Apostila Estatistica PDF[1]

Estatística

Profª Janice Natera Gonçalves

CURSO:

Nome:

RA:

Semestre:

Apostila Estatística_______________________________________________________

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Profª Ms. Janice Natera Gonçalves

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Conceitos

• População:

É um conjunto de uma mesma característica. Ex: Alunos de uma universidade.

• Amostra: É um subconjunto de uma população.

Ex: Parte de alunos de uma universidade.

• Variável:

Um número correspondente a possíveis resultados. Podemos ter:

Ø Variável discreta: expressada por um número. Ex: Grau de instrução.

Ø Variável contínua: expressada por um intervalo de números. Ex: Salário.

• Dados Brutos: É uma sequência de valores numéricos não organizados.

Ex: 5, 9, 2, 10, 2, 10, 11, 3, 5.

• Rol:

É uma sequência de valores numéricos organizados. Podendo ser em ordem crescente ou decrescente.

Ex: 2, 2, 3, 5, 5, 9, 10, 10, 11.

Arredondamento

Para resolver alguns exercícios, às vezes é necessário utilizarmos arredondamento nas casas decimais.

Para iniciarmos, faremos um combinado que usaremos durante todo o curso. Ao fazermos arredondamento, utilizaremos apenas duas casas após a vírgula.

Ø Quando o terceiro algarismo após a vírgula for 0, 1, 2, 3 ou 4, conservamos o

segundo algarismo após a vírgula. Ex: 9,3724 9,37 (não acrescentamos nenhuma unidade, pois o terceiro algarismo após a vírgula é 2) Ø Quando o terceiro algarismo após a vírgula for 5, 6, 7, ou 9, aumentamos uma

unidade no segundo algarismo após a vírgula.


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Ex: 9,3794 9,38 (acrescentamos uma unidade, pois o terceiro algarismo após a vírgula é 9)

Somatório

Somatório é representado pela letra grega ∑ (sigma) Para facilitar alguns cálculos que usaremos durante o curso, faremos alguns cálculos

somatórios.

Exemplo 1:

Dada a sequência : x: 1, 2, 3, 5, 6.

a) Calcule: ∑ xi

Ø Somamos todos os números da sequência.

∑ x = 1+ 2 + 3 + 5 + 6 = 17

b) Calcule: ∑ x2

Ø Primeiro elevamos ao quadrado todos os números da sequência, depois

somamos.

12 = 1 22 = 4

32 = 9

52 = 25

62 = 36 ∑ x2 = 1+ 4 + 9 + 25 + 36 = 75

Exemplo 2: Dada a tabela:

ix if

2 3

4 1

6 4

8 2


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4

Calcule:

a) ∑ xi b) ∑ fi

Ø Aumentamos uma linha na tabela para fazermos a soma de xi e fi..

ix if

2 3

4 1

6 4

8 2

∑ 20 10

c) ∑ xi . fi

Ø Construímos uma terceira coluna, em cada linha fazemos a multiplicação de

xi com fi , em seguida fazemos a soma da coluna de xi . fi.

Tabela de distribuição de frequência

Objetivo:

Registrar dados coletados (pesquisados) em forma de tabelas para facilitar a leitura dos dados.

ix if ix . if

2 3 6

4 1 4

6 4 24

8 2 16

∑ 20 10 50


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Podemos representar em uma tabela com dados estatísticos, elementos de uma amostra ou uma população e pode ser representada das seguintes formas: frequência simples, variável discreta e variável contínua.

• Frequência Simples:

Frequência simples é uma sequência de dados numéricos que foram organizados através de dados coletados.

Ex: Em uma sala de aula 40 alunos realizaram uma avaliação valendo de 0 a 10 e

foram obtidos os seguintes valores:

• Variável discreta:

Ao montarmos uma tabela em que agrupamos uma sequência, chamamos de variável discreta.

Ex: Em uma sala de aula 40 alunos realizaram uma avaliação valendo de 0 a 10 e foram

obtidos os seguintes valores:

Resolução:

1. Temos uma sequência de dados brutos (dados não organizados), para facilitar a

construção da tabela, vamos construir o rol (dados organizados).

8 10 7,5 9 8 10 9,5 7,5 5 4

7,5 5 4,5 4 4,5 5 7,5 4 4,5 5

2 3 4,5 9,5 4 4,5 3 5,5 3 4

9,5 75 8,5 4 6 3 4 6 6 3

9 10 7,5 9 7,5 10 9,5 7,5 5 4

7,5 5 4,5 4 4,5 5 7,5 4 4,5 5

9 3 4,5 9,5 4 4,5 3 6 3 4

9,5 7,5 3 4 6 3 4 6 6 3


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2. Agora iremos tabular os dados deste rol, da seguinte forma:

• Na primeira coluna colocamos as notas obtidas.

• Na segunda coluna colocamos a quantidade de cada nota obtida.

Notas ( ix ) Quantidade

de notas ( if )

∑

OBS: ix : Os diferentes valores do rol.

if : Quantidade de cada valor: frequência simples.

• Variável contínua:

Ao montarmos uma tabela em que agrupamos uma sequência com intervalo de classes, chamamos de variável contínua.


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7

Ex: Utilizaremos o mesmo exemplo da variável discreta, acrescentando dois dados:

Ø →il Início do intervalo de classes.

Ø →0h Amplitude: intervalo de classes.

Utilize: 3=il 20 =h

Resolução:

Construímos uma tabela com três colunas.

• Na primeira coluna colocamos a quantidade de intervalo de classes.

• Na segunda colocamos os intervalos de classes usando como início o 3 e

como intervalo de classes 3.

• Na terceira colocamos a quantidade de notas de cada intervalo de classe.

