Apostila Física 1 - FATEC JAHU

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 Ap ost il a de F ´ ı s ica 1 A. E. A. Amorim Faculdade de Tecnologia de Jahu 3 de julho de 2012

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Apostila desenvolvida pelo professor Amorim para auxíliar no aprendizado dos alunos da disciplina de física 1 da Fatec Jahu.

Transcript of Apostila Física 1 - FATEC JAHU

  • Apostila de Fsica 1

    A. E. A. AmorimFaculdade de Tecnologia de Jahu

    3 de julho de 2012

  • ii

  • Sumario

    1 Calendario 11.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 A concepcao do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 O tempo na pre-historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Calendario egpcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Calendario romano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Percepcao do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Consideracoes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2 Sistema de unidade 192.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Medicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Grandezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.3.1 Sistema de Grandezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.2 Dimensao de uma Grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.3 Grandeza Adimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.4 Unidade de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Sistema de Unidades de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.5.1 Sistema Coerente de Unidades de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 S.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.7 Unidade fora do S.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.8 Multiplo e submultiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.9 Escala de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.10 Conversao de unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.11 Consideracoes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.12 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3 Teoria de erros 373.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Algarismos significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    3.4.1 Histogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5 Incerteza tipo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    iii

  • iv SUMARIO

    3.6 Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.7 Incerteza padrao combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    3.7.1 Fator de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7.2 Soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7.3 Produto geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    3.8 Incerteza de medicao tipo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.9 Consideracoes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.10 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    4 Introducao a` Medicao 574.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Instrumento de medicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4.2.1 Tipos de instrumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.2 Partes de um instrumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.3 Faixa de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.4 Resolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    4.3 Metodos de Medicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4 Atributos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    4.4.1 Aparelhos de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4.2 medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    4.5 Ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.6 Consideracoes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    5 Escala 775.1 Nocoes preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2 Mudanca de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    5.2.1 Objetos irregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3 Estimando ordens de magnitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4 Consideracoes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    6 Analise dimensional 876.1 Princpio da homogeneidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2 Os s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.3 Teorema de Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4 Consideracoes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    7 Movimento unidimensional 937.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.2 Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.3 Velocidade media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.4 Velocidade instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.5 Aceleracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

  • SUMARIO v

    7.6 Aceleracao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.7 Queda livre de corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    8 Vetores 1018.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.2 Sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.3 Grandezas escalar e vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.4 Propriedades de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    8.4.1 Igualdade de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.4.2 Adicao de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.4.3 Negativa de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.4.4 Subtracao de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.4.5 Norma de vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.4.6 Vetor unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.4.7 Vetor nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.4.8 Produto entre grandeza escalar e vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    8.5 Componentes de vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.6 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.7 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    9 Movimento bidimensional 1119.1 Grandezas vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

    9.1.1 Vetor deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.1.2 Vetor velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.1.3 vetor aceleracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    9.2 Aceleracao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.3 Movimento de projetil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    9.3.1 Alcance e altura maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.4 Movimento circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.5 Aceleracao radial e tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.6 Velocidade relativa e aceleracao relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    10 Leis de movimento 12310.1 Conceito de forca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12310.2 Medindo forcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12410.3 Primeira lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12410.4 Referencial inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12510.5 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12610.6 Segunda lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12610.7 Unidade de forca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12710.8 Forca de gravidade e peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12710.9 Terceira lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

  • vi SUMARIO

    10.10Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12910.11Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    11 Leis de Newton em outras situacoes 13511.1 Lei de Newton aplicada no movimento circular uniforme . . . . . . . . . . . . 13511.2 Movimento circular nao uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13511.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    A SI 141

    B Constantes Fundamentais Gerais 145

    C Constantes adotadas 147

    D Experiencia: Terra, Lua e o Sol 149D.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149D.2 Terra plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149D.3 Terra esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150D.4 Dados da Lua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151D.5 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

    E Experiencia-Nascer e por do Sol 153E.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153E.2 Procedimento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153E.3 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

    F Curva de distribuicao normal 155

    G Melhor estimativa da precisao 159

    H Melhor estimativa do desvio padrao 161

    I Experiencia Estudando o erro 163I.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163I.2 Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163I.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166I.4 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

    J Experiencia - Medicao 169J.1 Tensao eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169J.2 Ensaio com agua e gelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170J.3 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

    K Experiencia MRU 171K.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171K.2 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171K.3 Procedimento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

  • SUMARIO vii

    L Experiencia - Aceleracao da gravidade 173L.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173L.2 Metodos do impacto e deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174L.3 Metodos experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175L.4 Analise dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176L.5 Consideracoes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

    M Experiencia - Lancamento de projeteis 181M.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181M.2 Procedimento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181M.3 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

    N Experiencia - Movimento circular uniforme 183N.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183N.2 Procedimento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183N.3 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

    O Experiencia - O alcance no lancamento horizontal de projetil 185O.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185O.2 Procedimento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185O.3 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

    P Experiencia - Determinacao da velocidade final do projetil 187P.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187P.2 Procedimento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187P.3 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

  • viii SUMARIO

  • Prefacio

    Durante estes anos presenciamos a necessidade de desenvolver um material de fsica dire-cionado para os estudantes que procuram o ensino tecnologico.

    Em geral a dificuldade maior de qualquer professor que ministra disciplinas de fsica nestaarea e adequar o livro ao conteudo e com a didatica necessaria.

    A maioria dos alunos se queixa que a linguagem empregada nos livros e por demais com-plexa e torna a leitura difcil. Por outro lado os livros necessitam empregar esta linguagempor ser a utilizada no meio profissional. Desta forma o cenario que encontramos sao de profes-sores utilizando livros excelentes em seus cursos mas que quebram as expectativas dos alunostornando a leitura difcil, gerando dificuldades.

    Infelizmente as dificuldades carregadas pelos alunos no ensino medio sao transportadosquando ingressam na faculdade e, quer gostemos ou nao, e papel do professor identificar estasfalhas conceituais e trabalhar os temas.

    Conversando com os alunos percebemos que boa parte de suas dificuldades sao de mate-matica, outra parte sao conceituais, outra envolve a dificuldade em relacionar os conceitosde matematica ou fsica com os exemplos praticos, outros porque a linguagem do texto e pordemasia enxuta e bem tecnica, outro porque o texto envolve muita matematica dando poucaenfase para a parte pratica, outros porque o conteudo envolve inumeros conceitos tratando-oscom poucos detalhes.

    Todos estes fatores acabam por tornar menor o interesse do aluno pela disciplina, sendoreconhecido depois a importancia de tal na sua formacao. Alem disto o professor corre ogrande risco de elevar o ndice de perdas ou retencoes de alunos aumentando o custo dainstituicao. Em media um aluno custa aos cofres algo em torno de tres mil a cinco mil reaispor ano.

    Desta forma buscamos dar uma enfase maior ao lado pedagogico, buscando escrever umlivro que buscasse conciliar uma leitura adequada aos alunos ingressantes na faculdade, envol-vendo exemplos praticos mais ligados com a area naval, com uma parte pratica de experimen-tos a serem executados em laboratorios, envolvendo conceitos com um grau de profundidadee com uma duracao adequada a um perodo de dois semestres e com uma dose de matematicaapropriada ao tecnologo.

    Buscamos tambem invocar o metodo indutivo em cada captulo, para que sem tratarespecificamente da ideia ele desenvolva esta habilidade. Tambem procuramos em cada captulofornecer uma contextualizacao da materia para que o aluno possa aprimorar o seu modelomental do assunto, fruto de suas experiencias com ser humano. Desta forma o materialfoi sendo aprimorado em funcao das duvidas apresentadas pelos alunos. Desta forma osproblemas sao apresentados em grau de dificuldade, para que os mesmos possam, a` medida

    ix

  • x SUMARIO

    que resolvem os problemas, aferir o seu modelo. Os problemas comecam na forma de exemplosseguidos com um problema similar para que o aluno possa desenvolver o seu raciocnio. Depoisos problemas passam para o estagio intermediario na qual nao existem problemas exemplospara comparacao. Por fim entramos em um terceiro estagio com problemas mais complexos asquais o aluno que desenvolveu bem o modelo mental nao tera dificuldades para soluciona-lo.

    Por outro lado os exerccios sao inseridos nos captulos junto com exemplos para que oaluno possa construir o seu modelo mental. Isto permite que o docente possa conferir na aulao progresso de cada aluno.

    Todo este material foi desenvolvido na Faculdade de Tecnologia de Jahu para o Curso deConstrucao Naval.

    O trabalho esta organizado como segue: no captulo 1 e tratado uma discussao sobrea origem do calendario, a sua evolucao, a contextualizacao no nosso dia a dia. A razaopara inclusao deste captulo se deve ao fato de que este e a primeira semana de ingressodo aluno na faculdade, a sua ambientacao ao meio e buscamos aqui desenvolver o espritocientfico, da curiosidade, da reflexao sobre algo comum a sua vida. No captulo 4 sao tratadosalguns conceitos basicos envolvidos em metrologia, em particular aqueles envolvidos comequipamentos de medida e o procedimento de medicao. Abordamos de forma suscinta osinstrumentos de medida e os seus tipos, as partes principais dos instrumentos e os tipos demostradores. Depois tratamos os conceitos calibracao/afericao. Em seguida tratamos dosatributos dos aparelhos, alguns metodos de medidas e falamos sobre o sinal de medida. Porfim tratamos dos conceitos ajuste e regulagem, do resultado de medicao e os seus principaisatributos.

    No captulo 2 abordamos a questao do sistema de unidades. Estabelecemos o conceito desistema de grandezas para definir grandeza de base que sao formadas por grandezas indepen-dentes. Estudamos a questao da dimensao da grandeza e o conceito de unidade de medida edepois o sistema de unidade de medida. Abordamos o conceito de sistema coerente de uni-dades e mostramos o SI na secao seguinte, assim como verificamos como e definido o padraoe os tipos de padrao. Depois tratamos o conceito de medida materializada, as unidades quesao ainda comuns mas que estao fora do sistema de unidade e apresentamos os multiplos esubmultiplos. Depois tratamos o conceito valor de uma grandeza. Posteriormente tratamoso conceito escala de referencia e trabalhamos com a conversao de unidade.

