MÁQUINAS DE

FLUXO

PROF. EDUARDO GERMER (UTFPR-CT) CURITIBA - 2013

APRESENTAÇÃO

Esta apostila começou a ser elaborada em março de 2013. Tinha inicialmente dois objetivos principais. Um deles, não necessariamente o mais importante, foi gerar um material que facilite o entendimento dos conceitos que envolvem a disciplina de máquinas de fluxo, transmitidos em sala de aula. O outro foi de buscar padronizar (para fins de sala de aula) algumas nomenclaturas/definições que são encontradas de forma diversa em várias bibliografias da área.

Ao final de cada capítulo estão indicadas as referências bibliográficas que foram a base para confecção do material. A maioria das figuras e tabelas foi obtida em pesquisa na web/internet, sendo que em alguns casos não foi possível identificar a fonte. Nos casos em que a identificação foi possível ela é indicada nos títulos das figuras/tabelas.

Importante esclarecer que este material é uma compilação de obras de diversos autores, não contendo produção intelectual original. Além disto, não tem o objetivo de consecução de lucro, sendo somente um recurso didático de apoio às aulas.

A formatação não segue nenhum padrão específico, tendo sido definida com base em dois princípios básicos. O primeiro de reduzir ao máximo o consumo de material (recursos), e o segundo o de tornar o texto mais claro e organizado possível.

O material ainda não está finalizado, e mais capítulos serão adicionados à medida que ficarem prontos, sem prazo específico.

Esta é a primeira versão então solicito a quem a utilizar que informe os erros encontrados e envie dicas de melhoria para que possa ser aprimorado.

Obrigado!

Curitiba, 9 de junho de 2013 Prof. Eduardo Germer

3

Sumário

Capítulo 1 - Introdução .................................................................................................................................. 4

Capítulo 2 – Grandezas de Funcionamento .................................................................................................. 12

Capítulo 3 – Perdas e rendimentos .............................................................................................................. 29

Capítulo 4 – Cavitação .................................................................................................................................. 50

Capítulo 5 – Triângulo de Velocidades ......................................................................................................... 64

Capítulo 6 – Equação Fundamental .............................................................................................................. 78

Capítulo 7 – Semelhança .............................................................................................................................. 92

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CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO

Máquina de Fluido (fluid machinery) é o equipamento que promove a troca de energia entre um sistema mecânico e um fluido, transformando energia mecânica (trabalho) em energia de fluido (hidráulica) ou energia de fluido em energia mecânica.

Estas máquinas trabalham geralmente com água, óleo, etc, considerados fluidos incompressíveis nas aplicações normais. Trabalham também com o ar, que será tratado como incompressível para pressões até 1.000 mm.c.a., sendo neste caso chamadas de ventiladores.

Serão consideradas aqui somente as máquinas que realizem este processo com variação pouco sensível do peso específico (volume específico) do fluido que está escoando. A este tipo de máquina dá-se o nome de máquinas hidráulicas. Máquinas onde a variação do peso específico do fluido não pode ser desprezado são denominadas máquinas térmicas (ex. compressores, turbinas a gás, turbinas a vapor, etc).

Figura 1.1 – Classificação das máquinas de fluido (BRASIL, 2010, pg.21)

1.1. TIPOS:

Quanto ao tipo, as máquinas de fluido podem ser classificadas:

a) Quanto ao sentido da transmissão de energia, pode-se classifica-las como:

Geradora: a máquina transforma energia mecânica em energia de fluido (bombas e ventiladores). Motora: a máquina transforma energia de fluido em energia mecânica (turbina, gerador eólico, moinho de

vento e rodas d’água).

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b) Quanto ao tipo de energia envolvido no processo pode-se classifica-las como:

Máquinas de deslocamento positivo (positive displacement machines): nestes equipamentos uma

quantidade fixa de fluido de trabalho é confinada durante sua passagem através da máquina, sendo submetido a trocas de pressão em razão da variação no volume do recipiente em que se encontra contido. O fluido tem que mudar seu estado energético. Caso a máquina pare de funcionar, o fluido de trabalho permanecerá no seu interior indefinidamente. Também chamada máquina estática. Nestas máquinas a energia transferida é substancialmente de pressão, sendo muito pequena a energia cinética transferida, podendo ser desprezada. Ex. máquinas rotativas (rotary machines) como a bomba de engrenagens e máquinas alternativas (reciprocating machines) como o compressor de pistão. Dependendo dos seus órgãos constitutivos podem ser alternativas, rotativas e mistas.

Máquinas de Fluxo ou Turbomáquinas (turbomachinery): ou máquinas dinâmicas, o fluido não se encontra em momento algum confinado dentro da carcaça da máquina, mas sim num fluxo continuo através dela, estando sujeito a variações de energia devido aos efeitos dinâmicos da corrente fluida. Nestas máquinas o escoamento do fluido é orientado por meio de lâminas ou aletas solidárias a um elemento rotativo (rotor). A energia transferida é substancialmente cinética, através da variação da velocidade do fluido entre as pás, desde a entrada até a saída do rotor, a baixa pressão ou baixos diferenciais de pressão. Ex. as turbinas hidráulicas e ventiladores centrífugos.

c) Quanto a direção do escoamento do fluido:

Axiais: escoamento predominantemente na direção do eixo. O fluido entra no rotor na direção axial e sai

também na direção axial. Recalca grandes vazões em pequenas alturas. A força predominante é de sustentação.

Radiais: escoamento predominante na direção radial. O fluido entra no rotor na direção axial e sai na direção radial. Tem como característica o recalque de pequenas vazões a grandes alturas. Sua força predominante é a centrífuga.

Mista ou diagonal: escoamento predominantemente na direção diagonal, parte axial e parte radial Tangencial: escoamento predominantemente tangente ao rotor.

Figura 1.2 – Tipos quanto à direção do escoamento

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d) Quanto a forma dos canais entre as pás do rotor:

Máquinas de Ação: nesta máquina toda energia do fluido é transformada em energia cinética, antes da transformação em trabalho mecânico processado pela máquina. A pressão do fluido, ao atravessar o rotor, permanece constante. Um exemplo são as turbinas Pelton, onde um ou mais bocais (separados do rotor) aceleram o fluido resultando em jatos livres (a pressão atmosférica) de alta velocidade, que transferem movimento para o rotor. O rotor gira mesmo sem estar cheio de fluido.

o Turbomáquinas de ação (motoras): turbinas Pelton (tangencial) e Michell (duplo efeito radial). o Turbomáquinas de ação (geradoras): não existe aplicação prática

Figura 1.3 – Turbina Pelton

Máquinas de Reação: nesta máquina tanto a energia cinética quanto a de pressão são transformadas em trabalho mecânico e vice-versa. Parte da energia do fluido é transformada em energia cinética antes da entrada do rotor, durante sua passagem por perfis ajustáveis (distribuidor), e o restante da transformação ocorre no próprio rotor. A pressão do fluido varia ao atravessar o rotor. O rotor fica preenchido pelo líquido.

o Turbomáquinas de reação (motoras): turbinas Francis (radial ou diagonal) , Kaplan e Hélice (axiais) o Turbomáquinas de reação (geradoras): bombas e ventiladores (radiais, diagonais e axiais)

Figura 1.4 – Turbina Schwankrug

7

Figura 1.5 – Turbina Kaplan

Figura 1.6 – Turbina Francis

Figura 1.7 – Bomba centrífuga

8

e) Quanto ao número de entradas para aspiração (sucção):

Sucção Simples (entrada unilateral): há somente uma boca de sucção para entrada do fluido. Dupla Sucção: fluido entra por duas bocas de sucção paralelamente ao eixo de rotação. Como se fossem dois

rotores simples montados em paralelo. Tem como vantagem a possibilidade de proporcionar equilíbrio dos empuxos axiais, que melhora o rendimento da bomba, eliminando a necessidade de rolamento de grandes dimensões para suporte axial sobre o eixo. f) Quanto ao número de rotores:

Simples estágio: bomba só tem um único rotor dentro da carcaça. Pode-se teoricamente projetar uma

bomba de simples estágio para qualquer situação de altura manométrica e de vazão, porém, dimensões excessivas e baixo rendimento fazem com que os fabricantes a limitem a alturas manométricas de 100 [m].

Múltiplo estágio: a bomba tem dois ou mais rotores associados em série dentro da carcaça. Permite a elevação do líquido a grandes alturas (>100 [m]), sendo o rotor radial o indicado para esta aplicação.

Figura 1.8 – Bomba múltiplo estágio

g) Quanto ao posicionamento do eixo:

Eixo horizontal: é a forma construtiva mais comum. Eixo vertical: Usada por exemplo para extração de água de poços.

h) Quanto ao tipo de rotor:

Aberto: para bombas de pequenas dimensões. Tem pequenas dimensões, baixa resistência estrutural e

baixo rendimento. Como vantagem dificulta o entupimento, podendo ser usado para bombear líquidos sujos.

Semi-aberto: tem apenas um disco, onde são fixadas as aletas. Fechado: usado para bombear líquidos limpos. Possui dois discos com as palhetas fixadas em ambos. Evita a

recirculação de água, ou seja, o retorno da água à boca de sucção.

Rotor Aberto Rotor Semi-aberto Rotor Fechado

Figura 1.9 – Tipos de rotores

9

i) Quanto à posição do eixo da bomba em relação ao nível da água:

Não afogada (sucção positiva): o eixo da bomba está acima do nível d’água do reservatório de sucção. Afogada (sucção negativa): eixo da bomba está abaixo do nível d’água do reservatório de sucção.

Bomba afogada Bomba não-afogada

Figura 1.10 – Tipo de instalação

1.2. CAMPOS DE APLICAÇÃO

Existe uma ampla gama de máquinas de fluido que podem ser aplicadas em um espectro muito grande de aplicações sendo difícil definir exatamente onde estão as melhores aplicações para os tipos de máquinas existentes, sendo que em alguns casos vários tipos delas podem ser usadas em determinada aplicação.

O caso de ventiladores (fans) e compressores (compressor) é um exemplo. Pode-se ver na Fig.1.11 a faixa de utilização de cada um deles. Verifica-se que os compressores centrífugos e axiais dominam aplicações de grandes vazões. Porém, na faixa de pequenas e médias vazões com elevadas relações de pressão entre descarga e admissão, os compressores alternativos de êmbolos ou pistão são predominantes.

Figura 1.11 – Campo de aplicação de ventiladores e compressores (HENN, 2006, pg30)

10

Para o caso de máquinas de fluido geradoras trabalhando com líquidos (bombas) a situação é parecida com a de compressores, havendo predomínio de bombas centrífugas, de fluxo misto e axiais (máquinas de fluxo) para região de médias e grandes vazões, enquanto bombas alternativas e rotativas (máquinas de deslocamento positivo) dominam a faixa de médias e grandes alturas de elevação e pequenas vazões.

Para efeito de nomenclatura, será denominado ventilador (fan) uma máquina que trabalha com gás onde a alteração da densidade entre a admissão e descarga é tão pequena que o gás pode ser considerado um fluido incompressível (diferenças de pressão até 10kPa ou 1000 mmca). O compressor (compressor) também trabalha com gás, porém a alteração da densidade é significativa e não pode ser desprezada. Pode-se denominar ainda de soprador (blower) a máquina que trabalhe numa faixa de diferença de pressão entre admissão e descarga da ordem de 10 a 300 kPa (1000 a 30000 mmca).

Vê-se ainda na Fig.1.12 que há regiões de superposição de diferentes tipos de bomba, isto faz com que outras características devam ser analisadas para seleção da bomba, como a viscosidade do líquido bombeado, a presença de sólidos em suspensão, variação ou não da vazão em função da variação da resistência do sistema de escoamento, facilidade de manutenção, custos e outros.

Figura 1.12 – Campo de aplicação de bombas (HENN, 2006, pg31)

Para turbinas hidráulicas (máquinas de fluxo motoras), a Fig. 1.13 apresenta os campos de aplicação, que leva em consideração a altura de queda, a vazão e a potência. Neste caso também aparecem regiões de sobreposição, e neste caso deve-se levar em consideração o custo do gerador, o risco de cavitação, custo de construção civil, flexibilidade de operação, facilidade de manutenção, e outros.

As turbinas Michell-Banki, ou turbinas Ossberger, são muito usadas em micro e minicentrais (abaixo de 1000 kW) devido a sua facilidade de fabricação, baixo custo e bom rendimento.

11

Figura 1.10 – Campo de aplicação de turbinas hidráulicas (HENN, 2006, pg32)

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

BRASIL, A.N. Máquinas termo hidráulicas de fluxo. Itaúna: Universidade de Itaúna, 2010.

CARVALHO, D.F. Hidráulica Aplicada. Apostila UFRRJ.

GUIMARÃES, L.B. Máquinas hidráulicas. Curitiba: UFPR, 1991.

HENN, E.A.L. Máquinas de fluido. 2ª ed, Porto Alegre: UFSM, 2006.

SOUZA, Z.; BRAN, R. Máquinas de Fluxo: turbinas, bombas e ventiladores. Rio de Janeiro: ed. LTC, 1969.

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CAPÍTULO 2 GRANDEZAS DE FUNCIONAMENTO

2.1. INTRODUÇÃO

Este capítulo trata de como calcular algumas grandezas de funcionamento importantes relacionadas às máquinas hidráulicas geradoras e motoras. Estas grandezas tem importância para o dimensionamento e estudo do comportamento das máquinas hidráulicas.

Pode-se analisar seu funcionamento pelo estudo de três grandezas básicas, consideradas como características fundamentais das máquinas hidráulicas:

H - Altura de queda ou elevação [mca]

Q - Vazão [m3/s]

n - Rotação da máquina [RPM]

Além das grandezas fundamentais são importantes as grandezas derivadas, como a potência hidráulica, potência eficaz, o rendimento total e outras que serão vistas adiante.

2.2. ORGANIZAÇÕES

Algumas organizações internacionais que trabalham com a descrição e definição de bombas são:

Hydraulics institute (HI) American petroleum institute (API) American society of mechanical engineers (ASME) American standards institute (ANSI)

2.3. BOMBAS

A bomba hidráulica é um equipamento utilizado para transmitir energia ao fluido. Ela recebe energia mecânica e a cede ao fluido na forma de energia hidráulica. Segundo Macyntire o fluido utiliza esta energia para executar trabalho, representado pelo deslocamento de seu peso entre duas posições, vencendo as resistências existentes neste percurso.

A seguir serão descritos alguns conceitos importantes para o trabalho com bombas.

Altura estática de sucção/aspiração (Hgeos)

É a diferença de altura geométrica (cotas) entre o plano horizontal que passa pelo centro da bomba (datum) e o da superfície livre do reservatório de captação. Também conhecida por static suction head. Independe se o reservatório de sucção é pressurizado ou não. Das figuras (2.1) e (2.2):

1zH geos , (2. 1)

observe que na Fig.2.1 “z1>0” e na Fig.2.2 “z1<0”.

Altura estática de recalque (Hgeor)

É a diferença de altura geométrica entre os níveis onde o líquido é abandonado e o nível do centro da bomba. Também conhecida por static discharge head. Independe se o reservatório de descarga é pressurizado ou não. Das Figs. 2.1 e 2.2:

13

4zH geor (2. 2)

As figuras (2.2) e (2.3) mostram duas possibilidades de configuração de descarga e como tratar a altura estática de recalque em cada um dos casos.

Figura 2.1 – Esquema genérico de uma instalação com bomba “afogada”

Altura estática de elevação ou altura geométrica (Hgeo)

É a diferença de altura entre os dois reservatórios. Se o tubo de descarga está posicionado acima do nível do reservatório de descarga, então o desnível deve referir-se à linha de centro do tubo de descarga (Fig. 2.3). Sua unidade é o metro.

14 zzH geo

usando os conceitos já mencionados anteriormente,

geosgeorgeo HHH (2. 3)

Figura 2.2 – Esquema genérico de uma instalação de máquina com bomba “não afogada”

14

Figura 2.3 – Descarga acima do nível do reservatório destino

Altura total de sucção ou altura manométrica de sucção (Hs)

É a quantidade de energia por unidade de peso existente no flange de sucção, no ponto 2 das figuras (2.1) e (2.2). Também conhecido por total suction head.

Considerando este conceito, pode-se calcular de duas formas. Na primeira toma-se a energia diretamente no ponto de sucção (com a instalação em funcionamento) através da equação de Bernoulli,

zg

cpE2

2

p – pressão [Pa]

- peso específico [N/m3]

c – velocidade média [m/s]

z – altura [m]

Embora não se verifique na prática o cumprimento das exigências para aplicação do teorema de Bernoulli, este conceito será utilizado por dar resultados razoáveis dentro da precisão para os problemas abordados.

Quanto ao termo “c2/2g” deve-se recordar que foi obtido considerando “c” a velocidade média e em sua 2/2g)” existe um fator de correção ( ética, que deve ser

considerado. Como os escoamentos tratados serão basicamente turbulentos, este fator de correção assume valor unitário, sendo então suprimido da equação da energia. Segundo Kárman, para tubos de seção circular

Então, para o ponto de sucção:

2

222

2z

gcp

H S

Como a referência é o centro da bomba, no ponto de sucção, z2=0, resulta,

gcp

H S 2

222

(2. 4)

A eq (2.4) é definida pelo Hydraulic Institute como energia total ou absoluta de aspiração, sendo definida por “suction head” se tiver valor positivo e “suction lift” se tiver valor negativo.

Considerando que a leitura de pressão será feita no manômetro, deve-se ter em conta que existirá certa divergência entre o valor lido no manômetro e o valor na tubulação, onde foi aplicada a equação da energia, uma vez que há uma coluna de líquido de altura “a” no tubo que leva ao manômetro. Pode-se representar esta diferença pela relação:

appapp m

m,

onde “p” é o valor da pressão estática no escoamento e “pm” é a pressão no manômetro.

15

Deve-se tomar cuidado especial pois “a” pode assumir valores positivos ou negativos. Tendo por base a figura (2.4), se o manômetro estiver acima do ponto de tomada de pressão no tubo então a>0, e se estiver abaixo então a<0. Como caso particular, se o manômetro indicar pressão menor que a atmosférica, ou seja, Pabs<Patm, então pode-se assumir “a=0”.

Figura 2.4 – Posições relativas dos manômetros

Considerando usar o valor de “a” em módulo, pode-se escrever de forma genérica:

app m

(2. 5)

sendo “+” se o manômetro estiver acima do tubo e “-“ se tiver abaixo. Usando a eq.(2.5) em (2.4) resulta,

gc

ap

H mS 2

22

22

(2. 6)

Outra forma de avaliar a altura manométrica de sucção é analisando a energia disponível no reservatório de sucção e as perdas de energia, na forma de perdas de carga, até a flange de sucção. Avaliando inicialmente o caso da bomba afogada (Fig. 2.1):

pcsS HEEH 12 ,

sendo “Hpcs” a perda de carga na sucção e “E” a energia dada pela equação de Bernoulli:

zg

cpE2

2

(2. 7)

Logo:

pcsS Hzg

cpH 1

211

2

Mas para a sucção Z1=Hgeos,

pcsgeosS HHg

cpH

2

211 (2. 8)

Aplicando a conservação da massa aos pontos “1” e “2”,

22211121 AcAcmm ,

considerando o fluido incompressível, ou seja, 1 2,

2211 AcAc ,

16

sabendo ainda que o reservatório tem área muito maior que o tubo, a velocidade (“c”) no reservatório deve ser muito menor que no tubo, e pode-se assumir:

01221121 cAcAc AA (2. 9)

Com isto, aplicando a Eq.(2.9) na Eq. (2.8),

pcsgeosS HHp

H 1

(2. 10)

Se os reservatórios forem abertos e considerando a pressão manométrica, ou seja, p1atm(manométrica)=0

pcsgeosS HHH (2. 11)

Para o caso de bomba não afogada (Fig.2.2), tem-se “Hgeos<0”, se tomar o valor absoluto (em módulo) de “Hgeos”, então:

pcsgeosS HHH (2. 12)

ou

pcsgeosS HHH (2. 13)

Para cálculo da altura manométrica de sucção pode-se indicar alguns casos:

Caso 1: Bomba afogada e reservatório de sucção pressurizado.

gcp

HHp

H pcsgeosS 2

2221 (2. 14)

Figura 2.5 - Bomba afogada e reservatório de sucção pressurizado (fonte: KSB)

Caso2: Bomba afogada e reservatório de sucção aberto para atmosfera

gcp

HHH pcsgeosS 2

222

(2. 15)

Figura 2.6 – Bomba afogada e reservatório de sucção aberto

(fonte: KSB)

Caso 3: Bomba não afogada e reservatório de sucção aberto para atmosfera

17

gcpHHHHH pcsgeospcsgeosS 2

222 (2. 16)

Figura 2.7 - Bomba não afogada e reservatório de sucção aberto

(fonte: KSB)

Altura total de recalque ou altura manométrica de recalque (Hr)

Representa a energia por unidade de peso que a bomba deve entregar ao fluido para que, partindo da saída da bomba, atinja a boca de saída da tubulação de recalque ou a superfície livre no reservatório superior, atendendo as condições de processo.

Da mesma forma que considerado para altura manométrica de sucção, a altura manométrica de recalque pode ser calculada de duas formas. Na primeira considerando a medida da energia na flange de recalque da bomba, ponto 3. Neste caso, com a instalação funcionando, são lidos os parâmetros necessários para sua determinação:

3

233

2z

gcp

H r (2. 17)

Outra forma de cálculo é considerando a energia do fluido no reservatório de recalque, somando as perdas de carga que o fluido sofreu no percurso da flange de recalque até tal reservatório, desta forma, fazendo a análise de energias entre os pontos “3” e “4”, resulta:

pcrr HEEH 43

Aplicando a eq.(2.7):

pcrr Hzg

cpH 4

244

2

pcrgeorr HHg

cpH

2

244 (2. 18)

Caso a descarga ocorra conforme a figura (2.1), com a saída do tubo de descarga abaixo do nível do reservatório, e aplicando a conservação da massa aos pontos “3” e “4” verifica-se que a velocidade em “4” é próxima de zero, conforme já demonstrado anteriormente.

pcrgeorr HHp

H 4

(2. 19)

Ao se considerar que o reservatório “A” é aberto, então,

pcrgeorr HHH (2. 20)

Voltando à eq.(2.18) e considerando que a descarga ocorra conforme a figura (2.3), com a saída do tubo de descarga acima do nível do reservatório então,

18

pcrgeorr HHg

cpH2

244

(2. 21)

Além disto, considerando o reservatório “A” aberto, então p4(manométrica)=0, e

pcrgeorr HHg

cH2

24

(2. 22)

Considerando alguns possíveis casos:

Caso 1: Reservatório de descarga pressurizado e acima do centro da bomba.

3

2334

2z

gcp

HHp

H pcrgeorr (2. 23)

Figura 2.8 - Reservatório de descarga pressurizado e acima do centro da bomba (fonte: KSB)

Caso 2: Reservatório de descarga aberto e acima do centro da bomba

3

233

2z

gcp

HHH pcrgeorr (2. 24)

Figura 2.9 - Reservatório de descarga aberto e acima do centro da bomba (fonte: KSB)

Caso 3: Reservatório de descarga aberto, acima do centro da bomba com entrada “afogada”

3

233

2z

gcp

HHH pcrgeorr (2. 25)

Figura 2.10 - Reservatório de descarga aberto e acima do centro da bomba (fonte: KSB)

Caso 4: Descarga livre, acima do nível do reservatório

3

233

2z

gcp

HHH pcrgeorr (2. 26)

19

Figura 2.11 - Descarga livre e acima do nível do reservatório de descarga (fonte: KSB)

Caso 5: Descarga livre, acima do nível do reservatório

3

233

2z

gcp

HHH pcrgeorr (2. 27)

Figura 2.12 - Descarga livre e acima do nível do reservatório de

descarga (fonte: KSB)

Caso 6: Descarga livre, abaixo do centro da bomba

3

233

2z

gcpHHHHH pcrgeorpcrgeorr (2. 28)

Figura 2.13 - Descarga livre e abaixo do centro da bomba (fonte: KSB)

Altura manométrica de elevação ou altura manométrica total (H)

É a quantidade de energia por unidade de peso que deve ser absorvida pelo fluido que atravessa a bomba. Esta é a energia necessária para que o fluido vença o desnível da instalação (altura geométrica), a diferença de pressão entre os reservatórios e a resistência natural que as tubulações e acessórios oferecem ao escoamento do fluido (perda de carga).

