calcular as

reações:

1ª)

Esta condição está atendida, pois não existem forças horizontais neste

sistema.

2ª)

Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão

negativas e a forças para baixo positivas, assim:

0A B

W R R

Como RA=RB, então:

50.9,8

490

W mg

W

W N

32

0

490 2 0

490 2

245

,

245

A B

A

A

A

A B

W R R

R

R

R N

Assim

R R N

Nota-se que neste exemplo era só dividir o peso por dois que teríamos

encontrado o esforço em cada parafuso, mas foi apresentada a técnica de

resolução através das condições de equilíbrio para provar que se chega ao

mesmo resultado e também para já ir se acostumando com essa técnica que

será a utilizada para se resolver questões mais complexas.

2) Colocando-se uma carga homogênea de 20 kg a 1m do apoio da esquerda do

exemplo anterior, conforme figura a seguir, qual será a nova força que cada

parafuso estará sujeito?

Resolução:

1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema:

33

Nesse caso temos duas forças peso, uma da viga horizontal e a outra da

carga que está em cima da viga. Como a carga não está centralizada, então

os esforços que os parafusos estão submetidos são diferentes, isto é, as suas

reações RA e RB são diferentes.

2º passo: calcular as forças peso:

3º passo: aplicar as condições de equilíbrio até conseguir calcular as

reações:

1ª)

Esta condição está atendida, pois não existem forças horizontais neste

sistema.

2ª)

Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão

negativas e a forças para baixo positivas, assim:

1 20

196 490 0

686

A B

A B

A B

W W R R

R R

R R

Não é possível resolver essa equação, pois existem duas incógnitas, assim,

teremos que partir para a terceira condição de equilíbrio:

3ª)

Observação: Lembre-se que momento é o produto da força pela distância

até um eixo de rotação e que o momento é positivo para rotação tendendo

ao sentido horário e negativo para rotação tendendo ao sentido anti-horário.

Nesse caso será adotado como eixo de rotação o parafuso da esquerda, pois

assim eliminaremos a incógnita RA durante o cálculo por possuir distância

zero, portanto:

1 1

1

1

20.9,8

196

W m g

W

W N

2 2

2

2

50.9,8

490

W m g

W

W N

34

1 20

196.1 490.1,5 .0 .3 0

196 735 .3 0

931 .3

310,33

W W R RA B

A B

B

B

B

M M M M

R R

R

R

R N

Para determinar RA é só voltar na segunda condição de equilíbrio e resolver

a equação, assim:

686

310,33 686

375,67

A B

A

A

R R

R

R N

Observe que, por a carga está mais próxima do parafuso da esquerda, ele

terá que suportar uma força maior que o da direita.

3) Na figura abaixo encontra-se uma caixa de 600N sobre uma viga horizontal

homogênea de 200 N mantidos em equilíbrio por um cabo de aço na

extremidade direita e um pino na extremidade esquerda. Determine a tração

exercida no cabo e a força que o pino está submetido.

Resolução:

1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema:

35

Nesse caso temos duas forças peso, uma da viga horizontal e a outra da

carga que está em cima da viga, uma força de tração no cabo de aço e uma

força de reação no pino devido à ação das forças peso.

Não é necessário calcular as forças peso, pois os valores já foram

determinados no enunciado do exercício.

2º passo: aplicar as condições de equilíbrio:

1ª)

Esta condição está atendida, pois não existem forças horizontais neste

sistema.

2ª)

Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão

negativas e as forças para baixo positivas, assim:

1 20

200 600 0

800

W W T R

T R

T R

Não é possível resolver essa equação, pois existem duas incógnitas, assim,

teremos que partir para a terceira condição de equilíbrio:

3ª)

Observação: Nesse caso será adotado como eixo de rotação o eixo que

está à esquerda, pois assim eliminaremos a incógnita R durante o cálculo

por possuir distância zero, portanto:

36

1 20

200.2,5 600.3 .5 .0 0

500 1800 .5 0

2300 .5

460

W W T RM M M M

T R

T

T

T N

Para determinar R é só voltar na segunda condição de equilíbrio e resolver

a equação, assim:

800

460 800

340

T R

R

R N

4) Na figura abaixo encontra-se uma caixa de 600N sobre uma viga horizontal

homogênea de 200 N mantidos em equilíbrio por um cabo de aço na

extremidade direita e um pino na extremidade esquerda. Determine a tração

exercida no cabo e a força que o pino está submetido.

Resolução:

Este exercício é muito parecido com o anterior, a única diferença é que o

cabo de aço encontra-se inclinado, assim, a resolução torna-se também

muito parecida.

1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema:

37

2º passo: aplicar as condições de equilíbrio:

1ª)

Neste caso, existem forças horizontais e para determinar a reação R, é

imprescindível calcular as suas componentes. Como as forças estão em

sentidos opostos, serão consideradas como positivas as forças que estão

apontadas para direita e negativas as forças que estão para a esquerda.

Portanto:

0x x

x x

R T

R T

Neste caso pode-se considerar também que, para estar em equilíbrio, as

forças que estão para direita devem ter a mesma intensidade das forças que

estão para esquerda, isto é:

x xR T

2ª)

Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão

negativas e a forças para baixo positivas, assim:

1 20

200 600 0

800

y y

y y

y y

W W T R

T R

T R

Não é possível resolver essa equação, pois existem duas incógnitas, assim,

teremos que partir para a terceira condição de equilíbrio:

38

3ª)

Observação: Nesse caso será adotado como eixo de rotação o eixo que está

à esquerda, pois assim eliminaremos a incógnita Ry durante o cálculo por

possuir distância zero, portanto:

1 20

200.2,5 600.3 .5 .0 0

500 1800 .5 0

2300 .5

460

W W T Ry y

y y

y

y

y

M M M M

T R

T

T

T N

Para determinar Ry é só voltar na segunda condição de equilíbrio e resolver

a equação, assim:

800

460 800

340

y y

y

y

T R

R

R N

Para determinar o valor da tração do cabo (T) e sua componente Tx, deve-se

utilizar o triângulo formado entre T, Tx e Ty, assim:

Percebe-se que a tração no cabo é maior quando ele está inclinado do que

quando ele está na vertical (caso do exercício anterior), pois com ele

inclinado origina-se um força horizontal no sistema.

Para determinar Rx é só voltar na primeira condição de equilíbrio, assim:

548,21x x

x

R T

R N

39

E para terminar, basta calcular a reação no pino (R) através do teorema de

Pitágoras:

2 2 2

2 2 2548,21 340

645,08

x yR R R

R

R N

40

Referências Bibliográficas

RAMALHO, F.; CARDOSO, J; FERRARO, N & TOLEDO, P. Os Fundamentos da Física, 1. Moderna, São Paulo,

2000.

DOCA, R. H.; BISCUOLA, G. J. & VILLAS, N. Tópicos de Física, 1. Saraiva, São Paulo, 2001.

RESNICK, R.; HALLIDAY, D. & KRANE, K. Física 1. LTC, EUA, 2003.

MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. Érica. São Paulo, 1999.