Apostila MAT2455 - Turma Web - Daniel - Completo - Grifado

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    Integral Dupla - Introdução

      Como calcular o volume de sólidos? Para certos sólidos, como

    pirâmides, cilindros, esferas, temos fórmulas que permitem calcular 

    seus volumes. Mas por que valem tais fórmulas?

    Matemáticos gregos, como Arquimedes(287-212 a.C.) se

    dedicaram a estudar problemas relacionados com o cálculo de áreas e

    volumes. Há mais de dois milênios atrás esses matemáticos

    calculavam áreas e volumes de figuras geométricas por 

    procedimentos como os do Cálculo Integral. Usava-se o processo de

    "exaustão". Por exemplo, para se obter a área de um círculo inscreve-

    se nele polígonos regulares cuja área é facilmente

    calculável; aumentando-se o número de lados obtém-se aproximações

    cada vez melhores. Obtém-se então a área do círculo por um processo de limite das áreas dos

    polígonos. Esse processo era também usado para calcular área de outras regiões, como a região

    interior a um arco de parábola. Com as mesmas idéias do cálculo de áreas os matemáticos gregos

    também tratavam do volume de sólidos.

     As idéias básicas do Cálculo Integral estavam lá presentes. Contudo essas idéias ficaram

    escondidas ou perdidas, pois os matemáticos gregos descreviam tudo geometricamente e não por 

    meio de fórmulas numéricas como fazemos hoje. Além disso, esse método funcionava para

    particulares regiões e uma generalização só poderia ser possível com uma nova formulação do

    problema. Somente muito mais tarde, no século XVII, com uma simblogia mais desenvolvida e com o

    surgimento da moderna notação da Geometria Analítica, foi possível criar métodos sistemáticos para o

    tratamento de áreas e volumes.

    Por volta de 1820, o matemático francês Augustin-Louis Cauchy definiu integral em termos de

    somas, mas ainda de forma incompleta. Na época problemas de Física como o da propagação do

    calor motivaram o desenvolvimento de teorias matemáticas. Por volta de 1854 o matemático

    alemão  Bernhard Riemann  fez um estudo aprofundado da integral e contribuiu de forma decisiva para

    o desenvolvimento da teoria. tanto que até hoje as somas usadas para definir a integral são chamadas

    de Somas de Riemann, bem como a própria integral leva seu nome.

    Lembremos que para funções de uma variável a integral é definida como o limite de somas:

      A idéia básica da integral, como limite de somas, pode ser estendida para funções definidas em

    regiões do plano e do espaço: surgem assim as integrais duplas e triplas, respectivamente. E tais

    integrais estão associadas a cálculos de volume, massa etc.

    Nos textos trataremos, primeiramente, de definir a integral dupla de funções de duas variáveis,

    utilizando como motivação o cálculo de volume. Veremos a seguir propriedades e resultados básicos.E, é claro, métodos para o cálculo de integrais duplas.

    http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3068http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/riemann.htmhttp://www.cepa.if.usp.br/e-calculohttp://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/arquimedes.htmhttp://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/arquimedes.htmhttp://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/riemann.htmhttp://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3068http://www.cepa.if.usp.br/e-calculohttp://media/CRISTINA/Disciplinas/mat2455/1s2008/1-intdupla/1-2-intdupla_riemann/1-2-intdupla_riemann.html

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    Integral Dupla - Definição

    Somas de Riemann

      Como sabemos, a integral de funções de uma variável pode ser utilizada para o cálculo de áreas de

    regiões planas. Com a integral dupla poderemos calcular volume de sólidos. Para motivar a definição

    de integral dupla vamos tentar obter o volume de um sólido particular, usando a mesma idéia do

    cálculo de área: fazer aproximações.

    Considere uma função de duas variáveis f ( x,y ) definida num retângulo fechado R =[a,b]x[c,d] . Suponha

    que f ( x,y ) é positiva para todo ( x,y ) em R. Vamos considerar a região abaixo do gráfico de uma função f ( x,y ).

     

    O objetivo é calcular o volume do sólido

    Para isso vamos fazer aproximações usando paralelepípedos. Vamos dividir o retângulo R   em

    pequenos retângulos R i   . Chamamos essa divisão de “partição” de R .

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      Para cada i = 1,... n, escolha um ponto qualquer ( x i ,y i ) de R i   . Considere o paralelepípedo de

    base R i   e altura f ( x i ,y i ) , cujo volume é f ( x i ,y i )A(R i ), onde A(R i ) indica a área do retângulo R i  . Fazendo

    a soma dos volumes dos paralelepípedos temos

      Essa soma é conhecida como Soma de Riemann. Se os retângulos R i  forem “pequenos” o suficiente

    este número deve ser uma boa aproximação do volume procurado. Assim nossa intuição nos diz que o

    volume de S  pode ser encontrado fazendo o limite da soma acima, quando os R i 's ficam "pequenos" ,

    ou melhor, quando a área dos R i 's vai para zero. Em linguagem matemática, tomando a diagonal dos

    retângulos d (R i ) e fazendo max {d (R i)} ir para zero os retângulos ficam pequenos.

    Mas L  depende, em princípio, da escolha do ponto ( x i ,y i ) de R i   . Desejamos que o valor do volume

    de um sólido não dependa dessa escolha. Então o volume será esse limite, se ele for o mesmopara

    qualquer escolha de ( x i ,y i ) em R i . Logo,uma boa definição para o volume parece ser

    se o limite existir e for o mesmo para toda escolha de ( x i ,y i ) em R i , i = 1,... n.

      Queremos que a integral dupla de uma função positiva calcule o volume de S. Temos, então, a

    seguinte definição

    DEFINIÇÃO: A integral dupla de f  sobre R  é

    quando o limite existe e é o mesmo para toda escolha de ( x i ,y i ) em R i , i = 1,... n. Neste caso se dizque f  é integrável em R.

      Então, se a função f for positiva e integrável, o volume de S  é definido como sendo

     

    http://grauna.ime.usp.br/Meus%20documentos/Disciplinas/Meus%20documentos/Disciplinas/MAT2455_Calculo3/1s2008/1-intdupla/1-2-intdupla_riemann/Riemann.html

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      Também a integral é denotada por , já que a área do retângulo R i é o produto

    das dimensões dos lados que podemos escrever da forma .

    Exemplo: Seja f ( x ,y ) = K constante. E seja R   = [a,b] x [c ,d ]. Vamos mostrar que f é integrável ecalcula a integral dupla de f   em R . Tome uma partição P = {R 1  , R 2 , ... R n} de R . Para cada i =1,... n,

    escolha um ponto qualquer ( x i ,y i ) de R i   . Então

     

    Como esse valor não depende da escolha de ( x i ,y i ) de R i então f é integrável em R e

    .

     

    Vamos já estabelecer algumas propriedades básicas da integral dupla.

      Propriedades. Se f e g são funções integráveis em R   e c   é constante então

    sempre que em R .

      Exercício de teoria: prove as propriedades acima. 

    Note que tal definição da integral dupla foi feita para funções definidas em retângulos. E quando o

    domínio não é um retângulo? E como são as funções integráveis?  E como calcular as integrais duplas?

    Veja os textos que estão na disciplina para saber mais.

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    Funções integráveis e não-integráveisAlguns Resultados e Exemplos

      Que funções são integráveis? Existem funções não integráveis?  Da maneira como foi dada a definição pode-se pensar que sempre existe a integral dupla de umafunção. Afinal pode parecer que se f é positiva então sempre se pode calcular o volume do sólido que

    se forma abaixo do gráfico de f e acima do plano z = 0. Mas você viu que existem funções de umaváriável que não são integráveis. Com duas váriáveis isto também ocorre. 

    Um exemplo de função não integrável: Considere a função f  definida em R = [0,1]x[0,1](quadrado de lado 1) da seguinte forma: f ( x,y ) = 1 se x  e y são racionais e 0 caso contrário. Tome umapartição qualquer de R e em cada R i  . Escolha primeramente ( x i ,y i ) tal que se x i  e y i  são racionais.

     Assim um cálculo simples mostra que

    Entretanto podemos escolher ( x i ,y i ) de forma ambos x i e y i  não são racionais. Dessa forma 

    Portanto o limite dessa somas dependerá da escolha de ( x i ,y i ) . Portanto f  não é integrável. 

     Agora enunciaremos um resultado útil.

    PROPOSIÇÃO. Se f  é uma função integrável em R  , retângulo, então f é limitada em R , isto é,existe M>0 tal que |f ( x,y )| < M, para todo ( x,y ) em R  .(veja a demonstração, que não é difícil, emTeorema III.1.2 de [BCHS] ).

    Outro exemplo: O resultado acima é útil no seguinte sentido: se uma função de duas variáveis nãoé limitada em R  então ela não é integrável em R . Por exemplo, a função 

    não é limitada em [0,1]x[0,1] (prove isso!), logo não é integrável.

    Exercício: Obtenha um outro exemplo de função não integrável usando o resultado anterior. 

    Já temos exemplos de funções não integráveis. Ótimo! Mas que funções são integráveis? Será

    sempre necessário encontrar a integral dupla de uma função usando adefinição e tendo que calcular aquele limite. Como para funções de uma variável, as funções "bem comportadas" são integráveis.Vale que 

    TEOREMA. Toda função contínua definida em um retângulo R  é integrável em R .

      Muito bem, mas como se calcula a integral dupla de uma função? Para isso vamos ver as IntegraisIteradas.

    http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3081http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3081http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3081http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3081http://grauna.ime.usp.br/1-2-intdupla_riemann/1-2-intdupla_riemann.htmlhttp://grauna.ime.usp.br/1-2-intdupla_riemann/1-2-intdupla_riemann.htmlhttp://grauna.ime.usp.br/1-2-intdupla_riemann/1-2-intdupla_riemann.htmlhttp://grauna.ime.usp.br/1-2-intdupla_riemann/1-2-intdupla_riemann.htmlhttp://grauna.ime.usp.br/1-2-intdupla_riemann/1-2-intdupla_riemann.htmlhttp://grauna.ime.usp.br/1-2-intdupla_riemann/1-2-intdupla_riemann.htmlhttp://grauna.ime.usp.br/1-2-intdupla_riemann/1-2-intdupla_riemann.htmlhttp://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3081

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    Integrais Duplas IteradasTeorema de Fubini

     A definição de integral dupla é consequência natural da idéia de calcular o volume de determinado

    tipo de sólido. Porém é difícil obter o valor de uma integral dupla diretamente da definição. Vamos aqui

    ver uma forma de calcular tal integral. 