Considerando o escoamento mais geral de uma bomba na Fig.2.1, com o escoamento indo de “1” para “4”, a primeira forma seria fazendo uma análise das energias envolvidas:

pcrpcs HHEHE 41

pcspcr HHzg

cpHzg

cp4

244

1

211

22

acdeperda

pcspcr

potencialacvelocidadedeacpressãodeac

HHzzg

cg

cppH

arg___arg

14

__arg

21

24

__arg

14

22

pcspcrgeo HHHg

cg

cppH

22

21

2414 (2.29)

E se os reservatórios forem grandes o suficiente, pode-se fazer c1=c4 0, e

20

pcspcrgeo HHHppH 14

(2.30)

Se os reservatórios forem abertos então p1=p2=patm, e:

pcrpcsgeo HHHH (2.31)

Outra forma de se chegar à altura útil de elevação é usando os valores das alturas manométricas de sucção e recalque, neste caso é necessário ter o sistema em funcionamento para obter as grandezas.

23 HHHHH sr

Aplicando Bernoulli entre os pontos 2 e 3, desta forma:

2322

23

23

21

zzccg

ppH

(2.32)

Aplicando a eq.(2.5) na eq.(2.21),

2322

2323

23

21)()( zzccg

aapp

H mm

(2.33)

E finalmente, a terceira forma de obtenção é aplicando a 1ª lei da termodinâmica a um sistema, tem-se que:

Figura 2.14 - Volume de controle

Considerando que a Fig.2.14 representa o volume de controle, cuja fronteira coincide com as delimitações físicas da máquina de fluxo (M.F.) e limitado pelas seções de entrada (inlet), representado pelo índice “2” e descarga (discharge ou outlet) representado pelo símbolo “3”, de uma máquina de fluido com regime permanente e utilizando grandezas específicas (propriedades intensivas), tem-se:

SistemadoTotalEnergiaVariação

CedidaEnergia

cebidaEnergiaRe (2.34)

2322

23223323 2

1' zzgccvpvpuuHq (2.35)

onde:

q – quantidade de calor por unidade de massa recebida pela máquina [J/kg]

H’ – trabalho específico realizado pela máquina [J/kg]

u – energia interna do fluido [J/kg]

P – pressão estática do fluido [N/m2]

21

v – volume específico do fluido [m3/kg]

c – velocidade absoluta do fluido [m/s]

g – aceleração da gravidade [m/s2]

z – cota de referência de um ponto do escoamento [m]

Como entalpia é dada por:

vpuh . (2.36)

Substituindo (2.35) em (2.36) tem-se:

2322

2323 2

1' zzgcchhHq (2.37)

Para bombas hidráulicas (hydraulic pumps), considerando:

o Transformação adiabática sem atrito (isentrópica) 023 dsss o Trabalho recebido pelo sistema é negativo (convenção termodinâmica)

2322

2323 2

1' zzgcchhH s (2.38)

onde o índice “s” representa o final da transformação isentrópica. Lembrando que a entropia é dada por:

v.dp-dh=T.ds=dq (2.39)

onde:

T – temperatura absoluta [K]

s – entropia do fluido [J/kg.K]

Das considerações de bombas hidráulicas já apresentadas anteriormente (ds=0):

232323

3

2

3

2)(v.dpv.dpdh ppppvhhdh s

s (2.40)

Substituindo (2.40) em (2.38):

2322

23

23

21' zzgcc

ppH (2.41)

Dividindo por “g” e aplicando a eq. (2. 5) e na eq.(2.41):

2322

2323

23

21)()( zzccg

aapp

H mm (2.42)

2.4. TURBINAS

A tratativa dada às turbinas é muito similar à destinada às bombas. Uma vez que tratamos de energias envolvidas em escoamento, as únicas diferenças serão os conceitos (designações) envolvidos, mas os princípios fundamentais são os mesmos.

A seção de saída "3" (Fig.2.16) nas turbinas chama-se tubo de sucção. Vale lembrar que para máquinas geradoras (bombas) este termo aparece na seção de entrada. Ao considerar a saída (“3”) após o tubo de sucção, esta região torna-se parte integrante da máquina, participando da transformação de energia.

22

É razoável considerar que do ponto “3” ao ponto “4” não há perda de energia, logo, ao utilizar Bernoulli, as energias nos dois pontos devem ser iguais.

Altura estática de sucção

É a diferença de nível entre o centro do rotor e o nível de jusante. A Fig.2.15 mostra algumas posições de turbinas e respectivas alturas estáticas de sucção.

Figura 2.15 - Altura estática de sucção para turbinas (fonte: Guimarães, 1991)

Altura ou queda bruta (Hgeo)

É a queda topográfica, ou diferença de cotas entre os níveis de captação da água e o poção, ou canal de fuga, quando a turbina está fora de operação (Q=0).

14 zzH geo (2.43)

Altura disponível ou Altura de Queda Hidráulica Disponível (H)

É a energia disponível na entrada da turbina. Para calculá-la são possíveis dois métodos, no primeiro, considera-se que é a energia de queda bruta menos as perdas de carga da tubulação forçada (Hpctf)1. Com base neste método,

pctfgeo HHH (2.44)

A outra forma é o chamado processo manométrico, que leva em conta as análises de energia na entrada e saída da máquina. Neste enfoque, verifica-se quanto o fluido entregou de energia à turbina. Porém, só é possível o cálculo desta forma para instalações em funcionamento.

1 Nos casos de turbina pode-se usar a fórmula de Hazen-Williams para o cálculo das perdas de carga

23

Figura 2.16 – Esquema de turbina de reação

Desta forma, a conceituação da altura de queda de um aproveitamento hidroelétrico (Fig 2.16), composto de uma turbina de reação e demais equipamentos complementares, é feita através do balanço de energia (eq. de Bernoulli) entre as seções de entrada e saída da máquina, ou de outra forma.

32 EEH

Aplicando Bernoulli entre 3 e 4, é razoável supor que não existe perda neste trecho, logo:

4343 0 EEEE

Pode-se usar o ponto “4” para calcular a altura de queda, e lembrando que p4=patm=0 (pressão manométrica), e a cota z4=0, logo,

224

22

242 2

1 zccg

pEEH (2.45)

Usando a relação dada pela eq.(2.5),

224

222

2

21 zccg

ap

H m

(2.46)

Figura 2.17 – Esquema de turbina de ação

24

Para turbinas de ação, aplica-se a equação de energia entre os pontos “2” e “3”, considerando que o ponto “3” está localizado na linha de “2”, logo após transferir a energia para a pá do rotor.

3223

22

3232 2

1 zzccg

ppEEH

Sabendo que p3=patm=0 (manométrica), que c3=0, que z2=z3, resulta:

gcp

H2

222

Considerando a eq. (2.5), resulta,

gc

ap

H m

2

22

22

(2.47)

Pode-se ainda chegar às relações acima fazendo a aplicação da conservação da energia via 1ª lei da termodinâmica, da mesma forma que foi feito para as bombas hidráulicas. Pede-se então para que seja revisto os passos das eqs.(2.34) a (2.37), a partir daí, pode-se definir, para turbinas hidráulicas (hydraulic turbines):

o Transformação adiabática sem atrito (isentrópica)

023 dsss o Trabalho recebido pelo sistema é positivo (convenção termodinâmica)

3223

22

32

21' zzgcc

ppH

Dividindo pela gravidade:

2322

23

23

21 zzccg

ppH

(2.48)

E usando o conceito introduzido pela eq. (2.5).

2322

2323

23

21 zzccg

aapp

H mm (2.49)

Queda nominal disponível (Hn)

É a queda disponível para a qual o rendimneto da turbina é máximo na rotação prevista, com o distribuidor totalmente aberto. A vazão de admissão é plena e a turbina opera a plena potência.

2.5. Ventiladores

Os ventiladores são máquinas de fluxo geradoras que tem seu funcionamento similar às bombas. A diferença aqui é que o fluido que recebe energia é um gás.

Considerando o esquema de instalação com ventiladores da Fig.2.18, onde as câmaras podem representar salas, câmaras frigoríficas, ou a própria atmosfera, tendo assim uma determinada pressão absoluta.

25

Fig. 2.18 – Esquema de uma instalação com ventilador

Para obter a altura de elevação, que é a energia total ganha pelo fluido ao passar pelo ventilador, desde o ponto “2” até o ponto “3”, então:

gV

gVppH

22

22

2323 (2.50)

Pode-se ainda usar para ventiladores conceito de diferença de pressão total. Para obter este parâmetro a equação de Bernoulli é usada de forma um pouco diferente. Aplicando a equação da energia na forma de pressão, tem-se o seguinte:

11

211

111 2Z

VpH

, 22

222

222 Z2V

pH

33

233

333 Z2V

pH ,

44

244

444 2Z

VpH

A diferença de pressão total, pt, do ventilador pode ser determinada pelo método manométrico, e corresponde a diferença 3H3 - 2H2 . Se forem desprezadas as energias devido as alturas Z, nas seções “2” e “3”, obtém-se pt :

dinâmicapressãestáticapressão

_

222

233

_

23t 2VV

)p(p (2.51)

É importante observar que devido a compressibilidade dos fluidos com os quais os ventiladores trabalham, a massa específica pode variar de uma seção para outra. Os fatores que influenciam nesta variação são: a temperatura e a velocidade.

Com os devidos cuidados, pode-se considerar que o ar é incompressível para velocidades de no máximo 100 [m/s], com variação da massa específica de ± 3%.

2.6. VAZÃO:

A mecânica dos fluidos define vazão como o volume de fluido que passa através de uma seção transversal qualquer na unidade de tempo, e taxa mássica a quantidade de massa (kg) que passa na seção na unidade de tempo. Esta é determinada com base no princípio da conservação da massa, que, para regime permanente pode ser escrita:

26

SC

AdVm .

Onde “A” é a seção transversal, “V” a velocidade do escoamento normal à seção transversal e “ ” a massa específica do fluido. Aplicando às máquinas hidráulicas onde a variação de “ ” é considerada desprezível, considerando uma velocidade média “V” e fazendo a integração tem-se que a taxa mássica será:

m VA (2.52)

Enquanto a vazão em volume (Q) será dada por:

Qm

VA (2.53)

Esta equação é utilizada para cálculo da velocidade normal (velocidade média) à seção de escoamento quando conhecemos a vazão (em volume) e a seção transversal, ou seja a vazão em função da velocidade média e da área perpendicular a esta velocidade (seção transversal).

2.7. Rotação

Para máquinas geradoras (bombas e ventiladores) a rotação é fornecida pelo motor de acionamento. Se for elétrico os de corrente alternada (C.A.) operam sempre com rotações pré-estabelecidas (assíncronas) que são praticamente constantes; rotações estas que dependem do tipo de construção (normalmente 3450 ou 1750 [RPM]).

Caso seja necessário ter uma rotação diferenciada da rotação do motor, utiliza-se acionamento por correia, por engrenagens ou outro tipo de redutor ou amplificador de rotação. Pode-se utilizar motores de C.C. controlados eletronicamente, mas sua utilização é feita somente em casos especiais.

Já as máquinas motoras (turbinas) são correntemente acopladas a alternadores (geradores de C.A.) que devem trabalhar com rotações síncronas constantes. Essa rotação síncrona depende do número de pares de pólos do gerador e da freqüência da rede elétrica a qual esta ligada a máquina.

nf

p.60

(2.54)

f-freqüência da rede (Brasil - 60 Hz); p-número de pares de pólos do alternador; n-rotação síncrona.

Os motores elétricos podem ser fabricados com vários pares de pólos, os mais comuns são com 1 e 2 ( 3600

rpm síncrona e 3450 rpm assíncrona e 1800 rpm e 1750 rpm).

2.8. Perdas de Carga:

As perdas de carga podem ser calculadas com alguns métodos:

Hazen-Willians:

Um método muito utilizado, sendo válido para diâmetros acima de 50 mm e escoamento com água.

LDQH pc ....643,10 87,485,185,1 (2.55)

Onde: Q – vazão [m3/s] Hpc – perda de carga na tubulação forçada [m] – coeficiente de Hazen-Willians (Tabela 2.1)

27

D – diâmetro interno da tubulação [m] L – comprimento da tubulação reta [m]

Tabela 2.1 – Coeficientes de Hazen-Williams

Darcy-Weisback:

Válida para fluidos incompressíveis, tem a seguinte forma.

gc

DLfH pc 2

.2

(2.56)

Onde: f – coeficiente de atrito, que vem do diagrama de Moody-Rouse Hpc – perda de carga na tubulação [m] – coeficiente de Hazen-Willians D – diâmetro interno da tubulação [m] L – comprimento da tubulação (incluindo as perdas localizadas) [m] C – velocidade [m/s]

Outra forma de obter o coeficiente de atrito, sem precisar do diagrama de Moody-Rouse é usando a fórmula de Colebrook:

5,05,0 .Re51,2

7,3log.0,21

fD

e

f (2.57)

e – rugosidade do material [m] Re – número de Reynolds do escoamento

O inconveniente é que a fórmula anterior requer um processo iterativo. Porém, segundo Miller (Fox & MacDonald, 2001), com somente uma iteração obtêm-se um erro menor que 1% se o valor inicial for estimado com a seguinte relação:

2

9,00 Re74,5

7,3log.25,0 D

ef (2.58)

Sendo o número de Reynolds obtido por:

DVDVRe (2.59)

28

– massa específica [kg/m3] V – velocidade média do escoamento [m/s] D – diâmetro do tubo [m] - viscosidade dinâmica [Pa.s] - viscosidade cinemática [m2/s]

Para perdas localizadas

gckH pc 2

.2

(2.60)

k – coeficiente de perda

Método do comprimento equivalente :

Este método assume que uma tubulação que possui ao longo de sua extensão uma série de singularidades (perdas localizadas) é equivalente a uma tubulação reta de comprimento maior (sem singularidades).

Com base neste conceito o que se faz é adicionar ao comprimento de tubo reto “real” (da tubulação) comprimentos retos “virtuais”, cuja perda de carga seria a mesma caso fossem consideradas as singularidades, ou seja, as singularidades são “substituídas”, para efeito de cálculo, por um comprimento de tubo reto.

A vantagem desta abordagem é que nas fórmulas de Hazen-Williams (eq.2.55) e de Darcy Weisbach (eq. 2.56) o termo “L” corresponde a tubo reto, então o que se faz neste caso é considerar:

eequivalentreto LLL (2.61)

Sendo “Lequivalente” o comprimento devido às singularidades, que são valores obtidos de tabela.

Exemplo: um cotovelo 90º (raio longo) de 50 mm (diâmetro) tem a perda de carga equivalente a um tubo reto de 1,1 m.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

ALÉ, J.V. Turbinas Hidráulicas. Porto Alegre: 2001. Apostila

FOX, R.W.; MACDONALD, A.T. Introdução à mecânica dos fluidos. 5ª Ed. Rio de Janeiro: Ed. LTC, 2001.

GUIMARÃES, L.B. Máquinas Hidráulicas. Curitiba: UFPR, 1991.

HENN, E.A.L. Máquinas de Fluido. 2ª ed, Porto Alegre: UFSM, 2006.

KSB Bombas Hidráulicas S.A. Manual de treinamento: seleção e aplicação de bombas centrífugas. 5ed. 2003

MACINTYRE, A.J. Bombas e instalações de bombeamento. 2ª Ed. Rio de Janeiro: 1997, LTC.

MACINTYRE, A.J. Ventilação industrial e controle da poluição. Rio de Janeiro: 1990, LTC.

MATTOS, E.E.; FALCO, R. Bombas Industriais. 2ª ed. Rio de Janeiro: Interciência, 1998.

MAYS, L.W. Hydraulic Design Handbook. McGraw-Hill: New York, 1999.

SOUZA, Z.; BRAN, R. Máquinas de Fluxo: turbinas, bombas e ventiladores. Rio de Janeiro: ed. LTC, 1969.

29

CAPÍTULO 3 PERDAS E RENDIMENTOS 3.1. Introdução

Na transformação da energia hidráulica em trabalho mecânico ou vice-versa, nem toda energia é realmente convertida de uma forma em outra, como seria o ideal, existindo uma parcela desta energia que acaba sendo perdida em processos irreversíveis, que degradam formas de energia mais nobres (mecânica) em formas de energia de qualidade inferior (calor e energia interna).

Estas perdas que ocorrem nas máquinas de fluxo podem ser classificadas como internas e externas. As internas estão localizadas no interior da carcaça da máquina, resultado da movimentação do fluido nesta região. As externas são as encontradas fora da carcaça, como o atrito do eixo com mancais, anéis de vedação e outras, que não estão relacionadas com o movimento do fluido em seu interior.

Dentre as possíveis perdas que ocorrem, as mais significativas são:

Hidráulicas (perda interna) Volumétricas (perda interna) Mecânicas (perda externa)

3.2. Perdas

A seguir serão analisadas cada uma destas perdas e a forma de estimar seus valores.

Perdas Hidráulicas

Ocorrem dentro das turbomáquinas desde a seção de entrada até a de saída e são as mais significativas. São provocadas pelo:

atrito de superfície entre o fluido e as paredes da máquina (canais de rotor e sistema diretor); deslocamento de camada limite provocado pela forma dos contornos internos das pás, aletas e outras

partes constitutivas; pela dissipação de energia por mudança brusca de seção e direção dos canais que conduzem o fluido

através da máquina; e pelo choque do fluido contra o bordo de ataque das pás, que ocorre quando a máquina funciona fora do

ponto nominal (ponto de projeto).

Estas perdas devem ser consideradas nos cálculos das alturas de queda e elevação, resultando:

pt HHH , (3.1)

“Ht“ é a altura de queda/elevação teórica desenvolvida pelo rotor; “H” é a altura de queda/elevação; “Hp” é a altura de perda de pressão; e “+” é usado para geradores e “-“ para máquinas motoras.

30

Perdas Volumétricas

São as perdas que ocorrem devido à “fuga” de fluido pelos espaços entre o rotor e a carcaça, e entre a carcaça e o eixo, nos labirintos das turbomáquinas. Estas perdas não afetam muito a altura de queda/elevação.

Figura 3.1 – Esquema de labirinto em bomba centrífuga

Os labirintos são os espaços entre o rotor/carcaça e eixo/carcaça da máquina, sendo sua função evitar o atrito sólido (contato) entre estas partes e ao mesmo tempo minimizar a fuga de fluido. São formados por anéis de desgaste renováveis, alojados na parte fixa da máquina ou no rotor, ou em ambos. Estes anéis permitem diminuir a folga e substituição destas partes quando gastos, sem que esse desgaste afete diretamente as partes fixas e móveis da máquina. Os anéis de desgaste são em geral de materiais menos resistentes que o da máquina.

Figura 3.2 – Alguns tipos de labirintos

Verificando a Fig. 3.3 é possível identificar dois pontos de fuga de fluido. Uma parcela (qe) se dá pelo labirinto “Lae” para fora da máquina (eixo/carcaça), e em geral é muito pequena dependendo do labirinto utilizado entre o eixo e a caixa da máquina (engaxetamento ou selo mecânico), podendo ser muitas vezes desprezada. A outra perda (qi) se dá pelo labirinto (Lai) entre o rotor e a carcaça. Esta fuga ocorre no sentido da região de alta pressão para a de baixa pressão, ou seja, nas turbinas ocorre antes de chegar ao rotor, sendo que esta parcela de fluido não participa da transferência de energia, e nas bombas ocorre após passar o rotor, retornando para o tubo de sucção, sendo novamente bombeado, exigindo maior potência de acionamento da bomba.

Desta forma a vazão que realmente passa pelo rotor (Fig. 3.3)e participa efetivamente das trocas de energia:

it qQQ , (3.2)

“Qt“ é a vazão teórica “Q” é a vazão considerada no cálculo das alturas de queda e elevação “qi” é a vazão perdida “+” é usado para geradores e “-“ para máquinas motoras

31

Figura 3.3 – Esquema de perdas por fuga de fluido pelos labirintos nas máquinas de fluxo

Perdas mecânicas

São as perdas externas e representam principalmente as perdas por atrito em mancais, gaxetas e atrito do ar nos acoplamentos e volantes de inércia. Para as turbinas deve-se considerar ainda as perdas devido ao consumo de energia do regulador de velocidades.

As perdas nos mancais são função do peso da parte rotativa que ele suporta, da velocidade tangencial do eixo e do coeficiente de atrito entre as superfícies de contato.

No caso das gaxetas deve-se considerar a velocidade tangencial do eixo, o coeficiente de atrito, da superfície de atrito e do grau de aperto da sobreposta da gaxeta, quanto maior este aperto maiores as perdas mecânicas.

3.3. POTÊNCIAS

A potência é efetivamente a grandeza mais importante em termos de custos envolvidos em uma instalação, tanto de máquinas geradoras como máquinas motoras. Esta grandeza define a quantidade de energia por unidade de tempo gerada por máquinas motoras (turbinas) ou consumida por máquinas geradoras (bombas e ventiladores).

Figura 3.4 – Esquema indicando as perdas em máquina geradora

A Fig. 3.4 mostra as potências e perdas durante o processo de transformação de energia elétrica em energia hidráulica em uma máquina geradora. Conforme pode-se verificar da figura, o motor elétrico entrega potência ao sistema (eixo), sendo que parte da potência é perdida como perdas mecânicas (Ppm). O rotor recebe uma parcela de potência (Per) sendo parte perdida (Ppr) devido ao atrito com as pás, descolamento de filme, e outras. O fluido que sai do rotor carrega uma potência e perde parte no atrito com a carcaça, turbulência, e outras (Ppi), sendo a potência efetivamente recebida pelo fluido desde sua entrada até a saída da bomba a parcela de potência hidráulica (Ph).

32

Figura 3.5 – Esquema indicando as perdas em máquina motora

A Fig. 3.5 mostra as potências e perdas durante o processo de transformação de energia hidráulica em energia elétrica em uma máquina motora. Conforme pode-se verificar da figura, o fluido entrega potência ao sistema (Ph), sendo que parte da potência é perdida como perdas internas (Ppi). O rotor recebe uma parcela de potência (Pi) sendo parte perdida (Ppr) devido ao atrito com as pás, descolamento de filme, e outras. O fluido que sai do rotor carrega uma potência (Per) e perde parte como perda mecânica (Ppm) resultando a potência efetiva entregue para o eixo de saída. Se houver algum tipo de transmissão entre o eixo e o gerador, pode haver ainda uma perda de potência na transmissão, e há finalmente uma perda no gerador, resultando depois de todo este trajeto uma parcela de potência elétrica.

Potência eficaz (total)

Conforme já mencionado é natural que ocorram perdas hidráulicas no interior das máquinas hidráulicas e perdas mecânicas pelo atrito mecânico que ocorrem externamente entre as suas partes fixas e girantes. Assim, nem toda energia cedida ou recebida pelo fluido pode ser transformada em trabalho mecânico no eixo da máquina, tem-se então a potência eficaz ou efetiva é que expressa pela potência entregue/recebida do fluido, mais as potências perdidas no processo.

pmipmprepiprpmhef PPPPPPPPPP (3.3)

“Pef“ é a potência eficaz no eixo da máquina “Ph” é a potência hidráulica “Pp” é a potência perdida “Pi“ é a potência interna “Ppm” é a potência perdida mecânica “+” é usado para geradores e “-“ para máquinas motoras

A potência efetiva ou eficaz (Pef) é definida como sendo a potência entregue pela turbina ao gerador ou a

potência entregue pelo motor à bomba ou ventilador.

Todas as perdas internas e externas produzem uma perda de potência que reduz a entrega, ou aumenta a necessidade, de potência eficaz das máquinas.

Potência perdida no rotor

Durante o funcionamento do equipamento o rotor está imerso no fluido de trabalho. Ao entrar em operação, o atrito do fluido com o rotor gera uma perda de potência, que será denominada neste texto de potência perdida no rotor (Ppr). Também conhecida por perda por atrito de disco (disk friction loss).

