Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Instituto de Fsica

Departamento de Fsica Teorica

Mecanica Fsica I Experimental

Roteiro das Experiencias

Prof. Rudnei O. Ramos

Aluno:

Normas Gerais

A parte experimental dos cursos de Fsica Teorica e Experimental 1, Mecanica FsicaI, Fsica 1 e Fsica V e composta de doze praticas de laboratorio, as quais sao descritas nesteroteiro.

Os alunos devem elaborar relatorios correspondentes a cada uma destas praticas, osquais serao usados na avaliacao da parte experimental do curso. E importante que estes re-latorios sejam elaborados de acordo com as regras gerais descritas mais adiante.

Receberao nota zero os relatorios entregues fora do prazo, ou relativos a uma praticaque o aluno nao tenha participado ou assinado a lista de frequencia. A assinatura da lista defrequencia e de responsabilidade do aluno.

A media final da parte experimental da disciplina (ML), sera calculada pela mediaaritmetica das notas dos relatorios entregues em relacao ao numero total de praticas realizadasno curso. Portanto, faltar a uma ou mais experiencias, ou deixar de entregar qualquer relatorio,implicara naturalmente em reducao da media final de laboratorio.

O prazo de entrega dos relatorios sera sempre na semana posterior a dapratica realizada, no horario regular da aula de laboratorio.

Importante: A existencia de dois ou mais relatorios de igual teor podera implicar emnota zero a todos eles.

Elaboracao de Relatorios

Leia atentamente as normas abaixo.

1. Todos os relatorios sao individuais; Nao serao aceitos relatorios assinados por mais doque um aluno;

2. Os relatorios devem ser entregues na aula seguinte a` realizacao da pratica;

3. Para evitar atrasos na entrega, recomendamos que os relatorios sejam elaborados comantecedencia, para que eventuais duvidas sejam sanadas em tempo habil para entrega;

i

4. Os relatorios devem conter os seguintes elementos:

(a) Ttulo da experiencia

(b) Objetivos da experiencia

Relacione os objetivos a serem alcancados em cada experiencia, ou seja, quegrandezas devem ser determinadas? Que leis devem ser verificadas? Que fenomenosdevem ser estudados? Evite copiar simplesmente o roteiro!

(c) Material utilizado

Faca uma relacao do material utilizado para a montagem da experiencia.(d) Esquema experimental

Faca um desenho esquematico da experiencia. Nao esqueca de identificar osprincipais equipamentos em seu esquema.

(e) Procedimento Experimental

Descreva, de modo sucinto e sem copiar o procedimento do roteiro, osprocedimentos realizados durante a experiencia, e tambem durante o tratamentodos dados. Use os tempos verbais corretos, isto e, a primeira pessoa do plural sea experiencia foi realizada em grupo. Descreva como foi montada a experiencia,quais conexoes foram feitas e por que. Nao se esqueca de fazer as observacoesespeciais que influenciaram suas medidas.

(f) Coleta e Tratamento dos Dados

Formulas devem ser seguidas de comentarios sucintos, explicando sua origemfsica. Nao esqueca de identificar cada uma das variaveis usados em seu relatorio.

Tabelas devem conter sempre ttulos descritivos, smbolos e unidades das grandezasmedidas e/ou calculadas.

Graficos tambem devem conter ttulos descritivos. Nao esqueca de especificaras grandezas e respectivas unidades nos eixos dos graficos.Nunca coloque nos eixos os numeros correspondentes aos valores medidos! Emvez disso, use sempre valores igualmente espacados, para ajudar na leitura dospontos.Esteja sempre atento para utilizar a escala adequada, isto e linear ou logartmica.Quando voce tiver que ajustar uma reta aos seus dados experimentais, voce naodeve traca-la a olho nu! Sugerimos o uso do metodo dos mnimos quadrados, afim de obter a reta mais adequada aos seus dados (leia sobre o metodo dos miin-imos quadrados em um dos apendices deste roteiro). Explicite seus calculosem uma tabela, permitindo que os calculos sejam facilmente conferidos.

(g) Resultados e Conclusoes

Descreva suas observacoes e resultados obtidos, e faca uma analise destes resulta-dos, nao esquecendo de considerar as possveis fontes de erros e as aproximacoesrelativas ao caso ideal. Lembre-se que todas as suas conclusoes devem es-tar baseadas nos seus dados experimentais, caso contrario nao devem serconsideradas como conclusoes de sua atividade experimental.

5. As questoes propostas nos roteiros das experiencias tem por objetivo estimular o alunoa pensar em alguns detalhes fisicamente relevantes para o experimento. Elas devem serabordadas nos tens pertinentes dentro de cada relatorio, como por exemplo, na secaode tratamento dos dados ou nas conclusoes. Lembre-se que topicos importantes que naosejam abordados em nenhum lugar do relatorio podem implicar em perda de pontos.

ii

6. Sugerimos fortemente que os alunos leiam estes roteiros antes das aulas praticascorrespondentes, posto que este habito ira facilitar muito sua participacao e entendi-mento dos experimentos realizados.

7. Ao finalizar o relatorio, releia seu trabalho, procurando observar se voce obedeceu umasequencia logica e se o texto reproduz claramente o trabalho executado. No caso emque seus resultados tenham conduzido a erros muito grandes, verifique se voce trabal-hou corretamente as unidades envolvidas no problema e, se julgar necessario refazer aexperiencia, discuta com seu professor uma data oportuna.

iii

Pratica no 1

Medidas e Desvios

1.1 Introducao

O objetivo de uma ciencia e entender o mundo no qual vivemos, em relacao a algumaspecto bem determinado. Para isto nao basta a simples observacao. Poderamos fazer umaanalogia entre a natureza e um jogo, ambos com regras complexas e desconhecidas. Cabe, entao,aos pesquisadores descobrirem estas regras, ou leis da natureza. Para descobrir tais leis,atraves da pesquisa experimental, faz-se necessaria uma combinacao de observacao, raciocnioe experimentacao, que sao as etapas do Metodo Cientfico de trabalho.

O Metodo Cientfico pode ser resumido, de forma simples, a`s seguintes etapas:

i. o primeiro passo e a observacao;

ii. realiza-se um conjunto de experiencias com o objetivo de isolar o fenomeno que se querestudar. Com isso, pode-se observa-lo inumeras vezes, identificando (separadamente) osfatores que sao responsaveis ou que, de algum modo, interferem no fenomeno;

iii. nesta etapa surgem as hipoteses de trabalho. E neste momento que, com base nas ob-servacoes, o pesquisador tenta inferir as leis que regem o fenomeno em estudo, ou asregras do jogo. O pesquisador precisa fazer abstracoes, eliminando de sua pesquisaaqueles fatores nao essenciais, de modo a simplificar o problema;

iv. finalmente, as hipoteses elaboradas sao testadas com novos experimentos. Uma boa teoriadeve apresentar as seguintes caractersticas:

a) ser capaz de explicar um grande numero de fenomenos com o menor numero possvelde leis fsicas;

b) ter o poder de previsao de novos fenomenos, os quais possam ser observados (testa-dos).

No estudo de um fenomeno fsico e, portanto, fundamental a realizacao de medidas. Amedida de grandezas fsicas nos permite obter informacoes acerca de como estas podem, ounao, estar correlacionadas, caracterizando o fenomeno que se quer estudar.

Primeira Parte: Algarismos Significativos

Consideremos, por enquanto, a grandeza de comprimento e a sua medicao. Medir umdeterminado comprimento significa compara-lo com outro, escolhido previamente como padrao

1

(de medida). Este processo e comum a qualquer medicao. Assim, toda medida pressupoe umaunidade basica a ser escolhida, sendo portanto arbitraria.

Podemos escolher qualquer cromprimento (desde que nao mude) como sendo uma uni-dade padrao de medida para a grandeza (comprimento).

1. Tome como unidade de medida a tira de cartolina que se encontra sobre a sua bancada.Escolha um nome para esta unidade de medida.

2. Meca o comprimento e a largura da superfcie superior de sua bancada usando esta tiracomo instrumento de medida.

3. Expresse o resultado em termos da sua unidade de comprimento. Como voce poderiamelhorar esta medida?

4. Calcule a area da superfcie da bancada, em termos a unidade de comprimento utilizada.

5. Defina agora submultiplos da sua unidade de comprimento, dividindo-a em 10 partesiguais (utilize 11 pautas da folha de caderno). Cada pedaco correspondera a um decimoda unidade original.

6. Meca novamente o comprimento e a largura da sua bancada. Expresse o resultado emtermos da unidade de medida e de decimos desta. Compare a precisao deste resultado coma precisao do resultado do item (3). Calcule a area da superfcie da bancada. Compare-acom a area obtida no item (3).

7. Se voce dividisse cada decimo da sua unidade de comprimento em mais 10 partes iguaise usasse esse novo instrumento de medida para medir o comprimento da bancada, comquantos algarismos voce expressaria a sua medida? E a area da superfcie da bancada,quantos algarismos seriam necessarios para expressa-la?

8. Se voce registrasse essas medidas num relatorio que informacoes deveriam ser includaspara que, no futuro, outra pessoa pudesse conhecer as dimensoes da superfcie de suabancada apenas lendo este relatorio?