• Construção de uma Tabela de Variável contínua:

No exemplo anterior, ao montarmos a tabela, já possuíamos o il e o 0h , se não

houvesse como faríamos. No próximo exemplo verificaremos.

Exemplo: Dada a sequência, construa a tabela de variável contínua:

Classe )( i Notas (int.de classe)

if

1

2

3

4

∑ 40


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8

Ø Primeiramente construímos o rol para facilitar a resolução:

1. Pegamos o maior valor do rol e subtraímos do menor valor do rol. R = 41 – 15 = 26

2. Agora temos que descobrir a quantidade de classes:

k= n

k= 36

K= 6

n: quantidade de elementos do rol.

k: quantidade de classes.

Obs: Se o resultado do K fosse um número decimal, para facilitar, trabalharemos sempre com o próximo numero inteiro.

3. Próximo passo é descobrirmos a amplitude da classe (o intervalo), usaremos a

seguinte formula:

K

Rh =

6

26=h

33,4=h

h: amplitude da classe

19 20 35 41 18 39 20 36 25

16 15 33 20 28 18 16 39 19

18 20 18 25 15 39 20 37 36

36 16 35 23 35 33 30 16 28

15 15 16 16 16 16 18 18 18

18 19 19 20 20 20 20 20 23

25 25 28 28 30 33 33 35 35

35 36 36 36 37 39 39 39 41


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9

Obs: O resultado de h é um número decimal, para facilitar, iremos trabalhar sempre com

o próximo inteiro, no caso 5, portanto nosso intervalo será cinco.

4. Como nossa menor número é 15, podemos começar com ele. Portanto, nossa tabela ficará da seguinte forma:

Representação Gráfica

Objetivo:

Ø Analisar gráficos estatísticos: representar a coleta de dados estatísticos em forma de

gráficos, para facilitar a leitura dos dados.

Ø Registrar dados coletados (pesquisados) nas tabelas em porcentagem.

Existem vários tipos de gráficos para representar dados estatísticos: colunas, linhas, barras, setores, entre outros. • Representação Gráfica de uma variável discreta – Histograma

Representa-se graficamente uma variável discreta da seguinte forma: Exemplo: Dada à série:

ix if

1 3

2 2

3 9

4 5

5 3

Classes Intervalo de classe if

1 15 20 12

2 20 25 6 3 25 30 4 4 30 35 3 5 35 40 10 6 40 45 1

∑ 36


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10

Representaremos esta série no gráfico da seguinte forma:

fi

987654321

1 2 3 4 5 xi

Obs: As colunas ficam separadas porque é uma variável discreta.

• Representação Gráfica de uma variável contínua – Histograma Representamos graficamente uma variável contínua da seguinte forma: Exemplo: Dada à série:

Construindo o gráfico:

Obs: As colunas ficam juntas porque é uma variável contínua que representa os intervalos das classes.

fi

7654321

0 3 6 9 12 xi


1 0 3 2

2 3 6 5

3 6 9 7

4 9 12 3


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Quando usamos os pontos médios de cada coluna, podemos obter um novo gráfico chamado de polígono de frequência:

fi

7654321

0 3 6 9 12 xi

Representado sem as colunas obtemos um gráfico de linhas.

fi

7654321

0 3 6 9 12 xi

Frequência Relativa

Para Calcularmos a frequência relativa, você deve dividir o valor da frequência absoluta pelo total de elementos (n) e multiplicar por 100.

frel = n

fi. 100

frel: frequência relativa fi: frequência simples n: total de elementos

Exemplo: A tabela dada representa as idades de 21 professores de uma escola. Construa a frequência relativa.


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12

ix if

2 1

3 4

5 8

6 6

7 2

∑ 21

Resolução:

Não esqueça: frel = n

fi. 100

1) frel.1 = 21

1. 100

frel.1 = 4,76

2) frel.2 = 21

4. 100

frel.2 = 19,05

3) frel.3 = 21

8. 100

frel.3 = 38,1

4) frel.4 = 21

6. 100

frel.4 = 28,57

5) frel.5 = 21

2. 100

frel.5 = 9,52

Para construir a tabela com a frequência relativa, primeiramente você irá inserir mais uma coluna. A soma desta coluna tem que resultar 100% ou aproximadamente.

ix if

relf (%)

2 1 4,76

3 4 19,05

5 8 38,1

6 6 28,57

7 2 9,52

∑ 21 100 %

Observamos que o total da frequência relativa é 100%.


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Frequência Acumulada ( acf )

Para representar a frequência acumulada, você somará os elementos da frequência simples acumulando cada elemento que vem a seguir.

Exemplo: Dada à tabela, calcule a frequência acumulada.

ix if

2 1

3 4

5 8

6 6

7 2

∑ 21

Você deverá construir mais uma coluna e fazer a seguinte soma acumulada:

• fac.1 = 1

• fac.2 = 1+4=5

• fac.3 = 5+8=13

• fac.4 = 13+6=19

• fac.5 = 19+2=21

Observe que a última frequência acumulada é igual à soma da frequência simples.

Frequência Acumulada Relativa (Frel)

Para calcular a frequência acumulada relativa, você deve pegar cada valor da frequência acumulada e dividimos pelo total de elementos (n) e multiplicamos por 100.

Frel = n

fac. 100

Frel: frequência relativa acumulada Fac: frequência acumulada n: total de elemento

Exemplo 1: Dada à tabela, calcule a frequência acumulada relativa.

ix if acf

2 1 1

3 4 5

5 8 13

6 6 19

7 2 21

∑ 21


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14

ix if

2 1

3 4

5 8

6 6

7 2

∑ 21

1) Fazemos a frequência relativa como no exemplo dado:

1) frel.1 = 21

1. 100

frel.1 = 4,76

2) frel.2 = 21

4. 100

frel.2 = 19,05

3) frel.3 = 21

8. 100

frel.3 = 38,1

4) frel.4 = 21

6. 100

frel.4 = 28,57

5) frel.5 = 21

2. 100

frel.5=9,5

Observe que o total da frequência relativa é 100%.