Segundo HENN (2006), a potência consumida por esta perda pode ser estimada por:

23DuKPpr (3.4)

“K” é um coeficiente adimensional função do número de Reynolds é a massa específica do fluido de trabalho [kg/m3] “u” é a velocidade tangencial correspondente ao diâmetro externo do rotor [m/s] “D“ é o diâmetro externo do rotor [m]

33

60Dnu (3.5)

“n” é a rotação [rpm]

Segundo HENN (2006) nas máquinas axiais esta perda pode, em geral, ser desprezada. Para rotor radial semi-aberto (uma superfície de contato) ou de um rotor com dupla admissão, considera-se somente metade do valor calculado como perda no rotor.

Potência interna

Considerando somente as perdas internas obtêm-se a potência interna:

ttpii HQHHqQP (3.6)

“Pi“ é a potência interna “+” é usado para geradores e “-“ para máquinas motoras

Potência de elevação

Dada por:

tpe QHHHQP (3.6)

“Pi“ é a potência interna “+” é usado para geradores e “-“ para máquinas motoras

Potência hidráulica

Aplicando o conceito físico, definimos a potência hidráulica como sendo o produto do peso de fluido que passa através da máquina, na unidade de tempo, pela altura de queda ou elevação; portanto este conceito é útil tanto para bombas como para turbinas hidráulicas:

Assim pode-se escrever:

gQHQHPh (3.7)

:peso específico em [N/m3] Q: vazão em volume [m3/s] H: altura de queda ou elevação [m] Ph: potência hidráulica [W] g: gravidade (adota-se nesta apostila o valor de 9,81 m/s2) : massa específica [kg/m3]

Então, potência hidráulica é a potência entregue a máquina motora (turbina) ou a potência fornecida pela

máquina geradora (bomba) pelo/para o fluido. Esta potência difere da potência efetiva devido a perdas que ocorrem nas transformações de energia, como será visto no próximo capítulo.

Para ventiladores a potência hidráulica é dada por;

QHpQP th (3.8)

Considerando que a potência perdida interna é a produzida pelas perdas de pressão e por fuga de fluido:

pihi PPP

(3.9)

34

“Ph“ é a potência hidráulica “Ppi” é a potência perdida interna “+” é usado para geradores e “-“ para máquinas motoras

Potência bruta - turbinas

Conceito utilizado para turbinas, é a potência contida no desnível topográfico da instalação, sendo uma função da queda bruta.

geob gQHP (3.10)

Potência no gerador elétrico - turbinas

Conceito utilizado para turbinas, é a potência elétrica nos terminais do gerador. É a potência hidráulica multiplicada pelo rendimento da turbina ( t), rendimento de transmissão ( TR) e rendimento do gerador ( ge). O produto dos três rendimentos é o rendimento global ( G).

O rendimento da transmissão diz respeito às perdas provocadas pela potência entregue pelo eixo da turbina e a potência recebida pelo gerador. Neste processo pode-se ter perdas caso a transmissão seja feita por polias e correias, ou outro elemento de transmissão que possa ser usado.

O rendimento de geração está relacionado com as perdas no gerador, que fazem com que a potência elétrica entregue pelo gerador seja diferente da potência recebida por este.

GgeTRtge gQHgQHP

(3.11)

geTRtG

(3.12)

Tabela 3.1 – Rendimento global ( G) de geração de turbinas hidráulicas.

3.4. Rendimentos

As perdas descritas anteriormente são difíceis de quantificar, por isto o que se faz é relacioná-las através dos rendimentos e da potência.

Rendimento hidráulico:

Considera as perdas de pressão no interior da máquina. Como é muito difícil a obtenção do termo “Hp” na eq.3.1, faz-se uma relação que define o rendimento hidráulico (hydraulic efficiency) o que permite avaliar as perdas.

1

th H

H

(3.13)

“+” é usado para geradores e “-“ para máquinas motoras

35

Rendimento volumétrico

Considera as perdas por fuga de fluido e para determinar isto é .

11

tiv Q

QqQ

Q

(3.14)

“+” é usado para geradores e “-“ para máquinas motoras

Rendimento interno

Considera as perdas de pressão e por fuga de fluido, .

vhi

hi P

P .1

(3.15)

“+” é usado para geradores e “-“ para máquinas motoras

Rendimento mecânico

É o rendimento que considera as perdas externas e sua relação é dada por:

1

ef

im P

P

(3.16)

“+” é usado para geradores e “-“ para máquinas motoras

Rendimento total

A potência efetiva relaciona-se com a potência hidráulica através do rendimento total da instalação, que é sempre menor que 1. Como é difícil a determinação das perdas, é usual adotar-se outra grandeza denominada de rendimento total, a qual permite avaliar estas perdas.

mhtmvhef

ht

v

PP ... 1

1

(3.17)

“+” é usado para geradores e “-“ para máquinas motoras

Para bombas e ventiladores, dependendo do tamanho da máquina, o rendimento total varia de 60 a 85%.

Rendimento do gerador ge) - turbinas Tem a relação mostrada a seguir e fica na faixa de 90 a 97%.

e

gege P

P

(3.18)

Rendimento:

A tabela 3.2 mostra os rendimentos orientativos para turbinas:

36

Tabela 3.2 – Rendimentos orientativos para turbinas

EXERCÍCIOS

1. Calcule a altura de queda e a potência efetiva do aproveitamento hidroelétrico esquematizado na Fig.1, sabendo que o rendimento total é de 89% e conhecendo-se:

a. Q=0,4 m3/s b. Diâmetro na tubulação de entrada: 300 mm c. Largura do tubo de sucção na saída: 500 mm d. Altura do tubo de sucção na saída: 200 mm

Resp. H=39,32 m; Pef=186,6 CV

Figura 1 Figura 2

2. Calcule o desnível entre o nível do reservatório de aspiração e o do reservatório elevado (Fig.2), para a vazão de 0,020 m3/s, conhecendo-se:

a. Altura de pressão na saída da bomba: 40 mca b. Altura de pressão na entrada da bomba: 2 mca c. Diâmetro de sucção: 0,1 m d. Diâmetro de recalque 0,075 m e. Perda de carga na sucção: 1,22 mca f. Perda de carga no recalque: 4,0 mca

Resp. Hest=33,65 m

3. Determinar a altura de queda e a potência hidráulica da turbina Francis instalada em um laboratório de máquinas hidráulicas (Fig. 3) sabendo que:

a. Q=56,2 l/s b. Pressão indicada no manômetro: 3,2 mca c. Diâmetro da entrada da máquina: 280 mm d. Velocidade na saída: desprezível

Resp. H=5,04 m; Ph=2,78 kW

Figura 3 Figura 4

37

4. Determinar a altura de elevação e a potência hidráulica da bomba de um laboratório de máquinas hidráulicas (Fig.4), sabendo-se que:

a. Pressão indicada no manômetro: 6 mca b. Pressão indicada no vacuômetro: -3,5 mca c. Vazão recalcada: 56,2 l/s d. Diâmetro da tubulação na entrada: 300 mm e. Diâmetro da tubulação na saída: 250 mm Resp. H=9,73 mca; Ph=5,36 kW

5. Em uma instalação de bombeamento (Fig.5) são conhecidos os seguintes dados:

a. Q=10 l/s b. Diâmetro da tubulação de sucção: 3” c. Diâmetro da tubulação de recalque: 2 ½” d. Perda de carga na sucção: 0,56 m e. Perda de carga no recalque: 11,4 m f. Rendimento total: 85%

Pede-se determinar: Potência hidráulica da bomba Potência efetiva da bomba Pressão que indicará um vacuômetro instalado na linha de sucção a uma altura de 5 m do nível da água Pressão que indicará um manômetro instalado no tubo de recalque, na posição indicada na figura.

Resp. a) 5,09kW; b) 8,15 CV; c) -5,805 mca; d) 44,89mca

Figura 5 Figura 6

6. Calcule a diferença de pressão estática ( p), em mmHg, fornecida por um ventilador da Fig. 6 e também sua potência efetiva, sabendo que:

a. Q=50 m3/s b. L2xb2=2 x1,5 m2 c. D1=2 m d. Rendimento total de 80%

Resp. p=122,86 mmHg; Pef= 1.417,62CV

7. Determinar a potência hidráulica e efetiva de uma turbina de ação (Pelton) sendo: a. Q=150 l/s b. Pressão do manômetro da entrada: 455 mca c. Diâmetro externo do injetor na seção de medida de pressão: 30 cm d. Diâmetro interno do injetor na seção de medida de pressão: 15 cm e. Correção de instalação do manômetro: desprezível f. Rendimento total: 85%

Resp. Ph=669,4 kW; Pef=774,2 CV

8. No aproveitamento hidroelétrico da Fig.7, deseja-se saber o valor da vazão turbinada, da perda de carga no medidor de vazão e da perda de carga total na tubulação forçada, conhecendo-se :

a. Pressão na entrada do manômetro: 93,44 mca b. Velocidade da água no canal de fuga: 0,88 m/s c. Relação entre as áreas do medidor de vazão e da tubulação forçada: 0,55 d. Diâmetro do bocal: 0,89 m e. Diferença de pressão no bocal: 5% de H f. Relação entre a perda de carga na tubulação forçada e a altura disponível: 0,10

38

g. O diâmetro de entrada da turbina é igual ao da tubulação forçada h. Considerar a diferença de pressão no bocal, como perda de carga

Resp. H=98,20 mca, Q=6,74 m3/s; Hmedidor=4,91 mca; hP=14,73 mca

Figura 7 Figura 8

9. Determinar a altura disponível e a potência hidráulica da bomba de abastecimento (Fig.8) da torre do banco de turbinas de um laboratório de máquinas hidráulicas sabendo que:

a. Pressão na entrada da máquina: -5,5 mca b. Pressão na saída da máquina: 5,5 mca c. Vazão recalcada: 56,2 l/s d. Diâmetro da tubulação de entrada: 300 mm e. Diâmetro da tubulação de saída: 250 mm

Resp. H=10,98 mca; Ph=8,0 CV

10. Determinar a altura disponível e a potência hidráulica da turbina Francis instalada em laboratório de máquinas hidráulicas (Fig. 9) sabendo que::

a. Pressão na entrada da máquina: 3,2 mca b. Energia de velocidade na saída da máquina desprezível c. Diâmetro da entrada da máquina: 280 mm d. Vazão: 56,2 l/s

Resp.

Figura 9 Figura 10

11. Determinar a potência hidráulica que pode fornecer o aproveitamento da Fig.10, sabendo que: a. Queda bruta é de 18 m b. Prevê-se a construção de uma barragem que irá elevar esta queda em 2 m c. A vazão que será encaminhada através da tomada d’água à tubulação adutora, de 3,0 por 0,5 m, por meio de um molinete

de equação: c=0,0911.n+0,038. Obteve-se 58 sinais por minuto e considerou-se a velocidade média d. O comprimento virtual da tubulação adutora será de 80 metros e a velocidade do escoamento no seu interior será de 2,5

m/s e. a velocidade da água no canal de fuga é desprezível

12. Na instalação esquematizada na Fig.11, foram medidas as seguintes grandezas:

a. Pressão no manômetro: 50 mca b. Pressão no vacuômetro: -3 mca c. Diferença de pressão no manômetro acoplado ao bocal medidor de vazão: 1,0 mca d. Número de Reynolds do escoamento na tubulação de recalque maior que 2.105

39

Pede-se determinar a potência hidráulica da bomba. (Resp. 2881,2 W)

Figura 11 Figura 12

13. Na travessia da Baia de Guaratuba com uma linha adutora mergulhada para abastecimento da cidade, há necessidade de um

controle permanente de vazão, tanto na entrada como na saída da adutora, a fim de detectar qualquer vazamento da mesma. Para realizar este controle serão instalados dois venturis, um na saída e outro na entrada da adutora, ambos ligados a

aparelhos registradores, de modo a se ter em qualquer instante, o valor da vazão. Deseja-se saber o acréscimo no custo de operação anual da bomba alimentadora do sistema, sabendo que a diferença de

pressão acusada pelos medidores deve ser compensada por um acréscimo na altura disponível da bomba, de maneira que a pressão reinante na saída da adutora seja igual a pressão reinante no mesmo ponto, caso não existissem os aparelhos medidores.

Características da adutora: a. Vazão: 60 l/s b. Diâmetro: 150 mm c. Tempo de funcionamento: 10 horas por dia 360 dias por ano d. Custo kWh: R$ 0,3879/kWh e. Venturi I: diâmetro de 100 mm f. Venturi II: diâmetro de 110 mm g. Para o cálculo da potência usar o rendimento total como 74%

14. Pergunta-se qual o valor do acréscimo ou decréscimo na produção de energia, na instalação da figura, se forem feitas as seguintes

modificações na mesma: a. Eliminação de 0,36 m de perda de carga na entrada da adutora pela adoção de cantos arredondados; b. Uma vez determinada a vazão por meio do bocal, eliminação total do aparelho. Considerar a diferença de pressões no

bocal igual a perda de carga localizada no mesmo. c. Abaixamento do nível de jusante de 0,5 m

A vazão, por hipótese, é a mesma antes e depois das modificações. Considerar que a turbina tem um rendimento total de 80%, funciona 10 horas por dia, durante 360 dias por ano e que o preço do kWh é de R$ 0,3879/kWh.

Figura 13

15. Determinar na instalação de bombeamento da Fig.14, a leitura do manômetro e a vazão da bomba para as seguintes condições:

a. Potência hidráulica da bomba: 26,65 CV b. Perda de carga no medidor de vazão igual a 10% da altura disponível da bomba c. Diâmetro do orifício do diafragma igual a 100 mm d. Pressão negativa na entrada da bomba: -3,53 mca e. Coeficiente de vazão (Cq) constante com o número de Reynolds f. Diâmetro de recalque igual ao diâmetro de sucção g. Relação entre as áreas do orifício e da tubulação: 0,6

Resp. 0,2931 m3/s ; 1,987 mca.

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Figura 14 Figura 15

16. Em uma instalação de recalque são conhecidos os seguintes dados:

a. Vazão: 10 l/s b. Altura bruta: 40 m c. Diâmetro da linha de sucção: 3” d. Diâmetro da linha de recalque: 2 ½ “ e. Perda de carga na linha de sucção: 0,56 m f. Perda de carga na linha de recalque: 11,4 m

Pede-se determinar: A potência hidráulica da bomba A pressão que indicará um vacuômetro instalado na linha de sucção a uma altura de 5 m do nível da água A pressão que indicará um manômetro instalado no tubo de recalque, na posição indicada na Fig.15

17. Na instalação da Fig.16, deseja-se conhecer o valor da altura estática de recalque, sendo conhecidos os seguintes elementos, além

dos constantes no desenho: a. Leitura do vacuômetro: -2,96 mca b. Leitura do manômetro: 23,60 mca c. Diferença de pressão no bocal: 0,58 mca d. Diâmetro do orifício do bocal: 0,107 m e. Considerar que o coeficiente de vazão (Cq) é constante com Reynolds. f. Comprimento dos trechos retilíneos da tubulação de recalque: 27 m g. Material construtivo da tubulação: ferro galvanizado h. Diâmetro da tubulação de sucção: 0,20 m i. Diâmetro da tubulação de recalque: 0,15 m

Figura 16

18. Na instalação da Fig.17, o cálculo da potência, usando a altura disponível determinada através da leitura manométricas, difere do

resultado obtido pela balança dinamométrica que aciona a bomba.

41

Como os demais aparelhos estão calibrados, desconfia-se que o manômetro colocado na saída da bomba apresenta algum defeito, não registrando corretamente a pressão existente naquele ponto.

A fim de dirimir a dúvida, pede-se calcular analiticamente o valor da pressão no manômetro, comparando-a com a leitura do aparelho.

Dado: a. Leitura do manômetro: 36,40 mca b. Leitura do vacuômetro: -2,96 mca c. Diferença de pressão no bocal: 0,927 mca (considerar como perda de carga) d. Diâmetro do orifício do bocal: 0,107 m e. Diâmetro da tubulação de recalque: 0,150 m f. Diâmetro da tubulação de sucção: 0,200 m

Os demais valores estão apresentados na figura e sabe-se que o valor do coeficiente de vazão é constante com Reynolds.

Figura 17

19. Na instalação abaixo esquematizada pede-se determinar a potência hidráulica e as pressões que registrarão os aparelhos de medida

instalados na entrada e saída da bomba. Sabe-se que:

a. A vazão a ser recalcada é de 60 m3/h b. A viscosidade da água é de 10-6 m2/s c. A perda de carga no medidor de vazão é de 0,30 mca d. A tubulação é de ferro galvanizado

Figura 18

20. A bomba hidráulica de fluxo da Fig.19 fornece uma potência hidráulica de 3,1 CV. Pergunta-se qual a diferença de pressões lida no

manômetro ligado ao medidor de vazão de orifício do tipo bocal, quando a velocidade na linha de recalque for uma vez e meia a velocidade na linha de entrada da bomba.

a. Viscosidade cinemática da água: 10-6 m2/s b. Diâmetro do orifício do bocal: 37,67 mm c. Líquido manométrico: tetracloreto de carbono (massa específica=1625,4 kg/m3)

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Figura 19

21. A turbina Francis de ns=200, da instalação abaixo, no seu ponto de máximo rendimento, gira a 1.200 rpm e engole uma vazão de

0,875 m3/s. Pede-se determinar para o ponto considerado: a. A pressão registrada no manômetro instalado em sua entrada, considerando que a diferença de pressão provocada pelo

bocal é toda da perda de carga; b. Potência efetiva

Considerando: Diâmetro da tubulação de adução: 500 mm Material construtivo: aço rebitado Comprimento virtual: 152 m de tubo Diâmetro do orifício do bocal: 402 mm Reynolds maior que 2.105

Figura 20

22. Estuda-se uma instalação de bombeamento para uma indústria, tendo-se chegado as duas alternativas esquematizadas na Fig.21, em virtude da disponibilidade de canos no local.

A vazão a ser recalcada é de 12 m3/h, sendo o líquido a recalcar, água limpa com viscosidade cinemática igual a 10-6 m2/s. Na alternativa “A” a linha de ferro galvanizado com rugosidade média, vai direto ao reservatório elevado. Suas

características são: diâmetro de 2” e comprimento dos trechos retilíneos de tubo 30 m. Na alternativa “B”, a linha é do mesmo material construtivo e tem uma derivação, que será usada eventualmente, sendo a

direção do fluxo determinada pelos registros situados junto ao “T” dessa derivação. Suas características são: diâmetro de 2 ½ “, e comprimento dos trechos retilíneos de tubo de 50 m.

Pede-se informar para uma tomada de decisão, qual o valor do consumo mensal de cada alternativa, para um custo de kWh de R$ 0,3879/kWh.

Observações: Pressupõe-se que as bombas para cada caso terão rendimento igual de 50% e funcionamento intermintente, totalizando 8

horas por dia, 20 dias por mês; e Desprezar as perdas de carga na linha de sucção, face a seu pequeno diâmetro

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Figura 21

23. Pede-se calcular para a instalação de resfriamento da Fig.22, a altura disponível e a potência hidráulica da bomba hidráulica de fluxo

utilizada para seu funcionamento. São conhecidos: a. Vazão: 227 l/min b. Viscosidade cinemática da água: 10-6 m2/s

Figura 22

24. A instalação de bombeamento da Fig.23 destina-se a abastecer de água potável, o reservatório elevado de um prédio de apartamentos.

Visando aproveitar tubos de 2” existentes no almoxarifado da construtora, a seção técnica da mesma recebeu consulta sobre o efeito que haveria, se a tubulação fosse construída não com o diâmetro de 2 ½ “ especificado no projeto, mas com o diâmetro de 2”.

Como a diferença de custo entre as duas instalações , tubulação e bomba, não é muito significativo, a seção técnica decidiu expressar o efeito através do acréscimo do custo mensal da energia consumida, uma vez que ficou decidido não alterar a vazão de projeto, uma vez que a capacidade do reservatório elevado não é grande.

Pede-se determinar este acréscimo de custo mensal e também os valores de pressão que serão registrados nos manômetros instalados na entrada e na saída da bomba, para as duas situações, sabendo que:

Tempo de funcionamento da bomba é de 6 horas por dia e 30 dias por mês

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Custo do kWh: R$ 0,3879/kWh Vazão de projeto: 200 l/min Viscosidade cinemática da água: 10-6 m2/s Rendimento total das bombas: 60% Perda de carga na tubulação de sucção desprezível Diâmetros das tubulações de sucção e recalque são iguais Material construtivo das tubulações: ferro galvanizado Comprimento total da tubulação de recalque: 75 m de tubo Singularidades da tubulação:

o a - registro de gaveta o b – válvula de retenção (tipo leve) o c – cotovelo de 90º (raio longo) o d – “T” de passagem direta (2 “) – comprimento equivalente de 3,5 m de tubo o d – “T” de passagem direta (2 ½ “) – comprimento equivalente de 4,3 m de tubo o e – saída da canalização o f – entrada de borda

Figura 23

25. A instalação de bombeamento da Fig.24 é utilizada para recalcar, por minuto, 600 litros de água limpa, do reservatório A ao B. Com a finalidade de se controlar melhor a pressão na entrada e na saída da bomba, decidiu-se instalar em cada um desses pontos, manômetros (ou vacuômetros), do tipo Bourdon.

Pede-se calcular o valor da pressão que cada um dos aparelhos registrará, para que se possa adquiri-los com amplitude de escala adequada.

Dados da instalação: a. Material construtivo: ferro galvanizado (k=0,000153) b. Diâmetro das tubulações de entrada e saída: 100 mm c. Dimensões da figura em metros

45

Figura 24

26. Uma indústria precisa recalcar 36 m3/h de água limpa, a uma altura de 25 m, em uma instalação que deverá funcionar 20 horas por

dia, 300 dias por ano. O diâmetro econômico da tubulação de recalque para atender tais requisitos, resultou em 125 mm, conduzindo em função

do material escolhido a uma perda de carga de 1,04 mca. A linha de sucção foi desprezada , em virtude de seu pequeno comprimento e pelo fato de que a bomba irá trabalhar afogada.

O cálculo do custo da tubulação de 125 mm completa, atingiu a cifra de R$ 59.340,00 e o diretor técnico da empresa decidiu estudar a alternativa de utilizar uma tubulação de 75 mm de diâmetro, já existente no local e de custo amortizado, mesmo sabendo que ela levará a uma perda de carga no recalque de 11,13 m.

A seção técnica, responsável pelo estudo da alternativa economicamente mais interessante, pesquisou catálogos de diversos fabricantes, concluindo haver duas bombas aptas da recalcar o líquido, tanto com o tubo de 125 mm , quanto com o de 75 mm. Essas bombas são a MHI e MHII, cujas curvas estão em anexo.

Na seção técnica você foi escolhido para desenvolver o estudo e indicar a alternativa com o menor custo (aquisição + consumo de energia elétrica), ao final do primeiro ano de operação, sabendo que o custo do kWh é de R$ 0,3879/kWh.

Dados adicionais: o Prever uma folga de 15% para vencer o conjugado de partida o Curvas características da bomba MHI e respectivos preços o Curvas características da bomba MHII e respectivos preços o Lista de preços de motores elétricos de 60 Hz – 220/380 V

CV n = 3450 rpm n = 1760 rpm

3,0 R$ 5.943,18 R$ 8.104,34

4,0 R$ 8.270,58 R$ 9.392,72

5,0 R$ 8.769,31 R$ 9.766,77

6,0 R$ 9.600,53 R$ 11.720,12

7,5 R$ 10.265,50 R$ 17.164,58

10,0 R$ 13.548,79 R$ 18.037,35

12,5 R$ 19.325,73 R$ 22.193,42

15,0 R$ 21.362,21 R$ 26.848,22

20,0 R$ 23.440,24 R$ 31.544,58

27. Deseja-se estudar a viabilidade de reativar uma usina hidrelétrica paralisada há longo tempo. Uma inspeção detalhada da instalação

revelou que a máquina encontra-se em bom estado, mas a tubulação forçada está inutilizada pela corrosão e o manômetro da entrada da turbina foi extraviado. A análise de desenhos existentes no local permitiu montar o esquema abaixo, para auxiliar os cálculos do estudo que deverão determinar:

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a. A altura disponível e o valor da pressão registrada pelo manômetro de entrada da turbina, caso seja utilizada uma tubulação de mesmo diâmetro e material construtivo da existente;

b. A perda de potência hidráulica decorrente da substituição da tubulação por outra, de mesmo material construtivo e comprimento virtual, mas de 1,5 m de diâmetro, com medidor de vazão do mesmo tipo e mesma relação de área e pressupondo que a vazão engolida pela turbina e o nível de jusante permanecem inalterados. Pede-se efetuar estes cálculos sabendo que:

o Diâmetro da adutora: 2,0 m o Material: aço rebitado o Comprimento virtual da adutora: 322 m o Viscosidade cinemática da água: 10-6 m2/s o Diafragma padrão DIN o Orifício do diafragma: 1,68 m o Coeficiente de vazão (Cq) constante com Reynolds o Perda de carga (H) do medidor de vazão: 5,67 cmHg

Figura 25

28. Na instalação da Fig.26, a altura disponível desenvolvida pela bomba é de 76 mca, para uma vazão de 200 l/min de água limpa a

temperatura ambiente (viscosidade cinemática de 10-6 m2/s). Pede-se determinar para este ponto de funcionamento, o valor registrado pelos manômetros instalados na entrada e na saída da bomba. Considerando que o material é de ferro galvanizado.

