Prof. Marcelo Tresseno 1LOGARI TMOS Joost Brgi,umreloj oeirosuoaserviodoDuquedeHesse-Kassel,foioprimeiroaformarumaconcepo sobre logarit mos.O mt odo doslogarit mosnat uraisf oi propost opela primeiravez em 1614, emumlivroint it uladoMirif iciLogarit hmorumCanonisDescript ioescrit oporJohnNapier,Baro deMerchist onnaEsccia, quat roanosapsapublicaodesuamemorvelinveno. Est emt odo cont ribuiuparaoavanodacincia,eespecialment eaast ronomi a, f azendocomqueclculosmuit o difceisse t ornassem possveis. Ant eriorinvenodecalculadorasecomput adores, eraumaferrament aconst ant ement e usadaemobservaes,navegaoeout rosramosdamat emt icaprt ica.Almdesuaimensa ut ilidadena realizao de clculosprt icos, os logarit mos t ambm t m umpapel muit o import ant e em mat emt icat erica. Deincio,Napierchamouoslogarit mosde"nmerosart ificiais"eos ant ilogarit mos de "nmerosnat urais".Maist arde,Napierformouapalavralogarit mo,parasignificarumnmeroqueindicauma razo: oo (logos)quesignificarazo,eo (arit hmos)significandonmero.Napierescolheu dessaformaporqueadif erenaent redoislogarit mosdet erminaarazoent reosnmerosdosquais elessot omados,deformaqueumasriearit mt icadelogarit moscorrespondeaumasrie geomt rica de nmeros. Ot ermoant ilogarit mof oiint roduzidonofinaldosculoXVI I e, apesardenuncat ersido usadomuit onamat emt ica,persist iuemcoleesdet abelasat nosermaisusado.Napierno usouumabasecomoaconcebemoshoj e,masseuslogarit moseramnabase 1/ e . Paraf acilit ar int erpolaes e clculos, t il fazerarazo r nasriegeomt ricaprximo de 1.Napierescolheu r= 1 10 7= 0,999999,eBrgiescolheur= 1+ 10 4= 1,0001.Oslogarit mosoriginaisdeNapierno t inhamlog1= 0,aoinvsdissot inhamlog107= 0. DessemodoseNumnmeroeLseu logarit mot alqualcalculadoporNapier,N= 107(110 7)L.Umavezque(110 7) aproximadament e 1 /e, Laproximadament e107log1 /eN /107. Prof. Marcelo Tresseno 2 Considereapot nci a 32 8 = ,dizemosque3ologarit mode8nabase2, ousej a,chamamosoexpoent edessapot nciadelogarit mo,assimpodemosescreverapot ncianaformade logarit mo daseguint e maneira: 322 8 log8 3 = = Exemplo1:(a) 255 25 log 25 2 = =(b) 4121 1 1log 42 16 16| | = = |\ .(c)231 13 log 29 9= = Definio1:Sej am ea bnmeros reais posit ivos e1 b = .Chama-se logarit mo dea na base b o expoent ex, t al que:xb a = logxb a x b a = = Nomenclat ura:Na sent enalogb a x = :-a chamado logarit mandoou ant ilogarit mo-b chamado basedo logarit mo-x chamadode logarit mo deana basebProf. Marcelo Tresseno 3Assimilao 1)Transf ormeas equaesaseguir daf orma logart micapara exponenci al:(a) 35 log x = (b) 2log 5 a = (c)3 log 6b= 2)Transf ormeas equaesa seguirda f orma exponenci al paraa logart mica:(a)4 3m= (b) 172c| | = |\ . (c)9xe =

