Apostila - Instrumentacao e Controle
113
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE Luis Gonzaga Sales Vasconcelos Professor do DEQ/UFCG DEZEMBRO DE 2003 1
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INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE
Luis Gonzaga Sales Vasconcelos
Professor do DEQ/UFCG
DEZEMBRO DE 2003
1
INDICE1 Formulação de um problema de Controle.......................................................................72 Introdução a diagramas de blocos.................................................................................11
2.1 Operações com blocos..........................................................................................122.2 Modelo dinâmico do Processo..............................................................................16
3 Transformada de Laplace..............................................................................................163.1 Aplicação do operador Transformada de Laplace................................................17
3.1.1 Função Constante..........................................................................................173.1.2 Função Degrau..............................................................................................173.1.3 Função Exponencial:.....................................................................................173.1.4 Função Trigonométrica:................................................................................173.1.5 Função Pulso Retangular:.............................................................................183.1.6 Função Impulso:............................................................................................183.1.7 Derivada de uma função...............................................................................183.1.8 Derivada de segunda ordem de uma função:................................................193.1.9 Derivada de Ordem Superior:.......................................................................193.1.10 Transformada de uma integral......................................................................193.1.11 Tempo Morto................................................................................................20
3.2 Solução de Equações Diferenciais........................................................................213.3 Propriedades importantes......................................................................................22
3.3.1 Propriedade da linearidade............................................................................223.3.2 Teorema do Valor Final................................................................................223.3.3 Teorema do Valor Inicial..............................................................................23
4 Função de Transferência...............................................................................................244.1 Propriedades da Função de Transferência............................................................264.2 Linearização de Modelos Não-Lineares...............................................................274.3 Procedimento para desenvolver função transferência...........................................31
5 Sistemas Dinâmicos......................................................................................................325.1 Entradas Padrões de Processo...............................................................................32
5.1.1 Função Degrau:.............................................................................................325.1.2 Função Rampa:.............................................................................................335.1.3 Pulso retangular:...........................................................................................335.1.4 Função Senoidal:...........................................................................................345.1.5 função Aleatória:...........................................................................................35
5.2 Tipos de sistemas dinâmicos.................................................................................355.2.1 Resposta de Sistema de Primeira Ordem......................................................355.2.2 Resposta de um Processo Integrador............................................................37
5.3 Resposta de Sistema de Segunda Ordem..............................................................385.4 Dinâmica de Sistemas Complexos........................................................................415.5 Sistemas com tempo morto...................................................................................445.6 Resposta inversa....................................................................................................465.7 Processos multivariáveis.......................................................................................48
6 Desenvolvimento de Modelo Dinâmico Empírico........................................................507 Controladores................................................................................................................52
7.1 Controlador Proporcional......................................................................................527.2 Controlador PI.......................................................................................................527.3 Controlador PID....................................................................................................53
2
7.4 Projeto do Controlador baseado no Critério de Resposta Transiente...................547.5 Redução do diagrama de blocos............................................................................597.6 Resposta em Malha Fechada de um Sistema de Controle Simples.......................627.7 Sintonia do Controlador........................................................................................68
7.7.1 Sintonia por tentativa e erro..........................................................................687.7.2 Método de Ziegler-Nichols...........................................................................68
8 Controle Feedforward (Antecipatório)..........................................................................708.1 Controle de Relação..............................................................................................738.2 Projeto de Controle Antecipatório(Feedforward) Baseado em Modelo no Estado Estacionário.......................................................................................................................77
8.2.1...............................................................................................................................809 Introdução ao Controle Avançado................................................................................86
9.1 Controle em Cascata.............................................................................................869.2 Compensação de Tempo Morto............................................................................889.3 Controle Inferencial..............................................................................................889.4 Controle Seletivo...................................................................................................889.5 Controle Adaptativo..............................................................................................90
3
INDICE DE FIGURAS
Figura 1: Tanque de Aquecimento......................................................................................7Figura 2 : Comportamento dinâmico de Ti e T.......................................................................8Figura 3: Estratégias para a solução da questão 2...................................................................9Figura 4: Esquema de controle de um tanque de aquecimento.............................................11Figura 5: Diagrama de blocos do sistema de controle do tanque de aquecimento...............12Figura 6: Representação de um bloco...................................................................................12Figura 7: Tanque de aquecimento.........................................................................................16Figura 8 Tanque de aquecimento..........................................................................................24Figura 9 Procedimento para determinação de função de transferência................................31Figura 10: Entrada degrau.....................................................................................................32Figura 11: Função Rampa.....................................................................................................33Figura 12: Função Pulso Retangular.....................................................................................34Figura 13: Função Senoidal..................................................................................................34Figura 14: Função Aleatória.................................................................................................35Figura 15: Comportamento dinâmico de um sistema de primeira ordem.............................36Figura 16 Processo Integrador..............................................................................................37Figura 17: Diagrama de blocos de um sistema de segunda ordem.......................................38Figura 18: Parâmetros característicos da resposta de um sistema de Segunda ordem..........40Figura 19: Amostra do comportamento dinâmico de um sistema de segunda ordem em
função de ζ......................................................................................................................40Figura 20 Contribuição de um elemento integrador no comportamento dinâmico de sistema
complexo........................................................................................................................41Figura 21 Contribuição de um elemento de primeira ordem na dinâmica de um sistema
complexo........................................................................................................................42Figura 22 Contribuição do elemento de Segunda ordem no comportamento dinâmico de
sistema complicado........................................................................................................43Figura 23: Comportamento dinâmico de sistema com tempo morto puro............................44Figura 24: Resposta de n tanques em série...........................................................................45Figura 25: Resposta inversa..................................................................................................46Figura 27: Diagrama de blocos com funções de primeira ordem em paralelo.....................47Figura 28: Resposta de um sistema de Segunda ordem em função da localização do zero..47Figura 29: Sistema multivariavel..........................................................................................48Figura 30: Determinação dos parâmetros da função de transferência de primeira ordem....51Figura 31 Determinação dos parâmetros da função de transferência de primeira ordem.....51Figura 32: Ação do Controlador proporcional......................................................................52Figura 33: Ação do Controlador Proporcional e Integral (PI)..............................................52Figura 34: Sistema de aquecimento......................................................................................54Figura 35 Diagrama de blocos do processo..........................................................................56Figura 36 Diagrama de blocos do elemento de medida........................................................56Figura 37: Diagrama de blocos do Comparador...................................................................57Figura 38 Diagrama de blocos do transdutor........................................................................57Figura 39 Diagrama de blocos da válvula.............................................................................58Figura 40: Diagrama de blocos do sistema em malha fechada.............................................58
4
Figura 41 Diagrama de blocos de um sistema realimentado................................................59Figura 42: Redução do diagrama de blocos..........................................................................60Figura 43: Redução do diagrama de blocos..........................................................................60Figura 44 Diagrama de bloco reduzido.................................................................................61Figura 45 Sistema de controle de nível.................................................................................62Figura 46 Diagrama de blocos do sistema de nível..............................................................63Figura 47 Resposta do sistema de controle...........................................................................66Figura 48 Sistema de Controle realimentado.......................................................................70Figura 49: Sistema de Controle antecipatório......................................................................71Figura 50 Aplicação de controle realimentado em um ebulidor...........................................71Figura 51: Exemplo da aplicação de controle antecipatório em um ebulidor.......................72Figura 52: Exemplo de aplicação das estratégia realimentado e antecipatório em conjunto
em um ebulidor...............................................................................................................72Figura 53: Controle de Razão (método 1).............................................................................74Figura 54: Controle de razão (método 2)..............................................................................75Figura 55: Esquema do processo..........................................................................................76Figura 56 Esquema de um sistema de controle antecipatório...............................................78Figura 57: Diagrama de bloco de um sistema de controle realimentado e antecipatório em
conjunto..........................................................................................................................80Figura 58 Diagrama de blocos de um sistema de controle realimentado e antecipatório.....83Figura 59: Esquema do sistema de controle convencional de uma fornalha........................86Figura 60: Esquema do sistema de controle em cascata de uma fornalha............................87Figura 61: Diagrama de blocos do sistema de controle em cascata......................................87Figura 62: Sistema de controle seletivo de um reator tubular...............................................89Figura 63: Sistema de controle seletivo do processo de armazenamento e transporte de uma
mistura água-areia..........................................................................................................89Figura 64: Diagrama de blocos do processo água-areia.......................................................90
5
INDICE DE TABELASTabela 1: Relação dos métodos de solução da questão 2......................................................10Tabela 2: Valores de um sistema dinâmico de primeira ordem............................................37Tabela 3: Equações de sintonia de Ziegler-Nichols e Cohen Coon......................................69Tabela 4: Condições de operação do sistema de aquecimento.............................................82
6
1 Formulação de um problema de Controle
Considere o tanque de aquecimento mostrado na Figura 1, que tem o objetivo de aquecer a corrente de entrada com vazão mássica w e temperatura Ti , obtendo uma corrente de saída com vazão mássica w e temperatura T. O conteúdo do tanque é bem agitado e a fonte de aquecimento é uma resistência elétrica montada no interior do tanque.
