Apostila MAT236_Primeira Unidade

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMTICA

DEPARTAMENTO DE ESTATSTICA

NOTAS DE AULA MAT236 MTODOS ESTATSTICOS

1 UNIDADE

Elaborada pelos professores: Giovana Silva, Lia Moraes,

Rosana Castro e Rosemeire Fiaccone

Revisada em 2011.1 Monitora: Tatiana Felix da Matta

Revisada em 2012.1

Gecynalda e Silvia Regina

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1. INTRODUO

1.1. O que estatstica e suas divises

Para muitos a Estatstica no passa de conjuntos de tabelas de dados numricos. Mas ser que a estatstica s isso?

A Estatstica originou-se com a coleta e construo de tabelas de dados para o governo. A situao evoluiu e esta coleta de dados representa somente um dos aspectos da Estatstica. Hoje em dia podemos adotar a seguinte definio para a Estatstica: A Estatstica constitui-se num conjunto de tcnicas e mtodos cientficos que tratam da coleta, anlise e interpretao de informaes numricas, cujo objetivo principal auxiliar na tomada de decises ou tirar concluses em situaes de incerteza, a partir de informaes numricas.

A Teoria Estatstica moderna se divide em dois grandes campos: Estatstica Descritiva - consiste num conjunto de mtodos que ensinam a reduzir uma quantidade de dados bastante numerosa por um nmero pequeno de medidas, substitutas e representantes daquela massa de dados. Estatstica Indutiva ou Inferncia Estatstica - consiste em inferir (deduzir ou tirar concluses a respeito das) propriedades de um universo a partir de uma amostra. O processo de generalizao, que caracterstico do mtodo indutivo, est associado a uma margem de incerteza. A medida da incerteza tratada mediante tcnicas e mtodos que se fundamentam na Teoria das Probabilidades.

A Estatstica Descritiva abrange mtodos grficos e numricos, utilizados para resumir dados de maneira que caractersticas importantes da amostra possam ser expostas.

A disponibilidade de uma grande quantidade de dados e de mtodos computacionais muito eficientes revigorou a rea da Estatstica denominada Estatstica Descritiva.

Na maioria das vezes no podemos investigar o fenmeno que estamos interessados em estudar em todos os elementos da populao por ser o custo muito alto, por necessitar de muito tempo para o levantamento dos dados. Para resolver o problema devemos trabalhar com um subconjunto da populao, chamado de AMOSTRA.

Se selecionarmos os elementos da amostra de acordo com critrios estatsticos, podemos conhecer as informaes relativas populao atravs da amostra.

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A inferncia estatstica procura com base nos dados amostrais tirar concluses sobre a populao. Considere o exemplo abaixo para ilustrar as definies dadas. Exemplo: (Notas de Aula da Disciplina MAT116 - USP) Numa pesquisa eleitoral um Instituto de Pesquisa procura com base nos resultados de um levantamento aplicado a uma amostra da populao prever o resultado da eleio. Considere o candidato A: a) Denomine por p a proporo de pessoas que votaro em A na eleio. b) Denomine por p a proporo de pessoas no levantamento de opinio (amostra) que expressam inteno de voto em A. Podemos usar o valor de p para estimar a proporo p da populao.

O esquema a seguir resume as etapas de um trabalho estatstico:

1.2. Por que precisamos aprender Estatstica?

Quase toda atividade e experincia humana envolvem coleta e anlise de algum tipo de informao (dados). Na coleta de dados relativos ao comportamento ou outras caractersticas de um grupo de indivduos, amostras aleatrias de um processo ou resultados de repetitivas medies, sempre envolvem variao.

Mtodos estatsticos representam as ferramentas bsicas para compreender as variaes, porque a anlise estatstica a nica base para tentar entender variabilidade.

Os mtodos estatsticos so consciente ou inconscientemente usados em vrias situaes, especialmente na apresentao de informaes oriundas de dados numricos. Diversas vezes, apresentaes so baseadas, principalmente, em algum tipo de tcnica utilizando teorias

Tcnicas de Amostragem Populao Amostra

Anlise Descritiva

Concluses sobre as caractersticas da

populao

Inferncia Estatstica

Informaes contidas nos dados

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matemticas; porm durante a preparao e apresentao dos dados, mtodos estatsticos so utilizados para definir a tcnica de coleta de dados e chegar a uma concluso atravs das informaes coletadas. Os mtodos estatsticos tm aplicaes em: Indstrias: coleta de dados na linha de produo, para manter e controlar o processo

produtivo, o que assegura o nvel de produo e os padres de qualidade; otimizao do processo produtivo; deteco das variveis que realmente influenciam o processo, viabilizando-se as experincias que possam levar a alteraes efetivas nesse processo; planejamento de experimentos viveis, com vistas economia de observaes e, portanto, de custo; planejamento de mtodos de coleta e anlise de dados para a explorao mineral;

Instituies pblicas: planejamento da coleta, do armazenamento e do processamento de informaes; processamento de dados com o objetivo de sintetizar e divulgar resultados; montagem de tecnologia adequada de gerao de indicadores econmicos; previso de safras, projeo de demandas;

Hospitais e instituies de pesquisa mdica: prestao de assessoria estatstica no exame da validade de testes clnicos; no estabelecimento de padres de referncia; na determinao de fatores de risco de doenas; na comparao de resultados de diversos tratamentos clnicos e no planejamento de experimentos clnicos controlados, de estudos de casos e de estudos prospectivos;

Empresas de pesquisa de opinio e mercado: prestao de assessoria estatstica no levantamento de audincias de programas de televiso, da popularidade de candidatos a cargos polticos; na avaliao da aceitao de novos produtos; na realizao de pesquisas para determinao do perfil do consumidor e no planejamento e execuo e pesquisa para determinao das caractersticas scio-econmicas dos habitantes da regio;

Bancos e companhias de seguro: elaborao de previses a serem utilizadas como instrumento gerencial; trabalho em associao com a aturia nos clculos das probabilidades de morte, doena, roubo de carro, etc.; otimizao de procedimentos de atendimento ao pblico

Centros de pesquisa: prestao de assessoria estatstica em todas as fases de um projeto de pesquisa que envolva coleta, tratamento e anlise de dados. Os empregados de uma empresa devem tornar-se mais familiarizados com estatstica. Eles

devem entender e conhecer as tcnicas estatsticas disponveis, e adaptao de dados de experimentos para a anlise estatstica. Um profissional treinado em Estatstica ter maior

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facilidade em identificar um problema em sua rea de atuao, determinar os tipos de dados que iro contribuir para a sua anlise, coletar estes dados e a seguir estabelecer concluses e determinar um plano de ao para a soluo do problema detectado. Qualquer um que derive informaes a partir de dados est agindo como um estatstico.

2. PROBABILIDADE

2.1. Breve histrico.

Dizse geralmente que a teoria da probabilidade originou-se com Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665), devido curiosidade de um cavalheiro Chevalier de Mer, jogador apaixonado, que em cartas discutiu com Pascal problemas relativos probabilidade de ganhar em jogos de cartas. Despertado pelo assunto Pascal discutiu com Fermat sobre o que hoje chamaramos de probabilidades finitas. Mas em verdade a teoria elementar das probabilidades j tinha sido objeto de ateno bem antes, uma vez que os jogos de azar sempre exerceram fascnio sobre os homens.

A primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades o livro De Ludo Aleae (Sobre os jogos de azar) de Girolamo Cardano (1501-1576), publicado em 1663. Tambm Galileu (1564-1642) preocupou-se com as probabilidades, estudando os jogos de dados para responder a pergunta de um amigo.

A teoria das probabilidades passou a desenvolver-se de maneira mais organizada a partir do sculo XVII e importantes contribuies de ilustres matemticos devem ser registradas. No famoso livro, Ars Cnjectandi de Jaime Bernoulli (1654-1705) encontramos um teorema de importncia decisiva para a teoria das probabilidades, conhecido com a Lei dos Grandes Nmeros, nome que lhe foi dado pelo matemtico francs Simon Poisson (1781-1840). Poderamos citar muitos outros com importantes contribuies, mas certamente o matemtico que mais contribuiu para a teoria das probabilidades foi Laplace (1749-1827). Seus inmeros trabalhos sobre as probabilidades foram incorporados em seu monumental Tratado Analtico das Probabilidades.

Atualmente as teorias das probabilidades tm extrema importncia nas mais diversas reas desde a engenharia, medicina, epidemiologia, demografia, economia, administrao, meteorologia, fotografias de satlites, marketing, predio de desastres naturais, cincias sociais entre outras.

Alm das muitas aplicaes formais, o conceito de probabilidade est no nosso dia a dia. Sempre ouvimos e falamos frases como: Provavelmente vai chover amanh, provvel que

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o avio se atrase, H boas chances de que eu possa comparecer. Cada uma desta expresses est baseada no conceito de probabilidade de que certo evento ocorra.

2.2. Conceitos bsicos

Fenmenos ou experimentos aleatrios (E): So aqueles em que o processo de

experimentao est sujeito a incertezas, logo, no possvel controlar todas as circunstncias relevantes e, portanto, no possvel prever com exatido os resultados individuais.

Caractersticas de um experimento aleatrio: a) Poder ser repetido um grande nmero de vezes sob as mesmas condies; b) No podemos afirmar que um resultado particular ocorrer, porm, podemos descrever o

conjunto de todos os resultados possveis do experimento - as possibilidades de resultado; c) Quando o experimento repetido um grande nmero de vezes, surgir uma regularidade

nos resultados. Esta regularidade, chamada de regularidade estatstica, que torna possvel construir um modelo matemtico preciso com o qual se analisar o experimento.

A Teoria da Probabilidade utilizada para descrever matematicamente experimentos cujos resultados no podem ser completamente pr-determinados, ou seja, visa definir um modelo matemtico que seja adequado descrio e interpretao de fenmenos aleatrios. Exemplo 1: Considere o experimento aleatrio de jogar uma moeda uma nica vez. Antes da moeda ser jogada no se sabe o resultado. Conhecem-se apenas os possveis resultados: cara ou coroa. Admitindo-se que a moeda honesta, cada resultado tem a mesma chance de ocorrer. Neste exemplo, modelos podem ser estabelecidos para quantificar as incertezas das diversas ocorrncias. Fazendo-se algumas suposies adequadas, possvel escrever distribuies de probabilidades (modelos probabilsticos) que representem muito bem as distribuies de freqncias, que s so obtidas quando o fenmeno observado. Modelo probabilstico definido por: a) Um espao amostral (); b) Uma probabilidade, P( ), para cada ponto amostral.

