Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

68
MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE ............................................................... 2 FUNÇÃO LINEAR ........................................................................ 2 FUNÇÃO AFIM............................................................................. 5 GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU ......................................... 5 IMAGEM..................................................................................... 14 COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM ......................................... 14 ZERO DA FUNÇÃO AFIM .......................................................... 18 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES.................... 19 SINAL DE UMA FUNÇÃO .......................................................... 24 SINAL DA FUNÇÃO AFIM ......................................................... 25 INEQUAÇÕES ........................................................................... 29 SISTEMA DE INEQUAÇÕES ..................................................... 33 INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS ................................................. 34 INEQUAÇÕES-PRODUTO ........................................................ 39 INEQUAÇÃO-QUOCIENTE ....................................................... 48 RESPOSTAS ............................................................................. 61 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 68 No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.

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Apostila de Matemática

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MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

FUNÇÃO IDENTIDADE ............................................................... 2

FUNÇÃO LINEAR ........................................................................ 2

FUNÇÃO AFIM ............................................................................. 5

GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU ......................................... 5

IMAGEM ..................................................................................... 14

COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM ......................................... 14

ZERO DA FUNÇÃO AFIM .......................................................... 18

FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES .................... 19

SINAL DE UMA FUNÇÃO .......................................................... 24

SINAL DA FUNÇÃO AFIM ......................................................... 25

INEQUAÇÕES ........................................................................... 29

SISTEMA DE INEQUAÇÕES ..................................................... 33

INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS ................................................. 34

INEQUAÇÕES-PRODUTO ........................................................ 39

INEQUAÇÃO-QUOCIENTE ....................................................... 48

RESPOSTAS ............................................................................. 61

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 68

No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.

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CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

FUNÇÃO IDENTIDADE

Uma função f de em recebe o nome de FUNÇÃO IDENTIDADE

quando associa a cada elemento x o próprio x, isto é:

f: f(x) = x

Desta forma, todos os pares ordenados que pertencem à função identidade são do tipo (a; a) e o gráfico que a representa contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes.

A imagem da função identidade é

Im = .

1 Observe que se a = 0, teremos uma função constante y = 0 como vimos na apostila anterior.

FUNÇÃO LINEAR

Uma função f de em recebe o nome de FUNÇÃO LINEAR quando associa a cada elemento

x o elemento ax onde a 0 é o número real dado, isto é:

f:

f(x) = ax com a 0 (1)

É possível demonstrar que o gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem, mas veremos esta demonstração mais a frente, num caso mais geral. A imagem da função identidade é

Im = e isto pode ser percebido facilmente, veja:

a

yxxay

xayxa)x(f

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MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO DO 1º GRAU

assim, 𝑥 =𝑦

𝑎∈ , a 0, tal que:

y)x(f

a

ya)x(f

xa)x(f

Ex.: 1 Vamos construir o gráfico da função y = 2x. Resolução: como já sabemos que o gráfico da função linear é uma reta e que dois pontos distintos determinam uma reta, basta que encontremos dois pontos para construir o gráfico. Por outro lado o gráfico da função linear passa sempre pela origem assim, já temos o ponto (0; 0) bastando encontrar apenas mais um ponto. Vamos, então, atribuir um valor não nulo a x e calcular o correspondente y = 2x.

x 2 • x y

1 2 •1 2 Agora devemos localizar, num sistema cartesiano, os pontos P(0; 0) e Q(1; 2) e traçar a reta PQ que será o gráfico procurado.

Note que Im(f) = . Veja o gráfico na coluna a seguir.

Ex.: 2 Construir o gráfico da função y = -2x. Resolução: Analogamente, temos:

x -2 • x Y

1 -2 •1 -2

Agora, P(0; 0) e Q(1; -2).

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CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

1) Construa, num mesmo sistema cartesiano, os 4 gráfico de funções constantes a seguir. a) y = 2

b) y = 2 c) y = -3 d) y = 0

2) Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções

f: a seguir. a) y = x b) y = 2x c) y = 3x

d) 2

xy

Page 5: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO DO 1º GRAU

3) Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções

f: a seguir. a) y = -x b) y = -2x c) y = -3x

d) 2

xy

FUNÇÃO AFIM

Uma função f de em recebe o nome de FUNÇÃO AFIM quando associa a cada elemento

x o elemento ax + b onde a

0, isto é: f: f(x) = ax + b com

a 0

1.: y = 2x + 4 onde a = 2 e b = 4 2.: y = -3x + 5 onde a = -3 e b = 5 3.: y = x – 1 onde a = 1 e b = -1 4.: y = 3x onde a = 3 e b = 0 Observe este último exemplo. Note que, quando b = 0, a função y = ax + b assume a forma da função linear e, assim, podemos dizer que a função linear é um caso particular de uma função afim.

GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

O gráfico da função do primeiro grau é uma reta e isto pode ser facilmente demonstrado. Demonstração:

Page 6: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

Sejam A, B e C três pontos quaisquer distintos pertencentes ao gráfico cartesiano da função y = ax + b

com a 0 e (x1; y1), (x2; y2) e (x3, y3), respectivamente, as coordenadas cartesianas destes pontos.

