Apostila FisExperimental-ERRO Maio 2012-Total

Curso introdutrio de

Fundamentos daFundamentos daFundamentos daFundamentos da Fsica Experimental Fsica Experimental Fsica Experimental Fsica Experimental

Um guia para as atividades de laboratrio

Elaborado por:

MaMaMaMarcia Mullerrcia Mullerrcia Mullerrcia Muller

Jos Lus FabrisJos Lus FabrisJos Lus FabrisJos Lus Fabris

Maio Maio Maio Maio de 2012de 2012de 2012de 2012

Fundamentos da Fsica Experimental Mrcia Muller e Jos Lus Fabris

Universidade Tecnolgica Federal do Paran UTFPR Departamento de Fsica

ii

Prefcio

A idia original que ser abordada neste texto a de que, por meio de uma Disciplina

de Fundamentos da Fsica Experimental, sejam desenvolvidos elementos e habilidades

da metodologia cientfica que possam ser empregados nas mais diversas reas do

conhecimento. No se trata de realizar experimentos complexos, mas sim por meio de

montagens simples, criar uma metodologia que possa auxiliar nos problemas

enfrentados no cotidiano quer do professor, do pesquisador ou mesmo da pessoa.

Abordaremos nas pginas seguintes questes relacionadas com a resoluo de

problemas, desde a identificao do problema em si, passando pelo estabelecimento das

possveis tcnicas para sua soluo, finalizando com a anlise dos resultados obtidos e

sua concluso geral.

Para o desenvolvimento da Disciplina, optamos por um encaminhamento um tanto

diferente dos habitualmente encontrados nos cursos de Mtodos de Fsica Experimental.

A idia no fazer uma abordagem dos diversos contedos necessrios ao curso na

forma de itens fragmentados, mas sim de forma integrada ao longo de todo o trabalho.

Assim, por exemplo, o funcionamento dos instrumentos de medio ser abordado

medida que estes se tornarem necessrios. Tambm procuramos no nos estender

demais abordando diversos instrumentos, mas sim fornecer as bases para compreenso e

extenso do que h de fundamental nestes instrumentos a outros que porventura possam

ser necessrios. Os conceitos estatsticos (erro, valor mdio, desvio padro...)

necessrios ao tratamento de dados experimentais tambm sero apresentados segundo a

mesma filosofia. No tocante a questo de grficos, uma importante ferramenta na rea

experimental, procuramos fazer uma abordagem inicial que possibilite a elaborao de

um grfico otimizado sem softwares especializados. Numa segunda etapa, os recursos

computacionais sero ento explorados permitindo um incremento na qualidade dos

resultados obtidos.

Ao concluir esta Disciplina, voc dever estar apto a satisfazer as demandas diversas

no apenas deste Curso de Licenciatura em Fsica, mas tambm dever estar mais

preparado para o desempenho de suas futuras atuaes profissionais.

Verso original: novembro de 2008 / Verso revisada: Maio/2012



iii

ndice

Captulo 1 - Discusso geral introdutria......................................................1

1.1 - A metodologia cientfica na Fsica Experimental............................................1

Captulo 2 - Medidas e seus erros.................................................................4

2.1 - Classificao dos erros.....................................................................................4

2.2 - Tratamentos estatsticos de medidas com erros aleatrios..............................6

2.3 - Tratamento de medidas com erros sistemticos...............................................8

2.4 - Incerteza padro e indicao do valor medido.................................................9

2.5 - Algarismos significativos...............................................................................11

2.6 Arredondamentos..........................................................................................12

Captulo 3 - Propagao de incertezas........................................................16

3.1 - Algumas frmulas de propagao..................................................................16

3.2 - Estimativas de erros.......................................................................................18

Captulo 4 Grficos..................................................................................23

4.1 - Construo grfica.........................................................................................23

4.2 - Ajuste de reta.................................................................................................24

4.3 - Mtodo da mo livre...................................................................................25

4.4 - Mtodo dos mnimos quadrados....................................................................27

4.5 - Grficos em computador................................................................................32

Captulo 5 Histogramas............................................................................44

Captulo 6 Funes de distribuio .........................................................48



iv

ndice de tabelas e figuras

Tabela 1 - Espessura de uma moeda de um real, medida com um paqumetro com

resoluo de 0.02 mm..................................................................................................3

Tabela 2 - Espessura de uma moeda de um real, medida com um paqumetro com

resoluo de 0.02 mm..................................................................................................3

Tabela 3 - Frequncia de apario do valor da espessura de uma moeda de um real, ao

longo de 8 medies.....................................................................................................3

Tabela 4 - Exemplos de arredondamentos de nmeros...................................................13

Tabela 5 - Dimenses do corpo de prova empregado, medidas com paqumetro de

resoluo de ..... mm..................................................................................................14

Tabela 6 - Idade em meses de diversas crianas e os correspondentes dados de altura..26

Tabela 7 - Dados obtidos para perodo do pndulo em funo do comprimento do

mesmo, e valores de perodo elevado ao quadrado....................................................34

Tabela 8 - Valores obtidos yi (distncia focal da lente) em mm......................................44

Tabela 9 - Tabela para construo do histograma com oito intervalos, obtida a partir dos

dados da tabela 8. O smbolo indica intervalo fechado esquerda; note que o

valor inicial do primeiro intervalo foi ajustado para englobar o valor mais baixo de

yi.................................................................................................................................46

Figura 1 - Boa exatido (accuracy) e preciso ruim.....................................................5

Figura 2 - Boa preciso e exatido (accuracy) ruim.....................................................5

Figura 3 - Paqumetro com nnio de 20 divises..............................................................9

Figura 4 - Paqumetro simples com nnio de 10 divises...............................................10

Figura 5 - Paqumetro simples com nnio de 20 divises...............................................11

Figura 6 - rea do quadrado em funo do lado mostrando as incertezas em L e

propagada para a rea.................................................................................................16

Figura 7 - Leitura de uma rgua milimetrada..................................................................19

Figura 8 - Leitura de um paqumetro...............................................................................20

Figura 9 - Deslocamento em funo do tempo para um mvel em MRU: (a) smbolos

muito pequenos, sem legendas, sem barras de erros; (b) grandezas sem unidade, m

ocupao do espao, sem barras de erros...................................................................24

Figura 10 - Deslocamento em funo do tempo para um mvel em MRU: (a) m

ocupao do espao, linha irregular conectando os pontos; (b) diagramao

adequada....................................................................................................................24



v

Figura 11 - Reta ajustada aos pontos experimentais do deslocamento em funo do

tempo para um mvel em MRU.................................................................................26

Figura 12 - Grfico representando dados de medies feitas em condies de

reprodutibilidade. A cada ponto experimental est associada uma incerteza

estatstica diferente.....................................................................................................27

Figura 13 - Grfico representando dados de medies feitas em condies de

repetitividade..............................................................................................................28

Figura 14 - Tela inicial do programa OriginTM................................................................33

Figura 15 - Tela do programa OriginTM com a planilha de dados preenchida................34

Figura 16 - Tela de salvamento de dados do programa OriginTM ..................................35

Figura 17 - Tela de salvamento de dados do programa OriginTM devidamente preenchida

e com o local de salvamento definido........................................................................35

Figura 18 - Planilha de dados salvos...............................................................................36

Figura 19 - Planilha de dados com a incluso de uma coluna adicional.........................36

Figura 20 - Tela que permite inserir dados automaticamente numa coluna....................37

Figura 21 - Preenchimento da tela que permite inserir dados automaticamente numa

coluna.........................................................................................................................37

Figura 22 - Tela que permite nomear uma coluna de dados............................................38

Figura 23 - Tela da planilha de dados com o nome escolhido para cada coluna.............38

Figura 24 - Inserindo uma coluna de erros na planilha de dados....................................39

Figura 25 - Planilha de dados com as colunas de erros...................................................40

Figura 26 - Planilha de dados com as colunas de erros preenchidas...............................40

Figura 27 - Selecionando as colunas que sero plotadas.................................................41

Figura 28 - Grfico plotado com os dados fornecidos ao programa...............................41

Figura 29 - Procedimento ajustar de uma reta aos dados plotados..................................42

Figura 30 - Tela final mostrando o grfico ajustado e os erros respectivos....................42

Figura 31 - Histograma com oito intervalos para os valores medidos da distncia focal

da lente.......................................................................................................................46

Figura 32 - Distribuio gaussiana de probabilidades, mostrando o valor mdio medido

e o desvio padro experimental, bem como a relao entre a probabilidade e a rea

sob a curva.................................................................................................................49



1

Captulo 1 - Discusso geral introdutria

Este captulo faz uma abordagem sobre a metodologia que deve ser empregada

quando se realiza um trabalho experimental seja ele, uma simples experincia

desenvolvida em sala de aula, ou um trabalho de pesquisa. Sero apresentadas no

transcorrer do captulo as formas adequadas de documentar as atividades e os resultados

obtidos. As informaes aqui obtidas devero ser aplicadas na disciplina e futuramente

nas atividades profissionais.