    Tomemos, em particular, uma função f(x,y) positiva e definida num retângulo R=[a,b]x[c,d] e

    considere a região 

    Para se calcular o volume do sólido S poderíamos pensar em “fatiá-lo” paralelamente ao plano x = 0

    ou ao plano y = 0.

    Fixe um x entre a e b e considere a intersecção do plano paralelo a x = 0 passando por x e o

    sólido S.

     

     A área da fatia pode ser calculada com a integral

    Intuitivamente o volume é a "soma" de todas as áreas. Então o volume de S deve ser 

    Entretanto, fixando y   entre c e d, poderíamos também calcular a área de cada fatia e depois o volumefazendo

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      Estas integrais são chamadas de integrais iteradas  e usualmente se escreve apenas

    ou

    Exemplos:

     

    Teria sido mera coincidência  as duas integrais acima terem dado o mesmo valor? Não é

    coincidência, e o que vale é o seguinte:

    Teorema de Fubini.  Se  f é integrável em R=[a,b]x[c,d] então

      Ou seja, se f   é integrável  não importa a ordem que fazemos a integração. Assim temos uma forma

    de calcular integrais.

    Exercício 1. Esboce o gráfico das funções abaixo usando o Winplot (clique aqui  para baixar o

    programa) e calcule as integrais duplas (como são funções contínuas nos respectivos retângulos

    aplique o Teorema de Fubini) 

    1. f ( x,y )  = 2y 2   - 3 xy 3  e R = [1,2]x[0,3] 

    2. f ( x,y )  = 1 / ( x+y )  e R = [1,2]x[0,1]

    Exercício 2. Calcule as seguintes integrais iteradas 

    http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3081http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3081http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html

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    e mostre que não são iguais.(você deve encontrar os valores 1/2 e -1/2). Isto contradiz o Teorema de

    Fubini? Explique o que está acontecendo.

    Exercício 3. Resolva exercício 1 e 2 da Lista 1.

    Atenção: Neste curso voce vai precisar integrar muito. Para recordar calculo de integrais você pode

    usar os exercicios propostos na Lista 0.

    Para estudar: leia o parágrafo 2 do capítulo 15 (15.2) de [S] 

    Curiosidade: O teorema acima foi provado em 1907 pelo matemático italiano Guido Fubini (1879-

    1943), entretanto a versão para funções contínuas era conhecida pelo matemático francês Augustin-

    Louis Cauchy , quase um século antes.

    http://grauna.ime.usp.br/mod/resource/view.php?id=3120http://grauna.ime.usp.br/mod/resource/view.php?id=3123http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/cauchy.htm

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    Cálculo de integral dupla em retângulos

      Considere uma função de duas variáveis f   definida num retângulo fechado R =[a,b]x[c,d ] e

    suponha que f ( x,y ) é positiva para todo ( x,y ) em R.O gráfico desta função é um subconjunto do R3 .

    Considere o sólido limitado pelo gráfico de f   e o plano xy   com ( x,y ) em R, isto é,

    Nosso objetivo é o de calcular o volume de S . Por exemplo tome a funçãof ( x,y ) =  x (1-y 4) e R =

    [0,2]x[0,1] . O gráfico de f está representado na figura abaixo.

    Poderiamos pensar em calcular o volume de S (sólido delimitado pelo gráfico de f) “fatiando” o sólido

    com planos paralelos ao plano yz . Para cada x fixo entre 0 e 2 temos uma região onde a área secalcula facilmente usando integral de uma variável

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      Vamos denotá-la por A(x). Então

      Assim, como fizemos no caso do cilindro, o volume do sólido poderia ser definido como sendo a

    “soma” de todos os A(x). Somar em x é integrar. Então uma boa definição do volume de S parece ser 

      Poderiamos ter feito outro tipo de “fatiamento”, por exemplo com planos paralelos ao

    plano xz.  Teriamos obtido o mesmo valor? E se o domínio da função for outra região que não umretângulo podemos usar este método? Podemos usar esta idéia para qualquer tipo de função?

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    Integrais Duplas em Regiões - definição

      Vimos como definir integrais duplas sobre retângulos.Contudo são várias as funções definidas em regiões que não são retângulos. Por exemplo, se é uma

    função f  é positiva definida num disco D queremos calcular o volume do sólido. É natural esperar que o volume de S esteja relacionado

    com a integral dupla.Neste texto vamos definir a integral dupla sobre regiões planas limitadas, que

    são regiões contidas em algum retângulo R .Vamos utilizar um pequeno "truque". Como só temos a definição de integral dupla para funções

    definidas num retângulo, vamos estender f  para um retângulo R  que contém D de formaconveniente. Defina F ( x,y ) em R de forma que

    chamada de "função característica do conjunto D". Dizemos que f  é integrável em D quando F éintegrável em R.  E definimos a integral dupla def  em D por

    Observe o desenho. Primeiramente como F  é 0 fora de D região de R-D (complementar de D) adefinição acima não depende do particular retângulo R. Assim sempre podemos considerar umretângulo de lados paralelos aos eixos. E perceba também que R -D não interfere no cálculo daintegral.

    DEFINIÇÃO. Se f ( x,y ) é positiva e integrável em D definimos o volume do sólidocomo sendo

    Suponha que f  seja contínua em D. É razoável esperar que f  seja integrável em D. M esmo f sendocontínua em D não temos necessariamente a continuidade de F  em R. Observe que as

    descontinuidades ocorrem no bordo (ou fronteira) de D (veja a figura acima), que denotamos por ∂D.De fato, nesse caso, o conjunto dos pontos de descontinuidade de f   está contido em ∂D. Aintegrabilidade de f   dependerá do tipo do bordo de D: de uma forma informal, ele tem que ser "magrinho" para não interferir no cálculo da integral. Mas o que significa isso? Que tipos de conjuntossão esses? O conceito que desejamos introduzir agora é o de conteúdo nulo. 

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      Um conjunto A do plano tem conteúdo nulo se, dado e > 0 arbitrário, existem retângulos R 1 , R 2 , ... R n

    , de lados paralelos aos eixos coordenados, tais que e .

    Não é difícil mostrar que um segmento no plano tem conteúdo nulo. Um fato importante é que

    PROPOSIÇÃO. O gráfico de uma função contínua definida num intervalo [a,b] tem conteúdonulo. 

    Esse resultado já é mais difícil de provar. Contudo em [BCHS] (capítulo 3) você encontrará ademostração para o caso de função de classe C1.

    Finalmente temos um resultado esperado:

     TEOREMA. Seja D um subconjunto limitado do plano e seja f  uma função contínua e limitadaem D. Se o bordo de D tem conteúdo nulo então f  é integrável em D.

     A prova desse resultado pode ser encontrada no Apêndice 2 de [G].

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    Funções Integráveis - teoria

     Temos funções que não são integráveis. Será que existe alguma caracterização das funções

    integráveis?Seja D um subconjunto limitado do plano. E seja o sólido . Ele

    parece um "cilindro" de base De altura 1. É então natural pensar que o volume de S é igual a áreade D,pois espera-se que V (S) = 1. A(D). Mas a integral dupla de f ( x,y ) = 1 sobre Dé, caso exista, ovolume deste sólido. Portanto ter volume é equivalente a ter área, nessa caso. Mas 

    Dizemos que D tem área se f ( x,y ) = 1 é integrável em D e define-se a área de D por 

      Note que os retângulos tem área. Pode parecer estranha mas existem regiões do plano que nãotem área. Por exemplo, se D = Q x Q em [0,1]x[0,1] então a função constante 1 em D não é integrável.(Ve jaFunções integráveis e não-integráveis.) O problema aqui é que todo retângulo tem pares deracionais e pares que não são ambos racionais.

    Queremos evitar isso e tratar de conjuntos “bem comportados”. No exemplo acima a fronteira doconjunto D é todo o quadrado! O bordo ou fronteira de um subconjunto D, que é denotado por ∂ D,é o conjuntos dos pontos ( x,y ) tais que qualquer retângulo (ou disco) centrada em ( x,y ) contém pontosde D e do complementar de D. As regiões que nos interessam são as regiões que tem área. As regiões que tem área são aquelas que o bordo tem conteúdo nulo.

    EXERCÍCIO. Verifique que o bordo do conjunto D = Q x Q em [0,1]x[0,1] é todo o quadrado  [0,1]x[0,1].

    Então a existência de área está relacionada com a existência da integral da função constante 1. Por sua vez a existência de integral está relacionada ao tipo de bordo do conjunto D.

     Assim afirmamos que D tem área se, e somente se, ∂ D tem conteúdo nulo. (veja a definiçãoem Integrais Duplas em Regiões).

    Conjuntos de área nula representam papel importante na Teoria de Integração. Esses são conjuntosque não interferem na integração.

     TEOREMA. Seja uma região D com área e limitada do plano e seja f  umafunção limitada em D. Se f  é contínua, exceto num conjunto de área nula,então f  é integrável em D.

      O resultado acima vale em contextos mais gerais e não apenas para funções de duas variáveis. Foio matemático Henri Lebesgue (1875-1941) que estabeleceu a conexão entre a integrabilidadesegundo Riemann e o conjunto dos pontos de descontinuidade da função. Resumidamente, Lebesgueprovou que uma condição necessária e suficiente para que uma função seja Riemann integrável é queo conjunto dos pontos de descontinuidade tem área (ou medida) nula. Ele criou toda uma teoria novapara integração, que hoje leva seu nome: integral de Lebesgue.

    http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/lebesgue.htmhttp://media/CRISTINA/Disciplinas/mat2455/1s2008/1-intdupla/1-5-intdupla_regiao/1-5-intdupla_regiao.htmlhttp://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/lebesgue.htmhttp://media/CRISTINA/Disciplinas/mat2455/1s2008/1-intdupla/1-5-intdupla_regiao/1-5-intdupla_regiao.htmlhttp://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3079http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/riemann.htm

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    Cálculo de Integrais Duplas

      Depois de definida a Integral Dupla sobre Regiões planas D  temos que saber como calculá-la.