Figura 1: Tanque de Aquecimento
Temos a seguintes questões:
• Questão 1: Qual a quantidade de calor deverá ser suprida ao tanque de aquecimento para aquecer o líquido da temperatura de entrada Ti para uma temperatura de saída TR ?
Resposta: Calculamos a quantidade de calor a partir das equações 1 ou 2
(1)
• Questão 2: Suponha que a temperatura de entrada Ti varia com o tempo conforme a Figura 2. Como podemos assegurar que T permanece em ou próximo de TR, ou seja, fazer a curva verde da Figura 2 coincidir com a curva violeta.
7
Aquecedor
Ti
w T
w
V Q
M
Aquecedor
Ti
w T
w
V Q
M
Figura 2 : Comportamento dinâmico de Ti e T
Existem diversas formas de resolver esta questão. Na Figura 3, são mostrados possíveis métodos:
• No método 1, o operador mede a temperatura de saída do tanque de aquecimento e manipula a quantidade de calor fornecida. Se a temperatura estiver acima do valor desejado ele reduz a quantidade de calor fornecida e vice-versa. O procedimento é repetido até que T=TR.
• Por sua vez no método 2, o operador mede a temperatura da corrente de entrada do tanque e manipula a quantidade de calor fornecida. Note que agora ele não conhece a temperatura de saída do tanque e portanto não poderá comparar com a temperatura desejada. No entanto se conhece Ti , w, C e TR ele pode simplesmente calcular Q através da equação 2 e ajustar a partir do conhecimento do valor calculado, a quantidade de calor a ser fornecida para que T alcance TR. A diferença em relação a método 1 é que aquele é um método de tentativa e erro associado a realimentação de informação, enquanto este, é baseado na informação obtida a partir de um modelo matemático do processo.
• O método 3 é semelhante ao método 1. A diferença consiste na manipulação da vazão de entrada do tanque e não na quantidade de calor fornecida. É um método de tentativa e erro em que o ajuste em w é efetuado pelo operador através da mudança na abertura de uma válvula até que T=TR.
• O método 4 é semelhante ao método 3. Neste utilizamos a equação 2 para calcular o valor necessário de w, conhecendo-se Ti, Q, C e TR. Observe que é necessário explicitar o valor de w na equação 2.
• O método 5 indicado na Tabela 1 é uma combinação dos métodos 1 e 2. Desta forma apresenta características comuns aos referidos métodos.
• De forma análoga o método 6, constante na Tabela 1, é uma combinação dos método 3 e 4.
• Note que existem várias alternativas para responder a questão formulada. Qual seria portanto a melhor alternativa? Os seis primeiros métodos são tarefas de operação através do ajuste das condições operacionais do equipamento e a duas últimas são tarefas de projeto. Iremos focalizar neste curso apenas soluções de operação (Exemplo: os seis primeiros métodos).
8
T
t
T
t
Ti
t
Ti
t
Figura 3: Estratégias para a solução da questão 2
9
Aquecedor
Ti
w T
w
V
Q
M
MÉTODO 2
Aquecedor
Ti
w T
w
V
Q
M
MÉTODO 3
Aquecedor
Ti
w T
w
V
Q
M
MÉTODO 4
Aquecedor
Ti
w T
w
V
Q
M
MÉTODO 8
Aquecedor
Ti
w T
w
V
Q
M
MÉTODO 7
Aquecedor
Ti
w T
w
V
Q
M
MÉTODO 1
Na tabela 1, são listados os métodos de solução da questão formulada e algumas características importantes em um estudo de controle de processos. Nesta tabela, são classificadas as variáveis medidas, a variável manipulada e a categoria da estratégia de solução. Como podemos observar as variáveis medidas são evidentemente aquelas que o operador mede no cenário da questão, enquanto que as variáveis manipuladas são aquelas em que o operador atua para alcançar o objetivo de manter a variável medida em seu valor de referência.
A categoria de controle é classificada como:
• FB – Feedback: indicando que existe uma realimentação de informações no processo de tentativa e erro.
• FF – Feedforward: indicando que existe uma antecipação (predição) baseada no conhecimento do processo a partir de um modelo matemático
• Projeto- refere-se a uma atividade de projeto e não de controle.
Tabela 1: Relação dos métodos de solução da questão 2
10
1 T Q FB2 Ti Q FF3 T w FB4 Ti w FF5 Ti e T Q FF/FB6 Ti e T w FF/FB7 Projeto8 Projeto
MétodoVariavel Medida
Variavel Manipulada Categoria
2 Introdução a diagramas de blocos
Supondo que escolhemos o método 1 para a solução da questão apresentada na seção anterior e substituindo o operador por um controlador automático. Na Figura 4, tem-se um esquema do método escolhido. A temperatura na corrente de saída é medida através de um termopar inserido no interior do tanque (indicado através de um ponto vermelho). O sinal elétrico gerado no termopar é enviado a um transmissor de temperatura (TT), que por sua vez transmite um sinal equivalente até um controlador de temperatura (TC). O controlador processa o sinal recebido, comparando com um valor de referência e emite um sinal de comando que atua no dispositivo de aquecimento elétrico. Um diagrama de blocos permite um melhor entendimento deste procedimento. Veja a .
Figura 4: Esquema de controle de um tanque de aquecimento
11
Aquecedor
Ti
w T
w
V
Q
MTTTT TCTC
Figura 5: Diagrama de blocos do sistema de controle do tanque de aquecimento
Um bloco o elemento de um diagrama composto por um fluxo de entrada e um fluxo de saída. O fluxo de entrada é chamado sinal de entrada ou estímulo, enquanto que o fluxo de saída é chamado de sinal de saída ou resposta. É importante observar que os fluxos não são grandezas físicas, ou seja, não representam um fluxo de massa ou energia, mas são caracterizados de forma geral como um fluxo de informação.
Figura 6: Representação de um bloco
2.1 Operações com blocos
Existem várias operações com os blocos que podem ser utilizadas no entendimento e projeto de sistemas de controle.
12
entrada saídaCONTEÚDO
Termopar (sensor e
transmissor
AquecedorTanque de
AquecimentoControlador
Calibtaçãodo Termopar
Ações executadas pelo Controlador
Comparador
T(t)
[C]
V(t)
[volts]
TR(t)
[C]
V* (t)
[volts]
e(t)
[volts]
x(t)
[volts]
Q(t)
[J/s]
Ti (t)[C]
Adição de sinais:
Divisão de sinais:
Adição de blocos (paralelo)
Multiplicação de blocos (série):
13
G2(s)
G1(s)
++
X1(s)
X2(s)
X3(s)
G2(s)G2(s)
G1(s)G1(s)
++++
X1(s)
X2(s)
X3(s)
++
X1(s)
X2(s)
X3(s)
X1(s)
X1(s)
X1(s)
G2(s)G1(s)X1(s) X2(s) X3(s)
Realimentação:
Bypass
14
G1(s)+
X1(s) X2(s) X3(s)+
G1(s)+
X1(s) X2(s) X3(s)+
2.2 Modelo dinâmico do Processo
Seja o tanque de aquecimento mostrado na Figura 7: Tanque de aquecimento:
Figura 7: Tanque de aquecimento
Para determinar como a temperatura na saída do tanque varia em função do tempo, quando ocorrem variações na temperatura de entrada (Ti ) e calor fornecido(Q) é necessário desenvolver um balanço de energia:
( 2)
O balanço de energia consiste portanto em uma equação diferencial de primeira ordem. Existem vários métodos para a solução desta equação. Alguns são analíticos outros são numéricos. Dentre os métodos analíticos temos o método baseado em transformada de Laplace.