1.1 - A metodologia cientfica na Fsica Experimental

A primeira questo que deve se considerada aqui diz respeito documentao

detalhada de todas as atividades desenvolvidas durante o perodo letivo. A melhor

maneira de se providenciar tal documentao por meio do emprego de um caderno de

laboratrio. Neste caderno, todas as atividades pertinentes devero ser anotadas,

seguindo o esquema cronolgico da Disciplina. Este caderno poder ser utilizado como

fonte de consulta individual durante as avaliaes, e ser ele prprio um dos

instrumentos que permitir a verificao do desempenho do aluno. importante para as

aulas de laboratrio uma calculadora simples (calculadoras de celulares no so

adequadas).

A cada dia, sugere-se a utilizao da seguinte sequncia de anotaes:

Data, Experimento, Equipe

Anote o dia em que o experimento foi realizado, o nome do experimento, e os nomes

dos participantes da equipe encarregada da execuo das atividades.

Objetivos

Aqui, de forma sucinta e numerada, devero ser estabelecidos os objetivos gerais do

experimento. A clara definio destes objetivos permitir o planejamento e

desenvolvimento de toda a experincia.

Os objetivos no devem ser muito extensos nem em nmero demasiado, de forma a

no dispersar a ateno em atividades e detalhes desnecessrios. Esta parte de suma

importncia para o sucesso do experimento, e a ela deve ser dada a devida ateno.



2

Materiais e Mtodos

Uma vez que se tenha definido o que se deseja com dado experimento, deve-se traar

um plano de atividades que permita alcanar os objetivos previamente estabelecidos.

Podem compor este item a teoria necessria para a realizao do experimento, os

equipamentos e materiais empregados no seu desenvolvimento com respectivos

diagramas das montagens e descrio das caractersticas tcnicas dos instrumentos,

bem como a descrio dos procedimentos empregados na realizao dos experimentos.

Resultados Experimentais

Nesta etapa devem ser apresentados os resultados das medies realizadas durante

todo o transcorrer do experimento. No se deve apagar ou descartar dados suspeitos de

estarem incorretos; isto pode resultar em dificuldades para a realizao de anlises

posteriores. No esquea que muitos resultados importantes nas mais diversas reas do

conhecimento humano surgiram de erros em experimentos!

Duas importantes ferramentas que podem ser empregadas aqui so as tabelas e

grficos. Estes so to importantes que sero discutidos em detalhes mais adiante.

Discusses e Concluses

Finalmente, tudo que voc realizou no experimento deve agora ser considerado. A

interpretao dos dados aponta para alguma caracterstica ou lei? O que se pode

aprender do que foi experimentado?

Evite concluses e discusses que nada somam como por exemplo a teoria se

verifica na prtica ou o experimento foi vlido!

Voc deve ser capaz de no apenas aprender com sua prtica, mas tambm

possibilitar as outras pessoas compreender o que foi feito, concordar ou discordar das

concluses e seguir seus passos para refazer o mesmo experimento, eventualmente com

uma nova abordagem ou metodologia.

Tabelas

As tabelas podem ser utilizadas para agrupar sries de dados coletados em

experimentos, bem como resultados de anlises estatsticas aplicadas a estes dados.

Deve-se tomar o cuidado para dar um nome a cada tabela, com uma legenda para

facilitar sua compreenso. Esta legenda normalmente apresentada na parte superior da



3

tabela. Se for o caso, na tabela deve-se indicar tambm a unidade da grandeza que est

sendo analisada.

Veja exemplos abaixo, onde constam os dados de 8 medies do dimetro de uma

moeda, realizada com um paqumetro com resoluo de 0.02 mm.

Tabela 1 - Espessura de uma moeda de um real, medida com um paqumetro com resoluo de

0.02 mm.

Medida no. Espessura (mm)

1 1.82

2 1.84

3 1.86

4 1.84

5 1.88

6 1.82

7 1.82

8 1.80

Outros formatos de tabela com os mesmos dados podem ser utilizados, dependendo do

espao disponvel para apresentao ou a finalidade a que se destina.

Tabela 2: Espessura de uma moeda de um real, medida com um paqumetro com resoluo de

0.02 mm.

Medida no. 1 2 3 4 5 6 7 8

Espessura (mm) 1.82 1.84 1.86 1.84 1.88 1.82 1.82 1.80

Tabela 3 - Frequncia de apario do valor da espessura de uma moeda de um real, ao longo de 8

medies.

Espessura (mm) Frequncia

1.80 1

1.82 3

1.84 2

1.86 1

1.88 1

Total 8



4

Captulo 2 Medidas e seus erros

Sempre que realizamos um experimento para medir alguma grandeza o valor medido

(ou mensurando) deve vir acompanhado de uma unidade, que pode ser expressa no

Sistema Internacional de Unidades de Medida (SI), e da incerteza correspondente. Neste

contexto, a incerteza pode ser definida como um parmetro que, associado ao

mensurando, caracteriza a disperso dos valores que pode ser atribuda razoavelmente

ao mensurando. J o erro pode ser entendido como a diferena entre o resultado de uma

medida e o valor real do mensurando. Independentemente da forma como a medida

realizada, por mais cuidadoso que seja o processo de medio, o resultado obtido

sempre estar sujeito a um erro experimental. Esse erro expressa a incerteza na

determinao do mensurando.

2.1 - Classificao dos erros

Os erros experimentais podem ser classificados como erros sistemticos ou erros

aleatrios tambm chamados de erros estatsticos.

Erros sistemticos so aqueles gerados por fontes identificveis e, portanto podem

ser eliminados ou compensados. Os erros sistemticos numa medida experimental

podem ser resultantes de uma limitao imposta pelos equipamentos usados, de

variaes de parmetros externos que influenciam a grandeza que est sendo medida,

bem como da metodologia empregada pelo operador e de aproximaes e

simplificaes realizadas para por em prtica o experimento. Portanto, o erro

sistemtico sempre o mesmo nos n resultados, ou seja, os resultados so todos

desviados para a mesma direo com relao ao valor real.

Como exemplo, erros sistemticos podem ser introduzidos em uma medida: pelo uso

de um equipamento descalibrado ou defeituoso (termmetro, cronmetro, paqumetro,

multmetro...), pela variao da temperatura ambiente que afeta uma medida

espectroscpica, pelo posicionamento angular do observador ao visualizar a escala do

equipamento (erro de paralaxe), ou ainda desconsiderando a resistncia do ar na medida

da acelerao da gravidade baseada no tempo de queda de um corpo.

Logo, quando o experimento idealizado deve-se tentar identificar e eliminar o

maior nmero possvel de fontes de erros sistemticos. A soluo est, portanto, no

adequado planejamento do experimento.



5

Os erros sistemticos fazem com que as medidas feitas estejam acima ou abaixo do

valor real, prejudicando a exatido ("accuracy") da medida (ver figura 1).

Figura 1 - Exatido (accuracy) ruim e preciso boa.

Na prtica, pode ocorrer que seja dispendioso ou complicado, ou simplesmente

desnecessrio reduzir ou corrigir os erros sistemticos (por exemplo, em experincias

didticas, onde o maior interesse no exatamente o resultado final da medio). Neste

caso, os erros sistemticos no corrigidos ou minimizados so chamados de erros

sistemticos residuais. Neste texto, adotamos o ponto de vista de que as incertezas

sistemticas residuais devem ser consideradas como incertezas estatsticas, para

efeito de expressar a incerteza final no resultado de uma medio.

Os erros aleatrios, por sua vez, so provocados por fatores imprevisveis e causam

flutuaes no valor medido mesmo quando a medio repetida usando os mesmos

equipamentos e empregando a mesma metodologia. importante salientar que estes

erros ocorrem mesmo numa experincia bem planejada. Os erros aleatrios afetam a

preciso ("precision") da medida (ver figura 2).

Figura 2 Preciso ruim e exatido (accuracy) boa.



6

importante salientar que nem sempre se pode identificar as fontes de erros

aleatrios.

Erros aleatrios podem ser introduzidos por flutuaes nas condies ambientais:

mudanas no previsveis na temperatura, voltagem da linha, correntes de ar, vibraes.

Por exemplo, por correntes de ar ou vibraes numa medida de massa usando uma

balana, causadas por passagem de pessoas perto do aparato experimental ou veculos

nas vizinhanas.

Os erros aleatrios podem ser minimizados reduzindo os fatores aleatrios que

interferem no processo de medio. Outra soluo para reduzir estes erros consiste na

repetio do experimento, sob as mesmas condies, vrias vezes seguida de um

tratamento estatstico dos resultados.

Existem tambm os erros grosseiros causados por enganos e que, portanto, no

podem ser considerados erros do ponto de vista da teoria de erros. No admissvel

apresentar resultados que contenham erros grosseiros. Quando houver suspeita da

ocorrncia de um erro grosseiro em uma medida esta deve ser repetida, se possvel, ou

eliminada do conjunto de dados.

Concluindo, o erro inerente ao processo de medio e nunca completamente

eliminado, porm podemos minimiz-lo. Costuma-se dizer que No existe medida sem

erro.