(Discussao sobre unidade padrao (invariavel e acessvel),algarismos significativos e desvio avaliado)

Deve ter sido observado que a primeira medida, utilizando a tira de cartolina comounidade de comprimento, nao foi tao precisa quanto a segunda, pois sobrou um pedaco dabancada, menor do que a unidade usada. O resultado pode ser expresso apenas com umnumero inteiro, realmente lido, seguido de um algarismo que representa a fracao da unidadeestimada pelo experimentador, acompanhado da unidade de medida. Por exemplo, 9,X UNI,significando que o comprimento da bancada e com certeza 9 vezes a unidade UNI e que opedaco que sobra, menor do que uma UNI esta sendo estimado em uma fracao 0,X da UNI. Oalgarismo X e chamado de algarismo duvidoso.

Quando a mesma medida foi realizada com a unidade UNI subdividida em 10 partes,obtivemos uma maior precisao pois o pedaco da mesa que sobrou desta vez foi bem menor.O resultado da mesma medida possui agora um maior numero de algarismos: 9,4X UNI. Oalgarismo duvidoso encontra-se desta vez na segunda casa decimal, e nao mais na primeira.

2

0 1.0cm

1.3? cm

Figura 1.1: Medida de comprimento usando uma regua graduada em milmetros.

cm1.2 1.3

1.32? cm

Figura 1.2: Medida de comprimento usando um paqumetro, com precisao de decimos demilmetro.

Os algarismos (em numero mnimo 1) que expressam o resultado de uma medida saochamados algarismos significativos. Se tivessemos novamente subdividido cada subdivisao(ja realizada) em 10 partes, o resultado da medida poderia ser expresso por 3 algarismos seguidodo algarismo duvidoso, totalizando 4 algarismos significativos (por exemplo, 9,43? UNI). Aoanotar o resultado de uma medicao, o ultimo algarismo anotado e o algarismo duvidoso queesta sendo estimado. Da mesma maneira, le-se o resultado de uma medida realizada por outrapessoa, sendo sempre possvel saber a precisao do instrumento que foi utilizado para a medicao.

Podemos concluir destes resultados que o numero de algarismos significativos de umamedida nao e arbitrario, ou seja, nao podemos representar o resultado de uma medida comum numero qualquer de algarismos. So podemos incluir os algarismos que efetivamente forammedidos com o instrumento de medida utilizado. Logo, o numero de algarismos significativosdepende do instrumento de medida utilizado.

Por exemplo, se estamos utilizando uma regua graduada em milmetros (ou seja, comprecisao de milmetros), devemos expressar uma medida de maneira apropriada a refletir estaprecisao, como mostra a figura 1.1.

A mesma medida realizada com o paqumetro (que tem precisao de decimos do milme-tro) tera um algarismo significativo a mais, como pode ser observado na figura 1.1.

Os bons fabricantes de instrumentos de medida tomam o cuidado de nao marcar maissubdivisoes do que a precisao do instrumento permite. Por isso, podemos considerar, em geral,que o desvio (ou erro) introduzido pelo instrumento numa leitura e de aproximadamente metadeda menor divisao da escala do instrumento. A este desvio da-se o nome de desvio avaliado.Uma unica medida deve entao ser expressa como (medida desvio avaliado) unidade.Obs.: um desvio avaliado deve apresentar um unico algarismo significativo.

Veremos a seguir alguns criterios de operacoes com algarismos significativos.

1. soma e subtracao: procura-se conservar os algarismos da medida de maior ordem degrandeza. Por exemplo

10.2m + 0.543m = 10.7m

1Com isso estamos dizendo que, por exemplo, 5.64m e 005.64m possuem tres algarismos significativos, onde

4 centesimos e o algarismo duvidoso, representando uma mesma medida. Por outro lado, 5.64m e 5.640m

expressam medicoes diferentes.

3

Esta regra pode ser melhor compreendida se colocarmos um X apos o algarismo duvidosoem cada uma das parcelas da soma, ou da subtracao. O X estara nos dizendo que nadasabemos sobre aquele numero. A operacao de soma nos daria, entao:

10.2xxx+ 0.543x

10.7xxx

2. multiplicacao e divisao: o resultado deve ser expresso com o numero de algarismossignificativos da medida mais pobre em algarismos significativos, exceto nos casos em queo produto dos algarismos mais a esquerda ja fornece um numero com mais algarismosdo que os originais (por exemplo 8.1g x 5.23m/s = 45.1gm/s) . Nestes casos o resultadoda operacao apresentara um numero de algarismos igual ao da medida mais pobre emalgarismos mais um.

Exemplos:

1. 3.6s x 5.1m/s = 18.4m;

2. 2.386s x 3.0m/s = 7.2m;

3. 2.386s x 3.00m/s = 7.16m;

4. 2.386s x 3m/s = 7m;

5. 2.386s x 4.7m/s x 3.32g = 37.2gm.

Exerccio: Refaca as contas acima e mostre que estao corretas.

Segunda Parte: Desvios

Vimos que o resultado de uma medida possui um numero limitado de algarismos sig-nificativos. Isto decorre da limitacao da precisao de qualquer instrumento de medida utilizado.Entretanto, a natureza do instrumento nao e o unico fator a influir no resultado de uma medida.

1. Meca com o cronometro (pode ser o cronometro do relogio de pulso) o perodo do pendulosimples que pode ser montado com o equipamento disponvel em sua bancada. O perodoe o tempo necessario para que o pendulo complete um ciclo. Procure solta-lo sempre damesma altura, para evitar que as condicoes iniciais sejam modificadas.

2. Repita esta experiencia 10 vezes.

3. Construa uma tabela na qual conste o numero da medida e o perodo correspondente.

4. As medidas sao iguais?

5. Qual e o desvio avaliado do instrumento de medida (o cronometro)? Compare este desviocom as variacoes encontradas entre as medidas.

6. Quais os principais fatores que influenciaram os erros, ou desvios? (Ou melhor, por queas medidas sao diferentes?)

Como vimos na atividade anterior, nem sempre o erro corresponde a` metade da menordivisao da escala do instrumento de medida. Ha ainda uma margem de erro, nao devida aoinstrumento apenas, mas devida ao proprio processo de experimentacao.

4

1.2 Valor Medio e Desvio Medio

O valor medio e o valor mais provavel quando se faz uma serie de medidas da mesmagrandeza, sob as mesmas condicoes. O valor medio e dado por

V.M. de x ==xin

,

onde xi e a i-esima medida da grandeza x e n e o numero total de medidas.

O desvio de uma medida e a diferenca entre a medida e a media das medidas, isto e

i = xi ,com i sendo o desvio da i-esima medida em relacao ao valor medio (V. M.).

O desvio medio de uma serie de medidas e a media dos valores absolutos dos desviosde cada medida, dado por

=|i|n

.

Obs.: assim como o desvio avaliado, o desvio medio tambem deve conter apenas um algarismosignificativo. Numa serie de medidas, se fizermos o somatorio de i sobre todas as medidas,quanto maior for o numero de medidas realizadas, mais proximo de zero estara o resultado.Observe ainda que representa a media dos valores absolutos dos desvios i, e nao a simplesmedia destes (a qual nao serve para avaliar nada, pois e sempre igual a zero).

Temos ainda o desvio percentual da medida e o desvio percentual medio deuma serie de medidas que sao o desvio |i| e o desvio medio tomados em percentagem,respectivamente, ou seja,

i% =i

x100%

% =

x100%

Questoes

Com os resultados obtidos na segunda parte responda:

1. Qual o desvio medio e o desvio percentual medio do perodo do pendulo simples?

2. Escreva o resultado do experimento (medida do perodo do pendulo simples considerado)na forma correta.

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Pratica no 2

Escalas e Graficos

2.1 Objetivos

Construir graficos e obter relacoes funcionais entre grandezas fsicas atraves destes.

2.2 Introducao

Os resultados dos experimentos (ou os dados) amontoados desordenadamente nao nosfornecem qualquer informacao sobre a existencia, ou nao, de qualquer relacao entre eles. Umprocedimento que facilita a identificacao destas relacoes, se existirem, e a representacao graficados dados.

2.3 Primeira Parte: Escalas

Para a construcao de um grafico, primeiramente devemos definir o que e uma escala.Uma escala nada mais e do que um segmento de reta marcado com pequenos tracos transversais.A` distancia real entre dois desses tracos da-se o nome de passo. Cada um desses tracos estaassociado a um valor da grandeza fsica estudada. A` diferenca entre os valores da grandezafsica associados a dois tracos consecutivos da-se o nome de degrau. Vejamos um exemplo

p(passo) = 1cm; d(degrau) = 5g.

No exemplo acima, cada 1 cm no papel representa 5 g de massa.

Alem disso podemos definir o modulo de uma escala, isto e, a razao entre o passo e odegrau. O modulo, portanto, nos diz qual e a relacao existente entre as distancias no papel eas variacoes da grandeza fsica. No exemplo anterior tnhamos:

0 10 20 30m(g)

1 cm

p(passo)=1 cm; d(degrau)=5 g

Figura 2.1: Definicao de degrau e de passo.

6

M =passo

degrau=

p

d=

1

5cm/g = 1cm 5g,

significando que cada 1 cm na escala representa 5 g.

Podemos ter varios tipos de escalas, dependendo do passo considerado. Uma escala edita linear ou uniforme se o passo e constante (temos uma escala uniforme no exemplo acima),ou variavel, se o passo e variavel. Estas variacoes do passo costumam obedecer uma relacaofuncional (logartmica, potencial, etc.). A escala recebe o nome da funcao que determina avariacao do passo.