3 Transformada de LaplaceA transformada de Laplace de uma função f(t) é determinada pela equação (4), ou seja, é igual a integral variando de zero a infinito do produto entre a função f(t) e o termo exponencial de –st.
( 3)
Observe a notação da transformada de Laplace: o operador L e variável s.
15
Ti
w T
w
V Q
M
QTTwCdt
dTCV i
dtetftfLsF st
0
)(
3.1 Aplicação do operador Transformada de Laplace
Para ilustrar o uso da Transformada de Laplace temos as seguintes funções como exemplo:
3.1.1 Função Constante
( 4)
( 5)
3.1.2 Função DegrauA função degrau ocorre com bastante freqüência na área de controle de processo.
( 6)
( 7)
3.1.3 Função Exponencial:
( 8)
( 9)
3.1.4 Função Trigonométrica:
( 10)
A função pode ser colocada na forma de soma de termos exponenciais através da relação trigonométrica:
( 11)
16
s
a
s
a
0
0001)(
tttS
Aplicando a transformada de Laplace em cada termo separadamente:
( 12)
( 13)
3.1.5 Função Pulso Retangular:
( 14)
onde tw é largura do pulso. Aplicando a transformada de Laplace
( 15)
( 16)
3.1.6 Função Impulso:
( 17)
( 18)
( 19)
3.1.7 Derivada de uma funçãoPodemos aplicar a transformada de Laplace para a derivada de uma função:
( 20)
17
Integrando por partes:
( 21)
3.1.8 Derivada de segunda ordem de uma função:A transformada de Laplace para a Segunda derivada é aplicada usando uma função auxiliar como:
( 22)
Portanto
( 23)
A partir das equações ( 22)e ( 24)
( 24)
( 25)
( 26)
3.1.9 Derivada de Ordem Superior:Para uma derivada de uma ordem n podemos generalizar na forma:
( 27)
3.1.10 Transformada de uma integral
( 28)
18
Integrando por partes:
( 29)
( 30)
3.1.11 Tempo Morto
A função tempo morto é uma translação de uma função f(t) na escala do tempo. O tamanho desta translação é t0
( 31)
( 32)
( 33)
Podemos dividir a integral em duas em intervalos diferentes como:
( 34)
( 35)
( 36)
( 37)
19
3.2 Solução de Equações Diferenciais
Seja a equação diferencial ordinária de primeira ordem que representa uma infinidade de fenômenos naturais e a condição inicial da variável independente y:
(38)
Aplicando o operador Transformada de Laplace, temos:
(39)
Considerando que o operador Transformada de Laplace é linear podemos distribuir o operador nos termos somados na equação:
( 40)
A transformada de cada termo da equação ( 40) são:
( 41)
( 42)
( 43)
Substituindo os resultados de ( 41) , ( 42) e( 43) em ( 40) tem-se:
( 44)
Rearranjando os termos
(45)
E explicitando Y(s):
( 46)
20
Temos então a transformação da equação diferencial ordinária em que o domínio é o tempo para o domínio de Laplace, ou seja em função de s. Para voltar ao domínio do tempo, aplica-se a transformada inversa sobre a equação ( 46).
(47)
Dividindo o numerador e denominador dos termos em colchete por 5, tem-se:
(48)
Com auxílio da tabela determinamos a inversa da Transformada de Laplace, obtendo:
(49)
A equação (49) é a solução da equação diferencial representado pela equação (38).
3.3 Propriedades importantesUma das maiores dificuldades em aplicar a transformada de Laplace consiste em obter a transformada inversa. O número de inversas nas tabelas de transformada de Laplace é limitado. Tendo em vista esta dificuldade deveremos fazer uso de algumas propriedades. As propriedades mais utilizadas em controle são apresentadas nesta seção.
3.3.1 Propriedade da linearidade A transformada de Laplace é um operador linear. Desta forma, as operações lineares são satisfeitas. Então:
( 50)
3.3.2 Teorema do Valor FinalEm algumas situações a inversão da transformada de Laplace torna-se complicada ou mesmo impossível. No entanto, podemos determinar valores no domínio do tempo que é importante para fins de análise dinâmica na área de controle. Com o uso do teorema do valor final é possível determinar o valor da variável em um intervalo de tempo longo. Quando o sistema é estável normalmente este valor consiste no estado estacionário. Por outro lado, se o sistema é instável pode-se predizer esta característica sem necessidade de efetuar a inversão.
( 51)
21
))(())(()()( sybLsxaLtbytaxL
Para demonstrar este teorema
( 52)
Aplicando o limite com s tendendo a zero sobre os dois temos de ( 52):
( 53)
Como tende a 1 quando s tende a zero. Então:
( 54)
( 55)
3.3.3 Teorema do Valor InicialDa mesma forma é possível determinar o valor inicial a partir de:
( 56)
A demonstração do teorema será:
( 57)
Aplicando o limite com s tendendo a infinito sobre os dois temos de ( 57):
( 58)
Como tende a 0 quando s tende a infinito. Então:
( 59)
22
4 Função de Transferência
Na seção 2 foi definido o conceito de bloco e as operações envolvidas em um diagrama. Foram definidas as entradas e saídas dos blocos. Nesta seção será tratado o conteúdo dos blocos. Este conteúdo é chamado de função de transferência. O desenvolvimento da função de transferência será descrito através do exemplo de um tanque de aquecimento mostrado na Figura 8.
Figura 8 Tanque de aquecimento
Um balanço de energia em estado transiente é dado por:
( 60)
No estado estacionário o termo de acumulação é zero. Então o balanço de energia será da forma:
( 61)
Subtraindo a equação ( 61) da ( 60), temos
( 62)
Dividindo ambos os membros por:
E sabendo que
23
Ti
w T
w
V Q
M
Temos:
( 63)
Definindo as equações ( 64),( 65) e ( 66) como variáveis desvio:
( 64)
( 65)
( 66)
A equação ( 63) é transformada em:
( 67)
Definindo os parâmetros Ganho (K) e Constante de Tempo (τ), tal que:
( 68)
( 69)
A equação ( 67) assumirá a forma;
( 70)
Aplicando a Transformada de Laplace e considerando que w é constante:
( 71)
( 72)
24
( 73)
( 74)
( 75)
Observe que foram formados dois termos entre parênteses que é função de s. Estes termos são chamados de Função de Transferência. Note igualmente que as variáveis que multiplicam as funções de transferência são as entradas do diagrama de blocos visto na seção 2.
As funções transferências são portanto:
( 76)
( 77)
e
( 78)
4.1 Propriedades da Função de TransferênciaA função de Transferência é uma substituta da equação diferencial, obtida a partir das leis físicas e químicas do processo. Com o objetivo de generalizar considere a equação diferencial geral:
( 79)
Nesta equação y está relacionado com uma variável de saída e x relacionado como uma variável de entrada. A variável independente é portanto o tempo. Os índices m e n representam a ordem de derivação e os coeficientes correspondentes. Quando se aplica a transformada de Laplace sobre ( 79) e rearranja os termos chegaremos a função de transferência da forma:
( 80)
25
Observe que a ordem de derivação corresponde aos expoentes dos polinômios em s formados. Os termos do lado esquerdo da equação diferencial estão relacionados com o polinômio do numerador da função de transferência, enquanto que os termos do lado direito estão com o polinômio do denominador da função.
4.2 Linearização de Modelos Não-LinearesO operador Transformada de Laplace e a função de transferência são ferramentas de natureza linear. No entanto, nos processos da industria química os modelos matemáticos são caracterizados por severas não-linearidades provenientes das equações mecanísticas, cinéticas e de equilíbrio.
Seja um modelo representado por equação diferencial da forma:
( 81)
Onde é não linear
A função poderá ser aproximada por uma série de Taylor. Tomando os primeiros termos da série, pode-se dizer que:
( 82)
e
( 83)
Observe que todos os termos a equação ( 83) são lineares.