3) Com base nadefinio de logarit mos, obt enhaovalor dasseguint essent enas: (a) 2log16 = (b) 51log25 = (c) 7log1= (d) 35log 5 = Prof. Marcelo Tresseno 4LOGARI TMOS DECI MAI S So os logarit mos escrit os na base 10.I ndica-se ologarit mo decimal de um nmerosimplesment e por log a(a base10 fica subent endida) 10log log a a = Exemplo2 (a) 1log1000 = (b) log100000 = (c)log 0, 00001= LOGARI TMO NA BASE eOUln chamado de logarit monat uralou logarit mo neperiano o logarit mocombase e ,edefinido por: log lne x x = Exemplo3 (a)ln 2, 71 log 2, 71e= (b) ln30 log30e= (c)ln log 1ee e = = Prof. Marcelo Tresseno 5PROPRI EDADES DOS LOGARI TMOS Decorre imediat ament e da Definio1que para nmeros reais posit ivosa eb ,com1 b = : 1P : log 1b b =Demonst rao:Sej alogb b x = , t em-se 11x xb b b b x = = = , comologbx b = t emos que log 1bb = . 2P : log1 0b =Demonst rao:Sej alog1bx = t em-se01 0x xb b b x = = = ,comolog1bx =t emosquelog1 0b= 3P : log logyb ba y a =Demonst rao:Sej alogb a x =t em-se xb a = ,elevandoambosos membrosay t emosque ( )yx y yx yb a b a = = , aipela Def inio1 t emosquelogyx y ybb a yx a = = ,comologbx a = , t emos quelog logyb by a a = .

4P : logmb b m =Demonst rao:Sej alogmb b x = ,t emos que x mb b x m = = , comologmbx b = , t emosquelogmb b m = . 5 : Plogb ab a =Demonst rao:Sej alogb a x = , t emos que xb a = , comologbx a = , t emos que logb ab a = . Prof. Marcelo Tresseno 6Assimilao 1) Calcule os l ogarit mos abaixo: (a)7log 49 = (b) 2log512 =(c) 56log 6 =(d) 10128log 2 =(e)324log9 = (f ) 52log 16 =(g)log1000 (h) 5log 5 = (i)log10 =(j ) 3log 243 = (k) 6log 1000 =(l)35log 625 =(m) 243log 3 =(n) 32log 128 =(o) 425625log16 =(p)log 0, 0001=(q) 0,3log 0, 09 = (r) 0,0016log 0, 008 =(s) 0,681log625 = Prof. Marcelo Tresseno 7Exerccios1 1)AssinaleVouF, conformeaaf irmaosej a verdadeiraou f alsa: a) ( ) 1log5 0 =b)( )( )2log log100 2 =c) ( )3log 53 5 =d)( )( ) log 10 1 = e)( )ln 1 e = 2)Calculeovalor da expresso 1 375log 625 log81 log 343 log10 + + 3)Qual dosnmeros maior:3log 59ou 3log 95 ? Just ifique 4)Se 53 2 0x yx y+ = = ,calcule ovalor de( ) log 5 2xx y + 5)Resolvaa equao( ) log 5 14 2xx + = 6)As razes da equao ( )22 3log log 2 x =sooprimeiro e o ult imot ermos deuma progresso arit mt ica crescent e cuj arazo iguala2.Det ermine o numero det ermos daPA. 7)Ologarit mode um numeroN em cert abase bigual a 2. O logarit mo do mesmonumero em uma base igual ao dobro daant erior igual 3.Calcule ovalorde N 8)(UFPE) Suponhaqueat axa dej uros de dbit os nocart o de crdit o sej a9%ao ms, sendo calculadacumulat i vament e. Em quant osmeses uma divida nocart o de crdit o t riplicar devalor? (useaproximaes ln3= 1, 08 e ln1,09= 0,09) Prof. Marcelo Tresseno 8PROPRI EDADES OPERATRI AS mult iplicao6 : P ( ) log . log logb b ba c a c = + Demonst rao:Sej amlogxb a x b a = = e logyb c y b c = =Assimpodemos escrever. .x y x yb b a c b a c+= =Pela Def inio1 t emos que:log .b a c x y = +comologbx a =elogby c =Logo:( ) log . log logb b ba c a c = + Exemplo4 (a) 2 