Singularidades: o 1 – entrada de borda o 2 – registro de gaveta

Figura 26

29. Uma bomba, quando nova, apresentava os seguintes dados: a. Rendimento hidráulico: 96% b. Altura de sucção: 10 mca c. Altura de recalque: 35 mca d. Vazão: 120 l/s e. Vazão de fuga: 13 l/s

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f. Potência eficaz: 46,7 CV Porém, com o desgaste, para os mesmos valores de sucção, obtiveram-se os seguintes valores: Vazão de fuga: 20 l/s Altura de recalque: 29 mca Pergunta-se, para a bomba nova: Rendimento mecânico (Resp. 98%) Rendimento volumétrico (Resp. 90,2%) Pergunta-se, para a bomba usada: A altura de perda se o novo rendimento hidráulico é de 73% (Resp. 7,02 mca) Rendimento total se o rendimento mecânico não se alterou (Resp. 61,3%) Potência perdida mecanicamente (Resp. 1,0 CV) Potência hidráulica (Resp. 30,4 CV)

30. Uma bomba, quando nova, apresentava os seguintes dados:

g. Rendimento hidráulico: 96% h. Altura de sucção: 10 mca i. Altura de recalque: 35 mca j. Vazão: 120 l/s k. Vazão de fuga: 13 l/s l. Potência eficaz: 46,7 CV

Porém, com o desgaste, para os mesmos valores de sucção, obtiveram-se os seguintes valores: Vazão de fuga: 20 l/s Potência eficaz: 72,8 CV Altura de recalque: 29 mca Pergunta-se, para a bomba nova: Rendimento mecânico (Resp. 98%) Rendimento volumétrico (Resp. 90,2%) Pergunta-se, para a bomba usada: A altura de perda se o novo rendimento hidráulico é de 87% (Resp. 2,84 mca) Rendimento total (Resp. 41,8%) Potência perdida mecanicamente (Resp.32,1 CV) Potência hidráulica (resp. 30,4 CV)

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Tabelas

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

GUIMARÃES, L.B. Máquinas hidráulicas. Curitiba: UFPR, 1991.

HENN, E.A.L. Máquinas de fluido. 2ª ed, Porto Alegre: UFSM, 2006.

MACINTYRE, A.J. Bombas e instalações de bombeamento. 2ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997.

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CAPÍTULO 4 CAVITAÇÃO

4.1 Introdução

A cavitação é um fenômeno indesejado no funcionamento das máquinas de fluxo e ocorre em regiões de altas velocidades e baixa pressão dos tubos de sucção em máquinas motoras e geradoras.

Isto faz com que as condições de sucção tenham papel importante no projeto e nas especificações das instalações para o correto funcionamento tanto de bombas como de turbinas.

Figura 4.1 – Cavitação em rotores de máquinas de fluxo

4.2 FENÔMENO FÍSICO

No funcionamento de máquinas de fluxo é possível perceber regiões onde ocorre rarefação do líquido, ou seja, pressões reduzidas devido às condições de operação do equipamento. Quando a pressão absoluta abaixa até a pressão de vapor do líquido na temperatura em que se encontra, tem início o processo de vaporização.

Inicialmente nas regiões mais rarefeitas, formam-se pequenas bolhas ou cavidades (daí o nome cavitação) no interior das quais o líquido está vaporizado. Ao serem conduzidas pela corrente líquida, devido ao movimento do rotor (propulsor), chegam a zonas de alta pressão, entrando em colapso. Neste ponto o vapor contido nas bolhas condensa voltando ao estado líquido.

Estudos indicam que a origem das bolhas ocorre em pequenas cavidades nas paredes do material e/ou em torno de pequenas impurezas no líquido próximas à superfície, também conhecidas por núcleos de vaporização ou de cavitação.

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Figura 4.2 – Cavitação em rotor axial (formação de bolhas)

Quando a pressão do líquido fica maior que da bolha suas dimensões diminuem até entrar em colapso, permitindo a entrada do líquido que está em volta em seu interior. Isto gera uma alteração no campo de velocidades e pressão, diferente do que seria esperado num escoamento normal.

Figura 4.3 – Cavitação em um Venturi (fonte: Turton, 1995)

Este líquido que já está a altas velocidades fora da bolha, encontra uma região de pouca resistência ao penetrar na região “colapsada”, aumentando ainda mais sua velocidade (Fig.4.4). Ao atingir regiões sólidas (rotor, carcaça, etc), parte da energia contida nestas partículas é transferida para o material podendo desagregar os elementos de material de menor coesão, formando pequenos orifícios. Dependendo da frequência da ocorrência do fenômeno, esta região pode se desgastar cada vez mais, aumentando a erosão na superfície, e comprometendo o funcionamento das partes da máquina.

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Figura 4.4 – Modelo de colapso da bolha e cavitação (fonte: Turton, 1995 [Lush, 1987])

Este processo ocorre com alta frequência, podendo atingir a ordem de 25 mil bolhas por segundo. A duração (surgimento-colapso) é da ordem de milionésimos de segundos.

É possível verificar a ocorrência do fenômeno da cavitação através de inspeção visual (caso seja possível abrir a máquina) ou mesmo pelo som característico quando a máquina estiver em funcionamento.

Além de ocorrer no rotor, este fenômeno pode ocorrer nas pás do difusor, na voluta, na boca de entrada de água, etc.

Ao detectar um rotor com certo desgaste é importante definir de forma correta a origem do problema. Não se deve confundir os fenômenos de cavitação, erosão e corrosão. A erosão ocorre devido ao contato de partículas sólidas com o rotor, enquanto a corrosão ocorre devido a incompatibilidade entre o material do rotor e o fluido. Lembrando que os três podem ocorrer juntos.

4.3 CONSEQÜÊNCIAS DA CAVITAÇÃO

A remoção de partículas do rotor ou de partes sólidas do equipamento acaba por gerar alguns inconvenientes no funcionamento do sistema:

Queda de rendimento Marcha irregular, trepidação e vibração da máquina, devido ao desbalanceamento gerado Ruído da implosão do fluido na parte sólida Redução da vazão da máquina devido à redução da seção útil de passagem de fluido devido ao

preenchimento do espaço por bolhas Alteração nas curvas características devido à diferença de volume específico do fluido (líquido-vapor)

e da turbulência

4.4 MATERIAIS EMPREGADOS

A cavitação é um dos aspectos que torna a escolha do material para confecção da máquina hidráulica de grande importância.

Inicialmente os rotores eram construídos em aço carbono A27, mas a partir de 1980 vem sendo substituídos por aços inoxidáveis martensíticos macios (11-13% Cr, 1-6% Ni), porém o mais tradicional, por ter maior resistência à cavitação é o CA-6NM.

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A classificação dos aços inoxidáveis fundidos é dada pelo Alloy Casting Institute (ACI) de acordo com a composição química e utilização. A primeira letra indica seu uso, se resistente à corrosão (C) ou às altas temperaturas (H). A segunda letra classifica os teores de cromo e níquel. A designação vai de “A” a “Z” conforme aumenta o teor de níquel. Os números que acompanham estas letras indicam o máximo teor de carbono (% x 100). E finalmente os elementos de liga presentes são indicados pela primeira letra correspondente a cada elemento. Assim, o aço CA-6NM é um aço resistente à corrosão do tipo 13% de Cr, ligado ao níquel e molibdênio contendo no máximo 0,06% de carbono.

Alguns materiais com capacidade de resistir à cavitação são listados a seguir em ordem crescente de resistência:

Ferro fundido Alumínio Bronze Aço fundido Aço doce laminado Bronze fosforoso Bronze manganês Aço Siemens-Martin Aço níquel Aço cromo Ligas de aço inoxidável especial

Outra possibilidade é o revestimento do material com elastômetros, que tem gerado boa resistência à

cavitação. Exemplos são o neoprene, poliuretano, estireno-butadieno e outros. Além destes pode-se citar os Stellite 21, Stellite 6 e os aços IRECA (improved resistance cavitation) conhecidos comercialmente como Cavitalloy, CaviTec e Hidroloy.

Se um rotor foi danificado por cavitação pode-se tentar recuperá-lo preenchendo o local com solda elétrica que geralmente produz revestimentos de boa qualidade e bom desempenho à cavitação. Deve-se cuidar para que o metal base não apresente distorções e trincamento devido às condições térmicas na aplicação. O excesso de material é tirado com esmerilhadeira para obtenção da rugosidade desejada. Quanto menor a rugosidade, maior a resistência a cavitação.

4.5 COMO EVITAR A CAVITAÇÃO

A seguir são apresentadas algumas precauções para evitar que ocorra cavitação nas bombas radiais:

Pequeno valor da relação entre diâmetros de entrada e saída das pás Pequeno valor da relação entre o quadrado do raio de entrada e o comprimento do filete médio

para o caso de pás com dupla curvatura Número suficientemente grande de pás Pequeno valor para a velocidade meridiana mas pequena largura da pá se houver forte curvatura à

entrada Pequeno valor para o ângulo de entrada das pás Nas bombas de múltiplo estágio, pequeno valor para a altura de elevação a cargo de cada rotor.

4.6 PRESSÃO DE VAPOR

A pressão de vapor de um líquido é aquela a qual o líquido coexiste em uma fase líquida e vapor. Ela aumenta com a elevação da temperatura.

A tabela 4.1 mostra os valores da pressão de vapor para a água.

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Tabela 4.1 – Tabela de pressão de vapor da água

4.7 ALTURA DE SUCÇÃO

Conforme visto em capítulos anteriores é possível definir duas alturas de sucção para as máquinas de fluxo. A primeira é a altura estática de sucção, válida para bombas e turbinas. No caso das bombas é o desnível entre o reservatório de aspiração e o centro do rotor da bomba, para turbinas é o desnível entre a superfície do reservatório da jusante e o centro do rotor da turbina.

Outra altura é a altura manométrica de sucção (Hs), neste caso válida somente para bombas, que é a energia disponível na entrada da bomba. O processo de obtenção deste parâmetro foi mostrado em capítulos anteriores.

4.8 NET POSITIVE SUCTION HEAD (NPSH)

Para evitar problemas de cavitação foi definida a condição que garanta boa aspiração do fluido (bomba) ou de saída do fluido (turbinas). O parâmetro que define esta condição é o net positive suction head (NPSH).

Para bombas este parâmetro representa a disponibilidade de energia com que o líquido penetra na boca de entrada da bomba e que a ele permitirá atingir a pá do rotor. Ou de outra forma, é a pressão absoluta mínima acima da pressão de vapor do fluido necessária para evitar a formação das bolhas de vapor.

Este valor impõe condições de sucção da bomba de modo a manter a pressão na entrada do rotor acima da pressão de vapor do líquido bombeado.

É possível encontrar na literatura este parâmetro com outras denominações como altura positiva líquida de sucção (APLS) ou altura de sucção absoluta. Segundo Turton (1995) a nomenclatura NPSH era usada antes do advento do sistema internacional de unidades, após isto o nome correto é NPSE (net positive suction energy).

4.9 ENERGIA DISPONÍVEL – NPSHD ou NPSED

É uma característica da instalação em que a máquina de fluxo opera, e da pressão disponível do líquido na sucção da bomba, ou na saída da turbina. O subíndice “D” indica “disponível”.

No sistema antigo (NPSH):

vatmvsD

Pg

cPPPHNSPH2

222 (4.1)

Considerando o novo sistema2 (NPSE) e tomando como exemplo uma máquina geradora (bomba,) a menor pressão irá ocorrer na sucção e:

2 Segundo Turton (1995) o novo sistema é o que considera as unidades no S.I.

55

vatmvatmtD

PcPPPPPNSPE

2

2222 (4.2)

onde Pv é a pressão de vapor à temperatura do fluido, “Pt2” é a pressão total na entrada da bomba, “Patm” é a pressão atmosférica, “P2” é a pressão (estática) manométrica na sucção da bomba. Isto porque a pressão total é composta pela pressão estática e o termo cinético:

2

2222 cPPt (4.3)

Para o caso da Fig.4.5(a):

vpcss

atmD

PHghPPNSPE .1 (4.4)

Para o caso da Fig.4.5(b), onde a bomba não é afogada, o valor de hs3 é negativo (hs<0), deve-se considerar

isto ao usar a eq. (4.4).

As eqs. (4.2), (4.3) e (4.4) estão na unidade de energia por massa [J.kg-1], para transformar em energia por peso [m] basta dividir pela gravidade.

Figura 4.5 – Esquema de bomba afogada (a) e não afogada (b) (fonte: Turton, 1995)

Exemplo 4.1: Uma bomba hidráulica tem seu centro 5 m acima da superfície livre do reservatório (aberto) de aspiração. A água está a temperatura de 20º C. Se as perdas de carga são de 10 [J.kg-1], estime o NPSEd.

81,9.24,01081,9.51000

101300.1 vpcssd

PHghPNSPE

][96,3].[9,38 1 mcaNSPHkgJNSPE dg

d

Exemplo 4.2: Uma bomba tem seu centro 2.5 m abaixo da superfície livre do reservatório (fechado) de aspiração. O tanque contêm n-butano e é mantido a temperatura de vaporização de 37,8ºC. As perdas na sucção são estimadas em 5 [J.kg-1], estime o NPSEd. Considere que a pressão de vapor do n-butano a esta temperatura é de 3,59 bar e que sua densidade é de 0,56.

1000.56,0105.59,3581,9.5,2

1000.56,0105.59,3.1 v

pcssdPHghPNSPE

][99,1].[525,19 1 mcbNSPHkgJNSPE dg

d

Obs. Considerando que o fluido está vaporizando a pressão no reservatório é a pressão de vapor.

3 Nos capítulos anteriores buscou-se referenciar as cotas em relação ao centro da bomba/turbina, o que continua sendo

considerado neste capítulo. Vale ressaltar que para efeitos de cavitação a ABNT adota como referência o nível do reservatório.

56

4.10 ENERGIA REQUERIDA – NPSHR ou NPSER

É a determinação da margem acima da pressão de vapor que a bomba pode gerar por sua ação dinâmica. É uma função da geometria do rotor e de alguns outros fatores de difícil obtenção sendo muito difícil estimar com acurácia. O livro de Pfleiderer (1961) contêm equações que dão uma estimativa mas em geral estes valores são obtidos com base em dados empíricos.

A abordagem mais comum para obter este valor é usando o número de Thoma4 ( , que foi desenvolvido inicialmente para turbinas e é dado por:

gHNSPE

HNPSH RR (4.5)

Para bombas a maioria das curvas características inclui a curva do NPSHR em função da vazão. Estas curvas são obtidas em bancadas dos fabricantes. Para definição deste valor utiliza-se como critério a ocorrência de uma queda de 3% na altura manométrica para determinada vazão, que é um critério adotado pelo hydraulic institute standards e o american petroleum institute (API 610).

Figura 4.6 – Esquema de determinação do HPSHR para bombas (adaptado de KSB, 2003)

Pode-se obter o número de Thoma a partir de gráficos, como o mostrado na Fig. (4.7), ou através de fórmulas que tem por base a velocidade específica dada por:

43

..65,3H

Qnns

(4.6)

ns – velocidade específica n – rotação [rpm] Q – vazão [m3/s] H – altura de queda ou elevação [m]

Ou usando a rotação específica:

43

.

H

Qnnq

(4.7)

nq – velocidade específica [rpm] n – rotação [rpm] Q – vazão [m3/s] H – altura de queda ou elevação [m]

4 Em homenagem ao pesquisador Dieter Thoma que chamou este número inicialmente de “número característico

adimensional para a cavitação”.

57

Figura 4.7 – Variação do número de Thoma para turbinas

A seguir são apresentadas fórmulas disponíveis na literatura para obtenção do número de Thoma.

Macyntire

34

. qn (4.8)

=0,0011 , para bombas centrífugas radiais, lentas e normais =0,0013 , para bombas helicoidais e hélico-axiais =0,00145 , para bombas axiais

Stepanoff (Bombas radiais e axiais)

344.10.20,2 sn (4.9)

Escher-Wiss (Bombas radiais e axiais)

344.10.16,2 sn

(4.10)

Standards of hidraulic institute (Bombas axiais)

344.10.05,2 sn (4.11)

58

Meerwath (turbinas Francis e Kaplan)

165,0.10.555,1.10.593,7.10.46,9.10.768,4 32639412ssss nnnn (4.12)

Método de Pfleiderer para NPSHR

32

2

..

100 kQnNPSH R

(4.13)

NPSHR em [m] n em [rpm] Q em [m3/s] – coeficiente adimensional valendo:

o 2,6 para bombas radiais o 2,9 para bombas helicoidais o 2,4 para bombas axiais

k – coeficiente de redução da seção de entrada do rotor, varia de 0,6 a 0,9

2

11e

m

ddk

(4.14)

dml – diâmetro de entrada, correspondente ao filete médio de – diâmetro da boca de entrada da bomba

4.11 NSPH limite

Para que não ocorra vaporização do fluido na sucção evitando a cavitação o valor do NPSH disponível tem que ser pelo menos igual ao NPSH requerido. De forma geral, a energia disponível na entrada da bomba deve ser maior ou, no limite, igual à energia requerida pela bomba neste ponto.

RD NPSHNPSH (4.15)

Considera-se na prática que o NPSHD deve ser de 10 a 15% maior que o requerido, e não inferior a 0,5m.

Considerando uma reserva, pode-se tornar a desigualdade uma igualdade fazendo:

reservaNPSHNPSH RD

Na Fig.4.8 pode-se verificar que para a vazão Qlim, o NPSHR é igual a NPSHD, ou seja, o limite de operação sem cavitação. Se a vazão for menor que Qlim tem-se NPSHD>NPSHR, não havendo cavitação e se Q>Qlim então NPSHD<NPSHR e ocorre cavitação.

Figura 4.8 – Esquema do NPSH limite (adaptado de Turton, 1995)

59

Exemplo 1:

Calcule o NPSER de uma bomba com 35 m3h-1 com altura de elevação de 490 Jkg-1 e rotação de 3000 rpm. O NPSED disponível do sistema é de 30 Jkg-1. Avalie as possibilidades de cavitação.

744,15

81,9490

360035.3000.

43

43

H

Qnnq

4656,57744,15.65,3.65,3 qs nn

Usando:

Mcyntire 0434,0744,15.0011,0 34

Stepanoff 04878,04656,57.10.20,2 344

Escher-Wiss 0479,04656,57.10.16,2 344

Calculando NSPER:

Mcyntire ][178,2].[266,21490.0434,0. 1 mNPSHkgJHNPSE Rg

R

Stepanoff ][43,2].[9,23490.04878,0. 1 mNPSHkgJHNPSE Rg

R

Escher-Wiss ][393,2].[471,23490.0479,0. 1 mNPSHkgJHNPSE Rg

R

Considerando que NPSHD>NPSHR os valores são aceitáveis para todos os valores calculados.

4.12 FATORES QUE MODIFICAM O NPSH DISPONÍVEL

Conforme visto anteriormente, quanto maior o valor do NPSH disponível, menores as chances de ocorrer cavitação. Alguns cuidados podem ser tomados para aumentar este parâmetro:

Diminuir hs (quando negativa) ou aumentar hs (quando positiva) Minimizar as perdas de carga na sucção Temperatura de bombeamento: influencia no peso específico, pressão de vapor, viscosidade, etc Vazão de operação: influencia na perda de carga Variando a pressão no reservatório de sucção impacta no NPSH disponível

4.13 FATORES QUE MODIFICAM O NPSH REQUERIDO

Neste caso a intenção é reduzir o NPSH requerido, pois quanto menor menos as chances de ocorrer cavitação. Alguns cuidados podem ser tomados para reduzir este parâmetro:

Reduzir a perda de carga na entrada da bomba (sucção até o rotor) Rotação: o NPSH varia com o quadrado da rotação Utilização de indutor: o indutor é um rotor axial ou de fluxo misto colocado na frente do rotor

principal da bomba que funciona como auxiliar para reduzir o NPSH requerido.

60

4.14 EXERCÍCIOS

1. Observou-se na instalação de uma turbina hélice de ns=700, que existia excessiva erosão cavital nas pás do rotor. Sabendo-se que: a. Temperatura máxima da água: 20º C b. Altura de queda nominal: 14 mca c. Altitude local: 500 m d. Altura estática de sucção: 0,50 m

Pede-se Explicar o motivo da cavitação Indicar solução para o fenômeno

2. Determinar a máxima altura estática de sucção para uma turbina com as seguintes características:

a. Altura de queda nominal: 200 mca b. Rendimento total: 0,88 c. Vazão nominal: 3,5 m3/s d. Rotação da turbina: 720 rpm e. Altitude local: 1200 m f. Temperatura da água: 15º a 25º C

Resp. -1,76 m (turbina afogada)

3. Na instalação de uma turbina, para obtenção de 2769,32kW, foram levadas em consideração as seguintes condições, para que a máquina estivesse livre de cavitação:

a. Altura de queda nominal: 55 mca b. Altitude local: 800 m c. Temperatura da água: 15º a 25º C d. Variação do nível de jusante durante o ano é de 1,0 m, e o nível máximo alcançado é de 1,5 m acima da cota definida pela

ABNT para a marcação da altura estática de sucção. Pede-se: A rotação do alternador acoplado a turbina

Resp. 720 rpm

4. Pretende-se transferir uma turbina Francis instalada a 567 m de altitude, para uma outra usina que apresenta a mesma altura de queda e vazão, situada a 100 m acima do nível do mar e onde a temperatura varia no decorrer do ano de 4º a 15º C. Por medida de economia deseja-se utilizar o mesmo gerador e tubo de sucção, que é do tipo reto e pode ter seu comprimento alterado caso necessário, afim de que seja mantida sua mínima condição de afogamento, situação já observada na instalação onde está em operação.

Solicita-se portanto determinar se ele sofrerá alteração na dimensão, a fim de que a turbina trabalhe isenta de cavitação. a. Altura de queda nominal: 50 mca b. Potência eficaz nominal: 15954 CV c. Rotação da turbina: 300 rpm d. Diâmetro de entrada do tubo de sucção: 1,56 m e. Diâmetro de saída do tubo de sucção: 1,68 m f. Ângulo total do difusor: 6º g. Distância entre a cota de marcação da altura estática de sucção e o início do tubo de sucção: 0,50 m h. A turbina será instalada na nova queda com hslim

Resp. o tubo deverá ser aumentado de 0,56 m

5. Uma indústria adquiriu e instalou uma bomba centrífuga, com a finalidade de elevar água limpa com a temperatura de 10ºC e viscosidade cinemática de 10-6 m2/s, até uma caixa de distribuição. Constatou-se após algum tempo de funcionamento, que o rotor estava apresentando indícios de erosão cavital. Foi feita então uma solicitação do departamento técnico, que revisa-se as condições de operação da mesma, para sanar tal deficiência. Os levantamentos efetuados apresentaram os seguintes dados:

a. vazão: 15 m3/h b. NPSH no ponto de funcionamento: 6,10 mca c. Altura estática de sucção (nível abaixo): 2,0 m d. Comprimento da tubulação de 2,5”: 2,60 m e. Válvula de pé de 2,5”: 1 unidade f. Cotovelo raio longo de 90º de 2,5”: 1 unidade g. Material da tubulação: ferro galvanizado

61

h. Rugosidade da tubulação: média i. Altitude do local: 1000 m

Sabendo que a bomba não pode ser mudada de lugar, o que pode-se fazer para resolver o problema de cavitação. Resp. NPSHd(2,5”)=5,77mca < NPSHr = 6,10 mca => cavitará NPSHd(3,0”)=6,18 mca > NPSHr =6,10 mca => não cavitará

6. A companhia de energia elétrica precisa atender a solicitação de fornecimento de 244,4 CV de um fabricante de pasta mecânica. Para isto, precisa saber qual a turbina mais adequada a ser instalada em uma usina já construída.