Voltando ao caso ilustrado na seção anterior, assume-se que w não é constante. Desta a equação ( 60), repetida abaixo torna-se não linear.
( 84)
Observe que as variáveis são T, Ti, Q e w. Forma-se não linearidade com o produto de w Por Ti e w por T.
Dividindo a equação ( 84) por VρC tem-se:
( 85)
26
( 86)
Aplicando a série de Taylor tem-se:
( 87)
Onde o sub-índice “s” e a barra acima das variáveis indicam que as mesmas estão no estado estacionário.
As derivadas de função representado pela equação ( 86) são:
( 88)
( 89)
( 90)
( 91)
Substituindo as derivadas na equação ( 87) tem-se:
( 92)
No estado estacionário o termo de acumulação da equação ( 86) é zero então
( 93)
27
Subtraindo a equação ( 93) da (92)
( 94)
Definindo as equações ( 95), ( 96), ( 97)e ( 98)como variáveis desvio:
( 95)
( 96)
( 97)
( 98)
A equação ( 94) assume a forma:
( 99)
Aplicando a transformada de Laplace:
( 100)
Multiplicando por:
( 101)
Passando o termo de T’ para lado esquerdo da equação:
( 102)
Definindo os ganhos e a constante de tempo do processo:
( 103)
28
( 104)
( 105)
Então:
( 106)
As funções de transferências são:
( 107)
( 108)
( 109)
29
4.3 Procedimento para desenvolver função transferência
A Figura 9 apresenta um fluxograma descrevendo o procedimento para o desenvolvimento de função de transferência em geral.
Figura 9 Procedimento para determinação de função de transferência.
30
Modelo Dinâmico: equações diferenciais e
equações algébricas
Obter o modelo em estado estacionário fazendo a derivada
igual a zero
Linearizar o elementos não lineares
Subtrair as equações
Substituir as variáveis desvios
Aplicar a Transformada de
Laplace (condição inicial igual a zero)
Eliminar algebricamente todas
as saídas exceto a saída desejada
Especificar todas entradas iguais a zero
exceto a entrada desejada
Determinar a função transferência dividindo a a saída pela entrada
remanescente
Resultado
5 Sistemas Dinâmicos
A análise de sistemas dinâmicos é efetuada a partir de entradas padrões. Os padrões são definidos em função da possibilidade de aplicação prática ou das fontes naturais de variação de um processo.
5.1 Entradas Padrões de Processo
5.1.1 Função Degrau: É representado graficamente na Figura 10 e apresentado formalmente por:
( 110)
A aplicação da Transformada de Laplace forma:
( 111)
Figura 10: Entrada degrau
31
xs
t0
0
M
5.1.2 Função Rampa: É representado na Figura 11 e apresentado formalmente por:
( 112)
Aplicando a Transformada de Laplace:
( 113)
Figura 11: Função Rampa
5.1.3 Pulso retangular: Representado na Figura 12 e formalmente por:
( 114)
Aplicando a Transformada de Laplace
( 115)
32
xR
t0
0
Inclinação= a
Figura 12: Função Pulso Retangular
5.1.4 Função Senoidal: Representado na Figura 13 e formalmente por:
( 116)
Aplicando a Transformada de Laplace:
( 117)
Figura 13: Função Senoidal
33
t0
0
h
tw
A sen(w t)
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 5 10 15
5.1.5 função Aleatória:Representado na Figura 14:
Figura 14: Função Aleatória
5.2 Tipos de sistemas dinâmicosA classificação dos sistemas dinâmicos é limitada e baseada nas características das equações diferenciais que representam e a função de transferência resultante. Os sistemas que serão estudado neste curso:
Sistema de primeira ordem Sistema de Segunda ordem Sistema Integrador Sistema com tempo morto Sistema com resposta inversa
5.2.1 Resposta de Sistema de Primeira Ordem
O sistema de primeira ordem é representado por uma equação diferencial de primeira ordem e por uma função de transferência da forma:
( 118)
Observe que é de primeiro grau o polinômio constante no denominador da equação ( 118)
Aplicando uma variação degrau de tamanho M. A transformada da entrada será
34
-0,20
0,20,4
0,60,8
11,2
0 5 10 15
t
X
( 119)
Substituindo ( 119) em ( 118), tem-se
( 120)
Aplicando a transformada inversa sobre ( 120),
( 121)
O comportamento dinâmico é mostrado na Figura 15 onde está plotado y/KM em função de t/. Note que para um tempo t grande y/KM se aproxima de 1. O comportamento dinâmico pode ser analisado igualmente através da , onde pode ser observado que para t/=1 a resposta alcança 63,2% da variação final e que para t/>3 a resposta atinge praticamente a variação total.
Figura 15: Comportamento dinâmico de um sistema de primeira ordem
Tabela 2: Valores de um sistema dinâmico de primeira ordem
35
0 1 2 3 4 50,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
y/K
M
t
t Y(t)/KM = 1-e-t/
02345
00.63210.86470.95020.98170.9933
Quando se aplica uma variação senoidal sobre um sistema de primeira ordem:
( 122)
A equação resultante será:
( 123)
Aplicando a transformada inversa tem-se:
( 124)
5.2.2 Resposta de um Processo IntegradorO processo integrador é um sistema dinâmico inerentemente instável. Este não se enquadra na classificação de sistemas auto-regulados. O mesmo só funciona com a presença de um sistema de controle automático. Vejamos o caso de um tanque acoplado a uma bomba mostrado na . O nível é função de ambas as vazões qi e q.
Resposta de um Processo Integrador
Figura 16 Processo Integrador
Desenvolvendo um balanço de massa, tem-se:
36
qi
qh
M
( 125)
Definindo h’, qi’ e q’ como variáveis desvio:
( 126)
Aplicando a transformada de Laplace sobre ( 126):
( 127)
Rearranjando os termos:
( 128)
Se tomarmos a equação ( 126) e integrarmos:
( 129)
( 130)
5.3 Resposta de Sistema de Segunda OrdemOs sistemas de segunda ordem são apresentados através de uma equação diferencial de segunda ordem ou por duas de equações de primeira ordem com acoplamento. A função de transferência equivalente da forma:
( 131)
O diagrama de blocos para o sistema de segunda pode assumir a estrutura apresentada na, onde temos dois blocos de primeira ordem em série.
Figura 17: Diagrama de blocos de um sistema de segunda ordem
Desenvolvendo o produto de monômios constantes no denominador da função de transferência de segunda ordem mostrada na equação( 131), tem-se
37
X(s) X+(s) Y(s)
11
1
s
K
12
2
s
K
( 132)
Onde:
( 133)
( 134)
Por sua vez o polinômio de segundo grau formado em ( 134) pode ser decomposto no produto de dois monômios em termos das novas variáveis definidas (τ e ζ):
( 135)
A partir da formulação da equação ( 135) pode-se classificar as funções de Transferência de Segunda Ordem em três tipos conforme a Tabela:.
A Figura 19representa uma amostra do comportamento de um sistema de Segunda ordem de cada tipo classificado. A resposta de um sistema de Segunda ordem pode ser analisada a partir de vários parâmetros característicos (Figura 18). Os parâmetros característicos são:
Tempo de Aproximação (tr): tempo no qual a resposta alcança o valor de referência (set point) pela primeira vez.
Tempo de pico (tp): tempo em que a resposta alcança a maior sobrelevação. Sobrelevação (a/b): razão entre o valor que ultrapassa o valor de referência e o
próprio valor de referência. Razão de decaimento(c/a): razão entre os valores de picos sucessivos. Tempo de acomodação (ts): tempo no qual a resposta se aproxima do valor de
referência com um desvio menor que 5%. Período de oscilação (P): Intervalo de tempo entre dois picos consecutivos.
Figura 18: Parâmetros característicos da resposta de um sistema de Segunda ordem.
