Apostila MAT2455 - Turma Web - Daniel - Completo - Grifado

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  • 8/19/2019 Apostila MAT2455 - Turma Web - Daniel - Completo - Grifado

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    Integral Dupla - Introdução

      Como calcular o volume de sólidos? Para certos sólidos, como

    pirâmides, cilindros, esferas, temos fórmulas que permitem calcular 

    seus volumes. Mas por que valem tais fórmulas?

    Matemáticos gregos, como Arquimedes(287-212 a.C.) se

    dedicaram a estudar problemas relacionados com o cálculo de áreas e

    volumes. Há mais de dois milênios atrás esses matemáticos

    calculavam áreas e volumes de figuras geométricas por 

    procedimentos como os do Cálculo Integral. Usava-se o processo de

    "exaustão". Por exemplo, para se obter a área de um círculo inscreve-

    se nele polígonos regulares cuja área é facilmente

    calculável; aumentando-se o número de lados obtém-se aproximações

    cada vez melhores. Obtém-se então a área do círculo por um processo de limite das áreas dos

    polígonos. Esse processo era também usado para calcular área de outras regiões, como a região

    interior a um arco de parábola. Com as mesmas idéias do cálculo de áreas os matemáticos gregos

    também tratavam do volume de sólidos.

     As idéias básicas do Cálculo Integral estavam lá presentes. Contudo essas idéias ficaram

    escondidas ou perdidas, pois os matemáticos gregos descreviam tudo geometricamente e não por 

    meio de fórmulas numéricas como fazemos hoje. Além disso, esse método funcionava para

    particulares regiões e uma generalização só poderia ser possível com uma nova formulação do

    problema. Somente muito mais tarde, no século XVII, com uma simblogia mais desenvolvida e com o

    surgimento da moderna notação da Geometria Analítica, foi possível criar métodos sistemáticos para o

    tratamento de áreas e volumes.

    Por volta de 1820, o matemático francês Augustin-Louis Cauchy definiu integral em termos de

    somas, mas ainda de forma incompleta. Na época problemas de Física como o da propagação do

    calor motivaram o desenvolvimento de teorias matemáticas. Por volta de 1854 o matemático

    alemão  Bernhard Riemann  fez um estudo aprofundado da integral e contribuiu de forma decisiva para

    o desenvolvimento da teoria. tanto que até hoje as somas usadas para definir a integral são chamadas

    de Somas de Riemann, bem como a própria integral leva seu nome.

    Lembremos que para funções de uma variável a integral é definida como o limite de somas:

      A idéia básica da integral, como limite de somas, pode ser estendida para funções definidas em

    regiões do plano e do espaço: surgem assim as integrais duplas e triplas, respectivamente. E tais

    integrais estão associadas a cálculos de volume, massa etc.

    Nos textos trataremos, primeiramente, de definir a integral dupla de funções de duas variáveis,

    utilizando como motivação o cálculo de volume. Veremos a seguir propriedades e resultados básicos. E, é claro, métodos para o cálculo de integrais duplas.

    http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3068 http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/riemann.htm http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/arquimedes.htm http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/arquimedes.htm http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/riemann.htm http://grauna.ime.usp.br/mod/page/view.php?id=3068 http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo http://media/CRISTINA/Disciplinas/mat2455/1s2008/1-intdupla/1-2-intdupla_riemann/1-2-intdupla_riemann.html

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    Integral Dupla - Definição

    Somas de Riemann

      Como sabemos, a integral de funções de uma variável pode ser utilizada para o cálculo de áreas de

    regiões planas. Com a integral dupla poderemos calcular volume de sólidos. Para motivar a definição

    de integral dupla vamos tentar obter o volume de um sólido particular, usando a mesma idéia do

    cálculo de área: fazer aproximações.

    Considere uma função de duas variáveis f ( x,y ) definida num retângulo fechado R =[a,b]x[c,d] . Suponha

    que f ( x,y ) é positiva para todo ( x,y ) em R. Vamos considerar a região abaixo do gráfico de uma função f ( x,y ).

     

    O objetivo é calcular o volume do sólido

    Para isso vamos fazer aproximações usando paralelepípedos. Vamos dividir o retângulo R   em

    pequenos retângulos R i   . Chamamos essa divisão de “partição” de R .

