Apostila Limites

1

1

Módulo ou Valor Absoluto nos Reais

Definição

Seja x є R ; definimos o módulo de x , como sendo

, 0

, 0

x xx

x x

Propriedades :

1)

2)

3)

4) Módulo visto como uma distância :

Exemplos :

a) 9x x = 9 ; S = { -9,+9}

Observe que -9 e +9 são eqüidistantes da origem ; ou seja , resolver a equação modular

acima é determinar quais os números que distam da origem 9 unidades .

Conclusão : x representa na reta real a distância de x até a origem .

b) 4 7x x-4 =7 ou x-4 = -7 x = 11 ou x = -3 ; S = { -3 , 11 }.

Observe que -3 e 11 são equdistantes de 4 .

-3 4 11

-9 +9 0

2

2

Conclusão : x a representa a distância de x ao valor a na reta real .

4) { x є R/ x < a ( a >0 ) } = [ -a , + a ]

5 ) { x є R/ x > a ( a >0 ) } = ] - ∞ , -a ] [ a , + ∞ [

6) { x є R/ x a < k (k > 0 ) = ] a – k , a + k [

7) 2x x para todo x real

7) Desigualdade Triangular

Quando ocorre a igualdade ?

8) ; ,a b a b a b R

Quando ocorre a igualdade ?

9) Um subconjunto A de é dito limitado, se existe um número L>0 de modo que

-a +a 0

-a 0 a

; ,x y x y x y R

3

3

R a a + δ a - δ

x x

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

1) Resolva nos reais :

a) 2 3 8x

b) 2(7 2) 6x

c)2 2(3 2) (5 9)x x

d) 8 5 5x

e) 8 5 5x

f) 8 5 5x

g) 8 5 5x

h) 8 5 5x

i) 2 2(3 7) 5 ( 2) 3x x

j) 2 2(3 7) 5 ( 2) 3x x

k) 2 22 3 7 8 2 2 11 5x x x x x

Vizinhança Furada nos Reais

Definição

Sejam a Є R e δ Є *R . Definimos a vizinhança furada de centro a e raio δ , o conjunto

*( , ) /0 ,V a x R x a a a .

Observe que d(x,a) < δ com x ≠ a em R é a vizinhança furada .

δ

4

4

Ponto de Acumulação nos Reais

Definição

Sejam a Є R e A R .Dizemos que a é ponto de acumulação de A se e somente se toda

vizinhança furada de a contém elementos de A.

Simbolicamente : a = acm(A) sss ( 0)( )(0 )x A x a .

Exemplos :

1) Seja A = 2,8 .

a) Verifique se 8 é ponto de acumulação de A .

Observando a figura acima , temos que 8 = acm(A) . O mesmo fato ocorre com 2.

b) Verifique se algum valor do intervalo é ponto de acumulação de A .

Logo , qualquer real no intervalo é ponto de acumulação .

c) Verifique se algum valor que não pertença ao conjunto A é ponto de acumulação de A .

Logo, nenhum fora do intervalo é ponto de acumulação de A

Obs : o conjunto dos pontos de acumulação de A é 2,8 .

2 8 11

2 8

2 10 7

δ

δ

δ

δ

5

5

2 ) Seja A = 2,8 .

a) Verifique se 8 é ponto de acumulação .

b) Determine todos os pontos de acumulação de A .

2) O conjunto dos naturais possui ponto de acumulação ? e os inteiros ?

EXERCÍCIOS

1) O que seria o conjunto ] 0, 4 [ ] 4, 8 [ em termos de vizinhança?

2) O conjunto dos racionais tem algum elemento que seja ponto de acumulação para os naturais

e para os inteiros? E para os racionais? E para os irracionais?

3) Os naturais são pontos de acumulação para os irracionais?

4) Um ponto de acumulação tem que pertencer necessariamente ao conjunto em estudo?

5) Você está em um laboratório tentando verificar se uma determinada grandeza que está no

manual ocorre realmente na prática. O que podemos afirmar com relação aos valores

medidos em comparação com o que está no manual? (matematicamente)

6) Seja S = {x / x = n

1; n

*N }, responda:

a) Algum elemento do conjunto S é ponto de acm (s) justifique.

b) Algum irracional é ponto de acm (s)? Justifique.

c) 0 = acm (s)? Justifique.