38
Tabela 2 Três Diferentes formas de Função Transferência de Segunda OrdemCaso Faixa do Coeficiente de
amortecimentoCaracterização da resposta Raízes da equação
característicasABC
> 1 = 1
0 < 1
SuperamortecidoCriticamente amortecidoSubamortecido
Reais e DiferentesReais e IguaisConjugados complexos
Figura 19: Amostra do comportamento dinâmico de um sistema de segunda ordem em função de ζ
5.4 Dinâmica de Sistemas Complexos
39
t PSI=1 PSI>1 0<PSI=<1
0 0 0 0 PSI 2 0,21 0,264241 0,177737 0,405034 TAU 1 12 0,593994 0,36964 1,127484 F1 1,732051 0,9797963 0,800852 0,517775 1,515132 F2 1,154701 0,2041244 0,908422 0,631123 1,3845415 0,959572 0,717829 1,0055446 0,982649 0,784154 0,7472937 0,992705 0,834889 0,7657198 0,996981 0,873699 0,9556419 0,998766 0,903387 1,11657110 0,999501 0,926096 1,13609211 0,9998 0,943467 1,04602812 0,99992 0,956756 0,9507713 0,999968 0,96692 0,9242314 0,999988 0,974696 0,96386915 0,999995 0,980644 1,01782516 0,999998 0,985193 1,04048317 0,999999 0,988674 1,02498718 1 0,991336 0,99566119 1 0,993373 0,97929220 1 0,99493 0,984015
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0 5 10 15 20
PSI=1
PSI>1
0<PSI=<1
Resposta de um sistema de segunda ordem a um degrau
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0 5 10 15 20
t/tau
y/K
M
a
b
c
P
1.05b
0.95b
tr tP
b
ts
Existem alguns sistemas que não se enquadram nos sistemas básicos como primeira ordem, Segunda ordem e integrador. Tais sistemas podem ser representados pela combinação dos elementos básicos. Suponha que um sistema é representado pela função de transferência:
( 136)
O polinômio constante no denominador de é chamado de equação característica e suas raízes ou pólos contribui para a comportamento dinâmico do sistema. O denominador de é formado pelo produto de três polinômios:
( 137)
( 138)
( 139)
A raiz ou pólo de P1(s) é zero (equivalente a um integrador). A localização no plano complexo e o comportamento no domínio do tempo são mostrados na
Figura 20 Contribuição de um elemento integrador no comportamento dinâmico de sistema complexo
A raiz ou pólo de P2(s) é -1/1(equivalente a um sistema de primeira ordem) e o comportamento dinâmico são mostrados na
40
C
C
t
xEixoReal
EixoImaginário
0
0
s
1t
e
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5
t
y
Figura 21 Contribuição de um elemento de primeira ordem na dinâmica de um sistema complexo
As raízes de P3(s) (equivalente a um sistema de Segunda ordem) e o comportamento dinâmico são mostrados na
41
x xEixoReal
EixoImaginário
0
0
1
1
11 s
x
x
EixoReal
EixoImaginário
0
0
2
21
2
21
2
12 222
2 ss
2
Figura 22 Contribuição do elemento de Segunda ordem no comportamento dinâmico de sistema complicado
42
tet
2
21sen1
tet
2
21cos1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 5 10
t
y
seno
cos
5.5 Sistemas com tempo mortoOs sistemas com tempo morto ou com atraso por transporte ocorreM freqüentemente na industria (tubulações, tempo de medição, processos em serie). A característica de um tempo morto puro é a similaridade do sinal de saída em relação ao sinal de entrada e a diferença entre os sinais está relacionado a defasagem no tempo conforme pode ser observado na Figura 23. Na Figura 24é mostrado que n tanques em série exibe um comportamento semelhante aos processos de tempo morto puro
Figura 23: Comportamento dinâmico de sistema com tempo morto puro
43
Figura 24: Resposta de n tanques em série
44
5.6 Resposta inversa
Muitos processos na industria química (coluna de destilação, reatores químicos e trocadores de calor) tem comportamento diferente dos tipos básicos. A resposta inversa é um exemplo. Este comportamento é mostrado na . Observe que a resposta é caracterizada pela variação em uma direção oposta ao esperado. Em seguida ocorre a inversão, alcançando o estado estacionário.
Figura 25: Resposta inversa
A função de transferência de um sistema com resposta inversa é da forma:
( 140)
Na Figura 26 o diagrama de blocos que representa um sistema com resposta inversa se os ganhos tiverem sinais contrários. Na Figura 27 é apresentada a resposta de um sistema de Segunda ordem com resposta inversa com 1 = 4, 2 = 1 e 3 variando entre –4 e 16. Observe que para valores de 3 positivos não são observadas as respostas inversas somente para valores negativos
45
Figura 26: Diagrama de blocos com funções de primeira ordem em paralelo
Figura 27: Resposta de um sistema de Segunda ordem em função da localização do zero
46
5.7 Processos multivariáveis
Grande parte dos processos da industria são multivariaveis, como: Coluna de Destilação Reatores Ebulidores.
Estes processos diferem dos demais visto até agora devido a sua natureza multivariavel.
Considere o processo mostrado Figura 28. O processo possui 2 válvulas de controle A e B que especifica os fluxos de vapor (ws) e vazão de processo (w0). Duas medições são efetuadas nível (h) e Temperatura da corrente de saída (T0). Deseja-se controlar ambos h e T0. Variações em w0 influencia e h e variações em ws influencia somente T0.
Figura 28: Sistema multivariavel
Desenvolvendo-se as funções de transferência que representam o processo tem-se
( 141)
A partir destas funções de transferência é possível definir a matriz de transferência da forma
( 142)
47
Desenvolvendo balance de massa e energia e aplicando a transformada de Laplace determinaremos as funções de transferência:
( 143)
48
6 Desenvolvimento de Modelo Dinâmico Empírico
O desenvolvimento de função de transferência é obtida através da aplicação da Transformada de Laplace sobre as equações diferenciais resultantes de balanços de massa e energia nos processos. È possível e alguma vezes necessário obter a função de transferência a partir de dados experimentais ou de planta. Usualmente os dados são respostas a uma variação degrau sobre a entrada do sistema.Vejamos o caso de um processo de primeira ordem com tempo morto à função de transferência é da forma:
( 144)
Os parâmetros a serem determinados são o ganho (K), constante de tempo () e tempo morto(). O ganho pode ser obtido através da relação:
( 145)
Onde y é saída e x é a entrada.A determinação da constante de tempo e tempo morto são obtidos por métodos gráficos (Veja a Figura 29 e a Figura 30 ) . Para um processo de primeira ordem é observado que:
A resposta alcança 63.2% de sua resposta final em um tempo A reta tangente a resposta apresenta uma máxima inclinação em e
intercepta a linha de resposta final em
49
Figura 29: Determinação dos parâmetros da função de transferência de primeira ordem
Figura 30 Determinação dos parâmetros da função de transferência de primeira ordem
50
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
t
y/K
M 0,632
0 432 5
7 Controladores
7.1 Controlador Proporcional
( 146)
( 147)
Figura 31: Ação do Controlador proporcional
7.2 Controlador PI
( 148)
( 149)
Figura 32: Ação do Controlador Proporcional e Integral (PI)
51
0
0
p
p
e
-
0
0
pKc
t
e
Kc/i
7.3 Controlador PID
( 150)
( 151)
52
7.4 Projeto do Controlador baseado no Critério de Resposta Transiente
Considere o sistema de controle apresentado na figura que consiste em um tanque de aquecimento a vapor.
Figura 33: Sistema de aquecimento
Um balanço de energia no interior do tanque é representado por:
( 152)
Um balanço de serpentina na parede serpentina é por sua vez:
( 153)
Considerando que variações na temperatura da parede ocorrem de forma instantânea, então:
( 154)
53
Ti
w
T
w
V
MTTTT TCTC
Tm
Pt
I/PI/P
Ps
Transmissor Controlador
Transduor
vapor
condensado
termopar
TTAhTTwCdt
dTCm wPPi
Explicitando Tw:
( 155)
Se:
( 156)
Substituindo ( 156) em ( 152) , tem-se
( 157)
Assumido que a temperatura do vapor é função da pressão de vapor:
( 158)
Desta forma o balanço de energia assume a seguinte forma
( 159)
Através do procedimento geral de determinação de função de transferência obtém-se
( 160)
Onde:
( 161)
( 162)
54
( 163)
Então:
( 164)
Na a Figura 34 é mostrado um diagrama de blocos representando o processo de aquecimento a vapor.
