Apostila matemática básica II

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Programa CIEE de Educação a Distância 1 CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA II SUMÁRIO AULA 1 – Probabilidade .............................................................................................. 02 AULA 2 – Equação do 1º grau .................................................................................... 05 AULA 3 – Inequações do 1º grau com uma incógnita ................................................. 11 AULA 4 – Razão, densidade e proporção ................................................................... 17 AULA 5 – Grandeza e regra de três ............................................................................ 25 AULA 6 – Porcentagem e juros simples ...................................................................... 34 Referências ................................................................................................................. 43

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Conceitos de matemática básica II (CIEE)Apostila EAD

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CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA II

SUMÁRIO

AULA 1 – Probabilidade ..............................................................................................02

AULA 2 – Equação do 1º grau ....................................................................................05

AULA 3 – Inequações do 1º grau com uma incógnita .................................................11

AULA 4 – Razão, densidade e proporção ...................................................................17

AULA 5 – Grandeza e regra de três............................................................................25

AULA 6 – Porcentagem e juros simples......................................................................34

Referências .................................................................................................................43

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AULA 1 – PROBABILIDADE

É comum ouvirmos nos noticiários em época de eleição que a probabilidade de um

determinado candidato ganhar as eleições é x% ou no mundo do esporte que a

probabilidade de seu time ser campeão é de x% e, portanto já deu para perceber que a

probabilidade é um assunto muito comum em nosso cotidiano e uma das matérias mais

cobradas nos vestibulares.

Para calcular a probabilidade de algo acontecer, divida o número de casos favoráveis

ao acontecimento pelo número total de casos possíveis. Acompanhe um exemplo.

Imagine que dentro de uma caixa tenha 12 figurinhas de esporte - 5 relacionadas a

futebol e 7 relacionadas à natação. Se colocarmos essas figurinhas dentro da caixa,

chacoalharmos e tirarmos uma figurinha, qual a probabilidade de sair uma figura

relacionada à natação?

Para saber o resultado, basta utilizar a seguinte fórmula:

P = número de resultados favoráveis P = 7_ = 0,58

número total de resultados possíveis 12

Lembrando que o “P” é a abreviação de “probabilidade”, o número de resultados

favoráveis para isso acontecer é 7, pois há 7 figurinhas relacionadas à natação e o

número total de resultados possíveis é 12, visto que há no total 12 figurinhas, logo o

resultado será de 0,58.

Esse resultado também pode ser expresso em porcentagem, basta multiplicar 0,58 por

100 e o resultado será de 58%. Logo, a probabilidade de sair uma figurinha relacionada

à natação é de 58%.

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Agora imagine que em uma garrafa há 10 confeitos de açúcar verdes e brancos. Não é

possível vê-los dentro da garrafa, exceto se a virarmos de ponta-cabeça, quando um

dos confeitos vai para o gargalo e é possível ver sua cor. Ao longo de vários dias,

repetiu-se 2000 vezes a seguinte operação: chacoalhava-se e tombava-se a garrafa

para então anotar a cor do confeito que aparecia no gargalo. Os resultados foram os

seguintes:

Confeitos verdes = 624

Confeitos brancos = 1376

Na próxima vez que for repetida essa operação, qual a probabilidade da cor do confeito

ser verde?

Para responder sua pergunta, utilizamos a fórmula que estudamos há pouco.

P = 624 = 0,31 Probabilidade 2000 resultado nº de bolas verdes total de ensaios realizados que apareceram no gargalo

Observando o cálculo, a probabilidade da cor do confeito ser verde é de 0,31 ou 31%.

Agora, acompanhe outros exemplos.

Qual a probabilidade de sair o número 6 após o lançamento de um dado?

P = 1 = 0,16 ou 16,6% 6

A probabilidade de sair o número 6 é de 16%.

Qual a probabilidade de sair somente números pares?

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Lembrando que um dado possui 3 lados pares (2, 4 e 6), logo:

A probabilidade de se obter números pares é de 50%.

Qual a probabilidade de se retirar uma carta qualquer de um baralho de 52 cartas e

obter uma carta de paus?

Lembre-se que em um baralho de 52 cartas existem 13 cartas de paus, logo:

P = 13 = 1 = 0,25 ou 25% 52 4

Concluímos que a chance de se obter uma carta de paus é de

1 entre 4, ou seja, 25%.

Utilizando o mesmo baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de se retirar um ás de

copas?

P = _1_ = 0,01923 ≌ 2% 52

A probabilidade de tirar um ás de copas do baralho é de aproximadamente 2%.

P = 3 = 0,5 ou 50% 6

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AULA 2 – EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Em nosso dia a dia nos deparamos com situações em que precisamos descobrir o

valor de um número desconhecido. Esse valor pode estar associado a dinheiro,

medidas, temperaturas, distâncias, quantidade de pessoas etc. e, exatamente por isso,

precisamos aprender a resolver equações, já que elas nos auxiliam nesses e em

muitos outros casos.

Imagine que você queira comprar 36 doces, 24 balas e o restante de bombons,

quantos bombons comprará?

Para resolver esse tipo de problema precisamos conhecer alguns elementos

importantes referentes à equação do 1º grau.

Equação é uma sentença matemática com sinal de igualdade que apresenta pelo

menos uma letra que representa um número desconhecido.

Uma equação do 1º grau é definida de forma geral por ax + b = 0 , sendo que a e b

podem assumir qualquer valor real diferente de 0 e x a incógnita .

Observe alguns modelos de equação:

x + 8 = 8 - 4

4x - 5 = 7x + 9

5a - b - c = 0

Uma equação pode ter mais de uma incógnita, porém aqui trataremos apenas das que

possuem uma incógnita.

Você sabia...

A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual".

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Importante frisar que toda equação tem:

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

Termos da equação

Atenção! Nem toda expressão matemática é uma equação, acompanhe alguns

exemplos:

3 + 6 = 5 + 3 não é equação, pois não apresenta incógnita. x - 8 < 6 não é equação, pois não é igualdade. 6 ≠ -3 não é equação, pois não é sentença de igualdade .

Antes de resolver uma equação devemos lembrar que o seu resultado é chamado de

raiz ou solução e esse resultado nada mais é que o valor de x.