Uma classificao alternativa para as incertezas resultantes de medies considerar

Incertezas do Tipo A aquelas que surgem em funo de fenmenos estatsticos ou

aleatrios em sries de observaes, e Incertezas do Tipo B as decorrentes de qualquer

outra fonte no estatstica de incerteza.

2.2 - Tratamentos estatsticos de medidas com erros aleatrios

Os erros sistemticos ( incertezas do tipo B) desviam os valores medidos do valor

real de uma mesma quantidade, enquanto que os erros aleatrios ( incertezas do tipo A)

produzem uma flutuao dos resultados em torno do valor real da grandeza e portanto

uma distribuio simtrica de erros. Assim, se as medidas forem realizadas

cuidadosamente e com planejamento, sob as mesmas condies e mantendo a mesma

metodologia, buscando desta maneira sempre minimizar os erros sistemticos, uma boa



7

estimativa do valor real da grandeza medida fornecida pela mdia aritmtica dos

valores medidos. Sendo assim, o valor mais provvel da grandeza ser:

=

=N

i

iyN

y1

1 (1)

Onde yi o valor obtido na i-sima medida, e N o nmero total de medidas

realizadas.

O valor mdio diferente do valor verdadeiro porm a incerteza associada com o

valor mdio menor que a incerteza para cada um dos valores yi.

Ao se realizar vrias medies da mesma grandeza nas mesmas condies, a

incidncia de erros aleatrios faz com que os valores medidos estejam distribudos em

torno da mdia. Espera-se que o valor mdio se torne tanto mais preciso quanto maior

for o nmero de medidas.

Para uma srie de medidas a disperso, que indica quanto os resultados se espalham

em relao ao valor mdio por causa dos erros aleatrios, pode ser calculada a partir do

desvio mdio quadrtico ou desvio padro obtido a partir dos resultados experimentais.

Suponha que foram realizadas N medidas de uma grandeza y, que forneceram os

valores y1, y2, y3, ... yN para a grandeza.

Para cada medida calcula-se o desvio com relao ao valor mdio:

yyd ii = (2)

A melhor estimativa experimental para o desvio padro (desvio padro

experimental) ser:

( )=

N

i

i yyN 1

2

11

(3)

Ou ainda:

=

N

ii y

N

Ny

N 1

22

111

(4)

A segunda equao mais fcil de ser resolvida, pois s necessrio calcular o

somatrio de yi2 no lugar do somatrio de ( )2yyi .



8

Se fossem realizados k conjuntos de n medies da grandeza , cada conjunto

forneceria um valor mdio. Sendo assim, teramos k valores mdios para a grandeza.

Estes valores mdios apresentam uma disperso em torno do valor mdio verdadeiro

que fornecida pelo desvio padro do valor mdio m.

( )=

k

j

mvjm yyk 1

21 (5)

A melhor estimativa para o desvio padro do valor mdio (pressupondo uma

distribuio com densidade de probabilidade gaussiana):

Nm

= (6)

O desvio padro do valor mdio de uma grandeza a incerteza final correspondente

aos erros estatsticos nas medies. Esta estimativa leva em conta a disperso causada

pelos erros estatsticos, contudo, ainda restam os eventuais erros sistemticos que

devem ser determinados para que o resultado possa ser corrigido.

2.3 - Tratamento de medidas com erros sistemticos

O desvio associado aos erros sistemticos bem mais difcil de ser avaliado e no

existe nenhum mtodo padro bem estabelecido para fazer isto. Portanto neste caso o

bom senso do operador fundamental uma vez que, por mais bem elaborada que seja a

experincia, sempre haver um erro sistemtico residual. Geralmente o limite de erro Lr

estimado verificando o manual fornecido pelo fabricante dos equipamentos

empregados. Uma relao que pode ser usada para estimar o erro sistemtico residual

apresentada a seguir:

2r

r

L (7)

Esta relao pode ser empregada no caso de uma distribuio gaussiana de erros e

um limite de erro com aproximadamente 95% de confiana.

Para uma distribuio de probabilidade retangular (para rgua, paqumetro,

cronmetro,...):

)32(rr L



9

2.4 - Incerteza padro e indicao do valor medido

As incertezas estatstica e sistemtica podem ser combinadas pela expresso a seguir

fornecendo a incerteza padro p:

222rmp += (8)

Assim, o valor da grandeza medida expresso como:

pyy = (9)

Quando no existem informaes suficientes dos equipamentos o limite de erro Lr

pode ser estimado como sendo a menor diviso ou menor leitura fornecida pelo

instrumento.

Por exemplo, se uma rgua usada como instrumento de medida o erro estimado

com base na menor diviso da rgua ser 1 mm.

Exerccio 1: A distncia focal de uma lente foi medida N=10 vezes usando uma

rgua milimetrada. Foram obtidos os seguintes valores em mm: 204,1; 205,3; 208,0;

207,5; 206,3; 205,5; 207,2; 204,8; 208,2; 207,1

Calcular o valor mdio y , o desvio padro experimental , o desvio padro do valor

mdio m, o desvio padro do erro sistemtico r, a incerteza padro p e expressar o

valor mdio corretamente.

Paqumetro como instrumento de medio

O paqumetro um instrumento capaz de medir distncias com fraes de dcimos

ou centsimos de milmetros ou polegadas. Isto possvel graas a uma escala adicional

que desliza sobre a rgua principal chamada de nnio ou vernier.

Figura 3 - Paqumetro com nnio de 20 divises.

medida de dimetro externo

medida de dimetro interno medida de profundidade

trava

rgua nnio



10

Utilizando os bicos, as orelhas ou a haste de medio adequadamente, o instrumento

pode realizar medidas de dimenses externa, interna e profundidade.

Existem diferentes tipos de paqumetros, porm todos apresentam caractersticas de

funcionamento semelhantes. O nnio tem n divises que correspondem a (N-1) divises

da rgua principal. Esta relao pode ser encontrada facilmente quando o nnio

posicionado sobre a rgua de tal forma que a posio dos zeros das duas escalas

coincidam.

Suponha, por exemplo, que o nnio tenha 10 divises que correspondem a 9 divises

da rgua principal. Usando regra de trs simples encontramos que uma diviso do nnio

corresponde a 9/10 de diviso da rgua ou, que a primeira diviso do nnio 1/10 mais

curta que a da rgua principal. Assim, se a primeira diviso da rgua corresponde a 1

mm, a primeira diviso do nnio corresponder a 0,9 mm. Consequentemente, quando

os zeros das duas escalas coincidem, a distncia entre o 1 da escala principal e o 1 do

nnio de 0,1 mm, entre o 2 da escala principal e o 2 do nnio de 0,2 mm e assim por

diante. Isso permite que se mea exatamente at 0,1 mm (a resoluo do instrumento),

pois a diferena entre a menor diviso da rgua e a menor diviso do nnio de 0,1 mm.

Quando um objeto posicionado entre os bicos de medio, a medida L da dimenso

do objeto corresponde a distncia entre o zero da rgua e o zero do nnio. O valor de L

ser o valor expresso em milmetros correspondente ao nmero de divises da rgua

antes do zero do nnio, somado a frao da menor diviso da rgua que falta para o zero

do nnio. Esta frao obtida encontrando a diviso do nnio que coincide com a da

rgua principal e multiplicando pela resoluo ou seja, pelo menor valor que pode ser

medido.

Exerccio 2: Em um paqumetro o nnio tem 10 divises que correspondem a 9

divises da rgua principal, sendo que a menor diviso da rgua principal corresponde a

1 mm. Qual a resoluo do instrumento? Quando realizada uma dada medida o

nnio desliza sobre a rgua obtendo-se a leitura da figura abaixo. Qual o valor medido

para a dimenso deste objeto?

Figura 4 - Paqumetros simples com nnio de 10 divises.

a) b)



11

Exerccio 3: Em um paqumetro, o nnio est dividido em 20 partes, sendo que

quando os zeros da rgua principal e do nnio so coincidentes, a 20a diviso do nnio

coincide com a marca de 19 mm da rgua principal. Qual ser a resoluo deste

paqumetro?

Exerccio 4: Qual a resoluo do paqumetro da figura abaixo? Qual a leitura feita no

instrumento?

Figura 5 - Paqumetro simples com nnio de 20 divises.

2.5 - Algarismos significativos

Algarismo significativo em um nmero pode ser entendido como sendo aquele que

sozinho tem algum significado quando o nmero escrito na forma decimal. Portanto,

os zeros a esquerda do primeiro nmero diferente de zero so algarismos no

significativos.

O nmero de casas decimais que devem ser apresentadas num resultado experimental

determinado pela incerteza padro neste resultado. No existe uma regra bem definida

para estabelecer o nmero de dgitos da incerteza padro, porm podem ser adotadas

algumas regras:

A incerteza padro deve ser dada com 2 algarismos quando o primeiro algarismo

na incerteza for 1 ou 2.

A incerteza padro deve ser dada com 1 ou 2 algarismos quando o primeiro

algarismo na incerteza for 3 ou maior.

A incerteza maior do que 99 deve ser escrita usando notao cientfica ou

trocando as unidades.



12

A rigor no h problema em escrever a incerteza padro com mais de 2 algarismos

significativos. No entanto tem-se que analisar se possvel determinar a incerteza com

tal exatido.