2) Você deverá construir mais uma coluna para a frequência acumulada relativa.

• Fac.1 = 4,76

• Fac.2 = 4,76 + 19,05= 23,81

• Fac.3 = 23,81 + 38,1 = 61,91

• Fac.4 = 61,91 + 28,57 = 90,48

• Fac.5 = 90,48 + 9,52 = 100%

ix if

relf (%)

2 1 4,76

3 4 19,05

5 8 38,1

6 6 28,57

7 2 9,52

∑ 21 100 %

ix if

relf (%) Fac.(%)

2 1 4,76 4,76

3 4 19,05 23,81

5 8 38,1 61,91

6 6 28,57 90,48

7 2 9,52 100%

∑ 21 100 %

Apostila Estatística_________ ____________________________________________

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Exemplo 2: Dada à tabela, calcule a frequência acumulada relativa

Medidas de Tendência Central

Média Aritmética.

Objetivo: O objetivo da média aritmética é o valor médio de uma série. Para representar a média aritmética usamos o seguinte símbolo: x .

Média Aritmética Simples: Dados não agrupados.

Para calcular a média aritmética simples usamos a seguinte fórmula:

n

xix

∑= ∑ i : soma de todos os elementos da série.

n: quantidade de elementos da série

Exemplo: Dada à série, calcule a média aritmética simples: 4, 8, 12, 16.

• Primeiro você precisa somar todos os elementos:

∑ x i= 4+8+12+16= 40

• Agora substituindo na fórmula:

n

xix

∑= x = 4

40 x = 10

Classes Intervalo de classe if relf (%) Fac.(%)

1 0 10 8 16 16

2 10 20 10 20 36

3 20 30 4 8 44

4 30 40 12 24 68

5 40 50 16 32 100%

∑ 50 100%


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16

Média Aritmética Ponderada: Dados agrupados.

Para calcular a média aritmética ponderada usamos a seguinte fórmula:

∑∑=

i

ii

f

fxX x i : elementos da série.

∑ fi : Quantidade de elementos. Exemplo (1): Dada à tabela de variável discreta calcule a média aritmética:

ix if

2 1

3 4

5 8

6 6

7 2

∑ 21

• Para iniciar o cálculo você deverá inserir mais uma coluna para calcularix .

if :

∑∑=

i

ii

f

fxX x =

21

104 x = 4,95

Exemplo (2): Dada à tabela da distribuição, calcule a média aritmética:

ix if

ix . if

2 1 2 3 4 12 5 8 40

6 6 36 7 2 14

∑ 21 104


1 0 4 2

2 4 8 5

3 8 12 7

4 12 16 3


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17

• Para iniciar o cálculo você deverá inserir mais uma coluna e calcular média

simples de cada intervalo de classes.

2

1x=

2

40 += 2

2

2x=

2

84 += 6

2

3x=

2

128 += 10

2

4x=

2

1612 += 14

• Agora acrescente mais uma coluna e calcule ix .

if

• Acrescente uma linha e some as colunas: if e ix . if

• Para finalizar substituiremos na

fórmula:

∑∑=

i

ii

f

fxX x =

17

163 x = 9,5

Mediana

Objetivo: O objetivo da mediana é calcular valor central da série.

Para representar a média aritmética usamos: md.

Para calcular a resolução da mediana é preciso observar se o número de elementos da série é par ou ímpar e fazer o rol.


ix

1 0 4 2 2

2 4 8 5 6

3 8 12 7 10

4 12 16 3 14

Classes Intervalo de classe if ix

ix . if

1 0 4 2 2 4

2 4 8 5 6 30

3 8 12 7 10 70

4 12 16 3 14 42

∑ 17 163


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18

• Se o número de elementos do rol for ímpar, o valor da mediana é o número central da sequência, para encontrar este número você irá usar

a seguinte fórmula: 2

1+n , onde n é o número de elementos do rol.

• Se o número de elementos do rol for par, o valor da mediana são os dois números centrais da sequência, para encontrar este número você

irá usar as seguintes fórmulas: 2

n e 1

2+n

, onde n é o número de

elementos do rol. Os números que ocupam estas posições você irá calcular a média para obter o resultado.

Exemplo 1: Determinar a mediana da seguinte sequência: 25, 10, 15, 5, 20.

• Você deve obter o Rol: 5, 10, 15, 20, 25. • Observe que a sequência tem cinco elementos, portanto o número de elementos é par. Para calcular a mediana você usará:

2

1+n =

2

15 + = 3, porém a mediana ocupa a posição 3º.

5, 10, 15, 20, 25 md= 15

Exemplo 2: Determinar a mediana da seguinte sequência: 10, 15, 5, 20.

• Você deve obter o Rol: 5, 10, 15, 20. • Observe que a sequência tem quatro elementos, portanto o número de elementos é ímpar. Para calcular a mediana você usará:

2

n =

2

4 = 2 1

2+n

= 12

4 + = 3

Porém a mediana ocupa a posição 2º e 3º.

• O elemento que ocupa a posição 2º é o 10. E o elemento que ocupa a

posição 3º é o 15.

