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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

GERAÇÃO, TRANSMISSÃO E DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA

AUTORES Prof. LUIZ FERNANDO BOVOLATO Profa. MARIÂNGELA DE CARVALHO BOVOLATO

MARÇO / 2009

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1a PARTE

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PREFÁCIO

Este material didático foi preparado pelo Professor Luiz Fernando Bovolato e pela Professora Mariângela de Carvalho Bovolato tendo como base, principalmente, o livro de Fuchs, Rubens Dario, Transmissão de Energia Elétrica - Linhas Aéreas, volume 1, Rio de Janeiro, Livros Técnicos Editora / Escola Federal de Engenharia de Itajubá, 1977 e o livro de Stevenson Jr., William D., Elementos de Análise de Sistemas de Potência, São Paulo, Editora McGraw – Hill do Brasil, Ltda, 1974, 1ª Edição em língua portuguesa, com o objetivo de suprir a pequena quantidade de exemplares destes livros, existentes na biblioteca e, por estarem esgotadas todas as edições da primeira referência e a 1ª edição da segunda referência bibliográfica citadas. Estes livros, principalmente o primeiro citado, tratam o conteúdo da disciplina Transmissão de Energia Elétrica em sua totalidade e com a profundidade adequada. Os autores deste material didático desconhecem a existência de referência bibliográfica tão completa neste assunto. Com isto desejamos registrar nosso reconhecimento e homenagem à memória do Professor Rubens Dario Fuchs. A segunda referência bibliográfica é um clássico e também aborda com qualidade diversos tópicos necessários ao desenvolvimento da referida disciplina.

Pelos motivos expostos estes livros formam a base do curso ministrado e deste material.

Finalizando desejamos registrar nossos sinceros agradecimentos aos alunos Matheus Bernado Menossi, Rodrigo Mazo Rocha, Rafael Borges Rodrigues e as alunas Talita Tozetto Esteves e Vanessa Rodrigues Puggina, pela colaboração na digitação deste material. Pelo desprendimento, construção de uma vida acadêmica séria e participativa e ainda pelo trabalho em grupo, não temos dúvidas de que serão excelentes profissionais. A todos, o nosso muito obrigado.

Os autores

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1. Introdução: A expressão linha de transmissão se aplica em todos os elementos de circuitos, que se

destinam ao transporte de energia, independente da quantidade transportada. Nosso enfoque será dado apenas às linhas clássicas, considerando apenas aquelas

formadas por ligações físicas entre uma fonte geradora de energia e um elemento consumidor dessa energia. Os termos fonte e consumidor de energia devem ser entendidos como transmissor e receptor de energia respectivamente. Essa ligação física é feita por meio de condutores, os quais são mantidos sob diferença de potencial e pelos quais circula corrente elétrica.

Centro de Produção

ou Geração de Energia

Elétrica

TRANSMISSOR

Centro de Consumo

ou Distribuição de Energia Elétrica

RECEPTOR

Linha de Transmissão

Fig. 1.01 – Representação de uma linha de transmissão 2. Análise qualitativa: As soluções matemáticas dos fenômenos físicos exigem, em geral, simplificações e

idealizações. Assim, a obtenção de uma expressão matemática, a partir de princípios fundamentais deve, além da fórmula, fornecer todas as informações referentes às restrições, aproximações e limitações que são impostas, sob pena de fazer-se uso indevido da mesma. Assim, é conveniente efetuar-se uma análise qualitativa dos fenômenos eletromagnéticos que ocorrem nas linhas antes de partir para uma solução matemática.

2.1. Energização de uma linha Considere uma linha de transmissão ideal(resistência nula – não existe perdas por efeito

Joule), perfeitamente isolada(afastada de qualquer influência externa) e imersa em um meio dielétrico perfeito(não existe perdas de energia no dielétrico entre os condutores), representada na figura 2.02.

Seja C[F/km] a capacitância entre condutores, L[H/km] sua indutância, ℓ[km] o seu comprimento e R2

t=0 V

Ax[km] ℓ[km]

L∆x L∆x L∆x

C∆x C∆x C∆x R2

um dissipador de energia colocado junto ao terminal receptor da linha.

Fig. 2.02 – Circuito representativo de uma linha bifilar ideal Aplicando-se no instante t=0, uma tensão V[kV] nos terminais 1 e 1’, esta irá aparecer

nos terminais do 1o elemento infinitesimal Δt[s] depois, e assim sucessivamente até o terminal receptor da linha, isto porque a corrente através do elemento LΔx não pode atingir instantaneamente seu valor I0[A]. Uma vez atingido o valor I0[A] este se mantém constante. Esta corrente denomina-se corrente de carga da linha.

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Cargas elétricas dão origem a campos elétricos e a movimentação delas da origem a campos magnéticos que se propagam do gerador para o receptor.

Define-se velocidade de propagação pela seguinte relação:

]s/km[T

=υ (2.01)

Onde: ℓ = comprimento da linha, [km]; T = tempo para que a tensão no receptor atinja o valor V, [s]. Enquanto o valor da tensão da fonte permanecer inalterado a corrente também irá

permanecer na mesma condição. Desta forma é possível definir uma impedância de entrada da linha, logo :

][V

IZ0

0 Ω= (2.02)

A corrente através da seção transversal do condutor pode ser escrita como segue

υ= CVI0

(2.03)

Assim como a tensão pode ser posta na seguinte forma:

υ= LIV 0

(2.04)

Com base nas expressões (2.03) e (2.04) a impedância pode ainda ser colocada nas

seguintes formas:

][1CZ0 Ω=υ

(2.05)

][LZ0 Ω= υ (2.06)

Igualando as duas expressões da impedância, (2.05) e (2.06), tem-se:

LC1

=υ (2.07)

Esta velocidade é da ordem da velocidade de propagação da luz no vácuo, isto é: 3x105

[ ]Ω=CLZ0

km/s.

Observando-se a expressão (2.07) é possível concluir que a velocidade depende do meio e das dimensões do arranjo da linha (introduzidas pelas grandezas L e C)

A expressão para obtenção da impedância pode ainda ser redefinida em função dos parâmetros elétricos da linha. Levando-se a expressão (2.07) em qualquer uma das expressões anteriores da impedância, (2.05) ou (2.06), obtém-se:

(2.08)

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Com base na expressão acima e possível concluir que a impedância independe do

comprimento da linha, dependendo do meio e das dimensões da silhueta da torre. Assim, têm-se valores constantes para cada linha. Esta grandeza característica

denomina-se impedância natural ou impedância de surto da linha. Desta forma, mantendo-se a tensão constante, tem-se:

cteZV

I0

0 == (2.09)

Isto é, a corrente também independe do comprimento da linha. Isto é óbvio uma vez que

quando a corrente de carga I0

2.2. Energia Armazenada Para cada Δt[s] gasto para energizar um trecho Δx[km], a fonte fornece a mesma

quantidade de energia dada por V I

começa a fluir, desconhece o comprimento da linha e a forma como é terminada.

0

2

21 Li

Δt. Sendo a linha ideal, não existem perdas e toda a energia será armazenada nos campos

elétrico e magnético. 2.2.1. No campo magnético ( )

Em termos do circuito representado pela figura 2.02, tem-se:

]s.W[2

xLIE

20

m∆

∆ = (2.10)

2.2.2. No campo elétrico ( 2

21 Cv )

Ainda com base nos elementos definidos na figura 2.02, resulta:

]s.W[2

xCVE

2

e∆

∆ = (2.11)

Observando-se que o armazenamento ocorre simultaneamente.

]s.W[][21

xCVxLItIV 2200 ∆∆∆ += (2.12)

Demonstra-se que a energia divide-se igualmente pelos campos elétrico e magnético,

isto é:

em EE ∆=∆ (2.13) Caso a linha tivesse comprimento infinito, o processo de energização duraria

indefinidamente. Como as linhas têm comprimento finito, ocorrem fenômenos cujo comportamento está diretamente ligado à forma como a linha é terminada, isto é, das condições em sua extremidade receptora.

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A. Linha com resistência terminal igual a Zo: R2 = Zo Considere a linha representada na figura 2.03.

ℓ[km]

R2 = Z0

I0

I2 V

Fig. 2.03 – Representação de linha com resistência elétrica no terminal receptor de

mesmo valor da impedância natural Pelas condições estabelecidas pode-se escrever:

ZV

IZV

I2

20

0 === (2.14)

Como no terminal receptor não existe armazenamento de energia, toda a energia

fornecida pela fonte será dissipada em R2. Logo,

tIRtIV 2

020 ∆=∆ (2.15)

e a corrente I0 continuará tendo o mesmo valor inicial. Daí as linhas assim terminadas serem denominadas de comprimento infinito.

Na figura 2.04 representa-se o comportamento da tensão e da corrente para esta situação.

Tensão

V

ℓ

V2

Corrente

I0

ℓ I2

Fig. 2.04 – Representação da tensão e corrente para uma linha terminada com R2=Z0 Quando o valor de R2 difere do valor de Z0, o equilíbrio traduzido pela igualdade Z0 I0 =

R2 I2 é alterado. Nestas condições têm-se duas situações a considerar: B. Linha com resistência terminal maior que Zo: R2’ > Zo

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Considere a linha representada na figura 2.05.

I0

V R2’ > Z0 I2’

ℓ[km]

Fig. 2.05 – Representação de uma linha com R2’ > Z0 junto ao receptor. Nesta condição a corrente I2’ através de R2’ será menor que I0 e a potência dissipável

(I2’)2 R2’ será menor do que (I0)2 R2’, ou seja:

I2’ = V / R2’ < I0 = V / Z0 (2.16) e

(I2’)2 R2’ < (I0)2

aumento de tensão

1 2 ℓ

'2V

V

Tensão

ν

R2’ (2.17) Assim um novo estado de equilíbrio deverá ser alcançado, pois o excesso de energia não

poderá ser dissipado instantaneamente em R2’. A redução na corrente provoca uma diminuição na energia armazenada no campo

magnético. Este campo além de não poder armazenar o excesso de energia deve ainda ceder parte da energia que possui armazenada. Assim, a partir do momento que I2’ começa a fluir por R2’, o campo elétrico absorve a energia excedente, que se manifesta por uma elevação da tensão no terminal receptor da linha acompanhada por uma redução no valor de I0, como ilustrado pela figura 2.06 a seguir.

Corrente

redução de corrente

0I

2'I

ν

ℓ

Fig. 2.06 – Representação da tensão e corrente para uma linha terminada com R2’>Z0 Quando a linha está aberta junto ao receptor a resistência R2’ assume valor muito alto,

ou seja, R2’ = ∞. Neste caso tem-se: 1. A corrente se reduz a zero progressivamente do receptor para o transmissor;

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2. O campo elétrico deve absorver toda a energia provocando um aumento progressivo da tensão do receptor para o transmissor, tal que:

V2’=2 V (2.18)

C. Linha com resistência terminal menor que Zo: R2’’< Zo Considere a linha representada na figura 2.07.

R2”< Z0 I2”

I0

V

ℓ[km]

Fig. 2.07 – Representação de linha com R2’’ < Z0 junto ao receptor. Neste caso a corrente I2’’ através de R2’’ será maior que I0. Em conseqüência a potência

dissipável (I2’’)2 R2’’ será maior do que (I0)2 R2’’, isto é:

I2’’ = V / R2’’ > I0 = V / Z0 (2.19) e

(I2’’)2 R2’’ > (I0)2

Tensão

"2V

ν

ℓ

redução de tensão

R2’’ (2.20) Assim ocorrerá falta de energia junto ao receptor, que não pode ser suprido

instantaneamente pela fonte. O novo estado de equilíbrio somente será alcançado se esta falta for suprida pela própria linha, as custa da energia armazenada durante o processo de energização.

Como houve um aumento no valor da corrente, o campo magnético não pode ceder energia e ainda deverá armazenar maior quantidade. Logo o campo elétrico cede energia. Como conseqüência haverá redução na tensão junto ao receptor que se propaga em direção ao terminal transmissor. A figura 2.08 ilustra o comportamento da tensão e corrente para esta condição.

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aumento da corrente

I2”

ν

Corrente

I0

ℓ

Fig. 2.08 – Comportamento da tensão e da corrente para uma linha terminada com R2’’<

Z0. Quando a linha encontra-se em curto-circuito junto ao receptor a resistência R2’’ assume

valor nulo, ou seja, R2’’ = 0. Neste caso tem-se: 1. A tensão se anula progressivamente do receptor para o transmissor; 2. O campo magnético absorve toda a energia provocando um aumento no valor da

corrente progressivamente do receptor para o gerador, tal que:

I2’’= 2 I0 (2.21) 3. Ondas viajantes No processo de energização de uma linha, saem do transmissor, simultaneamente, uma

onda de tensão de amplitude V e uma corrente de amplitude I0, que se deslocam com velocidade υ constante em direção ao receptor. Estas ondas são denominadas diretas ou incidentes. Em função da forma de terminação da linha podem dar origem a ondas que viajam rumo ao transmissor com a mesma velocidade υ das ondas incidentes. Estas ondas assim originadas são denominadas ondas reversas ou refletidas.