    No captulo 3 abordamos a influencia dos erros no processo de medicao. Erros sempreestao presentes nos experimentos e e necessario que os aparelhos envolvidos nos experimentosestejam calibrados. Em geral ha tres tipos de erros presentes e que podem alterar o valor damedida: erros grosseiros, erros sistematicos e erros aleatorios. Apos a aquisicao dos dados enecessaria a analise dos dados, verificando a presenca de erros grosseiros. Existem varios crite-rios de exclusao de dados grosseiros. Em seguida avaliamos a influencia de erros sistematicosna medida por meio da quantidade de tendencia, comparando com uma quantidade de valorpadronizado. Com esta quantidade conhecemos o erro sistematico assim como identificamoso erro aleatorio, expressando a medida corrigida.

    No captulo 5 analisamos o problema da escala no sistema. No captulo 6, analisamos umaforma de abordar fenomenos naturais usando a teoria dimensional. Neste captulo tratamoso teorema de Buckingham que permite determinar a quantidade de conjuntos adimensionaisque descrevem o problema.

  • Captulo 1

    Calendario

    O tempo. Se hoje organizamos os nossos compromissos usando um calendario, como istoera feito no passado? Como surgiu o calendario? Que bases foram usadas para construiro calendario? Este captulo trata do estudo sobre o calendario, buscando analisar a suaorigem na pre-historia, a sua evolucao culminando com a sua formatacao atual.Na secao1.1 apresentamos o calendario. Na secao 1.2 buscamos mostrar indcios na natureza quelevaram o homem a criar o calendario. Assim na secao 1.3 mostramos indcios arqueologicosdos calendarios mais antigos. Na secao 1.4 apresentamos a evolucao do calendario egpcio.Posteriormente na secao 1.5 mostramos a evolucao do calendario romano ate a versao atual docalendario. Na secao 1.6 tratamos da Linha Internacional de data que permite que ajustemosos relogios quando mudamos para outros pases.

    1.1 Introducao

    Calendario e um sistema para contagem e agrupamento de dias que visa atender a`s ne-cessidades civis e religiosas de uma cultura. Na Figura 1.1 temos a representacao de umcalendario

    Exerccio 1.1. Questoes para reflexoes:

    Por que o calendario e organizado em 12 blocos? Por que alguns meses tem 30 dias e outros 31 dias? Por que ha um mes com menos

    que 30 dias?

    Por que o calendario tem 365 dias?

    1.2 A concepcao do tempo

    Muito embora nos ja temos desenvolvido de forma clara o conceito do calendario, podemosnos perguntar em que momento surgiu esta necessidade de se montar um calendario. Podemosbuscar a resposta nas plantas e na maioria dos animais. Muito embora eles nao tenham anocao do tempo mas as suas atividades sao reguladas pelas estacoes do ano. No vdeo a seguirvemos diversas mudancas na natureza.

    1

  • 2 CAPITULO 1. CALENDARIO

    Figura 1.1: Um tpico calendario.

  • 1.3. O TEMPO NA PRE-HISTORIA 3

    Assista ao seguinte vdeo: Channel Channel Planet Earth Time Lapse (1).

    Percebemos que as mudancas climaticas afetam de uma certa forma a vida das plantas e dosanimais. Provavelmente foram estas repeticoes que devem ter levado o homem a desenvolver oconceito de calendario(2). Uma das evidencias de que o homem na pre-historia usou isto a seufavor e a caca das focas na epoca do acasalamento. Certamente eles sabiam que o acasalamentoocorria em um determinado momento, porque havia uma concentracao de focas e que facilitavaa caca. De algum modo o homem percebeu que ocorria numa determinado momento e assimele poderia se preparar para realizar a caca. Portanto isto pode ser considerado uma evidenciaque os homindeos tinham nocao do tempo.

    Osooty shearwater e uma ave da Nova Zelandia, semelhante ao albatroz, e sua procriacaoacontece no verao do hemisferio sul. Quando o tempo esfria, o passaro voa para o norte e chegaa` porcao norte do Pacfico, onde se acomoda nas costas da California, Japao e Alasca. Essepadrao migratorio e notavel porque e o mais longo ja confirmado por um sistema eletronico derastreamento. O percurso total de voo dos sooty shearwatersem sua migracao anual (parao norte e de volta ao sul) pode superar os 64 mil quilometros. Estudos mostram que algunsanimais tem sensibilidade a` luz a determinados perodos do ano, tambem chamado fotoperodo- a quantidade de iluminacao solar nos dias. A` medida que os dias se tornam mais curtos, osinstintos informam aos animais de que e o momento de migrar. Experiencias demonstraramque animais expostos a fotoperodos artificiais constantes agirao como se os fotoperodos queexperimentam fossem naturais (3). Outros animais podem reagir a` temperatura externa oucom o volume de reservas de gordura disponvel em seus corpos.

    1.3 O tempo na pre-historia

    Ha 43 mil anos atras, o Neandertal era cacador e coletor de alimentos do glacial (channel, OMundo do Neandertal - Cromagnom [ Parte 1 a 10 / 10 ], 2000). Viviam em condicoes rusticase estavam subnutridos e com doencas, como mostram os dentes dos fosseis (4). Eles viviamem pequenas comunidades e interagiam muito pouco com outros grupos o que dificultavaa troca de novas ideias e tecnicas. Dez mil anos depois, a Europa foi assolada por baixastemperaturas devido ao perodo glacial. Nesta epoca chegou um novo grupo de homindeoschamado Cromagnom. Este novo grupo era mais habilidoso e dispunha de novas tecnicas econhecimentos. Embora tenham coexistido pacificamente, porem acabaram extintos. Nao sesabe quando, mas em algum momento os novos homindeos desenvolveram tecnicas de plantio,para evitar a fome. Assista aos 10 vdeos.(5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14)

    Cerca de 25 mil a 20 mil anos atras artefatos foram encontrados no Congo, e que podemsugerir algo como um calendario lunar de seis meses, pois apresentam ranhuras (15). Ocalendario lunar e baseado no perodo de duas lunacoes, ou seja, o perodo delimitado no ciclolunar completo e corresponde ao espaco de tempo entre duas luas novas consecutivas.

    Em uma analise mais detalhada o osso observamos a seguinte distribuicao de ranhuras:A coluna central comeca com 3 ranhuras, e, em seguida, muda para 6 entalhes. O processoe repetido para o numero 4, que duplica para 8 entalhes, e depois muda para 10 entalhes.Seguindo a sequencia, aparece dois grupos de 5 entalhes cada, e finaliza com 7 entalhes.Aparentemente parece um processo de contagem e o seu dobro que sejam menores que 10,ou seja, n = 3 o dobro e 6; o proximo numero e 4 e o dobro e 8. Porem o que dizer do lado

  • 4 CAPITULO 1. CALENDARIO

    (a) Osso de Ishango. (b) Analise do osso de Ishango.

    Figura 1.2: Osso de Ishango. A` esquerda a foto dos ossos e a` direita a representacao dasmarcas que representam provavelmente os meses.

    (a) Pintura rupestre em Lascaux. (b) Outro detalhe da pintura rupestre em Las-caux.

    Figura 1.3: Pinturas rupestres em Lascaux.

    esquerdo? Qual a logica para o 5 e o 5? De fato os numeros nao sao aleatorios. Algumastribos da Africa utilizam sistemas de contagem base 5, base 10 e base 20. Estes sistemasde contagem podem ter sido herdados dos povos que antigamente habitaram esta regiao. dequalquer forma sugere uma logica matematica. No osso superior (Figura 1.2a) percebemos quea numeracao inferior relacionam numeros primos. Isto remete a informacao que os homindeosja sabiam dividir. O osso pode, portanto, ter sido usado como ferramenta de contagem simplesde matematica.

    Existem pinturas rupestres que foram descobertas em 1940 nas cavernas de Lascaux, naFranca, e consistem em desenhos representando os dias ate atingir o ciclo de 29 dias dalua, como mostra a Figura 1.3b e sao os primeiros exemplos de um calendario lunar. Essesdesenhos foram pintados em torno de 18.000 aC, numa data proxima ao do osso de Ishango.A Figura 1.3a mostra que cada ponto e um dia(16).

    Tanto o bastao de Isturitz (um osso encontrado em Isturitz, Franca, gravado com a marca-cao) e o osso de Blanchard mostrados nas Figuras 1.4a e 1.4b (encontrado em Abri Blanchard,Franca) sao exemplos do uso de ossos, como calendarios lunares. Ambos os resultados podemser datados por volta da mesma epoca do Osso de Ishango (16, 17).

    Elas contem indicacoes que coincidem com o ciclo lunar, e as ranhuras feitas sugerem umcalendario lunar de 6 meses.

  • 1.4. CALENDARIO EGIPCIO 5

    (a) Osso de Blanchard. (b) Bastao de Isturitz.

    Figura 1.4: Artefatos que remetem ao calendario lunar.

    1.4 Calendario egpcio

    Em torno de 11 mil anos A.C., algumas plantas foram domesticadas na Asia e a agriculturade pequena escala, em torno de 7000 a.C. chega ao Egito (18). Imaginamos que a razao dosegpcios criarem o calendario se deve a` necessidade de se preparar para a epoca de plantio nasimediacoes do rio Nilo, ou Aur ou Ar, que significa negro, numa alusao a` terra negra trazidapelo rio no regime das cheias, como mostra a Figura 1.5a. Esta terra e bastante fertil e queserve como adubo natural (19)

    A Figura 1.5b mostra o cenario apos o perodo das chuvas na qual o rio abaixa de nvel,a terra esta adubada naturalmente e permite o plantio. A Figura 1.5c mostra os egpciosexecutando as atividades de colheita. Perceba que estas atividades sao reguladas pelo perododas cheias que sao periodicas. Estes ciclos levaram a` criacao do calendario egpcio. Cada umdestes ciclos durava quatro meses.

    Assista ao vdeo Calendario egpcio.(20)

    Perceba que os egpcios ja dominavam a escrita, o sistema de numeracao e ja dispunhamde calendario voltado claramente para as atividades da agricultura. A maioria dos cientistasacredita que inicialmente os egpcios utilizavam o calendario lunar que esta associado com operodo sinodico1 da Lua e que dura 29,53059 dias. O ano lunar, para os egpcios era compostode 12 aparicoes da Lua, perfazendo 354 dias.

    Assista ao vdeo lua (21).

    Uma das razoes para se acreditar nesta hipotese esta relacionada com a propria palavraMes, ou em ingles, Monthe que esta associado com a palavra Lua, em ingles Moon. Outrasteorias associam o calendario lunar com o perodo de menstruacao da mulher. Com o tempo,os egpcios perceberam que havia uma defasagem de 111

    4dias ao ano. Tambem perceberam

    1Intervalo de tempo que separa duas faces identicas de um astro.

  • 6 CAPITULO 1. CALENDARIO

    (a) Nas cheias o material organico se depositanas margens.