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Espao amostral (): conjunto de todos os resultados possveis de um experimento aleatrio. Exemplos de experimentos aleatrios e seus respectivos espaos amostrais: E1: Jogar uma moeda e observar a face superior. 1 = { Cara, Coroa } E2: Jogar um dado e observar a face superior. 2 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } E3: Determinar o tempo de vida til de uma lmpada. 3 = { t / t 0 } Espaos amostrais podem ser finitos ou infinitos. Evento: Qualquer subconjunto de um espao amostral. Representado pelas letras latinas maisculas A, B, C,... Exemplo 2: No lanamento de um dado consideremos o evento ocorrer um nmero par. A: ocorrer um nmero par, em que = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {2, 4, 6} Exemplo 3: Vai chover no litoral baiano no fim de semana? = {chove, no chove} Em geral, temos interesse em eventos particulares do experimento. O evento A pode representar a ocorrncia de chuva A = {chove}

Os conjuntos e tambm so eventos: o evento certo o evento impossvel Exerccio: Descreva o espao amostral para cada um dos seguintes experimentos a seguir: a) Numa linha de produo conta-se o nmero de peas defeituosas num perodo de 1 hora; Resp.: ={0,1,2,...,N} em que N o nmero mximo de peas que podem ser produzidas no perodo de 1 hora. b) Mede-se a durao de lmpadas, deixando-as acesas at que queimem;

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Resp.: ={t / 0 t t0 } em que t0 o tempo mximo de durao da lmpada acesa, at que ela se queime ou ={t / t 0 }. c) Lanar uma moeda trs vezes, sucessivamente, e anotar a seqncia de caras e coroas; Resp.: ={ (ca, ca, ca); (ca, ca, co); (ca, co, ca); (co, ca, ca); (ca, co, co); (co, ca, co); (co, co, ca); (co, co, co)}. d) Escolher ao acaso um ponto do crculo de raio um centrado na origem. Resp.: ={ ( ) 2, yx ; 122 + yx }.

2.3. Operaes com eventos

Ao realizar um experimento aleatrio diz-se que o evento A ocorreu se o resultado observado for um elemento do subconjunto A. Dados dois eventos A e B de um mesmo espao amostral: AB o evento em que A e B ocorrem simultaneamente; AB o evento em que A ocorre ou B ocorre (ou ambos ocorrem); Ac A ou o evento em que A no ocorre.

Exemplo 4: E: Lanamento de um dado = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento B: representa sair face par => B = {2, 4, 6} Evento C: representa sair uma face mpar => C = {1, 3, 5} Evento D: representa sair uma face maior que 3 => D = {4, 5, 6} Evento E: representa sair face 1 => E = {1} Evento B D: representa sair uma face par e maior que 3 => {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6} Evento B C: representa sair uma face par e mpar => {2, 4, 6} {1, 3, 5} = Evento B D: representa sair uma face par ou maior que 3 => {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6} Evento B C: representa sair uma face par ou mpar => {2, 4, 6} {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. O Evento Bc = C e o Evento Cc = B Se dois eventos quaisquer tm interseco vazia, isto , eles no podem ocorrer simultaneamente, dizemos que eles so mutuamente exclusivos ou disjuntos. No exemplo 4, os eventos B e C so mutuamente exclusivos ou disjuntos, visto que B C = .

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2.4. Como atribuir probabilidade a um evento?

Calcular uma probabilidade medir a incerteza ou associar um grau de confiana aos resultados possveis de um experimento. Por exemplo, ao escolher, ao acaso, uma carta de um baralho comum (bem embaralhado), o que mais provvel, sair uma figura ( K, Q, J ) ou sair o dois de copas?

As probabilidades associam aos eventos um valor no intervalo [0,1]. Quanto maior o valor associado ao evento, maior a certeza de sua possibilidade de ocorrncia.

Seja um espao amostral. Uma funo P definida para todos os subconjuntos de (chamados eventos) chamada de probabilidade se: 1) 0 P(A) 1, para todo evento A 2) P() = 1 3) Se A1, A2,..., An forem, dois a dois, eventos mutuamente exclusivos, isto , (Ai Aj) =

para todo i j, ento

( ) )(...)()( 211

nn

ii APAPAPAP +++=

=U =

=

n

iiAP

1)(

Existem vrias maneiras de atribuir probabilidade a um evento do espao amostral. Vamos

estudar duas formas. Uma das formas baseada em espaos amostrais finitos. Um espao amostral equiprovvel quando todos os elementos tm a mesma

probabilidade de ocorrer, isto , todos os seus elementos so igualmente provveis.

Definio: Seja A um evento associado ao espao amostral finito , no qual todos os resultados so igualmente possveis (ou equiprovveis). Vamos definir a probabilidade do evento A, P(A) como o quociente entre o nmero de elementos em A e o nmero de elementos em :

= #

#)( AAP ,

isto , a razo entre os casos favorveis ao evento e o total de casos possveis. Limitaes:

Dificuldade em enumerar #A e # em alguns casos; infinito;

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Modelo adequado apenas para a classe de fenmenos cujo espao amostral equiprovvel.

Exemplo 5: Qual a probabilidade de obter um nmero par no lanamento de um dado? = {1,2,3,4,5,6} A = nmero par = {2, 4, 6}

P(A) = 63

Para calcular probabilidade utilizando a definio clssica, em geral utilizam-se os mtodos de enumerao: Combinaes, arranjos e permutaes. Resumo de algumas tcnicas sistemticas de enumerao

1 Princpios bsicos da multiplicao

Dados dois eventos, o primeiro dos quais pode ocorrer de m maneiras distintas e o segundo pode ocorrer de n maneiras distintas, ento os dois eventos conjuntamente podem ocorrer de m.n maneiras distintas.

Exemplo 6: Uma bandeira formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e no se pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira? Soluo: Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra. H 3 modos de escolher a cor da primeira listra e, a partir da, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. A resposta 3x26 = 192. 2 Permutaes

Uma coleo de n objetos diferentes pode ser ordenada de n! maneiras distintas. Portanto, o nmero de permutaes de n objetos diferentes dado por Pn=n! (Essa regra de permutao, traduz o fato de que o primeiro objeto pode ser escolhido de n maneiras diferentes, o segundo objeto pode ser escolhido de n-1 maneiras distintas, e assim por diante). Exemplo 7: De quantos modos podemos arrumar em fila 5 livros diferentes de Matemtica, 3 livros diferentes de Estatstica e 2 livros diferentes de Fsica, de modo que livros de uma mesma matria permaneam juntos?

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Soluo: Podemos escolher a ordem das matrias de 3! Modos. Feito isso, h 5! Modos de colocar os livros de Matemtica nos lugares que lhe foram destinados, 3! Modos para os de Estatsticas e 2! Modos para os de Fsica. A resposta : 3!5!3!2!= 6 x 120 x 6 x 2 = 8640. 3 - Arranjos

o nmero de maneiras de escolher p objetos dentre n objetos diferentes (sem repetio), sendo a ordem importante, e permutar os escolhidos (0 p n). Portanto, o nmero de arranjos

dado por: )!(!pn

nApn =

Exemplo 8: No planejamento de um programa noturno da rede de televiso NBC, devem ser escolhidos 6 shows dentre 30 disponveis. Quantas programaes diferentes so possveis? Soluo: Devemos selecionar p=6 dentre n=30 programas disponveis. Aqui a ordem tem importncia, por que os espectadores variam no decorrer do tempo. Logo devemos calcular o

nmero de arranjos 000.518.427)!630(!30

)!(!

=

=

= pnnApn .

4 Combinao

o nmero de maneiras de selecionar p objetos distintos dentre n objetos distintos dados, sem considerarmos a ordem. Cada seleo de p objetos chamada de uma combinao simples de classe p dos n objetos. Representamos o nmero de combinaes simples de classe p de n

elementos por pnC ou

pn . Assim o nmero de combinaes de p objetos extrados de um

conjunto de n objetos diferentes )!(!!

pnpnC pn = . ( Basta notar que selecionar p entre os n

objetos equivale a dividir os n objetos em um grupo de p objetos, que so selecionados, e um grupo de n-p objetos, que so os no-selecionados.) Exemplo 9: Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comisses de 5 pessoas, com exatamente 3 homens, podem ser formadas? Soluo: Para formar a comisso devemos escolher 3 dos 5 homens e 2 das 4 mulheres. H

60!2!2!4.!2!3

!524.3

5. 2435 ==

=CC

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Exemplo 10: Um lote formado de 2 artigos perfeitos e 1 defeituoso. Dois artigos so selecionados ao acaso: a) Quantos lotes de 2 artigos diferentes podem ser formados sem considerarmos a ordem? Soluo: Trata-se aqui do nmero de combinaes de p=2 artigos a serem selecionados dentre

3. Temos 3!1!2!32

3 ==C , (P1P2, DP1, P2D)

b) Quantos lotes de 2 artigos diferentes podem ser formados considerando a ordem? Soluo: Aqui, desejamos o nmero de seqncias (ou permutaes) de p=2 artigos a serem

escolhidos dentre os 3. Temos 6!1!32

3 ==A , (P1P2, P2P1, D1P1, P1D1, D1P2, P2D1).

Exerccios: 1) Trs garotos e 3 garotas sentam-se em fila. Encontre a probabilidade das 3 garotas sentarem

juntas. Resp.: 0,2. 2) Um lote formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves.

Dois artigos so escolhidos (sem reposio) ache a probabilidade de que: a) Ambos tenham defeitos graves? Resp.: 0,00833. b) Exatamente um seja perfeito? Resp.: 0,5. 3) Um produto montado em 3 estgios. No primeiro estgio, existem 5 linhas de montagem;

no segundo estgio, existem 4 linhas de montagem e no terceiro estgio, existem 6 linhas de montagem. De quantas maneiras diferentes poder o produto se deslocar durante o processo de montagem? Resp.: 120

4) Um inspetor visita 6 mquinas diferentes durante um dia. A fim de evitar que os operrios saibam quando ele os ir inspecionar, o inspetor varia a ordenao de suas visitas. De quantas maneiras isto poder ser feito? Resp.: 720

5) Um mecanismo complexo pode falhar em 15 estgios. De quantas maneiras poder falhar em exatamente 3 desses estgios? Resp.: 455

6) Em uma sala, 10 pessoas esto usando emblemas numerados de 1 at 10. Trs pessoas so

escolhidas ao acaso e convidadas a sarem da sala simultaneamente. O nmero de seu emblema anotado.

a) Qual a probabilidade de que o menor nmero de emblema seja cinco? Resp.: 0,0833 b) Qual a probabilidade de que o maior nmero de emblema seja cinco? Resp.: 0,05

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As limitaes da definio clssica de probabilidade, que s se aplica a espaos amostrais finitos e equiprovveis, levaram a considerar outra forma de calcular probabilidade de um evento partindo da freqncia relativa do evento ao se repetir o experimento, n vezes, sob as mesmas condies. Em linguagem matemtica, quando n cresce, o limite da freqncia relativa de ocorrncia de A igual a P(A), isto ,

P(A)n ocorreA que repeties de #lim)(lim ==

nnnAf .