Para provar que os pontos A, B e

C pertencem a uma mesma reta, vamos mostrar, em princípio, que os triângulos

ABD e BCE são semelhantes. Note que :

3baxyfy;x

2baxyfy;x

1baxyfy;x

3333

2222

1111

Fazendo 23 , temos:

4xxayy

baxy

baxy

2323

22

33

Fazendo 12 , temos:

5xxayy

baxy

baxy

1212

11

22

De 4 ,

12

12

1212

xx

yya

xxayy

De 5 ,

23

23

2323

xx

yya

xxayy

Assim, 23

23

12

12

xx

yy

xx

yya

Logo os triângulos ABD e BCE

são semelhantes e assim, os ângulos e

são iguais e, consequentemente A, B e C estão alinhados. Daí está provado que o gráfico da função afim é uma reta. Sabendo, agora, que o gráfico da função afim é uma reta e que para determinar uma reta precisamos apenas de dois pontos, vamos usar deste recurso para construir tais gráficos. Veja nos exemplos a seguir.

Ex. 1: Construir o gráfico da função y = 2x + 1. Resolução;

Sabendo que este gráfico é uma reta, vamos encontrar dois de seus pontos, localiza-los no plano cartesiano e, em seguida traçar a reta.

Page 7: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO DO 1º GRAU

x 2x+1 y

0 2 • 0 + 1 1

1 2 • 1 + 1 3

O gráfico da função, então, é uma

reta que passa pelos pontos (0; 1) e (1; 3).

É facilmente perceptível, pelo gráfico, que tanto o domínio quanto a imagem desta função são formados por todos os números reais, assim:

D(f) =

Im(f) = Ex. 2: Construir o gráfico da função y = -x + 3 Resolução: De modo análogo, temos:

x -x + 3 y

0 -0 + 3 3

2 -2 + 3 1

Assim, o gráfico da função, então, é a reta que passa pelos pontos (0; 3) e (2; 1).

D(f) = e Im(f) =

4) Construa nos planos cartesianos a seguir, o gráfico da cada uma das 8 funções apresentadas. (Dica: em cada situação siga os exemplos fazendo, inclusive, a tabela afim de que a construção fique organizada)

Page 8: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

a) y = 2x – 1

x y

b) y = x+2

x y

c) y = 3x+2

x y

d) 2

3x2y

x y

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MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO DO 1º GRAU

e) y = –3x – 4

x y

f) y = –x – 1

x y

g) y = –2x + 3

x y

h) 2

x34y

x y

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CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

5) Resolver analiticamente e graficamente o sistema de equações do 1º grau:

4y3x2

3yx

(A resolução desta questão pode ser vista na secção de Respostas)

6) Resolva analiticamente e graficamente os sistemas de equações do 1º grau:

a)

1yx

5yx

Page 11: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 11 FUNÇÃO DO 1º GRAU

b)

8y3x2

14y2x3

c)

4y4x2

2y2x

Page 12: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

7) Resolva os sistemas:

a)

4

1

yx

1

yx

1

4

3

yx

1

yx

1

Sugestão: faça byx

1ea

yx

1

b)

13yx2

3

1yx

2

12

5

3yx2

2

1yx

3

Page 13: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 13 FUNÇÃO DO 1º GRAU

8) Obter a equação da reta que passa pelos pontos: a) (1; 2) e (3; -2). (A resolução deste item a) pode ser vista na secção de Respostas) b) (2; 3) e (3; 5)

c) (3; -2) e (2; -3) d) (1; -1) e (-1; 2)

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 153 e 154– Exercícios 02 a 04

______________________

Page 14: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

IMAGEM

O conjunto imagem de uma função

afim f: definida por

f(x) = ax + b com a 0 é .

De fato, qualquer que seja y ,

existe a

byx

tal que

yba

bya

a

byfxf

.

COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM

O coeficiente a da função f(x) = ax + b é denominado coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano. O coeficiente b da função y = ax + b é denominado coeficiente linear. Os coeficientes a e b tem influência sensível no gráfico da função afim. Veja os exemplos a seguir onde são mostradas variações independentes em cada coeficiente.

Ex.1: Veja a construção, num mesmo plano cartesiano, de gráficos de 6 funções. Note que em todos os casos, o coeficiente b não muda. A única variação é no coeficiente a.

Observe que a variação do coeficiente a faz variar a declividade da reta que representa o gráfico da função. Ex.2: Agora você pode observar construções de funções que possuem o mesmo coeficiente angular variando, apenas, o coeficiente linear.

Vejam neste caso, que a variação do coeficiente b faz variar o ponto em que a reta do gráfico da função toca o eixo OY.

Page 15: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 15 FUNÇÃO DO 1º GRAU

9) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (1; 3) e tem coeficiente angular igual a 2. (A resolução desta questão pode ser vista na secção de Respostas) 10) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2; 4) e tem coeficiente angular igual a -3.

11) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-3; 1) e tem coeficiente

angular igual a 2

1 .

12) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2; 1) e tem coeficiente angular igual a 4.