    (b) Epoca do plantio.

    (c) Perodo da colheita.

    Figura 1.5: Regime nas aguas do rio Nilo

    Figura 1.6: Fases da Lua.

  • 1.4. CALENDARIO EGIPCIO 7

    Figura 1.7: Papiro de Carlsberg.

    que as cheias do rio Nilo coincidiam com o nascimento heliacal da estrela Sirius, que fica naconstelacao do Cao Maior(22). A` medida que o Sol surgiu no horizonte o brilho da estrelaera atenuada. Desta forma, os egpcios alteraram o calendario ajustando-o com este evento.Desta forma surgia o calendario solar.

    Assista ao vdeo Nascimento heliacal(22).

    As evidencias estao presentes no papiro de Carlsberg I (Figura 1.7) que e uma copia do livrode Nut, deusa do ceu, cujos desenhos estao presentes nos tumulos dos faraos Seti I e Ramses IV.Este documento diz que, depois do desaparecimento por 70 dias de Sopedno ceu ocidental, elereaparece ao lado do deus Khepri. Segundo a mitologia, a estrela Sirius e chamada Sopedquerepresenta o deus Osris(Figura 1.8b), o smbolo da realeza, que representa a vegetacao e avida no Alem (23, 24). Assim sendo, o nascimento helaco de Sirius repete-se ano apos anocom a periodicidade proxima do ano tropico, ou seja, em data fixa durante 3000 anos. Deacordo com este calendario, o ano era dividido em 12 meses de 30 dias acrescido de 5 diasespeciais para homenagear os deuses Horus, Set, Isis (Figura 1.8a) e Osris. As evidenciaspodem ser vistos nos detalhes das pinturas da Figura 1.8.

    A sua irma e esposa, a deusa Isis e chamada de Sahe e representada pela Constelacaode Orion, o smbolo da divindade, deusa do amor e da magica. Veja a Figura 1.9. A` direitaaparece as imagens da deusa do ceu e uma pata do boi com sete estrelas, que representaa constelacao da Ursa maior e abaixo, o casal Isis e Osris. Trata-se de uma tabela de 40colunas e 12 linhas. Inicialmente os meses nao tinham nomes mas posteriormente foramatribudos nomes. Sobre as linhas horizontais aparecem os termos tepy-sw, hery-ib swehery-pehouy sw, significando respectivamente primeira decada, decada centrale ultimadecada, acompanhados pelo numero do mes e estacao (Akhet, Peret ou Shemou). Portanto

  • 8 CAPITULO 1. CALENDARIO

    (a) Deusa Isis. (b) Deus Osris.

    Figura 1.8: Deuses egpcios.

    Figura 1.9: Desenho de um sarcofago com as imagens de Isis e Osris.

    a imagem nada mais que o calendario. A deusa Isis e filha do deus Geb(Figura 1.10a), deusda terra e da deusa Nut (Figura 1.10b), do Ceu (25, 26).

    Estas estacoes estao associadas com a epoca das inundacoes(Akhet), a epoca do plantio ecultivo dos graos (Peret) e a epoca da colheita (Shemou). Cada estacao tinha 12 decadas, agru-padas em meses com 30 dias. Motivados pela observacao dos astros, os egpcios acrescentarammais 5 dias, considerados sagrados para homenagear os deuses, chamados heryou-renpet, ouseja, os dias que estao para la do ano, chamados pelos gregos de Epagomenes. Observe aFigura 1.11. As linhas representam as estacoes, enquanto as colunas representam as decadas.

    Cada uma das doze linhas corresponde a uma hora da noite e e representado por umaestrela. Tanto a noite como o dia tinham a duracao de 12 horas. Existe um site que mostraa equivalencia de datas entre o nosso calendario e calendario egpcio (27, 28).

    1.5 Calendario romano

    Os romanos utilizavam o calendario lunar. A Figura 1.12a mostra o calendario na qual ascolunas sao os meses.

    Em 753 a.C. o imperador Romulo elaborou um calendario que continha dez meses com

  • 1.5. CALENDARIO ROMANO 9

    (a) Deusa Geb. (b) Deus Nut.

    Figura 1.10: Deuses egpcios.

    Figura 1.11: Hieroglifo representando os perodos.

  • 10 CAPITULO 1. CALENDARIO

    (a) Calendario romano. (b) Calendario Juliano.

    Figura 1.12: Tipos diferentes de calendarios ao longo do tempo.

    304 dias.

    Em 713 a.C. Numa Pomplio, alterou o calendario reduzindo os meses em 29 dias, adici-onando os meses de Janeiro e Fevereiro, obtendo um calendario com 12 meses contendo aotodo 355 dias. Neste calendario, para manter o calendario alinhado com o ano solar eramadicionados alguns dias neste mes para o ajuste, conhecido como salto do mesou mes bis-sexto ou em latim Mensis Intercalarisou Mercedonius. Isto acarretava um incremento noano de 377 ou 378 dias.

    Em 46 a.C., as caractersticas tpicas de inverno estavam coincidindo com os meses ca-ractersticos do outono. Com a ajuda do astronomo Sosgenes, foi implantado o calendarioJuliano (Figura 1.12b), onde foi institudo o ano bissexto a cada quatro anos e elevava para365,25 dias o ano. Em 8 d.C. o calendario Juliano foi modificado pelo imperador Augusto, quemodificou a regra de inclusao do dia extra, de tres em tres anos para quatro em quatro anos.O mes de Februariuspassou de 29 para 28 dias, cedendo um dia para o mes em homenagema Augusto, que passou de 30 para 31 dias, alterando a distribuicao dos outros meses.

    Contudo, este calendario ainda nao era preciso, pois a duracao do ano solar e, em media,365,2422 dias, diferente da duracao do calendario Juliano. Por volta do ano de 1582 essadiferenca era bem perceptvel, principalmente nos equinocios2 . Desta forma, em 1582, oPapa Gregorio XIII estabeleceu um novo calendario, e que difere do calendario Juliano apenasno fato de que os anos que completam um seculo, os chamados anos seculares, nao serembissextos, exceto quando o numero de seculos for divisvel por quatro (Figura 1.13b). A

    2Momento quando a duracao do dia e igual a` da noite.

  • 1.6. PERCEPCAO DO TEMPO 11

    (a) Relogio usado durante a revolucaofrancesa.

    (b) Calendario Gregoriano.

    Figura 1.13: Vista do relogio antigo usado na Revolucao francesa e a capa da publicacao docalendario Gregoriano.

    diferenca entre o ano gregoriano e o ano solar e muito pequena. Para fazer este ajuste, o Papateve que designar o dia seguinte ao dia 4 de outubro de 1582, como sendo dia 15 de outubro.Os protestantes relutaram em aceita-lo. Na Inglaterra o calendario gregoriano so foi adotadoem 1752 enquanto que nas igrejas ortodoxas somente em 1924.

    Em 1794, apos a Revolucao Francesa uma comissao resolveu propor um novo calendariobaseado no sistema decimal desenvolvendo o tempo metrico. Nesta nova unidade, o diametrico era composto por 100000 segundos metricos. Cada minuto metrico correspondia a100 segundos metricos. Cada hora metrica correspondia a 100 minutos metricos e cada diatinha 10 horas metricas.

    1.6 Percepcao do tempo

    Conseguimos conceituar bem intervalo de tempo. Em geral associamos a duracao do tempocom eventos, ou seja, temos claro que ha uma duracao de tempo (intervalo de tempo)quandovemos o Sol no horizonte e mais tarde quando esta a pino. Associamos um tempo a cada eventoe assim sabemos definir o intervalo de tempo. Porem definir tempo e algo mais complexo. Aimpressao que todos nos temos e que o tempo e algo imutavel, independente e que prosseguepara sempre, por conta propria, sem ser em nada afetado por qualquer outra coisa. Podemosinterromper qualquer atividade e o tempo ainda prossegue, sem qualquer interrupcao. Paramuita gente, o modo como medimos o tempo pelo relogio e o calendario sao absolutos, ouseja, independe da localizacao da pessoa e da sua velocidade (29).

    As pessoas sentem bem o efeito do tempo quando viajam de aviao. Por exemplo, este efeitocausa alguma estranheza quando cruzamos a Linha Internacional de Data (LID), tambemchamada de Linha Internacional de Mudanca de Data ou apenas Linha de Data, que e umalinha imaginaria na superfcie terrestre que implica em uma mudanca de data obrigatoriaao cruza-la (30), como mostra a Figura 1.14. Ao cruzar a linha de data de leste para oeste

  • 12 CAPITULO 1. CALENDARIO

    ganha-se um dia e ao passar de oeste para leste subtrai-se um dia no calendario.Assim quando cruzamos essa linha da America para a Asia, perdemos um dia inteiro do

    calendario por causa da diferenca de horario de 24 horas existente entre qualquer posicaoimediatamente a leste da linha e qualquer outra a oeste dela. Nesse caso, embora nao sejapreciso ajustar os relogios, temos que eliminar um dia da semana. Por outro lado, quandocruzamos a linha na direcao oposta, temos a sensacao de viver uma semana de oito dias: se apassagem e feita precisamente a` meia-noite, vivemos duas quintas-feiras seguidas. O conceitode tempo usual que nos temos e uma mera questao de conveniencia.

    Figura 1.14: Mapa com as correcoes de horas UTC. Observe na parte direita a Linha Inter-nacional de data.

    O Tempo Universal Coordenado (UTC) e uma base de tempo definida de forma sncronaao Tempo Atomico Internacional, que e calibrado em funcao do relogio atomico. A diferencae sempre por u m exato numero de segundos, que periodicamente e ajustado mantendo-se omais proximo possvel do tempo solar medio evitando discrepancia acentuada do calendariocom o clima.

    O Tempo Medio de Greenwich (GMT) e um padrao antecessor do tempo UTC, que foielaborado em 1847 porem foi abolido. Atualmente se usa o Tempo Universal (UT) que ecalibrado usando telescopios. O segundo conforme definido pelos sistemas UT e GMT podemdiferir em relacao ao Tempo Universal Coordenado.

    A Hora Legal Brasileira (HLB) e gerada pela Divisao Servico da Hora (DSHO) do Obser-vatorio Nacional (ON). Os Computadores podem ser conectados a` internet para se mantersincronizados com a HLB e com a hora UTC.

    Estudos mostram que criancas recem-nascidas nao tem a nocao de tempo, e que mais tardecomecam a perceber a sua existencia quando percebem a existencia de rotinas e sequencias.