    Sabemos que se f é contínua em D e se o bordo da região D tem conteúdo nulo então f é 

    integrável em D.

      Mas afinal quais regiões são desse tipo e como calcular a integral dupla nessas regiões?

      Vamos ver dois tipos de regiões cujo cálculo da integral dupla pode ser feito.

      Região do Tipo I: região do plano entre gráficos de funções contínuas de x definidas num intervalo

    [a,b]. Mais explicitamente são regiões do tipo

    onde g 1  e g 2 são funções contínuas em [a,b]. Graficamente:

    Nesse caso D é limitada e se tomamos um retângulo R =[a,b]x[c,d ] que contém D  então

    Região do Tipo II:  região plano entre gráficos de funções contínuas de y definidas em [c,d ]. Mais

    explicitamente, são regiões do tipo

    onde h1 e h2 são funções contínuas em [c,d ]

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    Também podemos calcular a integral dupla fazendo

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    Cálculo de Integrais Duplas - Exemplos

     

    1.  Calcular a onde D  é a região limitada pelas parábolas y = 2 x 2 e y   = 1 + x 2  .

     

    2.  Encontre o volume do sólido S  que fica abaixo do parabolóide z   = x 2 + y 2 e acima da região no plano xy   e

    delimitada pelas superfícies y   = x 2  e y = 2 x .

    Temos neste caso a região de integração (no plano xy ) é

     

    e o volume é dado pela integral

    dupla de f ( x,y ) = x 2  + y 2 logo

     

    3. Calcule .

    Se tentarmos calcular da forma que a integral aparece teremos problemas. Mas a integral acima é igual a integral

    http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3068

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    dupla de f ( x,y ) = sen(y 2) em

    Desenhe a região e perceba que também podemos escrevê-la na forma

    Então, usando o Teorema de Fubini,

    Leia a teoria e veja mais exemplos em 15.3 de [S] e III.4 de [BCHS].Pratique fazendo exercícios do livro [S] e

    da Lista 1.

    Dica: O livro de J. Stewart [S] traz muitos exercícios resolvidos  e muitos gráficos e figuras. Consulte pois para um

    melhor aproveitamento visualizar os gráficos e as regiões de integração é fundamental. Use para isso programas

    gráficos como Winplot   .

    http://math.exeter.edu/rparris/winplot.htmlhttp://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3101http://grauna.ime.usp.br/mod/resource/view.php?id=3123

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    Integrais Duplas - Propriedades

     As seguintes propriedades básicas são válidas para integrais duplas.

     Proposição. Se f e g são funções integrais em D, região limitada do plano e com área, e c  é constante

    então

     Uma outra propriedade muito útil para o cálculo de integrais duplas é a seguinte.

     Proposição. Suponha que f ( x,y ) seja integrável em D1 e em D2 , que são regiões limitadas do plano.

    Se D1 ∩  D2 tem área nula então f  é integrável em D1  U D2 e vale

      Por exemplo, seja f ( x,y ) = 1, se ( x,y ) pertence a [0,3]x[0,1] e f ( x,y ) = 2, se ( x,y ) pertence a [3,5]x[0,1] .

    Claramente essa função não é contínua em R  = [0,5]x[0,1], mas é descontínua apenas no conjunto {( 3,y )

    : 0 ≤ y ≤ 1} que tem área nula no plano.

    Então f  é integrável em R e

    http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cint%5Cint_%7B%5B0%2C5%5D%5Ctimes%5B0%2C1%5D%7D%20f%28x%2Cy%29%20dx%20dy%20%3D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B3%7D%201%20dx%20dy%20%2B%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cint_%7B3%7D%5E%7B5%7D%202%20dx%20dy%20%3D%203%20%2B%204%20%3D%207http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3068

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    Mudança de Variáveis em IntegraisDuplasCoordenadas Polares

     

    Nas integrais de funções de uma variável real muitas vezes uma mudança de variável conveniente permite seucálculo mais facilmente. A fórmula nesse caso é

    onde g  (c ) = a e g  (d ) = b , sendo g  estritamente crescente. É comum escrevermos que “dx  = g '(u) du”.  Para integrais duplas também é possível fazer mudanças de variáveis. Nesse caso temos que fazer mudançasdo sistema de coordenadas O xy para outro sistemas de coordenadas Ouv . E como fica a integral dupla quandomudamos de coordenadas? O que irá substituir o fator “g '(u) du”nesse caso?  Antes de tratar do caso geral veremos como fica a integral dupla quando mudamos do sistema de coordenadascartesianos O xy para o sistemas decoordenadas polares Or θ.  Sabemos que x  = x (r,θ) = r cos(θ) e y = y (r ,θ) = r sen(θ), onde r representa a distância do ponto P decoordenadas ( x,y ) e θ é o ângulo formado pelo segmento OP e o eixo O x  no sentido anti-horário.  Suponha que f ( x,y ) é integrável numa região D do plano O xy. Como a integral dupla é o limite das somas deRiemann vamos avaliar a soma para uma partição qualquer de D. Para cada retângulo da partição sua área éaproximadamente a área de um setor circular. Mas a área de um setor circular pode ser calculada usando as

    variações de r e de q . (Veja o texto sobre Coordenadas Polares ) Logo

    Fazendo o limite temos que

    onde D xy  denota a região D descrita em coordenadas cartesianas O xy eDr q  denota a região descrita

    em coordenadas polares.

    Atenção: nunca se esqueça de multiplicar pelo fator r !

    http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3072http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3072http://www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-9-1-intdupla-polar.htmlhttp://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3072http://www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-9-1-intdupla-polar.html

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    Coordenadas Polares

      Todo ponto de um plano pode ser descrito em coordenadas cartesianas. Fixado um sistema de

    coordenadas cartesianas O xy   no plano, cada ponto P do plano é descrito por um par de números reais

    ( x,y ). Essa simples idéia, atribuída a Descartes  e Fermat revolucionou a Matemática, dando início a

    Geometria Analítica.

      Contudo um ponto do plano pode ser descrito com outras coordenadas.

      Cada ponto P do plano O xy pode ser descrito com as coordenadas polares. Se r é a medida do

    segmento OP e se θ representa o ângulo formado pelo segmento OP, de 0 a 2π, com o eixo x,no

    sentido anti-horário, então x = x (r,q) = r cos( q ) e y = y (r ,q) = r sen(q). Reciprocamente dado um par 

    (r, θ ) onde r   > 0 então podemos determinar um ponto P do plano tal que suas coordenadas cartesianas

    são x = x (r,q) = r cos( q ) e y = y (r ,q) = r sen(q).

    Certas regiões são facilmente descritas em coordenadas polares. Por exemplo, o círculo

    em coordenadas polares fica

    E se

    então em polares a região fica

      Note que R 1 e R 2 são retângulos  !

    http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/descartes.htmhttp://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/fermat.htm

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      Veja que quando fazemos a mudança de coordenadas a área não é preservada.  A área deD1  é π e

    de R 1 é 2π ; a área de D2 é 3π/2 e de R 2 é π.

      Observe que um retângulo nas coordenadas (r, θ ) se transforma num setor circular no plano

    cartesiano.

      A área do retângulo é (r 2  - r 1)( θ 2 - θ 1) enquanto que a área do setor circular é (r 22  -r 1

    2)( θ 2- 

    θ 1)/2 = (r 2  + r 1)(r 2 - r 1)(θ 2- θ 1)/2 = r *  (r 2  - r 1)(θ 2- θ 1)/2, onde r 

    * é a média entre r 2 e r 1.

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    Mudança de Variáveis em Integrais DuplasCoordenadas Polares - Exemplos

     

    Exemplo 1. Queremos calcular o volume do sólido que está sob o parabolóide z = x2 + y2 , acima do

    plano xy e dentro do cilindro x2 + y2 = 2x.

    E então nas coordenadas cartesianas

    Não é uma integral muito simples. Mudando para coordenadas polares a região D passa a ser

    pois substituindo x(r,θ) = r cos (θ) e y(r,θ) = r sen (θ) na equação x2 + y2 = 2x temos que r2= 2 rcos (θ), logo na circunferência r = 2cos (θ). Como θ é o ângulo entre o segmento do ponto a origem e oeixo x, a variação do ângulo θ é de -π/2 a π/2.

    http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3072http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3072

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    Região em coordenadas cartesianas

    Região em coordenadas polares

    E então

     Exemplo 2. Desejamos calcular o volume do sólido que está sob o parabolóide z = 4 - x2 - y2 , acima do

    plano xy e dentro do cilindro x2 + y2 = 1.

     Sabemos que onde D é o

    disco de centro (0,0) e raio 1. Logo 

    Então

    Contudo o cálculo dessa integral é elaborado. A região D pode serfacilmente descrita em coordenadas polares.

     Assim usando que x = x(r,θ) = r cos(θ) e y = y(r ,θ) =rsen(θ) então o disco pode ser representado por

    Portanto

    http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3072http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3072

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      Exemplo 3. Se a função está definida na regão

    então

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    Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Caso Geral

     

    Para o cálculo de funções de uma variável temos que, às vezes, fazer uma mudança de variável de

    integração. Quando fazemos isso temos que fazer uma "correção" e multiplicar pela derivada:

      No cálculo de integrais duplas também precisamos as vezes mudar de variáveis. Uma mudança de

    coordenadas em R2 é uma transformação j contínua e injetora no interior da região. Escrevemos j(u,v)

    = (x(u,v),y(u,v)).

      Assim para funções de duas variáveis devemos ter uma fórmula do tipo

      O que viria no lugar do ??????   ?