Page 16: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

13) Obter a equação da reta que tem coeficiente angular igual a -3 e passa pelo ponto (-3; -2)

14) Dados os gráficos das funções de

em , obter a lei de correspondência dessas funções. Para tal considere cada quadradinho como referência de uma unidade. a)

Page 17: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 17 FUNÇÃO DO 1º GRAU

b)

c)

Page 18: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

d)

ZERO DA FUNÇÃO AFIM

Zero ou raiz de uma função é todo número x cuja imagem é nula, isto é, f(x) = 0.

x é zero de y = f(x) f(x) = 0 Assim, para determinar o zero de uma função afim, basta resolver a equação do 1º grau

ax + b = 0

que apresenta uma única solução

a

bx .

Ex.1: Qual o zero da função f(x) = 2x – 1?

2

1x

1x2

01x2

Logo, a raiz da função é 2

1.

Ex. 2: Podemos interpretar o zero da

função afim como sendo a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo OX.

Note o gráfico da função f(x) = 2x – 1, podemos perceber que o gráfico intercepta o eixo das abscissas

em 2

1x , isto é, no ponto

0;

2

1.

Page 19: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 19 FUNÇÃO DO 1º GRAU

FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES

Uma função f: A B definida por y = f(x) é CRESCENTE no conjunto

A1 A se, para dois valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1, com x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2). Em termos técnicos, f é crescente quando:

( x1, x2) (x1 < x2 f(x1) < f(x2))

Esta expressão acima também pode ser escrita desta forma:

( x1, x2) (x1 x2

0xx

xfxf

21

21

)

Em termos não técnicos, podemos dizer que uma função é crescente num certo intervalo quando se, ao aumentar o x, o valor de y também aumenta.

Veja, agora, no gráfico, a caracterização de uma função crescente.

Uma função f: A B definida por y = f(x) é DECRESCENTE no conjunto A1

A se, para dois valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1, com x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2). Em termos técnicos, f é crescente quando:

( x1, x2) (x1 < x2 f(x1) > f(x2))

Esta expressão acima também pode ser escrita desta forma:

( x1, x2) (x1 x2

0xx

xfxf

21

21

)

Em termos não técnicos, podemos

dizer que uma função é decrescente num certo intervalo quando se, ao aumentar o x, o valor de y diminui.

Page 20: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

Veja, agora, no gráfico, a caracterização de uma função decrescente.

Ex.1: A função f(x) = 2x – 1 é crescente pois tomados dois valores de x distintos x1 e x2 com x1 < x2, temos:

1x21x2xx 2121

Ex.2: A função f(x) = -3x + 2 é decrescente pois tomados dois valores de x distintos x1 e x2 com x1 < x2, temos:

2x32x3xx 2121

Notemos que uma função y = f(x) pode assumir comportamentos variados (crescente ou decrescente) em todo o seu domínio.

É bastante comum que, inclusive,

que a função seja crescente em alguns intervalos e decrescentes em outros.

Veja o exemplo abaixo. A função é

decrescente em - e crescente em +.

15) Com base nos gráficos a seguir, de funções de domínio e contradomínio reais, especificar onde a função é crescente e onde a função é decrescente. a)

Page 21: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 21 FUNÇÃO DO 1º GRAU

b)

c)

O estudo do comportamento quanto a crescimento ou decrescimento de uma função afim é feito em relação ao coeficiente angular. A função afim é crescente se, e somente se, o coeficiente angular for positivo.

Dada a função f(x) = ax + b, Se a > 0 então f é crescente.

DEMONSTRAÇÃO

crescente é baxxf

)xx(0xx

xfxf21

21

21

0xx

baxbax

21

21

0xx

baxbax

21

21

0a

0xx

xxa

21

21

Assim, podemos observar que

f(x) = ax + b é crescente a > 0

Page 22: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

16) Demonstre que f(x) = ax + b se, e somente se, a < 0.

17) Especificar se cada uma das funções abaixo é crescente ou decrescente. a) y = 2x + 8 b) y = 3x – 9 c) y = -4x + 6 d) y = -2x – 6

e) 15

xy

f) 2

1x2y

Page 23: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 23 FUNÇÃO DO 1º GRAU

g) 2

x1y

h) 2

x31y

18) Para quais valores de k a função f(x) = (k + 5)x – 7 é crescente?

19) Estudar, segundo os valores do parâmetro k, a variação (crescente, decrescente ou constante) das funções abaixo. a) y = (k – 1)x + 2 (A resolução deste item a) pode ser vista na secção de Respostas) b) y = (k + 5)x – 7

Page 24: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

c) y = (4 – k)x + 2 d) y = k(x + 3) – 5

SINAL DE UMA FUNÇÃO

Seja a função f: A B definida por y = f(x). Estudar o sinal da função é determinar para que valores de x temos y maior, menor ou igual a zero. Graficamente, isto pode ser feito observando os intervalos em que o gráfico está acima ou abaixo do eixo x. Note que o que realmente interessa é o comportamento do gráfico em relação ao eixo OX não importando a posição do eixo OY.

Estudar o sinal da função y = f(x) cujo gráfico está representado na figura a seguir.

Como foi dito, não importa a posição do eixo das ordenadas, então vamos retira-lo e preparar um aspecto prático.