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      Para cada i = 1,... n, escolha um ponto qualquer ( x i ,y i ) de R i   . Considere o paralelepípedo de

    base R i   e altura f ( x i ,y i ) , cujo volume é f ( x i ,y i )A(R i ), onde A(R i ) indica a área do retângulo R i  . Fazendo

    a soma dos volumes dos paralelepípedos temos

      Essa soma é conhecida como Soma de Riemann. Se os retângulos R i  forem “pequenos” o suficiente

    este número deve ser uma boa aproximação do volume procurado. Assim nossa intuição nos diz que o

    volume de S  pode ser encontrado fazendo o limite da soma acima, quando os R i 's ficam "pequenos" ,

    ou melhor, quando a área dos R i 's vai para zero. Em linguagem matemática, tomando a diagonal dos

    retângulos d (R i ) e fazendo max {d (R i)} ir para zero os retângulos ficam pequenos.

    Mas L  depende, em princípio, da escolha do ponto ( x i ,y i ) de R i   . Desejamos que o valor do volume

    de um sólido não dependa dessa escolha. Então o volume será esse limite, se ele for o mesmopara

    qualquer escolha de ( x i ,y i ) em R i . Logo,uma boa definição para o volume parece ser

    se o limite existir e for o mesmo para toda escolha de ( x i ,y i ) em R i , i = 1,... n.

      Queremos que a integral dupla de uma função positiva calcule o volume de S. Temos, então, a

    seguinte definição

    DEFINIÇÃO: A integral dupla de f  sobre R  é

    quando o limite existe e é o mesmo para toda escolha de ( x i ,y i ) em R i , i = 1,... n. Neste caso se diz que f  é integrável em R.

      Então, se a função f for positiva e integrável, o volume de S  é definido como sendo

     

    http://grauna.ime.usp.br/Meus%20documentos/Disciplinas/Meus%20documentos/Disciplinas/MAT2455_Calculo3/1s2008/1-intdupla/1-2-intdupla_riemann/Riemann.html

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      Também a integral é denotada por , já que a área do retângulo R i é o produto

    das dimensões dos lados que podemos escrever da forma .

    Exemplo: Seja f ( x ,y ) = K constante. E seja R   = [a,b] x [c ,d ]. Vamos mostrar que f é integrável e calcula a integral dupla de f   em R . Tome uma partição P = {R 1  , R 2 , ... R n} de R . Para cada i =1,... n,

    escolha um ponto qualquer ( x i ,y i ) de R i   . Então

     

    Como esse valor não depende da escolha de ( x i ,y i ) de R i então f é integrável em R e

    .

     

    Vamos já estabelecer algumas propriedades básicas da integral dupla.

      Propriedades. Se f e g são funções integráveis em R   e c   é constante então

    sempre que em R .

      Exercício de teoria: prove as propriedades acima. 

    Note que tal definição da integral dupla foi feita para funções definidas em retângulos. E quando o

    domínio não é um retângulo? E como são as funções integráveis?  E como calcular as integrais duplas?

    Veja os textos que estão na disciplina para saber mais.

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    Funções integráveis e não-integráveis Alguns Resultados e Exemplos

      Que funções são integráveis? Existem funções não integráveis?   Da maneira como foi dada a definição pode-se pensar que sempre existe a integral dupla de uma função. Afinal pode parecer que se f é positiva então sempre se pode calcular o volume do sólido que

    se forma abaixo do gráfico de f e acima do plano z = 0. Mas você viu que existem funções de umaváriável que não são integráveis. Com duas váriáveis isto também ocorre. 

    Um exemplo de função não integrável: Considere a função f  definida em R = [0,1]x[0,1] (quadrado de lado 1) da seguinte forma: f ( x,y ) = 1 se x  e y são racionais e 0 caso contrário. Tome uma partição qualquer de R e em cada R i  . Escolha primeramente ( x i ,y i ) tal que se x i  e y i  são racionais.

     Assim um cálculo simples mostra que

    Entretanto podemos escolher ( x i ,y i ) de forma ambos x i e y i  não são racionais. Dessa forma 

    Portanto o limite dessa somas dependerá da escolha de ( x i ,y i ) . Portanto f  não é integrável. 

     Agora enunciaremos um resultado útil.

    PROPOSIÇÃO. Se f  é uma função integrável em R  , retângulo, então f é limitada em R , isto é, existe M>0 tal que |f ( x,y )| < M, para todo ( x,y ) em R  .(veja a demonstração, que não é difícil, em Teorema III.1.2 de [BCHS] ).

    Outro exemplo: O resultado acima é útil no seguinte sentido: se uma função de duas variáveis não é limitada em R  então ela não é integrável em R . Por exemplo, a função 

    não