Exemplo 11: Suponha que vamos realizar um experimento de lanar 20 vezes uma moeda e observar o nmero de caras. A cada lanamento vamos considerar o nmero de caras que at ento ocorreram (na) dividido pelo nmero de lanamentos (n), ou seja, a freqncia relativa de caras. Os resultados referentes a esse experimento encontram-se na tabela abaixo:

n na fa= na/n n na fa= na/n 1 1 1 11 6 6/11 2 1 1/2 12 7 7/12 3 2 2/3 13 7 7/13 4 3 3/4 14 8 8/14 5 3 3/5 15 8 8/15 6 3 3/6 16 8 8/16 7 3 3/7 17 8 8/17 8 4 4/8 18 8 8/18 9 5 5/9 19 9 9/19

10 5 5/10 20 9 9/20 Vejamos o comportamento das freqncias relativas por meio do grfico a seguir:

A partir desta Figura vemos que a medida que aumenta o nmero de lanamentos, a

freqncia relativa se aproxima de 0,5. Em linguagem matemtica dizemos que a freqncia

Lanamentos sucessivos de uma moedaNmero de repeties versus freqncia relativa de caras

Freq

nc

ia

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

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relativa converge para 0,5. Dificuldade do ponto de vista matemtico: o nmero do limite real pode no existir. Exerccio (TRIOLA): Em uma pesquisa entre estudantes de uma faculdade, 1162 afirmaram que colavamnos exames, enquanto 2468 afirmaram no colar [com base em dados do Josephson Institute of Ethics (Instituto Josephson de tica)]. Selecionando aleatoriamente um desses estudantes, determine a probabilidade deste estudante ter colado em um exame. Resp.: 0,3201. Teoremas: 1) P() = 0 2) Se Ac o evento complementar de A, ento P(Ac) = 1- P(A) 3) Sejam A e B dois eventos quaisquer, ento:

P (A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Demonstrao: AB = A[BAc] B = (A B) (BAc) P(AB) = P(A) + P (BAc)

-P(B) = -P(A B) - P (BAc) P (AB) = P(A) + P(B) - P(A B) 4) Se A, B e C forem trs eventos quaisquer, ento:

P (A B C)=P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C) Generalizao:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnn

rjirji

n

jiji

n

iin AAPAAAPAAPAPAAP +++=

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Exerccios: 1) Um lote formado por 10 peas boas, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves.

Uma pea escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a) a pea no tenha defeito grave? Resp.:0,875. b) a pea no tenha defeito? Resp.:0,625. c) a pea seja boa ou tenha defeito grave? Resp.:0,75. 2) Dois processadores tipo A e B so colocados em teste por 50 mil horas. A probabilidade

que um erro de clculo acontea em um processador do tipo A de 301 , no tipo B, 801 e

em ambos, 10001 . Qual a probabilidade de que:

a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro? Resp.:0,045. b) Nenhum processador tenha apresentado erro? Resp.:0,955. c) Apenas o processador A tenha apresentado erro? Resp.:0,032 3) O seguinte grupo de pessoas est numa sala: 5 homens maiores de 21 anos; 4 homens com

menos de 21 anos de idade; 6 mulheres maiores de 21 anos e 3 mulheres menores de 21 anos. Uma pessoa escolhida ao acaso. Define-se os seguintes eventos: A: a pessoa maior de 21 anos; B: a pessoa menor de 21 anos; C: a pessoa homem e D: a pessoa mulher. Calcule:

a) P(B D)

b) P( CA ) c) P(A B) Resp.: a)0,722; b)0,167; c)0 4) Uma remessa de 30 arruelas contm 5 peas defeituosas e 25 perfeitas. Dez arruelas so

escolhidas ao acaso (sem reposio) e classificadas. a) Qual a probabilidade de que sejam encontradas exatamente 3 peas defeituosas?

Resp.:0,160 b) Qual a probabilidade de que se encontrem ao menos 2 peas defeituosas? Resp.: 0,5512

2.5. Probabilidade condicional

Considere o exemplo abaixo: Dados do Censo Demogrfico de 91 publicado pelo IBGE relativos aos habitantes de Sergipe, na faixa etria entre 20 e 24 anos com relao s variveis Sexo e Leitura.

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Sexo L No l Total Masculino 39.577 8.672 48.249 Feminino 46.304 7.297 53.601

Total 85.881 15.969 101.850 E: Um jovem entre 20 e 24 anos escolhido ao acaso em Sergipe. : conjunto de jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos. #=101.850. Eventos de interesse: M: jovem sorteado do sexo masculino F: jovem sorteado do sexo feminino L: jovem sorteado sabe ler M L: jovem sorteado do sexo masculino e sabe ler M L: jovem sorteado do sexo masculino ou sabe ler

Podemos obter algumas probabilidades:

843,0850.101881.85

de jovens de nler sabem que jovens de )( ==

=

nLP

473,0850.101245.48

de jovens de n masculino sexo do jovens de )( ==

=

nMP

P(F) = P(Mc) = 1 - P(M) = 1 - 0,473 = 0,527

850.101557.39

jovens de nler sabem que e masculino sexo do jovens de )( =

=

nLMP

P (M L) = P(M) + P(L) - P(M L) = 0,473 + 0,843 - 0,388 = 0,928 No exemplo anterior, se soubermos que o jovem sorteado do sexo masculino, qual a probabilidade de que saiba ler? Temos uma informao parcial: o jovem do sexo masculino. Vamos designar a probabilidade de que o jovem sabe ler quando se sabe que o jovem do sexo masculino por P (L M ) e denomin-la probabilidade condicional de L dado M. natural atribuirmos:

0,82048.24939.577

masculino sexo do jovens de totalnmasculino sexo do aqueles dentreler sabem que jovens de n)M (L P ============

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Note que:

Por exemplo, a probabilidade de ser do sexo masculino dado que l dada por:

0,460850.101881.85850.101577.39

(L) PL)(M P)L (M P ===

Definio de probabilidade condicional: Sejam A e B eventos de um experimento aleatrio qualquer, com P(B) > 0. A probabilidade condicional de A dado B(denota-se por P (A B) definida como:

P(B)B)P(AB) P(A =

2.6. Regra ou Teorema do produto Como conseqncia da definio de probabilidade condicional, podemos calcular a probabilidade da ocorrncia conjunta de dois eventos A e B.

( ) ( ) )(|)()()(| BPBAPBAPBP

BAPBAP ==

Exemplo 13: Uma urna contm fichas numeradas de 1 a 4. Retira-se uma ficha da urna ao acaso e anota-se o nmero. Esta ficha ento recolocada na urna, e retira-se novamente uma ficha, ao acaso, da urna. Qual a probabilidade de ter sado a ficha com nmero 1, na primeira retirada, e de ser 5 a soma dos nmeros das duas fichas retiradas? Soluo: Evento A: sair o nmero 1 na primeira retirada =>P(A) = 41

Evento B: soma = 5

(M) PL)(M P)M (L P

jovens de totalnmasculino sexo do jovensn

jovens de totalnler sabem que e masculino sexo do jovens n

)M (L P

=

=

17

Evento B|A: {soma = 5 | a primeira ficha 1}, se queremos que a soma seja 5, ento preciso que a segunda ficha seja o nmero 4 P(B|A) = 41

Pelo teorema do produto temos que,

( ) 1614141)(|)( === APABPBAP

Exemplo 14: Duas vlvulas defeituosas se misturam com duas vlvulas perfeitas. As vlvulas so ensaiadas, uma a uma, at que ambas defeituosas sejam encontradas. Qual a probabilidade de que a ltima vlvula defeituosa seja encontrada no segundo ensaio? Soluo: Evento A: sair uma vlvula defeituosa =>P(A) =2/4 Evento B: a ltima vlvula defeituosa Evento B|A: sair a ltima vlvula defeituosa | saiu uma vlvula defeituosa P(B|A) = 31

Pelo teorema do produto temos que,

( ) 1223142)(|)( === APABPBAP

De modo geral, considere 3 eventos A, B e C, tem-se que

Esta relao pode ser estendida para um nmero finito qualquer de eventos. Exerccios: 1) As falhas na fundao de um grande edifcio podem ser de dois tipos: A (capacidade de

suportar) e B (fundao excessiva). Sabendo-se que P(A)=0,001, P(B)=0,008 e P(A|B)=0,1, determinar a probabilidade:

a) De haver falha na fundao? Resp.:0,0082 b) De ocorrer A e no B? Resp.:0,0002 2) Um sistema eletrnico consta de dois sub-sistemas digamos A e B. De testes prvios sabe-

se que: P(A falhe)=0,20; P(A e B falhem)=0,15 e P(B falhe sozinho)=0,15. Calcule: a) P(A falhe | B falhou); Respostas: 0,5

18

b) P(A falhe sozinho); Respostas: 0,05 3) Duas lmpadas queimadas foram acidentalmente misturadas com seis lmpadas boas. Se

vamos testando as lmpadas, uma por uma, at encontrar duas defeituosas, qual a probabilidade de que a ltima defeituosa seja encontrada no quarto teste? Resp.: 3/28

2.7. Regra da Probabilidade Total Sejam A e B dois eventos de um experimento qualquer. H duas maneiras de B ocorrer,

considerando a ocorrncia ou no do evento A: ou A e B ocorrem (A B) ou Ac e B ocorrem (Ac B). Deste modo, B = (A B) (Ac B), em que A B e Ac B so conjuntos disjuntos. Ento, P(B) = P(A B) + P(Ac B). Pela regra do produto P(B) = P(A). P(B | A) + P(Ac) P(B | Ac) DEFINIO DE PARTIO: Tem-se uma partio de um espao amostral em um nmero finito de eventos Ai ( i = 1,2,...,n) se: 1) Se A1, A2,..., An forem, dois a dois, eventos mutuamente exclusivos, isto , (Ai Aj) = para todo i j.

2) ==Un

iiA

1, isto , os eventos A so exaustivos.

B AC B A

A Ac

B

19

Regra da Probabilidade Total: se a seqncia de eventos aleatrios A1, A2,..., An formar uma partio de , ento:

( ) ( ) ( ) ( ) ==n

iii

ii A BPAP B AP BP

n

Exemplo 15: Um lote de 100 peas composta de 20 peas defeituosas e 80 peas perfeitas, do qual extrairemos 2 peas sem reposio. Qual a probabilidade da segunda pea extrada ser defeituosa? Soluo: Evento A: a primeira pea extrada defeituosa Evento B: a segunda pea extrada defeituosa Pela regra da probabilidade total temos que,

P(B) = P(A). P(B | A) + P(Ac) P(B | Ac) = 519920.100809919.10020 =+ Exemplo 16: Em uma fbrica de parafusos so utilizadas n mquinas. Sejam P(Ai) a probabilidade de um parafuso provir da i-sima mquina, i = 1,2,...,n e P(B iA ) indica a probabilidade do parafuso ser defeituoso sabendo-se que foi produzido pela isima mquina. Do total de parafusos produzidos pela fbrica, escolhe-se ao acaso um parafuso. Qual a probabilidade de que o parafuso seja defeituoso? Soluo: Se B representa o evento parafuso escolhido defeituoso, pela regra da probabilidade total, temos que:

P(B) = P(B 1A ) P(A1) + P(B 2A ) P(A2) + ......+ P(B nA ) P(An) Podemos ainda estar interessados em saber a probabilidade da i-sima mquina ter produzido o parafuso defeituoso.

2.8. Eventos Independentes

Dois eventos so ditos independentes quando a ocorrncia de um deles no interfere na probabilidade de ocorrncia do outro.

Em linguagem matemtica, dados A,B , A e B so ditos independentes, se e somente se:

P( AB) = P(A) e P( BA) = P(B)

B

A1 A2 A3 ..... An

20

Nesse caso, temos que

P(A B) = P(A). P(B) Exemplo 19: A probabilidade de que A resolva um problema de 2/3 e a probabilidade de que B resolva de 3/4. Se ambos tentarem independentemente, qual a probabilidade do problema ser resolvido? Soluo: A: A resolve B: B resolve A B: A e B resolvem A B: A ou B resolvem => o problema resolvido Como so eventos independentes, P(A B) = P(A).P(B) e

P(A B) = P(A) +P(B) - P(A).P(B) = 2/3 + 3/4 (2/3)(3/4) = 2/3 + 3/4 2/4 = 125

1238

= .