Exemplos: Se o valor calculado da incerteza padro for 0,132 m, a forma mais

adequada para indicar esta incerteza ser 0,13 m ou 13 cm. Se por outro lado a incerteza

calculada for 3,49 cm, ela pode ser indicada como 3,5 cm ou 3 cm. Porm, usando a

regra, uma incerteza calculada levemente diferente da anterior, 3,51 cm por exemplo,

pode ser escrita como 3,5 cm ou 4 cm. Assim, os valores prximos, 3,49 e 3,51, seriam

arredondados para 3 ou 4 que so valores bem diferentes. Este problema desaparece se a

incerteza indicada com 2 algarismos significativos. Uma incerteza de 800 m deve ser

escrita com notao cientfica como 8,0 x 102 m ou 8 x 102 m e a incerteza calculada de

0,09623 cm, como 0,096 cm ou 0,10 cm.

No se deve usar mais do que dois algarismos significativos para expressar a

incerteza, uma vez que muito difcil de se obter a incerteza com tal preciso.

2.6 - Arredondamentos

Nos exemplos acima ocorreram alguns arrendondamentos aps se truncar o

resultado. A necessidade de realizar arredondamentos ocorre frequentemente uma vez

que o resultado obtido aps operaes realizadas com 2 ou mais quantidades devem ser

escritos com o mesmo nmero de algarismos significativos. O arredondamento tambm

deve ser empregado para eliminar algarismos significativos excedentes. Supondo que a

quantidade precisa ser arredondada num dado algarismo X. Por exemplo, a grandeza

...W,YXABC... . O arredondamento deve seguir as seguintes regras:

Se aps o algarismo X tem-se um conjunto ABC entre 000 e 499, este conjunto

deve ser simplesmente eliminado ( o arredondamento para baixo).

Se aps o algarismo X tem-se um conjunto ABC entre 500 e 999, este conjunto

deve ser eliminado e o algarismo X deve ter o seu valor aumentado de 1 ( o

arredondamento para cima).

No caso X500000..., o arredondamento deve ser tal que o algarismo X seja par

depois do arredondamento.



13

Tabela 4 - Exemplos de arredondamentos de nmeros.

2,42 2,4

3,789 3,79

4,4499 4,4

5,4500 5,4

5,5500 5,6

Exerccio 5: Um resultado experimental e a respectiva incerteza padro so calculados,

obtendo-se:

y = 0,0004639178 m

= 0,000002503 m

Represente corretamente estas grandezas (em metros e em milmetros) levando em

conta as regras aprendidas de algarismos significativos e arredondamentos. Usar

notao cientfica se necessrio.

Experimento 1: Elabore no seu caderno de laboratrio uma descrio do

experimento de acordo com o roteiro a seguir:

Data:______________________

Experimento: Medida das Dimenses de Corpos de Prova Utilizando o Paqumetro

Equipe:_____________________________________________________________

Objetivos:

Empregar corretamente o paqumetro para determinao das dimenses de

corpos de prova

Determinar os erros aleatrios e sistemticos envolvidos no experimento

Expressar os valores medidos e suas incertezas padro

Materiais e Mtodos:



14

Teoria: Sero utilizados os conceitos estatsticos de valor mdio, desvio padro

experimental , desvio padro do valor mdio m, o desvio padro do erro sistemtico

r e incerteza padro p.

Equipamentos e materiais: Paqumetro com resoluo de ..... mm, corpo de

prova com forma ......, feito de .... e com dimenses a serem determinadas.

Procedimentos empregados: Para cada dimenso do corpo de prova, foram

realizadas 10 medies com o paqumetro.

Resultados experimentais:

Os resultados das medies para cada uma das dimenses do corpo de prova esto

apresentados na tabela 1.

Tabela 5 - Dimenses do corpo de prova empregado, medidas com paqumetro de resoluo de ..... mm.

medida Dimenso 1 (mm) Dimenso 2 (mm) .....

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Clculos: Com os dados da tabela 1, foram encontradas as grandezas estatsticas

associadas, para cada dimenso medida. (Apresentar os resultados e expressar os

valores medidos com as respectivas incertezas padro.)

Discusses e Concluses:

Comente os resultados, compare os valores obtidos e as incertezas padro, discuta

possveis fontes de erro, indique o que poderia ser feito para reduzir as incertezas....



15

Exerccio 6:

a) Escrever em m, cm, mm:

0,0035 km = .......................m = .............................cm = ...........................mm

b) Escrever em m2, cm2, mm2:

0,0035 km2 = ........................ m2 = .......................cm2 = ......................... mm2

c) Escrever em cm3:

3875 mm3 = ............................................................................................... cm3

d) Escrever corretamente em cm3:

(3875 247) mm3 ................................ cm3



16

Captulo 3 - Propagao de incertezas

A propagao de incertezas ocorre quando uma grandeza obtida indiretamente a

partir de valores obtidos experimentalmente para outras grandezas. Como cada valor

experimental possui uma incerteza padro, estas incertezas iro se propagar para a

grandeza indireta. E o valor da grandeza ser expresso como:

ww

Onde w a grandeza obtida indiretamente e w a incerteza propagada.

Como exemplo, suponha que se deseje determinar a rea de um quadrado de lado L,

cuja incerteza padro (na medida de L) L, dada pela eq. (8). No possvel medir

diretamente a incerteza A na rea A=L2, mas esta incerteza certamente maior que L,

e deve ser obtida por meio de propagao de incertezas (veja a figura 6):

0 1 2 3 4

0

2

4

6

8

10

12

14

16

L

L

A =

L

(mm

)

L (mm)

Figura 6 rea do quadrado em funo do lado mostrando as incertezas em L e propagada para a

rea.

Em L = 2 mm, uma incerteza L= 0,5 mm equivale a uma incerteza de

A= 2 mm.

3.1 - Algumas frmulas de propagao

As relaes que permitem calcular a incerteza propagada para alguns casos comuns

so mostradas a seguir.



17

a) Se a grandeza obtida pela soma ou subtrao:

...= zyxw (10)

A incerteza propagada calculada como:

...222 +++= zyxw (11)

Onde zyx ,, e so as incertezas padro associadas com cada uma das grandezas

medidas diretamente.

b) Se a grandeza obtida por uma relao linear:

baxw += (12)

Onde a e b so constantes, a incerteza propagada ser dada por:

xw a = (13)

c) Se a grandeza obtida pelo produto ou por uma razo:

xyw = ou y

xw = (14)

Nestes casos a incerteza propagada ser:

22

+

=yx

wyx

w

(15)

OBS: Para o clculo da propagao da incerteza em x2, a expresso (17) deve ser

utilizada, com p=2 e q=0.

d) Se a grandeza obtida pelo produto de grandezas elevadas a certas potncias p e

q:

qp yxw = (16)

A incerteza propagada ser:

22

+

=

yq

xpw

yxw

(17)



18

Nota: Todas as expresses apresentadas aqui podem ser encontradas a partir da equao geral.

K+

+

+

= 22

22

22

2zyxw

z

w

y

w

x

w (18)

Exerccio 7: Considere a pea retangular com as seguintes medidas:

L1 =(50,000,05) mm

L2 =(20,000,05) mm

L3 =(15,000,01) mm

a) Determine a rea A1 com a incerteza correspondente.

b) Determine o volume V desta pea com a incerteza correspondente.

Exerccio 8: Considere um cilindro de altura (LL) e raio (RR). Encontre as relaes

que fornecem: a rea da base A, o volume do cilindro V, e as incertezas propagadas para

estas grandezas.

Exerccio 9: Encontre a incerteza propagada para o permetro de um retngulo de lados

A e B.

3.2 - Estimativas de erros

Existem algumas regras gerais para efetuar a leitura de instrumentos de medio e

fazer as estimativas das incertezas correspondentes. Alguns exemplos sero discutidos a

seguir.

Como regra geral, quando realizada uma medida com um determinado instrumento

de medio, o valor medido deve ser representado com todos os dgitos que o

instrumento permite ler diretamente, mais um dgito que deve ser estimado pelo

observador. O ideal medir vrias vezes a grandeza calcular a mdia e o desvio padro

para determinar a incerteza estatstica. Entretanto, quando somente uma medida

realizada, existe a possibilidade de estimar a incerteza estatstica a partir do limite do

erro estatstico.

L1 L2

L3

A1

L

R



19

O limite de erro estatstico definido como:

eeL 3= (19)

O limite de erro estatstico possibilita o estabelecimento de um intervalo de

confiana com 99,7% de possibilidade de acerto, quando os erros estatsticos seguem

uma distribuio gaussiana.

Podemos citar como exemplo uma medida realizada com uma rgua graduada em

milmetros. O valor medido deve incluir a frao de milmetro que pode ser estimada

pelo observador. Considere a leitura indicada na rgua da figura 7.

Figura 7 - Leitura de uma rgua milimetrada.