Conclusão: f(x) = 0 para x = -3 ou x = 1 ou x = 4 ou x = 8 f(x) > 0 para -3 < x < 1 ou 1 < x < 4 ou x > 8 f(x) < 0 para x < -3 ou 4 < x < 8

Page 25: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 25 FUNÇÃO DO 1º GRAU

20) Estudar o sinal das funções cujos gráficos estão representados a seguir. a)

b)

c)

SINAL DA FUNÇÃO AFIM

Como vimos, estudar o sinal De

uma função y = f(x) significa estabelecer,

para cada valor de x D(f), qual das sentenças é verdadeira:

y > 0 y = 0 y < 0 Para a função afim y = ax + b, temos com dois casos a considerar: 1º caso: a > 0 Neste caso a função é crescente. Como

para a

bx temos 0

a

bfy , vem:

0

0

xfa

bfxf

a

bx

xfa

bfxf

a

bx

Considerando os valores de x

sobre um eixo, o sinal da função da função y = ax + b com a > 0, é:

Entende-se, com esta notação,

que para valores de x à direita de a

b , a

função retorna um valor positivo ( + ) e

para valores à esquerda de a

b , a função

retorna valores negativos ( - ). Um outro processo de analisarmos a variação do sinal da função afim é construir o gráfico cartesiano.

Page 26: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

Já vimos que o gráfico cartesiano da função f(x) = ax + b é uma reta e se o coeficiente angular a é positivo, a função é crescente. Construindo o gráfico de f(x) = ax + b com a > 0 e lembrando o que está sendo dito na página 24, que a posição do eixo y não importa, temos:

2º caso: a < 0 Neste caso a função é de crescente.

Também para a

bx temos

0

a

bfy , vem:

0

0

xfa

bfxf

a

bx

xfa

bfxf

a

bx

Considerando os valores de x

sobre um eixo, o sinal da função da função y = ax + b com a < 0, é:

Entende-se, com esta notação,

que para valores de x à direita de a

b , a

função retorna um valor negativo ( - ) e

para valores à esquerda de a

b , a função

retorna valores positivo ( + ). Também podemos analisar com a construção do gráfico lembrando que para a > 0, a função é decrescente.

Podemos fazer um resumo do estudo do sinal da função afim como está no quadro em destaque na coluna ao lado. Observe:

Quando a > 0,

a

bxsexf

a

bxsexf

a

bxsexf

0

0

0

Page 27: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 27 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Quando a < 0,

a

bxsexf

a

bxsexf

a

bxsexf

0

0

0

Ex.1: Estudar o sinal da função f(x) = 2x + 1.

2

1120120 xxxxf

Como a > 0 (a = 2), temos que f é

crescente, assim:

02

1

02

1

02

1

yx

yx

yx

Note que, de fato, quando procuramos, pela função acima, a imagem de um número qualquer maior

que 2

1 , encontraremos um valor

positivo. A imagem de 2

1 é zero e a

imagem de qualquer valor menor que

2

1 é um número negativo

Só para exemplificar, vamos

encontrar os valores de f(3) (3 > 2

1 ) e

de f(-5) (-5 < 2

1 )

731323 ff

951525 ff

Ex.2: Estudar o sinal da função f(x) = -2x + 3.

2

3320320 xxxxf

Como a < 0 (a = -2), temos que a função f é decrescente, assim:

02

3

02

3

02

3

yx

yx

yx

Mais uma vez vamos verificar a resposta com um valor maior que a raiz ( 5 ) e outro menor que a raiz ( 1 ).

113121 ff

713525 ff

Page 28: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

21) Estudar os sinais das seguintes

funções definidas em : a) f(x) = 2x + 3 b) f(x) = -3x + 2 c) f(x) = 4 – x

d) f(x) = 5 + x

e) 2

3x

xf

f) 2

3

3

xxf

Page 29: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 29 FUNÇÃO DO 1º GRAU

g) 3

42 xxf

h) f(x) = -x

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 163 – Exercícios 18 a 20

______________________

22) Seja f: a função definida por f(x) = 4x – 5. Determine os valores do domínio para os quais a função produz imagem maior que 0 (zero).

INEQUAÇÕES

O último exercício apresentado (22) é um exemplo de inequação. Vamos agora resolver outras inequações.

Ex.: Seja f: a função definida por f(x) = 4x – 5. Determine os valores do domínio para os quais a função produz imagem maior que 3. Note que este exemplo é bem parecido com o último exercício. Para encontrar a solução, basta resolver a inequação

4x – 5 > 3 4x > 8 x > 2

Logo a solução é S = {x | x > 2} Ex.2: Considerando as funções f(x) = 4x – 1 e g(x) = -x + 3, determine os valores de x para os quais temos

f(x) g(x). Vamos resolver a inequação:

5

4

45

134

314

x

x

xx

xx

Solução:

5

4x|xS

Esta solução pode ser verificada de fato quando você substitui em ambas as funções valores iguais. Vamos testar completando a tabela abaixo. Os dois primeiros valores são menores

que 5

4 e os dois últimos são maiores.

Page 30: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

x f(x) g(x) Qual é maior?

-1

3

1

5

4

1

4

Este mesmo exemplo pode ter

uma solução gráfica. No plano cartesiano abaixo, você

pode ver os gráficos das duas funções.