Para resolver o problema a companhia dispõe de duas turbinas: 1ª turbina: Rotação específica: 120 Altura de queda nominal: 200 mca Vazão nominal: 0,1 m3/s Rendimento: 0,925

2ª turbina: Rotação específica: 26,45 Altura de queda nominal: 200 mca Vazão nominal: 0,1 m3/s Rendimento: 0,917 Número de jatos: 2

Elementos locais: Variação da temperatura da água: 4º a 30º C Cota de instalação da turbina: 901,50 m Cota de nível máximo de jusante: 901,00 m Cota do nível mínimo de jusante: 900,5 m

Pede-se a justificativa da escolha e a rotação que a turbina escolhida deverá trabalhar, a fim de possibilitar a compra do alternador.

Resp. a turbina Francis não pode ser usada pois a usina não permite afogamento da máquina. Como a Pelton não tem problema de sucção, pode ser instalada, com n=1800 rpm.

7. Para aquisição do motor acionador de uma bomba é necessário o conhecimento de sua rotação. A bomba deverá operar com altura

de 1,5 m abaixo do nível de aspiração, atendendo as seguintes características: a. Altura de elevação nominal: 15 mca b. Vazão nominal: 0,2 m3/s c. Temperatura da água: 25º C d. Altitude local da instalação: 900 m e. Rendimento total: 0,60 f. Comprimento da tubulação: 3,0 m g. Rotações comerciais: 590, 850, 1150 e 1750 rpm h. Dados da tubulação de sucção:

Válvula de pé: 1 unidade Cotovelo de 90º raio longo: 1 unidade Diâmetro: 250 mm Material (liso): PVC Viscosidade cinemática da água: 10-6 m2/s

Pede-se determinar a máxima rotação que atenderá as condições da instalação. Resp. nmáx: 1150 rpm.

8. No ensaio de recepção de uma turbina Francis ultra-rápida, constatou-se que seu rendimento total estava muito abaixo do nominal, sabendo-se:

a. Diâmetro da tubulação forçada: 2,0 m b. Altitude local: 1000 m c. Rotação: 514 rpm d. Variação da temperatura da água: 4º a 20º C e. Velocidade média no canal de fuga: 2,0 m/s f. Rendimento nominal da turbina: 90% g. Correção da leitura da pressão: +1,22m h. Altura estática de sucção no ensaio: 2,0 m

62

i. Seção do canal de fuga no ensaio: 4,0 m2 j. A turbina funciona com altura de queda e vazão nominais para qualquer hs.

Pede-se: Verificar a causa da baixa do rendimento total Adotar a solução corretiva externa a turbina, que conduz a obtenção da maior potência eficaz possível

Resp. hs=2,0 m > hsmáx=1,09 m. Deve-se construir soleira para elevar o nível no canal de fuga de 0,91 m.

9. Em função dos dados de uma bomba abaixo enumerados: a. Altura de elevação nominal: 30 mca b. Vazão nominal: 0,10 m3/s c. Altura manométrica de sucção: 4,0 mca d. Ângulo construtivo da pá na saída do rotor: 30º e. Velocidade absoluta na saída do rotor: 10,0 m/s f. Ângulo entre as velocidades absoluta e tangencial na saída: 40º g. Altitude local da instalação: 225 m h. Altura de pressão de vaporização: 0,45 mca i. Rendimento total: 0,46

Pede-se determinar o valor do diâmetro de saída do rotor da bomba. Resp. D5=0,31 m.

10. Conhecendo-se os dados abaixo enumerados de uma instalação de turbina tipo Francis lenta: a. Vazão nominal: 0,05 m3/s b. Diâmetro na seção de medida de pressão: 0,20 m c. Pressão na entrada da turbina: 19,50 mca d. Rotação da turbina: 1800 rpm e. Altura da pá na entrada do rotor: 25 mm f. Temperatura da água: 17º C g. Altura barométrica local: 8,0 mca h. Velocidade no canal de fuga: 0,60 m/s i. Ângulo entre as velocidades absoluta e tangencial na entrada: 21,3º C j. Correção da leitura de pressão: +0,50 m k. Altura estática de sucção: +7,10 m l. Rendimento total: 0,75 m. Desprezar a espessura das pás

Pede-se, sabendo ainda que para turbinas lentas os ângulos na entrada do rotor são iguais a 90º: Altura de queda Verificação do comportamento da turbina relativo a cavitação e sua solução, caso exista o problema Diâmetro de entrada do rotor.

Resp. H=27,22mca Como hslim=6,44 < hsfunc=7,10m, o nível de jusante deverá ser elevado de 0,66m D4=130 mm

11. Uma companhia de eletricidade precisa instalar uma turbina Francis em uma queda de um rio e precisa saber: a. A cota em que deverá ser instalada a turbina b. A perda de potência no período muito curto de cheias, considerando a vazão que passa pela turbina é a mesma do regime

normal do rio e sem alteração no rendimento total da turbina. São conhecidos os seguintes dados da turbina e da instalação:

Diâmetro de entrada do rotor: 0,75 m Diâmetro de saída do rotor: 0,60 m Altura da aresta de entrada do rotor: 0,283 m Espessura da pá na entrada do rotor: 0,01 m Número de pás: 15 Ângulo construtivo da pá na saída na linha de corrente média: 23,85º Rotação: 720 rpm Temperatura da água: 17,5º C Rendimento total: 0,85 Comprimento da tubulação forçada; 100 m

63

Diâmetro da tubulação forçada: 1,25 m Viscosidade cinemática da água: 10-6 m2/s Rugosidade da tubulação forçada (aço reb.): 0,003125 m Cota da superfície da água na barragem: 1062,65 m Cota do nível de regime normal do rio: 1000 m Cota do nível máximo de cheia: 1002,00 m Altura da seção do fluxo no canal de fuga no regime normal do rio: 1,10m Largura da seção do fluxo no canal de fuga no regime normal do rio: 2,73 m

Resp. cota de instalação da turbina = 999,60 m Perda de potência = 124 CV

12. Uma bomba radial de 7 estágios, usada na alimentação de caldeira a vapor, apresentou defeitos característicos de cavitação. Conhecendo-se os dados correspondentes ao funcionamento da bomba:

a. Vazão nominal: 41,50 m3/h b. Altura de elevação nominal: 598 mca c. Potência eficaz nominal: 143 CV d. Pressão absoluta na entrada da bomba: 1,20 kg/cm2 e. Temperatura da água na admissão: 100º C f. Diâmetro da tubulação de sucção: 80 mm g. Rotação: 3450 rpm h. Altitude local: 900 m

Pede-se: Calcular a altura manométrica de sucção nas condições observadas Calcular a altura manométrica de sucção aconselhada para evitar a cavitação Comparar os resultados obtidos e adotar uma solução corretiva

Resp. Hs(observada): -3,37mca Hs(aconselhada): -5,68 mca Aumentar a altura estática de sucção elevando o reservatório de sucção ou baixando a bomba.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS GUIMARÃES, L.B. Máquinas hidráulicas. Curitiba: UFPR, 1991.

KSB Bombas Hidráulicas S.A. Manual de treinamento: seleção e aplicação de bombas centrífugas. 5ed. 2003

MACINTYRE, A.J. Bombas e instalações de bombeamento. 2ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997.

TURTON, R.K. Principles of turbomachinery. 2th ed. London: Chapman & Hall, 1995.

64

CAPÍTULO 5 TRIÂNGULO DE VELOCIDADES

5.1 Introdução

A máquina hidráulica é basicamente composta de duas partes de constituição simétrica, uma fixa (n=0) e outra móvel (n 0). A parte fixa é composta por pelo sistema diretor, por aletas ajustáveis, o pré-distribuidor, injetores e tubo de sucção. Nestes órgãos fixos, devido ao seu formato - injetor ou difusor - poderá ocorrer a transformação de energia de pressão em energia de velocidade ou energia de velocidade em energia de pressão. Estes componentes são esquematizados na Fig. 5.1.

Figura 5.1 – Arranjo de turbina hidráulica

A parte móvel da máquina é formada apenas pelo rotor, composto de pás, cubo e coroa. Este é o principal órgão da máquina, responsável pela transformação de energia hidráulica em energia mecânica ou vice versa.

Considera-se, de maneira geral, que o escoamento em máquinas hidráulicas se processa em superfícies de revolução superpostas. A velocidade do fluido em cada ponto do escoamento possui uma componente tangencial ao eixo, componente radial e componente axial.

Portanto, as pás (simples ou em dupla curvatura) e outras partes do rotor, desenhadas conforme o escoamento desejado do fluido no rotor, são perfeitamente definidas a partir da sua projeção em dois planos (Fig. 5.2): o plano meridiano e o plano normal.

Figura 5.2 - Planos de representação e trajetória (fonte: Campos, 1996)

65

Plano meridiano

O plano meridiano (Fig.5.3) é um plano paralelo ao eixo da máquina. A representação neste plano é feita pelo rebatimento dos pontos principais da pá sobre o plano, mantendo-se a mesma distância do ponto ao eixo no rebatimento. Assim, cada ponto do rotor fica representado no plano pelo traço da circunferência que ele descreveria se dotado de rotação em torno do eixo.

Figura 5.3 - Projeção meridiana e normal de uma aresta (fonte: Campos, 1996)

Plano normal

É um plano perpendicular ao eixo da máquina, da mesma maneira, a representação é feita através do rebatimento dos pontos necessários da pá sobre o plano.

Tendo visto os dois planos a representação de um rotor radial de uma bomba no plano meridiano e no plano normal é mostrado na Fig. 5.4.

Figura 5.4 - Rotor radial nos planos Figura 5.5 - Representação de turbina axial

Para as máquinas axiais, além das projeções normal e meridional, pode-se representar a máquina segundo vários cortes cilíndricos desenvolvidos, em cada diâmetro em estudo, denominado desenvolvimento de corte cilíndrico e mostrado na Fig. 5.5.

66

Figura 5.6 - Rotor axial com corte cilíndrico Figura 5.7 – Corte cilíndrico do rotor axial

Notação

Com a finalidade de identificação dos pontos principais do rotor é usual adotar-se índices que indiquem suas posições no rotor. Uma convenção muito usada é a convenção de Betz que apresenta índices que aumentam no sentido do escoamento (para todas as máquinas hidráulicas). Ela adota os índices 4 e 5 para as arestas de entrada e saída do rotor, respectivamente, e os índices 3 e 6 para os pontos do escoamento imediatamente antes e depois do rotor. A Fig.5.8 mostra outros pontos desta convenção.

Figura 5.8 - Convenção de Betz (fonte: Campos, 1996)

5.2 Triângulos de velocidade no rotor

O estudo teórico do fluxo através do rotor se baseia nos vetores de velocidade, que podem ser representados por um triângulo em qualquer ponto do escoamento no rotor. As principais características do rotor serão determinadas pelas velocidades na entrada e saída do rotor.

Para desenvolver esta análise é importante entender os conceitos de velocidade absoluta e velocidade relativa do fluido.

Movimento relativo

É o movimento da partícula percebido por um observador movendo-se com o rotor. Neste caso a trajetória (relativa) da partícula acompanha o perfil da pá, como se o rotor estivesse parado (em repouso) e o fluido escoando através de suas pás. A velocidade tangente a esta trajetória é conhecida por velocidade relativa e será representada por “w”.

67

Movimento absoluto

É o movimento da partícula percebido por um observador posicionado fora do rotor. A trajetória da partícula resulta da composição de dois movimentos, um dentro dos canais do rotor e outro de rotação do rotor, compondo a trajetória absoluta. A velocidade tangente a esta trajetória é denominada velocidade absoluta e será representado por “c”.

Figura 5.9 - Trajetórias em uma bomba centrífuga (fonte: Campos, 1996)

Velocidade tangencial

Foram apresentadas as velocidades absoluta e relativa, para fechar o triângulo falta uma velocidade, que é a tangencial denominada por “u”.

Esta velocidade está relacionada ao movimento de rotação do motor. Pode ser conhecida, em qualquer posição radial, ões geométricas do rotor. É tangente ao raio e dada por:

60Dnru

(5.1)

D: diâmetro [m] no ponto considerado n: rotação [RPM] : velocidade radial [rd/s] r: raio [m] no ponto considerado

Triângulos de velocidade

As hipóteses iniciais para análise do triângulo de velocidades consideram que o rotor é composto por um número infinito de pás, infinitamente finas (consideração que será discutida no próximo capítulo). Neste caso, podemos considerar as linhas de corrente congruentes com as pás e o fluxo como sendo unidimensional. Assim, o triângulo de velocidades é válido para todos os pontos localizados no mesmo diâmetro. Entre as seções de entrada e saída, o fluxo deverá produzir o mínimo de perdas com a adoção de perfis ou formatos de pás mais adequados.

Outras hipóteses consideradas são a de regime permanente (vazão mássica constante); a de que os triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor são representativos do escoamento; e a de que as velocidades na entrada e saída são uniformes.

Finalmente, o triângulo de velocidades é formado pelas três velocidades vistas anteriormente e podem ser representadas na forma vetorial por:

uWC (5.2)

68

Sua representação gráfica é dada pela Fig. 5.10 e as componentes usadas são mostradas na figura e definidas a seguir.

Figura 5.10 – Exemplo de triângulo de velocidades

c: velocidade absoluta do escoamento no ponto em estudo; u: velocidade tangencial do rotor no ponto em estudo; w: velocidade relativa do escoamento no ponto em estudo; Cm: componente meridional da velocidade absoluta (projeção da velocidade absoluta C sobre o plano

meridional); Cu: componente tangencial da velocidade absoluta (projeção da velocidade absoluta sobre a direção

tangencial); : ângulo formado pela velocidade absoluta e a velocidade tangencial, também chamado ângulo do

escoamento absoluto; : ângulo formado pela velocidade relativa e a tangencial, também chamado ângulo do escoamento

relativo e ângulo construtivo.

Velocidade meridional (componente meridiana) e Vazão

A componente meridional tem direção perpendicular à seção transversal em que o fluido escoa.

Aplicando o princípio da conservação da massa nas seções de entrada (4) e saída (5) e considerando o escoamento uniforme na seção de escoamento:

SCAdC 0

dACAdCAdC mcos

Q

m

Q

mívelincompress

mm ACACACACAdCAdC 44554455540 (5.3)

As áreas das seções de entrada e saída do rotor terão por base as áreas imediatamente antes e imediatamente depois do rotor, e serão definidas para as máquinas radiais por:

556443 bDAebDA (5.4)

E para máquinas axiais por:

2263 4 ie DDAA

(5.5)

Estas áreas foram tomadas como base os diâmetros e largura do rotor na seção de entrada e saída, pois estes geralmente são os dados disponíveis. O porquê de não considerar as áreas acima diretamente para os pontos “4” e “5” serão vistas a seguir, e está relacionado com uma “perda” ou redução de área devido à existência de pás com espessura a ser considerada.

Se as pás tiverem espessura desprezível, então:

6534 AAeAA (5.6)

Se as espessuras das pás não forem desprezíveis, então haverá um estrangulamento da área se comparadas às áreas pouco antes da entrada do rotor (ponto “3”) e na entrada do rotor (ponto “4”). Da mesma forma para a

69

região da saída do rotor (ponto “5”) e pouco depois da saída do rotor (ponto “6”). Pode-se definir esta redução/estrangulamento da área por um fator de estrangulamento (f) e a relação entre as áreas pode ser dada por

655344 AfAeAfA (5.7)

Aplicando às equações da continuidade para entrada e saída

443344334433 fCCAfCACACACQ mmmmmm

443 fCC mm (5.8)

556666556655 fCCACAfCACACQ mmmmmm

556 fCC mm (5.9)

Os fatores de estrangulamento são definidos por

Figura 5.11 – Esquemas de pás com respectivas espessuras

senSSt (5.10)

tStf t

(5.11)

E finalmente, fica claro perceber que se as espessuras das aletas são desprezíveis, então o fator de estrangulamento é “1” (pois St 0) e as velocidades meridianas em “3” e “4” são iguais, o mesmo ocorrendo para os pontos “5” e “6”.

Ângulo

É função das características operacionais da bomba (rotação e vazão, entre outras). Isto é, se há variação de rotação da bomba, há variação do ângulo “ ”, pois a alteração de “u” (a velocidade tangencial do rotor) altera o triângulo de velocidades. O mesmo ocorre se a vazão da bomba é alterada (abrindo-se ou fechando-se uma válvula do sistema de bombeamento ao qual a bomba está conectada, por exemplo): como a vazão está relacionada com a magnitude da velocidade absoluta do fluido (a equação da conservação da massa será formulada a seguir), ela também impõe variações nos triângulos de velocidades quando é alterada.

u

m

CCtg

(5.12)

70

Ângulo – ângulo construtivo

É fixado a partir do momento em que se define a curvatura (o desenho, isto é, o projeto mecânico do rotor) das aletas, da entrada até a saída do rotor.

u

m

u

m

WC

CuC

tg (5.13)

Triângulo de velocidades para rotor de máquina hidráulica geradora radial

Será considerado que na entrada da pá ocorre escoamento “sem choque”, e a velocidade relativa “w4” deverá ser tangente a pá, formando o ângulo “ 4” com a direção tangencial. Na saída a velocidade relativa “w5” é tangente a pá formando o ângulo “ 5” com a direção tangencial.

Conforme já foi visto a velocidade meridional “Cm” está relacionada à vazão e conforme será visto adiante, a velocidade “Cu” está relacionada à potência.

Figura 5.12 - Representação das velocidades em rotor de bomba radial (fonte: Campos, 1996)

A velocidade meridional (Cm) é normal as seções de entrada e saída do rotor. Para o rotor radial da fig.5.10, a vazão é estabelecida em função da área e da componente meridional (Cm), sem considerar as espessuras das pás:

555444 mm CbDCbDQ (5.14)

Caso as espessuras das pás tenham que ser consideradas, devem ser verificadas as relações de velocidades meridianas, conforme já visto, ou então pode-se chegar facilmente à seguinte fórmula para vazão

m

aletasdasárea

t

aletassemÁrea

CSbZbDQ__

.... (5.15)

“Z” é o número de pás do rotor.

O triângulo de velocidade na entrada estabelece a condição de entrada radial para o ponto de projeto, de modo que Cu4 = 0 , o ângulo 4 = 900, e Cm4=C4. O ângulo construtivo 4 deve ser tal que,

4

44 u

Carctg m

(5.16)

para não haver choque (ou incongruência do escoamento com a pá) na entrada.

71

Figura 5.13 - Triângulos de velocidade – máquina hidráulica geradora radial (fonte: Campos, 1996)

Triângulo de velocidades para rotor de máquina hidráulica geradora axial

A particularidade deste tipo de rotor é a igualdade das componentes “Cm” na entrada e na saída devido a igualdade das áreas, e também a igualdade da componente tangencial “u” na entrada e na saída para o mesmo diâmetro.

Ao considerar uma pá axial como um todo deve-se observar que a componente tangencial “u” varia ao longo da pá. Esta variação fará com que a pá seja "torcida", isto é, de dupla curvatura.

Figura 5.14 - Triângulos de velocidade – máquina hidráulica geradora axial (fonte: Campos, 1996)

O corte cilíndrico representado na fig. 5.14 é relativo ao diâmetro médio, sendo o corte na pá representado por uma linha. Na realidade, as pás de máquinas axiais possuem um certa espessura, e nos casos de máquinas de bom rendimento o corte é um perfil aerodinâmico. A vazão para esta máquina é dada por:

522

422

44 miemie CDDCDDQ (5.17)

72

Triângulo de velocidades para rotor de máquina hidráulica motora

A máquina motora axial é representada na Fig. 5.15, e a radial na Fig. 5.16 . Na radial as componentes meridionais (Cm) na entrada e na saída não são necessariamente iguais. Estas serão iguais se a máquina for de seção constante. Na máquina axial as componentes meridionais (Cm) são necessariamente iguais, e as componentes tangenciais (u), serão iguais ao considerarmos o mesmo diâmetro. No estudo de máquinas axiais são estudados os triângulos de velocidade em vários diâmetros.

Fig. 5.16 - Máquina hidráulica motora axial (fonte: Campos, 1996) Fig. 5.15-Máquina hidráulica motora radial (fonte: Campos, 1996)

Sistema diretor de máquina hidráulica radial

Aplicando a equação da conservação da massa na formulação integral, considerando regime permanente e velocidade uniforme nas seções, para a superfície de controle composta das superfícies de controle I e II , e uma vez que não há fluxo pelas laterais (Fig.5.17), pode-se simplificar a equação da continuidade, desenvolvida inicialmente para máquinas geradoras.

Fig.5.17 - Sistema diretor radial (fonte: Campos, 1996) Fig.5.18 - Sistema diretor axial (fonte: Campos, 1996)

SCAdC 0

07788 SCI mSCII m dACdAC

Logo:

73

777888 ACAC mm

ou:

77778888 bDCbDC mm (5.18)

Ao considerar b7=b8 , e b1=b2 tem-se para máquinas hidráulicas geradoras:

78788

7

7

8 ppeCCDD

CmCm

mm

Verifica-se que há uma desaceleração do escoamento na direção da saída para caixa espiral.

Para máquinas hidráulicas motoras:

21211

2

2

1 ppeCCDD

CmCm

mm

Há, portanto, uma aceleração do escoamento na direção da entrada do rotor.

Sistema diretor de máquinas hidráulicas axiais

Da mesma maneira, pode-se considerar:

221121 ACACQQ mm

Sendo:

A

De Di1

12

12

4 e A

De Di2

22

22

4 (5.19)

Para máquinas axiais (Fig. 5.18) a área na entrada é igual a área na saída do sistema distribuidor, pois De1=De2 e Di1=Di2 , sendo De e Di , respectivamente, os diâmetros externos e internos, da coroa circular por onde passa a água, tanto para turbinas quanto para bombas axiais. Então:

Para MHM: Cm Cm1 2

Para MHG: Cm Cm7 8

EXERCÍCIOS SUGERIDOS

1. Pede-se determinar os elementos dos triângulos de velocidades para os diâmetros de entrada e saída de um ventilador radial, do qual são conhecidos:

a. Rotação do rotor: 750 rpm b. Vazão: 240 m3/min c. Diâmetro na entrada do rotor: 600 mm d. Diâmetro na saída do rotor: 855 mm e. Ângulo construtivo da pá na saída do rotor: 90º f. Por motivos de facilidade de construção, as alturas das pás na entrada e saída do rotor são iguais e valem 210 mm; e g. A espessura das pás é desprezível.

2. Desenhar e determinar os triângulos de velocidades, para a entrada e saída do rotor de uma bomba centrífuga. Sabe-se que o mesmo gira a 1470 rpm, o canal é de secção constante e a espessura das pás desprezível. São conhecidos ainda:

a. Diâmetro de saída igual ao dobro do diâmetro de entrada; b. Ângulo construtivo da pá na entrada: 30º

74

c. Ângulo construtivo da pá na saída: 38º d. Diâmetro na entrada: 0,2 m

3. Em uma turbina de reação são conhecidos: a. Altura da pá na entrada: 8 cm b. Altura da pá na saída: 13 cm c. Diâmetro de entrada: 60 cm d. Ângulo construtivo da pá na entrada: 120º e. Ângulo construtivo da pá na saída: 30º f. Número de pás: 15 g. Espessura das pás: 6 mm

Sabendo-se que o canal tem secção transversal constante, pede-se determinar para uma rotação de 600 rpm: a vazão e o ângulo formado entre a velocidade absoluta e a velocidade tangencial na entrada do rotor.

4. Tem-se uma bomba centrífuga cujo rotor gira a 1150 rpm e tem as seguintes dimensões: a. Altura da pá na entrada: 40,7 mm b. Altura da pá na saída: 19 mm c. Diâmetro do rotor na entrada: 178 mm d. Diâmetro do rotor na saída: 381 mm e. Ângulo construtivo da pá na entrada: 18º f. Ângulo construtivo da pá na saída: 20º

Desprezando-se a espessura das pás pede-se:

g. Os elementos dos triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor h. A vazão recalcada pela bomba

Obs. Os canais são de seção transversal constante.