2log(4.2) log 4 log 2b= +(b)5 5 5log(625.125) log 625 log125 = + diviso7 : P log log logb b baa cc| | = |\ . Demonst rao:Sej amlogxb a x b a = =e logyb c y b c = =Assimpodemos escreverxx yya b abc b c= Pela Def inio1 t emos que:logbax yc = , comologbx a =elogby c =Logo, log log logb b baa cc| | = |\ . Exemplo5 (a) 2 2 28log log8 log 22 = (b) 5 5 515625log log15625 log125125 = Prof. Marcelo Tresseno 9 mudana de base8 : Plogloglogkbkaab=*k+ e ,1 k =Demonst rao:Sej amlogxb a x b a = =elogyk a y k a = =Pela propriedadet ransit ivada igualdade (seduascoisas soiguaisauma t erceiracoisa,issoimplica que est asso iguais ent resi) t emos que:Sendo xb a =e yk a = t emos que x yb k =Pela Def inio1, logxk b y =Usandoa 3P t emos:.logkx b y =comologbx a = e logky a =, t emosquelog log logb k ka b a =Assim,logloglogkbkaab= Exemplo6 (a) 2322log 64log 64log32= (b)32log64log 64log32= (c) 4644log16log 16log 64= (d)999log81log81log9= (e)51255log5log 5log125=Prof. Marcelo Tresseno 10Assimilao 1)Sabendo que 6log 5 0,898 =e 6log 2 0, 386 = , calcule: (a)6log10 = (b)6log 2, 5 = (c)6log 20 = (d)2log 5 = (e)65log12 = (f)6log 5 = 2) Sabendo quelog 2 0, 301 =elog3 0, 477 = , calcule: (a) 2log 3 = (b)8log6 = (c)2log15 = 3)Demonst reque 1loglogbaab=paraquaisqueraebposit ivos e diferent e de 1 4)Sabendo quelog 2 m = elog3 k = ,calcular 5log8 9emfuno dem ek Prof. Marcelo Tresseno 11Exerccios 2 1)AssinaleVouF, conformeaaf irmaosej a verdadeiraou f alsa. a) () Se 10log 2 0, 3010 = e 10log 3 0, 4771 =ent o 10log 6 0, 7781 =b)() Se 10log 2 0, 3010 = ent o 10log 5 0, 6990 =c)() log( ) log loga a aA B A B + = +d)()log( ) log loga a aA B A B + = e) ()( )210 10log 2log A A = f)() ( )2 210 10 10log log ( ) log ( ) x y x y x y = + + +g)() 5 33log2log 25=h)() 2 21ln 4log 2e| | = |\ . i)()( )1010log 1000 3 log x x = +j )() loglogloglogbaab = 2)Det ermine osvalores deaeb nosist ema de equaesa seguir 2 2log log 220a ba b = + = 3)Selog 2am = , log 3an = elog 5ap = , calcule, em funo dem enosvalores de:(a)log 72a(b)log15a(c)log 6a Prof. Marcelo Tresseno 124)Resolvaa equao( )2log log 3 2 x x + = 5)Selog 2 0, 3010 =elog3 0, 4771 = ,calcule com duas casas decimais exat as, ovalor dexna equao5 60x= 6)Sendo 1xe 2xrazes da equao 3log 581xx x = , com 1 2x x 7 bsica, eseopH=7asoluo neut ra. Exemplo7 (a) Se 3log 7 x =calcule ovalor delog co x (b)Calcule 2log8 coProf. Marcelo Tresseno 14Exerccios 3 1) Calcule ovalorde:(a) 2log128 co (b) 1log5co| | |\ . 2) Chama-se pH de umasoluo aquosa ocologarit mona base dez da concent rao de onsH+, emmolspor lit ro.Sea concent raode cert a soluo 82 10 , calcule o pH e digasea soluo acida ou bsica. (Uselog 2 0, 3010 = ). 3) Selog 2 m =elog3 n = ,calculeem f uno demen , o valor de 48log 72 4) Se 3log 2 a = calcule em funo deaosvalores de:(a)9log 4(b)4log 27 (c)31log2| | |\ . 