Em primeiro lugar você deve observar a forma como o problema se apresenta. Para

resolver essa questão, transforme os dados apresentados em uma sentença

matemática. Esse é um momento muito importante, pois todo o desenrolar do problema

dependerá da sua interpretação.

2 x + 4 = 16

1º membro

sinal de igualdade 2º membro

2x + 4 = 16

• Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incógnitas.

• Um sinal de igualdade (=).

• Uma expressão à esquerda da igualdade, chamada primeiro membro ou membro da esquerda.

• Uma expressão à direita da

igualdade, chamada segundo membro ou membro da direita.

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Acompanhe este exemplo: Imagine que eu compre 4 quilos de sorvete e depois compre

mais 2 potes. Qual o peso de cada pote, sabendo que ao todo há 16 quilos?

Dados apresentados Linguagem

matemática 2 potes + 4 kg = 16 kg 2x + 4 = 16

Como dito, as variáveis ou incógnitas aparecem como letras e o objetivo é encontrar o

valor dessa incógnita.

Agora, veja a resolução da equação: 2x + 4 = 16. Lembre-se que toda equação possui

dois membros.

Em uma equação você pode mudar os termos de um membro para o outro desde que

se troque o sinal:

2x + 4 = 16

2x = 16 - 4

Em um dos membros ficam os termos com as incógnitas e no outro os termos

independentes:

2x = 16 - 4

Efetuamos as operações:

2x = 16 - 4

2x = 12

Dividimos os membros pelo coeficiente da incógnita:

2x = 16 - 4

2 x = 12

x = 12

2

Membro com incógnita(s). Membro com termos independentes.

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Determinamos a solução:

2x = 16 - 4

2 x = 12

x = 12

2

x = 6

Portanto, cada pote possui 6 quilos de sorvete.

Logo, se você substituir a incógnita pelo resultado comprovará a equação. Acompanhe:

2x + 4 = 16

2 . 6 + 4 = 16

12 + 4 = 16

16 = 16

Agora que está compreendendo o conceito, voltaremos ao cálculo do problema

apresentado no início da aula.

Se você comprar 36 doces, 24 balas e o restante de bombons, quantos bombons

comprará?

Dados

Número de balas: 24

Número de bombons: ?

Total de doces: 36

Cálculo:

24 + x = 36

x = 36 - 24

x = 12

Logo, dos 36 doces, 24 são balas e 12 são bombons.

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Agora vamos aprender sobre equação do 1º grau com duas incógnitas. Essa equação

é reproduzida à forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero. Agora,

acompanhe a situação:

Como a soma do número de chicletes e bombons é igual a 6, podemos indicar o

número de chicletes por x e o número de bombons por y. Assim temos x + y igual a 6.

As equações do tipo ax + by = c, são chamadas de equação do primeiro grau porque

em cada termo, há somente uma incógnita e essa incógnita tem expoente 1.

Na equação que apresentamos, o número x (que representa o número de chicletes) é

um número natural. Então, a composição pode ser:

Número de

chicletes x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 x = 5 x = 6

Número de

bombons y = 6 y = 5 y = 4 y = 3 y = 2 y = 1 y = 0

Observe que cada par de números (um indicando o número de chicletes e outro

indicando o número de bombons) é uma solução da equação x + y = 6. Portanto, as

soluções possíveis são: (0,6); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (6,0).

Imagine que Priscila quisesse montar alguns saquinh os

com 6 doces para presentear crianças carentes.

Quantos chicletes e bombons poderiam compor os

• o número de chicletes por x;

• o número de bombons por y.

Assim temos uma equação com

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Cada solução é expressa por um par ordenado. Nesse caso, o primeiro elemento do

par indica o número de chicletes e, o segundo, o número de bombons.

(4,2)

Número de chicletes Número de bombons

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AULA 3 - INEQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA

Agora, iniciaremos a aula 3 do curso de matemática. Nela estudaremos as inequações

do 1º grau com uma incógnita, assunto muito importante para o entendimento da

matemática.

Antes de iniciarmos, gostaria de comentar as condições de vida da população brasileira

em relação às desigualdades. Veja algumas notícias que li no jornal que comprei

enquanto passávamos pela banca.

A maioria dos brasileiros recebe salários tão baixos que mal podem se sustentar,

enquanto uma parcela da população tem salários altíssimos.

A população de moradores de rua só aumenta com o passar dos anos.

Uma parcela da população que vive na zona rural apresenta condições de vida

precária.

O que estas reportagens têm haver com inequações?

As inequações nada mais são que desigualdades. No caso das reportagens estamos

falando de desigualdades sociais que têm muito haver com esse assunto. Agora,

acompanhe outro exemplo, observe as crianças brincando nas gangorras e seus

respectivos pesos.

Carlos

Peso: 32 Kg

Flávia

Peso: 25 Kg

Pedro

Peso: 26 Kg

Luana

Peso: 26 Kg

Paulo

Peso: 27 Kg

Larissa

Peso: 29 Kg

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Observe que o peso de Paulo é menor que o de Larissa (27 < 29), o peso de Carlos é

maior que o de Flávia (32 > 25) e o peso de Pedro é igual ao peso de Luana (26 = 26).

Quando comparamos dois números reais a e b, somente uma das três afirmações é

verdadeira: a < b ou a = b ou a > b

Se os números a e b forem diferentes, então a < b ou a > b e dizemos que a e b são

desiguais, isto é, existe entre eles uma desigualdade, portanto a desigualdade é uma

sentença matemática em que aparece um destes sinais, veja:

Sinal Representação

> Maior que < Menor que < Menor que ou igual a > Maior que ou igual a ≠ Diferente

Na situação apresentada vimos dois exemplos de desigualdades verdadeiras, que 27 é

menor que 29 (27 < 29) e que 32 é maior que 25 (32 > 25). Partindo desse conceito, a

inequação é uma sentença aberta expressa por uma desigualdade entre duas

expressões algébricas e pode ser escrita numa das seguintes formas:

Nessa expressão o “a” e o “b” são números reais e “a” é

diferente de 0.

Veja alguns exemplos de inequação do 1º grau:

Conheça algumas características das inequações do 1º grau:

ax + b > 0; ax + b < 0; ax + b ≥ 0; ax + b ≤ 0.