Figura 34 Diagrama de blocos do processo
Para medição da temperatura é utilizado um termopar e um transmissor de temperatura. Uma função de transferência de primeira ordem é assumida, ou seja:
( 165)
Onde Km e m são o ganho a constante de tempo do elemento de medida respectivamente. Note que a entrada tem unidade de temperatura (0C) e a saída tem unidade de corrente elétrica (mA). Na Figura 35 é mostrado o diagrama de bloco deste elemento.
Figura 35 Diagrama de blocos do elemento de medida
55
++++
Ti(s)
Ps(s)
11
s
K
12
s
K
T1(s)
T2(s)
T (s)[oC]
[oC][oC]
[oC]
[psi]
1s
K
m
m
Tm(s)
[oC]
T’(s)
[oC]
O sinal de temperatura é enviado ao comparador conforme a figura onde o sinal resultante é o erro entre a temperatura medida e a temperatura especificada (valor de referência):
( 166)
O valor de referência é especificado por um operador em um painel ou sala de controle. A especificação é feita através do posicionamento da direção de um dial no painel ou digitado em um terminal na sala de controle. A função de transferência para este dispositivo é simplesmente um constante igual ao ganho do elemento de medida:
( 167)
O erro gerado é enviado a um elemento controlador do tipo PI, cuja função de transferência é:
( 168)
Onde Kc e i é o ganho proporcional e a constante de tempo integral respectivamente.
Figura 36: Diagrama de blocos do Comparador
Note que a saída do controlador é um sinal elétrico medido em mA e dentro da faixa 4-20 mA. No entanto, a válvula de controle é pneumática. É necessário portanto fazer uma transdução de sinal elétrico para pneumático. A função de transferência do transdutor é uma constante. Na Figura 37 é apresentado o diagrama bloco do transdutor):
( 169)
Figura 37 Diagrama de blocos do transdutor
56
[oC]
sK
Ic
11
Ps(s)
[mA]
E(s)
[mA]
+-mK
TR(s)
[oC]
TR(s)
[mA]
Tm(s)
[oC]
IPKPt(s)
[mA]
P’(s)
[psi]
É assumido que a válvula de controle se comporte dinamicamente como um sistema de primeira ordem. O diagrama de bloco da válvula de controle é mostrado na Figura 38 e a função de transferência é da forma:
( 170)
Figura 38 Diagrama de blocos da válvula
O diagrama de blocos da malha de controle fechada é mostrado na Figura 39 . O diagrama indica que existe a possibilidade de variação em duas entradas: temperatura de entrada (Ti) como um distúrbio e temperatura de referência(TR). O objetivo do sistema de controle é manter a temperatura de saída (T) próxima ao valor de referência (TR) apesar da ocorrência de variação em Ti (problema regulador) e/ou TR(problema servo).
Figura 39: Diagrama de blocos do sistema em malha fechada
57
1s
K
v
v
Ps(s)
[psi]
Pt(s)
[psi]
Gm
KIP GVGcKm
Ações executadas pelo Controlador
Comparador
T(t)
[mA]
TR TR
[mA]
E
[mA]
P
[mA][psi]
Ti
[0 C]
[0 C]
*Pt GP
Ps
[psi]
GL
T1
T2
[0 C]
[0 C]
[0 C]
Ti
O diagrama de blocos mostrado na Figura 39, obedece a estrutura padrão dos sistemas realimentados apresentado na Figura 40. A nomenclatura adotada é:
L – Carga ou distúrbioC – Variável do processo ou variável controladaB – Variável medidaR – Valor de referenciaE – ErroP – Ação de ControleM- Variável manipulada.
7.5 Redução do diagrama de blocos Embora uma avaliação isolada do desempenho de cada elemento do sistema de controle representado no diagrama de bloco padrão seja interessante é importante que se tenha uma visão global do sistema. A análise global é possível se for efetuada uma redução do diagrama de bloco, utilizando a álgebra de blocos estudada anteriormente.
Figura 40 Diagrama de blocos de um sistema realimentado
Pelo diagrama de bloco a variável controlada C é:
( 171)
Tem-se que:
( 172)
( 173)
58
Gm
GVGcKm
CR R E P
L
*
GP
M
GL
X1
X2
B
+-
++
Figura 41: Redução do diagrama de blocos
Se L=0 para um problema servo (O diagrama de bloco resultante é mostrado na Figura 41)
( 174)
A variável manipulada (M) é calculada por:
( 175)
E a ação de controle (P) por
( 176)
Desta forma resulta em (mostrada na Figura 42):
( 177)
Figura 42: Redução do diagrama de blocos
59
Gm
GVGcKm
CR E P*
GP
M
B
+-
Gm
GP GV GcKm
CR R E
*
B
+-
Sabendo que:
( 178)
Então:
( 179)
Por sua vez:
( 180)
e
( 181)
formando:
( 182)
Rearranjando os termos tem-se então a função de transferência reduzida relacionando a variável de referência (R) e a variável controlada (C). O diagrama de bloco equivalente é mostrado na Figura 43.
( 183)
Figura 43 Diagrama de bloco reduzido
60
CR
mCVP
CVPm
GGGG
GGGK
1
O mesmo procedimento pode ser adotado para o problema regulador. Neste caso L 0 e R = 0. O diagrama de blocos reduzido será:
( 184)
Observe que as equações ( 183)e ( 184) apresentam uma estrutura interessante. O numerador contem o produto das funções de transferência entre a variável de entrada e variável de saída tomando um caminho direto. Enquanto que o denominador contem a soma de 1 e o produto de funções de transferência que estão caminho realimentado.
7.6 Resposta em Malha Fechada de um Sistema de Controle Simples
O sistema mostrado na Figura 44 será usado para mostrar a utilidade de efetuar a redução de um diagrama de blocos representativo de uma sistema em malha fechada. Considere o processo em que o nível do tanque é mantido no valor de referencia (hR) através de manipulação na vazão q2 em detrimento da variação no valor de referencia ou na vazão de processo q1.
Figura 44 Sistema de controle de nível
Um balanço de massa para o sistema estudado é:
( 185)
61
q1q1
q3
hm
h
LTLT LCLC
Pq2q2
A vazão q3 é dependente da pressão hidrostática e da tensão de cisalhamento na saída do tanque. Assumimos que a relação entre q3 e h seja proporcional, ou seja:
( 186)
Eliminando a densidade e substituindo q3 tem-se
( 187)
Aplicando a transformada de Laplace e rearranjando os termos:
( 188)
( 189)
Assumimos que a dinâmica do elemento de medida, bem como da válvula de controle são muito rápida comparada à dinâmica do processo as funções transferências destes elementos são representados somente através dos ganhos respectivo. Na Figura 45 é mostrado o diagrama de blocos deste sistema.
Figura 45 Diagrama de blocos do sistema de nível
62
Km
KVGcKm
HHR HR E P
Q1
* Q2
X1
X2
Hm
+-
++
1s
K p
1s
Kd
Problema servo
Para um problema servo a função de transferência resultante do processo de redução, conforme discutido anteriormente é:
( 190)
Substituindo as funções de transferência de cada elemento na equação ( 190) e considerando que o controlador é proporcional:
( 191)
Definindo
( 192)
E substituindo em tem-se
( 193)
( 194)
( 195)
Dividindo numerador e denominador por
( 196)
63
Definindo o ganho (K1) por:
( 197)
E a constante de tempo 1 por:
( 198)
Substituindo ( 197) e ( 198) em ( 196) tem-se a função de transferência reduzida na forma de um sistema de primeira ordem, ou seja:
( 199)
Aplicando uma variação degrau de tamanho M sobre e determinando a transformada inversa obtém-se:
( 200)
Observe que para
( 201)
K1 deveria ser igual a 1. Mas como:
( 202)
K1 nunca chegará ser igual a 1. Sempre haverá um erro de offset (Figura 46), ou seja :
( 203)
( 204)
64
Figura 46 Resposta do sistema de controle
Problema regulador
A equação resultante da redução para este caso é:
( 205)
Substituindo as funções de transferência de cada elemento, tem-se:
( 206)
De maneira similar ao problema servo, define-se:
( 207)
Substituindo em
( 208)
65
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10
tempo
h
Após manipulações algébricas:
( 209)
Dividindo numerador e denominador por
( 210)
( 211)
Definindo:
( 212)
e
( 213)
Então assume a forma de uma função de primeira ordem
( 214)
Aplicando uma variação degrau em
E obtendo a inversa da transformada de Laplace:
( 215)
66
Neste caso o erro de offset calculado por:
( 216)
( 217)
7.7 Sintonia do Controlador
7.7.1 Sintonia por tentativa e erro
O método de sintonia consiste das seguintes etapas
• Etapa 1: Elimina a ação integral e derivativa• Etapa 2: Especifica Kc em um valor baixo• Etapa 3: Incrementa Kc através de pequenos incrementos até ocorrer ciclo contínuo
após um variação no set-point ou na carga • Etapa 4: Reduzir Kc por um fator de dois• Etapa 5: Reduzir I em pequenos incrementos até ocorrer um a circulação contínua.