A medida indicada diretamente pela rgua 11 milmetros e a frao de milmetro

pode ser estimada como 0,3 mm. Assim, o resultado de medio e 11,3 mm. O erro de

medida pode ser considerado aleatrio, e se diferentes pessoas realizarem a leitura da

rgua os resultados podem flutuar provavelmente entre 11,0 mm e 11,6 mm. Pode

parecer grande esta flutuao, mas no se deve esquecer que tambm existe um erro

associado com o ajuste do zero da rgua.

Assim, podemos estimar o limite de erro aleatrio ou estatstico como Le = (11,6 -

11,0) /2 = 0,3 mm e desta forma obter a incerteza estatstica:

mm 0,13= ee

L (20)

Existe ainda o erro limite de calibrao Lr (que corresponde a um erro sistemtico),

representado pela menor diviso da escala, no caso Lr =1 mm. A incerteza sistemtica

associada ser (ver eq. 7):

mm 0,3 32= rr

L (21)

A incerteza padro obtida conforme a equao 8:



20

mm 0,3 22 += rep (22)

E o resultado da medio pode ser escrito como:

( )mmy 3,03,11 = (23)

Neste caso a incerteza estatstica desprezvel em comparao com a incerteza

sistemtica representada pelo limite de calibrao e a incerteza padro pode ser

representada pela metade da menor diviso ou menor leitura fornecida pelo

equipamento. No entanto, podem existir situaes nas quais os erros aleatrios so

comparveis ou at maiores do que os erros de calibrao. Nestes casos adotar a metade

da menor diviso como incerteza, resulta em incertezas subestimadas. Na medio de

um comprimento com uma rgua existem vrias fontes de erros como variaes na

graduao original da escala, variaes na graduao devido a efeitos trmicos ou

deformaes, erro de leitura associado com paralaxe ou avaliao da frao, erro de

posicionamento e alinhamento do objeto, etc.

Quando um paqumetro utilizado, pode acontecer a situao de nenhuma marca do

nnio coincidir exatamente com uma marca da rgua. Portanto, deve ser estimado o

algarismo seguinte. Por exemplo, considere a situao da figura 8.

Figura 8- Leitura de um paqumetro

Duas marcas do nnio (7 e 8) se aproximam de marcas da rgua. Verificamos que a

primeira est mais prxima da marca da rgua do que a segunda, logo podemos estimar

o prximo algarismo como 1, 2, 3, 4 ou 5. A leitura pelo nnio pode ser admitida como

0,73 mm, resultando num valor medido de 2,73 mm. O limite de erro estatstico na

avaliao do ltimo dgito menor ou igual a 4 (0,05mm-0.01mm=0,04) mm e portanto

a incerteza associada ser:

mm 0,013304,0

3== ee

L (24)



21

O limite de erro de calibrao, que a menor leitura do paqumetro, ser 0,1 mm no

caso de um paqumetro com nnio de 10 divises e fornece uma incerteza:

mm 0,03 2

= rrL

(25)

Assim, a incerteza padro ser:

mm 0,03 22 += rep (26)

No caso de um cronmetro digital disparado e parado manualmente o limite de erro

estatstico pode ser estimado lembrando que existe um erro associado ao incio e final

da cronometragem devido ao operador.

Pode-se admitir o limite de erro estatstico como sendo de Le = 0,5 s e o desvio

padro:

s 0,17 3== ee

L (27)

A menor leitura do cronmetro 0,01 s e, portanto, o desvio associado que

corresponde ao erro de calibrao (ou sistemtico) de 0,005 s.

Este caso um exemplo onde a incerteza estatstica bem maior que a incerteza de

calibrao do instrumento.

Quando nas medidas empregado um equipamento digital possvel estimar o

ltimo dgito da leitura por meio das flutuaes observadas neste dgito. bvio que

para isto de suma importncia escolher uma escala adequada para a medio. Por exemplo, usando um multmetro digital a medio indicou 1,34 _ V. O ltimo dgito

oscilou entre 1 e 5, e portanto podemos estimar o ltimo dgito como sendo 3. O limite

de erro estatstico neste caso ser estimado como 0,003 V, e o desvio padro

correspondente como 0,001 V.

Experimento 2: Usando os resultados obtidos no experimento 1 e seguindo um

roteiro semelhante, calcular o volume do corpo de prova (paraleleppedo) e expressar o

resultado com a incerteza propagada.

zyxV ..= , 222

+

+

=zyx

V zyx

V

, VVV =



22

Experimento 3: Pndulo simples: Usar um pndulo simples com pequenas

oscilaes para calcular a acelerao da gravidade local (com propagao de erros) sem

tcnicas grficas. Para um valor de L, medir diversos T.

Elaborar o roteiro para realizao do experimento, anexar teoria e avaliar

corretamente todas as fontes de erro envolvidas. A propagao de erros em g dada por:

22 2

+

=TL

g TLg

Avalie o resultado para as seguintes condies:

1. Calculando a mdia das vrias medidas de L e T.

2. Usando os valores de L e T obtidos com uma nica medida e estimando as

incertezas.

3. Calculando a mdia das vrias medidas de T e estimando a incerteza para

uma nica medida de L.



23

Captulo 4 - Grficos

A apresentao de resultados de experincias e medies em formato grfico pode

ser considerada um captulo em separado na fsica experimental, tamanha a diversidade

de opes e a quantidade de dados que podem ser extrados deles.

No entanto, algumas normas gerais devem ser observadas logo de incio para que se

possa tirar o mximo proveito dos grficos.

4.1 - Construo grfica

Deve-se tomar o cuidado para dar um nome a cada grfico, com uma legenda para

facilitar sua compreenso. Esta legenda normalmente apresentada na parte inferior do

grfico.

Os grficos devem conter nos seus eixos o nome da grandeza que est sendo

mostrada e sua respectiva unidade. Os nmeros que vo indicar a escala de valores da

grandeza sob considerao devem ser de tamanho adequado, sem um nmero excessivo

de casas decimais.

Eventualmente pode-se indicar a existncia de um fator multiplicador comum a todos

os valores na prpria legenda do eixo. Para a marcao de cada dado deve ser escolhido

um smbolo de tamanho adequado, sobre o qual tambm devem ser apresentadas as

respectivas barras de erro de cada medida (tenha em mente que nenhuma medio

isenta de erro!).

Se aos dados experimentais for ajustada uma curva que siga uma lei fsica ou apenas

uma linha para facilitar a visualizao, isto deve ser claramente dito (use legendas para

identificar cada caso).

Tambm se deve tomar o devido cuidado para que os pontos experimentais do

grfico no fiquem acumulados em apenas uma regio; todo o espao disponvel deve

ser utilizado, o que facilita no s a interpretao como a obteno de valores.

A seguir, nas Figuras 9 e 10, so mostrados alguns grficos, indicando o que deve ser

buscado para uma boa diagramao.



24

0 2 4 6 8 10

0

5

10

15

20

25

30

(a)

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30(b)

es

pa

o

tempo

Figura 9 - Deslocamento em funo do tempo para um mvel em MRU: (a) smbolos muito pequenos,

sem legendas, sem barras de erros; (b) grandezas sem unidade, m ocupao do espao, sem barras de

erros.

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-5

0

5

10

15

20

25

30(a)

de

slo

ca

me

nto

(m

)

tempo (s)

0 2 4 6 8 10

0

5

10

15

20

25 (b)d

es

loc

am

en

to (

m)

tempo (s)

pontos experimentais

ajuste linear

x(t) = -2.70 m + 2.71 t

Figura 10 - Deslocamento em funo do tempo para um mvel em MRU: (c) m ocupao do espao,

linha irregular conectando os pontos; (d) diagramao adequada.

4.2 - Ajuste de reta

Um problema frequentemente encontrado no tratamento de resultados experimentais

o ajuste dos dados. O procedimento de ajustar uma funo a um conjunto de dados

experimentais conhecido como regresso. O problema pode ser formulado da seguinte

maneira:

Duas grandezas x e y so relacionadas pela expresso analtica abaixo:

( ),...,, baxfy = (28)

Onde f uma funo conhecida e a,b,... so parmetros desconhecidos.

Experimentalmente so determinados os pares de valores ( ) Niyx ii ,...,2,1 para , = e

se quer determinar os parmetros a,b,... de tal maneira que a curva ( ),...,, baxfy =

melhor se aproxime dos valores experimentais.



25

Quando a relao analtica entre x e y linear, uma reta ajustada ao conjunto de

dados experimentais e a regresso dita linear. Neste caso a expresso analtica que

relaciona x com y :

baxy += (29)

Para efetuar o ajuste dos dados experimentais a funo dada pela equao 29

preciso encontrar os parmetros desta reta de maneira que ela se aproxime o mximo

possvel dos pontos experimentais ( ) , ii yx .

Vamos discutir dois mtodos que podem ser empregados para resolver este

problema:

O mtodo da mo livre

O mtodo dos mnimos quadrados

Ambos tratam de adaptar ao conjunto de pontos experimentais a reta que mais se

aproxime de todos eles ao mesmo tempo.

4.3 - Mtodo da mo livre

O mtodo da mo livre utiliza o bom senso do observador j que ele mesmo ter

que ajustar a melhor reta a partir da observao visual do conjunto de pontos ( ) , ii yx .