7) Seja S = {x / x = *1 1

; ,a b Na b

} . Faça um estudo dos pontos de acm (S).

8) Escreva matematicamente a definição de ponto de acumulação.

9) Seja S = {x / x = m

m 1} com m N. Faça um estudo dos pontos de acm (s).

10) Como você descreveria a definição de ponto de acumulação para o R2? E o R

3? Como

seriam essas regiões?

6

6

Limite da variável x

Definição:

Sejam A R e a R; dizemos que a é o limite de x sss ( > 0 ) ( x A ) ( 0 < / x – a / < ) e

escrevemos lim x = a ou x a .

Exemplos.

1) A = { x / x = 2

1; n N

n}.

Lim x = 0 pois : | x – 0 | < | 2

1

n | < n² >

1 n >

1; o que é sempre

possível.

Pergunta: Como você mostraria que lim x não é 1 ?

2) A = { x / x = ( 1)

;n

n Nn

}, observe que lim x = 0. Justifique.

3) A = { x / x = n²; n N }; lim x = a, para qualquer a R. Justifique.

4) A = { x / x = n

n 34, n N }. Mostre que lim x = 4.

Prova: Seja > 0 | |434

n

n < 4 +

n

3 - 4 | < 4

34

n

33

nn

.

5) A = { x / x = ( -1)n . n² ; n N } . Existe o lim x ?

Nota: Observe que a = acm ( A )

EXERCÍCIOS

1) Mostre que para x = { x / x = 2

2 1;

nn N

n }

temos lim x = 0

2) Seja x = { x / x = ( -1)n + ( -1 )

n+1 ; n N }.

Determine lim x, caso exista.

7

7

3) Seja A = { x / x = 3

42

n

n ; n lN } . Determine lim x comprovando.

LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL (Em um ponto real)

Definição:

Sejam f : A lR B lR e a lR, dizemos que o limite de f é L

lR quando x a sss ( > 0) ( )|)(|||()() LxfaxAx 00

e escrevemos: ax

Lxf )(lim

OBS : 1)escrever ax

Lxf )(lim é equivalente escrever ( )

x a

f x L

2) é importante observar que devemos ter necessariamente

Ex: f (x) =

28

22

42

x

xx

x

;

;

L -

L

L +

a

a = acm (A)

a = acm (A)

8

8

NOTAS:

(1) Observe que a medida que nos aproximamos de 2 a função se aproxima de 4 ou seja:

.lim)(lim)(

42

42

22

44

2

x

x

xou

x

xfxf

x

(2) f (2) = 8 e L = 4 ; ou seja o limite da função não é necessariamente o valor da função em x =

2.

(3) A definição de limite não serve para calcularmos o limite e sim para comprovarmos que L =

4, senão vejamos :

f (x) = x + 2 ( x 2 ) :

Dem : | f (x) – 4 | = | x + 2 – 4 | = | x – 2 | < , ou seja se tomarmos 0 < , teremos: Seja =

0 < | x – 2 | < | x – 2 | < | x + 2 – 4 | < | f (x) - 4 | < , daí 2

4

x

xf )(lim

Como você comprova que o limite de f (x) não pode ser 5 ?

Ex: Seja f (x) = 12

124

x

x; Df = lR -

2

1. Determine lim f (x) e demonstre-o.

x 2

1

Solução : .)(lim)()(

limlim 212

2

112

1212

2

112

124

2

1x

x

xx

x

x

x

Comprovação:

Rascunho: | 2x + 1 – 2 | < | 2x – 1 | < .22

1x

Demonstração: Seja 0 < 2

, façamos |||| 2121222

1xxx

| f (x) – 2 | < , ou seja 2

2

1x

xf )(lim .

EXERCÍCIOS

1) Na definição de ax

Lxf )(lim , a é necessariamente um ponto de acumulação para Df ? E com

respeito a L ?

3) Na definição de limite, se trocarmos os quantificadores, o que aconteceria ? ou seja esta troca

alteraria o conceito de limite ?

4) Na definição de limite, se trocarmos o antecedente pelo conseqüente, no condicional; isto

cansaria algum efeito no conceito de limite ?

9

9

5) Mostre que 92

3x

xlim .