Para evitarmos um amontoamento dos dados em uma parte do grafico, ou seja, paraotimizarmos o aproveitamento do papel, devemos encontrar o modulo maximo, ou seja,

M comprimento do segmento de retaintervalo da grandeza medida

Por exemplo, se temos 10 cm para representar a velocidade de um corpo que varia de 0 a 15m/s, o modulo maximo e de 10cm

15m/s. Isto significa que a escala que melhor aproveitaria o papel

disponvel (10cm) seria aquela onde cada centmetro representasse 1.5 m/s. Nem sempre omodulo maximo e um numero inteiro, ou de facil manuseio. Nestes casos, podemos optar porum modulo menor. Deixaremos de aproveitar todo o papel em troca de termos uma escala maisrazoavel para leitura.

Lembretes:

i) nao e conveniente registrar os valores das grandezas medidas nos eixos, e nem tracarlinhas de chamada;

ii) nas extremidades dos eixos devem estar indicadas as grandezas correspondentes com asrespectivas unidades.

Exerccio 1: Construa uma escala de temperaturas, de 0o a 35oC, usando um segmento dereta de 10 cm.

7

escala vertical(eixo das ordenadas)

escala horizontal(eixo das abscissas)

0origem

pY

pX

Figura 2.2: Grafico cartesiano.

X1 X2

Y1

Y2

P1

P2

0

b

Y2-Y1

X2-X1

Y

X

Figura 2.3: Processo de determinacao da equacao de uma reta.

2.4 Segunda Parte: Graficos Cartesianos

O grafico cartesiano nos e bastante familiar, pois e construdo com a combinacao deduas escalas ortogonais (ou perpendiculares). O ponto de intersecao das duas escalas e chamadode origem do grafico. Note que a origem do grafico nao necessariamente coincide com as origensde cada uma das escalas. A` escala horizontal damos o nome de eixo das abscissas enquantoque a` escala vertical damos o nome de eixo das ordenadas.

A figura 2.2 mostra um exemplo de grafico cartesiano, com passos diferentes nos doiseixos.

2.5 Terceira Parte: Determinacao da Equacao de uma

Reta

Seja a reta, representando a relacao entre as variaveis x e y no grafico da figura 2.3.

Sabemos que a equacao de uma reta e da forma:

y = ax+ b

onde a e b sao parametros que tem um significado bem definido: a e o coeficiente angular dareta, ou seja, indica o grau de inclinacao da reta; b corresponde ao valor inicial da variavel (ou

8

grandeza) y, ou seja, e a ordenada y correspondente a` abscissa x = 0. Matematicamente temos:

x = 0 = y = b,

a =y2 y1x2 x1 =

cateto oposto a

cateto adjacente a =

sen

cos = tg

Experimento 1:

1. meca o perodo de oscilacao do pendulo simples para 6 diferentes comprimentos do fio(l=100 cm, 85 cm, 70 cm, 55 cm, 40 cm e 25 cm). Solte o pendulo sempre do mesmo jeito,a partir do repouso e com um angulo de abertura nao maior que aproximatamente 10o.Meca o tempo total correspondente a dez perodos completos de oscilacao do pendulo.Dividindo esse tempo total por dez, vai corresponder ao valor de um perodo completo deoscilacao do pendulo. Faca essa medida (conjunto de 10 perodos completos de oscilacaodo pendulo) mais 2 vezes (por que?). Faca uma tabela que associe o comprimento l dofio com o quadrado do perodo T 2 (use o valor medio das tres medidas de perodo paracada comprimento l do fio).

2. Construa um grafico cartesiano com esses dados, colocando T 2 no eixo das ordenadas e lna abcissa. Considere que o comprimento maximo disponvel para cada escala e de 10cm;

3. qual a vantagem em considerar T 2 no lugar de T no eixo das ordenadas, neste problema?

4. encontre a equacao que relaciona T 2 com l (consulte os livros textos de fsica).

Vejamos a seguir alguns metodos de determinacao da equacao da reta. Seja a funcao,que estabelece a relacao entre duas variaveis, uma reta ou tenha ela sido linearizada. A equacaogeral de uma reta e conhecida a menos dos parametros a e b. Podemos encontrar a equacao dareta especfica encontrando os coeficientes a e b atraves dos seguintes metodos.

1. Inclinacao e intersecao: Para encontrar os parametros a e b da reta basta considerarque a representa a sua inclinacao e b o valor da ordenada y da reta para o qual a abscissax e nula.

2. Pontos escolhidos: Como a equacao da reta nos deixa 2 parametros a serem determina-dos (a e b), podemos utilizar o metodo da geometria analtica, ou seja, tomamos 2 pontos(x e y) e escrevemos a equacao da reta para cada um deles. Com isso teremos 2 equacoese 2 parametros a determinar. Basta resolver o sistema para obtermos a e b.

(E importante que os pontos escolhidos estejam bem afastados e sobre a reta, para evi-tar que pequenos erros nas suas coordenadas acarretem grandes diferencas entre a retaverdadeira e a reta ajustada.)

Sejam os pontos escolhidos P1(x1, y1) e P2(x2, y2). Entao,

y1 = ax1 + b,

y2 = ax2 + b

y2 y1 = a(x2 x1) = a = y2 y1x2 x1 ,

y1 =y2 y1x2 x1x1 + b = b = y1

y2 y1x2 x1x1.

9

X1 X2

Y1

Y2

P1

P2

0 X

Y

Figura 2.4: Uma reta passando por dois pontos P1 e P2.

3. Medias: Para um dado xi seja yi o valor da ordenada correspondente, sobre a reta. Sejayi a ordenada do ponto experimental acima (+) ou abaixo () da reta. Consideramos

a reta um bom ajuste dos pontos experimentais se:

1

n

ni=1

yi =1

n

ni=1

yi =

ni=1

yi ni=1

yi = 0,

onde n e o numero de pontos experimentais.

Mas,

yi = axi + b =ni=1

yi = ani=1

xi + nb.

Logo,

ani=1

xi + nbni=1

yi = 0 =ni=1

yi = a

ni=1

xi + nb.

Como temos 2 coeficientes a determinar, a e b, podemos dividir a tabela disponvel emduas partes e aplicar a equacao acima a cada uma das partes separadamente. Com as 2equacoes resultantes podemos montar um sistema cuja solucao nos fornece a e b.

A grande vantagem desse metodo em relacao aos 2 anteriores e que ele nao dependede uma reta previamente desenhada entre os pontos experimentais. Ao contrario, ele baseia-seapenas nos pontos experimentais e, uma vez obtidos os parametros da reta media, a escolha dequaisquer dois valores de x, nos fornece os valores de y correspondentes, gerando dois pontosque, se interligados, darao origem a` reta que melhor se ajusta aos dados experimentais.

Exerccio 2: Com a tabela obtida no experimento 1 (l x T 2):

1. obtenha a equacao que relaciona l com T 2 atraves do metodo das medias;

2. desenhe a reta media encontrada no item anterior e compare-a com a reta media estimadano experimento 1.

10

0 10 15 cm5 20

41 2 3 5 6 10987 20 30 40 50 60 7080

90100

2.6 Quarta Parte: Escalas Logartmicas - Um Exemplo

de Escala Variavel

Uma escala variavel recebe o nome da funcao escolhida para representa-la. Uma escalae dita logartmica se o passo varia logaritmicamente. Esta escala e dita ser de 1, 2 ou 3 decadasse o domnio da funcao inclui 1, 2 ou 3 potencias de 10, respectivamente.

O modulo, nestas escalas, e calculado como segue: sabendo-se o comprimento maximodisponvel para a construcao da escala, e que a grandeza fsica varia entre xi e xj,

M =passo

degrau=

L

|f(xi) f(xj)| =L

| log(xj) log(xi)| .

Por exemplo, seja uma escala a ser construda sobre um segmento de reta de 20cm (L =20cm). Se quisermos construir uma escala logar tmica de 2 decadas devemos calcular o modulocorrespondente a cada decada (que se utilizara de metade do espaco disponvel, isto e,

M =10cm

| log(10) log(1)| = 10cm.

O modulo nos permite descobrir qual e a distancia, a partir da origem, que coincidiriacom o valor do logaritmo de um determinado numero. Desse modo, ao construrmos a escala,colocaramos os tracos nao nas posicoes dos numeros que correspondem a` grandeza fsica es-tudada, mas sim nas posicoes dos seus logaritmos. Para isso vamos definir Lxi como sendo adistancia, a partir da origem, do logaritmo de xi. Este e dado, entao, por

Lxi = M | log(xi) log(1)|,lembrando que log(1) = 0.

Portanto,

Lx(x = 1) = M | log(1) log(1)| = 0,Lx(x = 2) = M | log(2) log(1)| = 10x0.30 = 3.0,Lx(x = 3) = M | log(3) log(1)| = 10x0.48 = 4.8,Lx(x = 4) = M | log(4) log(1)| = 10x0.66 = 6.0,Lx(x = 5) = M | log(5) log(1)| = 10x0.70 = 7.0,Lx(x = 6) = M | log(6) log(1)| = 10x0.78 = 7.8,Lx(x = 7) = M | log(7) log(1)| = 10x0.85 = 8.5,Lx(x = 8) = M | log(8) log(1)| = 10x0.90 = 9.0,Lx(x = 9) = M | log(9) log(1)| = 10x0.95 = 9.5,Lx(x = 10) = M | log(10) log(1)| = 10x1 = 10.