     Antes de dar a fórmula vamos ver um exemplo de mudança de variável. Seja  φ(u,v) = (x(u,v),y(u,v))

    onde x(u,v) = (u - v)/2 e y(u,v)=(u + v)/2, ou seja, u = x + y e v = y - x .

    Seja Dxy a região limitada pelas retas x + y = 4 , x + y = 3, y - x = 3 e y - x = 1. Note que uma reta y +

    x = a no plano Oxy corresponde a reta u = a no plano Ouv e que uma reta y - x = b no

    plano Oxy corresponde a reta v = b no plano Ouv.

      Com esta aplicação transfor mamos o retângulo Dxy (amarelo) no retângulo Duv = [3,4]x[1,3] (verde).

    Note que as áreas dos retângulos são diferentes!!! Veja que a área de Duv é 2, mas a área de Dxy é

    1. Note que todo retângulo de lados paralelos aos eixos Ou e Ov se transforma pela j em outro

    retângulo e que A(Dxy) = A(Duv)/2. Esta transformação não preserva áreas, mas há uma relaçãoentre elas. Para calcularmos uma integral dupla teremos que levar isso em conta.

      Se queremos calcular a integral

    onde D = Dxy diretamente com as variáveis x e y vamos ter algum trabalho. Entretanto se rodamos a

    figura, ou seja, fazemos uma mudança de variáveis, passaremos a ter um retângulo paralelo aos

    eixos e assim a integração ficará mais simples. Se u = x + y e v = y - x, ou x = (u - v)/2 e y = (u + v)/2  

    transformamos Dxy em Duv = [3,4]x[1,3]. Como A(Dxy) = A(Duv)/2

    Mas esse foi um caso muito particular. Em geral dada uma mudança de variáveis o fator de correção

    http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3068http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3068

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    da área não é constante. Esse fator é o Jacobiano da transformação. Em geral, dada uma

    transformação φ(u,v) = (x(u,v),y(u,v)) do plano o Jacobiano é

    O que vale é o seguinte resultado:

      TEOREMA. Seja φ uma transformação de uma aberto W de R2 em R2  de classe C1  onde φ(u,v) =

    (x(u,v),y(u,v)). Seja Duv subconjunto de W limitado, com bordo de conteúdo nulo também

    em W, e Dxy = φ(Duv). Suponha que j é injetora e J φ(u,v) não é nulo o interior deDuv. Se f é

    contínua em Dxy então

    Note que na fórmula aparece o módulo do Jacobiano!

      Voltando ao exemplo e calculando o Jacobiano temos Jφ(u,v)= 1/2  . Logo

     

     Agora calcule a integral!

      Como você deve se lembrar, as coordenadas polares   x (r,θ ) = r cos(θ )  e y (r ,θ ) = r sen(θ ) sãoúteis e de grande importância. Várias integrais duplas ficam mais fáceis de serem calculadas se

    usamos a mudança de coordenadas polares, cujo Jacobiano é r. 

    http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3072http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3072

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    Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Exemplos

    Vimos que nas condições do enunciado do Teorema a fórmula de mudança de variáveis é

    Vejamos alguns exemplos:

    Exemplo 1. Para calcular uma integral sobre uma região D ={ (x,y) : (x-p)² + (y-q)² ≤ a² }, com a

    > 0, que é a região interior a circunferência de raio a,  podemos, para facilitar, fazer uma mudança de

    variável do tipo polar, tal que x-p  = r cos(θ) e y-q  = r sen(θ), ou seja, x (r,θ ) = r cos(θ) + p e y (r ,θ) = r 

    sen(θ) + q  . Verifique que nesse caso o Jacobiano é também r.

    Exemplo 2. Para calcular uma integral sobre uma região D ={ (x,y) : x²/a² + y²/b² ≤ 1 }, com a, b >

    0, que é a região interior a uma elipse, podemos, para facilitar, fazer uma mudança de variável do tipo

    polar, tal que x   = a r cos(θ) e y   = b r sen(θ), ou seja, x (r,θ ) = a r cos(θ) e y (r ,θ) = b r sen(θ) . Verifique

    que nesse caso o Jacobiano é abr.

    Compondo essas transformações podemos resolver o seguinte exercício (extraído da prova de 1999).

    Exemplo 3. Determine o volume do sólido limitada pelas superfícies:

    Solução. Note que desejamos calcular o volume do sólido dado por 

    Mas isso pode ser feito com integrais duplas.

    onde D é a região interior a elipse  . Portanto fazendo a mudança de variável

     

    Então e o Jacobiano é ,

    não nulo no interior.

    Portanto

    .

    http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cfrac%7B%28x-1%29%5E2%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B3%7D%20%3D%201%20%3B%20z%20%3D%20x%5E2%2By%5E2%20%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20e%20%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20z%20%3D%200http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3093

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    Aplicações da Integral Dupla

     

     Algumas aplicações de Integral Dupla já foram discutidas. O cálculo de volume, por exemplo, foi

    inclusive motivação para a definição dessa integral. Algumas outras aplicações apresentamos aqui,

    poém muitas outras podem ser encontradas em física, biologia, ecomonia etc.

    1. Cálculo de volume. 

    Dada f e g são contínuas em D, região limitada do plano Oxy com área, e então o volume

    da região entre os gráficos de f e g é dado por  

    2. Área de uma região plana Seja D uma região limitada do plano Oxy, com área. Se criamos um "prisma" B de base D e altura 1

    é esperado que o volume de B seja área da base vezes a altura, que é 1. Logo devemos ter Vol(B)

    = Area (D) x 1. Então

    3. Massa e Centro de Massa

      Recordamos que a massa total de um sistema de k  partículas cuja massa de cada partícula

    é mi   , i   = 1,...,k , é a soma m = m1+m2+...+mk . Considere uma lâmina ou placa fina plana (sem volume)

    cujo formato é uma região D, região limitada do plano Oxy, com bordo de conteúdo nulo. Se ρ(x,y) é

    uma função contínua positiva em D  que representa a densidade superficial de massa, então a massa

    total de D deve ser “a soma das massas em cada ponto (x,y) de D”.

      Pensando assim faz sentido definir a massa de D  como sendo

     já que ρ( x,y ) dA pode ser interpretado como a massa do elemento de área dA.

      Fazendo também a analogia com um sistema finito de partículas temos que o centro de massa da

    lâmina é o ponto onde

     2. Momento de inércia

      O momento de inércia de uma partícula de massa m  com relação a uma reta é dado por md 2

     onde d é a distância da partícula a esta reta. Estendendo esse conceito a uma placa de

    formato D,região limitada do plano Oxy, com bordo de conteúdo nulo, com densidade pontual demassa dada por uma funçao contínua positiva ρ(x,y), temos as seguintes definições:

      O momento de inércia com relação ao eixo x é 

    http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=f%20%5Cge%20ghttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=f%20%5Cge%20g

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      O momento de inércia com relação ao eixo y é 

      O momento de inércia polar (ou com relação à origem) é definido por 

    Um exemplo. A densidade de cada ponto de uma placa semicircular é proporcional a distância ao

    centro do círculo. Encontre o centro de massa da placa.

    Vamos colocar a placa na parte superior do circulo de raio a. A distância de (x,y) ao centro (origem) é

    portanto a densidade ρ(x,y) é

    para alguma constante K. Calculemos primeiramente a massa M

    Como a região é simétrica com relação ao eixo y temos que . E

    Logo o centro de massa é o ponto (0,(3a)/2π). Localize-o no desenho.

    Observação:  se a densidade for constante então o centro de massa será o ponto (0, (4a)/2π).

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    Integrais Triplas em ParalelepípedosDefinição

      Vamos agora considerar funções de três variáveis , isto é, f é uma função que a cada

    terna ( x,y,z ) de um subconjunto do R3 associa-se um valor f ( x,y,z ) em R. Já não podemos visualizar o

    gráfico desse tipo de função pois é um subconjunto do R4, mas podemos definir uma integral, que será

    a integral tripla de f.

    Vamos motivar a definição usando o cálculo de massa de um paralelepídedo.

    Seja P  um paralelepípedo feito de um material com densidade de massa constante r. Então a massatotal de P é r .V(P), onde V(P ) denota o volume de P . Se tivessemos um conjutode P i  parelelepípedos, i = 1,..,n com densidade de massa r i então Massa Total é a soma das

    massasM i = r i  .V(Pi ) .

      Agora suponha que o paralelepípedo P  não é feito de um material com densidade de massaconstante . Como calcular sua massa total? Vamos tentar obter esse valor por aproximações.

    Num sestema de coordenadas Oxyz o paralelepípedo P é o produto cartesiano de segmentos[a,b]×[c,d]×[p,q], ou seja,

    Suponha que a densidade de massa depende de cada ponto de P  , ou seja, e a densidade pontual demassa é uma função r(x,y,z), contínua e positiva, definida em P. 

    Particione P  em pequenos paralelepípedos P 1  , P 2 ,..., P n,

    dividindo os intervalos [a,b] , [c,d ] e [ p,q] . Paracada i =1,...,n escolha um ponto ( x i   , y i , z i ) de P i  . Como estes P i são

    pequenos podemos dizer que a massa de P i  éaproximadamente r( x i   , y i   , z i ).V(P i ) . Portanto a massa deP  é

    aproximadamente a soma das massas de cada P i 

      Como no caso das funções de duas variáveis, estas somas são conhecidas como Somas deRiemann.

    Intuitivamente a aproximação deve melhorar quanto menores forem os retângulos P i . Assim é

    natural pensarmos que a Massa Total de P deve ser o LIMITE destas somas, quando as dimensõesde P i  vão para zero. Isto é, se o limite existir, a massa total deve ser 

     

    onde d (P i ) denota a diagonal de Pi .

    Podemos generalizar e temos assim a seguinte definição

    DEFINIÇÃO: Seja f uma função definida em P. A integral tripla de f sobre P é

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    se tal limite existe, e é o mesmo para qualquer escolha de ( x i   , y i   , z i ) em P. Neste caso se diz que f éintegrável em P.

      As mesmas propriedades operatórias que valem para integrais duplas valem para integrais triplas.