Utilizando uma rgua transparente posicionada sobre o grfico contendo todos os

pontos experimentais, o observador pode escolher a reta que passa pelo meio da

distribuio dos pontos. Este procedimento tenta garantir que a distncia entre a reta e

os pontos experimentais seja minimizada. Obviamente o mtodo fornece resultados

aproximados uma vez que a escolha da melhor reta subjetiva e depende muito da

prtica e bom senso do observador.

Uma vez ajustada a melhor reta aos dados experimentais, pode-se determinar os

valores das constantes a e b que correspondem aos coeficientes angular e linear da reta,

respectivamente.

( )( )

c

si

si

yb

xx

yya

=

=

(30)



26

Onde isis xxyy ,,, so pontos pertencentes a reta escolhida, e yc corresponde a leitura

no grfico onde a mesma intercepta o eixo y.

0 5 10 15 200

30

60

90

120

150

180

210

xs xi

ys

yi

yc

COEF. ANGULAR: a=150/15=10 m/s

(20-5)=15

(21

0-6

0)=

15

0

(5,60)

(20,210)

DE

SL

OC

AM

EN

TO

(m

)

TEMPO (s)

Figura 11 - Reta ajustada aos pontos experimentais do deslocamento em funo do tempo para um

mvel em MRU.

Exerccio 10: Foram efetuadas as medidas das alturas de vrias crianas com idades

diferentes e os dados obtidos so apresentados na tabela abaixo. Estime o erro

estatstico para a medida de altura realizada usando uma escala milimetrada. Suponha

insignificante o erro na idade em meses (as crianas so medidas exatamente no dia em

que fazem o aniversrio mensal). Encontre a melhor reta que se ajusta aos dados

experimentais e a expresso obtida de correlao entre idade e altura.

Tabela 6 - Idade em meses de diversas crianas e os correspondentes dados de altura.

Idade (meses) 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Altura (cm) 76,1 77 78,1 78,2 78,8 79,7 79,9 81,1 81,2 81,8 82,8 83,5

Faa um grfico das alturas (eixo y) contra as idades (eixo x). Ajuste uma reta usando o

mtodo da mo livre e a partir do grfico encontre os coeficientes linear e angular da

reta. Expresse os resultados encontrados na forma da equao de uma reta.

Experimento 4: Determinao da acelerao da gravidade utilizando um pndulo

simples (sem propagao de erros para g) com tcnica grfica. Para o pndulo simples, a

relao entre o perodo e o seu comprimento dada pela expresso:



27

Lg

Tg

LT

22 4 2

== (31)

Esta a equao de uma reta baxy += , onde y=T2 e x=L, com coeficiente linear

b=0 e coeficiente angular g

a24= .

Neste experimento, medir uma nica vez o perodo do pndulo para pequenas

oscilaes e diferentes comprimentos (logo, a tcnica de estimativa de erros deve ser

empregada para L quanto para T). Encontrar a acelerao da gravidade usando mtodo

de ajuste a mo livre.

Ateno: Pense na dificuldade da medio (meio da bolinha, comeo do fio, disparo do

cronmetro,...) e avalie o processo para estimar as incertezas estatsticas para L e T.

Cuidado: Deve ser feito o grfico de T2 x L para resultar uma reta (este processo chama-

se linearizao). Como se mede T, o erro deve ser propagado para T2.

4.4 - Mtodo dos mnimos quadrados

O mtodo dos mnimos quadrados pode ser deduzido para medies feitas em

condies de repetitividade (N medies feitas sob as mesmas condies) ou em

condies de reprodutibilidade (N medies feitas sob condies diferentes). Exemplos

de medies feitas em condies de reprodutibilidade so aquelas realizadas por meio

de diferentes mtodos, diferentes experimentadores ou diferentes instrumentos de forma

que a distribuio dos erros estatsticos pode ser diferente para cada medio. Neste

caso, a cada um dos valores medidos est associada uma incerteza padro diferente. A

situao descrita pode ser visualizada com a ajuda da figura 12.

0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

60

f(x

)

x

Figura 12 - Grfico representando dados de medies feitas em condies de reprodutibilidade. A

cada ponto experimental est associada uma incerteza estatstica diferente.



28

Na deduo do mtodo as variveis xi so consideradas isentas de erros, e so

consideradas somente as incertezas estatsticas em fi(x), ou seja, em yi. No entanto,

quando as incertezas em xi so significativas elas podem ser transferidas para as

variveis yi. Existem regras para isso, mas esse procedimento no ser abordado neste

texto.

Na deduo do mtodo dos mnimos quadrados so usadas somente incertezas

estatsticas, desconsiderando as incertezas sistemticas (no entanto, as incertezas

sistemticas residuais devem ser consideradas). Isto justificado pelo fato do erro

sistemtico desviar todos os pontos experimentais numa mesma direo, o que s afeta

o coeficiente linear da reta e no o angular. O mtodo dos mnimos quadrados minimiza

a soma dos desvios ao quadrado dos pontos experimentais relativamente a reta ajustada,

obviamente no sendo influenciado pelo erro sistemtico. Vale observar que se a

determinao do coeficiente linear um dado importante no experimento, os possveis

erros sistemticos devem ser identificados e eliminados a priori.

Quando as medidas so feitas sob as mesmas condies, ou seja, em condies de

repetitividade, os dados so levantados por um mesmo experimentador e com os

mesmos instrumentos. Nessa situao a incerteza padro para todos os valores de y a

mesma e a soluo simplificada. Veja o exemplo da figura 13.

0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

60

f(x

)

x

Figura 13 - Grfico representando dados de medies feitas em condies de repetitividade.

Sendo assim, o mtodo dos mnimos quadrados permite ajustar retas a pontos

experimentais em diferentes condies: pontos com incertezas arbitrrias para as

grandezas x e y, pontos com incertezas iguais para as grandezas x e y, e reta passando

pela origem. Neste mtodo as equaes que fornecem os valores das constantes de

ajuste a e b em cada situao so deduzidas usando conceitos matemticos. Em suma o



29

mtodo consiste em encontrar os valores dos coeficientes a e b que fornecem o menor

valor possvel para a soma dos quadrados das distncias verticais da reta a cada um

dos pontos experimentais.

Na situao em que as incertezas em fi(x) so iguais (condio de repetitividade) as

equaes mostram que os valores de a e b so independentes da incerteza padro nos

pontos experimentais. Isto interessante pois mostra que se pudermos supor que as

incertezas so aproximadamente iguais, mesmo que o valor destas incertezas no seja

conhecido possvel fazer o ajuste da reta e encontrar os valores de a e b.

Se a incerteza padro p (dos dados experimentais) conhecida, as incertezas em

cada parmetro, a e b, podem ser obtidas.

Ajuste de reta a pontos experimentais com incertezas iguais

Conforme o mtodo dos mnimos quadrados, os melhores valores para a e b e para as

suas incertezas so dados pelas expresses a seguir se as incertezas para os diferentes

pontos puderem ser consideradas aproximadamente iguais.

2

11

2

111

=

==

===

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

ii

xxN

yxyxN

a (32)

2

11

2

=

==

N

i

i

N

i

i

a

xxN

N (33)

2

11

2

111

2

1

=

==

====

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

ii

N

i

i

N

i

i

xxN

xyxxy

b (34)



30

2

11

2

1

2

=

==

=

N

i

i

N

i

i

N

i

i

b

xxN

x

(35)

Ajuste de reta passando pela origem a pontos experimentais com incertezas iguais

No caso particular de uma reta passando pela origem as expresses acima so

simplificadas e temos:

=

=

=

N

i

i

N

i

ii

x

yx

a

1

2

1 (36)

=

=

N

i

i

a

x1

2

(37)

Coeficiente de correlao

Para avaliar o quanto os valores observados esto prximos da reta ajustada pelo

mtodo dos mnimos quadrados usado o coeficiente de correlao linear R (coeficiente

de Pearson).

11 + R (38)

Quanto mais prximo de -1 ou +1 melhor ser o ajuste.

O coeficiente de correlao de Pearson calculado pela relao:

2

11

22

11

2

111

.

=

N

i

N

i

N

i

N

i

N

i

N

i

N

ii

yyNxxN

yxyxN

R (39)

Exerccio 11: Usando os dados fornecidos no exerccio 10 e as expresses do

mtodo dos mnimos quadrados calcule os coeficientes da reta e expresse os resultados

encontrados na forma da equao de uma reta. Compare os resultados obtidos e tire

concluses sobre a aplicao destes dois mtodos.

Experimento 5: Determinao da acelerao da gravidade utilizando um pndulo

simples. Usar os dados do experimento 4 para encontrar a acelerao da gravidade



31

usando mtodo grfico com utilizao do mtodo dos mnimos quadrados. Cuidado,

lembre-se que o grfico deve ser de T2 x L para resultar numa reta. Estime os erros nas

medidas de perodo usando as tcnicas de estimativas de erros estudadas. Ser preciso

propagar o erro para o T2. Usar para isso a frmula de propagao de potncia (equao

17).