-2x + 7 > 0 x – 10 ≤ 0 2x + 5 ≤ 0 12 – x < 0

ax + b > 0; ax + b < 0; ax + b ≥ 0; ax + b ≤ 0.

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A letra x é denominada incógnita ou variável.

Cada expressão algébrica é um membro da inequação.

Chamamos de 1º membro a expressão que está à esquerda do sinal de

desigualdade.

Chamamos de 2° membro a expressão que está à direita da desigua ldade.

É importante frisar que antes de aprendermos a resolver uma inequação é fundamental

conhecer os princípios de equivalência das desigualdades.

Veja no quadro que os sinais < e <, bem

como os sinais > e > têm o mesmo sentido.

Já os sinais < e >, bem como > e < têm

sentidos opostos.

Essa constatação é importante para compreendermos o conceito de princípio aditivo e

multiplicativo das desigualdades.

PRINCÍPIO ADITIVO DA DESIGUALDADE

Acompanhe os cálculos quando adicionamos os mesmos números nos dois membros

da desigualdade:

Número positivo Número negativo Zero

- 20 > - 30 - 12 < - 8 0,5 > - 5 - 20 + 5 > - 30 + 5 - 12 - 5 < - 8 - 5 0,5 + 0 > - 5 + 0

- 15 > - 25 - 7 < - 3 0,5 > - 5 Perceba que, ao adicionar um mesmo número aos dois membros da desigualdade,

obtemos outra desigualdade de mesmo sentido.

PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO DA DESIGUALDADE

Acompanhe os cálculos quando multiplicamos os mesmos números nos dois membros

da desigualdade, mas agora, atente-se à inversão de sinais (> e <):

• Os sinais < e < têm o mesmo sentido.

• Os sinais > e > têm o mesmo sentido.

• Os sinais < e > têm sentidos opostos.

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Número positivo Número negativo Zero - 20 > - 30 - 12 < - 8 0,5 > - 5

- 20 . (+ 5) > - 30 . (+ 5) - 12 . (- 5) > - 8 . (- 5) 0,5 . (0) > - 5 . (0) - 100 > - 150 + 60 > + 40 0 = 0

Perceba que ao multiplicar os dois membros de uma desigualdade por um número

positivo, obtemos outra desigualdade de mesmo sentido, se esse número for negativo,

obtemos uma desigualdade de sentido oposto e se esse número for zero, obtemos uma

igualdade.

Os cálculos que acabamos de estudar permitem analisar se uma inequação é

verdadeira ou não, ou seja, se o sinal (>, <, > ou <) realmente apresenta uma

expressão correta. Acompanhe o cálculo da inequação: 5 > 3.

5 > 3 5 + 2 > 3 + 2 7 > 5 Conclusão: a inequação é verdadeira, pois “7” é maior que “5”.

5 > 3 5 - 1 > 3 - 1 4 > 2 Conclusão: a inequação é verdadeira, pois “4” é maior que “2”.

Observe que é possível usar os mesmos recursos matemáticos de somar ou subtrair

um mesmo valor aos membros da inequação do 1º grau.

Agora, acompanhe a explicação com o mesmo exemplo utilizando a multiplicação e

divisão desses membros:

5 > 3 5 . (+ 2) > 3 . (+ 2) 10 > 6 Conclusão: a inequação é verdadeira, pois “10” é maior que “6”.

A) Adicionando o número 2 nos dois membros da express ão.

B) Subtraindo o número 1 nos dois membros da expres são.

A) Multiplicar pelo valor positivo 2 nos dois membros da expressão.

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5 > 3 5 . (- 2) > 3 . (- 2) - 10 > - 6 Conclusão: a inequação NÃO é verdadeira, pois “- 10” é menor que “- 6”. Para que a inequação seja verdadeira é preciso inv erter o sinal: -10 < -6, tornando-a uma inequação verdadeira.

É preciso ter o máximo de cuidado ao multiplicar ou dividir por um mesmo valor os

componentes de uma inequação do primeiro grau. Caso este valor seja um número

negativo, o sinal da inequação sempre será invertido.

Agora, acompanhe o cálculo da inequação 3x + 5 < 17:

3x + 5 < 17

3x < 17 - 5 � O número 5 vai para o segundo membro e a operação (subtração) é

realizada.

3x < 12 � Dividir por 3 o resultado da subtração.

x < 12

3

x < 4 ���� Solução

Após fazer os devidos cálculos da inequação apresentada, pode-se concluir que a

solução dada é formada por todos os números inteiros positivos menores que o número

4, ou seja, S = {1, 2, 3}

B) Multiplicar pelo valor negativo 2 nos dois membros da expre ssão.

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Veja outro exemplo calculando a inequação -2x + 7 > 0:

Portanto a solução da inequação é x < 7 .

2

- 2x + 7 > 0 -2x > -7

-2x . (-1) > -7 . (-1)

2 x < 7 x < 7 2

Uma maneira

simples de resolver

uma inequação de 1º

grau é isolarmos a

incógnita x em um

dos membros da

igualdade.

Usando o princípio

multiplicativo da

desigualdade, devemos

multiplicar por -1 para que

torne o número positivo.

Lembre-se que essa

ação inverte o sinal.

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AULA 4 – RAZÃO, DENSIDADE E PROPORÇÃO

Essa é a aula 4 do curso de Matemática Básica II. Nela, estudaremos razão, densidade

e proporção. Começaremos conceituando a palavra “razão” que vem do latim ratio e

significa divisão, logo, razão é a divisão ou relação entre dois números a e b, com b ≠

0, representado pelo quociente a lido como: “a está para b”; “razão de a para b” ou

“razão entre a e b”. b

Parece confuso, mas não é. No decorrer da aula veremos uma série de exemplos que

facilitarão seu entendimento no assunto.

Observe aquele grupo de pessoas jogando bola. Imagine que eles participaram de um

campeonato e, de 6 jogos disputados, ganharam 4. Portanto, a razão entre o número

de jogos e o número de vitórias é 6 = 3. Portanto, a cada três partidas, eles ganharam

dois jogos. 4 2

Para realização do cálculo, a fração foi simplificada até se tornar irredutível. Esse

conceito foi estudado na 3ª aula do curso “Matemática Básica I”. Logo, razão é a

relação entre duas grandezas que já estão relacionadas ou uma divisão entre dois

valores.