5. Uma turbina Francis deve desenvolver uma potência hidráulica de 1,99 CV, sob uma queda de 6,8 mca e rotação de 1025 rpm. São conhecidos os seguintes elementos do seu rotor:

a. Diâmetro de saída: 0,0725 m b. Altura da pá na saída: 31,6 mm c. Altura da pá na entrada: 17 mm d. Ângulo construtivo da pá na entrada: 90º

Considerando canais de seção transversal constante e espessura das pás desprezível, pede-se determinar os elementos dos triângulos de velocidades para a entrada e saída do rotor.

6. Na instalação esquematizada abaixo, verificou-se que para uma determinada vazão, as pressões na entrada e na saída da bomba resultaram -5mca e 19,3mca, sendo a potência hidráulica de 10CV. Sabendo-se que o ângulo construtivo da pá na entrada é de 11,3º e a altura da pá na entrada 30 mm, pede-se determinar o diâmetro de entrada do rotor para uma rotação de 2700 rpm. Obs. Desprezar a espessura das pás e considerar iguais os diâmetros das tubulações de sucção e recalque.

Figura - 1 Figura - 2

75

7. Na instalação da Fig.2 deseja-se conhecer a potência hidráulica da turbina e a componente da velocidade absoluta na direção tangencial na entrada de seu rotor, sendo conhecidos:

a. Altura da pá na entrada: 8,8 cm b. Altura da pá na saída: 13,1 cm c. Diâmetro do rotor na entrada: 60,5 cm d. Diâmetro do rotor na saída: 38,2 cm e. Rotação: 600 rpm f. Ângulo construtivo da pá na entrada: 120º g. Ângulo construtivo da pá na saída: 25º h. Diâmetro da tubulação forçada: 40 cm i. Altura de pressão no manômetro: 32 mca j. Coeficiente de estrangulamento na saída do rotor é de 0,98 k. Canais do rotor de seção constante

8. A instalação esquematizada na Fig.3, opera na captação de água da estação de tratamento que serve a uma indústria de abate de gado. Além dos dados da figura, conhece-se os seguintes elementos da bomba hidráulica de fluxo:

a. Diâmetro de entrada do rotor: 200 mm b. Diâmetro de saída do rotor: 400 mm c. Altura do rotor na entrada: 40 mm d. Altura do rotor na saída: 20 mm e. Ângulo construtivo da pá na entrada: 18º25’ f. Ângulo construtivo da pá na saída: 20º g. Coeficiente de estrangulamento na entrada do rotor: 0,815 h. Diâmetros da tubulação de sucção e recalque: 300 mm i. Leitura do vacuômetro: -5 mca j. Leitura no manômetro: 45 mca k. Considerar constante a seção transversal dos canais do rotor l. O venturi (padrão DIN) tem diâmetro do orifício de 190 mm, com “Cq” constante com Re. A leitura indica 68mmHg

Determinar

m. A altura disponível, a vazão, a potência hidráulica e a rotação da bomba; n. O valor da componente absoluta na direção tangencial na saída do rotor; o. O valor do ângulo formado entre a velocidade absoluta e a velocidade tangencial na saída do rotor.

Figura - 3 Figura - 4

9. Na instalação da Fig.4 esquematizada é utilizada uma turbina Francis de ns=75, da qual se conhecem as seguintes grandezas: a. Diâmetro do rotor na entrada: 2,0 m b. Ângulo construtivo da pá na entrada: 90º c. Ângulo construtivo da pá na saída: 27º d. Relação entre os diâmetros de saída e entrada do rotor: 0,5 e. Canais de seção transversal constante f. Espessura das pás desprezível g. Rendimento total: 90% h. Velocidade do escoamento na tubulação forçada: 5,55 m/s i. Diâmetro da tubulação forçada: 1200 mm

Pede-se calcular:

76

j. Os elementos dos triângulos de velocidades na entrada e na saída do rotor; k. As alturas da pá, na entrada e na saída do rotor

10. Na instalação de ensaios de modelos de turbinas esquematizada abaixo, é utilizada uma turbina Francis da qual se conhecem os

seguintes dados: a. Diâmetro da tubulação forçada: 100 mm b. Velocidade do escoamento na tubulação forçada: 2,8 m/s c. Velocidade do escoamento no canal de fuga: 1,4 m/s d. Altura de pressão na entrada da turbina (altura ou carga piezométrica): 5,0 mca e. Ângulo construtivo da pá na saída: 31º f. Relação entre diâmetros de saída e entrada do rotor: 0,52 g. Diâmetro do rotor na saída: 135 mm h. Altura das pás na saída: 19,6cm i. Canais do rotor de seção transversal constante j. Velocidade tangencial igual a componente da velocidade absoluta na direção tangencial na entrada do rotor k. Considerar a condição de máxima potência l. Considerar desprezível a espessura das pás

Pede-se calcular:

Ângulo construtivo da pá na entrada do rotor Rotação Potência hidráulica

Figura 5 Figura 6

11. Na instalação de bombeamento da Fig.6, conhece-se os seguintes elementos: a. Leitura do manômetro: 29,2 mca b. Leitura do vacuômetro: - 4,5 mca c. Diâmetro das tubulações de sucção e recalque: 300 mm d. Diferença de pressões registrada no manômetro ligado ao bocal medidor de vazão: 1,5% do valor da altura disponível

desenvolvida pela bomba e. Diâmetro do orifício do bocal medidor de vazão: 212 mm f. Os canais do rotor tem seção transversal constante g. Diâmetro de entrada do rotor: 80 mm h. Diâmetro de saída do rotor: 300 mm i. Altura da pá na saída do rotor: 13 mm j. Ângulo construtivo da pá na saída do rotor: 20º

Pede-se determinar:

Altura da pá na entrada do rotor Os componentes dos triângulos de velocidades de entrada e de saída do rotor

77

Figura 7

12. Para a instalação da Fig. 7 composta de uma turbina Francis que desenvolve 1317 CV de potência hidráulica, sabe-se os seguintes

dados: a. Rotação de serviço: 485 rpm b. Diâmetro de saída: 0,8 m c. Diâmetro de entrada: 1,0 m d. Altura da pá na saída: 0,3 m e. Coeficiente de estrangulamento na entrada e na saída do rotor: 0,9 f. Ângulo formado pelas velocidades absoluta e tangencial na entrada do rotor: 60,41º g. Canais do rotor de seção transversal constante h. Desprezar a velocidade no canal de fuga i. Diâmetro do diafragma: 1,26 m j. Diferença de pressão do diafragma: 1,39 mca k. Diâmetro da tubulação forçada: 1500 mm

Pede-se determinar:

Pressão registrada no manômetro instalado na entrada da turbina Ângulos construtivos da pá na entrada e na saída do rotor

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CAMPOS, M.C. Apostila de Máquinas Hidráulicas-UFPR. Curitiba: 1996.

GUIMARÃES, L.B. Máquinas hidráulicas. Curitiba: UFPR, 1991.

TURTON, R.K. Principles of turbomachinery. 2th ed. London: Chapman & Hall, 1995.

78

CAPÍTULO 6 EQUAÇÃO FUNDAMENTAL O objetivo deste capítulo é de contextualizar o funcionamento das máquinas de fluxo em bases

matemáticas, utilizando para isto as equações da conservação da quantidade de movimento e conservação da massa.

EQUAÇÃO DE EULER

A equação de Euler é a equação básica para o desenvolvimento/estudo de bombas, ventiladores e turbinas. Expressa o intercâmbio de energia entre o rotor e o fluido.

Para iniciar as análises são feitas as seguintes hipóteses simplificadoras, considerando uma máquina ideal:

Número infinito de pás Espessura infinitesimal Fluido incompressível Sem atrito (fluido ideal) Isento de choque na entrada Regime permanente e irrotacional Vazão mássica constante

Considerando agora o princípio da conservação da quantidade de movimento angular aplicado ao volume de

controle tendo como base o eixo do rotor:

angularmomentodelíquidofluxo

SC

angularmomentodotemporaliação

VC

eixotorque

eixo

nalgravitaciocampoforça

VC

erfíciedeForça

s AdvvxrdVvxrt

TdVgxrFxr

___

___var_sup

_

(6.1)

Desconsiderando a força de superfície e do campo gravitacional e considerando regime permanente, resulta:

angularmomentodelíquidofluxo

SC

eixotorque

eixo AdvvxrT

___

79

Fig.6.1 – Volume de controle incluindo a pá do rotor (fonte: Turton, 1995)

Fig.6.2 – Volume de controle

Para facilitar a análise aplica-se o a eq.6.1 ao rotor da Fig. 6.2:

54 SCSCeixo AdvvxrAdvvxrT

Com isto o torque teórico recebido/entregue pelo rotor com número infinito de pás:

4455 uut CrCrmT (6.2)

De forma similar, para máquinas motoras

5544 uut CrCrmT (6.3)

Pode-se deixar as eqs. (6.2) e (6.3) na forma genérica para máquinas hidráulicas geradoras e motoras5.

4455 uut CrCrmT (6.4)

“+” indica máquinas geradoras

“-“ indica máquinas motoras

A potência (P) é definida como o torque vezes a velocidade angular, tomando o caso da máquina geradora. Considerando que esta potência é a hidráulica (Ph) teórica (subíndice “t”) de um rotor com número infinito (subíndice “ ”), logo:

44554455 . uuthru

T

uuth CuCumPCrCrmPt

A tratativa para altura de queda/elevação adotada aqui é de energia por unidade de peso, para isto, basta dividir a equação acima pela vazão em peso:

5 Esta convenção será adotada a partir de agora neste capítulo

80

gmP

HQ

PHQHP th

tgcAQth

ttth

Logo:

44551

uut CuCug

H (6.5)

A eq. (6.5) é conhecida por equações de Euler, ou equação fundamental das máquinas de fluxo, válida para máquinas radiais e axiais.

Casos especiais (simplificações):

Para máquinas axiais: u4=u5 Nas turbinas hidráulicas para reduzir as perdas por atrito no tubo de sucção busca-se Cu5=0

resultando 5=90º . Para máquinas geradoras desprovidas de pás diretrizes (sistema diretor antes do rotor), como

bombas e ventiladores centrífugos, normalmente assume-se Cu4=0 e 4=90º. Neste caso o escoamento entre no rotor sempre na direção radial, e só se modificará se for adicionado um sistema de aletas na entrada do rotor.

EQUAÇÃO FUNDAMENTAL IDEAL DAS MÁQUINAS DE FLUXO

A partir do triângulo de velocidades pode-se tirar as seguintes relações:

24

24

2444

2444

24

24 2

12 wuccuucucw uu (6.6)

25

25

2555

2555

25

25 2

12 wuccuucucw uu (6.7)

Substituindo as eqs. (6.6) e (6.7) na equação fundamental (6.5) obtida anteriormente, resulta:

gcc

gww

guuH t 222

24

25

25

24

24

25 (6.8)

A eq.(6.8) é outra forma da equação fundamental das máquinas de fluxo. Representa a energia teórica entregue ao fluido pelas pás (espessura desprezível) do rotor (com número infinito de pás).

Pode-se ainda calcular a altura teórica com número infinito de pás usando Bernoulli:

45

24

2545

2zz

gccppH t

Considerando o sinal “+” para máquinas geradoras e “-“ para máquinas motoras, e fazendo z5=z4:

gccppH t 2

24

2545 (6. 9)

Comparando a eq.(6. 9) à eq. (6.8) pode-se definir duas energias de pressão. A energia de pressão estática, que o fluido recebe ao passar pelo rotor de uma máquina de fluxo gerador e pode ser expressa por:

81

III

est gww

guuppH

22

25

24

24

2545 (6.10)

O termo “I” representa o aumento da pressão decorrente da ação da força centrífuga sobre as partículas fluidas, provocado pela diferença de velocidade tangencial na entrada e saída como consequência do movimento do rotor. Vale observar que no caso do rotor axial as velocidades tangencial na entrada e saída são iguais e este termo é nulo.

O termo “II” deve-se à transformação de energia de velocidade em energia de pressão, decorrente da diminuição da velocidade relativa entre a entrada e a saída, no interior dos canais em forma de difusores, constituídos pelas pás do rotor.

E por fim a energia de pressão dinâmica. Além do aumento da energia de pressão estática, há o aumento da energia de pressão dinâmica, devido às diferenças nas velocidades absolutas na entrada e saída.

gccH din 2

24

25 (6.11)

CONCEITOS DE AÇÃO E REAÇÃO

A interpretação dos conceitos de ação e reação tem por base os conceitos de energia de pressão estática e dinâmica dadas pela eq.(6.10).

Hest=0 máquina de ação ou pressão constante Hest>0 máquina de reação ou pressão constante

Para máquinas geradoras a máquina de ação não tem aplicação prática, sendo que a máquina de reação abrange todas as aplicações práticas.

Existe um número adimensional chamado de grau de reação, que indica como cada uma destas máquinas transforma a energia:

motorasu

CuH

H

t

estt

4

4

21 (6.12)

geradorasu

CuHH

t

estt

5

5

21 (6.13)

EFEITO DO ÂNGULO CONSTRUTIVO NO FUNCIONAMENTO DO ROTOR

Pode-se avaliar o efeito do ângulo construtivo no funcionamento do rotor. Considerando a entrada sem turbulência ( 4=90º) tem-se que a altura teórica de elevação para número infinito de pás é dado por:

550

445511

4ut

Cuut Cu

gHCuCu

gH u

82

Fig.6.3 – Triângulo de velocidades para máquina geradora

Do triângulo de velocidades pode-se verificar que:

)(cot 5555 gcuC mu , e

)(cot15555 gcuu

gH mt

(6.14)

Considerando espessura das pás desprezíveis a equação da vazão pode ser rearranjada tal que:

555 bD

QCm

Substituindo em (6.14):

QbDg

gug

uH t55

5525 )(cot

Pode-se representar esta equação de duas formas, na primeira:

25

555

5 )(cot1 uQubD

ggH t (6.15)

E a outra se considerar a altura como função da vazão, pode-se reescrever a equação como:

QKKgHQbD

guugH t

KK

t 2155

5525

2

1

)(cot (6.16)

É fácil verificar que num gráfico HxQ teria-se configurado uma reta, que pode ter sua inclinação positiva ou

negativa em função da cotangente do ângulo construtivo na saída. Esta equação representa o efeito do ângulo

construtivo sobre o aumento da energia. Deve-se reforçar que esta análise é para a bomba ideal, com número

infinito de pás e as outras considerações feitas anterioremente.

83

Fig.6.4 – Curva QxH em função do ângulo construtivo Fig.6.5 – Curva PxQ em função do ângulo construtivo

Fig.6.6 – representação do ângulo construtivo (fonte: Turton, 1995)

Apesar dos ângulos de saída 5>90º aparentarem serem os melhores, uma vez que um aumento na vazão

resulta num aumento de energia, isto de fato não ocorre porque com o aumento da vazão haveria um aumento

muito elevado na potência, tornando difícil o controle da potência no acionador.

2

55

5525 )(cot Q

bDgguQ

guQHP th

Além disto resultaria em velocidades absolutas de saída muito altas, dificultando a transformação da energia

de velocidade em energia de pressão, exigindo um difusor muito grande em comprimento e ângulo de abertura.

Rotores com pás voltadas para frente são instáveis no funcionamento, e as altas velcoidades geradas para o

fluido fazem com que aumente as perdas por atrito resultando em menor rendimento.

84

Ângulos de saída de 90º são raros e tem como vantagem a facilidade de construção. Na prática os ângulos

usuais para bombas são:

05

004

0 35155015 e

Fig.6.7 – Representação de um rotor com ângulo construtivo menor que 90º

As bombas centrífugas quase sempre apresentam rotores de aletas curvadas para trás em relação ao sentido

de rotação do rotor, isto é, 5 < 90º, e os valores usuais estão por volta dos 30º.

Em ventiladores, por outro lado, dependendo das características operacionais exigidas pela instalação, pelo

porte do equipamento, pela responsabilidade da instalação, etc, encontram-se as mais variadas configurações de

aletas, curvadas para trás, curvadas para a frente, retas e inteiramente radiais, e aletas curvadas com ângulo de

saída 5 = 90º.

Nos triângulos de velocidade, que as componentes radiais da velocidade absoluta de saída têm

aproximadamente a mesma magnitude, se a largura do rotor for a mesma para todos os casos, a vazão descarregada

por cada um deles é aproximadamente a mesma.

Assim, se as grandezas geométricas são semelhantes, e as características operacionais (vazão e rotação) são

aproximadamente iguais, a maior velocidade C5 do rotor, que tem 5 > 90º, resulta somente do seu desenho

(curvatura). E quanto maior a velocidade, maior a dissipação viscosa do escoamento, implicando em menor

eficiência no processo de transferência de energia no rotor da bomba. Consequentemente, da potência de eixo da

bomba, uma parcela considerável será dissipada em perdas hidráulicas se o rotor tiver 5 > 90º.

EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DAS MÁQUINAS DE FLUXO – CONDIÇÃO REAL

Das condições iniciais estipuladas, duas afetam o rendimento de forma mais significativa, o atrito e o número finito de pás. No caso do atrito atribui-se um rendimento hidráulico que considera estas perdas.

A primeira característica que altera a carga definida na concepção ideal do rotor é o escorregamento. Ao se deslocar pelo rotor a partícula, devido à sua inércia, tende a manter sua orientação com relação a eixos fixos, criando um movimento circulatório em relação ao canal.

85

Número finito de pás

O número finito de pás provoca um aumento da velocidade relativa de saída “w5”, reduzindo o ângulo de saída da pá “ 5”.

Fig.6.8 – Representação da velocidade relativa na saída

Conforme pode-se ver no triângulo de velocidades da Fig. (6.9), a consideração de número finito de pás aumenta a velocidade relativa se compara ao que haveria se a consideração fosse com número finito de pás. Como a velocidade tangencial é a mesma e a vazão não se altera, ou seja Cm também é a mesma, ocorre uma redução em “c” e consequentemente em Cu. Reduzindo Cu ocorre automaticamente uma redução na altura entregue ou recebida.

Fig.6.9 – Representação dos triângulos de velocidades na saída

Um número pequeno de pás reduz as superfícies de atrito, o fluido tem maior dificuldade de ser conduzido, os canais mais largos implicam maior perda de carga e há redução no rendimento da bomba. Para um grande número de pás ocorre diminuição na perda de energia nas zonas em que o fluido abandona o rotor, aumentam as superfícies de atrito e há redução da energia na entrada da bomba. A quantidade de pás a se usar é uma função da velocidade de rotação, altura de elevação e tipo de fluido.

Para um escoamento real deve-se considerar as alterações provocadas por situações reais que não haviam sido consideradas nas situações ideais. Para turbinas essas alterações podem ser desconsideradas e a altura teórica para número finito de pás (Ht):

tt HH (6.17)

Já nas bombas estes efeitos diminuem a altura teórica:

tttt aHHHH (6.18)

Onde o fator “a” é um de correção. O método de Pfleiderer prediz:

86

2

5

41

121

rrZ

a

(6.19) “Z” é o número de pás

“ ” é um coeficiente experimental (Tabela 6.1)

Tabela 6.1 – Valor de “ ” em função do ângulo “ 5”

Ângulo construtivo da pá na saída ( 5) 20º 23º 25º 30º 35º 40º

ás com guias) 0,76 0,80 0,81 0,85 0,90 0,94

ás sem guias) 0,86 0,90 0,91 0,95 1,00 1,04

Outra forma de considerar este fator é:

1007,0

1256,0 55 (6.20)

EXERCÍCIOS:

13. Uma bomba com escoamento e entrada radial trabalha com uma vazão de 2,0m³/min e 1200 rpm. A largura do canal de saída do rotor é de 20mm, sendo que o ângulo de saída da pá é igual a 25º. A componente meridiana da velocidade absoluta na saída é igual a 2,5m/s. Determine a altura e a potência teórica da bomba nas condições dadas. (Resp.: Ht = 10,8m; Wt = 3,53kW).

14. Uma bomba centrífuga opera com uma rotação de 1750 rpm fornecendo uma vazão de 318m3/h. O rotor apresenta um diâmetro externo igual a 356mm e um diâmetro interno de 97mm. A largura da pá na entrada e saída é igual a 50mm. O ângulo da pá na entrada e na saída é igual a 23º. Considere que o fluido entra no rotor radialmente. Determine a altura teórica para numero infinito de pás. (Resp.: Ht = 96,1m).

15. Uma bomba opera com água ( = 1000kg/m³), rotação de 2500 rpm e vazão de 360m³/h. O diâmetro do rotor na entrada é de 150mm e na saída de 300mm. A largura da pá na entrada é igual a 30mm e na saída 15mm. O ângulo da pá na entrada e na saída é igual a 25º. Determinar a altura, torque e potência teórica para número infinito de pás. Demonstre também os cálculos de todas as componentes do polígono de velocidade. (Resp.: Ht = 87,55m; Wt = 85,89kW; Tt = 328,05_m).

16. Considere os dados da tabela abaixo para uma bomba centrífuga com escoamento ideal que opera a 1450 rpm com água a 15ºC. Determine a equação da altura teórica para número infinito de pás versus a vazão da bomba ( Ht -Q). (Resp.: Ht = 53 – 106Q).

Entrada Saída Diâmetro [mm] 150 300 Altura pá [mm] 75 50 Ângulo construtivo 20º 25º

17. Uma bomba opera com água, rotação de 1750 rpm e vazão de 252m3/h. O diâmetro do rotor na entrada é de 125mm e na saída é de 250mm. A largura da pá na entrada é igual a 30mm e na saída é 18mm. Os ângulos da pá na entrada e na saída, respectivamente, são de 30º e 40º. Esta mesma bomba possui um rotor de chapa fina conformada e pás com guias. A Equação que representa a curva da altura teórica para número finito de pás é dada por: Ht(m) 45,618 - 167,226 (m3/s). Determine o número de pás e equação que representa a altura teórica para número infinito de pás. (Resp.: z = 14 pás; Ht (m) = 53,83 – 197,33Q(m3/s)).

18. Uma bomba trabalha com água com uma vazão de 54m³/h e altura manométrica de 76m. A rotação é igual a 2950 rpm e o diâmetro do rotor tem 254mm. O ângulo da pá na saída é igual a 22º e largura da pá na saída é igual a 25mm. Determine o rendimento hidráulico e mecânico. Considere que a bomba apresenta escoamento com entrada radial. O coeficiente de Pfleiderer é igual a 1,34. (Resp.: h = 68,1%; m = 78,44%).