Todas estas ondas são polarizadas e em cada ponto ao longo da linha e a qualquer instante o valor resultante será sempre igual à soma algébrica das duas quantidades:

rx

ixx VVV ±= (3.01)

rx

ixx III = (3.02)

O subíndice x define um ponto qualquer ao longo do comprimento da linha. Todas as situações analisadas sob o enfoque de balanço de energia, realizadas

anteriormente, podem ser também trabalhadas sob a ótica de ondas viajantes, conforme segue:

3.1. Linha com resistência terminal maior que Zo: (R2’ > Zo) Para esta situação, tem-se:

0, VVVVVV

r2

i2

r2

i2

'2

≠=

+= VV'2>⇒ (3.03)

0, IIIIIIr2

i2

r2

i2

'2

0 ≠=

−= II 0'2<⇒ (3.04)

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Graficamente, pode-se representar a tensão e a corrente conforme a figura 3.01.

ν

Tensão

V2’

r2V

i2V

ℓ

V

Corrente

Io

I2’

ν

i2I

r2I

ℓ

Fig. 3.01 – Comportamento da tensão e da corrente para uma linha terminada com R2’ >

Z0

3.2. Linha com resistência terminal igual a Zo: (R2 = Zo) Neste caso, tem-se:

0, VVVVVV

r2

i2

r2

i22

==

+= VV2=⇒ (3.05)

0, IIIIII

r2

i2

r2

i22

0 ==

+= II 02 =⇒ (3.06)

Assim, a tensão e a corrente podem ser representadas conforme a figura 3.02.

Tensão

Corrente

V

0I

2V

2I

ℓ

ℓ

Fig. 3.02 – Representação da tensão e da corrente para uma linha terminada com R2 = Z0

3.3. Linha com resistência terminal menor que Zo: (R2’’ < Zo)

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Para esta condição pode-se escrever:

0, VVVVVV

r2

i2

r2

i2

''2

≠=

−= VV ''2<⇒ (3.07)

0, IIIIIIr2

i2

r2

i2

''2

0 ≠=

+= II 0''2>⇒ (3.08)

Fazendo-se a representação gráfica, obtém-se:

Tensão

Corrente

ν

ν

"2V

r2V

i2V

0I

V

ℓ

ℓ

r2I

i2I

"2I

2

Fig. 3.03 – Representação da tensão e da corrente para uma linha terminada com R2’’ < Z0

Observa-se nos resultados acima que, em qualquer uma das três situações analisadas, as

ondas refletidas de tensão têm sempre sinais contrários aos das ondas reversas de corrente. Em qualquer das situações analisadas as ondas incidentes e refletidas gozam das

mesmas propriedades, isto é:

ZIV

IV

0rx

rx

ix

ix == (3.09)

Entretanto, em uma linha terminada com R2≠ Z0, para a relação entre a tensão e a

corrente, em qualquer ponto ao longo da linha, verifica-se o resultado representado pela expressão mostrada a seguir:

ZII

VVIV

0rx

ix

rx

ix

x

x ≠±

=

(3.10)

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Conhecida a impedância natural( Z0 ) de uma linha e sendo Z2 o valor da impedância em seu terminal receptor é possível obter a amplitude das ondas refletidas, junto a este terminal, em função das amplitudes das ondas incidentes através das expressões que se seguem.

VZZZZV i

202

02r2 +

−= (3.11)

IZZZZI i

202

20r2 +

−= (3.12)

Fazendo-se:

ZZZZ

K02

022v +

−= (3.13)

ZZZZ

K20

202I +

−= (3.14)

As quantidades KV2 e KI2 são conhecidas como coeficientes de reflexão da tensão e da

corrente, respectivamente, definidos para o terminal receptor da linha. Esses coeficientes variam no intervalo fechado [-1 , +1]. Observa-se que esses coeficientes têm sempre sinais contrários, isto é: KVi = - KIi.

Para as situações analisadas, tem-se: 1. Linha aberta junto ao receptor: ∞=Z'

2 Com base nas equações (3.13) e (3.14), tem-se: KV2 = + 1 e KI2 = - 1 Para este caso pode-se escrever:

1. Para a tensão

V2VVVV

VKVVVVV

'2

'2

2vi2

i2

'2

r2

i2

'2

=+=+=+=

2. Para a corrente

0IIII

IKIIIII

'2

00'2

2Ii2

i2

'2

r2

i2

'2

=

−=+=+=

2. Linha em curto-circuito junto ao receptor: 0Z"

2 = Com base nas equações (3.13) e (3.14), tem-se: KV2 = - 1 e KI2 = + 1 Para este caso pode-se escrever:

1. Para a tensão

0VVVV

VKVVVVV

"2

"2

2vi2

i2

"2

r2

i2

"2

=−=+=+=

2. Para a corrente

I2I

III

IKII

III

0"2

00"2

2Ii2

i2

"2

r2

i2

"2

=

+=

+=

+=

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3. Linha com impedância de mesmo valor da impedância natural junto ao receptor:

ZZ 02 = Com base nas equações (3.13) e (3.14), tem-se: KV2 = 0 e KI2 = 0 Para este caso pode-se escrever:

1. Para a tensão

VVVKVV

VVV

2

2vi2

i22

r2

i22

=+=+=

2. Para a corrente

IIIKII

III

02

2Ii2

i22

r2

i22

=+=+=

Da mesma forma, podem ser definidos os coeficientes de reflexão do terminal

transmissor, bastando para isto substituir nas expressões (3.13) e (3.14) o subscrito 2 por 1. Para um terminal genérico i, pode-se definir:

ZZZZ

K0i

0ivi +

−= e KK ViIi −=

Para uma fonte ideal, cuja impedância interna é nula( Z1 = 0 ), resulta: KV1 = - 1 e KI1 =

+ 1 O fenômeno só foi observado durante o período de tempo em que as ondas viajam pela

primeira vez do gerador ao receptor. As ondas refletidas no receptor quando chegam ao transmissor como ondas incidentes, dependendo das condições aí existentes, são refletidas com sinal e amplitude que são função da impedância da fonte. O processo, como observado é transitório, com as tensões e correntes variando em torno de seus valores de regime, que, no caso de linhas e fontes ideais, só seria atingido teoricamente após um tempo infinito.

Nos casos reais, as resistências presentes provocam amortecimento e os valores de regime são alcançados mais rapidamente. O estudo que acabou de ser realizado encontra larga aplicação no estudo dos surtos de sobretensões em sistemas elétricos.

4. Diagrama de Bewley-Lattice

Considere uma linha com impedância natural Z0. Suponha ainda que a fonte apresenta

uma impedância interna Zs e que Zr é a impedância no outro extremo da linha conforme figura (4.01) a seguir.

Fig. 4.01 – Circuito equivalente representativo de uma linha.

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Para os terminais 1 e 2 da linha pode-se escrever:

ZZZZ K

ZZZZ K

0r

0rv2

0s

0sv1 +

−=

+−

= (4.01)

No diagrama de Lattice, a distância entre os extremos da linha é representada por uma

linha horizontal e o tempo representado por duas linhas verticais. A linha em zigzag representa como a onda viaja entre os extremos e descontinuidades. O declive da linha em zigzag fornece os tempos correspondentes para as distâncias viajadas. As reflexões são determinadas multiplicando a onda incidente pelo coeficiente de reflexão apropriado. A tensão, em um dado ponto no tempo e a uma determinada distância é encontrada pela adição de todos os termos que estão diretamente acima daquele ponto.

A figura 4.02 mostrada a seguir é o diagrama de Bewley Lattice para o circuito dado na figura 4.01.

T

2T

3T

4T

5T 5,5T 6T

6,5T 7T

8T

t t

x

Fig. 4.02 – Diagrama de Bewley-Lattice para o circuito representativo da linha.

O tempo definido pela variável T é aquele gasto pela onda para deslocar-se de um

extremo ao outro da linha, sendo definido pela expressão:

]s[/T υ= (4.02) Sendo: = comprimento da linha, [km]; υ = velocidade de propagação da onda, [km / s].

O conceito do diagrama de Lattice pode ser estabelecido a partir da análise de uma onda

propagando-se sobre uma linha sem perdas, conforme figura 4.03.

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F (x,t)

x=0 x=ℓ

x1

x +

Fig. 4.03 – Representação de uma onda propagando-se sobre a linha. Considerando o gráfico tempo versus espaço de propagação da onda, representado pela

figura 4.04, tem-se:

Fig. 4.04 – Propagação de uma onda – tempo versus espaço O gráfico mostra as coordenadas de um ponto sobre a onda, mas não fornece

informações da magnitude ou forma da onda. De uma análise do gráfico pode-se afirmar: a) A velocidade de propagação é o inverso da inclinação da reta, isto é:

tΔxΔidade veloc

xΔtΔinclinação == (4.03)

b) Uma onda viajando na direção –x teria velocidade negativa e a inclinação da reta seria contrária, conforme a figura 4.05.

Fig. 4.05 – Representação da propagação de ondas direta e reversa – tempo versus espaço

c) Observando-se que as ondas diretas e reversas podem cruzar em pontos quaisquer do

diagrama, isto é, duas ondas que chegam ao ponto xn no mesmo instante tn.

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A partir do diagrama de Lattice é possível obter por inspeção os seguintes perfis: 1) Perfil da tensão em um ponto qualquer da linha em função do tempo; 2) Perfil da tensão ao longo do comprimento da linha em um dado instante.

Para a figura 4.02 a tensão em t = 5,5T e x = 41 vale:

++++=

2

2V

2

1V

2

2V1V2V1V2V KKKKKKK1VT5,5 ; 41V

Para t = 6,5T e x = 43 , tem-se:

+++++=

3

2V

2

1V

2

2V

2

1V

2

2V1V2V1V2V KKKKKKKKK1VT5,6 ; 43V

5. Análise matemática Na análise qualitativa foram apreciadas noções físicas sobre o aparecimento e o

comportamento de ondas viajantes em linhas de transmissão face a impulsos. Neste item o enfoque será dado no caso de linhas reais excitadas por grandezas

senoidais, em regime permanente. 5.1. Equação diferencial das linhas de transmissão Considere um elemento de comprimento ∆x de uma linha real conforme mostrado na

figura 5.01. a seguir.

i (x,t) i (x+∆x,t)

v (x+∆x,t) v (x,t) g∆x C∆x

r∆x L∆x

Fig. 5.01 – Representação de um elemento de comprimento infinitesimal ∆x de uma

linha real. Sendo: r[Ω/km] a resistência por unidade de comprimento da linha: representativa das perdas

nos condutores; g[S/km] a condutância de dispersão por unidade comprimento da linha: representativa

das perdas no dielétrico.

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Entre os extremos do elemento existe uma diferença de potencial, definida por:

xxv∆

∂∂ (5.01)

A equação diferencial desta diferença de potencial será:

tixLixrx

xv

∂∂

∆+∆=∆∂∂

− (5.02)

O sinal negativo é usado porque valores positivos de i e ti∂∂ fazem o valor de v

decrescer. Dividindo a expressão anterior por x∆ , obtém-se:

tiLir

xv

∂∂

+=∂∂

− (5.03)

Por analogia com a expressão (5.03) pode-se escrever a equação para a corrente:

tvCvg

xi

∂∂

+=∂∂

− (5.04)

Onde: vg - é a corrente de deslocamento através do dielétrico;

tvC∂∂ - é a corrente de deslocamento através da capacitância devido à variação da

tensão. Diferenciando (5.03) com relação a x e (5.04) com relação a t obtém-se:

txiL

xir

xv 2

2

2

∂∂∂

+∂∂

=∂∂

− (5.05)

2

22

tvC

tvg

txi

∂∂

+∂∂

=∂∂

∂− (5.06)

Diferenciando (5.03) com relação a t e (5.04) com relação a x obtém-se:

2

22

tiL

tir

txv

∂∂

+∂∂

=∂∂

∂− (5.07)

txvC

xvg

xi 2

2

2

∂∂∂

+∂∂

=∂∂

− (5.08)

Introduzindo em (5.05) as expressões (5.04) e (5.06) e em (5.08) as expressões (5.03) e

(5.07) e reagrupando-as convenientemente, resulta:

19

( ) 2

2

2

2

tvLC

tvLgrCvrg

xv

∂∂

+∂∂

++=∂∂ (5.09)

( ) 2

2

2

2

tiLC

tiLgrCirg

xi

∂∂

+∂∂

++=∂∂ (5.10)

As equações (5.09) e (5.10) são as equações diferenciais gerais das linhas e suas

soluções representam ondas viajantes ou progressivas que se deslocam ao longo da linha com velocidade υ .