A estimativa de T2 deve levar em considerao a propagao de erros na

potncia T2:

Da equao 16, qp yxw = , com q = 0, p = 2 e x = T, w = T2

e da equao 17:

22

+

=y

qx

pwyx

w

TTT TT

T

222

22 =

= (40)

Note que o erro propagado para os valores de perodo ao quadrado no so iguais.

No entanto iremos sup-los como aproximadamente iguais, o que vai nos permitir a

utilizao das equaes do mtodo dos mnimos quadrados para incertezas iguais, que

so mais simples.

OBS: Para o clculo de a , usar o valor mdio de 2T .

A validade dessa aproximao ser verificada na prxima seco.

Tendo o desvio padro para o T2 podemos calcular o coeficiente angular a da

melhor reta e seu erro a. (reta passando pela origem).

Tendo sido calculado o coeficiente angular a da melhor reta e seu erro a podemos

obter o g e seu erro g:

2T

2

2

1

2

1

T

ii

ii

N

i

i

N

i

ii

Ty

Lx

x

yx

a

=

=

=

=

=

=

=

=

N

ii

a

x1

2



32

Para encontrar o erro em g ser preciso propagar a incerteza:

Da equao 12, , com a =42, b =0 e x=a-1, w=g=42a-1 e da

equao 13:

Da equao : com q = 0, p = -1 e x = a w = a-1

e da equao:

Finalmente:

4.5 - Grficos em computador

A utilizao de computadores e programas especficos para a construo de grficos

uma poderosa ferramenta que pode ser empregada no tratamento de dados e anlise de

resultados experimentais.

Normalmente, os programas utilizam rotinas baseadas no mtodo dos mnimos

quadrados para obter a funo analtica que melhor se ajusta aos dados experimentais.

Utilizaremos o programa OriginTM para construo de grficos com auxlio de

computador. Os dados empregados sero aqueles obtidos no experimento 4, onde foram

medidos os perodos de oscilao T do pndulo simples para diferentes comprimentos L

do pndulo. Para cada par (L, T), uma nica medio de cada grandeza foi realizada,

sendo as incertezas encontradas atravs da tcnica da Estimativa de Erros (item 3.2)

Ao iniciar o programa, uma tela semelhante a figura 14 deve aparecer.

1222

22

44

4

..

0 , reta da eq. a com comparando

4 2

====

=+=

==

aa

gg

aangcoef

ebbaxy

Lg

Tg

LT

'' bxaw +=

xw a '= 1

24 = ag

qp yxw =

22

+

=

yq

xpw

yxw

2

21 11

aaa aa

a

=

=

a

g

a

aag

== 2

24



33

Figura 14 - Tela inicial do programa OriginTM.

As colunas A(X), B(Y), C(Y), ... no Worksheet Data1, servem para a insero dos

dados coletados. Para o pndulo simples, a relao entre o perodo e o seu comprimento

dada pela expresso (31). Embora no seja necessria a linearizao dos grficos

quando se faz o tratamento dos grficos com auxlio do computador, optaremos pela

linearizao para possibilitar a comparao com os resultados do experimento 5 (item

4.4).

Lg

Tg

LT

22 4 2

==

Esta a equao de uma reta baxy += , onde y=T2 e x=L, com coeficiente linear

b=0 e coeficiente angular g

a24= . Assim, devemos inserir na coluna A(X) os dados

referentes aos valores de L, na coluna B(Y) os dados referentes aos valores de T, e na

coluna C(Y) ainda inexistente os dados referentes a T2. O ajuste de uma reta aos dados

experimentais no grfico de L (no eixo X) contra T2 (no eixo Y) permitir encontrar a

acelerao da gravidade g a partir do coeficiente angular pela expresso a

g24= .

Suponha que os resultados encontrados para as medies sejam os mostrados na tabela

7. Estamos supondo que os valores de L e T foram medidos apenas uma nica vez, de

forma que os erros estatsticos devem ser encontrados utilizando a tcnica da estimativa

de erros (seco 3.2).



34

Tabela 7 - Dados obtidos para perodo do pndulo em funo do comprimento do mesmo, e valores de

perodo elevado ao quadrado.

L(mm) T(s) T2 (s2)

150,3 0,79 0,6241

217,7 0,92 0,8464

242,1 1,03 1,0609

303,6 1,12 1,2544

404,5 1,29 1,6641

423,2 1,31 1,7161

Posicione o cursor do mouse na clula A(1) e clique sobre a mesma com o boto

esquerdo do mouse (todos os cliques so com o boto esquerdo, a menos que se

especifique o contrrio), insira o dado correspondente. Adote o mesmo procedimento

para inserir os dados nas outras clulas. Aps a introduo dos dados de L e T nas

colunas A(X) e B(Y) respectivamente, a tela deve se apresentar como a da figura 15.

Note que o separador decimal que deve ser empregado (vrgula ou ponto) depende da

configurao do computador.

Figura 15 - Tela do programa OriginTM com a planilha de dados preenchida.

Salve o projeto em algum local, clicando em File Save Project As. A tela abaixo

deve aparecer:



35

Figura 16 - Tela de salvamento de dados do programa OriginTM .

possvel definir a pasta (pr-existente) onde o projeto ser salvo (por exemplo,

Salvar: Apostila), bem com um nome para o projeto (por exemplo, Nome do arquivo:

PenduloSimples). A tela deve aparecer como na figura 17.

Figura 17 - Tela de salvamento de dados do programa OriginTM devidamente preenchida e com o local

de salvamento definido.

Aps pressionar a tecla Salvar, o programa deve retornar a tela como a da figura 18.



36

Figura 18 - Planilha de dados salvos.

Note que ainda precisamos inserir os dados de T2, e para isto necessria a incluso

de mais uma coluna no Worksheet. Clique em Column Add new Columns, defina o

nmero de novas colunas necessrias (no caso 1) e pressione OK. O programa retorna

uma tela como na figura 19 . No esquea de salvar o seu projeto regularmente para

evitar perda de dados.

Figura 19 - Planilha de dados com a incluso de uma coluna adicional.

Agora voc pode inserir manualmente os dados de T2 na coluna C(Y), ou ento

realizar esta tarefa automaticamente. A segunda opo mais rpida quando se tem um



37

grande nmero de dados. Posicione o cursor na primeira clula da coluna C(Y), no caso

C(1), e clique ali. Clique com o mouse em Colum Set Column Values, e a tela deve

se apresentar como na figura 20.

Figura 20 - Tela que permite inserir dados automaticamente numa coluna.

Digite no espao em azul a expresso matemtica que deve ser efetuada, ou seja,

elevar a coluna B(Y) ao quadrado (col(B)^2), e indique a quais clulas a expresso deve

ser aplicada, ou seja, For row [i] 1 to 6. A tela deve estar como na figura 21.

Figura 21 - Preenchimento da tela que permite inserir dados automaticamente numa coluna.

Aps pressionar OK, a coluna C(Y) estar preenchida com os valores de T2.



38

Quando um Worksheet comea a apresentar muitas colunas com dados, possvel

criar uma descrio adicional (um rtulo ou label) para identific-las. Para isto, clique

com o boto direito sobre a clula A(X) para selecionar esta coluna, clique em

Properties e no espao Column Label digite um nome para esta coluna (por exemplo,

L (mm)). A tela deve estar como na figura 22.

Figura 22 - Tela que permite nomear uma coluna de dados.

Pressione OK e nomeie da mesma forma as colunas B(Y) e C(Y). Aps isto, a tela

deve estar como na figura 23.

Figura 23 - Tela da planilha de dados com o nome escolhido para cada coluna.



39

O prximo passo definir os erros experimentais que sero considerados no grfico.

No exemplo, ser utilizada a tcnica de Estimativa de Erros (seco. 3.2). Conforme

discutido na seco onde foi apresentado o Mtodo dos Mnimos Quadrados (seco

4.4), apenas os erros estatsticos (aleatrios e sistemticos residuais) devem ser

considerados, deixando de lado os erros sistemticos.

Utilizando as equaes 20, 21 e 22, a incerteza medida no comprimento do pndulo

L com uma rgua graduada em milmetros L =0,5 mm, para todos os valores medidos.

Insira uma nova coluna D(Y), clique com o boto direito sobre ela, posicione o

mouse sobre Set As e depois sobre XError, clicando a com o boto esquerdo. Antes do

clique a tela deve se apresentar com no figura 24.

Figura 24 - Inserindo uma coluna de erros na planilha de dados.

Nomeie a coluna como, por exemplo, Er(L) para indicar o Erro de L, e introduza os

valores estimados de L (0,5 mm). J a estimativa de T2 deve levar em considerao a

propagao de erros na potncia T2.

Veja como isto foi feito na descrio do experimento 5. Novamente, considerando

apenas os erros estatsticos (aleatrios e sistemticos residuais), a incerteza na medida

do perodo de T = 0,17 s (veja eq. 27), para todos os valores de T medidos.

No entanto, a incerteza no ser a mesma para todos os valores de T2, devendo ser

calculada individualmente para cada valor especfico de T (equao 40). Introduza uma



40

nova coluna E(Y), associe-a ao erro de Y (Set As, YError) e atribua um nome

(Properties, Column Label) como por exemplo Er(T^2).