Existem algumas razões especiais que são utilizadas em nosso cotidiano. A primeira

que vamos conhecer é a velocidade média.

A "velocidade média" percorrida por um corpo móvel (motocicleta, automóvel, trem etc.)

é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em

quilômetros ou metros) e o tempo gasto por ele (expresso em horas, minutos ou

segundos) e definida pela fórmula:

Velocidade média = distância percorrida

tempo gasto

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Portanto, a razão entre a distância percorrida por um corpo móvel e o tempo gasto para

percorrê-la é definida como velocidade média.

Imagine que um carro de corrida percorreu 420 km em 2h. Qual foi a velocidade média

do veículo?

Primeiramente devemos levantar os dados do problema que são a distância percorrida

de 420 quilômetros e o tempo gasto de 2 horas. Não possuímos a informação referente

à velocidade média, pois é justamente o dado que queremos descobrir.

DADOS DO PROBLEMA

Distância percorrida: 420 km.

Tempo gasto: 2 h.

Velocidade média: ?

Agora, basta aplicar os conceitos na fórmula, observe:

Velocidade média = 420 km = 210 km/h. (quilômetro por hora).

2 h

Portanto, a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 210 Km/h, ou seja,

para cada hora percorrida o carro deslocou 210 Km. Agora vamos conhecer outra

razão especial que é a escala.

Todos os mapas devem conter uma escala para que o leitor saiba quantas vezes a

área foi reduzida, permitindo o cálculo das distâncias reais dessa área.

Aprenda alguns conceitos relacionados ao assunto.

Escal a: indica quantas vezes uma área foi reduzida. Comprimento real: é a distância real ou a distância no terreno. Comprimento do desenho: é a distância no mapa.

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A fórmula para esse cálculo é bastante simples. Existem três possibilidades dependendo da informação que desejamos buscar. Quando não sabemos a distância no terreno, devemos usar a fórmula:

Quando não sabemos a distância no mapa, devemos usar a fórmula:

Quando não sabemos qual é a escala do mapa, devemos usar a fórmula:

Portanto, cada vez que nos depararmos com um problema de escala temos que

identificar a incógnita para então utilizarmos a fórmula adequada. Acompanhe o

exemplo:

Imagine que esse campo de futebol possui 8 metros de comprimento. Qual seria o valor da escala, sabendo que a planta baixa utilizada possui 5 cm?

ETAPA 1 Primeiramente devemos identificar a incógnita por meio do levantamento das

informações apresentadas no problema:

Comprimento real: 8 m Comprimento do desenho: 5 cm Escala: ?

Comprimento real = comprimento do desenho X escala

Comprimento do desenho = Comprimento real _

Escala

Escala = Comprimento do desenho

Comp rimento real

8 m

5 cm Comprimento do desenho

Comprimento real

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Note que as unidades de medida são diferentes (8 metros e 5 centímetros ), porém

elas devem possuir a mesma unidade de medida. Nesse caso é necessário transformar

8 metros em centímetros, acompanhe.

x 10 x 10 8 800

km hm dam m dm cm mm

Conforme estudamos, quando não sabemos qual é a escala do mapa, devemos utilizar a seguinte fórmula: Escala = 5_ = 1_ 800 160 Logo a escala é de 1 : 160, portanto cada 1 cm do desenho corresponde a 160 cm ou 1,6 m do real.

Agora, acompanhe outro exemplo. Imagine que você tenha comprado um apartamento

que ficará pronto em um ano. A planta baixa indica as dimensões do futuro

apartamento com escala de 1: 100 ou _1_ que deve ser lido como 1 cm para 100 cm.

100

Isso significa que cada centímetro medido na planta corresponde a 100 centímetros ou

1 metro na realidade. Nesse caso, qual seria o comprimento real da sacada?

Escala = Comprimento do desenho

Comprimento real

Para determinar a escala, encontramos a fração equivalente que tenha numerador 1.

÷ 5

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Para resolvermos o problema devemos levantar os dados e identificar a fórmula

adequada.

Assim, com base nas informações podemos calcular as medidas reais da sacada da

seguinte forma.

Portanto, as medidas reais da sacada são: 240 cm e 85 cm ou 2,4 m e 0,85 m.

Você se lembra dos conceitos estudados sobre massa e volume no curso “Matemática

Básica I”? Agora iremos mais além, estudaremos sobre “densidade” que nada mais é

Comprimento real = x 1 = 2,4

100 240

Comprimento real = x 1 = 0,85

100 85

2,4 cm 0,85 cm

2,4 cm

0,85

cm

2,4 cm

0,85 cm

Dados do problema: Comprimento real: ? Comprimento do desenho: 0,85 cm e 2,4 cm Escala: 1 : 100 Como não sabemos a distância no terreno, devemos utilizar a seguinte fórmula:

Comprimento real = comprimento do desenho X escala

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que a razão entre a massa de um corpo e o volume que ele ocupa. Observe na fórmula

que densidade é igual a massa, dividido pelo volume.

Densidade = massa

volume

A densidade dos sólidos e líquidos é expressa em gramas por centímetro cúbico

(g/cm3). Falando sobre isso, imagine que uma barra de ouro puro pesa 3 kg e tem

volume de 155,44 cm3. Esses dados permitem calcular a densidade do ouro,

acompanhe.

Densidade = 3 kg___ = ____3.000 g_ __≌ 19,3 g/cm3

155,44 cm3 155,44 cm3

Portanto, a densidade do ouro é de aproximadamente 19,3 g/cm3.

Acabamos de aprender que a densidade do ouro puro é de 19,3 g/cm3; a presença de

outros metais diminui a densidade relativa, que pode baixar até 15 g/cm3, pois a

densidade dos outros metais é menor que a do ouro.

Há também a densidade demográfica, ou seja, a razão entre o número de habitantes

e a área da região ocupada por eles. Acompanhe um exemplo, vamos descobrir a

densidade do Distrito Federal, para isso precisamos de alguns dados como a

população que é de 2.455.903 e a área que é de 5.801,94 Km2. Agora, atente-se para

a fórmula e o cálculo.

grama por centímetro cúbico

símbolo que representa aproximadamente

Densidade demográfica = população(hab.) área (km2) Densidade demográfica = 2.455.903 hab. = 423,29 hab./km2

5.801,94 km2

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Portanto, a densidade demográfica do Distrito Federal é de aproximadamente 423,29

hab./km2.