Da análise das linhas de transmissão, é de grande interesse conhecer seu comportamento face a impulsos e face às correntes e tensões senoidais. Assim procura-se por soluções no domínio do tempo, para o estudo das ondas de impulso, e no domínio da freqüência, para o estudo das linhas alimentadas por grandezas senoidais. Aqui será dado enfoque à solução no domínio da freqüência.

5.2. Solução das Equações no Domínio da Freqüência – em regime permanente. Alimentando a linha por corrente alternada de freqüência constante, sendo a tensão e

corrente definidas por funções senoidais do tempo.

( )tsenvv max ω= (5.11) ( )Φ+ω= tsenii max (5.12)

Sendo estas grandezas senoidais representáveis por seus fasores xV•

e xI•

, possibilita que as equações sejam escritas como segue:

( ) 2x

2x

x2x

2

dtVdCL

dtVdgLCrVgr

dxVd

•••

•

+++= (5.13)

( ) 2x

2x

x2x

2

dtIdCL

dtIdgLCrIgr

dxId

•••

•

+++= (5.14)

Lembrando que ω= jdtd , tem-se:

( ) ( ) x2

xx2x

2VjCLVjgLCrVgr

dxVd ••••

ω+ω++= (5.15)

( ) ( ) x2

xx2x

2IjCLIjgLCrIgr

dxId ••••

ω+ω++= (5.16)

Logo,

20

( ) ( ) xx2x

2VyzVCjgLjr

dxVd •••••

=ω+ω+= (5.17)

( )( ) xx2x

2IyzICjgLjr

dxId •••••

=ω+ω+= (5.18)

A solução destas equações é dada pelas expressões que seguem:

••••−

•+

••+= yzx

2yzx

1x eAeAV (5.19)

−=

••••−

•+

•

•

•

• yzx2

yzx1x eAeA

y

z

1I (5.20)

As constantes •

1A e •

2A tem dimensão de tensão. Tomando-se o receptor da linha como referência para a medida das distâncias, tem-se:

No terminal receptor x = 0 e:

••= 2x VV (5.21)

2x II••

= (5.22)

Levando as condições estabelecidas nas igualdades (5.21), (5.22) e ainda x = 0 nas expressões (5.19) e (5.20), resulta:

•••

+= 212 AAV (5.23)

−=••

•

•

•

212 AA

y

z

1I (5.24)

Resolvendo o sistema de duas equações e duas incógnitas, obtém-se:

1j1

22

1 eA2

y

zIV

A Ψ

•

•••

•=

+

= (5.25)

21

2j2

22

2 eA2

y

zIV

A Ψ

•

•••

•=

−

= (5.26)

Assim:

••••−

•

•••

+

•

•••

•

−

+

+

= yzx

22

yzx

22

x e2

y

zIV

e2

y

zIV

V (5.26)

−

−

+

=••••

−

•

•••

+

•

•••

•

•

• yzx

22

yzx

22

x e2

y

zIV

e2

y

zIV

y

z

1I (5.27)

Estas são as equações gerais e exatas das linhas de transmissão alimentadas por

correntes alternadas senoidais em regime permanente. Com estas equações é possível determinar a tensão e a corrente em qualquer ponto x ao longo do comprimento da linha em função das condições existentes em seu terminal receptor e que determinam o comportamento da mesma.

5.3. Considerações sobre as equações

As funções exponenciais quando aplicadas a fasores (•

1A e •

2A ) mudam as características destes, ou seja, modulam as funções senoidais representadas pelos fasores. Daí a importância de examinar os radicais e as funções exponenciais complexas.

O radical ••yz , denotado por

•γ , denomina-se constante de propagação uma vez que a

freqüência é constante para linhas operando em regime permanente. Logo,

( ) ( ) β+α=ω+ω+==γ••

•jCjgLjryz (5.28)

Elevando-se os dois membros da expressão anterior ao quadrado e tomando-se as partes

real e imaginária de •γ , resulta:

( ) ( ) ( )[ ]2222222 CgLrLCrg21e ω+ω++ω−=γℜ=α

• [Neper/km] (5.29)

( ) ( ) ( )[ ]2222222 CgLrrgLC21m ω+ω++−ω=γℑ=β

• [rd/km] (5.30)

22

Assim as funções exponenciais complexas podem ser escritas como segue:

xjxxyzx eeee β±α±γ±± ==•••

(5.31) Observando-se a igualdade anterior é possível concluir que as funções senoidais às

quais foram aplicadas serão alteradas na seguinte conformidade: a. Ocorrerá alteração exponencial, provocada por xe α± , nas amplitudes das ondas

senoidais, à medida que a distância x do receptor ao ponto considerado aumenta. A alteração pode ser de diminuição ou de aumento, dependendo do sinal do expoente;

b. Ocorrerá, ao mesmo tempo, alteração de xβ± na fase da onda de tensão ou corrente

à medida que a distância x do receptor ao ponto considerado varia. A grandeza α recebe o nome de constante de atenuação. Seu valor afeta as perdas de

energia na linha. Nas linhas sem perdas, em que r = g = 0, α também se anula. A grandeza β denomina-se constante de fase e governa a forma como as fases da

tensão e da corrente modificam-se ao longo do comprimento da linha.

Examinando-se o radical •

•

y

z , verifica-se que para r = g = 0 ele se transforma em Z0, isto é,

na impedância natural ou de surto. Em muitas situações, uma vez que, r e g são valores bastante pequenos quando comparados com ωL e ωC, respectivamente, estas duas quantidades são confundidas, pois seus valores numéricos são bastante próximos. No caso de r ≠ g ≠ 0 esta grandeza apresenta-se como complexa e denomina-se impedância característica, sendo seu argumento muito pequeno. Como a impedância natural a impedância característica também independe do comprimento da linha e é denotada por:

CjgLjr

y

zZc ω+ω+

==•

••

[Ω] (5.32)

Retornando as equações gerais na forma das equações (5.19) e (5.20) e fazendo-se

1j11 eAA Ψ

•= , 2j

22 eAA Ψ•

= e δ•= j

cc eZZ , pode-se reescrevê-las como segue:

( ) ( )21 xjx2

xjx1x eeAeeAV Ψ−β−α−Ψ+β+α+

•+= (5.33)

( ) ( )δ−Ψ−β−α−δ−Ψ+β+α+

•−= 21 xjx

c

2xjx

c

1x ee

ZAee

ZA

I (5.34)

Seus valores instantâneos podem ser obtidos através das seguintes expressões:

e2VImv tjxx

ω•

= (5.35)

e2IImi tjxx

ω•

= (5.36)

23

Logo, resulta:

( )[ ] ( )[ ]xtseneAxtseneA2v 2

x21

x1x Ψ+β−ω+Ψ+β+ω= α−α+ (5.37)

( )[ ] ( )[ ]δ−Ψ+β−ω−δ−Ψ+β+ω= α−α+2

x21

x1

cx xtseneAxtseneA

Z2i (5.38)

Observando-se as equações (5.37) e (5.38) verifica-se que elas são dependentes do

tempo t e da distância x. Considerando apenas a componente incidente da onda de tensão, tem-se:

( )[ ]1

x1

ix xtseneA2v Ψ+β+ω= α+ (5.39)

Admitindo-se que em dado instante apenas esta componente exista e, considerando-se

ainda os pontos A e B, conforme a figura 5.02 a seguir.

ℓ

Fig. 5.02 – Representação de pontos de observação ao longo do comprimento da linha. Logo, levando na expressão de i

xv as distâncias a e b, que definem, respectivamente, as posições dos observadores A e B, tem-se:

( )[ ]1

a1a

i atseneA2v Ψ+β+ω= α+ (5.40) ( )[ ]1

b1b

i btseneA2v Ψ+β+ω= α+ (5.41)

Observadores colocados em A e B farão as seguintes verificações: 1. As tensões em A e B variam senoidalmente; 2. Em um mesmo instante t, medições efetuadas em A e B mostrariam que:

b1

a1 eA2eA2 α+α+ < ⇔ (a < b)

3. Fixado um ponto qualquer de fase constante, sobre a onda ( )[ ]1xt Ψ+β+ω

=constante, esse seria registrado primeiro pelo observador A e posteriormente por B.

Com base nas verificações precedentes, pode-se afirmar que o ponto desloca-se descrevendo uma exponencial crescente.

24

A figura 5.03 mostrada a seguir ilustra esta situação (Fonte: figura 3.12. – página 78: Fuchs, Rubens Dario, Transmissão de Energia Elétrica - Linhas Aéreas, volume 1, Rio de Janeiro, Livros Técnicos Editora/Escola Federal de Engenharia de Itajubá, 1977 )

t1 t2 t3 P P P

x = l

+x

V [m/s]

x=0

λ

Fig. 5.03 – Componente direta da onda Considerando-se isoladamente a onda refletida observa-se o mesmo resultado, a menos

do sinal, que será positivo. Isto indica que os movimentos ocorrem em sentidos opostos. O segundo termo do segundo membro da equação da tensão permite observar que: 1. O ponto desloca- se no sentido do transmissor para o receptor, isto é, na direção -x; 2. A tensão varia exponencialmente, porém decrescendo do receptor para o transmissor.

Diante das verificações realizadas pode-se concluir que as ondas são senoidais viajantes

e atenuadas exponencialmente. A composição destas duas ondas viajantes, em um ponto da linha, resulta na onda

estacionária da figura 5.04 abaixo (Fonte: figura 3.13 – página 79: Fuchs, Rubens Dario, Transmissão de Energia Elétrica - Linhas Aéreas, volume 1, Rio de Janeiro, Livros Técnicos Editora / Escola Federal de Engenharia de Itajubá, 1977).

25

vi

vr

Fig. 5.04 – Onda estacionária, resultante da composição das ondas viajantes, sendo uma

direta e a outra reversa. 5.4. Análise em regime permanente O comprimento de onda (λ) de uma linha é definido como a menor distância entre dois

pontos em uma onda senoidal, na direção de propagação, cujas fases de oscilação estejam separadas de 2π .

Fundamentado na definição de comprimento de onda, apresentada no parágrafo anterior,

tem-se:

( ) π=Ψ+β+ω−Ψ+λ+β+ω 2xtxt 11

π=λβ 2 => βπ

=λ2 [km]

A velocidade de propagação pode ainda ser posta na seguinte forma:

Tff2 λ=λ=

βπ

=βω

=υ (5.42)

26

Sendo f [Hz] a freqüência. Como já visto

CL1

=υ (5.43)

Igualando-se as expressões (5.42) e (5.43) da velocidade, mostradas acima, resulta:

CLf1

=λ (5.44)

Para f = 60 Hz e considerando a velocidade de propagação próxima de 3x105

5000≅λ km/s,

resulta [km]. 5.4.1. Linha aberta junto ao receptor

Retomando as equações gerais e considerando-se que neste caso 0I2 =•

, resulta:

γ+γ=

⋅•

⋅•

−+•

• xx2x ee

2V

V 00 (5.45)

−=

⋅•

⋅•

γ−γ+•

••

xx

c

2x ee

Z2

VI 0

0 (5.46)

Desmembrando-se as equações (5.45) e (5.46), tem-se:

( ) ( )[ ]xsenjxcosexsenjxcose2

VV xx2

x0

0 β−β+β+β= α−α+

••

(5.47)

( ) ( )[ ]xsenjxcosexsenjxcoseZ2

VI xx

c

2x

00 β−β−β+β= α−α+

•

••

(5.48)

As quantidades ( )xsenjxcose x β+βα+ representam no plano polar fasores que giram

com velocidade angular ω constante, no sentido anti-horário, sendo modulados pela parcela xe α+ . Para cada valor de x, o fasor gira de um ângulo xβ , sendo seu módulo alterado pelo

fator xe α+ . O lugar geométrico descrito é uma espiral logarítmica progressiva, pois seus módulos crescem com o aumento de x.

Os termos ( )xsenjxcose x β−βα− representam fasores que giram em sentido horário, com velocidade ω constante e são modulados por xe α− , descrevendo uma espiral logarítmica regressiva, pois seus módulos decrescem com o aumento de x.

Os valores resultantes para cada valor de x são obtidos pela soma vetorial dos fasores correspondentes a cada valor de xβ .

27

Na figura 5.05 mostra o diagrama polar das tensões para uma linha de transmissão de comprimento λ em vazio e, em plano cartesiano, a variação das tensões ao longo da linha.