  • 1.6. PERCEPCAO DO TEMPO 13

    Estudos mostram que somente com idades em torno de 5 s 7 anos comecam a criar umconceito mais abstrato sobre o tempo, associando com ausencias, perdas que nao mais serepetem. Pessoas com certas doencas neurologicas tais como ADHD tambem podem perdera nocao do tempo.

    Ate o incio do sec XX o tempo era tratado como algo absoluto. Porem em 1905 Einsteinapresentou a teoria da relatividade na qual mostra que eventos que sao coincidentes paraum observador podem nao o ser para outros observadores. Para isto usaremos um exemplo.Considere um foguete viajando no espaco com velocidade v. No interior do foguete ha umtubo de comprimento d com espelhos nas extremidades. Se a luz e disparada da parte inferior,o tempo gasto para ela refletir no espelho superior e voltar para o espelho inferior e

    t =2d

    c

    onde c e a velocidade da luz, isto quando o foguete esta parado. Porem se o foguete estiverem movimento, o caminho que a luz tem que percorrer para atingir o espelho e maior,

    D =v2t2 + d2

    De acordo com a teoria da relatividade, a velocidade da luz e a mesma, independente davelocidade do observador. Portanto o tempo para atingir o espelho em baixo e

    T =2dc2 v2

    Combinando as duas expressoes temos que

    T =t

    1 v2c2

    O tempo t e o tempo que um observador que esta parado mede enquanto T e o tempoque o observador que esta em movimento mede. Quando ambos estao parados, os temposse passam de formas iguais. Um intervalo de 1 s e igual para ambos os observadores. Masquando um deles esta em movimento, o tempo passa mais devagar, pois ha uma dilatacaono tempo. Se o observador esta com uma velocidade 0.5c o intervalo de tempo de 1s para oobservador parado equivale para ele um intervalo de tempo de

    T =1

    1 (0.5c)2c2

    1.15s

    Os efeitos em altas velocidades sao surpreendentes. De acordo com a teoria da relativi-dade, o tempo deixa de ser uma grandeza absoluta e universal e passa a ser uma grandezaestritamente local, atrelada a` dependencia do tempo com a velocidade do observador. Istoocorre tambem com a massa dos objetos e com o espaco. Neste novo cenario o tempo, oespaco e a massa estao interligados de forma que os resultados fogem da nossa percepcao quetemos da fsica classica, como mostra a Fig. 1.15. Perceba a imagem da deformacao da luzao passar por um corpo negro. A luz e deformada pela presenca de um objeto muito massivo.

  • 14 CAPITULO 1. CALENDARIO

    Figura 1.15: Deformacao do espaco pela presenca de um corpo negro.

    O termo

    =t

    1 v2c2

    aparece bastante na teoria da relatividade. Basicamente podemos dizer que para baixasvelocidades podemos considerar o tempo como uma grandeza absoluta pois a variacao e muitopequena. Para v = 106c, que e da ordem de 300 m/s, temos que

    T = 1, 000000000000500000000000375 s

    , ou seja uma variacao muito pequena.

    Assim para o nosso mundo, cujas coisas acontecem com velocidades baixas, podemosdesconsiderar a teoria da relatividade e tratar o tempo como uma grandeza absoluta. Sodevemos usar a teoria da relatividade quando lidamos com velocidades proximas a da luz,que algo em torno de c = 3 108 m/s. Quando estamos nos restringindo a este domniodizemos que estamos lidando com a mecanica classica. No domnio da relatividade, dizemosque lidamos com a mecanica relativstica.

    As leis de Newton, que descrevem a maioria dos fenomenos do nosso universo foramtestadas por experimentos. A teoria da relatividade concorda com os resultados da mecanicaclassica, no regime de baixas velocidades. Este requerimento de compatibilidade entre asteorias e conhecido como princpio da correspondencia.

  • 1.7. CONSIDERACOES FINAIS 15

    1.7 Consideracoes finais

    Neste captulo estudamos de forma abreviada a origem do calendario. Inicialmente ocalendario era baseado no perodo lunar. Em vista das discrepancias no ano, o calendariopassou a ser solar, baseado no tempo que a Terra leva para dar uma volta em torno do Sol.Embora o calendario atual tenha 365 dias, o tempo que a Terra leva para dar a volta em tornodo Sol nao e um numero inteiro e exato, de forma que de tempos em tempos e necessario fazeruma correcao no calendario.

    Para facilitar a comunicacao entre os povos e o ajuste das horas, foi criada a LID, separandoo dia atual do subsequente. No Brasil o Observatorio Nacional e responsavel pela ajuste dashoras. O seu sinal e gerado de varias formas para que o horario possa ser sincronizado.

    Ao final deste captulo o aluno ter nocoes sobre as origens do calendario, da sua evolucaoate o calendario atual. Devera entender a razao sobre os eventuais ajustes no calendario.

    1.8 Problemas

    Os problemas estao separados por nvel de dificuldade * (mais facil) a ***** (mais difcil).

    * Ex. 1 Transforme 6 dias em horas. (Resp: 144 h).

    * Ex. 2 Qual a diferenca em dias entre os calendarios lunar e o solar, em um ano? (Resp:10.87512 dias).

    * Ex. 3 Ao final de 10 anos, qual a defasagem do calendario Juliano, em segundos?(Resp: 6739.2 s).

    * Ex. 4 No livro A volta ao mundo em 80 dias, de Julio Verne: o heroi, prestes acompletar sua viagem na direcao leste, pensava ter levado mais de 80 dias. Porem como naotinha retrocedido seu calendario ao cruzar a Linha da Data, descobriu, na chegada, que estavaum dia a` frente, tendo de fato completado sua viagem no tempo estipulado. Por que isto everdade?

    * Ex. 5 Qual a razao entre o ano solar e o ano de 365 dias? (Resp: 1.000664)

    * Ex. 6 Um ano tem 365.25 dias. Quantos segundos tem um ano? (Resp: 31557600 s)

    * Ex. 7 Um relogio analogico, como mostrador de 12 h, adianta 1 min por dia. Depoisde acertar as horas, quando ele ira marcar corretamente as horas? (Resp: 720 dias)

    * Ex. 8 Em 30 de junho de 1981, o minuto de 10h e 59 min a 11 h foi alongado paraconter 61 s. O segundo a mais foi introduzido para compensar a reducao da rotacao da Terra.Por que isto foi necessario?

    * Ex. 9 A idade do universo e considerada como contada a partir da grande explosao

  • 16 CAPITULO 1. CALENDARIO

    conhecida como big bang. Por meio de observacoes estelares e estimada que seja algo emtorno de 13.74 bilhoes de anos atras. Por outro lado estimativas mostram que a Terra seformou ha 4.5 bilhoes de anos atras. Qual a razao entre a data de formacao da Terra e douniverso?

    ** Ex. 10 Considere que o intervalo de tempo no universo siga uma relacao

    T = e109t

    onde t e a idade do universo. A partir de que momento da criacao do universo se observarauma mudanca de 1 s para 0.99999 s no intervalo de tempo?

    ** Ex. 11 Na Grecia antiga o filosofo grego Zeno tentou analisar a questao sobre mo-vimento. Considere uma bola se movendo. Assim como a bola muda de posicao, o tempotambem muda. Assim ele imaginou que em um determinado instante ele veria a bola ocu-pando uma posicao. No entanto olhando para esta cena, como podemos distinguir se o objetoesta em movimento ou esta parado? Para ele nao seria possvel distinguir se o corpo estaem movimento naquele instante entao nao e possvel distinguir para os demais instantes detempo. Analise esta linha de pensamento.

    *** Ex. 12 Uma data curiosa neste ano e o dia 11/11/11, pois o dia, mes e dois ultimosdgitos do ano sao iguais. No ano passado, esse padrao aconteceu em 10/10/10. Quantos diasha desde 10/10/10 ate 11/11/11, incluindo o dia 10 e o dia 11?

    ** Ex. 13 Considere uma placa de 20cm por 30 cm. Sobre a placa desenhamos pequenosquadrados de 1cm de lado. Vamos supor que sobre a placa coloquemos uma bacteria num dosquadrados. Considere que a cada segundo ocorra uma divisao celular na bacteria de formaque dobre a populacao. Em quantos segundos todos os quadrados estarao ocupados?

    * Ex. 14 Para estimarmos a limitacao do nosso planeta em termos do esgotamento dosrecursos, solicitamos que uma pessoa morasse em uma casa com dois comodos. Num deles apessoa ocuparia integralmente o tempo enquanto no outro ela guardaria os dejetos. Vamosconsiderar que os comodos sao iguais tendo cada um deles 48 m3 de espaco e que cada dejetoocupe 40 cm3. Suponha que ao dia a pessoa gere tres dejetos. Determine em quantos anosum dos comodos estaria lotado com os dejetos?

    **** Ex. 15 Considerando ainda o caso anterior, suponha que a cada 20 anos surja umnovo habitante na casa, gerando a mesma quantidade de dejeto. Determine em quantos anosum dos comodos estaria lotado com os dejetos?

    * Ex. 16 No acelerador de partculas LHC ocorrem 600 milhoes de colisoes de partculaspor segundo. Que fracao do tempo devemos escolher para observar 100 colisoes?

    * Ex. 17 A estacao orbital internacional da um volta completa em torno da Terra a cada90 minutos. Em um ano ela tera dado quantas voltas?

    * Ex. 18 Sobre a face do globo terrestre podemos dividir em 360 partes iguais, as quaissao chamados de longitude. Qual o tempo aproximado em horas que a Terra leva para girar

  • 1.8. PROBLEMAS 17

    1?

    *** Ex. 19 Observe a seguinte sequencia de numeros

    72496 esta para 1315;62134 esta para 97;85316 esta para 167.

    Portanto para o numero 28439 corresponde a que numero? (Resp. x=167).

    ** Ex. 20 Definimos perihelio como senso a posicao mais proxima da Terra em relacaoao Sol. Atualmente isto esta ocorrendo no dia 5 de Janeiro. Por outro lado o eixo de precessaoda Terra, nao e fixo, mas muda de orientacao de uma lado para outro como o piao. Se o tempoque este eixo gasta e 25800 anos para retornar a esta mesma posicao e supondo que em 5000a.C. o eixo estava num dos extremos, calcule em que ano os climas tanto no hemisferio Nortequanto no Sul ficaram e ficarao iguais?

    ** Ex. 21 O tempo que a Terra leva para completar uma volta nao e exatamente 365dias mas e algo em torno de 365 dias e 25 minutos. Como consequencia, ha uma mudanca deposicao do perihelio da Terra, que vai se deslocando levemente ate retornar a posicao inicial.Calcule o tempo para que o perihelio volte a posicao original.