A tela deve estar como na figura 25.

Figura 25 - Planilha de dados com as colunas de erros.

Para calcular os erros associados a cada valor de T2, posicione o cursor na primeira

clula da coluna E(yEr) e clique ali. Clique com o mouse em Colum Set Column

Values e digite a expresso para clculo de cada erro, conforme a equao 40:

2*col(B)*0.17

Ao final desta etapa, a tela deve se apresentar como na figura 26.

Figura 26 - Planilha de dados com as colunas de erros preenchidas.



41

Para plotar o grfico, clique em Plot Scatter, e selecione as colunas adequadas

para formar o grfico, conforme a figura 27.

Figura 27 - Selecionando as colunas que sero plotadas.

Clique em OK e o grfico deve aparecer como na figura 28. No caso, o erro

associado ao eixo X menor que o tamanho dos smbolos, e no aparece no grfico.

Figura 28 - Grfico plotado com os dados fornecidos ao programa.

Clicando duas vezes sobre a legenda de cada eixo (X Axis Title e Y Axis Title),

possvel atribuir a legenda adequada, respectivamente L (mm) e T2 (s2).



42

Para ajustar uma reta, clique sobre Tools Linear Fit (ver figura 29) marque a

opo Through Zero uma vez que para este problema a reta deve passar pela origem,

desmarque a opo Use Reduced Chi^2 para que o erro no seja subestimado,

marque a opo Error as Weight para indicar que as barras de erro devem ser

consideradas no ajuste, e clique sobre Fit (ver figura 30). Obs. importante: A opo

Analysis Fit Linear no obriga a passagem da reta pela origem, o que nesse caso

poderia resultar num erro maior e no corresponde realidade do problema.

Figura 29 - Procedimento ajustar de uma reta aos dados plotados.

O valor do coeficiente angular ajustado aparece no quadro Results Log.

Figura 30 - Tela final mostrando o grfico ajustado e os erros respectivos.



43

Conforme j discutimos, este valor est relacionado com g atravs da relao:

2

22 792067,9607

004109,0)14159,3.(44

s

mm

Bg ===

J a estimativa de g deve levar em considerao a propagao de erros. Da equao

12, baxw += , com a=42, b=0 e x=B-1, w=g=42B-1, e da equao 13:

xw a = 124 = Bg (41)

Da equao 16, qp yxw = , com q = 0, p = -1 e x = B, w = B-1, e da equao 17:

22

+

=y

qx

pwyx

w

2

12

1 11BB

BB

B BBBB

==

= (42)

Substituindo a equao (42) na equao (41) temos o erro propagado para g:

22

42

22 / 776489,1220

004109,0

10 22094,544 smm

x

B

Bg ===

(43)

Como esta incerteza maior do que 99, vamos mudar as unidades para express-la

corretamente (com dois algarismos significativos):

2 2,1s

mg = e ( ) 2 2,16,9 s

mg =

Deve ser notado que a incerteza relativa aqui razoavelmente elevada, sendo igual a

%12%100 =g

g (44)

O resultado desta incerteza inerente ao processo da estimativa dos erros

experimentais, onde valores superestimados de incertezas so preferidos a valores

subestimados quando apenas uma medida de cada parmetro realizada.

Experimento 6: Com os dados do experimento 4, empregar a tcnica computacional

descrita no item 4.5 para calcular o valor da acelerao da gravidade g, utilizando

grficos e a propagao de erros.

Observao: Se desejssemos reduzir os valores de incertezas no experimento

anterior para uma estimativa mais precisa de g, deveramos substituir a tcnica de

Estimativa de Erros pela tcnica da realizao de vrias medidas de T e L para cada

valor de L, e calcular os Erros Estatsticos conforme apresentado no item 2.2.



44

Captulo 5 - Histogramas

O histograma um tipo de grfico particularmente til quando se deseja mostrar os

resultados de um grande nmero de medies da mesma grandeza, que devido a erros

de medio, apresenta uma grande flutuao estatstica, ou ento quando se deseja

conhecer a flutuao estatstica de uma certa grandeza em torno de seu valor mdio.

Num histograma no so mostrados individualmente os pontos medidos, mas sim se

mostra a frequncia F(yi) com a qual um dado valor aparece, ou ento a frequncia com

que estes valores aparecem dentro de uma faixa de valores y.

Um histograma um grfico composto por retngulos cuja base (eixo horizontal)

corresponde ao intervalo de classe e a altura (eixo vertical) a respectiva freqncia.

A frequncia de apario normalmente expressa como a frequncia relativa ao

nmero total N de eventos,

N

yNyF ii

)()( = (45)

onde N(yi) o nmero de vezes que o evento i aparece. Claro que N(yi) ser

proporcional ao intervalo y da faixa, e esta deve ser escolhida de modo a resultar em

um grfico compreensvel.

O histograma fornece informao sobre a forma, o ponto central, a amplitude e a

simetria da distribuio.

Como exemplo, imagine que a medio da distncia focal y de uma lente

convergente resultou nos valores constantes da tabela 6, ordenados segundo a ordem

crescente dos N = 60 valores medidos.

Tabela 8 - Valores obtidos yi (distncia focal da lente) em mm

204 206 208 210 211 218 219 222 222 223 227 229 230 232 235 235 235 235 237 237 237 237 238 238 239 239 239 239 239 240 240 241 243 244 244 246 246 248 248 249 250 250 253 256 257 257 257 259 259 260 262 265 267 268 269 269 269 273 285 289



45

Como primeiro passo para a elaborao do histograma, deve-se determinar o valor de

y, de forma que N(yi) seja da ordem de 10 para intervalos prximos do valor mdio

(isso reduz a incerteza quando se deseja determinar o valor verdadeiro Nv(yi) por um

processo probabilstico).

Uma estimativa inicial do intervalo y :

mmN

yyy 11

60

204289minmax

=

= (46)

onde 860 =N corresponde ao nmero de intervalos a ser empregado para

construo do histograma.

A determinao do valor central yi de cada um destes intervalos tambm

importante. A escolha mais conveniente aquela onde o centro do intervalo central

coincida com o valor mdio dos N = 60 resultados:

mmmmmm

yN

yN

jj 243 05.24360

145831

1===

= (47)

A partir destes valores podemos calcular os limites do intervalo central como

}{ }{ 5.248;5.2372/;2/ =+ yyyy , (48)

e a partir da estabelecer todos os outros intervalos.

Isso permite classificar os dados numa tabela de frequncias absolutas N(yi) ou

relativas F(yi)=N(yi)/N, bem como a densidade de probabilidade definida como:

y

yFyH iie

=)(

)( (49)

Conhecida esta densidade de probabilidade, a probabilidade de ocorrer um resultado

no intervalo pequeno {yi;y} pode ser escrita como:

yyHPyP ieii = ).()( (50)



46

Tabela 9 - Tabela para construo do histograma com oito intervalos, obtida a partir dos dados da

tabela 8. O smbolo indica intervalo fechado esquerda; note que o valor inicial do primeiro

intervalo foi ajustado para englobar o valor mais baixo de yi.

yi

(mm)

yi_central

(mm)

N(yi) F(yi) He(yi)

(10-3 mm-

1)

204.0

215.5

210 5 0.08 7.6

215.5

226.5

221 5 0.08 7.6

226.5

237.5

232 12 0.2 18.2

237.5

248.5

243 17 0.28 25.7

248.5

259.5

254 10 0.17 15.1

259.5

270.5

265 8 0.13 12.1

270.5

281.5

276 1 0.02 1.5

281.5

292.5

287 2 0.03 3.0

200 220 240 260 280 300

0

5

10

15

20

25

He(y

i) x

10

-3m

m-1

y (mm)

Figura 31 - Histograma com oito intervalos para os valores medidos da distncia focal da lente.



47

Experimento 7: Com os dados da tabela 8, refazer as contas que levaram

construo da tabela 9, e a partir da utilizar o programa OriginTM para construo do

histograma da figura 31.

Comentrios:

1. Aps inserir os dados no Worksheet, selecione PlotColumn e faa as

associaes das colunas adequadas com os eixos do grfico.

2. Tecle com o boto direito do mouse sobre o grfico e selecione Plot Detail na

aba Spacing e ajuste para 0 % o Gap Between Bars (a separao entre as barras verticais

ser ajustada para zero).

3. Faa os demais ajustes necessrios ao grfico.



48

Captulo 6 Funes de Distribuio

Quando se realiza um experimento, normalmente estamos interessados na

determinao de certa grandeza chamada mensurando. No entanto, como regra geral, o

valor verdadeiro de um mensurando uma quantidade sempre desconhecida, que s

pode ser determinado aproximadamente devido a erros de medio. A exceo quando

se deseja realizar a aferio de um instrumento pela medio de um padro primrio ou

de uma grandeza exata (como a velocidade da luz, por exemplo) onde o valor

verdadeiro conhecido. A situao mais comum , por exemplo, em uma experincia

didtica, a medio de uma grandeza para a qual o valor verdadeiro j conhecido com

boa aproximao (ou pelo menos com um erro muito menor do que aquele re

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