    Propriedades: Se f  e g  são funções integráveis em P então

    sempre que

      Como no caso de integrais duplas, existem funções que não são integráveis. Contudo as funções"bem comportadas" são integráveis. Temos que

      TEOREMA Se f é contínua em P então f é integrável em P.

      Portanto, se f ( x,y,z ) for uma função contínua e positiva e representar a densidade de massa de cadaponto ( x,y,z ) de P , a massa total de P  deverá ser a integral tripla acima (caso existir). 

    Como no caso de integrais duplas existem funções não integráveis.

      Mas como calcular integrais triplas? Usaremos também as integrais iteradas, que podem ser feitasem qualquer ordem. Veja como nos próximos textos da disciplina. 

    É claro que os domínios das funções não são sempre paralelepípedos. Também veremos comodefinir e calcular a integral tripla em diferentes regiões do espaço.

    http://c/Users/Cristina/Meus%20documentos/Disciplinas/MAT2455_Calculo3/1s2010/2-inttripla/2-1-inttripla_def/www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-3-1-inttripla-calculo-regiao.htmlhttp://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3081

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    Exemplos de funções não-integráveis

     

    Existem funções de três variáveis que não são integráveis.

     

    Um exemplo de função não integrável: Considere a função f  definida em R=[0,1]x[0,1]x[0,1]

    (cubo de lado 1) da seguinte forma: f ( x,y,z ) = 1, se x, y e z são racionais e 0 caso contrário. Basta

    calcular a soma de Riemann para convenientes escolhas de ( x i   , y i , z i   ) que teremos somas com valor 

    1 e outras que valem 0. Portanto o limite não existe. (Lembre-se do exemplo que demos para integrais

    duplas.)

      Um resultado útil: Usando a definição pode-se mostrar que se f   é uma função integrável

    em Pentão f é limitada  em P, isto é, existe M > 0 tal que |f ( x,y,z )| < M, para todo ( x,y,z ) em P .Para

    a demonstração veja Teorema IV.1.4 de [BCHS].

      Como para funções de duas variáveis o resultado acima é útil para encontrar exemplos. Se uma

    função não é limitada em P então ela não é integrável em P.

      Desafio:  encontre um exemplo de função não é limitada em [0,1]x[0,1]X[0,1], e assim você terá umexemplo de função não integrável.

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    Integrais Triplas sobre Regiões

     

    Considere uma região limitada S do R3, isto é, S está contida num paralelepípedo P, e seja f(x,y,z)uma função definida em S. Como fizemos para integrais duplas vamos definir a integral triplade f em S usando a integral tripla de uma função auxiliar F(x,y,z) em P.

      Defina F(x,y,z) = f(x,y,z) em S e F(x,y,z) = 0 nos pontos que estão em P, mas não em S.

      Dizemos que f é integrável em S, se F é integrável em P e definimos a integral tripla de f(x,y,z)sobre S como sendo

    .

      Como no caso das integrais duplas, como F é nula nos pontos de P-S, a definição acima nãodepende da escolha do paralelepípedo P. As mesmas propriedades válidas para integrais duplas sãotambém válidas para integrais triplas (veja Integrais Duplas sobre Regiões). 

    Como você sabe existem funções não integráveis. Contudo, assim como para funções de duas

    variáveis, a integrabilidade daf

    pode ser garantida quandof

    é contínua em S e a região S é de um tipoespecial. Note que se f  é contínua em S a função F definida acima será descontínua num conjunto quecontém o bordo de S. Logo para existir a integral esse bordo deve ser "magrinho", ou seja, não pode

    ter volume em R3. Estes são os tais conjuntos de conteúdo nulo. Por exemplo, um segmento de retaou um pedaço de plano são conjuntos com volume nulo. Formalmente um conjunto A tem conteúdonulo, se dado ε >0 arbitrário, existem paralelepípedos P1 , P2 , ... P n , de arestas paralelas aos planos

    coordenados, tais que A está contido na uniãoP1 U P2 U ...U P n e a soma dos volumes

    .

    Temos então o seguinte resultado.

    TEOREMA. Se f é contínua e limitada em S e se o bordo da região S tem conteúdo nulo então f é 

    integrável em S.

      O próximo resultado nos dá varios exemplos de conjuntos desse tipo.

    PROPOSIÇÃO. Seja D um subconjunto limitado do plano, com bordo de conteúdo nulo. Se g é uma

    função contínua e limitada em D, então seu gráfico é um subconjunto de conteúdo nulo no R3.

    Superfícies parametrizadas também são exemplos de conjuntos de volume nulo.

      Por isso trabalharemos com regiões S cujo bordo é formado por gráficos de funções contínuas.Vamos destacar alguns tipos dessas regiões que aparecem com mais frequência.

    1. Região do Tipo I. São regiões do espaço da forma

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    onde u1 e u2 são funções contínuas em D. Um exemplo:

     2. Regiões Tipo II. São regiões do tipo

    onde v 1 e v 2 são funções contínuas em D. Um exemplo:

    3. Região Tipo III. São regiões do tipo

    onde w 1 e w 2 são funções contínuas em D onde D é a projeção de S  no plano xz. (exercício: faça um

    desenho deste tipo de região). Observação importante: O bordo de S é contituído da união dos dois gráficos e das superfícoes queconstituem as "laterias" pois S é um sólido no espaço.

    Veja no texto sobre Cálculo de Integrais Triplas como calcular integrais deste tipo.

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    Cálculo de Integrais Triplas

     

    Como calcular integrais triplas?

    Como no caso de Integrais Duplas, se f está definida num paralalelepípedo temos as integrais iteradas.  E

    como antes não importa a ordem que fazemos o cálculo. Só que neste caso como temos três variáveis

    teremos 6 combinações possíveis. Este resultado também é devido a Fubini.

    Teorema de Fubini. Se f é uma função integrável em P = [a,b]×[c,d]×[p,q] então

    Exemplo 1: Se P = [0,1]× [-1,2] × [0,3] e f(x,y,z) = xyz2  então

    Exemplo 2: A integral tripla da função f(x,y,z) = x sen(y+z) em P, onde P é o cubo de arestas os segmentos

    [0,1] nos eixos x,y e z é

    . E como podemos calcular a integral tripla em regiões dos tipos I, II e III?

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    Cálculo de Integrais Triplas sobre Regiões

     

    Como no caso de integrias duplas para calcular integrais triplas usamos as integrais iteradas.. 

    Vamos ver como fica a integral tripla no caso de S ser do tipo I, II ou III.

    1. Região Tipo I. Seja S do tipo

    onde u1 e u2 são funções contínuas em D (D é a projeção de S  no plano xy ), e D  é como as regiões

    vistas anteriormente em Integrais Duplas. Então

     Assim usando integração iterada, dependendo da região D podemos ter

    ou

    2. Regiões Tipo II. Seja S do tipo

    onde v 1  e v 2 são funções contínuas em D ( D é a projeção de S  no plano yz ) e D é como as regiões

    vistas anteriormente em Integrais Duplas. Então

    Da mesma forma que antes, podemos ter dois tipos de integração, dependendo da forma da região D.

    ou

    3. Regiões Tipo III. Seja S do tipo

    onde w 1e w 2 são funções contínuas em D onde D é a projeção de S  no plano xz. Também nesse caso

    E pode-se ter dois tipos de integração, dependendo da forma da região D.

    http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3081http://c/Users/Cristina/Meus%20documentos/Disciplinas/MAT2455_Calculo3/1s2010/2-inttripla/2-3-inttripla_calculo/2-3-inttripla_calculo.html

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    ou

    Melhor mesmo é ver um exemplo. 

    Exemplo.  Calcule onde S é a região limitada pela parábola y = x2 + z2  e pelo

    plano y = 4.

    Lembre sempre que S é o sólido “cheio”.

    Pode-se descrever esta região de várias

    formas. Projetando S no plano xy temos a

    região D limitada pela parábola y = x2(z = 0) e a

    reta y = 4.

    E se (x,y) está nesta região D então

    E assim

    Entretanto a integral que temos que calcular é um pouco complicada (vai ter que fazer mudança de

    variável). Vamos tentar escapar disto vendo S de outra maneira. Projetando S no plano xz temos um

    disco D de raio 2 e centro na origem (pois encontramos a intersecção fazendo x2 + z2 = 4). Para (x,z)

    em D temos que y varia entre v 1(x,z) = x2 + z2 e v 2(x,z) = 4.

      Então fazendo a mudança para coordenadas polares   temos 

    http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3072

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    Importante: Na integração dupla ou tripla cada vez que se integra com relação a uma

    determinada variável ela deve "desaparecer", pois estamos fazendo uma integral definida, e o

    que sobra é apenas função das variáveis restantes. O resultado de integração dupla ou tripla é

    sempre um número.

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    Cálculo de Integrais TriplasExemplos

    Exemplo 1.  (questão de prova) Calcule a integral

    sendo S o sólido limitado pelos gráficos de y = x3  , x = y2 e y = z2.

    Solução: 

     Assim,

     

    Exemplo 2. (da lista) Calcule

    onde D é limitada pelos planos x = 0 , y = 0, z = 0 , y + z = 1 e x + z = 1

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    Solução.

     A região de integração D pode ser visualizada como a união de duas pirâmides, descritas por

    Portanto,

    OBS 1: Queremos a integral tripla de f(x,y,z) = z, logo não se trata de calcular o volume de D. Como a

    função é positiva no domínio podemos pensar que essa integral representa a Massa de D quando essa

    função for a densidade.

    OBS 2: Cuidado com simplificação na integral dupla ou tripla. A região de integração pode ser 

    simétrica em relação a um dos eixos a a retas, mas a função pode não ser "par". Pense num sólido

    simétrico, mas com densidade diferente em cada parte da região. A Massa Total não é o dobro da

    Massa em cada região.