• Agora calcule a mediana:

md= 2

1510 + = 12,5 md= 12,5


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19

Exemplo 3: Determinar a mediana da seguinte série:

n = 17, portanto ímpar.2

1+n=

2

117 += 9

• Você sabe que a mediana ocupa a posição 9º, agora para saber qual é o

número que ocupa esta posição você terá que calcular a frequência

acumulada

• Para você saber qual é a mediana desta série, você terá que olhar na

coluna da acf , o número mais próximo e acima de 9, no caso é o 12,

olhando na mesma linha o valor de ix é 7: md = 7


ix if

3 2

5 5

7 3

8 2

∑ 17

ix if

acf

3 3 3

5 5 8

7 4 12

8 5 17

∑ 17

ix if

3 2

5 5

7 4

8 2

∑ 18


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20

• Você sabe que a mediana ocupa a posição 9º e 10º, agora para saber

qual é o número que ocupa esta posição você terá que calcular a

frequência acumulada.

n = 18, portanto é par.

92

18

2==n

1012

181

2=+=+n

md= 62

75 =+


• Quando temos uma tabela com intervalo de classes, não importa se é par

ou ímpar, você irá calcular direto 2

n, para saber a classe que ocupa a

mediana. 2

n=

2

17=8,5

• Para você saber qual é a classe que ocupa esta posição você terá que

calcular a frequência acumulada.

ix if

acf

3 4 4

5 5 9

7 7 16

8 2 18

∑ 18


1 0 4 2

2 4 8 5

3 8 12 7

4 12 16 3

∑ 17


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21

Para você saber qual é a classe da mediana desta série, você terá que olhar na coluna da acf , o número mais próximo e acima de 8,5, no caso é o 14, olhando na mesma linha ele está na classe 3, portanto ocupa o intervalo:

8 12

• Você sabe o intervalo em que a mediana está, agora você descobrirá o

valor exato usando a seguinte fórmula:

hf

Fn

lMmd

ant

mdd ⋅−

+= 2

Onde:mdl – limite inferior da classe mediana.

47

72

19

8 ⋅−

+=dM n – número de elementos da série.

antF – Freqüência acumulada da classe anterior.

md= 9,43

à classe mediana.

mdf – freqüência simples da classe mediana

h – amplitude do intervalo de classe.


acf

1 0 4 2 2

2 4 8 5 7

3 8 12 7 14

4 12 16 3 17

∑ 17

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22

Moda

Objetivo: O objetivo da mediana é descobrir o valor da maior frequência de

uma série. Para representar a média aritmética usamos: mo.

Para calcular a moda, você deverá observar qual é o elemento que se repete mais vezes.

Exemplo 1: Determinar a moda da seguinte sequência: 13, 10, 9, 7, 10, 13, 10.

• Para facilitar a visualização, você poderá construir o rol:

7, 9, 10, 10, 10, 13, 13.

• O elemento que se repete mais vezes é o 10, portanto:

mo = 10

Exemplo 2: Determinar a moda da seguinte sequência: 1, 4, 3 ,7, 3, 4, 2.

• Para facilitar a visualização, você poderá construir o rol:

1, 2, 3, 3, 4, 4, 7.

• Neste caso os números que se repetem mais vezes são 3 e 4, se

repetem a mesma quantidade, portanto:

mo = 3 e mo = 4

Exemplo 3: Determinar a moda da seguinte variável sem intervalo de classes:

ix if

2 3

4 5

6 7

7 10

∑ 25


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23

Olhando na coluna do if , vemos que a maior frequência é 10, portanto elemento que mais se repete é o 7 (coluna do ix e linha do if . mo = 7

Exemplo 4: Determinar a moda da seguinte variável com intervalo de classes:

Para você saber qual é a classe da moda desta série, você terá que olhar na

coluna da if , o número que tiver maior frequência no caso é o 7, olhando na

mesma linha ele está na classe 4, portanto ocupa o intervalo:

40 50

• Você sabe o intervalo em que a moda está, agora você descobrirá o valor

exato usando a seguinte fórmula:

hlM moO ⋅∆+∆

∆+=21

1

onde:

mol – limite inferior da classe modal.

1∆ –freq. da classe modal menos freq. anterior a classe modal.

2∆ – freq. da classe modal menos freq. posterior à classe modal.


• Para fazermos a substituição na fórmula, primeiro calcularemos os

valores de 1∆ e 2∆ :


1 10 20 3

2 20 30 4

3 30 40 2

4 40 50 7

5 50 60 5

∑ 21


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24

1∆ =7-2=5

2∆=7-5=2

1025

540 ⋅

++=OM mo= 47,14

Medidas de Separatrizes: Quartil, Decil e Percentil – Variável sem intervalo de classes.

Objetivo:

Ø Quartil: O objetivo do quartil é dividir os valores de uma série em quatro

partes iguais.

Ø Decil: O objetivo do decil é dividir os valores de uma série em dez partes

iguais.

Ø Percentil: O objetivo do percentil é dividir os valores de uma série em cem

partes iguais.

Quartil: Existem três quartis para calcularmos:

• Q1 - Primeiro quartil: valor da série que separa a sequência 25% dos

valores menores e 75% dos valores maiores.

• Q2 - Segundo quartil: o cálculo é igual ao da mediana.

• Q3 - Terceiro quartil: valor da série que separa a sequência 75% dos


Para calcular o quartil de uma variável sem intervalo de classe,

primeiramente você deve usar a seguinte fórmula:

4

i

i

fiQ

∑→ i : quartil pedido.

if : quantidade de cada elemento.


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25

Decil: Existem nove decis para calcularmos para calcularmos: D1, D2, ..., D9

• D1 - Primeiro decil: valor da série que separa a sequência 10% dos


.

.

.

• D7 - Sétimo decil: valor da série que separa a sequência 70% dos


.

.

.

• D9 - Nono decil: valor da série que separa a sequência 90% dos


Para calcular o decil de uma variável sem intervalo de classe, primeiramente você

deve usar a seguinte fórmula:

10

i

i

fiD

∑→ i : decil pedido.