A escala, construda com estas condicoes, tem a forma

Ha papeis proprios para graficos em escala logartmica. Estes sao o papel mono-loge o papel di-log, dependendo se apenas um dos eixos ou ambos sao apresentados em escalalogartmica, respectivamente.

11

O uso de tais escalas pode ser muito util na linearizacao de curvas experimentais. Porexemplo, se uma distribuicao de pontos experimentais e bem representada por uma funcaoexponencial, podemos transforma-la numa reta se tomarmos o logaritmo em ambos os lados daexpressao, ou seja,

y = ex

pode ser linearizado se fizermos

log(y) = log(ex) = xlog(e) + log()

que representa a equacao de uma reta se substituirmos log(y) por y.

Um procedimento analogo transforma uma funcao potencia numa reta, atraves de umamudanca de variavel (y log(y) e x log(x)).

Exerccio 3: linearize a funcao y = x.

Exerccio 4: utilize escalas logartmicas para linearizar a curva do experimento 1 eencontre a equacao da reta a partir desse novo grafico.

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Pratica no 3

Tratamento Estatstico de Dados ePropagacao de Erros

3.1 Introducao

Como foi mostrado na aula sobre medidas e desvios, o resultado de uma medida deve serapresentado da seguinte forma:

x = (AA)x10nu,onde

- A e o valor numerico da grandeza x obtido atraves de uma ou mais medidas (neste ultimocaso A e o valor medio de uma serie de medidas).

- A e o valor numerico da indeterminacao (ou desvio) da medida. Este corresponde aodesvio avaliado do instrumento de medida, no caso de uma unica medida, e ao desviomedio (acrescido ou nao do desvio avaliado), no caso de uma serie de medidas.

- n e a potencia de dez (quando representado em notacao cientfica).- u e a unidade da grandeza x (por exemplo, metro (m) no caso de x ser um comprimento).

De um modo geral podemos classificar os erros, ou desvios, em 2 grupos: erros sis-tematicos e erros estatsticos (ou acidentais).

Os erros sistematicos sao devidos a fatores que agem, afetando os resultados, sempreda mesma maneira. Costumam ocorrer devido a:

i) erros na calibracao de instrumentos,ii) procedimento incorreto do experimentador,iii) fatores que sao desprezados incorretamente,iv) defeito nos instrumentos.

Os erros estatsticos sao aqueles devidos a fatores casuais que se verificam ora numsentido ora noutro. Suas causas mais comuns sao: i)variacoes de temperatura, rede eletrica,umidade do ar, etc., ii)erros de julgamento (estimativa da fracao da menor divisao da escala,por exemplo), iii)erros devidos a` natureza da grandeza fsica a ser medida.

Os erros sistematicos devem ser eliminados (ou minimizados ao maximo) pelo exper-imentador. Ja os erros estatsticos sao incontrolaveis. No entanto, estes ultimos, quandodecorrem de um grande numero de causas, obedecem a leis matematicas que nos permitemtirar conclusoes importantes sobre um dado fenomeno, mesmo que as medidas estejam sujeitasa erros.

13

| | | | |10,00,0 2,0 4,0 6,0 8,0

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0

5

10

Figura 3.1: Exemplo de um histograma.

Primeira Parte

3.2 Histogramas e a Funcao Densidade de Probabilidade

Um histograma e um bom modo de representacao de um conjunto de dados em uma me-dida. Um histograma e construdo lancando-se no eixo horizontal valores para certa grandeza,que esteja sendo medida, e no eixo vertical a frequencia com que tal valor ocorre durante arealizacao daquela medida. Por exemplo, ao lancarmos as notas de 36 alunos, as quais variamentre 0 e 10, podemos organiza-las atraves de um histograma, da seguinte forma: agrupamosas provas em funcao das notas, por exemplo,

- 5 provas com notas entre 0 e 2,0;- 8 provas com notas entre 2,1 e 4,0;- 13 provas com notas entre 4,1 e 6,0;- 6 provas com notas entre 6,1 e 8,0;- 4 provas com notas entre 8,1 e 10.

No histograma lancamos os intervalos das notas no eixo horizontal e a frequencia dasnotas (ou numero de provas com tais notas) no eixo vertical, como mostrado na figura 3.1.

3.3 Procedimento

1. Construa um pendulo simples, de fio de comprimento fixo de L=100 cm. Meca o perodoT . Repita mais 99 vezes essa medida, de tal forma a ter um conjunto total de 100 medicoesdo perodo do pendulo, sempre soltando da mesma forma

2. obtenha o valor medio do perodo do pendulo.

14

3. obtenha o desvio de cada um dos dados, em relacao ao valor medio.

4. construa um histograma colocando os perodos medidos no eixo horizontal e o numero dedados correspondentes a cada perodo (correspondente a certa faixa de valores entre umvalor mnimo e maximo) no eixo vertical.

3.4 Questoes

1. qual e o valor do perodo que tem maior probabilidade de ocorrer? Qual e o seu desvio?

2. qual valor do perodo deve estar mais proximo do valor verdadeiro.

Segunda Parte

3.5 Funcao Densidade de Probabilidade: a Distribuicao

Normal (ou Curva de Gauss)

Na experiencia anterior vimos que o valor medio de um conjunto de dados xi nos fornece ovalor mais proximo possvel do valor verdadeiro da medida da grandeza x, uma vez que ovalor medio concentra o maior numero de resultados. O valor verdadeiro, no entanto, nao econhecido. Se aumentarmos o numero de dados da amostra (ou seja, se tivessemos realizado1000, 10000 ou 100000 medidas ao inves de 100) teramos o valor medio ainda mais proximodo valor verdadeiro da medida. Desse modo, se fosse poss vel estender este numero para teramos o valor verdadeiro da medida e este coincidiria com o valor medio da amostra.

Embora o valor medio seja o mais provavel, como vimos, ele nao e o unico possvel.Todos os demais tambem podem ocorrer numa medida, embora com menores probabilidades.Para encontrarmos a probabilidade de ocorrencia de cada resultado numa medida devemosdividir o numero de vezes que tal resultado foi obtido pelo numero total de dados (ou eventos).

3.6 Procedimento

1. encontre a probabilidade de ocorrencia de cada resultado no experimento anterior e con-strua um novo histograma lancando agora o desvio de cada medida no eixo horizontal ea probabilidade correspondente no eixo vertical.

2. calcule a soma de todas as probabilidades. O que isso significa?

A funcao de probabilidade representa a curva que descreve a distribuicao de probabili-dades para cada valor (ou intervalo) de uma medida.

Uma quantidade importante na caracterizacao de um experimento, ou um conjunto dedados, e a variancia, que por sua vez, nos fornece o desvio padrao da amostra. Estes sao dadospor

2 =i

2

(n 1) , variancia,

15

= 2, desvio padrao.

A variancia nos diz o quao espalhados estao os dados em torno do valor medio. Quando agrandeza tem um valor verdadeiro (medida do comprimento de um objeto, por exemplo), 2

esta relacionada a` precisao do experimento. Quando a grandeza nao tem um valor verdadeiro(notas de provas de Mecanica), 2 esta relacionada a` forma com que a grandeza (nota) variaem torno da media.

Existem diferentes funcoes de probabilidade, umas mais adequadas que outras, depen-dendo do problema estudado. No caso de medidas, estas frequentemente seguem a distribuicaonormal, dada por

F (x < x >) = 12pi

e(x)2

22 ,

onde F (x < x >) e a probabilidade de obtermos, numa medida, um valor cujo desvio sejax < x >.

Substituindo 1/22 por h2, conhecido como modulo de precisao, temos

F (x < x >) = h2pi

e(x)2h2 .

Quanto maior for h (ou menor for ) mais aguda sera a curva resultante. Logo, os erros maioresterao uma pequena probabilidade de ocorrencia, significando que a precisao do experimento egrande. Se h for pequeno ( grande) a curva sera achatada (ou espalhada) revelando baixaprecisao do experimento (havera um numero consideravel de medidas com grandes desvios). Aarea delimitada pela curva F , entre os desvios e + fornece a probabilidade de um resultadodaquela medida nao diferir mais do que do valor verdadeiro. Para uma distribuicao normal,se escolhemos como sendo esta probabilidade e de 68%.

16

Terceira Parte

3.7 Propagacao de Erros

1. discuta as possveis respostas, e o que a intuicao indica quanto ao erro do resultado,quando trabalhamos com as quantidades: A=10011 e B=21 nas operacoes matematicasabaixo (sugestao: faca as operacoes com os extremos de cada quantidade)

a) A+ B e AB,b) A B e A/B.

2. Um grupo de pesquisadores mediu o diametro do Sol e encontrou l=1390600km comum l=400km. Compare esta medida com a medida de A e escolha a afirmacao maisadequada:

a) a medida de A e melhor do que a medida do diametro do Sol;b) a medida de A e pior do que a medida do diametro do Sol;c) nao posso compara-las.

Justifique sua resposta.

3. calcule:

a) o desvio perccentual de A;b) o desvio percentual do diametro do Sol;c) que medida teve maior desvio percentual? O que isso significa?

Nos trabalhos experimentais e frequente a obtencao de medidas indiretas atraves douso de relacoes funcionais que expressam leis entre duas ou mais grandezas fsicas.