  • 18 CAPITULO 1. CALENDARIO

  • Captulo 2

    Sistema de unidade

    Qualquer numero que e usado para descrever um resultado de uma observacao de umfenomeno fsico e chamado quantidade fsica. Quando esta medida e feita nao basta apenasexpressar o numero. Isto daria muita confusao. Imagine que duas pessoas facam duas medidas,uma da distancia entre duas cidades e a outra, do comprimento da mesa. Considere que os doisvalores obtidos sejam 100. Sera que estas duas medidas sao iguais? com certeza nao. Cadauma delas foi usado um padrao diferente. A este padrao atribumos um nome e colocamoslogo em seguida do valor da medida, por exemplo 100 cm e 100 km. No primeiro caso usamosusamos o padrao centmetro(cm) e no segundo caso usamos o padrao quilometro (km).

    Este processo foi necessario para evitar confusoes deste tipo. Na antiguidade, quando acomunicacao entre os povos se dava mais pelo comercio, cada povo criou o seu proprio padraoe o comerciante precisava fazer a conversao. As guerras ajudavam de certa forma a difundir ospadroes de medida, uma vez que o povo conquistado adotava os seus padroes de medida. Como tempo, quando as comunicacoes entre os povos eram mais intensas, foi preciso padronizarestas medidas.

    Este captulo trata do estudo sobre o sistema de unidades, analisando as grandezas fsicasque sao adotadas com padrao, como escrever numeros bem grandes e numeros bem pequenose como fazer conversao de unidades. Este captulo esta organizado como segue: na secao2.2 apresentamos nocoes iniciais para o conceito de medida que e baseada no processo decomparacao com o padrao. Na secao 2.3 definimos grandeza, sistema de grandezas, grandezade base e grandezas derivadas, a dimensao de grandezas do Sistema Internacional deUnidadeSI e definimos grandeza adimensional. Na secao 2.4 apresentamos as unidades demedida das grandezas do SI. Em seguida na secao 2.5 tratamos da unidade de medida derivada.Na secao 2.6 mostramos a definicao do metro, quilograma e do segundo. Na sequencia, nasecao 2.7 tratamos de unidades que ainda sao empregadas mas nao pertencem ao SI. Na secao2.8 apresentamos a notacao para multiplos e submultiplos. Na secao 2.9 falamos um poucodas escalas de referencia que sao montadas para facilitar a compreensao de alguns efeitos.Finalmente na secao 2.10 apresentamos dois metodos para se fazer a conversao de unidades.

    19

  • 20 CAPITULO 2. SISTEMA DE UNIDADE

    2.1 Introducao

    Quando o comercio comecou a ser feito entre as pessoas, se realizava uma troca entre doisprodutos, por exemplo uma galinha por sal. Dependendo da fartura do produto no local,uma galinha poderia corresponder a tres porcoes de sal. Esta porcao dependia do local e anegociacao poderia se arrastar pelo tempo necessario. Com o aumento do comercio, estasporcoes acabaram se tornando a medida da epoca. Porem como nao havia muita fiscalizacao,a mesma medida poderia variar localmente. Com o tempo, estas quantidades foram se padro-nizando e se tornando do conhecimento de todos. Antes da instituicao do Sistema MetricoDecimal, tambem conhecido como Sistema Internacional de UnidadesSI em 7 de Abril de1795, as unidades de medida eram definidas de maneira arbitraria, variando de um pas paraoutro, dificultando as transacoes comerciais e o intercambio cientfico entre eles. Por fim asociedade comecou a definir unidades que fossem invariantes, ou seja, independem do local,das condicoes.

    2.2 Medicao

    Sempre estamos presenciando medicoes. Antes da instituicao do Sistema Metrico Decimal(no final do seculo XVIII, exatamente a 7 de Abril de 1795), existiam diversas unidades demedida. Isto dificultava as transacoes comerciais e o intercambio cientfico entre eles. A partirdesta data varios pases comecaram a adotar este sistema e desde entao varias revisoes foramefetuadas. O Sistema Internacional de Unidades foi adotado globalmente por praticamentetodos os pases. As excecoes sao Myanmar e Liberia. O Reino Unido adotou oficialmente oSI, mas sem a intencao de substituir inteiramente seu proprio sistema usual de medidas.

    Assista ao seguinte vdeo: O Tamanho da Terra e dos Demais Astros. O vdeo trata deum conceito geometrico muito usado para comparar objetos. Para informar se um planetae grande ou pequeno, precisamos comparar com outro planeta. Assim Terra e maior queMercurio, mas e menor que Jupiter. O processo que permite verificar a grandeza ou pequenezdos objetos se chama comparacao. Muitas vezes a comparacao visual pode nos confundir.

    Exerccio 2.1. Analise a Figura 2.1 e diga qual das bolas azuis e maior, a superior ouinferior?

    Figura 2.1: Qual das esferas azuis e maior?

  • 2.3. GRANDEZAS 21

    Mas o que e uma medicao? O processo de medicao requer a comparacao de uma dasgrandezas com outra, de mesmo tipo, tomada como padrao.

    Exerccio 2.2. No exerccio abaixo vamos considerar como padrao o retangulo. Comparamosa quantidade de retangulos coloridos com o retangulo padrao. Na primeira linha como apenasdois retangulos estao coloridos representamos esta medida como sendo 2. Seguindo a mesmalinha de raciocnio, preencha as demais linhas:

    Tamanho dafigura

    valor

    x x 2x x x x x x xxx x x x x x x x xx x xx x x x xx x x x x x x x

    Perceba que neste processo usamos um objeto como padrao e medimos o valor do outroobjeto comparando com o padrao. Este processo permite que o indivduo faca comparacoes,estabeleca relacoes, construa algumas representacoes nesse campo e atribua significado.

    A ciencia que trata das medicoes e a metrologia. A metrologia abrange todos os aspectosteoricos e praticos relativos a`s medicoes, em quaisquer campos da ciencia ou da tecnologia.

    2.3 Grandezas

    Definimos grandeza como sendo um atributo de um fenomeno, corpo ou substancia quepode ser qualitativamente descrito e pode ser quantitativamente determinado. Em outraspalavras grandeza e algo que pode ser medido e expresso na forma de numero.

    Exerccio 2.3. Que grandezas podem ser identificadas na figura 2.2?

    Figura 2.2: Latas possuem grandezas a serem medidas.

    Exerccio 2.4. Podemos considerar as emocoes humanas como grandeza?

  • 22 CAPITULO 2. SISTEMA DE UNIDADE

    2.3.1 Sistema de Grandezas

    Podemos montar um conjunto com todas as grandezas possveis de serem medidas que saodo nosso conhecimento. Deste grande conjunto, podemos montar entao pequenos subconjun-tos de grandezas. Estes pequenos subconjuntos recebem o nome de sistema de grandezas.

    Porem olhando elas vemos que algumas grandezas podem ser escritas em termos de outras.Por exemplo, a velocidade pode ser escrita com a razao da distancia pelo tempo. Assimpodemos formar um conjunto menor de grandezas que uma nao depende da outra. Porexemplo comprimento e massa. Este pequeno conjunto de grandezas independentes recebemo nome de grandezas de base.

    A escolha da grandeza de base depende da conveniencia. Por convencao temos o SistemaInternacional de Unidade, cujas grandezas de base sao: comprimento, massa, tempo, correnteeletrica, temperatura, intensidade luminosa e quantidade de substancia.

    As demais grandezas do conjunto sao chamadas grandezas derivadas, pois estas grandezaspodem ser escritas como funcao das grandezas de base {a,b,...,z}, ou seja A = F (a, b, c, . . . , z).No anexos B e C apresentamos uma relacao de grandezas e constantes.

    Exerccio 2.5. Em um sistema que tem como grandezas de base o comprimento, a massa eo tempo, a densidade e uma grandeza derivada? Como ela se relaciona com as grandezas debase?(Densidade e a razao da massa pelo volume).(Resp.: Densidade e a razao da massa pelovolume).

    Resolucao. Temos que

    densidade =massa

    Volume=

    massa

    comprimento3= massa comprimento3

    2.3.2 Dimensao de uma Grandeza

    Para cada grandeza atribumos uma letra para expressar a sua dimensao. Para algumasgrandezas e expressa como produto das dimensoes de outras grandezas. No Sistema Interna-cional de unidades temos as seguintes letras:

    Tabela 2.1: Dimensoes das grandezas de base do Sistema Internacional de UnidadesSI

    Grandeza de base DimensaoComprimento L

    Massa MTempo T

    Corrente eletrica IIntensidade luminosa J

    Temperatura quantidade de substancia N

    Em geral, a grandeza G pode ser escrita nas grandezas de base (L,M,T) como

    G = LxMyT z

    em que x, y e z sao ndices.

  • 2.4. UNIDADE DE MEDIDA 23

    Exerccio 2.6. Qual a dimensao da densidade no SI?

    Resolucao. Temos que [d] = ML3.

    2.3.3 Grandeza Adimensional

    Ha grandezas em que todos os expoentes das dimensoes das grandezas de base sao nulosna expressao dimensional. Exemplos: Deformacao linear relativa (razao da deformacao pelocomprimento), coeficiente de atrito, coeficiente de resistencia ao avanco.

    2.4 Unidade de medida

    Unidade de medida e a grandeza especfica, definida e adotada por convencao, com asquais outras grandezas de mesma natureza sao comparadas para expressar suas magnitudesem relacao a`quela grandeza. Cabe lembrar que as unidades de medida tem nomes e smbolosdefinidos por convencao. Ha uma publicacao chamada Sistema Internacional de Unidades SI que apresenta todas as definicoes e convencoes adotadas. A nomenclatura pode ser vistano Anexo A. No SI e convencionado a designacao dos smbolos para representar a unidade demedida. Na tabela 2.2 temos as unidades para cada grandeza de base do SI.

    Tabela 2.2: Unidades das grandezas de base do Sistema Internacional de UnidadesSI

    Grandeza de base Unidade nomeComprimento m metro

    Massa kg quilogramaTempo s segundo

    Corrente eletrica A ampereIntensidade luminosa cd candela

    Temperatura K Kelvinquantidade de substancia mol mol

    2.5 Sistema de Unidades de medida

    O conjunto das unidades de base e unidades derivadas, definido de acordo com regrasespecficas, para um dado sistema de grandezas e chamado Sistema de Unidades.

    O Sistema Internacional de Unidades tambem e conhecido por sistema MKS. Podemoster o sistema de unidades CGS, cujas grandezas de base sao L, M, T e cujas unidades demedida sao centmetro, grama e segundo. Ha outros sistemas de unidades. Ha diversos sitesespecializados que permitem fazer a conversao de unidades da mesma grandeza. A unidade demedida derivada sao as unidades expressas em termos das unidades de medida das grandezasde base. Algumas unidades derivadas possuem nomes e smbolos especiais.