PROPRIEDADES E TEOREMAS

Sejam f e g funções reais, tais que:

lim f (x) = L1 ; lim g (x) = L2 (L1, L2 lR). Então:

ax ax

1) lim [f (x) g (x)] = lim f (x) lim g (x) = L1 L2

ax a a

2) lim [f (x) . g (x)] = lim f (x) . lim g (x) = L1 . L2

ax a a

3) lim 2

1

)(

)(

L

L

xg

xf (L2 0)

4) lim nn Lxf 1)( (dentro do campo de existência da raiz)

a

5) lim [f (x)]n = L1

n

a

6) lim logb f(x) = logb L1 (dentro do campo de existência)

ax

7) lim ( ) ; ( ) (constante)x a

f x k f x k

8) 2( )1lim( ( ))Lg x

x a

f x L

OBS

Em geral, todas as propriedades da álgebra são válidas. (Todas demonstráveis pela definição)

ax

10

10

TEOREMA DA UNICIDADE DO LIMITE

“O limite quando existe é único” ou seja:

lim f (x) = L1

ax

lim f (x) = L2

ax

TEOREMA DA CONSERVAÇÃO DO SINAL

Seja lim f (x) = L (L lR) , então a função conserva o sinal de L numa vizinhança

furada de a.

ax

Exemplos Resolvidos:

1) 2

lim(5 3) 5.2 3 13x

x

2) lim 4

16

2

4

x

x

Solução: lim 4

16

2

4

x

x =

0

0

lim )4(

)4()4(

2

22

x

xx = lim (x

2 + 4) (??) lim (x

2+ 4) = 8

3) lim 0

011

x

x

lim 2

1

11

1lim

11(

1)1(

xxx

x

4) lim 1

13

2 x

x

= lim 1

)1()1( 2

2 x

xxx

= lim )1( 2

2 xx = 23 = 8.

Se existe o limite L1 = L2

2x

?

2

2 2

? 0x

0 0

1x

1 1

11

11

LIMITES LATERAIS

lim f (x) = c ; lim f (x) = b

lim f (x) =c ( 0)( 0) ( x fD )(0 x – a | f (x) – L | )

ax

Observe que na figura acima: lim f (x) (?).

TEOREMA:

“ lim f (x) sss lim f (x) = lim f (x) ”

a

y

x

c

b

f

ax

ax

ax

ax ax ax

12

12

Exemplo: f (x) =

2 4; 2

2

6 ; 2

2 3 ; 2

xx

x

x

x x

i ) lim f (x) = 4 ii ) lim f (x) = 7

iii ) lim f (x).

2

EXERCÍCIOS

1) lim x

xx 33 112

2) lim x

xx 77 11

4

3

2

6

7

x

y

2x 2x

0x

0x

13

13

3) lim pp

nn

ax

ax

4) lim 11

112

x

xx

5) f (x) =

;11

;6

;2

11

3 2

4

x

xx

x

x

Determine: i ) lim f (x) ii ) lim f (x) iii ) lim f (x)

0 + 0

– 0

6) Determine k para que exista lim f (x):

0x

f (x) =

;122

;11

2

34

kx

x

xx

7) f (x) = x ; onde x = maior inteiro menor ou igual a x:


8) lim x

xx

2

1cossen 22

9) Mostre que: lim f (x) = k para f (x) (constante), quando ax .

10) lim x

x 11223 4

11)lim x

xx 33 112

ax

0x

x 0

x = 0

x 0

x 0

x 0

1x

1x

1x

2x

0x

0x

14

14

11) lim x

xx 77 11

12) lim pp

nn

ax

ax

13) lim 11

112

x

xx

14) f (x) =

;11

;6

;2

11

3 2

4

x

xx

x

x


0 + 0

– 0

15) Determine k para que exista lim f (x):

0x

f (x) =

;122

;11

2

34

kx

x

xx

16) f (x) = x ; onde , x = maior inteiro menor do que x ou igual a x:


17) lim x

x 11223 4

18)lim 1

14

x

x

19)lim x

x 1)1( 3

20)lim )2()4(

8

2

3

xx

x

0x

ax

0x

x 0

x =

0

x 0

x 0

x 0

1x

1x 1x

0x

16x

0x

2x

2x

15

15

21)lim 1

14

x

x

Notas Importantes

1)