Suponhamos que a grandeza V a ser determinada seja uma medida indireta por serobtida a partir da funcao f , que a relaciona V com as grandezas x e y, que sao medidasdiretamente, ou seja,

V = f(x, y),

onde, por exemplo, x poderia ser o comprimento da bancada, y a sua largura e V a areada bancada. x e y seriam as grandezas medidas diretamente enquanto que V seria obtidaindiretamente atraves de f . Qual sera o desvio V ?

Para respondermos a esta pergunta precisamos lancar mao do calculo diferencial. Se oaluno ainda nao estiver familiarizado com o calculo diferencial podera saltar as demonstracoese considerar os resultados diretamente. No entanto, tao logo se familiarize podera voltar a estaetapa e compreender as regras de propagacao de erros com maior clareza.

Uma pequena variacao em x e y levara a uma pequena variacao em V , chamada dife-rencial total, ou seja,

dV =f

xdx+

f

ydy.

Podemos considerar dx e dy como os desvios nas grandezas x e y e dV como o desvio nagrandeza V , desde que os desvios sejam pequenos comparados a`s grandezas correspondentes.Neste caso podemos escrever a equacao acima como

17

V =f

xx+

f

yy.

Se x e y possurem sinais bem definidos, V representa o desvio (ou desvio absoluto)da grandeza V . Se x e y forem precedidos do sinal , V sera dado pelo maior valor domodulo da expressao acima, isto e

|V | = |fx

x+f

yy|max. = |f

xx|+ |f

yy|.

O desvio relativo percentual sera entao dado por

V% =|V ||V | 100% = |

f

x

x

V|+ |f

y

y

V|100%.

Vejamos a seguir alguns exemplos:

1. V = f(x, y) = x+ y

V = |fx

x|+ |fy

y| = |x|+ |y|;

2. V = f(x, y) = x y

V = |fx

x|+ |fy

y| = |x|+ |y|;

PRIMEIRA REGRA: se a operacao for de soma ou de subtracao o erro, ou odesvio, e a soma dos valores absolutos dos desvios.

3. V = xy

V = |fx

x|+ |fy

y| = |yx|+ |xy|,

e o desvio relativo de V e dado por

|V ||V | =

V/x

xy

+V/y

xy

=

yx

xy

+xy

xy

=x

x

+y

y

SEGUNDA REGRA: se a operacao for de produto ou divisao, o erro relativoe igual a` soma dos erros relativos de cada parcela.

4. V = f(x) = Axn V = |Vxx| = |Anxn1x|. Portanto,

V

V= |Anx

n1x

Axn| = |nx

x| = n|x

x|.

Ou,

18

|v| = y|x|+ x|y|.

TERCEIRA REGRA: se a operacao for de potencia (V = xn), o erro relativoe igual a n vezes o erro relativo da grandeza envolvida.

Ou,

|V | = Anxn1|x|.

Exerccio:faca os seguintes calculos:

a) < v >= st, onde s=(15.60.2)cm e t=(2.10.2)s;

b) x = v0t+12at2, onde t=(35.80.5)s, a=(0.530.03)m/s2 e v0=(10.20.1)m/s.

19

Pratica no 4

Velocidade Media X VelocidadeInstantanea

4.1 Objetivo

Verificar a relacao existente entre velocidade instantanea e velocidade media.

4.2 Introducao

A velocidade media de um corpo e definida como a razao entre o deslocamento docorpo e o intervalo de tempo transcorrido durante tal deslocamento, isto e,

< ~v >=~r

t=

x

t~+

y

t~j +

z

t~k.

No caso de um movimento unidimensional, podemos reescrever a expressao acima como

< v >=x

t=

xb xatb ta .

< v > representa o coeficiente angular da reta que une os pontos cujas coordenadas sao (ta, xa)e (tb, xb), como pode ser visto na figura 4.1.

t a t b

xb

t -t ab

xb -x a

x(m)

t(s)

xa

Figura 4.1: Relacao entre posicao e tempo em um movimento unidimensional.

20

t t

x(m)

t(s)

t)x(t+

x(t)

+ t

t 0

t

Figura 4.2: A velocidade instantanea e a derivada da posicao em relacao ao tempo.

A velocidade media nos diz quao rapidamente o corpo se desloca de sua posicao inicial(xa) ate sua posicao final (xb) mas nada nos diz sobre como e este movimento. Por exemplo, ocorpo poderia percorrer todo o espaco com velocidade constante (neste caso sua velocidade, acada instante de tempo, seria a propria velocidade media) ou poderia partir com determinadaaceleracao, parar por alguns instantes e, em seguida, continuar seu caminho com velocidade con-stante. Se, para realizar o percurso total, o corpo gastar o mesmo intervalo de tempo, os doismovimentos apresentarao mesma velocidade media. Se quisermos conhecer o verdadeiro movi-mento do corpo, em cada instante de tempo, devemos conhecer a sua velocidade instantanea,isto e

v(t) = limt0

x

t=

dx

dt.

v(t) representa o coeficiente angular da reta tangente a` curva x(t) no instante t, como pode servisto na figura 4.2.

Em outras palavras, para conhecermos a velocidade de um corpo num exato instantede tempo t devemos calcular a sua velocidade media entre dois instantes de tempo t e t+t.E claro que este seria um valor aproximado para a sua velocidade instantanea. Quanto menorfor o t considerado, mais proximo do valor exato da velocidade instantanea estara o nossoresultado. Por isso definimos a velocidade instantanea como sendo o limite de quando t tendea zero de x

t. O experimento a seguir nos permite verificar o que foi dito ate aqui.

4.3 Material Necessario

- cronometro com 2 sensores oticos,- trilho de ar com 1 planador,- suporte para elevar uma das extremidades do trilho de 1 ou 2 cm.

4.4 Procedimentos

1. Eleve uma das extremidades do trilho de ar utilizando um suporte de 1 ou 2 cm.

2. Escolha um ponto x1 a` aproximadamente 1/4 da extremidade mais baixa do trilho de are anote a posicao de x1.

3. Coloque um sensor otico a` aproximadamente 100 cm de x1 e outro em x1.

21

4. Prepare o cronometro para a posicao PULSE. Desta forma o cronometro sera disparadoquando a luz do primeiro for interrompida e sera desligado quando a luz do segundo forinterrompida.

5. Pressione o botao RESET, para limpar o mostrador do cronometro.

6. O planador sera colocado na extremidade mais alta do trilho e abandonado, sempre destamesma posicao. Registre o intervalo de tempo transcorrido entre as passagens do planadorpelos dois sensores oticos. Repita a experiencia 5 vezes.

7. Aproxime o primeiro sensor daquele colocado em x1 em 5cm e repita o item anterior.Continue diminuindo a distancia de 5 em 5 cm e reobtanha os tempos correspondentes.

8. Construa uma tabela que inclua a distancia entre os dois sensores, os 5 tempos medidose o tempo medio para cada tomada de valores de t. Obtenha os desvios de cada medidade tempo (t ti) e o respectivo desvio medio. Calcule a velocidade media para cadaexperimento (para cada distancia entre os dois sensores oticos).

9. Construa um grafico de velocidade media x distancia.

4.5 Questoes:

1. Qual das velocidades medias que voce obteve mais se aproxima da velocidade instantaneado planador, quando este passa pela posicao x1?

2. Como voce poderia obter uma velocidade media mais proxima da velocidade instantaneado planador para x1? Dos seus dados estime o erro maximo que voce espera para a suavelocidade instantanea?

3. Na determinacao de uma velocidade instantanea que fatores (precisao do cronometro,tipo de movimento, objeto de estudo, etc.) influenciam a precisao das medidas? Discutacomo cada fator influe no resultado.

4. Voce poderia imaginar um ou mais modos de medir a velocidade instantanea diretamente,ou a velocidade instantanea e sempre uma grandeza que deve ser obtida a partir demedidas de velocidade media?

22

Pratica no 5

Cinematica Sobre um Plano Inclinado

5.1 Objetivos

Investigar como varia a velocidade de um objeto sujeito a aceleracao constante.

5.2 Material necessario

- cronometro com um sensor otico- trilho de ar com um planador- suporte para elevar uma das extremidades do trilho de 1 ou 2 cm

5.3 Procedimento

1. eleve uma das extremidades do trilho de ar utilizando um suporte de 1 ou 2 cm;

2. acople um pino na parte superior do planador. Mova o planador de modo que o pinointerrompa a luz do sensor otico. Meca o comprimento util do pino, isto e, o comprimentoque efetivamente e percebido pelo sensor otico (para isso verifique a posicao de um pontofixo no planador no momento em que a luz e interrompida acende a luz do LED sobreo sensor e em seguida verifique a posicao deste mesmo ponto quando a luz deixa deser interrompida apaga a luz do LED. A distancia entre estas duas posicoes fornecera ocomprimento desejado);

3. registre a localizacao do ponto medio deste comprimento, que sera chamado de x1 (esteponto deve estar aproximadamente no centro do sensor otico);

4. prepare o cronometro para a posicao GATE. Desta forma o cronometro registrara o in-tervalo de tempo durante o qual a luz e interrompida;

5. pressione o botao RESET para limpar o mostrador do cronometro;

6. coloque o planador 5 cm acima da posicao x1 e largue-o. Repita este procedimento 3vezes e obtenha o tempo medio;

7. desloque a posicao inicial do planador para 10, 15, 20, 25,...50 cm acima do ponto x1.Repita os passos 5 e 6 acima.