Generalizando: Os eventos A1, A2,..., An , so independentes se e somente se a independncia for verificada para todos os subconjuntos de dois ou mais eventos desta famlia. Para que trs eventos sejam independentes necessrio verificar quatro igualdades:

P(A B) = P(A) P(B) P(A C) = P(A) P(C) P(B C) = P(B) P(C)

P(A B C) = P(A) P(B) P(C)

que corresponde 4133332 =+=

+

, igualdades a serem verificadas

Para quatro eventos necessrio verificar onze igualdades que so:

111464443

42 =++=

+

+

Para n eventos necessrio verificar:

1n2nknn

2k=

= igualdades

21

Se Ai, i= 1, 2, 3,..., n, uma famlia finita de eventos independentes, ento

=

==

n1i

n1i

)A(PAP iiI Observar que:

=

=

)()|()()()|()(

BPBAPBAPAPABPBAP para eventos quaisquer (condicional)

{ )()()( BPAPBAP = para eventos independentes Como conseqncia dos resultados acima, tm-se que e so independentes de qualquer evento A, A . Para ver isto note que: 1) P( A) = P( ) = 0 = P() P(A) 2) P( A) = P(A) = P() P(A) Exerccios: 1) Uma mquina consiste de 4 componentes ligados em paralelo de tal forma que a mquina

falha apenas quando todos os componentes falharem. Supondo que as falhas so independentes entre si e se cada componente tem respectivamente as probabilidade 0,1, 0,2, 0,3, e 0,4 de falhar quando a mquina ligada, qual a probabilidade da mquina no falhar ? Resp.: 0,9976.

2) A probabilidade de um homem viver, mais dez anos e a probabilidade de uma mulher viver mais dez anos 1/3. Encontre a probabilidade de ambos estarem vivos dentro de dez anos e de ao menos um estar vivo dentro de dez anos. Resp.: 1/12 e 1/2.

1 LISTA DE EXERCCIOS

1) Descrever o espao amostral (S) e eventos associados a cada um dos experimentos a seguir:

E1: Lanam-se dois dados perfeitos e observam-se os nmeros nas faces voltadas para cima; A1: A soma das faces sete; E2: Lanar uma moeda trs vezes, sucessivamente, e anotar a seqncia de caras (K) e coroas (C ); A2: Sair pelo menos duas caras;

22

E3: Lanar uma moeda e um dado, simultaneamente, e registrar os resultados; A3: Obteno de face impar no dado; E4: Lanar uma moeda trs vezes, sucessivamente, e registrar o nmero de caras ocorrido; A4: Sair pelo menos duas caras; E5: Numa linha de produo conta-se o nmero de peas defeituosas num perodo de 1 hora; A5: Obter menos de 3 defeituosas E6: Mede-se a durao de lmpadas, deixando-as acesas at que queimem; A6: O tempo de vida da lmpada inferior a 30 horas; E7: Um fabricante produz um determinado artigo. Da linha de produo so retirados 3 artigos e cada um classificado como bom(B) ou defeituoso(D). A7: Pelo menos dois artigos so bons. E8:Um lote de dez peas contm trs defeituosas. As peas so retiradas uma a uma, sem reposio, at que a ultima pea defeituosa seja encontrada. O nmero total de peas retiradas registrado. A8: Menos de cinco peas foram retiradas. E9: Peas so fabricadas at que dez peas perfeitas sejam produzidas. O nmero total de peas fabricadas anotado. A9: Quinze ou mais peas foram fabricadas

2) Suponha-se duas urnas contendo, cada uma, quatro bolas numeradas de 1 a 4. Considera-se o experimento que consiste, em retirar, ao acaso, uma bola de cada urna. Descreva o espao amostral. Determine os seguintes eventos:

a) a soma do nmero de pontos mpar; b) a bola extrada da primeira urna contm o nmero dois.

3) Sejam A, B e C trs eventos quaisquer. Estabelea uma expresso para os eventos abaixo: a) A e B ocorrem; b) A ou B ocorrem; c) B ocorre, mas A no ocorre; d) A no ocorre; e) no ocorre A e no ocorre B; f) A e B ocorrem, mas C no corre; g) somente A ocorre, mas B e C no ocorrem.

4) Dados P(A) = 1/2; P(B) = 3/8; P(A B) =1/8, calcule: a) P(A B); b) P(A B); c) P(A B ); d) P(A B ); e) P(A B).

23

5) Uma empresa de fundos mtuos oferece a seus clientes diversos fundos: um de mercado, trs de ttulos diferentes (curto, mdio e longo prazos), dois fundos de aes (moderado e de alto risco) e um misto. Dentre os usurios que possuem cotas em apenas um fundo, seguem as probabilidades de clientes dos diferentes fundos.

Mercado 0,20 Ttulo curto prazo 0,15 Ttulo mdio prazo 0,10 Ttulo longo prazo 0,05 Ao de alto risco 0,18 Ao de risco moderado 0,25 Misto 0,07

Um cliente que possui cotas em apenas um fundo selecionado aleatoriamente. a) Qual a probabilidade de o indivduo selecionado ao acaso possuir cotas do fundo misto? b) Qual a probabilidade de o indivduo selecionado ao acaso possuir cotas em um fundo

de ttulos? c) Qual a probabilidade de o indivduo selecionado ao acaso no possuir cotas em fundo

de aes? 6) Certo tipo de motor eltrico falha se ocorrer uma das seguintes situaes: emperramento

dos mancais, queima dos enrolamentos, desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provvel do que a queima, esta sendo quatro vezes mais provvel do que o desgaste das escovas. Qual ser a probabilidade de que a falta seja devida a cada uma dessas circunstncias?

7) Uma urna U1 contem 5 bolas brancas e 2 pretas; outra urna U2 contem 3 bolas brancas e 6 bolas pretas; e outra urna U3 contem 4 bolas brancas e 4 bolas pretas. Tira-se uma bola de cada urna. Calcular a probabilidade de que saiam uma bola branca e duas bolas pretas.

8) Lana-se uma moeda viciada de modo que a probabilidade de cara(K) igual a 2/3 e a probabilidade de coroa(C) igual a 1/3. Se aparecer cara, ento seleciona-se aleatoriamente um nmero dentre os de 1 a 9; se aparecer coroa, seleciona-se aleatoriamente um nmero dentre os de 1 a 5. Ache a probabilidade de um nmero par ser selecionado. Construa o diagrama em rvore.

9) Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se a probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0,6, enquanto a probabilidade de ocorrncia de A for igual a 0,4 determine a probabilidade de ocorrncia de B.

24

10) Se A e B so dois eventos relacionados com uma experincia E e so conhecidas as probabilidades P(A), P(B) e P(A B), deseja-se em funo destas, as expresses das probabilidades dos seguintes eventos:

a) (A B); b) (A B ); c) (A B); d) (A B). 11) Certo aparelho eletrnico tem duas lmpadas que podem estar acesas ou apagadas, tendo

sido observadas as seguintes probabilidades apresentada no quadro adiante. O quadro mostra por exemplo, que ambas as lmpadas estavam simultaneamente apagadas 30% do tempo.

Lmpada 1 Lmpada 2

Acesa Apagada Acesa 0,15 0,45 Apagada 0,10 0,30

Pergunta-se a) O fato Lmpada 1 acesa independente de Lmpada 2 acesa? Justifique a resposta. b) O fato Lmpada 1 apagada independente de Lmpada 2 acesa? Justifique a resposta.

12) Uma associao de indstrias transformadoras de resinas plsticas composta de 20 empresas que produzem sacos plsticos (S), 10 que produzem garrafas (G), 8 que produzem utenslios domsticos (U) e 2 que se encarregam de brinquedos (B). Ao escolhermos uma empresa ao acaso, achar a probabilidade de que:

a) seja uma indstria que produza sacos plsticos ou utenslios domsticos; b) seja uma indstria produtora de sacos plsticos ou brinquedos; c) no seja uma indstria que produza garrafas.

13) Trs alarmes esto dispostos de tal maneira que qualquer um deles funcionar independentemente, quando qualquer coisa indesejvel ocorrer. Se cada alarme tem probabilidade 0,9 de trabalhar eficientemente, qual a probabilidade de se ouvir o alarme quando necessrio?

14) Suponha que todos os componentes da figura a seguir tenham a mesma confiabilidade (probabilidade de funcionar) p e funcionem independentemente, obtenha a confiabilidade do sistema.

25

15) Suponha que X represente o nmero de horas de atividades fsicas por semana. Considere

a tabela a seguir:

Sexo Nmero de horas de atividades fsicas

0 X < 3 3 X < 5 X 5 Feminino 22 8 7 Masculino 3 4 6

a) Qual a probabilidade de sortear aleatoriamente uma menina com atividade fsica semanal

na faixa de [3, 5) horas? b) Calcule P(X 5) c) Calcule a probabilidade de um indivduo dedicar pelo menos 5 horas de atividade fsica,

sabendo-se que ele do sexo masculino? d) Calcule a probabilidade de um indivduo dedicar pelo menos 5 horas de atividade fsica,

sabendo-se que ele do sexo feminino? 16) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A) = 0,4,

enquanto P(AUB) =0,7. Seja P(B) = p. a) Para que valor de p, A e B sero mutuamente exclusivos? b) Para que valor de p, A e B sero independentes?

17) Sob a ao de uma fora F, as probabilidades de falha nas barras a, b e c da estrutura mostrada na figura a seguir so respectivamente 0,06; 0,05 e 0,04. Se ocorrer a falha em qualquer uma das barras, isto leva a falha em toda a estrutura. Supondo que as falhas nas barras so estatisticamente independentes, ache a probabilidade de ocorrer a falha da estrutura.

b a c

18) Um sistema composto de 3 componentes 1, 2 e 3, com confiabilidade 0,9, 0,8 e 0,7, respectivamente. O componente 1 indispensvel ao funcionamento do sistema; se 2 ou 3

26

no funcionam, o sistema funciona, mas com rendimento inferior. A falha simultnea de 2 e 3 implica o no funcionamento do sistema. Supondo que os componentes funcionem independentemente, calcular a confiabilidade do sistema.

19) Um processo industrial produz 4% de itens defeituosos. A experincia mostra que 25% dos itens defeituosos produzidos no so percebidos pelo inspetor de qualidade. Os itens bons sempre so aceitos satisfatoriamente pela inspeo. Qual a probabilidade de que, se voc comprar um desses itens,seja um item defeituoso?

20) Uma fbrica dispe de 3 mquinas para fabricar o mesmo produto. Essas mquinas so antigas e apresentam freqentemente defeitos de funcionamento com as seguintes percentagens do tempo de utilizao:

MQUINA TEMPO COM DEFEITO (%)

A 40 B 35 C 25

Verificam-se nas peas produzidas as seguintes porcentagens de peas defeituosas: MQUINA PEAS DEFEITUOSAS (%)

A 2 B 4 C 5

A gerncia decide substituir uma das mquinas a fim de diminuir a porcentagem de

peas defeituosas. Qual das trs mquinas deve ser substituda? 21) Um artigo manufaturado que no pode ser usado se for defeituoso, deve passar por duas

inspees antes de receber embalagem. A experincia mostra que um dos inspetores deixar passar 5% dos defeituosos, ao passo que o segundo inspetor deixar passar 4% dos tais artigos. Se os artigos sem defeito sempre passam pela inspeo e se 10% dos artigos processados so defeituosos, que percentagem dos artigos que passaram pelas duas inspees so defeituosos?