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    Aplicações de Integrais Triplas

     

    1. Massa e Volume

      De forma análoga ao que fizemos para lâminas planas podemos calcular a massa de sólidos usando

    integrais triplas. Considere um sólido S que pode ser descrito como uma região S limitada do R3 cujo bordo

    tem conteúdo nulo (do Tipo I, II ou III, por exemplo), e tal que a densidade de massa do material é uma

    função ( x,y,z ) positiva e contínua em S. Então a massa de S é definida por 

      Se a densidade é constantemente 1, então a massa coincide com o volume de S, que é definido por 

     

    Note que em particular se D é uma região plana com bordo de conteúdo nulo e se f (x,y) é uma funçào

    contínua e positiva em D, e se

    então

    ou seja

    como já tinhamos anteriormente.

      2. Centro de Massa

      De forma análoga ao que fizemos para lâminas planas podemos calcular o centro de massa de sólidosusando integrais triplas. Se S é como antes e( x,y,z ) é uma função positiva e contínua em S que representa a

    densidade do material então o centro de massa de S é um ponto de coordenadas

      onde

      3. Momento de Inércia

      Também podemos definir os momentos de inércia de um sólido S com relação aos eixos coordenados. Asfórmulas de cada momento de inércia em relação aos eixos x, y e z , respectivamente são

     

    Exercício:  Seja S o sólido limitado pela "calha" x = y2 e pelos planos x = z, z = 0 e x = 1.

    (a) Calcule o volume de S

    (b) Encontre o centro de massa de S considerando que a densidade é constante.

    Solução: A região S é

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    Projetando S no plano xy temos a região

    Então

    (a) O volume de S é

    (b) Como a densidade é constante k  em S (isto é, (x,y,z) = k) a massa de S será simplesmente k.V(S). Como

    a região e a função (x,y,z) sãosimétricas com relação ao plano xz então a segunda coordenada do centro de

    massa é 0. Calculado as outras temos que

    que não dependem de k.

      OBS: Veja mais sobre isso em 15.7 de [S] e IV.6 de [BCHS]. E faça os exercícios da Lista 1.

    http://grauna.ime.usp.br/mod/resource/view.php?id=3123

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    Mudança de Variáveis em Integrais Triplas

     

    Como nas integrais duplas, podemos fazer mudança de variáveis em integrais triplas para facilitar os

    cálculos.

    Uma mudança de coordenadas em R

    3

      é uma transformação j de um aberto do R

    3

      em R

    3

      , queé contínua e injetora. Por exemplo,

    φ(u,v,w) = (x(u,v,w), y(u,v,w), z(x,y,w)) = (u + w, v - w , u - v )

    é uma mudança de coordenadas. O Jacobiano de φ é

      Numa transformação o volume de sólidos nem sempre é presenvado. Por isso quando fazemos uma

    mudança de variáveis temos que fazer uma correção para manter a ingualdade na integração.   Vale o

    seguinte

    TEOREMA. Seja j uma transformação de uma aberto W de R3 em R3  de classe C1 onde φ(u,v, w)

    = (x(u,v,w), y(u,v,w), z(x,y,w)). Seja Duvw subconjunto de W limitado, com bordo de conteúdo nulo

    também em W, eDxyz = φ(Duvw). Suponha que j é injetora e o Jacobiano Jj(u,v,w) não é nulo o

    interior de Duvw. Se f é contínua em Dxy então

    onde Dxyz  é a região de integração descrita nas variáveis x,y e z, Duvw , a mesma região descrita comas variávies u,v e w .

    Atenção: na fórmula aparece o módulo do Jacobiano!

     

    Exemplo. Calcule

     

    para D limitada por: x + y + z = 1, x + y + z = 2, x + y - z = 0, x + y - z = 2, x - y - z = 1, x - y - z= 2.

    Solução. Note que D é uma região limitada por planos. Fazendo u = x + y + z, v = x + y - z e w = x - y -

    z transformamos a região D no paralelepípedo [1,2] × [0,2] × [1,2] no sistema de coordenadas Ouvw .

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    Então

     

    Como usamos o módulo do Jacobiano temos

    As mudanças de variáveis mais comuns são as mudanças por  coordenadas cilíndricas 

    e coordenadas esféricas. Veja em outros textos detalhes sobre essas mudanças decoordenadas .

    Leia mais em 15.9 de [S] e III.5 e IV.5 de [BCHS].

    http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3086http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3087

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    Mudança de Variáveis em Integrais Triplas Coordenadas Cilíndricas

     

    Um ponto P do espaço pode ser descrito em coordenadas cartesianas (x,y,z), mas também pode ser 

    descrito com coordenadas chamadascilíndricas.

    Dado um sistema de coordenadas cartesiano e um ponto P de coordenadas (x,y,z) , podemosdescrever (x,y) em coordenadas polares, no plano Oxy. Então temos uma terna (r,θ,z) onde x = r 

    cos θ e y = r sen θ e z = z 

    Para obter todos os ponto do espaço basta variar θ 

    entre 0 2π tomar r real positivo e z qualquer 

    número real.

    Nesse caso, se fazemos essa mudança de variáveis, como Jφ (r,θ  z) = r (verifique! )  então da

    fórmula geral de mudança de variável em integral tripla temos

    Exemplo 1:  Calcule onde S é a região interior ao cone z2  = x2 + y2 para z entre

    0 e 2.

    Note que

    onde D é o disco de centro 0 e raio 2. Em coordenadas cilíndricas temos

    http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3072http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3085

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    Exemplo 2 (questão da 1ª prova de 2000). Seja D a região do espaço interior ao cilindro x2  + y2  = 16

    e exterior ao cilindro x2  + y2  - 4x = 0 , compreendida entre os planos z = 0 e z = y + 6. Calcule

    Solução: A região D é

    Para calcular a integral percebemos

    que a região D é mais facilmente descrita em coordenadas cilindricas. Contudo temos que separá-la

    em duas regiões. Considere D1  a região compreendida entre os planos e interior ao cilindro maior 

    e D2  a região compreendida entre os planos e interior ao cilindro menor. Usando coordenadas

    cilíndricas temos as seguintes parametrizações (em r,   , z)

    Então

     

    = 0  

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    Portanto

    OBS:  O nome coordenadas cilíndricas vem do fato de que um retângulo em 0rθz é transformado em

    um setor de cilindro. Verifique que se 0 < r

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    Mudança de Variáveis em Integrais Triplas Coordenadas Esféricas

      Um ponto P do espaço pode ser descrito em coordenadas cartesianas (x,y,z), mas também pode ser descrito

    com coordenadas chamadas esféricas.

      Dado um sistema de coordenadas cartesiano e um ponto P de coordenadas (x,y,z) , podemos descrever (x,y,z)

    usando variáveis r , θ , φ , onde r é o comprimento do segmento OP, φ é o ângulo que este forma com o eixoOz, e θ representa o ângulo que a projeção de OP forma com o eixo Ox. Então

     

    x = r sen φ cos θ  y = r sen φ sen θ  z = r cos φ .

      Um  ponto P do espaço pode ser escrito tanto em coordenadas cartesianas (x,y,z) como em coordenadas

    esféricas  (r,θ, φ) . Para representar todos os pontos fazemos r qualquer real positivo, θ variando de 0 a 2π e φ de

    0 a π.

    Note que no sistema de coordenadas cartesianas uma esfera de raio a  é o conjunto

    que em coordenadas esféricas passa a ser o paralelepípedo [0,a]×[0,π]×[0,2π]. Por isso essas coordenadas sãochamadas de esféricas. Note que um retângulo no sistema Orθφ se transforma num setor esférico em Oxyz..

     

    Se queremos calcular uma integral tripla sobre uma região S que é mais facilmente descrita em coordenadas

    esféricas devemos fazer uma mudança de variável. Como vimos, no caso geral temos que

    No caso de coordenadas esféricas temos que o Jacobiano é r 2sen φ.

    http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3085

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    E então

      Como no caso das integrais duplas o Jacobiano fará a correção necessária para manter a igualdade dasintegrais, já que o volume por esta mudança não é preservado. Uma esfera de raio a  é o conjunto

    que em coordenadas esféricas passa a ser o paralelepípedo [0,a]×[0,π]×[0,2π]. Sabemos que o volume da esfera

    é 4πa3/3, mas o volume do paralelepípedo é 2π2a . Logo o volume não é preservado através da mudança de

    coordenadas esféricas. Quando definimos integral fizemos partições do domínio de integração. Vamos particionar 

    o domínio em pequenos setores esféricos. Gostariamos de estabelecer alguma relação entre o volume de um

    “pedaço” da esfera, onde

    Considerando que Δr Δf Δθ são as variações das respectivas coordenadas e supondo que são pequenos temos

    que o volume da região é aproximadamente r 2senφΔrΔθΔφ (e não apenas ΔrΔθΔφ). Portanto é razoável que este

    seja o fator de correção quando se passa de coordenadas cartesianas para esféricas numa integração.

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    Curvas

      Seja γ (gamma) uma aplicação de um intervalo I da reta em R2 ou R3. Então para cada valor de t  em I temos vetores γ (t ) = ( x (t ),y (t )) ou γ (t ) = ( x (t ),y (t ), z (t )). A imagem de γ (ou traço de γ ), que éo conjunto dos pontos γ(t ) = ( x (t ),y (t )) ou γ(t ) = ( x (t ),y (t ), z (t )), onde t pertence a I, é chamadode curva. Muito frequentemente se confunde o traço da curva com a parametrização, chamando tudo

    de "curva".  Uma curva pode ser vista como a trajetória de uma partícula no plano ou no espaço num intervalode tempo I. Nesse caso, γ(t ) = ( x (t ),y (t ), z (t )) é a posição da partícula no instante t .

      Um curva γ:[a,b] ---> R2 ou R3 é dita fechada se γ(a) = γ(b). É chamada de simples se não tem autointersecção, isto é, se t1, t2 pertencem a ]a,b[ e são diferentes, então γ(t1) é diferente de γ(t2).

    Frequentemente nos referimos a "curva" tanto o traço como a função γ(t), que é chamadade parametrização da curva. As funções x (t ), y (t ) e z (t ) são as chamadas de parametrizações de γ.