5) Calcule ovalordo produt o 2 3 4 63log 3log 4log 5... log 64 6) O produt odas razes da equao 25log log 22xx + =pode ser escrit o na f orma2k,calculeo valorde2k. 7) A razo ent reoslogarit mos de doisnmeros posit ivose diferent es deum em umabase qualquer iguala2.Qual a relao exist ent e ent re esse dois nmeros? Dum exemplo de doisnmeros que sat isf azema relaoant erior. 8) Resolvaa equao2 4 8 1625log log log log4x x x x + + + = 10)Selog 2 0, 3010 =elog3 0, 4771 = ,calcule os valores de:a)log8b) 3log2c) log5d)6log 48 e)16log 5Prof. Marcelo Tresseno 1511) Demonst re que 1log , , e 1logmbaa m a b bb+= e = 12) Demonst re que,para * *; a b+ +e e e1 b = , t emoslog lognnbba a = , n e. 13) Usandoa def inio de logarit moscalcule: a) 35log 625 = b) 5ln e= c) 2327log8 = d) 105 log 210 = e) ( )3log 27 81 = f) 51log 62525| | |\ .= 14) Sendolog 2am = ,log 3an = elog 5ab = ,calcule,em f uno de m, n e b, osvaloresde: a)log144ab) log 216ac)log 15a 15) CalculeopHdeumasoluocuj aconcent raode 3H O+ 87, 5 10 / mol L classificandoem cido,baseou neut ro. (uselog7, 5 0,86 = ) 16) Sabendo quelog 3y x = ,calcule 231logxy . 17) Prove que *1log log , , ( , ) e 1bba a a b b+= e e = , 18)Resolva, em, paraxey reais,oseguint esist ema log log 215x yx y+ = = 19) Resolvaasequaes:a)( )3log 6 9 4 x =b) 22log( 2 ) 3 x x + = Prof. Marcelo Tresseno 16Not e que: *( ) Df+= Im( ) f ( ) f x umaf uno crescent e em t odoosseu domnio;isso decorre dof at o dea baseser um nmero maior que1 ( 2> 1) FUNO LOGARI TMI CA Definio2: Chama-se funo logart mica t oda f uno *: f+ t al que( ) logbf x x = com *b+ee1 b = . Exemplo8 Consideremosafuno 2( ) log f x x =Como( ) f x y =podemosescrever 2log y x = , ou sej a,2log x y = , ist o ,pelaDefinio,1 2yx = . Podemos obt ero grficode( ) f xpormeiode uma t abela: Se at ribuirmos t odosos valores reais e posit ivos paraa varivelyt eremososeguint e grfico: Ofat o dea f uno logart mica sero inversodafunoexponencial,implica queodomnio cont inuasendoformado pelasabscissas (x) ea imagem ascorrespondent esordenadas(y).Apenas por quest es didt icasat ribumosos valores paraa varivel (y) paraencont raro seu domnio. Exemplo8 :Obt enhao grfico dafuno 12log y x =y2y x-3 32 1/ 8 -2 22 1/ 4 -1 12 1/ 2 0 021 1 122 2 224 3 328 Prof. Marcelo Tresseno 17Comof eg soinversasent resi, seusgrficos sosimt ricosret asuport edabisset rizdos quadrant es mpares.PROPRI EDADES DA FUNO LOGARI TMI CA 9 : P log logb bx y x y = = { }*, , e 1 xy b b+ c = 10 : P2 1 2 1log logb bx x x x > > { }*2 1, , e 1 x x b b+ c > Afuno l ogart mica( ) logbf x x = crescent eem t odooseu domnio se, e soment e se b> 1. 11 : P2 1 2 1log logb bx x x x < < { }*2 1, , e0 1 x x b b+ c < < Afuno l ogart mica( ) logbf x x = decrescent e em t odo oseu domniose,esoment ese0< b< 1. 