    Exerccio 2.7. Usando como base o SI, escreva a unidade de medida derivada:

  • 24 CAPITULO 2. SISTEMA DE UNIDADE

    Quantidade expressao Unidade de medida

    velocidade variacao do comprimentovariacao do tempo

    aceleracao variacao da velocidadeintervalo de tempo

    Forca produto entre massa e aceleracao

    Area comprimento ao quadrado

    pressao forcaArea

    densidade massaVolume

    Momento de forca produto entre forca e comprimento

    2.5.1 Sistema Coerente de Unidades de medida

    Quando no sistema de unidades de medida escolhido todas as unidades derivadas saocoerentes, ou seja, quando as unidades derivadas tem unidades da grandeza de base dizemosque o sistema de unidades e coerente.

    Por exemplo, as seguintes unidades (expressas por seus smbolos) fazem parte do sistemade unidades coerentes em mecanica, dentro do Sistema Internacional de Unidades, SI: m2 ;m3; Hz = s1; m.s1; m.s2;

    Exerccio 2.8. Verifique se as unidades sao coerentes ou nao, considerando o sistema MKS:

    Unidade demedida

    Sistema coe-rente (S/N)

    Kg.cm NKg.m-3Kg.m.s

    2.6 S.I.

    Para determinar o valor de uma grandeza, e necessario que se disponha de outra gran-deza de mesma natureza, definida e adotada por convencao, para fazer a comparacao com aprimeira. A isto chamamos de padrao.

    O metro e atualmente definido como sendo o comprimento do trajeto percorrido pela luzno vacuo, durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de segundo. Seria bem complicadomedir a altura de objetos usando apenas a definicao do Metro. A Figura 2.4a e empregadopara gerar padroes de metro.

    Historicamente, na praca Vendome, existe uma placa de marmore com a inscricaoMetro,como e mostrada na Fig. 2.3. Nela ha uma linha gravada entre dois pontos fixos, divididaem decmetros e cujo decmetro situado na extremidade direita esta tambem dividido emcentmetros. Esta placa foi instalada pela Agencia de Pesos e Medidas, organismo temporariocriado pela Convencao Nacional estabelecida em 1792. O conselho da Academia de Cienciastinha decidido que o metro seria definido como a decima milionesima parte do quarto domeridiano terrestre entre o Polo Norte e o Equador. Em julho de 1792, os astronomos Pierre

  • 2.6. S.I. 25

    Figura 2.3: Primeiro metro institudo em 1792 na Franca.

    Mechain e Jean-Baptiste Delambre foram encarregados de efetuar o calculo mais precisopossvel do comprimento dessa unidade, recem definida, atraves do arco do meridiano existenteentre Dunquerque e Barcelona.

    A definicao do segundo e a duracao de 9192631770 perodos da radiacao correspondentea` transicao entre dois nveis hiperfinos do estado fundamental do atomo de cesio 133. His-toricamente o termo hora vem do latim hora e tem o mesmo significado. O termo minutoveio do adjetivo minutus (TpequenoT). Os geometras antigos dividiam o grau em 60 partes,chamando cada parte de pars minuta prima, a primeira parte pequena. Esta, por sua vez,quando dividida em 60 partes iguais, era chamada pars minuta secunda, a segunda partepequena, de onde proveio o termo segundo.

    O quilograma e a massa equivalente a um padrao composto por irdio e platina que estalocalizado no Museu Internacional de Pesos e Medidas na cidade de Se`vres, Franca desde1889. Ele e um cilindro equilatero de 39 mm de altura por 39 mm de diametro, como mostraa Figura 2.4b. Historicamente, entre os romanos a menor unidade de massa era chamadoscrupulum (escropulo em portugues) que significa pedrinha. Com a expansao do imperioromano muitos povos dominados por eles absorveram as suas unidades de medir, porem nemsempre as escreviam corretamente. Scrupulum acabou por ser grafado scripulum, e este grafiafoi confundido com scriptum, que significa escrita. Porem o termo latino gramma significaqualquer signo escrito. Entao, por este motivo o termo scrupulum virou gramma.

    Estudos mostram que infelizmente os padroes produzidos como padrao de massa ao longodo tempo nao se mantiveram constantes. Alguns prototipos ganharam massa enquanto outrosperderam. Estes fatos acabam levando a necessidade de uma nova definicao para o quilograma.Um novo experimento esta em curso para a medida do quilograma.

    O padrao e definido internacionalmente e serve de base para estabelecer valores de outrospadroes da grandeza a que se refere. O padrao pode ser reconhecido por uma decisao nacionalpara servir, em um pas, como base para atribuir valores a outros padroes da grandeza a quese refere.

    No Brasil existe o Sistema Nacional de Metrologia, Normalizacao e Qualidade Industrial SINMETRO, constitudas por entidades publicas e privadas, que exercem atividades rela-cionadas com metrologia, normalizacao, qualidade industrial e certificacao da conformidade.Compoe o sistema:

    Conmetro e seus Comites Tecnicos.

  • 26 CAPITULO 2. SISTEMA DE UNIDADE

    (a) Padrao do metro. (b) Padrao de massa. (c) Equipamento paracalibrar o segundo.

    Figura 2.4: Padrao para a massa e o tempo.

    Inmetro Instituto Nacional de Metrologia, Normalizacao e Qualidade Industrial;

    Divisao do Servico da Hora do Observatorio Nacional (DSHO/ON);

    Laboratorio Nacional de Metrologia das Radiacoes Ionizantes (LNMRI) do Instituto deRadioprotecao e Dosimetria (IRD/CNEN);

    Organismos de Certificacao e Inspecao Acreditados, (Sistemas da Qualidade, Sistemasde Gestao Ambiental, Produtos e Pessoal);

    Organismos de Treinamento Acreditados;

    Organismo Provedor de Ensaio de Proficiencia Credenciado;

    Laboratorios Acreditados Calibracoes e Ensaios RBC/RBLE;

    Associacao Brasileira de Normas Tecnicas ABNT;

    Institutos Estaduais de Pesos e Medidas IPEM;

    Redes Metrologicas Estaduais.

    Chama-se Padrao primario como aquele que e designado ou amplamente reconhecido comotendo as mais altas qualidades metrologicas e cujo valor e aceito sem referencia a outrospadroes de mesma grandeza. Por outro lado chama-se padrao secundario aquele cujo valor eestabelecido por comparacao a um padrao primario da mesma grandeza.

    Geralmente o padrao requer operacoes especiais visando preservar as caractersticas me-trologicas de um padrao, dentro de limites apropriados. Estas operacoes envolvem calibracaoperiodica, armazenamento em condicoes adequadas e utilizacao cuidadosa.

  • 2.7. UNIDADE FORA DO S.I. 27

    Figura 2.5: Variacao de massa dos prototipos.

    Unidade demedida

    Fora do sis-tema (S/N)

    dia SmesanoarrobapixelgrauhectareLitro

    2.7 Unidade fora do S.I.

    Unidade de medida que nao pertence a um dado sistema de unidades mas que e utilizadapor razoes comerciais, cientficas, etc. Por exemplo, a unidade are e uma medida de area, forado SI mas que por razoes comerciais ainda e empregada e corresponde a 100 m2. Este linkmostra os fatores de conversao entre as unidades:

    http://www.bipm.org/en/si/si brochure/chapter4/conversion factors (ingles).

    Exerccio 2.9. Verifique se as unidades estao fora do sistema:

  • 28 CAPITULO 2. SISTEMA DE UNIDADE

    Figura 2.6: Tabela de multiplos e submultiplos.

    2.8 Multiplo e submultiplo

    Muitas vezes para facilitar escrever os valores das medidas usamos os multiplo ou submul-tiplo de uma Unidade de medida que sao formadas a partir de uma dada unidade, de acordocom convencoes de escalonamento. A nomenclatura usada e definida por convencao. A tabela2.6 mostra as conversoes.

    Exerccio 2.10. Escreva 3000 m usando os multiplos e submultiplos.

    Resolucao. Temos que 3000 m e 3 km.

    2.9 Escala de Referencia

    A intensidade de um fenomeno fsico e expresso em termos de um valor numerico. Porempara aplicacoes na engenharia ou em outros campos da ciencia e conveniente construir umaescala associada a estes valores. Por exemplo, podemos usar Escala de dureza Mohs, quemede a dureza dos minerais; podemos usar a escala de pH que mede a acidez nos lquidos,podemos usar a escala de dureza de Rockwell para medir a dureza dos materiais. Este e umteste simples onde se escolhe um material para penetrar no material e se aplica uma forcadefinida, como mostra a tabela 2.3.

    2.10 Conversao de unidade

    Existe um modo simples para se converter unidades. O metodo, embora nao seja unico,e bem simples e se chama metodo de conversao em cadeia. Neste metodo multiplicamos a

  • 2.11. CONSIDERACOES FINAIS 29

    Tabela 2.3: Escala de dureza de Rockwell.

    Smbolo Penetrador Carga Principal (kgf)A Cone de Diamante 60B Esfera de 1/16 100C Cone de Diamante 150D Cone de Diamante 100E Esfera de 1/8 100F Esfera de 1/16 60G Esfera de 1/16 150H Esfera de 1/8 60K Esfera de 1/8 150

    medida original por um fator de conversao que e igual a 1. Por exemplo,

    1 min

    60 s= 1

    Ja que a multiplicacao nao altera o valor da grandeza, podemos introduzir estes fatoresde conversao sempre que acharmos conveniente. Na conversao em cadeia, usamos os fatoresde conversao de forma que a unidade original se cancele. Por exemplo, queremos converter 2h em segundos. Portanto

    2h = 2h 3600s1h

    = 2/h 3600s1/h

    = 7200s

    Caso o fator tenha sido introduzido de forma que a unidade original nao se cancela, bastaapenas inverter o fator de conversao.

    Exerccio 2.11. Converta 10 km/h em m/s.

    Outro metodo tambem simples e empregar a regra de tres para efetuar a conversao deunidades. Para o mesmo caso

    2h = x

    1hh3600 s

    Portanto x = 2 3600 s = 7200 s.