23

5.4 Dados e calculos

1. calcule a velocidade final, em x1, para cada distancia no eixo horizontal;

2. construa um grafico de velocidade ao quadrado x distancia, com a distancia no eixohorizontal;

3. Obtenha a relacao matematica entre a velocidade do planador sobre o plano inclinado ea distancia percorrida ao longo do plano (equacao que relaciona v2 com deslocamento d).

5.5 Questoes

1. as equacoes padrao para o movimento com aceleracao constante (se este e iniciado dorepouso) sao:

x =1

2at2 e v = at.

Elimine t destas equacoes e determine a relacao entre x e v.

2. Usando seu resultado e seu grafico, voce poderia determinar a aceleracao do planadordurante seu movimento de descida sobre o plano inclinado? Se voce avaliar que sim,determine-a e explique o procedimento utilizado.

3. a partir de sua resposta anterior, escreva a equacao de movimento para o planador ace-lerado, dando sua posicao em funcao do tempo. Por que as equacoes de movimento saomais frequentemente apresentadas em funcao do tempo e nao em funcao da posicao?

4. descreva como voce poderia determinar a aceleracao local da gravidade, neste experi-mento, supondo que o ar ejetado dentro do trilho seja capaz de eliminar todo o atritoexistente entre o planador e o plano.

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Pratica no 6

Queda Livre.

6.1 Objetivo

Determinacao da aceleracao devida a` gravidade

6.2 Introducao

Desde Galileu sabe-se que corpos largados proximo da superfcie da Terra, independentede sua forma, densidade ou massa, caem com a mesma aceleracao. Esta aceleracao, devida a`atracao gravitacional da Terra exercida sobre esses corpos, e denominada de aceleracao dagravidade g.

O movimento de queda livre de corpos proximos da superfcie da Terra pode ser descritopela equacao horaria para um movimento uniformemente acelerado (aceleracao g constante)dada por:

y(t) = y0 + v0t 12gt2

onde y0 e v0 sao a posicao e velocidade iniciais (t = 0) do movimento e escrevemos y(t) tomandoum referencial vertical com sentido positivo para cima. Neste caso a aceleracao g tem sentidooposto, para baixo, o que resulta no sinal negativo no termo quadratico em t.

No experimento a seguir verificaremos a equacao horaria e determinaremos o valor daaceleracao da gravidade g.

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6.3 Material Necessario

- Um cronometro eletronico;- Um mecanismo de soltura;- Um sensor de impacto;- Duas esferas de aco, uma de 13 mm e outra de 16 mm de diametro.

6.4 Procedimento

1. Prenda a esfera de 13 mm de diametro no mecanismo de soltura, certificando-se que omesmo se encontra na posicao vertical.

2. Coloque o sensor de impacto a uma distancia d de aproximadamente 2 m, diretamenteabaixo da esfera, tal que a esfera caia no meio do sensor. Meca a distancia d o melhorque puder e anote-a.

3. Ligue o cronometro e pressione o botao RESET;

4. Largue a esfera metalica usando o sistema de soltura;

5. Leia o tempo de queda no cronometro e anote como t1. Repita a medida de tempo maisquatro vezes, anotando os valores como t2 a t5 (nao esqueca de pressionar o botao RESETa cada tomada de tempo.)

6. Calcule a media dos tempos e anote-a como tm.

7. Repita todo o procedimento acima (passor 4 a 6) tomando d aproximadamente como 1,75m; 1,50 m; 1,25 m; 1,00 m; 0,75 m e 0,5 m.

8. Repita os passos 1 a 7, usando agora a esfera de 16 mm de diametro.

9. Construa uma tabela contendo os valores de d, t1 a t5, tm e t2m para cada esfera.

10. Construa um grafico de d contra t2m, representando d no eixo-y.

26

6.5 Analise e Questoes

1. Dentro dos limites de precisao do experimento, os pontos experimentais definem umalinha reta para cada esfera?

2. A aceleracao e constante para cada esfera?

3. Se os graficos forem lineares, meca o coeficiente angular de cada curva d t2m.4. Discuta os resultados obtidos.

5. Discuta os errors envolvidos nas medidas e como eles afetam suas conclucoes. Discutacomo poderia ser alterada sua tecnica, ou experimento, de modo de reduzir os errorsexperimentais.

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Pratica no 7

Determinacao da Velocidade Inicial emum Lancamento Horizontal de umProjetil.

7.1 Objetivo

Determinacao da aceleracao devida a` gravidade

7.2 Introducao

Um problema particularmente importante em cinematica em duas dimensoes e o demovimento de projeteis: um projetil (ou corpo) que e lancado ao ar, com uma velocidade inicialfazendo um certo angulo com a horizontal. A velocidade possui portanto duas componentes:uma vertical e uma horizontal. No movimento na vertical, age sobre o projetil a aceleracaoda gravidade, de modulo g ' 9, 8m/s2 e dirigida para baixo. O movimento na vertical eportanto aquele de um movimento retilneo uniformemente acelerado. Na horizontal nao hacomponente da aceleracao atuando sobre o projetil e o movimento na horizontal e portanto ummovimento retilneo uniforme de velocidade sempre constante. Se v0x e v0y sao as componentesda velocidade inicial em x (horizontal) e y (vertical), respectivamente, e x0 e y0 sao as posicoesiniciais (horizontal e vertical, respectivamente) de lancamento do projetil, entao as equacoeshorarias descrevendo o movimento do projetil sao:

x = x0 + v0xt e y = y0 + v0yt 12gt2

onde orientamos o eixo y para cima (sentido oposto de g).

Neste experimento determinaremos a velocidade inicial diretamente, com o auxlio docronometro eletronico e a compararemos com o valor obtido via o movimento do projetil.Tomaremos o chamado lancamento horizontal, onde v0y = 0.

28

7.3 Material Necessario

- Um cronometro eletronico;- Uma rampa de 50cm;- Uma esfera de aco;- Fio de prumo;- Papel carbono;- Trena ou fita metrica.

7.4 Procedimento

1. Monte o aparato de medicao de tal modo que a bola ao rolar plano abaixo, interrompa ofeixe do cronometro acionando-o ao rolar sobre a mesa.

2. Meca cuidadosamente o comprimento efetivo da esfera de aco sentido pelo cronometroeletronico, do seguinte modo: Coloque uma folha de papel sobre o cronometro. Com oauxlio da rampa ou outro objeto apropriado, empurre cuidadosamente a esfera atravesdo feixe do cronometro, marcando sobre o papel o ponto onde primeiro o cronometroe acionado (o LED acende) e onde o cronometro e parado (o LED apaga). Meca estadistancia e anote-a como d.

3. Use o fio de prumo para determinar o ponto diretamente abaixo onde a esfera ira deixara mesa, depois de rolar abaixo pela rampa. Meca a distancia do chao ao topo da mesano ponto onde a esfera deixa a mesa e anote esta altura como y0.

4. Para medir a posicao onde a bola ira cair no chao, fixe, na posicao aproximada de quedada esfera, uma folha de papel sobre o chao com uma folha de papel carbono sobre esta.O impacto da esfera deixara uma marca sobre a folha de papel apropriada para medicao.

5. Prepare o cronometro para o modo GATE e pressione o botao de RESET. Coloque aesfera num ponto qualquer sobre a rampa e anote esta posicao com um lapis tal que vocepossa sempre soltar a esfera deste mesmo ponto sobre a rampa. Solte a esfera tal que eladesca a rampa e passe atraves do cronometro. Anote este tempo.

6. Repita o experimento mais quatro vezes, sempre soltando a esfera do mesmo ponto sobrea rampa, e anote os tempos lidos no cronometro.

7. Meca a distancia do ponto diretamente abaixo da mesa (ponto dado pelo fio de prumoanteriormente) a cada uma das marcas deixadas pela queda da esfera sobre a folha depapel. Anote estas distancias, juntamente com os tempos do item anterior, numa tabela.

29

7.5 Analise dos Dados e Calculos

1. Calcule a media dos tempos e distancias medidas. Anote estas medias na tabela de dados.Anote a media das distancias como dx.

2. Divida d pela media dos tempos para determinar v0x, a velocidade da esfera logo antesdela deixar a mesa.

3. Das equacoes horarias em x e y para o movimento de um projetil, escreva y como funcaode x, eliminando o tempo nas equacoes, e usando esta equacao e os valores de dx e y0,determine o valor de v0x. Use g = 9.8m/s

2.

4. Compare os dois valores obtidos para v0x. Calcule a diferenca percentual entre os valores.

5. Discuta os resultados obtidos.

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Pratica no 8

Segunda Lei de Newton

8.1 Objetivo

Investigar a validade da segunda lei de Newton.

8.2 Introducao

Os princpios basicos da dinamica foram formulados por Galileu e Newton. Em nossodia-a-dia sabemos que o movimento de um corpo e consequencia da interacao deste com osoutros corpos em sua vizinhanca. Tais interacoes sao representadas matematicamente atravesdo conceito de forca.

Para enunciar a segunda lei, Newton definiu uma quantidade ~p, que chamou de quan-tidade de movimento, hoje mais conhecida como momento linear, dada por

~p = m~v.

O enunciado original da segunda lei diz que:

a forca aplicada a uma partcula e igual a` variacao temporal do seu momentolinear,

ou seja,

~F =d~p

dt=

d(m~v)

dt.