22) Numa faculdade 30% dos homens e 20% das mulheres estudam matemtica. Alm disso, 45% dos estudantes so mulheres. Se um estudante selecionado aleatoriamente est estudando matemtica, qual a probabilidade de que este estudante seja mulher?

23) A tabela a seguir apresenta informaes de alunos de uma universidade quanto s variveis: Perodo, Sexo, e Opinio sobre a Reforma Agrria. Com base na tabela adiante, determine a probabilidade de escolhermos:

a) Uma pessoa do sexo masculino e sem opinio sobre a reforma agrria?

27

b) Uma mulher contrria a reforma agrria? c) Dentre os estudantes do noturno, um que seja a favor da reforma agrria? d) Uma pessoa sem opinio, sabendo-se que ela do sexo feminino?

Perodo Sexo Reforma Agrria

Contra A Favor Sem Opnio

Diurno Feminino 2 8 2 Masculino 8 9 8

Noturno Feminino 4 8 2 Masculino 12 10 1

24) Em uma prova caram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro, 86

erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso:

a) no tenha acertado nenhum problema? b) Tenha acertado apenas o segundo problema

25) Uma grande empresa tem dois departamentos de produo: Produtos Martimos e Produtos para Oficinas. A probabilidade de que a diviso de Produtos Martimos tenha no corrente ano fiscal, uma margem de lucros de no mnimo 10% estimada em 0,30; a probabilidade de que a diviso de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem de lucros de pelo menos 10% 0,20; e a probabilidade de que ambas as divises tenham uma margem de lucros de no mnimo 10% 0,06. Determine a probabilidade de que a diviso de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem de lucros de no mnimo 10% dado que a diviso de Produtos Martimos tenha alcanado tal nvel de lucro.

26) Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada uma com duas gavetas. A urna 1 contm uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta; enquanto a urna 2 contm uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna escolhida ao acaso; a seguir uma de suas gavetas aberta ao acaso. Verifica-se que a moeda encontrada nesta gaveta de ouro. Qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna 2?

27) Trs fbricas fornecem equipamentos de preciso para o laboratrio de qumica de uma universidade. Apesar de serem aparelhos de preciso, existe uma pequena chance de subestimao ou superestimao das medidas efetuadas. A tabela a seguir apresenta o comportamento do equipamento produzido em cada fbrica:

28

Fbrica I Subestima Exata Superestima Probabilidade 0,01 0,98 0,01 Fbrica II Subestima Exata Superestima Probabilidade 0,005 0,98 0,015 Fbrica III Subestima Exata Superestima Probabilidade 0,00 0,99 0,01 As fbricas I, II, III fornecem, respectivamente, 20%, 30% e 50% dos aparelhos utilizados. Escolhemos, ao acaso, um desses aparelhos e perguntamos a probabilidade de:

a) Haver superestimao de medidas b) Sabendo que as medidas do exatas, ter sido fabricado em III c) Ter sido produzido por I, dado que no subestima as medidas.

28) Uma companhia produz circuitos integrados em trs fbricas, I, II e III. A fbrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e III produzem 30 % cada uma. As probabilidades de que um circuito integrado produzido por estas fbricas no funcione so 0,01, 0,04 e 0,03, respectivamente. Escolhido um circuito da produo conjunta das trs fbricas, Qual a probabilidade de o mesmo no funcionar?

29) Considere a situao do problema anterior, mas suponha agora que um circuito escolhido ao acaso e seja defeituoso. Determinar qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por I.

30) Uma indstria qumica produz uma grande variedade de produtos usando quatro diferentes processos; a mo de obra disponvel suficiente somente para que apenas um processo seja executado num dado instante. O gerente da indstria sabe que a descarga de uma poluio perigosa no rio que passa em volta da mesma, depende do processo que est em operao. As probabilidades de ocorrer poluio perigosa para os vrios processos, denotando por F uma descarga de poluio perigosa, so: P(F|A) =0,40; P(F|B) = 0,05; P(F|C) = 0,30; P(F|D) = 0,10. Todos os outros produtos da fbrica so considerados inofensivos. Em um determinado ms sabe-se que em 20%, 40%, 30% e 10% do tempo respectivamente usam-se os processos A, B, C e D. Deseja-se saber qual a probabilidade de no termos uma descarga de poluio perigosa no determinado ms?

29

Gabarito da 1 Lista de Exerccios l) E1: 1 = {(1,1); (1,2);.....; (1,6); (2,1); (2,2);.....; (2,6);.........; (6,1); (6,2);.... ; (6,6) } A1 = {(1,6): (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1) } E2: 2 = {KKK; KKC: KCK; CKK; KCC; CKC; CCK; CCC } A2 = {KKK, KKC, KCK, CKK } E3: 3 = {(K,1); (K,2);......;(K,6); (C,1); (C,2).....; (C,6) } A3 = {(K,1); (K,3); (K,5); (C,1); (C,3); (C,5) } E4: 4 = {0, 1, 2, 3 } A4 = {2, 3} E5: 5 = {0, 1, 2, 3, ..., N }, N o n. mximo de peas defeituosas no perodo de 1 h A5 = {0, 1, 2} E6: 6 = {t: t 0 } ou 6 = {t: 0 t to} onde to o tempo mximo de vida da lmpada. A6 = {t: t < 30 } ou A6 = { t: 0 t < 30 } E7: 7 = {BBB, BBD, BDB, DBB, BDD, DBD, DDB, DDD } A7 = {BBB; BBD; BDB; DBB } E8: 8 = {3, 4, 5,...., 10 } A8 = { 3, 4} E9: 9 = {10, 11, 12,....} A9 = { 15, 16, 17,...} 2) ={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)} a) A={(1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3)} b) B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4)} 3) a) A B; b) A B; c) AB; d)A; e) A B; f) ABC g) (ABC). 4) a)0,70; b) 0,80; c) 0,20; 5) a)0,07 b)0,30 c)0,57 6) 8/13, 4/13 e 1/13 7) 8/21 8) 0,4296 9) 0,3333 10) a) 1 - P(AB); b) 1 - P(A) - P(B) + P(AB); c) 1 - P(A) + P(AB); d) P(B) - P(AB). 11)a)Sim b)Sim 12) a) 0,7 b) 0,55 c) 0,75 13) 0,999 14) p + 2p2 - 2p3 - p4 + p5 15) a)0,16; b) 0,26; c) 0,462; d) 0,189. 16) a )0,3 b ) 0,5 17) 0,1427 18) 0,846 19) 0,01 20) B 21) 0,02% 22) 0,3529 23) a)0,122 b)0,081 c)0,486 d)0,154 24) a) 0,298 b ) 0,169 25) 0,2 26) 0,6667 27) a)0,012 b)0,503 c)0,199 28) 0,025 29) 0,16 30) 0,8

30

3. VARIVEL ALEATRIA

3.1. Conceitos bsicos

Definio 1. Sejam E um experimento e um espao amostral associado ao experimento. Uma funo X que associe a cada elemento wi um nmero real, X(wi), denominada varivel aleatria.

Uma varivel aleatria X , portanto, uma funo cujo domnio o espao amostral e contra-domnio conjunto dos nmeros reais, ou seja, X: R Exemplo 1: a) E: Lanamento de uma moeda. Assim, = {cara, coroa}={w1, w2}

( )

=

== coroadersese

caraderousewX seja,ou , w w,0,se seja ,w w,1

2

1

b) E: Lanamento de duas moedas. Seja X o nmero de caras obtidas no experimento. Vamos denotar c: cara e k: coroa. Assim, = { cc, ck, kc, kk }= { w1, w2, w3, w4 } X(w1) = 2; X(w2 ) = X(w3) = 1; X(w4) = 0 c) E: Escolher um ponto ao acaso no intervalo [0,1] . Seja X o quadrado do valor escolhido. Assim = [0,1], e X(w)= w2 w d) E: Escolher um ponto ao acaso no crculo unitrio. Seja X a distncia do ponto escolhido

origem. Assim, = { (x,y) / x2 + y2 1} e X(w)= 22 yx +

31

Definio 2. Seja X uma varivel aleatria. Se X assume valores em um conjunto finito ou infinito enumervel, ento X denominada varivel aleatria discreta. Exemplo 2: Sorteio de n indivduos de uma populao. Seja X o nmero de indivduos do sexo masculino sorteados => X() = {0, 1, 2, 3,..., n} Definio 3. Seja X uma varivel aleatria. Se X assume valores em um conjunto infinito no enumervel, ento X denominada varivel aleatria contnua. Exemplo 3: Retirada ao acaso um parafuso da produo diria de uma fbrica e registro de seu dimetro (em mm) e comprimento (em mm). Suponha que esta fbrica produza parafusos com dimetro entre 3 e 10 mm e comprimento entre 20 e 35 mm X = Dimetro do parafuso => X() = [ 3, 10] Y = Comprimento do parafuso Y() = [20, 35]

3.2. Distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria discreta Seja X uma v.a. discreta que assume os valores x1, x2,...,xn.... A distribuio de

probabilidades de X o conjunto de pares de valores que associa a cada valor da varivel xi a probabilidade P(X = xi):

(x1, P(X = x1)), (x2, P(X = x2)),..., (xn, P(X = xn)),... De maneira que,

a) 1)x(1

========

====iiXP

b) P(X = x) = p(x) 0 Exemplo 4: E: lanamento de um dado honesto. X: nmero da face observada => X() = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A distribuio de probabilidade (ou funo de probabilidade) de X dada por: X 1 2 3 4 5 6

P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

32

Exemplo 5: Considere novamente o exemplo do lanamento de duas moedas. Seja X o nmero de caras

Resultados (w) X (w) Probabilidade P (X = xi) (Cara, Cara) 2 (Cara, Coroa) 1 (Coroa, Cara) 1 (Coroa, Coroa) 0

Obtemos ento, P (X = 0) = P (X = 1) = + = P (X = 2) = Exemplo 6: (Morettin e Bussab, 2006) Um empresrio pretende estabelecer uma firma para montagem de um produto composto de uma esfera e um cilindro. As partes so adquiridas em fbricas diferentes, e a montagem consistir em juntar as duas partes e pint-las. O produto acabado deve ter o comprimento (definido pelo cilindro) e a espessura (definida pela esfera) dentro de certos limites, e isso s poder ser verificado aps a montagem. Para estudar a viabilidade do seu empreendimento, o empresrio quer ter uma idia da distribuio dos lucros por pea montada. Sabe-se que cada componente pode ser classificado como BOM, LONGO ou CURTO, conforme sua medida esteja dentro da especificao, seja ela maior ou menor que a especificada. Alm disso, foram obtidos dos fabricantes o preo de cada componente (5 unidades de dinheiro) e as probabilidades de produo de cada componente com as caractersticas BOM, LONGO e CURTO. Estes valores esto na tabela abaixo:

Distribuio da produo das fbricas A e B, de acordo com as medidas das peas produzidas

Produto Fbrica A Cilindro

Fbrica B Esfera

Dentro das especificaes...... BOM (B) 0,80 0,70 Maior que as especificaes...... LONGO (L) 0,10 0,20 Menor que as especificaes...... CURTO (C) 0,10 0,10

Fonte: Retirada das especificaes tcnicas das fbricas A e B

33

Se o produto final apresentar algum componente com a caracterstica C, ele ser irrecupervel, e o conjunto ser vendido como sucata ao preo de 5 unidades. Cada componente longo pode ser recuperado a um custo adicional de 5 unidades. Se o preo de venda de cada unidade de 25 unidades, como seria a distribuio das frequncias da varivel X: lucro por conjunto montado?