Especificar I três vezes este valor• Etapa 6: Incrementar D até ocorrer uma circulação contínua. Especificar D em um
terço deste valor.
7.7.2 Método de Ziegler-Nichols
A tabela mostra as equações utilizadas para sintonia de controladores utilizando os métodos de Ziegler-Nichols e Cohen-Coon. O método consiste em determinar a função de transferência do processo, considerando que é um processo de primeira ordem com tempo morto. Com os valores destes parâmetros e das equações da tabela calcula-se os parâmetros do controlador
67
Tabela 3: Equações de sintonia de Ziegler-Nichols e Cohen Coon
Controlador Ziegler-Nichols Cohen-CoonProporcional
Proporcional+
Integral
Proporcional+
Integral+
Derivativo
Para quantificar os desempenho dos controladores sintonizados são utilizados:
1. Integral de erro quadrático (ISE)
2. Integral do erro absoluto (IAE)
3. Integral do erro absoluto ponderada no tempo
68
8 Controle Feedforward (Antecipatório)
A Figura 47 mostra a estrutura de um sistema de controle realimentado (feedback) e a Figura 48 um sistema de controle antecipatório (feedforward).
As vantagens do controle realimentado são:• Ação corretiva ocorre quando a variável controlada se desvia do set-point, seja qual
for o tipo de distúrbio.• Requer um conhecimento mínimo do processo a ser controlado• O controlador PID é robusto.
No entanto, existem algumas desvantagens como:• Nenhuma ação corretiva é tomada até um desvio da variável controlada acontecer.• Não permite a ação de controle preditiva para compensar efeitos dos distúrbios não
medidos ou desconhecidos.• Poderá ser não satisfatório para processos com elevados constante de tempo ou
tempo morto.• Em algumas aplicações a variável controlada não pode ser medida on-line e
portanto controle feedback não é possível
Figura 47 Sistema de Controle realimentado
69
Figura 48: Sistema de Controle antecipatório
Por sua vez o sistema de controle antecipatório possui desvantagens como:
Os distúrbios de carga devem ser medidos on-line. Em muitas aplicações isto não é possível
Para usar este tipo de controle pelo menos um modelo aproximado do processo deve ser conhecido
Controladores antecipatórios são teoricamente capazes de alcançar um controle perfeito, mas pode ser fisicamente não realizável
Exemplos da aplicação de controle realimentado, antecipatório e a combinação das duas estratégias são apresentados na Figura 49, Figura 50 e Figura 51.
Figura 49 Aplicação de controle realimentado em um ebulidor
70
Figura 50: Exemplo da aplicação de controle antecipatório em um ebulidor.
Figura 51: Exemplo de aplicação das estratégia realimentado e antecipatório em conjunto em um ebulidor
71
8.1 Controle de Relação
O controle de relação é um tipo de controle antecipatório usado usualmente na:• Operações de mistura• Manutenção da razão estequiométrica dos reagentes em um reator• Especificação da razão de refluxo em uma coluna de destilação• Fixação da razão ótima combustível-ar para um forno
O objetivo do controle de vazão é manter a razão de duas variáveis:
( 218)
Onde M é variável manipulada e L é variável de carga. As vazões de ambas correntes são medidas e a razão calculada por:
( 219)
O ganho é determinado tomando a derivada da ( 218), obtendo:
( 220)
Como o ganho depende do inverso da carga e portanto uma desvantagem pode-se implementar o método 2 apresentado na Figura 53 . Este método consiste em medir a carga L e o sinal medido é enviado a uma estação de razão, onde multiplica este sinal por um ganho ajustavel (KR). O sinal sai da estação de razão e será usado como referência de um controlador de vazão, que ajustará a variável manipulada. O ganho da estação de razão é calculado por:
( 221)
72
Figura 52: Controle de Razão (método 1)
73
Figura 53: Controle de razão (método 2)
74
Vejamos um exemplo de aplicação de um controle de vazão. Uma estratégia de controle de relação é usada para manter a razão estequiométrica de H2 e N2 alimentado em um reator de síntese de amônia e controladores individuais serão usados para as correntes de H2 e N2. O esquema é mostrado na Figura 54
• Desenhar um diagrama esquemático da estratégia de controle de relação• (b) Especificar o ganho KR apropriado
Informações1)O transmissor de fluxo contém um extrator de raiz quadrada embutido
2) As válvulas de controle tem atuadores pneumáticos3) Os transdutores de corrente-pressão (I/P) tem um ganho de 0.75 psi/mA4) A estação de relação é um instrumento eletrônico com sinal de entrada e saída de 4-20 mA
Figura 54: Esquema do processo
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Corrente SPANSH2
N2
30 l/min15 l/min
Corrente SPANSH2
N2
30 l/min15 l/min
A equação estequiométrica da reação processada é:
Da razão estequiométrica:
( 222)
O sinal de saída Msp é a referencia da vazão de N2, que é calculado por
( 223)
A equação pode ser colocada na forma de spans SL e Sm
( 224)
( 225)
8.2 Projeto de Controle Antecipatório(Feedforward) Baseado em Modelo no Estado Estacionário
Tomemos o exemplo de um aquecedor de tanque agitado mostrado na figura 55 . O ponto de partida é um balanço de energia da forma:
( 226)
Onde as barras significam que está no estado estacionário. Explicitando Ps, tem-se:
( 227)
Ou
( 228)
Onde
( 229)
76
Figura 55 Esquema de um sistema de controle antecipatório
As equações referentes aos transmissores são:
( 230)
( 231)
Onde Kt1 e Kt2 são os ganhos dos transmissores de cada medição e w0 e Ti0 representam os zeros do instrumento.
A equação referente à Válvula de Controle e Transdutor I/P são
( 232)
Rearranjando ( 230) e ( 231):
( 233)
77
( 234)
Substituindo ( 233) e ( 234) em ( 228) e rearranjando:
( 235)
onde:
( 236)
( 237)
( 238)
( 239)
( 240)
( 241)
78
Projeto de Controle Antecipatório(Feedforward) Baseado em Modelo Dinâmico
8.2.1
Figura 56: Diagrama de bloco de um sistema de controle realimentado e antecipatório em conjunto
A função de transferência em malha para uma variação na carga pode ser determinada por álgebra de diagrama de blocos:
( 242)
O ideal seria conseguir um controle perfeito no qual a variável controlada permanecesse exatamente no valor de referencia apesar da variação arbitraria na variável de carga. Então se a referencia é constante (R(s) = 0), o objetivo é que C(s) = 0 mesmo que L(s) 0. A equação ( 242) indica que esta condição é satisfeita se:
( 243)
Explicitando Gf que representa o controlador antecipatório ideal:
( 244)
Assumindo que o transmissor e válvula tenha dinâmicas desprezíveis:
( 245)
79
Exemplo 1: Supondo que
( 246)
Substituindo ( 245)e ( 246) em ( 244). tem-se o controlador antecipatório na forma
( 247)
O controlador é uma unidade de avanço-atraso com ganho
( 248)
Exemplo 2: Supondo agora que:
( 249)
Substituindo ( 245) e ( 249) em ( 244). tem-se o controlador antecipatório na forma
( 250)
Note que o controlador antecipatório possui um termo da forma que implica em um termo com tempo morto negativo ou elemento preditivo.