Percentil: Existem noventa e nove percentis para calcularmos para calcularmos:

P1, P2, ..., P99

• P1o - Décimo percentil: valor da série que separa a sequência 10%

dos valores menores e 90% dos valores maiores.

.

.

.


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26

• P98 – Nonagésimo oitavo: valor da série que separa a sequência 98%

dos valores menores e 2% dos valores maiores.

Para calcular o percentil de uma variável sem intervalo de classe, primeiramente

você deve usar a seguinte fórmula:

100

i

i

fiP

∑→ i : percentil pedido.


Exemplo: A tabela representa a idade de 50 professores de uma universidade.

Calcule:

a)Q1 b) D7 c) P90

• Para iniciar você deve inserir mais uma coluna e calcular a frequência acumulada.

idade Quantidade de

professores 25 10

30 15

35 13

40 12

∑ 50

idade Quantidade de

professores

fac

25 10 10

30 15 25

35 13 38

40 12 50

∑ 50


______________________________________________________________________


27

a)Calcule o valor de: 4

ifi∑, para Q1

5,124

50.1

41 →→

∑→ ifi

Q

• O valor achado foi 12,5, portanto observe a coluna da fac, o número mais próximo acima, é o 25, na mesma linha o valor do xi (idade) é 30. Q1 = 30

b)Calcule o valor de: 10

ifi∑, para D7

3510

50.7

107 →→

∑→ ifi

D

• O valor achado foi 35, portanto observe a coluna da fac, o número mais próximo

acima, é o 38, na mesma linha o valor do xi (idade) é 35. D7 = 35

c) Calcule o valor de: 100

ifi∑, para P90 45

100

50.90

10090 →→

∑→ ifi

P .

• O valor achado foi 45, portanto observe a coluna da fac, o número mais próximo

acima, é o 50, na mesma linha o valor do xi (idade) é 40. P90 = 40

Quartil, Decil e Percentil – Variável com intervalo de classes.

Objetivo: O objetivo desta aula é dar continuidade na aula 06, calculando o

valor do Quartil, Decil e Percentil de uma variável com intervalo de

classes.

Quartil: Para calcular o quartil de uma variável com intervalo de classes você usará a seguinte fórmula:


______________________________________________________________________


28

hf

Ffi

lQi

ant

i

ii ⋅−

∑

+= 4

.

Onde:

il – limite inferior da classe.

if∑ – número de elementos da série.


if – freqüência simples da classe.


Decil: Para calcular o decil de uma variável com intervalo de classes você

usará a seguinte fórmula:

hf

Ffi

lDi

ant

i

ii ⋅−

∑

+= 10

.

Onde:






Percentil: Para calcular o percentil de uma variável com intervalo de classes você usará a seguinte fórmula:

hf

Ffi

lPi

ant

i

ii ⋅−

∑

+= 100

.

Onde:






Exemplo: A tabela representa a idade de 50 professores de uma universidade.

Calcule: a)Q3 b) D5 c) P28

Intervalo de classe

if

10 20 3

20 30 4

30 40 2

40 50 7

50 60 5

∑ 21


______________________________________________________________________


29

• Para iniciar você deve inserir mais uma coluna e calcular a frequência

acumulada.

a) Calcule o valor de: 4

ifi∑, para Q3

75,184

25.3

43 →→

∑→ ifi

Q

• O valor achado foi 18,75, portanto observe a coluna da fac, o número mais

próximo acima, é o 20, que está na linha da quarta classe, ocupando o seguinte

intervalo: 40 50.

• Sabemos que o valor do quartil está neste intervalo, agora para descobrir o valor

exato, você irá usar a seguinte fórmula:

hf

Ffi

lQi

ant

i

ii ⋅−

∑

+= 4

107

1375,18403 ⋅−+=Q

21,483 =Q

Classes Intervalo de classe

if fac

1 10 20 3 3

2 20 30 4 7

3 30 40 6 13

4 40 50 7 20

5 50 60 5 25

∑ 25

Apostila Estatística_____________ ____________________________________________

______________________________________________________________________


30

b) Calcule o valor de: 10

ifi∑, para D5

5,1210

25.5

105 →→

∑→ ifi

D

• O valor achado foi 12,5, portanto observe a coluna da fac, o número mais

próximo acima, é o 13, está na linha da quarta classe, que ocupa o seguinte

intervalo: 30 40.

• Sabemos que o valor do decil está neste intervalo, agora para descobrir o

valor exato, você irá usar a seguinte fórmula:

hf

Ffi

lDi

ant

i

ii ⋅−

∑

+= 10

106

75,12305 ⋅−+=D

17,395 =D

c) Calcule o valor de: 100

ifi∑, para P28

7100

25.28

10028 →→

∑→ ifi

P

c) O valor achado foi 7, portanto observe a coluna da fac, o número mais próximo

acima, é o próprio 7, está na linha da segunda classe, que ocupa o seguinte

intervalo: 20 30.

d) Sabemos que o valor do percentil está neste intervalo, agora para descobrir o

valor exato, você irá usar a seguinte fórmula:

hf

Ffi

lPi

ant

i

i ⋅−

∑

+= 10028

104

372028 ⋅−+=P 3028 =P


______________________________________________________________________


31

Medidas de Dispersão: Desvio Médio Simples – Variável sem intervalo de classes.

Objetivo: O desvio médio simples é definido como sendo uma média aritmética dos

desvios de cada elemento da série para a media.