Agora você já sabe onde aplicar o conceito de razão que é a relação existente entre

grandezas da mesma espécie. Evoluindo nesse conceito, nosso próximo assunto será

“proporção”.

Acompanhe a comparação do número de pés com o número de dedos.

Ao compararmos um pé e

cinco dedos, chegamos a

proporção de um para cinco.

Ao compararmos dois pés e

dez dedos, chegamos a

proporção dois para dez.

Pegando nossos pés como exemplo, podemos dizer que o número de pés está para o

número de dedos na razão um para cinco , dois para dez e assim sucessivamente.

Essas razões apresentam as seguintes igualdades: um para cinco e dois para dez.

1 = 2 5 10

Logo, cada uma dessas igualdades é uma proporção, que também podem ser escritas

assim: 1: 5 = 2 :10.

Note que os números 1, 5, 2, 10 são os termos da proporção,

sendo que 1 e 10 são extremos e 5 e 2 são os meios.

1 : 5 = 2 : 10

Comparando um pé e cinco dedos Proporção: _número de pés_ = 1 número de dedos 5 Logo temos um (pé) para cinco (dedos).

meios

extremos

Comparando dois pés e dez dedos Proporção: _número de pés_ = 2 número de dedos 10 Logo temos dois (pés) para dez (dedos).

Page 24: Apostila matemática básica II

Programa CIEE de Educação a Distância

24

Importante saber que em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos

extremos. Nesse caso o produto dos meios é 10 (5 x 2) e o produto dos extremos

também é 10 (1 x 10). Esse cálculo também pode ser feito da seguinte forma:

1 2 = 5 x 2 = 10 5 10 = 1 x 5 = 10

Resumindo... uma proporção é uma igualdade entre duas razões, a/b = c/d , sendo os

números a/b e c/d designados razões. Numa proporção a/b = c/d, dizemos que a, b, c

e d são termos da proporção, a e d são os extremos e b e c são os meios.

Atenção! Existem razões que não formam uma proporção. Acompanhe o exemplo das

razões _12_ e _3_ .

15 2

As razões não formam uma proporção, pois o produto dos meios é diferente do produto

dos extremos.

12 e 3 = 15 . 3 = 45

15 2 = 12 . 2 = 24

extremo meio

meio extremo

Page 25: Apostila matemática básica II

Programa CIEE de Educação a Distância

25

AULA 5 – GRANDEZA E REGRA DE TRÊS

Antes de começarmos, imagine a altura de um prédio de cinco andares, o volume da

caixa d’água de uma casa, a velocidade de um automóvel, o número de gols de uma

partida de futebol etc., tudo isso está relacionado a grandezas que nada mais é que

uma relação numérica estabelecida com um objeto. É tudo que podemos contar, medir,

pesar e enumerar.

Para facilitar o entendimento, acompanhe a rotina de Roberto. Atente-se para a

diferença entre grandeza e unidades de medida de cada exemplo apresentado.

6h30min

Roberto dorme 8 horas por noite e agora já é hora de acordar. O tempo é

uma grandeza e a hora (h) é uma unidade de medida de tempo.

7 h

Roberto toma banho. A vazão da água que sai do chuveiro é uma

grandeza e o litro por minuto (ℓ/m) é uma unidade de medida de vazão.

7h30min

Roberto come 2 pães e toma 1 copo de leite de 200 mℓ.

O número de pães e a capacidade do copo são grandezas. O mililitro (mℓ)

é uma unidade de medida de capacidade.

8h

Roberto sai de casa para o estágio. A velocidade média do metrô que

utiliza é de 80 quilômetros por hora.

A velocidade média é uma grandeza e o quilômetro por hora (km/h) é uma unidade de

medida de velocidade.

Page 26: Apostila matemática básica II

Programa CIEE de Educação a Distância

26

9h

É hora de estagiar. Roberto e outros estagiários ficam em uma sala que

mede aproximadamente 30 metros quadrados. A superfície é uma

grandeza e o metro quadrado (m2) é uma unidade de medida de superfície.

Viu quantas grandezas e unidades de medida utilizamos no decorrer do nosso dia!

Agora, nos aprofundaremos nesse conceito.

Imagine que um estudante tenha comprado duas réguas ao custo de R$ 5,00, logo se

ele comprar três réguas o custo total será R$ 7,50, pois o custo unitário é de R$ 2,50.

Nesse caso, quanto maior a quantidade de réguas, maior a quantia a ser paga. Logo

duas grandezas são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica na

variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção e sentido.

Acompanhe outro exemplo: imagine que uma papelaria cobra R$ 0,20 por página

xerocada. Nesse caso, duas páginas custarão R$ 0,40; três R$ 0,60 e assim

sucessivamente.

Quantidade de páginas 1 2 3 4 5 6

Preço (R$) 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

A razão entre a quantidade de páginas xerocadas e o preço é sempre o mesmo,

observe.

1_ = _2 _ = _3__ = _ 4_ = _5_ = 6 _ 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

Portanto, o preço é diretamente proporcional à quantidade de páginas xerocadas.

Imagine que esse carro tenha percorrido uma distância de 100 metros a uma

velocidade de 50 km/h em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 100 km/h

gastará apenas 5 segundos para percorrer os mesmos 100 metros.

Page 27: Apostila matemática básica II

Programa CIEE de Educação a Distância

27

Nesse caso quanto maior a velocidade do automóvel, menor o tempo gasto.

Esse caso apresenta duas grandezas inversamente proporcionais e acontece

quando, ao dobrar o valor de uma grandeza, a outra reduz pela metade ou ao reduzir

uma grandeza pela metade, a outra dobra e assim por diante. Logo, duas grandezas

inversamente proporcionais variam na razão inversa da outra.

Acompanhe outro exemplo para compreender melhor! Imagine que

você tenha comprado 240 figurinhas da Copa do Mundo de Futebol

para dividir entre seus amigos. O número de figurinhas que cada

amigo receberá depende do número de amigos que você considerou.

Veja a tabela.

A razão entre o número de amigos é o inverso do número de figurinhas por amigo.

_ 2_ = _3 _ = _4_ = _5_ = 6_ 120 80 60 48 40 = 240 figurinhas

Logo, o número de amigos é inversamente proporcional ao número de figurinhas que

cada um receberá.