No caso de nao haver variacoes da massa da partcula durante seu movimento,

~F = md~v

dt= m~a.

Observe que a primeira lei, ou a lei da inercia, pode ser obtida a partir da segunda lei,ou seja, se a forca resultante que atua sobre uma partcula e nula, a sua aceleracao deve sertambem nula (como pode ser visto da segunda lei, no caso de massa constante) e, portanto, apartcula realizara um movimento retilneo uniforme ou estara em repouso.

8.3 Material necessario

- cronometro com dois sensores oticos- trilho de ar com um planador

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- fio- uma roldana- um porta-peso- massas- um gancho com encaixe- placa com pino de encaixe.

8.4 Procedimento

1. nivele o trilho de ar cuidadosamente, ajustando os parafusos no pe do trilho (para isto,ligue o compressor de ar e apoie o planador no trilho. Este estara nivelado se o planadornao estiver acelerado);

2. encaixe o gancho na parte dianteira do planador. No lado oposto do planador fixe a placacom pino de encaixe. Este pino servira de contra-peso, para contrabalancar o peso dogancho;

3. adicione 60g de massa ao planador, utilizando as massas de 10 a 20g, distribuindo-assimetricamente de modo a manter o planador balanceado. Determine a massa total doplanador, acrescido das massas (M);

4. prenda uma das extremidades do fio no gancho do planador e passe-o pela roldana;

5. coloque uma massa de 1g na extremidade livre do fio (m);

6. prepare o cronometro para a posicao GATE;

7. solte o planador de uma posicao x0 fixa. Ele devera passar por dois sensores oticosdispostos em posicoes tambem fixas;

8. meca t1, o tempo durante o qual o planador passa pelo primeiro sensor, e t2, o tempocorrespondente a` passagem pelo segundo sensor. Repita esta medida dos tempos t1 e t2quatro vezes. Encontre os tempos t1 e t2 medios. (Obs.: use a funcao memoria paradeterminar os dois tempos);

9. prepare o cronometro para a posicao PULSE;

10. coloque o planador em x0 e solte-o. Registre o tempo t3 transcorrido durante a passagemdo planador entre os dois sensores;

11. varie a massa m (do porta-peso) transferindo massa do planador para o porta-peso (destemodo a massa total do sistema m+M permanecera inalterada). Repita os passos 8 a` 15.Tente repetir o experimento para, pelo menos, quatro diferentes combinacoes de massas;

12. agora utilize a massa m inicial (no porta-peso) e mantenha-a fixa. Varie apenas a massado planador (M). Repita os passos 8 a 15 novamente para, no mnimo, quatro valores deM .

8.5 Dados e Calculos

Para cada combinacao de massas M e m:

32

1. determine as velocidades v1 e v2, ou seja, a velocidade media do planador ao passar porcada um dos sensores oticos;

2. a partir da equacao v2 = v1 + at3 determine a aceleracao media do planador ao percorrero caminho entre os sensores;

3. determine a forca peso do porta peso em cada situacao.

8.6 Analise e questoes

1. faca um grafico representando a aceleracao media em funcao da forca peso do porta-peso,no caso com massa total constante. Este grafico sugere alguma relacao entre forca aplicadae a aceleracao do sistema? Qual? Ela esta de acordo com a segunda lei de Newton?

2. Usando a segunda lei de Newton, e com a ajuda do grafico do item anterior, deduza amassa do planador com os ganchos M (sem as massas adicionadas) e compare-a com amassa medida com a balanca.

3. faca um segundo grafico representando a aceleracao media em funcao do inverso da massatotal do sistema (1/(M +m));

4. discuta seus resultados. Neste experimento voce considerou a aceleracao constante. Comovoce poderia certificar-se, experimentalmente, que a aceleracao instantanea e de fatoconstante?

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Pratica no 9

Lei de Hooke

9.1 Objetivo

Construcao de um dinamometro.

9.2 Introducao

Quando penduramos uma massa m na extremidade livre de uma mola, que tem a outraextremidade fixa, como na figura 9.1, que forcas agem sobre m?

Se m esta em equilbrio, pela segunda lei de Newton, a resultante das forcas que agem sobre eladeve ser nula. Sabemos que a Terra atrai m para o seu centro (e pela terceira lei de Newton, matrai a Terra para si). Para que m permaneca em equilbrio e necessario entao que haja umaforca contraria a` forca gravitacional mas com a mesma intensidade. Esta e a forca elastica damola.

Obs.: Na figura 9.2, ~Fel e ~P agem no mesmo corpo de massa m e, embora tenham mesmaintensidade e direcao e sentidos opostos, nao constituem um par acao-reacao. Explique porque.

Uma mola pode ser usada como um otimo instrumento de medida de forca. Na verdade,a maior parte das balancas (que medem a forca peso e a converte em massa) se utilizam de

sistemas de molas. No exemplo da figura anterior, vemos que quanto maior for ~P maior teraque ser ~F para que o corpo permaneca em equilbrio. Da nossa experiencia com molas sabemosque, quanto maior for ~P , maior sera o alongamento da mola. Logo, a forca elastica ~Fel deve serproporcional ao deslocamento x (alongamento da mola em relacao a` sua posicao de equilbrioquando nao distendida). Mas nem toda mola tera um mesmo alongamento quando submetidaa uma mesma forca. Essa diferenca e devida a diferentes graus de elasticidade das molas.Veremos a seguir como determinar o grau de elasticidade de uma mola.

m

Figura 9.1: Massa m pressa a` extremidade de uma mola.

34

mTerra

-P

elF

P=mg

Figura 9.2: Forcas que agem sobre a massa m.

9.3 Procedimento

1. Monte o esquema da figura 9.1, sem a massa m.

2. Determine o comprimento inicial L0 da mola.

3. Pendure uma massa conhecida na extremidade livre da mola e anote a sua deformacao(L L0).

4. Repita o experimento para diferentes massas.

5. Construa um grafico de forca aplicada (pesos), no eixo das ordenadas, versus deformacao(L), no eixo das abscissas.

9.4 Analise e questoes

1. Qual e a forma da lei de forca elastica? Observe o grafico e obtenha a funcao que descreveP em termos de L.

2. Se um objeto e capaz de esticar sua mola, ao ser pendurado nela, em 6 cm, qual e o seupeso? E sua massa?

3. Como voce transformaria uma mola num dinamometro (instrumento que mede forcas) enuma balanca (instrumento que mede massas)?

4. O que significa calibrar uma mola?

Obs.: Identifique esta mola e guarde o valor de sua constante elastica, pois voce precisara destainformacao em outras experiencias.

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Pratica no 10

Associacao de Molas em Serie e emParalelo

10.1 Objetivo

Obter as constantes elasticas de molas associadas em serie e em paralelo, com base nasegunda lei de Newton e na lei de Hooke para forcas elasticas.

10.2 Introducao

Sabemos que se esticamos, ou comprimimos, uma mola, esta reage com uma forca iguale de sinal oposto devido a` sua elasticidade. A mola tende a voltar a` sua posicao de equilbrio.O que aconteceria se, ao inves de termos 1 mola, tivessemos 2 molas, associadas em serie (umapendurada na outra) ou em paralelo (uma ao lado da outra)?

Neste experimento veremos como a forca aplicada se distribui nas duas molas e quaisos deslocamentos sofridos por ambas.

Primeiramente vejamos o caso de 2 molas com mesma constante elastica (molas igual-mente duras) K1 = K2 e comprimentos iniciais L1 e L2. Se as associamos em serie, quala diferenca entre esta nova mola, composta pelas duas molas originais, e uma unica mola demesma constante elastica e comprimento L1+L2? Reflita sobre esta questao. Se uma forca ~F eexercida na extremidade livre da mola de baixo, como na figura 10.1, qual sera a forca elasticaexercida pelas duas molas juntas e por cada uma delas separadamente? Qual a deformacaosofrida por cada uma delas? Suponha agora, como e mostrado na figura 10.1, que as molastenham constantes elasticas diferentes K1 e K2, e que quando associadas comportem-se comouma nova mola de constante elastica K e comprimento L = L1 + L2.

Observe que na situacao da figura 10.1b, a forca ~F e propagada em toda a mola. E na situacaoda figura 10.1a? As molas 1 e 2 sentem a mesma forca? Se as duas molas fazem o mesmopapel da unica mola da figura 10.1b, entao elas devem sentir a mesma forca. Logo,

Fel1 = Fel2 = Fel,

com

Fel1 = K1L1, Fel2 = K2L2.

Portanto

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LL

K

K2

11

2

A

BL=L +L21 K

C

F F

F el= F el F el1 2

=K1

L 1

Fel =K L

K =K =K21

=

=K2 L 2el

elF

F

Figura 1a Figura 1b

Figura 10.1: Associacao de molas em serie.

Fel (molas em serie) = KL = K(L1 +L2).

ou

K =Fel

L1 +L2.

Mas

L1 = Fel1/K1 e L2 = Fel2/K2.

Logo,

K =Fel

Fel1K1

+ Fel2K2

=Fel

Fel(

1K1

+ 1K2

) = K1K2K1 +K2

(10.1)

Acabamos de obter a constante elastica de uma mola equivalente a duas molas deconstantes elasticas K1 e K2 associadas em serie. Se estas tivessem mesmas constantes elasticas,qual seria a expressao de K?