Ø Para o cálculo do desvio médio simples usaremos DMS e a seguinte fórmula

para uma sequência sem dados agrupados:

n

xxDMS

i −∑= ix Cada elemento da série.

x Média aritmética. n Número de elementos da série. Observação: como não existe distância negativa calculamos em módulo. Lembrete:

Para calcular a média sem dados agrupados use: n

xix

∑=

Exemplo: Dada à série, calcule o desvio médio: 3, 4, 7, 9.

• Primeiro você precisa calcular a média:

n

xix

∑= 4

9743 +++=x 4

23=x 75,5=x

• Agora calcule xxi − :

xx −1 = 75,53 − =2,75

xx −2 = 75,54 − =1,75

xx −3 = 75,57 − =1,25

xx −4 = 75,59 − =3,25

• Agora calcule:

n

xxDMS

i −∑=

4

25,325,175,175,2 +++=DMS 4

9=DMS 25,2=DMS


______________________________________________________________________


32

Ø Para o cálculo do desvio médio simples usaremos DMS e a seguinte fórmula

para uma sequência com dados agrupados sem intervalo de classes:

i

ii

f

fxxDMS

∑

−∑=

. ix Cada elemento da série.

x Média aritmética. if∑ Número de elementos da série. Lembrete:

Para calcular a média com dados agrupados use: i

ii

f

fxx

∑

∑=

.

Exemplo: Dada à tabela, calcule o desvio médio:

ix if

3 3

4 2

5 4

7 5

8 4

∑ 18

• Primeiro você precisa calcular a média, insira uma coluna para calcular ii fx .∑ :

∑∑=

i

ii

f

fxX x =

18

104 x = 5,78

• Agora insira uma coluna para calcular xxi −∑ :

• Insira uma coluna para calcular ii fxx .−∑ :


______________________________________________________________________


33

• Agora calcule:

i

ii

f

fxxDMS

∑

−∑=

.

18

30=DMS 67,1=DMS

Medidas de Dispersão: Desvio Médio Simples – Variável com intervalo de classes.

Objetivo: Nesta aula daremos continuidade ao cálculo do Desvio Médio, agora com

a sequência de dados agrupados com intervalo de classes.

Ø Para o cálculo do desvio médio com intervalo de classes, usaremos a mesma

fórmula que uma sequência sem dados agrupados:

i

ii

f

fxxDMS

∑

−∑=

. ix Cada elemento da série.

x Média aritmética. if∑ Número de elementos da série. Lembrete:

Para calcular a média com dados agrupados use: i

ii

f

fxx

∑

∑=

.

ix if ix . if xxi − ii fxx .−

3 3 9 78,278,53 =− 8,34

4 2 8 78,178,54 =− 3,56

5 4 20 78,078,55 =− 3,12

7 5 35 22,178,57 =− 6,1

8 4 32 22,278,58 =− 8,88

∑ 18 104 8,78 30


______________________________________________________________________


34

Exemplo: Dada à tabela, calcule o desvio médio:

• Primeiro você precisa calcular a média, insira uma coluna para calcular 2

si

i

Llx

−=

(limite inferior do intervalo, menos limite superior, divido por dois):

• Agora é preciso calcular a média, insira uma coluna para ix . if :

∑∑=

i

ii

f

fxX x =

27

1055 x = 39,07

• Agora insira uma coluna para calcular xxi −∑ :

• Insira uma coluna para calcular ii fxx .−∑ :

Classe Intervalo de classe

fi

1 10 20 3

2 20 30 4

3 30 40 7

4 40 50 5

5 50 60 8

∑ 27

Classe Intervalo de classe

fi xi ix . if xxi − ii fxx .−

1 10 20 3 15 45 07,2407,3915 =− 72,21

2 20 30 4 25 100 07,1407,3925 =− 56,28

3 30 40 7 35 245 07,407,3935 =− 28,49

4 40 50 5 45 225 93,507,3945 =− 29,65

5 50 60 8 55 440 93,1507,3955 =− 127,44

∑ 27 1055 314,07


______________________________________________________________________


35

• Agora calcule:

i

ii

f

fxxDMS

∑

−∑=

.

27

37,314=DMS 63,11=DMS

Medidas de Dispersão: Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação, sem

intervalo de classes.

Objetivo:

Ø A variância indica como os valores estão longe do que o valor esperado.

Ø O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

Ø O coeficiente de variação é a variância divida pela média, vezes cem.

Variância

Para representar a variância usamos a letra grega sigma elevada ao quadrado:σ 2

.

Para calcular a variância, você poderá usar as seguintes fórmulas:

• Sequência simples:

σ 2=

( )n

i xx −∑2

xi : valor dos elementos

x : média n : numero de elementos

• Variável discreta e contínua:

σ 2=

( )f

fxx

i

ii

∑

∑ −2

xi : valor dos elementos

x : média fi : quantidade de elementos


______________________________________________________________________


36

Desvio Padrão Para representar o desvio padrão: σ

Para calcular o desvio padrão use a seguinte fórmula:

σ = σ 2

Coeficiente de Variação

Para representar o coeficiente de variação: CV

Para calcular o coeficiente de variação use a seguinte fórmula:

100.x

CVσ= σ : desvio padrão

x : média

Exemplo 1: Calcule a variância, desvio padrão e coeficiente de variação da seguinte

sequência: 3, 2, 4, 7, 10

Resolução 1: Variância Lembrando, como é uma sequência simples, use a seguinte fórmula:

σ 2=

( )n

i xx −∑2

• Calcule a média:

n

xix

∑= 5

107423 ++++=x 2,5=x

• Para cada elementos calcule: ( )2

xxi −

§ ( )2

1 xx − = ( )22,53 − =4,84

§ ( )2

2 xx − = ( )22,52 − =10,24

§ ( )2

3 xx − = ( )22,54 − =1,44

§ ( )2

4 xx − = ( )22,57 − =3,24

§ ( )2

5 xx − = ( )22,510 − =23,04


______________________________________________________________________


37

∑ ( )2

xxi − = 4,84+10,24+1,44+3,24+24,96 = 42,8

• Substitua agora na fórmula :

σ 2=

( )n

i xx −∑2

σ 2=

5

72,44 σ 2

= 8,56

Portanto a variância é: 8,94

Resolução 2: Desvio Padrão

Lembrando que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

σ = σ 2 σ = 94,8 σ = 2,92

Portanto o desvio padrão é: 2,92

Resolução 3: Coeficiente de Variação

100.x

CVσ= 100.