Conhecer o conceito de grandeza é muito importante para o cálculo de regra de três

que constitui uma maneira prática para resolver problemas que envolvem duas

grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Para resolver uma regra de três

simples devemos seguir três etapas, acompanhe o exemplo.

Regina tem 165 cm de altura e Carlos 185. Num dia de sol, eles

mediram suas sombras e o comprimento da sombra de Carlos

Número de amigos 2 3 4 5 6 Número de figurinhas por amigo 120 80 60 48 40

Page 28: Apostila matemática básica II

Programa CIEE de Educação a Distância

28

era de 60 cm. Portanto qual era o comprimento da sombra de Regina?

180 = 165

60 x

180 = 165 60 x 180 . x = 60 . 165 180x = 9.900 x = 9.900 180 x = 55

Portanto o comprimento da sombra de Regina é de 55 cm.

Imagine que um atleta percorre 20 km em 2h, mantendo o mesmo ritmo. Quanto tempo

será necessário para ele percorrer 30 km?

20 = 2 30 x 20 = 2 30 x 20 . x = 30 . 2 20x = 60 x = 60 20 x = 3

Altura (cm) Comprimento da sombra (cm)

180 60 165 x

Percurso (km)

Tempo (h)

20 2 30 x

1º PASSO Organize as informações

passadas. Para isso crie uma tabela e agrupe as grandezas da

mesma espécie em colunas.

2º PASSO Identifique se as grandezas são

diretamente ou inversamente proporcionais.

No exemplo apresentado as grandezas são diretamente

proporcionais, pois quanto maior a altura da pessoa, maior será o

tamanho da sombra.

3º PASSO Monte a proporção e resolva a

equação.

1ª) Organize as informações passadas.

2ª) Perceba que as grandezas são diretamente proporcionais, pois

quanto maior o percurso, maior o tempo.

3ª) Agora basta montar a proporção e resolver a equação.

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Programa CIEE de Educação a Distância

29

Portanto, o atleta percorre 30 km em 3h.

Agora, imagine que os funcionários de uma construtora trabalharam 8 horas por dia e

finalizaram uma obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço fosse reduzido para

5 horas, em que prazo o mesmo trabalho seria finalizado?

Para realizar o cálculo, primeiramente organize as informações apresentadas.

Horas por dia Prazo para término (dias)

8 20 5 x

Perceba se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Note que

diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término da obra

aumenta, logo as grandezas são inversamente proporcionais.

Agora montamos a proporção e resolvemos a equação.

_5_ = 20_

8 x

Note que quando as grandezas são inversamente proporcionais,

devemos inverter os termos de uma grandeza.

5x = 8 . 20

x = 160

5

x = 32

Logo, se o número de horas de serviço fosse reduzido para 5 horas, o trabalho seria

finalizado em 32 dias.

Agora acompanhe esse exemplo envolvendo grandezas proporcionais e inversamente

proporcionais. Imagine que 12 tecelões em 90 dias de trabalho com jornada de 8 horas

Page 30: Apostila matemática básica II

Programa CIEE de Educação a Distância

30

diárias produzem 36 metros de tapete. Quantos dias levarão 15 tecelões para fazer 24

metros de tapete, trabalhando 6 horas por dia?

ETAPA 1

Primeiro levante as informações do problema.

Operários Dias Horas Metros

12 90 8 36 15 x 6 24

Antes de calcular, deve-se estabelecer a direção de proporcionalidade entre cada

grandeza e a grandeza a ser determinada. Vamos começar com a coluna dos

operários:

Operários Dias 12 90 15 x

Devemos identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

Portanto se aumentarmos o número de operários, a quantidade de dias diminuirá,

portanto, trata-se de uma relação inversamente proporcional. Nesse caso, deve-se

inverter a coluna dos operários. Assim, provisoriamente, temos.

Operários Dias Horas Metros

15 90 8 36 12 x 6 24

ETAPA 3

Agora faremos o mesmo com a coluna dos dias: quanto mais horas trabalhadas por

dia, menos dias serão necessários:

Dias Horas 90 8 x 6

Nesse caso, deve-se inverter a coluna dos dias. Assim, provisoriamente, temos:

Operários Dias Horas Metros

15 90 6 36 12 X 8 24

Page 31: Apostila matemática básica II

Programa CIEE de Educação a Distância

31

Agora analisamos as grandezas da última coluna:

Dias Metros 90 36 x 24

Quanto mais dias trabalhados, mais metros de tapete serão produzidos. Como as

grandezas são diretamente proporcionais, a última coluna não sofre alterações:

Operários Dias Horas/dia Metros

15 90 6 36 12 X 8 24

Analisando coluna por coluna, temos:

(a)

Operários Dias 15 90 12 x

(b)

Dias Hora/dia 90 6 X 8

(c)

Dias Metros 90 36 x 24

ETAPA 6

A próxima etapa é multiplicar cada um desses elementos (a, b e c) em cruz:

(a) Operários Dias

15 90 12 x

(b)

Dias Hora/dia 90 6 X 8

15x = 12 . 90

x = 12 . 90

6x = 8 . 90

x = 8 . 90

6

Page 32: Apostila matemática básica II

Programa CIEE de Educação a Distância

32

(c) Dias Metros 90 36 x 24

A) B) C)

Após realizar os cálculos, constatamos que os números: 12, 90, 8, 24 são numeradores

e os números 15, 6, 36 são denominadores. Logo temos:

x = 12 . 90 . 8 . 24 = 64

15 . 6 . 36

Serão necessários 64 dias de trabalho para fazer a quantidade de tapete solicitada.

Agora, acompanhe outro exemplo utilizando um modo de cálculo diferente. Em um

prédio, 6 pintores pintam uma área de 300m2 em 2 horas. Quantos pintores serão

necessários para pintar uma área de 400m2 em 1 hora?

FASE 1

Primeiramente organize dos dados:

Número de pintores Área (m 2) Tempo (h)

6 300 2 X 400 1

FASE 2

Número de pintores Área (m 2) Tempo (h) 6 300 2 X 400 1

Comparando a grandeza do número de pintores com as outras duas, constatamos que

o número de pintores é diretamente proporcional à área pintada e o número de pintores

é inversamente proporcional ao tempo gasto.