37

K1 K2 K1 K2L

L

F

Figura 2

Figura 10.2: Associacao de molas em paralelo.

Consideremos agora uma associacao de molas em paralelo, como a da figura 10.2.

Se aplicarmos uma forca ~F bem no meio da barra, de modo que ambas as molas soframuma mesma deformacao, que fracao desta forca sera sentida por cada mola? Vejamos. SeL1 = L2 e, Fel1 = K1L1 e Fel2 = K2L2, substituindo as duas molas por uma unicamola, esta deveria ter uma constante elastica K de tal modo que uma forca F imprimiria-lheum alongamento de L, ou seja,

F = KL.

Mas L e igual a L1 e L2 separadamente e, pela segunda lei de Newton,

F = Fel1 + Fel2 = K1L1 +K2L2 = K1L+K2L = (K1 +K2)L

e, entao

K =F

L=

(K1 +K2)L

L K = K1 +K2. (10.2)

Temos, portanto, obtido a constante elastica de uma mola equivalente a duas molasde constantes elasticas K1 e K2 associadas em paralelo. Se estas tivessem a mesma constanteelastica, qual seria a expressao de K?

Que tipo de associacao (serie ou paralelo) resulta uma mola mais dura?

Veremos a seguir se a experiencia confirma ou nao nossos resultados teoricos anteriores.Que leis fsicas estaremos testando?

10.3 Procedimentos

1. Calibre as duas molas cuidadosamente (construindo graficos e determinando, a partirdestes, as constantes elasticas correspondentes).

2. Associe as duas molas em serie, como na figura 10.1. Considere o conjunto como sendouma unica mola de constante elastica Ks. Calibre esta nova mola, ou seja, determine aconstante Ks.

3. Associe as molas em paralelo, como na figura 10.2. Considere o conjunto como sendo umaunica mola de constante elastica Kp. Calibre esta nova mola.

38

4. Com os valores obtidos no item (1) para K1 e K2, calcule K e a partir das expressoesteoricas (10.1) e (10.2). Compare estes resultados teoricos com os resultados obtidosexperimentalmente para Ks e Kp, nos itens (2) e (3), respectivamente.

Comente seus resultados e de exemplos de situacoes praticas nas quais uma ou outraassociacao de molas pode ser mais util.

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Pratica no 11

Equilbrio Estatico de um CorpoRgido

11.1 Objetivo

Determinacao do centro de massa e da massa de uma haste atraves das condicoes deequilbrio.

11.2 Introducao

Um corpo rgido encontra-se em equilbrio se satisfizer as seguintes condicoes:

1. a soma vetorial de todas as forcas externas (ou forca resultante) que atuam no corpo fornula, ou seja,

~Fresultante = ~F1 + ~F2 + ...+ ~Fn = 0;

2. a soma vetorial de todos os torques externos (ou torque resultante) que atuam no corpofor nula, ou seja,

~resultante = ~1 + ~2 + ...+ ~n = 0.

Um corpo em equilbrio nao precisa estar em repouso, basta que ambas as aceleracoeslinear ~a e angular ~ sejam nulas. Dizemos que um corpo encontra-se em equilbrio estaticoquando este estiver em repouso e que o corpo encontra-se em equilbrio mecanico quando esteestiver com velocidades linear e angular constantes diferentes de zero.

11.3 Material necessario

- uma base retangular- duas bases circulares (para a regua e o transferidor)- 6 barras metalicas para sustentacao- fio- parafusos- 1 haste de metal- massas- 1 regua graduada em milmetros- um transferidor

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mhaste

Figura 11.1: Esquema de montagem da parte I.

- uma mola de constante elastica conhecida1

11.4 Procedimentos

PARTE I

1. determine experimentalmente o centro de massa, ou centro de gravidade, da haste. Ex-plique seu metodo;

2. pendure a haste pelo fio e fixe uma massa aferida num ponto da haste proximo de umade suas extremidades (veja figura 11.1). Desloque a posicao da haste, em relacao ao fio,ate obter uma posicao de equilbrio. Com a ajuda das condicoes de equilbrio, determinea massa da haste;

3. repita o item anterior para uma posicao diferente da massa aferida;

4. repita o item 2, substituindo a massa aferida por outra, mantendo a sua posicao original.

OBS.: Cada medida realizada deve ser repetida pelo menos 3 vezes.

1Caso nao se conheca a constante elastica da mola, esta devera ser obtida a partir de sua calibracao,

utilizando-se as massas aferidas.

41

PARTE II

5. calibre cuidadosamente a mola e determine sua constante elastica, caso esta nao sejaconhecida.

6. monte o sistema como indicado na figura 11.2(a);

m

haste

mola

Am

fio

Figura 11.2: (a) Esquema de montagem da parte II. [b] Colocando um fio na outra extremidadeda barra.

7. com a ajuda das condicoes de equilbrio, encontre a massa da barra e a forca de contatono ponto A (modulo, direcao e sentido).

8. substitua o contato da haste com a barra vertical, em A, por um fio com uma extremidadefixada na barra horizontal, como ilustrado na figura 11.2(b). Qual o angulo que este fiofaz com a horizontal?

11.5 Analise e conclusoes

1. descreva um metodo experimental para determinacao do centro de massa de uma placanao homogenea;

2. compare a direcao do fio, determinada no procedimento 8, com a direcao da forca decontato ~FA obtida no procedimento 2;

3. comente seus resultados.

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Pratica no 12

Conservacao da Energia Mecanica

12.1 Objetivo

Verificar a conservacao da energia mecanica para um sistema conservativo.

12.2 Introducao

A lei de conservacao da energia constitui uma das mais poderosas leis da fsica, emboranao seja de facil verificacao. Por exemplo, se uma barra cilndrica rola ladeira abaixo, teremosenergia potencial gravitacional sendo convertida em energia cinetica (de translacao movi-mento do centro de massa ladeira abaixo e de rotacao). Mas nao e so isso. Tambem teremosconversao de energia potencial gravitacional em energia termica, devido ao atrito da barra com asuperfcie da ladeira. Se a barra, durante a descida, colidir com outros objetos em seu caminho,parte de sua energia podera ser transmitida a esses objetos. A conservacao da energia implicaque se somarmos todas as formas de energia presentes no sistema (barra+ladeira+objetos), emqualquer ponto da trajetoria da barra, chegaremos a` mesma quantidade de energia. Ou seja,a energia contida no sistema (originalmente potencial gravitacional) pode se transformar emoutras formas de energia (cinetica de translacao e rotacao, calor, energia cinetica dos objetos,etc.) sem que hajam perdas ou ganhos da energia total do sistema. Esta e conservada!

Para verificarmos esta conservacao seria necessario medirmos todas as trocas de ener-gia ao longo da trajetoria da barra, para constatarmos se, de fato, toda a energia potencialgravitacional perdida foi ganha sob a forma de outras energias, ou seja, Etotal = 0. Noentanto, podemos trabalhar com situacoes simplificadas, focalizando alguns aspectos particu-lares do problema. Por exemplo, se considerarmos um sistema sobre o qual so hajam forcasconservativas (neste caso devemos minimizar o atrito, sempre presente, de modo a poder de-spreza-lo), deveremos ter a conservacao da energia mecanica. A energia mecanica inclui asenergias potencial e cinetica do sistema. Sua conservacao implica que

EM = K +U = 0 K = U.

12.3 Material Necessario

- cronometro com 2 sensores oticos,- trilho de ar com 1 planador,- suporte para elevar uma das extremidades do trilho de 1 ou 2 cm.

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hPlanador

Sensores oticos

d

D

L

Trilho de ar

suporte

Figura 12.1: Esquema de montagem.

12.4 Procedimento

1. Nivele cuidadosamente o trilho de ar.

2. Meca a distancia entre os dois sensores oticos (D), o comprimento do planador que inter-rompe a luz do sensor otico (L), a distancia entre os pes do trilho de ar (d) e a massa doplanador.

3. Apoie um dos pes do trilho sobre o suporte.

4. Prepare o cronometro para a posicao GATE.

5. Largue o planador na parte mais alta do trilho e meca os tempos t1 e t2 (tempos duranteos quais o planador interrompe a luz de cada um dos sensores, respectivamente (use afuncao MEMORIA para obter os dois tempos simultaneamente).

6. Repita as medidas varias vezes (nao e necessario largar o planador da mesma posicao.

7. Altere a massa do planador, acrescentando massas aferidas e repita o experimento.

12.5 Calculos e analises

1. Calcule o angulo de inclinacao do trilho de ar.

Lembre-se:

2. Encontre as velocidades v1 e v2, correspondentes aos tempos t1 e t2, com as quais oplanador passa pelo primeiro e segundo sensores oticos, respectivamente.

3. Calcule a energia cinetica do planador em t1 e t2.

4. Calcule a variacao da energia potencial gravitacional entre os instantes t1 e t2.

5. Ha verificacao da conservacao da energia mecanica?

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Bibliografia

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[2] D. Halliday, R. Resnick & J. Walker, Fundamentos de Fsica, volume IV, Livros Tecnicose Cientficos Editora S.A., 1995.

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[5] F. Weston Sears, Optica, 1956.

[6] F. Weston Sears, Eletricidade e Magnetismo, Ao Livro Tecnico S.A., 1967.

[7] F.W. Sears & M.W. Zemansky, Fsica, volume III, Ao Livro Tecnico S.A., 1965.

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