Exemplos :

1)

lim 13

7

1

1

13

7

x

x

2)

lim 3

1

4

112

1

1

1

4

12

x

x

2)

Exemplo:

lim 6

51516

x

x

LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO

1) LIMITE INFINITO NUM PONTO ( a real )

lim ( )x a f x sss ( M 0)( 0)(x V*(a, ) f(x) M)

lim PN

PP

NN

aP

N

ax

ax

quando xa

lim 1n k u k

p u p n ,

quando u0

1x

1x

0x

1x

16

16

Exemplos1)2

1lim

2x x;2)

2

1lim

2x x

3) Não existe 2

1lim

2x x ( why ?)

M

a a+ a-

x=a

2

17

17

2) LIMITE FINITO NO INFINITO

lim ( )x f x L ( 0)( N 0)(x N f(x) V*(L, ))

Exemplo :

1) 5 5

lim 0x x

. A prova é feita utilizando a definição .

2)De forma análoga , temos 5 5

lim 0x x

Em geral temos :

0;

kk R

Devemos observar que o destaque acima não é uma “ igualdade matemática”

L

N

L+ y=L

18

18

3)

0

0

12

2 1lim lim 2

221

x x

x x

x

x

Em geral

lim ; 0x

ax b ac

cx d c

4) LIMITE INFINITO NO INFINITO

lim ( )x f x

( M 0)( N 0)(x N f(x) M)

M

N

19

19

5) De forma análoga , definimos :

lim ( )x f x ( M < 0)( N < 0)(x < N f(x) < M)

Exemplos

1) lim (3 7)x

x

2) 2lim (5 8)

xx

3) lim (3 7)x

x

NOTA

.( ); k > 0

.( )

kpara

k

E para k < 0 ?

E para k = 0 ?

N

M

20

20

LIMITE DE UM POLINÔMIO NO INFINITO

Seja 0

( )n

ii

i

P x a x = 1

1 1 0...n nn na x a x a x a

0

1 2 02 1

lim ( ) lim ( ... ) lim oun nn nn nn

x x x

a a aP x x a a x

x x x(exclusivamente)

Fato idêntico ocorre para lim ( )x

P x

Obs :

1) 00

lim ( )x

P x a

2) Símbolos de Indeterminação :

0 00; ;0.( ); ;1 ;0 ;

0

Notas :

1)Devemos observar que os termos envolvidos nas parcelas dos símbolos de indeterminação são

funções que tendem para os valores em questão .

2) Os detalhes envolvidos serão discutidos nos exercícios em sala de aula .

21

21

Quocientes de Polinômios ( x ± )

OBJETIVO :

( )lim

( )x

P x

Q x

Onde

11 1 0

11 1 0

( ) ...

( ) ...

n nn n

m mm m

P x a x a x a x a

Q x b x b x b x b

1) n = m

( )lim

( )

n

xn

P x a

Q x b

2) n < m

( )lim

( )x

P xo

Q x

3) n > m :

( )lim lim ( )

( )n

m

a n m

bx x

P xx ou exclusivamente

Q x

Exemplos : 1)

=

3 2

3

3

2 3

3

2 3

2 5 7 9lim

4 11 15

5 7 9(2 )

2 1lim

11 15 4 2( 4 )

x

x

x x x

x x

xx x x

xx x

22

22

2)

3 2 3

2 2

2 5 7 9 2lim lim

4 11 15 4

1lim ( )

2

x x

x

x x x x

x x x

x

3)

3 2 3

5 5

2

2 5 7 9 2lim lim

4 11 15 4

2 2lim 0

4

x x

x

x x x x

x x x

x

I ) Nos exercícios seguintes, calcule:

a) para x∞ lim f(x)

23

23

1) f (x) = 2

2

2x

x

2) f (x) = 22 33 xx

3) f (x) = 3 5x

4) f (x) = 1

11

x

x

x

x

b) lim f(x)

1) f (x) = 12

)53()72()2(

3 xx

xxx

2) f (x) = 2 2 5x x x

3)f (x) =

1

1

63

42

xx

xx

II ) Nos exercícios seguintes, calcule:

a) para x∞ lim f(x)

5) f (x) = 2

2

2x

x

6) f (x) = 22 33 xx

7) f (x) = 3 5x

8) f (x) = 1

11

x

x

x

x

b) para x - ∞ lim f(x)