36x = 24 . 90

x = 24 . 90

36

15x = 12 . 90

x = 12 . 90

15

6x = 8 . 90

x = 8 . 90

6

36x = 24 . 90

x = 24 . 90

36

Page 33: Apostila matemática básica II

Programa CIEE de Educação a Distância

33

Então podemos montar as razões da seguinte forma:

6 . 300 . 1

x 400 2

razão inversa entre os tempos

razão proporcional entre áreas

razão entre o número de pintores

FASE 3

Agora devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras

razões e aplicar a propriedade fundamental das proporções.

Portanto, serão necessários 16 pintores para pintar uma área de 400m2 em 1 hora.

_6_ = 300 .

_1_

x = 6 . 400 . 2 = 4800 = 16

300 . 1 300

Page 34: Apostila matemática básica II

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34

AULA 6 – PORCENTAGEM E JUROS SIMPLES

Chegamos à última aula do curso “Matemática Básica II” e falaremos de um assunto

muito interessante que faz parte do nosso dia a dia, a porcentagem. Observe:

- Dona Margarida teve um desconto de 10% ao comprar essa blusa de lã.

- 80% dos comerciantes dessa feira de artesanato acreditam que as vendas

aumentarão 5% no próximo mês, devido às festas que ocorrerão na cidade.

- Esse belo quadro sofreu um aumento de 5% na semana passada.

Realmente é muito comum ouvirmos falar disso no dia a dia. Quem nunca se deparou

com promoções do tipo: só hoje 10% de desconto em toda loja, aproveite os descontos

especiais de até 60%, compre hoje e evite o reajuste de preços.

Pois bem, porcentagem pode ser definida como a

centésima parte de uma grandeza, ou ainda como uma

fração cujo denominador é 100, ou seja, 40% é igual a

_40_ que corresponde a 0,40.

100

Não podemos esquecer que a porcentagem é representada pelo símbolo de %.

O mais interessante é que podemos utilizar a regra de três para calcular a

porcentagem. Acompanhe os exemplos.

PORCENTAGEM

• Centésima parte de uma grandeza. • Fração cujo denominador é 100.

Page 35: Apostila matemática básica II

Programa CIEE de Educação a Distância

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Antônia é comerciante na feira de artesanato e vende, em média, R$ 700 por mês.

Como está prevendo um aumento de 15% nas vendas devido às festas que ocorrerão

na cidade no próximo mês, quanto venderá? Existem várias maneiras de resolver esse

problema de porcentagem, porém utilizaremos a regra de três para calculá-lo.

ETAPA 1

Primeiramente levante os dados apresentados no problema.

ETAPA 2

Monte a regra de três e multiplique os valores em cruz:

Valor de vendas % 700 100 x 15

100 x = 700 . 15

x = 10.500 100 x = 105

Portanto, o aumento das vendas será de R$ 105,00 e o valor total das vendas do

próximo mês será de R$ 805,00.

Agora imagine que em um jogo de basquete um único jogador tenha feito 25% dos 92

pontos marcados por seu time. Vamos descobrir quantos pontos ele fez por meio do

cálculo da porcentagem.

ETAPA 1

Levante os dados apresentados no problema:

Venda atual = R$ 700,00

Aumento previsto = 15%

Valor previsto de venda para o próximo mês = ?

Número de pontos marcados pelo time = 92

% de pontos feitos pelo jogador = 25%

Pontos feitos pelo jogador = ?

Page 36: Apostila matemática básica II

Programa CIEE de Educação a Distância

36

ETAPA 2

25% corresponde a 25 ou 1

100 4

Se multiplicarmos 25 por 92, descobriremos o número de pontos realizados pelo

jogador. 100

25 . 92 = 2300 = 23

100 100

A mesma coisa vale se multiplicarmos 1 por 92. Acompanhe:

4

1 . 92 = 92 = 23

4 4

Agora acompanhe o cálculo do mesmo exemplo usando regra de três. Para realizar o

levantamento de dados, observe que 92 pontos estão para 100%, assim como “x”

pontos estão para 25%, assim formamos a proporção:

Pontos % 92 100 x 25 100 x = 92 . 25 x = 2.300 100 x = 23 Acompanhe o cálculo de 100%.

Nessa barraca, Dona Elisa vende anéis variados, 42 deles contêm pedras brasileiras e

correspondem a 60% do total. Quantos anéis Dona Elisa têm no total?

Page 37: Apostila matemática básica II

Programa CIEE de Educação a Distância

37

Anéis % 42 60 x 100 60x = 42 . 100 x = 4200 60 x = 70 Número total Número de anéis com de anéis pedras brasileiras 60% de x = 42 0,60 . x = 42 0,60 x = 42 x = 42 60 x = 70 Logo, Dona Elisa tem 70 anéis em sua barraca.

Agora vamos aprender a calcular porcentagem. Imagine que essa feira de artesanato

possuísse 15 barracas variadas e que 6 delas vendessem somente artigos voltados ao

público infantil. Qual seria a porcentagem de barracas que venderia outros tipos de

artigos?

Ao subtrair o número total de barracas pelo número de barracas de artigos infantis,

encontramos a quantidade de barracas de artigos variados, que nesse caso é 9.

Total de barracas Barracas de artigos infanti s Barracas de artigos variados 15 - 6 = 9

Com base na informação anterior, faremos o cálculo da porcentagem utilizando o

conceito de regra de três:

Total de barracas % 15 100 9 x

Observe que 42 anéis estão para 60% assim como x anéis estão para 100. Veja a proporção e

acompanhe o cálculo por meio da regra de três.

Outra forma de resolver o

problema é por meio de uma

equação, em que x é o número

total de anéis.

Resolvendo a equação em x,

Page 38: Apostila matemática básica II

Programa CIEE de Educação a Distância

38

nº de barracas dado que desejamos variadas descobrir 15 . x = 9 . 100 15x = 900 x = 900 15 x = 60 A porcentagem de barracas variadas é de 60%.

Outro assunto muito interessante é o cálculo de aumento e desconto em porcentagem.

Por exemplo, imagine que na semana passada você tenha pesquisado o preço de uma

calça e de uma camiseta na feira de artesanato. Hoje, decidiu comprá-las, mas ao

chegar à barraca percebeu que os preços foram alterados. A calça, que custava R$

83,00 sofreu aumento de 10% e a camiseta, que custava R$ 42,00, teve desconto de

5%. Quanto gastará?