2,5

92,2=CV 15,56=CV

Exemplo 2: Calcule a variância, desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte variável com dados agrupados sem intervalo de classes:

Lembrando que você terá que usar esta fórmula:

σ 2=

( )f

fxx

i

ii

∑

∑ −2

ix if

0 2

1 3

2 1

3 5

4 7

∑ 18


______________________________________________________________________


38

Resolução 1:

• Para você iniciar o exercício, terá que calcular a média, portanto deverá inserir uma

coluna na tabela para calcular xi . f i, não esqueça que a fórmula da média é:

∑∑=

i

ii

f

fxX x =

18

48 x = 2,67

• Agora você deve inserir mais uma coluna para calcular ( )2

xxi − .

• Para terminar a construção da tabela você deve inserir mais uma coluna para

calcular ( )2

xxi − . if

• Agora para calcular a variância você deverá substituir na fórmula:

σ 2=

( )f

fxx

i

ii

∑

∑ −2

σ 2=

18

02,36 σ 2

= 2

Portanto a variância é: 2



ix if ix . if ( )2

xxi − ( )2

xxi − . if

0 2 0 ( )267,20 − = 7,13 14,26

1 3 3 ( )267,21− = 2,79 8,37

2 1 2 ( )267,22 − = 0,45 0,45

3 5 15 ( )267,23 − = 0,11 0,55

4 7 28 ( )267,24 − = 1,77 12,39

∑ 18 48 12,25 36,02


______________________________________________________________________


39

σ = σ 2 σ = 2 σ = 1,41



100.x

CVσ= 100.

67,2

41,1=CV 81,52=CV

Medidas de Dispersão: Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação, com

intervalo de classes.

Objetivo: Esta aula dará continuidade a resolução das medias de dispersão: variável

de dados agrupados com intervalo

Para a resolução você usará a mesma fórmula da variável de dados agrupados

sem intervalo de classes.

σ 2=

( )f

fxx

i

ii

∑

∑ −2

Exemplo: Dada a tabela, calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de

variação.


1 0 2 3

2 2 4 2

3 4 6 4

4 6 8 6

5 8 10 1

∑ 16


______________________________________________________________________


40

Resolução 1:

• Para você iniciar o exercício, terá que calcular a média, para isso é necessário inserir uma coluna na tabela para o xi , não esqueça que para calcular xi você deve em classe: limite inferior mais limite superior dividido por dois, ou seja, fazer a média de cada classe. • Agora você deverá inserir uma coluna na tabela para calcular xi . f i.

• Calculando a média:

∑∑=

i

ii

f

fxX x =

16

80 x = 5

• Agora você deve inserir mais uma coluna para calcular ( )2

xxi − .

• Para terminar a construção da tabela você deve inserir mais uma coluna para

calcular ( )2

xxi − . if

• Agora para calcular a variância você deverá substituir na fórmula:

σ 2=

( )f

fxx

i

ii

∑

∑ −2

σ 2=

16

96 σ 2

= 6

Portanto a variância é: 6



Classes Intervalo de classe if ix

ix . if ( )2

xxi − ( )2

xxi − . if

1 0 2 3 1 3 ( )251− =16 48

2 2 4 2 3 6 ( )253 − =4 8

3 4 6 4 5 20 ( )255 − =0 0

4 6 8 6 7 42 ( )257 − =4 24

5 8 10 1 9 9 ( )259 − =16 16

∑ 16 80 40 96


______________________________________________________________________


41

σ = σ 2 σ = 6 σ = 2,45



100.x

CVσ= 100.

5

45,2=CV 49=CV


______________________________________________________________________


42

Exercícios

Aula 01

1. Dada as seqüências de Dados Brutos, construa o Rol:

a) 7, 13, 14, 8, 0, 5, 7, 13, b) 10,10, 20, 15, 12, 18, 20, 21, 22,

2. Arredondar os números abaixo na 2ª casa decimal:

a) 0,0072 =

b) 0,22333 =

c) 0,678 =

d) 0,667 =

e) 1,609 =

f) 0,3332 =

g) 512,55555 =

h) 0,8901 =

3. Dada a sequência : x: 3, 4, 8, 0, determine:

a) ∑xi b) ∑xi

2

4. Dada a tabela abaixo, calcule:

a) ∑ ix b) ∑ if c) ∑ ii fx d) ∑ + )( ii fx

ix if

0 2

1 3

2 4

3 2

4 1

∑


______________________________________________________________________


43

Aula 02

1) Em uma pesquisa realizada a 30 pessoas, foi feita a seguinte pergunta: quantos

aparelhos de celular havia na casa de cada um deles? Foram obtidos os

seguintes valores:

a) Construa o Rol. b) Construa a tabela de frequência simples.

2) Em um mercado, trabalham 60 pessoas. A tabela representa a idade de cada um.