A construo desta distribuio de frequncias vai depender de certas suposies que faremos sobre o comportamento do sistema considerado. Em vista dessas suposies, estaremos trabalhando com um modelo da realidade, e a distribuio que obteremos ser uma distribuio terica, tanto mais prxima da distribuio de frequncias real quanto mais fiis realidade forem as suposies. Primeiramente, vejamos a construo do espao amostral para a montagem dos conjuntos segundo as caractersticas de cada componente e suas respectivas probabilidades. Desde que os componentes vm de fbricas diferentes, vamos supor que a classificao dos cilindros segundo suas caractersticas sejam eventos independentes; assim, obtemos a configurao abaixo.

Cilindro Esfera B 0,70 P(BB) = 0,56 B 0,20 L P(BL) = 0,16 0,10 0,80 C P(BC) = 0,08 0,70 B P(CB) = 0,07 0,10 C 0,20 L P(CL) = 0,02 0,10 C P(CC) = 0,01 B P(LB) = 0,07 0,10 0,70 L 0,20 L P(LL) = 0,02 0,10 C P(LC) = 0,01

O espao amostral em questo est apresentado na tabela adiante, junto com as

respectivas probabilidades.

34

Tabela: Distribuio de probabilidade das possveis composies das montagens

Montagem Probabilidade Lucro por montagem (X) BB 0,56 15 BL 0,16 10 BC 0,08 -5 LB 0,07 10 LL 0,02 05 LC 0,01 -5 CB 0,07 -5 CL 0,02 -5 CC 0,01 -5

Fonte: Informaes no texto

Assim, com os dados da tabela acima, vemos que X pode assumir um dos seguintes valores: 15 se ocorrer o evento A1 = {BB} 10 se ocorrer o evento A2 = {BL,LB} 05 se ocorrer o evento A3 = {LL} -5 se ocorrer o evento A4 = {BC,LC,CB,CL,CC}

Cada um desses eventos tem uma probabilidade associada, ou seja, P(A1) = 0,56 P(A2) = 0,23 P(A3) = 0,02 P(A4) = 0,19

o que nos permite escrever a distribuio de probabilidade da varivel X, que o empresrio poder usar para julgar a viabilidade econmica do projeto que ele pretende realizar.

x P(X = x) 15 0,56 10 0,23 05 0,02 -5 0,19

Total 1,00 Exerccios: 1) Suponha que X seja uma v.a. discreta e sua funo distribuio de probabilidade seja P(X =

k) = ck, para k = 1,2,3,4 e 5. Determine o valor da constante c. Res. 1/15. 2) Considere um lote de peas que contm 20% de defeituosas. Extramos ao acaso trs peas

com reposio para anlise. Seja X a varivel aleatria que representa o nmero de peas defeituosas. Estabelea a funo distribuio de probabilidade de X.

Resp.:

x 0 1 2 3 P(X = x) 0,512 0,384 0,096 0,008

35

3) Determine o valor de c para que p(x)=

=

contrrio caso ,0,....3,2,1x para,3

2 cx

seja uma funo distribuio de probabilidade. Resp.1/2

3.3. Distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria contnua

Seja X uma varivel aleatria contnua. A distribuio de probabilidade dada na forma de uma funo, chamada de densidade de probabilidade e denotada por f(x). Uma funo de densidade de probabilidade (fdp) satisfaz as seguintes condies: a) f(x) 0, Rx

b) +

= 1f(x)dx

Exemplos de funes de densidade:

0 1 2 3 4 5 6 70.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

x

f(x)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

f(x)

A funo densidade, por definio, possui rea sob a curva limitada pelo eixo x igual a

1 e a probabilidade de X tomar um valor entre a e b obtida calculando-se a rea compreendida entre esses dois valores. Isto , para qualquer a < b em R

( ) ( )=

36

Observaes importantes para uma varivel aleatria contnua: 1) Qualquer valor especificado de X tem probabilidade zero, isto , P(X = xi) = 0, pois

( ) ==i

i

x

xi f(x)dxxXP = 0

2) Assim, as probabilidades abaixo sero todas iguais, se X for uma varivel aleatria

contnua:

P(a X b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a < X < b). Exemplo 7: Dada a seguinte funo

f(x)=

contrrio caso 0,1x0 para ),x1(kx

ache o valor de k para que f(x) seja uma funo densidade de probabilidade. Resoluo: Para ser funo densidade temos que

+

= 1)( dxxf , ento =1

01dx x)-(1 x k

13x

2xkdx x -xdx k

1

0

31

0

21

0

1

0

2 =

=

6k =

Exerccios: 1) Dada a funo densidade de probabilidade f(x) =

contrrio caso 0, 1x 0 x,2

Determine i. P( X ) ii. P(1/3 X 2/3) iii. ) X | ( 323121 XP R: i) 1/4; ii)1/3 ; iii) 5/12 2) Seja X uma varivel aleatria contnua com funo densidade de probabilidade dada por:

f(x) =

>>>>

37

3.4. Funo de distribuio acumulada (FDA)

Seja X uma varivel aleatria, discreta ou contnua. Define-se a funo de distribuio acumulada F da varivel aleatria X como

F(x) = P( X x).

Se X for uma varivel aleatria discreta

F(x) = ( )

=xjx:j

jxXP

em que o somatrio estendido a todos os valores xj que satisfaam condio xj x.

Se X for uma varivel aleatria contnua com funo densidade f(x),

=x

-f(s)ds F(x)

Podemos utilizar a funo distribuio acumulada para calcular probabilidade da seguinte maneira:

)a(F)b(F)ax(P)bx(P)bxa(P ==< Exemplo 8: Considere um lote de peas que contm 20% de defeituosas. Extramos ao acaso trs peas com reposio para anlise. Seja X a varivel aleatria que representa o nmero de peas defeituosas. A funo de probabilidade de X

( ) ( ) x3x 0,80,2x3x)P(X

== , x=0,1,2,3

e a funo de distribuio acumulada de X.

F(x) =

38

Exemplo 9: Supe-se que o dimetro X de um cabo eltrico uma varivel aleatria contnua, com funo densidade f(x) = 6x (1 - x), 0 x 1.

a) Obtenha a funo de distribuio, F(x). b) Calcule P( X 1/2 1/3 < X < 2/3), utilizando F(x).

Soluo: a) F(x) = 0, se x < 0

x

0s)ds6s(1 = 3x2 2x3, se 0 x 1

1, se x > 1

b) P( X 1/2 1/3 < X < 2/3) = ( )( )2/3X1/3P

1/2X1/3P

39

Exemplo 10: Voltando ao exemplo 6, produto composto por uma esfera e um cilindro, uma pergunta que logo ocorreria ao empresrio qual o lucro mdio por conjunto montado que ele espera conseguir. Soluo: Lucro mdio = (0,56)(15) + (0,23)(10) + (0,02)(5) + (0,19)(-5) = 9,85 Isto , caso sejam verdadeiras as suposies feitas para determinar a distribuio da varivel aleatria, o empresrio espera ter, em mdia, lucro de 9,85 unidades por conjunto montado. Caso contnuo:

Seja X uma varivel aleatria contnua com funo densidade de probabilidade f(x). O valor esperado de X definido por

E(X) =

xf(x)dx

Exemplo 11: Uma certa liga formada, combinando a mistura fundida de dois metais. A liga resultante contm uma certa porcentagem de chumbo X, que pode ser considerada uma v.a. com funo densidade:

100 x 0 , x)-x(100)10(53f(x) 5 =

Ento,

E(X) = 100

0

5- x)dx-x(100(10)53x = 50

Isto significa que em mdia a liga contm 50% de chumbo.

3.5.1. Propriedades da Esperana 1) Dada uma constante a, temos:

E(a+X) = a + E(X) e E(aX) = a. E(X) 2) Sejam X1, X2,..., Xn variveis aleatrias

E(X1+X2+...+Xn) = E(X1) + E(X2) +... + E(Xn)

40

3) Sejam X e Y variveis aleatrias independentes. Ento,

E(XY) = E(X). E(Y) Exemplo 12: Suponha que L, o lucro lquido obtido na venda da liga do exemplo anterior (por unidade de peso), a seguinte funo da porcentagem de chumbo: L = C1 + C2X. Ento o lucro esperado : E(L) = E(C1 + C2X) = C1 + C2(50)

3.6. Varincia e Desvio-padro de uma varivel aleatria De modo geral, o desvio-padro mais importante e mais til medida de variao. O

desvio-padro de um conjunto de valores uma medida de variao dos valores em relao mdia aritmtica. A varincia o quadrado do desvio-padro. Ou podemos dizer que o desvio-padro igual a raiz quadrada positiva da varincia. Uma dificuldade com a varincia que ela no expressa nas mesmas unidades dos dados originais, enquanto que o desvio-padro tem a mesma unidade de medida dos dados originais. Assim se um conjunto de dados tem desvio-padro de 3,00 dlares e uma varincia de 9,00 dlares quadrado, temos que dlar quadrado um conceito abstrato, logo a varincia difcil de ser compreendida.

Uma aplicao do desvio-padro quando temos um conjunto de dados com

distribuio aproximadamente em forma de sino. Conforme a figura abaixo:

3 2 1

1+ 2+ 3+

68% 95%

99,7%

Essa figura mostra como a mdia e o desvio-padro esto relacionados com a proporo

dos dados que se enquadram em determinados limites. Assim, com uma distribuio em forma de sino, temos que:

Cerca de 68% dos valores esto a 1 desvio-padro a contar da mdia;

41

Cerca de 95% dos valores esto a 2 desvios-padro a contar da mdia; Cerca de 99,7% dos valores esto a 3 desvios-padro a contar da mdia.

3.6.1. Varincia de uma varivel aleatria

Seja X uma v.a. com esperana E(X). Define-se a varincia de X por:

V(X) = E[(X E(X))2 = E(X2) [E(X)]2

em que

, para X discreta

, para X contnua Exemplo 13: Voltando ao exemplo 6, produto composto por uma esfera e um cilindro, calcule a varincia.

X W = X2 P(X = x) P(W = x2) 15 225 0,56 0,56 10 100 0,23 0,23 05 25 0,02 0,02 -5 25 0,19 0,19

Total 1,00 1,00 E(X2) =

==

3

1i)x.P(Wx 2i2i = 225.0,56 + 100. 0,23 + 25.0,21 = 154,25

V(X) = 154,25 (9,85)2 = 57,23 Exemplo 14: Para o exemplo 11, a varincia : E(X2) =

100

0

5-2 x)dx-x(100(10)53x = 3000

V(X) = 3000 (50)2 = 500 2.6.1.1 Propriedades da varincia a) Dada uma constante a, temos:

V(X+a) = V(X) b) Dada uma constante a, temos:

V(aX) = a2. V(X)

c) Sejam X1, X2,..., Xn, n variveis aleatrias independentes. Ento

V(X1 + X2 +... + Xn) = V(X1) + V(X2) +... + V(Xn)

42

Exemplo 15: No exemplo 12, a varincia de L : V(L) = 22C V(X) = 22C (500)

3.6.2. Desvio-padro de uma varivel aleatria

)X(V)X(DP = Exerccios: 1) O tempo T, em minutos, necessrio para um operrio processar certa pea, uma varivel

aleatria com a seguinte distribuio de probabilidade: t 2 3 4 5 6 7

P(T=t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 a) Calcule o tempo mdio de processamento. Resp. 4.6E(T) = b) Estabelea a funo de distribuio acumulada.