Note que em x = 5

4, as funções

são iguais (é o ponto onde elas se

cruzam). Para valores menores que 5

4, a

função f é menor que a função g e isto pode ser verificado pois à esquerda de

x = 5

4 o gráfico de f está abaixo do gráfico

de g. Esta situação se inverte à direito de

x = 5

4.

23) Para que valores reais de x a função

23

2 xxf é negativa?

24) Para que valores do domínio da

função de em definida por

2

13

xxf a imagem é menor que 4?

Page 31: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 31 FUNÇÃO DO 1º GRAU

25) Dadas as funções f(x) = 2x + 3,

g(x) = 2 – 3x e

2

14

xxh

, definidas em

, para que valores reais de x tem-se: a) f(x) > g(x) b) g(x) < h(x)

c) f(x) h(x) 26)

Dados os gráficos das funções f, g e h

definidas em e considerando cada quadrinho como uma unidade, determine

os valores de x , tais que: a) f(x) > g(x)

Page 32: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 32 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

b) g(x) h(x)

c) f(x) h(x) d) g(x) > 4

e) f(x) 0

27) Dado um número real k, a função

f: definida por 𝑓(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑥 é chamada de função linear (pág. 2). a) Prove que o gráfico da função linear passa pela origem do sistema de ordenadas. b) Prove que se f é linear então

f(a + b) = f(a) + f(b) x .

Page 33: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 33 FUNÇÃO DO 1º GRAU

28) Uma grandeza y é diretamente proporcional a uma grandeza x quando y é uma função linear de x. Se y é diretamente proporcional a x e quando x = 4 temos y = 10. Então, para x = 10, qual é o valor de y?

SISTEMA DE INEQUAÇÕES

Um sistema de inequações é um conjunto de duas ou mais inequações consideradas simultaneamente o que equivale a inequações em x separadas pelo conectivo e, O conjunto solução do sistema de inequações é a INTERSECÇÃO dos conjuntos-solução das diversas inequações que a formam.

Ex.1: Resolver o sistema de inequações

2513

1123

x

x.

Resolução:

De 1 ,

1

22

123

x

x

x

De 2 ,

2

63

513

x

x

x

Vamos, agora, fazer a interseção entre as soluções:

Logo, a solução é:

S = { x | 1 x 2}

Page 34: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 34 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

Ex.2: Resolver o sistema

203

21

142

1

3

1

x

xx

De 1 ,

2929

245243322

46

13124

2

1

3

1

xx

xxx

xxxx

De 2 ,

11

233

210

3

21

xx

xxx

S = { x | x -29}

INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS

Uma dupla desigualdade

f(x) < g(x) < h(x) pode ser decomposta em duas desigualdades simultâneas, isto é, equivale a uma sistema de duas inequações em x separadas pelo

conectivo e, aquele mesmo da intersecção entre conjuntos que estudamos na primeira apostila.

Por isso, para resolver uma

situação com inequações simultâneas, devemos gerar um sistema de duas (ou mais) inequações e fazer a intersecção entre as soluções de cada inequação. Assim:

xhxg

xgxfxhxgxf

Indicando por S1 o conjunto solução da primeira inequação e por S2 o conjunto solução da segunda inequação, o conjunto solução das inequações simultâneas é:

S = S1 S2

Ex.: Resolver 4323 xxx

243

1323

xx

xx

De 1 , De 2 ,

4

1

14

323

x

x

xx

x

x

xx

2

1

21

43

Page 35: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 35 FUNÇÃO DO 1º GRAU

A intersecção desses dois conjuntos é

S = { x | 4

1

2

1 x }

29) Resolver os sistemas a seguir:

a)

0123

033

x

x

b)

4826

2315

xx

xx

Page 36: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 36 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

c)

0225

01212

xx

xx

d)

xxx

xx

71136

152231

Page 37: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 37 FUNÇÃO DO 1º GRAU

30) Resolver as inequações em : a) -2 < 3x – 1 < 4

b) -4 < 4 – 2x 3

c) -3 < 3x – 2 < x

d) 12

371 x

xx

Page 38: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 38 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

e) 3x + 4 < 5 <6 – 2x f) 2 – x < 3x + 2 < 4x + 1

31) Com base nos gráficos das funções f,

g e h definidas em , determinar os

valores de x , tais que:

a) f(x) < g(x) h(x)

Page 39: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 39 FUNÇÃO DO 1º GRAU

b) g(x) f(x) h(x)

c) h(x) f(x) < g(x)

INEQUAÇÕES-PRODUTO

Sendo f(x) e g(x) duas funções na

variável x, as inequações

f(x) g(x) > 0 f(x) g(x) < 0

f(x) g(x) 0 f(x) g(x) 0

são denominadas inequações-produto. Vejamos, por exemplo, como determinamos o conjunto solução S de

uma inequação do tipo f(x) g(x) > 0. De acordo com a regra dos sinais do produto de números reais, um número x0 é solução da inequação

f(x) g(x) > 0 se, e somente se, f(x) e g(x), não nulos, têm o mesmo sinal. Assim, são possíveis dois casos: 1º: f(x) > 0 e g(x) > 0 Se S1 e S2 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas

inequações, então S1 S2 é o conjunto solução do sistema. 2º: f(x) < 0 e g(x) < 0 Se S3 e S4 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas

inequações, então S3 S4 é o conjunto solução do sistema.