43λ

2λ

4λ

λ

4λ 4

λ 4λ 4

λ 4

3λ 4λ

2λ

+x

V20

P/transmissor

λ

Fig. 5.05 – Diagrama polar e cartesiano de variação da tensão ao longo do comprimento de linhas operando em vazio (Fonte: figura 3.15 – página 84: Fuchs, Rubens Dario, Transmissão de Energia Elétrica - Linhas Aéreas, volume 1, Rio de Janeiro, Livros Técnicos Editora / Escola Federal de Engenharia de Itajubá, 1977).

28

Na figura 5.06 está representado o diagrama polar das correntes, juntamente com o diagrama cartesiano da variação das correntes ao longo do comprimento da linha.

2λ

4λ

43λ

43λ

4λ 4

λ 4λ 4

λ

Corrente

4λ 2

λ

λ

λ

Fig. 5.06 – Diagrama polar e cartesiano de variação da corrente ao longo do comprimento de linhas operando em vazio (Fonte: figura 3.16 – página 85: Fuchs, Rubens Dario, Transmissão de Energia Elétrica - Linhas Aéreas, volume 1, Rio de Janeiro, Livros Técnicos Editora / Escola Federal de Engenharia de Itajubá, 1977).

Os diagramas podem ser interpretados com segue: Nos pontos caracterizados por λ/4, λ/2, 3λ/4 e λ estão indicados os valores de tensão que

devem ser aplicados aos transmissores das linhas de comprimentos λ/4, λ/2, 3λ/4 e λ para que

se tenha •

V20 nos respectivos terminais receptores. Verifica-se, a partir dos gráficos, que para uma linha em vazio e de comprimento

próximo de λ/4 a tensão aumenta significativamente ao longo da linha com relação à tensão aplicada, atingindo o valor máximo junto ao receptor. À medida que o comprimento da linha aumenta para além de λ/4 a diferença entre os valores das tensões, aplicadas no transmissor e observadas no receptor, vai diminuindo progressivamente, tornando-se mínima para λ/2.

A corrente de carga da linha também aumenta continuamente até λ/4, quando passa a decrescer até ser mínima para λ/2.

Assim as linhas com comprimento físico próximo de λ/4 têm comportamento indesejável quando operam em vazio ou com pequenas cargas.

O aumento da tensão no receptor com relação à tensão no transmissor denomina-se efeito FERRANTI.

29

As principais conseqüências do efeito Ferranti, que diminuem à medida que a potência no receptor aumenta, podem ser controladas com as medidas apresentadas a seguir:

1. Necessidade do aumento do nível de isolamento das linhas e equipamento terminal

em decorrência da sobretensão; 2. Apesar das perdas por dispersão, representadas principalmente pelo efeito

CORONA, atuarem favoravelmente na redução das sobretensões, essas perdas crescem em função do quadrado da tensão. A radiofreqüência e os ruídos audíveis que acompanham o efeito corona aumentam igualmente com o aumento da tensão. Com o propósito de mantê-las dentro de limites razoáveis, torna-se necessário aumentar a bitola dos condutores e, como conseqüência o custo da linha;

3. a corrente de carga, sendo elevada, limita por efeito térmico a capacidade de transporte de energia da linha, exigindo, para uma mesma potência a ser transmitida, condutores com seções maiores, aumentando o custo da construção. Este fato é mais sério para as linhas em cabos subterrâneos, para as quais o comprimento de onda é bem menor do que nas linhas aéreas, uma vez que depende essencialmente da velocidade de propagação, que é pequena nas linhas construídas com cabos;

4. a corrente de carga que a linha absorve das máquinas que a alimentam, quando opera em vazio ou com pouca carga, é capacitiva. Esta condição pode levar a um fenômeno denominado auto-excitação, que dá origem a tensões incontroláveis nas máquinas, caso estas não tenham capacidade de absorver essa carga capacitiva.

O exame das equações revela ainda que:

cr

0x

r

0xi

0x

i

0x ZI

V

I

V •

•

•

•

•

== (5.49)

5.4.2. Linha em curto-circuito permanente no receptor

Esta situação não existe na prática, pois a proteção deve atuar. Para esta condição tem-

se V2c = 0, logo às equações gerais tornam-se:

−=

⋅•

⋅•

γ−γ+

•••

xxcc2x ee

2ZIV C (5.50)

γ+=

⋅•⋅

•−γ+

•• xxc2

x ee2

II C (5.51)

Desmembrando as equações (5.50) e (5.51), como feito no item anterior, tem-se:

( ) ( )[ ]xsenjxcosexsenjxcose2ZI

V xxcc2xC β−β−β+β= α−α+

•••

(5.52)

( ) ( )[ ]xsenjxcosexsenjxcose2

II xxc2

xC β−β+β+β= α−α+

••

(5.53)

30

Comparando essas equações ( (5.52) e (5.53) ) com suas correspondentes para linhas

abertas no receptor ( (5.47) e (5.48) ), verifica-se que, guardadas as devidas proporções, o diagrama polar das tensões terá comportamento similar ao das correntes em vazio e o diagrama das correntes em curto-circuito terá comportamento idêntico ao das tensões em vazio.

O exame das equações revela ainda que:

cr

xc

r

xci

xc

i

xc ZI

V

I

V •

•

•

•

•

== (5.54)

Uma linha com comprimento λ/4 operando em curto-circuito permanente, necessita de

uma tensão elevada no transmissor para fazer circular no receptor uma corrente pequena, enquanto que para uma linha de comprimento λ/2, uma pequena tensão no transmissor é suficiente para fazer circular no receptor uma corrente elevada.

5.4.3. Operação das linhas sob cargas Nesse caso as equações são analisadas com base na variação de sua impedância

terminal, que representa a carga. Anteriormente verificou-se que o comportamento da linha

sob carga dependia fundamentalmente da relação entre a impedância no receptor da linha 2Z•

e a da sua impedância característica cZ•

.

Têm-se três casos a considerar: c2 ZZ••

= , c2 ZZ••

> e c2 ZZ••

<

a) Linha terminada com: c2 ZZ••

=

Levando-se 2I•

por c2 Z/V••

na equação geral da tensão (5.26), obtém-se:

•γ+

••= x

2x eVV (5.55)

Analogamente substituindo 2V•

por c2 ZI••

na equação geral da corrente (5.27), resulta:

x2x eII

•γ+

••= (5.56)

Desmembrando as expressões da tensão e da corrente tem-se:

)xsenjx(coseII

)xsenjx(coseVV

x2x

x2x

β+β=

β+β=

α+••

α+••

(5.57)

Observando as equações anteriores, verifica-se que, como já havia sido visto

anteriormente, não existem ondas refletidas, e, portanto, o transitório de energia. A igualdade mostrada a seguir, equação (5.58), revela que para uma linha operando

com impedância no receptor igual à impedância característica o fator de potência é constante e o defasamento entre tensão e corrente é sempre igual a ( 2φδ = ), em todos os pontos ao longo do comprimento da linha. Isto significa que a linha não necessita de energia reativa

31

externa para a manutenção de seus campos elétrico e magnético. A única energia absorvida pela linha é energia ativa e destina-se a cobrir as perdas por efeito Joule e dispersão.

2j2

jc

2

2

x

x eZeZI

V

I

V φδ•

•

•

•

=== (5.58)

A potência aparente fornecida pela linha ao receptor é dada pela expressão:

[VA] IVjQPS 22222∗

•••=+= (5.59)

Sendo

δ

••== j

cc2 eZZZ (5.60)

Considerando 2

•

V como referência, tem-se:

δ−δ•

••

=== j2j

c

0j2

c

22 eI

eZeV

Z

VI (5.61)

Com base na definição de potência aparente, fornecida acima, resulta:

]VA[ eZVeIVS j

c

22j

222δδ

•== (5.62)

Tomando-se a componente real da potência aparente, tem-se:

[ ]WcosZVSeP

c

22

22 δ=ℜ=•

(5.63)

A potência ativa assim definida denomina-se potência característica. Logo

[w] δcosZ

VPc

22

c = (5.64)

Em geral o ângulo δ situa -se entre 1° e 5°- é função das perdas na linha. Em

conseqüência, cos δ ≅ 1 e considerando ainda que Zc ≅ Zo, define-se potência natural por:

[W] ZVP

0

22

0 = (5.65)

Sendo o seu valor por fase. Considerando a tensão entre fases V2L, pode-se escrever:

2L22203 IV3IV3P ==φ (5.66)

32

Lembrando que:

0

2L2

0

22 Z3

VZVI == 5.67)

Resulta:

0

2L2

03 ZVP =φ (5.68)

Esta potência é conhecida na literatura americana como SIL - Surge Impedance

Loading. Dada a sua importância, esta grandeza é, em geral, usada como unidade base de potência, sendo os valores de potências transmitidas expressos em função de sua potência natural.

Sendo independente do comprimento, a potência natural é importante na escolha das tensões de transmissão em primeira aproximação e serve como orientação inicial nos estudos técnico-econômicos para sua fixação. Estes estudos são influenciados fortemente pela relação potência / distância de transmissão.

Logo

[ ]kVZPV 003L2 φ= (5.69)

A tabela 5.01, apresentada a seguir, fornece valores de impedâncias e de potências naturais para diferentes configurações de condutores e níveis de tensão.

Tabela. 5.01 – Valores de impedâncias e potências naturais para linha a circuitos

simples (Fonte: tabela 3.1. – página 91: Fuchs, Rubens Dario, Transmissão de Energia Elétrica - Linhas Aéreas, volume 1, Rio de Janeiro, Livros Técnicos Editora / Escola Federal de Engenharia de Itajubá, 1977).

Configuração

da Fase Z0

[ Ω ] P03φ [ MW ]

220 kV 345 kV 400 kV 500 kV 750 kV 400 120 300 400 - -

320 150 370 500 780 -

280 170 425 570 890 1 750 240 200 500 670 1 040 2 000

Para linhas a circuito duplo, duplicar os valores de P03φ Embora seja a condição mais vantajosa, na prática dificilmente é alcançada, pois em

geral as potências transmitidas oscilam de acordo com a carga do sistema, principalmente entre centros de geração e consumo. Quando se trata de interligações entre grandes sistemas, com a finalidade de intercâmbio de energia, essa condição é mais facilmente alcançada.

A energia reativa absorvida pelas linhas deve vir do sistema que a alimenta e do sistema por ela alimentado enquanto que energia reativa por elas gerada deverá ser absorvida por esses sistemas. Essa energia, circulando nos sistemas provoca perdas de energia ativa e ainda solicita os sistemas quanto à capacidade adicional em seus equipamentos terminais.

33

As grandes linhas, devido à facilidade de controle do fator de potência junto aos locais de consumo, podem operar com fator de potência unitário, por ser, em geral, mais econômica a produção de energia reativa no local de consumo do que seu transporte a grandes distâncias. Assim, existe a tendência de exprimir a potência transmitida em função da potência natural da linha.

0PP

Fig. 5.07 – Geração e consumo de energia reativa pelas linha de transmissão(Fonte: figura 3.17 – página 92: Fuchs, Rubens Dario, Transmissão de Energia Elétrica - Linhas Aéreas, volume 1, Rio de Janeiro, Livros Técnicos Editora / Escola Federal de Engenharia de Itajubá, 1977)

b) Linha terminada em: 02 ZZ••

≠

Sendo P0 a potência entregue no receptor de uma linha terminada com sua impedância

natural Z0. Junto a este terminal tem-se:

I ZV 002 = (5.70) Resulta:

020

22

0 IVZVP == (5.71)

Sendo P2 a potência entregue no receptor de uma linha terminada com impedância

ZoZ2 ≠ , porém com fator de potência unitário, isto é: e 0j22 ZZ +•

= . Resulta

IZV 222 = (5.72)

34

Portanto

222

22

2 IVZVP == (5.73)

Tomando-se a relação P2 / P0, tem-se:

k===2

0

0

2

0

2

ZZ

II

PP (5.74)

Introduzindo as expressões 2222222 Z/Zo e IZV ,Z/VI ===••••••

k nas equações gerais da tensão e da corrente tem-se como resultado:

x2x2x

2

22 e)1(

2Ve)1(

2VV

Z

VI••γ−

•

γ+

••

•

••

−++=⇒= kk (5.75)

x2x2x222 e11

2Ie11

2IIIZV

••γ−

•

γ+

•••••

−+

+=⇒=

kk (5.76)

Examinando as equações acima é possível concluir que:

b1) Quando oZZ2••

> 1

PP 02

<

<

k

Como conseqüência a componente refletida da tensão conserva o sinal, isto é, a onda de

tensão refletida o faz com o mesmo sinal da onda incidente e a componente refletida da corrente inverte o sinal, isto é, a onda de corrente refletida acontece com sinal contrário ao da onda incidente.

b2) Quando oZZ2••

< 1

PP 02

>

>

k

Neste caso observa-se que ocorre troca de sinal para a componente refletida da tensão,

indicando que a onda de tensão refletida se da com sinal contrário ao da onda incidente e a componente refletida da corrente mantém o sinal, ou seja, a onda refletida de corrente ocorre com o mesmo sinal da onda incidente.