19. Uma turbina axial será projetada para trabalhar com H=15 [mca] e 26 pares de pólos no gerador (freqüência de 60 Hz), possuindo os seguintes dados construtivos preliminares:

a. Diâmetro externo: 3 m b. Diâmetro interno: 1 m c. Ângulo construtivo na saída: 30º d. Rendimento hidráulico: 92%

Determine: A componente meridional (Resp. Cm=8,37 m/s)

87

A vazão (Resp. Q=52,6 m3/s) O ângulo construtivo na entrada (Resp. 4=58,5º)

20. Determinar a vazão e a altura de queda com que está trabalhando uma turbina radial, da qual são conhecidos apenas os seguintes dados:

a. Potência efetiva no eixo: 15,9 CV b. Rendimento total: 79,5% c. Rendimento hidráulico: 85,8% d. Altura da pá do rotor na entrada: 0,06 m e. Ângulo entre a velocidade absoluta e tangencial na entrada: 21,6º f. Rotação: 750 rpm

Resp. Q=0,155 m3/s; H=9,69 m 21. Uma instalação com bomba hidráulica radial destinada a bombear 0,124 m3/s, vencendo um desnível de 45 m e 5,2 m de perdas de

carga, consome uma potência efetiva de 109 CV, com um rendimento mecânico de 95%. Calcule a rotação da bomba para desenvolver estas grandezas de funcionamento conhecendo-se os seguintes dados do rotor:

a. Saída do rotor: diâmetro de 400 mm e altura da pá de 18 mm b. Ângulo construtivo na saída: 24º c. Coeficiente de Pfleiderer: a=1,85

Resp. n=1929,6 rpm 22. A instalação de uma hidroelétrica (da figura) possui uma turbina radial, com as seguintes características:

a. Vazão: 200 l/s b. Diâmetro na entrada do rotor: 0,466 m c. Altura da pá na entrada do rotor: 22,8 mm d. Ângulo construtivo na entrada: 85º e. Diâmetro da tubulação na seção de medida de pressão: 225,7 mm f. Largura do tubo de sucção na saída: 0,4 m g. Altura do tubo de sucção na saída: 0,2 m h. Rendimento total: 90% i. Rendimento hidráulico: 96%

Determine a rotação da turbina e a potência efetiva no eixo. Resp. n=1160 rpm; Pef=200,3 CV

23. Considerando, no exercício anterior, uma perda de carga de 2% da energia total no escoamento do ponto de tomada de pressão até

a entrada da turbina (2-4), calcule: p4, p5, 5 e o grau de reação da máquina, sendo esta com pás de seção constante e D4=2.D5. Resp. p4=425.877 Pa; p5=25.989 Pa; 5=22,7º e GR=0,5092

24. Um rotor de turbina Francis deve produzir 1.185CV, com uma vazão de 5,2 m3/s. Sabendo-se que: a. Rendimento total: 90% b. Rendimento hidráulico: 92% c. Rotação: 600 rpm d. Diâmetro do rotor na entrada: 560 mm e. Altura da pá na entrada: 66,4 mm

Calcule o ângulo entre a componente tangencial e a componente relativa na entrada. Resp. 80º

25. Deseja-se acoplar uma bomba hidráulica de fluxo radial, com os dados abaixo, a motores elétricos de 1150 e 1750 rpm. Pede-se para estas duas rotações:

a. Determinar os valores da vazão e da altura disponível b. Esboçar os triângulos de velocidades em alguma escala (Ex. 0,5 cm = 1 m/s)

A bomba não possui aletas direcionais após o rotor, calcular o coeficiente empírico da fórmula de Pfleiderer. Resp. H1150=22,82m; Q1150=0,056m3/s; H1750=52,76m; Q1750=0,085m3/s.

88

Entrada Saída Altura da pá 31,9 mm 19,0 mm Diâmetro do rotor 178 mm 381 mm Ângulo construtivo 18º 20º Coef. de estrangulamento 0,9 0,9 Número de pás 11 Rendimento total 72% Rendimento mecânico 95%

26. Determinar a vazão e a altura disponível com que está trabalhando uma turbina radial, da qual são conhecidos apenas os seguintes dados:

a. Potência efetiva fornecida no eixo: 15,9 CV b. Rendimento total: 79,5% c. Rendimento hidráulico: 85,8% d. Altura da pá do rotor na entrada: 0,06 m e. Ângulos formados entre as velocidades absoluta e tangencial na entrada: 21,6º f. Coeficiente de estrangulamento na entrada do rotor: 0,937 g. Rotação de trabalho da turbina: 750 rpm

Resp. Q=0,15 m3/s ; H=10m 27. Uma instalação de bombeamento destinada a recalcar 0,124 m3/s de água, vencendo um desnível de 45 m e 5,21 m de perdas de

carga, absorve uma potência efetiva de 109 CV, pressupondo-se que face a solução construtiva adotada, o rendimento mecânico é de 95%. Desejando-se reconstituir o cálculo do rotor radial da bomba, retirou-se os seguintes dados do mesmo:

a. Entrada do rotor: diâmetro de 200 mm e altura da pá de 40 mm b. Saída do rotor: diâmetro de 400 mm e algura da pá de 18 mm c. Ângulo construtivo da pá do rotor na saída: 24º d. Número de pás: 12 e. Espessura das pás: 8,5 mm

Pede-se determinar o valor da rotação de acionamento. Para determinar o coeficiente empírico da fórmula de Pfleiderer, considere a inexistência de aletas direcionais.

Resp. n=1748 rpm 28. A turbina de uma usina hidrelétrica é uma máquina radial, de cujo rotor são conhecidos os seguintes dados:

a. Diâmetro de entrada: 60 cm b. Alturas da pá na entrada e saída: 8 e 13 cm respectivamente c. Ângulos construtivos da pá na entrada e na saída: 120º e 30º d. Número de pás: 15 e. Espessura das pás: 6 mm f. Canais de seção transversal constante

Supondo que os rendimentos hidráulico e mecânico são 88% e 95% e sabendo que o rotor gira a 500 rpm, pede-se determinar:

Potência efetiva gerada (resp. 166,3 CV) Altura bruta sob a qual a turbina está funcionando (resp. 36,83m)

O tubo adutor é feito de aço, seu comprimento virtual é de 216 m de tubo com diâmetro de 0,5 m. Considerar a viscosidade cinemática de 10-6 m2/s.

29. São conhecidos os seguintes elementos de uma turbina de reação: a. Momento de impulsão: 515 kgf.m b. Altura do rotor na entrada: 0,08 m c. Rotação: 500 rpm d. Coeficiente de estrangulamento na entrada: 1,00 e. Ângulo formado entre as velocidades absoluta e tangencial na entrada do rotor: 17,7º f. Rendimento hidráulico: 89,5% g. Canais de seção transversal constante

Pede-se determinar a altura disponível sob a qual a máquina está transformando o máximo de energia (resp. 34,38 m). 30. Determinar a altura teórica infinita e o diâmetro de saída do rotor de uma bomba radial sem aletas direcionais, sabendo que:

a. Rendimento hidráulico: 81% b. Ângulo construtivo de saída do rotor: 24º c. Relação entre as componentes da velocidade absoluta na direção tangencial nos pontos “5” e “6”: 1,211 d. Momento estático do rotor: 0,0132 m2 e. Altura disponível: 51,5m f. Número de pás do rotor: 13

89

Resp. H=77 m; D5=0,34m 31. Uma bomba centrífuga radial com as características abaixo, deve ser utilizada para trabalhar com uma rotação de 1750 rpm. Pede-se

determinar para esta nova situação: a. A vazão e a altura disponível b. O número de pás do rotor

Características: Vazão: 26,7 l/s Diâmetro de entrada do rotor: 166 mm Velocidade meridional: 4,52 m/s Canal de seção constante Altura disponível: 33m Diâmetro de saída do rotor: 360 mm Relação entre as componentes da velocidade absoluta na direção tangencial nos pontos “5” e “6”: 1,211 Rotação: 1450 rpm Rendimento hidráulico: 0,81

Resp. H=48,07 m; Z=11; Q=32,2 l/s 32. Determinar a rotação necessária para que uma bomba com aletas direcionais, desenvolva uma altura disponível de 75 m. São

conhecidas as seguintes características da máquina: a. Vazão: 120 l/s b. Ângulo da pá na saída: 20º c. Diâmetro na saída do rotor: 300 mm d. Diâmetro na entrada do rotor: 80 mm e. Rendimento hidráulico: 75% f. Número de pás do rotor: 8 g. Coeficiente de estrangulamento na saída do rotor: 0,8 h. Altura do rotor na saída: 0,013 m

Resp. 3523 rpm 33. Um rotor de turbina Francis deve produzir 1185 CV, com uma vazão de 5,2 m3/s. Sabendo-se que:

a. Os rendimentos total e hidráulico são: 90% e 92% b. O diâmetro de saída do rotor: 0,80 m c. A altura da pá na saída: 0,30 m d. O ângulo construtivo da pá na entrada do rotor: 30º e. A rotação: 450 rpm

Determine o diâmetro de entrada do rotor, desprezando a espessura das pás e considerando iguais as áreas de entrada e saída do rotor.

34. A fim de se estudar a viabilidade de utilização de uma turbina em outra queda, pede-se a determinação da altura disponível e da vazão da mesma, conhecendo-se apenas os seguintes dados:

a. Potência efetiva: 600 CV b. Rendimento total: 75% c. Rendimento hidráulico: 76,5% d. Altura do rotor na entrada: 0,1045 m e. Rotação: 300 rpm f. Ângulo formado pelas velocidades tangencial e absoluta na entrada: 45º g. Coeficiente de estrangulamento na entrada: 0,955 h. Tipo de turbina: Francis

Resp. H=20m; Q=3,0 m3/s 35. Deseja-se saber qual o rendimento hidráulico do rotor de uma bomba radial sem aletas direcionais, com as seguintes características:

a. Altura manométrica total: 10 m b. Rotação: 1450 rpm c. Vazão: 31,2 l/s d. Ângulo construtivo da pá na saída: 30º e. Diâmetro de entrada: 100 mm f. Relação entre os diâmetros de entrada e saída: 0,5 g. Espessura da pá: 3 mm h. Número de pás: 8 i. Canais de seção constante j. Altura da pá na saída: 20 mm

36. Os dados abaixo referem-se ao rotor de uma turbina Francis, da qual se deseja conhecer a vazão e a altura disponível:

90

a. Rendimento hidráulico: 0,81 b. Rendimento total: 0,79 c. Potência efetiva: 26 CV d. Diâmetro do rotor na entrada: 0,40 m e. Altura do rotor na entrada: 0,07 m f. Relação entre as velocidades tangencial e meridional na entrada: 2,5 g. Ângulo construtivo da pá na entrada: 90º h. Desprezar a espessura das pás

37. Com a finalidade de dar prosseguimento ao pré-dimensionamento de uma bomba centrífuga, pede-se determinar o ângulo construtivo da pá na entrada do rotor e a rotação a que deverá girar. Os elementos conhecidos são os seguintes:

a. Diâmetro do rotor na entrada: 220 mm b. Diâmetro do rotor na saída: 330 mm c. Ângulo construtivo da pá na saída: 30º d. Rendimento hidráulico: 85% e. Circulação na saída do rotor: 13,7 m2/s f. Número de pás: 8 g. Canais de seção transversal constante h. Altura disponível: 15m i. A bomba não tem aletas direcionais após o rotor

38. Calcular o número de pás do rotor de uma bomba hidráulica de fluxo com as características abaixo: a. Vazão: 2004 l/min b. Altura disponível: 51,5 m c. Rotação: 1750 rpm d. Velocidades meridionais na entrada e saída do rotor: 4,52 m/s e. Rendimento hidráulico 81% f. Diâmetro de entrada do rotor: 166 mm g. Diâmetro de saída do rotor: 360 mm h. Aletas direcionais após o rotor i. Relação entre as componentes tangenciais das velocidades absolutas nos pontos “5” e “6”: 1,2

39. Conhece-se as seguintes características de uma bomba a serviço de uma indústria: a. Vazão: 50 m3/h b. Rotação: 3450 rpm c. Rendimento total: 0,71 d. Diâmetro do rotor na saída: 250 mm e. Diâmetro do rotor na entrada: 150 mm f. Número de pás do rotor: 8 g. Seção do canal de fluxo do fluido constante h. Ângulo construtivo das pás na entrada e na saída: 35º

A bomba tem um custo anual de operação (energia) da ordem de R$ 2016,00, com um valor de energia da ordem de R$ 0,08/kWh. O regime de trabalho é de 8 h/dia e 25 dias/mês. Considerando a bomba com aletas direcionais e desprezando a espessura das pás na entrada do rotor, pede-se determinar:

Baseado no custo anual de energia consumida, altura manométrica total que se pode dispor O rendimento hidráulico apresentado pela bomba

40. Uma bomba centrífuga de 5 estágios com aletas direcionais após o rotor apresenta as seguintes características: a. Rotação: 3500 rpm b. Ângulo construtivo da PA na entrada do rotor: 16º c. Relação entre as velocidades meridionais na saída e na entrada do rotor: 0,9 d. Altura da pá na entrada: 0,02 m e. Diâmetro do rotor na entrada: 0,12 m f. Ângulo construtivo da pá na saída: 30º g. Número de pás: 5 h. Diâmetro do rotor na saída: 0,25 m i. Coeficiente de estrangulamento na entrada e na saída do rotor: 0,90 j. Rendimento hidráulico: 0,8

Pede-se determinar: Altura teórica infinita Altura teórica Altura disponível

91

Altura da pá na saída Potência hidráulica

41. Conhecendo-se as seguintes características de uma bomba centrífuga: a. Diâmetro do rotor na saída: 360 mm b. Número de pás: 8 c. Velocidade meridional na entrada e na saída do rotor: 10,4 m/s d. Rotação: 1800 rpm e. Coeficiente empírico da fórmula de Pfleiderer: 0,9 f. Máquina com aletas direcionais

g. Considerar: ))120/(65,0(' 5

Pede-se determinar: Diâmetro de entrada do rotor Ângulo construtivo da pá na entrada do rotor Vazão para uma altura de entrada do rotor de 70 mm

42. Pede-se calcular o valor da leitura do manômetro instalado na saída da bomba da instalação, sendo conhecidos: a. Vazão: 50 m3/h b. Rotação: 3450 rpm c. Leitura do vacuômetro da entrada da bomba: 4,8 mca d. Rendimento hidráulico: 0,89 e. Diâmetro de entrada do rotor: 150 mm f. Diâmetro de saída do rotor: 250 mm g. Número de pás do rotor: 8 h. Ângulo construtivo da pá na entrada e na saída do rotor: 35º i. Canais do rotor de seção transversal constante j. Espessura das pás desprezível k. Bomba com aletas direcionais

43. São conhecidos os seguintes elementos do rotor da bomba de uma bomba: a. Sem aletas direcionais b. Diâmetro de entrada: 120 mm c. Ângulo construtivo da pá na entrada: 16º20’ d. Diâmetro de saída: 256 mm e. Ângulo construtivo da pá na saída: 26º

Como não há tacômetro disponível no local, pede-se determinar a rotação com que o rotor está girando, considerando: Rendimento total: 76% Rendimento mecânico: 95% Coeficiente de estrangulamento, na saída e na entrada do rotor: 0,9 Fator de redução da altura teórica infinita para a altura teórica: 1,278 Leitura do vacuômetro: 4,6 mca Leitura do manômetro: 14,6 mca Diâmetro do tubo de recalque: 100 mm Medidor de vazão:

o Tipo: bocal o Local instalação: tubo de recalque o Diâmetro do orifício: 77,5 mm o Diferença de pressão: 0,452 mca o Reynolds no recalque: 2.105

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALLÉ, A.V.A. Apostila de sistemas de bombeamento. PUC-RS, 2011.

CAMPOS, M.C. Apostila de Máquinas Hidráulicas-UFPR. Curitiba: 1996.

CARVALHO, D.F. Apostila de hidráulica aplicada. UFRRJ, 2011.

GUIMARÃES, L.B. Máquinas hidráulicas. Curitiba: UFPR, 1991.

TURTON, R.K. Principles of turbomachinery. 2th ed. London: Chapman & Hall, 1995.

92

CAPÍTULO 7 SEMELHANÇA APLICADA ÀS MÁQUINAS HIDRÁULICAS 7.1 Objetivo:

A teoria dos modelos (theory of models) possibilita o estudo de modelos reduzidos/aumentados de máquinas de fluxo, com o objetivo de reduzir o risco de execução errônea das máquinas de grande porte. Além disto pode também ser usada para avaliar o comportamento de máquinas de fluxo ditas semelhantes.

7.2 Teoria das Máquinas de Fluxo Geometricamente Semelhantes

Tomando como exemplo as máquinas geradoras, a teoria da semelhança física diz que duas bombas são semelhantes (ou fisicamente similares) se, com diferentes características de projeto (n, D, etc), submetidas a diferentes condições operacionais (Q, H, , ), guardarem entre si semelhanças geométricas, cinemáticas e dinâmicas.

A completa semelhança física de condições operacionais requer:

a. Semelhança geométrica: o modelo deve ser geometricamente semelhante ao protótipo; b. Semelhança cinemática: o modelo deve ser cinematicamente semelhante ao protótipo; e c. Semelhança dinâmica: o modelo deve ser dinamicamente semelhante ao protótipo.

Semelhança Geométrica:

A semelhança geométrica diz respeito à proporcionalidade das dimensões lineares, igualdade de ângulos e nenhuma omissão ou adição das partes.

Considerando duas máquinas de fluxo (MF’ e MF”) geometricamente semelhantes, trabalhando sob alturas de queda (ou elevação) H’ e H”, com diâmetros D’ e D”, e com alturas de pás b’ e b”, a relação de semelhança geométrica, definido pelo fator de escala “ ” será:

'5

"5

'5

"5

'4

"4

'4

"4

bb

DD

bb

DD

(7.1)

Desta forma a relação de áreas será:

'5

"5

'4

"42

AA

AA

(7.2)

Além da semelhança geométrica, os ângulos construtivos devem ser iguais.

" = " = (7.3)

Semelhança Cinemática:

A condição de semelhança cinemática impõe que as velocidades e acelerações para os pontos correspondentes devem ser vetores paralelos e devem ter relações constantes entre seus módulos. Desta forma

93

os triângulos de velocidades de duas máquinas geometricamente semelhantes, devem ser respectivamente semelhantes.

Considerando semelhantes os triângulos de velocidades traçados a partir dos pontos homólogos (semelhantes) M” e M’ mostrados na Fig.7.1, situados sobre as pás de duas máquinas de fluxo MF” e MF’ geometricamente semelhantes, tem-se:

="

="

="

="

="

="

="

="

="

="

="

="

(7.4)

A relação “K” chama-se razão de semelhança cinemática e é constante para qualquer posição homóloga dos pontos M” e M’.

Figura 7.1 – Máquinas geometricamente semelhantes

Utilizando a equação de Euler (ou equação fundamental das máquinas de fluxo):

2 = ± + ( + ) (7.5)

Aplicando estes conceitos à duas máquinas de fluxo semelhantes MF” e MF’, tem-se:

2 = ± + + , (7.6)

2 = ± " " + " " " + " , (7.7)

Multiplicando os dois lados da eq.(7.6) por K2 e substituindo “K” do lado direito por suas respectivas relações dadas pela eq.(7.4):

2 = ±" "

+" " "

+"

É fácil verificar que:

= . (7.8)

Lembrando que:

= (7.9)

Pode-se verificar pela eq.(6.19) que “a” será igual para máquinas geometricamente semelhantes, então:

= . (7.10)

Ou ainda, levando em conta que a energia teórica (Ht) e as perdas internas (“Hp”) estão relacionadas à energia hidráulica (H) efetivamente entregue ao fluido por:

= ± H (7.11)

94

Sendo Hp” e Hp’ perdas internas de origem puramente hidráulicas, podendo ser proporcionais ao quadrado das velocidades:

H = . ou H" = . " (7.13)

Dividindo um pelo outro e considerando que as constantes são iguais e o coeficiente de semelhança cinemática “K” dado pela eq.(7.4):

H" = . H (7.14)

Substituindo a eq.(7.11) em (7.10) e usando (7.14):

" ± H" = . ± . H " . = ± . H (±H )

" . = ± . H ± . H

" . = 0

H'H"=K (7.15)

Igualdade dos rendimentos:

Considerando agora o rendimento hidráulico ( h) de uma máquina de fluxo:

H = ( )± . (7.16)

Substituindo a eq. (7.16) na relação dada pela eq. (7.10):

± = . ± (7.17)

Substituindo “K” dado pela eq.(7.14) pode-se verificar que:

" = (7.18)

Este resultado pode ser estendido aos rendimentos totais das duas máquinas de fluxo, porque eles são obtidos multiplicando-se os rendimentos hidráulicos pelos rendimentos mecânicos, que são próximos da unidade. Desta forma tem-se:

" = (7.19)

Vale observar que, para chegar à eq. (7.19) assumiu-se uma premissa de que as constantes const’ e const” na eq.(7.13) são iguais. Vejamos em que caso isto ocorre.

Sabendo que a perda de carga (Hp) é função de:

= f , , , ,

95

Na forma que está a eq.(7.13) pode-se verificar que as constantes serão função de:

const = f , , ,

Desta forma, para que as constantes sejam iguais, é necessário que entre as duas máquinas:

exista semelhança geométrica, ou seja, a relação L/D será igual; ação da gravidade seja a mesma para ambas as máquinas; a rugosidade relativa (e/D) seja a mesma; e o número de Reynolds sejam os mesmos.

A semelhança geométrica e a ação da gravidade são facilmente aceitáveis. Para o caso da rugosidade relativa, para que sejam as relações e/D sejam as mesmas, é necessário que rugosidade (e), que é uma dimensão geométrica do rotor, respeite a semelhança geométrica, desta forma e/D será o mesmo para as duas máquinas. E para que o número de Reynolds seja o mesmo basta que se respeite a semelhança dinâmica, que será visto no próximo ítem.

Desta forma, é razoável, por enquanto, que esta suposição seja aceitável, uma vez que máquinas semelhantes devem respeitar o que foi dito até aqui. Ou seja, máquinas semelhantes devem ter igual rendimento.

Semelhança Dinâmica:

A condição para obtenção da semelhança dinâmica é que tipos idênticos de força sejam vetores paralelos e que a relação entre seus módulos seja constante para pontos correspondentes.

="

="

(7.20)

Duas máquinas são dinamicamente semelhantes se houver simultaneamente a igualdade do número de Reynolds, do número de Mach (efeito de compressibilidade) e do número de Euler.

De forma a simplificar o estudo dos modelos e protótipos, busca-se identificar qual das forças é preponderante no fenômeno que se quer estudar, e com base nisto usar o número adequado para cada um dos casos. De um modo geral, para máquinas de fluxo, o número de Reynolds é a condição mais importante para semelhança dinâmica.

Apesar disto, a igualdade do número de Reynolds e a semelhança geométrica da rugosidade, espessura e folgas nem sempre são realizáveis o que acaba afetando o rendimento, fenômeno conhecido por efeito de escala. Com isto, a experiência com os modelos não permite prever com precisão o rendimento do protótipo.

Para corrigir esta distorção, algumas fórmulas empíricas são empregadas de modo a relacionar o rendimento do modelo e do protótipo considerando o efeito de escala.

Fórmula de MOODY6 (para bombas) "

= "

/. "

/= / . K / (7.21)

t - rendimento total, D - diâmetro H - altura de elevação.

6 Segundo Stepanoff, em STEPANOFF, A.J. Centrifugal and Axial Pumps

96

Fórmula de HUTTON7 (turbinas hélice e Kaplan) "

= 0,3 + 0,7."

/ (7.21)

t : rendimento total Re: número de Reynolds para as duas máquinas semelhantes, definido por:

Re = 2. g. H (7.22)

D: diâmetro característico da turbina, normalmente o diâmetro externo, ática g: aceleração da gravidade e Hn : altura de queda nominal ou de projeto.

Fórmula de MOODY (turbinas Francis): Segundo a NB-580,

"=

"

/ (7.23)

D: diâmetro característico do rotor, normalmente D4.

Igualdade de rendimentos (turbinas Pelton): Segundo a NB-580, para turbinas Pelton o efeito de escala não é considerado resultando:

" = (7.24)

Fórmula de ACKERET8 (ventiladores): "

= 0,5 + 0,5."

/ (7.25)

De acordo com a AMCA standard, sendo e o rendimento estático ótimo e Re o número de Reynolds para as duas máquinas. Sendo Reynolds dado por:

Re =. n. D

n: velocidade de rotação do ventilador em [rps] D: diâmetro característico do ventilador, normalmente “D5” em [m] para ventiladores radiais e “De” em [m] para

ventiladores axiais, ática [m2.s-1]

Fórmula V de CAMMERER:

"=

,( ) /

,( ) /

(7.26)

7.3 Restrições ao emprego da teoria

A teoria das máquinas de fluxo mecanicamente semelhantes permite determinar, com excelente aproximação, as principais características de uma grande turbina protótipo, por exemplo, partindo de resultados de ensaios feitos sobre uma pequena turbina modelo (ou padrão). Mas esta teoria não é um rigor absoluto e certamente haverá pequenos desvios entre o protótipo e o modelo. Estes desvios podem ser favoráveis ( como é o caso dos rendimentos) ou preocupantes (como nos fenômenos de cavitação).

7 De acordo com a NB-580 8 De acordo com a AMCA standard.

97

7.4 Escalas de Semelhança

Aplicando as leis aproximadas da semelhança, que ignoram a semelhança dinâmica e requerem como condição de semelhança apenas a semelhança geométrica e cinemática, a semelhança de duas máquinas de fluxo MF’ e MF” é caracterizada por:

Razão de semelhança geométrica ( Razão de semelhança cinemática (K) Igualdade entre os rendimentos totais (dado pela Eq.7.19)

A razão de semelhança geométrica pode ser fixado arbitrariamente e a razão de semelhança cinemática “K” depende das alturas de queda ou elevação sob as quais irão funcionar as duas máquinas. Como a queda do modelo, a ser construído, vai ser fixada em conformidade com as disponibilidades técnicas do laboratório, fica implícito que o coeficiente “K” também pode ser fixado arbitrariamente.