Page 40: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 40 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

Daí concluímos que o conjunto-solução da inequação produto

f(x) g(x) > 0 é:

S = (S1 S2 ) (S3 S4 ) Um raciocínio análogo poderia ser

feito para f(x) g(x) < 0 porém buscando intervalos onde as funções possuem sinais diferentes.

Também no caso de f(x) g(x) 0

ou f(x) g(x) 0, podemos agir da mesma forma sendo possível, neste caso, marcar os pontos que anulam cada função.

Ex.1: Resolver em , a inequação

0122 xx .

Resolução

Como estamos procurando

valores para x que tornem o produto

122 xx positivo, então sabemos

que 2x e 12 x devem ter o mesmo

sinal. A forma mais prática de encontrar

os intervalos onde isto acontece é fazer um estudo dos sinais de cada parte e montar num quadro como você verá.

f(x) = x + 2

x + 2 = 0 x = -2 Como a função é crescente,

2

1012

12

xx

xxg

Esta função também é crescente, então,

Vamos agora montar um quadro para o estudo do sinal da inequação produto:

Assim temos a solução:

S = { x | 2x ou 2

1x }

Page 41: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 41 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Ex.2:

Resolver em a inequação

03123 xxx

Resolução:

3

2023

23

xx

xxf

101

1

xx

xxg

303

3

xx

xxh

O próximo passo é montar o quadro de sinais onde a linha S é a solução obtida de

xhxgxf

E temos a solução:

S = { x | 3

21 x ou 3x }

_______________________________

Quando uma inequação-produto

apresenta ou , devemos lembrar que as raízes de cada uma das funções que formam a inequação-produto zeram toda a inequação e, desta forma, devem fazer parte da solução. Veja no exemplo.

Ex.1: Resolver em , a inequação

0122 xx .

f(x) = x + 2

x + 2 = 0 x = -2

2

1012

12

xx

xxg

Assim temos a solução:

S = { x | 2x ou 2

1x }

Page 42: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 42 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

Dentre as inequações-produto, são importantes as inequações do tipo:

00

00

nn

nn

xfxf

xfxf

Para resolver estas inequações, vamos lembrar duas propriedades das potências de base real e expoente inteiro:

“toda potência de base real e expoente par é um número real não negativo”, isto é:

Nn,a,a n 02

“toda potência de base real e expoente ímpar conserva o sinal da base”, ou seja:

Nnaa

aa

aa

n

n

n

00

00

00

12

12

12

Assim sendo, temos as seguintes equivalências:

parénsexf

ímparénsexfxf

n

0

00

parénsex

ímparénsexfxf

n 00

parénsefDx

ímparénsexfxf

n 00

parénsexf

ímparénsexfxf

n

0

00

Ex.1:

3

2023023

3x|xSxx

Ex.2:

4

3034034

6x|xSxx

Ex.3:

2

1512012

5x|xSxx

Ex.4:

Sx 024

Ex.5:

40280287

x|xSxx

Ex.6:

Sx 0132

Ex.7:

40480484

Sxx

Page 43: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 43 FUNÇÃO DO 1º GRAU

32) Resolver em as inequações a seguir:

a) 03533 xx

b) 02524 xx

c) 034225 xxx

d) 064323 xxx

Page 44: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 44 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

e) 07216 xx

f) 02725 xx

g) 0351423 xxx

h) 0412735 xxx

Page 45: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 45 FUNÇÃO DO 1º GRAU

33) Resolver em as inequações a seguir:

a) 034x

b) 0833x

c) 0546 x

d) 0715 x

e) 0532x

f) 0153x

g) 0344 x

h) 0835x

Page 46: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 46 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

34) Resolver em a inequação

032365 xx

(Esta questão está resolvida na seção de Respostas)

35) Resolver em as inequações:

a) 0274534 xx

Page 47: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 47 FUNÇÃO DO 1º GRAU

b) 045213853 xxx c) 054266

1047 xxx

Page 48: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 48 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

d) 064621568 xxx

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 164– Ver R.7

______________________

INEQUAÇÃO-QUOCIENTE

Sendo f(x) e g(x) duas funções de

variável real x, as inequações do tipo

0xg

xf

0xg

xf

0xg

xf

0xg

xf

são denominadas inequações-quociente. Considerando que regras de sinais do produto e do quociente de números reais são análogas, podemos, então, construir o quadro-quociente de modo análogo ao quadro-produto observando o fato de que o denominador de uma fração nunca pode ser nulo.

Ex.: Resolver em a inequação

21

43

x

x.

Resolução: Inicialmente devemos transformar a desigualdade de forma a compará-la a 0 (zero).