A figura 5.08 ilustra o comportamento das reflexões para diferentes condições terminais.

35

corrente

tensão

Z2 ∞ Z2 = 0

ir II =

Vr = -Vi

Vr = Vi

Zc

-1

+1

ir II −=

Z2 C2 ZZ > 02 ZZ <

Fig.5.08 - Variação da polaridade e valor das ondas refletidas de tensão e corrente nas linhas de transmissão em função da variação da impedância no terminal receptor (Fonte: figura 3.18 – página 94: Fuchs, Rubens Dario, Transmissão de Energia Elétrica - Linhas Aéreas, volume 1, Rio de Janeiro, Livros Técnicos Editora / Escola Federal de Engenharia de Itajubá, 1977).

Os diagramas polares das tensões e correntes das ondas incidentes e refletidas são

igualmente representados por espirais logarítmicas, sendo uma progressiva e a outra regressiva, respectivamente. Os diagramas destas grandezas são determinados pela soma ou subtração dos fasores que representam os valores das ondas incidentes e refletidas para um determinado valor x.

Para linhas sem perda (α = 0) as espirais se transformam em circunferências. Os diagramas das tensões e correntes, nesse caso, serão também figuras fechadas.

O ângulo de potência θ entre as tensões no início e fim da linha varia com a potência entregue no receptor e pode ser determinado a partir da figura 5.09, a seguir.

r

xV•

xV•

r

xV•

•

− rxV

r

xV•

Fig. 5.09 – Variação do ângulo de potência em função da variação da potência ativa entregue no receptor da linha(Fonte: figura 3.19 – página 95: Fuchs, Rubens Dario, Transmissão de Energia Elétrica - Linhas Aéreas, volume 1, Rio de Janeiro, Livros Técnicos Editora / Escola Federal de Engenharia de Itajubá, 1977)

36

Na figura 5.09, fazendo-se a projeção dos fasores sobre o eixo horizontal, obtém-se:

i

r

xi

i

xix xcosVxcosVcosViii

β±β=θ (5.77) Logo

β

±

=θ ix

r

x

i

xi xcos

VVV

cosarci

ii (5.78)

Verifica-se, a partir da figura 5.09 que o ângulo de potência da linha (θ) cresce com o

aumento da potência ativa transmitida. 6. Relações entre tensões e correntes – circuitos e modelos

A relação entre o comprimento da linha e seu comprimento de onda é importante na

escolha do processo de cálculo. Quanto maior for esta relação, mais rigoroso deverá ser o processo.

As equações como desenvolvidas no tópico anterior apresentam forma pouco prática para uso.

Neste tópico são desenvolvidos circuitos elétricos equivalentes e seus respectivos modelos matemáticos através de hipóteses simplificadoras aplicadas ao equacionamento do tópico anterior.

Fazendo-se x = e rearranjando as equações gerais das linhas de transmissão, tem-se:

−+

+=

••••γ−γ+••γ−γ+••

2eeZI

2eeVV c221

[kV] (6.01)

−+

+=

••••γ−γ+

•

•γ−γ+••

2ee

Z

V2eeII

c

221

[A] (6.02)

Onde:

•

1V e 1I•

- tensão entre fase e neutro e corrente na fase, junto ao transmissor; •

2V e 2I•

– idem, junto ao receptor; ℓ – comprimento da linha.

As equações acima são exatas e consideradas a paramentos distribuídos. Podem ser

colocadas na seguinte forma:

)(senhZI)(coshVV c221 ••••••γ+γ= (6.03)

37

)(senhZ

V)(coshIIc

221

•

•

••••

γ+γ= (6.04)

Considerando que β+α=γ•

j , tem-se:

)(sen)(senhj)cos()cosh()(cosh βα+βα=γ•

(6.05)

)(sen)cosh(j)cos()(senh)(senh βα+βα=γ•

(6.06)

Tem-se também que: •••••

==γ YZyz , sendo •Z e

•Y a impedância e a admitância

totais da linha. Desta forma tem-se:

...!6

)YZ(!4

)YZ(!2

)YZ(1)YZcosh()l(cosh

642

++++==γ

•••••••••

(6.07)

...!7

)YZ(!5

)YZ(!3

)YZ(YZ)YZ(senh)l(senh

753

++++==γ

•••••••••••

(6.08)

Maior ou menor precisão pode ser alcançada em função do número de termos das séries

consideradas. 6.1. Linhas Curtas

Neste caso considera-se apenas o primeiro termo das séries (6.07) e (6.08). Levando

esta condição nas equações gerais (6.03) e (6.04) e ainda a expressão da impedância característica, colocada em função da impedância e da admitância totais da linha, conforme equação (6.09), ou seja:

••

•

••

== YZy

zZc

(6.09)

Resulta:

••••••••••+=+= ZIVYZYZIVV 22221 (6.10)

22221 IYVYZZYVII••••••••••

+=+= (6.11)

Como produto ••YV2 é bastante pequeno quando comparado com

•

2I , o modelo matemático das linhas curtas fica representado pelas expressões (6.12), dadas a seguir.

38

••

••••

=

+=

21

221

II

ZIVV (6.12)

O circuito equivalente que traduz as expressões de tensão e da corrente (6.12) é

representado na figura a seguir.

•

2V •

1V

21 II••

= •Z

Fig. 6.01 – Circuito equivalente de uma linha curta.

Sendo: ll XjRxjrzZ +=+==••

Com as simplificações introduzidas estamos representando os parâmetros na forma concentrada e desprezando os efeitos da condutância de dispersão(G) e da capacitância(C). As linhas enquadradas nos limites estabelecidos a seguir podem ser representadas por este modelo.

tensão < 150 kV 60 km < comprimento < 80 km 150 kV < tensão < 400 kV comprimento < 40 km 400 kV < tensão comprimento < 20 km

O ângulo de potência entre as tensões •

1V e •

2V é de grande importância em estudos de estabilidade. O diagrama vetorial correspondente será:

21 II••

≡

•1V

1ϕ 2ϕ

θ •2V

2IR•

••2IZ •

2L IjX

Fig. 6.02 – Diagrama vetorial de uma linha curta em carga. 6.2. Linhas Médias

Neste caso os dois primeiros termos da série devem ser considerados, isto porque para

estas linhas o segundo termo não é insignificante se comparado ao primeiro. A partir das equações gerais, substituindo-se as funções hiperbólicas pelos dois

primeiros termos da série correspondente e, rearranjando é possível chegar-se ao modelo matemático para estas linhas, entretanto neste processo ocorrem simplificações de difícil compreensão. Assim, para estas linhas o caminho mais lógico é propor os circuitos equivalentes e a partir deles obter os respectivos modelos matemáticos.

Dois circuitos equivalentes podem representar bem as linhas classificadas como médias. São eles

39

6.2.1. Circuito T Considere a figura 6.03 mostrada a seguir, representativa do circuito T de uma linha de

transmissão, onde a impedância série e a admitância em derivação são dadas por:

2Xj

2R

2Z L+=

•

e BjGY +=•

1I•

1V•

2V•

2I•

B G •V

α β

2R

2LX

2X L 2

R A

•Y

Fig. 6.03 – Circuito T para uma linha de transmissão de energia elétrica. Aplicando as Leis de Kirchhoff ao circuito representado na figura 6.03 obtém-se:

Malha α: 0VI2ZV 11 =++−

•••

• (6.13)

Malha β: 0VI2ZV 22 =++−

•••

• (6.14)

Nó A: 0IVYI 21 =−−••••

(6.15)

Da expressão (6.13), resulta:

•••

•+= 22 VI

2ZV (6.16)

Substituindo-se (6.15) em (6.14) e reagrupando a expressão resultante, tem-se:

221 I2YZ1VYI

•••

•••

++= (6.17)

Levando (6.15) e (6.16) em (6.12), tem-se:

221 IZ4YZ1V

2YZ1V

••••

•••

•

++

+= (6.18)

As expressões (6.17) e (6.18) representam o modelo matemático do circuito T.

40

6.2.2. Circuito π-nominal

Considere a figura 6.04, representativa do circuito π-nominal de uma linha de

transmissão, onde a impedância longitudinal e a admitância transversal são dadas por:

LXjRZ +=•

e 2Bj

2G

2Y

+=

•

I 1I•

2I•

2V•

1V•

R LX

2G 2

B

2Y

2B

2G α

2Y

1 2

Fig. 6.04 – Circuito π-nominal para uma linha de transmissão de energia elétrica.

Aplicando as Leis de Kirchhoff ao circuito representado na figura 6.04 obtém-se:

Nó 1: 0IV2YI 11 =−−

•••

• (6.19)

Nó 2: 0IV2YI 22 =−−

•••

• (6.20)

Malha α: 0VIZV 21 =++−••••

(6.21)

Da expressão (6.19), resulta:

•••

•+= 22 IV

2YI (6.22)

Substituindo-se (6.21) em (6.20) e reagrupando a expressão resultante, tem-se:

221 IZV2YZ1V

•••••

•+

+= (6.23)

Levando (6.22) e (6.23) em (6.19), tem-se:

221 I2YZ1VY

4YZ1I

•••

••••

•

++

+= (6.24)

As expressões (6.22) e (6.23) representam o modelo matemático do circuito π-nominal.

41

Embora os resultados com os dois modelos estejam bastante próximos, o mais empregado é o π -nominal pois não introduz barras fictícias no sistema. Ainda para estes circuitos, a representação dos parâmetros continua a ser na forma concentrada.

As linhas enquadradas nos limites estabelecidos a seguir podem ser representadas por estes modelos.

150 kV < tensão < 400 kV comprimento < 200 km 400 kV < tensão comprimento < 100 km

6.2.3. Linhas Longas

Os modelos para estas linhas são empregados quando aqueles das situações anteriores

não forem suficientemente precisos para os fins desejados. Neste caso as equações exatas das linhas devem ser empregadas. A representação, nesse caso, é a parâmetros distribuídos. As equações encontram-se reescritas a seguir.

)(senhZI)(coshVV c221 ••••••γ+γ=

)(senhZ

V)(coshIIc

221

•

•

••••

γ+γ=

Admitindo-se inicialmente que o circuito π possa ser empregado para representar estas

linhas e considerando que, para representar a linha pelo modelo π e levar em conta que os paramentos, neste caso, devem ser considerados distribuídos, correções devem ser introduzidas.

Assim, sejam •'Z e

•'Y a impedância série e admitância em derivação totais corrigidas da

linha. Nestas condições, pode-se escrever:

I'ZV2

'Y'Z1V 221•••

•••

+

+= (6.25)

Comparando-se a equação (6.25) com sua correspondente exata para a tensão, isto é,

equação (6.03), tem-se:

2'Y'Z1)(cosh

•••

+=γ (6.26)

'Z)(senhZc

•••=γ (6.27)

A partir da equação (6.25), obtém-se:

2'Y

'Z

1)(cosh•

•

•

=−γ

(6.28)

Levando a expressão (6.27) na expressão (6.28), tem-se:

42

2'Y

)(senhZ

1)(cosh

c

•

••

•

=γ

−γ

(6.29)

Como

2tanh

)(senh

1)(cosh

•

•

•γ

=γ

−γ (6.30)

Resulta

2tanh

Z

12

'Y

c

•

•

•γ

= (6.31)

Lembrando que:

•••= YZZc (6.32)

e ainda que

•••••==γ YZyz (6.33)

Resulta:

•

•••

•

••

γ×

γ=

YZ2

tanhZ

Y2

'Y

Logo

2tanhY

2'Y

•

•

••γ

γ= (6.34)

Dividindo o numerador e o denominador do segundo membro da expressão (6.34) por 2,

obtém-se:

2

2tanh

2Y

2'Y

•

•

••

γ

γ

= [S] (6.35)

43

Substituindo-se as equações (6.32) e (6.33) na expressão (6.27), tem-se;

'ZYZ

)(senhY

Z •

•

•••

•

•

=γ

×γ

Logo

•

•••

γ

γ=

)(senhZ'Z [Ω] (6.36)

Os fatores de correção, mostrados a seguir, tornam-se unitários para pequenos valores

de •γ .

2

2tanh

•

•

γ

γ

e

•

•

γ

γ )(senh

O circuito π-nominal, assim corrigido, passa a denominar-se π-equivalente. 7. Constantes generalizadas - quadripolos

Uma linha de transmissão pode ser representada por um circuito contendo quatro

terminais conforme a figura 7.01.