Resp.:

43

Resp.:

44

a) Determine a funo de distribuio acumulada.

Resp.:

45

b) Determine a funo de distribuio de X. c) Calcule a probabilidade do nmero de carros vendidos no chegar a 4, sabendo que este valor superior a 1.

d) Se os custos fixos semanais so de 30 unidades monetrias (u.m.) quando so vendidos 2 ou menos carros e 15 u.m. quando se vende mais de 2 carros e, alm disso, por cada carro vendido h um lucro de 35 u.m., determine a funo de distribuio da receita lquida semanal.

4) Os valores abaixo representam a distribuio de probabilidade de D, a procura diria de certo produto. Calcule E(D) e V(D):

D 1 2 3 4 5 P(D=d) 0,1 0,1 0,3 0,3 0,2

a) Calcule E(D) e V(D); b) Estabelea a funo de distribuio acumulada. 5) O nmero de vendas realizadas por um agente de seguros diariamente uma v.a. com

funo de probabilidade: x 0 1 2 3 4 P(X=x) w z t z w

a) Sabendo que em 10% dos dias as vendas so inferiores a um e que em 70% dos dias so

superiores a um, determine w, z e t. b) Determine o nmero mdio de seguros vendidos diariamente. c) Determine E[2X 1] e V [2X 1]. d) Determine a probabilidade de que, quando considerados dois dias, as vendas sejam

superiores, em cada um deles, a duas unidades. e) Se cada seguro feito por 15000 unidades monetrias, determine a funo de

probabilidade da receita obtida com a venda dos seguros num dia. f) Se num dia a receita for inferior a 50000 unidades monetrias, determine a

probabilidade de que seja superior a 20000 unidades monetrias. 6) Considere a varivel aleatria discreta com a seguinte funo distribuio:

46

a) Sabendo que P (X = 6) = 1/2, determine, justificando, os valores de a, b e c.

b) Calcule o valor esperado e a varincia da varivel aleatria .432 XY =

7) Uma organizao financeira verificou que o lucro unitrio (L) obtido numa operao de investimentos dado pela seguinte expresso: L = 1,1V - 0,9C - 4,5. Sabendo-se que o preo de venda unitrio (V) tem uma distribuio com mdia 50 u.m. e desvio-padro de 2,0 u.m e que o preo de custo unitrio ( C ) tem uma distribuio de mdia 45 u.m. e desvio-padro de 1,5 u.m.. Determinar a mdia e o desvio-padro do lucro unitrio.

8) Um estudo do peso dos crebros de homens suecos constatou que o peso X uma varivel aleatria, com mdia 1400 gramas e desvio-padro de 20 gramas. Determine nmero positivo a e o nmero b tais que Y=aX+b tenha mdia 0 e desvio-padro 1

9) Em uma determinada localidade, a distribuio de renda em mil u.m. uma varivel aleatria X com funo densidade.

1/10 x + 1/10, para 0 x 2 f(x) = - 3/40 x + 9/20, para 2 < x 6 0, para x < 0 ou x 6. a) Qual a renda mdia nesta localidade? b) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de sua renda ser superior a 3.000,00

u.m? c) Estabelea a funo de distribuio acumulada. 10) Suponha que X seja uma varivel aleatria com densidade:

( )

= c.c. 0,1x1- ,|x|1kf(x)

a) Determine o valor de k. b) Determine P(1/2 < X < 2/3). c) Determine P(1/2 < X < 2/3 | X > 0). d) Determine a funo de distribuio acumulada de X. 11) Seja X uma v.a. contnua, que representa o tempo necessrio para a pintura de uma pea de

automvel, em horas, com funo densidade de probabilidade dada por:

>

6.

10) a) 1 b) 17/144 c) 34/144 d) F(x) =

50

16) a) 0,3834 b) 0,3774

17) X~bin (3;0,1) 18) Opo B

Exerccios Suplementares: 1) Suponha que uma caixa contenha 5 bolas ( 1 preta e 4 brancas ). Retira-se aleatoriamente

uma bola de cada vez (com reposio) at que saia 4 vezes a bola preta. Seja X o nmero de retiradas necessrias at que isto ocorra.

a) Determine os possveis valores de X e sua funo de probabilidade.

Resp.: 4,5,6,... x ,54

51

3 1xx)P(X

4x4

=

==

2) A probabilidade de que um bit seja transmitido com erro por um canal de transmisso digital 0,1. Assuma que as transmisses sejam ensaios independentes.

a) Seja X o nmero de bits transmitidos at que ocorra o primeiro erro. Determine a distribuio de X.

b) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmisso. c) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmisso, aps

j se ter observado 3 ensaios, sem que ocorresse erro. d) Determine o nmero esperado de ensaios at o primeiro erro. e) Seja Y o nmero de transmisses at a ocorrncia do quarto erro. Determine a distribuio

de Y. f) Determine a probabilidade de se precisar observar no mximo 6 ensaios de transmisso. g) Determine o nmero esperado do nmero de ensaios at o quarto erro. Resp.: a) P(X=x) = 0,9x-1 0,1, x= 1,2,3,... (distribuio geomtrica) b) 0,6561

c) 0,81 d) 10 e) P(Y=y)= (distrbuio binomial negativa ) f ) 0,0012 g) 4,4444

3) A probabilidade de um bem sucedido lanamento de foguete 0,8. Suponha que tentativas de lanamento sejam feitas at que tenham ocorrido 3 lanamentos bem sucedidos.

a) Qual a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessrias? b) Qual a probabilidade de que menos de 6 tentativas sejam necessrias? c) Se cada tentativa de lanamento custa 5.000 u.m. e se um lanamento falho custa500 u.m.

adicionais, determine o custo esperado da operao.

51

d) Suponha agora que as tentativas sejam feitas at que trs lanamentos consecutivos sejam bem sucedidos. Responda novamente as perguntas (a) e (b) nesse caso. Resp.: a) 0,0409 b)0,9421 c) 19.125 d)0,0041 e 0,6349

4. ALGUNS MODELOS PROBABILSTICOS PARA VARIVEIS

ALEATRIAS

Existem modelos probabilsticos que ocorrem com frequncia na prtica. Nas prximas sees, sero definidos alguns modelos, apresentando as condies que devem ser satisfeitas e algumas caractersticas, tais como, esperana, varincia e como calcular probabilidade.

4.1. VARIVEIS ALEATRIAS DISCRETAS

4.1.1. Distribuio de Bernoulli

Muitos experimentos so tais que os resultados possveis apresentam ou no uma determinada caracterstica. Exemplos: a) Uma pea escolhida, ao acaso, de um lote contendo 500 peas: esta pea defeituosa ou

no. b) Uma pessoa escolhida, ao acaso, dentre 1000 pessoas, ou no do sexo masculino. c) Uma pessoa escolhida, ao acaso, entre os moradores de uma cidade, e pergunta-se se ela

diz SIM ou NO a um projeto governamental. Em um experimento aleatrio com apenas dois resultados possveis podemos associar o

valor 1, se sucesso ocorre e o valor 0, se fracasso ocorre. Um experimento deste tipo chamado de ensaio de Bernoulli. Suponha que um sucesso ocorra com probabilidade p.

Seja X uma varivel aleatria definida para este experimento. Ento,

X 1 0 P(X=x) p 1-p =q

52

Funo de distribuio de X: F(x) =

53

Grfico da funo de probabilidade da distribuio Binomial com parmetros n = 3 e p = 0,4.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.10.2

0.3

0.4

x

P(X=

x)

Exemplo 1: Uma usina hidroeltrica tem 5 geradores que funcionam independentemente, cada um com probabilidade 0,98 de estar em operao. Qual a probabilidade de que exatamente dois estejam em funcionamento em determinado instante? Y = nmero de geradores em funcionamento p = 0,98 = probabilidade de um gerador estar em funcionamento (a probabilidade de sucesso) Entre os 5 estabelecimentos, ou seja, n = 5, qual a probabilidade de 2 terem tratores:

P(Y = 2) =

25 (0,98)2 (1 - 0,98)5 - 2 = 10. (0,98)2.(0,02)3 = 0,000077

Esperana e Varincia da distribuio Binomial

Se Y tem distribuio binomial de parmetros n e p

==

=

=

=

),(varincianpq [E(Y)] - )E(YVar(Y)

(mdia)np p)(1pknkE(Y)

22

n

0k

nk k

=

=

n

0k

nk22 p)(1pknk)E(Y que em k

54

Demonstrao:

Fazendo s = k-1, tem-se:

.

Com varincia: V(X) = npq DP(X) = npq Exemplo 2: Com os dados do exemplo anterior, calcular o nmero esperado de geradores em funcionamento, a varincia e o desvio-padro: E(X) = np = 5(0,98) = 4,9 Var(X) = npq = 5 (0,98) (0,02) = 0,098

DP(X) = npq = 098,0 = 0,3130 Exerccios: 1) Das variveis abaixo descritas, assinale quais so binomiais, e para estas d os respectivos

campos de definio e distribuio de probabilidades. Quando julgar que a varivel no binomial, aponte as razes de sua concluso.

a) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, com reposio, cinco bolas.Seja X o nmero de bolas brancas nas 5 extraes. Resp.: Binomial

b) Refaa o problema anterior, mas desta vez as n extraes so sem reposio. Resp.: No Binomial.

c) De 5 urnas com bolas pretas e brancas, vamos extrair de cada uma delas uma bola. Suponha que X o nmero de bolas brancas obtidas no final. Resp.: No binomial.

d) Em uma indstria existem 100 mquinas que fabricam determinada pea. Cada pea classificada como sendo boa ou defeituosa. Escolhemos ao acaso um instante de tempo, e verificamos uma pea de cada uma das mquinas. Suponha que X seja o nmero de peas defeituosas. Resp.: No Binomial

55

2) Um fabricante de peas de automveis garante que uma caixa de suas peas conter, no mximo, 2 defeituosas. Se a caixa contm 18 peas, e a experincia tem demonstrado que esse processo de fabricao produz 5% das peas defeituosas, qual a probabilidade de que uma caixa satisfaa a garantia? Resp.: 0,9419.

4.1.3. Distribuio de Poisson

Em muitos casos, conhece-se o nmero de sucessos, porm se torna difcil e, s vezes, sem

sentido, determinar o nmero de fracassos ou o nmero total de provas. Por exemplo: automveis que passam numa esquina. Pode-se num determinado intervalo de tempo anotar o nmero de carros que passaram, porm, o nmero de carros que deixaram de passar pela esquina no poder ser determinado. Veremos que a distribuio de Poisson se aplica nestes casos.

A distribuio de Poisson largamente usada quando de deseja contar o nmero de eventos de um certo tipo, que ocorrem em um intervalo de tempo, superfcie, ou volume. Exemplos: a) nmero de falhas de um computador em um dia de operao; b) nmero de defeitos num pneu; c) nmero de buracos por quilometro em uma rodovia; d) nmero de clientes que chegam a uma determinada agncia bancria durante o expediente.