3) f (x) = 12

)53()72()2(

3 xx

xxx

4) f (x) = xxx 22

5)f (x) =

1

1

63

42

xx

xx

x

24

24

Função Infinitésima

Definição:

A função f é dita infinitésima em x = a (a lR ou impróprio)

sss lim f(x) = 0 ( numa vizinhança furada de a lR)

Exemplo:

f (x) = x2 – 4, f é infinitésima em a = 2, pois lim (x

2 – 4) = 0

quando x 2

Exemplo:

f (x) = x

1 é infinitésima no infinito, pois lim

x

1 = 0.

Definição:

f : A B é limitada sss M *R tal que f (x) M ; x A

Exemplo:

f : lR lR ; ( )f x senx é limitada pois – 1 f (x) 1

Exemplo:

f : lR lR que f (x) = 21

2

x

x é limitada em lR, pois –1 f (x) 1.

ax

ax

x

25

25

TEOREMA

Sejam f e g função reais, tais que:

i) f é infinitésima em x = a (a lR ou impróprio).

ii) g é limitada no seu domínio.

Então:

Exemplo 1:

lim [x . sen x

1]= 0, pois f (x) = x é infinitésima em x = 0 e

senx

1 = g (x) é limitada.

Observe a que lim sen x

1 ( why? )

lim f (x) . g (x) = 0 ax

0x

0x

26

26

A seguir , o gráfico de g(x) = senx

1 em alguns intervalos :

27

27

A seguir o gráfico de h(x) = x.sen(1/x) , x ≠ 0

28

28

29

29

30

30

Exemplo 2:

lim (x – 1)2 . cos

3

1

1

x= 0 ( why? )

gráficos de f(x) = (x – 1)2 . cos

3

1

1

x , x ≠ 1 :

1x

31

31

FUNÇÃO CONTÍNUA CONCEITO

Uma função é contínua num ponto x = a ( real) quando lim ( ) ( )x a

f x f a ou seja :

( 0)( 0) ( ) ( | | | ( ) ( ) | )fx D x a f x f a

32

32

CONDIÇÕES DE CONTINUIDADE NUM PONTO

(i) a função deve existir no ponto ( f(a))

(ii) a função deve ter limite no ponto ( limx a f(x))

(iii) esses valores devem ser iguais (limx a f(x) = f(a)) Obs.: (i) Se uma dessas três condições não for satisfeita, dizemos que a função é descontínua no ponto (ii) Uma função é contínua num intervalo [a, b], quando ela é contínua em cada

ponto do interior desse intervalo ; axfax

)(lim e bxfbx

)(lim

Exemplos :

1) f(x) =

25

22

42

xse

xsex

x

limx 2 f(x) = 4 e f(2) = 5 limx 2 f(x) f(2)

Observe que se tivéssemos f(x) =

24

22

42

xse

xsex

x

A função seria contínua em x= 2 .

2)Determine k e p para que a função abaixo seja contínua em x=0 :

7 31 5 1 4, 0

( ) 2 7, 0

5 8 , 0

x xx

x

f x k x

x p x

Observe que devemos ter I) 0

5 4 43lim ( )

7 3 21x

f x ; logo

II)f(0)=2k =43 43

21 42k e III)

0

43 43lim ( ) 8

21 168x

f x p p

33

33

LIMITES FUNDAMENTAIS

1) Limites Trigonométricos

a) 0

lim 1sen

I) 0 < θ < π/2 ( em radiano) flecha(PM) < comp(arco AM) < comp(AT)

sen θ < θ < tg θ 1/tg θ < 1/ θ < 1/sen θ cos θ < sen θ/ θ < 1 e

quando θ tende a zero , teremos pelo Teorema do Confronto que

0

lim 1sen

. Utilizando conclusão análoga temos que II) 0

lim 1sen

;

E consequentemente 0

lim 1sen

Consequências :

A

T

O

M

θ

P

34

34

b) 0

lim 1tg

pois 0 0 0

1lim lim lim . 1

.cos cos

tg sen sen

c) 2

0

1 cos 1lim

2 pois

2 2

2 2 20 0 0

2

0

1 cos 1 coslim lim lim

(1 cos ) (1 cos )

1 1lim( ) .