1I•

1 2

2I•

•

2V

•

1V 1 2

Fig. 7.01 – Representação de um quadripolo. Um circuito desse tipo fica perfeitamente definido por um conjunto de equações

lineares, inter-relacionadas. Cada uma dessas equações possui variáveis independentes e dependentes relacionadas entre si pelos parâmetros dos respectivos circuitos, aos quais são impostas as seguintes restrições:

a) Devem possuir apenas uma entrada e uma saída, representadas por dois pares de terminais, podendo um dos terminais vir a ser comum a ambos os pares; b) Devem ser passivos, isto é, sem fontes de tensão;

44

c) Devem ser lineares, ou seja, o sinal de saída tenha a mesma forma do sinal da entrada – impedância e admitância constantes independente da tensão e corrente aplicada; d) Devem ser bilaterais, isto é, a resposta de um sinal aplicado a um dos terminais deve ser a mesma se o sinal for aplicado ao outro terminal – exclui retificadores de corrente.

Considerando-se •

2V e 2I•

como variáveis independentes, •

1V e 1I•

como variáveis dependentes, pode-se escrever.

=

•

•

••

••

•

•

2

2

1

1

I

V

DCBA

I

V (7.01)

Ou ainda.

221

221

IDVCI

IBVAV•••••

•••••

+=

+= (7.02)

As constantes •A ,

•B ,

•C e

•D do quadripolo gozam das seguintes propriedades:

1. Para circuitos simétricos a igualdade definida a seguir é sempre válida, ou seja:

••

=DA 2. O determinante da matriz com as constantes generalizadas, mostrada na equação

(7.01) é igual à unidade, independentemente do circuito ser simétrico ou não, isto é:

1CBDA =−••••

3. Com base na equação (7.02) verifica-se que as constantes generalizadas têm as

seguintes unidades: •A - adimensional; •B - unidade de impedância, isto é, ohm [Ω]; •C - unidade de admitância, ou seja, siemens [S]; •D - adimensional.

7.1. Constantes generalizadas para modelos de linhas As constantes generalizadas, dos diferentes tipos de linhas, podem ser obtidas por meio

da comparação direta dos modelos matemáticos dessas linhas com o modelo matemático representativo de um quadripolo.

7.1.1. Constantes generalizadas para linhas curtas Promovendo-se a comparação da equação (6.12) com a equação (7.02), obtém-se:

45

1DA ==••

; ••

=ZB ; 0C=•

7.1.2. Constantes generalizadas para linhas médias 7.1.2.1. Modelo T Promovendo-se a comparação das equações (6.18) e (6.17), respectivamente, com as

equações da tensão e da corrente, mostradas em (7.02), obtém-se:

2YZ1DA••

••+== ;

•••

•

+= Z4YZ1B ;

••=YC

7.1.2.2. Modelo π-nominal Fazendo-se a comparação das equações (6.23) e (6.24), respectivamente, com as

equações da tensão e da corrente, mostradas em (7.02), obtém-se:

2YZ1DA••

••+== ;

••=ZB ;

•••

•

+= Y4YZ1C

7.1.3. Constantes generalizadas para linhas longas Realizando-se a comparação das equações (6.03) e (6.04), respectivamente, com as

equações da tensão e da corrente para o quadripolo, mostradas em (7.02), obtém-se:

)(coshDA •••γ== ; )(senhZB c

•••γ= ; )(senh

Z

1Cc

•

•

•γ=

7.2. Interpretação das constantes generalizadas de linhas de transmissão – diagrama fasorial As constantes generalizadas são geralmente representadas por números complexos.

Assim, pode-se escrevê-las como segue:

Aj21 eAajaA β

•=+=

Bj21 eBbjbB β

•=+=

Cj21 eCcjcC β

•=+=

•β

•==+= AeDdjdD Dj

21

46

Estando as constantes representadas na forma cartesiana e polar e, considerando ainda a equação da tensão do quadripolo, é possível construir o diagrama fasorial para o quadripolo em carga.

Tomando a tensão •

2V na referência e sendo a carga considerada indutiva, o diagrama vetorial toma a forma mostrada na figura 7.02:

21Vc

22Vc 2VC 1I

2ϕ 2ID

21Id 22Id

θ 22Va

21Va

2VA

2V

1V 2IB

21Ib

22Ib

1ϕ

Fig. 7.02 – Diagrama vetorial de um quadripolo em carga. Com base no diagrama vetorial apresentado na figura 7.02 e nas equações do

quadripolo, para as condições de terminal receptor em vazio( 0I2 =•

) e em curto-circuito(

0V2 =•

), é possível fazer as seguintes observações:

1. Para uma linha operando em vazio a equação da tensão fica reduzida a ••

2VA . Esse é

o valor da tensão no transmissor para garantir a tensão •

2V no receptor em vazio.

A componente 21Va•

está em fase com •

2V e a componente 22 Va•

é a parcela necessária a manutenção do campo elétrico.

2. Para uma linha em vazio a equação da corrente fica reduzida a 2VC••

que representa a

corrente de carga da linha. O produto 21 Vc•

representa a componente da corrente através da

condutância g e 22 Vc•

representa a componente da corrente através da susceptância capacitiva b. O argumento é, em geral, maior do que 90°;

3. Para uma linha em curto-circuito a equação da tensão se reduz a 2IB••

. Este é o valor

da tensão no transmissor para assegurar a circulação de 2I•

no receptor. A componente 21 Ib•

representa a queda de tensão na resistência série e 22 Ib•

a queda de tensão na reatância indutiva;

4. Para uma linha em curto-circuito a equação da corrente fica reduzida a 2ID••

. Esse é o valor da corrente absorvida pela linha junto ao transmissor quando alimentada pela tensão

2IB••

. A componente 2121 IaId••

= representa a componente da corrente de curto-circuito que

produz a queda de tensão na resistência série e 2222 IaId••

= a componente da corrente de curto-circuito que provoca queda de tensão na reatância indutiva.

As constantes generalizadas podem ter suas componentes reais e imaginárias

determinadas a partir das figuras 7.03, 7.04, 7.05, 7.06, 7.07 e 7.08, mostradas a seguir. Com

47

esses gráficos, conhecidas as grandezas: comprimento, relação da resistência série pela reatância indutiva e ainda a impedância característica da linha, todas as componentes ficam perfeitamente determinadas.

Fig. 7.03 – Componente real da constante •A (Fonte: figura 6.7. – página 108:

Stevenson Jr., William D., Elementos de Análise de Sistemas de Potência, São Paulo, Editora McGraw – Hill do Brasil, Ltda, 1974, 1ª Edição em língua portuguesa)

O módulo da constante •A decresce com o aumento do comprimento da linha, valendo

1(um) para linhas curtas e aproximadamente 0(zero) para linhas com comprimento físico igual a λ/4. Volta a crescer para valores de ℓ maiores que λ/4, tornando-se maior que a unidade para ℓ = λ/2;

Fig. 7.04 – Componente imaginária da constante •A (Fonte: figura 6.8. – página 108:

Stevenson Jr., William D., Elementos de Análise de Sistemas de Potência, São Paulo, Editora McGraw – Hill do Brasil, Ltda, 1974, 1ª Edição em língua portuguesa)

48

Fig. 7.05 – Componente real da constante •B , por unidade de Zc (Fonte: figura 6.9. –

página 109: Stevenson Jr., William D., Elementos de Análise de Sistemas de Potência, São Paulo, Editora McGraw – Hill do Brasil, Ltda, 1974, 1ª Edição em língua portuguesa)

Fig. 7.06 – Componente imaginária da constante •B , por unidade de Zc (Fonte: figura

6.10. – página 109: Stevenson Jr., William D., Elementos de Análise de Sistemas de Potência, São Paulo, Editora McGraw – Hill do Brasil, Ltda, 1974, 1ª Edição em língua portuguesa)

49

Fig. 7.07 – Componente real da constante •C , por unidade de Zc (Fonte: figura 6.11. –

página 110: Stevenson Jr., William D., Elementos de Análise de Sistemas de Potência, São Paulo, Editora McGraw – Hill do Brasil, Ltda, 1974, 1ª Edição em língua portuguesa)

Fig. 7.08 – Componente imaginária da constante •C , por unidade de Zc (Fonte: figura

6.12. – página 110: Stevenson Jr., William D., Elementos de Análise de Sistemas de Potência, São Paulo, Editora McGraw – Hill do Brasil, Ltda, 1974, 1ª Edição em língua portuguesa)

7.3. Quadripolos representativos de outros componentes dos sistemas de potência Pode haver a necessidade de incluir no estudo de uma linha de transmissão a influência

de equipamento ligado em seu terminal, bem como cargas a serem supridas. Considerando as mesmas restrições estabelecidas para os circuitos, para que possam ser representados por quadripolos, busca-se pelas constantes generalizadas de alguns componentes do sistema de potência.

50

7.3.1. Impedância série Considere a situação representada na figura 7.09., onde uma impedância série é

percorrida pela corrente ••

= ba II .

sZ

ba II =

aV bV

Fig. 7.09 – Circuito formado por uma impedância série. Para este circuito podem ser escritas as seguintes equações:

••

••••

=

+=

ba

Sbba

II

ZIVV (7.03)

Comparando as equações (7.03) com as suas respectivas equações da tensão e da

corrente, escritas para um quadripolo, obtém-se:

1DA ==••

; ••

= SZB ; 0C=•

7.3.2. Admitância em derivação Considere a situação da figura 7.10., onde está representada uma admitância transversal.

aI bI

aV bV pY

Fig. 7.10 – Circuito formado por uma admitância transversal Para este circuito podem ser escritas as seguintes equações:

••••

••

+=

=

bbpa

ba

IVYI

VV (7.04)

Comparando as equações (7.04) com as suas respectivas equações da tensão e da

corrente, escritas para um quadripolo, obtém-se:

51

1DA ==••

; 0B =•

; ••

= pYC 7.3.3. Transformadores

Estes podem ser representados por um circuito T ou gama( Γ ).

7.3.3.1. Circuito T Considere o circuito mostrado na figura 7.11.

aI bI 2

Zt

2Zt

tY bV aV

Fig. 7.11 – Circuito T Para esse circuito, por semelhança com o circuito T para linhas, as equações são dadas

por:

bttt

btt

a IZ4

YZ1V

2YZ

1V••

•••

•••

++

+= (7.05)

btt

bta I2

YZ1VYI

•••

•••

++= (7.06)

Comparando as equações (7.05) e (7.06), respectivamente, com as equações da tensão e

da corrente, escritas para um quadripolo, obtém-se:

2YZ

1DA tt

••••

+== ; •

•••

+= ttt Z

4YZ

1B ; ••

= tYC

52

7.3.3.2. Circuito Γ

Na prática, normalmente, se apresenta como o mais conveniente sendo suficientemente preciso. Existem duas situações a serem consideradas.

A tZ

tYaV bV

aI bI

α

tZ

tY

(a)

(b)

Fig. 7.12 – Circuitos Γ - ligações (a) e (b) Aplicando-se as Leis de Kirchhoff nos circuitos representados nas figuras 7.12(a) e

7.12(b), tem-se: Ligação(a)

Malha α: 0VIZV bbta =++−••••

→ ••••

+= btba IZVV (7.07)

Nó A: 0IVYI bata =−−••••

→ ••••

+= bata IVYI (7.08) Substituindo-se a expressão (7.07) na expressão (7.08) e reagrupando-se, resulta:

••••••++= bttbta I)ZY1(VYI (7.09)

Comparando-se as equações (7.07) e (7.09), respectivamente, com as equações da

tensão e da corrente escritas para o quadripolo, tem-se:

1A =•

; ••

= tZB ; ••

= tYC ; )ZY1(D tt

•••+=

53

Ligação(b)

Malha α: 0VIZV bata =++−••••

→ ••••

+= atba IZVV (7.10)

Nó A: 0IVYI bbta =−−••••

→ ••••

+= bbta IVYI (7.11) Substituindo-se a expressão (7.11) na expressão (7.10) e reagrupando-se, resulta:

••••••++= btbtta IZV)ZY1(V (7.12)

Comparando-se as equações (7.12) e (7.11), respectivamente, com as equações da

tensão e da corrente, escritas para o quadripolo, tem-se:

)ZY1(A tt

•••+= ;

••= tZB ;

••= tYC ; 1D =

•

Observando-se as constantes generalizadas obtidas para as ligações (a) e (b), verifica-se

que como o circuito Γ é assimétrico a constante •A é diferente da constante

•D .