Page 49: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 49 FUNÇÃO DO 1º GRAU

01

25

01

2243

01

12

1

43

021

432

1

43

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

5

2025

25

xx

xxf

101

1

xx

xxg

Fazendo o quadro-quociente para o estudo dos sinais, temos:

Solução:

S = { x | 5

2x ou 1x }

36) Resolver em as inequações:

a) 02

12

x

x

Page 50: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 50 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

b) 023

23

x

x

c) 018

43

x

x

d) 013

23

x

x

Page 51: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 51 FUNÇÃO DO 1º GRAU

37) Resolver em as inequações:

a) 143

35

x

x

b) 243

25

x

x

Page 52: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 52 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

c) 31

1

x

x

d) 142

53

x

x

Page 53: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 53 FUNÇÃO DO 1º GRAU

38) Resolver em as inequações:

a)

0

4

4321

x

xx

b)

0

3552

13

xx

x

Page 54: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 54 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

c)

0

45

1445

x

xx

d)

0

35

21

xx

x

Page 55: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 55 FUNÇÃO DO 1º GRAU

39) Resolver em as inequações:

a) 3

2

4

1

xx

b) 2

2

1

1

xx

Page 56: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 56 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

c) 4

3

2

1

x

x

x

x

d) 53

2

23

5

x

x

x

x

Page 57: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 57 FUNÇÃO DO 1º GRAU

e) 54

15

14

25

x

x

x

x

f) 03

3

2

2

1

1

xxx

Page 58: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 58 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

g) 1

1

1

1

13

2

xxx

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 168– Análise de Resolução

______________________

40) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaixo. f(x) = x g(x) = x + 3 h(x) = x - 3

Page 59: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 59 FUNÇÃO DO 1º GRAU

41) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaixo. f(x) = -x g(x) = -x + 3 h(x) = -x - 3

42) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaixo. f(x) = 2x - 4 g(x) = x - 4 h(x) = -x - 4

Page 60: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 60 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

43) Construa o gráfico da função:

163

12

xparax

xparaxxf

44) Construa o gráfico da função:

45

423

232

xparax

xparax

xparax

xf

Page 61: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 61 FUNÇÃO DO 1º GRAU

RESPOSTAS

1)

2)

3)

4) a)

b)

c)

d)

Page 62: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 62 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

e)

f)

g)

h)

5) Resolução:

SOLUÇÃO ANALÍTICA.

Existem diversas formas de se resolver analiticamente esta questão como, por exemplo, por substituição, por adição ou por comparação. Aqui vou resolver apenas por adição mas você pode [e deve] escolher outra forma.

1x

32x

3yx

2y

10y5

4y3x2

6y2x2

4y3x2

23yx

Solução: S = {(-1; 2)}

SOLUÇÃO GEOMÉTRICA O primeiro passo para resolver pelo método geométrico é escrever um sistema equivalente àquele dado porém isolando y em ambas as equações.

3

4x2y

3xy

4y3x2

3yx

Agora vamos construir os gráficos de cada umas das funções afins e o ponto de intersecção entre os dois gráficos será a solução do sistema.

x 3x y x 3

4x2 Y

0 30 3 2 3

422 0

-4 34

-1 -4

3

442 4

Page 63: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 63 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Solução: S = {(-1; 2)}

6) a) S = {(3; 2)}

b) S = {(-2; 4)}

c) S = Ø

7) a) S = {(3; -1)} b) S = {(2; 1)}

8) Resolução Se estamos procurando uma

equação de reta, então esta equação assumirá a forma de uma função afim do tipo y = ax + b.

Desta forma, considerando que o ponto (1, 2) pertence à reta de equação y = ax + b, temos a sentença verdadeira

2 = a • 1 + b a + b = 2 Analogamente, para o ponto (3, -2) obtemos:

-2 = a • 3 + b 3a + b = -2 Resolvendo, agora, o sistema

2ba3

2ba

encontramos a = -2 e b = 4. Substituindo a e b em y = ax + b, encontramos a equação procurada que, neste caso, é: y = -2x + 4

b) y = 2x + 1 c) y = x – 5

d) 2

x31y

9) Resolução

A equação procurada é da forma y = ax + b. Se o coeficiente angular é 2, então a = 2. Substituindo x = 1, y = 3 e a = 2 em y = ax + b, vem:

3 = 2 • 1 + b b = 1 Logo, a equação procurada é

Y = 2x + 1

10) y = -3x – 2

11) 2

1

2

xy

12) 4x2

3y

Page 64: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 64 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

13) 33

xy

14) a) 3

1

3

xy

b) 42

xy

c) 3

1

3

x2y

d) y = 2x + 3

15) a) Crescente:

] - ; -7[, ]-6; -4[ e ]1; [ Decrescente: ]-7; -6[ e ]-4; 1[

b) Crescente: ] -1; 0[ e ]1; [

Decrescente: ] - ; -1[ e ]0; 1[ c) Crescente: ] - ; 0[ e ]0; [

16) Demonstração 17) Crescente: a, b, e, f, g.