    2.11 Consideracoes finais

    Neste Captulo tratamos especificamente sobre o sistema de unidades. As grandezas fsicassempre sao expressas por um numero seguido de sua unidade. O sistema convencionada paraexpressar a unidade e o SI que e definido em termos de sete grandezas:

    As demais grandezas podem ser escritas em funcao destas sete grandezas. Ha algumasunidades que ainda sao empregadas mas nao fazem parte das unidades do SI. Em alguns casospodemos escrever a medida usando multiplos e submultiplos

  • 30 CAPITULO 2. SISTEMA DE UNIDADE

    Tabela 2.4: Dimensoes e unidades das grandezas de base do Sistema Internacional deUnidadesSI

    Grandeza de base Dimensao UnidadeComprimento L m

    Massa M kgTempo T s

    Corrente eletrica I AIntensidade luminosa J cd

    Temperatura Kquantidade de substancia N mol

    Em alguns fenomenos podemos usar escalas de referencia que tem a finalidade de facilitara compreensao do processo. Por fim apresentamos dois metodos de conversao de unidades:

    Metodo da substituicao Ex:

    2h = 2h 3600s1h

    = 2/h 3600s1/h

    = 7200s

    Metodo da regra de tres Ex:

    2h = x

    1hh3600 s

    Ao final deste captulo esperamos que o aluno tenha nocoes sobre a definicao das grandezasfsicas fundamentais, como sao definidas as grandezas de base, as unidades das grandezas debase, SI, padrao, multiplos e submultiplos, escala de referencia convencionada e conversao deunidades. Ao final deste modulo o aluno devera ter competencia para compreender o SI ecomo converter as unidades.

    2.12 Problemas

    Os problemas estao separados por nvel de dificuldade * (mais facil) a ***** (mais difcil).

    * Ex. 1 Um onibus espacial esta a 300 milhas terrestre da superfcie da Terra. Qual eesta distancia em metros?

    * Ex. 2 Considere a Terra como um objeto perfeitamente esferico. O seu raio e 6370 km.Calcule o seu permetro, a sua superfcie e o seu volume.

    * Ex. 3 Classificar e expressar as grandezas abaixo em unidade do Sistema SI:

    1.9810 dinas

  • 2.12. PROBLEMAS 31

    Figura 2.7: Tabela de multiplos e submultiplos.

    2.250 g (SA)

    3.200 cm/s2

    4.80 km/h

    5.3.000 l/h

    6.4 pol (polegadas ou in (inch))

    7.5 lb (libras) (massa)

    8.5 PSI (libra por polegada quadrada)

    9.7 Kg/cm2 ( na pratica ou Kgf/cm2)

    10.9,81 g/cm3 (SA)

    11.1 g/cm3 (na pratica ou g*/cm3 )

    12.820 N/cm3

    13.8.000.000 cm2/s

    14.9.700 din/cm3

    15.0,01 centipoise

    16.1 centistoke

    17.10 hp

    18.10 cv

  • 32 CAPITULO 2. SISTEMA DE UNIDADE

    * Ex. 4 Ha um sistema que trata a forca em Quilograma forca Kgf, ou seja, um objetode 30 Kg tem um peso de 30 kgf. Podemos assim criar um sistema de base FLT Forca,comprimento e tempo com unidades de base Kgf, m, s. Tal sistema e chamado MKS. Se adensidade do material e 10g/cm3 qual o valor no novo sistema?

    * Ex. 5 Se em uma dado ponto da agua a pressao e 1,52345 Pa, no sistema FLT qualsera esta pressao?

    * Ex. 6 Suponha que voce possa retardar o tempo de modo que voce possa perceber omovimento de um feixe de luz que se move em um quarto.Se voce percebeu um nanosegundo,como se fosse um segundo, como seria para voce um microssegundo?

    * Ex. 7 Converta para o sistema SI as seguintes grandezas:

    1.10 in = 10 x 2,54 cm = 25,4 cm

    2.25 in =

    3.15 in =

    4.10 slug = 10 x 14,6 kg = 146 kg

    5.25 slug =

    6.33 slug =

    7.10 g = 10 g x 1 kg1000 g

    = 10 /g 1 kg1000/g

    = 101000 1 kg = 1

    100 1 kg = 0, 01 kg

    8.33 g =

    9.52 g =

    10.22 cm =

    11.33 dm =

    12.333 mm =

    13.10 km =10 km 1000m1 km

    = 10/km 1000m1/km

    = 101 1000m = 104m

    14.55 km =

    15.42 dam=

    16.55 hm =

    * Ex. 8 Uma sala tem 22 ft e 2 in de comprimento e 12 ft e 5 in de largura. Qual a areado piso em pes quadrados e em metros quadrados?

    * Ex. 9 Suponha que o um produto e vendido a dois dolares a libra. Supondo que 1dolar corresponda a 1.85 real, quanto saira o preco do produto em kg?

    * Ex. 10 A Antartida pode ser considerada como um semicrculo de raio R=2000 km.Se a espessura do gelo e 3000, qual o volume da camada de gelo?

    * Ex. 11 A quantidade maxima de sodio que uma pessoa pode ingerir numa dieta de2000 calorias e 2400 mg/dia. Quantas kg de sodio esta pessoa ira ingerir em um ano?

  • 2.12. PROBLEMAS 33

    * Ex. 12 Uma pessoa ao pegar um componente eletrico viu a seguinte inscricao 12 pF.Qual o significado desta inscricao? Quantos F cabem em 1 pF?

    * Ex. 13 O comprimento de onda da luz visvel esta na faixa dos 400 nm ate 700 nm.Calcule a diferenca de comprimento em m.

    * Ex. 14 O diametro do nucleo atomico e da ordem de 2 femtometro. Expresse o resul-tado em metros.

    * Ex. 15 Seja L=10 cm, M=50 mg e H= 40 mm. Se a expressao e

    F =L3/2M2

    H3

    expresse o resultado em unidades do SI.

    * Ex. 16 Converta10mm2 40cm3

    25mg

    em unidades do SI.

    * Ex. 17 Se tomarmos 60 kg de certo material de densidade 19.5 g/cm3 e o moldarmosna forma de esfera, qual sera o tamanho do seu raio?

    ** Ex. 18 Considere que a cada 10 s uma celula do corpo humano se reproduza em duasnovas celulas. Podemos em uma aproximacao considerar a forma da celula como a de umaesfera. Vamos considerar que o raio seja da ordem de 1 m. Calcule o tempo necessario paraque o conjunto de celulas tenha 1 cm3.

    ** Ex. 19 Um vazamento de petroleo lanca a cada segundo 50 bolhas de petroleo nomar. Por estimativa cada bolha tem o diametro de 5 mm. Ao final de 1 semana qual serao volume de petroleo lancado no mar? Se este petroleo vai para a superfcie e forma umapelcula com a altura de 0.1 mm, qual sera a area da superfcie formada por este vazamentoem 1 semana?

    * Ex. 20 A Figura 2.8 mostra a porcentagem de oxigenio (O2) presente na atmosfera, aolongo de 4,5 bilhoes de anos, desde a formacao da Terra ate a era dos dinossauros.

    Considere que a escala de tempo fornecida seja substituda por um ano de referencia, no quala evolucao qumica e identificada como 1z de janeiro a` zero hora e a era dos dinossauroscomo dia 31 de dezembro a`s 23 h 59 min e 59,99 s. Desse modo, nesse ano de referencia, aporcentagem de oxigenio (O2) presente na atmosfera atingiu 10% no

    1.1 bimestre.

    2.2 bimestre.

    3.3 trimestre.

    4.4 trimestre.

  • 34 CAPITULO 2. SISTEMA DE UNIDADE

    Figura 2.8: Origem da vida.

    Figura 2.9: Movimento do Sol.

    * Ex. 21 Uma pessoa de estatura mediana pretende fazer um alambrado em torno docampo de futebol de seu bairro. No dia da medida do terreno, esqueceu de levar a trena pararealizar a medicao. Para resolver o problema, a pessoa cortou uma vara de comprimento iguala sua altura. O formato do campo e retangular e foi constatado que ele mede 53 varas decomprimento e 30 varas de largura. Uma regiao R tem area AR, dada em m

    2 , de mesmamedida do campo de futebol, descrito acima. Qual a expressao que determina a medida davara?

    * Ex. 22 Suponha que voce esteja deitado em uma praia e observe o por do sol nooceano, ligando um cronometro no momento que ele desaparece, como mostra a Figura 2.9.Em seguida, voce se levanta, fazendo com que os seus olhos se movam para cima de umadistancia h=1,70 m e para o cronometro no momento em que o sol torna a desaparecer. Se ointervalo de tempo medido pelo cronometro e t=11,1 s, quanto mede o raio da Terra?

  • 2.12. PROBLEMAS 35

    * Ex. 23 Um satelite esta em orbita, em torno da Terra, a 300 km. Qual e esta distanciaem milhas e em mm?

    * Ex. 24 Uma certa mina de carvao consome 75 hectares de terra ate uma profundidadede 26 m, por ano. Qual o volume de terra extrado da mina?

    * Ex. 25 Um cubo de acucar tem 1cm de lado. Se uma caixa cubica tem 1 mol de cubosde acucar ou seja 6.02 1023, quanto mede o lado da caixa?* Ex. 26 Nos Estados Unidos os fabricantes de tinta garantem que uma tinta rende460 ft2/gal. Quantos metros quadrados esta tinta rende por litro?

    * Ex. 27 Durante o eclipse total, a Lua encobre completamente o Sol. Supondo que oSol esteja 400 vezes mais distante do que a Lua, qual a razao entre o diametro do Sol e daLua? E a razao dos seus volumes?

    * Ex. 28 Um cilindro macico possui a altura igual ao seu diametro d. Calcule o volumee a superfcie. Se imaginarmos que este cilindro cabe em uma caixa cubica de lado D, qual arazao entre o seu volume com o volume desta caixa?(Resp.: V = pid

    3

    4, A = 1.5pid2 e Vcil

    Vcub= pi

    4).

    * Ex. 29 Uma pessoa emagreceu 2.3 kg em uma semana. Quantas gramas ela emagreceupor hora?

    * Ex. 30 Uma caixa cubica tem 30 cm de lado. Se colocamos em seu interior esferas com1cm de diametro, quantas esferas caberao dentro da caixa e qual a razao entre o volume detodas as esferas com o volume da caixa?

    * Ex. 31 Uma certa quantidade fsica R e obtida usando a formula R = 4a2(bc) onde ae a velocidade ( razao entre a distancia pelo tempo) e b e c tem dimensao de distancia. Pelosistema SI, qual a unidade de R?

    * Ex. 32 Uma unidade de comprimento usada para medir distancias entre estrelas eo ano-luz, que e definido como sendo a distancia que a luz percorre em um ano no vacuo.Sabendo que a velocidade da luz aproximadamente e c = 3108 m/s, determine esta distanciaem quilometros.