EXERCÍCIO

7.4. Constantes generalizadas de associações de quadripolos Muitas vezes ao analisar o comportamento de uma linha é interessante fazê-lo incluindo

os elementos terminais. Para tanto se faz necessário associar os quadripolos. Existem três maneiras básicas de fazê-lo. São elas: a. Em cascata; b. Em paralelo; c. Em série.

Outras maneiras de associar quadripolos podem ser obtidas pela combinação das três

formas básicas. Na análise de sistemas de energia elétrica o maior interesse recai nas duas primeiras maneiras.

7.4.1. Constantes generalizadas resultantes da associação de quadripolos em cascata Considere dois quadripolos representados por suas constantes e associados como

mostrado na figura 7.13:

1B SI RI

SV RV

I

1A 2A 2B

1C 2C 1D 2D

V

Fig. 7.13 – Associação em cascata de dois quadripolos.

54

Com base na figura e na expressão (7.01) definidas para o quadripolo, pode-se escrever:

=

•

•

••

••

•

•

IV

DC

BA

I

V

11

11

S

S (7.13) e

=

•

•

••

••

•

•

R

R

22

22

I

V

DC

BA

IV (7.14)

Substituindo (7.13) em (7.12), resulta:

=

•

•

••

••

••

••

•

•

R

R

22

22

11

11

S

S

I

V

DC

BA

DC

BA

I

V (7.15)

O produto matricial representado na equação (7.14) conduz ao seguinte resultado:

=

•

•

••

••

•

•

R

R

S

S

I

V

DC

BA

I

V

Onde:

•••••+= 2121 CBAAA

•••••+= 2121 DBBAB

•••••+= 2121 CDACC

•••••+= 2121 DDBCD

7.4.2. Constantes generalizadas resultantes da associação de quadripolos em paralelo Considere a figura a seguir, representativa da associação de dois quadripolos em

paralelo.

SI S'I

S"I

SV RV

R'I

R"I

RI 1A 1B

1C 1D

2A 2B

2C 2D

Fig. 7.14 – Associação em paralelo de dois quadripolos. As correntes injetadas e as tensões aplicadas aos nós R e S estão relacionadas por meio

da matriz de admitâncias nodais, como segue:

55

=

•

•

••

••

•

•

R

S

RRRS

SRSS

R

S

V

V

YY

YY

I

I (7.16)

As admitâncias de entrada ou vistas dos nós e as admitâncias de transferência entre os

nós são definidas a partir da equação (7.16), como segue:

Para

=

=

⇒=

•

••

•

••

•

S

RRS

S

SSS

R

V

IY

V

IY

0V Para

=

=

⇒=

•

••

•

••

•

R

RRR

R

SSR

S

V

IY

V

IY

0V

Para o quadripolo resultante da associação em paralelo mostrada na figura (7.14), pode-

se escrever:

=

•

•

••

••

•

•

R

R

S

S

I

V

DC

BA

I

V (7.17)

A partir da equação (7.16), fazendo-se 0VR =•

obtém-se:

••

••

•

•

••

•

••

•

•

•

••

•••

•••

=

=⇒

=

=

=

=

⇒=

=

B

1

V

IY

ID

BV

D

II

B

D

V

IY

IDI

IBV

S

RRS

SS

SR

S

SSS

RS

RS (7.17)

A partir da equação (7.16), fazendo-se 0VS =•

obtém-se:

••

•••

•

•

•

•

•

••

••

•

•••

•

•

••

•••••

••••

−=

=⇒=

−=

=

⇒

+

−=

−=

⇒+=

+=

B

1

V

IYIA

1I

B

A

V

IY

IDA

BCI

IA

BV

IDVCI

IBVA0

R

SSRRS

R

RRR

RS

RR

RRS

RR

(7.18)

A partir da figura 7.14 obtém-se:

56

RRR

SSS

"I'II

"I'II

•••

•••

+=

+= (7.19)

Logo, como [ ] [ ][ ]VYI = , para as condições da figura 7.14, pode-se escrever:

+

=

•

•••

•

•

R

S'''

R

S

V

VYYI

I (7.20)

Isto é:

+

+

+

+

=

•

•

••••

••••

•

•

R

S

RR''

RR'

RS''

RS'

SR''

SR'

SS''

SS'

R

S

V

V

YYYY

YYYY

I

I (7.21)

Considerando as admitâncias definidas em função das constantes generalizadas,

conforme as equações (7.17) e (7.18), tem-se:

+−

+

+−

+

=

•

•

•

•

•

•

••

•••

•

•

•

•

•

R

S

2

2

1

1

21

212

2

1

1

R

S

V

V

B

A

B

A

B

1

B

1

B

1

B

1

B

D

B

D

I

I (7.22)

Desmembrando o conjunto de equações (7.22), obtém-se:

R

2

2

1

1S

21

R VB

A

B

AVB

1

B

1I•

•

•

•

••

••

•

+−

+=

Logo.

S

21

21R

2

2

1

1R V

BB

BBVB

A

B

AI•

••

•••

•

•

•

••

+=

++

R

21

21R

21

1221S I

BB

BBVBB

BABAV•

••

•••

••

•••••

++

+

+= (7.23)

Ainda, do conjunto (7.22), tem-se:

57

R

21

S

2

2

1

1S V

B

1

B

1VB

D

B

DI•

••

•

•

•

•

••

+−

+=

Substituindo-se a equação (7.23) na expressão imediatamente anterior, tem-se:

R

21

21R

21

21R

21

1221

21

1221S V

BB

BBIBB

BBVBB

BABA

BB

BDBDI•

••

•••

••

•••

••

••••

••

•••••

+−

++

+

+

+=

Desenvolvendo e reagrupando, tem-se:

R

21

1221

R

21

21

21

1221

21

1221

S IBB

BDBDV

BB

BB

BB

BABA

BB

BDBDI

•

••

••••

•

••

••

••

••••

••

••••

•

+

++

+−

+

+

+=

R

21

1221

R

2121

212112211221

S

IBB

BDBD

VBBBB

BBBBBABABDBDI

•

••

••••

•

••••

••••••••••••

•

+

++

+

+

+−

+

+=

(7.24)

Comparando-se as equações (7.23) e (7.24) com suas correspondentes, escritas para o

quadripolo resultante da associação em paralelo de dois quadripolos, resulta:

+

+=

••

•••••

21

1221

BB

BABAA ;

+=

••

•••

21

21

BB

BBB ;

+

+

+−

+

+=

••••

••••••••••••

•

2121

212112211221

BBBB

BBBBBABABDBDC ;

58

+

+=

••

••••

•

21

1221

BB

BDBDD

Considerando a relação 1CBDA =−••••

, a constante •C pode ainda ser colocada sob a

seguinte forma:

+

−

−++=

••

••••

•••

21

1221

21

BB

DDAACCC

Onde: 1

111

B

1DAC•

••• −= e

2

222

B

1DAC•

••• −

=

7.4.3. Constantes generalizadas resultantes da associação de quadripolos em série Considere a figura a seguir, representativa da associação de dois quadripolos em série.

RI SI

RV

R'V S'V

S"V R"V

SV

1A

2A

2C

1C

1B

2B

2D

1D

Fig. 7.15 – Associação em série de dois quadripolos.

As correntes injetadas e as tensões aplicadas aos nós R e S estão relacionadas por meio da matriz de impedâncias nodais, como segue:

=

•

•

••

••

•

•

R

S

RRRS

SRSS

R

S

I

I

ZZ

ZZ

V

V (7.25)

As impedâncias de entrada ou vistas dos nós e as impedâncias de transferência entre os

nós são definidas a partir da equação (7.25), como segue:

59

Para

=

=

⇒=

•

••

•

••

•

R

SRS

S

SSS

R

I

VZ

I

VZ

0V Para

=

=

⇒=

•

••

•

••

•

R

RRR

S

RSR

S

I

VZ

I

VZ

0V

Para o quadripolo resultante da associação em série mostrada na figura (7.15), pode-se

escrever:

=

•

•

••

••

•

•

R

R

S

S

I

V

DC

BA

I

V

A partir da figura 7.15 obtém-se:

RRR

SSS

"V'VV

"V'VV

•••

•••

+=

+= (7.26)

Logo, como [ ] [ ][ ]IZV = , para as condições da figura 7.15, pode-se escrever:

+

=

•

•••

•

•

R

S'''

R

S

I

IZZV

V (7.27)

Isto é:

+

+

+

+

=

•

•

••••

••••

•

•

R

S

RR''

RR'

RS''

RS'

SR''

SR'

SS''

SS'

R

S

I

I

ZZZZ

ZZZZ

V

V (7.21)

Com as impedâncias da matriz da equação (7.21), definidas em função das constantes

generalizadas dos dois quadripolos, determinam-se as constantes do quadripolo resultante da associação série.

EXERCÍCIO

7.5. Obtenção direta das constantes das linhas de transmissão

As constantes podem ser obtidas através de medições efetuadas diretamente nos

terminais das linhas. Isto é feito medindo as impedâncias “vistas” do transmissor com a linha em vazio e curto-circuito no receptor.

60

Assim, considerando-se as equações de um quadripolo, escritas para 2V•

e 2I•

como variáveis independentes, tem-se:

221

221

IDVCI

IBVAV•••••

•••••

+=

+=

Para o receptor em vazio ( 0I2 =•

), resulta:

0

1101

01 Z

C

A

I

V •

•

•

•

•

== (7.22)

Para o receptor em curto-circuito ( 2V•

0 = ), logo:

cc

11cc1

cc1 Z

D

B

I

V •

•

•

•

•

== (7.23)

Considerando 1V•

e 1I•

como variáveis independentes, as equações ficam:

112

112

IAVCI

IBVDV•••••

•••••

+−=

−=

Sendo a tensão aplicada no receptor, o sentido da corrente considerado nas equações é

contrário ao que ocorre na medição. Assim, faz-se necessária a troca do sinal dos termos da equação da corrente. Isto é:

112 IAVCI•••••

−+=

Para o transmissor em vazio ( 0I1 =•

):

0

2202

02 Z

C

D

I

V •

•

•

•

•

== (7.24)

Para o transmissor em curto-circuito ( 0V1 =•

):

61

cc

22cc2

cc2 Z

A

B

I

V •

•

•

•

•

== (7.25)

Portanto têm-se quatro equações e quatro incógnitas, constituídas pelas igualdades

(7.22, 7.23, 7.24 e 7.25). Resolvendo-se este sistema de equações, obtêm-se as constantes, como segue.

Trocando-se o sinal de ambos os membros da igualdade 7.23 e somando-se com a igualdade 7.22, resulta:

cc

11

0

11 ZZD

B

C

A ••

•

•

•

•

−=−

cc

11

0

11 ZZDC

CBDA ••

••

••••

−=−

Logo

cc

11

0

11 ZZDC

1 ••

••−=

Introduzindo a igualdade 7.24, na expressão anterior, tem-se:

cc

11

0

112

0

22 ZZD

Z ••

•

•

−=

Logo

cc

11

0

11

0

22

ZZ

ZD••

••

−

=

Substituindo-se a constante •D na igualdade 7.23, obtém-se:

cc

11

0

11

0

22cc

11

ZZ

ZZB••

•••

−

=

Substituindo a constante •B na relação 7.25, tem-se:

62

cc

11

0

11

0

22cc

22

cc

11

ZZ

Z

Z

ZA••

•

•

••

−

=

Ou ainda

••= DA

A constante •C pode ser determinada substituindo-se a constante

•D na relação 7.24, ou

ainda empregando a relação 1CBDA =−••••

e levando-se, nesta última, os valores das

constantes já determinadas. Substituindo-se a constante •D na relação 7.24, tem-se:

cc

11

0

11

0

220

22 ZZ

Z

Z

1C••

•

•

•

−

=

Manipulando-se a expressão anterior, resulta:

)ZZ(Z

1Ccc

11

0

11

0

22•••

•

−

=

7.6. Linha artificial Na análise de fenômenos transitórios os modelos elétricos representados por seus

circuitos π ou T equivalentes mostram-se inadequados devido à importância que desempenha o efeito da distribuição dos parâmetros elétricos ao longo do comprimento das linhas.

Com o objetivo de contornar o problema, divide-se a linha em um elevado número de células representativas de circuitos π nominal ou T de segmentos do comprimento da linha, ligadas em série, conforme mostrado na figura 7.16.

n2Z n2Z n2Z n2Z n2Z n2Z

nY

nY

nY 1V 2V

n

1I 2I

Fig. 7.16 – Circuito equivalente da linha formado por n circuitos T.

O modelo matemático conveniente para estes estudos pode ser obtido pela associação

em cascata de um grande número de quadripolos iguais, cada um representando um trecho de igual comprimento da linha. A figura 7.17 ilustra esta situação.