(1 cos ) 2

sen

sen

Exemplos :

1) 0 0

(3 ) (3 )lim lim .3 3

3x x

sen x sen x

x x

2) 0 0

77 7

lim lim55 5x x

sen xsen x x

sen xsen x

x

3) lim sen

= 1

4) lim tg

= 1

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) lim x

xsen =

0

0

lim 1sen

lim)(sen

x

x

2) lim b

a

ax

ax

b

a

bx

ax senlim

sen

0

0

x

?

0

0x 0x

35

35

3) lim b

a

bx

tgax

4)L= lim 0

03cos1

2x

x

L=9 .

2) Outros Limites Fundamentais

(1) Seja f (n) = 1

1n

n; n lN*. É possível mostrar que 2 f ( n ) < 3 e que f (n) é crescente.

Teorema: “f (n) é uma seqüência crescente e limitada ; logo f (n) tem limite quando n ”.

A prova deste teorema encontra-se em qualquer livro de cálculo do curso superior.

com efeito,

n

n

kk

n

nn

nn

nn

nnk

n

n

11

1

!2

)1(111

111

020 =

=n

n

nnnn

11

21

11

!

111

!2

111

en

n

n !3

1

!2

1

!1

1

!0

111lim

Conseqüência: n

nn

11lim ; seja então L =

1lim 1 , log

n

no

n

L = e!!!!! 4

1

3

1

2

1

1

1

0

1

2,718281828459e é um número irracional ( a prova de tal fato também consta em

livros de curso superior ).

Conclusão: ou

1lim 1

n

ne

n

0

1 1lim 1

!

n

n in i

0x

?

0x

lim 2)3(

3cos1

x

x

0x =

2

9

36

36

NOTAS

(1) é possível também mostrar que:

2 3 4

0

1 ...! 2! 3! 4!

nx

n

x x x xe x

n com x lR.

(2) Apesar de inicialmente tomarmos f (n) com n lN*, estende-se para x lR , ou seja:

1lim 1

x

xe

x .

(3) ex

xx

11lim ; se não vejamos:

Lx

x

x

x

1lim ; seja w = - x – 1 Logo w +

1 1

1 1 1lim lim lim lim 1 . 1 .

1 1

w w w

w w

w w wL e

w w w w w

Conseqüências de (1):

1) ehhh

110

lim .

2) h

ha

h

1

0lim lna ( a > 0 ) onde lna = loge a

3) 0

(1 )lim 1h

ln h

h

4) 11

0 h

he

hlim

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) 13

11 ?lim

x

xx ( símbolo de indeterminação ).

33

13

1

3

3

11 ee

x

xlim .

37

37

2) 2

2

2

2

11

21 e

x

x

x

xlimlim .

3) lRondeex

x

xoux

,.lim 1 . (Why?)

4) x

lim ee

e

x

x

x

xx

x

x 2

11

21

1

2lim .

5) 0u

lim ( 1 + . ) = .e (Why?)

6)

2x

lim e

xtg

xtg

11 (Why?)

7) 1

2

0lim 1 2 senxx

tgx e

8) exxxxx

1

1

111

1

1

1)]([limlim

9) Uma população cresce 2% ao ano. Determine aproximadamente o crescimento populacional

em 1 século. ( em relação à população inicial ).

10) Seja Po a população inicial, no final de n anos temos P(n) = Po ( 1 + 50

1)n e com n = 100

P(n) = Po ( 1 + 50

1)100

= Po [ ( 1 + 50

1)50

]2 daí P(n) Po . e² 7,38 . Po.

EXERCÍCIOS

I ) Calcule os limites indicados nos exercícios seguintes:

1) lim x

x3sen

2) lim x

x

3sen

0x

0x

38

38

3) lim x

x

3sen

4) lim x

x

7

4sen

5) lim x

x

sen

5sen

6) lim x

x

3sen

8sen

7) lim x

xtg

8) lim x

xtg 2

9) lim xtg

xtg

5

3

10) lim 2

cos1

x

x

11) lim 2

1 sec x

x

12) lim 2

2sen

x

x

13) lim 2

2

2sen

x

x

14) lim xx

x

sen

2cos1

15) lim 22

3sen

x

x

16) lim x

xIn

sen

)1(

17) lim x

x

e

eIn )1(

18) lim x

eIn x1(

19) lim x

ee xx

2

20) lim 22

1

2 xx

ee xx

21) lim xx

xx

ee

ee

22) lim xx

xx

ee

ee

23) lim xx

ee xx

sensen

24) lim x

tgx

sen

1413

25) lim x

xcos1

26) lim x

x2cos1

27) lim xtg

x

3

2sen

28) lim ax

ax sensen

29) lim ax

ax coscos

30) lim ax

tgatgx

31) lim x . sen x

1

32) lim x

xsen

0x

0x

0x

0x

0x

0x

0x

0x

0x

0x

0x

0x

0x

0x

0x

0x

x

x

0x

0x

0x

0x

0x

ax

ax

ax

x

x

0x

0x

39

39

33) lim (x2 – 4) cos

2

1

x

34) lim x

x

3

2

1cos

35) lim x

xsen, quando x tende a zero em

graus; e em grados?

36) lim x

xtgx

sen2

sen11 34

37) lim cos x

1

38) lim x

xcos

24) lim 1

14

x

x

25) lim x

x 1)1( 3

26) lim )2()4(

8

2

3

xx

x

27) lim 1

14

x

x

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) xtgxx

3

2

4310

)sen(lim

2) x

xexe

x

53

0lim

3) xx

xx

x 34

5223

0lim

4) 0

cos 3lim

cos 2x

ln x

ln x

5) x

x

x

x

5

32

12lim

6) xxxx

4

3

2210

sen)(lim

7) x x

x

1

0

lim

8) xtg

xx

x 2

3141

0

)(ln)(lnlim

9) )(ln

)(ln)(lnlim

x

xx

x 81

7292

0

16x

0x

2x

2x

1x

2x

3x

0x

0x

0x

0x

40

40

10)

2

4

11

x

xlim

11)

x

x

4

2

11lim

12) 2

1

0

xxx

)(coslim

13) bx

ax

x cosln

coslnlim

0

14) 5

1

2x

x

x

xlim

15) xxxx

sensensenlim

1

2210

16) Uma população cresce 1% ao ano. Determine o crescimento populacional em 2 séculos ( em

função da população inicial )

17) 2

1

11

xx

xxxxx

)(

])[(lim

18) xx

x

1

0

)(senlim ; 19) xx

x

1

0

)(senlim ; 20) xtgxtg

x

)(lim

2

41

41

FUNÇÕES EQÜIVALENTES CONCEITO Sejam f e g funções. f e g são eqüivalentes num ponto x0 quando

1)(

)(lim

0 xg

xfxx , sendo f(x) e g(x) 0 numa V * (x0). Indica-se por f(x) g(x)

Ex.: 1sen

lim 0x

xx sen x x

PROPRIEDADES

Se f1 f2 e g1 g2 em x0 , temos:

(i) f1.g1 f2.g2 e 2

2

1

1 ~g

f

g

f

(ii) f f (reflexiva)

(iii) f g g f (simétrica)

(iv) f g g h f h (transitiva)

PRINCIPAIS EQÜIVALÊNCIAS PARA “u 0”

(i) sen u u (vi) ln (1 + u) u

(ii) cos u

2

12

u (vii) (1 + u) n 1 + nu

(iii) tan u xu (viii) a0 u n + a1 u

n-1 + ... + ak u n-k ak u

n-k

(iv) a u 1 + u.ln a (ix) arcsen u u

(v) e u 1 + u (x) arctan u u

(xi) ( ) ~ (1 )n n ua u a n

a

42

42

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

a) 2

4lim

2

2x

xx

b) 1347

252lim

23

3

xxx

xxx

c) 1

1lim 1

x

xx

d) x

xxx

3lim

2

e) 131lim 22 xxxxx

f) 1

321lim 1

x

xx

g) 5 44 4

3 22

11

11lim

xx

xxx

h) xxxxxxx

111111lim

0

i) nn

n).1(

1

3.2

1

2.1

1lim

j) limn n n

n a b , a e b +

2) Calcule os seguintes limites:

a) )1ln(

)1ln(lim 0

bx

axx

b) x

xx

3arctan

2arcsenlim 0

c) )5ln(cos

)3ln(coslim 0

x

xx

d) 240

)21).(cos1(lim

xx

xxx

e) x

xx

5sen

2senlim 1

f) n

nnn

n

12

12531lim

2

g)