Organize os dados, construindo Rol e a Distribuição de freqüências. Use

515 == heli

3) Uma empresa selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedores de

automóveis e anotou em determinado mês o número de unidades vendidas por estes

revendedores. Obteve os seguintes dados:

105 == heli

1 3 0 2 1 3 0 2 2 2

1 3 4 2 1 1 1 0 3 3

3 2 1 0 1 0 4 4 2 1

60 18 60 26 58 26 36 60 49 34

34 31 36 59 22 41 48 38 28 17

30 28 55 60 45 50 40 60 52 54

23 16 38 59 50 15 40 49 30 19

56 55 20 60 16 59 59 18 37 19

32 24 26 27 19 20 22 57 31 33


______________________________________________________________________


44

Construa a variável contínua.

10 15 25 21 6 23 15 21 26 32

9 14 19 20 32 18 16 26 24 20

7 18 17 28 35 22 19 39 18 21

15 18 22 20 25 28 30 16 12 20


______________________________________________________________________


45

Aula 03

1) Dada à série, calcule a frequência acumulada e a frequência relativa e construa o

gráfico:

ix if

1 4

2 7

3 5

4 2

5 1


gráfico:

3) 3) Dada à série, calcule a frequência acumulada e a frequência relativa e construa

o gráfico:

ix if

4 3

5 7

6 2

7 3

8 5

∑ 20


1 2 4 3

2 4 6 4

3 6 8 2

4 8 10 5

5 10 12 4


______________________________________________________________________


46


gráfico:


1 5 10 4

2 10 15 5

3 15 20 7

4 20 25 3

5 25 30 3

6 30 35 8

∑ 30


______________________________________________________________________


47

Aula 04

1) Dada à série, calcule a média aritmética simples: 2, 5, 10, 15, 20.

2) Dada à tabela de variável discreta calcule a média aritmética:

ix if

1 3

2 4

3 2

4 5

5 6

∑ 20

3) Dada à tabela da distribuição, calcule a média aritmética:


1 0 2 6

2 2 4 8

3 4 6 5

4 6 8 6

∑ 25


______________________________________________________________________


48

Aula 05

1) Dada à série, calcule a mediana: 2, 5, 10, 15, 20.

2) Dada à tabela de variável discreta calcule a mediana:

ix if

1 3

2 4

3 2

4 5

5 6

∑ 20

3) Dada à tabela da distribuição, calcule a mediana:


1 0 2 6

2 2 4 8

3 4 6 5

4 6 8 6

∑ 25


______________________________________________________________________


49

Aula 06

1) Dada à série, calcule a moda: 2, 5, 10, 15, 10.

2) A tabela representa a quantidade de televisores que cada revendedor efetuou

em um certo mês. Calcule a moda:

ix if

1 3

2 4

3 2

4 5

5 6

∑ 20

3) Dada à tabela da distribuição, calcule a moda:


1 0 2 6

2 2 4 8

3 4 6 5

4 6 8 6

∑ 25


______________________________________________________________________


50

Aula 07

Utilize a tabela abaixo para a resolução dos exercícios de 1 a 3.

Calcule:

1)Q1 e Q3

2) D5 e D8

3) P70 e P81

ix if

152 7

156 9

160 11

164 8

166 5

∑ 40


______________________________________________________________________


51

Aula 08

Utilize a tabela abaixo para a resolução dos exercícios de 1 a 3.

Calcule:

1)Q1 e Q3

2) D4 e D7

3) P80 e P92

Intervalo de classe

if

5 10 5

1015 3

15 20 7

20 25 6

25 30 4

∑ 25


______________________________________________________________________


52

Aula 09

1) Para o conjunto {1, 3, 4, 5, 7, 10, 10 12}, quais os valores do desvio médio?

2) Calcule o desvio médio da seguinte distribuição que representa a altura de alunos

de uma sala de aula:

3) Na distribuição abaixo, qual é o desvio médio?

classes freqüência

30 10

40 20

50 35

60 25

70 10

4) No conjunto {3, 5, 9, 1, 7, 3, 2, 2, 10, 5, 6, 6,7}, determine o desvio médio.

Altura (cm) Pessoas

162 5

166 13

170 22

174 25

178 10

182 3


______________________________________________________________________


53

Aula 10

1) Um levantamento realizado, em uma empresa com 200 funcionários, em relação ao

salário de cada um obteve-se a seguinte tabela:

Qual o valor do desvio médio?

2) Dá-se a seguir o número de erros cometidos por 200 estudantes submetidos a um

teste de múltipla escolha na língua inglesa, Determine o desvio médio.

Salário Nº de

Funcionários

200,00 400,00 26

400,00 600,00 32

600,00 800,00 34

800,00 1000,00 40

1000,00 1200,00 28

1200,00 1400,00 22

1400,00 1600,00 18

Total 200

Número de

erros

Número de

alunos

510 12

1015 73

1520 52

2025 39

2530 24

Total 200


______________________________________________________________________


54

Aula 11

1) Para o conjunto {4, 3, 4, 5, 7, 7, 10 12}, quais Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação?

2) Calcule o Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação, da seguinte distribuição:

3) Na distribuição abaixo, qual é o Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação?

ix freqüência

25 10 35 20 45 35 55 25 65 10

4) No conjunto {3, 4, 9, 1, 7, 2, 2, 2, 10, 5, 6, 6,7}, determine Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação.

ix Pessoas

164 5 168 13 172 22 176 25 180 10 184 3


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55

Aula 12 1) Na distribuição abaixo, qual é Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação?

2) Em uma copiadora, uma máquina que tira cópias não está trabalhando em virtude de uma quebra. A distribuição a seguir é uma amostra da duração desses tempos parados de uma máquina. Determine Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação.

classes Freqüência

30 40 10

40 50 20

50 60 35

60 70 25

70 80 10

Total

Tempo Parado (minutos) Freqüência

0 10 2

10 20 15

20 30 17

30 40 13

40 50 3

Total 50

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