63

1V 2V A A

C C C

A B B B

D D D

1I 2I

Fig. 7.17 – Quadripolos associados em cascata As linhas assim constituídas denominam-se linhas artificiais. Estudos mostram que se cada célula ou quadripolo representar um trecho de 20 a 25 km

de linha, obtêm-se resultados satisfatórios. 7.7. Relações de potência nas linhas de transmissão Na modelagem das linhas admitiu-se que as mesmas terminavam em impedâncias,

definidas por:

•

••

=

2

22

I

VZ (7.26)

Entretanto, as cargas alimentadas são dos mais variados tipos, cujas impedâncias nem

sempre são especificadas, além de sofrerem variação significativa com a tensão a que estão submetidas. Assim, a representação por impedância é aproximada.

Em geral, as cargas são especificadas através das demandas em potências ativa e reativa ou pelas potências aparentes e seus fatores de potência correspondentes. Estas grandezas também variam com a tensão aplicada, entretanto são definidas para valores de tensão nominais do sistema.

A potência aparente junto ao receptor da linha pode ser definida por:

•••=+= *

22222 IVjQPS (7.27) Onde: •

2S = potência aparente por fase, [MVA]; 2P = potência ativa por fase, [MW]; 2Q = potência reativa por fase, [MVAr];

•

2V = tensão entre fase e neutro no receptor, [kV]; •

*2I = conjugado da corrente junto ao receptor, [kA].

7.7.1. Relações de potência no receptor Conforme desenvolvido anteriormente, tem-se:

•••••+= 221 IBVAV (7.28)

Dividindo-se a expressão (7.28) por •B e isolando 2I

•, obtém-se:

64

•

••

•

••

−=B

VA

B

VI 212

Considerando •

2V como referência, isto é, (00j

22 eVV =•

), tem-se:

º0j2Bj

Aj

Bj

j1

2 eVBeAe

BeeVI

β

β

β

θ•−=

Ou ainda

)BA(j2)B(j12 e

BAVe

BVI β−ββ−θ

•−=

O ângulo de potência da linha( θ ) é especificado a partir das condições de estabilidade dinâmica. Assim, o conjugado da corrente será:

)AB(j2)B(j1

2 eB

AVeBVI β−βθ−β

•∗ −=

Logo •

2S pode ser reescrita como segue:

−= β−βθ−β

•)AB(j2)B(j1º0j

22 eB

AVe

BV

eVS (7.29)

Da equação (7.29) obtém-se:

)ABcos(B

AV)Bcos(BVVSeP

2212

22 β−β−θ−β=

ℜ=

• (7.30)

)AB(senB

AV)B(senBVVSImQ

2212

22 β−β−θ−β=

=

• (7.31)

Sendo dados P2, Q2, V2, e especificado θ, calcula-se V1. Caso seja fornecido P2, Q2, V1,

e θ, determina-se V2. A partir das expressões de P2 e Q2, para uma dada relação entre V1 e V2, obtém-se a

máxima potência ativa transmissível para Bβ=θ .

)ABcos(B

AVBVVP

2212

MAX2 β−β−=

A correspondente potência reativa será:

65

)AB(senB

AVQ2

2MAX2 β−β−=

Em geral, quando a linha interliga dois sistemas ocorre a fixação dos valores de V1 e V2. Quando trata-se de linhas radiais, em geral, V1 é prefixado. Para esta condição, fixados

os valores de P2 e Q2, lembrando da relação 22

22

22 QPS += e considerando ainda as

equações (7.30) e (7.31), obtém-se a expressão (7.36) por meio do procedimento que sesegue:

212

222

2 )Bcos(BVV)ABcos(

BAVP

θ−β=

β−β+ (7.32)

2

1222

22 )B(sen

BVV)AB(sen

BAVQ

θ−β=

β−β+ (7.33)

Somando membro a membro as expressões (7.32) e (7.33) obtém-se:

212

222

2

222

2 BVV)AB(sen

BAVQ)ABcos(

BAVP

=

β−β++

β−β+ (7.35)

Desmembrando a expressão (7.35), tem-se:

[ ]

[ ]2

122

22

22

42

22

2

222

22

2

42

22

2

BVV)AB(sen

BAVQ2)AB(sen

BVAQ

)ABcos(B

AVP2)ABcos(BVAP

=β−β++β−β+

+β−β++β−β+

Reagrupando-se a equação anterior, tem-se:

[ ]2

1222

22

2

42

22

2 BVV)AB(senQ)ABcos(P

BAV2

BVAS

=β−β+β−β++

Multiplicando-se ambos os membros da expressão anterior por B2 / A2

[ ] 2

21

22

22

224

22

22

2

AVV)AB(senQ)ABcos(P

ABV2VS

AB

=β−β+β−β++

resulta:

Logo

0ASB

AB2V)AB(senQ)ABcos(P

AB2VV 2

22

221

222

24

2 =+

−β−β+β−β+ (7.36)

A solução geral da equação (7.32) é dada por:

66

a2ac4bbV

2

2−±−

±=

Sendo: a = 1;

b =

−β−β+β−β

AB2V)AB(senQ)ABcos(P

AB2 2

122 ;

c = 2

22

2

ASB .

Para que a solução seja aceitável, deve-se ter: 0ac4b2 ≥− . Dentre as raízes reais deve-se optar pela de maior valor. Considerando o transmissor alimentado por um barramento de tesão constante (V1=cte),

a figura a seguir mostra as curvas de variação da tensão no receptor de uma linha em função das variações das potências ativa e reativa no receptor.

Pelas curvas verifica-se ser possível existir duas raízes para uma mesma potência ativa transmitida, além dos limites máximos de transmissão. A menor raiz leva a correntes elevadas e perdas inadmissíveis.

Fator de Potência

Indutivo

Crescente Decrescente

Fator de Potência Unitário

Fator de Potência

Capacitivo

Fig. 7.18 – Variação da tensão no receptor de uma linha em função da potência ativa entregue no mesmo terminal, para tensão constante no transmissor(Fonte: figura 4.13. – página 146: Fuchs, Rubens Dario, Transmissão de Energia Elétrica - Linhas Aéreas, volume 1, Rio de Janeiro, Livros Técnicos Editora/Escola Federal de Engenharia de Itajubá, 1977 )

67

7.7.2. Relações de potência no transmissor

Considerando 1V•

e 1I•

como variáveis independentes, 2V•

e 2I•

como variáveis dependentes, as equações do quadripolo podem ser escritas como segue:

112

112

IAVCI

IBVDV•••••

•••••

+−=

−=

Dividindo ambos os membros da equação da tensão por •B , isolando 1I

• e considerando,

neste caso, 1V•

como referência, isto é, º0j11 eVV =

•, é possível escrever:

)B(j2)BD(j

11 eB

VeVBDI θ+β−β−β

•−=

Onde θ−•= j

22 eVV .

O conjugado de 1I•

será:

)B(j2)DB(j11 e

BVeV

BDI θ+ββ−β

•∗ −=

Logo

)B(j12)DB(j21111 e

BVV

eVBDIVS θ+ββ−β

•∗

••−==

Portanto

)Bcos(BVV)DBcos(V

BDSeP 122

111 θ+β−β−β=

ℜ=

•

)B(senBVV)DB(senV

BDSImQ 122

111 θ+β−β−β=

=

•

Os valores máximos ocorrem para °=θ+β 180B . Logo:

BVV

)DBcos(VBDP 122

1MAX1 +β−β=

)DB(senVBDQ 2

1MAX1 β−β=

68

7.7.3. Perdas de potência e rendimento A perda de potência na transmissão é dada por:

21 PPP −=∆ Define-se o rendimento de uma linha por:

1001(%)1

⋅

∆−=

PPη

As perdas de potência em linhas de transmissão podem ser compostas por: • perdas por efeito Joule nos condutores; • perdas por dispersão no dielétrico entre os condutores; • perdas causadas por correntes de Foucault e por histerese magnética na alma de aço

de condutores e em peças metálicas próximas às linhas; • perdas por circulação de corrente nos cabos pára-raios. As perdas por efeito Joule representam a maior parcela de perdas em linhas de

transmissão. As perdas no dielétrico entre condutores são quase que exclusivamente devido ao efeito

Corona, podendo ocorrer ainda, em menor escala, no dielétrico dos isoladores. Nos cabos subterrâneos além das perdas por Corona, existem ainda as perdas provocadas pelas correntes de fuga ou de absorção do dielétrico.

As perdas por correntes Foucault e histerese magnética predominam nos cabos subterrâneos, podendo ocorrer nos cabos com alma de aço em linhas aéreas.

Considerando a corrente constante ao longo do comprimento da linha, as perdas por efeito Joule são dadas por:

rI103P 23−×=∆ [kW]

Sendo:

I [A] = corrente na linha; r [Ω/km] = resistência efetiva dos condutores; [km] = comprimento da linha.

A corrente varia ao longo do comprimento da linha e no caso de linhas longas essa

variação é mais acentuada e a expressão anterior torna-se imprecisa. Neste caso, o cálculo deve utilizar as expressões da potência ativa para o transmissor e

receptor, considerando que nelas as perdas por dispersão estão implícitas nos valores das

constantes generalizadas através de •

cZ e •γ .

Assim, procedendo, obtém-se:

)cos()Bcos(BVV2

)ABcos(B

AV)DBcos(

BDV

PPP 212

22

121 θβ−β−β+β−β=−=∆

69

A grandeza Q∆ representa a energia reativa que a linha necessita para a manutenção de seus campos elétricos e magnéticos, sendo calculável por:

)(sen)Bcos(BVV2

)AB(senB

AV)DB(sen

BDV

QQQ 212

22

121 θβ−β−β+β−β=−=∆

Caso seja positiva, significa que a energia reativa necessária ao seu funcionamento

provém do sistema ligado à linha. Sendo negativa, significa que a linha gera reativos e os fornece ao sistema. Será nula quando a linha operar com potência característica.

2121 QQ0QQ0Q >⇒>−⇒>∆

2121 00 QQQQQ <⇒<−⇒<∆

2121 00 QQQQQ =⇒=−⇒=∆

7.7.4. Regulação de tensão Pode ser definida como segue: “A regulação de tensão de uma linha de transmissão é o

aumento da tensão na barra receptora, dado em porcentagem da tensão de plena carga, quando toda a carga, a um determinado fator de potência, é retirada da linha, mantendo constante a tensão da barra transmissora.”

A representação matemática da definição de regulação é mostrada na expressão a seguir.

100V

VV(%)

aargc2

aargc2

vazio2 −

=ℜ (7.37)

Com cteV1 = .

Para uma linha curta a expressão 221 IBVAV•••••

+= transforma-se em:

221 IBVV••••

+=

Logo para a linha em vazio )0I( 2 =•

, tem-se:

21 VV••

= Portanto, com a consideração de linha curta, a expressão (7.37) da regulação pode ser

reescrita como segue:

100V

VV(%)

2

21 −=ℜ

70

O efeito da variação do fator de potência na carga sobre a regulação de tensão da linha pode ser melhor visualizado para uma linha curta, através dos diagramas fasoriais representados na figura 7.19.

V1

V2

V1

I 2 RI2 V2

I 2 RI2

XI2

V2

V1

I 2RI2

XI2

Fig. 7.19 – Efeito da variação do fator de potência na carga sobre a regulção de tensão de uma linha curta.

A relação entre o fator de potência e a regulação para linhas mais longas é semelhante à

das linhas curtas, embora não possa ser visualizada facilmente. Neste caso, a expressão da regulação toma a forma da expressão a seguir.

100V

VAV

(%)2

21 −

=ℜ

8.Bibliografia

1. FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.

2. STEVENSON, W. D. Elementos de análise de sistemas de potência. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1974.

3. STEVENSON, W. D. Elementos de análise de sistemas de potência. 2.ed. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1986.

4. GÖNEN, T. Electric power transmission system engineering: analysis and design. New York: John Wiley & Sons, 1988.

5. MAGNUSSON, P.C.; ALEXANDER, G.C.; TRIPATHI, V.K. Transmission lines and wave propagation. 3.ed. Boca Raton: CRC Press, 1992.

6. ELGERD, O. I. Introdução a teoria de sistemas de energia elétrica. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1976.

7. MONTICELI, A.; GARCIA, A. Introdução a sistemas de energia elétrica. Campinas: Editora da UNICAMP, 1999.

8. GUILE, A.E.; PATERSON, W. Electrical power systems. 2.ed. Oxford: Pergamon Press, 1977. 2v.

9. CLARKE, E. Circuit analysis of AC power systems. New York: John Wiley & Sons, 1943. 2v.

10. LABEGALINI, P. R..; LABEGALINI, J. A.; FUCHS, R. D.; ALMEIDA, M. T. Projetos mecânicos das linhas aéreas de transmissão. 2.ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2005.