1/

0

1 2 3lim

xx x x x

x

n

n

h)

3 4

1 1

(1 )(1 )(1 ) (1 )lim

(1 )

n

x n

x x x x

x

i) xx

x

xx

x sen

sen

0

senlim

43

43

j) ax

ax nn

axlim

k) 1

1 2 2 3 ( 1) ( 1) ( 1)lim ( 1)

n

nn p

p p n n n pp

n

l) ax

axax

cotcotlim

m) 1

lim tan4

nn

n

3) Analise as descontinuidades das funções abaixo:

a) f(x) = xe /1

b) f(x) =

03

0||

sen

xse

xsex

x

c) f(x) = cos x – [cos x], x [0, ]

d) f(x) = 0][][

0arctan

xsexxx

xsex

e) f(x) = 0)1(

0)(coslim

][

2

2

xse

xsex

x

nn

EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES

1) Calcule os limites abaixo

a) 11

11lim

30x

xx :

b) 3 31lim xxx

c) 2

33 2

1)1(

12lim

x

xxx

d)

xxx

xxlim

e) 2222

1321lim

n

n

nnnn

f) nn

nn

n32

32lim

11

g) 3

2222 321lim

n

nn

h) nnn 1lim

i) 141

254321lim

22 nn

nn

j) 4

)2).(1.(5.4.34.3.23.2.1lim

n

nnnn

44

44

2) Seja f(x) = 3 23 23

4

1.

2

xxx

aa

. Para que valores de a )(lim xfx é finito

? 3) Calcule os seguintes limites:

a) x

xx

3senlim 0

b) x

xx

4

5senlim

2

0

c) x

xx

4sen

3tanlim 0

d) x

xx 20

sen

2cos1lim

e) xx

xxx

7cos5cos

2coscoslim 0

f) 30

tansenlim

x

xxx

g) x

xx

1senlim

h) x

xx

1senlim 0

i) x

xx

1senlim 0

j) nn

nn

axax

ax

)(ln)(lnlim

k)

1/ 1/ 1/1 2lim

xx x x

nx

a a a

x

l) x

x

x3

12lim 0

m) xx

xx

xee

ee52

3

0lim

4) Analise as descontinuidades das funções abaixo:

a) f(x) = (-1)[x]

b) f(x) =

0|cos|

sen

cos

|sen|

2

1

0||ln

1

xsex

x

x

x

xsex

c) f(x) = 0

!][

0][

][

xsex

x

xsexx

x

d) f(x) = x

x1

, x R*

45

45

e) f(x) = 12

12

/1

/1

x

x

RESPOSTAS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) a) 4 b) 2/7 c) 1/2 d) -1/3 e) 2

f) 3/32

g) 1 h) 1 i) 1 – 1/n j) max(a, b) 2) a) a/b b) 2/3 c) 9/25 d) -1/2 e) -2/5 f) 1/e 2

g) n n !

h) !/1 n

i) e/1

j) naan /

k)

12p

e

l) a2csc

m) e 3) a) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto infinito b) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 2

c) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = /2 com salto de amplitude 1 d) contínua em R

e) descontinuidade evitável p/ x = k (k -) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 1

descontinuidade de 1ª espécie p/ x = n , n com salto de

amplitude 2 EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES 1) a) 3/2 b) 0 c) 1/9 d) 1 e) 1/2 f) 3 g) 1/3 h) 0 i) -1/3

46

46

j) 1/4

2) 0 a 1 3) a) 3 b) 0 c) 3/4 d) 2 e) 1/8 f) -1/2 g) 1 h) 0 i) não existe

j) 1)/(ln nn aa

k) nnaaa 21

l) ln 2/3 m) 2/3

4) a) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = k (k *) com salto de amplitude

2 |k| b) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = -1 com salto infinito

descontinuidade de 1ª espécie p/ x = k + /2 (k +) com saltos infinitos

c) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = k (k Z-) com saltos de amplitude |k| descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 1

contínua p/ x 0

d) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 1/k (k Z*) com saltos de amplitude |1/k| descontinuidade evitável p/ x = 0 e) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 2

Apostila Limites

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