Seja a varivel aleatria X o nmero de eventos de um certo tipo, que ocorrem em um intervalo de tempo, ou superfcie, ou volume. Suponha que estes eventos ocorrem em instantes aleatrios de tempo ou de espao e que as hipteses abaixo sejam vlidas: 1) o nmero de ocorrncias de um evento em um intervalo de tempo, ou superfcie, ou volume

independente do nmero de ocorrncias do evento em qualquer outro intervalo disjunto. 2) a probabilidade de duas ou mais ocorrncias simultneas praticamente zero. 3) o nmero mdio de ocorrncias por unidade de tempo, ou superfcie, ou volume, ,

constante ao longo do tempo, ou superfcie, ou volume. Nestas condies dizemos que X tem distribuio Poisson com parmetro = t, o nmero mdio de eventos por unidade de intervalo de tempo, ou superfcie, ou volume.

Notao:

56

x!e x)P(X ) Poisson(~X

- x== , x=0,1,2,...,n,...

Grfico da funo de probabilidade da distribuio Poisson com parmetro = 5.

0 5 10 15 20

0.00

0.05

0.10

0.15

x

P(X=

x)

Se X tem distribuio Poisson com parmetro

=

=

)(varinciaVar(X)(mdia)E(X)

Demonstrao:

1. Sabe-se que E(X) =

=

=

==00 !

)(x

x

x xxxXxP e

=

=

1x

x

1)!-x(xex =

=

1x

x

1)!-(xe

Fazendo x 1 = y, tem-se:

E(X) =

=

+

0y

1y

y!e =

=

0y

y

y!e

Utilizando-se a frmula de Maclaurin (caso particular da frmula de Taylor),

====

====0y

y

ey! ,

obtm-se, E(X) = 2. De acordo com a definio de varincia, tem-se: V(X) = E(X2) [ E(X) ]2, onde j vimos que, [ E(X)]2= 2, e,

E(X2) =

=

=

= =

=

11

2

0

2)!1()!1(! xx

x

xx

x xexxx

exxex

, fazendo y = x 1, tem-se:

57

E(X2) =

+=+=+

=

=

=

+2

000

1

!!!)1( yy

y

y

y

y

ye

yeyy

ey

V(X) = 2 + - 2, assim V(X) = . Se a varincia DP(X) = Exemplo 3: Em mdia h duas chamadas por hora num certo telefone. Calcular a probabilidade de se receber no mximo 3 chamadas em duas horas e a probabilidade de nenhuma chamada em 90 minutos. X: o nmero de chamadas telefnicas em duas horas Ento, = 2 (nmero mdio chamadas por hora ) t = 2 horas = t = 4 (nmero mdio chamadas em duas horas )

P(X 3) = =

=

===3

0

x43

0x x!4e)xP(X

x0,4331

Y: nmero de chamadas telefnicas 90 minutos Ento, t = 90 minutos = 2/60 ( nmero mdio de chamadas por minuto) = t = 2/60 x 90 = 3 (nmero mdio chamadas em 90 minutos )

P(Y = 0) = ( )!03e 03 = 0,0498

Exerccios: 1) Uma fbrica produz tecidos com mdia de 2,2 defeitos por jarda quadrada. Determine as

seguintes probabilidades: a) no mais de 4 defeitos numa jarda quadrada; Resp.:0,9275 b) nenhum defeito em duas jardas quadradas; Resp.:0,0123 c) duas jardas quadradas cada uma com dois defeitos. Resp.: 0,0719 2) O nmero de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma

distribuio de Poisson, com = 2. As atuais instalaes podem atender, no mximo, a 3 petroleiros por dia. Se mais de 3 aportarem num dia, o excesso enviado a outro porto.

a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto? Resp.: 0,1431

58

b) De quanto devero ser aumentadas as instalaes para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias? Resp.: 2

c) Qual o nmero mdio de petroleiros que chegam por dia? Resp.: 2.

3 LISTA DE EXERCCIOS 1) Se X ~ B(n,p), sabendo-se que E(X) = 12 e 2 = 3, determinar: a) n e) E(Z) e V(Z),onde Z = (X-12)/ 3 b) p f) P(Y 14/16), onde Y = X/n c) P(X < 12) g) P(Y 12/16), onde Y = X/n d) P(X 14) 2) Uma fileira de luzes de Natal contm 20 lmpadas ligadas em srie, isto , se uma delas

falha, toda a fileira falhar. Cada lmpada tem 0,02 de probabilidade de falhar durante um perodo de 3 anos. As lmpadas falham independente umas das outras. Qual a probabilidade de toda a fileira de lmpadas permanecer sem falhar durante trs anos?

3) O nmero de partculas radioativas emitidas por uma fonte segue distribuio de Poisson com = 0,5 partculas por segundo.

a) Qual a probabilidade de a fonte emitir uma partcula em um segundo; b) Qual a probabilidade de a fonte emitir mais de uma partcula em um segundo; c) Qual a probabilidade de a fonte emitir uma partcula em trs segundos; d) Qual a probabilidade de a fonte emitir no mximo duas partculas em 3 segundos; e) Uma chapa fotogrfica sensibilizada ao ser atingida por 3 ou mais partculas. Se 5 chapas

so colocadas, uma aps outra, durante 2 segundos cada uma em frente fonte, qual a probabilidade de exatamente uma delas ser sensibilizada?

4) Seja X o nmero de peas defeituosas sadas de certa linha de produo. Sabe-se que, para determinado lote, X binomial com mdia 240 e varincia 48. Determine a distribuio de probabilidade de X e a probabilidade do lote no conter nenhuma pea defeituosa.

5) Um industrial fabrica peas, das quais 1/5 so defeituosas. Dois compradores, A e B, classificaram as partidas adquiridas em categorias I e II, pagando 1,20 u.m. e 0,80 u.m. respectivamente do seguinte modo:

Comprador A: retira uma amostra de 5 peas; se encontrar mais que uma defeituosa, classifica como II. Comprador B: retira uma amostra de 10 peas; se encontrar mais que duas defeituosa, classifica como II.

59

Em mdia, qual comprador oferece maior lucro? 6) Numa via de mo nica que termina numa ponte, quer se estudar o trfego. Encontra-se que

esse volume de 120 veculos/hora, em mdia. Assume-se que a chegada de veculos constitui um processo de Poisson. Ache a probabilidade de que:

a) num perodo de um minuto mais de trs veculos cheguem ao pedgio; b) em 3 minutos cheguem mais do que 1 veculo. 7) Numa linha adutora de gua, de 60 km de extenso, o nmero de vazamento no perodo de

um ms em mdia 4. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o ms, pelo menos um vazamento num setor de 3 km de extenso?

8) Um fabricante afirma que apenas 5% de todas as vlvulas que produz tem durao inferior a 20 h. Uma indstria compra semanalmente um grande lote de vlvulas desse fabricante, mas sob a seguinte condio: ela aceita o lote se, em 10 vlvulas escolhidas ao acaso, no mximo uma tiver durao inferior a 20 horas; caso contrrio o lote rejeitado.

a) Se o fabricante de fato tem razo, qual a probabilidade de um lote ser rejeitado? b) Suponha agora que o fabricante esteja mentindo, isto , na verdade a proporo de vlvulas

com durao inferior a 20 h de 10%. Qual a probabilidade do lote ser aceito, segundo o critrio acima?

9) Certa fbrica produz fusveis eltricos, dos quais 15% so defeituosos. Achar a probabilidade de que, numa amostra de 10 fusveis selecionados ao acaso, tenhamos:

a) nenhum defeituoso. b) pelo menos um defeituoso. c) no mximo um defeituoso. 10) Um fabricante de peas de automveis garante que uma caixa de suas peas conter no

mximo duas defeituosas. Se a caixa contm 18 peas, e a experincia tem demonstrado que este processo de fabricao produz 5% das peas defeituosas, qual a probabilidade de que uma caixa satisfaa a garantia?

11) Certa companhia area chegou concluso de que 4% das pessoas que compram passagens no comparecem ao embarque. De modo a obter maior aproveitamento nas vendas, passou a adotar o critrio de vender 77 passagens para um vo com 75 lugares. Determine a probabilidade de que todas as pessoas que compaream encontraro lugar no citado vo.

12) Em um certo tipo de fabricao de fita magntica, ocorrem cortes a uma taxa de 1 por 2.000 cm. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000cm tenha:

a) nenhum corte? b) no mximo dois cortes?

60

c) pelo menos dois cortes? 13) Numa determinada estrada ocorrem em mdia 2 acidentes para cada 100km. Qual a

probabilidade de que: a) em 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes? b) em 300 km ocorram 5 acidentes? 14) Uma fonte mineral contm um nmero mdio de quatro bactrias por cm3 de gua. Dez

tubos de ensaio, de 1 cm3, so enchidos com este lquido. Supondo que a distribuio de Poisson aplicvel, encontre a probabilidade:

a) de que todos os 10 tubos de ensaio apresentem bactrias, isto , contenham ao menos uma bactria cada;

b) de que exatamente oito tubos de ensaio apresentem bactrias.

Gabarito da 3 Lista de Exerccios 1) a) n = 16 e p=0,75 c) 0,3699 d) 0,1971 e) E(Z) = 0 e V(Z) = 1 f) 0,1971 g) 0,6301 2) 0,6676 3) a) 0,3033 b) 0,0902 c) 0,3347 d) 0,8088 e) 0,2873

4) n = 300 p=0,8 3000

51

54

03000)P(X

==

5) Comprador A 6) a) 0,1429 b) 0,9826 7)0,1813 8) a) 0,0861 b) 1-0,2639 9) a) 0,1969 b) 0,8031 c) 0,5443 10) 0,9419 11) 0,8185 12) a) 0,3679 b) 0,9197 c) 0,2642 13) a) 0,8753 b) 0,1606 14) a) (0,9816) b) 0,16%

4.2. VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS

4.2.1. Distribuio Exponencial

Esta distribuio bastante utilizada na teoria da confiabilidade para modelar os tempos de espera entre ocorrncias de eventos em um Processo de Poisson. Em geral este modelo probabilstico tambm utilizado para modelar tempo de espera em uma fila, tempo de sobrevivncia de um grupo de pacientes aps o incio de um tratamento e tempo de vida de material eletrnico.

61

O histograma a seguir foi construdo a partir de dados provenientes de uma distribuio exponencial. A curva desenhada sobre o histograma representa a funo densidade de uma distribuio exponencial. Vemos que este grfico do tipo assimtrico positivo. Grfico da funo densidade da Distribuio exponencial com parmetro =1000

Uma varivel aleatria contnua X, que assume valores no-negativos, ter uma

distribuio exponencial com parmetro > 0, se sua fdp for dada por:

contrrio caso , 00 x , 1)f(x

x1

=

e

Notao: X ~ exp( ) Propriedades: a) A funo de distribuio dada por:

F(x) = P(X x) =

x ) = e-(1/)x

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b) E(X) =

=

0

x1 dx1x e

c) V(X) = E(X2) E2(X) = 2222 = em que E(X2) = .dx1x 20

x12

=

e

d) P( X > s + t | X > s) = t1--

s1-

t)s(1

ee

es)P(X

)t sP(Xs)P(X

s) X et sP(X

==

>

+>=

>

>+>+

para quaisquer

s, t > 0

Este ltimo resultado mostra que a distribuio exponencial apresenta a propriedade de no possuir memria. Isto significa que a probabili

Apostila MAT236_Primeira Unidade

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