12 : PTodafuno logart mica,ist o ,( ) logbf x x = com *b+e e1 b = ,bij et ora. 13 : PAf uno l ogart mica( ) logbf x x = inversadafunoexponencial( )xf x b = com *b+ee 1 b = . Observe o grfico das f unes 2( ) log f x x =e( ) 2xf x = Prof. Marcelo Tresseno 18Exerccios 3 1)Const rua, no mesmosist emade coordenadas cart esianas,os grficos das funes logart micas classificando em crescent eou decrescent e e j ust ificando emcadacaso:a) 3( ) log f x x = b)13( ) log f x x = 2)Use a Def inio1 para det erminaro domnio dafuno ( )210( ) log 5 6 f x x x = + 3)Det ermine o domnio ea imagem da f uno def inidapor ( )( )2( ) log 10xt x x= 4)Sabendo queo pont o( ) 0, 25; 1 pert encem ao grfico dafuno( ) logahx x = . (a)Calcule o valor dea(b)Calcule os valores de(64) h e( ) 128 h 5)Nafiguraabai xo,t emos o grf ico da f uno 10( ) log gx x = Selog 2 0, 3010 = elog3 0, 4771 = , qualovaloraproximadodareado t rapzio hachurado da figuraacima? Prof. Marcelo Tresseno 19Quest es deVest ibular 1)(UFMG) Sej a 2 22log15 log 458 n= . Ent oovalor de n :a) 25 b) 38 c)52 d)35 2)(FGV SP)Consideremosos seguint es dados: log 2 0, 3 =elog3 0, 48 = .Nessascondieso valordelog15:a)0, 78b)0,88c)0, 98d)1, 08e)1,18 3)(UFCCE) Se 7log 875 a = , ent o 35log 245 igual a:a)27aa++b) 25aa++c) 52aa++d) 72aa++ e) 57aa++ 4)(UFRGS RS)A soma 2 3 4 19log log log ... log3 4 5 20+ + + + iguala:a) log 20 b)1 c)log 2 d) 1 e) 2 5)(UFES) Sabe-se quelog3 0, 477 =aproximadoat a t erceira casa decimal. O nmerode algarismos do int eiro 3030 N = igual a:a)43b) 44c) 45d) 46e)47 e 6)(I TA-SP) Sej am x,yeznmeros reais posit ivos e t aisque seuslogarit mosnuma basek so numeros primossat isf azendoascondies:log( ) 49log 44kkxyxz=| | = |\ . Ent olog( )kxyz iguala:a)52b) 61c) 67d) 80 e) 97 7)(UFC-CE) Sej amxeyosnmeros reais posit ivos quesat isf azemo si st ema de equaes:333 33log log 3 log2log log 3 log 2xx y+ = + + = + Assinale aalt ernat ivana qual const a ovalornumricodex y + :a)12b) 18c) 24d) 30e)36 Prof. Marcelo Tresseno 208)(UFPR)Uma cidade cuj apopulaovem diminuindosist emat icament e t em hoj e 30000habit ant es. Se o rit mode diminuiose mant iver, ent o o numerode habit ant es daquia t anos, ( ) P t , calculadoaplicando-sea frmula ( ) ( ) 30 0000, 9tP t =Supondo queo rit mo de diminuio semant enha, corret o afirmar:01)Daqui a2anos,a populao ser menor que24000.02) Osnmeros( ) ( ) ( ) 1, 2, 3,..., P P Pnessaordem, formamumaprogresso geomt rica. 04) O t emponecessrio, em anos, para que a populao se reduza met ade daat ual log1 log 2log0, 9 08)(20) 0 P =16)Em cada perodo deumano,apopulaodiminui 10%