Este tipo de semelhança em que o projetista tem dois graus de liberdade – fixação dos coeficientes e K – recebe o nome particular de semelhança de Combe-Rateau e permite a obtenção das seguintes

escalas.

Escala de velocidades (rotações)

" = ".R" = . " . " (7.27)

= .R' = . . (7.28)

Dividindo a eq.(7.27) pela eq.(7.28) e isolando “n”, resulta:

" = . . (7.29)

Escala de vazões

Genericamente tem-se que:

" = ". " (7.30)

= .A' (7.31)

Dividindo a eq.(7.30) pela eq.(7.31) e isolando Q”, resulta:

" = . . (7.32)

Escala de potências

Genericamente tem-se que:

P" = . Q". H" (7.33)

P = . .H' (7.34)

Dividindo a eq.(7.33) pela eq.(7.34) e isolando P”, resulta:

P" = . K . (7.35)

Escala de momentos

Genericamente tem-se que:

98

P" = M". w" (7.36)

P = .w' (7.37)

Dividindo a eq.(7.36) pela eq.(7.37), considerando as eqs. (7.4) e (7.35) e isolando M”, resulta:

M" = . K . (7.38)

7.5 Leis de Variação

As leis da variação (similarity laws) relacionam, para uma mesma máquina de fluxo, parâmetros como alturas de queda/elevação, vazão e potência em função da variação da velocidade de rotação. Para isto são usadas as relações aproximadas de semelhança, que consideram a semelhança geométrica e cinemática, desconsiderando a semelhança dinâmica, e considerando a igualdade de rendimentos.

Aplicando a condição de D”=D’, ou seja = 1 , às eqs. (7.29), (7.32) e (7.35) e considerando a relação (7.15) resulta:

" = . " (7.39)

H" = H . " (7.40)

P" = . " (7.41)

7.6 Grandezas unitárias

Continuando com as premissas da seção 7.5, alterando os índices, e aplicando H1=1 [m] às eqs.(7.39) à (7.41) resultam as grandezas unitárias dadas por:

n = n. H / (7.42)

Q = Q. H / (7.43)

P = P. H / (7.44)

As equações anteriores dão a lei da variação da rotação, vazão e potência no eixo para uma mesma máquina de fluxo trabalhando com alturas de queda/elevação variáveis.

Os índices nesta seção se relacionam com os índices das equações (7.39) a (7.41) da seguinte forma:

H’ H1 ; Q’ Q1 ; n’ n1 e P’ P1

H” H ; Q” Q ; n” n e P” P

7.7 Grandezas biunitárias

Na seção 7.6 foram consideradas as relações de semelhança para uma mesma máquina, ou seja, D”=D’. Agora será considerada uma máquina semelhante (semelhança aproximada) que tem D11=1 [m] e H11=1[m] resultam as relações biunitárias. Usando as eqs. (7.29), (7.32) e (7.34):

= . . / (7.45)

P = P. D . H / (7.46)

= n. D. / (7.47)

99

As relações acima são as grandezas biunitárias e, supondo rendimentos constantes, são iguais para máquinas de fluxo semelhantes. Isto permite o seu uso na transposição de valores entre um modelo e a máquina em tamanho real (protótipo). Devido ao efeito de escala, a correção de rendimento, se necessária, será efetuada pela utilização das fórmulas já apresentadas anteriormente.

Os índices nesta seção se relacionam com os índices das equações (7.39) a (7.41) da seguinte forma:

H” H11 ; Q” Q11 ; n” n11 e P” P1

H’ H ; Q’ Q ; n’ n e P’ P

7.8 Coeficientes Adimensionais

Alguns coeficientes desempenham papel importante no estudo das máquinas de fluxo. Eles relacionam algumas grandezas que interferem no funcionamento destas máquinas. São bastante úteis para seu estudo e classificação.

Estes coeficientes são resultados da aplicação da análise dimensional e do teorema “ de Buckingham.

As variáveis que caracterizam o desempenho de uma máquina hidráulica são:

o Q – vazão [L3T-1] o N – rotação [T-1] o D - Diâmetro do rotor [L] o – massa específica [ML3] o m – viscosidade absoluta [ML-1T-1] o E – energia específica da máquina [L2T-2] o M – massa [M] o L – Comprimento [L] o T – Tempo [T] o H – carga hidráulica da máquina [L]

E o problema é dado por:

( , , , , , ) = 0

Usando o teorema de Buckingham resultam alguns coeficientes dados a seguir.

Coeficiente de Vazão (ou de volume) (

Também conhecido por capacity coefficient ou volume coefficient, é a relação entre vazão da máquina e uma vazão fictícia obtida pelo produto de uma seção fixada do rotor, pela velocidade para esta seção. Para máquinas de fluxo geradoras é dada por:

= .. .

(7.48)

Os termos “D” e “u” são os diâmetro e velocidade específica do rotor, geralmente D4 para máquinas motoras radiais, D5 para máquinas geradoras radiais (como mostrado acima) e De para máquinas axiais, e “u” os valores da velocidade tangencial no diâmetro característico considerado.

100

Coeficiente de Pressão ( )

Empregado por diversos fabricantes tanto de máquinas operadoras como motoras, tem por objetivo caracterizar o equipamento do ponto de vista das altura manométrica de elevação/queda.

É a relação entre o trabalho específico (ou salto energético específico) e a energia específica correspondente à velocidade tangencial do rotor. Também conhecido por pressure coefficient ou head coefficient.

= = . = . . (7.49)

Nesta relação h[J/kg]; H[J/N]; e “u” é normalmente calculado para o diâmetro de entrada (D4) para máquinas motoras radiais, e para o diâmetro de saída nas máquinas geradoras radiais (D5). Para as máquinas axiais considera-se, geralmente, o diâmetro externo (De).

É um coeficiente muito usado no estudo de bombas hidráulicas e ventiladores. Para bombas hidráulicas a relação usual é:

= . . (7.50)

Para ventiladores:

=. .

(7.51)

É um coeficiente variável com a altitude e temperatura. Existem tabelas específicas que correlacionam ns e nq a .

Coeficiente de Velocidade Tangencial ( )

Um coeficiente de uso corrente no estudo de turbinas hidráulicas. Resulta da aplicação da teoria da semelhança a duas turbina, uma das quais trabalhando sob queda de 1,0 mca.

="

=" /

=2 "2

/

Fazendo H’=1,0 mca, particularizando para a saída do rotor, e considerando u’ como o coeficiente de velocidade tangencial, resulta:

="

(2 ") /

E pode-se fazer:

= ( ) / (7.52)

Estes valores podem ser tirados de gráficos em função de ns.

Coeficiente de Velocidade Meridional ( )

Também conhecido por coeficiente de gasto ou de passagem. Para turbinas é bastante utilizado e tem sua base teórica semelhante ao coeficiente de velocidade tangencial. Desta forma:

= ( ) / (7.53)

101

Estes valores podem ser tirados de gráficos em função de ns.

Relação entre os coeficientes de pressão , vazão e velocidade meridional

= / (7.54)

Coeficiente de Diâmetro e de Ligeireza

De uso corrente no estudo de ventiladores, os coeficientes de diâmetro e ligeireza são obtidos pela comparação de um ventilador qualquer com outro que trabalha sob e unitários, admitidas algumas hipóteses simplificadoras.

Sejam os dois ventiladores, tais como apresentados abaixo:

Figura 7.2 – Ventiladores axiais semelhantes

O coeficiente de ligeireza ( e de diâmetro ( ), que indica quantas vezes uma máquina é mais rápida que a outra são dados por:

=/

/ =/

/ (7.55)

7.9 Rotação Específica

A rotação específica é um importante parâmetro adimensional usado em máquinas de fluxo. Apesar de o conceito ser o mesmo em todas as literaturas, é importante observar as unidades que são apresentadas nas tabelas e diagramas. Seguem as diferentes rotações específicas.

Rotação específica relacionada a vazão (nq)

Considerando-se duas máquinas hidráulicas com similaridade de Combes-Rateau (semelhança geométrica e cinemática), e considerando que se uma das máquinas hidráulicas trabalhar nas condições de altura de queda (H’) de 1,0 [m.c.a.] e vazão (Q`) de 1,0 [m3/s], tem-se:

" = . . =."

" = . .

Substituindo uma em outra com Q’=1 e resolvendo para n’:

= ". " , . ,

Lembrando que K=(H/H)1/2 e H’=1 [mca]:

102

= ". " , . " /

Suprimindo os índices:

= . / . / (7.56)

n – [rpm] Q – [m3.s-1] H – [mca]

Que é a rotação específica a vazão9 cujo conceito é de ser a rotação de uma máquina semelhante à original que sob a queda de 1 [m] é atravessada por uma vazão de 1 [m3.s-1]. É muito utilizada no estudo das bombas hidráulicas e ventiladores.

Rotação específica relacionada a potência (ns)

Considerando-se duas máquinas hidráulicas geometricamente semelhantes cujos escoamentos obedecem aos critérios de semelhança de Combes-Rateau, e considerando que se uma das máquinas hidráulicas trabalhar nas condições de altura de queda (H’) de 1,0 [m.c.a.] e potência (Pef`) de 1,0 [CV], tem-se:

" = . .

" = . .

Se uma destas máquinas trabalhar sob uma altura de 1,0 m.c.a. (H’) e produzir a potência de 1,0 CV (P’) com o mesmo rendimento da MH”, tem-se:

" = . . = " , . ,

" = . . " = . . ( , . " , )

Resolvendo para n’, resulta:

= ". " , . ,

Como k=(H”/H’)1/2, resulta:

= ". " , . " / (7.57)

À velocidade de rotação n’, deu-se a designação de rotação específica10. Sua definição é como sendo a rotação de uma máquina semelhante à original, que sob a queda de 1,0 mca fornece uma potência de 1,0 CV. Esta é uma grandeza específica que depende do fluido, bem como do rendimento total da máquina, permitindo comparar somente máquinas que trabalhem com mesmo fluido e mesmo rendimento.

Se houver uma comparação entre as máquinas de fluxo MF’ e MF”, ou MF’ e MFn, e resultar para n’ sempre o mesmo valor, pode-se concluir que duas máquinas de fluxo em semelhança de Combe-Rateau possuem a mesma rotação específica, cujo símbolo é ns.

9 Ou velocidade de rotação específica ou coeficiente de forma 10 Zulcy Souza (nst) e a define como a rotação específica relacionada a potência

103

= . , . / (7.58) n – [rpm] P – [CV] H – [mca]

Suas dimensões no sistema métrico são [rpm.CV1/2.m-5/4]. Alguns autores consideram ns em [rpm],

porque a potência e a altura unitária possuem módulo unitário, mas dimensão tal que torna ns e n com a mesma dimensão. Outros autores utilizam ns/n e chamam-no de coeficiente de rotação específica (adimensional).

Relação entre a rotação específica relacionada a vazão e a potência

Considerando como fluido a água ( =1000 kg.m-3) pode-se relacionar as duas rotações específicas:

= . , . / = nQH

. / = 3,65. / . . / . /

Como a premissa inicial considera duas máquinas semelhantes de rendimentos iguais, então pode-se considerar a potência efetiva ou hidráulica para obtenção de ns, desta forma, o rendimento é desconsiderado, e:

= 3,65. (7.59)

Coeficiente de forma segundo Addison (nqA)

Na literatura pode-se achar outro índice denominado “nqA”, que é o coeficiente de forma segundo Addison11, dado por:

= 3. . / . / (7.60)

n – [rpm] Q – [m3.s-1] H – [m]

Os valores de n, Q e H são os valores de melhor rendimento (projeto). Caso a máquina tenha vários

estágios (rotores em série) o “H” utilizado corresponde ao salto energético de cada rotor. Para o caso de dupla sucção, a vazão será considerada em um dos lados de sucção, normalmente sendo a metade da vazão que passa pelo rotor.

Rotação específica referida a cavitação (SSS)

Também conhecido por suction specific speed (SSS), é um parâmetro que permite a análise das condições de sucção (cavitação) em bombas geometricamente semelhantes. Considerando o coeficiente de Thoma ( ):

= . / = / ./

Assim:

= / (7.61)

11 ADDISON, H. Centrifugal and other rotodynamic pumps.

104

Figura 7.3 – Gráfico de nq x (Fonte: http://www.pumpfundamentals.com/help2.html)

Observações na obtenção das rotações específicas

Em bombas com rotor de dupla sucção, para o cálculo das rotações específicas deve-se dividir a vazão por dois.

Em bombas multi-estágio deve-se dividir a carga (H) pelo número de estágios para obter o valor de H por estágio e este valor deve ser usado na fórmula

Dada a curva característica QxH de uma bomba pode-se calcular as rotações específicas para cada ponto. Por isto, padronizou-se o cálculo deste parâmetro no ponto de máximo rendimento, e também é conhecida como “velocidade específica tipo”.

A velocidade específica independe da rotação na qual a bomba é operada. Considerando que uma bomba tem sua máxima eficiência com a rotação n1, com Q1 e H1, e mude-se a rotação para n2, sendo n2/n1=C, então,

= . / . / = . ( ) / . ( ) / = . / . / =

Aplicações da velocidade específica

A velocidade específica tem algumas aplicações, como as descritas a seguir: 1. Determinar o tipo de rotor e a eficiência máxima de acordo com as condições operacionais 2. Em função de resultados existentes para bombas similares determinar a geometria básica do rotor sendo

conhecidas as características de desempenho desejadas (Q,H) e a rotação (n), e o desempenho aproximado da bomba, conhecidas as características geométricas do rotor.

3. Determinar a rotação máxima que uma bomba pode operar em condições satisfatórias em função do tipo de bomba e de características do sistema.

105

Determinação do tipo de rotor e eficiência máxima de acordo com as condições operacionais

Utilizando alguns gráficos, como o de Wislicenus é possível obter, a partir da velocidade específica, o tipo de rotor e a eficiência máxima esperada.

A figura abaixo mostra H x nq, com a rotação em rpm, a vazão em gpm e a altura em pés de água. Com este gráfico é possível obter a eficiência esperada para determinada máquina de fluxo que tenha determinada rotação específica. No gráfico a rotação específica é a relacionada à vazão (nq) onde a rotação está em [RPM] a vazão em [gpm] e a altura em [ft of water].

Figura 7.4 - Gráfico de H x nq (Fonte: http://hpac.com/piping-pumping/improving-pump-efficiency)

Uma versão atualizada da carta de Wislicenus é apresentada a seguir num gráfico eficiência por rotação específica relacionada a vazão (nq), sendo a rotação dada em rotações por minuto [rpm], a altura em pés [ft] e a vazão em galões por minuto [gpm].

Figura 7.5 – Gráfico de eficiência por ns (Fonte: http://www.pumpfundamentals.com/help2.html)

106

Com relação ao tipo de rotor, o Hydraulic Institute sugere as seguintes aplicações: Bomba centrífuga: nq<4200

Tipo radial: nq<2000 Tipo Francis: 2000<nq<4200

Bomba de fluxo misto: 4200<nq<9000 Bomba axial: nq>9000

A figura a seguir mostra a forma dos rotores em função da rotação específica utilizada.

Figura 7.6 – Tipo de rotor x nq (Fonte: Webb pump - http://www.webbpump.com/technical-support/centrifugal-pump-

basics/npsh-suction-specific-speed.php)

Para turbinas o tipo de rotor relacionado à rotação específica é dada pela fig. 7.7 e a tab.7.1 mostra a classificação de máquinas de fluxo em função do coeficiente de forma de Addison.

Figura 7.7 – Seleção da turbina em função da velocidade específica

107

Tabela 1 – Classificação de máquinas de fluxo em função de nqA

Usando a rotação específica para determinação da geometria

Tendo definido o tipo de rotor e a eficiência esperada, o próximo passo é determinar a geometria básica do rotor. Para isto utiliza-se algum ábaco construído a partir de bombas comerciais e que permitam relacionar a rotação específica a algumas características geométricas do rotor.

Exemplo 1

Deseja-se projetar uma bomba centrífuga para recalcar 73,5 [m3.h-1] de água a uma altura de 126 [m], sendo acionada diretamente por um motor de 3600 [rpm]. Sabe-se que para esta vazão o melhor rendimento da bomba verifica-se para nqA=116. Valores para predimensionamento de rotores centrífugos indicam para esta velocidade de rotação específica =0,96 e = 0,14. Considerando o V=1,0 e desprezando a espessura das pás, determine:

O número de estágios que a bomba deve ter O coeficiente de vazão da bomba O diâmetro de saída do rotor A largura de saída do rotor da bomba

][014,048,3.135,0.

0204,0

].[48,352,31.81,9.2.14,022

056,041,25.135,0.

0204,0.44

][135,03600.

38,25.60..60

].[38,2596,0

52,31.81,9.22

][452,31

126

][52,31116

)3600/5,73.(3600.3

555

155

55

25

25

55

15

3/42/1

mCD

Qb

smgHCCgHCC

uDQ

mnuD

smgH

u

estágiosH

Hi

mH

m

estágiommestágio

mm

estágio

estágio

estágio

108

Exemplo 2

Um ventilador que trabalha com ar de massa específica 1,2 [kg.m-3], apresenta rotação de 3600 [rpm] vazão de 2,69 [m3.s-1], variação de pressão total de 960 [kPa] e rendimento total de 0,76. Fazendo o ventilador funcionar a 1750 [rpm] e considerando que o rendimento total mantêm-se constante, determine:

Vazão do ventilador a 1750 [rpm] Diferença de pressão total para 1750 [rpm] Potência consumida no eixo a 3600 [rpm] Potência consumida no eixo a 1750 [rpm] Tipo de ventilador em questão

axialventiladorH

Qnn

WnnPP

Wn

HQP

mpH

Pannpp

nn

p

p

HH

smnnQQ

nn

QQ

qA

efef

tef

t

ttt

t

_73,65255,81

69,23600.33

][39036001750.3398

"'.'

][339876,0

55,81.69,2.2,1.81,9""""

][55,8181,9.2,1

960""

][85,22636001750.960

"'".'

'"

'

"

'"

].[31,136001750.69,2

"'".'

'"

'"

4/34/3

33"

"

222

13

7.10 Exercícios

44. Uma turbina Francis de 1020 mm de diâmetro que trabalha no Paraguai (frequência de rede: 50Hz) sob uma queda líquida de 61 mca e gera uma potência de 2717 CV com um rendimento total de 83,5% a uma rotação de 375 rpm, foi comprada por uma empresa brasileira que deverá instalá-la sob uma queda de 156 mca. Supondo-se que a máquina tenha o mesmo rendimento, qual será a vazão do rio que deverá ser desviada para a turbina, qual será a nova potência eficaz da máquina e quantos pares de pólos deverá ter o novo gerador a ser comprado?

45. Uma turbina pequena cujo diâmetro é de 38 cm fornece uma potência eficaz de 10 CV com uma vazão de 340 l/s e uma altura de 2,70 m. A velocidade de rotação é de 180 rpm. Se uma turbina geometricamente semelhante de 1,20 m de diâmetro deve funcionar sob uma altura de 7,60 m, quais serão os valores de sua velocidade, vazão e potência eficaz? Determinar ainda o valor dos rendimentos e ns das duas turbinas.

46. Nos ensaios realizados sobre uma turbina pequena, dez vezes menor do que outra, seu eixo sofre um momento de torção de 5,5 kgm quando a vazão é de 56 l/s, sendo de 80% seu rendimento. Qual será a rotação da turbina menor e os correspondentes valores de rotação, momento, vazão e rendimento da turbina maior?

47. Uma turbina possui as seguintes características D’=0,5 [m]; Deseja-se construir outra turbina geometricamente semelhante a anterior, porém que gire a uma velocidade síncrona de 180 rpm sob a mesma carga da anterior. Determine a vazão requerida por esta turbina, o valor de seu diâmetro e sua potência.

48. Uma turbina tem seu rendimento ótimo sob uma queda líquida de 6 m, a 100 rpm e gerando uma potência de 400 CV. O diâmetro da turbina é de 1300 mm. Pergunta-se a rotação de uma máquina geometricamente semelhante a anterior, porém com metade do diâmetro sob uma queda líquida de 9 m, e qual potência gerará esta segunda turbina.

49. Calcular a rotação, potência eficaz e vazão de uma turbina de 1,0 m sob uma queda líquida de 10 m, que é geometricamente semelhante a outra de 400 mm de diâmetro, que com uma vazão de 400 l/s gira a 150 rpm e tem rendimento total de 70%.

50. Uma turbina deve desenvolver 312 CV sob uma carga de 24 m e seu rotor deve ser geometricamente semelhante a outro de 0,5 m de diâmetro que desenvolve 21 CV quando gira a 130 rpm sob a carga de 10 m. Qual será a vazão da turbina menor e os correspondentes valores do diâmetro, da rotação e da vazão na turbina maior? Considerar o rendimento de 80%.

109

51. Uma bomba centrifuga tem as seguintes características de funcionamento: potência eficaz de 16CV, rotação de 2850 rpm, vazão de 3000 l/min, e altura de elevação de 25 mca. Deseja-se substituir o motor elétrico que aciona esta bomba por um diesel de acionamento direto a 3100 rpm. Qual será a altura de elevação, a vazão e a potência eficaz nesta nova condição?

52. Uma bomba centrífuga girando a 500 rpm proporciona uma vazão de água de 18000 l/min a uma altura manométrica de 5 mca. Calcular a velocidade que deve girar uma bomba geometricamente semelhante a anterior que dá uma vazão de 50% da anterior e uma altura de elevação de 10 m. Calcular também as relações de semelhança entre as bombas.

53. Uma bomba centrífuga dá uma vazão de 50 l/s a uma altura de elevação de 100 m, girando a 1450 rpm. O rendimento da bomba é de 67%. Pretende-se que a bomba trabalhe sob uma nova condição de 130 m. Supondo um rendimento igual, calcular a vazão, a potência de acionamento e a rotação nesta condição.

54. Um ventilador proporciona uma vazão de 12000 m3/h a 500 rpm, e te um diâmetro de 970 mm. O ventilador dá uma pressão estática de 6 mmca, sendo o peso específico do ar de 1,2 kgf/m3. A potência consumida é de 0,43 CV. Alterando-se o sistema de polias que aciona o ventilador de maneira que ele tenha rotação 20% menor, pergunta-se: qual a nova vazão, a nova pressão estática, a nova potência eficaz e os rendimentos?

55. Se o ventilador do problema anterior passar a trabalhar a 500 rpm, porém com um ar de peso específico de 0,96 kgf/cm3, qual será a nova vazão, a nova potência consumida, e o rendimento neste caso?

56. As características de um ventilador de 800 mm de diâmetro, girando a 450 rpm com um ar cujo peso específico é de 1,12 kgf/cm3 são: vazão de 4000 m3/h; pressão estática de 50 mmca; e rendimento total de 50%. Outro ventilador geometricamente semelhante a este de 1,0 m de diâmetro tem a mesma rotação. Calcule para as mesmas condições do ar, vazão a potência eficaz e a rotação do segundo ventilador.

57. Um ventilador operando em seu ponto de projeto, com ar de massa específica igual a 1,2 kg/m3, desenvolve uma diferença de pressão total de 7357,5 Pa e uma vazão de 38 m3/s, quando gira a uma velocidade de rotação de 1480 rpm. Para um modelo reduzido que desenvolve a mesma diferença de pressão total, girando a uma velocidade de 2960 rpm, determinar: a) a vazão do modelo (Resp. 9,5 m3/s); b) o tipo de ventilador (Resp. centrífugo, com nqA=219,45), o fator de escala geométrica (Resp. , a potência no eixo do modelo, considerando seu rendimento igual ao do protótipo de 75% (Resp. 93,16 kW).

Referências Bibliográficas: ALÉ, J.A.V. Sistemas fluido mecânicos: sistemas de bombeamento. Porto Alegre: Apostila PUC-RS, 2011.

SOUZA, L.A.V. Máquinas hidráulicas. Curitiba: UFPR, Curitiba, 1990 (apostila)

HENN, E.A.L. Máquinas de fluxo. Santa Maria: UFSM, 2006.

MATTOS, E.E.; FALCO, R. Bombas industriais. Rio de Janeiro: Interciência, 1998.