Decrescente: c, d, h. 18) k > -5 19) a) Crescente para

k – 1 > 0 k > 1 Constante para

k – 1 = 0 k = 1 Decrescente para

k – 1 < 0 k < 1 b) Cresc.: k > -5

Const.: k = -5 Decresc.: k < -5

c) Cresc.: k < 4 Const.: k = 4 Decresc.: k > 4

d) Cresc.: k > 0 Const.: k = 0 Decresc.: k < 0

20) a) f(x) = 0 para x = -1 ou x = 0 ou

x = 4 ou x = 7 f(x) > 0 para x < -1 ou 0 < x < 4 ou x > 7

f(x) < 0 para -1 < x < 0 ou 4 < x < 7

b) f(x) = 0 para x = -4 ou x = 1 ou x = 6 f(x) > 0 para -4 < x < 1 f(x) < 0 para x < -4 ou 1 < x < 6 ou x > 6

c) f(x) = 0 para x = -2 ou x = 0 ou x = 2 f(x) > 0 para x < -2 ou x > 2 f(x) < 0 para -2 < x < 0 ou 0 < x < 2

21) a)

2

30

2

30

2

30

xparay

xparay

xparay

b)

3

20

3

20

3

20

xparay

xparay

xparay

c)

40

40

40

xparay

xparay

xparay

d)

50

50

50

xparay

xparay

xparay

e)

60

60

60

xparay

xparay

xparay

Page 65: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 65 FUNÇÃO DO 1º GRAU

f)

2

90

2

90

2

90

xparay

xparay

xparay

g)

3

20

3

20

3

20

xparay

xparay

xparay

h)

00

00

00

xparay

xparay

xparay

22) 4

5x

23) 3

4x

24) x < 3

25) a) 5

1x

b) 2

1x

c) x 26) a) x > 2

b) x 0

c) x

d) x < -2

e) x 3

27) (Demonstração) 28) y = 25

29) a) S = { x | 42 x }

b) S = { x | 2

13 x }

c) S = { x | 3

4x }

d) S =

30) a) S = { x | 3

5

3

1 x }

b) S = { x | 42

1 x }

c) S = { x | 13

1 x }

d) S =

e) S = { x | 3

1x }

f) S = { x | 1x }

31) a) S = { x | 1 < x 4 }

b) S = { x | -3 x 1} c) S = 32) a)

S = { x | 1x ou 5

3x }

b) S = { x |

2

5x ou 2x

}

c) S = { x |

4

3x ou

25

2 x }

d) S = { x |

3

4

3

2 x ou

6x }

e) S = { x |

2

7x ou

6

1x

}

Page 66: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 66 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

f)

S = { x | 2

5

7

2 x }

g) S = { x |

5

3x ou

2

3

4

1 x }

h) S = { x |

3

5

4

1 x ou

2

7x }

33) a) S = { x | 3x }

b) S = { x | 3

8x }

c) S =

d) S = { x | 7

1x }

e) S =

f) S = { x | 5

1x }

g) S = { 3

4 }

h) S = { x | 3

8x }

34) Solução:

Estudaremos, separadamente, os sinais das funções f(x) = (x – 3)5 e g(x) = (2x + 3)6. Lembrando que potência de expoente ímpar e base real tem sinal da base então o sinal de (x – 3)5 é igual ao sinal de x – 3, isto é:

A potência de expoente par e base real não nula é sempre positiva, então (2x + 3)6 é positivo

se 2

3x e é nulo se

2

3x , isto

é:

Montando o quadro para estudo de sinais, temos:

Assim,

S = { x | 3x e 2

3x }

35) a) S = { x |

7

2x }

b) S = { x |

5

2

3

1 x }

c)

S={x | 6x ou 3

1x

ou 4

5x }

d) S = { x |

5

1x ou

3x }

36)

a)

S = { x | 2x ou

2

1x }

b) S = { x |

3

2x ou

2

3x

}

c) c) S = { x | 4

3

5

1 x }

d)

S = { x | 2

3x ou

3

1x }

Page 67: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

MATEMÁTICA I 67 FUNÇÃO DO 1º GRAU

37)

a) S = { x |

8

7x ou

3

4x

} b) S = { x | 10x ou

3

4x }

c) S = { x | 12 x } d) S = { x | 21 x }

38) a) S = { x |

2

1

4

3 x ou

4x } b)

S = {x | 2

5x ou

3

1

5

3 x }

c) S = { x |

5

4x ou

4

5

4

1 x }

d) S = { x | 3

2

1 x ou

5x }

39) a) S = { x | -3 < x < 4 ou x > 11}

b) S = { x | 0 < x < 1 ou x > 2}

c) S = { x | -4 < x < -2} d)

S={x | 3

5x ou

3

2

24

29 x }

e) S = { x |

42

9

4

5 x

ou 4

1x }

f) S={x | 1x ou 2

2

3 x

ou 3x }

g) S = { x | 01 x ou

13

1 x ou 3x }

40)

41)

42)

Page 68: Apostila Matematica 1 05 FUNÇÃO DO 1º GRAU Cassio

CÁSSIO VIDIGAL 68 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

43)

44)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

DANTE, Luiz Roberto;

Matemática. São Paulo, Ática, 2004

MACHADO, Antônio dos Santos;

Matemática, Temas e Metas. São Paulo,

Atual, 1988

IEZZI, Gelson e outros;

Fundamentos da Matemática Elementar,

Volume 1. São Paulo, Atual, 5ª edição

Links para as vídeos-aulas sugeridas

Pág. 07

http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/

graficof1g/

Pág. 27

http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/

estudosinalf1g

Pág. 42

http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/

inequacao-produto/