9)(UNESP-SP) Os t omos de um element o qumico radioat ivo possuemuma t endnci anat ural ase desint egrar(emit indo part culas e se t ransf ormando emout ro element o). Assim sendo, comopassar do t empo, aquant idadeoriginal desse element o diminui. Suponhamos que cert a quant idade deum element o radioat ivo com inicialment e 0mgramas de massa decompost a segundoa equao mat emt ica:700( ) 10tm t m= Onde( ) m t a quant idade de massaradioat iva no t emt(emanos) . Usando aaproximao log 2 0, 3 = ,det ermine:a)log8 b)quant os anos demoraro para que esse element ose decomponhaat at ingir umoit avo da massa inicial? 10) (UnB DF)Aescala deumaparelho para medir rudosdefinida daseguint ef orma:( )1012 log R I = + , em queR a medida dorudo em bels, eI a int ensidade sonora, em 2/ Wm .No Brasil,a unidade ut ilizada odecibel (1/ 10do bel). Por exemplo,o rudodos mot ores de umavio a j at o de160 decibels, enquant o orudo do t rfego um uma esquina moviment ada de uma grande cidade de 80 decibels, sendo est eolimit e a part ir doqual o rudopassaaser nocivoao ouvido humano.Combasenessasinformaes,j ulguem os it ens queseseguem. (1)A int ensidade sonora deum rudo dezero decibel de 12 210 / Wm. (2)A int ensidade sonora dos mot oresdeum avi oa j at o o dobroda int ensidadesonorado t rfego emuma esquina moviment ada deuma grandecidade.(3) Uma int ensidadesonora maior que 410 / Wm produzumrudo que nocivoaoouvido humano. Prof. Marcelo Tresseno 2111) (UEL PR) considere A,BeC nmeros reais posit ivoscom1 A = ,1 B =e1. C =Se log 2A B =ese 3log5C A =conclui-se ent oqueovalor delogB C:a) 12b) 53c) 16d) 56e) 65 12) (UFLA-MG) Ovalor da expresso numricaaseguirum nmero int eiro. ( )( ) ( )2222 3 1 3 110 4 2 log2 2| |+ |+ |\ . Det ermineesse nmero. 13) Sabendo- se que 2logb a x =em que 22logba y = ,pode-seafirmar quex igual a:a)y b)2y c) 4y d)2ye)4y 14) (UFU-MG) Uma pea met licaf oiaquecida at at ingir a t emperat ura de 50 C. A part irda,a pea resfriar def orma que,apst minut os,asua t emperat ura(emCelsius)seriguala 0,230 20te+ Usandoaaproximaoln 2 0, 7 ~ , det ermine em quant osminut osa peaat ingira t emperat ura de 35 C. 15) (UEG GO) Em uma pesquisa, aps n meses da const at ao daexist ncia de uma epidemia, onmero de pessoas por elaat ingidas era( )240 0002 15.4nf n=+.Nessascondies,o t empo para que a epidemiaat inj a pelomenos4000 pessoas de aproximadament e: (Dadoslog 2 0, 3 =elog3 0, 48 = ) a)9diasb) 8 diasc) 7 diasd) 5 dias 16) (UNI FOR-CE)A expresso( ) 1nM A i = +permit e o clculo do mont ant e produzido porum capit alA,aplicadoa j uroscompost os e t axa unit ria i, ao final de nperodos.Assim,seocapit al de R$1370,00 f or aplicado t axaanual de 25%, aof inal de quant osanos ele produziraum mont ant e de R$5480,00? ( uselog 2 0, 3 = ) a)6b) 5c) 4d) 3

REFERNCI AS BI BLI OGRFI CAS PAI VA,ManoelRodrigues.Mat emt icaVolumeI .1 Edio, SoPauloSP.Edit ora Moderna,1995. DANTE,LuizRobert o. Mat emt icaCont ext oeAplicaesVolumeI I .1 Edio.SoPaulo SP. Edit ora rt ica, 2003. FURTADO,EmersonMarcos2 Srie,VolumeI / EmersonMarcosFurt ado, CarlosWalt er Kolb, Vanderlei Nemit z Curit iba:Posit ivo, 2007. ht t p: / / pt . wikipedia.org/ wiki/ Logarit mo LOGARI TMOS Prof. Marcelo Tresseno