O cálculo de aumento deve ser feito da seguinte forma: primeiramente determinamos a

porcentagem do preço atual da calça em relação ao preço antigo, ou seja, 100% mais

10% que corresponde a 110%.

100% + 10% = 110%

Depois calculamos 110% do preço antigo da calça (R$ 83,00) e obtemos o preço atual.

Observe que há duas formas de fazê-lo:

Cálculo por meio de uma equação Cálculo por meio de regra de três

110% de R$83,00 110 . R$ 83 = 91,30 100

Valor da calça % R$ 83,00 100 x 110

100x = 83 . 110 x = 9.130 100 x = 91,30

Page 39: Apostila matemática básica II

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39

Agora, vamos aprender o cálculo de desconto que é realizado da mesma maneira.

Primeiramente determinamos a porcentagem do preço atual da camiseta em relação ao

preço antigo, ou seja, 100% menos 5% que corresponde a 95%.

100% - 5% = 95%

Depois calculamos 95% do preço antigo (R$ 42,00) e obtemos o preço atual. Observe

que há duas formas de fazê-lo:

Cálculo por meio de uma equação Cálculo por meio de regra de três

Para finalizar some os dois valores e obtenha o valor final da compra.

Calça: R$ 91,30

Camiseta: R$ 39,90

Total: R$ 131,20

Logo, o valor total da compra será de R$ 131,20.

Agora, falaremos de outro assunto bastante comentado no dia a dia, o juro. Você

saberia nos dizer o juro cobrado ao realizar um empréstimo bancário, ao comprar uma

TV com pagamento parcelado, ou ainda, quanto renderá aquele dinheirinho da

poupança.

Para aprender a calcular juros, primeiramente é importante saber alguns conceitos.

95% de R$ 42,00 95 . R$ 42 = 39,90 100

Valor da camiseta % R$ 42,00 100 x 95

100x = 42 . 95 x = 3.990 100 x = 39,90

+

Page 40: Apostila matemática básica II

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40

Capital : posses em dinheiro ou em propriedades, ou ainda, valores empregados em

uma empresa.

Juros Simples : acréscimos somados ao capital inicial no final de uma aplicação.

Montante: soma de um capital com o respectivo juro.

De modo geral o juro simples (J) que incide de um capital (C) a uma taxa de juro (i) por

um determinado prazo (t) é calculado por meio da seguinte fórmula:

Imagine que você tenha emprestado dinheiro do banco, seja por meio de um

empréstimo, cheque especial, hipoteca etc., sem dúvida serão cobrados juros sobre

esse dinheiro. O mesmo aconteceria se ocorresse o contrário, em um investimento,

caderneta de poupança etc., o banco utilizaria o seu dinheiro e, nesse caso, você

receberia juros.

Veja outro exemplo prático. Durante quatro meses, Vinicius conseguiu economizar R$

1.000,00 e para não cair em tentação colocou esse dinheiro na poupança. Quanto

Vinícius terá na poupança após um mês, sabendo que a taxa de juros foi de 0,5% ao

mês?

ETAPA 1 J = ? C = R$ 1.000,00 i = 0,5% a.m t = 1 mês

ETAPA 2 J = C . i . t J = 1000 . 0,5 . 1 Veja que a taxa de juros 0,5% foi 100 colocada em forma fracionária: J = 5

J = C . i . t

Primeiro levante as informações do

problema.

0,5% = 0,5

100

Utilize a fórmula para chegar ao resultado.

Page 41: Apostila matemática básica II

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41

Portanto, depois de um mês Vinicius receberá R$ 5,00 de juros e terá na poupança R$

1.005,00.

Agora veja uma situação de empréstimo. Daniel fez um empréstimo de R$ 1.000,00

com um amigo à taxa de juro simples de 2% ao mês. Depois de três meses quanto ele

pagou?

ETAPA 1

J = ? C = R$ 1.000,00 i = 2% ao mês (a.m.) t = 3 meses

ETAPA 2

J = C . i . t J = 1000 . 2 . 3 100 J = 60

Portanto, depois de três meses Daniel pagará R$ 60,00 de juros, logo R$ 1.060,00 pelo

empréstimo. Observe que no sistema de juro simples, o juro incide apenas sobre o

capital. O montante obtido nesse sistema depende do capital, do tempo de aplicação e

da taxa de juros.

Imagine que você queira comprar um novo aparelho de TV. A loja oferece duas formas

diferentes para o pagamento, R$ 630,00 à vista ou em 8 parcelas de R$ 94,50,

custando ao final R$ 756,00. Por que isso acontece?

O preço da TV a prazo é maior porque é cobrado juro em relação ao preço à vista.

Vamos calcular o juro que será cobrado pelo parcelamento.

Primeiro levante as informações do

problema.

2% = 2_ 100

Utilize a fórmula para chegar ao resultado.

Observe que a taxa de juros e o tempo devem possuir a mesma unidade de tempo, ou seja, taxa de juros apresentada em meses e tempo expresso em meses. O mesmo vale para ano.

Veja que a taxa de juros 2% foi colocada em forma fracionária:

Page 42: Apostila matemática básica II

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ETAPA 1

Preço da TV à vista: R$ 630,00 Preço da TV a prazo: R$ 756,00 Porcentagem de juro cobrada: ?

ETAPA 2 Preço a prazo – preço à vista = diferença R$ 756,00 – R$ 630,00 = R$ 126,00

ETAPA 3

Logo, o juro cobrado na TV a prazo é de 20%. Para saber a taxa cobrada ao mês,

basta dividir 20% por 8 (dado que corresponde ao número de parcelas). Nesse caso,

obtemos 2,5% que é a taxa de juro simples mensal.

Primeiro levante as informações do

problema.

Descubra a diferença entre o preço da TV à

vista e a prazo.

Encontre a porcentagem de juro que será

cobrado na TV a prazo.

Valor da TV à vista % 630 100 126 x Diferença % de juro cobrado 630x = 126 . 100 x = 12.600 630 x = 20%

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REFERÊNCIAS

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Page 44: Apostila matemática básica II

Programa CIEE de Educação a Distância

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