    * Ex. 33 O relogio atomico oscila 9.193 109 vezes em um segundo. Considere doisrelogios A e B, sendo que o A esta bem ajustado e o B tem um desvio de um segundo a cada6000 anos. Qual sera a diferenca de oscilacoes a cada segundo?

    ** Ex. 34 O ouro pode ser comprimido a uma espessura de 1 micron para fazer umafolha de ouro. Se cada centmetro cubico de ouro tem uma massa de 19.32 g, quantas gramasde massa de folhas de ouro e necessaria para cobrir uma estatua com uma superfcie total de12 m2?

    * Ex. 35 Arquimedes estava interessado em calcular a quantidade de graos de areia quepreencheria o universo. Nesta epoca se acreditava que o universo era envolvido por uma esferade cristal na qual as estrelas estavam afixadas. Um astronomo chamado Aristarchus de Samos

  • 36 CAPITULO 2. SISTEMA DE UNIDADE

    fez uma estimativa do raio desta esfera 10000000000 estadias, onde estadia era uma unidadede comprimento usada na Grecia 1 estadia = 188 m. Supondo que o diametro do grao deareia e 0.02 mm, estime a quantidade graos de areia.

    ** Ex. 36 Ha uma lenda que diz que o rei Shiram da India quis presentear o vizir SissaBen Dahir pela invencao do jogo do xadrez. O vizir fez um pedido muito simples: na primeiracasa do tabuleiro de xadrez ele deveria colocar um grao de ouro(diametro de 0.02 mm). Nasegunda dois graos, na terceira quatro graos, na quarta casa, oito graos e assim sucessivamente.Como o tabuleiro tem 64 casas, calcule a quantidade de graos e o volume necessario.

    ** Ex. 37 O retangulo da figura 2.10 esta dividido em 10 quadrados. As medidas doslados de todos os quadrados sao numeros inteiros positivos e sao os menores valores possveis.Qual e a area deste retangulo?

    Figura 2.10: Figura do exerccio.

  • Captulo 3

    Teoria de erros

    Podemos efetuar um ensaio em mar aberto e todas as variaveis presentes na natureza par-ticipam no ensaio, tais como vento, ondas, temperatura, salinidade etc... Porem se desejamoscontrolar um pouco mais estas variacoes, podemos realizar o ensaio em um ambiente fechadocom um prototipo semelhante a embarcacao, numa escala menor, eliminando ondas, ventos.Os resultados ja nao terao mais estas influencias.

    Os valores obtidos nos ensaios irao depender claramente da aptidao da pessoa, da qualidadedos equipamentos, da forma como a experiencia foi conduzida. De qualquer forma, quandoefetuamos o ensaio todos estes fatores perturbam a grandeza a ser medida de modo que ovalor obtido e uma flutuacao destas influencias sobre o mensurando. Portanto o resultado deveexpressar nao so o valor da medida mas tambem estas influencias que acabam interferindo namedida. Em vista de todas estas influencias, em uma medida jamais conheceremos o valorverdadeiroda medida (VV). O que veremos adiante e que podemos estimar a melhor grandezaque expressa a medida assim como as incertezas da medida.

    Nao basta em um ensaio expressar o resultado da medida. O ensaio e de grande valiase alem da medida expressarmos tambem o valor da incerteza. Isto permite avaliar outrosfatores que influenciam a medida, fazer uma reflexao sobre o processo de medida.

    Este captulo esta organizado como segue: na secao 3.1 definimos amostra e populacao demedidas. Em seguida falamos da diferenca entre erro e incerteza, mostrando o diagrama deIshikawa. De acordo com a norma ISO GUM, podemos classificar em incertezas tipo A e tipoB. Na secao 3.2 falamos dos algarismos significativos que compostos por algarismos exatose um duvidoso. Na secao 3.3 apresentamos uma forma de arredondar os algarismos. Nasecao 3.4 mostramos alguns tipos de graficos usados para expressar os resultados da medida.Na secao 3.5 definimos o valor medio como a melhor estimativa da medida. Na secao 3.6definimos o desvio padrao e o desvio padrao da media e mostramos que o resultado de nmedidas e expresso na forma x = x n onde x representa o valor medio e n representa odesvio padrao da media. Na secao 3.7 analisamos a propagacao do erro em algumas expressoesmatematicas. Na secao 3.8 abordamos os erros tipo A e tipo B.

    37

  • 38 CAPITULO 3. TEORIA DE ERROS

    3.1 Introducao

    Ao efetuarmos apenas uma leitura, nao temos condicao de avaliar o grau de influenciados erros na medida. A situacao ideal seria efetuarmos infinitas leituras. A este conjuntodamos o nome de populacao. Mas isto e inviavel. Desta forma realizamos uma leitura finitade observacoes. Este conjunto de dados e chamado amostra, como mostra a Fig. 3.1

    Figura 3.1: Populacao e amostra.

    Com esta amostra esperamos extrair informacao sobre o comportamento de um processoou fenomeno. Podemos basicamente dizer que o processo de medidas consiste em:

    coletar dados; expor os dados; aplicar o modelo estatstico.Podemos usar o diagrama de Ishikawa para identificar a influencia destes erros na me-

    dida. Este diagrama tambem e conhecido como 6M pois, em sua estrutura, todos os tipos deproblemas podem ser agrupados como sendo de seis tipos diferentes:

    Metodo . O metodo ou processo de medicao pode afetar os resultados introduzindo incer-tezas;

    Operador . O operador pode interferir na medida introduzindo incertezas;

    Equipamentos . Os equipamentos por terem resolucao limitada introduzem incertezas namedida;

    Materia prima . Os produtos ou material empregados na medida podem produzir erros eincertezas na medida;

    Medicao A forma como e feita a medicao pode gerar incertezas na medida;

    Meio Ambiente Um ambiente nao controlado pode produzir incertezas na medida.

  • 3.1. INTRODUCAO 39

    Figura 3.2: Diagrama de Ishikawa.

    Exemplo 3.1. Em um ensaio sobre medidas de comprimento da peca com regua foram obser-vados uma grande variacao nos valores medidos. Apos a aplicacao do diagrama observamosos fatores que influenciam as medidas:

    Metodo . A leitura era feita com a regua de qualquer forma. Portanto adotando medir apeca com a regua encostada no objeto pode reduzir o erro;

    Operador . As leituras eram feitas por pessoas diferentes. Adotando usar uma so pessoapode padronizar a forma da leitura;

    Equipamentos . O uso da regua impoe um erro consideravel. O uso de outros equipamentostais como o paqumetro pode reduzir o erro;

    Materia prima . As pecas podem ter tamanhos diferentes devido a forma como foram usi-nados;

    Medicao Como a leitura e feita de forma direta, a forma de medicao nao imputa erros;

    Meio Ambiente Um ambiente nao possui temperatura controlada e em dias quentes os re-sultados podem diferir das leituras em dias frios.

    A essencia da teoria do erro e buscar o melhor valor que expressa o mensurando mas tam-bem determinar a incerteza da medida e o grau de influencia dos erros no ensaio, permitindoque caso algum erro sobressaia no ensaio, a pessoa possa reduzir esta influencia no ensaio.

  • 40 CAPITULO 3. TEORIA DE ERROS

    Em toda medida o erro esta presente seja pelas flutuacoes do aparelho ou seja pela in-fluencia de outras grandezas. Associado ao erro esta a incerteza. Portanto erro e incertezasao entidades distintas. O erro e a acao destes agentes enquanto a incerteza e a consequenciadestes erros.

    Exemplo 3.2. A medida do comprimento depende da temperatura do ambiente. Portanto ofator temperatura e um erro presente na medida e que leva a uma variacao nas leituras.

    Na literatura antiga se observa que alguns autores buscavam classificar erros em tres ca-tegorias: erros grosseiros(causados por impercia do observadores), sistematicos( quando pos-suem tendencias) e aleatorios(que e aleatorio). Por exemplo usando a ferramenta de busca doGoogle verificamos a seguinte quantidade de temas para cada erro: erros grosseiros (134.000),sistematicos(972.000) e aleatorios (452.000) usando como palavras de busca erro grosseiro,erro sistematico, erro aleatorio, todos combinado com a palavra fsica. Esta classificacao naoe mais usada. Se em um ensaio o erro grosseiro ocorre em todas as medidas, este erro deixade ser grosseiro e passa a ser sistematico ou aleatorio.

    Exemplo 3.3. Vamos considerar que uma pessoa esteja medindo a altura de um objeto enesta leitura, o efeito de paralaxe esteja presente. Supondo que uma boa medida fosse 20 cm ea pessoa obtenha o valor 23 cm. Uma leitura desta poderia ser classificada como erro grosseiropela distracao na leitura ao inclinar demais a cabeca e nao efetuar de forma correta a leiturado valor. Porem ao fazer mais leituras da mesma forma, os valores obtidos podem variarem torno do valor 23 cm, tornando o erro sistematico ou podem apresentar uma dispersaoconsideravel, pois a pessoa pendia a cabeca ora para um lado ora para outro obtendo valoresque variavam desde 16 cm ate 25 cm, tornando o erro aleatorio.

    Desta forma este tipo de classificacao nao e mais empregado. Uma normatizacao sobreo tratamento de erros e estabelecido no ISO GUM(??) que classifica a incerteza em tipo A(tratada estatisticamente com dados do ensaio) e tipo B (avaliada junto com outras informa-coes). A avaliacao da incerteza de medicao Tipo A e baseada na distribuicao de frequencia,enquanto que a avaliacao Tipo Be baseada em informacoes disponveis da variabilidade dagrandeza de entrada.

    3.2 Algarismos significativos

    Considere o seguinte caso de medida, como mostrado na Figura 3.3. Observe que a reguatem uma escala cuja divisao de escala e 1 mm. Poderamos dizer que o besouro mede entre 1e 2 cm, porem a resolucao da regua permite uma leitura mais apurada. Podemos entao dizerque o tamanho do besouro esta entre 1.5 e 1.6 cm, com toda a certeza. Estes algarismos saopela sua exatidao conhecidos como algarismos exatos. Mas podemos estimar qual o melhorvalor dizendo que o besouro poderia medir 1.55, ou 1.56 ou talvez 1.54 cm. De qualquer formaqualquer uma destas leituras representa bem a medida. Este ultimo algarismo e conhecidocomo algarismo duvidoso. Nao tem sentido, por exemplo, dizer sob estas condicoes de medidaque o besouro mede 1,554 cm. Esta regua nao tem resolucao suficiente para que possamosestimar a leitura na terceira casa decimal.