    Nesse sentido uma curva, pode ter várias parametrizações. Por exemplo, a curva plana formada

    pelos pontos (x,y) tais que x2 + y2 = 1 pode ser parametrizada de várias maneiras:(1) x (t) = cos(t) e y (t) = sen(t), onde t varia de 0 a 2π ;(2) x (t) = sen(2t) , y (t) = cos(2t), onde t varia de 0 a π .

      Se as funções x (t ),y (t ) e z (t ) são contínuas, dizemos que g é contínua; se x (t ), y (t ) e z (t ) sãoderiváveis, dizemos que g é derivável. Nesse caso, γ '( t ) = ( x' (t ), y' (t ), z' (t )) é chamado de vetor tangente a curva no ponto γ(t ). Dizemos que uma curva é “lisa”, se γ' é contínua e se γ'(t) édiferente do vetor nulo no interior de I, e se γ é fechada, γ '(a) = γ '(b).

    Se o intervalo I é união finita de intervalos I1 , I2 ,...In e se a curva γ é contínua e lisa em cada intervaloIk , então dizemos que é lisa por partes. 

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    Exemplos. 

    1. Uma parametrização da curva dada pela intersecção do cilindro x2 + y2 = 1 e o plano y + z = 2 éx(t) = cos(t) , y(t) = sen(t) e z(t) = 2-sen(t) onde t varia de 0 a 2 pi .

    2. A curva dada por x(t) = t cos(t) , y(t) = t sen(t) e z(t) = t está contida no cone z2 = x2 + y2

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    Reta Tangente de uma Curva

    Considere uma curva g derivável e que o vetor tangente g'(t0) é não nulo. Entâo no ponto g(t0)

    podemos definir uma reta tangente. A reta tangente tem equação (x,y) = g(t 0) + λ g'(t0) com λ em R.

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    Curvas Planas

    Exemplo 1. Todo gráfico de uma função f de J em R é uma curva plana. Uma parametrização é g(t) = (t, f(t)).

    Por exemplo, o gráfico de y = f(x) = x^2 onde t varia de [-1, 1] pode ser parametrizada por g(t) = (t, t^2).

    Note que o ponto inicial é g(-1) = (-1, 1) e o ponto final é g(1) = (1,1).

     Ao se dar uma paramentrização se dá um sentido de percurso a curva.

     Porém g(t) = (-t, t^2) com t em [-1,1] tem como imagem o gráfico de f(x)=x^2 com x em [-1,1] mas noteque g(-1) = (1,1) e g(1) = (-1,1). Ou seja, a curva é percorrida em sentido oposto.

    Exemplo 2. A Ciclóide. Esta curva é a trajetória de um ponto fixo de uma circunferência quando esta rola ao longo de umareta, tangenciando.

    Para obter uma parametrização de uma ciclóide tome uma circunferência de raio a que rola ao longodo eixo x e fixe um ponto P da circunferência. Se a circunferência tangencia o eixo x em A vamosdeterminar as coordenadas de P = (x,y) em função do ângulo PÔB , que chamaremos de t, quando testa entre 0 e 2pi.Note que OA = a = OP. Então x = a t - a sen t. E y = a - a cos t.

    Como exercício repita o procedimento para t entre pi/2 e pi e depois para t entre pi e 2pi. Vocêconcluirá que uma parametrização da ciclóide é g(t) = (a(t-sent), a(1-cos t )).

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    Veja no material uma animação que ajuda a entender a construção dessa curva.

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    A Cicloide

    Um tipo de curva plana importante é a ciclóide. Ela é ob tida pela trajetória de um ponto P fixo de uma circunferência derola ao longo de uma reta (eixo x). Criamos uma animação para você ver como a curva é construída.Com o cursor você

    de a.

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    A Elipse

    Parametrização da Elipse

    Uma elipse é uma curva plana. è uma das cônicas. É o lugar geométrico dos pontos P do plano cuja somadas distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) é uma contante, que denotamos por 2a > 0.

    Para obter a equação mais simples par auma elipse coloca-se os focos no eixo x, simétricos a origem.Denotamos F1 = (-c,0) e F2 = (c,0). Obtém-se a equação

    onde a ≥ b > 0 e b2 = a2 - c2. Note que as intersecções com os eixos x e y são, respectivamente (-a,0), (a,0) e(0,-b), (0,b).

    Portanto uma parametrização dessa curva é x(t) = a cos(t) e y(t) = b sen(t), para t emtre 0 e 2π. De fato

    Com o cursor mova o parâmetro t e verifique que t não representa o ângulo entre o eixo Ox  e o segmentoOP. Ou use o botão inferior esquerdo para ver a animação

    http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%20%3D%201http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cfrac%7Bx%28t%29%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7By%28t%29%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Ba%5E2cos%5E2%28t%29%7D%7Ba%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bb%5E2sen%5E2%28t%29%7D%7Bb%5E2%7D%20%3D%201.

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    Integral de Linha de Campo Escalar 

     

    Definiremos aqui a chamada Integral de Linha  de uma função f  a valores reais. Esta integral é

    semelhante a integral de Riemann de funções que foi vista no Cálculo 1. A diferença é que em vez de

    fazermos a integração sobre um intervalo faremos a integração sobre uma curva g . Este tipo de

    integral foi desenvolvida no início do século 19 para resolver problemas envolvendo escoamento de

    fluidos, eletricidade, magnetismo etc.

      Vamos começar tomando uma curva γ(t ) = ( x (t ),y (t )) onde t  pertence ao intervalo [a,b]. Vamos

    assumir que a curva é “lisa”, isto é, que γ'(t) é contínua e diferente do vetor nulo (e γ'(a)=γ'(b) se for 

    fechada).

      Particionando o intervalo [a,b] em k subintervalos [t i -1  , t i] temos os correspondentes pontos na

    curva Pi = γ ( x (t i),y (t i)). A imagem do intervalo [ti -1  , ti] é o pedaço da curva (arco) que vai de Pi-1 a Pi  .

    Vamos denotar por Δsi o comprimento de cada um desses arcos. A curva V fica dividida em sub-arcos

    de comprimentos Δs1, Δs2, ... Δsn  .

    Mas com arcos bem pequenos podemos dizer que . Portanto para obter o

    comprimento da curva basta somar todos os comprimentos dos arcos. fazendo o limite para Δti  vai a

    zero temos uma integral. O comprimento da curva é então dado por 

      Vamos generalizar. Suponha que γ representa um arame fino com densidade de massa variável

    dada por uma função f positiva e contínua definida num aberto que contem o traço de γ . Desejamos

    calcular a massa total do arame.

    Considere a função , n = 2 ou 3, isto é, o domínio D de f   é um subconjunto do plano

    ou do espaço e a imagem de f é um subconjunto da reta real. Suponha que o domínio Dcontém a

    curva γ (lembre que isto quer dizer que a imagem γ(t )=( x (t ),y (t )) está contido em D, para todo t em

    [a,b]).

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      Calculando f   em Pi , multiplicando pelos comprimentos do arco Δsi  e somando tudo temos uma

    aproximação da massa total.

      Fazendo o limite para partições de forma que os intervalos [ti -1  , ti] sejam de tamanho cada vez

    menores devemos melhorar a aproximação. Note que a soma acima é tipo uma Soma de Riemann.

    Então a massa procurada deve ser esse limite (quando existir). Temos então a seguinte definição.

    Definição: A integral de linha de f ao longo de γ é

    quando tal limite existe. Chamada de integral de linha de um campo escalar (que é a função f ). 

    Mas o comprimento de um pequeno arco da curva é aproximadamente o tamanho do vetor 

    tangente, assim lembrando que

    ou

    Se f   for uma função contínua o limite acima sempre existe. Então a integral de linha de f   sobre γ é

      Se  f   representa a densidade de massa, a integral acima nos dá a massa total do arame.

    Exercício importante: Aparentemente a definição acima depende da particular parametrização da

    curva. Mas seria estranho já que a massa total não deve depender na parametrização, mas apenas do

    formato da curva. Prove que a integral de linha não depende da parametrização de γ .

      Note que comprimento de uma curva é que uma integral de linha pois

      Se temos uma curva “lisa por partes”, isto é, se γ é a união finita decurvas lisas γ1  , γ2  , ... γn onde o

    ponto inicial de γi+1 coincide com o ponto final de γi  , então definimos a integral de f   ao longo de γ por 

    http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3089

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    Exercício. Denota-se por - γ a curva que tem os mesmo pontos de g mas com orientação contrária.

    Mostre que integrais de linha

    são iguais.

    Exercícios: Faça os exercícios 39 a 42 da Lista 1.

    http://grauna.ime.usp.br/mod/resource/view.php?id=3123

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    Integral de Linha de Campo Escalar  Exemplos e Aplicações

     

    Algumas Aplicações 

    Considere um cabo delgado entortado em forma de uma curva γ de R2  (ou R3). Se a densidade

    linear é uma função contínua δ(x,y) (ou δ(x,y,z)) a massa e o centro de massa do cabo podem ser calculadas.

      Suponha que γ(t) = (x(t),y(t)) é uma curva lisa onde t percorre o intervalo 

    [a,b].

    O comprimento do cabo é o comprimento da curva γ e é a integral

      A massa do cabo M  é

      O centro de massa do cabo é definido como sendo o ponto de coordenadas

      Alguns Exemplos

      1. Calcule onde g é a hélice circular de equação x(t) = cos t , y(t) = sin t e z(t)

    = t , para t entre 0 e 2 p .

      Solução:

      2. Seja um cabo que é dobrado na forma de um semi-círculo x2 + y2  = 4 para x positivo. Se a

    densidade linear é uma constante K, determine a massa e o centro de massa do cabo.

      Solução: O traço da curva x2 + y2  = 4 que nos dá o cabo está no semi- plano direito e é uma semi-circunferência, pois x é positivo.

    Parametrizando a curva temos γ(t) = (2 cos t , 2 sen t ) para t entre -

    π/2 e π/2.