Exemplo 3: Supondo
( 251)
80
O controlador é da forma:
( 252)
Este controlador é fisicamente não realizável porque o polinômio no numerador é superior ao polinômio do denominador.
Exemplo 4:
Considere o sistema de aquecimento através de um tanque agitado. Um sistema de controle antecipatório é empregado para compensar variações de carga na temperatura Ti e vazão w.
As informações disponíveis são mostrados na Tabela 4:
Tabela 4: Condições de operação do sistema de aquecimento
(a) Desenvolvimento de um controlador antecipatório baseado no modelo em estado estacionário:
Usando as informações dadas calcula-se os seguintes ganhos
Ganho do Transdutor I/P
( 253)
81
Range da vazão de alimentação: 0 a 0.2 lb/sRange da temperatura de entrada: 50 a 150 0FSinal da Instrumentação: 4 a 20 mA, 3 a 15 psiPressão de vapor: 40 psi
m = 7.6 lbw = 0.11 lb/sC = 1.0 Btu/lb 0FTi = 70 0FTsp = 95 0FUA = 0.0167 Btu/s 0F
v = 5 s
m = 20 s
t = 20 s
Ps0 = 14.7 psia = 200.5 0Fb = 1.66 0Fhp = 200 Btu/ft2h0Fhs = 2700 Btu/ft2h0FKm = 0.16 mA/0FAp = 0.330 ft2
As = 0.249 ft2
Ganho da Válvula
( 254)
Ganho do Transmissor 1
( 255)
Ganho do Transmissor 2
( 256)
Substituindo as equações em:
( 257)
Tem-se:
( 258)
Figura 57 Diagrama de blocos de um sistema de controle realimentado e antecipatório
82
Questão d
a) Desenvolvimento de um controlador antecipatório baseado no baseado no modelo dinâmicoO diagrama de bloco é mostrado na Figura 57. Para um controle antecipatório perfeito deve ser satisfeita a condição:
( 259)
( 260)
Os controladores antecipatórios são portanto:
( 261)
Determinação das funções de transferência a partir dos valores da Tabela 4
Ganho do Transmissor 1 e a função de transferência:
( 262)
Ganho do Transmissor 2 e sua respectiva função de transferência
( 263)
Ganho da Válvula e sua respectiva função de transferência:
( 264)
As funções de transferência de Gp e GL2 foram determinados anteriormente. Substituindo os valores numéricos:
( 265)
83
Para determinar GL1 considere o balanço de energia dado em e assumimos
( 266)
Linearizando, tomando a transformada de Laplace e rearranjando obtém-se:
( 267)
Onde
( 268)
Então:
( 269)
Substituindo as funções de transferência individual em:
( 270)
Obtém-se:
( 271)
Como os controladores são fisicamente não realizáveis alteramos Gf1 e Gf2 obtendo:
( 272)
84
9 Introdução ao Controle Avançado
O controle de processo convencional tem as suas limitações. Em algumas situações é necessário utilizar técnicas de controle avançado. Nesta seção será tratado de alguns exemplos do uso de controle avançado nas plantas industriais.
9.1 Controle em CascataEste tipo é usado quando o controle convencional não apresenta desempenho satisfatório e uma variável secundária medida está disponível. A variável secundária satisfazer os seguintes critérios:
Indicar a ocorrência de um distúrbio importante Existir uma relação causal com a variável manipulada A dinâmica mais rápida do que a primária (> 3 vezes )
Na Figura 58, é mostrado um exemplo em que o uso de controle em cascata é recomendável (sistema de combustão de uma fornalha). O sistema de controle convencional consiste em medir a temperatura do fluido de processo na saída da fornalha e manipular a vazão de óleo combustível. No entanto, a flutuação de pressão na linha do óleo combustível provocará perturbações na combustão alterando a temperatura da corrente de processo na saída do forno. O sistema de controle convencional irá atuar na válvula de combustível com objetivo de manter a temperatura da corrente de processo no seu valor de referência. Podemos projetar uma malha secundária para controlar a pressão na linha de combustível (controle em cascata). Na Figura 59, é mostrado o sistema de controle em cascata para este processo e na Figura 60 o diagrama de blocos da malha fechada.
Figura 58: Esquema do sistema de controle convencional de uma fornalha
85
Figura 59: Esquema do sistema de controle em cascata de uma fornalha
Figura 60: Diagrama de blocos do sistema de controle em cascata
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9.2 Compensação de Tempo Morto
As situações em que há necessidade de usar uma compensação de tempo morto são:• Atraso em tubulação• Reciclo• Lentidão na análise de composição•
Os motivos pelo qual torna-se necessário a implementação deste dispositivo deve-se ao fato que a presença de tempo morto:
• Adiciona um atraso na fase em malha fechada• Afeta a instabilidade• Impede o aumento do ganho do controlador• Promove a redução no desempenho do sistema de controle•
As técnicas usadas são:• Compensação de tempo morto• Técnica de Predição Smith
9.3 Controle Inferencial
O controle inferência é usado quando a medição da variável controlada não está disponível porque um sensor on-line não é possível devido ser caro ou apresentar uma dinâmica não favorável. Uma variável inferencial disponível satisfazer os seguintes critérios:
Ter uma boa relação com a variável verdadeira para uma variação na variável manipulada
A relação deve ser pouco sensível à variação das condições operacionais A dinâmica deve ser favorável ao uso de controle feedback
9.4 Controle Seletivo
O controle seletivo é usado quando existem mais variáveis controladas que manipuladas. A Figura 61 apresenta um exemplo de um sistema de controle seletivo. O exemplo é referente a um reator tubular, no qual o controle de temperatura deverá ser efetuado ao longo do reator e não somente na saída. São instalados vários termopares ao longo do reator e um seletor de valor alto seleciona o maior valor de temperatura medido, enviando em seguida para um controlador de temperatura convencional.Outro exemplo da necessidade do uso de controle seletivo é o sistema mostrado na Figura62 . Neste processo o sistema de controle é usado para regular o nível e a vazão de saída em um sistema de bombeamento de uma lama de areia-agua. Note que na operação normal existe um controle de nível para evitar que o tanque transborde. O transbordamento é evitado aumentando a velocidade de rotação da bomba. Por outro lado, deve-se evitar que o tanque seja esvaziado. A ação do sistema de controle de nível é reduzir a velocidade de rotação da bomba, reduzindo a vazão de saída. Porém se a vazão de saída alcança um valor
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mínimo no abaixo desta ocorre à deposição da areia, o sistema de controle mantém a vazão de saída acima deste valor limite. A figura mostra o diagrama de blocos deste exemplo.
Figura 61: Sistema de controle seletivo de um reator tubular
Figura 62: Sistema de controle seletivo do processo de armazenamento e transporte de uma mistura água-areia.
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Figura 63: Diagrama de blocos do processo água-areia
Portanto existem duas situações:
Operação normal: O controlador de nível (LC) ajusta a vazão de saída variando a velocidade de rotação da bomba
Operação anormal: Quando o fluxo de saída aproxima do limite mínimo controlador de fluxo assume o comando e aumenta a velocidade da bomba
Usa-se igualmente o controle seletivo nos casos em que existem mais variáveis manipuladas do que controladas como:
Exemplo 1: Ajuste dos fluxos de entrada e de saída de um reator para controlar a pressão em um reator.
Exemplo 2: Uso de ácido e base para controlar o pH em uma estação de tratamento de efluentes.
9.5 Controle Adaptativo
Quando as condições operacionais ou ambientais variam de forma significativa, a sintonia on-line sobre o sistema de controle, é necessária para alcançar um desempenho satisfatório.
As variações significativas são causadas por:
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Desativação catalítica. Incrustação em trocadores de calor. Estado operacional não usual: falhas, start-up, shutdown, batelada. Distúrbios freqüentes e grandes (composição da aleitação, qualidade do
combustível).
O controle adaptativo se classifica em: Adaptação programada: situações onde as variações são antecipadas ou
medidas diretamente no processo, quando este é operado numa faixa de condições pré-difinida ou quando a dinâmica depende de variáveis conhecidas e medidas.
Controlador self-tunning: situações onde as variações não podem ser preditas e O ganho do controlador é ajustado para que o ganho em malha aberta (equação)permaneça constante:
( 273)
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