    Derivando temoso vetor tangente a curva γ : γ'(t) = (-2sen t , 2cos t )

    então |γ'(t)| = 2. Portanto, sendo a densidade constante K, temos

    que:

    Massa: 

    Centro de massa:

    http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3094http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3094

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    Por simetria temos que a coordenada y do cntro de massa é 0 (verifique!). Portanto o centro de massa

    é, (π/4, 0).

    OBS: Como a densidade é constante e a curva é simétrica com relação ao eixo x nem pecisariamoscalcular para saber que o centro de massa do cabo estaria do eixo x. Mas cuidado:  se a densidade não

    for constante isto pode não ocorrer.

    ATENÇÃO: Para aprender bem estes conceitos e obter um bom aproveitamento os textos na WEBacima não é suficiente. Apresentamos aqui apenas um resumo da teoria com alguns exercícios. Você

    deve estudar pelo livro ( por exemplo [S] ) e fazer os exercícios da Lista 2.

    http://grauna.ime.usp.br/mod/resource/view.php?id=3194

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    Campos Vetoriais

     

    O "vento" possui uma direção, um sentido e uma intensidade. Assim uma boa representação do

    "vento" em cada instante e em cada ponto do espaço é um vetor. Este é um típico exemplo de

    um campo de vetores.Outro exemplo é um campo de força: a cada ponto associa-se um vetor "força",

    que tem intensidade, direção e sentido.

      Em linguagem matemática um campo de vetores do R2, ou do R3, é uma função que associa a cada

    ponto ( x,y ), ou ( x,y,z ), de uma região D  , umvetor do R2, ou do R3  . Podemos escrever 

    onde P e Q são funções de D no conjunto dos números reais R. Ouescrevemos

    onde P, Q e R são funções de D em no conjunto dos números reais R. 

    Um campo é dito  contínuo  se as funções P, Q e R são contínuas. E de classe C1  se P, Q e R

    são C1.

      São muitos os exemplos de campos vetoriais, principalmente em Física. Um tipo importante de

    campo é o campo gradiente  e os  campos conservativos. Associado a um campo temos outro

    campo chamado de rotacional.Também pode-se calcular o divergente de um campo, obtendo-se

    uma função. Clique em cada link  e recorde.

    http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7D%28x%2Cy%29%20%3D%20P%28x%2Cy%29%20%5Cvec%7Bi%7D%20%2B%20Q%28x%2Cy%29%20%5Cvec%7Bj%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7D%28x%2Cy%29%20%3D%20P%28x%2Cy%29%20%5Cvec%7Bi%7D%20%2B%20Q%28x%2Cy%29%20%5Cvec%7Bj%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7D%28x%2Cy%29%20%3D%20P%28x%2Cy%29%20%5Cvec%7Bi%7D%20%2B%20Q%28x%2Cy%29%20%5Cvec%7Bj%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7D%28x%2Cy%29%20%3D%20P%28x%2Cy%29%20%5Cvec%7Bi%7D%20%2B%20Q%28x%2Cy%29%20%5Cvec%7Bj%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3098http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7D%28x%2Cy%2Cz%29%20%3D%20P%28x%2Cy%2Cz%29%20%5Cvec%7Bi%7D%20%2B%20Q%28x%2Cy%2Cz%29%20%5Cvec%7Bj%7D%20%2B%20R%28x%2Cy%2Cz%29%20%5Cvec%7Bk%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3099http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3097http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7D%28x%2Cy%29%20%3D%20P%28x%2Cy%29%20%5Cvec%7Bi%7D%20%2B%20Q%28x%2Cy%29%20%5Cvec%7Bj%7D

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    O Campo Gradiente - Campos Conservativos

      Dada uma função f  de D subconjunto do R2 (ou R3) a valores em R (conjunto dos números reais)com derivadas parciais, o campo gradiente de f   é o campo que a cada ponto ( x ,y ) (ou ( x ,y ,z ))de D associa-se o vetor 

    ou

    .Obs: É comum e prática a notação

    com versão análoga para o caso R2 .

    Um campo de vetores é chamado campo conservativo  se ele é umcampo gradiente de

    alguma função f , isto é, se existe uma função f   tal que

    .

    Nesta situação chamamos de f potencial de  .

    Um exemplo: Da Lei de Gravitação de Newton a intensidade da força gravitacional entre dois objetos

    de massa M e m é F = mMg/r 2, onde r é a distância entre os objetos e g é a constante gravitacional.

    Vamos assumir que um objeto de massa M está localizado na origem de R3 (por exemplo M pode ser a massa da Terra e a origem seu centro). Se o objeto de massa m está no ponto (x,y,z) então a forçagravitacional que está agindo em m é

    Temos aqui um exemplo importante de campo vetorial, chamado de campo gravitacional. Este é umexemplo de campo conservativo pois

    é um potencial para . ( verifique !)

    Para pensar: Todo campo é conservativo? Quando o campo é conservativo só existe um potencialpara este campo? Como são todos os pontenciais de um campo conservativo?

    Essas questões serão discutidas em outros textos.

    http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7D%20%3D%20%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%20fhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7D%20%3D%20%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%20fhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7D

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    Rotacional

     

    Dado um campo vetorial

    definido em D, subconjunto do R3  , tal que P, Q e R possuam derivadas parciais em D, então o

    rotacional  de é

    .

    que é um campo de vetores defindo em D. Simbolicamente podemos denotá-lo como um “produto

    vetorial” ou o determinante de uma "matriz":

    .

    Se

    então

    .

    Um exercício:  Tomando uma função  fde classe C2  , verifique que

    http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=rot%20%28%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%20f%20%29%20%3D%20%5Cvec%7B0%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=rot%20%5Cvec%7BF%7D%20%3D%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20Q%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20-%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20P%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%5Cright%29%20%5Cvec%7Bk%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7D%28x%2Cy%29%20%3D%20P%28x%2Cy%29%20%5Cvec%7Bi%7D%20%2B%20Q%28x%2Cy%29%20%5Cvec%7Bj%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=rot%20%28%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%20f%20%29%20%3D%20%5Cvec%7B0%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7D%28x%2Cy%2Cz%29%20%3D%20P%28x%2Cy%2Cz%29%20%5Cvec%7Bi%7D%20%2B%20Q%28x%2Cy%2Cz%29%20%5Cvec%7Bj%7D%20%2B%20R%28x%2Cy%2Cz%29%20%5Cvec%7Bk%7D

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    Divergente

      Dado um campo vetorial definido em D,

    subconjunto do R2  , tal que P   e Q possuam derivadas parciais em D, então o divergente  de é

    .

      Analogamente, se

    é tal que as funções P, Q e R possuam derivadas parciais o divergente  de é

    Note que o divergente é uma função de  D a valores em R (conjunto dos números reais).

    Simbolicamente o divergente pode ser expresso como o “produto interno”

    Um exercício: Se é um campo de classe C2 , isto é, as funções P, Q e R são de classe C2  ,

    verifique que

    http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=div%20%28%20rot%20%5Cvec%7BF%7D%29%20%3D%200http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=div%20%28%20rot%20%5Cvec%7BF%7D%29%20%3D%200http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=div%20%28%20rot%20%5Cvec%7BF%7D%29%20%3D%200http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=div%5Cvec%7BF%7D%20%3D%20%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%20.%20%5Cvec%7BF%7D%20%3D%20%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%20%5Cright%29%20.%20%28P%2CQ%2CR%29.%20http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7D%28x%2Cy%29%20%3D%20P%28x%2Cy%29%20%5Cvec%7Bi%7D%20%2B%20Q%28x%2Cy%29%20%5Cvec%7Bj%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7D%28x%2Cy%2Cz%29%20%3D%20P%28x%2Cy%2Cz%29%20%5Cvec%7Bi%7D%20%2B%20Q%28x%2Cy%2Cz%29%20%5Cvec%7Bj%7D%20%2B%20R%28x%2Cy%2Cz%29%20%5Cvec%7Bk%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=div%5Cvec%7BF%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20P%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20Q%7D%7B%5Cpartial%20y%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=div%20%28%20rot%20%5Cvec%7BF%7D%29%20%3D%200http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=div%5Cvec%7BF%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20P%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20Q%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20R%7D%7B%5Cpartial%20z%7D.http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7D

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    Integral de Linha de Campos Vetoriais

      Considere uma partícula que se move no plano ao longo da curva g(t ) = ( x (t ),y (t )), onde t  pertence ao

    intervalo [a,b], isto é, em cada instante t   a partícula encontra-se na posição g(t ). Suponha que ela está sob a

    ação de um campo de forças

      Queremos calcular o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca de γ(a) até γ(b).

    Se fosse uma força constante e se a partícula se deslocasse sob um segmento de reta AB então o trabalho

    W é dado pelo produto escalar 

      .

    Dividindo o intervalo [a,b] em pequenos subintervalos [t i-1 , t i]

    criamos pequenos arcos na curva γ(t ): γ([t i-1 ,t i]) . Se estamoscom intervalos pequenos o deslocamento de Ai-1 = γ(t i-1) a Ai =

    γ(t i) é aproximadamente um deslocamento ao longo do

    segmento Ai-1 Ai  .

    Se também a variação de ao longo do arco γ([t i-1 , t i]) for 

    muito pequena podemos pensar que é quase constante. Assim

    o trabalho neste trecho será aproximadamente

    onde Δ x i = x (t i) - x (t i-1) e Δy i = y (t i) - y (t i-1) . Aplicando o TVM podemos dizer que o trabalho total é

      Assim uma definição razoável de trabalho é

      Pode-se fazer raciocínio análogo para o caso de R 3. 

    Definição:  Sejam γ (t ) = ( x (t ),y (t ))  (ou γ (t ) = ( x (t ),y (t ),z (t )) ) curva lisa por partes e campo contínuo cujo

    domínio contém a curva. A integral de linha de ao longo de γ  é 

    http://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7D%28x%2Cy%29%20%3D%20P%28x%2Cy%29%20%5Cvec%7Bi%7D%20%2B%20Q%28x%2Cy%29%20%5Cvec%7Bj%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=W%20%3D%20%5Cvec%7BF%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7BAB%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cvec%7BF%7Dhttp://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3096

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    No caso R 2 fica

    No caso R 3 fica